автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ и синтез в теории субоптимального анизотропийного робастного управления для дескрипторных систем

Федеральное государственное учреждение науки

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ им. В.А. Трапезникова Российской академии наук

УДК 519.715:681.514 На правах рукописи

ББК 22.1

АНДРИАНОВА Ольга Геннадьевна

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ В ТЕОРИИ СУБОПТИМАЛЬНОГО АНИЗОТРОПИЙНОГО РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ДЕСКРИПТОРНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 МАЙ 2015

Москва — 2015

005569033

005569033

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО МГТУ им. Н.Э. Баумана

Научный руководитель: доктор технических наук Курдюков Александр Петрович

Официальные оппоненты:

кандидат физико-математических наук

Дарьин Александр Николаевич

доктор физико-математических наук Болотин Юрий Владимирович

Ведущая организация: ГНЦ РФ ОАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор"

Защита диссертации состоится. _2015 года т/Г часов ^Пшнут на

заседании диссертационного Совета Д 002.226.02 при Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 65, ИПУ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления РАН.

Автореферат разослан

2015 года.

Ученый секретарь

диссертационного Совета Д 002.226.02, доктор технических наук

Галяев Андрей Алексеевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена задачам анизотропийного анализа для линейных дискретных дескрппторных систем: вычислению средней анпзотроппп пецеп-трированной последовательности, генерируемой фильтром в дескрилторной форме, анизотропийной нормы дескрииторной системы, получению условий ограниченности анизотропийной нормы для центрированных и нецентрировап-пых входных сигналов; а также построению субоптимального управления по состоянию и по вектору полпой информации для дескршгторной системы в случае центрированных входных сигналов.

Актуальность темы. Как правило, системы автоматического управления работают в условиях помех, под влиянием неизвестных внешних возмущений и задающих команд. Измеряемые значения сигналов могут содержать случайные ошибки, а управляющие воздействия - отрабатываться со случайными погрешностями. В связи с этим задачи подавления влияния внешних возмущений являются чрезвычайно важными задачами теории управления, неизбежно возникающими при проектировании современных систем управления техническими объектами. Эти задачи восходят к задаче Б.В. Булгакова о накоплении возмущений п к задаче Г.В. Щиланова о построении инвариантных систем управления.

В зависимости от математической модели объекта управления, функционала качества, характеризующего подавление внешних возмущений, и класса функций, которому принадлежат внешние возмущения, существует множество методов решения задач подавления влияния внешних возмущений. Среди них можно выделить аналш существования решения задач подавления внешних возмущений (например, работы Э.М. Солнечного, А.Р. Гайдука) п задачи построения конструктивных алгоритмов управления. К последним можно отнести методы теории систем с переменной структурой (C.B. Емельянов, В.И. Уткин), методы построения универсальных регуляторов (В.А. Якубович, A.B. Проскур-нпков), методы Ноо -оптимизации (Ян Петерсен), метод компенсации, одна из интерпретаций которого изложена в работах A.A. Бобцова, методы, основанные на эллипсоидальной технике (А.Б. Куржанский, Ф.Л. Черноусько, Б.Т. Поляк, М.В. Хлебников). Существует много других, не упомянутых в этом введении методов решения задач понижения влияния внешних возмущений, но только на пх перечисление потребуется несколько страниц. Классическую линейно-квадратичную гауссовскую задачу (LQG) также можно отнести к задаче по

нижения влияния внешнего возмущения в виде гауссовского белого шуыа в линейной системе с квадратичным критерием качества.

Последние двадцать лет в теории управления развивается направление построения регуляторов, которое лежит "между" LQG- и Ноо -теориями управления. Оно получило название анизотропийной теории стохастического робастно-го управления (И.Г. Владимиров, А.П. Курдюков). Эта теория построена для дискретных систем, функционалом качества является индуцированная норма замкнутой системы, где супремум берется не по всему множеству стохастических входных возмущений, а по множеству входных возмущений, отличающихся от гауссовского белого шума на ограниченную величину рассогласования Кульбака-Лейблера (относительной энтропии).

В последние годы получила развитие теория построения регуляторов для дескрипторных систем - систем, в описании математических моделей которых вместе с дифференциальными (разностными) уравнениями присутствуют и алгебраические уравнения, задающие в пространстве состояний многообразие, на котором происходит движение системы. Дескрипторпые системы нашли свое применение при моделировании движения летательных аппаратов (Б. Стивене), химических процессов (JI. Дай), в схемотехнике (Р. Ньюкомб), экономических системах (Д. Люенбергер), соединенных вместе системах высокого порядка, технических системах, эпергетических системах и в робототехнике.

Теория оптимального анпзотропийного управления уже применялась в задачах построения регуляторов для дескрипторных систем (A.A. Белов, А.П. Курдюков). Однако задачи анизотропийного анализа и синтеза субоптимального анпзотропийного управления для дескрипторных систем не были решены. Решению этих задач и посвящена диссертация. В диссертационной работе также рассматриваются задачи анализа для дескрипторных систем, на вход которых поступает нецентрированный стохастический сигнал (сигнал с ненулевым математическим ожиданием).

