автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нелинейные ДВ-осцилляторы и их применение для обработки сигналов и моделирования временных рядов

На правах рукописи

!

КАРЛОВ Александр Владимирович

НЕЛИНЕЙНЫЕ ДВ-ОСЦИЛЛЯТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ; 01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 ДЕК 2012

Самара - 2012

005056814

005056814

Работа выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Зайцев Валерий Васильевич Официальные оппоненты:

Башкиров Евгений Константинович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет», профессор кафедры общей и теоретической физики

Медведев Сергей Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент, ЗАО «Время-Ч» (г. Нижний Новгород), начальник отделения радиотехнических, оптических и информационных систем и технологий

Ведущая организация: ФГОБУ ВПО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Защита состоится 14 декабря 2012 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет» по адресу:

443011, г. Самара, ул. акад. Павлова, 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СамГУ

Автореферат разослан « /У

»

II

2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.218.08

В.В. Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Настоящая работа развивает цикл исследований в области нелинейной динамики систем с дискретным временем, проводимых на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования Самарского государственного университета.

Исследования нелинейных динамических систем в дискретном времени (ДВ-систем) могут быть направлены на решение двух задач. Во-первых, динамика ДВ-системы при определенных условиях может качественно отражать основные свойства аналоговой системы-прототипа, функционирующей в непрерывном времени (НВ-системы). В этом случае уравнения движения ДВ-систем, имеющие форму дискретных отображений, приводят к сравнительно простым алгоритмам компьютерного моделирования. Во-вторых, нелинейные ДВ-системы могут демонстрировать динамические режимы, отсутствующие у НВ-прототипов. В таком случае нелинейные ДВ-системы представляю г самостоятельный интерес для теории и практики цифровой обработки сигналов.

Автоколебательные модели занимают одну из центральных позиций в нелинейной динамике. Они, например, используются для описания осцилляций в химических реакциях, в био- и экосистемах, в механических конструкциях. Но наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.

В радиофизике автоколебательными системами является множество различных физических источников колебаний от генераторов на электронных лампах до микроволновых и оптических квантовых генераторов. Введено в рассмотрение и подробно исследовано множество типов аналоговых автоколебательных систем, различающихся по физическим принципам взаимодействия колебаний с источником энергии, видам нелинейностей, структурам резонаторов. Изучены основные физические явления и эффекты, сопутствующие автоколебаниям, определены способы их практического использования.

В значительно меньшей степени сказанное относится к дискретным автоколебательным системам. Традиционно теория дискретных систем развивается, ориентируясь на решение задач цифровой обработки и фильтрации сигналов. При этом в подавляющем большинстве случаев исследуются лишь линейные системы.

К дискретным нелинейным динамическим системам можно отнести точечные отображения, в частности, отображения Пуанкаре. Последние строятся на основе решений дифференциальных уравнений движения динамической системы (в настоящее время, как правило, численных) и служат для качественного анализа особенностей поведения исходной динамической системы в непрерывном времени. Можно также постулировать вид точечного отображения и рассматривать его как модель для описания некоторой физической ситуации.

Тем не менее, целесообразно использовать регулярный метод для проектирования нелинейных ДВ-систем с ориентировочно заданными характеристиками для нелинейной фильтрации сигналов.

Следует особо отметить, что нелинейная дискретная система может быть сравнительно легко переведена из динамического режима в режим хаотических колебаний или автоколебаний. При этом характеристики хаоса определяются динамикой системы, а не внешними шумовыми источниками с независимо заданной статистикой. Подход на основе представлений о динамическом хаосе в настоящее время обоснованно считается весьма плодотворным при вероятностной интерпретации многих явлений окружающей среды. Кроме того, генераторы хаотических автоколебаний имеют широкие перспективы применения в устройствах

Таким образом, специфика автоколебаний в ДВ-системах определяет актуальность задачи их детального и систематического исследования на основе методов математического моделирования, цифровой обработки сигналов и радиофизической теории нелинейных колебаний.

Цель диссертационной работы состоит в проектировании ДВ-осцилляторов томсоновского типа, обладающих режимами регулярных и хаотических автоколебаний, исследовании их характеристик и возможностей их применения для решения задач обработки сигналов и моделирования систем различной физической природы.

Методы исследования

Работа выполнена на основе методов теории колебаний, математического моделирования, спектрально-корреляционной теории случайных процессов, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна работы определяется:

- введенными в рассмотрение новыми объектами нелинейной динамики дискретного времени;

- методикой и результатами численного эксперимента с синтезированными дискретными автоколебательными системами;

- обобщением метода ММА теории нелинейных колебаний на дискретные автоколебательные системы с внешними воздействиями;

- обнаруженными новыми хаотическими аттракторами дискретных осцилляторов с запаздывающими связями и инерционными нелинейностями;

- математической моделью двухкомпонентных систем с взаимодействием по схеме «хищник-жертва»;

- алгоритмами генерации случайных процессов с фликкерными спектрами мощности.

