автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Устойчивость и стабилизация нелинейных управляемых динамических процессов

Санкт-Петербургский государственный университет

РГ6 од

1 о •. л - на правах рукописи

2 С 1 • • ••

Башмаков Игорь Григорьевич

Устойчивость и стабилизация нелинейных управляемых динамических процессов

05.13.16 -применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в области физико-математичекских наук)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1995

Работа выполнена на кафедре высшей математики Всероссийского Заочного Института Инженеров Транспорта и на кафедре дифференциальных уравнения Мордовского государственного университета им.Н.П.Огарева

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор А.А.Шестаков, доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Щенников

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Б.В.Филиппов, кандидат физико-математических наук, доцент В. В. Максимов

Ведущая организация

Российский Университет Дружбы Народов, г.Москва Защита состоится

„ 13 „ цлОК& 1995 г. в "N " час. на заседании диссертационного совета Д 063.57.33 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 1Э0004, Санкт-Петербург, В.0..10-я линия, дом 33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета (г.Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9).

Автореферат разослан " & " /ЛоЛ_1995 года.

Ученый секретарь диссертационного совета А.П.Жабко

э

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. ИССЛвДОВаНИВ ЭСИМПТОТИ-

ческой устойчивости и построэние управлений, гарантирующих наличие такого свойства для различных классов динамических процэссов - одна из основных задач современной теории устойчивости динамических процэссов. Эффективным методом решения этой проблемы является метод функций Ляпунова.

Большое количество научных работ посвящено вопросам расширения границ применимости этого метода, выявлению его новых возможностей для решения практически важных задач построения стабилизирующих управлений и количественных оценок для динамических процессов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Несмотря на появление всё новых работ в данном направлении, проблемы стабилизации и получения количественных оценок по прежнему актуальны. Это связано с необходимостью аналитического конструирования управлений более широкого класса для более сложных динамических процессов.

Основной целые диссертационной раВоты ЯВЛЯ9ТСЯ ОбОСНОвание возможности построения релаксированных (в том числе и разрывных) стабилизирующих управлений для динамических процессов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, т.е. расширение класса допустимых управлений. Построение стабилизирующих управлений для билинейных и составных процессов при наличии постоянно действующих возмущений, т.е. расширение класса динамических процэссов, кроме того, получение количественных оценок времени и качества стабилизации.

Научная новизна. В ДИССвртаЦИИ ПОЛуЧвНЫ СЛвДуЮЩИв ОСНО-

вныв результаты:

1) установлен критерий стабилизации в целом для нелинейного автономного динамического процесса;

2) получена оценка качества экспоненциальной стабилизации для непрерывно дифференцируемого автономного динамического процесса;

3) построено стабилизирующее управление для составных динамических процессов при постоянно действующих

возмущениях;

4) построено стабилизирующее управление для билинейного динамического процесса;

5) предложен алгоритм нахождения оценки времени стабилизации нелинейного неавтономного динамического процесса;

6) получена интегральная оценка качества стабилизации составного динамического процесса при постоянно действующих возмущениях.

Общая методика исследований базируется НЭ ОСНОВНЫХ Мв-

тодах качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости управляемых динамических процессов.

практическая ценность. Разработанные в диссертации способы построения стабилизирующих управлений и количественных оценок могут быть использованы для решения широкого круга задач управления, возникающих в механике управляемого движения, теории колебаний и динамике подвижного состава железнодорожного транспорта.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры Высшей математики Всероссийского Заочного Института Инженеров Железнодорожного Транспорта, кафедры Дифференциальных уравнений Мордовского госуниверсигета, кафедры Теории управления факультета Прикладной Математики и Процессов Управления Санкт-Петербургского госуниверситета, ежегодных Огареве-ких чтениях в Мордовском госуниверситете.

Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1 -91.

