автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.05, диссертация на тему:Синтез и исследование нелинейных регуляторов переменной структуры

На правах рукописи

ЛЕ ЧАН ТХАНГ

ии^1Т156Э

СИНТЕЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ

Специальности

05 13 05 - Элементы и устройства вычислительной техники и систем управления 05 13 01 - Системный анализ, управление и обработка информации (вычислительная техника и информатика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата

технических наук

о 5 пом да

Таганрог-2008

003171569

Работа выполнена на кафедре «Систем автоматического управления» Технологического института Южного федерального университета в г Таганроге

Научный руководитель- доктор технических наук, профессор

Анатолий Романович Гайдук Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Павел Павлович Кравченко, доктор технических наук, профессор Рудольф Анатольевич Нейдорф

Ведущая организация ФГУП ОКТБ «Орион»

Защита состоится « 27 » июня 2008 г в 1420 на заседании диссертационного совета Д 212 208 21 при Технологическом институте ЮФУ по адресу Ростовская область, 347928, г Таганрог, ГСП-17А, пер. Некрасовский, 44, ауд Д-406

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу г Ростов-на-Дону, ул Пушкинская, 148

Автореферат разослан «24» мая 2008 г

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять в адрес совета

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача синтеза нелинейных регуляторов весьма актуальна в настоящее время В реальности все объекты управления являются существенно нелинейными, а требования к современным системам автоматического управления (САУ) возросли настолько, что без учета нелинейностей обеспечить требуемое качество процессов управления невозможно. Другим фактором, обусловливающим актуальность задачи синтеза нелинейных регуляторов, является широкое развитие и распространение компьютерных технологий, которые позволяют, во-первых, синтезировать, а во-вторых, реализовать весьма сложные законы управления, необходимые для управления нелинейными объектами достаточно общего вида

Практически задача построения САУ сводится к разработке математической модели, а затем и реализации регулятора Именно регулятор определяет все основные динамические свойства САУ, ее точность и эффективность управляемого процесса Наиболее совершенными регуляторами являются нелинейные, поэтому в данной работе основное внимание уделяется методам синтеза именно этих регуляторов

Методы анализа и синтеза нелинейных систем разрабатывались и исследовались в работах многих ученых таких как- А М Ляпунов, Р. Калман, А А Воронов, А А Красовский, А.П Крищенко, С В. Емельянов, В.И. Уткин, А Л Фрад-ков, Е А Барбашин, А А Вавилов, В Н Буков, В Н Рябченко, П К Кузнецов, Л Д Певзнер, С В Тарарыкин, Р А Нейдорф, В И Лачин, А Р Гайдук, В А Под-чукаев, Н Б Филимонов, П П. Кравченко, В В. Тютиков и др Однако, практически все известные методы синтеза нелинейных регуляторов применимы лишь для нелинейных объектов отдельных классов. Поэтому в настоящее время проблема разработки и исследования достаточно общих методов синтеза регуляторов для нелинейных объектов находится в центре внимания ученых различных стран мира

Диссертационная работа посвящена решению актуальной и важной научно-технической проблемы разработка метода синтеза нелинейных регуляторов для нелинейных объектов достаточно общего вида на основе функций Ляпунова, позволяющего формализовать процедуру синтеза, повысить качество синтезируемой системы, обеспечить экономию энергии и ресурсов управления.

Объектами исследования являются нелинейные регуляторы и системы автоматического управления нелинейными, аффинными по управлению объектами

Целью диссертационной работы является решение актуальной научно-технической задачи синтез и исследование нелинейных регуляторов переменной структуры, ориентированных на реализацию вычислительными средствами, для некоторого класса нелинейных объектов управления на основе метода функций Ляпунова

Для достижения указанной цели в диссертационной работе решены следующие частные задачи теории нелинейных систем управления

1. Исследование методов построения функций Ляпунова для линейных и нелинейных систем.

2 Разработка на основе функций Ляпунова в виде квадратичных форм метода синтеза нелинейного (кусочно-непрерывного) управления для аффинных по управлению нелинейных объектов

3 Исследование свойств кусочно-непрерывного управления и разработка физически реализуемых, аналитических алгоритмов функционирования нелинейных регуляторов для нелинейных объектов управления различных классов

4 Разработка методов и оценка сложности реализации предложенных алгоритмов соответствующих нелинейных регуляторов

Методы исследования. В работе использованы методы математического анализа, теория матриц, методы нелинейной теории автоматического управления, метод функций Ляпунова, методы компьютерного моделирования нелинейных динамических систем

Положения, выносимые на защиту

1 Кусочно-непрерывное управление для аффинных по управлению нелинейных объектов

2. Нелинейный регулятор переменной структуры (НРПС) для аффинных по управлению нелинейных объектов с одним управлением.

3 Структура и алгоритм координирующего нелинейного регулятора переменной структуры для аффинных по управлению нелинейных объектов с векторным управлением.

4 Принципы построения и компьютерная реализация нелинейных регуляторов переменной структуры

Научная новизна работы определяется следующими отличительными особенностями полученных существенных теоретических и практических результатов-

1 Показана возможность применения для синтеза нелинейных регуляторов и исследования устойчивости нелинейных систем управления функции Ляпунова, построенной для устойчивой линейной системы Это позволяет практически формализовать процесс синтеза нелинейных регуляторов

2 Предложены новые координирующие регуляторы переменной структуры для нелинейных объектов управления, содержащие непрерывную и логическую часть Переменность структуры координирующих регуляторов обеспечивается переключением нелинейных блоков (алгоритмов) управления в некоторой области пространства состояния, в отличие от традиционных систем переменной структуры, где коммутируются линейные блоки вдоль линии переключения

3 Разработанный новый метод синтеза нелинейных регуляторов переменной структуры для нелинейных объектов управления различных классов, позволяет

создавать эффективные, устойчивые в целом системы управления для нелинейных объектов как с одним, так и с несколькими линейно независимыми управлениями

4. Логическое устройство нелинейных регуляторов переменной структуры обеспечивает координирующее действие на объект лишь в необходимые моменты времени и только одного наиболее эффективного управления, что позволяет экономить энергию и ресурсы управления

Практическая значимость диссертационной работы определяется тем, что ее результаты позволяют решить многие проблемы управления техническими системами и технологическими процессами без предварительной линеаризации их математических моделей Кроме того, разработанные алгоритмы управления позволяют в полной мере использовать ресурсы современных вычислительных средств

Особая значимость координирующих нелинейных регуляторов переменной структуры (НРПС), учитывающих реальные нелинейности системы, заключается в возможности повышения качества переходного процесса и точности системы в установившемся режиме. Кроме того, логическая часть НРПС обеспечивает действие на объект только одного управления и лишь в необходимые моменты времени, что приводит к экономии энергии и ресурсов управления. Это позволяет повысить производительность и экономическую эффективность технологических объектов, производств

Разработан новый подход к синтезу регуляторов для нелинейных объектов как с одним, так и с несколькими управлениями Он позволяет обеспечить устойчивость положения равновесия системы в целом при непрерывных и разрывных нелинейностях, что значительно расширяет область применения нелинейных регуляторов в технических системах Методика синтеза легко алгоритмизируется и реализуется полностью на ЭВМ

