автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы синтеза многопрограммных управлений в различных классах динамических систем

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СМИРНОВ Николай Васильевич

МЕТОДЫ СИНТЕЗА МНОГОПРОГРАММНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В РАЗЛИЧНЫХ КЛАССАХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург — 2006

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете на факультете прикладной математики — процессов управления

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Веремей Евгений Игоревич

доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Михайлов Владимир Борисович

доктор физико-математических наук, профессор Щешшков Владимир Николаевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН

Защита состоится /¿<¿2 2006 г. в

/¿Г

часов на заседании диссертационного совета Д-212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр.

^

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9.

Автореферат разослан " ¿.г*?/?/*? 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д-212.232.50, доктор физико-математических наук, профессор

Г.И. Курбатова

ОВЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современная математическая теория управления, зародившись как теория регулирования, является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений научных исследований. Создание математических моделей систем управления и методов расчета их параметров представляет собой основу системного анализа. На протяжении всей истории развития теории управления ее главной целью было решение нескольких наиболее важных взаимосвязанных проблем, к которым следует отнести: разработку методов построения управляющих воздействий на объект управления для обеспечения наперед заданной динамики (задачи программного управления); создание методов синтеза стабилизирующих управлений, обеспечивающих устойчивую работу объекта в программном режиме (задачи стабилизации программных движений); разработку методов и алгоритмов оптимизации функционирования системы управления как в целом, так и ее отдельных элементов (задачи оптимизации и оптимального управления). Выдающиеся результаты в этих и смежных областях были получены в трудах JI.C. Понтрлгина, H.H. Красовского, P.E. Калмана, В.И. Зубова, В.А. Якубовича и других ученых.

Конкретные приложения добавляют свою специфику классическим постановкам задач. Так, поведение объектов управления, в зависимости от их природы, может моделироваться различными классами динамических систем, например, линейными или нелинейными, стационарными или нестационарными системами дифференциальных или разностных уравнений. При синтезе обратных связей в распоряжении инженеров могут быть устройства, позволяющие измерять весь вектор фазового состояния или только его часть. Определенные требования предъявляются и к функциональным возможностям системы управления, и к качеству самого управления.

В настоящей диссертации изучаются возможности и разрабатываются методы синтеза так называемых многопрограммных управлений в различных классах динамических систем. Основнал идея состоит в том, чтобы построить управление, обеспечивающее замкнутой системе наперед заданное конечное множество асимптотически устойчивых программных движений. Впервые постановка задачи многопрограммной стабилизации была сформулирована В.И. Зубовым в 1991 году. Его результат связан с решением этой проблемы в классе линейных стационарных управляемых систем, а в качестве примеров рассмотрены задача управления механическими системами, описываемыми уравнениями Лагранжа второго рода, и задача управления движением заряженных частиц в электромагнитном поле.

В диссертации рассматриваются линейные нестационарные системы, а также важный для приложений класс нелинейных объектов — билинейные стационарные и нестационарные системы. Особое внимание уделяется их разностным аналогам. Хорошо известно, что методы исследования управляемости и устойчивости нестационарных систем существенно отличаются от соответствующих методов в стационарных случаях. Применение первого и второго методов A.M. Ляпунова, а именно, аппарата характеристических показателей и функций Ляпунова, подходов H.H. Красовского и Е.Я. Смирнова в задачах стабилизации нестационарных систем позволило разработать конструктивные алгоритмы синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений в этих классах систем.

Особое внимание в диссертации уделяется модификации алгоритмов с целью расширения возможностей их практического применения. Для этого, во-первых, вводятся новые классы многопрограммных управлений. Так, гибридные управления имеют в своем составе непрерывные элементы, отвечающие за реализацию программных движений, и дискретные либо релейные стабилизаторы. Во-вторых, для всех классов систем отдельно рассматривается случай неполной обратной связи, когда полный вектор фазового состояния недоступен для измерения. Тогда система многопрограммного управления дополняется асимптотическим идентификатором (наблюдателем), который, в свою очередь, также может быть гибридным.

Отдельная глава диссертации посвящена синтезу оптимальных многопрограммных стабилизирующих управлений и оптимальных идентификаторов. Изучена структура оптимальных управлений, разработан метод последовательных приближений для их построения.

Таким образом, в диссертации разрабатывается теоретический аппарат, позволяющий решать широкий круг актуальных задач многопрограммного управления в различных классах динамических систем.

Цель работы заключается в разработке математических моделей, многопрограммных систем управления, а также методов и алгоритмов расчета их параметров для различных классов динамических систем непрерывного и дискретного типа в случаях полной и неполной обратной связи.

Методгл исследования. В работе используются классические методы теории дифференциальных и разностных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления и оптимизации. Основным аппаратом исследования является второй метод Ляпунова.

Научная новизна. В диссертации рассмотрены и исследованы новые постановки задач многопрограммного управления и стабилизации для широкого спектра линейных и нелинейных динамических систем. Найдены условия существования и разработаны методы построения непрерывных, дискретных и релейных обратных связей в режиме стабилизации программных движений из заданного семейства для случая полной обратной связи.

Для решения аналогичных задач многопрограммного управления при неполной обратной связи предложены методы синтеза нелинейных асимптотических идентификаторов (наблюдателей) различного типа, позволяющих оценивать отклонение текущего состояния системы от реализуемого в данный момент программного режима. Найдены достаточные условия существования непрерывных, гибридных (непрерывных, но с дискретно поступающей информацией) и разностных идентификаторов полного порядка и меньшей размерности (идентификаторов типа Люенбергера). Доказательства теорем содержат алгоритмы вычисления их параметров.

Предложен подход к решению задачи оптимальной многопрограммной стабилизации. Найдены достаточные условия существования оптимальных многопрограммных стабилизирующих управлений, изучена их структура и разработан метод последовательных приближений для их построения. Этот подход распространен на случай неполной обратной связи, даны методы построения оптимальных идентификаторов в задаче многопрограммной стабилизации.

Практическая ценность. В диссертации разработаны методы синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений для различных классов динамических систем, которые используются в качестве математических моделей реальных процессов при решении конкретных прикладных задач. Система, замкнутая многопрограммным управлением, представляет собой нелинейный многопрограммный автомат, способный реализовать любое программное движение из заданного семейства в зависимости от выбора начальных данных. Созданный теоретический аппарат позволяет проектировать многопрограммные системы управления в случае как полной, так и неполной обратной связи, при дискретном характере информации в каналах обратной связи, а также решать задачи оптимизации этих систем по заданным критериям качества. Кроме того, поскольку линейные и билинейные системы являются универсальным средством аппроксимации нелинейных динамических объектов, то предложенный в диссертации подход, по сути, универсален. При этом следует отметить, что в работе исследованы возможности его применения для таких нелинейных моделей как сис-

- с-

темы типа Лотки — Вольтерры и для решения некоторых нелинейных задач управления в механизмах двигателя автомобиля.

Положения, выносимые на защиту.

1. Математические модели систем управления, обеспечивающих реализацию некоторого программного движения из наперед заданного конечного семейства и его стабилизацию для различных классов линейных и нелинейных динамических систем.

2. Достаточные условия существования многопрограммных стабилизирующих управлений. Представление этих управлений и методы их построения в случае полной обратной связи.

3. Достаточные условия существования асимптотических идентификаторов состояния системы различных типов, позволяющих решать задачи многопрограммного управления в случае неполной обратной связи. Методы расчета параметров этих идентификаторов и построенных с их применением многопрограммных управлений.

4. Методы синтеза оптимальных многопрограммных стабилизирующих управлений и соответствующих асимптотических идентификаторов для случая неполной обратной связи.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные разделы и полученные результаты были представлены в докладах па международных конференциях: "1п1егуа1'94" по интервальным и компьютерно-алгебраическим методам (С.-Петербург, 1994 г.), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994 и 1996 гг.), "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1995 и 1997 гг.), "СОС'97" по управлению колебаниями и хаосом (С.-Петербург, 1997 г.), "Еругинские чтения — V" (Могилев, 1998 г.), конференции, посвященной 90-летию Л.С. Понтрягина (Москва, 1998 г.), "Динамические системы: Устойчивость, управление, оптимизация (ББЗСО'ЭЗ)" (Минск, 1998 г.), "Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики" (С.-Петербург, 2000 г.), "Управление и его приложения" — пятая конференция Э1АМ (Сап-Диего, США, 2001 г.), "Ежегодной конференции общества прикладной математики и механики (САММ-2002)" (Аугсбург, Германия, 2002 г.), "Конференции по оптимизации (КСР-2002)" (Котт-бус, Германия, 2002 г.), "Идентификация систем и задачи управления (81СР1Ю'04)", (Москва, 2004 г.), конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова "Устойчивость и процессы управления (ЗСР-2005)" (С.-Петербург, 2005 г.), "Физика и управление (РЬувСоп 2005)" (С.-Петербург, 2005 г.); па международном коллоквиуме по дифференциальным уравнениям (Пловдив, 1998 г.); на международных семинарах: "Динамика пучков и оптимизация (ВБО)" (С.-Петербург,

1996, 1998 и 2002 гг.), "Оптимизация в задачах управления (САО-2000)" (С.-Петербург, 2000 г.); па семинарах в Научно-исследовательской лаборатории компании Форд (Детройт, США, 2001 г.), в Харбинском политехническом университете (Харбин, КНР, 2005 г.), в Институте проблем механики (Москва, 2005 г.), па семинаре "Принципы построения математических моделей", проводимом в рамках научной школы " Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ", организованной Средневолжским математическим обществом и Мордовским госуниверситетом им. Н.П. Огарева (Саранск, 2005 г.), а также па семинарах кафедры теории управления и кафедры моделирования экономических систем факультета ПМ-ПУ СПбГУ.

Работа была частично поддержана грантом РФФИ (1990-1999 гг.), наименование проекта "Процессы управления и устойчивость", руководитель — член-корр. РАН В.И. Зубов (X1 96-15-96106), а также персональным грантом Министерства Образования РФ в области автоматики и телемеханики, вычислительной техники, информатики, кибернетики, метрологии, связи (1997-2000 гг.), наименование проекта "Стабилизация и оптимальная стабилизация нелинейных управляемых систем по билинейному приближению".

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 52 печатных работах.

Структура и о б о. ом работы. Диссертация содержит 287 страниц и состоит из введения, трех глав, Приложения, Заключения и списка литературы, включающего 170 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе задача синтеза многопрограммных управлений рассматривается для различных классов управляемых динамических систем в предположении, что вектор отклонений текущего состояния системы от реализуемого программного движения полностью доступен для измерения. При этом блок стабилизации может использовать эту информацию как в непрерывном, так и дискретном режиме. Отдельно изучена возможность синтеза релейного многопрограммного регулятора.

Общая постановка задачи многопрограммного управления формулируется в пункте 1 §1 следующим образом. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

х = х, и).

(1)

Здесь х — n-мерный вектор фазового состояния; и — r-мерный вектор управлений; F(i,x, и) — вектор-функция, заданная и непрерывная в области D = JxGxU, где J — {i | 0 < t < +00}, G и U — некоторые области евклидовых пространств Е" и Ег соответственно. Предполагается, что область D является областью существования и единственности решения задачи Коши.

Будем считать, что система (1) описывает движение некоторого управляемого объекта. Пусть для нее построены программные управления ui(i),..., ujv(i) в классе непрерывных и ограниченных при t > 0 функций, а также соответствующие им программные движения xi (i),..., Хдг(f). Число программных движений N не связано с размерностью системы (1) и размерностью пространства управлений.