Структура и объем работы. Диссертация СОСТОИТ ИЗ ВВ8ДЭ-

ния, четырех глав и списка литературы, содержащей 89 наименований. Объем работы - 103 страницы машинописного текста.

Содержание работы

Во введении отмечается актуальность работы, содержится ее краткое описание и формулируются основные положения, выносимые на защиту. Нумерация формул автореферата соответствует нумерации формул диссертации.

В §1 главы 1 приводится определение динамического про-

цэсса, как функции Б: к * к х ге11 -» к11 , удовлетворяющей следующим свойствам:

1) Б - непрерывна,

2) Б^д.Хд) = Хд,

3) 3(1*т;1;0,Хд) = З^^+т.Б^о.Хц)) V 1;рт

В пространстве всех динамических процессов П на к11 вводится метрика р^ ,Б2) = £ 2~•> шш<1, аир ^■Б1 -

3-1 * 1

(1;;1;0,Хд) е в^),

где В^-возрастающая последовательность компактных подмножеств к х к х к11, объединение членов которой есть к х к х к11.

Рассмотрим управляемое дифференциальное уравнение

X = кг.х.и), X е Е11, Ц е м, (1.1.1)

доя которого выполнены условия:

Н1. Отображение £ непрерывно по совокупности (х,и) и измеримо по г, а семейство гс всех допустимых управлвний состоит из всех измеримых по Лебегу функций и:к М, где М -метрическое пространство с метрикой б.

Н2. Дхя каждого допустимого управления и(1;)е гг и каждой пары (1;а,Хд) е к х к11 начальная задача

¿ = £(1;;х,и(1;)) х(^)=х0 (1.1.2)

имеет единственное решение х^^д.хд.и), определенное доя всех t е к+.

В дальнейшем М будем предполагать локально компактным пространством.

Если и- допустимое управление, х(1;;1;0,хд,и)- решение задачи (1.1.2), то Б(^ц,хд)::=х(1;+-1;а;1;0,:хд,и) является динамическим процессом на к11.

Определение 1.1.3. Динамический процесс Б называется обобщённым динамическим процессом (относительно (1.1.1)), если существует последовательность и^ допустимых управлвний из и такая, что последовательность Б^ = в про-

странстве П сходится к Б.

Семейство динамических процэссов, порожденных допустимыми управлениями называется (динамически) компактным, если

каждая тдпослвдрватвльность семейства сходится к (обобщенному) динамическому процвссу.

Можно вложить « в такое метрическое, компактное пространство л, в котором ы всюду плотно и для любой последовательности из v. существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторому элементу из л, который называем рвлаксированным управлением.

В работе также изучаются уравнения (1.1.1), в которых f удовлетворяет условию

НЗ. а) функция f локально ограничена и локально липши-цэва по х, т.е. для каждого ограниченного множества Век х ге11 существует постоянная К > 0 такая, что

if(t;x,u)i i К и 4(t;x,u) - nf(t;y,u)« ^ Kix-yn v(t,x) е в, v(t,y) е В; б) множество М компактно и семейство и состоит из всех измеримых функция u:r М.

Далве приводятся теоремы, устанавливающие связь между обобщёнными динамическими провесами и релаксированными управлениями, в частности показано, что каждый обобщенный динамический; процзсс порождается отображением S(r): я ■* п для некоторого релаксированного управления г.

Связь динамических процессов с неавтономными дифференциальными уравнениями изучалась Дафермосом и Селлом.

В §2 главы 1 рассматриваются свойства инвариантности управляемых динамических процессов, порождённых автономным дифференциальным уравнением вида

х = 1(х,и). (1.2.1)

Оказывается, что если семейство допустимых управления и инвариантно относительно сдвигов, т.е. uT(t)::= и(т + t) е и v т е к, а пространства динамических процессов, пороадэнных (1.2.1) динамически компактно, тогда дяя каждого z из предельного множества п(х) существует обобщенный динамический процзсс S такой, что S(t;0,z) е о(х) v t «к.

