автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Качественный анализ движений дискретных динамических систем

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

НГУЕН Динь Хуен

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005532341

2 9 АВГ 2013

Санкт-Петербург 2013

005532341

Работа выполнена на кафедре управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Пстсрбургского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Александров Александр Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор Версией Евгений Игоревич (СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ, г. Санкт-Петербург)

кандидат технических наук, доцент Шамбсров Владимир Николаевич (СПбГМТУ, г. Санкт-Петербург)

Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева (г. Саранск)

Защита состоится « 25 » сентября 2013 1'. в 1300 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 35, факультет прикладной матсматики-процсссов управления Санкт-Петербургского университета, ауд. 327(3ал Ученого Совета).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru

Автореферат разослан __» 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Г. И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Разностные системы широко применяются для описания динамических систем. Они являются основным математическим аппаратом при изучении управляемых систем с дискретными регуляторами и нелинейных импульсных систем, они используются в теории нелинейных колебаний (преобразование Пуанкаре) и при численном интегрировании дифференциальных уравнений.

Одно из направлений исследований, возникающих в указанных приложениях разностных уравнений, связано с анализом устойчивости их решений, Основным методом анализа устойчивости нелинейных разностных систем является прямой метод Ляпунова. Главная трудность, возникающая при применении этого метода, заключается в проблеме нахождения функций Ляпунова. К сожалению, общих способов их построения не существует.

В исследовании устойчивости нелинейных дискретных систем существенные результаты были достигнуты в трудах А. Халанай, Д. Векслер, М, А. Скалкиной, В. И. Зубова, А. А. Мартынюка, А. И. Климушева и многих других ученых. В работах А. Ю. Александрова и А. П. Жабко были доказаны теоремы об устойчивости однородных разностных систем, установлены условия устойчивости по нелинейному приближению и т. д.

Теория управления является одним из важнейших разделов современной науки. Она используется во всех процессах, допускающих внешнее воздействие со строны человека. В большинстве практических задач управления в силу присутствия возмущений, помимо обеспечения наперед заданной динамики решения системы, требуется решение задачи стабилизации программного движения. Следует заметить, что задача стабилизации тесно смыкается с общей задачей об устойчивости движения и является дальнейшим развитием проблемы устойчивости в приложении к теории управляемых систем.

При исследовании различных биологических, физических и технических моделей необходимо рассматривать сложные системы разностных уравнений. Основными особенностями таких систем являются высокая размерность, большое количество параметров и существенно нелинейный характер уравнений, разнообразие системных связей.

При управлении различными реальными системами в широком классе случаев требуется не только стабилизировать заданные программные режимы, но и обеспечить ограниченность движений исследуемых систем.

На практике часто встречаются системы, у которых из-за диссипации (рассеяния энергии) каждое движение по истечении достаточно большого промежутка времени попадает в некоторую ограниченную область и остается в ней при дальнейшем возрастании времени. Такие системы называют диссипативными. Особый интерес представляет случай, когда диссипатив-

ность является равномерной по отношению к начальным данным.

При анализе диссипативности дифференциальных систем широко применяется прямой метод Ляпунова. Значимые результаты представлены в трудах Т. Йошизавы, Б. П. Демидовича, В. И. Зубова и ряда других авторов. В дальнейшем способы исследования диссипативности непрерывных систем были распространены на системы разностных уравнений. Известен дискретный аналог теоремы Т. Йошизавы о равномерной диссипативности нелинейных систем. Стоит отметить, что условия равномерной диссипативности изучены только для некоторых специальных классов дискретных систем. Исследования в этом направлении представляют интерес для развития качественной теории разностных уравнений и имеют широкое практическое применение.

Одной из важных задач качественной теории дифференциальных и разностных уравнений является определение условий существования и устойчивости вынужденных почти периодических колебаний, возникающих в нелинейных системах под действием внешних возмущений. С практической точки зрения, особый интерес представляет ситуация, когда указанные колебания асимптотически устойчивы в целом. Такое явление называют конвергенцией.

В. И. Зубовым была доказана теорема об условиях почти периодической конвергенции для систем дифференциальных уравнений. Эти условия формулировались в терминах существования функций Ляпунова, обладающих определенными свойствами. С помощью данной теоремы была доказана конвергентность некоторых классов нелинейных систем. В то же время следует заметить, что до сих пор не существует общих конструктивных способов построения функций Ляпунова, удовлетворяющих требованиям теоремы Зубова. В работе Н. А. Атаевой теорема В. И. Зубова распространена на системы разностных уравнений.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию задач устойчивости, диссипативности, конвергенции и стабилизации нелинейных разностных систем.

Целью диссертационной работы является системный анализ нелинейных разностных систем, нахождение условий их асимптотической устойчивости, конвергенции и равномерной диссипативности, а также условий существования управлений, стабилизирующих заданные программные движения.

Методы исследования. В работе используются методы теории управления, теории устойчивости, теории разностных уравнений. Основным аппаратом исследования является прямой метод Ляпунова.

Результаты, выносимые на защиту.

• условия асимптотической устойчивости решений многосвязных си-

стем разностных уравнений по нелинейному приближению;

• достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных разностных систем;

• новые условия существования управлений, стабилизирующих программные движения дискретных динамических систем;

• условия конвергенции одного класса нелинейных разностных систем;

• условия абсолютной устойчивости, диссипативности и конвергенции дискретных моделей популяционной динамики.

