автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Управление нелинейными динамическими системами и анализ их устойчивости

□030Б2007

На правах рукописи

Щешшкова Елена Владимировна

УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ И АНАЛИЗ ИХ УСТОЙЧИВОСТИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (физико-математические науки)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2006

003062007

На правах рукописи

Щенникова Елена Владимировна

УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ И АНАЛИЗ ИХ УСТОЙЧИВОСТИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (физико-математические науки)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-2006

Работа выполнена в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения

Научный консультант: доктор физико-математических наук

профессор О.В. Дружинина

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Е.А. Гребеников,

доктор физико-математических наук профессор А.П. Колесников,

доктор технических наук профессор Е.П. Корольков

Ведущая организация: Ульяновский государственный университет

Защита состоится « марта 2007 г. в 14-00 час. на заседании

диссертационного совета Д 002.017.03 при Вычислительном центре им. A.A. Дородницына Российской академии наук по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д. 42, ауд. 355.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. А.А. Дородницына Российской академии наук.

Автореферат разослан « » _ 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.017.03 кандидат физико-математических наук

A.B. Мухин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время предъявляются повышенные требования к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических процессов, а также к их управлению. В связи с чем возникают новые математические модели динамических процессов, описывающиеся существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений. При этом ощущается потребность в развитии теории нелинейных динамических систем, расширении понимания целей управления, возрастании практического значения учета в математических моделях параметрических и постоянно действующих возмущений, а также структурных неопределенностей.

Кроме того, развитие компьютерной техники, программного обеспечения, систем сбора и обработки данных на базе микропроцессорных систем приводит к необходимости развивать математический аппарат, разрабатывать новые, направленные на практическое использование, качественные и приближенно-аналитические методы исследования нелинейных управляемых динамических систем. В конечном счете указанные методы служат целям обеспечения оптимальных условий работы и повышения безопасности функционирования сложных технических систем, а построение алгоритмов исследования их устойчивости позволяет проводить анализ влияния различных проектных параметров на качество функционирования того или иного сложного технического объекта.

Все это составляет одну из ключевых проблем системного анализа. Необходимым математическим аппаратом описания процессов динамики и управления динамическими системами являются нелинейные системы (в том числе многосвязные системы) обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому проблемы создания новых эффективных методов анализа и методов управления различными техническими объектами и технологическими комплексами предопределяют развитие методов исследования управляемых динамических систем.

В большинстве задач технического характера структура управляемых динамических систем и ее параметры известны с некоторой погрешностью. Следовательно, необходимым требованием к нелинейным управляемым динамическим системам является их устойчивость (в том или ином смысле) по отношению к структурным и внешним возмущениям.

Одним из самых распространенных методов исследования свойств движений нелинейных управляемых динамических систем служит их линеаризация. При этом возникает проблема корректности использования линеаризованных динамических систем. Основным методом, при помощи которого устанавливается корректность их использования, является прямой метод Ляпунова. Данный метод получил свое развитие в трудах

A.M. Ляпунова, Н.Г. Четаева, К.П. Персидского, И.Г. Малкина,

A.А.Шестакова, Е.А. Барбашина, H.H. Красовского, В.И. Зубова,

B.В.Румянцева, В.М. Матросова, В.Г. Каменкова, А.Ф. Филиппова, А.С.Андреева, Ю.Н. Меренкова, В. Хана, Ж.Л.Массеры, Я. Курцвейля, Т. Йосидзавы и других ученых.

Однако не всегда линеаризованная динамическая система линейна. Примером тому служат критические случаи в теории устойчивости (см. работы A.M. Ляпунова, И.Г. Малкина, H.H. Красовского, В.И. Зубова, Г.В. Каменкова, Ю.В. Малышева и других ученых). Как известно, в критических случаях системы первого приближения не являются линейными. Следовательно, актуальной проблемой нелинейной механики и теории управления является проблема разработки конструктивных методов построения верхних оценок движений нелинейных динамических систем и оценок погрешности их линеаризации.

Актуальной также представляется задача оптимальной стабилизации нелинейных многосвязных управляемых динамических систем с перекрывающимися декомпозициями.

Представляет значительный интерес развитие единого подхода к исследованию устойчивости (частичной устойчивости) по Лагранжу на временном промежутке общей математической модели на базе сохраняющих устойчивость (частичную устойчивость) отображений, а также развитие теории устойчивости по Лагранжу в рамках теории об ограниченности Йосидзавы-Селла и проведение качественного анализа математических моделей транспортных динамических систем с привлечением теории бифуркаций динамических систем.

В диссертации изучаются нелинейные управляемые динамические системы, для которых разрабатываются методы анализа устойчивоподобных свойств движений относительно всех и части фазовых переменных и моделируются стабилизирующие управления. Под устойчивоподобными свойствами движений указанных систем здесь подразумевается различные виды устойчивости по Ляпунову и Лагранжу, стабилизация программного движения, устойчивость при постоянно действующих возмущениях, полиустойчивость, различные виды ограниченности в смысле Йосидзавы и полиограниченности относительно части и всех фазовых переменных.

В связи с проектированием и внедрением скоростного рельсового состава и необходимостью увеличения скоростей движения актуальными задачами являются изучение качественного поведения и устойчивости математических динамических моделей железнодорожного транспорта, а также вопросы динамической безопасности и управления движением.

Областью исследования являются теоретические основы и методы системного анализа, методы теории управления, формализации и постановки задач системного анализа, задач стабилизации и прогнозирования динамики функционирования и управления

нелинейными динамическими системами, в том числе и многосвязными системами, а также обеспечения их динамической безопасности.

Цель работы заключается в разработке качественных методов анализа устойчивоподобных свойств движений нелинейных управляемых динамических систем, включая и многосвязные системы, конструктивных методов построения верхних оценок движений указанных систем и построения оценок погрешностей их линеаризации, а также в развитии способа решения задачи оптимальной стабилизации программного движения многосвязной системы с перекрывающимися декомпозициями.

Методы исследования. В диссертации используются методы системного анализа, теории управления, функционального анализа, качественной теории дифференциальных уравнений, математической теории устойчивости и теории бифуркаций динамических систем.

Научная новизна. Весь комплекс результатов диссертации относится к решению крупных проблем системного анализа и теории управления.

Степень новизны определяется тем, что в диссертации предложены методы исследования устойчивоподобных свойств движений широкого класса нелинейных управляемых динамических систем. Это позволило получить относительно части и всех фазовых переменных условия асимптотической устойчивости степенного вида «частичного» положения равновесия по одной части фазовых переменных, а по другой -равномерную ограниченность движений нелинейной динамической системы, доказать теорему о полиограниченности движений относительно части фазовых переменных, получить условия устойчивости при постоянно действующих возмущениях для систем с однородной порядка ц>1 главной частью и определить зависимость между е, ди у (здесь /есть верхняя граница постоянно действующих возмущений), провести исследование асимптотической устойчивости в целом одной многосвязной системы.

Разработаны конструктивные методы построения верхних границ движений и оценок погрешностей линеаризации указанных выше систем относительно всех и части фазовых переменных. При этом системы первого приближения могут быть и существенно нелинейными. Для случая многосвязных систем построены коннективные оценки погрешностей линеаризации.

Предложен способ решения задачи оптимальной стабилизации нелинейной многосвязной управляемой системы с перекрывающимися декомпозициями путе^ расширения исходного фазового пространства с последующим его сужением.

Разработан единый подход (метод сравнения) к изучению устойчивости (частичной устойчивости) по Лагранжу на временном промежутке в общей математической модели на базе сохраняющих устойчивость (частичную устойчивость) отображений, что позволяет

исследовать устойчивость по Лагранжу как в автономном, так и в неавтономном случаях движений транспортных динамических систем, а также устанавливать вид устойчивости, возникающий при движении железнодорожной колесной пары, - устойчивость по Лагранжу.

Проведен качественный анализ математических моделей транспортных динамических систем.

Практическая ценность. В диссертации предложены методы исследования устойчивоподобных свойств движений нелинейных управляемых динамических систем, включая и многосвязные системы, возникающих в прикладных задачах. С помощью разработанного математического аппарата можно решать проблемы анализа указанных систем и осуществлять их стабилизацию, устанавливать корректность использования линеаризованных динамических систем в качестве математических моделей управляемых динамических процессов. Это позволит применительно: а) к самонастраивающимся системам с эталонной моделью - находить верхнюю грань движений исходной динамической модели и оценку фазового рассогласования; б) к задачам идентификации - формировать алгоритм идентификации; в) к нелинейным электрическим цепям - находить условия их конвергентности.

Развитый в диссертации метод сравнения в общей математической модели дает возможность определять устойчивоподобные свойства движений динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями с частными производными, интегро-дифференциальными уравнениями Вольтерра и т.п., а также с помощью математических моделей, порожденных полугруппами, систем сравнения, определяемых дифференциальными неравенствами и включениями. Проведенный качественный анализ транспортных динамических систем позволяет устанавливать вид устойчивости движения железнодорожной колесной пары, оценить зоны устойчивости по Лагранжу в моделях движения железнодорожного экипажа (в моделях H.H. Лузина), решать проблему управления скоростью движения железнодорожного экипажа и оценивать его критическую скорость.

Ряд результатов диссертации использован в научно-исследовательской работе, проводящейся в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения, в работах по плану НИОКР ОАО «РЖД», а также при проектировании и расчете характеристик люминесцентных ламп на факультете светотехники и источников света Мордовского государственного университета.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании методов функционального и выпуклого анализа, алгебры, теории устойчивости и качественной теории дифференциальных уравнений. Все полученные результаты имеют строгие доказательства.

Личный вклад автора в проведенное исследование. В

диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором. Все результаты других авторов, упомянутые в диссертации, носят справочный характер и имеют соответствующие ссылки. В совместно опубликованных работах соавторам принадлежит рассмотрение ряда технических вопросов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на научных конференциях «Огарёвские чтения» (Саранск, 2001-2006 г.г.); на межвузовской научно-методической конференции «Современные научные аспекты функционирования транспортного комплекса и развитие его кадрового потенциала» (Москва, РГОТУПС, 1995); на Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДН, 2003-2005г.г.); на I и II межвузовских научно-методических конференциях «Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» (Москва, РГОТУПС, 1996, 1997 г.г.); на II и III международных научных конференциях «Методы и средства управления технологическими процессами» (Саранск, Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва, 1997, 1999 г.г.); на III конференции молодых ученых Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарёва (Саранск, 1998 г.); на Четвёртом Ахметгалеевском семинаре «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2000 г.); на Международной конференции «Третьи научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 80-летию со дня рождения Ю.С. Богданова» (Минск, 2001 г.); на Втором Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ» (Москва, 2002 г.); на VIII Четаевской Международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2002 г.); на V Международном симпозиуме по классической и небесной механике (Великие Луки, 2004 г.); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарёва (1995-2006 г.г.); на научном семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 2001-2006 г.г.); на научном семинаре по теории устойчивости и теории управления Ульяновского государственного университета (2006 г.); на научном семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра им. A.A. Дородницына Российской академии наук (Москва, 2006 г.).

Работа была частично поддержана РФФИ (грант № 98-01-03311).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 32 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 220 страниц текста и состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 248 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации и характеристику области исследований. Дается обзор научных результатов исследований по тематике диссертации, приводятся основные цели и задачи исследований, отражаются методы решения задач, основные результаты, отмечаются их научная новизна и практическая ценность. Приводятся сведения об апробации результатов диссертации и публикациях.

В первой главе проведен анализ устойчивоподобных свойств движений нелинейных динамических систем относительно части и всех фазовых переменных. Установлены условия асимптотической устойчивости степенного вида «частичного» положения равновесия по одной части фазовых переменных, а по другой - равномерной ограниченности движений. Аналогичные результаты получены и для многосвязных систем. Исследована полиограниченность относительно части и всех фазовых переменных. Для систем с однородной главной частью порядка ц>1 доказаны теоремы об устойчивости при постоянно действующих возмущениях относительно части и всех фазовых переменных и новые теоремы об асимптотической устойчивости. Найдены верхние оценки решений указанных систем и, как следствие, указана зависимость между е, 8 и у. Проведено исследование асимптотической устойчивости в целом положения равновесия относительно части фазовых переменных многосвязной системы.

Составлен алгоритм оценки 5 и у по заданному е.

Приведем некоторые из перечисленных результатов.

Развивается метод исследования устойчивоподобных свойств движений управляемой динамической системы, которая является обобщением систем дифференциальных уравнений, описывающих критические случаи к нулевых и 2И чисто мнимых корней, которым соответствуют простые элементарные делители.

Рассмотрена система

^^ы+ад, по

т

^ = А{1)2 + + ф (1,у,г) + /(0, (12)

о/

где Л^Су) - однородная т-мерная векторная функция порядка ¡л- — > 1,

Ч

(р л д) - нечетные и (р л д) > 0; F(t,y,z) е С (ХхЯ"уЯ -> я!"), фе

eC(/x«mx^' Д J ={t :t > /0}; F(t,Oj) = О, s 0; A(t) и B(t) -

непрерывные и ограниченные матрицы размерности соответственно 1 х / и / х т, |И(011 0<Â —const, Y(it\t,y) е С ( /хRm" -> ) - однородные относительно у\,..., ут векторные функции также порядка ц; HY^/jOII <

\\ЩуМ < viwr+a и ||Ф(/^2)|| < |[у|Г при (|М|Л||2||) < Г, t > t0> о, о < <(Ьлудулалг) = const, ц > ц - 1; fit) - непрерывная /-мерная векторная

оо

функция, такая, что jj[ f{T)[\dr<M, О<М = const. Здесь и далее норма 'о

вектора предполагается евклидовой, согласована с нормой матрицы.

(ц)

Помимо того, что Y (t,y), F(t,y,z) и Ф(t,y,z) удовлетворяют условию существования, будем считать, что они отвечают условию единственности решения задачи Коши.

Из способа задания системы (10, (12) следует, что (y,z)=(0,0) не является положением равновесия. Однако у= 0 является положением равновесия системы (10 («частичным» положением равновесия системы (10, (Ь)), которую можно считать параметрически возмущенной системой.