Достоверность результатов исследования Результаты работы используются в учебном процессе кафедры САУ ТТИ ЮФУ В частности, они позволяют убедительно показать преимущества метода функций Ляпунова в теории и практике нелинейных систем управления, формализовать процедуру синтеза нелинейных регуляторов для нелинейных объектов

Результаты работы внедрены при выполнении хоздоговора ХД- 12238 «Разработка и исследование систем автоматизации проектирования проблемно-ориентированных вычислительных устройств» на кафедре «Вычислительной техники» ТТИ ЮФУ

Апробация Материалы диссертационной работы прошли апробацию на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях VIII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» ТРТУ, Таганрог 2006, III научно-техническая конференция профессорско-преподавательского

состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ, Таганрог 2006, Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, сотрудников и студентов университета ДГТУ, Ростов-на-Дону 2007, Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТТИ ЮФУ, Таганрог. 2007, VIII международная молодежная научная конференция "Севергеоэкотех-2007" УГТУ, Ухта 2007, IX всероссийская молодежная научная конференция «Королёвские чтения» с международным участием. СГАУ, Самара 2007.

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в которых отражены основные результаты диссертации, из них 3 работы в изданиях, входящих в список ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов- с выводами по каждому из них, заключения, списка литературы и приложения. Она изложена на 169 страницах машинописного текста, включает 66 рисунков, 3 таблицы и список литературы из 108 наименований

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, приводится формулировка цели и задач исследования, отмечаются полученные новые научные результаты, их практическая ценность и апробация

В первой главе кратко анализируются основные проблемы систем автоматического управления, обусловленные нелинейностью объектов управления, и методы решения этих проблем, освещается применение нелинейных САУ в различных областях человеческой деятельности На практике все технические объекты более корректно описываются нелинейными системами уравнений Нелинейности систем во многих случаях обусловлены ограниченностью имеющихся ресурсов, в том числе энергии, мощности или вещества, а также ограниченностью информации о самом процессе, окружающей среде и о влиянии среды на процесс Поэтому, для того чтобы повысить качество систем управления, необходимо в процесс синтеза учитывать присущие им нелинейности

В главе кратко рассматриваются известные методы синтеза нелинейных САУ, что позволяет обоснованно сформулировать задачи данной диссертационной работы Нелинейные регуляторы могут быть синтезированы на основе таких подходов как- принцип максимума Понтрягина; метод квазиоптимального быстродействия, метод пассификации; метод скоростного градиента, метод приведения уравнений системы к каноническим формам, метод управляемой формы Жордана и другие. Для исследования устойчивости положения равновесия в этих случаях, как правило, применяется метод функций Ляпунова. При этом процесс построения используемых функций Ляпунова обычно не связан с синтезом регулятора Поэтому построение подходящей функций Ляпунова представляет значительные сложности

По результатам анализа проблемы и методов синтеза нелинейных регуляторов определены основные задачи диссертационного исследования

Во второй главе излагается основная идея нового алгоритма управления нелинейными объектами, в основу которой положен известный метод функций Ляпунова для исследования устойчивости движений нелинейных систем.

Рассматриваются стационарные нелинейные, так называемые, аффинные по управлению объекты, которые описываются уравнениями

x = F(x)+B(x)uf, у = Н(х), (1)

где xeR" - вектор состояния, В(х) - пхт матрица управления, причем предполагается, что В(х) = Ва + В(х) В эти уравнения управление uf входит линейно

Если функции F(x) и Н{х) дифференцируемы и F(0) = 0, Н(0) = 0, то уравнения (1) можно записать в квазилинейной форме

x = A(x)x + B(x)uf, у = С(х)х , (2)

где А(х)~ пхп матрица системы, uf - т-вектор управлений, С(х) - гхп матрица наблюдения, у - г -вектор выхода

Задача управления объектами (1) или (2) заключается в определении управления uf - иf{x) или, что тоже самое, в построении некоторого регулятора таким образом, чтобы замкнутая система управления объектом (1) имела устойчивое в целом положение равновесия

В работе ищется управление uf = uf (х), при котором функция Ляпунова в

виде квадратичной формы с постоянной матрицей удовлетворяет условиям какой-либо теоремы об устойчивости При этом рассматриваются только управляемые в целом объекты (1) и (2) В этом случае, как показал проведенный анализ, всегда можно найти управление в виде обратной связи

их=-Кх, (3)

которое стабилизирует положение равновесия системы (1) или (2) в малом. Задача определения м, в работе не рассматривается

Считая, что соответствующее управление (3) найдено и полагая и} =и, +и, системы (1) и (2) приводятся к виду

х = Л,.г + у;(л) + (В„ + В{х))(и, + и)

или

x = \x+f(x) + B(x)u (4)

Здесь Д> - постоянная устойчивая матрица, f(x) - нелинейная в общем случае недифференцируемая вектор-функция, причем /(0) = 0.

Далее рассматриваются системы (4), у которых при и-0 либо положение равновесия * = О является неустойчивым, либо переходные процессы не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к качеству процессов управления. В противном случае уравнение регулятора берется в виде и = 0, a uf = н, = -Кх. С помощью уравнения Ляпунова

4P + PA0=-D, (5)

где D - симметрическая положительно-определенная матрица, находится симметрическая положительно-определенная матрица Р.

Это позволяет в качестве функции Ляпунова для системы (4) взять положительно-определенную квадратичную форму

V(x) = xTPx. (6)

Далее находится производная функции (6) по времени вдоль траекторий системы (4)

V(x) = [А0х+f(x) + B(x)uf Рх+хтР[А0х+/(х)+В(х)и]. (7) С учетом уравнения (5) отсюда следует равенство

V(x) = -xTDx+2[xTPf(x)+хтРВ(х)и]. (8)

Полученное выражение (8) имеет отрицательно-определённое слагаемое -xTDx Поэтому для того чтобы производная V(x) (8) была отрицательно-определенной достаточно, чтобы выполнялось следующее неравенство

[хгРДх) + хтРВ(х)и] <axrDx, (9)

где а - некоторое положительное число строго меньшее 0,5.

Для обеспечения конечной минимальной скорости убывания функции Ляпунова (6) вдоль траекторий системы (4) в работе принимается, что это число удовлетворяет условию а е [0,0,5). Это позволяет на основе выражения (9) заключить, что для обеспечения отрицательной определенности производной по времени V(x) (8) функции Ляпунова (6) управление и(х) можно определить следующим выражением:

0, xTPf(x)<axTDx,

и, = - Х'ТР1(\\, и, = О, хтР/(х)>ахтПх, хтРЬ *0, (10) 1 хРЬ}(х)

Je[],m], 1=1,т,

Из этого выражения следует, что нелинейный регулятор, реализующий управление (10), должен содержать логическое устройство (ЛУ), назначение которого состоит в следующем

Если x1Pf(x)<ax1Dx, то ЛУ обеспечивает и, =0, i = \,m Если же х1 Pf(x) >axTDx, то ЛУ, выбирает из всех возможных управляющих входов объекта такой, что при соответствующем векторе 6Д*) произведение хтPbj(x) ф 0 Это позволяет вычислить по (10) необходимое управление и(х), которое подается на выбранный у-ый вход объекта. Одновременно на остальные управляющие входы объекта подаются нулевые управления, те и, = 0, / = 1, /я,

Если произведение xrPbj(x)-0, то ЛУ меняет Ь;(х) на другой вектор bj(x), при котором х1 РЬ-(х) Ф 0 Вычисленное по (10) управление подается на j -ый вход объекта, а на остальные управляющие входы объекта подаются нули,

те и, = 0, / = 1,m, j

Таким образом, с учетом равенств (3) и (10) искомый регулятор для объектов (1) или (2) описывается выражением

0, х Pf(x)< ах1 Dx,

_ 0 xTPf(x)>a,x7 Dx, х'РЪ*0, (11)

x'Pb^x) J J

je[\,ni\, i = 1,т, \

Этот регулятор, формально, формирует кусочно-непрерывные управляющие воздействия, которые обеспечивают устойчивость положения равновесия системы (1), (11) в целом, если т > 1 Он состоит из непрерывной части и логического устройства.