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка методов апизотропийного анализа и синтеза субоптимальных анизотропийных регуляторов для линейных дискретных дескрипторных систем.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного и теории вероятностей.

Научная новизна. Найдены условия ограниченности анизотропийной нормы дсскрипторной системы с нецентрированным входным возмущением. Обоб-

щепы основные понятия анизотропийиой теории на класс дескрипторных систем с нецентрнрованными возмущениями. Разработаны алгоритмы вычисления анизотропийиой нормы дескрипторной системы для случая центрированного и нецентрированного возмущений. Получен алгоритм синтеза субоптималь-пого регулятора в форме обратной связи по состоянию и по вектору полной информации, ограничивающего значение анизотропийиой нормы замкнутой системы по всем неопределенностям из заданного класса.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления линейными объектами, математические модели которых заданы в дескрипторной форме, и позволяют осуществлять синтез новых линейных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности и большей эффективностью в подавлении коррелированных стохастических возмущений с неизвестными распределениями, чем широко используемые Дзо-субоптимальные регуляторы.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Условия ограниченности анизотропийиой нормы дескрипторной системы (анизотропийпая частотная теорема).

2. Обобщения понятий теории анизотропийыого анализа на класс дескрпп-ториых систем с вецентрированными возмущениями.

3. Алгоритмы вычисления анизотропийной нормы дескрипторной системы с центрированными и нецентрироваппыми возмущениями.

4. Методика построения субоптимальных анизотропийных регуляторов по состоянию и по вектору полной информации для дескрипторных систем с центрированным входным сигналом.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научном семинаре научной школы "Нелинейные динамические системы п процессы управления" кафедры ФН-12 "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана (под руководством член-корр. РАН Крищепко А.П.), на XV и XVII конференциях молодых ученых "Навигация и управлепие движением" (ЦНИИ "Электроприбор", г. Санкт-Петербург, 2013 г., 2015 г.), па X и XI Всероссийских школах-конференциях молодых ученых

"Управление большими системами" (г. Уфа, 2013 г., г. Арзамас, 2014 г.), а также на международных конференциях: the International Workshop 011 Navigation and Motion Control (ЦНИИ 'Электроприбор", 2014 г.), the 19th International Conference on Process Control (University of Pardubice, Strbske Pleso, Slovak Republic, 2013), the 15th International Carpathian Control Conference (Velkc Kario-vice, Czech Republic, 2014), the 13th European Control Conference (Strasbourg, France, 2014).

Публикации. Основные результаты опубликованы в двух статьях в российских журналах из перечня ВАК [2,3], одной монографии [1], трудах четырех международных конференций [4,5,6,7] и четырех тезисах докладов Всероссийских конференций [8,9,10,11].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 99 страницах, содержит 5 таблиц и 12 иллюстраций. Библиография включает 82 наименования.

Во введении обоснована актуальность и значимость исследуемой проблематики, дан обзор литературы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

Первая глава посвящена краткому изложению теории дискретных дескрип-торных систем и теории анизотропийного анализа дискретных линейных систем. Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме, без доказательств, с указанием ссылок на первоисточники.

Модель дискретной линейной дескрппторпой системы Р в пространстве состояний имеет вид

где х(к) 6 К" - вектор состояния, }{к) е Кт и у(к) Е Кр - входной и выходной сигналы соответственно, А, В, С, О - постоянные матрицы соответствующих размерностей, Е е К."жп - вырожденная матрица, то есть гапк Е = г < п.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ех(к + 1) = Ax{k) + Bf{k), у(к) - Cx(k) + Df(k),

(1) (2)

Под передаточной функцией дескрипторной системы Р понимают

Р{г) = C(zE - Л)_1В + D, z е С.

Одним из ключевых понятий теории дескрппторпых систем является понятие регулярности системы. Регулярность является необходимым и достаточным условием существования и единственности решения системы (1).

Определение 1. Система (1) (пара (Е, А)) называется регулярной, если ЗА $ 0 : det(A£ - А) ф 0.

Дескрипторные системы имеют решения не при любых начальных условиях.

Определение 2. Начальные условия х(0), при которых регулярная дескрип-торная систелм (1) имеет решение, называют согласованными.

Согласованные начальные условия удовлетворяют следующему равенству:

h-1

[о /] fif^O) = £>'В2/(«).

i=0

Определение 3. Система (1) (пара (Е, А)) называется причинной, если ее решение х{к) при согласованных начальных условиях зависит только от №,..., /(0) и x{k — 1), ..., х(0).

Введем теперь понятия устойчивости и допустимости линейной дискретной дескрипторной системы.

Определение 4. Систем у (1) (пару (Е, А)) называют устойчивой, если р(Е,А) < 1, где р[Е,А) = тах|А|Ле{геС1йе4(2Е_л)=0} - спектральный радиус пары (Е,А).