Теорема 1. Пусть дана система

& = (20 at

A(t)z. (22)

dt

Если нулевое решение системы (20 асимптотически устойчиво, а нулевое решение системы (22) равномерно устойчиво и, кроме того, выполняется неравенство -<24+03vr < 0, то система (10> (Ъ) относительно фазовых переменных у\,...ут асимптотически устойчива, причем стремление |1К','оЛ>)|| к нулю при t <ю происходит по степенному закону, а относительно фазовых переменных zu ..., z\ решения равномерно ограничены.

Постоянные (а4 л аз)>0 определяются в процессе доказательства.

Рассматривается более общая по сравнению с (10, (12) система дифференциальных уравнений

dy dt dz_

dt dp

^ = xM(y) + F(.t,y,z,p), (30

dt

J = A{t)z + Y(fl\t,y) + Ф {t,y,z,p) + f(t), (32)

dt

= Q(t,y,z,p), (З3)

at

где правые части системы (3t) - (З3) в области

(|М|лЦг||)<г,|И1<°°, '^'<£0 (4)

непрерывны и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения, кроме того, решения />-продолжимы. Предположим, что в области (4) выполняются условия

- vilMf+a' > (5)

F(t,0*p) ^ Ф(/,0^) S 0, \\<t>(t,y,z,p)\\ < y.lM!" . Обозначим через £(/,/о,4о)=(И'>'о>£о), z(t,t0£о), p(t,toAо)) решение системы(3])-(3з).Здесь^o=(yT(to), zT(t0),pT(to))T= (yl, PoV, индекс7 означает транспонирование.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и условия (5). Тогда имеет место утверждение теоремы 1 относительно фазовых переменных уи

-;Ут, Z\,

Рассмотрен и случай многосвязной системы вида

^L=Xsifl\ys)+Fs(t,ys,zs)+Fls(t,y,z), (6,)

at

at

где x}m^{ys)& c(r"s-t/f') - однородные »»^-мерные векторные функции порядка \i=2k+\, кеn; Fs(t^s) е С(/хД%д',-»/Л), f]s(t, y,z) е С(/х

е С(/xRm/x...xK",i-1xRmî+1x...xRm? хя''х

х...х Д^'х ¿i+,x...x r'^r'"), 2(ms+ls)=n, Fltfijs) m Fls(t,0,г) = О,

î=I

0s(t,O^s) = Фь(ЛО,г) = 0, A(t) - непрерывные ограниченные матрицы размерности /5х ls, |Щг)|| < Às, 0< X=const, У/^'С.л) е С (/хГ1 Rls ) -также однородные no^i,...,^ векторные функции ||7î('",fi,>'J)(/)||<

^ MWf; < vjwfa, IlFu(/J;,z)||< ias] \\yj \\"+а, ЦФ//ла)И <

M ,0«)

vjwf, îbsj\\yj\\n при (|M|A||z||)<r и / > to S 0,

J-UJ*S)

0<(aAVsAYsAbsAasjAbsjAr) = const, r| > ц-l; fs(t)~ непрерывные /j-мерные

СО т т т

векторные функции такие, что jl|/s(r)||dr<Ms, 0<Ms=const, x=iy ,z).

__'о

Здесь s=l,q; (g>l)e N.

Будем здесь также считать, что условия теоремы существования и единственности выполняются для решений системы (6i), (62). При этом.у=0 является «частичным» положением равновесия системы (61), (62). Предполагается, что выполнены следующие условия: А1) нулевое решение систем

ш

асимптотически устойчиво;

А2) нулевое решение систем

з=й О г)

ш

равномерно устойчиво.

Теорема 3. Предположим: 1) выполнены условия А1), А2); 2) квадратичная форма - определенно-отрицательная.

Тогда «частичное» положение равновесия у=0 системы (60, (62) асимптотически устойчиво степенного типа, а ее решения относительно

фазовых переменных г\.....г/ равномерно ограничены. Здесь и Ц^

(£) - квадратичные формы, которые определяются в процессе доказательства.

Результаты теоремы 3 распространяются на случай относительно части переменных^!, ...,уч, гь ..., гч.

Примечание. Утверждение теоремы 3 справедливо и при ц =—>1,

Р\ и - нечетные.

Далее проведено исследование полиограниченности движений относительно части фазовых переменных движений одной нелинейной динамической системы. Доказана теорема о полиограниченности движений.

Изучены вопросы устойчивости нелинейных динамических систем при постоянно действующих возмущениях.

Рассматривается система дифференциальных уравнений

^=Х(*>(х)+г( 0, (8)

ш

где координаты вектора Х^(х)\ я" -» д" - однородные функции порядка

¿1 91

ц =—>1, pi и q\ - нечетные, r(t): J -*Rn есть постоянно действующие

т т

возмущения. Представим здесь вектор х в виде х=(у1,..., ур, г„) =(у , г г — —

г ), У1=х1у 5=1,7, , р+т=п.

Под ^-устойчивостью здесь и далее понимается устойчивость

относительно переменныхуи ...,ур.

Наряду с системой (8) будем также рассматривать и систему

(9)

Л

Теорема 4. Если для системы (9) существует определенно-положительная функция У(х), полная производная которой по времени /

есть определенно-отрицательная функция относительно переменных уь---. ур (у-определенно-отрицательная функция, р<п), то нулевое решение системы (9) устойчиво по всем переменным и асимптотически у-устойчиво, причем устойчивость и асимптотическая ^-устойчивость носят глобальный характер.

дУ

Теорема 5. Если: 1) выполнены условия теоремы 4; 2) |]—||<Л'

дх

((КЛ^согЫ) при ||*||< г (0<г=соп81); 3) постоянно действующие возмущения имеют структуру

К'МлО). •• •,?>(<), 0.....0)г

и кроме того НКОЦ < Ъ при всех (>10,Ь- достаточно малое положительное число, то нулевое решение системы (9) >>-устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в каждый момент времени.

Далее для случая многосвязной системы, подсистемы которой являются однородными порядка ц>1 функциями, доказана теорема об асимптотической устойчивости при постоянно действующих возмущениях и разработан алгоритм определения верхней границы постоянно действующих возмущений.

С помощью развитого здесь метода отыскания верхней границы решений системы (8) установить связь между е, 5 и у. Для этого, составляется соответствующий алгоритм.

Проведено исследование асимптотической устойчивости в целом положения равновесия относительно части фазовых переменных одной нелинейной управляемой динамической системы.

Во второй главе решаются вопросы корректного использования линеаризованных систем в динамике процессов. Линейные динамические системы, включая и линейные динамические системы с управлением, являются наиболее употребляемыми для исследования динамических процессов. Использование линейных динамических систем может привести к неприемлемому упрощению исследуемых нелинейных динамических систем. Однако следует отметить, что не всегда первое приближение линейное. Подтверждением тому являются критические случаи в теории устойчивости и случаи, когда линейное приближение с управлением не является управляемым. В этих случаях приходится привлекать в качестве первого приближения нелинейное первое приближение. Таким образом, с целью получения достоверных результатов необходимо иметь верхние оценки на решения рассматриваемых систем и оценки их линеаризации. В этой главе разработан конструктивный метод построения указанных оценок.

Рассматривается управляемая система

* (10) У- = Н2{С.Т1,гЛ

at

где Я, efi, ={C,tj>r,u,t:R"xRmxRk xR'xJ* -+R"}, Н2еП2 ={C,7]j,t: R" x Rm x Rk x J* Rk }, иRf x J* ->Rl, n + kkm + p.

Векторные функции g = £(t) и y = y(t) определяют фазовое состояние системы (10), а векторная функция r¡ = r¡{t) отражает помехи, действующие на систему, £ = f(t) - управляющая векторная функция, а « = «(£,/) - управление.

Пусть для системы (10) известен программный режим £ = <p(t), у = 0. Предположим, что система (10) приводится с помощью преобразования х = £- <p(t) к виду

dy_ dt

Ц- = B{t)y + C(t)z + Ф(/, г) + Z(t, y,z,y) + Д 2 (í), at

z(t0) = z0=£z(t0)-g>2(t0), (12)

^-=H1(y,z,y,r¡,t), r(to) = r0, (13)

at

где x = (yT,zT / ,y!-xí,zj=xk^j,s = l,kl,kl<n,j = l,n-kv

.....¿X') = (C(')>C('))r, C«=(')),

C. (0 = (CM,(0,..,a<)), 9>(0 <py(t) = to (0,(0),

<pz(/) = (pti+1 (/),..., <p„(/)), A{t),B(t) и C(f) - непрерывные ограниченные матрицы размерности ktxki,kixkx,k2xk1 соответственно, кроме того, (II II ЛII В(/) II л II С(0 II) < М, 0< М = const, вектор Д(<) = (Д^(0,Дг2('))Г определяет ошибку выбора программирующей функции /(<), вектор имеет размерность к„ а вектор Д2(?) - размерность *2; || Д,(0Д(, 0 < Д, = const, 1 = 1,2; векторные функции Ф(/,г), Z{t,y,z,y)~

непрерывные и удовлетворяют условиям

Y(t,0,z,r) = Z(t,0,z,y) = Ф(/,0) S 0, (14)

II r(W„r)||<<T, IIZ(f,y,z,y)ll<a2 IIy||1+M| Ф(/,г)||<a3 II . 0<(a 1ла2лдлл/?) = const.

Предположим, что для систем

at

= С(!)в

(16)

существуют соответственно функции Ляпунова VI (1,0) и г20,в), удовлетворяющие при />/0 следующим условиям: «ОМвН^С.*)* Ъг-\\6\t, (Ь1лЬ2)>0, с,-||0||2, С1>0,

Л

где - (¿у\\в\\2< -^2-||<9[|2, Мл ¿2)>0;

¿з-||<9 ||2< у2(/,<9)< Ьл-\\в ||2, (¿.Зл 64)>0,

,,2

(17)

(18)

(19)

(20) (21)

|Г< б)< |Г, №А^4)>0. (22)

Теорема 6. Пусть: I) для системы (11)-(13) справедливы все указанные условия на правые части включая и (14); 2) для систем (15) и (16) существуют соответственно функции V, (/,£?) и у2 (/,<?), удовлетворяющие условиям (17)—(22); 3) система

Л |(16Г

где

и2 . ,. , „ з-„2

2Ъ.

1+; Ж 2

-ж"'*

1+ — 26, 2

где

1" 2*,"2' 2 "

ЫН +А г)сг

2 Ь\п

имеет решения

0 <п1

с»

££!_Т

¿'4

262

■ щ

2Ь>'2 &

к р >*1

0 - щ

т

А.

1К

'кА

1+— 2Ь, 2

(2)

2Ь

< 2 &

А

Тогда:

а) справедливы оценки

вир || у(1) ||< шах

/

«,(о) 1ыи(1)

¿г а\с\ 1

2Ь' ^ ' 2 2 6, 2

вир || г(/) ||£ тах

А. аЗС2 7

26,' 1 4 76 2 V /0з /

приаГ

<1г А,с, -

26,' 1 2 26, 2 .

г

аГЬЛкт,™

¿4 °3С2 Г /

б) для разностей решений систем (11), (12) и их линеаризованного варианта

Л Л

ДОУ+А^О, Ж) = Уо> = В(0у + С(Ог + Л2(0, 2Со) = 20>

т. е. для разностей ¿ГДО = .У(')-И'). СЛО ~ справедливы

оценки

6^4

шах

\\

¿2 Г

2

2 2 Ь 2

6, а.

Здесь б,"2 < а|0) < 6'/2 < < Ь\12, а постоянные 5,

/ \ /

I1]

(о

А а1с1 г

9 >*1

26,'

26,2 ;

, пР

аЗС2 Т

V

определяются в процессе

доказательства, / = 1,2. Постоянные а,0> и определяются в процессе доказательства.

Построены также верхние оценки решений канонического вида квазилинейной системы дифференциальных уравнений и оценок

погрешностей ее линеаризации. Указанная система является математической моделью движения твердого тела в потенциальном поле сил.

Показано, что система допускает представление Л

- П1Х2,-\ + X2l > X2l-i (0) — X2l-!,0 >

(23)

= (л,2 - wf2)*2M - n,xlt + fiFll(xl,xJ,...,xil) + r2l(t), x2,(0) = X2I 0,

^21 _/„2 ...2

dt

a ее линеаризованный вариант -

Фн-l

= -«Лм + У2,' = *2М,0>

Л

(и,2 - Н-; - n,ylt + rv (0, ylt (0) = Х21Л,

dt

где |rf(i)|^, ¡^2,(-*1>*з>"->*п)|Н4*1 ' х = (х1>хз.....xn)> 0<(алR) = const,

Для решений системы (23) найдены также верхние оценки ее решений и оценки погрешностей линеаризации.

Далее рассматриваются нелинейные многосвязные динамические системы, связи между подсистемами которой могут отключаться, включаться или заранее неизвестным образом изменяться. При этом возникает проблема построения многосвязной системы с тем, чтобы изменения связей между подсистемами не нарушали устойчивоподобных свойств движений исходной системы.

Если устойчивоподобные свойства движений системы сохраняются при изменении связей, то говорят, что система обладает коннекгивно устойчивоподобными свойствами. Для отражения свойства изменения структуры в процессе функционирования в систему вводят фундаментальную матрицу связей Е и матрицу текущих связей Е. Будем считать, что они бинарны. Следует отметить, что при этом не нарушается общность исследований.