Однако, регулятор (11) является идеальным, т.е физически не реализуемым Это связано с тем, что, согласно (11), переключения в логической часги регулятора должны быть мгновенными и происходить при хТРЬ;(х) = 0. Однако технически чрезвычайно сложно установить точно момент хТPbj(x) = 0. Кроме того, при приближении вектора состоянийх системы к области, где х7РЬ;(х) = 0 управление и(х) (10) резко возрастает Эти особенности и приводят к невозможности его физической реализации

Для обеспечения реализуемости управления (11) в дальнейших разделах работы этот недостаток устраняется за счет применения регуляторов переменной структуры нового типа.

uf =-Ктх + •

В третьей главе разрабатывается метод синтеза нелинейных регуляторов переменной структуры (НРПС) для объектов с одним и с несколькими управлениями

Синтез НРПС для объектов с числом управлений равным их порядку, т е для объектов (I) с т = п

С учетом управления (3) уравнения объектов (1) или (2) принимают вид (4) Для построения реализуемого НРПС вводятся малые положительные числа г и е, , а также число у <= (0,1) и множество целочисленных и-векторов

отличающихся друг от друга знаком хотя бы одной из компонент И1;, 1,]=\,п

Далее доказывается вспомогательная лемма и основная для данного случая теорема

Лемма 2. Если размерность целочисленных векторов А (12) равна п, то их число равно 2"

Теорема 3.1. Пусть матрица £ = [6г], 5 = 1,« составлена из линейно-независимых вектор-столбцов 6 = Ь2! • • Ьт ]Т, а матрица Р положительно-определенная Тогда найдется такое £, > 0, что при всех || х ||> е, система неравенств | хтРЬ11< е, г = 1, п не выполнена, т.е существует хотя бы один вектор Ь], у е [1, п] такой, что выполняется неравенство | хт РЬ] |> г

Смысл этой теоремы для случая п = 2, где указанная система \хт PbJ |=е имеет 22 = 4 возможных решения, иллюстрируется рис 1

Рис 1 Области фазовой плоскости Фактически, в теореме утверждается, что если объект управления имеет п независимых управлений и при некотором х имеют место неравенства || х ||> б, ,

\хтРЬ,\<г, то всегда найдется вектор у*г, соответствующий другому

А,=[±1 ±1- -±1]г,

(12)

^/>¿1=0 *2 0

управлению, при котором | х1РЬ) |> е. Если же число управлений меньше порядка объекта, то это утверждение может быть неверным

На основе теоремы 3 1 в работе формируется уравнение (алгоритм) НРПС следующим образом:

а) если при некоторых х е Л", имеют место неравенства хтР/(х) < ахт£)х или || х])< е,, то управление и(х) = 0, т е.

и(х) = 0 при хтР/(х) <ахтИх или || л: ||< 8,. (13)

При этом, согласно (9) У(х) = -хтОх+2хтР/(х) < -хтОх (1 - 2<х) < 0, т е является отрицательно-определенной функцией, так как по условию величина а положительна и строго меньше 0,5

б) если х1 Р/(х)> а хт Ох при всех ||х||>е,, то и(х) определяется выражениями

и, (х) = -хтР/{х)/хтРЬ] (х), и, = 0, I * у, ] е [1, т], / = ЦП (14)

В этом случае, согласно (9), производная У(х) = -х2 Их <0.

Отличие НРПС (13), (14) от известных систем с переменной структурой заключается в том, что логическое устройство коммутирует здесь нелинейные блоки.

Регулятор, описываемый выражениями (13), (14), впервые был предложен в работе [2] и может быть описан выражениями

0 при хТР/(х)<ахТОх или |рс]|<8,;

[«, = -хтРДх)/хтРЬ,, ] € [1, т\

(«¡=0, 1 = 1, т,

при и хТР/(х)>ахТОх, \хтРЬ}\>г.

Синтез НРПС для объектов с одним управлением, т.е для объектов (1) с т = 1. В этом случае уравнение системы (4) имеет вид

лс = 4х+ /(*)+*(*)» (16)

Указанные выше трудности реализации управления (11) проявляются, когда траектория системы попадает в область, где | хТРЬ(х) |< е

Определение Область £2КР е Я" называется критической, если при х е выполняются условия

|№е,, х1 Р/(х)>ахтОх, |х*~ РЬ{х)|<б (17)

Множество точек х е Я", в которых выполняется условие

хтРЬ(х) = 0, (18)

называется гиперповерхностью полюсов управления (14)

Формирование управления в точках х е С2Ы, осуществляется в соответствии с выражениями (13), (14) Во всех остальных состояниях системы траектория системы оказывается в критической области, где управление необходимо формировать по специальному алгоритму. В работе предлагается несколько вариантов управления в критической области Наиболее эффективным является управление с сохранением знака разности функции Ляпунова

Учитывая некоторую сложность аналитических выражений, определяющих кусочно-непрерывные управления, предполагается, что это управление реализуется с помощью цифровых устройств управления при достаточном малом периоде квантования по времени А(. Поэтому далее все непрерывные величины заменяются их дискретными значениями /->/*, х(1) -» хк, и(х) ик. Период квантования по времени Д / = - предполагается на столько малым, что траектория, соответствующей дискретной системы практически совпадает с траекторией непрерывной системы

Пусть в момент времени 1к_л траектория системы (16) пришла в точку хк_{, которая находится вне области 0К1, (17), а в следующий момент времени гк = + А/ траектория системы (16) попадает внутрь области 0.КР При I = , согласно (14), управление икА определяется по формуле

= ) (19)

В последующие моменты времени 1к+1 = + А/ ищется такое управление ик+1, при котором знак первой разности функции Ляпунова У(хк+1) = хтк„Рхк+, при всех /, / = 1,2,3,. был бы отрицательным

Другими словами, ищется такое управление ик„, при котором значение функции Ляпунова в следующий момент времени /4+1+1 будет меньше, чем ее значение в момент времени Следовательно, при искомом управлении иы в критической области выполняется неравенство

■**+/+! <Хк*1^Хк*1 > (20) Это неравенство иллюстрируется рис 2 На этом рисунке и далее для краткости индекс / опущен

По существу, управление ик+1 при 1 =-(к + /)Д/ ищется таким, чтобы в следующий момент времени / = (& + / + 1)Дг траектория системы попала на уровень, соответствующий меньшему значению функции Ляпунова У(х) (6) При условии малости ДI, принимается, что

хш = хк+хкМ,гт хк = А0хк + Дхк) + Ь(хк)ик (21)

Из выражений (20) и (21) следует неравенство

2хтк Рхк +А**1Рхк < 0 • (22)

Далее хк из второго равенства (21) подставляется в (22).

