автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Модальный синтез линейных регуляторов пониженного порядка

л

ч А

-и " <

/

Новосибирский государственный технический университет !

На правах рукописи

Мелешкин Андрей Иванович

МОДАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА

г

05.13.01 - Управление в технических системах

Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Воевода А.А.

Новосибирск -1999

/

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение...............................................................................................—• 5

Глава 1. Современное состояние проблемы синтеза регуляторов

пониженного порядка. Постановка задачи синтеза.............. ..............................12

1.1. Общие положения..................................................................................................................................12

1.2. Способы описания линейных систем.............. ........................................15

1.3. "Линейные" подходы к синтезу стабилизирующих регуляторов ..........................................................................................................................................................................................................17

1.3.1. Модальный синтез в пространстве состояния............17

1.3.2. Принцип локализации.................... ..................................................21

1.3.3. Применение диофангова уравнения для модального синтеза.............................................................................................................................................22

1.3.4. Анализ некоторых методов, основанных на специальном выборе матрицы "желаемой динамики"......... ....................27

1.3.5. Синтез по ЛАЧХ..............................................................................................................28

1.4. "Нелинейные" подходы к синтезу стабилизирующих регуляторов.......................................................................................................29

1.4.1. Оптимальный синтез................................................................................................29

1.4.2. Синтез регуляторов пониженного порядка при Яоо-ограничениях............................................................................30

1.4.3. Поливекгорньгй синтез.................... ................................................32

1.4.4. Некоторые методы оптимизации........................................................34

1.4.5. Интерполяционные методы синтеза........... ......................36

1.5. Постановка задачи диссертационного исследования..............37

1.6. Выводы...............................................................................................................................................41

Глава 2. Оптимизационный синтез регуляторов пониженного порядка ..................................................................................................................................................................................................................43

2.1. Общие положения..................................................................................................................................43

2.2. Анализ известных норм передаточных функций..............................44

2.3. Мотивация выбора критерия оптимизации..................................................51

2.4. Некоторые дополнительные требования к системе......................54

2.5. Предварительное описание алгоритма синтеза....................................57

2.6. Выводы............................................................................... • 60

Глава 3. Свойство кривизны годографа Михайлова устойчивых

полиномов и синтез регуляторов пониженного порядка........................................62

3.1. Общие положения..................................................................................................................................62

3.2. Предварительные сведения.................................................................63

3.3. О кривизне годографа Михайлова..............................................................................68

3.4. Вывод рекуррентных формул для вычисления числителя кривизны..........................................................................................................................................................................................77

3.5. Исследование областей устойчивости по некоторым критериям устойчивости................................................................................................................................................81

3.6. Применение свойств кривизны к синтезу регуляторов пониженного порядка..........................................................................................................................................................84

3.6.1. Модальный синтез по достаточному условию положительности кривизны................................................................................................................85

3.6.2. Оптимизационный синтез..............................................................................90

3.7. Выводы......................................................................................................................................................................93

Глава 4. Применение свойства расположения корней производного полинома к синтезу регуляторов пониженного порядка................................95

4.1. Общие положения..................................................................................................................................95

4.2. Предварительные сведения....................................................................................................96

4.3. />стабилизация полинома с помощью коррекции коэффициентов при младших степенях 5.........................

4.4. Синтез регуляторов пониженного порядка для систем с малым параметром....................................................................................................................................................................105

4.5. ^-стабилизация полинома детерминанта квадратной матрицы........................................................................................................................................................................................................109

4.6. Синтез многоканальной системы с малым параметром.... 115

4.7. Описание алгоритма синтеза регуляторов пониженного порядка..........................................................................................................................................................................................................123

4.8. Выводы......................................................................................................................................................................130

Глава 5. Управление оптимальным режимом сверления и темпера- 131

турным режимом 4-х полочной колонны синтеза аммиака................