Предполагается, что многосвязная нелинейная динамическая система имеет гнездовую структуру, т.е. каждая подсистема имеет ту же структуру, что и исходная система. Система в окончательном виде записывается в виде

^ = + f\s{Ulsiyb-Jsqyq) + /гЛ'^хУи-^Уд) + rs(t), S=ïq, (24)

линеаризованный вариант, которой имеет вид

¿г -

= Л С, xs ) + fis ('> !sl*l >•••> hqxq ) + rs (0. * = (25)

Отметим, что решения систем являются абсолютно непрерывными функциями. Здесь Е = (еч , £ = (/,)„ - матрицы текущих связей. Будем считать, что для систем

= /.('.*.). « = (26)

т

существуют функции удовлетворяющие при каждом 5 = 1, <7

следующим условиям:

а) аик(\\ г, ||) < V, (/,*,)<; в„*<|| г, ||), (д„ л а,.) > 0;

б) V, (Г, г,) - V, (Л ^ < £, ||г, - г. ||, I > 0;

в) II), С, >0,

где D+vs(t,zs)\nв)=\im Бир-{уД/ + й,г, ч-А/Д^-уД^)}

производная Дини, н>(|| -||) - неограниченно строго возрастающая положительная функция, (аи лаг, л£, лс,)>0 - постоянные вещественные числа, г = (г^,...,гТк)Г, м>(0) = 0, /еУ.

Предполагается, что взаимосвязи в (24) и (25) подчинены условиям для всех ¿е£ и Ее Е:

Г) II /и(*,1'\уя,.Л*,уя)||< ¿А1уЬМ\\ у, II), Аи} >0; 7=1 ч

Д) II/гг(?>еАу3,...,е!Чуд)\\й ТА2.уеУ™2(\1 У] II)» Агу

7=1

причем Ь>0, £Аие* >0,/еГ,у, е Л"', 5 =

/.1 У-1

Для построения оценки погрешности линеаризации системы (24) при указанных структурных изменениях ее правых частей рассматривается система

Л

Со ) = *,<,= о, где ?,(/,*.,*,) = /.(/,<?, +*,)-/.('>*.);

Пусть для системы

лр - —

= = (27)

си

существуют функции у,, (/,£■,), удовлетворяющие условиям а)-в), т.е.

± = (р, ) + <Р„ (»./,А.....1,к£,) + /и ),

а') а31у/(||)•<|| ||),(а3, ла„)>О; б) -^Ц, ¿„ >0;

в') е, ||), с15 >0,5 = 1^.

Здесь функция у/(\\ • ||) - неофаниченно строго возрастающая положительная функция, у/(0) = 0. Будем считать, что справедливы также неравенства

^Ш'ЛК*! +«!),...,/«1(2, + «,))■-АЛй^,...,!^))^

< II) , где Вч ^ 0, * =й.

Теорема 7. Пусть: 1) для систем (26), (27) существуют функции Ляпунова V,.(/, е3), 5,7 = 1,9, удовлетворяющие условиям

а)-в), а')-в') соответственно; 2) уравнение ^^р+У'^ р2 + уйТ = 0 имеет

°2 а>

решения 0 2 р, < р2 при уЩ >0 и у2Щ> 0. Тогда: 1) решение ЯМоУо) системы (24) существует при всех / г /„ и, кроме того, при

справедлива коннективная оценка

вир || у,(/,/„*,) мГ

—тах{д2|>|| у (*0)||,/>,(•) I л

для всех 5 = т.е. данная оценка выполняется для всех ЬеЬ, ЕеЕ; 2) для разностей решений уравнения (24) и его линеаризованного варианта (25) справедлива коннективная оценка

вирЦеДОИ^Г

ш0

Рт(0

<44 (¿)

тах<р0,р,

уЩ у,(£)

V

которая также выполняется для всех £ е £, ЕеЕ.

Примечание. Доказательство теоремы содержит конструктивный алгоритм построения коннективных оценок погрешностей линеаризации.

В третьей главе предложен способ решения задачи оптимальной стабилизации нелинейной многосвязной управляемой системы с перекрывающимися декомпозициями путем расширения исходного фазового пространства с последующим его сужением.

Рассматривается нелинейная управляемая система

сЬс

= л л (х] )х + в, (х,)« + ), 5=1,^.

Ш J.l

и«)

Здесь и* — управления на локальном уровне (на уровне подсистемы), а подсистемы-перекрываются, и[- управления на глобальном уровне (на уровне системы), 5 = 1,<7. На примере системы третьего порядка подсистемы могут иметь вид (они отмечены пунктирными линиями)

сЬс1

Щ

сЬс-,

Л

л12 (*з)У*1 р--------—----- - 11

Л21{х1)

Л2(*2> • А2з(Хз) I Х2

^32 (х 2) ^33 (х 3 )А*3 J

. Л .'

Системе (28) ставится в расширенном фазовом пространстве в соответствие система

■ + В, (уЖ + =

1

(29)

Подсистемы системы (29) не являются перекрывающимися. Решение (28) и (29) связаны соотношением

х((, Г0, х0, и) = иу (<, *0, У(х0 ), и), при * > Г0,

где и-У=Е, и - эпик-матрица (имеет полный ранг по столбцам), V- моник-матрица (имеет полный ранг по столбцам), Е - единичная матрица.

Задача оптимальной стабилизации для системы (28) решается в три этапа, на первом этапе решается задача стабилизации на уровне подсистем системы (29). На втором этапе решается задача оптимальной стабилизации также для системы (29). Следует отметить, что подинтегральная функция функционала (критерия качества) в интегральной форме системы (29) выбирается с учетом устойчивости (асимптотической устойчивости) подсистемы. Чтобы получить решение задачи оптимальной стабилизации 4для системы (28), на заключительном третьем этапе используется (если это возможно) принцип включения (1кес1а М. а а!., 1981).

Основной целью четвертой главы является отождествление математических моделей динамических систем с одинаковыми качественными свойствами. Это достигается с помощью отображений, сохраняющих устойчивость, которые определяют отношение качественной эквивалентности между одной моделью динамической системы, называемой объектом исследования, и другой моделью динамической системы - системой сравнения. Приведены достаточные условия, при выполнении которых отображения сохраняют свойство устойчивости.

Полученные результаты об отображениях, сохраняющих устойчивость, применяются для вывода теоремы сравнения с целью проведения качественного анализа общих моделей динамических систем.

Эти результаты уточняют и обобщают многие известные исследования по методу сравнения моделей динамических систем и имеют более широкую область применения.

Здесь разработан единый подход к изучению устойчивости по Лагранжу на временном промежутке Т a J,J = {/ :|/| < °о|.

Определение 1. 1) Пусть (Х,р) - метрическое пространство и АсХ, Tg.J. Для фиксированной пары (t0,a)eTхА отображение ç(-,t0,a):Th/i называется движением, если <p{-,t0,a) = a, где

Thia = [/0,/*]и7\ t* >t0 и t* конечно или бесконечно.

2) Пусть Ф : T X - семейство движений. Тогда тройка 2 = {Г,Х,Ф}

называется общей математической моделью динамической системы.

Общая математическая модель S включает математические модели, построенные на решениях обыкновенных дифференциальных уравнений, разностных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений и т. п., а также математические модели, порождаемые полугруппами, системы сравнения которых определяются дифференциальными неравенствами и включениями. Кроме того, указанный подход дает возможность обобщить общепринятое понятие математической модели динамической системы. Следовательно, определение общей математической модели динамической системы позволяет включить новые классы моделей. Для рассматриваемых моделей динамических систем определены различные понятия устойчивости по Лагранжу движений на промежутке времени Т.

Каждому движению <f{-, /0, <з)еФ, определенному на Гп[г0,оо), сопоставим w-предельное множество

Çî(<p)=\xeX\х = lim q>{t„,tü,a)>,

I и-»00 J

где {fn} с а> - возрастающая последовательность, такая, что г„-> со при л-»<».

Определение 2. Множество AczX называется инвариантным относительно математической модели 2, если из аеА следует, что <p(t, f0, a)sA для всех teT° и всех феФ.

Для краткости выражение «А инвариантно относительно Ф» будем заменять выражением «(Ф,А) инвариантно».

Если (Ф, {*о}) инвариантно, то точка х0 называется положением равновесия (точкой покоя).

Непрерывная функция h : [0, rj R+ (или h : [0, со) -> R+) принадлежит классу H и записывается как <реН, если й(0) = 0 и h строго возрастает на [0, п] (или на [0,оо)). Непрерывная функция h принадлежит

классу Я* и записывается в виде /ге//\ если Л: /?+ ->кеН и /г(г)->+ао при г -»оо.

В дальнейшем для двух общих моделей £/= Ф,}, / = 1,2 выражение «устойчивость (Фь^) эквивалентна устойчивости (Ф2, Л2)» будет выражать тот факт, что (Ф\,А\) устойчиво в том и только в том случае, если (Ф2, А2) устойчиво.

Пусть {Хь Ф,} - общие математические модели динамической системы, г = 1,2.

Определение 3. Отображение У:Х\хТ-+Х2 назовем отображением, сохраняющим устойчивость, из (Фь^О в (Фг> А2), если V удовлетворяет условиям

а) Ф2 = К(Ф,)= {чЩ0,Ь)\^,10,Ь)=У(<р(и0,а), /)при 6= ^(Ф,(а),/0)}; '

б)Л2 = = {х2вХ2:х2 = О, х^Ми ГеТ}\

в) устойчивость (Фь А 0 эквивалентна устойчивости (Ф2, Л2).

Отображение К назовем отображением, строго сохраняющим

устойчивость, если V удовлетворяет условиям а)—в) и если

г) асимптотическая устойчивость, равномерная устойчивость и равномерная асимптотическая устойчивость (Ф\,А\) и (Ф2, А2) соответственно эквивалентны.

Теорема 8. Пусть {Хь Ф/},/= 1,2,- две общие математические модели динамических систем. Предположим, что отображение У:Хху.Т-^Х2, У(х, г) непрерывно по дгеХ] дам каждого фиксированного (еТ и У обладает следующими свойствами: 1) Ф2= К(Ф0; 2) существуют функции йь й2е#, удовлетворяющие неравенствам

Л,)) < /), Л2) < ^ О)

для /е Г, где р1,р2 - метрики на ХьХ2 соответственно. Тогда

отображение V является отображением, строго сохраняющим устойчивость. Кроме того, если в условии 2) функции И,(г) = а,г1, а, >0, Ъ, >0, / = 1,2, то отображение У является отображением, сохраняющим экспоненциальную устойчивость, т.е. экспоненциальная устойчивость "множества (Ф\,А\) эквивалентна экспоненциальной устойчивости множества (Ф2, А2).

Теорема 9. Пусть "выполнены условия 1) и 2) теоремы 8 с функциями /гь й2еЯ* и множества А\ и А2 ограничены. Тогда:

а) равномерная устойчивость по Лагранжу (ФиА]) на промежутке Г эквивалентна равномерной устойчивости по Лагранжу (Ф2, А2)\

б) равномерная предельная устойчивость по Лагранжу (Фь^О эквивалентна равномерной предельной устойчивости по Лагранжу (Ф2, А2).

Теорема 10. Пусть {Х„ Ф,}, / = 1,2 - две общие математические модели динамических систем. Пусть отображение У:Х,хТ->Х2, 0 непрерывно по дгеА^ для каждого фиксированного 1еТ и У обладает следующими свойствами: 1) У(Ф])с.Ф2, 2) существуют функции /гь И2еН, такие, что выполнены неравенства

/7,(А(*,Л1))<Л( У{х,(),Аг)<,Ь2(рх{х,Ах)1 хеХи 1еТ, где Р\,Р1 - метрики на Х\,Х% соответственно. Тогда имеют место следующие утверждения:

а) из инвариантности (Ф2, А2) вытекает инвариантность (Фь А]);

б) устойчивость, асимптотическая устойчивость, равномерная устойчивость и равномерная асимптотическая устойчивость для (Ф2, Л2) влекут наличие соответствующих типов устойчивости для (ФиА{);

в) если в условии 2) Иу(г)-агь, а>О, Ъ>О, то из экспоненциальной устойчивости (Ф2, Аг) вытекает экспоненциальная устойчивость (Фь А\)]

г) если множества А1> А2 ограничены и если в условии 2) функции А],И2еН, то равномерная устойчивость по Лагранжу на промежутке времени Т и равномерная предельная устойчивость по Лагранжу на промежутке Т семейства Ф2 означают наличие тех же самых типов устойчивости для семейства Ф\.

Сформулируем подход к изучению устойчивости Т. = (Т,Х, Ф). Заданная математическая модель Е, (объект исследования) отображается на математическую модель 12 (систему сравнения). Предполагается, что свойства устойчивости по Лагранжу на промежутке Т в модели Иг известны. Если отображение сохраняет устойчивость, то свойства устойчивости по Лагранжу в модели 2, выводятся из свойств устойчивости по Лагранжу на Т в модели Е2. В этом подходе известные свойства устойчивости в модели 2! фиксируются выбором сохраняющего устойчивость отображения V и выбором системы сравнения Е2.

В этой главе также разрабатывается единый подход к изучению частичной устойчивости по Лагранжу на временном промежутке Т в общей математической модели 1, = (Т,Х,Ф) на базе сохраняющих «частичную» устойчивость отображений. Употребление термина «частичная устойчивость» по сравнению с понятием «устойчивость» относительно части переменных является более предпочтительным, так как здесь рассматриваются в общем случае бесконечномерные пространства.

Полученные в этом пункте результаты являются основой для теории сравнения для общих математических моделей.

Проведено доказательство, что для нелинейных динамических систем различные виды устойчивости по Лагранжу являются частными случаями устойчивости по Лагранжу относительно двух полуцилиндров.

В пятой главе проведено исследование устойчивости по Лагранжу и осуществлен качественный анализ математических моделей транспортных динамических систем.

Изучен предельный режим движений и структура множества устойчивых по Лагранжу движений в скалярной и векторной моделях движения железнодорожного экипажа. Здесь проведено исследование устойчивости по Лагранжу в будущем и в целом. Доказана теорема о

существовании со -периодического решения в зоне устойчивости по Лагранжу в будущем. Согласно её условиям свободный член уравнения Льенара является о-периодической функцией. Показано, что если, по крайней мере, одно решение векторного уравнения движения железнодорожного экипажа с почти периодической правой частью -устойчивое по Лагранжу в будущем, то существует единственное решение этого уравнения, устойчивое по Лагранжу в целом, причем указанное решение и его первая и вторая производные являются почти периодическими. Кроме того, показано, что каждое решение, устойчивое по Лагранжу в будущем, является асимптотически почти периодическим.

