автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Многопрограммные управления в квазилинейных динамических системах

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (

На правах рукописи

005012294

ШАХОВ Яков Александрович ^/-¿^

МНОГОПРОГРАММНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 МД? 20:2

Санкт-Петербург 2011

005012294

Работа выполнена на кафедре моделирования экономических систем факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Смирнов Николай Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор Веремей Евгений Игоревич Санкт-Петербургский государственный университет

кандидат физико-математических наук, Степанов Александр Владимирович ООО «Аларити», г. Санкт-Петербург

Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН

Защита состоится «2-£ >■> м^р^ 2012 г. в часов на заседа-

N.. нии совета Д 212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссерта-4 \ ций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru

Автореферат разослан «_»_2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Г. И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В условиях быстро развивающихся технологий все ощутимее становится значимость подходов математического моделирования и автоматического управления. Данные подходы позволяют, абстрагируясь от деталей, выявить суть процесса, понять его структуру и направленность на этапе анализа и скорректировать ход процесса при необходимости на этапе синтеза. Вопросы применимости данных подходов для управления широким классом динамических систем всесторонне исследованы в трудах Понтрягина Л. С., Калмана Р., Зубова В. И., Якубовича В. А., Га-басова Р. Ф.

Особый интерес представляют мпогосцснариые подходы в управлении, когда заранее планируется не один возможный путь развития ситуации, а их некая совокупность. Выбор конкретного варианта движения осуществляется при этом в некоторый ключевой момент (момент принятия решений) автоматически, в зависимости от текущих обстоятельств и положения системы. В математической теории управления данный подход называется синтезом многопрограммных управлений. Впервые задачу синтеза многопрограммных управлений сформулировал В. И. Зубов. В своих работах, посвященных данной тематике, он рассматривал проблему представления правых частей системы дифференциальных уравнений, имеющих априорно заданное конечное семейство решений, и задачу синтеза управлений, реализующих некоторую совокупность программных движений и обеспечивающих их асимптотическую устойчивость по Ляпунову. Особое внимание уделяется представлению таких управлений в линейных стационарных системах. Полученные результаты применяются в задаче управления механическими системами, описываемыми уравнениями Лагранжа второго рода, и в задаче управления движением заряженных частиц в электромагнитном поле.

Дальнейшее развитие результаты В. И. Зубова получили в работах Н. В. Смирнова и его учеников для линейных нестационарных систем, билинейных систем и систем типа Лотки - Вольтерры.

В диссертации предлагаются некоторые результаты по развитию подходов к синтезу многопрограммных управлений. При этом основным предметом исследования является класс квазилинейных динамических систем.

Квазилинейные системы имеют широкое применение при моделировании динамических процессов в технике, судостроении, навигации, астрономии, чем подтверждается актуальность выбранной темы.

Стоить отметить, что под понятием «квазилинейная система» (от англ.

quasi-linear - почти линейная) в математических теориях устойчивости и управления понимаются два различных класса систем.

В монографиях Б. П. Демидовича рассматриваются системы

х = A(t)x + B(t)u-f G(t,x,u), (1)

где х = (si,... ,хп)т - n-мерный вектор фазового состояния, и = (щ,... ,иг)т - т-мерный вектор управлений; элементы матриц A(i), В(£) заданы при t > 0, вещественны и непрерывны; G(£, х, и) - вектор-функция, заданная при t > О, вещественная, непрерывно дифференцируемая по компонентам х, и, для которой справедлива оценка

||G(£,x,u)||<^(i)(||x|| + ||u||r, (2)

где m > 1, V'(i) ~~ непрерывная положительная функция при t > 0, характеристический показатель Ляпунова которой равен пулю.

В работах В. И. Зубова квазилинейными системами называются системы с малым параметром

х = A(i)x -f B(i)u + f(i) + pG(£,x, u, fx), (3)

где векторы x, u имеют тот же смысл, а элементы матриц A(t), B(i) и компоненты вектора f(£) заданы при £ > 0, вещественны и непрерывны;

> 0 - малый параметр, a G(i,x, u,fi) - вещественная функция, непрерывно дифференцируемая по компонентам х, и и параметру [г.

В диссертации системы вида (1) с условиями на нелинейность (2) будем называть квазилинейными системами первого типа, а системы вида (3) квазилинейными системами второго типа.

Стоит отметить, что методов построения программных управлений для систем первого типа в общем случае не существует. Программное управление и программное движение для второго типа систем строятся как предел равномерно сходящейся последовательности итеративных приближений. Данный факт на практике означает необходимость использования вместо точных программного управления и программного движения их приближений. Кроме того требуется строить оценки отклонения этих приближений от предельных функций. При реализации многопрограммных управлений в квазилинейных системах, в связи с вышеизложенными особенностями, возникают дополнительные сложности с сохранением устойчивости реализуемых движений.

Таким образом, целью диссертационной работы является изучение вопроса синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений в

квазилинейных системах для случаев полной-и неполной информации о векторе текущего положения объекта управления.