5.1. Общие положения..................................................................................................................................131

5.2. Синтез регулятора для реализации оптимальных режима сверления по критерию "минимума затрат"......................................................................131

5.3. Синтез регулятора для управления температурным режимом 4-х полочной колонны синтеза аммиака....................................................................137

5.4. Выводы......................................................................................................................................................................146

Заключение............................................................................................................................................................................................147

Список литературы..................................................................................................................................................................149

Приложение 1. Определения понятий и терминов, используемых в

диссертации..........................................................................................................................................................................................158

Приложение 2. Акты о внедрении..................................................................................................................161

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Со времён Вышнеградского И.Д., Максвелла Д. К. и других основоположников теории автоматического управления и до наших дней не прекращается поток работ, посвященных анализу и синтезу именно линейных систем автоматического управления. Таким образом, можно заметить, что несмотря на полуторавековую историю развития теории автоматического управления, до сих пор не решены некоторые вопросы анализа и синтеза самого простого класса систем автоматического регулирования - линейных систем. Конечно, с течением времени вопросы, которые интересуют исследователей, усложнялись и сейчас их центр тяжести переносится на многоканальные системы, системы с интервальными параметрами, систем с регулятором пониженного порядка и др. Сложность задач, решаемых при проектировании систем автоматического управления, можно проследить по учебникам, учебным пособиям и монографиям, написанным такими отечественными и зарубежными учёными, как Александров A.A., Андреев A.A., Бесекерский

B.А., Воронов A.A., Востриков A.C., Гноенский А.С, Крутько П.Д., Петров Б.Н., Попов Е.П., Смагина Е.М., Соболев О.С., Chen С.Т., Desoer

C.A., Kwakernaak Н., Rosenbrock H.H., Vidyasagar М., Wolovich W.A. и др.

Данная диссертация посвящена разработке методов и алгоритмов

синтеза линейных регуляторов пониженного порядка. Под понижением порядка имеется в виду понижение степени знаменателя регулятора и, следовательно, из-за физической реализуемости его передаточной функции, степени числителя по сравнению с классическими модальными ме-

тодами без заметного ухудшения динамических свойств замкнутой системы.

Если поставить задачу синтеза линейных или линеаризованных систем автоматического управления как задачу размещения полюсов или, что то же самое, собственных чисел в желаемой области на комплексной плоскости, то для её решения современная теория автоматического управления предлагает разнообразие модальных и частотных методов синтеза, которые более всего подходят к конструированию таких систем. Причём подавляющее большинство из представленных методов для достижения требуемых свойств системы ставят задачу размещения каждого из её полюсов в заранее заданной точке, т.к. такая постановка задачи упрощает процедуру синтеза. Но, как известно, в большинстве случаев на свойства системы влияет не точечное их размещение, а размещение в заранее заданной области. Таким образом, можно заметить, что на самом деле решается не поставленная задача синтеза, а некоторый её частный случай, который ведёт к усложнению закона управления и самого регулятора, а в дискретном случае - к увеличению времени счёта.

Желание улучшить свойства системы, упростить процедуру подстройки регулятора под конкретный объект и повысить надёжность функционирования системы приводит к задаче синтеза регуляторов пониженного порядка (low-order). Видимо, именно поэтому инженерная практика старается "отбирать" из большого количества законов управления наиболее простые (П-, ПИ(Д)-регуляторы).

Цель и задачи работы. Разработать модальный метод синтеза линейных регуляторов пониженного порядка для стабилизации управляемых и наблюдаемых линейных стационарных объектов управления с равным числом входов и выходов. При этом задача синтеза ставится следующим образом. Необходимо синтезировать систему, полюса которой размещаются в желаемой односвязной симметричной области на комплексной плоскости. Выбор параметров ре1улятора производится с использованием полиномиальных диофантовых уравнений и методов нелинейного программирования. При этом предполагается использование операторного метода представления динамических звеньев.

г*

Разработанный метод должен допускать применимость к одно- и многоканальным объектам.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- разработка критериев для оптимизационной процедуры синтеза регуляторов пониженного порядка;

- применение свойства включения области расположения корней производного полинома в область расположения корней исходного полинома для синтеза регуляторов пониженного порядка;

- распространение новых частотных свойств годографа Михайлова устойчивых; полиномов на анализ и синтез систем управления с регулятором пониженного порядка;

- разработка новых необходимых условий гурвицевости полиномов.

