автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Квазирезонансные стабилизирующие воздействия на нелинейные системы с хаотической динамикой

На правах рукописи

ЦЕНЦЕВИЦКИЙ АНДРЕЙ АНДРЕЕВИЧ

КВАЗИРЕЗОНАНСНЫЕ СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ (АНАЛИЗ И СИНТЕЗ)

Специальность 05.12.04 - Радиотехника, в том числе системы и устройства радионавигации, радиолокации и телевидения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань 2004

Paботa выполнена на кафедре Радиоэлектронных и квантовых устроист Казанского государствснного технического университета имени А.Н.Туполева.

Научный руководитель:

доктор технических наук, доцент Афанасьев В.В.

11аучный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Польский Ю.Е.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Песошин В.А.

кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник Архипов В.И.

Ведущая организация: Федеральное государственное унитарное

предприятие Федеральный научно-производственный центр

«Радиоэлектроника» имени В.И. Шимко.

Защита состоится « б » декабря 2004 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д.212.079.04. в Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева по адресу: 420111, г.Казань, ул. К.Маркса, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского госу дарственного технического университета им.А.Н.Туполева.

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук

юъъъ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Интенсивное изучение нелинейных систем с хаотической динамикой в последние два-три десятилетия обусловлено их многочисленными практическими приложениями в различных областях науки и техники. В радиотехнике нелинейные динамические системы с хаотическим поведением применяются для описания динамики процессов, происходящих в квантовых генераторах, автогенераторах с инерционной обратной связью, системах фазовой автоподстройки частоты, системах стабилизации и нагрева плазмы, в конфиденциальных системах связи, использующих хаотические сигналы.

Важнейшей особенностью нелинейных систем с динамическим хаосом является возможность возникновения в них двух принципиально различных режимов - регулярного и хаотического. Актуальной является задача обеспечения требуемого режима работы радиофизических устройств и систем с динамическим хаосом. Создание квантовых генераторов с высокой стабильностью частоты излучения затруднено возможностью появления нерегулярного режима колебаний в активном веществе лазера. В системах фазовой автоподстройки частоты, являющихся основой построения многих устройств в системах связи и радиолокации, при переходе к фильтрам второго и более высоких порядков, возникновение хаотического режима под влиянием изменения параметров схем, наличия паразитных связей и т.д. приводит к сбою в работе системы. Обеспечение регулярного режима работы является необходимым условием увеличения надежности и улучшения характеристик этих систем. Широкое применение нелинейных систем с хаотической динамикой в качестве формирователей псевдослучайных сигналов вызывает необходимость обеспечения воспроизводимости их параметров и статистических характеристик, в связи с чем возникает потребность стабилизации стохастического режима источников хаотического сигнала.

В настоящее время не существует общих методов решения систем дифференциальных уравнений, порождающих динамический хаос. К эффективным методам исследования нелинейных систем с хаотической динамикой следует отнести метод точечных отображений Пуанкаре, метод функций Ляпунова, метод расщепления сепаратрис Мельникова, метод геометрических представлений, метод математического моделирования с применением ЭВМ.

Исследованию динамического хаоса и его применений посвящены работы М.Либермана, АЛихтенберга, ЭЛоренца, Г.Хакена, О.Ресслера, Д.Рюэля, Ф.Такенса, Л.Чжуа. Среди отечественных ученых необходимо выделить имена В.С.Анищенко, А.С.Дмитриева, А.Н.Ораевского, М.И.Рабиновича, ЮЛ.Климонтовича, М.В.Капранова, СП. Кузнецова,

A.П.Кузнецова, В.Н.Кулешова, А.И.Панаса, В.А.Песошина, Ю.Е.Польского,

B.В.Афанасьева, Д.И.Трубецкова, С.О.Старкова и других.

Задача стабилизации поведения нелинейных динамических систем с хаотическим поведением связана с проблемой обеспечения устойчивой работы радиотсхничсских и квантовых устройств, а также обеспечения работоспособности современных скрытных систем передачи, приема и хранения информации. Известны различные виды внешних стабилизирующих воздействий - инерционные, квазистационарные, параметрические, квазирезонансные, однако отсутствие общих методов анализа нелинейных систем с динамическим хаосом и общих методов синтеза стабилизирующих воздействий делает актуальной задачу поиска новых методов синтеза стабилизирующих воздействий на динамические системы с хаотическим поведением.

Цель работы - разработка метода анализа и синтеза внешних стабилизирующих квазирезонансных воздействий на сложные нелинейные системы с динамическим хаосом.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Представление нелинейных систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля в виде нелинейного осциллятора с обобщенными параметрами -обобщенным диссипативным и обобщенным свободным членом.

2. Изучение качественной взаимосвязи поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля с характсром изменения обобщенного свободного члена и обобщенного диссинативного члена.

3. Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на основе обобщенных параметров нелинейного осциллятора.

4. Анализ энергетической эффективности различных видов стабилизирующих воздействий на динамические системы с хаотическим поведением.

Методы исследований. В работе использованы количественные и качественные методы теории колебаний, методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы математического моделирования и численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений.

Достоверность и обоснованность научных выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертационной работе, обеспечивается корректным использованием методов теории колебаний, результатами математического моделирования, сопоставлением с теоретическими и экспериментальными данными других авторов.

Научная новизна работы представлена следующими результатами:

1. Предложено представление нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

2. Определена качественная зависимость поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля от характера изменения обобщенного диссипативного члена и обобщенного свободного члена.

3. Развиты методы синтеза квазирезонансных стабилизирующих воздействий.

4. Проведена оценка энергетической эффективности квазирезоиаисиых стабилизирующих воздействий на нелинейные системы с динамическим хаосом.

Практическая ценность, реализация и внедрение результатов исследований.

1. Разработана методика оценки поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Ван-дер-Поля, Дуффинга по характеру изменения обобщенных параметров системы - обобщенного свободного члена и обобщенного диссипативного члена.

2. Разработано программное обеспечение для проведения численного моделирования стабилизирующих внешних воздействий на динамические системы Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля.

3. Обоснованы инженерные рекомендации выбора параметров энергетически эффективных квазирезонансных стабилизирующих воздействий в радиофизических устройствах с динамическим хаосом.

Результаты, полученные в ходе выполнения диссертации, вошли в материалы научно - исследовательских работ:

Научно-техническая программа «Научные исследования по приоритетным направлениям науки и техники», подпрограмма 209. Информационно-телекоммуникационные технологии, раздел 209.05 Теория и техника обработки и формирования сигналов в радиотехнических системах, НИР 209.05.01.34. «Управление регулярными и хаотическими колебаниями в нелинейных радио-и оптоэлектронных системах при помощи инерциальных воздействий», Гос. регистрац. № 01.2.00308758.

Программа развития приоритетных направлений науки в Республике Татарстан на 2001-2005 годы, НИР № 06-6.1-111/2002(0) с Академией наук РТ «Анализ стабилизирующих воздействий на различные виды нелинейных динамических систем со странными аттракторами при помощи моделирования на ЭВМ»; НИР №06-6.1-188/2004(0) «Методы -анализа и стабилизации нелинейных устройств и систем с динамическим хаосом».