Задача 1. (Многопрограммная стабилизация). Для исходной системы (1) требуется построить управление

которое реализует заданные программные движения при про-

граммных управлениях $ — 1, Лг. Кроме того, необходимо, чтобы

программные движения х_Д() при управлении (2) были асимптотически устойчивы по Ляпунову. Такие управления в дальнейшем будем называть многопрограммными стабилизирующими или просто многопрограммными.

Задача 1 была впервые поставлена и решена В.И. Зубовым для линейной системы с постоянными коэффициентами

Условия существования решения задачи 1 для системы (3) дает

Теорема 1 (Зубов, 1991). Пусть выполнены следующие условия: 1) система х = Ах + Ви при и = Сх может иметь сколь угодно большой запас устойчивости, получающийся путель выбора постоянной матрицы С; 2) заданные програльлшые движения Х1(£),..., х/у(£) различимы при £ > ¿о > О, иначе говоря, т^>0 ||х^)—> 0, г ф у. Тогда существует управление (2), реализующее программные движениях.! (£),..., хлг(£), при этом каждое из них будет асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Во втором пункте §1 изложено полное доказательство теоремы Зубова, впервые опубликованное в работе [17]. Далее в нем рассмотрен класс линейных нестационарных систем

u — u(x, t)

(2)

x = Ax + Bu + F(i).

(3)

х = A(t)x + B(t)u + F(t),

(4)

где A(i), В (t) — матрицы соответствующих размерностей с вещественными, непрерывными и ограниченными при t G [0, +оо) коэффициентами; F(i) — вещественная, непрерывная вектор-функция, заданная при t е [0, +оо).

Однородная система

х = A(f)x + B(t)u (5)

будет системой в отклонениях для любого программного движения в (4). Предположим, что при всех t > О

rang (B(i),DB(t),..., D™-1 B(i)) = n и реализуется на столбцах матрицы

S (t) = (hi {t), D bi(i),..., D*1"1 bi(i),...

...lbe(i).Dbe(t),...,DI'-1be(i)),

выбранных из совокупности столбцов исходной матрицы. Здесь D = A (t) — Е,,^ — оператор дифференцирования.

Тогда для системы (5) справедлива следующая

Теорема 2. Пусть A(i) £ С(2^2+оо), B(i) G С^^+по) и матрица S(i) является матрицей Ляпунова. Тогда систему (5) .можно преобразовать к обобщеннолгу каноническому виду Фробениуса, а управление u = C(i)x выбрать таким образом, чтобы замкнутая систельа х = (A(f) + B(t)C(t)) х была правильной (приводимой) и имела наперед заданные характеристические показатели.

Конструктивное доказательство теоремы 2 дано в работах Е.Я. Смирнова.

Определение! Линейную нестационарную управляемую систему, для которой выполнены условия теоремы 2, будем называть стабилизируемой.

Для системы (4) справедлива

Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия: 1) однородная система (5) стабилизируема управлением u = C(i)x; 2) заданные программные движения Xi(f),..., xjv(f) различимы при t > to > 0, иначе говоря, inft>o ||xj(i) — Xj(t)|| > 0, i ф j. Тогда для системы (4) существует управление (2), реализующее програл1мные движенияXi(i),..., xjv(t), при этом каждое из них будет асилттотически устойчиво по Ляпунову.

Теорема 3 позволяет решить задачу 1 для системы (4). Ее доказательство, по сути, содержит алгоритм построения многопрограммного

управления в виде интерполяционного полипома Лагранжа. — Сильвестра

N

В пунктах 3, 4 §1 рассмотрены два класса билинейных нестационарных управляемых систем со скалярным управлением и несколькими входами

х = (^ + ¿134(4)«*)Х + Р(«), (7)

^ 1=1 '

где и = (мь... ,иг)т — вектор управлений, а элементы (п х п)-матриц А(<), г = 1,г, являются вещественными, непрерывными и ограни-

ченными при 4 е [0, +оо) функциями.

Достаточные условия существования многопрограммного управления для системы (7) дает

Теорема 4. Пусть выполнены следующие условия: 1) программные движения Х1(£),,.. ,хдг(£) системы (7) при управлениях 111 (¿),..., идг(£) различимы, то есть т^>о ||хг(£) — хл-(£)|| > 0, г ^ j; 2) вспомогательные линейные управляемые системы

Уз = Р.- + СЪ- , 3 = 1777, (8)

+ ЯЛ*) = (В1(^(<),...,ВР(«)х,-(4))> стаби-

лизируемы управлениями Vз = С](t)yj. Здесь у$ = X — Xj(t), Vj = и — — отклонения от программных движений и программных управлений. Тогда существует управление (2), реализующее программные движения XI (¿),... при этом каждое из них будет асимптотически устой-

чиво по Ляпунову.

Многопрограммное управление (2) для системы (7) имеет вид

К(4) + С(«)(х(*)-х^))-

где скалярные функции Pj(x) те же, что и в (6).

Управления (6), (9) представляют собой нелинейную обратную связь, а системы (3), (7), замкнутые этими управлениями, являются нелинейными многопрограммными автоматами, способными реализовать любое программное движение Хх(£),... ,хдг(<) в зависимости от выбора начальных данных. При этом в линейном случае достаточно построить только одну матрицу С(£) коэффициентов усиления, в то время как в билинейном случае необходимо построить N матриц С1 (£),..., Сл'(£) для каждой системы линейного приближения (8).

В заключительном пункте §1 найдены условия существования и указано представление многопрограммного управления для систем типа Лотки — Вольтерры, допускающих внешнее управление.

Если поставить вопрос о реализации управления (6) или (9) в конкретной прикладной задаче, то сразу возникает проблема непрерывного получения информации о векторах отклонений = х(£) — Xj(t) для всех программных движений из семейства Хх (£),..., хдг^). Эта проблема отпадает, если построить дискретный регулятор вместо непрерывного. Поэтому в §2 задача многопрограммной стабилизации рассматривается при дискретном поступлении информации. Прежде всего вводится новый класс управлений.

Определение 2. Гибридным многопрограммныль управлением назовем управление вида (6) или (9), в котором только первые слагаемые отвечающие за реализацию программных движений

(£), являются известными непрерывными и ограниченными функциями времени, а все остальные слагаемые и сомножители, отвечающие за стабилизацию программных движений, вычисляются в дискретные моменты времени t = з/г, в = 0,1,... .

Для билинейной системы (7) гибридное многопрограммное управление допускает представление

Задача 2. (Многопрограммная стабилизация при дискретном поступлении информации о состоянии системы). Выяснить, при каких коэффициентах усиления в виде матриц С_, (£) и при каком выборе шага !г существует гибридное многопрограммное управление, обеспечивающее как минимум техническую устойчивость каждому программному движению XI (¿),... , х^(<).

и(х(в/г),г) = и_,-(*) + С^)(х(зН) - х^йй))-

(10)

В первых двух пунктах §2 показано, что для линейных стационар-пых и нестационарных систем гибридное многопрограммное управление существует для любых непрерывных, ограниченных функций иу (£), 3 ~ 1,N, при выполнении условий теорем 1, 3, и строится на базе непрерывного многопрограммного управления (6). Однако уже для билинейных систем, как одного из видов нелинейных объектов, такое утверждение не выполняется. Доказательство этого факта основано на построении системы в отклонениях для некоторого Х/.(4) из исходного семейства Х1(£),..., Если же программные движения представля-

ют собой набор положений равновесия системы (7), то в этом случае справедлива

Теорема 5. Пусть выполнены следующие условия: 1) заданные программные движения з = 1, N, представляют собой попарно различные положения равновесия системы (7), то есть ||хг — х^|| > 0, г ф j; 2) для них выполнено условие 2 теоремы 4■ Тогда на любом конечном интервале [0,Т] существует гибридное многопрограммное управление, которое реализует заданные положения равновесия Xj, ^ = и обеспечивает

их техническую устойчивость на этом интервале для некоторых множеств М^, ограничивающих начальное и текущее состояние системы.

Доказательство теоремы 5 проведено конструктивно. Для системы в отклонениях

у*, = (р*(4) + дьюс*(*))у* + ч*(0с*(0(у*(вА) _ Уь)+

+ Ск(Ск^)ук(з!1),ук(з1г),1) (11)

указано явное представление нелинейности Ск(Ск{Ь)ук(з1г),уфк),1) =

Г

+ У^В^х^/г^А^М), ¿=1

N

ад*, о - а - (х; ^ * ■

Д (х^яЛ) -Хг(а/г))уА;(з/7.)

Мь (^(-Л)-^(-Л))3

+ (-*> + Ск^)уф/г) - Яи*) ^ ><

N ,

х Ьк(ук(зк)) + + С,-(*)(Ук(яЛ) + хл(яЛ) - Xj(sh)) —

3 = Зфк ^

(Л ^ (хд-(д/1) -х>(з/»))(уй(з/1)+х>!(а/1)

X PAyki.sk) + хй(в/г)). На основе второго метода Ляпунова построено неравенство

уфЬ))

ь>1 к - А

1 к:

т^Н, ук ish))

Ь*-1

пгл(Л,у*(аЛ)) - - 1 + Ьрк^ке2а^ + а^е2а^||у&(5/г)||Ьл

которому должны удовлетворять допустимые значения шага дискретности /г. Все параметры в (12) имеют явное выражение через коэффициенты исходной системы и функции Ляпунова, построенной в виде квадратичной формы для системы линейного приближения. Для любого допустимого управления с дискретно поступающей информацией функция тк{}г,ук{зЬ)) > 0 при Ь > 0 и обладает свойством mk{h,ykish)) —► О при /г —> 0 и ||уа(5/1)|| < ш, в = 0,1,..., где из — некоторая положительная постоянная. Далее в доказательстве показано, что существуют такие положительные числа /10 > 0 и Д > 0, что если Ь € (0, /го), а ||у*;(з/1)|| < Д, то неравенство (12) выполняется. В конечном итоге это позволяет доказать техническую устойчивость нулевого решения системы (11) для всех Ь е (0, Ло).

В §3 рассмотрена задача релейной многопрограммной стабилизации. Суть ее в том, чтобы заменить непрерывные или дискретные стабилизирующие слагаемые в составе многопрограммного управления

вида (9), (10) релейными регуляторами. Найдены условия, при выполнении которых существует релейное многопрограммное управление, и указаны формулы для вычисления его параметров.

В §4 исследуются возможности синтеза многопрограммных управлений для систем разностных уравнений

где х € С С Е", и € и С Ег, вектор-функция Г(А;,х, и) определена при к = 0,1,..., X 6 С, и € и, и при любом фиксированном к непрерывна по х и и.

Определеннее. Допустимым управлением в (13) назовем последовательность векторов и ¿(к) = (и(0),... ,и(ш — 1)} , 0 < к < т — 1. При этом целочисленный параметр т определяет отрезок, на котором решается задача управления.

Определение 4. Допустимое управление называется программным ир(&), если система (13), замкнутая этим управлением, имеет решение с наперед заданными свойствами, например, удовлетворяющее краевым условиям х(0) = хо, х(т) = Хь

Определение 5. Решение системы (13), соответствующее программному управлению ир(А;), будем называть программным движением системы и обозначать хр(к).

Задача 3. (Многопрограммная стабилизация разностной системы). Будем считать, что система (13) описывает движение некоторого управляемого объекта. Пусть для нее на отрезке к е [0, т] построены ограниченные программные управления и ¿(к) = ч,^ (к), которым соответствуют ограниченные программные движения х_,(к) = х^(к), j = Необходимо построить одно управление

которое реализует заданные программные движения (к) при программных управлениях Кроме того, требуется, чтобы программные движения Ху (к) при управлении (14) были асимптотически устойчивы по Ляпунову.

