автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Задачи анализа и синтеза в анизотропийной теории управления при ненулевом математическом ожидании внешнего возмущения

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ им. В.А. ТРАПЕЗНИКОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

УДК 519.715 + 681.514 ББК 22.1

КУСТОВ Аркадий Юрьевич

ЗАДАЧИ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА В АНИЗОТРОПИЙНОЙ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ НЕНУЛЕВОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОЖИДАНИИ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2014

1 5 ! Н

005548163

005548163

Работа выполнена в Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор технических наук Курдюков А.П.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук доцент кафедры "Теория вероятностей" МАИ Семенихин Константин Владимирович

доктор физико-математических наук

профессор кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э.Баумана Ткачев Сергей Борисович

Ведущая организация:

ФГВУН Институт системного анализа РАН

Защита диссертации состоится С£ 2014 года в /^часов<Й7минут на заседании диссертационного совета Д 002.226.02 при Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН.

Автореферат разослан <М> £>4 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.226.02 кандидат физико-математических наук

А.А. Галяев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена задачам анизотропийного анализа - вычислению средней анизотропии последовательности и анизотропийной нормы системы - и задаче синтеза анизотропийных регуляторов для случая ненулевых математических ожиданий случайных векторов внешнего возмущения.

Актуальность темы. Реальные динамические системы функционируют в условиях различных возмущений. Одной из основных задач при построении управления для динамических систем в присутствии внешнего или параметрического возмущений является обеспечение заданных характеристик системы или понижение влияния возмущений на определенные характеристики системы. Задачи подавления влияния внешнего возмущения восходят к работам Г.В. Щипанова по теории инвариантности и в настоящее время решаются в рамках различных теорий в зависимости от модели объекта и класса возмущений. Важным классом систем с управлением являются системы со стохастическими возмущепиями.

Одним из ярких результатов 60-х годов XX века в теории автоматического управления явилась теория построения регуляторов для линейных систем при наличии квадратичного критерия качества (P.E. Кал-ман, A.M. Летов), обеспечившая мощный инструмент для синтеза многомерных систем управления. LQG-задача - это задача построения управления для объекта с линейной динамикой, возбужденной аддитивным гауссовским белым шумом, и критерием качества, представимым б виде интеграла от положительно-полуопределенной квадратичной формы. В реальных задачах iQG-регулятор работал достаточно хорошо, если аддитивная помеха была гауссовским белым шумом. Однако, если у входного возмущения была достаточно большая ковариация, системы с LQG-регуляторами не удовлетворяли требованиям, предъявляемым к замкнутыми этими регуляторами системам управления.

Создаш1ая в 80-х годах теория Ноо-субоптимального управления, минимизирующая влияние квадратично интегрируемого внешнего возмущения, базировалась на решении уравнений Риккати, содержащих некоторый параметр. Причем эти уравнения были похожи на уравнения в теории синтеза линейных регуляторов для линейных систем с квадратичным критерием качества. В случая, когда значение этого параметра стре-

милось к бесконечности, уравнения для синтеза "Ню-субоптимального регулятора превращались в уравнения Риккати для LQG-задачи. Однако ■Hoo-оптимальные регуляторы, являясь минимаксными, то есть рассчитанными на наихудший случай входных возмущений, имели свои естественные недостатки - для реализации минимума критерия качества величина управления порой становилась очень большой и такие системы были трудно реализуемы. Системы с Tioo-критерием качества являются очень консервативными. Сходство алгоритмов решения описанных выше задач приводило многих ученых к мысли, что должен иметь место подход к управлению динамическими системами со стохастическими возмущениями, в котором задачи И2- и Hoo-оптимизации были бы частными случаями. Такая теория была создана. Авторы (Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B.) назвали ее стохастической теорией анизо-тропийного робастного управления. Анизотропийная теория управления существенным образом опирается на теоретико-информационное понятие относительной энтропии при описании неопределенности входных возмущений.

Другой подход к робастному управлению в стохастических системах, использующих понятие относительной энтропии для описания стохастической неопределенности можно найти в работах Петерсена, Угринов-ского и других, где важную роль играет связь между относительной энтропией и свойствами робастности регуляторов, минимизирующих расширенный линейно-квадратичный функционал. Хотя идеи ограничивающих энтропию индуцированных норм и ассоциированного с этим мини-макса находят дальнейшее развитие в литературе по управлению, анизотропийная теория широко не известна.

В классических постановках задач анизотропийных анализа и синтеза в качестве внешних входных возмущений рассматриваются стационарные эргодические последовательности гауссовских случайных векторов'с нулевыми математическими ожиданиями. Равенство нулю математических ожиданий векторов означает, что средняя на бесконечном интервале ошибка, обусловленная наличием такого рода возмущений, зависит только от ковариационных матриц векторов последовательности. В качестве наглядного примера выступает уже упоминавшаяся теория Н2 / С-управления, где внешнее возмущение - это гауссовский белый шум. Однако в реальных ситуациях, при различных сбоях в оборудовании или наличии нетривиального внешнего возмущения, средние значе-

ния векторов возмущения отличны от нуля. В связи с этим в рамках ани-зотропийной теории имеет смысл в качестве внешнего возмущения рассматривать стационарные эргодические последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми средними. Таким образом, при рассмотрении в анизотропийной теории случая ненулевого математического ожидания у векторов входной последовательности фактически происходит расширение границ ее применения.

Цель работы. Целями диссертационной работы являются решение задач анизотропийного анализа и разработка метода синтеза анизотро-пийных регуляторов для линейных дискретных стационарных систем с внешним возмущением в виде стационарной эргодической последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями.