Определение 5. Дескрипторная система (1) (пара (Е, А)) называется допустимой, если она регулярная, причинная и устойчивая.

Для регулярпой системы (1) существуют две невырожденные матрицы Q2 я Ri такие, что Q2ER2 — diag(/r,0). Рассмотрим преобразование координат

Щ1х{к) =

форме

*i(k)

, где xi(fc) 6 Rr и х2(к) е R"_r. Запишем систему (1)-(2) в

хг(к +1) = AnuW + AuXiW + Bifik), (3)

0 = А21хг{к) + А22х2{к) + В2/(к), (4)

у (к) = Cíxí(k) + C2x2(k) + Df{k), (5)

, СД2 = Сг| ■

Матрицы <5г и Яг находятся из сипгулярной декомпозиции Е = //¿^(5,0П_Г)КТ, в которой и и У вещественные ортогональные матрицы, а 5 — диагональная матрица порядка г, образованная отличными от нуля сингулярными значениями матрицы Е:

<Э2 = с!1аЕ(5-1,1п-г)ит, Д2 = УсИещ^"1, /П-Р).

Определение 6. Систему (3)-(5) позывают второй эквивалентной фор.иой системы (1)-(2).

При решении задач управления для дескрипторных систем необходимо не только обеспечить устойчивость динамической подсистемы, но также исключить нежелательное непричинпое поведение. Поэтому для дескрипторных систем введены понятия причинной управляемости и стабилизируемости.

Примем /(к) за управление п выберем его в виде обратной связи по состоянию

№ = рсх(к) + н(к), (6)

где Рс 6 Ктхп — постоянная матрица, Ь.(к) — новый входной сигнал. Тогда замкнутая система примет вид

Ех{к + 1) = (Л + ВРс)х(к) + ВЦк). (7)

Определение 7. Система (1) называется причинно управляемой, если существует обратная связь вида (6) такая, что замкнутая система (7) является причинной.

В большинстве реальных систем непричинное поведение является достаточно редким, но может создавать множество проблем при решении задач управления. Причинная управляемость дает возможность обеспечить причинность с помощью обратной связи по состоянию вида (6).

Стабилизируемость дескрипторной системы представляет возможность управлять неустойчивыми модами динамической подсистемы.

Определение 8. Система (1) называется стабилизируемой, если существует закон управления в форме обратной связи по состоянию вида /(¿) = К^п:(к) такой, что система (1), замкнутая этим законом управления, является устойчивой.

где =

Ли .412 ,<ЗгВ = Вх

.421 Ац в2

Теперь введем оснопиые понятия анизотропийной теории такие, как средняя анизотропия случайной последовательности и анизотропийная норма линейной системы.

Средняя анизотроппя гауссовской стационарной случайной последовательности IV = {шВДЬ^О! генерируемой формирующим фильтром с передаточной матрицей С(г) € Ц?™*"1 из гауссовского белого шума V с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей, равна

7Г

— 7Г

где С(ш) = Нпц_,1С(/еш) - граничное значение передаточной функции 6(2). Последовательность IV полностью определяется формирующим фильтром (7, поэтому наряду с обозначением Л (И ') используется обозначение Л ((1).

Анизотропийная корма дискретной линейной стационарной (дескршгторшй) системы с передаточной матрицей Р £ НооР*т, т-мерным входом IV и р-мерным выходом У определяется как

ЦР1«= вир № (00) Сев,, ||Ч|2

по отношению к классу формирующих фильтров

Са^{ОеН2т}"п: А(0)^а}, (8)

генерирующих из гауссовского белого шума V с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей случайные гауссовские последовательности IV = Си со средней анизотропией, ограниченной сверху заданным неотрицательным скаляром а.

Таким образом, анизотропийная норма ЦР||а характеризует робастность системы Р по отношению к случайному возмущению неточность знания статистических свойств которого описывается параметром о.

Во второй главе диссертационной работы сформулирована и доказана частотная теорема, представляющая собой необходимые и достаточные условия ограниченности анизотропийной нормы линейной дискретпой стационарной де-скрипторной системы заданным числом. Предполагаем, что система находится под воздействием случайного возмущения в виде последовательности гаус-совских векторов с нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей1.

1Под скалярной ковариационной матрицей будем понимать матрицу вида Я = г!т, где г - заданный положительный скаляр.

Статистическая неопределенность входного воздействия характеризуется уровнем средней анизотропии. Проверка ограниченности аннзотропийной нормы дескрипторной системы сводится к нахождению допустимого решения алгебраического уравнения Риккатп, удовлетворяющего неравенству специального вида. Достаточные условия ограниченности также сформулированы в терминах линейных матричных неравенств (ЛМН). Полученное ЛМН преобразовано к более удобной форме для избежания появления нелинейного неравенства при решении задачи синтеза.

Приведем постановку задачи и основные результаты этой главы.