Материалы диссертационной работы практически использованы в учебном процессе кафедры радиоэлектронных и квантовых устройств КГТУ при подготовке бакалавров, инженеров и магистров по специальностям 2007 и 2015 направления «Радиотехника».

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- Международная конференция «Современные проблемы физики и высокие технологии» (Томск, ТГУ, 2003г.)

- Юбилейная научно-техническая конференция «Автоматика и электронное приборостроение» (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 2001г.)

з

- Итоговая конференция Республиканского конкурса научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.ИЛобачевского (Казань, КГУ им. В.И.Ульянова-Ленина, 2002г.);

- СНТК РТФ КГТУ им. А.Н.Туполева, посвященная дню Радио (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1998г.);

- СНТК РТФ КГТУ им. А.Н. Туполева, посвященная дню Радио, секция «Радиотехника», (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1999г.);

- Итоговая университетская научно-техническая конференция студентов (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1999г.);

- Конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000г.)

- НТК «IX Всероссийские Туполевские чтения студентов» (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 2000)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах, включая 5 статей и 8 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка. Общий объем работы 122 страницы. Основной текст диссертации содержит 109 страниц машинописного текста, 108 формул, 44 рисунка и 9 таблиц. Список литературы содержит 112 наименований.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Представление нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

2. Методика оценки поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля на основе обобщенных параметров нелинейного осциллятора - обобщенного свободного члена и обобщенного диссипативного члена.

3. Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на основе представления нелинейных динамических систем в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

4. Сравнение энергетической эффективности квазирезонансных стабилизирующих воздействий на нелинейные системы с динамическим хаосом.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель и основные защищаемые положения, показана научная новизна и практическая значимость работы. Приведено описание структуры диссертации.

В первой главе проведено сопоставление методов анализа нелинейных систем с хаотическим поведением (метода расщепления сепаратрис Мельникова, метода геометрических представлений, метода характеристических показателей Ляпунова, метода функций Ляпунова, метода

численного моделирования) с целью определения возможностей их применения для решения задач, возникающих при исследовании систем с динамическим хаосом. Предложен метод описания нелинейных систем с динамическим хаосом на основе обобщенного нелинейного осциллятора.

Динамической системе, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений, ставится в соответствие новая функция, определенные свойства которой отражают свойства исходной динамической системы. Во многих случаях не требуется детальное описание поведения динамической системы, значимыми факторами являются только наличие или отсутствие устойчивости, вид формы колебаний. Представление нелинейных динамических систем с хаотическим поведением на основе нелинейных осцилляторов позволяет найти такие функции, которые позволяют судить об определенных свойствах динамической системы в целом.

Согласно теории дифференциальных уравнений систему из грех дифференциальных уравнений первого порядка всегда возможно без упрощений представить в виде дифференциального уравнения одной переменной второй степени справой частью. Общий вид такого уравнения:

(где а - коэффициент затухания, характеризующий диссипацию в системе, /?

квадрат частоты собственных колебаний осциллятора, ) представляет собой уравнение, описывающее поведение линейного осциллятора с затуханием.

Уравнение (1) может быть формально записано в виде:

(3)

или в виде:

(4)

В уравнениях (3)-(4) можно выделить, по аналогии с (2), обобщенные параметры системы - обобщенный диссипативный член и обобщенный свободный член. Обобщенный диссипативный член для (3) имеет вид:

Обобщенный свободный член, как следует из (4), определяется по:

ЯХЛ)

а„, = а,

(5)

х,,

(6)

Представление нелинейных динамических систем с хаотическим поведением в виде обобщенного нелинейного осциллятора позволяет связать полученные обобщенные параметры с оценками энергии в системе. С точки зрения физической интерпретации представления осциллятора, обобщенный

диссипативный член связан с мгновенной диссипацией энергии в системе, а обобщенный свободный член характеризует потенциальную энергию системы.

Во второй главе проведен анализ поведения динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля на основе анализа поведения обобщенных параметров нелинейного осциллятора — обобщенного свободного члена и обобщенного диссипативного члена.

Динамическая система Лоренца, одна из наиболее часто встречающихся нелинейных систем с динамическим хаосом, имеет вид:

(7)

где - переменные системы, К,сх,Ь - параметры.

В радиоэлектронике уравнениями, сходными с уравнениями (7), описывается динамика процессов квантового генератора, когда параметр пропорционален добротности резонатора и интенсивности накачки лазера, сг зависит от собственной частоты резонатора, определяется характеристиками активной среды [Ораевский В.Н.].

Обобщенный свободный член для динамической системы Лоренца в зависимости от выбора переменной принимает вид:

Путем математического моделирования поведения динамической системы Лоренца установлено, что качественный характер вида колебаний и динамики изменения амплитуды обобщенного свободного члена сохраняется для каждой переменной системы в зависимости от наличия в системе хаотического либо регулярного режима (рис. 1-2).

Показано, что при начальных условиях системы, близких к точке равновесия, обобщенный свободный член представляет собой квазигармонические колебания с изменяющейся амплитудой.

Динамика амплитуды колебаний обобщенного свободного члена определяется состоянием динамической системы Лоренца: при наличии в системе устойчивого режима амплитуда колебаний обобщенного свободного члена уменьшается, при наличии в динамической системе Лоренца хаотического режима - увеличивается.

Таким образом, путем математического моделирования установлено, что динамика изменения во времени обобщенного свободного члена для каждой

переменной нелинейной системы Лоренца однозначно определяет поведение системы.

Рис.1. Обобщенный свободный член

Рис.2. Обобщенный свободный член

динамической системы Лоренца при наличии динамической системы Лоренца при наличии в системе устойчивого режима в системе хаотического режима

Обобщенный диссипативный член для динамической системы Лоренца в зависимости от выбора переменной может быть записан в виде:

Путем математического моделирования обобщенного диссипативного члена динамической системы Лоренца при начальных условиях системы, близких к точке равновесия, установлено, что наличие в динамической системе Лоренца регулярных либо хаотических колебаний определяется динамикой изменения минимума обобщенного диссипативного члена (рис.3-4).

В случае хаотических колебаний значение минимума функции обобщенного диссипативного члена динамической системы Лоренца уменьшается, при наличии в системе регулярных колебаний - увеличивается (кривая 1 на рис.3-4).

Рис.3. Обобщенный диссипативный члена^ при наличии в динамической системе Лоренца устойчивого режима.

Рис.4. Обобщенный диссипативный член аи при наличии в динамической системе Лоренца хаотического режима

В работе исследована возможность применения предлагаемых обобщенных параметров нелинейного осциллятора для качественного анализа поведения динамической системы Ресслера.

Уравнения, описывающие систему Ресслера имеют вид:

(14)

где X,Y,Z - переменные, к,а,с,с1 - параметры системы.

Обобщенный диссипативный член динамической системы Ресслера (при Л =0)для переменной X может быть записан в виде:

Путем математического моделирования установлено, что вид колебаний и динамика изменения обобщенного диссипативного члена динамической системы Ресслера в зависимости от состояния системы аналогичны виду колебаний и динамике изменения обобщенного диссипативного члена динамической системы Лоренца.