Практическая ценность работы

Предложенные в диссертационной работе методы проектирования нелинейных ДВ-осцилляторов и численного анализа автоколебаний в дискретном времени могут найти применение при решении задач проектирования цифровых устройств обработки сигналов и защиты информации, для моделирования систем различной физической природы, в учебном процессе высших учебных заведений

Обоснованность результатов диссертации определяется использованием математически строгих и физически аргументированных методовисследования. Их достоверность подтверждается:

- количественной согласованностью аналитических результатов с результатами численного эксперимента;

- соответствием ряда результатов математического моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

- соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

На защиту выносятся следующие основные положения

1. Метод проектирования дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем по линеаризованным аналоговым прототипам.

2. Новые ДВ-автоколебательные системы как объекты нелинейной динамики в дискретном времени и как составные части цифровых систем нелинейной обработки и кодирования сигналов.

3. Результаты анализа и численного моделирования регулярных и хаотических автоколебаний в синтезированных ДВ-осцилляторах.

4. Модель системы Вольтерра с запаздыванием и дискретным временем, предназначенная для имитационного моделирования детерминированных и шумовых воздействий на систему «хищник-жертва».

5. Эффект подмены частот в численных моделях нелинейных динамических систем и его следствия.

6. Алгоритмы генерации стохастических процессов, основанные на дискретизации аналоговых систем с дробно-дифференциальными уравнениями движения.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на

- VI - XI Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Казань, 17-21 сентября 2007 г.; г.Самара, 15-21 сентября 2008 г.; г. Санкт-Петербург, 15-18 сентября 2009 г.; г. Челябинск, 13-17 сентября 2010 г.; г. Самара, 11-17 сентября 2011 г.; г. Екатеринбург, 26-28 сентября 2012 г.);

- VIII Всероссийской научно-технической конференции «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем» (г. Чебоксары, 2009 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы ракетно-космической техники и ее роль в устойчивом социально-экономическом развитии общества », посвященной 50-летию образования ЦСКБ и 90-летию со дня рождения Д.И. Козлова (г. Самара, 28 сентября - 3 октября 2009 года);

- ХП-ХШ Всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (г. Москва, 24 - 29 мая 2010 г.; г. Москва, 24 - 29 мая 2012

г.);

- IX Всероссийской научно-технической конференции «Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов» (г. Пенза, 24 -25 мая 2011 г.);

- XIII Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн» (г. Москва, 23-28 мая 2011 г.);

- Международной молодежной конференции, посвященной 50-летиго первого полета человека в космос «Королевские чтения» (г. Самара, 4-6 октября 2011 г.);

- VI Всероссийской научно-технической конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 1-4 июня 2009 г.) и VTO Всероссийской научно-технической конференции с международным участием, посвященной 75-летию Ю.П. Самарина «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 15-17 сентября 2011 г.):

- III Международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 27 августа - 1 сентября 2012 г.)

Публикации

По материалам диссертации опубликованы 24 работы, в их числе 8 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание степени доктора и кандидата наук, и 16 публикаций в материалах научно-технических конференций.

Личный вклад автора

Диссертант участвовал в обсуждении постановок задач исследований, а также непосредственное и равноправное участие в построении аналитических и численных моделей, проведении расчетов, обсуждении и физической интерпретации результатов.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка использованных источников из 146 наименований. Она содержит 166 страниц основного текста и 95 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования, ее теоретическая и практическая значимость, проведен обзор литературы по теме диссертации, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертационной работы посвящена проектированию (синтезу) дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем по аналоговым системам-прототипам. Основу проектирования составляет принцип импульсной инвариантности. Он заключается в том, что в аналоговом прототипе выделяется линейная диссипативная подсистема, отсчеты импульсной характеристики которой используются для преобразования уравнения движения аналоговой системы (дифференциального или интегрального) к дискретной форме. При этом динамические переменные, преобразованные нелинейностью исходной аналоговой системы, считаются входными воздействиями линейной подсистемы (п. 1.1). Таким способом синтезирован ряд дискретных автоколебательных систем томсоновского типа: разновидности ДВ-осциллятора Ван дер Поля, в том числе с запаздывающей обратной связью (ЗОС), ДВ-осцилляторы Рэлея и Дюффинга.

В частности, дискретные осцилляторы Ван дер Поля и Рэлея определяются системами разностных уравнений движения (алгоритмами генерации) вида:

у[п] = 2соК(2л£2>„Я" -'] - «»Я" ~ 2] + }РСЛ {у[п - ЦЛ» -1]),

г[л] = аг2[п-1]-2ладл],

где значение коэффициента а0 в линейной части системы (1)

«о

вычисляется по параметрам аналогового прототипа - колебательного контура с собственной частотой £20 (измеряется в единицах тактовой частоты) и добротностью <2, а множитель у>0 при нелинейном слагаемом Рс(у,г) = {[- у2)г (для осциллятора Ван дер Поля) или Рк(у,г)=(1 - г2)г (для осциллятора Рэлея) имеет физический смысл коэффициента глубины положительной обратной связи.

