автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование и исследование стационарных колебательных режимов квазилинейных систем при широкополосных случайных возмущениях

ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Ф. СКОРИНЫ

УДК 621.3:681.3

"Б ОД ЖОГАЛЬ СВЕТЛАНА ИВАНОВНА

5 ДЕК 1996

МОДЕЛИРОВАНИЕ й ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПРИ ШИРОКОПОЛОСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

05.13.16—Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Гомель—1996

Работа выполнена в Гомельском государственном университете имени Ф. Скорлны.

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор

Макснмей И. В.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Молчанов А. А.,

доктор физико-математических наук, профессор Мизгайлов В. Н.

Оппонирующая организация — Институт математики HAH

Украины

Защита состоится « 1996 года в 10 часов на

заседании совета по защите диссертаций К.02.1208 при Гомельском государственном университете имени Франциска Окорины по адресу: г. Гомель, ул. .Кирова, 119, математический факультет, ауд. 3-1.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные печатью учреждения, просим направлять по адресу: 246699, г. Гомель, ул. Советская, 104, ГГУ им. Ф. Скорины, Ученому сек ретарю совета К.02.1208.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Гомельского государственного университета.

Автореферат ¡разослан «Л^" » МфФ/М^ jggg г.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций кандидат технических наук, доцент

В. А. Короткевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование влияния случайных возмущений на колебательные системы является исключительно важной и актуальной проблемой. Задачи создания генераторов с високой стабильностью частота и связанные о шили проблема создания эталонов времени, задачи сверхточного измерения промежутков времени, задачи обнаружения слабых сигналов, многие другие задачи механики, вибротехники, космической связи, радиофизики и электроники, биологии и химической кинетики приводят к необходимости исследования флукту-ацяонных явлений в колебательных системах. Теорию 'случайных колебаний можно рассматривать как продолжение и обобщение Теории, колебаний в направлении более адекватного описания . реальных явлений, когда вместо детерминированной модели изучаемого процесса берется его стохастическая модель. Стохастические модели являются более точными, а в некоторых случаях и единственными описаниями природа бесконечно сложных реальных явлений и процессов. Именно в этом заключается как теоретическая,так ^ практическая потребность развития теории случайных колебаний. I

Одной из основных задач теории случайных колебаний является нахождение вероятностных характеристик параметров колебаний сис-^ теш, их совместной функции плотности вероятностей. В том случае, когда исследуемая система может быть описана стохастическим дифференциальным уравнением типв.Ито или Стратоновича, возможно применение так называемого метода уравнений Колмогорова-Фоккерэ-Пла-. нка (КФП). Однако, так как уравнение КФП является уравнением в' частных производных второго порядка с переменными коэффициентами, то оно поддается точному .интегрированию в очень редких случаях; Если рассматриваемая система является квазилинейной, то в этом случае удается построить усредненное уравнение КФП, которое, однако, также не всегда разрешимо в квадратурах. Поэтому одними из наиболее актуальных являются следующие проблемы исследования стохастических квазилинейных колебательных систем.

Первая проблема касается поиска как точных, так и приближенных методов решения уравнений Ш1, получения условий их аналитической разрешимости.

Второй актуальной проблемой является получение новых и усовершенствование уже используемых методов и алгоритмов исследова-

ixwq Tmum*T*tfrir«VT*"v тяптач Y»r\Tmrwoiitr*v lío nt/лл m. uri vr\ norínTQ гсчтч*" onoui.

1ШЛ lU UlblUV UJlUl Ultl | li.iwmjjíumj i.VJJl'J'J'J l'^UHJIIiJJl. UUJlill

ев. Это связано с тем, что для подобных систем практически невозможно получение аналитического решения уравнения КФП.

Третьей актуальной и весьма перспективной является проблема создания различных пакетов прикладных программ (ПШ1), реализующих как численные, так,в особенности, и аналитические расчеты на ПЭВМ конкретных стохастических динамических систем.

Частичному решению этих проблем и посвящена данная работа.

Цель и задачи исследования. Целью работы является решение следующих задач:

- 'развитие метода уравнений КШ с целью получения условий их аналитической разрешимости для квазилинейных систем с одной степенью свободы;

' - -усовершенствование алгоритма применения метода статистической линеаризации на основе канонических разложений в сочетании с методом усреднения нелинейной механики для исследования квазилинейных колебательных систем с различным числом степеней свобода;

- создание библиотек процедур численного и аналитического исследования на ПЭВМ процессов, протекающих в динамических системах;

- исследование на основе полученных теоретических результатов и- разработанных программных средств моделей конкретных динамических систем. '

Научная новизна полученных результатов. . .

1. Получены достаточные условия интегрируемости усредненных уравнений КФП для стационарной плотности вероятностей амплитуды и фазы колебаний неавтономных квазилинейных систем с одной степенью свобода при наличии:

- непараметричееких случайных воздействий типа белого шума,

- тщ;окополосных флуктуация частоты колебаний,

. - 'широкополосных флуктуаций коэффициента линейного трения.