Рассмотрим векторную модель Льенара:

х, + ей, + gt(x) = лl (0.' = 1.(30) где я-(/) = (щ (').-,- почти периодическая, по Бору функция, 0<</ = соп51, g(x) = (g^(x),...,g„(xУ): М-^Я" - непрерывная функция, М с Я" - открытое выпуклое множество, функции gl(x) являются строго монотонными.

Определение 4. Функция *(/): (с,+оо) Л", где се(-оо,+оо), называется устойчивой по Лагранжу в будущем, если существуют числа /0 > с и числа ах, Ьх такие, что

а < а, < *,(г) < ¿>, < Ъ при I > /0, / = 1,и.

Теорема 11. Если система (30) имеет, по крайней мере, одно решение, устойчивое по Лагранжу в будущем, то существует единственное решение х, =$»,(/)> ' = 1,и, системы (30), устойчивое по Лагранжу на Л'7, причем решение ср, (/) и его первая и вторая производные являются почти периодическими. Каждое решение х, (/), / = \,п, устойчивое по Лагранжу в будущем, является асимптотически почти периодическим, т.е. решение ср,(/) и хДО удовлетворяет соотношениям

Иш (¡х, (1)-<Р, С)| + |х,(О-0, (0|) = 0, / = й •

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 11, причем функция л(/): У -> Л" является квазипериодической с частотой Л = (Я,,...,Ят) е Ят. Тогда почти периодическое решение уравнения (30) будет квазипериодическим с частотой Л = (Л1,...,Лт).

Проведено исследование вопросов об устойчивости по Лагранжу математических моделей, описываемых операторными дифференциальными уравнениями второго порядка в гильбертовом пространстве. Здесь предложен подход к изучению устойчивости по Лагранжу, базирующийся на свойствах операторов, входящих в дифференциальные уравнения второго порядка.

л1 л

где А, В и С - операторы в гильбертовом пространстве Я, удовлетворяющие условиям

А' =А> О, В' = -В, С' = С. (31)

Если н - евклидово пространство, то операторы а, в и с являются матрицами, удовлетворяющими условиям (31).

Изучен также вопрос об устойчивости решений по Лагранжу в случае, когда операторы а, в и с аналитически зависят от некоторого параметра /и, т.е. А(/л),В(/л) и С{/л) имеют разложения Тейлора для каждой точки ц = /х0. Точечный спектр соответствующей операторной функции ЦЛ) = £ А + ЛВ + С непрерывно зависит от ц.

Теорема 12. Пусть 1) р1 = Ма - критическое значение параметра /л и Лц = Л(Мц) ~ мнимое собственное значение ЦЛ); 2) все ненулевые собственные векторы хй е ЩЦЛ^,удовлетворяют условию О. Тогда собственное значение Л, устойчиво по параметру, если Л, элементарно, и неустойчиво по параметру, если Л„ вырождено.

Разработан алгоритм нахождения устойчивого собственного значения Л^, базирующегося на теореме 12, который состоит из следующих этапов

Этап 1. Находим нуль-пространство N=N(1(^0, ц0)); полагаем и= =<НтЛг<°°.

Этап 2. Выбираем в пространстве N ортонормированный базис еи..., еп-

Этап 3. Составляем матрицу Грама

М.НК 11=(£>„е,).

Этап 4. Исследуем на разрешимость уравнение Ь' (Хо)хо + Ь (ко)х* = 0. Теорема применима, если матрица М1 является знакоопределенной.

Найдены новые условия существования зоны устойчивости по Лагранжу движения железнодорожного экипажа в модели Н. Н. Лузина. В частности, изучены установившиеся режимы уравнения

(32),

«в

к которому приведено уравнение железнодорожного экипажа

^-//М-*М-1000|). (32)2

где v - скорость движения экипажа, s — длина пути по криволинейному

профилю, (/(v)-g(v)) - сила, движущая экипаж, — - синус угла наклона

ds

касательной профиля к горизонту, д - коэффициент, равный 124, 125 или 126.

Математическую модель движения железнодорожного экипажа

^ = (33)

as

где g(x,s) определена на множестве П: s > 0 , дг[< х< х2, назовем моделью H.H. Лузина.

Следует отметить, что уравнение (33) соответствует более общему случаю по сравнению с уравнениями (32)], (32)2.

Пусть g(x,s) в уравнении (33) правые части удовлетворяют условиям:

(Li) g(s, х) непрерывна по (s, х) на множестве П; (L2) уравнение g(s,x)=0 определяет однозначную непрерывную функцию дг=сф), график которой при s > 0 лежит внутри множества П; (L3) g(s¿c) периодична относительно s с периодом ю : g(s+c¡>, (L4) g(s, дг) монотонно убывает (или возрастает) относительно х. Теорема 13. Пусть 1) функция g($, *) на множестве s > 0, Jti < х < ос (s) имеет знак, противоположный ее знаку на множестве

s > 0, a(s) <х£х2; 2) функция g(s, х) удовлетворяет условиям (Li)-(L-¡). Тогда модель (33) Н. Н. Лузина имеет, по крайней мере, одно периодическое решение х = = **(.?) с периодом со.

Теорема 14. Пусть выполнены условия (¿i)-(I4)- Тогда справедливо заключение теоремы 13.

Теорема 15. Пусть функция g(sjc) удовлетворяет условиям (¿i)-(¿4). "Тогда модель (33) имеет единственное периодическое решение периода ю.

(Li) существования производной g'x(s,x); (L6) офаниченности и непрерывности произвбдной g^í,*); (¿7) существования a(s) такой, что

s

g'x >G(s) и JG(í)ds +оо при í -> +оо. so

Теорема 16. Пусть функция g(s, л) удовлетворяет условиям (¿¡)-(L3) и, кроме того, условиям

g(s,x)> О, s> О, х,< x<a(s), ф,х)<0, s>0,a(s)<x<x2. Тогда каждое движение x(s) модели (33) попадает в зону устойчивости при s-> + оо и будет в ней всегда оставаться:

*(£) е 5, 3 те 5 >х.

Теорема 17. Пусть функция х) удовлетворяет условиям и монотонно убывает относительно х. Тогда каждое движение *(.?) модели (33) приближается к периодическому движению **(/) при 5 -> +оо, причем существует предел

*

А= Игл ]*(*)-*

где 0< К < т2-т\.

Доказано, что движение колесной пары будет устойчивым в смысле Лагранжа в положительном направлении, т.е. замыкание положительной полутраектории движения является компактным. Здесь также доказано, что существует скорость, при которой амплитуда колебаний колесной пары достигает наибольшего значения, при которой возникает явление резонанса. Полученный вывод справедлив и в случае отсутствия скольжения колес по рельсам.

Проведено исследование устойчивости, бифуркаций и оценка критической скорости движения рельсового экипажа.

В изучаемой математической модели рассмотрены поперечные движения и движения скольжения каждой колесной пары; поперечные, вращающие движения и скольжения каждой тележки и движения пассажирского вагона. Предполагается, что колесно-рельсовая контактная геометрия имеет плоскую форму. Уравнения движения железнодорожного экипажа записываются в виде нелинейного многомерного дифференциального уравнения

х^х,*), (34)

где х е Д34 - вектор состояния динамической системы; V - скорость экипажа, являющаяся управляющим параметром в (34).

Объект, описываемый уравнением (34), обозначен через О(у). Он зависит от параметра у и называется бифуркационным при у = уо, если в любой окрестности значения у0 параметра V, называемого бифуркационным значением, или точкой бифуркации, исследуемое свойство объекта 0(у) не является одинаковым для всех значений этого параметра. Соответствующие аккуратные определения понятия бифуркации различны в разных случаях, но они с теми или иными изменениями следуют двум вариантам. При первом варианте изучаемые свойства объекта 0(у) обусловлены свойствами других объектов О*, определенным образом связанных с ним. Бифуркация заключается в том, что при изменении V объекты О* или исчезают, или возникают. В частности, объекты могут сливаться друг с другом или из одного объекта могут возникать несколько. При втором варианте сначала для объектов О(у) устанавливается эквивалентность двух подобных объектов. Изменение свойств О(у) в окрестности точки Уо бифуркации вызвано наличием значений у с неэквивалентными объектами О(у).

Динамическая система, описываемая уравнением (34), относится к однопараметрическим семействам потоков. При этом необходимо выяснить с точки зрения теории динамических систем, когда бифуркация является «типичной», т.е. сохраняет ли свой характер при малом изменении рассматриваемого семейства.

Рассмотрим бифуркации типа седло-узел многомерного уравнения x = g(x,v), где х е Я", у е Ях. Запишем систему в виде

•* = £(•*,V), у = 0,хеД", уеД1. (35)

Предположим, что g(x0,у0) = 0. Тогда точка (х0,у0) является состоянием равновесия уравнения (35). Если матрица Якоби £г'х(л:0,у0) имеет одно собственное значение, равное нулю, а все остальные собственные значения лежат в левой полуплоскости, то в пространстве Я"*1 существует двумерное центральное многообразие IVе. Так как у = О, то имеется и второе собственное значение, равное нулю. Поэтому поток на центральном многообразии IVе представляет семейство одномерных потоков: каждому значению параметра у соответствует поток на

При у = у0 в точке х0 наблюдается бифуркация типа седло-узел, если семейство потоков на IVе удовлетворяет условиям

8(х о^о) = 0, (*0,у0) = 0, (*0,у0) * О,

дхг

При седло-узловой бифуркации устойчивое состояние равновесия исчезает в результате «слияния» с седловой точкой. Перейдем к проблеме вычисления бифуркационных значений скорости движения железнодорожного экипажа. Разлагая правую часть g(x,v) уравнения (34) в ряд Тейлора, получим дифференциальное уравнение вида

х = £(у)х, х е Я34,

'где Ду) = ||а&,/&, ||,;,./ = 1^4 (36)

является матрицей Якоби относительно скорости у рельсового экипажа. Устойчивость состояния покоя (х = 0) уравнения (35) обусловлена характером собственных значений матрицы (36). При малых скоростях экипажа все собственные значения матрицы имеют отрицательные вещественные части, тогда состояние покоя асимптотически устойчиво. При возрастании скорости у экипажа и достижения критического значения скорости Уцр пара комплексно сопряженных значений пересекает мнимую

ось, состояние покоя теряет устойчивость и изолированный цикл будет бифуркировать из состояния покоя уравнения (35).

В случае бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа имеем = ц(укр)+гсо (укр), ц(укр)=0, ф(укр) Л * 0 ,

где Х])2 - пара собственных значений с наибольшей вещественной частью.

Бифуркационное значение скорости укр определяется как линейная критическая скорость, которая вычисляется с помощью выбранного численного метода, например метода дихотомии с использованием ОЛ-алгоритма Френсиса. Составлен алгоритм для вычисления бифуркационного значения скорости укр, который состоит из следующих этапов определения изолированного центра.

Этап 7/. Устанавливаем начальную скорость у0, шаг скорости ^ и контрольную точность Ер.

Этап 2]. Используем метод конечных разностей для вычисления

матрицы Якоби £>(у) =

дх.

/,./=1,2.....34.

Этап 3/. Применяем <ЗР1-алгоритм Френсиса для вычисления всех собственных значений матрицы й(\).

Этап 41. Находим интервал скоростей (уь у2), в котором максимум вещественной части собственных значений меняет знак "+" на" -".

Этап 5]. Используя метод дихотомии в интервале скоростей у2) и повторяя этапы 2Х и Зи находим бифуркационное значение V*

СЖ-алгоритм Френсиса определяется соотношением где (¿т - ортогональная, & Ят - верхнетреугольная матрицы. Последовательно получаем

В пределе последовательность матрицы О (у) стремится к квазидиагональной форме. Устойчивость метода Френсиса обусловлена использованием ортогональных преобразующих матриц.

Далее приведем алгоритм нахождения изолированного цикла Этап 1. Выбираем начальные значения

х,(0) = 0, / = 1,2,..., 34, I* 18, х18(0) = х0, где дг0 мало; ©о= 2я/Ц(У,р), Уо = гКр. Этап 2. Методом Рунге-Кутта с переменным шагом интегрируем на

отрезке [0,1] уравнение — = при г= / ш-1 и получаем уравнение

йх

Ъ{х,со, у) =д:(1) — дг(0) =Ддг,ю,у) -хф) = 0 (37)

Этап 3. Применяем метод Ньютона для решения уравнения (37) повторяем этап 2 для каждой итерации. Если норма ||дг||2 меньше, чем контрольная точность, то изолированный цикл определен.

Этап 4. Принимая найденный изолированный цикл в качестве начального значения, вычисляем последующий изолированный цикл, полагая я18(0) = Хо+па, где п - число изолированных циклов; а - амплитуда приращения. Тогда новый изолированный цикл может бьггь получен выполнением этапов 2 и 3. Таким образом может быть получена бифуркационная диаграмма скорости у изучаемой задачи.

Также проведено исследование вопроса потери орбитальной устойчивости периодического решения при изменении V.

В связи с проектированием и внедрением скоростного рельсового подвижного состава и необходимостью увеличения критических скоростей движения актуальной становиться задача изучения качественного поведения и устойчивости математических моделей железнодорожного транспорта. Разработана методика оценки критической скорости движения, базирующаяся на теории устойчивости и теории бифуркаций. Полученные результаты обосновывают тот факт, что экстремальная точка значения скорости, в которой возникает предельный цикл, служит граничной точкой для скорости, обеспечивающей безопасность движения высокоскоростного рельсового экипажа.

В Заключении перечислены основные результаты, выносимые на

защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработан метод исследования асимптотической устойчивости степенного вида «частичного» положения равновесия по одной части фазовых переменных, а по другой - равномерной ограниченности движений для нелинейных управляемых динамических систем с однородной главной частью. Аналогичный метод разработан и для многосвязных динамических систем.

2. Получены условия устойчивости при постоянно действующих возмущениях для нелинейных динамических систем с однородной главной частью и разработан алгоритм определения верхней границы постоянно действующих возмущений. Установлены признаки асимптотической устойчивости и устойчивости при постоянно действующих возмущениях в малом и в целом относительно всех и части фазовых переменных многосвязной системы, правые части подсистем которой являются однородными функциями. Найдены условия полиограниченности движений относительно части переменных существенно нелинейной динамической системы.