Методы исследования. В работе применяются математические методы теории управления, линейной алгебры, функционального анализа, теории функций комплексного переменного и теории вероятностей.

Научная новизна. Обобщены понятие средней анизотропии на случай ненулевых математических ожиданий векторов последовательности и понятие анизотропийной нормы системы при дашгом внешнем возмущении. Получены формулы вычисления средней анизотропии и анизотропийной нормы при различной априорной информации о классе входных возмущений. Разработан метод синтеза формирующего фильтра, генерирующего окрашенную последовательность по заданному уровню средней анизотропии. Разработан метод синтеза анизотропийных регуляторов, обеспечивающих заданное качество замкнутой системы при ограничении на среднюю анизотропию входной последовательности при ненулевом математическом ожидании сигнала на входе системы.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической тео-

рии управления линейными объектами, на вход которых поступает внешнее возмущение в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями, и позволяют осуществлять синтез линейных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности, чем широко использующиеся йоо-оптимальные регуляторы, и применимых для более широкого класса возмущений, чем Н? /Ь<3(?-регуляторы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обобщение понятия средней анизотропии последовательности на класс последовательностей гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями;

2. Обобщение понятия анизотропийной нормы системы с внешпим возмущением в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями;

3. Формула вычисления средней анизотропии последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями в пространстве состояния;

4. Формулы вычисления анизотропийной нормы системы с внешним возмущением в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями в частотной области и пространстве состояний;

5. Метод построения формирующих фильтров, на выходе которых получается случайных сигнал с заданным уровнем средней анизотропии;

6. Метод построения обеспечивающих заданное качество анизотропий-ных регуляторов для линейной системы с внешним возмущением в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах Лаборатории №7 ИПУ РАН под руководством доктора технических наук Поляка В.Т., на семинаре кафедры

системного анализа ВМК МГУ под руководством академика Куржан-ского A.B., на семинаре лаборатории механики управляемых систем и лаборатории робототехники и механики ИПМех РАН под руководством академика Черноусько Ф.Л., на семинаре кафедры теории вероятностей МАИ под руководством доктора технических наук Кибзуна А.И., на III-V Всероссийских традиционных молодежных летних школах "Управление, информация и оптимизация" (ТМШ 2011-2013), на конференции "Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах" (УТЭОСС-2012, г. Санкт-Петербург), на XV конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (КМУ-2013, г. Санкт-Петербург), а также на следующих зарубежных конференциях: 11th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP, Caen, Prance, 2013), 19th International Conference on Process Control (Strbske' pleso, High Tatras, Slovak Republic, 2013).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в одной монографии, двух статьях в российских журналах из перечня ВАК, в трудах двух международных конференций, двух тезисах докладов на Всероссийских конференциях.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 109 страницах, содержит 1 таблицу и 20 иллюстраций. Библиография включает 39 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и значимость исследуемой проблематики, приведен обзор литературы, сформулированы цели и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, а также приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

Первая глава посвящена изложению теории анизотропийного анализа линейных дискретных стационарных систем управления с внешним возмущением в виде стационарной эргодической последовательности гауссовских случайных векторов с нулевыми математическими ожиданиями. Эти результаты известны, однако излагаются с пояснениями и с ранее нигде не приведенными доказательствами, упрощающими понимание дальнейшего изложения.

Средняя анизотропия стационарной эргодической последовательности W = {tUfcJfeLo гауссовских случайных векторов с нулевыми математическими ожиданиями, сгенерированной линейным формирующим фильтром с матричной передаточной функцией G(z) 6 И™ х m из гауссовского белого шума V = с нулевыми математическими ожиданиями и

единичными ковариационными матрицами, определяется формулой

— 1Г

где S(w) = G*(cj)G(u>). Средняя анизотропия (1) последовательности W зависит только от спектральной плотности S{w) формирующего фильтра G, поэтому наряду с обозначением A(W) будет использоваться A(G).

Анизотропийная норма линейной дискретной стационарной системы с матричной передаточной функцией F(z) € имеющей т-мерный

вход W и р-мерный выход Z, определяется для а ^ 0 как

IIFJ - ,„п MHglElV/2- -.,m l|FG|lz (Я

SUP 1 Д пш1,2 I ~ SUP llrill ■ I2)

где _

G„ = {G £ M?*"1 : A(G) < a}

- множество формирующих фильтров, генерирующих из гауссовского белого шума V с нулевыми математическим ожиданиями векторов и скалярными ковариационными матрицами последовательности IV с ограниченной сверху числом а сродней анизотропией.

Средняя анизотропия последовательности IV, сгенерированной формирующим фильтром с представлением

г I х°к+1 = Ахдк + Вук, . .

\ юк = Сх°к + Бук,

вычисляется по формуле

где матрицы £ = У1Т У 0 и 2 = Нт (Е + Н!-0) выражаются с помощью формул

Е = СРСТ + £ШТ, 2 = СЯС*Т через решение Р — Рт >- 0 уравнения Ляпунова

Р = АРАТ + ВВТ и решение Я = Г1Т уравнения Риккати

Д = АЯАТ-Л(Е + НГ1ЛТ, Л = АИСТ + А{Р + Я)СТ.