Отмстим также, что в качестве квазилинейных систем первого типа можно рассматривать липеаризовапиые формы нелинейных систем в отклонениях.

Методы исследования. В работе используются методы теории дифференциальных и разностных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления и стабилизации. Основным аппаратом исследования являются методы Ляпунова.

Научная новизна. Новыми результатами, представленными в работе, являются: достаточные условия существования многопрограммных стабилизирующих управлений для квазилинейных систем для случаев полной и неполной обратной связи, конструктивные методы реализации данных многопрограммных управлений, формулировка и решение задачи многопрограммной стабилизации нескольких положений равновесия, имеющей естественный практический интерес.

Теоретическая и практическая ценность работы. Основным теоретическим результатом является распространение идеи синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений на класс квазилинейных дифференциальных и разностных систем. Сформулированная и решенная задача многопрограммной стабилизации нескольких положений равновесия актуальна для конкретных моделей динамических процессов. Предложенные в работе методы реализации многопрограммных управлений (синтез к-ото приближения) позволяют применять их на практике.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2009-2010 гг.), «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009-2010 гг.), «Неравновесные процессы в природе» (Елец, 2009 г.), "Beam Dynamics and Optimization" (BDO'lO, Saint-Petersburg, 2010), «Устойчивость и процессы управления» (SCP'10 в честь 80-летия со дня рождения В. И. Зубова, Санкт-Петербург, 2010 г.), на ежегодном научно-методическом семинаре кафедры моделирования экономических систем СПбГУ «Сентябрьские чтения» (2009-2010 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 9 работ, две из которых [8, 9] в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка используемой литературы. Объем диссертации составляет 118 страниц машинописного текста. Работа содержит 5 рисунков. Список литературы включает 79 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертационной работы, формулируется цель исследования и производится обзор рукописи по главам и параграфам.

В первой главе решается задача синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений в случае, когда информация о текущем векторе состояния системы полностью доступна для измерений, так называемый случай полной обратной связи.

В § 1 сформулирована задача синтеза многопрограммного стабилизирующего управления для нелинейной системы и предложена форма представления искомого управления.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую движение некоторого управляемого объекта

х = f(£,x,u), (4)

где х = (xi,..., хп)т - n-мерный вектор фазового состояния системы, и = («1,... ,иг)т - r-мерный вектор управлений, f(£,x, и) - го-мерная вектор-функция, заданная и непрерывно дифференцируемая по компонентам х, и в области D = / х X х [/, где I = {t | О < t < +00}, X и U - некоторые области евклидовых пространств Еп и Ег соответственно.

Пусть для системы (4) решено некоторое количество специальных задач программного управления, то есть построены N программных движений Xi(i),..., Хдг(£), которые обеспечиваются программными управлениями ui(f),..., идг(£). Управления Uj(i), j = 1, N, построены в классе ограниченных и непрерывных при t > 0 функций. Число программных движений N не связано с размерностью системы (4) и размерностью пространства управлений.

Задача 1 (В. И. Зубов). Для исходной системы (4) требуется построить управление

u = u (x,i), (5)

которое реализует заданные программные движения x_, (i) при программных управлениях Uj(i), j = 1,N. Кроме того, важно, чтобы программные движения Xj(i) при управлении (5) были асимптотически устойчивы по

Ляпунову. Такие управления называются многопрограммными стабилизирующими или многопрограммными.

Функция (5) представляет собой полином Эрмита - решение задачи кратного интерполирования, где в качестве узловых точек выступают программные режимы, а в качестве значений функции в узлах - соответствующие программные управления:

(6)

XI (0 х2(0

и2(0

с2(0 СдК*)

и(х,4)=1;^ + С>(0(х-х>)-2и> £ (х хЖх, *Лцх)> (7)

N

ы*) = П

(х-хО2

. (ху -хг)2'

(8)

В работах В. И. Зубова и Н. В. Смирнова показано, что функция (7), (8) является решением задачи 1 для линейных, билинейных систем и систем типа Лотки - Вольтерры.

В последнем пункте § 1 предложена модифицированная форма представления многопрограммного управления, более соответствующая классическому виду представления управления и(х,^) = ир(х,1) + у5(х, ¿) -программная часть плюс блок стабилизации:

N

¿=1

(9)

где рДх) - полином относительно элементов вектора х со скалярным значением. Доказана

Лемма 1.1. Если функции ] = в представлении (9) найде-

ны как решение задач кратного интерполирования следующего специального вида

хх(0 хкЦ)

0 1 0

0 0 0

(10)

то функция (9) будет удовлетворять условиям задачи кратного интерполирования (6).

Она имеет вид

»ц-Н £ П и

4 к j к' ' i=i,ijtjк 3 '

Однако полином (9), (11) имеет степень на единицу выше, чем (7), (8).