3.Дано развитие прямого метода Ляпунова применительно к исследованию асимптотической устойчивости в целом положения

равновесия относительно части фазовых переменных нелинейной многосвязной управляемой динамической системы. Получены теоремы об

ч г о сГч

асимптотической ^в целом положения равновесия относительно части фазовых переменных указанной системы, доказательство которых проводится с использованием семейства функций Ляпунова, обладающего более слабыми ограничениями по сравнению с ранее используемыми для этих целей функциями Ляпунова.

4. Разработаны конструктивные методы построения верхних оценок движений (коннективных верхних оценок движений) нелинейных управляемых динамических систем и оценок погрешностей (коннективных оценок погрешностей) их линеаризации. Тем самым решен ряд задач о корректности использования линеаризованных систем в динамической безопасности процессов и теории управления.

5. Поставлена и решена задача оптимальной стабилизации многосвязных систем с пересекающимися декомпозициями,

6. Развит метод сравнения исследования устойчивости (частичной устойчивости) по Лагранжу в динамических системах на базе отображений, сохраняющих устойчивость (соответственно, частичную устойчивость), а также метод Йосидзавы-Селла исследования устойчивости по Лагранжу относительно двух полуцилиндров для нелинейных динамических систем.

7. Проведен качественный анализ и получены условия устойчивости по Лагранжу в будущем и в целом, как для скалярного, так и для векторного уравнений Льенара, являющихся математическими моделями движения железнодорожного экипажа. Найдены условия существования зон динамической безопасности в модели Н. Н. Лузина движения железнодорожного экипажа. Развит метод управления движением транспортных динамических систем, основанный на использовании бифуркационной диаграммы.

8. Разработан алгоритм вычисления бифуркационного значения одного из основных параметров при изучении динамической безопасности транспортных систем - критической скорости, а также алгоритм определения устойчивого собственного значения линейного оператора второго порядка.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Щенникова Е.В. Устойчивоподобные свойства решений нелинейных управляемых систем. Монография. М.: Изд-во РУДН, 2006. 122 с.

2. Щенникова Е.В. Функции Ляпунова и ограниченность в пределе относительно части переменных // Матем. моделирование. 1997. Т. 9. № 10. С. 24.

3. Щенников В.Н.,Щенникова Е.В. Оценки погрешности линеаризации относительно части и всех фазовых переменных // Дифференц. уравнения. 2001. Т.37.№1.С.132-133.

4. Шестаков A.A., Дружинина О.В., Щенникова Е.В. Об условиях устойчивости движения железнодорожной колесной пары // НТТ - Наука и техника транспорта. 2004. №2. С. 68-72.

5. Щенникова Е.В. Оценка нормы погрешности линеаризации и векторные функции Ляпунова // Интеграция образования. 2004. №4 (37). С. 166-169.

6. Дикусар В.В., Щенникова Е.В. Об устойчивости в смысле Лагранжа математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка // Вопросы моделирования и анализа в задачах принятия решений: Сб. науч. работ. М.: ВЦ им. A.A. Дородницына

»PAH, 2004.С. 175-180.

7. Щенникова Е.В. Построение оценки погрешности линеаризации одной- квазилинейной системы дифференциальных уравнений // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика». 2005. Т.4. №1. С.76-81.

8. Дружинина О.В., Ильина Т.А., Щенникова Е.В. О прочности в смысле Жуковского инвариантных множеств динамических систем // Вопросы теории устойчивости и безопасности систем: Сб. науч. работ. М.: ВЦ им. A.A. Дородницына РАН. 2005. Вып. 7(2). С.3-8.

9. Щенникова Е.В. Полиограниченность относительно части фазовых переменных решений одной нелинейной управляемой системы в аспекте реализации принципа развивающего обучения // Интеграция образования. 2006. №1. С. 166-168.

10. Щенникова Е.В., Шестаков A.A., Дружинина О.В. Исследование устойчивости бифуркаций и оценка критической скорости движения железнодорожного экипажа // Транспорт: наука, техника, управление. М.: ВИНИТИ РАН, 2006. №10. С. 3-7.

11. Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Асимптотическая устойчивость в целом нулевого решения сложной системы относительно части переменных // Вестник Мордовского ун-та. 1998. № 3-4. С. 72-75.

12. Щенникова Е.В. Оптимальная стабилизация манипуляционной системы при постоянных -возмущениях // Математическое моделирование сложных систем. Сб. науч. тр. Санкт-Петербург: СПбГУ, 1999. С. 66-69.

13. Щенникова Е.В. О предельном режиме решений уравнения Льенара // Методы исследования технической устойчивости и качественных свойств систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 2003. С. 62-65.

14. Щенникова Е.В. Об устойчивости и ограниченности решений одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Application of the "Mathematica" system to social processes and mathematical physics. Proc. of the International Workshop (Brest, 3-6 June 2003). Брестский гос. ун-т им. A.C. Пушкина, Wyzsza szkola fïnansow i zarzadzania w Siedlcach, Polska, 2003. C. 230-233.

15. Дружинина O.B., Щенникова E.B. О понятиях устойчивости по Лагранжу интегрального множества относительно двух полуцилиндров // Качественное исследование и устойчивость математических моделей транспортных динамических систем. Межвуз. сб. науч. тр. М.: РГОТУПС, 2004. С. 21-25.

16. Щенникова Е.В. Вопросы математического моделирования L-устойчивых динамических систем // Математическое моделирование транспортных динамических систем: устойчивость и качественный анализ: Межвуз. сб. науч. тр. М.: РГОТУПС, 2004. С. 59-61.

17. Щенникова Е.В. Условия устойчивости по Лагранжу интегрального множества относительно двух полуцилиндров // Качественное исследование и устойчивость математических моделей транспортных динамических систем. Межвуз. сб. науч. тр. М.: РГОТУПС, 2004. С. 70-74.

18. Дружинина О.В., Щенникова Е.В. О достаточных условиях существования зоны стабильности решений уравнения движения железнодорожного экипажа // Устойчивость и качественный анализ математических моделей динамических систем транспорта. Межвуз. сб. науч. тр. М.: РГОТУПС, 2005. С.76-80.

19. Щенникова Е.В. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Технические и естественные науки: проблемы, теория, эксперимент. Межвуз. сб. науч. тр. Саранск: Мордовский гос. ун-т, 2005. Вып.У. С. 54-56.

20. Щенникова E.B. О характере множества устойчивых по Лагранжу решений в векторной модели Льенара // Качественное и численное исследование математических моделей динамических систем. Межвуз. сб. научн. тр. М.: РГОТУПС, 2006. С. 93-95.

21. .Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Оценки погрешности линеаризации относительно части и всех фазовых переменных // Деп. ред. журнала «Дифференц. уравнения». Минск, 2000. Деп. в ВИНИТИ РАН. 24.07.2000, № 2054-ВОО. 11 с.

22. Щенникова Е.В. Об ограниченности движений периодического динамического процесса // Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта: Тез. докл. второй межвузовской научно-метод. конф. М.: РГОТУПС, 1997. С. 130.

23. Щенникова Е.В. Асимптотическая устойчивость сложных систем II Сб. науч. трудов. III конф. молодых ученых Мордовского гос. унта им. Н.П. Огарёва. Ч. 1. Саранск, 1998. С. 222.

24. Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Функции Ляпунова и оценки погрешности линеаризации // Тез. докл. Четвертого Ахметгалеевского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань, 2000. С. 51.

25. Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Устойчивоподобные свойства решений относительно части фазовых переменных нелинейных управляемых систем // Тез. докл. Международной конф. «Третьи научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 80-летию со дня рождения Ю.С. Богданова». Минск, 2001. С. 86.

26. Щенникова Е.В. Асимптотическая устойчивость и равномерная ограниченность в пределе решений относительно части переменных системы дифференциальных уравнений второго порядка // Материалы научной конференции «XXX Огаревские чтения» (естественные и технические науки). Саранск, 2001. С. 245-247.

27. Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Метод линеаризации нелинейных систем дифференциальных уравнений // Тез. докл. Второго "Международного Конгресса «Нелинейный динамический анализ». М. 2002. С. 204.

28. Щенникова Е.В. Функции Ляпунова и оценки погрешности в задачах программного регулирования // Тез. докл. VIII Четаевской Международной конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань, 2002. С. 128.

29. Щенникова Е.В. Об устойчивости по Лагранжу множества движений в общих потоках // Тез. докл. XL Всероссийской научн. конф. по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания. М.: РУДН, 2004. С. 12-14.

30. Щенникова Е.В. Построение оценки погрешности линеаризации математической модели колебания твердого тела в потенциальном поле сил // Тез. докл. Пятого Международного симпозиума

по классической и небесной механике. Москва-Великие Луки: ВЦ РАН, 2004. С.218-219.

31. Дружинина О.В., Щенникова Е.В. О структуре множества устойчивых по Лагранжу решений // Тез. докл. XLI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. Секции математики и информатики. М.: Изд-во РУДН, 2005. С.9-10.

32. Щенникова Е.В. Построение оценки погрешности линеаризации одной гироскопической системы // Устойчивость и процессы управления. Труды Междунар. конф. Т. 3. СПб: СПбГУ, 2005. С.

УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ И АНАЛИЗ ИХ УСТОЙЧИВОСТИ

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (физико-математические науки)

1700.

ЩЕННИКОВА Елена Владимировна

Тип.зак.

Изд. зак. Гарнитура Times

Тираж 120 экз. Офсет

Формат 60x90

Подписано в печать 12.12.06 Усл. печ. л. 2,0

1/16

Издательский центр РГОТУПСа, 125993, Москва, Часовая ул., 22/2

Участок оперативной печати РГОТУПСа, 125993, Москва, Часовая ул., 22/2

Введение.

ГЛАВА 1. Устойчивость и качественный анализ нелинейных управляемых динамических систем.

1.1. Исследование устойчивоподобных свойств, решений нелинейных управляемых динамических систем.

1.2. Полиограниченность относительно части фазовых переменных движений одной нелинейной системы.

1.3. Устойчивость нелинейных динамических систем при постоянно действующих возмущениях.

1.4. Асимптотическая устойчивость в целом относительно части фазовых переменных одной многосвязной управляемой системы.

ГЛАВА 2. Корректность использования в динамике процессов линеаризованных управляемых динамических систем.

2.1. Построение оценок погрешностей линеаризации нелинейных управляемых динамических систем относительно части и всех фазовых переменных.

2.2. Построение оценок погрешностей линеаризации одной квазилинейной управляемой системы.

2.3. Конвективные оценки погрешностей линеаризации нелинейных динамических систем.

ГЛАВА 3. Оптимальная стабилиация программного движения многосвязной системы с перекрывающимися декомпозициями.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Решение задачи оптимальной стабилизации программного движения многосвязной системы с перекрывающимися декомпозициями.

ГЛАВА 4. Устойчивость по Лагранжу инвариантных множеств в общих динамических системах.

4.1. Устойчивость по Лагранжу в теории Йосидзавы - Селла.

4.2. Единый подход к изучению устойчивости по Лагранжу на временном промежутке в общей математической модели на базе сохраняющих устойчивость отображений.

4.3. Единый подход к изучению частичной устойчивости по Лагранжу на временном промежутке в общей математической модели на базе сохраняющих частичную устойчивость отображений.

ГЛАВА 5. Устойчивость по Лагранжу и качественный анализ математических моделей транспортных динамических систем.

5.1. Предельный режим движений и структура множества устойчивых по Лагранжу движений в скалярной и векторных моделях движения железнодорожного транспорта.

5.2. Алгоритм исследования устойчивости по Лагранжу движения математической модели, описываемой операторным дифференциальным уравнением второго поряка.

5.3. Условие существования зоны устойчивости по Лагранжу в модели Н.Н. Лузина движения железнодорожного экипажа.

5.4. Условия устойчивости по Лагранжу движения в математической модели железнодорожной колесной пары.

5.5. Управление скоростью движения железнодорожного экипажа и оценка критической скорости движения.

В настоящее время предъявляются повышенные требования к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических процессов, а также к их управлению. В связи с чем, возникают новые математические модели динамических процессов, описывающиеся существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений. При этом появляется потребность в развитии теории нелинейных динамических систем, расширении понимания целей управления, возрастании практического значения учета в математических моделях параметрических и постоянно действующих возмущений, а также структурных неопределенностей. Кроме того, развитие компьютерной техники, программного обеспечения, сбор и обработка данных на базе микропроцессорных систем приводит к необходимости развивать математический аппарат, разрабатывать новые, направленные на практическое использование, качественные и приближенно-аналитические методы исследования нелинейных управляемых динамических систем. В конечном счете указанные методы могут служить целям обеспечения оптимальных условий работы и повышения безопасности функционирования сложных технических систем, а построение алгоритмов исследования их устойчивости позволяет проводить анализ влияния различных проектных параметров на качество функционирования того или иного сложного технического объекта. Все это составляет одну из ключевых проблем системного анализа. Необходимым математическим аппаратом описания процессов динамики и управления динамическими системами являются нелинейные системы (многосвязные системы) обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому проблемы создания новых эффективных методов анализа и методов управления различными техническими объектами и технологическими комплексами предопределяют развитие методов исследования управляемых динамических систем. В большинстве задач технического характера структура управляемых динамических систем и ее параметры известны с некоторой погрешностью. Следовательно, необходимым требованием к нелинейным управляемым динамическим системам является их устойчивость (в том или ином смысле) по отношению к структурным и внешним возмущениям.

Основы теории устойчивости движения были разработаны великим русским ученым A.M. Ляпуновым [108]. В частности, он дал развитие первого и второго (прямого) методов Ляпунова.

В условиях первого метода Ляпунова требуется знать решения систем дифференциальных уравнений возмущенного движения и их оценки, что делает решение задачи об устойчивости трудной задачей.

Прямой метод Ляпунова есть метод качественного исследования устойчивости. Идея прямого метода Ляпунова состоит в том, что решение задачи об устойчивости заключается в построении вспомогательных функций, обладающих необходимыми свойствами. Эти функции называют функциями Ляпунова.