2. Полученные теоремы о достаточных условиях интегрируемости усредненных уравнений КФП обобщены на случай неавтономных квазилинейных систем с'произвольным параметрическим случайным воздействием и на'.системы с запаздыванием:

'3. О использованием полученных достаточных условий интегрируемости усредненных уравнений КФП исследована проблема взаимного влияния различных типов случайных и периодических возбуждений на колебательные процессы в автогенераторах Ван-дер-Поля.

•4. Предложен один вариант применения метода статистическо{ линеаризации на основе канонических разложений и метода усредне-

шя для исследования случайных. процессов в квазилинейных колебательных системах с различным числом степеней свобода. Полученные на основе предложенного подхода соотношения применены для определения модальных значений амплитуд и фаз стационарных колебаний в линейных и квазилинейных осцилляторах и квантовых генераторах. 5. Созданы библиотеки программных: средств, реализующих -

- аналитические расчеты на ПЭВМ стохастических квазилинейных колебательных систем методами усреднения и уравнений КФП,

- построение фазоЕых портретов динамических систем различной природа на основе использования численшх методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом влияния случайных возмущений.

Б. С помощью созданных программных средств получены и проанализированы фазовые портреты колебательных звеньев системы двух связанных генераторов Ван-дер-Поля и системы генераторов Уеда-Акамацу и Ван-дер-Поля.

Практическая значимость полученных результатов.

. 1. Сформулированные и доказанные в диссертации достаточные условия потенциальности уравнений КФП позволяют существенно расширить класс известных реальных стохастических неавтономных квазилинейных колебательных систем, для которых возможно получение решения стационарного уравнения КФП в аналитическом Биде.

2. Полученные на основе применения метода канонических разложений оценки модальных значений амплитуд и фаз колебаний позволяют проводить экспресс-анализ стохастических квазилинейных систем с различным числом степеней свобода вне зависимости от того, являются ли соответствующие уравнения КФП аналитически разрешимыми или нет.

3. Результаты, полученные при исследовании конкретных колебательных систем, представляют самостоятельный интерес и являются полезными в практических расчетах на вибрации и надежность машин, сооружений, приборов, в решении практических задач автоматики, телемеханики, теории управления, радиотехники, радиоэлектроники, радиоспектроскопии и др.

4. Разработанные библиотеки программных процедур могут найти применение в прикладных задачах качественного исследования конкретных динамических систем для получения их фазовых портретов, а также для выполнения на ПЭВМ рутинных и крайне трудоемких аналитических расчетов при исследовании стохастических квазилшвй-

ных колебательных систем методами уравнений КФП и усраднения.

Реализация результатов исследования. Исследования проводились в рамках госбюджетной тематики Гомельского государственного университета имени Франвдска Сксрины в соответствии с техническим заданием на НИР ГБЦЛ 92-10 "Разработка методологии и средств имитационного моделирования сложных кибернетических систем с программируемым интеллектом". .

Библиотека процедур численного и аналитического исследования динамических систем внедрена в учебный процесс и используется в рамках спецкурсов при подготовке студентов математического факультета Гомельского государственного университета им. Ф.Скорины.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Теорема о достаточных условиях интегрируемости усредненных уравнений КФП для стационарной плотности вероятностей амплитуд и фаз- колебаний неавтономных квазилинейных систем с одной степенью свободы при непарамегрических случайных воздействиях.

2. Теорема о достаточных условиях: интегрируемости усредненных уравнений КФП для квазилинейных колебательных систем с одной степенью свобода, подверженных внешним гармоническим и случайным параметрическим возмущениям.

3. Усовершенствованный вариант применения метода статистической линеаризации на основе канонических разложений и метода усреднения для исследования случайных процессов в квазилинейных колебательных системах как с одной, так и со многими степенями свобода, а также полученные на основе' его применения соотношения, позволяющие непосредственно получать наиболее вероятные значения амплитуд и фаз стационарных режимов колебаний подобных систем.

4. Библиотеки программных цроцедур, реализующих численное исследование на ПЭВМ фазовых портретов динамических систем и проведение компьютерных аналитических расчетов стохастических квазилинейных колебательных систем по методу усреднения и методу уравнений КФП.

5. Полученные на основе применения теоретических положения работы и созданных-программных продуктов результаты исследования конкретных динамических систем:

- автогенераторов Ван-дер-Поля, подверженных, различным типа» внешнего периодического воздействия и случайного аддитивного кт мультипликативного возмущения,

- молекулярного генератора (мазера) . с учетом тепловых шумо;

резонатора, спонтанного излучения пучка активных молекул и флук-туаций населенностей рабочих уровней селективной среда,

- системы связанных генераторов Еан-дэр-Поля и Уедэ-Акамацу.

Личный вклад соискателя.. Соискателем лично получены Есе выносимые на защиту положения диссертации. Все компоненты программного обеспечения были разработаны и созданы Лично автором или при его непосредственном участии.