Для линейной разностной системы с постоянными коэффициентами

х(Л + 1) =¥(к,х(к),и(к)),

(13)

и = и(х, /г),

(14)

х(к + 1) = Ах(А;) 4- Ви(&) + Г (А;)

(15)

решение задачи 3 даст

Теорема 6. Пусть выполнены следующие условия: 1) линейная однородная система х(к + 1) = Ах(/с) + Ви(&) полностью управляема по Каллшну, т.е rang(B) АВ,..., Ат-1В) = п; 2) программные движения к) различимы при к > 0, иначе говоря, тГд:>о ||хг(&) — х^(&)|| > 0, г ф j. Тогда существует управление (14), реализующее программные движения ^(к), при этом каждое из них будет асимптотически устойчиво.

Далее в §4 рассмотрены два класса нестационарных разностных систем. Это линейная система

В (16), (17) (п хп)-матрицы А(&), В,(&), г = 1, г, принадлежат совокупности 51 (Ъ) всех ограниченных на множестве целых чисел матриц; кроме того, в (16) ВТ(А;)В(А;) е £1(2) — множеству всех квадратных матриц, ограниченных на Z вместе со своей обратной матрицей; Т?(к) — заданная вектор-функция.

Для построения многопрограммных стабилизирующих управлений в этих классах систем привлекается аппарат исследования устойчивости и синтеза стабилизирующих управлений в разностных системах, разработанный в трудах А.Ю. Александрова, А.П. Жабко, Е.Я. Смирнова, В.Н. Фомина, В.Д. Фурасова. Так, в пункте 3 §4 приводятся методы построения канонического базиса Фробениуса для нестационарной системы (16) и алгоритмы построения матрицы коэффициентов усиления в управлении по линейной обратной связи.

В пункте 4 этот аппарат применяется для синтеза многопрограммных управлений в системах (16), (17). Задается класс допустимых управлений

х(/с + 1) = А(к)к(к) + В(к)и(к) + Р (к),

(16)

а также билинейная система с несколькими входами

х(* + 1)= ^А(/г)4^В^0«г(&))х(А:)+Г(&). (17)

1=1

где

и

Поскольку управление (18) представляет собой интерполяционный полином, то для него имеют место следующие свойства:

Ру(ху(к),к) = 1; ру^(к),к) = 0, и(ху(к), к) = щ(к), = 1,ДГ,

которые обеспечивают замкнутой системе (17), (18) наличие заданных программных движений Xj(k). Система в отклонениях для некоторого х3(к) имеет вид

у,(Л + 1) - (а(к) + ^2^(к)и^к)\у3(к)+ ^ ¿=1 ' г

+ + С8(у8, к),

¿=1

где

С3(у3,к) = Вг(/с)(с«(А;)у.5 + )уя + ^ Вг(А;)х5(А:)ы5Й

4=1 ' ¿=1

+ («,(*)+ С.(А)у.-2иа(А:) £ )■Му*)

N ,

+ ( Ч* (к) + С3 (*) (у- + х. - хл-)-

Это представление системы в отклонениях позволяет построить матрицы коэффициентов усиления Су (к) в (18) и доказать следующее утверждение.

Теорема 7. Пусть выполнены следующие условия: 1) программные движениях-[(к),... ,хдг(к) системы(17) при управлениях и\(к),..., идг(/с), к > 0 различимы, т.е. ш^^о ||х»(А) — х^(&)|| > 0, гф з; 2) вспомогательные линейные управляемые разностные системы

у, (А + 1) = ?5{к)уЛк) + С^(А)^(А), з =

где

т

р ¿(к) = А (к) + J2B

г=1

Qj(k)= (B^x^fc), ... , ВГ(А;)х^*0),

стабилизируемы управлениями vj(k) = Cj(k)yj. Тогда для системы (17) существует управление (14) в виде (18), реализующее программные движения xj(fc), ... , xjv(fc), при этом каждое из них будет асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Во второй главе задача синтеза многопрограммных управлений рассматривается для различных классов управляемых динамических систем в предположении, что вектор отклонений текущего состояния системы от реализуемого программного движения доступен для измерения не полностью. Принтом задано стандартное уравнение измерительного устройства или выхода системы. Для решения данной задачи предлагаются методы синтеза нелинейных асимптотических идентификаторов (наблюдателей) состояния системы различных типов, как полного порядка п, так и специальных идентификаторов Люенбергсра меньшей размерности. Оценки состояния систем, полученные с помощью указанных идентификаторов, используются в блоках стабилизации многопрограммных управлений. Отдельно изучен вопрос о возможности синтеза гибридных идентификаторов, т.е. непрерывных систем оценки состояния с дискретно поступающей информацией в блоках стабилизации. Эти идентификаторы применяются для синтеза гибридных многопрограммных управлений.

Параграф 5 посит вспомогательный характер. В нем изложены методы построения идентификаторов состояния нестационарных линейных и билинейных систем с целью дальнейшего использования их выходов в задачах стабилизации. Полученные результаты расширяют возможности классических методов синтеза идентификаторов состояния стационарных управляемых систсм, хорошо известных и опубликованных в работах Ю.Н. Андреева, A.A. Красовского, D.G. Luenberger. При этом особенность состоит в том, что приходится управлять спектром нестационарной системы, т.е. набором характеристических показателей Ляпунова.

В §6 изучается возможность применение идентификаторов полного порядка в задаче многопрограммного управления. При этом формулируется следующая

Задача 4. (Многопрограммная стабилизация с применением идентификаторов полного порядка). Для произвольного программного движения Xk(t) из заданного семейства xi(t),... ,x^(i) системы (1) введем

вектор отклонений уk(t) = x(i) — Xfc(i) и предположим, что задано уравнение измерительного прибора или выхода системы в отклонениях

zfc(i) = (19)

где zk(t) — m-мерный вектор измерений; — m-мерная вектор-

функция, заданная и достаточно гладкая в области Dv = Jv х Gv. где Jv — {t \ 0 < t < +00}, Gv —- некоторая область евклидова пространства Е™.

Зная выход zk(t), требуется построить такую оценку yk(t) вектора yk(t), чтобы она обладала асимптотикой:

Уь(<) ~ yjfc(i) -+ 0 при t -> +00. (20)

Если построить асимптотический идентификатор, дающий на выходе оценку уk(t), то ее можно было бы использовать для синтеза управления, аналогичного управлению (2). В этом и состоит задача многопрограммной стабилизации нелинейной системы (1) в случае неполной обратной связи с применением идентификатора полного порядка. При этом работа системы управления должна быть универсальна по отношению к исходному семейству и зависеть лишь от начальных данных выбранного движения. Соответственно, и измерительное устройство (19) будет отслеживать отклонение от выбранного в данный момент программного движения x^(i).

Разработанный подход к решению задачи 4 иллюстрируется в §6 на примере линейных и билинейных систем (3), (4), (7). Так для системы (7) вводится класс многопрограммных управлений с неполной обратной связью

+ Сj(t)(Z(t)-xj(t))-

После замыкания системы (7) управлением (21) для движения x^(i) строится система в отклонениях

u(x,0 ^¿fuj(t)

У к = Pfc (t)y к + Qfc (t)Vk + Gk (у к, Vfc ,t), Vfc = С к (t)y к •

(22)

Идентификатор ее состояния имеет вид

Ук = Р*(*)У* + + -К(«)ук) + Ск(ук,чк,1). (23)

Матрицы Рь(£)> Qfc(í) в (23) те же, что и в (8), (п х т)-матрица Ь^) подлежит определению, а величины г^ ({), Р(£) —параметры линейного измерителя = Н,(г)уг,,(£).

Теорема 8. Если вспомогательные системы

XI = Рк(*)Х1 + <5*(«)и1, х2 = -Р£(*)х2 + ПТ(1)и2

стабилизируемы управлениялт их = С^(4)х1 ииг = Ь^(<)х2, то для системы (22) существует нелинейный асимптотический идентификатор (23) и стабилизирующее управление чк — Ск^)ук.

Доказательство теоремы 8 содержит алгоритм построения асимптотического нелинейного идентификатора (23) для каждого программного движения х/,-(¿) из заданного семейства. Это позволяет использовать се для решения поставленной задачи 4. Многопрограммное управление для системы (7) в случае неполной обратной связи будет иметь вид (21), где х = уь + хь, а ук — выход идентификатора (23).

Основная идея §7 состоит в том, чтобы для синтеза многопрограммного управления в случае неполной обратной связи использовать идентификатор меньшей размерности. Покажем, как в этом случае трансформируется задача 4 для нестационарной системы (7). При наличии измерителя = Нук(/:) требуется выбрать п — тп линейных комбина-

ций компонент вектора ук{Ь) = Ткук^), где — (п —т)-мерный

вектор, так, чтобы выполнялись следующие условия:

1) матрица М^ = ^^ ^ должна быть неособой;

2) для вектора к(1;) должен существовать идентификатор, позволяющий находить оценку обладающую свойством V//.. (¿) — (¿) —» О при Ь —* +оо.

Если эта задача решена и ((п — т) х п)-матрица Тд, найдена, то появляется возможность построить оценку ук(Ь) для вектора отклонений

г-Сп'Гш- м^гет- <»>

Далее оценку (24) можно использовать для синтеза управления, аналогичного (21). В этом и состоит задача многопрограммной стабилизации билинейной нестационарной системы (7) в случае неполной обратной связи с применением идентификатора Люенбергера.

Для решения данной задачи необходимо сделать замену переменных (24) в системе (22), чтобы получить уравнение, описывающее изменение вектора Введем обозначения для блоков следующих матриц:

Система (22) в новых переменных выглядит следующим образом

г ** = («у** + Р^сф* + +

Идентификатор Люенбергера имеет вид

= + <2 ^(¿К + сЮ(Ък,Як,тгк,г). (26)

Проблема выбора матрицы Т^ с учетом обозначений трансформируется в проблему выбора матриц Ри™(£), Рш2(0)

Теорема 9. Пусть выполнены следующие условия: 1) вспомогательные системы ук = Рк^)ук -I- к = 1,N, стабилизируемы управлением V;; = Ск(Ь)ук; 2) каждое матричное уравнение

ТкРк (<) = РЙ=) (г)Тк + Р«(4)Н. (27)

имеет такое решение относительно матрицы Тк, при котором гаг^М/с = п, а характеристические показатели Ляпунова линейной системы с матрицей Рги^и

(£) отрицательны. Тогда для каждой системы (22), при к — 1,^, существует нелинейный асимптотический идентификатор Люенбергера (26) и стабилизирующее управление = Ск^)ук, где ук из (24).

Теорема 9 дает алгоритм построения многопрограммного управления для системы (7). В данном случае оно будет иметь вид (21), где х = ук + хк, вектор ук определяется по формуле (24), а к — выход идентификатора (26).

Основная идея §8 состоит в том, чтобы для решения задачи многопрограммной стабилизации при неполной обратной связи разработать

методы синтеза гибридных идентификаторов, т.е. непрерывных динамических систем оценки состояния исходного объекта управления, но с дискретно поступающей информацией. Для этого вводится новый класс управлений.

Определеннее. Гибридным лтогопрограммным управлением с неполной обратной связью будем называть управление вида (21), в котором: 1) только слагаемые 4^(4), отвечающие за реализацию программных движений Xj(t), являются известными непрерывными и ограниченными функциями времени; 2) все остальные слагаемые и сомножители, отвечающие за стабилизацию программных движений, вычисляются в дискретные моменты времени £ = = 0,1,... , при этом вектор фазового состояния х(в/г), недоступный для прямого измерения, заменяется соответствующей оценкой х(в/г), построенной с применением гибридного идентификатора.