Прямой метод Ляпунова является основным методом исследования устойчивоподобных свойств нелинейных управляемых систем (равно как и неуправляемых). В связи с потребностями науки и техники он получил развитие в трудах Н.Г. Четаева [167], К.П. Персидского [137], И.Г. Малкина [110], В.И. Зубова [67], [71], [74], Е.А. Барбашина [24], [26], Н.Н. Красовского [92]—[95], А.А. Шестакова [169]-[171], В.М. Матросова [116]-[122], И.В. Матросова [124], Н.И. Матросовой [125], В.В. Румянцева [148], [149], В.Г. Каменкова [77], Ю.Н. Меренкова [130], [131], А.С. Андреева [15]-[20], Ж.П. Ла-Салля и С. Лефшеца [102], В. Хана [188], [189], Ж.Л. Массеры [193], Я. Курцвейля [100], Т. Йосидзавы [213]—[215].

Прямой метод Ляпунова используется в механике, физике, технике, теории управления и анализе устойчивоподобных свойств динамических моделей (В.И. Зубов [66], [68]-[73], Н.Н. Красовский [95], [96], A.M. Летов [103], О.В. Дружинина и А.А. Шестаков [55]—[58], В.И. Воротников и В.В. Румянцев [38], В.И. Воротников [36], В.А. Плисс [141], [142], А.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович [43], А.С. Галиуллин [39], А.С. Галиуллин, Р.Г. Мухарлямов, И.А. Мухаметзянов, В.Д. Фурасов [40], А.А. Красовский [90], [91], Е.Я. Смирнов [152], [153], П.А. Кузьмин [97], Е.С. Пятницкий [144] и др.). В их исследованиях, получены модификация теорем прямого метода Ляпунова применительно к конкретным динамическим свойствам математических моделей.

Основной трудностью прямого метода Ляпунова является отыскание функций (функционалов) Ляпунова [8], [12]-[14], [26], [27], [33], [50], [78], [159], [160], [169].

Применение метода сравнения [121]—[123] в задачах исследования устойчивоподобных свойств позволило В.М. Матросову [116], [117], [119], [120] и Р. Беллмапу в 1962 году ввести в рассмотрение векторную функцию Ляпунова, что упростило поиск функций Ляпунова. Прямой метод Ляпунова, в условиях которого используется векторная функция Ляпунова, обычно называют методом векторных функций Ляпунова. Первые теоремы об устойчивости с применением векторных функций Ляпунова были получены В.М. Матросовым [116], [117], [119], [120]. Эти теоремы, по существу, положили начало развитию метода векторных функций Ляпунова в нелинейной динамике. Этот метод был адаптирован применительно к различным типам устойчивости, ограниченности, устойчивости при постоянно действующих возмущениях [118], [113], [114], [128]. Различные аспекты метода продолжают развиваться.

В последнее время получено ряд качественно новых результатов но устойчивости решений нелинейных сложных (многосвязных) систем (Ко-сов А.А. [89], Александров А.Ю. [4]-[8] и его ученики).

Особо следует отметить раздел теории устойчивости движения относительно части фазовых переменных. Постановка задачи об устойчивости движения относительно части фазовых переменных принадлежит A.M. Ляпунову [108]. И.Г. Малкин [110] в своих примечаниях к теоремам Ляпунова об устойчивости указал некоторые условия их переноса па случай устойчивости относительно части переменных. Первым, кто обстоятельно описал теорию устойчивости относительно части переменных, был В.В. Румянцев [148]. Его основополагающими работами являются [148], [149]. Позднее его исследования обобщены в первой монографии по данной теме [149]. Кроме того, В.В. Румянцев обосновал и методологию применения этого метода в приложениях [37], [38]. Значительный вклад в развитие теории устойчивости относительно части переменных внесли В.И. Зубов [71], В.И. Воротников [37], А.С. Озиранер [149] и др.

Методы теории устойчивости относительно части неременных применимы и к решению задач стабилизации программного движения [149], [37], [38].

Подчеркнем, что метод векторных функций Ляпунова также применим и к задачам теории устойчивости относительно части переменных [195], [196]. Исчерпывающие обзоры по теории устойчивости относительно части переменных содержатся в работах В.И. Воротникова [33], [37].

Метод векторных функций Ляпунова имеет прикладную направленность. Первая работа в этом аспекте была опубликована в 1966 (автор работы Ф.Н. Бейли). В ней предложена идея исследования устойчивости сложных (многосвязных) систем на основе их декомпозиции и последующего оценочного агрегирования. К настоящему времени данное направление сформировалось в теорию устойчивости сложных систем [7], [30], [118], [113], [114], [28], [29], [140], [164].

Чрезвычайно разнообразны приложения прямого метода Ляпунова (включая и метод векторных функций Ляпунова). В частности, можно оценивать отклонение переходного процесса от программного режима [24], [25], [115], учитывать влияние параметрических и постоянно действующих возмущений [121]—[123], [126], [127], [132], находить условия кон-вергентности динамических систем [52], [69], [71], [73], [141], [142], [214], оценивать область иритяжения установившихся движений и т.д.

Однако проблема анализа свойств нелинейных динамических систем остается актуальной из-за отсутствия ее полного решения.Ее актуальность возрастает, если учитывать структурные, параметрические и постоянно действующие возмущения в динамических моделях.

Известно, что теория управления применительно к линейным управляемым системам дифференциальных уравнений наиболее разработана. Поэтому во многих случаях в теории управления прибегают к линеаризации управляемых систем.

В теории программного регулирования [24], [25], в теории идентификации, в самонастраивающихся системах с эталонными моделями при наличии структурных, параметрических и постоянно действующих возмущений также возникает аналогичная проблема. К числу первых работ, в которых изучался вопрос влияния постоянно действующих возмущений на поведение решений систем, относятся исследования Н.Н. Лузина и П.И. Кузнецова [106]. В них с помощью выбора параметров объекта выяснялась возможность исключения влияния постоянно действующих возмущений. Эти исследования относятся к теории инвариантности [98], [99], [101].

Как известно, для нелинейных управляемых систем необходимо иметь условия, обеспечивающие инвариантиость до е в вынужденном движении.

Отметим, что классические методы теории управления основаны на том, что математическая модель точно описывает поведение объекта и считается точно известной. Такой подход используется при решении задач оптимальной стабилизации программного движеиия и конструирования наблюдающих устройств. Накопленные данные об управляемых динамических процессах указывают на неточность их динамических математических моделей и, кроме того, некоторые при этом характеристики объекта могут меняться и быть неизвестными заранее. Поэтому практическая ценность закона управления определяется его работоспособностью при изменении характеристик объекта.

Таким образом, динамическая математическая модель при выбранном законе управления должна обладать устойчивоподобными свойствами (различные виды устойчивости, устойчивости по Лагранжу, ограниченности, устойчивости при постоянно действующих возмущениях, иоли-устойчивости, полиограниченпости, конвективной устойчивости относительно части и всех фазовых переменных).

Актуальной задачей теории управления является построение управления осуществляющего заданный режим. Известно (Р. Беллман), что данная задача не имеет полного решения. Разрешимость указанной задачи состоит в отыскании условий, обеспечивающих устойчивость заданного режима (переходного процесса). Однако следует отметить, что требуемых условий недостаточно, необходимо еще принять во внимание влияние неучтенных в математической модели управляемого динамического процесса постоянно действующих возмущений.

Аналогичная проблема возникает и в теории самонастраивающихся систем с эталонной моделью [1], [2], [3], [21], [31], [65], [83], [86],[90], [134], [135], [138], [139], [154], [161], [162], [181], [201], [202], так как основной целью исследования самонастраивающихся систем с эталонной моделью является построение контура самонастройки, обеспечивающего устойчивоподобные свойства решений системы дифференциальных уравнений относительно фазового рассогласования при наличии постоянно действующих возмущений.

Использование дифференциальных уравнений, описывающих поведение фазового рассогласования, приводит, также к исследованию устойчивости нулевого решения, указанной системы при постоянно действующих возмущениях (применительно к задачам идентификации управляемых систем [60], [104], [107], [165], [178], [180]). Поэтому с целыо построения более точного контура самонастройки необходимо знать связь между величинами е, S и у (см. определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях).

Наиболее полно все аспекты задачи об устойчивости нелинейных динамических систем при постоянно действующих возмущениях включает в себя проблема стабилизации заданного режима (переходного процесса) при наличии возмущающих сил [11], [46], [54], [81], [91], [95], [96], [152], [158], [163].

В настоящее время методы решения выше перечисленных задач, в случае, если исходная нелинейная динамическая система имеет линейное приближение, достаточно хорошо разработаны [22], [23], [70], [71], [95], [115]. Однако в критических случаях отсутствуют методы установления связей между величинами е, S и у в задаче устойчивости нелинейных управляемых систем при постоянно действующих возмущениях.

Итак, будем рассматривать нелинейные динамические системы с однородной порядка /I > 1 главной частью. Как известно [74], [77], [92], такие системы являются основной составляющей частью систем, описывающих критические случаи (в частности, критические случаи к нулевых и 2h чисто мнимых корней) в теории устойчивости [74], [77], [92], [110].

Одним из самых распространенных ,как уже упоминалось, методов исследования свойств движений нелинейных управляемых динамических систем служит их линеаризация. При этом возникает проблема корректности использования линеаризованных динамических систем. Основным методом, при помощи которого можно установить корректность их использования, является прямой метод Ляпуиова.Как известно, в критических случаях системы первого приближения не являются линейными.

Следовательно, актуальной проблемой нелинейной механики и теории управления является проблема разработки конструктивных методов построения верхних оценок движений нелинейных динамических систем и оценок погрешности их линеаризации. Актуальной также является задача оптимальной стабилизации нелинейных мпогосвязных управляемых динамических систем с перекрывающимися декомпозициями.

Представляет значительный интерес развитие единого подхода к исследованию устойчивости (частичной устойчивости) по Лагранжу на временном промежутке общей математической модели на базе сохраняющих устойчивость (частичную устойчивость) отображений, а также развитие теории устойчивости по Лагранжу в рамках теории об ограниченности Йосидзавы-Селла и проведение качественного анализа математических моделей транспортных динамических систем с привлечением теории бифуркаций динамических систем.

В диссертации изучаются нелинейные управляемые динамические системы, для которых разрабатываются методы анализа устойчивоиодоб-ных свойств движений относительно всех и части фазовых переменных и моделируются стабилизирующие управления. Под устойчивоподобны-ми свойствами движений указанных систем здесь подразумевается различные виды устойчивости по Ляпунову и Лагранжу, стабилизация программного движения, устойчивость при постоянно действующих возмущениях, полиустойчивость, различные виды ограниченности в смысле Йосидзавы [213], [215] и полиограниченности относительно части и всех фазовых переменных.

Одним из обобщений прямого метода Ляпунова является его объединение с теорией дифференциальных неравенств [132]. С использованием математической теории систем был развит метод сравнения [123]. Идея метода сравнения в динамике состоит в построении для исходной динамической системы функции Ляпунова и систем сравнения. Следует при этом отметить, что системы сравнения в большей степени поддаются изучению по сравнению с исходной системой. Принцип сравнения, в математической теории систем позволяет доказывать теоремы сравнения об устойчивоподобных свойствах движений для широкого класса динамических систем.

Перспективным направлением в теории устойчивости является дальнейшее развитие метода сравнения на базе преобразований, сохраняющих устойчивость (частичнуюустойчивость), которые определяют отношение N качественной эквивалентности между одной моделью динамической системы, называемой объектом исследования, и другой моделью - системой сравнения. Тем самым обеспечивается дальнейшее расширение класса динамических систем, устойчивоподобные свойства движений, которых удается исследовать.

Основная цель предлагаемой диссертации:

1) разработка методов исследования различных видов асимптотической устойчивости, устойчивости по Лагранжу (ограниченности), устойчивости при наличии постоянно действующих и параметрических возмущений движений нелинейных динамических систем, в том числе и многосвязных нелинейных динамических систем, первое приближение которых является однородным порядка fi > 1.

2)развитие метода сравнения в нелинейной динамике с использованием отображений, сохраняющих устойчивость, которые определяют отношение качественной эквивалентности между одной моделью динамической системы, называемой объектом исследований, и другой моделью динамической системы - системой сравнения;

3) разработка конструктивных методов построения верхних оценок движений и оценок погрешностей линеаризации нелинейных динамических управляемых систем относительно части и всех фазовых переменных;

4) развитие способа решения задачи оптимальной стабилизации программного движения многосвязной нелинейной динамической системы с перекрывающимися декомпозициями;

5) исследование устойчивости по Лагранжу движений нелинейных динамических систем и проведение качественного анализа математических моделей транспортных динамических систем.