Поверхности уровня У(х) = сопМ

Траектория системы

Рис 2 Изменение функции Ляпунова В результате получается (для краткости Ь(хк) заменено на А) следующее неравенство второго порядка по ик

ЫЬтРЬ(ик)г + 2{А([А0хк + /(хк)}7 + хтк}РЬик +{2х\ +

+М[А,хк +Ахк)]т}Р[Айхк +Дхк)] < 0 (23)

Для того чтобы существовало искомое управление ик, необходимо и достаточно, чтобы неравенство (23) имело вещественное решение Для этого необходимо, чтобы хк+А ¡[Айхк + /(хк)] # 0, и дискриминант уравнения (23) Д(х4) бьш строго больше нуля. С учётом структуры полинома в (23) выражение для А(хк) принимает следующий вид

ДЫ = ШЛЛ +Дхк))тРЬ}1 -ЪтРЪ{\хк +/(хк)]тР[АЛ +/(хк)]}М2 +

+2{[А,хк +Г(хк)\гРЬхткРЬ-[А0хк +/(хк)]тРхкЬ,РЬ}А1 + [хТкРЬ]2. (24) Отсюда вытекает, что А(хк) > 0 при достаточно малом А?, так как свободный член в (24) является квадратом Следовательно, уравнение (23) имеет вещественное решение при достаточно малом АI.

При выполнении условия А(дг4) > 0 из уравнения (23) находим

«* = * ! 'ит»1 > 0 < Г < 1. 1М> е.. (25)

_-{Ахтк +х1}РЬ-у^А&) А1ЬТРЬ где

Ахк=А1[Лахк+Дхк)] (26)

При управлении и(хк) (25) объектом (16), в соответствии с условием (20), первая разность АУк = У{хш)-У(хк) является отрицательно-определенной в критической области (17) при всех к.

При этом управлении возможно не на каждом интервале происхо-

дит уменьшение || хк ||, но на каждом интервале происходит уменьшение

значения положительно-определенной функции У(хк) В критической области возможны три случая движений системы, которые показаны на рис 3

а) траектория пересекает область;

б) траектория возвращается на исходную сторону области,

в) траектория не выходит из критической области.

Рис 3 Возможные случаи движения системы В случае а) после выхода траектории из критической области снова становится возможным применять соотношения (13) и (14) При последовательном чередовании управлений (25) и (13), (14) траектория системы неизбежно попадает в область, где ||х*||<е,, те обеспечивается устойчивость положения равновесия в смысле Ляпунова

При возникновении случая б) в системе может возникнуть скользящий режим Этот режим либо продолжается до тех пор, пока не выполнится условие ||х*||< е,, либо скользящий режим заканчивается, после чего возникает либо вариант о) либо вариант в)

Наконец, если в системе возникает случай в) то под действие управления (25) осуществляется движение по критической области к началу координат, также пока не выполнится условие ||хЛ< е, .

Объединение указанных выше выражений, дает алгоритм функционирования логического устройства НРПС объектами с одним управлением (16), в виде следующего выражения

О, при х¡P/(xk)<ax[Dxk или ||xj<e,, -xTkPf(xk)/x¡Pb, при xTkPf(xk)>ax¡Dxk, |M>s, и \x¡Pb\>E,

AxkPb + yJA(xk) ----,rl ПРИ л^бПи,, 0<r<l,№e„

Atb Pb

де A(xk) - определяется по формуле (24), a Áxk - по формуле (26), к = 1,2,3, , у - заданное число, удовлетворяющее условию 0 < у < 1

В соответствии с изложенным выше, нелинейный регулятор переменной структуры, построенный на основе выражения (27), обеспечивает устойчивость по Ляпунову положения равновесия системы (16), (27)

Синтез НРПС для объектов с числом управлений меньше его порядка, т е для объектов (4) с 1 < т < п

В данном случае синтез закона управления осложняется тем, что при т < п в пространстве состояний системы всегда существуют точки х* с Цх*||£ s,, которые одновременно принадлежат критическим областям, соответствующим всем векторам bt(x), j е [1, ш]. В этих точках целесообразно находит управление так,-

чтобы первая разность функции Ляпунова V(x) была определённо отрицательной, т е в соответствии с выражениями (25), (26)

Следовательно, если число управлений меньше порядка объекта, но больше единицы, то алгоритм нелинейного регулятора переменной структуры определяется следующим выражением-

О, при х1 Pf(x)<axTDx и |Н|<е,,

fu, = -xTPf{x) / xTPbt,

[и, = О, je [1, т], i = \,m, j Ф1,

при xTPf(,x)>axTDx,\\x\\Z£¡ и Эу e[l,m] \xTPbj |>e,

(28)

\и] - определяется как в случае т = 1, [и, =0, J е [1, т], 1 = \,т,]*1,

при х'Р/{х) > ахТОх, ||х|| >е, и Уу = [1, т] \хТРЬ/1< е

При использовании НРПС (28) положение равновесия системы (4) будет устойчивым в целом в силу теоремы Ляпунова Этот алгоритм является универсальным, в том смысле, что он не зависит от числа и типа нелинейностей. Он зависит лишь от числа управлений, а также от параметров £, е,, Д/, у и а

Все приведенные выше алгоритмы и соответствующие системы моделировались на ПК с применением пакета МАТЬ А В Результаты моделирования подтверждают работоспособность предложенного НРПС, устойчивость в "целом и высокое качество переходных процессов

В четвертой главе диссертационной работы рассматривается реализация НРПС, а также примеры практического применения предложенного нелинейного регулятора переменной структуры для управления и стабилизации реальных технических объектов

Разработаны структурные схемы алгоритмов при их реализации с помощью цифровых вычислительных средств, что обеспечивает техническую реализацию НРПС Установлено, что для реализации НРПС требуется 16л2-5л-1 операций сложения и вычитания, 25пг + п +14 операций умножения и деления, и 9 логических операций сравнения Здесь п - порядок ОУ.