Аппробация результатов диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных чтениях: международной конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - Вторые Бого-любовские чтения" (Киев, сентябрь (992); международной математической конференции "Проблемы математики и информатики" (Гомель, апрель - май 1994); международной математической конференции, посвященной памяти Ганса Гана (Черновцы, октябрь 1994); республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики Белгосуниверситета (Минск, апрель 1995); математической конференции "Еругинскиа чтения - II" (Гродно, май 1995); третьей международной конференции женщин - математиков (Воронеж, июнь 1995); международной конференции "Проблемы алгебры и кибернетики" (Гомель, сентябрь 1995); вторых Республиканских научных чтениях по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященных 75-лвтикг B.C. Богданова (Минск, декабрь 1995); пятой макгосударственной научной конференции "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (Минск, май 1996).

Опубликоввяность результатов. По материалам диссертации опубликовано 11 научных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка использованных источников и приложений. Общий объем работы с приложениями составляет 141 страницу машинописного текста, включая 14 рисунков и список использованных источников из 125 наименований на 9 страницах. Приложения составляют 22 страницы.

Диссертационная работа выполнена при частичной поддержке Международной Соросовской Программы образования в области точных наук (ISSEP) .- грант 20/а - 96.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе первой "Проблемы исследования стохастических квазилинейных колебательных систем" давтся обзор литературы по теме диссертации, проводится анализ современных подходов к исследованию стохастических колебательных процессов в динамических системах, содержится постановка задач на диссертационное исследование.

Глава вторая "Достаточные условия интегрируемости усредненных уравнений Колмогорова-Фоккера-Планка" посвящена исследованию условий аналитической разрешимости уравнений КФП для стационарной плотности вероятностей амплитуд и Фаз колебаний стохастических квазилинейных систем с одной' степенью свобода. В разделе 2.1 дано обоснование выбора в качества объекта исследований квазилинейных систем, подверженных широкополосным шумам. В разделе 2.2 исследуется вопрос аналитической разрешимости усредненных уравнений КФП, соответствующих довольно часто встречающимся в практических приложениях квазилинейным колебательным системам, подверженным различного типа периодическим воздействиям и аддитивному шуму, описываемым стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ) вида

3 к

х'+ шгХ = ВП{Х,Х) + Р8С03 (Пеш1)2е + Я^СОЭ (С^ШГ )Хк + в-О к-1

4 /еа'ш) , (1)

где 7х(х,х) - дифференцируемая функция своих аргументов, Р , Ял, ог, ш. - положительные постоянные, - белый шум едини-

чной интенсивности, е>0 - малый параметр.

Класс систем вида (1), для которых выполняются достаточные условия аналитической интегрируемости соответствующих усредненных уравнений КФП может быть определен с помощью следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть дм системы (1) выполняются условия 8

- |а М |масоэ1р,-ашэ1пф)соз(1^| = 0 , (2)

За

0в * а (2п - 1), п = 1, 2,...,[ 8- ], (3)

г 8 г 3

где ~ ] ~ Целая часть числа - . ,

Тогва соответствующее усредненное уравнение КФП будет удовлетворять условию потенциальности и, следовательно, его решение ложет

Сть найдено в квадратурах.

В разделах 2,3 и 2.4 доказываются аналогичные теоремы для систем, подверженных параметрическим, флуктуациям частоты колебаний и коэффициента линейного трения (затухания) соответственно.' В разделе 2.5 эти результаты обобщони на случай неавтономных квазилинейных систем с произвольным параметрическим случайным воздействием следующей теоремой. •

Теореиа 2; Пусть для систеяи, описываелой обнил из следущи.г СДУ Ито:

3 к

х f ь£т = еЫх,х) + е^Г РдСозфдШИ.т® + е^Г ^соз^шПх* +

Г- Г ГрЛ*. (4)

+ г ео^I х ,

1 = 1, 2,—, Б; р - О, 1,..., Р,

выполнятся следующие условия:

1) — |а М^(асоаф,-аоз1пф)созф| | = О ; (5)

2) для параметров внешних гарлоничеаии.с воздействий О выполнят-

ся лишь те из резонансных соотношений

П_ = з - 2п ч- 1, п = 0, 1.....[§], Уз = 0, 1.....Я, (6)

которые удовлетворяет следущил условия*

г з1еп()р+1)

а. = (а + 1)(з - 21 1)(21 + 1.) (7)

3) для паралетра в внешних гарлоничесшг в содействий при р -' четшюл не выполняется ни одно из резонансных соотношений

= Й - гп + 1, п = О, 1.....[|], (8)

при р - нечетко* резонансные соотношения (8} выполняются лишь для й = 21.

ТогЗа соответствующее сиспело (4) усредненное уравнение КФП удовлетворяет условию потенциальности, и, следовательно, июпегриру-эло в квадратурах.

Результаты теоремы 2 обобщены также и на системы с запазды-зэнием, применяемые достаточно широко в различных областях науки 1 техники.

В главе третьей на основе теоретических результатов предыдущей главы проводится исследование взаимного' влияния случайных и периодических воздействий на квазилинейные колебательные системы, удовлетворяющие соответствующим теоремам 1 и 2 о достаточных условиях потенциальности усредненных уравнений КФП.