Решение указанных задач опирается на методы системного анализа, качественной теории дифференциальных уравнений, математической теории устойчивости и теории бифуркации.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными итогами исследований, проведенных в диссертации, являются следующие результаты:

1) разработан метод исследования асимптотической устойчивости степенного вида "частичного" положения равновесия по одной части фазовых переменных, а по другой - равномерной ограниченности движений для нелинейных управляемых динамических систем с однородной главной частью. Аналогичный метод разработан и для многосвязных динамических систем;

2) получены условия устойчивости при постоянно действующих возмущениях для нелинейных динамических систем с однородной главной частью и разработан алгоритм определения верхней границы постоянно действующих возмущений. Установлены признаки асимптотической устойчивости и устойчивости при постоянно действующих возмущениях в малом и в целом относительно всех и части фазовых переменных многосвязной системы, правые части подсистем которой являются однородными функциями. Найдены условия полиограниченности движений относительно части переменных существенно нелинейной динамической системы;

3) дано развитие прямого метода Ляпунова применительно, к исследованию асимптотической устойчивости в целом положения равновесия относительно части фазовых переменных нелинейной многосвязной управляемой динамической системы. Получены теоремы об асимптотической устойчивости в целом положения равновесия относительно части фазовых переменных указанной системы, доказательство которых проводится с использованием семейства функций Ляпунова, обладающего более слабыми ограничениями по сравнению с ранее используемыми для этих целей функциями Ляпунова;

4) разработаны конструктивные методы построения верхних оценок движений (коннективных верхних оценок движений) нелинейных управляемых динамических систем и оценок погрешностей (коннективных оценок погрешностей) их линеаризации. Тем самым решен ряд задач о корректности использования линеаризованных систем в динамической безопасности процессов и теории управления;

5) сформулирована и решена задача оптимальной стабилизации многосвязных систем с перекрывающимися декомпозициями;

6) развит метод сравнения исследования устойчивости (частичной устойчивости) по Лагранжу в динамических системах на базе отображений, сохраняющих устойчивость (соответственно, частичную устойчивость), а также метод Йосидзавы-Селла исследования устойчивости по Лагранжу относительно двух полуцилиндров для нелинейных динамических систем;

7) проведен качественный анализ и получены условия устойчивости по Лагранжу в будущем и в целом для скалярного уравнения Льенара и для векторного дифференциального уравнения второго порядка, являющихся математическими моделями движения железнодорожного экипажа. Найдены условия существования зон динамической безопасности в модели Н. Н. Лузина движения железнодорожного экипажа. Развит метод управления движением транспортных динамических систем, основанный на использовании бифуркационной диаграммы;

8) разработан алгоритм вычисления бифуркационного значения одного из основных параметров при изучении динамической безопасности транспортных систем - критической скорости и алгоритм определения устойчивого собственного значения линейного оператора второго порядка.

Таким образом, в диссертации разработаны теоретические методы исследования устойчивоподобных свойств движений многосвязных и нелинейных динамических систем с однородной порядка fi > 1 главной частью относительно всех и части фазовых переменных. Дано развитие метода сравнения в теории устойчивости. Полученные результаты могут применяться на стадии проектирования и эксплуатации управляемых систем, подвергающихся параметрическим и постоянно действующим возмущениям, с целью обоснования выбора областей изменения параметров системы, при которых устойчивость систем сохраняется. Этим обеспечивается безопасность управления и эксплуатации сложных технических объектов. Ряд результатов носят непосредственно прикладной характер. Приведем их. Развиты конструктивные методы определения верхних оценок движений многосвязных и нелинейных динамических систем, а также оценок погрешностей их линеаризации. Найденные оценки погрешностей линеаризации систем позволяют устанавливать корректность использования в теории управления линеаризованных систем. Указанные оценки применимы также в адаптивном управлении, теории идентификации и в задачах программного движения. Развит способ решения задач оптимальной стабилизации программного движения многосвязной нелинейной динамической системы.

Проведенный качественный анализ транспортных динамических систем является основой методики оценки критической скорости движения железнодорожного экипажа. В разработанной методике существенную роль играют методы теории устойчивости и теории бифуркации динамических систем, причем исследование устойчивости и бифуркациий проведено с учетом управления скоростью движения экипажа. Предложены алгоритмы вычисления точек бифуркации и значений критических скоростей движения железнодорожного экипажа. Полученные результаты обосновывают тот факт, что экстремальная точка значения скорости, в которой возникает предельный цикл, является граничной точкой для скорости, обеспечивающей безопасность движения высокоскоростного рельсового экипажа.

1. Адаптивное управление, оценивание и идентификация с применением эталонной модели и с использованием только входных и выходных сигналов // Экспресс - информация. Система авт. упр. 1977. N43. С.7-21.

2. Адаптивные системы идентификации / Под редакцией В.И. Костю-ка. Киев: Техника, 1975.

3. Аксенов Г.С., Фомин В.Н. Синтез адаптивных регуляторов на основе метода функций Ляпунова // Автоматика и телемеханика. 1982. N6. С.126-138.

4. Александров А.Ю. О существовании функций Ляпунова специального вида для'одного класса нелинейных систем // Труды 13-ой межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 29-31 мая 2003 г. Часть 3. С.7-9.

5. Александров А.Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 2004.

6. Александров А.Ю., Бузулукова О.А., Платонов А.В. Оценка решений одного класса сложных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та. 2004. Серия 10, Вып.3-4. С.71-79.

7. Александров А.Ю., Платонов А.В. Устойчивость движений сложных систем. СПб.: НИИ Химии. СПбГУ, 2002.

8. Александров А.Ю., Соколов С.В. О построении функций Ляпунова для некоторых классов нелинейных систем // Труды Средневолжского математического общества. 2004. Т.6, N1. С.69-74.

9. Алексеев В.М. Об одной оценке возмущений обыкновенных дифференциальных уравнений 1 // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1964. N2. С.28-36.

10. Алексеева С.А., Воротников В.И., Феофанова В.А. К задачам частичной эквиасимптотической устойчивости нелинейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 2005. N2. С.3-17.

11. Альбрехт Э.Г., Красовский Н.Н. О наблюдении нелинейной управляемой системы в окрестности заданного движения // Автоматика и телемеханика. 1964. Т.25, N7. С.1047-1057.

12. Аминов А.Б., Сиразетдинов Т.К. Условия знакоопределенности четных форм и устойчивости в целом нелинейных однородных систем // Прикл. математика и механика. 1984. Т.48. В.З. С.339-347.

13. Аминов А.Б., Сиразетдинов Т.К. Функции Ляпунова для исследования устойчивости в целом нелинейных систем // Прикл. математика и механика. 1985. Т.49. В.б. С.883-893.

14. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Общая механика. 1975. Т.2. С.53-112.

15. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем // Прикл. математика и механика. 1979. Т.43, В.5. С.796-805.

16. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных // Прикл. математика и механика. 1984. Т.48, В.5. С.707-713.

17. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных // ДАН Уз ССР. 1982. N5. С.9-12.

18. Андреев А.С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости на основе предельных уравнений // Прикл. математика и механика. 1987. Т.51, В.2. С.253-259.

19. Андреев А.С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости // Прикл. математика и механика. 1991. Т.55, В.4. С.539-547.

20. Андреев А.С., Перегудова О.А. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости // Доклады РАН. 2005. Т.400, N5. С.641-642.

21. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке Matlab. СПб: Наука, 1999. 467 с.

22. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. школа, 1998.

23. Афанасьев В.Н., Фурасов В.Д. Теория стабилизации и расчет систем с обратной связью. М., 1975.

24. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

25. Барбашин Е.А. О построении периодических решений // Прикл. математика и механика. 1961. Т.25, В.2. С.276-283.

26. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

27. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функции Ляпунова. Киев: На-укова думка, 1981.

28. Воронов А.А. Введение в динамику сложных систем. М.: Наука, 1985.

29. Воронов А.А. О некоторых новых направлениях в теории моделей сравнения // Метод функций Ляпунова и его приложения. Новосибирск: Наука, 1984. С.6-15.

30. Воронов А.А. Современное состояние и проблемы теории устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1982. N5. С.6-28.

31. Воронов А.А., Рутковский В.Ю. Современное состояние и перспективы развития адаптивных систем // Вопросы кибернетики. Проблемы теории и практики адаптивного управления. М.: Научный совет по кибернетике АН СССР, 1985. С.3-48.

32. Воротников В.И. Два класса задач частичной устойчивости: к унификации понятий и единым условиям разрешимости // Докл. РАН. 2002. Т.384. N1. С.47-51.

33. Воротников В.И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направление исследования, результаты, особенностями // Автоматика и телемеханика. 1993. N3. С.3-62.

34. Воротников В.И. К задачам устойчивости по части переменных // Прикл. математика и механика. 1999. Т.63, В.5. С.736-745.

35. Воротников В.И. Об устойчивости и устойчивости по части переменных частичных положений равновесия нелинейных динамических систем // Докл. РАН. 2003. Т.389. N3. С.332-337.

36. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991.

37. Воротников В.И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы развития // Автоматика и телемеханика. 2005. N4. С.3-59.

38. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001. 320 с.

39. Галиуллин А.С. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986.

40. Галиуллип А.С., Мухарлямов Р.Г., Мухаметзянов И.А., Фурасов В Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.

41. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. М.: Наука, 1976.

42. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава / Подред. Н.А. Панькина. М.: Транспорт, 1988.

43. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

44. Гермаидзе В.Е., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях // Прикл. математика и механика. 1957. Т.21, В.б. С.769-774.

45. Голечков Ю.И. Асимптотические и качественные методы исследования технических систем, моделируемых обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка. М.: Изд-во РГОТУПС, 2003.

46. Голубев А.Е., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем (обзор) // Автоматика и телемеханика. 2005. N7. С.3-42.

47. Горшин С.И. Некоторые вопросы устойчивости в большом при постоянно действующих возмущениях в линейном нормированном пространстве // Дифферепц. уравнения. 1968. Т.4, N4. С.631-638.

48. Горшин С.И. Об устойчивости движения с постоянно действующими возмущениями // Известия АН Казахской ССР. 1949. Т.60. В.З. С.24-29.

49. Горшин С.И. Об устойчивости решения счетной системы дифференциальных уравнений с постоянно действующими возмущениями // Известия АН Казахской ССР. 1948. Т.56, N2. С.46-73.

50. Грудо Э.И. О построении функций Ляпунова в виде форм т-го порядка // Дифференц. уравнения. 1984. Т.20, N5. С.739-745.

51. Дарховский B.C. Оценка погрешности линеаризации // Дифференц. уравнения. 1978. Т.14, N7. С.1313-1316.

52. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

53. Догановский С.А. Параметрические системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1973.

54. Дончев А. Системы оптимального управления: Возмущение, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987. 156 с.

55. Дружинина О.В. Вопросы устойчивости и прочности математических моделей железнодорожного транспорта // НТТ наука и техника транспорта. 2002. N2. С.42-50.

56. Дружинина О.В., Шестаков А.А. Анализ поперечной устойчивостивысокоскоростного рельсового экипажа // Качественное исследование и устойчивость математических моделей транспортных динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2004. С.26-32.

57. Дружинина О.В., Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова исследования устойчивости и притяжения в общих временных системах // Матем. сб. 2002. Т.193. iV10. С.17-48.

58. Дружинина О.В., Шестаков А.А. Прочность движения механических систем. М.: РУДН-ПАИМС, 1996. 116 с.

59. Дубошин РН. К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих возмущений // Труды ГАИШ. 1940. Т.14, N1. С.153-164.

60. Дьяконов В.П., Круглов В. Matlab. Анализ, идентификация и моделирование систем. Спец. Справочник. СПб.: Питер, 2002.

61. Еругин Н.П., Штокало И.З. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.

62. Жуковский Н.Е. О прочности движения // Ученые записки Московского ун-та. Отд. физ.-матем. 1882. Вып. 4. С.1-104.

63. Захарова М.В. Об ограниченности и устойчивости движений механических систем, моделируемых нестационарными дифференциальными уравнениями второго порядка. Дисс. . канд. физ.-матем. наук, 2002.

64. Земляков С.Д., Рутковский В.Ю. Условия функционирования многомерной самонастраивающейся системы управления с эталонной моделью при постоянно действующих параметрических возмущениях // Докл. АН СССР. 1978. Т.241, N2. С.301-304.

65. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983.

66. Зубов В.И. Асимптотическая устойчивости по первому, в широком смысле, приближению // Доклады РАН. 1996. Т.346, N3. С.295-296.

67. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004.

68. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962.

69. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

70. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Изд. 2-е, перераб. и доп. Л.: Машиностроение, 1974.

71. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. JL: Судостроение, 1980.

72. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979.

73. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973.

74. Иванов В.Н., Исаев И.П., Панькин Н.А., Якубовский В.К. Определение составляющих силы крипа и условий устойчивости движения колесной пары // Вестник ВНИИЖТа. 1978. N8.

75. Игнатьев А.О. Устойчивость движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях // Матем. физика и нелин. механика. Киев: Наук. Думка. N10. С.20-25.

76. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

77. Каменков Г.В. Избранные труды: В 2 т. М.: Наука, 1971. Т.1.

78. Каневский А.Я., Рейзинь Л.Э. Построение однородных функций Ляпунова-Красовского // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, N2. С.251-260.

79. Катулев А.Н., Северцев Н.А. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. М.: Наука, 2000.

80. Кирин Н.Е. Методы оценивания и управления в динамических системах. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1993.

81. Киселев Ю.Н. Аналитическое конструирование регуляторов для нелинейных управляемых систем // Вести. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1997. N2. С.28-31.

82. Климентов С.И., Прокопов Б.И. О синтезе асимптотически устойчивого алгоритма адаптивной системы с эталонной моделью прямым методом Ляпунова // Автоматика и телемеханика. 1974. N10. С.41-52.

83. Ковалев A.M. Частичная устойчивость и стабилизация динамических систем. // Укр. матем. журнал. 1995. Т.42, N2. С.186-193.

84. Колесников А.П. Топологические методы в теории приближений и численном анализе. М.: УРСС, 2001.

85. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

86. Корольков Е.П. К вопросу описания движения колесной пары при учете крипа // Проблемы математ. обеспечения устойчивости, стабили-зируемости и долговечности железнодорожных устройств. Межвуз. сб.научи, трудов. М.: ВЗИИТ, 1993. С.5-11.

87. Корольков Б.П. Снижение износа колес железнодорожного подвижного состава при конструктивных изменениях ходовых частей // Дисс. . докт. техн. наук. М.: МИИТ, 1997.

88. Косов А.А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференц. уравнения. 1997. Т.ЗЗ, N10. С.1432-1434.

89. Красовский А.А. Динамика непрерывных самонастраивающихся систем. М.: Физматгиз, 1963.

90. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

91. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

92. Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом при постоянно действующих возмущениях // Прикл. математика и механика. 1954. T.XVIII. С.95-102.

93. Красовский Н.Н. Об устойчивости по первому приближению // Прикл. математика и механика. 1955. Т.19, N5. С.516-530.

94. Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // В кн.: Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Дополнение 4. М.: Наука, 1966.

95. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1994.

96. Кузьмин П.А. Устойчивость при параметрических возмущениях // Прикл. математика и механика. 1957. Т.21, В.1. С.129-132.