В § 2 для системы (1), замкнутой управлением (7), (8), и некоторого выбранного программного режима xs(t) построена система в отклонениях:

У 5 = As(i)ys + Bs(i)va + H,(i, у„ v4) + Q,(t, у,, ve), (12)

где

G(i,уя + xs,u(ys + x,)) - G(i,xs,us) = As{t) + Вs(t) + Qs{t,ys, v.), A s{t) = A (t) + Â ,(t), В ${t) = В (i) + В s(t), vs = Cs{t)ys,

Hs(t,ys,vs)=B(t)(cs(t)ys-2u3 t^

r2 у] y;(Xs " + км) + B(t)ushs(ys)+

N ,

+ B(i) Y. ( uj + Q(t)(ys 4- xs — Xj) —

Функция Hs(i, ys, v5) имеет полиномиальный вид. Ее порядок по компонентам векторов yS) vs не меньше второго, а максимальная степень конечна и зависит только от параметра N. Доказана следующая

Теорема 2.2. Пусть для (12) выполнены следующие условия: 1) однородные системы х = As(i)x + Bs(i)vs стабилизируемы управлениями

v., — Ca(i)y, s = 1,7V; (13)

2) заданные программные движения xi(i),... ,Xat(î) различимы при

t > to > 0, иначе говоря,

inf II Xi(i) - Xj(i) ||> 0, i Ф j-

3) для функции (£а(Ь,у3,лга) справедлива оценка

где т > 1, тр(1) - непрерывная полоэюительная функция при Ь > О, характеристический показатель Ляпунова которой равен нулю, в = 1, N.

Тогда существует многопрограммное управление, реализующее программные движения XI(¿),... ,х//(£)> при этом каждое из них будет экспоненциально устойчиво при I > О.

Замечание 1. Стабилизируемоеть однородной системы в первом условии теоремы понимается в смысле возможности обеспечить соответствующей замкнутой системе наперед заданный спектр характеристических показателей Ляпунова.

Замечание 2. Система (12) при выполнении условия 3) является квазилинейной системой первого типа.

При доказательстве теоремы показано, что функция (7), (8) является решением задачи 1 для квазилинейной системы (12).

§ 3 посвящен вопросу построения программных управлений в квазилинейных системах второго типа (3). Стандартный подход предполагает вывод системы интегральных уравнений, которой удовлетворяет пара функций - программное управление и соответствующее ему программное движение = (х((), и(())Т. Эта система имеет вид

где К(1,А4) ~~ интегральный оператор вида /

(14)

V

о

-У(ОВ(<)В-1(Т)/У-1(г)С(г,^(г),м)(гг; о

-РТЮВ-^/Г-ЧгМГМГ),^

/

Ш = (х0(г),и0(г))т ~ пара программного движения и программного управления для соответсвующей линейной системы, У(£) - нормированная в точке Ь = 0 фундаментальная матрица системы х = А(£)х;

г

В(1) = ур(т)рт(т)сгт, Р(0=У-1(4)В(0-

Решение интегрального уравнения (14) можно построить как предел последовательности приближений

1^ = 0,1,...

Данный подход основывается на следующем утверждении:

Теорема 3.1 [В. И. Зубов]. Пусть матрица Ю(Т) - неособая. Тогда для любых двух ограниченных множеств Х° и X1 можно указать число — ц°(Х.°,Х}) такое, что при всех всех ц < существует управление и(£), переводящее систему (3) из произвольной точки хо € Х° в произвольную точку Хх € X1 за время Т. Это управление непрерывно и может быть построено как предел равномерно сходящейся последовательности, каждый член которой определяется единственным образом рекуррентным соотношением.

Далее в работе для системы (3) получены оценки, позволяющие при практической реализации управлений априорно вычислить по заданной точности необходимое количество итераций в процессе построения приближений:

||**Ю - < {\+/+Ь^Л - 1) (16)

Здесь х*(£) - точное программное решение системы (3), а х*(£) - приближенное, полученное как решение системы (3) при замыкании се к-приближением программного управления и*(<), вычисляемого по формулам (15), и* (г) = и*(г) + ук\

Ln = max n

А = max ||A(í)||, В = max ||B(í)||.

0 = 1 € [0,T], ¡JL < ¡12, ||£(í)|| < r2}, yu2, r2 - некоторые поло-

жительные постоянные.

Полученные результаты иллюстрируются на примере. '

В § 4 показано, как объединить результаты двух предыдущих параграфов для реализации многопрограммных управлений на практике для квазилинейных систем второго типа. Введено понятие к-го приближения многопрограммного управления:

N / N / tw^jfc

N / N fx - хк)(х.к - xk'

= E { ixrxV -

IK*), (17)

где

Здесь £^(£) = (х^(£),и*(£))т - к-с приближение пары £^(£) = (хД£), вычисленное по формулам (15), j = 1, N. Далее доказана

Лемма 4.1. При увеличении количества итераций к в (15) для системы (3) последовательность к-х приближений многопрограммного управления (17), (18) равномерно сходится к точному многопрограммному управлению (7), (8), то есть

Результаты предыдущих двух параграфов объединены в следующем утверждении.