Обобщенный свободный член динамической системы Ресслера (при ¡1 = 0 ) для переменной X может быть записан в виде:

А„х=к +-+У + с--2-

(18)

(19)

(20)

л. ^

Путем математического моделирования установлено, что форма обобщенного свободного члена динамической системы Ресслера, при начальных условиях системы, близких к точке равновесия, представляет собой квазигармонические колебания с изменяющейся амплитудой. Динамика изменения амплитуды колебаний зависит от наличия в динамической системе Ресслера хаотического либо регулярного режима и качественно совпадает с динамикой изменения обобщенного свободного члена динамической системы Лоренца.

Проведенное в работе исследование обобщенных параметров нелинейных динамических систем Дуффинга и Ван-дер-Поля методом математического моделирования позволяет сделать вывод о возможности определения режима колебаний в системе с помощью анализа поведения обобщенных параметров этих систем.

Таким образом, динамика изменения обобщенных параметров -обобщенного свободного члена и обобщенного диссипативного члена -позволяет однозначно определять наличие или отсутствие регулярного режима в нелинейных динамических системах Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля.

В работе рассматривалась возможность использования линеаризованного в первом приближении обобщенного свободного члена динамической системы Лоренца для описания поведения системы. Путем математического моделирования установлено, что обобщенный свободный член в линейном приближении адекватно описывает поведение динамической системы Лоренца только до первой смены фазовой траекторией областей фазового пространства с различными состояниями равновесия.

В третье главе рассмотрен метод синтеза внешних квазирезонансных управляющих воздействий на параметры динамических систем и исследована энергетическая эффективность внешних воздействий на различные параметры системы.

Изменение во времени квадрата амплитуды обобщенного свободного члена динамической системы Лоренца имеет вид:

¿(А*)1 (¡1

- я+щху-ьг)=@г(().

(21)

- координата точки равновесия. Так как является линейной функцией относительно параметра

системы то:

<*ег(о

= -2{2, - .

(22)

Поэтому, внешнее стабилизирующее воздействие на параметр должно быть следующим:

</ег(р

(23)

Обобщенный диссипативный член динамической системы Лоренца (8) пропорционален колебанию координаты около точки равновесия Поскольку известно, что при зарождении в динамической системе Лоренца странного аттрактора траектория системы в фазовом пространстве совершает движение по раскручивающейся спирали в пространстве трех переменных, то из (21) следует, что внешние воздействия, препятствующие нарастанию амплитуды колебаний , будут также являться стабилизирующими.

Уравнения динамики изменения колебаний координат около положения равновесия относительно могут быть записаны в виде:

¿(Х-Х0)2

dt

<*(У-Го)2 .

= 2 <т(л--лг,ху-л>в,(0;

л

(24)

(25)

где Л',, = У0 = -1) - координаты точки равновесия.

Так как ©х(0, ву^), являются линейными функциями относительно параметров системы о, Я соответственно, то dQ.it) _

da ¿вг( О dR

= 2(Х-Х0)(У-Х)

= 2(Г-¥0)Х

(26)

(27)

Из (26) следует, что для обеспечения максимального демпфирования колебаний X около Х<>, параметр а необходимо увеличивать в те моменты времени, когда и уменьшать, когда то есть модуляцию

параметра С необходимо осуществлять по закону:

/аЫ = -2(Х-Х0)(¥-Х) (28)

Аналогично, для максимального демпфирования колебаний У около Уо:

2(У-У,)* (29)

Данный вид внешних воздействий основан на отслеживании текущего значения выбранной переменной, причем величина внешнего воздействия зависит от текущего значения переменных, поэтому такое воздействие можно назвать следящим квазирезонансным воздействием.

В качестве оценки энергетической эффективности стабилизирующих воздействий в работе принято среднеквадратичное значение минимальной глубины модуляции параметра системы, необходимой для перевода системы из стохастического режима в регулярный.

где Ткол - период квазирезонансных колебаний системы,

m - постоянный коэффициент, влияющий на глубину модуляции парамира системы,

- функция, определяющая форму воздействия.

Система считается стабилизированной, если в фазовом прост ранете системы под влиянием внешних воздействий образуется аттракторы типа предельного цикла либо устойчивого фокуса

В работе оценивалась энергетическая эффективность следящих стабилизирующих воздействий на различные параметры динамической системы Лоренца в зависимости от начального отклонения от положения равновесия Д:

4(Хп - Хо)г + (Уп - Уо)2 + (2п - 2а)г

Д = -

(31)

]хо2+Уог+г02

где Хп, Уп, Тл - начальные условия.

Техническая реализация следящих воздействий достаточно сложна, поэтому целесообразно исследовать возможность стабилизации динамической системы Лоренца значительно проще реализуемым импульсным воздеййствием, определяемым знаком текущего отклонения переменной от состояния равновесия:

Р = Р0 + Р0/изёп(Т(0), (32)

где - один из параметров системы

m - величина, характеризующая глубину модуляции параметра, Т (О = Х(0 - Х0, либо - Уо, либо Х(Х) - 20

Методом математического моделирования показано, что в динамической системе Лоренца следящее квазирезонансное воздействие более энергетически эффективно, чем импульсное квазирезонансное воздействие на соответствующие параметры (рис.5).

Установлено, что наиболее энергетически выгодно стабилизирующее воздействие на динамическую систему Лоренца, находящуюся в хаотическом режиме, при воздействии на параметры

Установлено, что следящие воздействия на параметры динамической системы Лоренца позволяют обеспечить в фазовом пространстве системы возникновение притягивающего аттрактора типа устойчивого фокуса.

В работе исследовалась возможность стабилизации динамической системы Лоренца квазирезонансными воздействием при возможности в фазовом пространстве системы смены областей фазового пространства с различными состояниями равновесия. При этом существенно снижаются энергетические затраты на стабилизацию системы: при допущении более тpex смен фазовых областей с различными состояниями равновесия, коэффицисш

модуляции т может составлять 60-100% от требуемого для стабилизации без допущения смен фазовых областей с различными состояниями равновесия. При количестве смен фазового пространства с различными состояниями равновесия более 10, т может составлять не более 20-60% от требуемого для безусловной стабилизации. Предложенный метод стабилизации применим в реальных устройствах и системах в том случае, если смена фазовой траекторией областей фазового пространства с различными состояниями равновесия системы не приведет к сбоям в ее работе.

м, %

30 25 20 15 10 5 0

Рис.5. Сравнительная энергетическая эффективность квазирезонансных воздействий на параметры динамической системы Лоренца.

1 - следящее воздействие на параметр Я, 2 - следящее воздействие на параметр Ь, 3 - импульсное воздействие на параметр Я, 4 - импульсное воздействие на параметр Ь

Установлено, что в фазовом пространстве динамической системы Лоренца существует область значений, находясь в которой, система после одной смены области фазового пространства с различными положениями равновесия оказывается около положения равновесия, что позволяет повысить энергетическую эффективность стабилизирующих воздействий.

Оценка границ этой области производилась по возможности стабилизации динамической системы Лоренца при воздействии на. нее квазипериодическим импульсным воздействием с амплитудой, достаточной для стабилизации динамической системы Лоренца без смен фазовой траекторией областей с различными состояниями равновесия при 5% начальном отклонении ее от положения равновесия. На основе численного моделирования получена оценка следующих границ исследуемой области:

17<Х<21 2<У<19 48<г<52, для Л = 28,Ь = 8/3,сг = 10

Наличие такой области позволяет осуществлять стабилизацию динамической системы Лоренца с меньшими энергозатратами.

