автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ устойчивости и синтез стабилизирующих управлений для нелинейных разностных систем

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

005056912

СУЛТАНБЕКОВ Андрей Аркадьевич

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И СИНТЕЗ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления) V

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2012

005056912

Работа выполнена на кафедре управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

доктор физико-математических паук, профессор

Александров Александр Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор Жабко Алексей Петрович (заведующий кафедрой ТУ, СПбГУ, ф-тПМ-ПУ)

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Новиков Михаил Алексеевич (старший научный сотрудник, ИДСТУ СО РАН, г. Иркутск)

Российский Государственный Педагогический университет им А. И. Гер цепа (г. Санкт-Петербург)

Защита состоится «31» октября 2012 г. в 14:00 на заседании диссераа-ционного совета Д 212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034. Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru

Автореферат разослан «_2Л» 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физ.-мат. наук, профессор , Г. И. Курбатова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важных классов систем, описывающих динамические процессы и явления, являются разностные системы. Они применяются в теории управляемых систем с дискретными регуляторами, при исследовании нелинейных импульсных систем, а также используются при численном интегрировании дифференциальных уравнений.

В современных реалиях задача устойчивости имеет особое значение в силу неизбежного присутствия возмущений в моделях, описывающих сложные природные явления. Многие приемы в области исследования устойчивости, разработанные для непрерывных систем, были распространены на системы разностных уравнений. Установлены условия устойчивости для линейных разностных уравнений, получен дискретный аналог прямого метода Ляпунова, с помощью которого доказана устойчивость по линейному и нелинейному приближениям и т. д.

На данный момент хорошо изучена проблема устойчивости линейных разностных систем. Хотя линейные модели удобны, однако, часто приходится рассматривать системы, у которых разложение правых частей в ряды по степеням искомых функций вообще не содержит линейных членов.

В исследовании устойчивости нелинейных дискретных систем существенные результаты были достигнуты в трудах А. Халанай, Д. Векслер, М.

A. Скалкиной и многих других ученых, при этом основным методом анализа являлся второй метод Ляпунова. В работах А. Ю. Александрова, А. П. Жабко были доказаны теоремы об устойчивости однородных разностных систем, установлены условия устойчивости по нелинейному приближению и т. д.

На основании полученных результатов ставилась и решалась задача стабилизации программных движений систем, описываемых линейными и нелинейными разностными уравнениями.

Однако, в настоящее время устойчивость нелинейных дискретных систем остается еще малоизученной. Особый интерес представляет нахождение условий устойчивости для нелинейных неавтономных разностных систем, а также разработка новых приемов в области анализа устойчивости по нелинейному приближению. К тому же данные результаты будут способствовать расширению способов построения управлений, гарантирующих устойчивость заданных движений.

Кроме того, важной задачей при изучении нелинейных разностных систем является исследование их на диссипативность. Условия диссипатив-ности глубоко изучены для систем дифференциальных уравнений. Значимые результаты представлены в трудах Т. Йошизавы, Б. П. Демидовича,

B. И. Зубова и ряда других авторов. При анализе диссипативности дифференциальных систем широко применяется прямой метод Ляпунова. В

дальнейшем способы исследования диссипативности непрерывных систем также были распространены на системы разностных уравнений. Известен дискретный аналог теоремы Т. Йошизавы о равномерной диссипативности нелинейных систем. Стоит отметить, что условия равномерной диссипативности изучены только для некоторых специальных классов дискретных систем. Исследования в этом направлении представляют интерес для развития качественной теории разностных уравнений и имеют широкое практическое применение.

При переходе от непрерывных систем к дискретным актуальной проблемой является сохранение качественных характеристик исследуемых систем. Известно, что часто требуется коррекция разностных схем для обеспечения согласованности между свойствами решений непрерывных и дискретных уравнений. Коррекция заключается в построении консервативных численных методов, основанных на модификации вычислительных схем путем введения управления, что приводит к их усложнению. В связи с этим, весьма важно выделение таких классов систем, для которых имеет место сохранение качественных характеристик при переходе к дискретному виду без соответствующих коррекций.

Теория управления является одним из важных разделов современной науки. В большинстве практических задач управления в силу присутствия возмущений, помимо обеспечения наперед заданной динамики решения системы, требуется решение задачи стабилизации программного движения. Следует заметить, что задача стабилизации тесно смыкается с общей задачей об устойчивости движения и является дальнейшим развитием проблемы устойчивости в приложении к теории управляемых систем. Нахождение условий устойчивости и разработка новых методов ее анализа открывают перспективы дальнейшего развития методов теории стабилизации.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию описанных выше задач, что позволяет сделать вывод о ее актуальности.

Целью диссертационной работы является изучение динамики существенно нелинейных разностных систем, нахождение условий их асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности, построение управлений, стабилизирующих программные движения, а также управлений, обеспечивающих равномерную диссипативность и практическую устойчивость изучаемых движений. Помимо этого, в диссертации найдены классы систем, для которых имеет место согласованность свойств, в смысле сохранения асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности, непрерывных и соответствующих им дискретных систем.

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории разностных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления. Основным аппаратом исследования является прямой

метод Ляпунова.

Научная новизна. Новыми результатами, представленными в диссертации, являются:

• условия асимптотической устойчивости систем разностных уравнений по нелинейному неоднородному приближению;

• теоремы об асимптотической устойчивости нулевых решений нелинейных неавтономных дискретных систем;

• достаточные условия равномерной диссипативности нелинейных систем разностных уравнений;

• теорема о равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению;

• условия существования управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость, равномерную диссипативность и практическую устойчивость нелинейных разностных систем.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа, в основном, носит теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы вносят определенный вклад в развитие качественной теории разностных систем. Полученные в ней результаты могут быть использованы при анализе асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности дискретных моделей, используемых в прикладных задачах, а сформулированные и решенные задачи по обеспечению асимптотической устойчивости, равномерной диссипативности и практической устойчивости могут применяться при проектировании и разработке управляемых систем.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались и обсуждались на международных конференциях "Процессы управления и устойчивость"(Санкт-Петербург, 2012 г.), "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирова-ния"(Воронеж, 2012 г.), на ежегодных семинарах кафедры управления медико-биологическими системами СПбГУ (2010-2012 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 работ, три из которых [1, 2, 3] в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. Объем диссертации составляет 106 страниц машинописного текста. Работа содержит 2 рисунка. Список литературы включает 58 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертационной работы, формулируется цель исследования и проводится обзор рукописи по главам и параграфам.