Теорема 4.1. Пусть для соответствующей системы в отклонениях системы (3) выполнены условия теоремы 2.2. Тогда для нее существует многопрограммное управление (7), (8), реализующее программные движения Хх (£),..., хдг(£), каждое из которых экспоненциально устойчиво при £ > 0. При этом в качестве к-го приближения многопрограммного управления может быть использована функция (17), (18), обладающая свойством (19) и обеспечивающая для выбранного программного движения точность (16).

Параграф заканчивается иллюстративным примером.

В § 5 описана проблема неоднозначного выбора матрицы коэффициентов усиления в блоке стабилизации многопрограммного управления. На примере показано, что в качестве критерия при выборе данной матрицы может быть использована величина времени переходного процесса. Далее, изложена известная теорема о стабилизации по линейному приближению, переформулированная для случая квазилинейной системы.

Вторая глава посвящена задаче синтеза многопрограммных стабилизирующих управления для квазилинейных систем в случае неполной обратной связи.

В § 6 исследован вопрос синтеза в квазилинейных системах нестационарных асимптотических идентификаторов (наблюдателей) двух типов: полного порядка п и идентификатора меньшей размерности, так называемого идентификатора Люенбсргера.

к—►+оо

Иш и*(х,£) = и(х,£), Нт р^(х) = Ь(х). (19)

_¡Г_»-1_ГУ~|

Рассмотрим квазилинейную систему первого типа

х = А(£)х + В(£)и + д(г,х,и), (20)

где х - п-мерный вектор фазового состояния, и - г-мерный вектор управлений; элементы матриц А(£), В(£) заданы при I > 0, вещественны и непрерывны; х, и) - заданная при t >0, вещественная функция, непрерывно дифференцируемая по компонентам х, и.

Замечание 3. Система (20) является аналогом системы в отклонениях для выбранного я-го режима из § 2. Заметим, это означает, что нелинейность <3(£,х, и) будет различной в зависимости выбранного программного движения, для которого строится система в отклонениях. Будем это учитывать в утверждениях при формулировке условий, накладываемых на нелинейность.

В стандартной задаче построения непрерывного стабилизирующего управления (см. п. 1.1) допустимым считается управление вида

и = С(£)х, (21)

где (г х п)-матрица С(£) подлежит определению. Конечной целыо при этом является экспоненциальная устойчивость нулевого решения замкнутой системы (20), (21).

Задача 2. Будем считать, что доступны для измерения только отдельные компоненты вектора х(£) или их линейные комбинации, то есть вместе с системой (20) задано уравнение измерителя

У(0 = И (0х(0, (22)

где у - т-мерный вектор измерений; И(£) - заданная, вещественная, непрерывная при £ > 0, ограниченная (тп х гг)-матрица. Требуется построить такую оценку х(£) вектора состояния х(£), чтобы она обладала свойством

х(£) - х(£) О при г +оо. (23)

Если это удастся, то стабилизирующее управление для системы (20) можно искать в виде

и = С(*)х. (24)

Идентификатор построен в виде

х = А(г)х + В(<)и + Ь(г)(у - 11(£)х) + Сх, и). (25)

Далее введена переменная х(£) = х(£)-х(£), характеризующая качество оценки вектора отклонения, и рассмотрена совместная система в новых переменных:

х \ = / А(£) + В(£)С(£) -В(«)С(0 \ / х X у \ О А(0 - Ь(*)11(0 ) \ х

: +

/ СЬ(4,х,х) \

где

Q1(t,x,x) = Q(t,x,C(t)(x-x)), СЬ(£,х,х) = СН£,х,С(г)(х-х)) -д(£,х-х,С(£)(х-х)). Введя в рассмотрение также две вспомогательные системы:

Х1=А(0х1+В(0иь (27)

х2 = -Ат(£)х2 + Ят(Ь)и2, (28)

где матрицы А(£), В(£), И(£) те же, что и в (20), (22), а векторы х1( х2, их, и2 соответствующих размерностей имеют характер формальных обозначений, доказана следующая

Теорема 6.1. Пусть системы (27), (28) стабилизируемы (см. замечание 1) и для функций С2;(£, х,х), ] = 1,2, из (26) при управлениях вида (24) справедливы оценки

Шг,х,х)|| < ф^)

где т^ > 1, ф^), ] = 1,2, - непрерывные положительные функции при £ > 0, характеристические показатели Ляпунова которых равны нулю. Тогда для системы (20) существует нестационарный асимптотический квазилинейный идентификатор (25) и стабилизирующее управление (24).

В последнем пункте параграфа сформулирована задача построения идентификатора меньшей размерности, так называемого, идентификатора Люенбергера. Доказана соответствующая теорема о достаточных условиях существования данного идентификатора. Доказательства обеих теорем носят конструктивный характер.