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту и перечисленные выше, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа, в основном, носит теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы вносят вклад в развитие качественной теории разностных систем. Результаты работы могут быть использованы при анализе асимптотической устойчивости, равномерной диссипативности и конвергенции дискретных моделей, используемых в прикладных задачах, а также при проектировании и разработке управляемых систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях "Процессы управления и устойчивость "(Санкт-Петербург, 2008-2011, 2013 гг.), на семинарах кафедры управления медико-биологическими системами.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 работ, одна из которых [1] в журнале, рекомендованном ВАК РФ для публикации основных научных результатов. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы. Объем диссертации составляет 92 страницы машинописного текста. Список литературы включает 63 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы, сформулирована цель исследования, показана научная но-визина полученных результатов и проведен обзор рукописи по главам и параграфам.

Первая глава посвящена изучению условий устойчивости решений сложных (многосвязных) разностных систем по нелинейному приближению. Первый параграф настоящей главы является вспомогательным, в нем приведены некоторые определения и теоремы дискретного аналога второго метода Ляпунова, а также известные теоремы об устойчивости по нелинейному приближению, используемые в диссертационной работе.

В § 2 исследована система вида

п

У<(Л + 1) = уДА) + ЛР<(у^)) + А]^Ву(А:)д,-(у,-(Л))) »= 1.....п, (1)

¿=1

где /г — шаг дискретизации (Н > 0); векторы у {(к) £ Ет->, у (к) = (у 1(к),..., у*(/с))*; элементы векторов ГДг.) — непрерывно дифференцируемые при € Ет> однородные функции порядка ^ > 1; В^(к) — заданные и огранниченные при к = 0,1,... матрицы, а элементы векторов (^■(г;.,-) — непрерывно дифференцирумые при г] € Ет> однородные функции порядка а^ > 1\ i, j = 1,..., п.

Пусть нулевые решения изолированных систем дифференциальных уравнений

= г = 1,..., п, (2)

асимптотически устойчивы.

А. Ю. Александровым и А. П. Жабко исследовались условия устойчивости нулевого решения сложной системы (1) по нелинейному приближению. Было показано, что для асимптотической устойчивости нулевого решения достаточно чтобы существовали положительные числа71,... ,7„, удовлетворяющие неравенствам

-^ + ^>0, = 1.....п. (3)

7> Ъ

Цель данного параграфа — показать, что если матрицы В^(к), г, ] — 1,...,п, удовлетворяют некоторым дополнительным ограничениям, то условие (3) на параметры щ и а; можно ослабить.

В работе доказана теорема

Теорема 1. Пусть матрицы Фу(0) = 0, Ф^{к + 1) = +

Вц(к), г, j = 1,..., п, ограничен при к = 0,1,.... Тогда, если существуют, положительные числа 71,..., 7П такие, что

_М1±1+а2 + о£>0!

7.' Ъ Ъ

+ (4)

И Ъ

^ + + о, 7г Ъ Ъ

где г, ],р, 5 = 1,... ,п, то при любом шаге дискретизации Л нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Замечание 1. Показано, что если постоянные 7Ь ..., 7„ удовлетворяют неравенствам (4), то неравенства (3), для них также будут выполнены.

Тем самым, доказанная теорема задает более широкое множество значений параметров fj.j и aj, для которых можно гарантировать асимптотическую устойчивость нулевого решения сложной системы.

Следствие 1. Пусть ¡ij = ctj, j = 1 ,...,п. Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Замечание 2. Следствие 1 утверждает, что для нестационарных связей рассматриваемого вида асимптотическая устойчивость имеет место и в случае, когда порядки однородности функций, входящих в правые части изолированных подсистем

у ¡{k + 1) = у ¿к) + hFi{yi{k)), i = 1,..., n,

совпадают с порядками однородности функций, описывающих связи между подсистемами.

В работе рассмотрен случай, когда система (1) описывает взаимодействие двух подсистем

У1 (* + 1) = yi(*0 + AFi(yi(fc)) + /iB1(fc)Q1(y2(fc)), У 2(* + 1) = У 2(к) + AF2(y2(*)) + ABa(fc)Q2(yi(fc)). 1 '

Здесь к = 0,1,...; векторы yj (к) е Em>, у2(к) е Е7™2, у (к) = (у1{к),У2(к))*', элементы векторов Fi(zi), F2(z2) — непрерывно дифференцируемые при G Emi, z2 G Е™2 однородные функции порядка ¡i\ > 1 и [i2 > 1 соответственно; элементы векторов Qi(z2), Q2(zj) — непрерывно дифференцируемые при Zi € Emi, z2 € Е"12 однородные функции порядка а\ > 1 и а2 > 1 соответственно; матрицы Bi(fc) и В2(&) ограничены при к = 0,1,...; h — шаг дискретизации (h > 0).

Доказано, что если нулевые решения соответствующих систем дифференциальных уравнений щ = Fj(z,), г = 1,2, асимптотически устойчивы, а матрицы Ф<(0) = 0, <&t(k + 1) = Ф4 (к) + В ¡(к), г = 1,2, ограничены при к = 0,1,..., то для асимптотической устойчивости нулевого решения сложной системы (5) достаточно, чтобы выпонялось неравенство e\S2 < 1, где

Г H2 + 1 № М2 - Oil \

ei = max < —-, -—-, -- f ,

(_ 2а2 а2 - 1 + щ а2 - 1 J

f/zi + 1 /и 1Ч~а2\ е2 = max < —-, -—-, -- } .

I 2ai ai — l + n2 £*i - 1 J

Далее рассмотрены системы вида (1) со специальными структурами связей и показано, что для таких систем условия устойчивости, сформулированные в теореме 1, можно получить в более конкретном виде.