Здесь же проводится синтез и исследование ряда систем управления с НРПС движением спутника на орбите, перевернутым маятником на тележке; а также другими нелинейными объектами При использовании синтезированного НРПС обеспечивается длительность переходного процесса в случае управления движением спутника 3 с, а в случае управления маятником -4 с Максимальное значение коэффициента передачи НРПС 140, а при использовании, например, модального управления * 63775. Суммарное время действия кусочно-непрерывного управления около 30% от длительность переходного процесса Эти факты свидетельствуют, что НРПС обеспечивает экономию энергии и ресурсов управления

С применением НРПС проведён синтез системы управления движением корабля с учётом нерегулярного морского волнения и течений Разработанный НРПС обеспечивает заданное значение скорости и курса корабля На основе полученных результатов разработана система управления совместным движением исследовательского корабля и батискафа Данная система управления обеспечивает синхронное движение батискафа в заданной удаленности от ведущего корабля Результаты разработки внедрены при выполнении хоздоговора ХД - 12238 на кафедре «Вычислительной техники» ТТИ ЮФУ

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы, полученные в процессе проводимых исследований, делаются общие выводы

1 Получено кусочно-непрерывное управление для аффинных по управлению нелинейных объектов В отличие от известных ранее управлений разработанное управление может применяться к объектам с неаддитивными с управлением не-линейностями,

2 Предложены структура и алгоритм нелинейного регулятора переменной структуры (НРПС) для нелинейных объектов со скалярным управлением В общем случае этот регулятор состоит из непрерывной части постоянной структуры и нелинейной части переменной структуры,

3 Предложены структура и алгоритм координирующего нелинейного регулятора переменной структуры для широкого класса нелинейных объектов с векторным управлением Это значительно расширяет область применения нелинейных регуляторов так и на практике Этот алгоритм универсальный и не зависит от числа и типа нелинейностей Он зависит лишь от числа управлений, имеющихся у объекта, и от параметров е, е,, At, у и а,

4 Предложен способ реализации нелинейных регуляторов переменной структуры В работе показывается, что предложенный координирующий нелинейный регулятор переменной структуры легко реализуется с помощью современных средств вычислительной техники. Он позволяет уменьшить трудности при разработке САУ реальными нелинейными техническими объектами.

Таким образом, можно считать, что совокупность полученных в диссертации результатов является решением важной научно-технической задачи создания нелинейных регуляторов для аффинных по управлению объектов, т е поставленная цель исследований достигнута

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1.ЛеЧ Т Управление каскадом гидроэлектростанций // Известия ТРТУ

Тематический выпуск "Актуальные проблемы производства и потребления электроэнергии", №15(70) 2006, - С 24-32

2. Ле ЧТ, Гайдук АР Синтез нелинейных систем управления на основе функций Ляпунова // Известия ТРТУ. Специальный выпуск Технические науки Материалы III научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ - Таганрог Изд-во ТРТУ,2006№9(64),-С 51-56.

3 Ле Ч. Т Синтез нелинейных регуляторов переменной структуры для одного класса нелинейного объекта // Вестник ДГТУ 2007 Т 7 №4(35), - С 360-368.

Публикации в других изданиях

4 Ле ЧТ. Моделирование процесса управления в критической области // VIII международная молодежная научная конференция "Севергеоэкотех-2007" Материалы конференциивЗч;ч.1.-Ухта УГТУ,2007.-С 38-43.

5 Ле Ч Т Синтез нелинейных управлений на основе функций Ляпунова -«НОВЫЕ ГРАНИ ПОЗНАНИЯ» Сборник научно-исследовательских работ Вып 3, Москва 2006, - С. 168-174

6 Ле Ч. Т Построение алгоритма управления на основе функций Ляпунова Тезисы докладов, VIII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» Таганрог 2006 С 173

7. Ле Ч Т Синтез системы управления движениями корабля и батискафа / Гайдук А Р., Золотовский В Е, Гильванов М Ф , Ле Чан Тханг // Меж вуз сб «Системный анализ, управление и обработка информации» / Под общ. ред проф РА Нейдорфа - Ростов-на-Дону: ДГТУ, Таганрог ТТИЮФУ, 2007 С 254-253

8. Ле Ч Т Синтез законов управления движением самолета по глиссаде // Сб. Труды, IX всероссийской молодежной научной конференции «Королевские чтения» с международным участием СГАУ, Самара 2007 С 127

9 Ле Ч.Т. Исследование модели популяции хищник жертва // Научное знание новые реалии сборник научно-исследовательских работ Вып 1. - Москва 2005,-С 130-134

10 Ле Ч Т Исследование нелинейного управления в критической области фазового пространства // Известия ЮФУ Технические науки Специальный выпуск. 53-НТКТТИЮФУ № 1(78) 2008 С 46

Личный вклад автора в работах, написанных в соавторстве, состоит в следующем- работа [2] - предложено применять квадратичную форму для обеспечения устойчивости нелинейных синтезируемых систем, работа [7] - разработан алгоритм управления совместным движением корабля и батискафа

Соискатель Ле Чан Тханг

Тип ТТИ ЮФУ Заказ №/6? тир. 100 экз

Введение.

ГЛАВА 1.

ПРОБЛЕМЫ И МЕТОДЫ СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ.

1.1 Проблемы синтеза нелинейных регуляторов.

1.2 Проблема управляемости в задаче синтеза регуляторов.

1.3 Методы синтеза нелинейных регуляторов.

1.3.1 Методы оптимального управления.

1.3.2 Системы с переменной структурой.

1.3.3 Метод пассификации.

1.3.4 Метод преобразований.

1.3.5 Метод управляемой формы Жордана.

1.3.6 Метод функций Ляпунова.

1.3.7 Метод скоростного градиента.36е

1.4 Обоснование и формулировка цели исследования.

1.5 Выводы по первой главе.39 '

ГЛАВА 2.

ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ.

2.1 Некоторые особенности построения функций Ляпунова.

2.2 Аффинные по управлению объекты.

2.2.1 Управляемость.

2.2.2 Синтез регуляторов на основе функции Ляпунова.

2.3 Полюсы кусочно-непрерывного управления.

2.4 Выводы по второй главе.

ГЛАВА 3.

РАЗРАБОТКА МЕТОДА СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙННЫХ РЕГУЛЯТОРОВ. 71 ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Синтез НРПС для объектов с числом управлений равным их порядку

3.3 Синтез НРПС для объекта с одним управлением.

3.3.1 Движения систем в критической области.

3.3.2 Управление с сохранением знака разности функции Ляпунова.

3.4 Синтез НРПС для объектов с числом управлений меньше его порядка.

3.5 Выводы по третьей главе.

ГЛАВА 4.

ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ РЕАЛЬНЫМИ ОБЪЕКТАМИ.

4.1 Компьютерная реализация нелинейных регуляторов. переменной структуры.

4.2 Синтез НРПС для стабилизации спутника на орбите.

4.3 Синтез НРПС перевернутого маятника.

4.4 Синтез НРПС надводных кораблей.

4.5 Выводы по четвертой главе.

Актуальность темы. Задача синтеза нелинейных регуляторов весьма актуальна в настоящее время. В реальности все объекты управления являются существенно нелинейными, а требования к современным системам автоматического управления (САУ) возросли настолько, что без учета нелиней-ностей обеспечить требуемое качество процессов управления невозможно. Другим фактором, обусловливающим актуальность задачи синтеза нелинейных регуляторов, является широкое развитие и распространение компьютерных технологий, которые позволяют, во-первых, синтезировать, а во-вторых, реализовать весьма сложные законы управления, необходимые для управления нелинейными объектами достаточно общего вида.

Практически задача построения САУ сводится к разработке математической модели, а затем и реализации регулятора. Именно регулятор определяет все основные динамические свойства САУ, её точность и эффективность управляемого процесса. Наиболее совершенными регуляторами являются нелинейные, поэтому в данной работе основное внимание уделяется методам синтеза именно этих регуляторов.