§ 7 и § 8 описывают подход к синтезу многопрограммных стабилизирующих управлений в квазилинейных системах в случае неполной обратной

связи. В них на основе данных нелинейных асимптотических наблюдателей двух указанных выше типов формируется блок стабилизации многопрограммного управления. Сформулированы и доказаны теоремы о достаточных условиях существования идентификаторов.

В третьей главе исследуется проблема построения многопрограммных управлений в квазилинейных разностных системах:

x(fc + 1) = Ax(fc) + Bu(Jfc) + f (к) + G(x(Jfc), u(fc)),

где x(k) - n-мерный вектор фазового состояния с компонентами х\(к),..., хп(к); и (к) - r-мерный вектор управлений с компонентами щ(к),... ,иг(к); целочисленный аргумент к принимает значения к = 0,1,...; А = {ау}, В = {Ь^}, i = l,n, j = l,n, к = l,r, - постоянные матрицы, f(к), G{x(k),u(k)) - вещественные вектор-функции, определенные при к — 0,1,... и х £ X с En, u £ U с Ег соответственно.

В § 9 предложен подход к построению программных управлений в квазилинейных разностных системах.

В § 10 сформулирована задача многопрограммной стабилизации в' квазилинейной разностной системе. Доказана теорема об условиях существования ее решения. ■

В § И речь идет о синтезе многопрограммных стабилизирующих управлений в квазилинейных разностных системах в случае неполной обратной связи. Как и прежде, для синтеза управлений используются идентификаторы двух типов: полного порядка и идентификатор Люенбергера.

В приложении рассмотрен частный случай квазилинейной системы первого типа:

г

х = Ax + Bu + g0(x) + ^uigi(x). (29)

В случае когда gi(x) линейны, т.е. g¡(х) = GjX, G; — постоянные (п х п)-матрицы, система (29) называется билинейной:

г

х = (А + G0) х + Bu + ^Г UiGiX.

¿=i

Частным случаем системы (29) является также модель Лотки - Вольтерры, описывающая управляемую динамику взаимодействия п видов живых организмов ' ■ '

ii= (li + ^ %xi jXi + щ, г = 1,..., п. \ j=i /

Для (29) сформулирована и решена частная задача - задача многопрограммной стабилизации нескольких положений равновесия квазилинейных систем. Эта задача имеет естественный практический интерес, так как реализуемые программные движения (положения равновесия) выводятся из самой модели динамической системы. Во втором пункте данная задача решена для математического маятника с трением, движение которого описывается уравнением

х + ух 4- sin х = и,

где х — угол отклонения от вертикальной оси, и — скалярное управление, 7 > 0 — коэффициент трения. Далее приведена реализация решения в среде MATLAB (программный код, графики переходных процессов).

В заключении приводятся основные результаты, выносимые на защиту:

• достаточные условия существования многопрограммных управлений в квазилинейных нестационарных системах;

® обоснование алгоритма построения приближенного многопрограммного управления для квазилинейных систем, обеспечивающего наперед заданную точность реализации программных движений;

• методы синтеза квазилинейных асимптотических идентификаторов (наблюдателей) полного порядка и идентификаторов Люенбергера, а также основанные на них алгоритмы построения многопрограммных управлений для квазилинейных систем в случае неполной обратной связи;

• конструктивное решение задачи синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений в квазилинейных разностных системах, основанное на доказательстве теоремы о достаточных условиях существования таких управлений;

• методы синтеза многопрограммных управлений в квазилинейных разностных системах с неполной обратной связью;

• решение задачи многопрограммной стабилизации нескольких положений равновесия квазилинейных систем.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ

1. Шахов Я. А. Построение программного управления в одной квазилинейной динамической системе // Процессы управления и устойчивость: Труды XL междунар. науч. конф. асп. и студ. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. - С. 85-90.

2. Смирнов Н. В., Шахов Я. А. Многопрограммные управления в одном классе квазилинейных систем // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды VI всеросс. конф. с междунар. участ. 4.2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. - Самара: СамГТУ, 2009. - С. 178-181.

3. Шахов Я. А. О синтезе многопрограммных управлений в квазилинейных динамических системах // Неравновесные процессы в природе: Матер, всеросс. науч.-практ. конф. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2010. - С. 121-126.

4. Шахов Я. А. Применение идентификатора Люенбергера для стабилизации программного движения квазилинейной автономной системы // Процессы управления и устойчивость: Труды XLI междунар. науч. конф. асп. и студ. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010. - С. 80-85.

5. Шахов Я. А. Стабилизация квазилинейной системы в случае неполной обратной связи // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды VII всеросс. конф. с междунар. участ. Ч.2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. Самара: СамГТУ, 2010. - С. 295-298.

6. Смирнов Н. В., Шахов Я. А. Многопрограммная стабилизация квазилинейной системы в случае неполной обратной связи // Устойчивость и процессы управления, всеросс конф., посвящ. 80-летию со дня рожд. В. И. Зубова. СПб.: ВВМ, 2010. - С. 79-80.