Если динамическую компактность (1.2.1) заменить требованием компактности о(х), то п(х) обладает следующим свойством: если S - обобщенный динамический процесс, являющийся

ч

пределом последовательности S(u для некоторой последовательности {t_j>, t.j -» со, то существует такая точка г « о(х),

«J *}

что S(t;0,z) е О(Х) V t е R.

Это свойство п(х) назовем несмещенностью или обобщённой инвариантностью (А.А.Шестаков). В §3 главы 1 для уравнения

' х = f(t;x,u), и б М (1.3.1)

вводится определение предельного уравнения

х = g(t;x,u). (1.3.3)

Предполагаем, что вектор-функция I удовлетворяет более слабому условию чем условие НЗ, а именно:

Условие Н4. Будем говорить, что выполнено условие НЗ, если постоянная .Липшица в условии НЗ равномерна по t, т.е. для любого ограниченного В с кп существует постоянная к = к(В), такая, что

nf(t;x,u) - f(t;y,u) < kiix - уи vx,y s В, и vu e, vu e « .

Определение 1.3.1. Сдвигом fT функции Г на величину т называется функция fT(t;x,u) = f(t + r;x,u).

Определение 1.3.2. Управляемое уравнение (1.3.3) называется предельным уравнением по отношению к уравнению (1.3.1), если существует последовательность г^ со

такая, что для любых t, х, и имеет место

■ * * м

f g(l;x,u)dl = lim f I 3(1;х,и)й1.

о т. V- о

Последовательность Г J называется сходящейся к g.

Семейство предельных уравнений замкнуто относительно

сдвигов, т.е. для каждой последовательности О, т^ ®

существует подпоследовательность т ., для которой последова-

г. J

тельность Г J сходится при Tj со .

Обозначим гт и 5Т - сдвиги на величину г функция г и S соответственно, т.е.

rT(t)::= r(t + г) и Sr(t;t0,x0)::= S(t+r;tn,xQ).

Тогда имеет место S'(t;t0,x^;r,g) = 5(t;t0,x0;rr,gr).

в

i i

Если U СХОДИТСЯ К г е я и 1 сходится к g, тогда

S (U,f) СХОДИТСЯ К S(r,g) при т^ -» 00.

Выделяется класс уравнении х = g(t,x,r(t)), относительно которых множество п(х) несмещённое.

Таким образом, предельные уравнения для х = f(t,x,u) можно вычислить заранее, в то время как для вычисления предельных управлений необходимо знать управляющие функцию.

В §4 главы 1 приводятся известные определения устойчивости, равномерной устойчивости, равномерного аттрактора относительно динамического процесса S и соответствующего управления и.

В теоремах этого параграфа доказывается существование последовательностей ibn> положительных чисел таких, что при Pn(S1, SpJ < t>n, n = 0,1,2,... из устойчивости (равномерной устойчивости, равномерного аттрактора ) S1 следует, что S2 обладает аналогичным свойством.

В §5 главы 1 приведены определения функций Ляпунова, которые используются в классическом прямом методе Ляпунова, и некоторые обобщения этих функций, применяемые в главе 2.

В §1 главы 2 дана постановка задачи о стабилизации в целом для управляемых динамических процессов, описываемых дифференциальным уравнением вида

х = F(t;x,u), (2.1.1.)

где х - вектор размерности n, u е кт - вектор-управление ра, змерности m, u = u(t,x), t <е к и на вектор-функцию F размерности п наложены условия, обеспечивающие существование и единственность решения задачи Коши.

Далее обобщается задача стабилизации для управляемых динамических процессов, описываемых дифференциальным уравнением вида

ax/at = I(x(t),w(t>) (2.1.16)

где x(t) е Kn,w(t) е и (г/-локэльно компактное пространство), х = 0 в Rn- есть состояние равновесия уравнения (2.1.16), т.е. f(0,0) = 0 где "О" есть некоторый выделенный элемент в « (называемый "нулевым"). Предполагается, что вектор-функция

f(x,u) локально-липшицева по (x,u).