В работе исследованы квазирезонансные стабилизирующие воздейавия на динамическую систему Ресслера. Методом математического моделирования показано, что квазирезонансное импульсное воздействие на параметр энергетически выгоднее, чем квазирезонансное импульсное воздействие на параметр

Для динамической системы Ресслера, с учетом динамики изменения обобщенного свободного члена, синтезировано квазирезонансное возденет вис.

Изменение во времени квадрата амплитуды обобщенного свободного члена динамической системы Ресслера является сложной функцией переменных и линейной функцией -параметров сисгемы:

Для обеспечения максимального демпфирования модуляцию параметра к необходимо осуществлять но

закону:

Л(0=-

(33)

<Ис У2

Путем математического моделирования установлено, что воздействие вида (33) на параметр к динамической системы Ресслера энергетически эффективнее импульсного воздействия на параметр к.

Рис.6. Сравнительная энергетическая эффективность квазирезонансных воздействий па параметры динамической системы Ресслера. 1 - следящее воздействие на параметр а, 2 — импульсное воздействие на параметр а 3 - импульсное воздействие на параметр к, 4 - воздействие вида (33) на параметр к

В работе осуществлен синтез следящего квазирезонансного воздействия на динамическую систему Ресслера.

Производная квадрата отклонения координаты У от положения равновесия может быть записана в виде:

где У* = -—— - координата точки равновесия динамической системы Ресслера.

Для демпфирования колебаний У относительно Уо воздействие на параметр должно осуществляться по закону:

(35)

Установлено, что в динамической системе Ресслера следящее воздействие на параметр а более энергетически эффективно, чем квазирезонансные импульсные воздействия на параметры а И к (рис.6).

Таким образом, на основе обобщенного свободного члена нелинейного осциллятора возможен синтез энергетически эффективных квазирезонансных стабилизирующих воздействий.

В четвертой главе показана возможность применения программного обеспечения, разработанного для выполнения математического моделирования нелинейных систем с динамическим хаосом, при подготовке бакалавров, инженеров и магистров по специальностям 2007 и 2015 направления «Радиотехника».

Путем математического моделирования установлено, что квазирезонансные внешние воздействия позволяют осуществить стохатизацию динамической системы Лоренца, находящейся в регулярном режиме, что может быть использовано для получения псевдослучайных последовательностей в системах связи, применяющих хаотические сигналы.

Применение теории квазирезонансных стабилизирующих воздействий, с точки зрения модуляции параметров, позволяет объяснить ранее полученные результаты по стабилизации характеристик излучения одномодового квантового генератора

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Главный результат исследований автора, включенных в настоящую диссертацию, заключается в достижении основной цели работы - разработке метода анализа и синтеза стабилизирующих квазирезонансных воздействий на сложные нелинейные системы с динамическим хаосом на основе представления их в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

1. Показано, что представление нелинейных динамических систем с хаотическим поведением в виде нелинейного осциллятора позволяет определить обобщенные параметры системы - обобщенный диссипативный член и обобщенный свободный член - поведение которых определяет поведение нелинейной системы с хаотической динамикой в целом.

2. Установлена качественная взаимосвязь поведения обобщенных параметров нелинейных систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля, с

¿(У - У*\2 у 0 ' = 2(У - У„*Х*2 -аУ) = Ч»ДО

аа

наличием регулярного режима и режимом динамического хаоса в этих системах.

3. Определена область, в которой обобщенный свободный член, полученный на основе представления динамической системы Лоренца в виде нелинейного осциллятора, в линейном приближении позволяет адекватно описывать поведение системы.

4. С учетом динамики обобщенных параметров нелинейного осциллятора осуществлен синтез следящих стабилизирующих воздействий на параметры динамической системы Лоренца. Показана энергетическая эффективность следящих воздействий по сравнению с импульсными квазирезонансными воздействиями.

5. На основе анализа поведения обобщенных параметров нелинейного осциллятора синтезированы квазирезонансные стабилизирующие воздействия на параметры нелинейной системы Ресслера.

6. Произведена оценка энергетической эффективности различных видов квазирезонансных стабилизирующих воздействий на нелинейные динамические системы Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля.

7. Обоснованы возможности повышения энергетической эффективности квазирезонансных стабилизирующих воздействий для динамической системы Лоренца при допущении в фазовом пространстве системы смен областей фазового пространства с различными состояниями равновесия.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ, ОТРАЖАЮЩИХ ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ценцевицкий А.А. Исследование динамической системы Лоренца при помощи Mathcad 7.0Pro: Тез. докл. Итоговая университетская научно-техническая конференция студентов. Конкурс дипломных проектов 1998-99 учебного года. Казань. 1999. - Казань: КГЩКАИ), 1999. - с.57.

2. Ценцевицкий А.А. Математическое моделирование процессов в динамической системе со странным аттрактором: Тез. докл. Материалы I научно-технической конференции студентов и аспирантов. Казань.2000. -Казань: Новое знание. 2000. - с.8.

3. Ценцевицкий А.А. Исследование влияния бифуркационных процессов на управляемость динамической системы Лоренца: Тез. докл. НТК «IX Всероссийские Туполевские чтения студентов». Казань. 2000. - Казань. КГТУ. 2000. Т.2. - с.99. "

4. Ценцевицкий А.А. Управление поведением динамической системы Лоренца при многократных бифуркациях: Тез. докл. Материалы второй научно-технической конференции студентов и аспирантов. Казань. 2001. - Казань: Новое знание, 2001. - с.5-6.

5. Ценцевицкий А.А. Математическое моделирование процессов в динамической системе со странным аттрактором [Электронный ресурс]: Тез. докл. «Конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН», Новосибирск, 25-26 декабря 2000г. -Режим доступа:

|1»р7Лу\у\\.icl.nsc.ru/vvs/show аЬ81гас1.с1111т1?ги+9+1115

6. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Торопов А.Ю., Чернявский В.В., Ценцевицкий А.А. Влияние квазиоптимальных управляющих воздействий на поведение радиофизических систем с динамическим хаосом // Вестник КГТУ. !999.№4.с.33-37.

7. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Ценцевицкий А.А. Управление поведением нелинейных радиофизических систем с динамическим хаосом: Тез. докл. Юбилейная научно-техническая конференция «Автоматика и электронное приборостроение». Казань, 2001.- Казань: Экоцентр, 2001. - с. 115-116.

8. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Ценцевицкий А.А. Анализ поведения динамической системы Лоренца при помощи обобщенных представлений нелинейного осциллятора // Электронное приборостроение. Научно -практический сборник. Выпуск 4(20). Казань: КГТУ (КАИ), Консорциум «Микроэлектроника». 2001. с.16-21.

9. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Ценцевицкий А.А. Влияние зеркальных переходов на фазовой плоскости на эффективность управления поведением динамической системы Лоренца // Электронное приборостроение. Научно -пракжческий сборник. Выпуск 4(20). Казань: КГТУ(КАИ), Консорциум «Микроэлектроника». 2001. с.22-28.

10. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Ценцевицкий А.А. Методы управления поведением нелинейных радиофизических систем 'с динамическим хаосом: Тез.докл. Республиканский конкурс научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И.Лобачевского. Тезисы итоговой конференции. Казань, 2002. - Казань: КГУ, 2002. Т.1. - с.24-25.

11. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Ценцевицкий А.А Анализ систем с хаотической динамикой на основе представления в виде нелинейного осциллятора: Тез.докл. Материалы Международной НТК «Современные проблемы физики и высокие технологии». Томск. 2003. —Томск: ТГУ, 2003. -с. 177-179.

12. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Ценцевицкий А.А. Представление систем с хаотической динамикой в виде нелинейного осциллятора. // Вестник КГТУ. 2003. №4. с.37-39.

13. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Ценцевицкий 'А.А. Управление поведением нелинейных динамических систем со.странными аттракторами детерминированными и случайными инерциальными воздействиями для аабилизации характеристик плазмы, лазеров и сложных радио- и онтэлсктронных систем. Этап 2001 г. Разработка методов анализа управляющих и стабилизирующих инерциальных воздействий на нелинейные динамические системы со странными аттракторами. Сборник отчетов конкурсных проектов 2001. с.239-240.

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ.л. 1,0. Усл.печ.л. 0,93. Усл.кр.-отт. 0,98. Уч.-изд.л. 0,97. _Тираж 100. Заказ_

ЧУ2 52.

Типография Издательство Казанского государственного технического университета 420111, Казань, К.Маркса, 10

»21668

РНБ Русский фонд

2005-4 20898

Введение

Глава 1. Сравнительный анализ методов исследования нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.

1.1 .Отличительные особенности динамических систем с хаотическим поведением.

1.2. Сравнительный анализ методов анализа динамических систем.

1.3. Представление динамических систем в виде нелинейного осциллятора.

Выводы по главе.

Глава 2. Анализ поведения нелинейных динамических систем на основе представления в виде нелинейного осциллятора.

2.1. Анализ поведения динамической системы Лоренца на основе обобщенных параметров нелинейного осциллятора.

2.2. Анализ поведения динамической системы Ресслера на основе представления в виде нелинейного осциллятора.

2.3. Аналитическая оценка качественного поведения динамической системы Лоренца на основе представления в виде нелинейного осциллятора.

2.4. Анализ поведения динамических систем Дуффинга и Ван-дер-Поля на основе представления в виде нелинейного осциллятора.

Выводы по главе.

Глава 3 Синтез внешних квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамические системы с хаотическим поведением.

3.1. Синтез внешних квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамическую систему Лоренца и их исследование с точки зрения энергетической эффективности.

3.2. Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамическую систему Ресслера на основе представления в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

3.3. Стабилизация систем Ван-дер-Поля и Дуффинга внешними квазирезонансными воздействиями.

Выводы по главе.

Глава 4. Применение квазирезонансных стабилизирующих воздействий в нелинейных системах с хаотической динамикой.

4.1. Математическое моделирование квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамическую систему Лоренца при помощи программного пакета Ма^сас!.

4.2. Применение квазирезонансных воздействий для получения псевдослучайных последовательностей.

4.3. Применение результатов исследования поведения системы Лоренца для анализа динамики квантового генератора с нестационарными параметрами резонатора.

Интенсивное изучение нелинейных систем с хаотической динамикой в последние два - три десятилетия обусловлено их многочисленными практическими приложениями в различных областях науки и техники [48, 56, 90, 110]. В радиотехнике нелинейные динамические системы с хаотическим поведением применяются для описания динамики процессов, происходящих в квантовых генераторах [75, 76], автогенераторах с инерционной обратной связью [28, 54, 55], системах фазовой автоподстройки частоты [5, 89], системах стабилизации и нагрева плазмы [10, 34, 106], в конфиденциальных системах связи, использующих хаотические сигналы [26, 44-46, 49-50, 60].

Важнейшей особенностью нелинейных систем с динамическим хаосом является возможность возникновения в них двух принципиально различных режимов - регулярного и хаотического [2, 4, 47, 57, 63, 72, 74]. Актуальной является задача обеспечения требуемого режима работы радиофизических устройств и систем с динамическим хаосом [1, 11, 29, 62, 93]. Создание квантовых генераторов с высокой стабильностью частоты излучения затруднено возможностью появления нерегулярного режима колебаний в активном веществе лазера [33, 104]. В системах фазовой автоподстройки частоты, являющихся основой построения многих устройств в системах связи и радиолокации, при переходе к фильтрам второго и более высоких порядков, возникновение хаотического режима под влиянием изменения параметров схем, наличия паразитных связей и т.д. приводит к сбою в работе системы [102]. Обеспечение регулярного режима работы является необходимым условием увеличения надежности и улучшения характеристик этих систем.

Широкое применение нелинейных систем с хаотической динамикой в качестве формирователей псевдослучайных сигналов [32, 36, 58] вызывает необходимость обеспечения воспроизводимости их параметров и статистических характеристик, в связи с чем возникает потребность стабилизации стохастического режима источников хаотического сигнала.

В настоящее время не существует общих методов решения систем дифференциальных уравнений, порождающих динамический хаос [31, 37, 43]. К эффективным методам исследования нелинейных систем с хаотической динамикой следует отнести метод точечных отображений Пуанкаре [81-82], метод функций Ляпунова [64, 69], метод расщепления сепаратрис Мельникова [24, 70, 79], метод геометрических представлений [23], метод математического моделирования с применением ЭВМ [7, 12, 41, 85, 97].

Исследованию динамического хаоса и его применений посвящены работы М.Либермана, А.Лихтенберга, Э.Лоренца, Г.Хакена, О.Ресслера, Д.Рюэля, Ф.Такенса, Л.Чжуа. Среди отечественных ученых необходимо выделить имена В.С.Анищенко, А.С.Дмитриева, А.Н.Ораевского, М.И.Рабиновича, Ю.Л.Климонтовича, М.В.Капранова, С.П. Кузнецова,

A.П.Кузнецова, В.Н.Кулешова, А.И.Панаса, В.А.Песошина, Ю.Е.Польского,

B.В.Афанасьева, Д.И.Трубецкова, С.О.Старкова и других.

Задача стабилизации поведения нелинейных динамических систем с хаотическим поведением связана с проблемой обеспечения устойчивой работы радиотехнических и квантовых устройств, а также обеспечения работоспособности современных скрытных систем передачи, приема и хранения информации.

Известны различные виды внешних стабилизирующих воздействий -инерционные, квазистационарные, параметрические, квазирезонансные [8, 9, 15, 73, 83, 107], однако отсутствие общих методов анализа нелинейных систем с динамическим хаосом и общих методов синтеза стабилизирующих воздействий делает актуальной задачу поиска новых методов синтеза стабилизирующих воздействий на динамические системы с хаотическим поведением.

Цель работы - разработка метода анализа и синтеза внешних стабилизирующих квазирезонансных воздействий на сложные нелинейные системы с динамическим хаосом.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Представление нелинейных систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, В ан-дер-Поля в виде нелинейного осциллятора с обобщенными параметрами -обобщенным диссипативным и обобщенным свободным членом.

2. Изучение качественной взаимосвязи поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля с характером изменения обобщенного свободного члена и обобщенного диссипативного члена.

3. Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на основе обобщенных параметров нелинейного осциллятора.