В разделе 3.1 для систем с аддитивными шумами (1) получен общий вид решения усредненного уравнения КФП для функции плотности вероятностей ЙЧа.б) амплитуда а и фазы 9 стационарных колебаний. На основе этого результата исследована неавтономная система Ван-дер-Поля:

х + ч>гх = - рд^-г + а.Рсози£ +£Асоз(2с^)г + /~ео£(П. (9)

Показано, в частности, что при Р = 0 наиболее вероятное значение' амплитуды стационарных колебаний удовлетворяет следующему соотношению:

. 2ш ( 4шг 2ог

от =

2Я + Рш 1(2Л + (Эш)г и(2Д + ры)

(Ю)

Из (10) видно, что при параметрах й и о2, удовлетворяющих условию . „ _

й --. (11)

16ш

в системе будут поддерживаться колебания с амплитудой, соответствующей детерминированному случаю: а0 = 2/р1/г . Таким образом, в системе (9) возможно гашение отрицательного влияния аддитивных шумов за счет соответствующего выбора параметров стабилизирующего гармонического воздействия.

В разделе 3.2 проведено исследование неавтономных квазилинейных систем, подверженных флуктуациям частоты колебаний. Для подобных систем с одной степенью свободы, удовлетворяющих условиям теоремы 2, получен вид функции плотности вероятностей амплитуды и фазы стационарных колебаний. Проведет исследование конкретных неавтономных систем Ван-дер-Поля с флуктуациями частоты колебаний и получены условия гашения воздействия этих флуктуаций на основе соответствующего выбора коэффициента линейного трения в системе.

Раздел 3.3 поевшей исследованию квазилинейных колебательных систем вида (4), подверженных флуктуациям коэффициента линейного трония (затухания). Рассмотрена конкретная система

х + и)гх - s|a - + sft^coa3uii + s^cosut +

* (12) t R2COB3wt)3r + /S0X£(t) ,

для которой определена совместная плотность вероятностей амплитуды а и фазы 9 стационарных, колебаний:

ва~5сг

п г Г Р р 2Rt

W(a,9) = Са ехр J--га2--гзШЗО -

(. Зсг Зйхг

(13)

Ы31пв шз!п39 1

-Я—а + Я—• 1 сг " За'1 J

Показано, что, например, при й = 0 в системе возможна взаимоко-. мпенсация периодических воздействий, а при. -выборе коэффициента линейного трения а таким, чтобы a = 5сг/8 + 1, при проведении экспериментов можно добиться поддержания в системе колебаний.протекающих в детерминированной неавтономной системе Ван-дер-Поля:

т. + ь?х - - pi^Jx + EP^cos3wt + RgCoaSuti2. (14)

Несмотря на то, что метод марковских диффузионных процессов является одним из основных нелокальных методов исследования стохастических динамических систем, его применение . наталкивается на значительные трудности, связанные с получением решений уравнений КФП в аналитическом виде. Для реальных систем, с несколькими степенями свободы эта задача практически неразрешима в подавляющем ' большинстве случаев.

В связи с этим в главе четвертой предложена методика использования метода канонических разложений В.С.Пугачева для исследования стохастических систем с различным числом степеней свободы и аддитивным шумом. Раздал 4.1 посвящен анализу влияния запаздывания в цепи обратной связи и внешнего периодического воздействия на интенсивность шумов в генераторе Ван-дер-Поля

x(t) + u/\r(f) = sail - +

■ (15)

+ Рс 031't + S7£(0.

где a, p, P. 7 - некоторые постоянные, u - собственная частота генератора, v - частота внешнего периодического воздействия, Л -

запаздывание в цепи обратной связи генератора, е - малый положительный параметр, Ê(f) - стационарный низкочастотный случайный процесс. На основе использования спектрального представления^процесса £{t), канонического разложения исследуемого случайного процесса x{t) и метода усреднения получена приближенная оценка дисперсии D процесса x{t). Из анализа полученного результата следует, что при А < т/ми А < тс/г1 (очевидно, что в этом случае будет выполняться и соотношение Л < тс/1'jJ запаздывание обратной связи генератора приводит к уменьшению интенсивности шумов. Этому в значительной степени будет также способствовать и генерирование внешнего периодического воздействия, особенно с частотой в области основного резонанса. Если конкретная исследуемая система удовлетворяет требованию низкочастотности стационарных широкополосных шумов, то, применяя к ее математической модели данный вариант метода статистической линеаризации на основе канонических разложений и процедуры усреднения, можно получить приближенные соотношения, позволяющие проводить качественный анализ процессов, протекающих в системе. Особенно эффективно применение этого метода при изучении проблемы снижения уровня шумов.