В § 3 исследована система

и

yi(fc + l)=yi(A) + AFi(yi(A)) + /i£Gy(fc,y(fc))1 г = 1,...,п, (6)

j=1

где элементы векторов Ft(z,) — непрерывно дифференцируемые при z; G Е"1' однородные функции порядка/^ > 1; векторные функции z) в

области к = 0,1,..., ||z|| < Я (Я = const > 0) удовлетворяют условиям

||СУ(М)|| cyllzill«^'.. • ||zn|H" , <=1....... j = 1,... Л,

в которых сч- > О, 5= о, s = 1,..., п, ot\l> > 0.

Системы такого вида исследовались в работе А. Ю. Александрова и

(j)

А. П. Жабко. Были получены ограничения на параметры /I; и ais , при выполнении которых нулевое решение данной системы асимптотически устойчиво.

В диссертационной работе показано, что в некоторых случаях можно

гарантировать асимптотическую устойчивость нулевого решения системы

0)

(6) при менее жестких ограничениях на параметры щ и ais по сравнению с ограничениями, указанными в работе А. Ю. Александрова и А. П. Жабко.

Снова считаем, что нулевые решения изолированных подсистем (2) асимптотически устойчивы, и строим соответствующую систему линейных неравенств

п (j)

¿ = г = 1,..., п. (7)

7> jrt Ъ

Пусть система (7) имеет положительное решение 7 = (7ь • • • > 7п)*- Из асимптотической устойчивости нулевых решений изолированных подсистем (2) следует, что для каждого г € {1,...,п} существует непрерывно дифференцируемая, положительно однородная порядка 7i — ^¿ + 1 функция Ляпунова Vi{zi) такая, что

ан|ЫР'-"<+1 ^ Vi{zi) < a2i||Zip-"i+1,

при всех zi e E"1', где аи, a2l, a3i, a4i — положительные постоянные, i = l,...,n.

В работе доказана теорема Теорема 2. Если система неравенств

и

-auvf + a3i Г" • • ■ f"'" < 0, г = 1,..., п,

имеет положительное решение, то нулевое решение системы (6) асимптотически устойчиво.

Во второй главе исследованы задачи абсолютной устойчивости и абсолютной диссипативности нелинейных систем.

В § 1 сформулирована постановка задачи. Приведены известные условия абсолютной устойчивости.

В § 2 рассмотрена система дифференциальных уравнений

¿г = С{/г(г{) + ^ ауД"" (21)... (гп), г = 1 и соответсвующая ей разностная система

Уг(к + 1) = уг(к) + ИсЛЫк)) + /1 £ ■ ■ ■ /Л„(*))- (3)

3=1

Здесь г = 1,..., п; с;, а^ — постоянные коэффициенты; к = 0,1,..Л — шаг дискретизации (Л > 0); — неотрицательные рациональные числа с нечетными знаменателями; ] = 1,..., г, в = 1,..., гг; функции /¿(г.;) определены и непрерывны при < Н (0 < Н ^ +оо), удовлетворяют условиям секторного типа: г^^(г^) > 0 при г^ ф 0 и условию Липшица, т.е. можно указать положительную постоянную Ь такую, что если |г -| < Н, \ < Н, то справедливы неравенства

\Ыг'}) < 3 = 1,

Пусть > 3 = 1)-•■)'«) ® = 1 Выполнение этого

предложения гарантирует существование нулевого решения системы (8). Кроме того, будем считать, что коэффициенты с, < 0.

В работе доказана теорема

Теорема 3. Если существуют положительные числам,...,7„, удовлетворяющие неравенствам

^ 1

то можно указать число Ло > 0 такое, что при всех И, £ (0,/го) нулевое решение системы (8) асимптотически устойчиво.

Далее в работе рассмотрены системы вида (8) со специальными структурами связей и показано, что для таких систем условия устойчивости, сформулированные в теореме 3, можно получить в более конкретной форме.

В часности, рассмотрена система (8) вида

У1(к + 1) = г/1 {к) + На/Мк)) + 1гап/п" (уп{к)), У2(к + 1) = у2(к) + /1с2/2М*;)) + ксц/ГЫк)),

уп(к + 1) = уп{к) + 1гсп/п(уп(к)) + Ка п—\1п—

Здесь а\,... ,ап — рациональные числа с нечетными знаменателями. Рассмотрим неравенства (9), соответствующие системе (10). Получаем

-^Т>_1т> ..., (11)

7п + 1 71 + 1' 71 + 1 72 + 1' " '' 7га-1 + 1 7п + 1

В работе показано, что для существования положительного решения системы (11) необходимо и достаточно, чтобы параметры а\,...,ап удовлетворяли условию

сцс^аз .. .ап-\01п > 1- (12)

Значит, при выполнении неравенства (12) можно указать число Л0 > 0 такое, что при /г е (0, Но) нулевое решение системы (10) асимптотически устойчиво.

Далее показано, что использованный при доказательстве теоремы 3 способ построения функций Ляпунова позволяет оценить скорость стремления к началу координат решений системы (8).