97. Кулебакин B.C. Высококачественные инвариантные системы регулирования. В. кн.: Теория инвариантности и ее применение в автоматических устройствах. М.: Наука, 1959. С.11-39.

98. Кулебакин B.C. Теория инвариантности автоматических регулируемых и управляемых систем // Труды 1 Международного конгресса ИФАК. Т.1. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 247-255.

99. Курцвейль Я. Об обращении второй теоремы Ляпунова об устойчивости движения // Чехосл. матем. журнал. 1956. Т.6(81), N2. С.217-259; N4. С.455-484.

100. Кухтенко А.И. Проблема инвариантности в автоматике. Киев: ГИТЛ УССР, 1963.

101. Ла Салль Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

102. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981.

103. Лифшиц К.И. Идентификация. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1981.

104. Лузин Н.Н. О качественном исследовании уравнения движения поезда // Матем. сб. 1932. Т.ЗО. Вып.З.

105. Лузин Н.Н., Кузнецов П.М. К абсолютной инвариантности и инвариантности до € в теории дифференциальных уравнений. Сообщ.1 //О качественном исследовании уравнения движения поезда // Математический сборник. 1932. Т.39(2). С.6-26.

106. Лыонг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.

107. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., 1950.

108. Малкин И.Г. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Прикл. математика и механика. 1944. Т.8. В.З. С.241-245.

109. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

110. Малышева И.А. Исследование асимптотических свойств некоторых классов обыкновенных дифференциальных систем прямым методом Ляпунова // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1980.

111. Марсден Дж., Мак-Кракеи М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

112. Мартынюк А.А. Устойчивость движения в сложных системах. Киев: Наукова думка, 1975.

113. Мартынюк А.А., Лакшмикантам В., Лила С. Устойчивость движения: метод интегральных неравенств. Киев: Наук, думка, 1989.

114. Матвеев А.С., Якубович В.А. Оптимальные системы управления: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи. СП.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 2003.

115. Матросов В.М. К теории устойчивости // Тр. КАИ. Математика и механика. 1963. В.80. С.22-33.

116. Матросов В.М. К теории устойчивости // Тр. межвуз. конф. по прикладной теории устойчивости движения и аналит. механике. Казань, 1964. С.103-109.

117. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

118. Матросов В.М. Об устойчивости движения // Прикл. математика/и механика. 1962. Т.26, В.5. С.885-895.

119. Матросов В.М. Об устойчивости движения // Прикл. математика и механика. 1962. Т.26, В.6. С.992-1002.

120. Матросов В.М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова. 1, 2 // Дифференц. уравнения. 1968. Т.4, N8. С.1374-1386; Т.4, N10. С.1739-1752.

121. Матросов В.М. Принципы сравнения с вектор-функцией Ляпунова. 3, 4 // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, N7.C.1171-1185; Т.5, N12. С.2129-2143.

122. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Методы сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980.

123. Матросов И.В. Об оценках поведения в критических случаях теории устойчивости // Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. N6. С.745-754.

124. Матросова Н.И. Вектор-функции Ляпунова в изучении критических случаев // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. С.195-203.

125. Мееров М.В. Исследование и оптимизация многосвязных систем управления. М.: Наука, 1986.

126. Мееров М.В. О системах авторегулирования, устойчивых при сколь угодно большом коэффициенте усиления // Автоматика и телемеханика. 1947. Т.8, N4. С.35-39.

127. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975.

128. Мельников Г.И. Замечание об одном уравнении движения корабля // Вестник Ленингр. ун-та. 1962. N19, В.4. С.37-39.

129. Меренков Ю.Н. Математическое моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем. Дисс. докт. физ,-матем. наук, 2003.

130. Меренков Ю.Н. Устойчивоподобные свойства дифференциальных включений, нечетких и стохастических дифференциальных уравнений. М.: Изд-во РУДН, 2000.

131. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А.А. Воронова, В.М. Матросова. М.: Наука, 1987.

132. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1949.

133. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб.: Наука, 2003.

134. Носов В.Р., Прокопов Б.И. Асимптотическая устойчивость в целом самонастраивающихся систем с эталонной моделью // Прикл. математика и механика. 1977. Т.41, В.5. С.850-859.

135. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

136. Персидский К.П. Избранные труды: В 2-х т. Т.1: Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Теория вероятностей. Алма-Ата, 1976 . 272 с.

137. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д. Адаптивное координатно-параметрическое управление нестационарными объектами. М.: Наука, 1980.

138. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Крутова И.Н., Земляков С.Д. Принципы построения и проектирования самонастраивающихся систем управления. М.: Машиностроение, 1972.

139. Платонов А.В. Об устойчивости нелинейных сложных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. N4. С.41-46.

140. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977.

141. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1964.

142. Пуанкаре А. Ибранные труды. Т.1, 2. М.: Наука, 1971, 1972.

143. Пятницкий Е.С. О равномерной устойчивости при параметрических возмущениях // Дифференциальные уравнения. 1973. Т.9, N7. С.1262-1274.

144. Рейссиг Р., Сансоне Г., Копти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

145. Романков В.В. Ограниченность, сходимость и устойчивость решений некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений. Дисс. . канд. физ.-матем. наук, 1990.

146. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // Прикл. матем. и мех. 1970. Т.34. В.З. С.440-453.

147. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ. Сер. Мат., механ., физ., астрон., хим., 1957. N4. С.9-16.

148. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

149. Сааме О.Г., Дружинина О.В., Исакова В.Ю. Исследование прочности движения железнодорожного экипажа методом функций Ляпунова // Вопросы устойчивости, прочности и управляемости динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2002. С.104-111.

150. Самедова С.А. Критерий существования и единственности периодического решения уравнения у' = f{x,y) // Труды ин-та матем. и физики Азербайджанской ССР. Сер. Матем. 1953. Т.VI.

151. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981.

152. Соболев О.С. Методы исследования линейных многосвязных систем. М.: Энергоатомиздат, 1985.

153. Срагович В.Г. Адаптивное управление. М.: Наука, 1981. 384 с.

154. Степенко Н.А. О диссипативности неавтономных систем по нелинейному приближению // Вестник С.-Петербург, ун-та. 2004. Серия 10, Вып.3-4. С.160-169.

155. Тихонов А.А. Об оценках возмущенных движений в некоторых особых или близких к ним случаях // Вестн. Ленингр. ун-та. Математика, механика, астрономия. 1977. N1. С.106-113.

156. Тихонов А.А. Об устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях // Вестник Ленингр. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 1965. N1. С.95-101.

157. Топчеев Ю.И., Потемкин В.Г., Иваненко В.Г. Системы стабилизации. М.: Машиностроение, 1974.

158. Утешев А.Ю. К вопросу существования полиномиальной функции Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25, N11. С.2010-2013.

159. Утешев А.Ю., Шуляк С.Г. Критерий асимптотической устойчивости системы двух дифференциальных уравнений с однородными правыми частями // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23, N6. С.1009-1014.

160. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981.

161. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990.

162. Хэррис К., Валенка Ж. Устойчивость динамических систем с обратной связью. М.: Мир, 1987.

163. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. М.: Наука, 1988.

164. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации.1. М.: Наука, 1984.

165. Чеботарев Н.Г. Алгебраические функции. M.-JL: Гостехиздат, 1947.

166. Четаев Н.Г. Устойчивости движения. М.: Наука, 1965.

167. Чуличков А.И. Математические методы нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2000.

168. Шестаков А.А. О степенной асимптотике неавтономной однородной и квазиоднородпой системы // Дифференц. уравнения. 1975. Т.11, N8. С.1427-1436.

169. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990.

170. Шестаков А.А. Прямой метод Ляпунова как метод локализации функциями Ляпунова предельных множеств неавтономных динамических процессов // Функции Ляпунова и их применения. Новосибирск: Наука, 1986. С.14-48.

171. Шестаков А.А., Дружинина О.В. О качественном исследовании уравнения движения железнодорожного экипажа // Методы исследования технической устойчивости и качественных свойств систем железнодорожного транспорта. М.: РГОТУПС, 2003. С.38-44.

172. Шестаков А.А., Дружинина О.В. О свойстве решений обобщенного уравнения движения железнодорожного экипажа // Методы исследования технической устойчивости и качественных свойств систем железнодорожного транспорта. М.: РГОТУПС, 2003. С.76-78.

173. Шестаков А.А., Дружинина О.В. О совершенствовании математических моделей взаимодействия колеса и рельса // Устойчивость и качественный анализ математических моделей динамических систем транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2005. С.60-67.

174. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами. М.: Мир, 1994.

175. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. М.: Энер-гоатомиздат, 1987. (Б-ка по автоматике; Вып. 668).

176. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1982.

177. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.

178. Эйкхофф П., Ванечек А., Савараги Е и др. Современные методы идентификации систем. М.: Мир, 1983.

179. Якубович В.А. Адаптивная стабилизация непрерывных объектов // Автоматика и телемеханика. 1988. N4. С.97-107.

180. Campos J., Torres P.J. On the structure of the set of bounded solutions on a periodic Lienard equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1999. V.127. P.1453-1462.

181. Carter F.W. On the action of locomotive driving wheel // Proc. of Royal Soc. of London. Ser. A. 1996. V.112. P.151-157.

182. Gasch R., Mobile D., Knothe K. The effect of nonlinear oscillations in railway vehicles // Proc. of Sth IAVSD Symposium. 1983. P.655-665.

183. Gasch R., Mobile D., Knothe K. The effect of nonlinearitites on the limit cycles of railway vehicles // Proc. of Sth IAVSD Symposium. 1983. P.207-224.

184. Gieutat P. On the structure of the set of bounded solutions on an almost periodic Lienard equation // Nonlinear Analysis. 2004. V.58.P.885-898.

185. Gieutat p. On the structure of the set of bounded solutions on an almost periodic Lienard equation // Nonlinear Analysis. 2004. V.59. P.901-905.

186. Hahn W. Theorie und anwendung der direkton methode von Liapunov. Berlin: Springer-Verlag, 1959.

187. Hahn W. Uber stabilitatserhaltende Abbildungen und Ljapunovsche Funktionen // J. Angew. Math. 228 (1967). P.189-192.

188. Ikeda M., Siljak D.D. Generalized decomposition of dynamic systems and vector Lyapunov functions // JEEE Trans. Autom. Control. 1981. AC -26, N5, P.l 118-1125.

189. Ikeda M., Siljak D.D. Overlapping decompositions, expansions and contractions of dynamic systems // Large Scale Systems. 1980. N.l. P.29-38.

190. Lianard A. Etude oscillations autoentretenues // Rev. Gen. Eles. 1928. V.23. P.901-902, 946-954.

191. Massera J.L. The existence of periodic solution of systems of differential equations // Duke Math. J. 1950. V.17. P.457-475.

192. Matsudaira T. Hunting problem of high-speed railway venicle with special reference to bogie design for the new Tokaido line. Interaction between venicle and truck // Proc. Inst. Mech. Eng. London. 1966. V.180. Part 3F. P.58-66.

193. Michel A.N., Molchanov A.P. Partial stability and boundedness of discontinuous dynamical system // Nonlin. Stud. 2002. V.9. N3. P.225-247.

194. Michel A.N., Molchanov A.P., Sun Y. Partial stability and boundedness of general dynamical systems on metric spaces // Nonlinear Analysis. 2003. V.52. P.1295-1316.

195. Michel A.N., Wang К., Ни B. Qualitative Analysis of Dynamical Systems, and Edition, Marcel Dekker, Neq York, 2001.

196. Miki K., Masamichi A., Shoichi S. On the partial total stability and partially total boundedness of a system of ordinary differential equations // Res. Rept. Akita. Coll. 1985. V.20. P.105-109.

197. Moelle D., Gasch R. Nonlinear bogie hunting // Proc. of zth LAVSD Symposium. 1981. P.455-467.

198. Muldowney J.S. Discontinuous energy functions // Lecture Notes in Math. 1971. V.243. P.281-283.

199. Narendra K., Kudva P. Stable Adaptive Schemes for System Identification and Control. I, II. // JEEE Trans. SMC. 1974. V.SMC-4, N6, P.542-560.

200. Narendra K., Valavani L. Stable Adaptive Controller Design Direct Control // JEEE Trans. Automat. Contr. 1978. V.AC 23, N4, P.570-583.

201. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen // Math. Z. 1930. Bd.32. N2. P.279-292.

202. Renshaw A.A., Mote Jr C.D. Local stability of gyroscopic systems vanishing eigenvalues // ASME. J. Appl. Mech. 1998. V.63. P.116-120.

203. Sabatini M. Lienard limit cycles enclosing period annuli, or enclosed by period annuli // Rocky Mountain J. of Math. 2005. V.35. N1. P.253-266.

204. Sell G.R. Boundedness of solutions of ordinary differential equations and Lyapunov functions // J. Math. Anal. Appl. 1964. V.9. P.477-490.

205. Sell G.R. Stability theory and Lyapunov second method // Arch. Rat. Mech. Anal. 1963. V.14. P.108-126.

206. Siljak D.D. Large-scale Dynamical Systems: Stability and Structure. North-Holland, New York, 1978.

207. True H., Kaas-Petersen C. A bifurcation analysis of nonlinear oscillations in railway venicles // Proc. of sth IAVSD Symposium. 1983. P.655-665.

208. Wickens A.H. Non-linear dynamics of railway venicles // Venicle System Dynamics. 1986. V.15. P.289-301.

209. Wickens A.H. Steering and dynamic stability of railway venicles //

210. Venicle System Dynamics. 1975. V.4. P. 15-46.

211. Yorke J.A. Extending Lyapunovs second method to non-lipschitz Lya-punov function // Lecture Notes in Math. New York: Springer-Verlag, 1968. V.60. P.31-36.

212. Yoshizawa T. Liapunov function and boundedness of solutions // Func. Ekvac. 1959. V.2. P.95-142.

213. Yoshizawa T. Stability theory and existence of periodic solutions and almost periodic solutions. New York Heidelberg - Berlin, 1975. 224 p.

214. Yoshizawa T. Stability theory by Lyapunov's second method. Tokio: Math. Soc. Japan, 1966.