Анизотропийная норма линейной дискретной стационарной системы с матричной передаточной функцией F(z) е вычисляется в частот-

ной области по правилу

та=К(Л-\а))

с использованием функций А„(д) и Л/"<,(д), определенных посредством выражений

Аа(д) = у(Ь(Ф(9))-Ф(9)),

1/2

где

7Г

— 7Г 7Г

§(д,ш) = (/т — дЛ(ш))""1, Л(ш) = Р*(и>)Р(ш), а параметр д принадлежит интервалу [0;

Для линейной дискретной стационарной системы с представлением

I хк+1 — \ *к =

= Ас&к + Вс1шк ,

(4)

на вход которой подается внешнее возмущение, сгенерированное фильтром (3) при условиях А = АС1 + ВаС и В = Вс[0 ( т.е. при выполнении х9к = х1'), функции Ао(д) и Мо(<]) явно задаются следующими выражениями:

Ло (5) =--1п det

1, , . (тРРт I 1г(Е)

где Е = СРСТ + £ШТ, а матрица Р = Рт >- 0 есть грамиан управляемости, удовлетворяющий уравнению Ляпунова

Р = {Ас1 + Вс1С)Р{Ас1 + Вс1С)т + Вс1В{Вс10)т

с матрицами С и I), равными

С = 0£>т(Д?(ЯАсг + д£>с1Сс!),

в = (1т-в1пвс1-чвЪос1у11\

где матрица Я = Дт есть решение уравнения Риккати

Д = + дС^Са + Сг(ЛОт)-1С,

а параметр <7 принадлежит интервалу [0; Н-РыИ^2).

Вторая глава диссертационной работы посвящена методам синтеза оптимального и субоптималыюго анизотропийиых регуляторов для линейных систем с внешними возмущениями в виде окрашенных последовательностей гауссовских случайных векторов с нулевыми математическими ожиданиями. Задача нахождения оптимального анизотропийного регулятора сводится к решению системы матричных уравнений, состоящей из трех уравнений Риккати (определяющих "наихудший" формирующий фильтр, оптимальный оцениватель и оптимальный регулятор), одного уравнения Ляпунова (для ковариационной матрицы вектора внешних возмущений на стационарном режиме) и уравнения специального вида (для средней анизотропии входной последовательности). Задача нахождения субоптималыюго анизотропийного регулятора состоит в решении системы линейных матричных неравенств, обеспечивающих выполнение неравенства ^(АГ)!^ ^ 7. Приведенные методы могут быть использованы при решении задачи синтеза анизотропийного регулятора для линейной системы со входом в виде окрашенной последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями.

В третьей главе приведены решения двух задач анизотропийного анализа - вычисление средней анизотропии последовательности и ани-зотропийной нормы системы - в случае, когда внешним возмущением является стационарная эргодическая последовательность гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями.

Вычисление средней анизотропии последовательности

Рассмотрим последовательность W = {tufc}£L0, генерируемую из гаус-совского белого шума {vk + ß}kLo, где Vk ~ ßf(0,Im), формирующим фильтром

i 4+1 = Ax{ + B{vk + p.), , ,

I wk = Cxgk + D{vk+ß), W

где p(A) = max{|Ai(yl)|} < 1, det(D) ф О, Ы < oo.

Теорема 1 (вычисление средней анизотропии последовательности случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями). Средняя анизотропия последовательности W, сгенерированной формирующим фильтром G, допускающим представление (5) с

асимптотически устойчивой матрицей А, невырожденной матрицей D и ограниченным по норме вектором ß, вычисляется по правилу

где матрицы S = £т V 0 и H = Нт (£ 4- H >- 0) связаны выражениями

S = СРСТ + DDT, H = CRCT

с решением Р = Рт >- О уравнения Ляпунова

Р = АРАТ + ВВТ

и решением R = RT уравнения Риккатпи

R = ARAT — Л(Е + Е)-1ЛТ, Л = ARCT + А(Р + R)CT,

а вектор M равен

M = lim E[wk] = (£> + C(I - A)~1B)ß.

Теорема 2. Средняя анизотропия (б) допускает представление

где А0(1У) - средняя анизотропия последовательности {т^ — векторы которой имеют нулевое математическое ожидание, а [¡С?||1 - У.2-Норма матричной передаточной функции = £> + С(г~11 — А)~1В, г еС, \г\ < 1.

Вычисление анизотропийной нормы системы

Исходное определение (2) анизотропийной нормы в случае ненулевых математических ожиданий векторов внешнего возмущения требует изменений. Это нужно сделать для того, чтобы избежать получения неопределенности типа [Ц] в выражении Е •

Определение 1. Анизотропийной нормой линейной дискретной стационарной системы К с выходом 7> — и входом ТУ = будем называть число

|*1в= _зир (ЗР, \¥),

где

- среднеквадратичный коэффициент усиления, а |[-||р - стохастическая мощностная норма:

1/2

||х|| " 121

/ N-1 XV-

\ О /

Для системы, записанной в виде (4), где последовательность генерируется фильтром (5), анизотропийная норма может быть переписана в виде

= вир ,11^^111 + 1^1 (7)

где

ТМ = Ига Е[гк] = (Ос1 + Сы(/ - А^У1 Вс1)М .

юа

В случае М = 0 анизотропийная норма (7) принимает вид (2). Введем следующие функции:

7Г

= ~ I Ьт(§(д,Ш))<1и,

— 7Г И

Щч) = Ь<И8(«,

— 7Г

а« - ? (-ИУ-•«>)■

где q € [0; ||Fci||^2). Следующие теоремы позволяют производить вычисление анизотропийной нормы линейной системы в частотной области и в пространстве состояний как при известном значении 'Нг-нормы фильтра |[G||2, так и при неизвестном.