В частности, рассмотрен случай, когда функции /¡(¿¿) определяются по формулам /¿(г{) = > 1, где ^ - рациональные числа с нечетными

числителями и знаменателями. Не умаляя общности, положим, что ¿х ^

В работе доказана теорема

Теорема 4. Если система неравенств (9) имеет положительное решение, то существуют положительные числа е, ¿и, <1ц, I = 1,...,п, такие, что для любого решения у (к) = (гМ/с),..., уп(к))* системы (8) с начальными данными у(к0) = у0, удовлетворяющими условиям к0 ^ 0, ||у0|| < е, при всех к > ко справедливы оценки

__1

Ык) | ^ (1 + йф - к0)) ^^'Н^да-1) , 1 = 1,...,п.

Здесь 7тах = тах{71,..., 7„}, 7т,„ = тт^,...,7„}.

В работе показано, что в случае, когда }1{21) = г?' и (), > 1, асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (8) имеет место при всех Н > 0. Однако значения постоянных е, в,ц, ¿2г, г = 1,... ,п, в теореме 4, вообще говоря, зависят от выбранного шага дискретизации Н.

В § 3 исследована дискретная модель популяцонной динамики следующего вида

Xi(k + 1) = Xi(k) exp ^ft ^ + ¿J oy/j- {xj(k))^ ^ , (13)

которая представляет собой дискретный аналог непрерывной вольтерров-ской модели

2; = Zi ^ + ^ CLijfjiZj)^ . (14)

Здесь переменные х\(к),... ,хп(к) характеризуют численности видов, h — положительный параметр, с, и ац — постоянные коэффициенты, функции fj{zj) определены и непрерывны при zj £ [0,+оо), целочисленный аргумент к принимает значения 0,1,.... Функции fj(zj) обладают следующими свойствами: 1) fj(0) = 0;

2) fj(zj) строго возрастают при zj 6 [0,+оо);

3) fj{zj) у ПРИ zj > +00.

Пусть F(z) = (/1(^1),..., /„(zn))* , С = (ci,..., сп)*, А = К}£3=1. Положим, что det А ф О, и А_1С < 0 (неравенсто покомпонентное). Тогда у системы (13) в положительном ортанте Е" = {(zi,..., zn)* : Zi > 0, г = 1,... ,п} существует единственное положение равновесия х, причем координаты векторах находятся из системы F(x) = —А_1С.

Если матрица А является диссипативной, т.е. существуют положительные числа Ai,..., Ап, при которых квадратичная форма

п

W(z) = ^^ XiüijZiZj i,j=l

отрицательно определена, то положение равновесия z = х системы (14) асимптотически устойчиво в целом в положительном ортантеЕ".

Произведем в (13) замену переменных у,- = Ina:;, г = 1,... ,п. Получим систему

Ui{k + 1) = Ui(k) + h ^Ci + {yj{k))^j , i=l,...,n. (15)

Здесь fj{zj) = fj(ez>). Функции fj(zj) определены при всех zj G (—oo, +oo) и обладают следующим свойсвами:

1) fjizj) > О ПРИ zj £ (-oo, +оо);

2) fj{zj) строго возрастают на промежутке (—оо, +оо);

3) fjizj) 0 при zj —> —оо;

4) ->■ +оо при г^ -» +оо.

Система (15) имеет единственное положение равновесия у = у, где у^ = 1пЗ^, г = 1,...,п.

Предположим, что функции ¡¡{г^) при всех г^ € (—оо,+оо) удовлетворяют условию Липшица, т.е. можно указать постоянную Ь > О такую, что _

для любых гр г" е (-оо,+оо), j = 1,...,п. В работе доказана теорема

Теорема 5. Существует число к0 > 0 такое, что при всех Н € (0, Ло) положение равновесия х системы (13) асимптотически устойчиво в целом в Е".

В § 4 рассмотрено применение полученных в параграфе 3 результатов для построения управления, обеспечивающего существование заданного положения равновесия системы (13) и стабилизирующего это положение равновесия.

Предположим, что мы можем действовать на систему (13) управлениями следующим образом:

ц(к + 1) = Хг(к) ехр ^ ^ + ац^ {х,(к)) + ¿Р«"^ ) • (16)

г = 1,... ,п.

Здесь ру — постоянные коэффициенты; щ — управление. Будем искать управление в виде

п

из = 4/ + ^2<РзгМхЛк)), з = 1,...,п, (17)

5=1

где <¿>23 — постоянные коэффициенты.

Произведем замену переменных = г = 1,... ,п. Получим систему

уг(к + 1) = Уг{к) + /I ( * + £ ау£ (у^к)) + £ ру«,- ] . (18)

V 3=1 3=1 /

где г = 1,...,п; =/,-(ег')-

Подставим управления (17) в систему (18). Получим

у,{к + 1) = у^к) 4- к ( ъ + рцй, + аи7з(Уз(к)) ) +

V з=1 з=1 / (19)

П 71 4 1

^Ра <Р]*7»(УЛЬ))-

Считаем, что из биологических соображений нам задана некоторая точка х в положительном ортанте, такая что мы хотим за счет выбора управления обеспечить, чтобы эта точка была положением равновесия и чтобы это положение равновесия было асимптотически устойчиво в делом в Е". Значит, нам надо определить условия на параметры системы с*, а^, при выполнении которых коэффициенты с^- и можно выбрать так, чтобы у системы (19) заданная точка была положением равновесия, и обеспечить асимптотическую устойчивость в целом этого положения равновесия. Пусть Ё(г) = (/1(21),..., /пЫ) ; А = {а*Ли=ъ с = (сь • • •, Сп)*;

Б = (*,..., 4)*; Р = х; Ф =

В работе доказана теорема

Теорема 6. Если существуют числа j, в — 1,..., п, такие, что квадратичная форма

1 = 1 3=1 V 3 = 1

1=1

отрицательно определена и существуют числа <1$, j = 1,...,п, такие, что РБ = —(А + РФ)Г(х) — С, то управление вида (17) является стабилизирующим для системы (18), а значит, и для системы (16). В § 5 рассмотрена следующая модель

х^к + 1) = Хг{к) ехр (Л (Ь{ + с{/{(х{(к)))) х х ехр (л а^ (ц (к))... /„"'- (хп(к))^ ^ , (2°}

которая представляет собой дискретный аналог непрерывной обобщенной вольтерровской модели

¿1 = ^ + С*/Дг*) + ¿Яу/""^!) . . . .