Первая глава посвящена изучению условий устойчивости решений разностных систем по нелинейному неоднородному приближению. В качестве системы нелинейного приближения рассматриваются существенно нелинейные уравнения специального вида, в правых частях которых, кроме однородных функций заданного порядка, присутствуют дополнительные члены меньшего порядка. Исследуется случай, когда изучаемые системы являются треугольными и имеют асимптотически устойчивые нулевые решения. Предполагается, что на рассматриваемые системы действуют возмущения. С помощью дискретного аналога прямого метода Ляпунова находятся условия, при которых возмущения не нарушают устойчивости нулевого решения. Изучены случаи, когда ограничения, полученные на параметры системы, можно ослабить.

В § 1 приводятся некоторые определения и теоремы дискретного аналога второго метода Ляпунова, применяемые в настоящей работе. Во 2-ом параграфе представлены известные результаты об устойчивости разностных систем с однородными правыми частями и теорема об устойчивости по нелинейному однородному приближению. Данная теорема утверждает, что возмущения не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения рассматриваемой системы, если их порядок превышает порядок однородности функций, входящих в правые части уравнений.

В § 3 исследуются системы вида

Здесь х.(к) — п-мерный вектор, элементы векторной функции Иг) определены и непрерывны при всех г £ Е™ и являются однородными функциями порядка ¡л > 1, векторная функция непрерывна при ||г|| < Я и удовлетворяет неравенству ||д(2)|| < М||г||А, М > 0, 0 < Л < ц. Предполагается, что нулевое решение рассматриваемой системы асимптотически устойчиво.

Показывается, что для возмущенной системы

где векторная функция г (к, г) определена на множестве к = 0,1,..., ||г|| < Я, непрерывна по г, и справедлива оценка ||г(£,г)|| < с\\ъ\\", с > 0, а > О, уже, вообще говоря, недостаточно выполнения условия а > ц, чтобы она имела асимптотически устойчивое нулевое решение.

Далее в качестве нелинейного неоднородного приближения (1) рассматриваются системы вида

х(к + 1) = х(*0 + £(х(к)) + Ч(х(/с)).

(1)

х{к + 1) = х(Л) + {(х.(к)) + Ч(х(*:)) + г (к, х(Л)),

XI (Л + 1) = XI (А) + ЬЫЮ) +

X2{k+l)=X2(k)+f2(X2{k)).

Здесь XI (к) е Е"1, х2(к) £ Е"2, щ + п2 = п, х{к) = (х^)^(&))*, элементы векторов ^(г!) и {2(г2) — непрерывно дифференцируемые однородные функции порядка ц > 1, € Е"1, г2 6 Е™2, ъ = (г^г^)*, векторная функция непрерывна в области ||г|| < Н и удовлетворяет неравенству ||я(г)|| < М||г1||а||г2||^, Я > О, М > 0, а > 0, /3 > 0, а + Р < ц. Система (2) относится к классу так называемых треугольных систем.

Доказывается, что в случае асимптотической устойчивости нулевых решений однородных систем дифференциальных уравнений

= з = 1,2, (3)

нулевое решение треугольной системы (2) также асимптотически устойчиво.

Параграф 4 посвящен нахождению условий асимптотической устойчивости по нелинейному приближению. Наряду с системой (2), изучается возмущенная система

XI(А + 1) = хг(к) + ЬЫк)) + я(х(А;)) + гг(к, х(к)),

х2(к + 1) = х2(к) + Ь(х2(к)) + г2(А,х(к)), ( }

где векторные функции гх(А;,г) и г2(к,г) при к = 0,1,... непрерывны в области ||г|| < Н и удовлетворяют условиям

||г.(М)||<^||2|Г. (5)

Здесь а > 1, Ь3 > 0, в = 1, 2.

Теорема 4.1. Если выполнено неравенство

<г>ц{(1- а)/0, (б)

то нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво.

Замечание 4.1. В работе показано, что сформулированное в теореме 4.1 достаточное условие асимптотической устойчивости, в определенном смысле, является и необходимым.

Далее полученное условие асимптотической устойчивости (6) уточняется для случаев, когда порядки однородности функций ^(гх) и {2(г2) различны, а также, когда известен вклад каждой из переменных гх и г2 в оценках г ¡(к, г).

В § 5 показано, что для некоторых типов функций q = q(к, г) асимптотическая устойчивость пулевого решения системы (4) сохраняется при менее жестких ограничениях на порядок возмущений по сравнению с условием (6).

Пусть в системе (4) ^(гх) и £2(22) — непрерывно дифференцируемые однородные функции порядка /л > 1, векторные функции Гх(/с, г) и г2(/с, г)

при к — 0,1,... непрерывны в области ||г|| < Я и удовлетворяют неравенствам (5), = В(к)%{г 2), где матрица В (к) ограничена при к > О, компоненты вектора g(z2) являются непрерывно дифференцируемыми однородными функциями порядка/3,1 < /3 < ц. Предполагается, что нулевые решения систем (3) асимптотически устойчивы.

Положим С{0) = 0, С(к) = при/г = 1,2,... Считаем, что

матрица С (к) ограничена для любого к = 0,1,... В частности, элементы матрицы В (к) могут представлять собой периодические последовательности с нулевыми средними значениями. Тогда справедлива следующая

Теорема 5.1. При выполнении неравенства

а > II шах{1; (/х + 1)(2/3)}

нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво.

Замечание 5.1. Полученные теоремах 4.1 и 5.1 условия на возмущения для дискретных систем совпадают с условиями, установленными в работе А. Ю. Александрова и А. В. Платонова для непрерывных систем.

Пусть последовательность С(к) вообще говоря, не является ограниченной. Однако существует число <р, 0 < </? < 1, такое, что ||С(А;)|| < ¿(к + 1)'р. Здесь <1 — положительная постоянная. Такими свойствами обладают матрицы В(к), средние значения элементов которых равны нулю.