7. Shakhov Ya. A. Multiprogram controls for the quasi-linear time invariant system // Abstracts of the XVI Intern. Workshop "Beam Dynamics and Optimization (BDO'lO)". St. Petersburg: VVM.co.Ltd., 2010. - P. 61-62.

8. Смирнов H. В., Шахов Я. А. Многопрограммная стабилизация квазилинейных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та, 2010. Сер. 10. Вып. 4. - С. 131-141.

9. Шахов Я. А. Идентификаторы в квазилинейных системах // Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. № 5 (21). 2010. С. 258-262.

Подписано к печати 13.01.12. Формат60x84 [к . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5346.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

61 12-1/708

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МНОГОПРОГРАММНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка

информации

(по прикладной математике и процессам управления)

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Н.В. Смирнов

Санкт-Петербург 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ..................................................................5

ГЛАВА 1. МНОГОПРОГРАММНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗБЮ 12

§ 1. Задача многопрограммной стабилизации и различные формы

представления ее решения........................................12

1.1. Программное и стабилизирующее управление............12

1.2. Общая постановка задачи многопрограммной стабилизации ............................................................15

1.3. Интерполяционный полином Эрмита в задаче многопрограммного управления......................................16

1.4. Модифицированная форма представления многопрограммного управления......................................19

§ 2. Непрерывные многопрограммные управления в квазилинейных системах........................................................20

2.1. Вспомогательные сведения..................................20

2.2. Многопрограммные управления в квазилинейных системах первого типа............................................22

§ 3. Программные управления в квазилинейных системах второго

типа..................................................................27

3.1. Постановка задачи ..........................................27

3.2. Построение программных управлений ....................28

3.3. Непрерывная зависимость по параметру..................30

3.4. Пример........................................................33

§ 4. Синтез многопрограммных управлений для квазилинейных

систем................................................................34

4.1. Постановка задачи ..........................................34

4.2. Реализация многопрограммного управления..............35

4.3. Пример........................................................40

§ 5. Анализ переходного процесса......................................42

5.1. Выбор матрицы линейной обратной связи................42

5.2. Многомерный случай........................................45

5.3. Стабилизация квазилинейных систем по линейному приближению ....................................................46

ГЛАВА 2. МНОГОПРОГРАММНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 48

§ 6. Применение нестационарных идентификаторов в задаче стабилизации квазилинейных систем................................48

6.1. Постановка задачи ..........................................49

6.2. Идентификаторы полного порядка........................50

6.3. Идентификаторы Люенбергера ............................54

6.4. Стационарный случай........................................58

§ 7. Многопрограммные управления в квазилинейных системах,

построенные на основе идентификаторов состояния полного

порядка..........................................61

7.1. Постановка задачи . .......................................61

7.2. Построение идентификаторов полного порядка..........62

§ 8. Многопрограммные управления в квазилинейных системах,

построенные на основе идентификаторов Люенбергера .... 68

8.1. Постановка задачи ..........................................68

8.2. Синтез идентификаторов Люенбергера....................70

ГЛАВА 3. МНОГОПРОГРАММНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМАХ 76 § 9. Построение программного управления в квазилинейной разностной системе....................................................76

§ 10. Многопрограммная стабилизация квазилинейных разностных

систем в случае полной обратной связи..........................79

10.1. Постановка задачи ..........................................79

10.2. Построение многопрограммных управлений в квазилинейной разностной системе..................................81

§ 11. Многопрограммная стабилизация квазилинейных разностных

систем в случае неполной обратной связи........................86

11.1. Идентификаторы полного порядка в квазилинейных разностных системах............................................86

11.2. Идентификаторы Люенбергера в квазилинейных разностных системах............................................90

ПРИЛОЖЕНИЕ............................................................96

§ ^.Многопрограммная стабилизация положений равновесия квазилинейных систем ................................................96

12.1. Положения равновесия в квазилинейных системах и их стабилизация..................................................96

12.2. Пример 1. Математический маятник......................103

12.3. Пример 2......................................................108

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................110

ЛИТЕРАТУРА...............................111

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В условиях быстро развивающихся технологий все ощутимее становится значимость подходов математического моделирования и автоматического управления. Данные подходы позволяют, абстрагируясь от деталей, выявить суть процесса, понять его структуру и направленность на этапе анализа и скорректировать ход процесса при необходимости на этапе синтеза. Вопросы применимости данных подходов для управления широким классом динамических систем всесторонне исследованы в трудах Понтрягина Л. С. [42], Калмана Р. [31], Зубова В. И. [26-28],Якубовича В. А. [39], Габасова Р. Ф. [16].