Здесь переменные х\(к),... ,хп(к) характеризуют численности видов, Н —

положительный параметр; Ь*, с,-, ац — постоянные коэффициенты; Ь{ > 0; (з)

Сг < 0; ац ^ 0; а}а — неотрицательные рациональные числа с нечетными знаменателями; ] = 1,..., ¿¡; г, в = 1,..., п; функции /Дг,) определены и непрерывны при г^ € [0, +оо); целочисленный аргумент к принимает значения 0,1,____Будем предполагать, что функции /¡(г^) обладают следующими свойствами:

1) ¿(О) = 0;

2) 1з(2з) > 0 при г, > 0;

3) /¿(г,) -> +0О при X] +оо. Исследованы условия равномерной диссипативности системы (20) в положительном ортанте.

В работе доказана теорема

Теорема 7. Если существуют числам, ■■■ ,-уп такие, что 0 < 7, < 1,

1 -А аи)

--7 +У"—^тт < 0, г = 1,..., тг, ] = \,...,1и

7г + 1 ^ 7* + 1

то найдется число Ло > 0 такое, что для любых И е (0, /го) система (20) равномерно диссипативпа в Е" .

Третья глава посвящена изучению условий конвергенции нелинейных разностных систем.

В § 1 приведены общие условия конвергенции нелинейных систем. В § 2 рассмотрена система разностных уравнений

У1(к + 1) = У1(к) + /г (с\(к) + оц/1 (ш(*0) + «12/2 Ы*))). ^ у2(к + 1) = у2{к) + /г {с2{к) + 021/1 {у^к)) + а22/2 (у2{к))), полученная при дискретизации системы

¿1 = 111/1(21) + а12/2(г2) + ¿2 = ^21/1(21) + «22/2(22) + <Р2[Ь)-

Здесь а^ — постоянные коэффициенты; — непрерывные при

£ (—оо, +оо) строго возрастающие функции, удовлетворяющие на всей вещественной оси условию Липшица, причем /Дг^) —> —оо при г^ —> -оо,/;(2;) -¥ +оо при г, -> +оо; — непрерывные при í € (-оо,+оо) почти периодические функции; з,] = 1,2; /г — шаг дискретизации (к > 0), £ принимает значения 0, ±1,±2,..., с;(/с) — почти периодические функции (с^к) - г = 1,2. Не умаляя общности, можно считать, что

/,-(0) =0,7 = 1,2.

В работе доказана теорема

Теорема 8. Пусть выполнены неравенства

ац < 0, а22 < О, (I = аца22 — а12а2\ > 0, 012а21 > 0.

Тогда можно указать число Но > 0 такое, что при всех Н е (0, к0) система (21) обладает свойством конвергенции.

Далее показано, что при некотором дополнительном предположении предложенный способ доказательства конвергентности двумерных систем можно распространить на случай систем, состоящих из произвольного числа уравнений. Рассмотрена система

Уг(к + 1) =№(*:) +Л + , г = 1,..., п, (22)

где к — шаг дискретизации (/г > 0); ау постоянные коэффицен-ты; Д(^) — непрерывные при г^ е (—оо,+оо) строго возрастающие функции, удовлетворяющие на всей вещественной оси условию Липшица с константой Ь, причем /Д^) —> —оо при г^ —» —оо,/Дг^) —» +оо при X] —> +оо; С{(к) — почти периодические функции. Будем считать, что матрица А = {ау}, г, ] = 1,... , п, является симметричной.

В работе доказана теорема

Теорема 9. Если матрица А отрицательно определена, то можно указать число /го > 0 такое, что при всех /г 6 (0, /го) система (22) обладает свойством конвергенции.

В § 3 показано, что разработанные в параграфе 2 подходы к анализу разностных систем можно использовать для исследования асимптотического поведения решений дискретных моделей популяционной динамики.

Рассмотрена система разностных уравнений

хг(к + 1) = х,(к)ехр ^/г ^сД/с) + ^ ау/ДхДА:))^ , г=1, ...,п, (23)

описывающая динамику биологической системы, где /Дг.,) — непрерывные при всех г^ 6 [0,+оо) строго возрастающие функции, причем /ДО) = 0, /Д^) —» +оо при г,- —» +оо, ау — постоянные коэффиценты, ау ^ 0 при г ф ац < 0; матрица А = {ау}, г,^ = 1 ,...,п, является симметричной; сД/с) - почти периодические функции, сД/г) ^ 6 > 0, г, j = I,... ,п.

Сделаем замену переменных = , 3 — 1,..., п.

Получим систему

у,{к + 1) = у{{к) + /г ^сД/г) + ^ оу£ (%(/г))^ , г = 1,..., п. (24)

Здесь /Дг.,) = /Де^). Предположим, что функции /Д2,) на всей вещественной оси удовлетворяют условию Липшица, т.е. существует постоянная Ь > 0, для которой при любых 2р г" е (—оо,+оо) справедливы неравенства

3 = 1,...,п.