Задача 1. Для заданной системы Р вида

Ех(к +1) = Ax(k) + Bw(k), (9)

у{к) = Cx(k) + Dw(k), (10)

уровня средней анизотропии входного возмущения А(IV) ^ а и числа 7 > 0 требуется полнить условия ограниченности анизотропийной нормы ||Р||0 заданным числом 7. Предполагаем, что для системы Р выполнено ранговое условие

rank Е — rank ^Е в] . (11)

Теорема 1. (Анизотропийная частотная теорема для дескриптор-них систем в терминах уравнений Риккати). Пусть Р £ 7ioopxm -допустимая система с реализацией в пространстве состояний (9)-(10). Тогда для известных скалярных величин а ^ 0 и 7 > 0 а-анизотропийная норма системы ограничена сверху числом 7, т.е.

тогда и только тогда, когда существует стабилизирующее решение2 алгебраического уравнения Риккати

ETRE = ATRA + qCTC + LTT.-1L, (12)

L = T,{BTRA + qDtC), £ = (Im-BTRB-qDTD)-1

такое, что ETRE > 0, где q S [O, min (7~2, H-Pll^?)) удовлетворяет неравенству

-findet ((l-чп2) S) > a.

2Под стабилизирующим решением уравнения Риккати (12) подразумевают такое решение R, при которой пара (В, А + ВЬ) является допустимой.

Теорема 2. (Анизотропийная частотная теорема для дескриптор-пых систем, о терминах JIMH). Пусть XV = ~стационарная

последовательность случайных т-мерных гауссовских векторов, средняя анизотропия которой не превышает а ^ 0. а-Анизотротйная норма системы Р ограничена заданным числом 7 > 0, т.е. |Р|„ < у, если существуют скаляр q € (О, min (t~2i l|P|lrö2)) и матрица R = Ят, удовлетворяющие следующим условиям:

ERET ^ 0,

- (det (Im - BTRB - gDTD))

ATRA - ErRE ATRB BTRA B^RB -1,

1 Im

(1-972).

a/m

CT

+ 9 Г>т

[0D]

<o.

(13)

(14)

Алгоритм вычисления анизотропийной нормы

Выпуклые относительно обеих переменных д и Л условия (13) и (14) теоремы 2 невозможно применить непосредственно дчя вычисления минимального 7 из-за произведения д и 72 в правой части неравенства (13).

Преобразуем оба неравепства (13) и (14). Для этого введем обозначения г; = д-1 и £ = 72. Умножая оба неравенства на т;, условия теоремы 2 можно переписать в впдг

г, - (е-2а det(r]Im - ВТФВ - DTD))ï/m < Î,

АТФА — ЕТФЕ + СТС АтФВ + СтО ВТФА + DTC ВТФВ + DTD - т}Г„,

ЕТФЕ ^ 0,

< 0,

(15)

(16) (17)

где Ф = г/R.

Данные условия позволяют найти минимальное значение 7 из ретепия следующей задачи выпуклой оптимизации: найти = на множестве {Ф, г/, 5}, которые удовлетворяют неравенствам (15)-(17).

Если минимальное значение пайдено, тогда значение а-анизотроппйной нормы системы Р может найдено приближенно из выражения ЦР|а и >/?»■

Замечание 1. Непосредственное применение условий теоремы 2 при решении задачи синтеза приводит к возникновению матричных неравенств с нелиней-ностями, решение которых является вычислительно сложной процедурой. Во второй главе диссертационной работы с помощью матричных преобразований

и применения леммы о проекции неравенство (14) сведено к более удобной форме (?лл дальнейшего решения задачи синтеза. В виду ограниченности объема автореферата модифицированная частотная теорема не приведена.

В третьей главе решена задача построения субоптимальпого аиизотропий-ного управления в форме обратной связи по состоянию и по вектору полной информации для дискретных дескрипторных систем.

Рассмотрим дискретную дескрипторную систему следующего вида:

x{k) е R" — состояние системы. w{k) £ Kmi — случайная стационарная последовательность с ограниченным уровнем средней анизотропии A(W) ^ а, а ^ О, z(k) £ Жр — управляемый выход, и(к) е И"12 — управление, Е, А, В2, С, Di, D2 постоянные матрицы соответствующих размерностей, rankЕ = г < п.

Предполагается также, что

1. для системы (18)—(19) выполнено ранговое условие

2. система (18)—(19) является причинно управляемой и стабилизируемой.

Синтез субоптимального анизотропийного регулятора по состоянию

Задача 2. Требуется найти такой закон управления в форме обратной связи по состоянию = F2x(k) (state-feedback control), при котором замкнутая

система

является причинной и устойчивой, а ее анизотропийная норма ограничена заданной величиной 7 > 0.

Сформулируем достаточные условия решения задачи синтеза субоптимального регулятора по состоянию.