Теорема 5.2. Нулевое решение системы (4) является асимптотически устойчивым, если выполняются следующие условия

М2 ^Р

— при <р>~, р Д

а >

Мм + 1) 2/3 — /х — 1

при ---< < —,

2/3 - <р(/1 - 1) ' ц - 1 г А»

2/3 - ц - 1

ц при 1р < ---.

Ц I

В § 6 рассматривается другой случай, когда асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (4) сохраняется при менее жестких ограничениях на порядок возмущений по сравнению с условием (6).

Предполагается, что q = ц(к, г) при к = 0,1,... непрерывна в области ]|г|| < Н и удовлетворяет неравенству г)|| < МЦгхЦ" ||г2М > 0,

а > 0, Р > 0, а + /3 < ц, гг(к, ъ) = В^к)^^), г2(к, ъ) = В2{к)%2{ъх), где матрицы В\{к), В2(к) ограничены при к > 0, компоненты векторов gl(z2), являются непрерывно дифференцируемыми однородными функциями порядка а > 1. Тогда возмущенная система имеет вид

Х1(* + 1) = Х1(/е) + 6(Х1 (к)) + q(fc)x(fc)) + В1(*;)В1(Х2(Л)), к2(к + 1) = х2(А) + ЬЫк)) + В2(к)ё2(Х1(к)).

Здесь, как и прежде, ^х) и {2(г2) — непрерывно дифференцируемые однородные функции порядка ц > 1. Снова считаем, что нулевые решения систем (3) асимптотически устойчивы.

Пусть Сг(к) (С<(0) = 0, Сг(к) = Е^с\Вг(а), при к = 1,2,...) ограничены при к > 0, г = 1,2.

Теорема 6.1. При выполнении условия

нулевое решение системы (7) является асимптотически устойчивым.

В § 7 снова исследуется система (4), где элементы векторов й^) и Г2(г2) — непрерывно дифференцируемые при е Е"1, г2 6 Е"2 однородные функции порядка /х > 1, вектор-функция q = непрерывна при ||г|| < Я, возмущения гЦй, г) и г2(/г, г) при А; = 0,1,... непрерывны в области ||г|| < Я и удовлетворяют неравенствам ||г1(&,г)|| < Ьх\\г2\\а\ 11^2(^,2)11 < ¿2||21||а2, £,1,1/2,01,02 — положительные постоянные. Пусть нулевые решения изолированных подсистем (3) асимптотически устойчивы.

Предполагается, что функцию можно выбрать так, чтобы при

||г|| < Я имела место оценка

Здесь а > 0, а > 0, /3 > 0. Тогда справедлива

Теорема 7.1. Для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (4) достаточно, чтобы при а < 1 параметр а2 удовлетворял условиям

Замечание 7.1. В случае а < 1 полученное в теореме 7.1 условие на возмущение для дискретных систем является более жестким по сравнению с условием, установленным в работе А. Ю. Александрова и А. В. Платонова для непрерывного случая.

' Ц2/сц при <Т1 < цР/{ц — а), сг2 > < ац/((Т1 - /3) при цР/(ц - а) < <Т1 < /3/(1 - а), _ /х(1 — а)//3 при <71 > /3/(1 - а),

а при а > 1 — условиям

а 2 >

ц2/су\ при 0\ < ц/3/(ц — а), а/х/(<Т1 — /3) при <71 > 3/(ц — а).

Во второй главе рассматриваются существенно нелинейные разностные системы. Определяются условия, при которых данные системы являются асимптотически устойчивыми и равномерно диссипативными. Предполагается, что на такие системы действуют возмущения. С помощью прямого метода Ляпунова находятся условия, при которых возмущения не нарушают асимптотическую устойчивость нулевого решения. Также исследуется равномерная диссипативность разностных систем по нелинейному приближению. С помощью предложенных способов анализа равномерной диссипативности разностных систем исследуются условия равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению. В § 1 рассматриваются разностные системы вида

п

xs(k + 1) = х3(к) + h^2r3jfj(xj(k)), s = l,...,n, (8)

где rSj — постоянные коэффициенты, h — шаг дискретизации (h > 0), функции fj(zj) определены и непрерывны при \zj\ < H (0 < H < +оо) и обладают свойством

zjfj(zj) > 0 ПРИ Zj^O, j = 1,..., п. (9)

Будем считать, что правые части системы (8) удовлетворяет следующему ограничению.

Предположение 1.1. Существуют положительные числа Ai,...,An, для которых квадратичная форма

п

W(y) = Y1 ^ГазУаУз

s,j=1

отрицательно определена.

Пусть функции fi{z\),..., fn(zn) представимы в виде

fj(zj) = z>;\ j = l,...,n. (10)

Здесь Hj — рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, fij > 1. Не умаляя общности, будем считать, что /гi < ... < fin. Известно, что система (8) с нелинейностями вида (10) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение.

Наряду с системой (8) рассмотрим возмущенную систему

п

xs(k + l)=xs(k) + hY,(rsj + bsj(k))x^(k), s — 1,..., 7i, (11) 1

где функции bSj(k), s, j = 1,..., n, заданы и ограничены при к = 0,1,...

Положим

к-1

<^•(0) = 0, 4>aj{k) = J^M™) при 1,2,..., s,j = l,...,n. (12)

m=0

Будем считать, что последовательности (12), вообще говоря, не являются ограниченными. Однако существует число а, 0 < а < 1, такое, что

Hm j-<pSj{k) = 0, s,j = l,...,n.

А:->оо К

Теорема 1.1. При выполнении неравенства

(/X! - 1)(/Xn+ 1) }

" (w + lK/in-l)

нулевое решение системы (11) асимптотически устойчиво.

Во втором параграфе на систему (8) накладывается более жесткое ограничение.

Предположение 2.1. Пусть для любого рационального числа С ^ 1 с нечетными числителем и знаменателем существуют положительные числа Ла,...,Лп, для которых функция

п

W(y) = ЪГ'зУ&з

s,j=1

отрицательно определена.

Тогда имеет место следующая

Теорема 2.1. В случае, когда < цп, достаточным условием асимптотической устойчивости нулевого решения системы (11) является выполнение неравенства

а < (14)

М/Лп - 1)

Если fj, 1 = ... = ßn, то достаточно, чтобы выполнялось условие а < 1 .