4. Анализ энергетической эффективности различных видов стабилизирующих воздействий на динамические системы с хаотическим поведением.

Для исследования поведения нелинейных динамических систем с хаотическим поведением в работе использованы количественные и качественные методы теории колебаний, методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы математического моделирования и численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений.

Достоверность и обоснованность научных выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертационной работе, обеспечивается корректным использованием методов теории колебаний, результатами математического моделирования, сопоставлением с теоретическими и экспериментальными данными других авторов.

Научная новизна работы представлена следующими результатами:

1. Предложено представление нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

2. Определена качественная зависимость поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля от характера изменения обобщенного диссипативного члена и обобщенного свободного члена.

3. Развиты методы синтеза квазирезонансных стабилизирующих воздействий.

4. Проведена оценка энергетической эффективности квазирезонансных стабилизирующих воздействий на нелинейные системы с динамическим хаосом.

Практическая ценность, реализация и внедрение результатов исследований.

1. Разработана методика оценки поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Ван-дер-Поля, Дуффинга по характеру изменения обобщенных параметров системы - обобщенного свободного члена и обобщенного диссипативного члена.

2. Разработано программное обеспечение для проведения численного моделирования стабилизирующих внешних воздействий на динамические системы Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля.

3. Обоснованы инженерные рекомендации выбора параметров энергетически эффективных квазирезонансных стабилизирующих воздействий в радиофизических устройствах с динамическим хаосом.

Результаты, полученные в ходе выполнения диссертации, вошли в материалы научно - исследовательских работ:

Научно-техническая программа «Научные исследования по приоритетным направлениям науки и техники», подпрограмма 209. Информационно-телекоммуникационные технологии, раздел 209.05 Теория и техника обработки и формирования сигналов в радиотехнических системах, НИР 209.05.01.34. «Управление регулярными и хаотическими колебаниями в нелинейных радио-и оптоэлектронных системах при помощи инерциальных воздействий», Гос. регистрац. № 01.2.00308758.

Программа развития приоритетных направлений науки в Республике Татарстан на 2001-2005 годы, НИР № 06-6.1-111/2002(Ф) с Академией наук РТ «Анализ стабилизирующих воздействий на различные виды нелинейных динамических систем со странными аттракторами при помощи моделирования на ЭВМ»; НИР №06-6.1-188/2004(Ф) «Методы анализа и стабилизации нелинейных устройств и систем с динамическим хаосом».

Материалы диссертационной работы практически использованы в учебном процессе кафедры радиоэлектронных и квантовых устройств КГТУ при подготовке бакалавров, инженеров и магистров по специальностям 2007 и 2015 направления «Радиотехника».

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- Международная конференция «Современные проблемы физики и высокие технологии» (Томск, ТГУ, 2003г.);

- Юбилейная научно-техническая конференция «Автоматика и электронное приборостроение» (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 2001г.);

- Итоговая конференция Республиканского конкурса научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И.Лобачевского (Казань, КГУ им. В.И.Ульянова-Ленина, 2002г.);

- СНТК РТФ КГТУ им. А.Н.Туполева, посвященная дню Радио (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1998г.);

- СНТК РТФ КГТУ им. А.Н. Туполева, посвященная дню Радио, секция «Радиотехника», (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1999г.);

- Итоговая университетская научно-техническая конференция студентов (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1999г.);

- Конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000г.);

- НТК «IX Всероссийские Туполевские чтения студентов» (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 2000).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Представление нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

2. Методика оценки поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля на основе обобщенных параметров нелинейного осциллятора - обобщенного свободного члена и обобщенного диссипативного члена.

3. Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на основе представления нелинейных динамических систем в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

4. Сравнение энергетической эффективности квазирезонансных стабилизирующих воздействий на нелинейные системы с динамическим хаосом.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Выводы по параграфу 4.2.

1. Результаты математического моделирования показывают, что квазирезонансным импульсным воздействием возможно перевести динамическую систему Лоренца из регулярного в хаотический режим колебаний с помощью незначительной модуляции (доли процента) параметра Я.

2. Спад корреляционной функции сигнала пропорционален увеличению коэффициента модуляции параметра Я.

4.3. Применение результатов исследования поведения системы Лоренца для анализа динамики квантового генератора с нестационарными параметрами резонатора.

Свободная генерация лазеров на твердом теле, как правило, нестационарна и представляет собой хаотические незатухающие пульсации -«пичковый режим» [80].

Известны экспериментальные результаты стабилизирующего влияния инерциальных воздействий на временные характеристики излучения рубинового лазера [80].

Инерциальное воздействие в эксперименте оказывалось при помощи подвижного пьезоэлектрического зеркала в резонаторе. В случае, когда амплитуда движения зеркала является соизмеримой с Хген / 2 наступает режим регулярной кинетики [68]. Стабилизируются как временные характеристики излучения лазера, так и пространственные параметры излучения рубинового лазера [80].

Таким образом, использование модуляции параметров резонатора с помощью подвижного пьезоэлектрического зеркала, позволило обеспечить стабилизацию излучения лазера.

Рис. 4.15 [35].

Поперечное сечение луча модулированного ОКГ, работающего в режиме нескольких поперечных мод: а - наличие нескольких мод (поперечные моды) без инерциального воздействия на параметры резонатора, б - конкуренция основного и высших типов колебаний при малой глубине модуляции длины резонатора (относительно малая интенсивность инерциальных воздействий), в -режим полного подавления высших типов колебаний при инерциальном воздействии на параметры резонатора.

Динамика процессов квантового генератора описывается уравнениями, сходными с уравнениями динамической системы Лоренца, когда параметр Я пропорционален добротности резонатора и интенсивности накачки лазера, ст зависит от собственной частоты резонатора, Ъ определяется характеристиками активной среды [76].

Предложенная в данной работе модуляция параметров динамической системы Лоренца обеспечивающая стабилизацию режима в системе внешними квазирезонансными воздействиями получает косвенное подтверждение в экспериментальных результатах по стабилизации излучения лазера инерциальными воздействиями [80].

Разработанный теоретический подход позволяет по-новому взглянуть на возможности стабилизации излучения квантового генератора.

Заключение

Главный результат исследований автора, включенных в настоящую диссертацию, заключается в достижении основной цели работы - разработке метода анализа и синтеза стабилизирующих квазирезонансных воздействий на сложные нелинейные системы с динамическим хаосом на основе представления их в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

1. Показано, что представление нелинейных динамических систем с хаотическим поведением в виде нелинейного осциллятора позволяет определить обобщенные параметры системы - обобщенный диссипативный член и обобщенный свободный член - поведение которых определяет поведение нелинейной системы с хаотической динамикой в целом.

2. Установлена качественная взаимосвязь поведения обобщенных параметров нелинейных систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля, с наличием регулярного режима и режимом динамического хаоса в этих системах.

3. Определена область, в которой обобщенный свободный член, полученный на основе представления динамической системы Лоренца в виде нелинейного осциллятора, в линейном приближении позволяет адекватно описывать поведение системы.

4. С учетом динамики обобщенных параметров нелинейного осциллятора осуществлен синтез следящих стабилизирующих воздействий на параметры динамической системы Лоренца. Показана энергетическая эффективность следящих воздействий по сравнению с импульсными квазирезонансными воздействиями.