Будем считать, что £>2 = 0. Система (18) является регулярной, поэтому существуют две матрицы <Эг и Яг, преобразующие систему (18)-(19) к эквивалентной форме вида (3)-(5). Введем следующие обозначения:

Ex{k + 1) = Ах(к) + Bxw(k) + В2и(к), z{k) = Cx(k) + Diw(k) + D2u(k),

(18) (19)

Ех(к+1) = (A+B2F2)x(k) + Biw(k), z(k) = (С + D2F2)x(k) + D^k)

(20) (21)

Ed = Q2ER2, Ad = Q2AR2, Bld = Q2Bi,

Вм = Q2B2, Cd = С'Л2, Dld = Di.

Теорема 3. (Синтез субоптималъного регулятора по состоянию с помощью выпуклой оптимизации). Пусть для систелш (18)—(19) выполнено дополнительное ранговое условие rank Ет = rank Cf7j. Для заданного скаляра 7 > 0 и ограниченного уровня средней анизотропии возмущающего воздействия A(IU) ^ а (а ^ 0) замкнутая система вида (20)-(21) является допустимой, и выполнено неравенство ЦР^Ц^ < 7, если существуют матрицы L 6 1ГХГ, L > 0, Q 6 Rrxr, R б Rr*(n-r), S 6 P>-r)x(Tl-r>, Z g R"™1, Ф e R1"1*"11, а также скаляр rj > 72 и достаточно большой скаляр а > 0, для которых справедливы неравенства

"Лп ЛТ лт

Л41

Л21 Л22 Aj2 Л21

Л31 Л32 -r/i, Л31

Л41 ДТ л£ -(Q + QT)

. о Л52 Л53 О

О

Л&

о

1гп\

<0,

(22)

7?- (e-^detW)1/"11 <72,

Ф - >)/„„ + BjdBBld (Вы + rtQnBw)T (Did + aCdTlBld) -7р

<0,

(23)

(24)

где

Ли = --Q - -Q , Л21 = AdrT + BijZ П , Лз1 = CdrT, Л41 = L - Q - -QT,

л22 = ¿/ij + AdLT + фzeld + вигтФт - e, л32 = cdnT, л52 = + aDjdUAj + aB^ZBjd, Л53 = Вы + «rt^nC'J.

, П = [/r 0], Г = [Q Й] ■

При этом в =

L 0 , П = 0 0 , ф = 0 0

0 0 0 S 0 /„-г

Коэффициент обратной связи может быть найден из выражения

А = г1

<?"т О

-S-TBTQ-T S"T

я,-1-

(25)

Сформулируем теперь в виде теоремы условия построения субоптимального анизотропийного управления по состоянию для дескрипторной системы (18)-(19), если В2 ф 0.

Теорема 4. (Синтез субоптимального регулятора по состоянию в терминах уравнений Риккати). Пусть для системы (18)—(19) начальные условия удовлетворяют ограничению Ех{0) = 0. Тогда замкнутая система вида (20)-(21) является допустимой, и выполнено неравенство И-Р^Ио ^ 7: если существует матрица Ф = Фт £ К"*" и положительное число г] > 72, удовлетворяющие следующим условиям:

ЕТФЕ ^ 0, В^ФВ1+О^П1-у'21т1 <0, В%ФВ2 + о%п2 > 0, -11п (ае1 ((г, - 72) (г,7т1 - ВТФВ! - Д^О"1)) > а, ЕТФЕ = АТФА + СТС-- (АТФВ + 5) (в'фЯ + я) ~ (Т?ФА + ,

где В = [вх В2] , S = [cT£>i CTD2] , R =

DjDx-vImi DjD2 DjDl DjD2

Коэффициент обратной связи no состоянию может быть найден из выражения

F2 = - (В2ФВ2 + DjD2)(В?ФА + DjC) . (26)

Синтез субоптималыюго а1шзотропийиого регулятора по вектору полной информации

Задача 3. Для системы (18)-(19) и заданного уровня средней анизотропии входного воздействия а ^ 0 требуется найти такой закон управления по вектору полной информации вида upi(k) = Fiw(k) + F2x(k) (full information control), при котором замкнутая система Р^1

Ex(k + 1) = (A + B2F2)x{k) + (Bi + B2Fi)w(k), (27)

z(k) = (C + D2F2)x(k) + (D1 + B2Fl)w{k) (28)

является причинной и устойчивой, а ее анизотропийная норма ограничена заданной величиной 7 > 0, т.е. i ^ 7-

Теорема 5. Пусть для дескрипторной системы (18)—{19) начальные условия удовлетворяют ограничению Ех{0) = 0. Тогда замкнутая система Р^1 вида (27)-{28) является допустимой, и выполнено неравенство ^ 7, если существует матрица Ф = Фт € Rnxn и положительное число -q > 72,

удовлетворяющие следующим условиям:

ЕТФЕ ^ О, М2 = В£ФВ, 4- о]о2 > О, м3 = вJФBl + в1ог - у-1т, - ЛгТЛ^1Лг < О, -£1п<1е1 ((т? - 72К-ЛАГ1) ^ а, ЕТФЕ = ЛТФЛ + СТС--(ЛТФВ + 5)(ВТФВ + Д)-1(ВТФЛ + 5Т),

Коэффициенты обратной связи могут быть найдены из выражений

В четвертой главе аппарат анизотропийного анализа для дескрипторных систем расширен па класс иецентрировапных входных последовательностей. Приведены определения основных понятий анизотропийного анализа: анизотропии случайного вектора, средней анизотропии стационарной гауссовской последовательности с ненулевым математическим ожиданием, которая генерируется из гауссовского белого шума с помощью формирующего фильтра в де-скрнпторной форме, и анизотропийпой нормы дескрипторной системы с пецен-трированным входным воздействием. На основе определения аиизотропийной нормы разработай алгоритм ее вычисления в частотной области.