В разделе 4.2 приводится вариант применения "етода канонических разложений в сбчетэшш с методом усреднения, позволяющий при нахождении оценок математических ожиданий амплитуд и фаз колебаний учесть эффект влияния аддитивных широкополосных вумов в системах с одной степенью свобода вида:

Ht) + utx(t) = ef(t,x,x) + /lalit), (16)

где £;(t) - гвуссовский белый шум единичной интенсивности. '

Используя спектральное представление белого шума - 00

un = y, [v°sv+ üfcsimy}' (17)

А=0

(некоррелированные между собой случайные величины Vfc и JJk имеют нулевые математические ожидания и дисперсии D ) и канонические разложения амплитуда a(t) и фазы 9(t) колебаний

со со

a(t) = ma(t) + £ Vb=(t)> 0(t) = me(i) + Y, VA(tK (18: fe=0 fe=0

получены соотношения для оценок математических ожиданий та и т{ амплитуда и фазы стационарных колебаний. При применении этих ссо-

тношений ¿с конкретным, исследованным в главе третьей методом уравнений КФП, колебательным системам оказалось, что оценки математических ожиданий совладают с наиболее вероятными значениями амплитуд и фаз стационарных колебаний. В связи с этим результатом в разделе 4.2 сформулировано соответствующее утверждение, доказан-: ное для систем, усредненные стационарные уравнения КФП которых аналитически разрешима.

В разделе 4.3 подхода, изложенные в предыдущем разделе, распространены на случай систем со многими степенями свободы. Получены соотношения •

-.2

afef [4(t'ai'a2.....ап'в1'е2'-"'9п^1П^] =

И [/j.(t,a, ,cl,.....qnfel,ez,...,ea)cop(|jJ = О ,

ч

■(19)

( ft = 1, 2,..., п ) ,

позволяющие находить оценки наиболее вероятных значений амплитуд ак и фаз 6fe стационарных колебаний систем, описываемых СДУ:

, dr. dr_ dr ,

в „ i \ г n 1

-— + U%X= 5/. t,X. , - , ......+

dt2 n dt dt aft j

f /eobE„(t), I ft = 1, 2,..., n- ) , <20)

где £j,(£> - некоррелированные между собой стационарные широкополосные процессы единичной интенсивности.

В разделе 4.4 на основе результатов раздела 4.3 исследован стационарный режим колебаний молекулярного генеротора с учетом, тепловых шумов резонатора, спонтанного излучения пучка молекул и фпуктуаций числа активных молекул' в пучке:

агЕ ' , Ш1 6Е- йгР г*

—5- + и£Е = цйЕ----4т —+ У ш, Е, {t),

dt2 г 2 Q, dt . dtz 11

? р d Р , 2 dP i -— + w?F -----2w_- KE + /

dtz г t dt 2 h 2 ***

cm 2 dP 1 1

E - - IU-Lt /прЛ-it) .

dt heA, dt t t 0 33

С

где E(t) - электрическая компонента электромагнитного поля резонатора, - добротность резонатора, Pit) ~ поляризация в пучке активных молекул, усредненная по скоростям частиц и по времени пролета частиц через резонатор; х - среднее время пролета активной частицы через резонатор, ю, - собственная частота резонатора, и2 - частота перехода между рабочими уровнями частиц, ц. - матричный элемент дипольного момента частицы, ft - постоянная Планка; N(t) - разность населенностей верхнего и нижнего уровней в активной среде, усредненная по времени пролета частиц, KQ - уровень накачки активной среды, е>0, т]>0, т) « ег-малые положительные параметры, члены о,!, (t), og$g(t), о353(i) характеризуют наличие в квантовом генераторе теплового шума резонатора, спонтанного излучения пучка молекул и флуктуаций числа активных молекул в пучке.

На основе (19) при нулевой расстройке 7 между частотой электрического поля и частотой переходов молекул с уровня на • уровень (ш( = ыг = ш) для наиболее вероятных значений амплитуды а и фазы е колебаний электрического поля резонатора, амплитуды b и фазы •б колебаний поляризации пучка активных молекул, разности населенностей рабочих уровней пучкя Л получены следующие уравнения:

= гта/аЬ ,

' г . (22) №

= u - Nab ,

W аг - 80?

щ 4ы

ы

Ъ2 -

t

Я - Яп - - аЬ .

0 й

Получение, аналитического решения системы (22) достаточно трудоемкого оценки характеристик колебаний очень громоздки, поэтому соотношения (22) могут'сыть с.большим успехом применены при численных расчетах конкретных квантовых генераторов.

Система (22) позволяет находить наиболее вероятные значения таких "выходных"' характеристик установившегося колебательного процесса в молекулярном генераторе как амплитуда электрического поля резонатора E(t) и поляризации пучка молекул Р(П.

Показано, что тепловые шумы резонатора приводят к возрастанию имлитуды электрического шля генератора, аналогичное влияние оказывает и спонтанное излучение молекул активной среда на ампли-

туду b поляризации P(t).

Глава пятая "Программное обеспечение автоматизации численно-аналитических исследований динамических систем" посвящена описанию созданных библиотек программных процедур. В разделе 5.1 опи-' сывается библиотека аналитических расчетов стохастических квазилинейных колебательных систем методами усреднения и уравнений КФП. Данная библиотека включает в себя процедуры:

- задания моделей колебательных систем;

- выбора необходимых подстановок и выписывания преобразованных исходных моделей о учетом этих подстановок;

- синтаксического анализа формульных, выражений и проведения алгебраически и тригонометрических преобразований;

- конструирования соответствующих исходной системе СДУ первого порядка для амплитуд и фаз колебаний и уравнений КФП;

- расчета усредненных СДУ для'амплитуд и фаз колебаний и усредненных уравнений КФП.