В §2 главы 2 доказаны две теоремы, в которых получены свойства стабилизируемых управляемых автономных динамических процессов, описываемых дифференциальным уравнением <2.1.16) с релаксированными управлениями из л, и приводятся количественные оценки решений (2.1.16).

Рассмотрим функцию V:Kn -> к, обладающую следующими свойствами:

Р^. Функция 7:кп -> к непрерывна. Р2- > 0 ПР11 У > v<°> =

Рд. Множество уровня ty:V(y) < г> ограничено для каждого г.

Р4- Для каждого у е к11 существует релаксированное управление w такое, что < 0 и существуют положительные числа си?' такие, что управление w может быть выбрано удовлетворяющим неравенству nwii < с при пун < у.

Pg. Для каждого ^ > 0 существует а > 0 такое, что из 7(у) < а следует пул < е.

Теорема 2.2.1. Пусть задан стабилизируемый в целом относительно 0 управляемый динамический процесс, описываемый уравнением

dx/dt = f(x,u), х «S D?nf ЦбЦ, (2.2.2)

Обозначим через си г - числа, фигурирующие в определении стабилизируемого в целом относительно 0 управляемого динамического процэсса. Существует положительное число з0 < 1 и функции -»к (i = 1,2,3), а4:ге-> к+, F:R и ,

где a^.Sg.á^ - непрерывны , а^ - строго возрастает, а3 - не убывает , а^ - строго убывает, такие, что имеют место следующие свойства:

Р6. а1(з) = 0, va е [0,3q].

Р?. 82(a) > з, va, 8^(0) = 0.

Pg. 8^(3) = с, va е [0,3q], а3(+ю) = +оо.

Pg. a4(G) = 1, a4(-o>) = -и», а4(-н») = 0.

P1Q. Для каждого у * О, x(t)::= x(t;y,F(y)) имеет место «Т(у>» < Вд(»У»), iix(t)ü < а2(»У»), vt е к+,

ю

X(t) 0, t OD,

nx(t)n < a4(t - a1 (iiyn)).

Для любого состояния у и любого релаксированного управления г обозначим

со

А(у,г)::= J (iix(t;y,r)B )dt + maxium - c10}, (2.2.17)

если решение x(t;y,r) определено для всех t е к+, и А(у,г)::= +а> в противном случае.

Теорема 2.2.2. Пусть задан стабилизируемый в целом относительно 0 управляемый динамический процесс, описываемый уравнением (2.2.2).Существуют строго возрастающие функции Ъ1:ге+ ге+ (i= 1,2,3) такие, что Ь1 (0) = О, Ь1 (+оо) = -к», и для каждого у имеют место нижеследующие свойства Р^ - Р15:

P1V A(y,F(y)) <

Р12. Если иу» < а0, то A(y,F(y)) ^ а^<иун >.

Р13- Если А(у,г) < A(y,F(y)) для некоторого г, то «x(t;y,r)» £ b2(nyii) vt е Е+ и Яги < bg(nya).

Р14. Для каждого м > 0 существует > 0 такое, что если А(у,г) < р для некоторого г, то вуи < а^.

Р15- Для каждого v > 0 существует > 0 такое, что из нуи > /и следует А(у,г) > а^ для всех г.

Тогда для траектории, удовлетворяющей неравенству С2 £ «x(t;y1 ,u)ll ^ Cg vt e [0,t], Cg,C3 e K, имеет место

т

J (Iix(t)ndt > r)(clF C2, c3)«y1 - y2». 0

В §3 главы 2 на основе полученных в предыдущем параграфе результатов доказывается критерий стабилизируемости автономного управляемого динамического процесса.