5. На основе анализа поведения обобщенных параметров нелинейного осциллятора синтезированы квазирезонансные стабилизирующие воздействия на параметры нелинейной системы Ресслера.

6. Произведена оценка энергетической эффективности различных видов квазирезонансных стабилизирующих воздействий на нелинейные динамические системы Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля.

7. Обоснованы возможности повышения энергетической эффективности квазирезонансных стабилизирующих воздействий для динамической системы Лоренца при допущении в фазовом пространстве системы смен областей фазового пространства с различными состояниями равновесия.

1. Андреев Ю.В., Дмитриев A.C., Куминов Д.А. Хаотические процессоры. // Успехи современной радиоэлектроники, 1997, №10, С.50-79.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. M.: Наука, 1981.-568с.

3. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. — М.: Наука, 1966. 568с.

4. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.-311с.

5. Анищенко B.C. Стохастические колебания в радиофизических системах. Ч. I, И. Саратов.: Изд-во. Саратовского ун-та., 1985 - 1986. - 377с.

6. Афанасьев В.В., Михайлов C.B., Польский Ю.Е., Торопов А.Ю. Влияние основных параметров моделирования на ЭВМ на поведение динамических систем со странными аттракторами. // Письма в ЖТФ. 1989, Т.21, В.23, С.10-14.

7. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Квазирезонансное воздействие на динамические системы со странным аттрактором // Письма в ЖТФ. 1989,1. T.15, Вып. 18, C.86-89.

8. Афанасьев B.B., Польский Ю.Е. Инерциальное воздействие на динамические системы со странным аттрактором. // Письма в ЖТФ. 1990, Т.16, Вып.11, С.30-33.

9. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Энергетическая эффективность инерциальных воздействий на динамические системы со странным аттрактором. // Письма в ЖТФ. 1990, Т.16, Вып.11, С.52-56.

10. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Многомодовые модели, нелинейность, инерционность, шумы, инерциальные воздействия и управление поведением сложных физических систем. // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 1997, № 1,С.8-12.

11. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Инерциальное воздействие, странные аттракторы и динамика систем // Радиоэлектронные устройства и системы. Межвуз. сборн. 1993, Казань, КГТУ, С. 140-146.

12. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Торопов А.Ю., Чернявский B.C.,

13. Ценцевицкий A.A. Влияние квазиоптимальных управляющих воздействий на поведение радиофизических систем с динамическим хаосом // Вестник ЬСГТУ им. А.Н.Туполева. 1999, № 4, С. 33-37.

14. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Ценцевицкий A.A. Представление систем с хаотической динамикой в виде нелинейного осциллятора // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2003, № 4, С.37-40.

15. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Чернявский B.C. Качественный анализ поведения динамической системы Лоренца на основе геометрических представлений // Письма в ЖТФ. 1998, Т.24, Вып. 14, С.79-83.

16. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Чернявский B.C. Применение метода Мельникова для оценки влияния эффективности внешних воздействий на сложные нелинейные системы со странным аттрактором // Письма в ЖТФ. 1997, Т.23, В.23, С.40-45.

17. Вельский Ю.Л., Дмитриев A.C. Передача информации с помощью детерминированного хаоса // Радиотехника и электроника. 1993. Т. 38, № 7,1. С.1310-1315.

18. Биркгоф Дж. Динамические системы. Ижевск: НИЦ РХД, 1999. - 408с.

19. Болознев В.В., Польский Ю.Е. Об особенностях синхронизации автогенератора ЧМ-сигналом. // Труды КАИ. 1970, Вып. 122, С.86-90.

20. Болознев В.В., Марданов Р.Ф., Польский Ю.Е. Взаимная синхронизация ЧМ-генераторов. // Радиотехника и электроника. 1971, T.XVI, №6, С.972-979.

21. Булгаков Б. В. Колебания. М.: Наука, 1969. - 892с.

22. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Е.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: НаукаД987.- 382с.

23. Васильев B.J1., Кузнецов В.М., Песошин В.А. Оценка нестационарности цифрового генератора хаоса // Проблемы технической кибернетики. XIII Международная конференция. Тез. докл. М.: МГУ, 2002, С.32.

24. Воронов В.И., Польский Ю.Е. Взаимодействие встречных волн в кольцевом газовом оптическом квантовом генераторе в режиме частотной модуляции. // Труды КАИ. Радиотехника и электроника. 1975, Вып. 179, С. 33-38.

25. Воронов В.И., Польский Ю.Е. Синхронизация мод в ОКГ с кольцевым резонатором. // Радиотехника и электроника, 1973, T.XVIII, № 7, С. 14341439.

26. Воронов В.И., Польский Ю.Е. Многослойное диэлектрическое зеркало на пьезоподложке для модуляции ОКГ // ПТЭ. 1970, №6, С. 174-176.

27. Генераторы случайных чисел / В.М. Кузнецов, В.А. Песошин. Казань, Казанск. гос. техн. ун-т, 1995. - 39с.

28. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. / Под ред.

29. X. Суинни и Дж.Голлаба. М.: Мир, 1984. - 344с.

30. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: Физматгиз, 1959. - 572с.

31. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. М.: Высшая школа, 2001. -395с.

32. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108с.

33. Грибков Д.А., Кузнецов Ю.И. Поведение системы Лоренца при параметрическом воздействии. // Вестник. Моск. ун-та. Сер.З. Физика. Астрономия. 1989, Т.30, №1, С. 83-84.

34. Дмитриев A.C. Динамический хаос в кольцевых автоколебательных системах с нелинейным фильтром // Изв. вузов. Радиофизика. 1985, Т.25, №4, С.429-439.

35. Дмитриев A.C., Кислов В .Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. -278с.

36. Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи. // Успехи современной радиоэлектроники, 1997, №10, С.4-26.

37. Дмитриев A.C., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Изд. физ.-мат. лит., 2002. - 252с.

38. Дмитриев A.C., Старков С.О. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации // Успехи современной радиоэлектроники. 1998, №11, С.4-32.

39. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. -271с.

40. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.; Наука, 1997.

41. Капранов М.В., Томашевский А.И. Система скрытой связи с использованием корреляционного приема и синхронного хаотического отклика // Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, Т.8, № 3, С.35-48.

42. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М., Энергоиздат, 1984. 320с.

43. Капранов М.В., Томашевский А.И. Анализ фазовых траекторий в окрестностях особых точек 2-D и 3-D нелинейных систем. М.: Издательство МЭИ, 2003. - 80с.

44. Карлов Н.В., Кириченко H.A. Колебания, волны, структуры. М.: Физматлит, 2003. - 496с.

45. Кексаль М. К вопросу об уравнениях состояния нелинейных цепей и единственности их решений. ТИИЭР, 1986, т.74, №3,с.138-139.

46. Кияшко C.B., Пиковский A.C., Рабинович М.И. Автогенераторы радиодиапазона со стохастическим поведением. // Радиотехника и электроника. 1980, Т.25, №2, С.336-343.

47. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение, структура хаоса: Новый подход к статистической теории открытых систем. М.: Наука, 1990.

48. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физ.- мат лит., 2001. 295с.

49. Кузнецов В.М. Теоретико-числовая модель цифрового генератора хаоса // Вестник Казан.гос.техн.ун-та им. А.Н.Туполева.2001. №3. С.24-26.