Теорема 3 (формула для анизотропийной нормы системы в частотной области при известных значениях | и ЦСЦг). Пусть система Fci С устойчива, а ее входом является последователь-

ность гауссовских т-мерных случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями, причем известны норма математического ожидания \М\ — lim |Е[иц]1 и след ковариационной матрицы

fc—ЮО

tr(£) = lim tr(cov(«)^)) = ||G||2 на стационарном режиме. Тогда для

fc—>оо

любого а ^ О верны следующие утверждения:

а) анизотропийная норма |Fc||a может быть выражена через функции Ai(q) и M\(q) следующим образом:

IFcl^MCrt));

б) любой формирующий фильтр G € "H™xrri, который удовлетворяет равенству G*(u>)G(w) — cr(/m — <jiFc*((cj)Fci(w))_1 при выполнении условий а = (1 — |Л1|2)(тФ(д))-1 и q = А{ 1(а), принадлежит семейству наихудших формирующих фильтров.

Теорема 4 (формула для анизотропийной нормы системы в частотной области при известном значении \М\ и неизвестном значении ||G||2). Если в формулировке предыдущей теоремы убрать условие известного следа ковариационной матрицы tr(E) = |[G||2 на стационарном режиме, то анизотропийная норма системы Fci будет вычисляться по правилу

|Fd|e= sup {jV-2(q) \ A2(q) < а} , Qe[o;||Fcill~ )

где функции Ai(q) uAfaiq) определяются как

Я-М) =

2\ V2

яЧя) + £И12

а наихудшему формирующему фильтру будет соответствовать спектральная плотность

5(ы) = <Э»6м = (1т - ЙИ^И)-1.

Теорема 5 (формула для анизотропийной нормы системы в пространстве состояний при известных значениях \М\ и ||С?||2)-Для асимптотически устойчивой системы (4), на вход которой подается возмущение № = с известной нормой \М\ математического ожидания на стационарном режиме и сгенерированное фильтром С с известным значением Н2-нормы ||С||2, функции Ф(д) и явно задаются следующими выражениями:

Лг(о) = -^1пс1е1;(тШЗт) ,

Щя) =

Ф(9) = ¿1г(Е) = 1(1-|Л<|2),

7П ТП

ф(9) = ±-\п

где Е = СРСТ + £>£>г выражается через решение Р = Р У 0 уравнения Ляпунова

Р = (Ас 1 + ВС1С)Р{Ас1 + Вс1С)Т + Вс,0(Вс10)т ,

а матрицы С и О определяются как

С = ОВТ(В^ПАс1+дО^Сс1), В = (1т - В^ДВс! - чВ1ос1)-\

где Я = НТ - решение уравнения Риккати

Л = А^НАЫ + д&Сс1 + Ст(ООтУ1С.

При этом формула для вычисления анизотропийной нормы имеет вид

Теорема 6 (формула для анизотропийной нормы системы в пространстве состояний при известном значении \М. | и неизвестном значении |1G||2). Если в условиях предыдущей теоремы след ковариационной матрицы tr(E) = ||G||2 считать неизвестным, то ани-зотропийная норма системы будет равна

|Fci|e= sup {ЛГ2(9)|Л2(д)<а},

q€[0;||Fc( Кто2)

где функции А2(я) и Niiq) явно задаются выражениями

Мч) =

кгм - ftr(S)-m + g|^|2\1/2

Пример. Пусть задана система вида (4):

0.23596 -0.85556 -0.68156 -0.52481 1.8551

-0.77842 0.0075576 -0.26014 1.1283 -0.2773

1.0996 -0.93759 -0.2288 0.55014 1.0666

-2.0992 0.37147 0.69535 1.0336 0.60107

0.63848 -0.37418 0.87763 0.41979 -0.67402

Построим для этой системы

1) графики функций Лг(<?) и ЛГ2(д) для случая, когда внешнее входное возмущение - последовательность гауссовских случайных векторов с известным математическим ожиданием М. — {—0.7039 0.7103}т;

2) графики функций Лг (д) и Л/г (д) для случая, когда у внешнего входного возмущения известно не только математическое ожидание, но и след ковариационной матрицы на стационарном режиме 1г(Е) = 2.9895.

На рис. 1 зависимость Л/гМг) представлена сплошной кривой. Для сравнения также изображен график функции АС,(Л,) (пунктиром). Как видно из рисунка, функция Л/г (Лг) является неоднозначной, т.е. одному

Рис. 1: Графики функций .Л/гС-Ад) и Л')iДо).

значению Л2 могут соответствовать два значения Л/2. Так, для ограничения A(W) ^ 0.375 среднеквадратичный коэффициент усиления принимает два значения:

Qi(.Fd,W) = 5.7893 при <ц = 0.0043051, Q2(Fci,W) = 6.1937 при 92 = 0.0098226,

где qi и q2 определяют "наихудшие" спектральные плотности. Следовательно, анизотропийная норма системы равна

№10.373 = SUP {МЫ |Л>(д) s; 0.375}

(¡6[0;013385)

= тах{5.7893; 6.1937} = 6.1937,

в то время как

Мо^л^о ^„РС1 (0.375)) = 6.8904.

На рис. 2 представлена зависимость Afi(Ai) (сплошной) в случае известных ||G||| и ■ Очевидно, что отображение Ai (-»■ Л/i однозначно, и никаких проблем с вычислением анизотропийной нормы I-Fell 0.375 в рассматриваемом случае не возникает.

Рис. 2: Графики функций -ЛЛ(ЛI) и Л/о(До).