Сформулированы условия ограниченности анизотропийпой нормы дескрипторной системы с нецентрированным входпым сигналом с использованием техники уравнений Риккати и ЛМН. Приведен алгоритм вычисления анизотропийпой нормы в пространстве состояний методами выпуклой оптимизации.

где

= -(В?ФВ2 + + ¿>1),

= -(В?ФВ2 + В^ВгГЧВ^ФЛ + Б^С).

Анизотропия случайного гауссовского вектора с ненулевым средним Пусть VI - т-мерный гауссовский вектор с ненулевым средним V и ковариационной матрицей 5, плотность распределения вероятности которой задана выражением

Их) = ((27Г)т|5|)-1/2е-5(1-")Т5",<1-'/), I б Мт.

Анизотропия случайного вектора ш равна А(гг) = — 5 Ь с5еЬ '

Средняя анизотропия нецентрированной последовательности гауссов-ских случайных векторов

Предположим, что последовательность IV = {«)(/;)}*;5=0 сгенерирована из гауссовского белого шума V = {ч(£)}/ь>о с помощью допустимого формирующего фильтра б

Едх(к +1) = Адх{к) + Вд{у{к) + ^), (29)

ю(к) = Сдх(к) + Пд(к(к) + />.), (30)

где Ед 6 й"1*"1, Ад 6 1Г'ХП\ Вд 6 Сд £ К"1*"', Од 6 Ктхт. Кро-

ме того, скЦД,) ф 0, гапк Ед = п < щ и |/х| < оо. Связь между средней анизотропией А (И') последовательности XV и представлением в пространстве состояний (29)—(30) формирующего фильтра дает следующая теорема.

Теорема 6. (Вычисление средней анизотропии нецентрированной последовательности, генерируемой формирующим фильтром в дескрип-торной форме). Для допустимого формирующего фильтра С вида (29)-(30) средняя анизотропия случайной последовательности IV определена как

где 2 и 3 связаны с решениями уравнений Ляпунова и Риккати Р и Я посредством формул

Е = СРСТ + ВВТ, Р = АРА^ + ВВТ,

В = СЯСТ, Я = ЛЯЛТ-Л(Е + Н)-1ЛГ,

А = В5т + А(Р+К)Ст.

Матрицы

А = Ап-А12А22А21, В = В1 - А12А22В2, 1С

д = С\-С2А^Л21, D = Dg — C2A22B2 определены -через матрацы Aij, В;, С; (i.j = 1,2} второй эквивалентной формы системы (29)-(30), а вектор Л4 опреде.гяется выражением

M = (S + c(/nx„-^)-1B)/i.

Анизотропийная норма дескрипторной системы при нецентрирооан-ных входных возмущениях

Пусть на вход системы (9)—(10) подается стационарная гауссовская последовательность W = {tu(i:)}jtjto m-мерных случайных векторов с ограниченным уровнем средней анизотропии А(И/) iC о и известным средним Ем^ = М, |М| < оо.

Анизотропийная норма системы Р иида (9) (10) определена как

GSG. GeG. у ||G|]£ + \MY

где Q(P, G) - среднеквадратичный коэффициент усиления (СККУ) системы Р, V = Р(1) = D + С(Е — ,4)_1В, а множество G„ определено выражением (8).

Задача 4. Пусть для системы Р, заданной в пространстве состояний уравнениями (9)-(10), выполнено ранговое условие (11). Для системы Р с нецентри-рованным входным сигналом W -- {t«(fc)}fcj:0> генерируемым формирующим фильтром G вида (29)-(30) из гауссовского белого шума, требуется разработать алгоритм вычисления анизотропийной нормы системы Р в частотной области.

Следующая теорема дает решение поставленной задачи.Следующая теорема дает ответ на поставленную задачу.

Теорема 7. (Вычисление анизотропийной нормы дескрипторной системы с нецентрированным входным сигналом в частотной области). Пусть W - стационарная последовательность т-мерных гауссовских векторов с ненулевъш средним, сгенерированная допустимым формирующим фильтром G, со средней анизотропией A(VV) Sj а и математическим ожиданием EuJoo = М. Тогда анизотропийная норма дескрипторной системы (9)-(10), на вход которой поступает сигнал W, может быть вычислена в частотной области по формуле

|P|e= sup {Щя) | A(g) а}, «eMPUJ?)