В работе, доказана теорема

Теорема 10. Если матрица А отрицательно определена, то существует число /г > 0 такое, что для любых /г € (0, /г) система (23) обладает свойствол1 конвергенции.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикация в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ

1. Динь Хуен Нгуен. Условия конвергенции некоторых классов нелинейных разностных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Вып. 2. С. 90-96.

Публикации в других изданиях

2. Нгуен Д. X. Об устойчивости дискретных моделей динамики популяций // Процессы управления и устойчивость: Труды 39-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2008. С. 225-229.

3. Нгуен Динь Хуен. Об условиях конвергентности одной нелинейной системы разностных уравнений // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. С. 46-49.

4. Нгуен Динь Хуен. Условия конвергенции дискретной модели динамики популяций // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 289-293.

5. Нгуен Динь Хуен. Об асимптотической устойчивости некоторого класса нелинейных неавтономных разностных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Еремина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 47-51.

6. Нгуен Динь Хуен. Об устойчивости решений многосвязных разностных систем по нелинейному приближению // Вестник Мордовского университета. Серия физико-математические науки. 2012. № 2. С. 40-44.

7. Нгуен Д. X. Об абсолютной устойчивости одного класса нелинейных разностных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов /' Под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2013. С. 48-52.

Подписано к печати 13.08.13. Формат 60x84 '/к.. Бумага офсетная Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1.00.

Тираж 100 экз. Заказ 5839.__

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504. Санкт-Петербург. Старый Петергоф, Университетский пр.. 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201361792

НГУЕН Динь Хуен

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

А.Ю. Александров

Санкт-Петербург 2013

»

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ 10 § 1. Задача об устойчивости по нелинейному приближению .... 10 § 2. Построение функций Ляпунова для нестационарных систем . 19 § 3. Условия асимптотической устойчивости в критическом, в широком смысле, случае....................... 29

ГЛАВА 2. АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И АБСОЛЮТНАЯ

ДИССИПАТИВНОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 35

§ 1. Постановка задачи..................................................35

§ 2. Достаточные условия абсолютной устойчивости для систем с

неаддитивными связями ..........................................38

§ 3. Абсолютная устойчивость одного класса дискретных моделей

популяцонной динамики ..........................................48

§ 4. Стабилизация дискретной модели популяционной динамики . 53

§ 5. Анализ диссипативности обобщенной вольтерровской модели 58

ГЛАВА 3. УСЛОВИЯ КОНВЕРГЕНЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ 70

§ 1. Общие условия конвергенции нелинейных систем....... 70

§ 2. Анализ конвергенции одного класса систем нелинейных разностных уравнений........................ 73

§ 3. Условия конвергенции дискретной модели динамики популяций 81

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................. 86

ЛИТЕРАТУРА............................... 87

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Разностные системы широко применяются для описания динамических систем. Они являются основным математическим аппаратом при изучении управляемых систем с дискретными регуляторами и нелинейных импульсных систем, они используются в теории нелинейных колебаний (преобразование Пуанкаре) и при численном интегрировании дифференциальных уравнений [13, 14, 16, 46].

Одно из направлений исследований, возникающих в указанных приложениях разностных уравнений, связано с анализом устойчивости их решений. Основным методом анализа устойчивости нелинейных разностных систем является прямой метод Ляпунова [26, 46, 63]. Главная трудность, возникающая при применении этого метода, заключается в проблеме нахождения функций Ляпунова. К сожалению, общих способов их построения не существует.

В исследовании устойчивости нелинейных дискретных систем существенные результаты были достигнуты в трудах А. Халанай, Д. Векслер, М. А. Скалкиной, В. И. Зубова, А. А. Мартынюка, А. И. Климушева и многих других ученых [21, 25, 30, 31, 46]. В работах А. Ю. Александрова и А. П. Жабко были доказаны теоремы об устойчивости однородных разностных систем, установлены условия устойчивости по нелинейному приближению и т. д. [5, 6, 7].

Теория управления является одним из важнейших разделов современной науки. Она используется во всех процессах, допускающих внешнее воздействие со строны человека. В большинстве практических задач управления в силу присутствия возмущений, помимо обеспечения наперед заданной динамики решения системы, требуется решение задачи стабилизации программного движения. Следует заметить, что задача стабилизации тесно смыкается с общей задачей об устойчивости движения и является дальнейшим развитием проблемы устойчивости в приложении к теории управляе-

мых систем [14, 20, 28].

При исследовании различных биологических, физических, экономических и технических моделей необходимо рассматривать сложные системы разностных уравнений. Основными особенностями таких систем являются высокая размерность, большое количество параметров и существенно нелинейный характер уравнений, разнообразие системных связей [8, 15, 24, 31].

При управлении различными реальными системами в широком классе случаев требуется не только стабилизировать заданные программные режимы, но и обеспечить ограниченность движений исследуемых систем [17].

На практике часто встречаются системы, у которых из-за диссипации (рассеяния энергии) каждое движение по истечении достаточно большого промежутка времени попадает в некоторую ограниченную область и остается в ней при дальнейшем возрастании времени. Такие системы называют диссипативными [17]. Особый интерес представляет случай, когда дисси-пативность является равномерной по отношению к начальным данным решений.