Далее в §8 сформулированы достаточные условия существования нелинейных гибридных идентификаторов полного порядка и Люенбер-гера, необходимых для синтеза гибридных многопрограммных управлений. Доказательства теорем основаны на втором методе Ляпунова. Они содержат алгоритмы построения коэффициентов усиления и оценку допустимых значений шага дискретности к. Для иллюстрации возможностей метода и алгоритмов приведен пример построения гибридного многопрограммного управления с неполной обратной связью для системы третьего порядка со скалярным управлением и двумерным уравнением измерительного устройства.

В заключительном §9 второй главы метод синтеза идентификаторов для решения задач многопрограммного управления в непрерывных системах переносится па различные классы разностных систем. Так для системы (17) справедлива

Теорема 10. Если вспомогательные разностные системы

Х1(к + 1) = РДА)Х1(А) + «5,(А)их (А), х2(А + 1) = Р Г(А)х2(А) - ПТ(к)и2(к)

стабилизируемы управлениялт вида их (/с) = С*,. (А)х1(А) и и2(к) = Ь£(А)х2(А), то для каждой системы в отклонениях

у ДА + 1) = РДА)уДА) + <ЭДАК(А) + СДу.ДА)^ДА), А) при я — 1,ЛТ существует нелинейный разностный идентификатор

у ДА + 1) = РДА)уДА) + СЬ(АК(А)+

4- ЬДА)(гДА) -ВДуДА))+СДуДА)^ДА),А) (28)

и стабилизирующее управление = СДА)уДА).

Теорема 10 дает алгоритм построения многопрограммного управления с неполной обратной связью для системы (17). Оно будет иметь вид

N

и(х, к)

В (29) х(к) = у3(к) + ха(к), где у8(&) — выход нелинейного разностного идентификатора (28).

В главах 1, 2 было показано, что многопрограммные управления, при выполнении условий их существования, строятся неоднозначно. Это касается, прежде всего, слагаемых, отвечающих за стабилизацию программных движений. Поэтому в третьей главе рассмотрена задача синтеза оптимальных обратных связей, в соответствие с некоторым критерием, обеспечивающих асимптотическую (экспоненциальную) устойчивость для каждого программного движения из заданного семейства.

В §10 сформулирована и решена задача оптимальной многопрограммной стабилизации в классе линейных нестационарных систем. Пусть для системы (4) выполнены условия теоремы 3 и, следовательно, существует многопрограммное управление (6). Замкнем систему (4) управлением (6) и рассмотрим систему в отклонениях для программного движения Хд. (£)

у* = А («)у к + В (*>V* + Н* (у к, V*, 4), V*; = С (*)у к. (30)

Первое условие теоремы 3 означает существование стабилизирующего управления = С(4)уд;, при котором замкнутая система (30) имеет экспоненциально устойчивое пулевое решение. Кроме того, если стабилизирующее управление V;; = С(£)ук существует, то оно строится неоднозначно. При этом систему (30) можно рассматривать как некоторую нелинейную систему, для которой необходимо построить стабилизирующее управление, оптимальное в смысле какого-либо критерия качества.

Определение 7. Управление будем называть допустимым, если оно имеет вид

оо

V* = Е (31)

га— 1

где v¿(yfc) = С(£)у^ является стабилизирующим для системы линейного приближения ук = А(Ь)ук + В^)^, а V™ — »--мерные векторные функции, компоненты которых являются формами порядка т по элементам вектора Коэффициенты этих форм есть вещественные, однозначные, непрерывные, ограниченные функции, заданные при £ > 0 и такие, что ряд (31) сходится равномерно по отношению к ( > 0 с некоторой фиксированной окрестности точки у к = О.

Предположим, что задан функционал

где W(yk,Vk,t) = Em=2 ^""(Уь vfc, <) — аналитическая функция, \Vm(yk,Vk,t) — однородные формы степени т относительно компонент векторов ук и v/t с вещественными, однозначными, ограниченными и непрерывными коэффициентами, являющимися функциями t, заданными при t > 0. При этом

Кроме того, будем предполагать, что ряд ТТта(у&, ^кЛ) равномер-

но сходится по отношению к £ > 0 в некоторой фиксированной окрестности точки у к = 0, V*; = 0, а квадратичная форма vJQ(í)vfc положительно определена.

Задача 5. (Оптимальная многопрограммная стабилизация). Для каждой системы в отклонениях (30), к = 1, требуется построить оптимальное стабилизирующее по отношению к функционалу (32) управление (31) и найти условия существования оптимального многопрограммного управления в виде, аналогичном представлению (6).

Явный вид нелинейности в (30)

(32)

W2(yk, Vk, t) = у£Р(<)У* + y£R(t)v* + vjRT(t)yk + vjQ(t)vfc.

(vfe.yjt.i) = B(i){fvfc(yfc) -2ufc

N

(xfc - Xj)yfc

Hfc

x

j^ijjik 4

(Xj -Xj)(yfc +Xfc -Xj)

)^(yfc+xfc)} (33)

позволяет сформулировать основную проблему при построении оптимальных стабилизирующих управлений вида (31). Она состоит в том, что функция уд,, 4) зависит еще и от управлений V (у~ х_,)

при з т^ к. Следовательно, нельзя строить оптимальные управления по отдельности для каждой системы (30), т.к. все они связаны нели-нейностями (33). Преодолеть эту трудность можно, изменив исходную постановку задачи.

Задача 6. (Частичная оптимальная многопрограммная стабилизация). Необходимо построить оптимальное стабилизирующее управление только для одного программного движения х^(4) из семейства XI (4),... , хлг(4). Для остальных движений сохранить стабилизаторы в виде линейных обратных связей.

Рассмотрим схему построения такого управления. Для выбранного (приоритетного) движения х^(4) система в отклонениях имеет вид (30), (33), где + х.к — = С(4)(уь + х^ - х^-) для всехз ф к. Следо-

вательно, как только будет построено стабилизирующее управление = С(4)у к для системы линейного приближения у к = А(4)у^+ +В(4)уй, то, во-первых, оно будет стабилизирующим для всех остальных программных движений ] ф к, поскольку эта система одна и та же для всех Xj(t); во-вторых, нелинейность (33) для х^(4) становится определенной. Затем для системы (30), (33) методом В.И. Зубова можно построить остальные члены ряда (31).

Теорема 11. Пусть для системы (4) выполнены уаювия теоремы 3 и, кроме того, 1) матричное уравнение Риккати

© + ©вд-1вг© + 0(А - ВСТ1!!7^

+ (Ат-11СГ1Вт)©-Р + КСГ111.г = 0, (34)

где Р(4), 11(4), С^(4) —матрицы коэффициентов IV2 в (32), имеетрешение в форме вещественной, непрерывной, ограниченной, заданной при t > 0, симметрической матрицы ©(4); 2) управление

^(У*) = СГ1 (Вт© - Кг)уь (35)

является стабилизирующим для системы линейного приближения у к = А(4)уь + В(4)уд;. Тогда существует управление ^(4, у к), оптимальное для систелт (30), (33) по отношению к функционалу (32) при любом значении начального отклонения у ко из достаточно „малой окрестности начала координат.

Далее в §10 подробно изучена структура оптимального управления у^(4,Уа;) и разработан детальный алгоритм его построения. Пусть

у2(^>Уко) — решение системы (30), замкнутой управлением Рассмотрим функцию

/+оо

(36)

Известно, что при выполнении условий теоремы 11 оптимальное управление и функция Уа-о) удовлетворяют системе из двух уравнений:

^г1 + ++н* V*. о) -

Уьп) = 0, (37)

<ЭУЬ V ^А: ) ^УЬ

О. (38)

Скалярное уравнение (37) представляет собой уравнение Беллмана, выписанное для данной задачи, а векторное уравнение (38) получается в результате явной записи необходимого условия оптимальности. Решение системы (37), (38) будем искать в виде (31) и ряда

оо

е*(*,у*)= (39)

т—2

где к) — формы т-го порядка по элементам вектора, с огра-

ниченными, вещественными коэффициентами.

Для построения эффективного алгоритма необходимо изучить свойства нелинейности (33) в (30). Она представима в виде

= В(*)| (ж*, У*) + ... + и(г,Ук)ук+

+ ф2(^ук) + ... + Ф„(*,У*)}» (40)

где /{(£, ук), г = 1,М, — скалярные формы ?'-го порядка по элементам вектора ук; Ф8(^)Уь)> ^ = 1, — г-мерпые векторные функции, компоненты которых являются формами в-го порядка по элементам вектора

ук. Учитывая вид (31) допустимого управления и представление (40), всю правую часть системы (30) можно записать следующим образом

оо

Л(<)Л + В(^ + Нк(П,уь()=^НГ(уьУьг), (41)

7П= 1

где Щ(ук,лгк,$ = А(«)ук +В(*Х,

га—1

2 < т < и < ц,

т—1

/«(«.УкКГ"'). " < т < /г,

1=1 г=1

После подстановки рядов (31), (39), (41) в систему (37), (38) и приравнивания форм одного порядка по у/с, V;,., получаем последовательную процедуру построения рядов (31), (39). На первом шаге v¿(yA;) определяется формулой (35), где матрица ©(¿) есть решение уравнения Рикка-ти (34). На т-ом шаге, приравнивая формы порядка ш по ук> V*; в (38), получаем

Т = ¿Ж*)-1 (вт(0

дук

+

.....V™"1,!) . (42)

Формула (42) устанавливает связь между V]™ и &™+1^,ук). Приравняем теперь формы (ш + 1)-го порядка в (37):

т

¿Д-а^-

~т+1

-ж = (43)

__ ~m+l

Отмстим, что коэффициенты форм \Vm, IV в (42), (43) уже известны по результатам предыдущих вычислений. Таким образом, полностью описан процесс построения рядов (31), (39).

В прикладных задачах вычисления ведутся с наперед заданной точностью, Это означает, что ряд (31) на практике будет лишь конечной суммой форм, а искомое многопрограммное управление представимо в виде

u(x,t) = (ufc + Q-1(BTe-Rr)(x-xfc)+ ¿vHx-Xfc)-

^ т=2

О V^ (Xfc -хг-)(х-х/ь)\ , v.

N

+ £

где параметр .s зависит только от точности вычислений.

Вернемся к задаче 5. В отличие от задачи 6 ее можно назвать проблемой полной оптимальной лтогопрогралшной стабилизации. Алгоритм ее решения опишем следующим образом. Для всех программных движений Xj(í), j = 1 ,N, исходного семейства необходимо заранее решить задачу 6. Тогда при отработке замкнутой системой конкретного программного движения Xf. (í) нужно просто использовать соответствующее ему оптимальное стабилизирующее управление. Это возможно, поскольку первые члены v¿.(y*) вида (35) всех рядов (31) одинаковы.

В §11 метод синтеза оптимальных многопрограммных стабилизирующих управлений распространен на класс билинейных нестационарных систем, а в §12 — па случай неполной обратной спязи. Сформулированные утверждения носят конструктивный характер и содержат достаточные условия существования решений соответствующих оптимизационных задач.

В разделе Приложение рассмотрен содержательный пример возможного применения разработанных методов.

fu,- + Q_1(BT© - Rr)(x - x¿)-

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации:

1. Разработаны математические модели систем управления, обеспечивающих реализацию некоторого программного движения из наперед заданного конечного семейства и его стабилизацию для различных классов линейных и нелинейных динамических систем.