Четвертая глава работы посвящена разработке метода синтеза ани-зотропийного регулятора для линейной системы с внешним входным воз-мущепием в виде окрашенной последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями.

Задача. Для системы

Хк+1 = АгХк + Впин + В2Пк , гк = Сгхк + изк + Ог2ик . (9)

Ук = СгХк + £>21 гик ,

на вход которой подается возмущение IV = сгенерированное

фильтром (5), построить такой стабилизирующий регулятор

| &+1 =

\ ик =

С^к + бук,

чтобы для замкнутой системы РС1 = К) выполнялось неравенство

1„ <7,

где 7 > О.

В силу того, что из неравенств

A,B,X,Y> О, |<С1) у<с2,

следует

А + Х

—— < max(ci,cj),

справедлива следующая оценка сверху для квадрата шшзотропийной нормы:

IF.I'I - sup +

< SUD \\FclGf2 + \FMf " с: Äs. М + М2

< maxf SUD IjF^cn.lZMl * IIGIIi ' l^l2

где использовано вложение

{G : Ä(G) < а} С {G : Ä0(G) < а} .

Таким образом, в общем случае, при неизвестном значении ||G||2, анизо-тропийная норма

||Fcl|Ia= sup {Щч)\Мч)<*} «e[0;||Fc,||~ )

мажорируется функцией

w)-

Использование мажоранты 7Z(a) для решения задачи синтеза субоптимального регулятора в случае ненулевых математических ожиданий векторов входной последовательности обусловлено следующей логикой: если регулятор Ка есть решение задачи

¡■fella mj.11 при М = 0,

причем выполнено неравенство

i^Lo^w- (10)

то этот регулятор Ка стабилизирует систему (9), и для замкнутой им системы Foi выполнено

С другой стороны, если для регулятора Ка верно, что

то имеет смысл использовать Hœ-регулятор К ос, который минимизирует И со-норму системы Fci и для которого выполнено

i^aJ <7=рыи-

lAI^O

Таким образом, введение мажоранты 71(a) позволяет свести исходную задачу синтеза анизотропийного регулятора к рассмотренной во второй главе задаче синтеза субоптимального анизотропийного регулятора при M = 0, либо к задаче синтеза Woo-регулятора.

Пример. Рассмотрим в качестве системы, замкнутой анизотропий-ным регулятором, систему (8) и построим для нее график мажорирующей функции TZ(a). Отношение \FM\/\M\ равно

И = 6.9766. \М\

Значит, если для заданного уровня а > 0 выполнено неравенство (10), где \J-M\/\M\ = 6.9766, то апизотропийная норма при ненулевом математическом ожидании ЛЛ удовлетворяет соотношению

i^Uo^^Lo-

Для рассматриваемой системы неравенство (10) выполняется при всех а > 0.4094. Выберем а — 0.5, тогда

i-fci |о.51 < ¡^¡„J =^(-4о"1(0.5))=7.15.

IJvf^O 1 /И=0

Рис. 3: Графики функций .Л/г^з)» М0{Л0) и мажорирующей функции Я(а).

На рисунке (3) представлены графики мажорирующей функции 72.(а) и зависимостей АС>(Л,) и Н^Ат)-

В качестве примера в диссертационной работе приведено решение задачи синтеза анизотропийного регулятора для управления высотой и воздушной скоростью самолета на режиме посадки в условиях ветровых возмущений и шума измерений при ненулевых математических ожиданиях случайных векторов. Сравнить результаты работы анизотропийных регуляторов (при М. = $тл.Мфй) с и 'М00-регуляторами можно с помощью таблицы 1.

к2 К0л(М = 0) Коо

0.516 1.147 3.145

Щ-РУНо.т (М=0) 7.862 5.43 5.595

4.48 3.52 3.8

И^Нсо 15.901 10.93 10.889

Табл.1. Результаты моделирования для И-2-, анизотропийного (при ЛЛ = 0) и 'Н00-регуляторов.

Как видно из таблицы, 7-Ь-регулятор хорошо справляется с задачей минимизации функционала качества только в том случае, если входной сигнал - гауссовский белый шум, при котором анизотропийная норма становится ^¿2-нормой замкнутой системы. Ноо-регулятор превосходит остальные по показателям качества только в задаче минимизации Ноо-нормы. Анизотропийный регулятор (при М = 0иа = 0.7) имеет лучшие показатели, чем У.2- и Нос-регуляторы. Более того, при появлении ненулевого математического ожидания он по-прежнему является лучшим. Это свойство может и не сохраняться, но, вообще говоря, "Нг-регулятор и "Ноо-регулятор не гарантируют выполнение неравенств

||Fc,||2<5.43, IIFIU < 5.43 ,

в то время как анизотропийный регулятор гарантирует.

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем основные результаты диссертациошюй работы:

1. Для стационарных эргодических последовательностей гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями приведена формула вычисления средней анизотропии в пространстве состояний. Получена связь средней анизотропии данной последовательности со средней анизотропией последовательности, векторы которой имеют нулевое математическое ожидание.

2. Переопределено понятие анизотропийной нормы линейной дискретной стационарной системы для случая, когда внешнее возмущение - последовательность гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями. Приведены формулы вычисления анизотропийной нормы системы в пространстве состояний и в частотной области как для случая известного значения 7Ь-нормы формирующего фильтра (или следа ковариационной матрицы вектора последовательности на стационарном режиме), так и для случая неизвестного значения.

3. Предложен метод синтеза формирующего фильтра, генерирующего последовательность гауссовских случайных векторов с заданным уровнем средней анизотропии. Рассмотрен как случай нулевых математических ожиданий, так и случай ненулевых.