При анализе диссипативности дифференциальных систем широко применяется прямой метод Ляпунова. Значимые результаты представлены в трудах Т. Йошизавы, Б. П. Демидовича, В. И. Зубова и ряда других авторов [17, 19, 44, 63]. В дальнейшем способы исследования диссипативности непрерывных систем были распространены на системы разностных уравнений. Известен дискретный аналог теоремы Т. Йошизавы о равномерной диссипативности нелинейных систем [7]. Стоит отметить, что условия равномерной диссипативности изучены только для некоторых специальных классов дискретных систем. Исследования в этом направлении представляют интерес для развития качественной теории разностных уравнений и имеют широкое практическое применение.

Одной из важных задач качественной теории дифференциальных и разностных уравнений является определение условий существования и устойчивости вынужденных почти периодических колебаний, возникающих в

нелинейных системах под действием внешних возмущений. С практической точки зрения, особый интерес представляет ситуация, когда указанные колебания асимптотически устойчивы в целом. Такое явление называют конвергенцией [17, 20].

В. И. Зубовым была доказана теорема об условиях почти периодической конвергенции для систем дифференциальных уравнений [20]. Эти условия формулировались в терминах существования функций Ляпунова, обладающих определенными свойствами. С помощью данной теоремы в [1, 2, 11, 20, 48, 49, 50] была доказана конвергентность некоторых классов нелинейных систем. В то же время следует заметить, что до сих пор не существует общих конструктивных способов построения функций Ляпунова, удовлетворяющих требованиям теоремы Зубова. В работе Н. А. Атаевой [И] теорема В. И.Зубова распространена на системы разностных уравнений.

Задачей данного диссертационного исследования является системный анализ нелинейных разностных систем, нахождение новых условий их асимптотической устойчивости, конвергенции и равномерной диссипатив-ности, а также условий существования управлений, стабилизирующих заданные программные движения.

Структура и основное содержание работы. Рукопись состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы. Объем составляет 92 страницы машинописного текста.

Первая глава посвящена изучению условий устойчивости решений сложных (многосвязных) разностных систем по нелинейному приближению.

Первый параграф является вспомогательным, в нем приведены некоторые определения и теоремы дискретного аналога второго метода Ляпунова, а также известные теоремы об устойчивости по нелинейному приближению, используемые в диссертационной работе.

Во втором параграфе рассмотрена сложная существенно нелиней-

ная система разностных уравнений с нестационарными связями. Условия устойчивости нулевого решения для таких систем были получены в статье А. Ю. Александрова и А. П. Жабко [7]. В диссертационной работе показано, что для определенных типов нестационарных связей найденные в [7] ограничения на параметры системы, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевого решения, можно ослабить. В частности, доказано, что для нестационарных связей рассматриваемого вида асимптотическая устойчивость имеет место и в случае, когда порядки однородности функций, входящих в правые части изолированных подсистем совпадают с порядками однородности функций, описывающих связи между подсистемами. Рассмотрены сложные системы со специальными структурами связей и показано, что для таких систем условия устойчивости нулевого решения можно получить в более конкретном виде.

В § 3 проводится анализ устойчивости сложной системы разностных уравнений по нелинейному приближению. Известные условия устойчивости таких систем формулируются в терминах существования положительных решений систем строгих неравенств специального вида, связывающих между собой порядки однородности изолированных подсистем и порядки однородности функций, характерзирующих связи между подсистемами [7]. В диссертации предложен новый подход, позволяющий получать условия устойчивости и в случае, когда указанные неравенства могут обращаться в равенства.

Во второй главе исследованы задачи абсолютной устойчивости и абсолютной диссипативности нелинейных систем.

В § 1 сформулирована постановка задачи. Приведены некоторые известные условия абсолютной устойчивости.

В § 2 исследованы условия абсолютной устойчивости нелинейных разностных систем с неаддитивными связями. Доказано, что полученные в [7] результаты могут быть распространены на системы со связями более общего вида. Далее в работе рассмотрены системы со специальными структура-

ми связей и показано, что для таких систем условия устойчивости можно получить в более конкретной форме. Показано также, что использованный при получении условий абсолютной устойчивости способ построения функций Ляпунова позволяет оценить скорость стремления к началу координат решений данной системы.

В § 3 исследованы условия абсолютной устойчивости одного класса дискретных моделей популяцонной динамики. С помощью дискретного аналога теоремы Барбашина - Красовского найдены условия, гарантирующие, что положение равновесия изучаемой модели асимптотически устойчиво в целом в положительном ортанте для любых допустимых нелинейностей, входящих в правые части рассматриваемых уравнений.

В § 4 рассмотрена задача стабилизации дискретной модели популяцион-ной динамики. Показано, что с помощью полученных в предыдущем параграфе результатов можно сформулировать условия существования управления, обеспечивающего наличие заданного положения равновесия системы и стабилизирующего это положение равновесия.

В § 5 рассмотрена задача анализа диссипативности обобщенной воль-терровской модели. Получены условия на параметры, гарантирующие равномерную диссипативность в положительном ортанте разностной системы, которая представляет собой дискретный аналог обобщенной непрерывной вольтерровской модели межвидового взаимодействия.

Третья глава посвящена изучению условий конвергенции нелинейных разностных систем.

В § 1 приведены общие условия конвергенции нелинейных систем.

В § 2 исследованы условия конвергенции одного класса систем нелинейных разностных уравнений. Показано, что с помощью дискретного аналога теоремы Зубова и предложенного в работе [2] способа построения функций Ляпунова для двумерных систем дифференциальных уравнений можно получить достаточные условия, гарантирующие конвергенцию двумерных разностных систем. Далее показано, что при некотором дополнительном

предположении предложенный в диссертации способ доказательства кон-вергентности двумерных систем можно распространить на случай систем, состоящих из произвольного числа уравнений.