Теорема 2.3.1. Управляемый динамический процесс, описываемый уравнением (2.1.1) стабилизируем в целом тогда и только тогда, когда существует функция у, удовлетворяющая свойствам Р1 - Р5-

В §4 главы 2 содержатся формулировки, введённых В.И.Зубовым, понятий оптимальности управления относительно демпфирования функции V(t,x) и оптимальности управления по быстро-

Ii

действию.

В §5 главы 2 обобщается теорема В.И.Зубова об оптимальности управления по быстродействию, а именно: снимается требование непрерывной дифференцируемое-™ V(t,x), и показано, что заключение теоремы справедливо лишь при условии

существования орбитальной производной V(t,x).

В §В главы 2 иследуется экспоненциальная стабилизация автономного управляемого динамического процесса, описываемого уравнением вада

dx/dt = f(x,u), <x,u) е Rn х М, (2.6.1)

где М <= к11 содержит начало 0 ^ кп, i(0,0) = 0 и вектор-функция f непрерывно дифференцируема по обоим аргументам.

Такой процесс называется экспоненциально стабилизируемым, если существует закон управления и(х) и постоянные к >0 и х > О, <5 > о такие, что

vt -s vxq, (Xgl < ö Ixtl.xg) < h(exp(-xt))|x0|.

Справедлива

Теорема 2.6.4. Пусть 1) Закон управления u(x) является экспоненциально стабилизирующим для уравнения (2.6.1), 2) для vK.j>k и О < а < х имеет место экспоненциальная оценка )exp(At)j < kjexpi-^t) vt е к+.

Тогда

x/k = |А|/т, где т ::= sup d(x,RangB),

х « RengA, |х| = 1 fl(.,.) - расстояние в причём для удобства принято, что О/О = а/О = -ко при а > 0.

В 61 главы 3 решается задача стабилизации относительно (0> составного динамического процесса, описываемого уравнением вида

к

dxa/dt = AHxs+bsus+ l Agjtx.tjxj + Rs<t), (3.1.16) j=1. j^s

где Ag - постоянные (kg * ka) - матрицу; bg = colonib^,..., bp); x e Rn; Xj = colon(x1... ,Xp ); Rs(t) = colon^ <t),...,

к

ИЛШ'. У Рч = Ач <4.х> - (к * к. ) - матрица.

^ ^ 3 3

Предположим, что

«тую« ^ «Зехр(-,:а<г.-г0>), (а3 & /}д) > о, г >

и векторы Ъ3,АдЬ3,...линейно независим.

Для системы <3.1.16) найдена функция Ляпунова, с помощью которой осуществлена стабилизация множества {0>.

В §2 главы 3 решается задача стабилизации билинейного управляемого динамического процэсса, описываемого уравнением (Ьс/т = Ах+иВх, х е кп, и е к, «и» < 1, (3.2.1 ) где АиВ-п* п - матрицы с действительными элементами, и - скалярное управление. Через [А,В1^ обозначим коммутатор к - го порядка матриц А и В , т.е.

ГА,В](1) = АВ - ВА,

СА,В1№) = [А,[А,В](к~1 Ь, к = 2,3.....

а через Брал {...} - линейную оболочку векторов, входящих в фигурную скобку.

В Теореме 3.2.1. доказано, что управление -1, -хСВх < -1,

и(х) = - -х'СВх, -1 < -х'СВх £ 1,

> +1, -х'СВх > 1 стабилизирует состояние равновесия системы (3.2.1) до асимптотически устойчивого (в делом) состояния равновесия.

5 §1 главы 4 содержится постановка задачи об оценке времени стабилизации динамического процэсса, описываемого дифференциальным уравнением

х = Г(г,х).

В §2 четвертой главы предлагается решение этой задачи.

Приведённый алгоритм получения верхней оценки времени стабилизации представляет собой развитие метода, примененного Н.Г.Дубошиным, и основанного на доказательстве теоремы А.М.Ляпунова об асимптотической устойчивости.