4. Предложен подход к решению задачи синтеза анизотропийного регулятора для лилейной системы со входом в виде окрашенной последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями. Данный подход эффективен при выполнении некоторых условий на замкнутую регулятором систему и математическое ожидание вектора последовательности на стационарном режиме. При невыполнении этих условий показана целесообразность использования Иоо-регулятора. Предложенный метод продемонстрирован на примере синтеза анизотропийного регулятора для самолета на режиме посадки в условиях ветровых возмущений и шумов измерений.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кустов А.Ю., Курдюков А.П., Начинкина Г.Н. Стохастическая теория анизотропийного робастного управления. М.: ИПУ РАН, 2012. 128 с. ISBN 978-5-91450-127-0.

2. Кустов А.Ю., Курдюков А.П. Синтез формирующего фильтра, обеспечивающего на своем выходе заданный уровень средней анизотропии // Автоматика и телемеханика. 2013. №3. С. 51-66.

3. Кустов А.Ю. Синтез фильтра, формирующего гауссовскую окрашенную последовательность с ненулевым математическим ожиданием, по заданному уровню средней анизотропии // Материалы XV конференции молодых ученых «Навигация и управление движением». ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2013. С. 322-327.

4. Кустов А.Ю. Анизотропийный анализ в случае ненулевого математического ожидания входного возмущения / / Управление большими системами. 2014. №49. С. 5-20.

5. Kurdyukov A., Kustov A., Tchaikovsky М., Karny М. The Concept of Mean Anisotropy of Signals with Nonzero Mean // Proceedings of the 2013 International Conference on Process Control, 2013. P. 37-41.

Личный вклад соискателя в публикациях. В публикациях, выполненных в соавторстве: в [1] и [2] автором был разработан метод синтеза формирующего фильтра при нулевом значении математического ожидания внешнего возмущения; в [5] получены оценки сверху для уровня средней анизотропии при прохождении сигнала через различные типы соединения формирующих фильтров.

Подписано в печать:

21.04.2014

Заказ № 9475 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ им. В.А. ТРАПЕЗНИКОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

УДК 519.715 + 681.514 ББК 22.1

На правах рукописи

КУСТОВ Аркадий Юрьевич

ЗАДАЧИ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА В АНИЗОТРОПИЙНОЙ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ НЕНУЛЕВОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОЖИДАНИИ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление

и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.т.н., профессор Курдюков А.П.

Москва - 2014

Оглавление

Введение 4

1 Основы анизотропийного анализа 11

1.1 Анизотропия случайного вектора................................11

1.2 Средняя анизотропия последовательности

случайных векторов..............................................18

1.2.1 Вычисление средней анизотропии

в пространстве состояний................................21

1.3 Анизотропийная норма линейной системы......................23

1.3.1 Вычисление анизотропийной нормы

в частотной области......................................24

1.3.2 Вычисление анизотропийной нормы

в пространстве состояний................................33

1.4 Выводы к главе 1..................................................35

2 Основы синтеза анизотропийных регуляторов 36

2.1 Постановка задач синтеза анизотропийных регуляторов ... 36

2.2 Решение задачи синтеза оптимального

анизотропийного регулятора....................................38

2.2.1 Седловая точка условия оптимальности................39

2.2.2 "Наихудший" формирующий фильтр....................41

2.2.3 Оптимальный оцениватель ..............................42

2.2.4 Оптимальный регулятор................. 44

2.3 Решение задачи синтеза субоптимального анизотропийного регулятора....................................45

2.4 Выводы к главе 2..................................................48

3 Анизотропийный анализ в случае

ненулевого математического ожидания 49

3.1 Анизотропия случайного вектора

с ненулевым математическим ожиданием......................49

3.2 Средняя анизотропия последовательности случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями ... 53

3.3 Анизотропийная норма линейной системы

в случае ненулевого математического ожидания..............58

3.3.1 Вычисление анизотропийной нормы

в частотной области......................................60

3.3.2 Вычисление анизотропийной нормы

в пространстве состояний................................68

3.4 Синтез формирующего фильтра................................73

3.4.1 Соединения формирующих фильтров..................73

3.4.2 Синтез формирующего фильтра

по заданному уровню средней анизотропии............77

3.5 Выводы к главе 3..................................................89

4 Синтез анизотропийных регуляторов в случае ненулевого математического ожидания 90

4.1 Постановка и решение задачи синтеза..........................90

4.2 Численный пример................................................95

4.3 Выводы к главе 4..................................................102

Заключение 103

Литература 105

Введение

Актуальность темы. Реальные динамические системы функционируют в условиях различных возмущений. Одной из основных задач при построении управления для динамических систем в присутствии внешнего или параметрического возмущений является обеспечение заданных характеристик системы или понижение влияния возмущений на определенные характеристики системы. Задачи подавления влияния внешнего возмущения восходят к работам Г.В. Щипанова по теории инвариантности и в настоящее время решаются в рамках различных теорий в зависимости от модели объекта и класса возмущений. Важным классом систем с управлением являются системы со стохастическими возмущениями.