В п. 1.2 принцип импульсной инвариантности применяется для проектирования нелинейных ДВ-осцилляторов совместно с методом эквивалентной (гармонической) линеаризации теории нелинейных колебаний. При этом импульсная инвариантность используется для дискретизации линеаризованного уравнения аналогового осциллятора, а оценка амплитуды производится путем детектирования и низкочастотной фильтрации. Синтезированный таким способом

ДВ-осцилля! cp Bau дер Поля - Дюффинга задается следующим алгоритмом генерации:

у[п] = 2со*(2лЯ(m))a{I[n])y{n-1]- a\l\n})y[» - 2] + fr -1], /[и] = ехр(- 2л£2с)/[«-1] + 2лП,у2[п -1],

где £[/?] - сигнал внешнего воздействия, а(1)~а0 ехр(л£1„у(1 - /)), Qf(/)=Í20(1 — /z/), // - коэффициент реактивной нелинейности осциллятора Дюффинга, £2С - частота среза ФНЧ в цепи квадратичного детектирования. Предлагается также второе уравнение системы (2) формировать на основе моделирования двухполупериодного детектора, либо оценивать амплитуду путем скользящего усреднения мгновенной мощности колебаний у[п].

В п. 1.3 приведены результаты проектирования ДВ-осциллятора, имеющего в качестве прототипа генератор с инерционной нелинейностью, выполненный по схеме К.Ф. Теодорчика. Показано, что такой ДВ-осциллятор задается системой двух уравнений движения, первое из которых имеет вид

я«]=2со8(2ЛО0КЯИ -1] - <:Ап - 2] + }{\ - /[« - 1])(Я» -1] - Я" - 2]), (3)

а второе совпадает со вторым уравнением системы (2). На основе сходства уравнений движений предлагается классифицировать дискретные системы (2) и (3) как ДВ-осцшшяторы с инерционными нелинейностями.

Пример проектирования ДВ-осциллятора на основе совместного использования принципа импульсной инвариантности и метода усреднения Боголюбова - Митропольского приведен в п. 1.4. Показано, каким образом дискретизо-ванные по времени укороченные уравнения для огибающих синфазной и квадратурной составляющих колебаний неавтономного осциллятора Ван дер Поля можно использовать в алгоритме генерации ДВ-автокояебаний. В дальнейшем, в главе 2 диссертации установлено, что спектр такого ДВ-осциллятора характеризуется отсутствием гармоник основной частоты.

Во второй главе диссертации методом имитационного моделирования проведено исследование характеристик синтезированных ДВ-осцилляторов. В ряде случаев для характеристик осцилляторов получены приближенные аналитические результаты и проведено их сравнение с результатами моделирования.

В п. 2.1 даны краткие сведения о характеристиках фазовых портретов динамических систем в дискретном времени, в том числе хаотических аттракторов. Описана процедура вычисления фрактальной размерности аттрактора - его корреляционного показателя.

При моделировании автономных автоколебаний в дискретных осцилляторах Рэлея, с ЗОС, с инерционной нелинейностью (3) и инерционном осцилляторе Ван дер Поля - Дюффинга (2) установлено, что перечисленные ДВ-системы, наряду с динамическими режимами, имеют режимы хаотических автоколебаний (пп. 2.2 - 2.5). Представлены оценки спектров мощности и фрактальных размерностей аттракторов хаотических автоколебаний. В п. 2.6 приведены результаты разложений хаотических автоколебаний методом сингулярного спек-

трального анализа (CCA). Приближенное аналитическое исследование динамики автоколебаний инерционного ДВ-осциллятора Ван дер Поля методом медленно меняющихся амплитуд (ММА) выполнено в п. 2.7. Результаты расчета процесса установления автоколебаний сравниваются с результатами численного моделирования, делается вывод о применимости методики ММА в нелинейной динамике дискретного времени.

П. 2.8 посвящен анализу процессов фазовой синхронизации ДВ-автогенераторов методом ММА. Анализ проведен на примере осциллятора с уравнением движения вида

у[п] = 2 cos(2tzq0 )ссцу{п -1] - a\y\n - 2]

+

+А1 1]Хя« -1] - л» - 2])+ф - ч.

(4)

где £[и] - дискретный сигнал синхронизации. Получено нелинейное уравнение для амплитуды установившегося режима синхронных колебаний под действием внешнего дискретного гармонического сигнала и построены АЧХ и ФЧХ синхронных колебаний. Процессы установления и устойчивость установившегося режима исследованы на основе укороченного уравнения для комплексной амплитуды автоколебаний.

А[п] = А[п — 1] +

+——[од - Ма[п -1 %гр[п -1] - (5)

где 0(7.) = (г- 2а0 со$(2лП0) + - функция множителя поворота

2 = ехрО'2я£1), Е - амплитуда гармонического сигнала £[п], с(\А\,г) - средняя крутизна нелинейности автогенератора (4). В п. 2.8 дан подробный вывод уравнения (5).

В третьей главе диссертации методы проектирования нелинейных ДВ-осцилляторов используются для разработки автоколебательных моделей и моделированию автоколебаний в двухкомпонентной системе с элементами, взаимодействующими по схеме «хищник-жертва».