Замечание 2.1. При < цп неравенство (14) задает большую область допустимых значений для а, чем условие (13). В случае равенства цi и цп области допустимых значений параметра а совпадают.

Замечание 2.2. Для любых положительных чисел uis < цп/найдутся такие числа "¡,Аи L, что решения системы (11) с начальными данными

/ 7 \ w,/(/i„-i)

k0>L, Mfc0)| < J , s = l,...,n,

будут удовлетворять следующим оценкам / Ä\u>l C/'n-i)

\xs(k)\ < J npnk>k0, s = l,...,n,

характеризующим скорость стремления решений к началу координат.

В третьем и последующих параграфах этой главы исследуются условия равномерной диссипативности некоторых классов нелинейных разностных систем.

Снова рассматривается система (8), где г^ — постоянные коэффициенты, функции /7(2^) определены и непрерывны при ^ 6 Е.

Предположение 3.1. Пусть функции fs{zs) в области Е удовлетворяют условию Липшица, т. е. можно указать положительную постоянную Ь такую, что для любых га 6 Е, г$ € Е будут справедливы неравенства

При исследовании системы (8) на равномерную диссипативность ограничения (9) на функции /¿(г^) можно исключить. Вместо этого будем считать, что, помимо предположений 1.1 и 3.1, имеют место дополнительные условия.

Предположение 3.2. Функции /8(г5) обладают свойством

и можно указать Н > О такое, что /¿(г,-) ф 0 при \г,\ > Н, з = 1..., п.

Теорема 3.1. Если выполнены предположения 1.1, 3.1, 3.2, то существует полоэюителъное число /го такое, что при всех /г € (0, /го) система (8) равномерно диссипативна.

Например, условия теоремы 3.1 выполнены в случае, когда функции определяются по формулам = 3 = 1 ,...,п.

Здесь ^ — рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, г/^ — рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями, Цз > 1, V] > 0, — Vj\ < 1.

Предположение 3.3. Пусть функции в области Е удовлетворя-

ют условию Гельдера, т. е. можно указать положительные постоянные Ь и 0 < а5 < 1 такие, что для любых € Е, г"3 6 Е будут справедливы неравенства

Теорема 3.2. Если выполнены предположения 1.1, 3.2, 3.3, и к тому Dice |Л(-г5)| —¥ +00 при |zs| —> со, то система (8) равномерно диссипативна при любом h > 0.

Условия теоремы 3.2 выполнены для функций fi{z\),..., fn(zn) вида fs(zs) = zs'i гДе fa ~~ рациональные числа с нечетными числителями и

\fs(z's) - fs(C\ < L\z's - z'X 8 = 1,..

\fs{z's)-fs{zs)\<L\zs-zs\a', 3 = 1,...,п.

знаменателями, О < ц, < 1, s = 1,. ■., п. В этом случае показатели Гель-дера as = ¡is.

В § 4 находятся условия, при которых возмущения не нарушают равномерной диссипативности рассматриваемых систем.

В § 5 исследуется равномерная диссипативность следующего класса нелинейных разностных систем

х(к + 1) = x(fc) + hF{x(k)) + hB(k)Q(x(k)), (15)

где элементы векторной функции F(z) заданы и непрерывны при всех z G Е" и являются однородными функциями порядка 0 < ц < 1, причем нулевое решение системы дифференциальных уравнений z = F(z) асимптотически устойчиво, h — шаг дискретизации, h > О, матрица В(к) ограничена при к > 0, компоненты вектора Q(z) являются непрерывными однородными функциями порядка <т, 0 < а < 1. Известно, что если а < /х, то система (15) равномерно диссипативна при любом h > 0. В данном параграфе показывается, что для некоторых типов функций B(k)Q(x(k)) ограничение на а можно ослабить.

Положим С(0) = 0, С (к) = В(т) при к = 1,2,... Пусть матрица

С(к) ограничена для любого к = 0,1,... В частности, элементы матрицы В(к) могут представлять собой периодические последовательности с нулевыми средними значениями. Тогда справедлива следующая

Теорема 5.1. Пусть функция

G(k,z) = ^-C(k + m(z)

непрерывно дифференцируема по z при любом фиксированном к. Тогда, если выполнено неравенство а < (fi+ 1)/2, система (15) равномерно диссипативна при любом h > 0.

Замечание 5.1. Данная теорема согласуется с известным результатом о равномерной диссипативности, полученным для непрерывных систем.

В § 6 показывается, что предложенные раннее способы анализа равномерной диссипативности разностных систем можно использовать для нахождения условий равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению. Рассматривается система

I,

xs(k + l) = xs(k) + hFs(xs{k))+h^Qsj{k,x{k)), s = l,...,m, (16)

j=i

описывающая динамику сложной системы, состоящей из m взаимодействующих подсистем. Здесь х3(к) — векторы состояний размерности ns, х(к) = (х\(к),... ,х*т(к))*; элементы векторов Fs(zs) являются непрерывными однородными функциями порядка ¡is, 0 < /is < 1, zs £ Е"*,

ъ = ... ,2^)*; вектор-функции С}3у(к,г) определены при к = 0,1,..., г 6 Еп, п = пе, непрерывны по г, ограничены во всякой ограниченной области изменения г, и существует такое Н > 0, что для любого к и 1М1 > Н справедливы оценки ||С^(А;, г)|| < с^-ЦяхЦ^ ... ^Л"'"', сг, > 0, > 0, г = 1,..., т, з = 1,..., 1а, я = 1,..., т.

Теорема 6.1. Пусть нулевые решения систем дифференциальных уравнений = я = 1,...,тп, асимптотически устойчивы, и су-

ществуют положительные числа удовлетворяющие неравен-

ствам

т

+ & <0, 3 = 1,..., 13, в = 1,..., т.

г=1

Тогда при любом шаге К > 0 система (16) равномерно диссипативна.

Третья глава посвящена применению полученных в предыдущих главах результатов для построения стабилизирующих управлений и управлений, обеспечивающих равномерную диссипативность и практическую устойчивость. В § 1 дается постановка задачи стабилизации для нелинейных разностных систем. В § 2 представлены случаи, когда стабилизация осуществляется с полной и неполной обратными связями.