Одним из ярких результатов 60-х годов XX века в теории автоматического управления явилась теория построения регуляторов для линейных систем при наличии квадратичного критерия качества (P.E. Калман [10,32], A.M. Летов [36-39]), обеспечившая мощный инструмент для синтеза многомерных систем управления. LQG-задача - это задача построения управления для объекта с линейной динамикой, возбужденной аддитивным гауссовским белым шумом, и критерием качества, пред ставимым в виде положительно-полуопределенной квадратичной формы [15]. В реальных задачах Ь^С-регулятор работал достаточно хорошо, если аддитивная помеха была гауссовским белым шумом. Однако, если векторы входного возмущения были сильно коррелированы друг с другом, системы с LQG-регуляторами не удовлетворяли требованиям, предъявляемым к замкнутым этими регуляторами системам управления.

Созданная в 80-х годах теория "Ноо-субоптимального управления, минимизирующая влияние квадратично интегрируемого внешнего возмущения,

базировалась на решении уравнений Риккати, содержащих некоторый параметр. Причем эти уравнения были похожи на уравнения в теории синтеза линейных регуляторов для линейных систем с квадратичным критерием качества [5,6,9,27-30].

В случае, когда значение этого параметра стремилось к бесконечности, уравнения для синтеза T^oo-субоптимального регулятора превращались в уравнения Риккати для LQG-задачи. Однако 'Ноо-оптимальные регуляторы, являясь минимаксными, то есть рассчитанными на наихудший случай входных возмущений, имели свои естественные недостатки - для реализации минимума критерия качества величина управления порой становилась очень большой и такие системы были трудно реализуемы. Регуляторы, минимизирующие Т^оо-критерий качества, являются очень консервативными. Сходство алгоритмов решения описанных выше задач приводило многих ученых к мысли, что должен иметь место подход к управлению динамическими системами со стохастическими возмущениями, в котором задачи 712-и "Hoo-оптимизации были бы частными случаями [31]. К подобным работам можно отнести [11,16,18,19]. Другая теория, обобщающая подходы %2- и "Ноо-управления, была создана Владимировым И.Г., Курдюковым А.П. и Семеновым A.B. и получила название анизотропийная теория стохастического робастного управления. Анизотропийная теория управления существенным образом опирается на теоретико-информационное понятие относительной энтропии при описании неопределенности входных возмущений.

Другой подход к робастному управлению в стохастических системах, использующих понятие относительной энтропии для описания стохастической неопределенности можно найти в работах Петерсена, Угриновского и других [17], где важную роль играет связь между относительной энтропией и свойствами робастности регуляторов, минимизирующих расширенный линейно-квадратичный функционал. Хотя идеи ограничивающих энтропию индуцированных норм и ассоциированного с этим минимакса находят дальнейшее развитие в литературе по управлению, анизотропийная теория широко не известна.

В классических постановках задач анизотропийных анализа и синтеза

в качестве внешних входных возмущений рассматриваются стационарные эргодические последовательности гауссовских случайных векторов с нулевыми математическими ожиданиями [13,19,21,23-26]. Равенство нулю математических ожиданий векторов означает, что средняя на бесконечном интервале ошибка, обусловленная наличием такого рода возмущений, зависит только от ковариационных матриц векторов последовательности. В качестве наглядного примера выступает уже упоминавшаяся теория 1-12/11(^0-управления, где внешнее возмущение - это гауссовский белый шум. Однако в реальных ситуациях, при различных сбоях в оборудовании или наличии нетривиального внешнего возмущения, средние значения векторов возмущения отличны от нуля. В связи с этим в рамках анизотропийной теории имеет смысл в качестве внешнего возмущения рассматривать стационарные эргодические последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми средними. Таким образом, при рассмотрении в анизотропийной теории случая ненулевых математических ожиданий у векторов входной последовательности фактически происходит расширение границ ее применения.

Изложение диссертационной работы выполнено следующим образом. Во введении обоснована актуальность и значимость исследуемой проблематики, приведен обзор литературы, сформулированы цели и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В главе 1 приводятся основные определения и теоремы анизотропийно-го анализа - вводятся понятия анизотропии случайного вектора, средней анизотропии последовательности случайных векторов и анизотропийной нормы линейной дискретной стационарной системы. Для всех результатов указаны ссылки на первоисточники, а для некоторых приведены доказательства.

В главе 2 представлены решения задач синтеза оптимального и субоптимального анизотропийных регуляторов. Решения этих задач известны, и поэтому приводятся в виде обзора с указанием ссылок на первоисточники.

Глава 3 посвящена обобщению понятий анизотропии, средней анизо-

тропии и анизотропийной нормы на случай, когда векторы входного возмущения имеют ненулевые математические ожидания. Приведены теоремы о вычислении средней анизотропии и анизотропийной нормы в частотной области и пространстве состояний. Также рассмотрена задача синтеза формирующего фильтра по заданному уровню средней анизотропии.

В главе 4 предложен подход к синтезу анизотропийных регуляторов для линейных дискретных стационарных систем с внешним возмущением в виде стационарной эргодической последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями. Приведен пример.

Цели исследования. Диссертационная работа преследует следующие цели: решение задач анизотропийного анализа и разработка метода синтеза анизотропийных регуляторов для линейных дискретных стационарных систем с внешним возмущением в виде стационарной эргодической последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями.

Методы исследования. В работе применяются математические методы теории управления, линейной алгебры, функционального анализа, теории функций комплексного переменного и теории вероятности.