При работе с данной библиотекой аналитических расчетов от пользователя не требуется знание основ программирования или умение свободно работать с ПЭВМ.Пользователь участвует лишь в процедуре выписывания исходной модели, далее происходит автоматизированный аналитический расчет модели в соответствии с методикой .применения методов усреднения и уравнений КФП.

Описанная вше библиотека процедур аналитического исследования стохастических колебательных систем была аппробирована на конкретных задачах из глав 3 и 4.

Раздел 5.2 посвящен краткому изложению такого широко применяемого метода качественного анализа динамических систем, как метод фазовой плоскости. В разделе 5.3 приводится структура библиотеки программных процедур построения фазовых портретов детерминированных и стохастических динамических систем. Данная библиотека включает в себя процедуры:

- задания моделей динамически систем в виде детерминированных или стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений;

- генерирования равномерно распределенных и нормально распре-деленнних случайных ^воздействий;

- расчета моделей численными методами; .

- построения фазовых траекторий и сечений Пуанкаре систем.

В раздело 5.3 описаны также модификации методов Эйлера и Рунге-Кутта применительно к СДУ. В этом же раздел« приводятся результа-

ты аппробации библиотеки численных расчетов фазовых портретов для известных систем Ханона-Хейлеса и Лоренца, а также приводятся результаты исследования регулярных и хаотических режимов в системах связанных генераторов Ван-дер-Поля и Уеда-Акамацу.В частности показано, что при е = 0.00001, fe, =.fcg = 10, b = 1, ш = 1 хаотический режим осциллятора Уеда-Акамацу в система

jr + дг3 = еП - з?\х + bcosui + к у ,

(23)

У 4 у = 8^1 »• yZjji + bCOSUi + .

будет сменен регулярным периодическим режимом за счет воздействия на него осциллятора Ван-дер-Поля.

В приложении 1 приводятся определения случайных процессов и различных их классов: гауссовских процессов, стационарных процессов, марковских процессов, виноровских процессов и процессов типа белого шума. Вводятся также понятия корреляционной функции, канонического разложения случайного процесса, спектральной плотности стационарного процесса, стохастических интегралов йто и Стрзтоно-вича, стохастического дифференциального уравнения и уравнения Колмогорова -Фоккера-Планка для функции плотности вероятностей диффузионного марковского процесса. Излагаются также широко используемые в исследованиях стохастических квазилинейных систем методы усреднения и уравнений КФП.Приложение 2 содержит документы о внедрении результатов работы.

ВЫВОДЫ

В диссертационной работе получены следующие результаты.'

1. Доказаны теоремы о потенциальности усредненных уравнений Колмогорова-Фоккера-Плэнкз, соотЕетствугадах одному достаточно широкому. классу неавтономных квазилинейных колебательных систем, подвержешшх различного типа периодическим воздействиям и случайным аддитивным или мультипликативным возмущениям типа белого шума. Данные теорема позволяют непосредственно по математической модели колебательной системы делать вывод об аналитической разрешимости соответствующих уравнений КФП, что позволяет в случае активного эксперимента не только сравнивать натурные данные с рассчитанными по модели, но и априори выбирать управляющие воздействия, удовлетворяющие требованию интегрируемости уравнений КФП.

2. На основе полученных теоретических результатов, каоающих-

ся аналитической разрешимости уравнений КФП, исследовано взаимное влияние различного типа периодических воздействий и случайных аддитивных либо мультипликативных возмущений на колебательные процессы, протекающие в конкретных динамических системах. Получены условия гашения отрицательного влияния флуктуаций за счет соответствующего выбора параметров внешних периодических воздействий и. коэффициентов линейного трения (затухания).в различных неавтономных генераторах Ван-дер-Поля.

3. Предложен один вариант применения метода канонических разложений В.С.Пугачева для исследования стохастических квазилинейных колебательных систем со многими степенями свободы и аддитивными широкополосными шумами.

4-. Получены соотношения для-определения наиболее вероятных значений амплитуд и фаз стационарных колебательных режимов в системах с различным числом степеней свобода. На осноев этих соотношений получены наиболее вероятные значения змплитуд электрического поля резонатора и поляризации пучка молекул в молекулярном генераторе с учетом тепловых шумов резонатора и спЬнтанного излучения пучка активных молекул.

5. Созданы библиотеки программных средств,реализующих на ЭВМ

- аналитические расчеты стохастических квазилинейных колебательных систем методам усреднения и уравнений КФП;

- построение фазовых портретов- динамических систем различных классов на основе .численных методов решения как детерминированных, так и стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений.