2. Дано представление непрерывных многопрограммных стабилизирующих управлений для нестационарных линейных и билинейных систем, а также для систем типа Лотки — Вольтерры. Доказаны теоремы о достаточных условиях существования многопрограммных управлений в этих классах систем и предложены конструктивные методы их построения.

3. Введены понятия гибридного и релейного многопрограммного управления при дискретном характере поступления информации в каналах стабилизирующих обратных связей. Найдены условия сун!,е-ствования этих управлений и построены методы расчета их параметров.

4. Изучены возможности синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений в нестационарных разностных системах. Доказаны теоремы о достаточных условиях существования таких управлений в этих системах и предложены конструктивные методы их построения.

5. Разработаны методы синтеза нелинейных асимптотических идентификаторов (наблюдателей) полного порядка, позволяющих решать задачу многопрограммной стабилизации в случае неполной обратной связи. Найдены достаточные условия существования таких идентификаторов, в том числе, для линейных и билинейных нестационарных систем.

6. Предложены методы построения специфических асимптотических идентификаторов меньшей размерности, так называемых идентификаторов Люенбергера, которые также могут быть использованы при построении многопрограммныхуправлений.

7. Введены понятия гибридных идентификаторов разных типов с учетом их размерностей. Найдены достаточные условия существования и изучены возможности их применения в задачах многопрограммной стабилизации.

8. Отдельно рассмотрен вопрос о построении многопрограммных управлений в разностных системах с неполной обратной связью. Разработаны методы синтеза нелинейных разностных идентификаторов полного порядка и Люенбергера.

9. Введено понятие оптимального многопрограммного стабилизирующего управления. Предложен подход к решению задачи оптимальной многопрограммной стабилизации. Найдены достаточные условия существования оптимальных многопрограммных стабилизирующих управлений, изучена их структура и разработан метод последовательных приближений для их построения.

10. Метод синтеза оптимальных многопрограммных стабилизирующих управлений распространен на системы с неполной обратной связью. Получены достаточные условия существования оптимальных идентификаторов состояния системы.

Основные публикации по теме диссертации

1. Смирнов Н.В. Исследование в целом некоторых систем дифференциальных уравнений второго порядка. Депон. в ВИНИТИ. № 6650-В86. Депон. 12.09.86. "Вестник ЛГУ. Сер. 1". 9 с.

2. Дорофеев Б.В., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Вопросы устойчивости и управляемости в нелинейных системах с параметром. Депон. в ВИНИТИ. №2341-В89. Депон. 29.03.89. "Вестник ЛГУ. Сер. 1". 16 с.

3. Смирнов Н.В. К вопросу об управляемости нелинейных систем. Депон. в ВИНИТИ. №6757-В89. Депон. 10.11.89. "Вестник ЛГУ. Сер. 1". 15 с.

4. Смирнов Н.В. Существование и представление программных управлений в билинейных системах // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1990. Вып. 4 (№ 22). С. 85-86.

5. Смирнов Н.В. Проблема синтеза управлений в билинейных системах. Депоп. в ВИНИТИ. №2239-В92. Дспоп. 10.07.92. "Вестник ЛГУ. Сер. 1". 16 с.

6. Smimov N.V. Controllability of bilinear system Abstracts of Intern. Conference on Interval and Computer-Algebraic Methods in Scicnce and Engineering (Interval'94). St. Petersburg, Russia. March 7-10, 1994. P. 226.

7. Смирнов H.B., Смирнова Т.Е. Об управляемости одного класса билинейных систем // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сб. научн. трудов. Тула: ТулГТУ, 1994. С. 5-7.

8. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Об области управляемости одного класса билинейных систем // Материалы межд. конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 22-24 декабря 1994 г. Саранск, 1995. С. 277-280.

9. Смирнов Н.В. Синтез инвариантных управлений в билинейных системах^ Тезисы докл. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем". Киев, 15-19 мая 1995 г. Исследование систем. С. 100.

10. Смирнов Н.В. Стабилизация одного класса нелинейных систем // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сб. научн. трудов. Тула: ТулГТУ, 1995. С. 24-27.

11. Смирнов Н.В. Проблема синтеза инвариантных управлений для одного класса нелинейных систем. Тезисы докл. Второй межд. конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 10-12 сентября 1996 г. С. 112.

12. Смирнов Н.В. Об оценке реальной области асимптотической устойчивости в одной задаче ценообразования. Тезисы докл. межд. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем". Киев, 19-23 мая 1997 г. Исследование систем. С. 109.

13. Смирнов Н.В. Об обратной задаче ценообразования для двух взаимозаменяемых товаров // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сб. научн. трудов. Тула: ТулГУ, 1997. С. 176179.

14. Smirnov N.V., Smirnova Т.Е. The problem of the stabilization for some programmed motions of the bilinear stationary system. Proceedings of the third Intern. Workshop "Beam Dynamics and Optimization (BDO'9G)". St. Petersburg, Russia. July 1-5, 1996. St. Petersburg, 1997. P. 258-263.

15. Smirnov N.V. The optimal stabilization of the bilinear homogeneous system. Proceedings of the first Intern. Conference " Control of oscillations and Chaos (COC'97)". St. Petersburg, Russia. August 27-29, 1997. V. 2. P. 362-363.

16. Смирнов H.B., Смирнова Т.Е. Многопрограммная стабилизация линейной системы в случае неполной обратной связи // Процессы управления и устойчивость: Труды XXIX научной конф. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1998. С. 89-93.

17. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Стабилизация семейства программных движений билинейной нестационарной системы // Вестник С.Петербург. ун-та. Серия. 1. 1998. Вып. 2 (№8). С. 70-75.

18. Смирнов Н.В. Оптимальная стабилизация одного класса билинейных стационарных систем. "Еругинские чтения-V": Тезисы докл. межд. мат. конф. Часть 1. Могилев, 26-28 мая 1998 г. — Могилев: МГУ им. А.А. Кулешова, 1998. С. 138-139.

19. Smirnov N.V., Smirnova Т.Е. Stabilization of programmed motions family of the bilinear system in the case of r-dimensional control. Abstracts of the fifth Intern. Workshop "Beam Dynamics and Optimization (BDO'98)". St. Petersburg, Russia. June 29 - July 3, 1998. P. 31.

20. Smirnov N.V., Smirnova Т.Е. Application of nonstationary state estimator for the stabilization problem. Abstracts of invited lectures and short communications delivered at the Ninth International Colloquium on Differential Equations. Plovdiv, Bulgaria. August 18-23, 1998. P. 175.

21. Smirnov N.V., Smirnova Т.Е. Stabilization of programmed motions family of the bilinear system using the state estimator. Abstracts of the Intern. Conference Dedicated to the 90th Anniversary of L.S. Pontryagin. Differential Equations. Moskow, Russia. August 31 - September G, 1998. P. 107-109.

22. Смирнов H.В., Смирнова Т.Е. Об использовании идентификаторов состояния в зада.чс стабилизации нелинейных систем. Тезисы докл. межд. конференции "Динамические системы: Устойчивость, управление, оптимизация (DSSCO'98)". 28 сентября — 4 октября 1998 г. Минск, Беларусь. Т. 2. С. 249-251.

23. Смирнов Н.В. Оптимальная стабилизация нелинейной системы с неполным линейным приближением // Процессы управления и устойчивость: Труды XXX научной копф. СПб.: НИИ Химии СПб-ГУ, 1999. С. 179-183.

24. Зимовнова Ю.В., Смирнов Н.В. К вопросу о выборе функционала в задаче оптимальной стабилизации билинейных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXI научной копф. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2000. С. 55-57.

25. Smirnov N.V. Synthesis of multiprogrammcd stable controls using the Luenberger observer. Abstracts of 11th International Workshop: "Control Applications of Optimization". Russia, St-Petersburg. July 03-06, 2000. P. 240-241.

26. Екимов А.В., Смирнов Н.В. Об одном алгоритме построения канонического базиса // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 18. "Математические методы исследования управляемых динамических систем". СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 2000. С. 31-37.

27. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Синтез многопрограммных управлений в билинейных системах // Прикл. математика и механика. 2000. Т. 64. № 6. С. 929-932.

28. Жабко А.П., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Анализ асимптотики решения системы интегральных уравнений типа свертки с нормированным ядром // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 1. 2000. Вып. 1 (X* 1). С. 27-34.

29. Смирнов Н.В. Стабилизация билинейной нестационарной системы в случае неполной обратной связи // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 1. 2000. Вып. 4 (№ 25). С. 28-34.

30. Smirnov N.V. Synthesis of multiprogrammed stable controls using the Luenberger observer. Preprints of the eleventh IFAC International Workshop: "Control Applications of Optimization". Russia, St-Petersburg. July 03-06, 2000. V. 1. P. 317-320.

31. Смирнов Н.В. Многопрограммная стабилизация линейных и билинейных систем в случае неполной обратной связи // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. X* 3. С. 40-44.

32. Smirnov N.V. On the multi programmed optimal stabilization of the bilinear control system. Abstracts of the Fifth SIAM Conference on Control and its Applications. USA, San Diego, California. July 11-14, 2001. P. 281.

33. Smirnov N.V., Rao M.K., Prakah-Asante K.O. Methods for robust target position prediction based on radar data analysis. Technical Report № SRR-2001-0167, Ford Research Laboratory. Detroit, MI, USA. August 27, 2001. 35 p.

34. Smirnov N.V., Smirnova Т.Е. On the optimal stabilization for a set of programmed motions of the bilinear control system. Book of Abstracts of the Annual Scientific Conference "GAMM 2002" at the University of Augsburg. Germany, Augsburg. March 25-28, 2002. P. 156.

35. Smirnov N.V. Discrete multi programmed stabilization of control systems. Abstracts of French-German-Polish Conference on Optimization (FGP 2002). Germany, Cottbus. September 9-13, 2002. P. 35.

36. Смирнов Н.В. Оптимальная многопрограммная стабилизация ли-'нейных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 1. 2002.

Вып. 3 (№ 17). С. 48-54.

37. Смирнов Н.В. Синтез идентификаторов состояния в задаче многопрограммной стабилизации билинейных систем // Мат. заметки. 2002. Т. 72. Вып. 4. С. 535-546.

38. Smirnov N.V., Smirnova Т.Е. Stabilization of programmed motions family of the bilinear system in the case of r-dimensional control. Proceedings of the fifth Intern. Workshop "Beam Dynamics and Optimization (BDO'98)". St. Petersburg, Russia. June 29 - July 3, 1998. St. Petersburg, 2002. P. 131-134.

39. Smirnov N.V. Discrete multi programmed stabilization of linear systems. Proceedings of the ninth Intern. Workshop "Beam Dynamics and Optimization (BDO'2002)". St. Petersburg, Russia. Juno 24 - 27, 2002. St. Petersburg, 2002. P. 328-332.

40. Smirnov N.V., Smirnova Т.Е. On the optimal stabilization for a set of programmed motions of the bilinear control system. Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics — PAMM. WILEY-VCH (www.intcrscience. wiley.com), 2003. V. 2. Iss. 1. P. 100-101.

41. Смирнов H.B., Смирнова Т.Е. Многопрограммные управления в одном классе социально-экономических моделей. Труды тринадцатой межвуз. конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Россия, Самара. 29-31 мая 2003 г. Часть 3. С. 152-155.

42. Smirnov N.V., Rao М.К., Prakah-Asante К.О., Strumolo G.S. Method and apparatus for determining a target vehicle position from a source vehicle using a radar. US Patent, № CC28227 Bl. September 30, 2003. 13 p.