50. Кук А., Роберте П. Система двухдискового динамо Рикитаке. // Странные аттракторы. // Под ред. Синай Я.Г., Шильникова Л.П., М.: Мир, 1981.

51. Кулешов В.Н., Ларионова М.В., Удалов H.H. Системы передачи информации с хаотической несущей // Вестник МЭИ. М. МЭИ, № 5, 1997, С.15-19.

52. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том П. -2-е изд. перераб. и доп. М.: Наука, 1970.- 672с.

53. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ. / Под ред. Ю.Н. Бакаева, М.В. Капранова. М.: Сов. радио, 1978. - 600с.

54. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528с.

55. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.:ГИТТЛ, 1950.

56. Магнус К. Колебания. Введение в исследование колебательных систем. -М.:Мир, 1982.-303с.

57. Малинин Ю.Н., Польский Ю.Е. Синхронизация газовых ОКГ в режиме частотной модуляции // Радиотехника и электроника. 1970, T.XV, №12, С.2587-2592.

58. Малинин Ю.Н., Марданов Р.Ф., Польский Ю.Е. Модовая структура поля оптического резонатора с движущимся зеркалом // Радиотехника и электроника. 1972, T.XVII, № 5, С.919-925.

59. Мандельштам JI. И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. - 512с.

60. Матросов В.М., Маликов А.И. Развитие идей Ляпунова за 100 лет: 18921992.// Известия ВУЗов. Математика. 1993, №4(371), С.3-47.

61. Мельников В.К. // Труды Московского математического общества, 1963, Т.12.

62. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. 311с.

63. Неймарк Ю.Н., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. - 423с.

64. Неймарк Ю.И., Коган Н.Я., Савельев В.П. Динамические модели теории управления. -М.: Наука. Главная ред. физ. мат. лит., 1985. 400с.

65. Основы теории колебаний /Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н.; Под. ред. В.В.Мигулина. 2-е изд.,перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит, 1988. - 392с.

66. Ораевский А.Н. Мазеры, лазеры и странные аттракторы. // Квантовая электроника, 1981, Т.8, №1, С.130-142.

67. Ораевский А.Н. Динамика одномодовых лазеров и динамический хаос // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1996, Т. 4, № 1, С.3-32.

68. Паркер Т.С., Чжуа Л.О. Введение в теорию хаотических систем для инженеров.// ТИИЭР, 1987, Т.75, N.8, С.6-40.

69. Пойзнер Б.Н. Как достичь сходства эволюций, моделируя поведение двух кольцевых оптических систем? // Оптика атмосферы и океана. 2003, Т. 16, №9, С. 822-827.

70. Польский Ю.Е., Чернявский B.C. Качественный анализ поведения системы типа Чжуа на основе геометрических представлений. // Электронноеприборостроение. КГТУ (КАИ). Казань, 1999, Вып.9, С.74-79.

71. Польский Ю.Е., Якутенков А.А. Экспериментальное исследование кинетики генерации рубинового ОКГ с нестационарным резонатором. // ЖЭТФ, 1973, Т.64, Вып.2, С. 438-445.

72. Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977.-256с.

73. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды. Т.1,2. -М.: Наука, 1971.

74. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.-432с.

75. Рюэль Д. Случайность и хаос.- Ижевск: РХД, 2001. -192с.

76. Сафиуллин Н.З. Математические модели и анализ стохастических систем. -Казань, 1993.-80с.

77. Сафиуллин Н.З. Анализ и идентификация нелинейных инерционных устройств // Радиотехника, 1984, №11, С.12-18.

78. Странные аттракторы. / Под ред. Синай Я.Г., Шильникова Л.П. М.: Мир, 1981.-255с.

79. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М: Мир, 1985.-254с.

80. Фазовая синхронизация / Под ред. В. В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной. -М.: Связь, 1975.-288с.

81. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985. - 419с.

82. Хакен Г. Лазерная светодинамика. М.: Мир, 1988. - 350с.

83. Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам / Пер. с англ. Ю.А.Данилова. М. Мир, 1991. - 240с.

84. Ханин Я.И. Динамика квантовых генераторов. М.: Сов. радио, 1975. -496с.

85. Харкевич A.A. Нелинейные и параметрические явления в радиотехнике. -М.: Гостехиздат, 1956. 184с.

86. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968. -432с.

87. Хованов И.А., Хованова H.A., Анищенко B.C., П.В.Е. Мак-Клинток. Чувствительность к начальным условиями и ляпуновский показатель квазипериодической системы. // Письма в ЖТФ. 2000 , Т.70, Вып.11, С.52-56.

88. Ценцевицкий A.A. Исследование влияния бифуркационных процессов на управляемость динамической системы Лоренца: Тез. докл. НТК «IX Всероссийские Туполевские чтения студентов». Казань. 2000. Казань. КГТУ. 2000. Т.2, С.99.

89. Ценцевицкий A.A. Управление поведением динамической системы Лоренца при многократных бифуркациях: Тез. докл. Материалы второй научно-технической конференции студентов и аспирантов. Казань. 2001. -Казань: Новое знание, 2001, С.5-6.

90. Ценцевицкий А.А. Математическое моделирование процессов в динамической системе со странным аттрактором: Тез. докл. Материалы I научно-технической конференции студентов и аспирантов. Казань.2000. — Казань: Новое знание. 2000. с.8.

91. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972.

92. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. М.: Мир, 1984. -303с.

93. Якутенков А.А. Лазер на алюмо-иттриевом гранате с нестационарным резонатором и внутрирезонаторным удвоением частоты// Радиоэлектронные устройства. Казань, КАИ, 1977, Вып.1, С.43-46.

94. Якутенков А.А. Лазер на алюмо-иттриевом гранате с нестационарным плоскопараллельным резонатором. // Труды КАИ. Сверхвысокочастотные устройства излучения и обработки радиосигналов. Казань, КАИ, 1979, С.52-56.

95. Afanasiev V., Polsky Yu. Stabilization of Magnetohydrodynamic Instabilities in Plasma by Inertial Influence // Proc. International Conference on Phenomena in Ionized Gases ICPIG XX. - Italy, Pisa, 1991.Vol.3. P.524.

96. Afanasiev V.V., Polsky Yu.E. Dynamic systems behaviour control by inertial effects // Atmospheric and Ocean Optics. Atmospheric Physics. X Joint1.ternational Symposium. Tomsk, Institute of Atmospheric Optics SB RAS. 2003. P.155.

97. Lorenz E.N. «J.Atmos.Sci.», 1963, v.20, № 2, P. 130-141.

98. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1993. -385p.

99. Loskutov A. Chaotic dynamics of chemical systems. In: Mathematical Methods in Contemporary Chemistry. Ed. S. I. Kuchanov. - Gordon and Breach, USA, 1995, p. 181-265.

100. Rossler O.E. Different Types of Chaos in Two Simple Differential Equations. // Z. Naturforschung, 1976, vol. 31a, №12, P. 1664-1670.

101. Khovanov I.A., Lushinsky D.G., Manella R., McClintock P.V.E. Fluctuations and Enrgy-Optimal Control of Chaos // Physical Review Letters. 2000, Vol.85, №10, P.2100-2103.