Особый интерес представляют многосценарные подходы в управлении, когда заранее планируется не один возможный путь развития ситуации, а их некая совокупность. Выбор конкретного варианта движения осуществляется при этом в некоторый ключевой момент (момент принятия решений) автоматически, в зависимости от текущих обстоятельств и положения системы. В математической теории управления данный подход называется синтезом многопрограммных управлений. Впервые задачу синтеза многопрограммных управлений сформулировал В. И. Зубов в работах [29, 30]. В этих работах рассмотрены: проблема представления правых частей системы дифференциальных уравнений, имеющих априорно заданное конечное семейство решений, и задача синтеза управлений, реализующих некоторую совокупность программных движений и обеспечивающих их асимптотическую устойчивость по Ляпунову. Особое внимание уделяется представлению таких управлений в линейных стационарных системах. Полученные результаты применяются в задаче управления механическими системами, описываемыми уравнениями Лагранжа второго рода, и в задаче управления движением заряженных частиц в электромагнитном поле [30].

Дальнейшее развитие результаты В. И. Зубова получили в работах Н. В. Смирнова и его учеников для линейных нестационарных систем [50], билинейных систем [46-49, 51, 53] и систем типа Лотки-Вольтерры [57].

В настоящей рукописи предлагаются некоторые результаты по развитию подходов к синтезу многопрограммных управлений. При этом основным предметом исследования является класс квазилинейных динамических систем.

Квазилинейные системы имеют широкое применение при моделировании динамических процессов в технике, судостроении, навигации, астрономии [6, 21, 26, 27, 32, 37], чем подтверждается актуальность выбранной темы. Стоить отметить, что под понятием «квазилинейная система» (от англ. quasi-linear - почти линейная) в математических теориях устойчивости и управления понимаются два различных класса систем.

В монографиях [22, 27] рассматриваются системы

х = А(£)х + B(t)u + G(t, х, u), (1)

где х = (х\,... ,хп)т - n-мерный вектор фазового состояния, и = (г/4,... ,иг)т - r-мерный вектор управлений; элементы матриц A(i), В(£) заданы при t > 0, вещественны и непрерывны; G(£, х, и) - вектор-функция, заданная при t > 0, вещественная, непрерывно дифференцируемая по компонентам х, и, для которой справедлива оценка

||G(i,x,u)||<^)(||x||-f||u||r, (2)

где m > 1, ijj{t) - непрерывная положительная функция при t > 0, характеристический показатель Ляпунова которой равен нулю.

В работах [27, 32] квазилинейными системами называются системы с малым параметром

х = A(i)x + B(i)u -f f(t) + /¿G(i, x, u, fi), (3)

где векторы x, u имеют тот же смысл, а элементы матриц A(t), В(t) и компоненты вектора f(t) заданы при t > 0, вещественны и непрерывны; /j, > 0 - малый параметр, a G(t, х, и, ц) - вещественная функция, непрерывно дифференцируемая по компонентам х, и и параметру ¡1.

В настоящей рукописи системы вида (1) с условиями на нелинейность (2) будем называть квазилинейными системами первого типа, а системы вида (3) квазилинейными системами второго типа.

Стоит отметить, что методов построения программных управлений для систем первого типа в общем случае не существует. Программное управление и программное движение для второго типа систем строятся как предел равномерно сходящейся последовательности итеративных приближений [27]. Данный факт на практике означает необходимость использования вместо точных программного управления и программного движения их приближений. Кроме того требуется строить оценки отклонения этих приближений от предельных функций. При реализации многопрограммных управлений в квазилинейных системах, в связи с вышеизложенными особенностями, возникают дополнительные сложности с сохранением устойчивости реализуемых движений. Таким образом, целью настоящего диссертационного исследования является изучение вопроса синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений в квазилинейных системах.

Отметим также, что в качестве квазилинейных систем первого типа можно рассматривать линеаризованные формы нелинейных систем в отклонениях (см. далее п. 1.1).

Методы исследования. В работе используются методы теории дифференциальных и разностных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления и стабилизации. Основным аппаратом исследования являются методы Ляпунова.

Структура и основное содержание работы. Рукопись состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка используемой литературы, включающего 79 наименований. Объем составляет 118 страниц машинописного текста. Работа содержит 5 рисунков.

В первой главе решается задача синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений в случае, когда информация о текущем векторе состояния системы полностью доступна для измерений, так называемый случай полной обратной связи.

В § 1 формулируется задача синтеза многопрограммного стабилизирующего управления для нелинейной системы. В первом пункте параграфа описан классический подход в представлении управления для любой управляемой динамической системы в виде совокупности программной части и блока стабилизации. Далее предлагается строить и многопрограммное управление в аналогичной форме. Многопрограммное управление представляет собой полином Эрмита [10] - решение задачи кратного интерполирования, где в качестве узловых точек выступают программные режимы, а в качестве значений функции в узлах - соответствующие программные управления. В последнем пункте параграфа предложена модифицированная форма представления многопрограммного управления, более соответствующая искомому виду - программная часть плюс блок стабилизации, однако имеющей большую степень полинома нежели классическая форма.

В § 2 рассматривается задача синтеза многопрограммных управлений для квазилинейных нестационарных систем первого типа. Сформулированы и доказаны две теоремы о достаточных условиях существования этих управлений.