Методы анализа и синтеза нелинейных систем разрабатывались и исследовались в работах многих ученых таких как: A.M. Ляпунов, Р. Калман, А.А. Воронов, А.А. Красовский, А.П. Крищенко, С.В. Емельянов, В.И. Уткин, А.Л. Фрадков, Е.А. Барбашин, А.А. Вавилов, В.Н. Буков, В.Н. Рябченко, П.К. Кузнецов, Л.Д. Певзнер, С.В. Тарарыкин, Р.А. Нейдорф, В.И. Лачин, А.Р. Гайдук, В.А. Подчукаев, Н.Б. Филимонов, П.П. Кравченко, В.В. Тюти-ков и др. Однако, практически все известные методы синтеза нелинейных регуляторов применимы лишь для нелинейных объектов отдельных классов. Поэтому в настоящее время проблема разработки и исследования достаточно общих методов синтеза регуляторов для нелинейных объектов находится в центре внимания ученых различных стран мира.

Диссертационная работа посвящена решению актуальной и важной научно-технической проблемы: разработка метода синтеза нелинейных регуляторов для нелинейных объектов достаточно общего вида на основе функций Ляпунова, позволяющего формализовать процедуру синтеза, повысить качество синтезируемой системы, обеспечить экономию энергии и ресурсов управления.

Объектами исследования являются нелинейные регуляторы и системы автоматического управления нелинейными, аффинными по управлению объектами.

Целью диссертационной работы является решение актуальной науч

4 ч но-технической задачи: синтез и исследование нелинейных регуляторов переменной структуры, ориентированных на реализацию вычислительными средствами, для некоторого класса нелинейных объектов управления на основе метода функций Ляпунова.

Для достижения указанной цели в диссертационной работе решены следующие частные задачи теории нелинейных систем управления:

1. Исследование методов построения функций Ляпунова для линейных и нелинейных систем.

2. Разработка на основе функций Ляпунова в виде квадратичных форм метода синтеза нелинейного (кусочно-непрерывного) управления для аффинных по управлению нелинейных объектов.

3. Исследование свойств кусочно-непрерывного управления и разработка физически реализуемых, аналитических алгоритмов функционирования нелинейных регуляторов для нелинейных объектов управления различных классов.

4. Разработка методов и оценка сложности технической реализации предложенных алгоритмов соответствующих нелинейных регуляторов.

Методы исследования. В работе использованы: методы математического анализа, теория матриц, методы нелинейной теории автоматического управления, метод функций Ляпунова, методы компьютерного моделирования нелинейных динамических систем. Положения, выносимые на защиту:

1. Структура и алгоритм кусочно-непрерывного управления для аффинных по управлению нелинейных объектов.

2. Структура и алгоритм нелинейного регулятора переменной структуры (НРПС) для аффинных по управлению нелинейных объектов с одним управлением.

3. Структура и алгоритм нелинейного регулятора переменной структуры для аффинных по управлению нелинейных объектов с векторным управлением.

4. Операционная структура реализации нелинейных регуляторов переменной структуры.

Научная новизна работы определяется следующими отличительными особенностями полученных существенных теоретических и практических результатов:

1. Показана возможность применения для синтеза нелинейных регуляторов и исследования устойчивости нелинейных систем управления функции Ляпунова, построенной для устойчивой линейной системы. Это позволяет практически формализовать процесс синтеза нелинейных регуляторов.

2. Предложены новые регуляторы переменной структуры для нелинейных объектов управления, содержащие непрерывную и логическую часть. Переменность структуры регуляторов обеспечивается переключением нелинейных блоков (алгоритмов) управления, в отличии от традиционных систем переменной структуры, где коммутируются линейные блоки.

3. Разработанный новый метод синтеза нелинейных регуляторов переменной структуры для нелинейных объектов управления различных классов, позволяет создавать эффективные, устойчивые в целом системы управления для нелинейных объектов как с одним, так и с несколькими линейно независимыми управлениями.

4. Логическое устройство нелинейных регуляторов переменной структуры обеспечивает действие на объект лишь в необходимые моменты времени и только одного наиболее эффективного управления, что позволяет экономить энергию и ресурсы управления.

Практическая значимость диссертационной работы определяется тем, что её результаты позволяют решить многие проблемы управления техническими системами и технологическими процессами без предварительной линеаризации их математических моделей. Кроме того, разработанные алгоритмы управления позволяют в полной мере использовать ресурсы современных вычислительных средств.

Особая значимость нелинейных регуляторов переменной структуры (НРПС), учитывающих реальные нелинейности системы, заключается в возможности повышения качества переходного процесса и точности системы в установившемся режиме. Кроме того, логическая часть НРПС обеспечивает действие на объект только одного управления и лишь в необходимые моменты времени, что приводит к экономии энергии и ресурсов управления. Это позволяет повысить производительность и экономическую эффективность технологических объектов, производств.

Разработан новый подход к синтезу регуляторов для нелинейных объектов как с одним, так и с несколькими управлениями. Он позволяет обеспечить устойчивость положения равновесия системы в целом при непрерывных и разрывных нелинейностях, что значительно расширяет область применения нелинейных регуляторов в технических системах. Методика синтеза легко алгоритмизуется и реализуется полностью на ЭВМ.

Достоверность результатов исследования. Результаты работы используются в учебном, процессе кафедры САУ ТТИ ЮФУ. В частности, они позволяют убедительно показать преимущества метода функций Ляпунова в теории и практике нелинейных систем управления, формализовать процедуру синтеза нелинейных регуляторов для нелинейных объектов.

Результаты работы внедрены при выполнении хоздоговора ХД - 12238 «Разработка и исследование систем автоматизации проектирования проблемно-ориентированных вычислительных устройств» на кафедре «Вычислительной техники» ТТИ ЮФУ.

Апробация. Материалы диссертационной работы прошли апробацию на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях: VIII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». ТРТУ, Таганрог. 2006; III научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников. ТРТУ, Таганрог. 2006; Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, сотрудников и студентов университета. ДГТУ, Ростов-на-Дону 2007; Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников. ТТИ ЮФУ, Таганрог. 2007; VIII международная молодежная научная конференция "Севергео-экотех-2007". УГТУ, Ухта. 2007; IX всероссийская молодежная научная конференция «Королёвские чтения» с международным участием. СГАУ, Самара. 2007.

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 10 работ. Наиболее существенные результаты опубликованы в журналах «Известия ТРТУ», «Вестник ДГТУ», которые входят в перечень ВАК, и вошли в другие сборники научно-технических работ, а также докладов региональных и международных научно-технических конференций.

4.5 Выводы по четвертой главе

В данной главе диссертационной работы рассматриваются примеры практического применения предложенного нелинейного регулятора переменной структуры, для управления и стабилизации реальных технических объектов и получены следующие результаты:

- показано, что предложенный в работе нелинейный регулятор переменной структуры существенно уменьшает трудности разработки САУ реальными техническими объектами;

- НРПС обеспечивает эффективное управление нелинейными объектами широкого класса, модели которых могут содержать как^епрерывные так -и разрывные нелинейности;

- предложенный НРПС эффективно компенсирует все возмущающие воздействия;

- результаты моделирования разработанных нелинейных САУ с НРПС подтверждают теоретические результаты диссертационной работы и свидетельствуют о высокой эффективности предложенного НРПС.