В §3 четвертой главы сформулирована задача синтеза стабилизирующих управлений, удовлетворяющих интегральному

критерию качества

; *П,у(1;,у0)>сП < з, (4.3.1)

где *(1;,у) - определённо положительная функция, допускающая бесконечно большой низший предел, у(1,у0) - решение задачи Коши уравнения

у = А(г,у) + В(Ъ,у)и при любых начальных возмущениях у0 из области

*<г0,у0) ^ а,

где й, з е

В §4 главы 4 показано, что стабилизирующие управления, построенные в §1 главы 3 для подсистем

йх3/й\ = Адхн + В3и8 + йаа>, а = 1.....к, (3.1.1 )

при выполнении неравенств

«7д/сИ + (5гаЙх73(г,х3),(Адх3 - <х/2)[(згвс17<2)<ха),Ва) +

+ туг») < -»(г.Хд),

зир(73(1;,Хд) на множестве 13('1;,х3) = йд) < 1п1-СУ(г,х3)

на множестве пхзл = бд>, г & & Т > О,

< (са/йа)*а(г,ха), аа > во,

удовлетворяют неравенству (4.3.1), если положить

= иу^х).

Из этих управлений строим стабилизирующий вектор управление и = (и1,....и^) для системы (3.1.1) удовлетворяющий (4.3.1), если положить

к

*<*,х) = I »а(г,ха>:

- 3=1

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Башмаков И.Г. О модели обобщённого управления//Железнодо-рожный транспорт. Пути развития и совершенствования его работы. Моделирование -процесса организации перевозок на железнодорожном транспорте : Сб.науч.тр./ВЗШТ.-м.,1384.-Вып. 125.- С.86- 89.

2. Башмаков И.Г., Ценников В.Н. Стабилизация сложной системы при постоянно действующих возмущениях специального вида. //Управление динамическими системами : Межвуз. сб./Изд-во Якут, ун-та.-Якутск,1986.-0.3-8.

3. Башмаков И.Г. Исследование обобщенного уравнения прямым методом Ляпунова // Железнодорожный транспорт. Пути развития и совершенствования его работы. Проблемы совершенствования управления перевозочным процессом на железнодорожном транспорте .: Межвуз . сб. науч. тр./ВЗИИТ.-М., 1986.-Вып. 134.- С.83-87.

4. Башмаков И.Г., Щенников В.Н. Интегральная оценка качества стабилизации сложных систем при постоянно действующих возмущениях // Динамика систем и управление.: Межвуз.сб. науч. тр./Саранск, 1986.- С.103-106.

5. Башмаков И.Г., Щенников В.Н. Оценка времени переходного процэсса в неавтономных системах /Мордов. ун-т.-Саранск, 1988.-4 е.- Дэп. в ВИНИТИ 22.06.88, № 4892-В88.

6. Башмаков И.Г. Оценка времени переходного процесса в

неавтономных системах с помощью функций Ляпунова //Динамика систем и управление.:Межвуз. #сб. науч. тр./Саранск, 1988.- С.87-90.

7. Башмаков И.Г. Об управлении динамической системой //Про-

блемы динамики подвижного состава и устойчивости движения динамических систем.: СО. науч. тр./ВЗИИТ.-М.,1990,-С.118-120.

8. Башмаков И.Г. Об экспоненциальной стабилизации движения

автономного управляемого уравнения //Современные проблемы управления, устойчивости и колебаний нелинейных механических систем железнодорожного транспорта.: Межвуз. сб. науч. тр./ВЗИИТ.- М.,1991.-Ч.2.- С.34-37.

9. Башмаков И.Г. Теорема об оптимальности управления по быстродействию //Проблемы математического обеспечения совершенствования технических средств железнодорожного транспорта: Межвуз. сб. науч. тр./ВЗИИТ.-М., 1992.-ч.2.-0.47-48.