В п. 3.1 дан краткий обзор популяционных моделей математической биологии. За основу исследований принята модификация Вангерски-Каннингема модели Вольтерра с запаздыванием, которая в п. 3.2 для относительных отклонений численностей видов от их стационарных значений приведена к форме

(6)

си

Здесь £(*) - аддитивное внешнее воздействие, V,, ^ и // - параметры модели, а функции

А (', у, .;':)=-V, >'■ (')>'2 (0 - ю] (О,

Л(',>', V,) = V, [(1 -Ц/ V, )>■ (/) + у2(г)+V, (/)>%СО]

учитывают нелинейности системы и наличие в ней запаздывающей обратной связи, которая при определенных условиях приводит к возбуждению автоколебаний. Выделенная в (6) линейная диссипативная подсистема, в отсутствие обратной связи, релаксирует к устойчивому нулевому состоянию. Ее импульсная характеристика в п. 3.3 использована для разработки в дискретном времени автоколебательной модели «хищник-жертва». В результате для выборочных значений у[»] = у(яД) получена система разностных уравнений:

=«ГЧ(> -1]+¿Г/,[»,у]+С?М. = «ГУП» - И + «ГУП» - 2] + ЬГ/2[п -1 - т,У1 >•,[«]=>'Г)н+у;2)м. >'2м=«;2м» -1]+^221/2[« - и,У].

При этом предполагается, что интервал дискретизации А составляет целую часть времени запаздывания: Т = тА. Коэффициенты в уравнениях (7) определяются через полюсы системной функции порождающей линейной подсистемы.

В пп. 3.3 и 3.4 приведены примеры моделирования автоколебаний в системе в динамическом режиме и при наличии флуктуаций параметров запаздывания. В п. 3.5 модель (7) использована для численного эксперимента по исследованию синхронизации автоколебаний в системе «хищник-жертва» гармоническим воздействием.

Четвертая глава посвящена обсуждению возможностей применения синтезированных ДВ-осцилляторов для обработки и кодирования сигналов. В п. 4.1 описан алгоритм кодирования путем смешения информационного сигнала и хаотических автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля (4). Приведены примеры функционирования системы защиты текстовых файлов и файлов изображений (в ВМР-формате). Исследовано влияние расстройки параметров генераторов хаотических автоколебаний в системе кодер — декодер на степень защищенности информации (отношение сигнал/шум в восстановленном сигнале). Продемонстрирована высокая чувствительность системы к точности настройки частоты £20.

Пример использования фазовой синхронизации ДВ-осциллятора Ван дер Поля, синтезированного с помощью метода ММА, для детектирования частотно-модулированного сигнала приведен в п. 4.2. Далее, в п. 4.3 этот осциллятор, находящийся под действием дискретного белого шума, использован для моделирования стохастических автоколебаний с заданной шириной спектральной линии.

В пятой главе проанализированы эффекты нелинейной динамики осцилляторов, наблюдаемые при численном моделировании аналоговых систем ко-

нечно-разностными методами. Показано, что эффект подмены частот, приводящий к самосинхронизации ДВ-автогенераторов, может существенным образом исказить результаты численного моделирования автоколебательных систем (п. 5.1). В п. 5.2 на примере численного интегрирования уравнений движения осциллятора Ван дер Поля - Дюффинга продемонстрирован сопровождающий изменение шага интегрирования переход от регулярных автоколебаний к хаотическим. На основе этого предложен алгоритм генерации хаотических ДВ-автоколебаний (п. 5.3):

У[п]) I

К:3

(В)

хг[п]

у,ил

= -а:

'хЛп- 2]>

(9)

(10)

ку,[л-2]

[я«]; и/•["].

Здесь КК4{г,(л:,^)г} - разностный оператор одношагового интегрирования методом Рунге Кутта системы уравнений движения осциллятора с вектор-функцией правых частей

( V \

-4лг2П;(1-

цх

У

2лО

а

■а ¡Л 2 I

-{1-Х)}

Дискретная система (9) представляет собой резонансный фильтр с добротностью Q настроенный на частоту £2„ =0.25. Разностный сигнал (10) не содержит гармонической составляющей с частотой £2 = 0.25, присутствующей в сигнале (8).

О I 0.2

На рис. 1 приведены усредненные амплитудные спектры Х(П) и F(Q) сигналов, генерируемых по алгоритму (8НЮ) со значениями параметров

0^=0.27, /¿ = 0.04, а=3 и 0 = 50. Для оценки спектров применен метод Бартлет-та с 512-точечным дискретным преобразованием Фурье по отрезкам реализаций длины N -216. Аттрактор хаотических автоколебаний представлен на рис. 2. Он характеризуется корреляционной размерностью (корреляционным показателем) v = 1.73 ±0.05.

Далее в пятой главе дискретизация

оператора дробной производной Капуто использована в алгоритмах генерации дискретных стохастических процессов - фликкер-шума (п. 5.4) и дробного процесса Орнштейна-Уленбека (п. 5.5). Объединение алгоритмов в форме рекурсивной ДВ-системы переменного порядка имеет вид:

(1 + к)(р[\] = <?[0] + Т][Ц, (1 + к)(р[2] = 1] + а,/рт + т][ 2],

п

(1 + K)(ftri\ = -т] + 77[и], п = 3,4,...

(П)

Здесь - дискретный белый, а коэффициенты системы для процесса дробного порядка 0 < а < 1 равны

а0 = 2'~а -1, а, = 2 - 21~°, ая = -(« - 1)1_в + ат = -(т -1)1-" + 2т1~" -(т +1)1'", т = 2,3,..„и -1.