Пусть управляемая система представима в виде

XI (А: + 1) = XI (А;) + кгх(к,х(к)) + /щ(А;,х(А;)) + Нщ(к), х2(А: + 1) = х2(А;) + кг2(к,х(к)) + ки2(к).

Здесь хДА:) — «¿-мерный вектор фазового состояния, х(А:) = (х^(А;),х2(А;))*, п = щ + п2, иДА;) — «¿-мерный вектор управления, и(А:) = (и^(А;), и2(А:))*, г(к,х) = (г^А;, г),Г2(А;, г))*, вектор-функции г;(А;, г) определены и непрерывны при к = 0,1,..., ||г|| < Н, Н > 0, и справедливы оценки ||^(А;,г)|| < ¿¿ЦгЦ", где а > 1, Ь{ > 0, г — 1,2, векторная функция с±{к,х) при к = 0,1,... непрерывна в области ЦгЦ < Н, и выполняется следующее неравенство |]я(/с, г)|| < М\\т,1\\а ||г2||^, М > 0, а > 0, ¡3 > 0, а + /3 < а.

В соответствии с результатами теоремы 4.2 главы 1 справедлива

Теорема 2.1. Пусть множество значений и'Ц2, удовлетворяющих неравенствам

цх >1, \12 > 1, ¿¿!/х2 < сг2, (/¿1 - а)[12//3 < а, (18)

непусто. Тогда для системы (17) существуют стабилизирующие управления вида щ(к) = {{(х.^к)), г = 1,2, где элементы вектора f¿(z¿) — непрерывно дифференцируемые однородные функции порядка а и ц2 взяты в соответствии с условиями (18), причем системы дифференциальных уравнений г* = ^(г^), г = 1,2, асимптотически устойчивы.

' Б § 3 формулируются задачи обеспечения как равномерной дисснпа-•гхшиосги, так а практической' устойчивости. Рассматривается система в отклонениях, описывающая дг-ч^г.ение некоторого управляемого объекта

х(/с 4-1) -F(/e,x(fc),u(fc)). (19)

Здесь x(k) £ IE", и (к) = (ui(fe),..... v,.{k)Y - r-мерный вектор управления, пекторпаи функция F{¿,z,и) определена при всех к — 0,1,..., z ё Е". u € S' и непрерывна но z и U.

Будем говорить, что для системы (19) существует управление и = u(x(fe)), обеспечивающее равномерную диссипативность, если замкнутая система раьаомерио диссмпахявна. Особый интерес представляет ситуации. когда область, в которую сходятся все решения, можно сделать сколь угодно малой.

Определение 3.2. Будем говорить, что для системы (19) существует уграздение, обеспечивающее практическую устойчивость, если для любых S > 0 и Л, е < R < +оо, можно построить управление u = u(x(fc)) такое, что найдется натуральное число N, для которого при всех /с0 > 0 и к > к<\ + А" выполняется неравенство ¡|x(fc,x0, fc0)|| < е, если только

!М!</?.

В § 4 получены услоЬия существования управлений, обеспечивающих равномерную диссипативность, В пятом параграфе рассматриваются нелинейные psouocivbir системы с постоянно действующими возмущениями.

3 трудах В; И. Зубова и Е. С. Пятницкого для непрерывных систем с постоянно действующими возмущениями были предложены способы постро-ейия уравнений,', обеспечивающих стремление решений системы к началу координат при возрастании времени. При этом полученные таким способом управления не являются непрерывными функциями состояния системы.

В некоторых случаях не требуется перевод системы в начало координат. Достаточно, чтобы решения системы попадали в заданную окрестность начала координат, при этом управление должно быть непрерывным. Такие задачи решались в работе.М. Корлесса и Г. Лайтмана.

В данном дараграфе управления строятся, в соответствии с подходом, предложенным в работе М. Корлесса и Г. Лайгмана, и находятся условия, при которых они обеспечивают практическую устойчивость изучаемых систем. Приводится пример, иллюстрирующий поведение возмущенных решений под действием таких управлений.

В § 6 рассмотрены управляемые нелинейные разностные системы, правые части которых представляют собой линейные комбинации степенных функций фазовых переменных. Найдгны условия существования управлений, обеспечивающих асимптотическую и практическую устойчивость изучаемых систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, полученными в ходе диссертационного исследования и выносимыми на защиту, являются следующие:

• условия асимптотической устойчивости систем разностных уравнений по нелинейному неоднородному приближению;

• теоремы об асимптотической устойчивости пулевых решений нелинейных неавтономных дискретных систем;

• достаточные условия равномерной диссипативности нелинейных систем разностных уравнений:

• теорема о равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению;

• условия существования управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость, равномерную диссипативность и практическую устойчивость нелинейных разностных систем1.

В приложении представлен код программы, реализованный в пакете MATLAB для численного исследования примера из § 5 третьей главы.

По теме диссертации опубликованы следующие работы-

1. Султанбеков А. А. Некоторые условия устойчивости нелинейных неавтономных разностных систем // Вести. С.-Летерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. № 1. С. 109-118.

2. Султанбеков А. А. Условия устойчивости одного класса существенно нелинейных разностных систем Ii Научно-технический вестн. Поволжья. 2012. № 1. С. 216-222.

3. Султанбеков А. А. Об устойчивости одного класса существенно нелинейных разностных систем // Вести. Сам. гос. гсхн. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2012. № 2(27). С. 132-143.

4. Султанбеков А. А О равномерной диссипативности нелинейных разностных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды XLITI международной на учной конференции аспирантов и студентов. СПб.. 2-Г> апреля 2012 г. / Под ред. Н.В. с- ■ рнова, Г.Ш. Тамасяна. СПб.: Изд-ьо С,- Петсрб. ун-та, 2012. С. 37-42.

5. Султанбеков А. А. Некоторые условия равномерной диссипатиглк.сти нелинейных разностных систем // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: Материалы V-й Международной конференции "ПМТУММ-2012"/ под ред. A.B. Глутко, В.З. Провоторо-па. Воронеж: Изд.-полиг. центр ВГУ. 2012. С. 273-274.