где

А{<1) = у (Ь (ф(в) + ¿|М|а) - *(?)) , Щя) ^

Ш ~ 1 + <Ж<?) + '

J 1пс1еЬ8((/, о;)<&<;,

8(?,Ы) = (/„-!АНГ11 де[0;||Р||-2). Здесь Л(ш) = Р"(ш)Р(ы), Р(ы) = Ишг-и Р(ге>'ш), аР = Р( 1).

,-1

Кроме того,

Замечание 2. Функции Д(<7) «-ЛГ(д), являющиеся аналогами средней анизотропии и СККУ системы в частотной области, в общем случае немонотон-

Более того, ограничение А(д) ^ а задает выпуклое множество.

Задача 5. Пусть для дескрипторной системы Р, заданной в пространстве состояний уравнениями (9)—(10), выполнено ранговое условие (11). Для этой системы с нецентрированным внешним возмущением, генерируемым формирующим фильтром Д (29)-(30), требуется получить условия ограниченности анизотропийной нормы заданным числом -у > 0. На базе полученных результатов разработать алгоритм вычисления анизотропийной нормы системы Р в пространстве состояний.

Теорема 8. (Анчзотропийная частотная теорема для нецентриро-ванных сходных сигналов в терми1шх уравнений Риккати). Пусть Р 6 ■Н00рхт - допустимая дескрипторная система с реализацией н пространстве состояний (9)—{10), а поступающее на вход Р нецентрированное внешнее возмущение XV = имеет ограниченную среднюю анизотропию А(И') ^ а, причем известны значения нормы математического ожидания вектора последовательности на стационарном режиме \М\ и "Н^ -норма формирующего фильтра ||С||2, т.е. можно считать выполненным условие

ны, но при выполнении условия ЦбЦ2 + |-М|2 = 1 они становятся монотонно возрастающими и принимают вид

цс!|2 + |л<|2 = 1.

Тогда анизотропийная норма системы ограничена сверху пороговым значением 7 > О, т.е. ||[Р|а ^ 7, если существует такое число

? 6 [шах {0,91} , тт {?2, ЦРЦ^}) . где 41 = , 92 = чт° неравенство

(1 - \М\2 + Я \РМ\2 - 972)~' е" »

выполнено для матрицыВ — (/т — ВТЯВ — дВТ£)) \ соответствующей стабилизирующему решению Я = ЯТобобщенного алгебраического уравнения Рик-кати

ЕТПЕ = АТПЛ + ЧСТС + ЬТБ'1Ь, Ь = В(ВГПА + д£>ТС), причем £ТЯ£ ^ О.

Теорема 9. (Анизотропийная частотная теорема для нецентриро-ванных входных сигналов в терминах ЛМН). Пусть Р е Ноорхт -допустимая дескрипторная система с реализацией в пространстве состояний (9)-(10), где поступающее на вход нецентрированное внешнее возмущение IV = имеет ограниченную среднюю анизотропию А(IV) ^ а, причем известны значения \М\ и ||С||2, т.е. выполнено условие

\\с\\22 + \М\2 = 1.

Тогда анизотропийная норма системы ограничена сверху пороговым значением 7 > 0, т.е. ЦРЩд < 7, если существует пара (г], Ф), состоящая из матрицы Ф = Фт, удовлетворяющей ЛМН

"ЛТФЛ-£ТФ£ + С,ТС ЛТФВ + СТС 1

ВТФА + Б1 С В^ФВ + О^О-пи < '

и параметра

для которого справедливо неравенство

г) (1 - |Л1|2) + |РМ12 - е~™ ае1 (г,1т - ВТФВ - Г>ТД) " < 72, а также Е^-ФЕ ^ 0.

Вычисление анизотропийной нормы дескрипторной системы с нецен-трированпым возмущением

Ограниченна теоремы 9, которым должна удовлетворять пара (»),Ф), имеют вид линейных матричных неравенств. Значит, возможпо вычисление анизотропийной нормы линейной системы с нецентрированным внешним возмущением методом выпуклой оптимизации. А именно, анизотропийная норма системы Р может быть приближенно вычислена как ||Р|0 ~ где есть решение следующей задачи выпуклой оптимизации: = н^ £ па множестве {т/, Ф, £ = 72. Полученный метод вычисления анизотропийной нормы обладает большей вычислительной простотой по сравнению с методами, решающими перекрестно связапные уравнение Риккати и неравенство специального вида па основе метода гомотопии.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Сформулируем основные выводы и результаты данной диссертационной работы.

1. Получены условия ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы с цептрироваиным входным воздействием. Эти условия сформулированы в форме анизотропийных частотных теорем. Проверка ограниченности анизотропийной нормы сводится к нахождению допустимого решения алгебраического уравнения Риккати (или ЛМН), удовлетворяющего неравенству специального вида. Полученные результаты применимы для вычисления анизотропийной нормы в пространстве состояний с наперед задашюй точностью и для решения задачи синтеза субоптимальпого регулятора.