Заключение

В диссертационной работе на основе метода функций Ляпунова получено комплексное решение проблемы синтеза регуляторов переменной структуры для нелинейных объектов. Основные результаты могут быть сформулированы следующим образом:

1. Получены структура и алгоритм физически нереализуемого кусочно-непрерывного управления для аффинных по управлению нелинейных объект тов. В отличие от известных ранее управлений' разработанное управление может применяться к объектам с не аддитивными с управлением нелинейно-стями; .

2. Разработаны структура и алгоритм нелинейных регуляторов переменной структуры (НРПС) для нелинейных ОУ с одним управлением (со скалярным управлением), отличающиеся тем, что объекты могут иметь нелинейности общего вида;'

3. Разработаны структура и алгоритм НРПС для-нелинейных ОУ с несколькими управлениями (с векторным управлением), отличающееся тем; что в отличии от известных здесь коммутируются нелинейные блоки; ,

4. Предложена универсальная схема реализации НРПС, которая может использоваться для управления нелинейным вполне управляемым объектом:

Таким образом^ можно считать, что совокупность полученных в диссертации результатов является решением важной научно-технической- задачи теории синтеза- нелинейных систем управления^ т.е. поставленная цель исследований достигнута.

1. Пупков К.А, Егупов Н.Д. Методы классической и современной терии автоматического управления. ТОМ 1: Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

2. Пупков'К.А, Егупов Н.Д. Методы классической и современной терии автоматического управления. ТОМ- 2: Статистическая динамика и индентифи-кация систем автоматического управления: М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

3. Пупков К.А, Егупов Н.Д. Методы классической и современной терии автоматического управления. ТОМ 3: Синтез регуляторов систем автоматического управления. -М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

4. Зубов В.И. Лекции по- теории управления. М.: Издательство «Наука», 1975.

5. Зубов В.И. Устойчивость движения (Методы Ляпунова и их применение): -М:: «Высшая школа», 1984.

6. Барбашин Е.А. Введение в'теорию, устойчивости М: Издательство «Наука», 1967.

7. Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы. М.:УМ и ИЦ «Учебная литература», 2004.

8. Гайдук А.Р. Основы теории систем автоматического управления. М.: УМ и ИЦ «Учебная литература», 2005.

9. Нетушил А. В., Гольдфарб Л. С., Балтрушевич А. В., Круг Г. К., Пастернак Е.Б. Теория автоматического управления. 4.1. М.: Издательство «Высшая школа», 1968.

10. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. Таганрог: ТРТУ, М.: Энергоатомиздат, 1994.

11. Воронов А.А. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления. -М.: Высшая школа, 1986.

12. Чаки. Ф. Современная теория- управления; нелинейные: (Оптимальные и адаптивные) системы. Перевод с английского, Капитоненко В.В. и Анисимо-ва С.А. под редакцией Райбмана Н.С. М.: Издательство «Мир»; 1975;

13. Нейдорф Р.А. Синтез и оптимизация алгоритмов управления в технических системах, Часть 1. Ростов н/д 1994.

14. Нейдорф P.A., Обухов П.С. Синтез и оптимизация, алгоритмов; управления' в технических системах, Часть-21 Ростов н/д 1997. . "

15. Л. Янг, Лекции по вариационому исчислению и теории оптимального управления: Перевод с английского М; Г. Элуашвили под редацией В. М. Алексеева. М.: Издательство «Мир», 1974.

16. Тюкин B.IL Теория управления 4.2 Особые линейные и нелинейные системы. Вологда, 2000:

17. Холодниок М.,.Клич А.,. Кубичек.Mi, Марек М. Метод.анализа нелинейных динамических моделей; Прага 1985. .

18. Красовский А.А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.-М'.: Наука,. 1974.

19. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления; и фильтрации. М;'. Сов. радио, 1976.

20. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. М.: Физматлит, 2003.

21. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. Пособие. М.: Физ-матлит, 2004.

22. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. 1955. 176с.

23. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. М.: Физматлит, 2002.

24. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об устойчивости решений одного класса нелинейных систем с запаздыванием. // Автоматика и Телемеханика 2006. № 9, с 3-14.

25. Андриевский Б.П., Фрадков A.JL Метод пассификации в задачах адаптивного управления, оценивания и синхронизации. // Автоматика и Телемеханика 2006. №11, с 3-37.

26. Матвеев А.С. Теория оптимального управления в работах В.А. Якубовича // Автоматика и Телемеханика 2006. № 10. С 120-174.

27. Гайдук А.Р. Синтез нелинейных систем на основе управляемой формы Жордана. // Автоматика и Телемеханика. 2006. № 7, с 3-13.

28. Жечев М. М. Оптимальное по быстродействию подвижное управление малыми поворотами KJIA. Ч: I. Оптимальное управление. // Автоматика и те- -лемеханика 1995. № 8, с. 74-82.

29. Жирабок А.Н. Каноническая декомпозиция нелинейных динамических систем на основе инвариантных функций. // Автоматика и Телемеханика 2006. №4, с 3-15.

30. Алексеева С.А., Воротников В.И., Феофанова В.А. К задачам частичной эквиасимптотической устойчивости нелинейных динамических систем. // Автоматика и Телемеханика 2005. № 2, с 3-16.

31. Воротников В.И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы развития. // Автоматика и Телемеханика № 4,2005, с 3-59.

32. Журков В.П. О редукции задачи исследования нелинейных динамических систем на устойчивость вторым методом Ляпунова. // Автоматика и Телемеханика 2005. № 12, с 51-64.

33. Голубев А.Е., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем. // Автоматика и Телемеханика 2005. № 7, с 3-42.

34. Леонов Г.А. Необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости двумерных нестационарных систем. // Автоматика и Телемеханика 2005. №7, с 43-53.

35. Гроп Д. Методы идентификации систем. Перевод с английского, Васильева В.А., Лопатина В. И.- М.: Издательство «Мир», 1979.

36. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц М.: 1955.

37. Красовский А.А., Поспелов Г.С., Основы автоматики и технической кибернетики. Mi -Л., госэнергоиздат, 1962.

38. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: методы.и приложения. Методы // Автоматика и Телемеханика 2003. № 5, с 3-45.

39. Мирошник И:В., Никифоров В.О., Фраков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими объектами. СПб.: 2000.

40. Фрадков А.Л. Схема скоростного градиента и её применение в задачах адаптивного управления // Автоматика,и Телемеханика 1979. № 9; с 90-101.

41. Фрадков* А.Л. Адаптивное управление нелинейными колебаниями- / Алгоритмическое обеспечение процессов управления в механике и машиностроении: Тез. докл. М.: 1979, с 29-30.

42. Гайдук А.Р. Условия достижимости инвариантности систем, управления энергетическими объектами // Автоматика и Телемеханика 2006. № 5. С. 93-101.

43. Нетушил А.В., Балтрушевич А.В., Бурляев BIB., Кузин Р.Е., Александровский Н.М. Теория автоматического управления. М.: -Издательство «Высшая школа», 1983. 432с.