6. Получены фазорне портреты систем связанных осцилляторов Ван-дер-Поля и Уедз-Акамацу, позволяющие определять условия гашения отрицательного влияния как флуктузциошшх явлений, так и явлений детерминированного хаоса.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ П0 ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. йогах ъ С.И., Хогаль С. П. Воз действие стационарных, шумов на некоторые колебательные системы с запаздыванием //Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - Вторые Боголюбовсюга чтения: Тез. докл. конф.- Киев, 1992. - С. 69.

2. Хогаль СЛ. Достаточное условие интегрируемости уравнений Колмогоровв-Фоккера-Штнка для неавтономных квазилинейных систем // Проблемы математики и информатики: Тез. докл. конф. - Ч.

Гомель, 1994.- 0 . 93

3. Жагалъ С.к., Жогаль С.П. О потенциальности уравнений Кол-могорова-Фоккера-Планка для квазилинейных систем с параметрическим случайным воздействием // Проблемы математики и информатики: Тез. докл. конф.-4.1.- Гомель, 1994.- G. 94.

4. Яогалъ С.И. Достаточное условие интегрируемости уравнений Коладогорова-Фоккера-Шганка для неавтономных квазилинейных .систем с непараметрическим случайным воздействием У/ Вестн. Белорусского гос. университета. Сер. 1,- 1995.- » 1.- 0. 62-66.

Б. Жагалъ С.И. Применение метода канонических разложений для исследования стохастических квазилинейных колебательных систем // Шкнародна метем. конференЩя, присвячена пам'ят1 Ганса Гана: Те-зи догов1дей.- Черновцы, 1994.- С. 50.

6. Хогалъ С.И. Об интегрируемости усредненных уравнений Кол-могорова-Фоккера-Планка для стохастических неавтономных квазилинейных систем с запаздыванием /У Еругинские чтения - II: Тез. докладов «овф,- Гродно, 1995.- О. 49.

7. Яогонь С.И. О характеристических показателях Ляпунова одного класса стохастических систем с запаздыванием //III Меадунвр. конф. женщин-математиков: Тез. докл. конф.- Воронеж, 1995.- G.100.

8. Жогаль С.И. О некоторых моделях сложных стохастических систем // Материала швдуяар. конференции "Проблемы алгебры и кибернетики", посвященной памяти акад. O.A. Чунихина: В 2 Ч. - Гомель, 1995.- Ч. Я.- О/ 36-38.

9. Хогалъ С.И. Применение методов усреднения и канонических разложений при исследовании случайных процессов в системах связанных осцилляторов // Вторые республиканские научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 76-летшо Ю.О.Богданова: Тез. докл. конф.- Минск, 1995.- С. 35.

10. Хогсиъ С.И., Еогсць С.П. Численное моделирование процессов динамического хаоса в системах связанных осцилляторов // Актуальные проблемы' математики: математическое, программное и информационное обеспечение: Материалы V мажгосуд. научн. кой». -Минск', 1S96. - С. 254.

11. Zhogal S.l. The Investigation of noises influence In complicated. oscillating systems by method of cannonical representations // Материалы мездунар. конференции "Проблемы алгебрй и кибернетики", посвященной памяти акад. С.А.Чунишш: В 2 Ч.- Гомель, 1995,- Ч. 2.- 0. 39.

17 РЕЗЮМЕ

ЖОГАЛЬ СВЕТЛАНА ИВАНОВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ КВАЗИЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ ПРИ ШИРОКОПОЛОСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

Динамические системы, квазилинейные системы, случайные колебания, широкополосные шумы, стохастические дифференциальные уравнения, уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка, фазовые траектории систем, сечения Пуанкаре, аналитические расчеты на ПЭВМ, численные метода.

Целью диссертации является разработка методов и средств исследования квазилинейных колебательных систем, подверженных широкополосным шумам. Используемые методы базируются на известных подходах исследования случайных колебательных систем, таких как метод усреднения нелинейной механики, метод уравнений Колмогорова-Фоккера-Планка (КФП), метод канонических разложений В.С.Пугачева. Получены достаточные условия потенциальности усредненных уравнений КФП для плотности вероятностей амплитуд и фаз стационарных колэбаний неавтономных систем с одной степенью свободы, подверженных случайным аддитивным или мультипликативным шумам. Получены условия гашения отрицательного влияния фл/ктуаций за счет соответствующего выбора параметров периодического воздействия и коэффициента линейного затухания в конкретных колебательных системах. С использованием предложенного варианта метода канонических разложений получены соотношения для определения модальных значений амплитуд и фаз стационарных колебаний в системах с различным . 'шелом степеней свободы. Созданы библиотеки программных процедур, реализующих на ПЭВМ:аналитические расчеты стохастических квазилинейных колебательных систем методами усреднения и уравнений КФП; построение фазовых траекторий и сечений Пуанкаре динамических систем на основе численных методов решения как детерминированных, так и стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученные теоретические результаты, разработанные библиотеки программных процедур, результаты исследования конкретных систем рекомендуются к использованию в теоретических и практических расчетах на вибрации и надежность машин и сооружений, при проектировании, создании и испытании высокостабилышх и помехоустойчивых радиотехнических и радиоэлектронных приборов.