Параметр к связан с постоянной времени г стандартного процесса Орнштей-на-Уленбека отношением пропорциональности к~т~а, а для фликкер-шума к = 0. Вычислительная эффективность алгоритма генерации шума повышается при ограничении порядка рекурсивной ДВ-системы (11). При этом АЧХ системы насыщается в области низких частот, обеспечивая стационарность процессу (р\п\ на ее выходе.

На рис. 3 в качестве примера реализации генератора фликкер-шума приведена периодограммная оценка спектра мощности процесса на выходе системы (И) при а- 0.5. Оценка получена по методу Барглетта с 512-точечным преобразованием Фурье по реализации длиной ЛГ = 131072. Пунктирной линией нй рис. 3 з двойном логарифмическом масштабе показана зависимость — i/O. Как видно из графика, спектральная плотность мощности

случайного процесса щп\ в широком диапазоне частот с хорошей точностью воспроизводит спектр фликкер-шума. Неизбежный для ДВ-систем эффект наложения в окрестности частоты £2 = 0.5 при необходимости устраняется дополнительной фильтрацией.

Смесь дискретного дробного процесса Орнштейна - Уленбека и дискретного винеровского процесса исследована методом сингулярного спектрального анализа (ССА). Установлено, что характер распределения сингулярных чисел траекторной матрицы процесса <fin\ делает возможным его выделение, из смеси с помощью сингулярных спектральных разложений.

В п. 5.5 ССА временных рядов, отражающих дневные колебания отяоси-гельных курсов основных мировых валют, позволил выделить из них быструю спекулятивную составляющую со спектральными характеристиками дробного процесса Орнштейна — Уленбека. В связи с этим предложено моделировать спекулятивную составляющую с помощью рекурсивного алгоритма (il), дополненного алгоритмом формирования условной дисперсии Р(%) последовательных приращений ARCH(l)-npouecca:

Чй»]) = Ь. + blX2{n-Y\. (12)

Здесь %[п] - гауссова случайная величина с нулевым средним а дисперсией D(X[n}), b0 я b, — положительные константы (b¡ <1). Сформированный таким способом дискретный случайный сигнал fe/îj) подается на вход рекурсивной системы (11): /?[«] = Ои позволяет моделировать характерные для финансовых временных рядов отклонения одномоментной плотности вероятности от гауссовой кривой.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Приложения содержат описание алгоритма и программы сингулярного спектрального разложения временных рядов и результаты ССА временного ряда, отражающего суточные колебания курса Рубль/Евро в период с 2000 г. по 2012 г.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Разработан метод проектирования дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем, основанный на применении принципа импульсной инвариантности к гармонически линеаризованным аналоговым системам-прототипам.

2. Показано, что сочетание методов фильтрации ДВ-сигналов и усреднения в НВ-системах позволяет разработать алгоритм генерации ДВ-автоколебаний без гармоник основной частоты.

3. Синтезирован ряд новых ДВ-систем с режимами регулярных и хаотических автоколебаний. Предложено рассматривать синтезированные системы как новые объекты нелинейной динамики дискретного времени, а также использовать их в устройствах цифровой обработки сигналов и защиты информации.

4. Метод медленно меняющихся амплитуд теории нелинейных колебаний в непрерывном времени адаптирован к анализу колебаний в ДВ-автогенераторах. Проведено исследование процессов фазовой синхронизации ДВ-осциллятора Ван дер Поля гармоническим сигналом.

5. Представлена схема численного эксперимента по исследованию частотных характеристик нелинейных ДВ-осцилляторов с внешним воздействием, дана ее алгоритмическая и программная реализация.

6. Разработана ДВ-модель Вольтерра с запаздыванием, предназначенная для имитационного моделирования регулярных и стохастических автоколебаний в системе «хищник-жертва».

7. На основе теории дробного интегро-дифференцирования спроектированы стохастические ДВ-системы, преобразующие белый шум в случайный процесс с фликкерным спектром мощности и дробный дискретный процесс Орнштейна - У ленбека. Предложено использовать их при моделировании финансовых временных рядов.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зайцев В.В. Семейство ДВ-осцилляторов с режимом хаотических автоколебаний / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, A.B. Карлов (мл), A.B. Карлов // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов VII Международной научно-технической конференции. - Самара, 2008. С. 323325.

2. Зайцев B.B. ДВ-осцилляторы, порождаемые томсоновскими автоколебательными системами / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, A.B. Карлов (мл), A.B. Карлов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы (ФВПиРС). 2008. Т. 11. № 4. С. 98-103.

3. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Карлов A.B.(мл). ДВ-осциллятор с режимом хаотических автоколебаний // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: тезисы докладов VIII всероссийской научно-технической конференции. - Чебоксары, 2009. С. 17-18.

4. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл), Телегин С.С. ДВ-модель системы Вольтерра с запаздыванием // Математическое моделирование и краевые задачи: тезисы докладов VI Всероссийской научно-технической конференции. 4.2. -Самара, 2009. С. 52-54

5. Зайцев В.В., Карлов A.B.(мл), Телегин С.С. ДВ-модель системы хищник-жертва // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2009. №6 (72). С. 139-148.

6. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл), Карлов Ар.В. ДВ-осциллятор с инерционной нелинейностью // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов VIII Международной НТК. - СПб.: Политехника, 2009. С. 246-247.

7. Зайцев В.В., Карлов A.B.(мл). Защита цифровых изображений с помощью хаотических ДВ-автоколебаний // Актуальные проблемы ракетно-космической техники и ее роль в устойчивом социально-экономическом развитии общества: материалы конференции: тезисы докладов. - Самара: ФГУП «ГНПРКЦ ЦСКБ-Прогресс», 2009. С. 293-294.

8. Карлов A.B. (мл), Агибалов С.А. О синхронизации биологических осцилляторов // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов IX Международной НТК. - Челябинск, 2010. С. 241.

9. Зайцев В.В., Карлов A.B.(мл). Автогенератор с инерционной пелинейно-стью в дискретном времени // Волновые явления в неоднородных средах: труды XII Всероссийской школы-семинара. Секция 3. «Нелинейная динамика» - Москва, 2010. С. 10-11.

10. Зайцев В.В., Карлов A.B. (мл), Яровой Г.П. Метод линеаризации и алгоритмы генерации нелинейных колебаний в дискретном времени // ФВПиРС. 2010. Т. 13. N 3. С. 73-76.

11. Зайцев В.В, Агибалов С.А., Карлов A.B. (мл). Синхроштция осциллятора Ван дер Поля в дискретном времени гармоническим сигналом // ФВПиРС. 2010. Т. 13. №4. С. 47-51.

12. Агибалов С.А., Зайцев В.В., Карлов A.B. (мл). Моделирование процессов установления синхронизации ДВ-осциллятора // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2010. Вып. 2(76). С 129-137.

13. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл), Карлов Ар.В. Модель источника флуктуирующих ДВ-автоколебаний // Математическое моделирование и краевые задачи: тезисы докладов VIII Всероссийской научно-технической конфе-

ренции с международным участием, посвященной 75-летию Ю.П. Самарина. 4.2.-Самара,2011. С. 51-52.

14. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл), Карлов Ар.В. Метод усреднения и алгоритм генерации ДВ-автоколебаний // ФВПиРС. 2011. Т. 14. № 4. С. 77-80.

15. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл). Метод эквивалентной линеаризации и нелинейные динамические системы дискретного времени // Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов: тезисы докладов IX Всероссийской научно-технической конференции. - Пенза,

2011. С. 52-55.

16. Зайцев В.В.. Карлов А.В.(мл). Метод усреднения и нелинейные динамические системы дискретного времени // Физика и применение микроволн: труды XIII Всероссийской школы-семинара. Секция 10 «Нелинейная динамика» - Москва, 2011.С. 15-18.

17. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл). Хаотические автоколебания в ДВ-осцилляторе с инерционной нелинейностью // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов X Международной научно-технической конференции - Самара, 2011. С. 262-264.

18. Карлов A.B. (мл). Модель стохастического ДВ-автогенератора // Королёвские чтения: тезисы докладов международной молодежной конференции, посвященной 50-летию первого полета человека в космос - Самара, 2011. С.240.

19. Зайцев В.В.. Карлов Ар.В., Карлов А.В.(мл). Генерация сигналов и шумов ДВ-системами дробного порядка //Волновые явления в неоднородных средах: труды XIII Всероссийской школы-семинара. Секция 10 «Нелинейная динамика» - Москва, 2012. С. 17-20.

20. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл), Карлов Ар.В. Метод эквивалентной линеаризации и алгоритм генерации ДВ-автоколебаний // Нелинейный мир.

2012. Т. 10. №¡3. С.169-172.

21. Зайцев В.В., Карлов Ар.В., Карлов А.В.(мл). Дробный дискретный процесс Орнштейна - Уленбека в моделях временных рядов // Математическая физика и ее приложения: тезисы докладов III Международной конференции -Самара, 2012. С. 139-140.

22. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл). О подмене частот в численных моделях нелинейных динамических систем // Математическая физика и ее приложения: тезисы докладов III Международной конференции - Самара, 2012. С. 141-142.

23. Зайцев В.В., Карлов Ар.В., Карлов А.В.(мл). Генераторы дискретных сигналов и шумов дробного порядка// ФВПиРС. 2012. Т. 15. № 2. С. 58-61.

24. Карлов А.В.(мл), Сарников А.Ю., Стулов И.В. Взаимная синхронизация автогенераторов в дискретном времени // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов XI Международной НТК. - Екатеринбург, 2012. С. 143.

Подписано в печать 24.10.12. Формат 60 х 84/16. Бумага кссроксная. Печать оперативная. Объем - 1,25 усл. п.л. Тираж 120 -экз. Заказ № 61

Отпечатано в типографии ООО «Инсома-пресе» 443080, г.Самара, ул. Сапфировой, 110 А; тел.: 222-92^0

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СИНТЕЗ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ.

1.1. Метод импульсной инвариантности в проектировании ДВ-автогенераторов.

1.1.1. ДВ-осциллятор с ЗОС.