43. Smirnov N.V., Rao M.K., Prakah-Asante K.O., Strumolo G.S. Method for determining a time to impact in a danger zone for a vehicle having a pre-crash sensing system. US Patent, № 6650984 Bl. November 18,2003.24p.

44. Смирнов Н.В. Синтез дискретного идентификатора полного порядка в задаче многопрограммной стабилизации. Труды III международной конференции "Идентификация систем и задачи управления". Россия, Москва. 28-31 января 2004 г. С. 1166-1173.

45. Смирнов Н.В. Релейная стабилизация нескольких положений равновесия в одной экономической модели. Труды Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Россия, Самара. 26-28 мая 2004 г. Часть 3. С. 195-198.

46. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Стабилизация линейной нестационарной системы в случае неполной обратной связи // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 21. "Управляемые динамические системы". СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 2004. С. 83-86.

47. Смирнов Н.В. Многопрограммные управления в разностных системах // Методы возмущений в гомологической алгебре. Межвуз. сб. научн. трудов. Саранск: Изд-во Мордовского ун-та, 2004. С. 96101.

48. Смирнов Н.В. Синтез релейного многопрограммного регулятора для линейных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. Вып. 3-4. С. 153-159.

49. Смирнов H.B. Многопрограммная стабилизация линейных нестационарных разностных систем. Тезисы докл. межрегион, конф. "Современные математические методы и информационные технологии". Тюмень. 14-16 апреля 2005 г. - Тюмень: Изд-во ТГУ, 2005. С. 53-54.

50. Смирнов Н.В. Задачи многопрограммного управления и стабилизации в различных классах динамических систем // Труды Сред-неволжского мат. общ. 2005. Т. 7. №1. С. 192-201.

51. Смирпов Н.В. Многопрограммные управления в билинейных нестационарных разностных системах // Устойчивость и процессы управления: Труды междун. конф., посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова. Россия, СПб, 29 июня - 1 июля 2005 г. / Под ред. Д.А. Овсянникова, JI.A. Петросяна. - СПб.: СПбГУ, НИИ ВМ и ПУ, ООО ВВМ, 2005. Т. 3. С. 1465-1474.

52. Smirnov N.V. Hybrid Luenberger observers in the problem of multiprog-rammed control. Proceedings of the second Intern. Confercnce "Physics and Control 2005" (PhysCon 2005), Russia, St. Petersburg, August 24-26, 2005. P. 578-582.

Подписано в печать 11 .01.2006. Формат бумаги 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографпчссканая. Усл. псч. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 3726. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр.26

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МНОГОПРОГРАММНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В СИСТЕМАХ С ПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ.

§ 1. Непрерывные многопрограммные управления в различных классах систем.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Линейные системы.

1.3. Билинейные системы со скалярным управлением.

1.4. Билинейные системы с r-мерным управлением.

1.5. Многопрограммные управления в системах

Лотки — Вольтерры.

§ 2. Дискретная многопрограммная стабилизация.

2.1. Постановка задачи многопрограммной стабилизации при дискретном поступлении информации.

2.2. Синтез гибридного многопрограммного регулятора для линейной стационарной системы.

2.3. Линейные нестационарные системы.

2.4. Синтез гибридного многопрограммного регулятора для билинейной нестационарной системы.

§ 3. Релейная многопрограммная стабилизация.

3.1. Постановка задачи релейной многопрограммной стабилизации.

3.2. Синтез релейного многопрограммного регулятора.

§ 4. Многопрограммные управления в разностных системах

4.1. Постановка задачи.

4.2. Линейные разностные системы с постоянными коэффициентами

4.3. Линейные нестационарные разностные системы.

4.4. Билинейные разностные системы.

ГЛАВА 2. МНОГОПРОГРАММНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В СИСТЕМАХ С НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ.ИЗ

§ 5. Применение нестационарных идентификаторов в задаче стабилизации.

5.1. Линейные нестационарные системы.

5.2. Билинейные нестационарные системы.

§ 6. Применение идентификаторов полного порядка в задаче многопрограммного управления.

6.1. Постановка задачи.

6.2. Синтез идентификаторов полного порядка для многопрограммной стабилизации линейных систем.

6.3. Синтез идентификаторов полного порядка для многопрограммной стабилизации билинейных систем.

§ 7. Нелинейные идентификаторы Люенбергера в задаче многопрограммного управления.

7.1. Постановка задачи.

7.2. Синтез идентификаторов Люенбергера для многопрограммной стабилизации линейных систем.

7.3. Синтез идентификаторов Люенбергера для многопрограммной стабилизации билинейных систем.

§ 8. Гибридные нелинейные идентификаторы в задаче многопрограммного управления.

8.1. Гибридные идентификаторы полного порядка.

8.2. Гибридные идентификаторы Люенбергера.

§ 9. Многопрограммные управления в разностных системах с неполной обратной связью.

9.1. Постановка задачи.

9.2. Разностные идентификаторы полного порядка в задачах многопрограммной стабилизации.

9.3. Разностные идентификаторы Люенбергера в задачах многопрограммной стабилизации.

ГЛАВА 3. ОПТИМАЛЬНАЯ МНОГОПРОГРАММНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ.

§ 10. Оптимальная многопрограммная стабилизация линейных систем.

10.1. Постановка задачи.

10.2. Синтез оптимального многопрограммного управления

10.3. Структура оптимального стабилизирующего управления

§11. Оптимальная многопрограммная стабилизация билинейных систем.

11.1. Постановка задачи.

11.2. Синтез оптимального многопрограммного управления

§ 12. Оптимальные многопрограммные управления в случае неполной обратной связи.

12.1. Постановка задачи оптимальной многопрограммной стабилизации в случае неполной обратной связи.

12.2. Синтез оптимального идентификатора в задаче многопрограммной стабилизации.

Современная математическая теория управления, зародившись как теория регулирования, является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений научных исследований. Создание математических моделей систем управления и методов расчета их параметров представляет собой основу системного анализа. На протяжении всей истории развития теории управления ее главной целью было решение нескольких наиболее важных взаимосвязанных проблем, к которым следует отнести: разработку методов построения управляющих воздействий на объект управления для обеспечения наперед заданной динамики (задачи программного управления); создание методов синтеза стабилизирующих управлений, обеспечивающих устойчивую работу объекта в программном режиме (задачи стабилизации программных движений); разработку методов и алгоритмов оптимизации функционирования системы управления как в целом, так и ее отдельных элементов (задачи оптимизации и оптимального управления). Выдающиеся результаты в этих и смежных областях были получены в трудах J1.C. Понтрягина [78], Н.Н. Красовского [57], Р.Е. Калмана [46,47], В.И. Зубова [38-40], В.А. Якубовича [68,124] и других ученых.

Конкретные приложения добавляют свою специфику классическим постановкам задач. Так поведение объектов управления, в зависимости от их природы, может моделироваться различными классами динамических систем [14, 72], например, линейными или нелинейными, стационарными или нестационарными системами дифференциальных или разностных уравнений. При синтезе обратных связей в распоряжении инженеров могут быть устройства, позволяющие измерять весь вектор фазового состояния или только его часть.

Определенные требования предъявляются и к функциональным возможностям системы управления, и к качеству самого управления.

Линейные системы всегда были в центре внимания исследователей. С одной стороны, они имеют широкое практическое применение, с другой стороны, служат своеобразным "полигоном" для обкатки новых идей [1,8,10,36,50,71,77]. Однако, хотя линейные модели удобны, они иногда в неприемлемой степени упрощают исследуемые нелинейные системы, описывающие тот или иной управляемый процесс. Так в [63] отмечается, что многие физические системы содержат существенные нелинейности, которыми нельзя пренебрегать и с которыми не удается справиться при помощи линейной аппроксимации или применяя метод возмущений.

В настоящее время большое внимание уделяется изучению класса так называемых билинейных систем [30,31,74,132-134]. Одним из первых их начал изучать P.P. Мохлер [146], который и предложил этот термин. При моделировании билинейные системы, как правило, возникают в том случае, когда параметры линейной системы изменяют, используя их в качестве управляющих параметров. Кроме того, билинейные системы часто оказываются более гибким средством аппроксимации нелинейных систем, чем линейные системы [130,140]. В работах [119,168] предложены методы построения билинейных аппроксимаций.

Существует множество публикаций, где билинейные системы используются для построения математических моделей процессов в различных областях науки и техники: от биологии [169], экономики [70,147] до управления ядерными реакторами [122]. При этом исследователей прежде всего интересуют проблемы управляемости и построения программных управлений [15,16,31,54,130], а также задачи стабилизации и оптимальной стабилизации при полной и неполной обратной связи [53,74,134,135,141,170].

Следует особо подчеркнуть фундаментальное значение теории устойчивости. По сути, каждое достижение в этой области дает мощный импульс развитию теории стабилизации. Так первый и второй методы A.M. Ляпунова [66] в настоящее время признаны во всем мире не только как аппарат анализа, но и как теоретическая основа синтеза стабилизирующих управлений. Фактически то же самое можно сказать о работах В.И. Зубова [39,40,44], И.Г. Малкина [67], широко известной монографии А.Х. Гелига, Г.А. Леонова, В.А. Якубовича [26] и публикациях других авторов [2-4,45,48,49,52, 60-62,148]. Одним из наиболее ярких примеров современных достижений теории устойчивости и развития соответствующих задач стабилизации является теорема В.Л. Харитонова [34].

Говоря о приложениях методов теории управления в нелинейных системах, необходимо отметить, что каждый класс задач имеет свою специфику. Проблемы регулирования и оптимального управления рассматривались в работах [13,19,20,22,49,64,65,75,83,126— 127,136-138,149], задачи синтеза нелинейных асимптотических наблюдателей в [32,37,58,84,129].

В последнее время появляются новые направления исследований, одним из которых является задача синтеза так называемых многопрограммных управлений в различных классах динамических систем. Основная идея состоит в том, чтобы построить управление, обеспечивающее замкнутой системе наперед заданное конечное множество асимптотически устойчивых программных движений. Впервые постановка задачи многопрограммной стабилизации была сформулирована В.И. Зубовым в 1991 году [42,43]. Его результат связан с решением этой проблемы в классе линейных стационарных управляемых систем, а в качестве примера рассмотрена задача управления механическими системами, описываемыми уравнениями Лагранжа второго рода, и задача управления движением заряженных частиц в электромагнитном поле. Подобная задача была рассмотрена в статье [139]. Данное направление имеет очевидную перспективу в различных приложениях и развивает классические области математической теории управления.

Цель настоящей диссертации заключается в разработке математических моделей, многопрограммных систем управления, а также методов и алгоритмов расчета их параметров для различных классов динамических систем непрерывного и дискретного типа в случаях полной и неполной обратной связи.

В диссертации рассмотрены и исследованы новые постановки задач многопрограммного управления и стабилизации для широкого спектра линейных и нелинейных динамических систем. Найдены условия существования и разработаны методы построения непрерывных, дискретных и релейных обратных связей в режиме стабилизации программных движений из заданного семейства для случая полной обратной связи.

Для решения аналогичных задач многопрограммного управления при неполной обратной связи предложены методы синтеза нелинейных асимптотических идентификаторов (наблюдателей) различного типа, позволяющих оценивать отклонение текущего состояния системы от реализуемого в данный момент программного режима. Найдены достаточные условия существования непрерывных, гибридных (непрерывных, но с дискретно поступающей информацией) и разностных идентификаторов полного порядка и меньшей размерности (идентификаторов типа Люенбергера). Доказательства теорем содержат алгоритмы вычисления их параметров.