Подписано к печати 17.09.2012.

Формат бумаги 60 х 84 '/,6. Бумага офсетная.

Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 ">кз. Заказ 5514.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбТУ 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр. 26.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ НЕОДНОРОДНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

§ 1. Основные понятия и определения.

§ 2. Системы с однородными правыми частями.

§ 3. Устойчивость треугольных разностных систем.

§ 4. Анализ устойчивости по нелинейному приближению.

§ 5. Условия устойчивости по нелинейному нестационарному приближению

§ 6. Системы с неавтономными возмущениями.

§ 7. Уточнение условий устойчивости по нелинейному приближению

ГЛАВА 2. УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И РАВНОМЕРНОЙ ДИССИПАТИВНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

§ I. Асимптотическая устойчивость решений одного класса нелинейных неавтономных разностных систем

§ 2. Уточнение условий асимптотической устойчивости.

§ 3. Анализ равномерной диссипативности существенно нелинейных систем разностных уравнений.

§ 4. Условия диссипативности по нелинейному приближению

§ 5. Равномерная диссипативность одного класса разностных систем с неавтономными возмущениями.

§ 6. Условия равномерной диссипативности сложных систем

ГЛАВА 3. УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ РАЗНОСТНЫМИ СИСТЕМАМИ

§ 1. Постановка задачи стабилизации

§ 2. Стабилизация нулевого решения нелинейных разностных систем

§ 3. Постановка задачи обеспечения равномерной диссипативности и практической устойчивости.

§ 4. Решение задачи обеспечения равномерной диссипативности

§ 5. Построение управлений, обеспечивающих практическую устойчивость.

§ 6. Управление одним классом существенно нелинейных разностных систем.

Актуальность темы. Постепенный рост производительных мощностей, высокоточного оборудования приводит к усложнению научного аппарата. Так с каждым годом появляется много новых математических моделей, описывающих реальные процессы как в физике [10, 45], химии [24], экономике [49], так и в биологии, генетике и медицине [47, 48, 50, 51], в которых присутствуют различного рода нелинейности.

С развитием аппарата моделирования требуется соответствующее развитие методов анализа динамики нелинейных систем. Одним из аспектов динамики систем является устойчивость. В современных реалиях задача устойчивости имеет важное теоретическое и прикладное значение в силу неизбежного присутствия возмущений в моделях, описывающих сложные природные явления. Нахождение условий устойчивости позволяет не только оценить поведение решений системы, но и открывает перспективы дальнейшего развития теории управления.

Фундаментальные подходы в области исследования устойчивости для непрерывных систем были разработаны еще в конце XIX века А. М. Ляпуновым [23]. Им были предложены два метода для анализа устойчивости механических систем. Первый метод тем или иным образом исследовал возмущенные решения, которые искались в виде рядов и на основе свойств этих рядов делался вывод об устойчивости нулевого решения исходной системы. Второй способ Ляпунова, именуемый прямым, методом. Ляпунова, опирался на использование вспомогательных функций, по поведению которых на решениях рассматриваемых систем можно судить о поведении самих решений.

При исследовании нелинейных систем широко применяется прямой метод Ляпунова. Данный подход получил глубокое развитие в трудах И. Г. Малкина, Н. Н. Красовского, В. И. Зубова и ряда других ученых [12, 19, 25]. В этих работах были доказаны в том числе и теоремы об устойчивости по нелинейному приближению, и в качестве первого приближения рассматривались системы с однородными правыми частями. В. И. Зубовым были установлены критерии устойчивости по обобщенно-однородному приближению [14].

Помимо развития методов исследования устойчивости, большое количество работ посвящено расширению понятия устойчивости решения системы. Так К. П. Персидский ввел понятие равномерной устойчивости по начальным данным [27], И. Г. Малкин добавил для асимптотической устойчивости равномерность относительно начальных данных [25], Н. Левинсон ввел понятие диссипативности системы [55]. Понятие диссипативности заимствовано из физики и означает склонность системы к рассеянию энергии. В работах В. В. Румянцева, В. И. Зубова, П. Абетс и многих других ученых [13, 30, 53, 56] была изучена устойчивость движения относительно части переменных. Также во многих трудах был исследован ряд таких понятий, как экспоненциальная устойчивость, устойчивость при постоянно действующих возмущениях и т.п.

Одним из важных классов систем, описывающих динамические процессы и явления, являются разностные системы. Они применяются в теории управляемых систем с дискретными регуляторами [13], при исследовании нелинейных импульсных систем [43], а также используются при численном интегрировании дифференциальных уравнений [13, 42]. Кроме того, разностные системы необходимы при моделировании различных биологических процессов [32, 36].

Многие приемы в области исследования устойчивости, разработанные для непрерывных систем, были распространены на системы разностных уравнений. Установлены условия устойчивости для линейных систем, получен дискретный аналог прямого метода Ляпунова, с помощью которого доказана устойчивость по линейному и нелинейному приближениям и т.д. Результаты, в частности, представлены в работах [2, 3, 13, 43].

На данный момент глубоко изучена проблема устойчивости линейных разностных систем. Хотя линейные модели удобны, они иногда слишком упрощают изучаемую нелинейную систему или вовсе не подходят для ее исследования. Например, в работе [21] отмечается, что многие физические системы содержат существенные нелинейности, которыми нельзя пренебрегать и с которыми не удается справиться при помощи линейной аппроксимации. К тому же довольно часто приходится рассматривать системы, у которых разложение правых частей в ряды по степеням искомых функций вообще не содержит линейных членов [12].

Особый интерес представляет нахождение условий устойчивости дяя нелинейных разностных систем, а также разработка новых подходов в области исследования устойчивости по нелинейному приближению. Существенные результаты в исследовании устойчивости нелинейных систем были достигнуты в работах А. Халанай, Д. Векслер, М. А. Скалкиной и многих других ученых [2, 33, 34, 43].

Также важной задачей при изучении нелинейных разностных систем является исследование их на диссипативность. На данный момент условия диссипативности глубоко изучены для систем дифференциальных уравнений. Значимые результаты представлены в трудах Т. Йошизавы, Б. П. Демидовича, В. И. Зубова и ряда других ученых [8, 12, 31, 58]. Основным методом при анализе диссипативности дифференциальных систем является прямой метод Ляпунова. В дальнейшем способы исследования диссипативности непрерывных систем также были распространены на системы разностных уравнений. Известен дискретный аналог теоремы Т. Йошизавы о равномерной диссипативности нелинейных систем [2].