В § 3 исследованы условия конвергенции дискретной модели динамики популяций. Показано, что разработанные в предыдущем параграфе подходы к анализу разностных систем можно использовать для исследования асимптотического поведения решений дискретных моделей популяционной динамики.

В заключении сформулированы основные результаты исследования, выносимые на защиту.

Научная новизна. Новыми результатами, представленными в работе, являются:

• условия асимптотической устойчивости решений многосвязных систем разностных уравнений по нелинейному приближению;

• достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных разностных систем;

• новые условия существования управлений, стабилизирующих программные движения дискретных динамических систем;

• условия конвергенции одного класса нелинейных разностных систем;

• условия абсолютной устойчивости, диссипативности и конвергенции дискретных моделей популяционной динамики.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа, в основном, носит теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы вносят определенный вклад в развитие качественной теории разностных систем. Результаты работы могут быть использованы при анализе асимптотической устойчивости, равномерной диссипативности и конвергенции дискретных моделей, используемых в прикладных задачах, а также при проектировании и разработке управляемых систем.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 7 работ [34 -40], одна из которых - в издании, рекомендуемом Высшей аттестационной

комиссией (ВАК) для публикации основных научных результатов [37].

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях "Процессы управления и устойчивость" (Санкт-Петербург, 2008-2011, 2013 гг.), на семинарах кафедры управления медико-биологическими системами.

ГЛАВА 1

УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

§ 1. Задача об устойчивости по нелинейному приближению

Рассмотрим систему

х(к + 1) = ¥(к,х(к)). (1.1)

Здесь х(к) — п-мерный вектор с компонентами х\{к),..., хп(к)\ к — целочисленный аргумент, принимающий во всех уравнениях настоящей работы значения к = 0,1,..., векторная функция ¥(к, х) определена при к — 0,1,..., ъ € Еп (Еп — п-мерное евклидово пространство). Будем считать, что при любых фиксированных к функция г) непрерывна по г. Система (1.1) называется разностной системой.

Функцию х(к,хо,ко), заданную на множестве ко ^ 0, к ^ ко, хо Е Еп, которая обращает систему (1.1) в тождество, причем х(£;,Хо, ко) — Хо, будем называть общим решением системы (1.1) в форме Коши [4]. В силу непрерывности векторной функции ¥(к, ъ) по переменной г общее решение х(к,хо,ко) при любых фиксированных ко ^ 0, к ^ ко непрерывно зависит от х0.

В настоящей работе под нормой будем понимать евклидову норму вектора, т. е. если г — п-мерный вектор с компонентами х\,...,хп, то

1М1 = л/г? +... + 4

Пусть имеется решение х(к) системы (1.1), которое определенно при всех к ^ 0. Будем называть его программным движением. Исследуем поведение решений системы (1.1) в некоторой окрестности программного дви-

жения. Для этого сделаем замену переменных

у (fc) = x(fc)-x(fc).

Получим систему в отклонениях

y(fc + l) = G(Ä,y(AO). (1.2)

Здесь у (к) — n-мерный вектор с компонентами yi,...,yn, G(k,y(k)) = F(k, у (к) +х(&)) — F (к, х(&)). При этом решению х(/с) исходных уравнений соответствует нулевое решение у(к) = 0 системы (1.2). Очевидно, что программное движение устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда , когда устойчиво нулевое решение системы в отклонениях.

В дальнейшем будем заниматься исследованием устойчивости нулевого решения системы в отклонениях.

Определение 1.1 [4]. Нулевое решение системы (1.2) устойчиво по Ляпунову, если для любого ко ^ 0 и любого числа е > 0 можно указать такое 0(ко,е) > 0, что при выполнении неравенства ||у0|| < ö(ko,e) решение у(к,у0,ко) определено для всех к ^ ко и удовлетворяет условию

Определение 1.2 [4]. Нулевое решение системы (1.2) называется асмп-тотически устойчивым по Ляпунову, если оно является устойчивым и для любого к0 ^ 0 существует ö'(ko) > 0, что для всех у0, удовлетворяющих условию ||уо|| < 6'(ко), справедливо предельное соотношение

lim ||у(*,у0,ад|| = 0.

При решении задач управления различными реальными системами, наряду с устойчивостью по Ляпунову стационарных режимов, в широком классе случаев требуется обеспечение ограниченности движений изучаемых систем [63].

В физических системах часто встречаются примеры, когда из-за диссипации (рассеяния энергии) каждое движение по истечении достаточно

большого промежутка времени попадает в некоторую ограниченную область и остается там при дальнейшем возрастании времени. Такие системы называют диссипативными [17]. Важное значение имеют случаи, когда дис-сипативность является равномерной по отношению к начальным данным. Приведем определение этого понятия.

Определение 1.3 [4]. Система (1.2) называется равномерно диссипа-тивной, если существует число D > 0 такое, что для любого R > 0 можно указать натуральное число N, для которого при всех ko^Onk>ko-\-N выполняется неравенство ||у(&,у0, ко)\\ < D, если только ||у0|| < R .

Основным методом исследования устойчивости и диссипативности для нелинейных разностных систем является прямой метод Ляпунова. Данный метод основан на использовании вспомогательных функций, называемых функциями Ляпунова, по поведению которых на решениях рассматриваемой системы можно говорить о поведении самих решений.

Пусть задана функция V(z) непрерывная в области ||z|| < Н, О < Я < +оо.

Определение 1.4 [4]. Функция V(z) называется положительно-определенной,