2. Решена задача синтеза субоптимальпого анизотропийиого регулятора по состоянию и вектору полной ипформации в классе линейных дискретных дескрипторных систем. Задача построения требуемого закона управлепия сводится к решению обобщенного алгебраического уравнения Риккати (или ЛМН) и неравенства специального вида, гарантирующего заданный уровень средней анизотропии входной последовательности. В отличие от обыкновенных систем, в случае дескрипторных прямое использование условий частотной теоремы в терминах ЛМН при решении задачи синтеза невозможно: из-за наличия дополнительных алгебраических связей линейное

матричное неравенство трансформируется в нелинейное, численное решение которого является довольно трудоемким.

3. Обобщена теория аннзотропийного анализа для обыкновенных систем с нецентрированными возмущениями на случай линейных дискретных де-скрипторных систем. Получена формула вычисления средней анизотропии иецеитрированной гауссовской последовательности в пространстве состояний с использованием техники приведения дескрипторной системы ко второй эквивалентной форме. Показано, что в общем случае пецентриро-ванного входного сигнала функции, задающие СККУ системы и среднюю анизотропию сигнала в частотной области, становятся немонотонными.

4. При дополнительных ограничениях на TÎ2 -норму формирующего фильтра и математическое ожидание входной последовательности функции СККУ и средней анизотропии сохраняют монотонность. Для такого случая были получены условия ограниченности аиизотропийной нормы в пространстве состояний и разработан алгоритм вычисления анизотропийной нормы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Андрианова О.Г., Курдюков А.П. О некоторых подходах теории инвариантности к системам управлении. - М.: ИПУ РАН, 2015. - 152 с. ISBN 978-5-91450-165-2.

2. Андрианова О.Г., Белов A.A., Курдюков А.П. Условия ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2015. № 1. С. 29-40.

3. Андрианова О.Г. On Some Anisotropy-Basod Analysis Problems for Linear Discrete-Time Descriptor Systems witli Nonzero-Mean Input Signals // "Наука и образование": электронное научное издание. 2014. № 4. С. 160-174. |Электронный ресурс]. DOI: 10.7463/0414.0704850. URL: http://teclmomag.bmstu.ru/doc/704850.html (дата обр.: 07.03.2015).

4. Andrianova О., Belov A. Anisotropy-based bounded real lemma for linear discrete-time descriptor systems // Proc. 2013 International Conference on Process Control, 2013. P. 57-62.

5. Belov A., Andrianova O. Computation of anisotropic norm for descriptor systems using convex optimization // Proc. 2013 International Conference on Process Control, 2013. P. 173-178.

6. Andrianova 0-, Kurdyukov A., Belov A., Kustov A. Anisotropy-based analysis for descriptor systems with nonzero-mean input signals // Proc. 2014 European Control Conference. 2014. P. 430-435.

7. Andrianova 0. On a State Feedback Anisotropy-based Control Problem for Linear Discrete-time Descriptor Systems // Proc. 15th International Carpathian Control Conference, 2014. P. 1-5. IEEE Catalog Number: CFP1442I^CDR.

8. Андрианова О.Г. Анизотропнйная частотная теорема для дескрипторных систем // Материалы XV конференции молодых ученых "Навигация и управление движением". - СПб.: Изд-во ГНЦ РФ ОАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор", 2013. С. 344-349.

9. Андрианова О.Г., Белов A.A. Алгоритм вычисления анизотропийной нормы дескрипторной системы на основе частотной теоремы // Материалы X Всероссийской школы-конференции молодых ученых "Управление большими системами". Уфа: Изд-во УГАТУ, 2013. Т. 1. С. 19 23.

10. Андрианова О.Г. Синтез субоптималыгого анизотропийного регулятора для дескрипторных систем в терминах уравнений Риккати // Материалы XI Всероссийской школы-конференции молодых ученых "Управление большими системами". - Арзамас, 2014. С. 20-32.

11. Белов A.A., Андрианова О.Г. Анизотропийный анализ для дескрипторпых систем с использованием ЛМН // Материалы XI Всероссийской школы-конференции молодых ученых "Управление большими системами". — Арзамас, 2014. С. 33-45.

Личный вклад соискателя в публикациях. В публикациях, выполненных в соавторстве: в [1| автором проведен подбор и анализ существующих подходов теории подавления влияния внешних возмущений к решению задач управления; в [2] доказаны условия анизотропийной частотной теоремы для дескрипторных систем в терминах ураввенай Риккати; в [4] составлен и проанализировав чпелеаяый пример применения условий ограниченности анизотропийной нормы; в [5] условия ограниченности анизотропийной нормы переписаны в терминах ЛМН; в [6| получена формула вычисления сродней анизотропии нецентрировааной последовательности гауссоиских векторов; в [9| разработан алгоритм вычисления анизотропийной нормы на основе частотной теоремы; в [11| модифицированы условия ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы для дальнейшего решения задачи синтеза.

Подписано в печать:

17.04.2015

Заказ № 10708 Тираж - 120 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 wvvw.autoreferat.ru