При переходе от непрерывных систем к дискретным актуальной проблемой является сохранение качественных характеристик исследуемых систем. Известно [13], что часто требуется коррекция разностных схем для обеспечения согласованности между свойствами решений непрерывных и дискретных уравнений. Коррекция заключается в построении консервативных численных методов, основанных на модификации вычислительных схем путем введения управления, что приводит к их усложнению [13]. Поэтому весьма важно выделение таких классов систем, для которых имеет место сохранение качественных характеристик при переходе к дискретному виду без соответствующих коррекций.

Задачей данного диссертационного исследования является изучение свойств существенно нелинейных разностных систем, нахождение условий их асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности, построение управлений, стабилизирующих программные движения, а также управлений, обеспечивающих равномерную диссипативность и практическую устойчивость изучаемых движений. Помимо этого, в работе найдены классы систем, для которых имеет место согласованность свойств, в смысле сохранения асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности, непрерывных и соответствующих им дискретных систем.

Структура и основное содержание работы. Рукопись состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы, включающего 58 наименований и приложения. Объем составляет 106 страниц машинописного текста. Работа содержит 2 рисунка.

Первая глава посвящена изучению условий устойчивости разностных систем по неоднородному приближению. В качестве системы нелинейного приближения рассматриваются существенно нелинейные уравнения специального вида, в правых частях которых, кроме однородных функций заданного порядка, присутствуют дополнительные члены меньшего порядка. Исследуется случай, когда изучаемые системы являются треугольными и имеют асимптотически устойчивые нулевые решения.

В § 1 приводятся некоторые определения и теоремы дискретного аналога второго метода Ляпунова, применяемые в настоящей работе. Во 2-ом параграфе представлены известные результаты об устойчивости разностных систем с однородными правыми частями и теорема об устойчивости по нелинейному однородному приближению. В § 3 показывается, что если в правых частях уравнений нелинейного приближения, кроме однородных членов заданного порядка, присутствуют дополнительные члены меньшего порядка, то превышение порядка возмущения над порядком однородных членов уже недостаточно для того, чтобы возмущенная система сохраняла асимптотическую устойчивость нулевого решения. В качестве таких систем рассматриваются треугольные системы, для которых находятся условия асимптотической устойчивости. В последующих параграфах первой главы исследуются ситуации, когда на треугольные системы действуют различные возмущения, и находятся условия, при которых данные возмущения не нарушают асимптотическую устойчивость нулевых решений рассматриваемых систем. Пример 3.1 из § 3 показывает, что сформулированное в § 4 достаточное условие асимптотической устойчивости по нелинейному неоднородному приближению, в определенном смысле, является и необходимым.

Во второй гяаве изучается проблема асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности для некоторых классов существенно нелинейных разностных систем. В § 1, 2 исследуются системы, правые части которых представляют собой линейные комбинации степенных функций фазовых переменных. Предполагается, что на такие системы действуют возмущения. С помощью дискретного аналога прямого метода Ляпунова доказываются теоремы об асимптотической устойчивости. В § 3, 4 изучается равномерная диссипативность существенно нелинейных систем. Находятся условия, при которых возмущения не нарушают равномерной диссипативности рассматриваемых систем. В § 5 доказывается теорема о равномерной диссипативности одного класса нелинейных разностных систем. В § 6 показано, что предложенные раннее способы анализа равномерной диссипативности разностных систем можно использовать для нахождения условий равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению.

Третья глава посвящена применению полученных в предыдущих главах результатов для построения стабилизирующих управлений и управлений, обеспечивающих равномерную диссипативность и практическую устойчивость. В § 1 дается постановка задачи стабилизации для нелинейных разностных систем. В § 2 представлены случаи, когда стабилизация осуществляется с полной и неполной обратными связями. В § 3 формулируются задачи обеспечения равномерной диссипативности и практической устойчивости. В § 4 получены условия существования управлений, гарантирующих равномерную диссипативность изучаемых систем. В пятом параграфе находятся условия существования управлений, обеспечивающих практическую устойчивость. Приводится пример, иллюстрирующий поведение возмущенных решений под действием таких управлений. В § 6 рассмотрен один класс управляемых нелинейных разностных систем, правые части которых представляют собой линейные комбинации степенных функций фазовых переменных.

В заключении сформулированы основные результаты исследования, выносимые на защиту.

В приложении представлен код программы, реализованный в пакете МАТЬАВ для численного исследования примера из § 5 третьей главы.

Научная новизна. Новыми результатами, представленными в работе, являются:

• условия асимптотической устойчивости систем разностных уравнений по нелинейному неоднородному приближению:

• теоремы об асимптотической устойчивости нулевых решений нелинейных неавтономных дискретных систем;

• достаточные условия равномерной диссипативности нелинейных систем разностных уравнений:

• теорема о равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению;

• условия существования управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость, равномерную диссипативность и практическую устойчивость нелинейных разностных систем.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа, в основном, носит теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы вносят определенный вклад в развитие качественной теории разностных систем. Полученные в ней результаты могут быть использованы при анализе асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности дискретных моделей, используемых в прикладных задачах, а сформулированные и решенные задачи по обеспечению асимптотической устойчивости, равномерной диссипативности и практической устойчивости могут применяться при проектировании и разработке управляемых систем.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 5 работ, три из которых - в изданиях, рекомендуемых Высшей аттестационной комиссией (ВАК) для публикации основных научных результатов [37-41].

Результаты исследования докладывались и обсуждались на международных конференциях "Процессы управления и устойчивость "(Санкт-Петербург, 2012 г.), "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования "(Воронеж, 2012 г.), на ежегодных семинарах кафедры управления медико-биологическими системами СПбГУ (2010-2012 гг.).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, полученными в ходе диссертационного исследования и выносимыми на защиту, являются следующие:

• условия асимптотической устойчивости систем разностных уравнений по нелинейному неоднородному приближению;

• теоремы об асимптотической устойчивости нулевых решений нелинейных неавтономных дискретных систем;

• достаточные условия равномерной диссипативности нелинейных систем разностных уравнений:

• теорема о равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению:

• условия существования управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость, равномерную диссипативность и практическую устойчивость нелинейных разностных систем.

1. Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во С-Петерб. ун-та, 2004. 184 с.

2. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость движений дискретных динамических систем. СПб.: Науч.-исслед. ин-т Химии С-Петерб. ун-та, 2003. 112 с.

3. Александров А. К)., Жабко А. П. О сохранении устойчивости при дискретизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Сибирский математический журнал. 2010. Т. 51, № 3. С. 383-395.

4. Александров А. Ю., Платонов А. В. Устойчивость движений сложных систем. СПб.: НИИ Химии С-Петерб. ун-та, 2002. 79 с.

5. Александров А. Ю., Платонов А. В. Построение функций Ляпунова для одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 10. С. 267-270.

6. Александров А. Ю., Платонов А. В. Об устойчивости по нелинейному неоднородному приближению // Матем. заметки. 2011. Т. 90, № 6. С. 803-820.

7. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

8. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

9. Дудников Е. Е., Рыбашов М. В. Сеть нейронов с нелинейными обратными связями // Автомеханика и телемеханика. 1997. № 6. С. 64-73.

10. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. 368 с.

11. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.

12. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

13. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. Л.: Судпромгиз, 1980. 253 с.

14. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // Докл. РАН. 1996. Т. 346, № 3. С. 295-296.

15. Калитин Б. С. О принципе сведения для асимптотически треугольных дифференциальных систем // Прикл. математика и механика. 2007. Т. 71, № 3. С. 389-400.

16. Карелин В. В., Харитонов В. Л., Чижова О. Н. Лекции по теории стабилизации программных движений: Учеб. пособие / Под общ. ред. В. И. Зубова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 80 с.

17. Козлов Р. И. Теория систем сравнения в методе векторных функций Ляпунова. Новосибирск.: Наука, 2001. 128 с.

18. Косов А. А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 10. С. 1432-1434.

19. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М: Физматгиз, 1959. 212 с.

20. Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Го-стехиздат, 1955. 483 с.

21. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления М.: Наука, 1972. 576 с.

22. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

23. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М: Изд-во ОНТИ, 1935. 386 с.

24. Максимов А. И. Введение в нелинейную физическую химию: учебное пособие. Иваново.: Иван. гос. хим.-технол. ун-т, 2010. 174 с.

25. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

26. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А. А. Воронова и В. М. Матросова. М.: Наука, 1987. 312 с.

27. Персидский К. П. Об устойчивости движения в первом приближении. // Матем. сборник. 1933. Т. 40, № 3. С. 284-293

28. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1969. JYa 12. С. 5-11.

29. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 2. С. 300.

30. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 с.

31. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

32. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.

33. Скалкина М. А. О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечно-разностных уравнений // Прикл. математика и механика. 1955. Т. 19, № 3. С. 287-294.

34. Скалкина М. А. О сохранении асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным // Докл. АН СССР. Т. 104, № 4. 1955. С. 505-508.

35. Смирнов Н. В., Смирнова Т. Е., Тамасян Г. Ш. Стабилизация программных движений в пространстве состояний: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СОЛО, 2010. 97 с.

36. Смит Дж. М. Математические идеи в биологии. М.: Мир, 1970. 180 с.

37. Султанбеков А. А. Некоторые условия устойчивости нелинейных неавтономных разностных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. 2012. № 1. С. 109-118.

38. Султанбеков А. А. Условия устойчивости одного класса существенно нелинейных разностных систем // Научно-технический вестн. Поволжья. 2012. № 1. С. 216-222.

39. Султанбеков А. А. Об устойчивости одного класса существенно нелинейных разностных систем // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ,-мат. науки. 2012. № 2(27). С. 132-143.

40. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

41. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 312 с.

42. Черноусько Ф. JL, Ананьевский И. М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 328 с.

43. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 296 с.

44. Barmish В. R., Leitmann G. On ultimate boundedness control of uncertain systems in the absence of matching assumptions // IEEE Trans. Automat. Control. 1982. Vol 27. Issue 1. P. 153-158.

45. Brauer F., Castillo-Chavez C. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. New York.: Springer, 2001. 448 p.

46. Braverman E. On a discrete model of population dynamics with impulsive harvesting or recruitment // Nonlinear Analysis. 2005. Vol. 63. Issue 5-7. P. 751-759.

47. Bischi G. I., Chiarella C., Gardini L. Nonlinear Dynamics in Economics, Finance and the Social Sciences: Essays in Honour of John Barkley Rosser Jr. Bin.: Springer-Verlag. 2010. 400 p.

48. Chen F. Permanence and global attractivity of a discrete multispecies Lotka-Volterra competition predador-prey systems // Applied Mathematics and Computation. 2006. Vol. 182. Issue 1. P. 3-12.

49. Continho R., Fernandez B., Lima R., Meyroneinc A. Discrete time piecewise affine models of genetic regulatory networks // J. Math. Biol. 2006. Vol. 52. Issue 4. P. 524-570.

50. Corless M. J., Leitmann G. Continuous state feedback guaranteeing uniform ultimate boundedness for uncertain dynamic systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1981. Vol 26. Issue 5. P. 1139-1144.

51. Habets P., Peiffer K. Classification of stability-like concepts and their study using vector Liapunov functions // J. Math. Anal, and Appl. 1973. Vol. 43. Issue 2. P. 537-570.

52. Kalton N.J. Spaces of Lipschitz and Holder functions and their applications // Collectanea Mathematica. 2004. Vol. 55. Issue 2. P. 171-217.

53. Levinson N. Transformation theory of non-linear differential equations of the second order // Ann. of Math. 1944. Vol 45. Issue 4. P. 723-737.

54. Michel A. N. On the bounds of the trajectories of differential systems // Int. J. of Control. 1969. Vol. 10. P. 593-600.

55. Rosier L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector held // Systems & Control Letters. 1992. Vol. 19. P. 467-473.

56. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. Tokyo.: The Math. Soc. of Japan, 1966. 223 p.