1.1.2. ДВ-осциллятор Рэлея.

1.1.3. ДВ-осциллятор Ван дер Поля.

1.2. Проектирование ДВ-осцилляторов методом эквивалентной линеаризации.

1.2.1. Метод эквивалентной линеаризации.

1.2.2. Семейство ДВ-осцилляторов.

1.3. Автогенератор с инерционной нелинейностью.

1.4. Метод усреднения и алгоритм генерации ДВ-автоколебаний.

ГЛАВА 2. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ.

2.1. Аттракторы дискретных автоколебательных систем и их фрактальные размерности.

2.2. Автоколебания в ДОР.

2.3. Автоколебания в дискретном осцилляторе с ЗОС.

2.4. Автоколебания в ДВИН-осцилляторе.

2.5. Автоколебания в дискретном инерционном осцилляторе Ван дер Поля -Дюффипга.

2.6. Разложение хаотических автоколебаний методом сингулярного спектрального анализа.

2.7. Моделирование автоколебаний в ДВ - осцилляторе Ван дер Поля методом ММА.

2.8. Синхронизация ДВ-осциллятора Ван дер Поля гармоническим сигналом.

2.8.1. Введение.

2.8.2. Характеристики стационарного режима синхронных колебаний.

2.8.3. Переходные процессы в ДВ-автогенераторе.

2.8.4. Устойчивость синхронных колебаний.

2.8.5. Моделирование процессов установления режима синхронизации ДВ-осциллятора.

ГЛАВА 3.ДИСКРЕТНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ МОДЕЛИ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БИОЛОГИИ

3.1. Введение.

3.2. Дифференциальная автоколебательная модель системы "хищник - жертва".

3.3. Модель "хищник - жертва" в дискретном времени.

3.4. Стохастическая модель со случайным запаздыванием.

3.5. Моделирование процессов синхронизации биологических осцилляторов.

ГЛАВА 4. ДВ-АВТОГЕНЕРАТОРЫ В ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ.

4.1. Защита информации с использованием хаотических автоколебаний.

4.1.1. Введение.

4.1.2. Алгоритм скрытой передачи информации.

4.1.3. Скрытая передача текстового файла.

4.1.4. Скрытая передача изображения.

4.2. Детектирование ЧМ-сигналов на основе эффекта фазовой синхронизации ДВ-автогенератора.

4.2.1. Синхронизация томсоновского ДВ-автогенератора внешним гармоническим сигналом.

4.2.2. Алгоритм детектирования ЧМ-сигналов в дискретном времени.

4.3. Модель стохастического ДВ-автогенератора.

ГЛАВА 5. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ И ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ.

5.1. Самосинхронизация в численных моделях нелинейных динамических систем.

5.2. Подмена частот и хаотизация автоколебаний.

5.3. Алгоритм генерации хаотических автоколебаний.

5.4. Генерация фликкер-шума.

5.5. Дробный дискретный процесс Орнштейна - Уленбека и его применения в математических моделях временных рядов.

Актуальность темы исследования

Настоящая работа развивает цикл исследований в области нелинейной динамики систем с дискретным временем, проводимых на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования Самарского государственного университета.

Исследования нелинейных динамических систем в дискретном времени (ДВ-систем) могут быть направлены на решение двух задач. Во-первых, динамика ДВ-системы при определенных условиях может качественно отражать основные свойства аналоговой системы-прототипа, функционирующей в непрерывном времени (НВ-системы). В этом случае уравнения движения ДВ-систем, имеющие форму дискретных отображений, приводят к сравнительно простым алгоритмам компьютерного моделирования. Во-вторых, нелинейные ДВ-системы могут демонстрировать динамические режимы, отсутствующие у НВ-прототипов. В таком случае нелинейные ДВ-системы представляют самостоятельный интерес для теории и практики цифровой обработки сигналов.

Автоколебательные модели занимают одну из центральных позиций в нелинейной динамике [1,2]. Они, например, используются для описания осцилляций в химических реакциях [3], в био- и экосистемах [4,5], в механических конструкциях [6]. Но наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.

В радиофизике автоколебательными системами является множество различных физических источников колебаний от генераторов на электронных лампах [7] до микроволновых и оптических квантовых генераторов [8,9]. Введено в рассмотрение и подробно исследовано множество типов аналоговых автоколебательных систем, различающихся по физическим принципам взаимодействия колебаний с источником энергии, видам нелинейностей, структурам резонаторов. Изучены основные физические явления и эффекты, сопутствующие автоколебаниям, определены способы их практического использования.

В значительно меньшей степени сказанное относится к дискретным автоколебательным системам. Традиционно теория дискретных систем развивается, ориентируясь на решение задач цифровой обработки и фильтрации сигналов [10-12]. При этом в подавляющем большинстве случаев исследуются лишь линейные системы [13].

К дискретным нелинейным динамическим системам можно отнести точечные отображения, в частности, отображения Пуанкаре [14]. Последние строятся на основе решений дифференциальных уравнений движения динамической системы (в настоящее время, как правило, численных) и служат для качественного анализа особенностей поведения исходной динамической системы в непрерывном времени. Можно также постулировать вид точечного отображения и рассматривать его как модель для описания некоторой физической ситуации [15-16]. Тем не менее, целесообразно использовать регулярный метод для проектирования нелинейных ДВ-систем с ориентировочно заданными характеристиками для нелинейной фильтрации сигналов.