§ 3 посвящен вопросу построения программных управлений в квазилинейных системах второго типа. Как'уже отмечалось ранее, это управление строится как предел равномерно сходящейся последовательности итеративных приближений. В параграфе получены оценки этих приближений, позволяющие при практической реализации управлений априорно вычислить по заданной точности необходимое количество итераций в процессе построения приближений. Полученные результаты иллюстрируются на примере.

В § 4 показано, как объединить результаты двух предыдущих параграфов для реализации многопрограммных управлений для систем второго типа на практике. Вводится понятие к-го приближения многопрограммного управления, показывается, что эта функция может быть использована при реализации многопрограммного управления с заранее вычисляемой точностью программных движений. Параграф заканчивается иллюстративным примером.

В § 5 описывается проблема неоднозначного выбора матрицы коэффициентов усиления в блоке стабилизации многопрограммного управления. На примере показывается, что в качестве критерия при выборе данной матрицы может быть использована величина времени переходного процесса. Далее, изложена известная теорема о стабилизации по линейному приближению, переформулированная для случая квазилинейной системы.

Вторая глава посвящена задаче синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений для квазилинейных систем в случае неполной обратной связи.

В § 6 исследуется вопрос синтеза для квазилинейных систем нестационарных асимптотических идентификаторов (наблюдателей) двух типов: полного порядка п и идентификатора меньшей размерности, так называемого идентификатора Люенбергера. Доказательства соответствующих теорем о достаточных условиях существования указанных идентификаторов носят конструктивный характер.

§ 7 и § 8 описывают подход к синтезу многопрограммных стабилизирующих управлений в квазилинейных системах в случае неполной обратной связи. В них строятся нелинейные асимптотические наблюдатели двух указанных типов для идентификации текущего вектора состояния системы. Сформулированы и доказаны теоремы о достаточных условиях существования идентификаторов, обеспечивающих работу многопрограммного регулятора.

В третьей главе исследуется проблема построения многопрограммных управлений в квазилинейных разностных системах. В § 9 предлагается подход к построению программных управлений в квазилинейных разностных системах. В § 10 сформулирована задача многопрограммной стабилизации в квазилинейной разностной системе. Доказана теорема об условиях существования ее решения.

В § 11 речь идет о синтезе многопрограммных стабилизирующих управлений в квазилинейных разностных системах в случае неполной обратной связи. Как и прежде, для синтеза управлений используются идентифика-

торы двух типов: полного порядка и идентификатор Люенбергера.

§ 12 оформлен в разделе Приложение. В нем решается частная задача - задача многопрограммной стабилизации положений равновесия квазилинейных систем. Эта задача имеет естественный практический интерес, так как реализуемые программные движения (положения равновесия) выводятся из самой модели динамической системы. Данная задача, к тому же, имеет одно выгодное отличие от общего случая: в ней нет необходимости решать трудоемкую задачу построения программных управлений. В первом пункте § 12 проблема рассмотрена в общем случае. В пункте 12.2 рассмотрена задача многопрограммной стабилизации наперед заданных положений равновесия математического маятника, приведена реализация многопрограммного управления в среда МАТЬАВ. В пункте 12.3 рассмотрен пример многопрограммной стабилизации собственных положений равновесия для некоторого модельного примера.

В Заключении сформулированы основные результаты исследования, выносимые на защиту.

Научная новизна. Новыми результатами, представленными в работе, являются: достаточные условия существования многопрограммных стабилизирующих управлений для квазилинейных систем для случаев полной и неполной обратной связи, конструктивные методы реализации данных многопрограммных управлений, формулировка и решение задачи многопрограммной стабилизации нескольких положений равновесия, имеющей естественный практический интерес.

Теоретическая и практическая ценность работы. Основным теоретическим результатом является распространение идеи синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений на класс квазилинейных дифференциальных и разностных систем. Сформулированная и решенная задача многопрограммной стабилизации нескольких положений равновесия актуальна для конкретных моделей динамических процессов. Предложенные в работе методы реализации многопрограммных управлений (синтез к-ого приближения) позволяют применять их на практике.

Аппробация работы. По теме диссертации опубликовано 9 работ, две из которых - в изданиях, рекомендуемых Высшей аттестационной комиссией (ВАК) для публикации основных научных результатов [56, 62]. Результаты исследования докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2009-2010 гг.), «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009-2010 гг.), «Неравновесные процессы в природе» (Елец, 2009 г.), "Beam Dynamics and Optimization" (BDO'lO, Saint-Petersburg, 2010), «Устойчивость и процессы управления» (SCP'10 в честь 80-летия со дня рождения В. И. Зубова, Санкт-Петербург, 2010 г.), на ежегодном научно-методическом семинаре кафедры моделирования экономических систем СПбГУ «Сентябрьские чтения» (2009-2010 гг.).

ГЛАВА 1

МНОГОПРОГРАММНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Настоящая глава посвящена проблеме синтеза многопрограммных управлений в квазилинейных динамических системах с учетом предположения, что вектор отклонений текущего состояния системы полностью доступен для измерений. Особое внимание уделяется ква