Предложен подход к решению задачи оптимальной многопрограммной стабилизации. Найдены достаточные условия существования оптимальных многопрограммных стабилизирующих управлений, изучена их структура и разработан метод последовательных приближений их построения. Этот подход распространен на случай неполной обратной связи, даны методы построения оптимальных идентификаторов в задаче многопрограммной стабилизации.

В работе используются классические методы теории дифференциальных и разностных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления и оптимизации. Основным аппаратом исследования является второй метод Ляпунова.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы, включающего 170 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных в диссертации исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Разработаны математические модели систем управления, обеспечивающих реализацию некоторого программного движения из наперед заданного конечного семейства и его стабилизацию для различных классов линейных и нелинейных динамических систем.

2. Дано представление непрерывных многопрограммных стабилизирующих управлений для линейных и билинейных систем, а также для систем типа Лотки — Вольтерры. Доказаны теоремы о достаточных условиях существования многопрограммных управлений в этих классах систем и предложены конструктивные методы их построения.

3. Введены понятия гибридного и релейного многопрограммного управления при дискретном характере поступления информации в каналах стабилизирующих обратных связей. Найдены условия существования этих управлений и указаны методы расчета их параметров.

4. Изучены возможности синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений в разностных системах. Доказаны теоремы о достаточных условиях существования таких управлений в этих системах и указаны конструктивные методы их построения.

5. Разработаны методы синтеза нелинейных асимптотических идентификаторов (наблюдателей) полного порядка, позволяющих решать задачу многопрограммной стабилизации в случае неполной обратной связи. Найдены достаточные условия существования таких идентификаторов, в том числе, для линейных и билинейных нестационарных систем.

6. Предложены методы построения специфических асимптотических идентификаторов меньшей размерности, так называемых идентификаторов Люенбергера, которые также могут быть использованы при построении многопрограммных управлений.

7. Введены понятия гибридных идентификаторов разных типов с учетом их размерностей. Найдены достаточные условия существования и изучены возможности их применения в задачах многопрограммной стабилизации.

8. Отдельно рассмотрен вопрос о построении многопрограммных управлений в разностных системах с неполной обратной связью. Разработаны методы синтеза нелинейных разностных идентификаторов полного порядка и Люенбергера.

9. Введено понятие оптимального многопрограммного стабилизирующего управления. Предложен подход к решению задачи оптимальной многопрограммной стабилизации. Найдены достаточные условия существования оптимальных многопрограммных стабилизирующих управлений, изучена их структура и разработан метод последовательных приближений для их построения.

10. Метод синтеза оптимальных многопрограммных стабилизирующих управлений распространен на системы с неполной обратной связью. Указаны достаточные условия существования оптимальных идентификаторов состояния системы.

Таким образом, в диссертации разработан теоретический аппарат, позволяющий решать широкий круг актуальных задач многопрограммного управления в различных классах динамических систем.

1. Абгарян К.А. Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем. М.: Физматлит, 1994. 544 с.

2. Аксенов Г.С., Фомин В.Н. Метод функций Ляпунова в задаче синтеза стабилизирующих регуляторов. В кн.: Адаптация и обучение в системах управления и принятия решений. Новосибирск, 1982. С. 27-32.

3. Александров А.Ю. К вопросу об устойчивости по нелинейному приближению // Сибирский мат. журнал. 1997. Т. 38. № 6. С. 1203-1210.

4. Александров А.Ю. О стабилизации вращательного движения твердого тела при неавтономных возмущениях // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 1. 1999. Вып. 3 (№ 15). С. 53-57.

5. Александров А.Ю., Жабко А.П. Устойчивость разностных систем. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003. 112 с.

6. Ананьевский И.М. Два подхода к управлению механической системой с неизвестными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 2. С. 39-47.

7. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

8. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления. СПб.: Наука, 1999. 468 с.

9. Антончик B.C., Смирнов Е.Я. К вопросу о релейной стабилизации программных движений // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7. № 3. С. 538-539.

10. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Численные методы программной и позиционной оптимизации линейных систем управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2000. Т. 40, № 6. С. 838-859.

11. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

12. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. М.: ИЛ, 1962. 336 с.

13. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 768 с.

14. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999. 408 с.

15. Брокетт Р.У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления. В сб. Математические методы в теории систем. М.: Мир, 1979. С. 174-220.

16. Бутковский А.Г. Дифференциально-геометрический метод конструктивного решения задач управления и финитного управления // Автоматика и телемеханика. 1982. № 1. С. 5-18.

17. Ван Дань Чжи, Степанов С.Я. Стабилизация управляемых движений на конечном интервале времени // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1975. Т. 15, № 1. С. 908-922.

18. Ванюрихин Г.И., Иванов В.М. Синтез систем управления движением нестационарных объектов. М.: Машиностроение, 1988. 168 с.

19. Веремей Е.И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1986. № 4. С. 123-130.

20. Веремей Е.И., Корченов В.М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // Автоматика и телемеханика. 1988. т. С. 126-137.

21. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 288 с.

22. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

23. Гайшун И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. Минск: Институт математики НАН Беларуси, 1999. 409 с.

24. Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фура-сов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука. 1971. 352 с.

25. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

26. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

27. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

28. Дорофеев Б.В., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Вопросы устойчивости и управляемости в нелинейных системах с параметром. Деп. в ВИНИТИ 29.03.89, №2341-В89. Вестник ЛГУ. Сер. 1.16 с.

29. Екимов А.В., Смирнов Н.В. Об одном алгоритме построения канонического базиса // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 18. "Математические методы исследования управляемых динамических систем". СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 2000. С. 31-37.

30. Емельянов С.В. и др. Теория систем с переменной структурой. М.: Наука, 1970. 592 с.

31. Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитин С.В. Классификация особенностей и критерии управляемости билинейных систем на плоскости // Докл. АН СССР. 1987. Т. 295. № 1. С. 42-46.

32. Емельянов С.В. и др. Асимптотические наблюдатели для класса нелинейных динамических объектов // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313. № 5. С. 1052-1056.

33. Жабко А.П., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Анализ асимптотики решения системы интегральных уравнений типа свертки с нормированным ядром // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 1. 2000. Вып. 1 (№ 1). С. 27-34.

34. Жабко А.П., Харитонов В.Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1993. 320 с.

35. Зимовнова Ю.В., Смирнов Н.В. К вопросу о выборе функционала в задаче оптимальной стабилизации билинейных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXI научной конф. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2000. С. 55-57.

36. Зубер И.Е. Синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя для линейных нестационарных систем с одним выходом j j Автоматика и телемеханика. 1995. №5. С. 42-49.

37. Зубер И.Е. Синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя для наблюдаемых нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1998. №3. С. 20-27.

38. Зубов В.И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. JI.: Судостроение, 1966. 352 с.

39. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.496 с.

40. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, 1974. 336 с.

41. Зубов В.И. Нелинейные программные управления // Дифферент уравнения. 1979. Т. 15. № 4. С. 734-735.

42. Зубов В.И. Интерполяция систем дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318. № 1. С. 28-31.

43. Зубов В.И. Синтез многопрограммных устойчивых управлений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318. № 2. С. 274-277.

44. Зубов В.И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // Докл. РАН. 1996. Т. 346. № 3. С. 295-296.

45. Зубов С.В. Зубов Н.В. Математические методы стабилизации динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1996. 288 с.

46. Калман Р.Е. Об общей теории систем управления. Труды I Междунар. конгресса ИФАК. М.: Изд-во АН СССР, 1961. Т. 2. С. 521-547.

47. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971, 400 с.

48. Каменецкий В.А. Построение областей притяжения методом функций Ляпунова // Автоматика и телемеханика. 1994. № 6.1. С. 10-26.

49. Каменецкий В.А. Синтез ограниченного стабилизирующего управления для нелинейных управляемых систем // Автоматика и телемеханика. 1995. № 1. С. 43-56.

50. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1986. 650 с.

51. Квитко А.Н. Решение задачи построения дискретного программного управления для нелинейной управляемой системы // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. Вып. 3-4. С. 140-152.

52. Кирин Н.Е., Нелепин Р.А., Байдаев В.Н. Построение области притяжения по методу Зубова // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, № 8. С. 1347-1361.

53. Киселев В.В., Баринов Н.Г. Оптимизация билинейных систем // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 5. "Моделирование и математическое обеспечение систем управления". Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. С. 59-63.

54. Киселев В.В. Об одновходовой управляемости билинейных систем // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 5. "Моделирование и математическое обеспечение систем управления". Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. С. 96-100.

55. Ковалев A.M. Управляемость и стабилизируемость нелинейных динамических систем //Докл. РАН. 1995. Т. 340. №2. С. 168-170.

56. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 560 с.

57. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

58. Красовский Н.Н., Осипов Ю.С. Задача управления с неполной информацией // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1973. № 4. С. 5-14.

59. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 400 с.

60. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 168 с.

61. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. № 6. С. 5-14.

62. Летов A.M. Динамика полета и управление.М.:Наука,1969. 360 с.

63. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.

64. Лобри К. Динамические полисистемы и теория управления. В сб. Математические методы в теории систем. М.: Мир, 1979. С. 134-173.

65. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи автоматического регулирования. М.: Наука, 1951. 216 с.

66. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: ОНТИ, 1935. 386 с.

67. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиз-дат, 1952. 432 с.

68. Матвеев А.С., Якубович В.А. Оптимальные системы управления: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 2003. 539 с.

69. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1967. 564 с.

70. Милованов В.П. Об одном подходе к моделированию механизмов ценообразования // Экономика и математические методы. 1994. Т. 30. Вып. 1. С. 137-147.

71. Мышков С.К. К проблеме оптимальной стабилизации линейных управляемых систем с неполной информацией // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1971. Вып. 4 (№ 19). С. 148-150.

72. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978. 336 с.

73. Нелепин Р.А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Л.: Судостроение, 1967. 448 с.

74. Нургес Ю. О синтезе законов стабилизации дискретных билинейных систем //Техническая кибернетика. 1985, № 3. С. 179-184.

75. Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1998. 276 с.

76. Петросян JI.A., Захаров В.В. Математические модели в экологии. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1997. 253 с.

77. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Возможные подходы к решению трудных задач линейной теории управления. Труды III международной конференции "Идентификация систем и задачи управления". Россия, Москва. 28-31 января 2004. С. 23-63.

78. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

79. Прасолов А.В. Математические модели управления. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1991. 92 с.

80. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300. № 2. С. 300-303.

81. Пятницкий Е.С. Избранные труды: В 3 т. Том 1. Теория управления. Развитие общей теории управления. Анализ устойчивости и методы стабилизации систем управления. М.: Физматлит,2004. 383 с.

82. Пятницкий Е.С. Избранные труды: В 3 т. Том 2. Теория управления. Управление системами механической природы. Развитие теории линейных матричных неравенств. М.: Физматлит,2005. 316 с.

83. Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974. 600 с.

84. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974. 246 с.

85. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 200 с.

86. Смирнов Е.Я. Стабилизация программных движений. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1997. 307 с.

87. Смирнов Е.Я. и др. Управление движением механических систем. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 316 с.

88. Смирнов Н.В. Исследование в целом некоторых систем дифференциальных уравнений второго порядка. Депон. в ВИНИТИ 12.09.86, № 6650-В86. Вестник ЛГУ. Сер. 1. 9 с.

89. Смирнов Н.В. К вопросу об управляемости нелинейных систем. Депон. в ВИНИТИ 10.11.89, №6757-В89. Вестник ЛГУ. Сер. 1. 15 с.