Научная новизна. Обобщены понятие средней анизотропии на случай ненулевых математических ожиданий векторов последовательности и понятие анизотропийной нормы системы при данном внешнем возмущении. Получены формулы вычисления средней анизотропии и анизотропийной нормы при различной априорной информации о классе входных возмущений. Разработаны метод синтеза формирующего фильтра, генерирующего окрашенную последовательность по заданному уровню средней анизотропии, и метод синтеза анизотропийных регуляторов, обеспечивающих заданное качество замкнутой системы при ограничении на среднюю анизотропию входной последовательности.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления линейными объектами, на вход которых поступает внешнее возмущение в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями, и позволяют осуществлять синтез линейных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности, чем широко использующиеся Лоо-оптимальные регуляторы, и применимых для более широкого класса возмущений, чем ЬС}С-регуляторы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обобщение понятия средней анизотропии на класс последовательностей гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями;

2. Обобщение понятия анизотропийной нормы системы с внешним возмущением в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями;

3. Формула вычисления средней анизотропии последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями (в пространстве состояния);

4. Формулы вычисления анизотропийной нормы системы с внешним возмущением в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими ожиданиями (в частотной области и пространстве состояний);

5. Метод построения формирующих фильтров, генерирующих последовательность гауссовских случайных векторов с указанным математическим ожиданием на стационарном режиме, по заданному уровню средней анизотропии;

6. Метод построения обеспечивающих заданное качество анизотропий-ных регуляторов для линейной системы с внешним возмущением в виде последовательности гауссовских случайных векторов с ненулевыми математическими.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах Лаборатории №7 ИПУ РАН под руководством д.т.н. Поляка Б.Т., на семинаре кафедры системного анализа ВМК МГУ под руководством академика Куржанского A.B., на семинаре лаборатории механики управляемых систем и лаборатории робототехники и механики ИПМех РАН под руководством академика Черноусь-ко Ф.Л., на семинаре кафедры теории вероятностей МАИ под руководством д.т.н. Кибзуна А.И., на III-V Всероссийских традиционных молодежных летних школах "Управление, информация и оптимизация" (ТМШ 2011-2013), на конференции "Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах" (УТЭОСС-2012, г. Санкт-Петербург), на XV конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (КМУ-2013, г. Санкт-Петербург), а также на следующих зарубежных конференциях: 11th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP, Caen, France, 2013), 19th International Conference on Process Control (Strbske' pleso, High Tatras, Slovak Republic, 2013).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в одной монографии, двух статьях в российских журналах из перечня ВАК, в трудах двух международных конференций, двух тезисах докладов на Всероссийских конференциях.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 109 страницах, содержит 1 таблицу и 23 иллюстрации. Библиография включает 39 наименований.

Глава 1

Основы анизотропийного анализа

В данной главе даются основные определения и фундаментальные понятия анизотропийного анализа - анизотропия случайного вектора, средняя анизотропия стационарной эргодической последовательности гауссовских случайных векторов, анизотропийная норма линейной дискретной стационарной системы. Приводится их теоретико-информационная интерпретация, а также указаны методы вычисления введенных величин для случая нулевых математических ожиданий векторов входного возмущения. Результаты, представленные здесь, изложены в работах [1-3,19,22-25,35].

1.1 Анизотропия случайного вектора

В этом разделе, следуя [2,22], дадим необходимые сведения об анизотропии гауссовского т-мерного случайного вектора, имеющего нулевое математическое ожидание и произвольную ковариационную матрицу.

Рассмотрим два случайных вектора гс, г; G Мта с соответствующими им плотностями распределений /(х) и д(х):

/ : Мт [0; +оо), 0; +оо).

Существуют различные способы описания вероятностного и теоретико-информационного отличий одной случайной величины, воспринимаемой как случайный сигнал, от другой. В анизотропийной теории управления по аналогии с теорией информации мерой отличия случайного вектора ги от

случайного вектора у той же размерности (сНт('ш) = сИт(г>)) называют относительную энтропию [1] (или расстояние Кульбака-Лейблера) / относительно д, введенную посредством выражения

D(/|W = E/

ш (L

min(^yvm(X), (i.i)

где Е/[Ф] - математическое ожидание функции Ф, определенное по правилу

Е/[Ф] = [ ¡(х)Ф(х)(1Ут(х)

с использованием обозначения с1Ут(х) = ¿х\... ¿хт. Как и в теории меры, предполагается, что функция /(ж) является абсолютно непрерывной относительно д(х):

{жбГ: д(х) = 0} С {х £ Мт : /(ж) = 0} .

Кроме того, в случае /(х) = 0 А д(х) ф 0 будем считать, что

/М1п@)=01п0 = 0'

Введенная с помощью (1.1) функция Т>(/\\д) всегда является неотрицательной, что позволяет описывать меру отличия ио от у и воспринимать ее как "расстояние", но не является коммутативной функцией, поскольку 0(д||/), вообще говоря, не совпадает с Т)(/\\д).

. Ш\9) _

№) д{х)

Рис. 1: Относительная энтропия D(/||(/).

Если в качестве функции д(х) выбрать плотность распределения рл(ж) = (27гЛ)-т/2ехр|-^| , х G ,

гауссовского ш-мерного случайного вектора с нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей А/т, то согласно (1.1) и в силу

I Кх)]пЫх))Мт(х) = I /М 1п(2тгА) - ^ с1Ут(х)

= -^1п(2тгА) Е[1"|2]

2 4 2А

получим

В(/|Ы = I Нх)]п(±^)мт(х)

Шт

= I/(х)ННх))Мт{х)- I/{х)\п(рХ(х))Мт(х)

Кт К"1

= -Л(Ш) + ^П(ЙГЛ) + М,

где ¡1(111) = —Е/ [1п /] = — /Кт /(ж) \п/(х)с№т(х) - дифференциальная энтропия случайного вектора т с плотностью распределения /(ж), а Е [|ги|2] = Е [гитги] - квадр