Следует особо отметить, что нелинейная дискретная система может быть сравнительно легко переведена из динамического режима в режим хаотических колебаний или автоколебаний [15]. При этом характеристики хаоса определяются динамикой системы, а не внешними шумовыми источниками с независимо заданной статистикой. Подход на основе представлений о динамическом хаосе в настоящее время обоснованно считается весьма плодотворным при вероятностной интерпретации многих явлений окружающей среды. Кроме того, генераторы хаотических автоколебаний имеют широкие перспективы применения в устройствах.

Таким образом, специфика автоколебаний в ДВ-системах определяет актуальность задачи их детального и систематического исследования на основе методов математического моделирования, цифровой обработки сигналов и радиофизической теории нелинейных колебаний.

Цель диссертационной работы состоит в проектировании ДВ-осцилляторов томсоновского типа, обладающих режимами регулярных и хаотических автоколебаний, исследовании их характеристик и возможностей применения для решения задач обработки сигналов и моделирования систем различной физической природы.

Методы исследования

Работа выполнена на основе методов теории колебаний, математического моделирования, спектрально-корреляционной теории случайных процессов, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна работы определяется:

- введенными в рассмотрение новыми объектами нелинейной динамики дискретного времени;

- методикой и результатами численного эксперимента с синтезированными дискретными автоколебательными системами;

- обобщением метода ММА теории нелинейных колебаний на дискретные автоколебательные системы с внешними воздействиями;

- обнаруженными новыми хаотическими аттракторами дискретных осцилляторов с запаздывающими связями и инерционными нелинейностями;

- математической моделью двухкомпонентных систем с взаимодействием по схеме «хищник-жертва»; б

- алгоритмами генерации случайных процессов с фликкерными спектрами мощности.

Практическая ценность работы

Предложенные в диссертационной работе методы проектирования нелинейных ДВ-осцилляторов и численного анализа автоколебаний в дискретном времени могут найти применение при решении задач проектирования цифровых устройств обработки сигналов и защиты информации, для моделирования систем различной физической природы, в учебном процессе высших учебных заведений.

Обоснованность результатов диссертации определяется использованием математически строгих и физически аргументированных методов исследования. Их достоверность подтверждается:

- количественной согласованностью аналитических результатов с результатами численного эксперимента;

- соответствием ряда результатов математического моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

- соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

На защиту выносятся следующие основные положения

1. Метод проектирования дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем по линеаризованным аналоговым прототипам.

2. Новые ДВ-автоколебательные системы как объекты нелинейной динамики в дискретном времени и как составные части цифровых систем нелинейной обработки и кодирования сигналов.

3. Результаты анализа и численного моделирования регулярных и хаотических автоколебаний в синтезированных ДВ-осцилляторах.

4. Модель системы Вольтерра с запаздыванием и дискретным временем, предназначенная для имитационного моделирования детерминированных и шумовых воздействий на систему «хищник-жертва».

5. Эффект подмены частот в численных моделях нелинейных динамических систем и его следствия.

6. Алгоритмы генерации стохастических процессов, основанные на дискретизации аналоговых систем с дробно-дифференциальными уравнениями движения.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на

- VI - XI Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Казань, 17-21 сентября 2007 г.; г.Самара, 15-21 сентября 2008 г.; г. Санкт-Петербург, 15-18 сентября 2009г.; г.Челябинск, 13-17 сентября 2010г.; г.Самара, 11-17 сентября 2011 г.; г. Екатеринбург, 26-28 сентября 2012 г.);

- VIII Всероссийской научно-технической конференции «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем» (г. Чебоксары, 2009 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы ракетно-космической техники и ее роль в устойчивом социально-экономическом развитии общества », посвященной 50-летию образования ЦСКБ и 90-летию со дня рождения Д.И. Козлова (г. Самара, 28 сентября - 3 октября 2009 года);

- XII-XIII Всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (г. Москва, 24 - 29 мая 2010 г.; г. Москва, 24 - 29 мая 2012 г.);

- IX Всероссийской научно-технической конференции «Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов» (г. Пенза, 24 - 25 мая 2011 г.);

- XIII Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн» (г. Москва, 23-28 мая 2011 г.);

- Международной молодежной конференции, посвященной 50-летию первого полета человека в космос «Королевские чтения» (г. Самара, 4-6 октября 2011 г.);

- VI Всероссийской научно-технической конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 1 — 4 июня 2009 г.) и VIII Всероссийской научно-технической конференции с международным участием, посвященной 75-летию Ю.П. Самарина «Математическое моделирование и краевые задачи» (г.Самара, 15 - 17 сентября 2011 г.);

- III Международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 27 августа - 1 сентября 2012 г.)

Публикации

По материалам диссертации опубликованы 24 работы, в их числе 8 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание степени доктора и кандидата наук, и 16 публикаций в материалах научно-технических конференций.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка использованных источников из 147 наименований. Она содержит 165 страниц текста и 95 рисунков.