90. Смирнов Н.В. Существование и представление программных управлений в билинейных системах // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1990. Вып. 4 (№ 22). С. 85-86.

91. Смирнов Н.В. Проблема синтеза управлений в билинейных системах. Депон. в ВИНИТИ 10.07.92, №2239-В92. Вестник ЛГУ. Сер. 1. 16 с.

92. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Об управляемости одного класса билинейных систем // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сб. научн. трудов. Тула: ТулГТУ, 1994. С. 5-7.

93. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Об области управляемости одного класса билинейных систем // Материалы межд. конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 2224 декабря 1994 г. Саранск, 1995. С. 277-280.

94. Смирнов Н.В. Синтез инвариантных управлений в билинейных системах. Тезисы докл. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем". Киев, 15-19 мая 1995 г. Исследование систем. С. 100.

95. Смирнов Н.В. Стабилизация одного класса нелинейных систем // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сб. научн. трудов. Тула: ТулГТУ, 1995. С. 24-27.

96. Смирнов Н.В. Проблема синтеза инвариантных управлений для одного класса нелинейных систем. Тезисы докл. Второй межд. конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 10-12 сентября 1996 г. С. 112.

97. Смирнов Н.В. Об оценке реальной области асимптотической устойчивости в одной задаче ценообразования. Тезисы докл. межд. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем". Киев, 19-23 мая 1997 г. Исследование систем. С. 109.

98. Смирнов Н.В. Об обратной задаче ценообразования для двух взаимозаменяемых товаров // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Сб. научн. трудов. Тула: ТулГУ, 1997. С. 176-179.

99. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Многопрограммная стабилизация линейной системы в случае неполной обратной связи // Процессы управления и устойчивость: Труды XXIX научной конф. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1998. С. 89-93.

100. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Стабилизация семейства программных движений билинейной нестационарной системы // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 1.1998. Вып. 2 (№8). С. 70-75.

101. Смирнов Н.В. Оптимальная стабилизация одного класса билинейных стационарных систем. "Еругинские чтения-V": Тезисы докл. межд. мат. конф. Часть 1. Могилев, 26-28 мая 1998 г. -Могилев: МГУ им. А.А. Кулешова, 1998. С. 138-139.

102. Смирнов Н.В. Оптимальная стабилизация нелинейной системы с неполным линейным приближением // Процессы управления и устойчивость: Труды XXX научной конф. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1999. С. 179-183.

103. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Синтез многопрограммных управлений в билинейных системах // Прикл. математика и механика. 2000. Т. 64. № 6. С. 929-932.

104. Смирнов Н.В. Стабилизация билинейной нестационарной системы в случае неполной обратной связи // Вестник С.-Петербург. ун-та. Серия 1. 2000. Вып. 4 (№ 25). С. 28-34.

105. Смирнов Н.В. Многопрограммная стабилизация линейных и билинейных систем в случае неполной обратной связи // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 3. С. 40-44.

106. Смирнов Н.В. Оптимальная многопрограммная стабилизация линейных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 1. 2002. Вып. 3 (№ 17). С. 48-54.

107. Смирнов Н.В. Синтез идентификаторов состояния в задаче многопрограммной стабилизации билинейных систем // Мат. заметки. 2002. Т. 72. Вып. 4. С. 535-546.

108. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Многопрограммные управления в одном классе социально-экономических моделей. Труды тринадцатой межвуз. конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Россия, Самара. 29-31 мая 2003 г. Часть 3. С. 152-155.

109. Смирнов Н.В. Синтез дискретного идентификатора полного порядка в задаче многопрограммной стабилизации. Труды III международной конференции "Идентификация систем и задачи управления". Россия, Москва. 28-31 января 2004 г. С. 1166-1173.

110. Смирнов Н.В. Релейная стабилизация нескольких положений равновесия в одной экономической модели. Труды Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Россия, Самара. 26-28 мая 2004 г. Часть 3. С. 195-198.

111. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Стабилизация линейной нестационарной системы в случае неполной обратной связи // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 21. "Управляемые динамические системы". СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 2004. С. 83-86.

112. Смирнов Н.В. Многопрограммные управления в разностных системах // Методы возмущений в гомологической алгебре.

113. Межвуз. сб. научн. трудов. Саранск: Изд-во Мордовского ун-та, 2004. С. 96-101.

114. Смирнов Н.В. Синтез релейного многопрограммного регулятора для линейных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. Вып. 3-4. С. 153-159.

115. Смирнов Н.В. Многопрограммная стабилизация линейных нестационарных разностных систем. Тезисы докл. межрегион, конф. "Современные математические методы и информационные технологии". Тюмень, 14-16 апреля 2005 г. Тюмень: Изд-во ТГУ, 2005. С. 53-54.

116. Смирнов Н.В. Задачи многопрограммного управления и стабилизации в различных классах динамических систем // Труды Средневолжского мат. общ. 2005. Т. 7. №1. С. 192-201.

117. Смирнова Т.Е. Оценка области асимптотической устойчивости в задаче многопрограммной стабилизации // Процессы управления и устойчивость: Труды XXX научной конф. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1999. С. 184-187.

118. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

119. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. М.: Наука, 1980. 376 с.

120. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 250 с.

121. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 336 с.

122. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.

123. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М.: Наука, 1982. 192 с.

124. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем: метод эллипсоидов. М.: Наука, 1978. 351 с.

125. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 384 с.

126. Черноусько Ф.Л. Синтез управления нелинейной динамической системой // Прикл. математика и механика. 1992. Т. 56. № 2. С. 179-191.

127. Besancon G. Towards new adaptive observers for nonlinear systems. Proceedings of the sixth St. Petersburg Symposium on Adaptive Systems Theory dedicated to the memory of Ya.Z. Tsypkin. St. Petersburg, Russia. September 7-9, 1999. V. 1. P. 9-12.

128. Bruni C., Dipillo G., Koch G. Bilinear systems: an appealing class of "nearly linear" systems in theory and applications // IEEE Trans, on Automatic Control. 1974. AC-19. № 4. P. 334-348.

129. Derese I., Noldus E. Design of linear feedback laws for bilinear systems // Int. J. Control. 1980. V. 31. № 1. P. 219-237.

130. Derese I., Noldus E. Application of Lyapunov's method to the design of bilinear control loops with observers // Regelungstechnik 1981. Bd. 29. S. 96-102.

131. Gutman P.O. Stabilizing controllers for bilinear systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1981. AC-26. № 4. P. 917-922.

132. Hara S., Furuta K. Minimal order state observers for bilinear systems // Int. J. Control. 1976. V. 24. P. 705-718.

133. Isidori A. Nonlinear control systems. Bin.: Springer-Verlag, 3rd edition. 1995. 549 p.

134. Kokotovic V.P. Control theory in the 80's: Trends in feedback design // Automatica. 1985. V. 21. № 3. P. 225-236.

135. Kokotovic V.P., Sussman H.J. A positive real conditions for global stabilization of nonlinear systems // Systems and Control Letters. 1989. № 13. P. 125-133.

136. Kokotovic V.P., Tao G. Inverse control for output nonlinearities. Mathematical theory of networks and systems (MTNS'96). St. Louis, USA. June 24-28, 1996.

137. Krener A.J. Bilinear and nonlinear realizations of input-output maps // SIAM J. Control. 1975. № 13. P. 827-834.

138. Longchamp R. Controller design for bilinear systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1980. AC-25. № 3. P. 547-548.

139. Luenberger D.G. Observers for multivariable systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1966. AC-11. № 2. P. 190-197.

140. Luenberger D.G. An introduction to observers // IEEE Trans, on Automatic Control. 1971. AC-16. № 6. P. 596-602.

141. Luenberger D.G. Introduction to dynamic systems. NY: Wiley, 1979. 446 p.

142. Mohler R.R. Bilinear control process. New York & London: Academic Press. 1973. 224 p.

143. Mohler R.R., Ruberti, A., Eds. Recent developments in variable structure systems, economics, and biology. Proceedings of US-Italy Seminar. Taormina, Sicily, 1977. Bin.: Springer. 1978. 326 p.

144. Slotine J.-J.E., Li W. Applied nonlinear control. New Jersey: Prentice-Hall, 1991. 461 p.

145. Smirnov N.V. Controllability of bilinear systems. Abstracts of Intern. Conference on Interval and Computer-Algebraic Methods in Science and Engineering (Interval'94). St. Petersburg, Russia. March 7-10, 1994. P. 226.

146. Smirnov N.V. The optimal stabilization of the bilinear homogeneous system. Proceedings of the first Intern. Conference "Control of oscillations and Chaos (COC'97)". St. Petersburg, Russia. August 2729, 1997. V. 2. P. 362-363.

147. Smirnov N.V. Synthesis of multiprogrammed stable controls using the Luenberger observer. Abstracts of 11th International Workshop: "Control Applications of Optimization". St. Petersburg, Russia. July 3-6, 2000. P. 240-241.

148. Smirnov N.V. Synthesis of multiprogrammed stable controls using the Luenberger observer. Preprints of the eleventh IFAC International Workshop: "Control Applications of Optimization". St.Petersburg, Russia. July 3-6, 2000. V. 1. P. 317-320.

149. Smirnov N.V. On the multi programmed optimal stabilization of the bilinear control system. Abstracts of the Fifth SIAM Conference on Control and its Applications. San Diego, California, USA. July 11-14, 2001. P. 281.

150. Smirnov N.V., Rao M.K., Prakah-Asante K.O. Methods for robust target position prediction based on radar data analysis. Technical Report № SRR-2001-0167, Ford Research Laboratory. Detroit, MI, USA. August 27, 2001. 35 p.

151. Smirnov N.V. Discrete multi programmed stabilization of control systems. Abstracts of French-German-Polish Conference on Optimization (FGP 2002). Cottbus, Germany. September 9-13, 2002. P. 35.

152. Smirnov N.V. Discrete multi programmed stabilization of linear systems. Proceedings of the ninth Intern. Workshop "Beam Dynamics and Optimization (BDO'2002)". St. Petersburg, Russia. June 24 27,2002. P. 328-332.

153. Smirnov N.V., Smirnova Т.Е. On the optimal stabilization for a set of programmed motions of the bilinear control system. Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics — PAMM. WILEY-VCH (www.interscience. wiley.com), 2003. V. 2. Iss. 1. P. 100-101.

154. Smirnov N.V., Rao M.K., Prakah-Asante K.O., Strumolo G.S. Method and apparatus for determining a target vehicle position from a source vehicle using a radar. US Patent, №6628227 Bl. September 30,2003. 13 p.

155. Smirnov N.V., Rao M.K., Prakah-Asante K.O., Strumolo G.S. Method for determining a time to impact in a danger zone for a vehicle having a pre-crash sensing system. US Patent, № 6650984 Bl. November 18, 2003. 24 p.

156. Smirnov N.V. Hybrid Luenberger observers in the problem of multi-programmed control. Proceedings of the second Intern. Conference "Physics and Control 2005" (PhysCon 2005), St. Petersburg, Russia. August 24-26, 2005. P. 578-582.

157. Svoronos S., Stephanopolos G., Aris R. Bilinear approximation of general non-linear dynamic systems with linear inputs // Int. J. Control. 1980. V. 31. № 1. P. 109-126.

158. Williamson D. Observation of bilinear systems with application to biological control // Automatica. 1977. V. 13. № 3. P. 243-254.

159. Wolovich W.A. On the stabilization of controllable systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1968. AC-13. № 5. P. 569-572.