44. Fradkov A.L., Pogromsky A.Yu. Introduction to control of oscillation and chaos. Singapore: World Scientific, 1998.

45. Нейдорф P.А. Синергегические аспекты синтеза, алгоритмов, управления по эталонным математическим моделям // Диагностика и; управление в технических системах: Межвуз. сборник научн: тр. Ростов-на-Дону, 1996.-С. 16-19; . : ' - '

46. Нейдорф: Р;А. Критериальная стратегия структурного синтеза законов управления в технических системах на основе идеологии динамической самоорганизации // Диагностика, и управление в технических системах: Межвуз. сб? нау; тр; Ростов-на-Дону, 1998.

47. Нейдорф Р.А., Соловей IT.C. Инженерные методы* синтеза автоматиче-скиххистем:управления:;Учеб.:пособие;. Под общ: .ред. Р;А.-Нейдорфа. Ухта: УЕТУ, Ростов-н/Д:.РГАСХМ, 2004.

48. Нейдорф Р.А., Тищенко JI.F. Ингервально-апроксимационное управление. Локальная;устойчивость.// Информатика и Системы,Управления? 2003. №1(5).

49. Нейдорф?Р.А; Рекуррентно-диффеоморфный синтез^квазиоптимальных по; быстродействию ограниченных законов управления // Р.А. Нейдорф, Н.Н. Чан. Информатика и системы управления. 2006; № 212. С. 119-1281

50. Пупков К.А, Егупов Н.Д. Методы классической и современной терии автоматического управления. ТОМ 4: Теория оптимизации систем автоматиче-ского.управления.- Mi: Издательство:МТТУ им:.Н;Э) Баумана-2004.

51. Пупков К.А, Егупов Н.Д. Методы классической; и современной^; теории: автоматического управления. ТОМ: 5: Методы современной; теории, систем: автоматического управления. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004'; ;

52. Фрадков A.J1. Кибернетическая физика: принципы и примеры. СПб.: наука, 2003.

53. Гелиг А:Х., .Леонов F.A., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с. неединственным состоянием равновесия: М., «Наука» 1978.

54. Метод векторных. функций Ляпунова- в. теории устойчивости/ Под ред. А.А. Воронова, ВМ: Маиросова: М.: Наука, 1987.

55. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений; Пёр. с анг. под ред. Самарского/. А.А. М.: «Мир», 1988.

56. Дайсон.Ф., Монтролл Э., 'Кац М., Фишер;М: Устойчивость и фазовые переходы. Пер. с анг.-Mi: «Мир»,-1973.

57. Литтлтон Р;А. Устойчивость вращающихся масс жидкости. Пер; с анг. -под ред. Кондратьева Б.П., Ижевск, 2001.

58. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений-в примерах и задачах. Mi: «Наука», 1988: . '

59. Сизиков B.C. Устойчивые методы обработки результатов измерений. СПб.: «СпецЛит», 1999.

60. Айзерман М.А. Краткий очерк становления.и развития классической теории регулирования и управления // Автоматика,,и телемеханика. ,1993. №7. С. 6-18.

61. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Кра-совского. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987

62. Крылов И.А. Численное решение задачи об оптимальной стабилизации спутника // ЖВМ и МФ, 1968, №1.

63. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.

64. Остославский. И.В:, Стражева И.В. Динамика полета. Траектория летательных аппаратов. Изд. «Машиностроение» М.', 1969.

65. Красовский А.А. Системы* автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

66. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

67. Теория автоматического регулирования. Книга 2. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем, автоматического управления/Под ред. В.В. Солодовникова. -М.: Машиностроение, 1967.

68. Понтрягин Л.С. Обыкновенные1 дифференциальные уравнения. Ижевск:* НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

69. Ротач В .Я. Расчет, динамики промышленных автоматических систем-регулирования. -М.: Энергия, 1973.

70. Смольников Л.П. Синтез квазиоптимальных систем автоматического; управления:-Л.: Энергия, 1967.

71. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. -М.: Наука-. Физматлит, 1998.

72. Филлипов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой» частью. М.: Наука, 1985.

73. Обухов П.С. Об ограничении корневого- пространства нормированного характеристического полинома // Управление и диагностика в-динамических системах: Вестник ДГТУ. Ростов-на-Дону: Изд. центр ДГТУ, 1999: - С. 82-83.

74. Емельянов С.В. Системы автоматического управлениям с переменной структурой. М.", 1967.

75. Уткин*В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М., 1974.

76. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.

77. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования: Учеб. для вузов. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

78. Гришин А.А., Ленский А.В., Охоцимский Д.Е., Панин-Д.А., Формальский A.M. О синтезе управления неустойчивым объектом. Перевернутый маятник. Известия РАН. Теория и системы управления, № 5, 2002.

79. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. Журнал экспер. и теор. физики. Том 21, Вып. 5; 1951.

80. Фрейдзон И.Р. Судовые автоматизированные электроприводы и системы. Ленинград, изд-во «Судостроение» 1988.

81. Справочник судового электротехника В Зт. Под ред Китаенко Г.И. Л.: Судостроение, 1980.

82. Магаршак Б.Г. Судовые электроизмерительные приборы. Изд-во «Судостроение» Ленинград 1976.

83. ЛукомскийЮ.А., Чугунов B.C. Системы управления морскими подвижными объектами. Учебник Л.: Судостроение, 19881

84. Суевалов- Л.Ф. Справочник по расчетам судовых автоматических систем. Л/. Судостроение, 1977.

85. Войткунсткого Я.И., Титов И.А., Першиц Р.Я. Справочник по теории корабля. Л.: Судостроение, 1973.

86. Справочник по-теории автоматического управления. Под ред. А.А. Кра-совского. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

87. БарбашинЕ.А. Функции Ляпунова. М., 1970.

88. Вавилов А.А. Частотные методы расчета нелинейных систем.' М., 1970.

89. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Под ред. Розова Н.Х., перевод из немецкого языка М., 1967.

90. Бехтир В.П., Цитенко В.Г. Практическая аэродинамика самолета ТУ 154М.М., 1997.

91. Круглов В.И., Кузнецов А.Г., Кузнецов В.А Кутин А.А., Шолом A.M., Александровская JI.H. Теоретические основы испытаний и экспериментальная отработка сложных технических систем. М., «Логос» 2003.

92. Балашов М.А., Воронков Б.С., Елагин Е.Б., Киселев Л.Н., Колосов С.П., Леонтьева В.П., Нефедова В.И. и др. Руководство по проектированию элементов и систем автоматики. М., «Оборонгиз» 1961.

93. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М: «Физматли», 2001.

94. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде Matlab: учебный курс. Издательский дом «Питер», 2000.

95. Медведев B.C., Потёкин В.Г. Control system toolbox. М: ЗАО «Диалог-Мифи», 1999.

96. Игорь Ануфриев, Самоучитель Matlab 5.3/б.х. Санкт-Петербург «БХВ-Петербург», 2002.

97. Hermes Н. Onastabilizing Feedback Attiude Control. J. Optimizat. Theory an Appl. 1980. Vol. 31. №3. P. 343-384.

98. Канатников A.H., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Учеб. Для вузов. 2-е изд./ Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э, Баумана, 2000.

99. Хемминг Р.В. Численные методы. Пер. с анг. В.Л. Арлазарова, Г.С. Разиной и А.В. Ускова. Под ред. Р.С. Гутера. М.: «Наука» 1968.