РЭЗЮМЕ ХОГАЛЬ СВЯТЛАНА 1ВАНАУНА

МАДЭЛЯВАШЕ I ДАСЛЕДВАННЕ СТАЩЯНАРНЫХ ВАГАЛЬНЫХ РЭНЫМАУ КВА31Л1НШШ CICT3M ПРЫ ШЫР0КА1ШЮСНЫХ СТАХАСТЫЧНЬИ АДХШЗШЯХ

. Дынам1чныя cioTSMH, квеаШнейныя cIctömh, выпадковыя ваган-н1, шырокапалоснця шума, стахастычныя доферэнцыяльныя раунанн1, раунанн1 Калыагорава-Фоккера-Планна, фазавыя траекторы1 cíctsm, сечыва Пузнкарэ, вяал1гачныя разл!к1 на ПЭВМ, л1кавыя метады.

, Ыэтай дасертацы1 з ' яуляэцца распрацоука метадау 1 сродкау даследвання кваз1л1нэйных вагальных с!стам, на як1я ушшваюць шырокапалосшя шумы. Выкарыстоуваемыя мэтеда грунтуюцца на вядомнх падыходах даследвання выпадковых вагальных cíctsm, так!х як метад усярэдн1вання нел1нейнай механ1к1, метад раунанняу Калмагорава-Фоюсера-Планка (КФП), метад канан1чных раскладанняу У.С.Пугачова. Атрыманы дастатковыя умовы патэнцняльнвсЩ усярэдненых раунанняу КФП для шчыльнасц! 1мав'ернасцей ампл1туд i фаз стацыянарных вага-нняу неаутвномных cíctsm з адной ступеняй свабоды, на як1я уплы-ваадь выпадковыя адатыуныя або мультыпл1натыушя шумы. Атрыманы умовы гашэння адаоунага уплыву флуктуэцнй пры дапамозе адпаведаа-га выбару параметра у шрнядычнага уздзвяння i каэф1цыенга л1ней-. нага трэння у канкрзтных вагальных с1стэмах.,3 вакарыстаннем пра-панаванага варыянта-метада канан1чных раскладанняу атрыманы суда-чыненя! для азначэння мадальных значзнняу амшйтуд 1 фаз стационарных ваганняу у сЮтэмах з розным л!кам ступеняу свабоды. Ство-раны б1бл1ятэк! праграмных сродкау,рэал1зуючыя на ПЭВМ: анал1тыч-ныя рвзл1к! стахастичных вагальных cíctsm мвтадам! усярэдн1вання i раунанняу КФП; пабудову фвзавых траекторий i свчывау Пуанкаре дцнам1чных с1стэм пры дапамозе л!кавых метэдау рашэння як дэтзр-м1наваных,так i стахастычных авычайных даферэнцыяльных раунвшяу. Атрыманыя тэарэтычныя biihIkí, распрацаваныя б1бл!ятэк1 праграмных сродкау, bhhIkI даследвання канкрэтннх с!стэм рэкамендуюода да скарыстання у тэарэтыч1мх i практичных раал1ках на в1брацы! i трываласць машын i збудаванняу, прыпраэктаванн!, пабудове i ic-пнтах высокастаб1льшх i перашкодаустойл1вых радавтэхн'чшх 1 ра-радаеэлектронных прнборау.

NUMMARY ZHOGAL SVETLAHA WAIIOWA

MODELLING Aim INVESTIGATION OP STATIONARY OSCILLATING BEHAVIORS FOR QtlASILINEAR SYSTEMS WITH WIDE-BAND RANDOM DISTURBANCES

Dinamical systems, quaailinear systems, random oscillations,, wide-band noises, stochastic differential equations, Kolmogoruv-Pokker-Planck equations, system's phase trajectories, Poincare sections, computer's analytic calculations, numerical methods

The purpose of this dissertation is development , of methods and tools for investigation of quaailinear oscillating systems which open to wide-band noises. Used.methods are based on v»ell-taovm approachs for investigation of stochastic oscillating systems: such as averaging method of nonlinear mechanics,as Kolmogo-rov-FoMter-Planck (KFP) equations's method, as cannonical resolu-. tion's method. Sufficient conditions of potentlallyty of KFP equationa for probability density of amplitudes and phases of stationary oscillations for nonautonomous systems with one degree of freedom and random addlti7e or multiplicative noises are obtained. The conditions for extinguishing of negative influence of fluctuations by means of sampling for external periodical effect's parameters or linear damping factor in particular oscillating systems are derived. Conditions for modal values of amplitudes and phases of stationary oscillations in systems with different degrees of freedom have been obtained on the base of proposeled variant of cannonical resolution's method. Program libraries for: analytic calculations of stochastic quasilinear oscillating systems by averaging method and KFP equatlons's method; construction of phase trajectories and Poincare sections for dinamical systems by numerical methods for solving determined .and stochastic ordinary differential equations are created. Obtained theoretical results, developed program libraries, results of investigations for particular systems are recommended for utilization in theoretical and practical estimates of vibrations and reliability for machines and structures, in projection, creation and test of high-stable and noise-resistant radio engineering and radio electronic devices. —