Методы исследования. При выполнении исследований в работе применялся аппарат операционного исчисления, теория полиномиальных матриц, теория устойчивости, теория нелинейного программирования, также специальные разделы алгебры и математического анализа. При анализе алгоритмов синтеза, моделей систем и режимов их работы использовался пакет программ МаЙаЬ 5.2.

Научная новизна. Разработана методика синтеза одно- и многоканальных линейных регуляторов пониженного порядка при помощи диофантова уравнения с применением алгоритмов оптимизации нелинейного программирования. Предлагаемая методика позволяет разместить полюса замкнутой системы в желаемой области, что полностью соответствует поставленной задаче синтеза. Применение диофантова уравнения позволяет формализовано решать данную задачу синтеза для управляемых и наблюдаемых линейных стационарных объектов с равным числом входов и выходов.

Можно выделить следующие результата:

- для управляемых и наблюдаемых линейных стационарных объектов управления предложен метод синтеза регуляторов пониженного порядка, который позволяет размещать полюса замкнутой системы в заданной области;

- сформулирована и доказана теорема о положительности кривизны амплитудно-фазовой характеристики (годографа Михайлова) гурви-цевых полиномов;

- получены новые необходимые условия устойчивости полиномов;

- предложено необходимое условие разрешимости задачи синтеза регуляторов пониженного порядка для объектов без конечных нулей;

- предложены нижние оценки порядка передаточной функции регулятора;

- представлен критерий для оптимизационного синтеза, различающий ¿»-устойчивые и £)-неустойчивые передаточные функции.

Передаточные функции будем называть 1)-устойчивыми, если их полюса принадлежат области О.

Практическая ценность и внедрение. Разработанная методика синтеза линейных стационарных систем позволяет получать регуляторы более низкого порядка по сравнению с традиционными модальными методами для управляемых и наблюдаемых объектов управления. По сравнению с существующими алгоритмами данная методика более проста в вычислительном отношении и позволяет исключить недостатки, возникающие при использовании наиболее распространённых норм (|-|| ,

|-|й ). Понижение порядка регулятора влечёт за собой синтез более грубой системы, упрощение закона управления, а следовательно, и собственно регулятора, увеличение надёжности функционирования системы, что уменьшает затраты на её эксплуатацию.

Результаты диссертационной работы были использованы:

- для управления оптимальными режимами сверления по критерию "минимума затрат" для специальных станков на заводе "СИБТЕХМАШ" (г. Новосибирск);

- расчёта регулятора управления колонной синтеза аммиака с учётом внутренних связей на КО АО "АЗОТ" (г. Кемерово).

Также р9зультаты были отражены в двух отчётах по НИР по темам: "Автоматическое управление динамическими объектами с переменными характеристиками на основе принципа локализации"; "Разработка аппарата интервальной математики для задачи синтеза многоканальных

систем управления пониженного порядка" и в учебном процессе для проведения лабораторных работ по курсу "Теория автоматического управления".

На защиту выносятся следующие основные положения диссертационного исследования:

1. Оптимизационный алгоритм синтеза регуляторов пониженного порядка с использованием свойств кривизны и расположения корней производного (интегрального) полинома.

2. Формулировка и доказательство теоремы о кривизне амплитудно-фазовой характеристики (годографа Михайлова) турвицевых полиномов и следствий из неё.

3. Новые необходимые условия устойчивости полиномов.

4. Необходимое условие разрешимости задачи синтеза регуляторов пониженного порядка для объекта без конечных нулей и регулятора с малым параметром.

5. Нижние оценки порядка передаточной функции регулятора для объектов без конечных нулей и регулятора с малым параметром.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на III Международной научно-технической конференции "Микропроцессорные системы автоматики" (Новосибирск, 1996), Международной научно-технической конференции "Информатика и проблемы телекоммуникаций" (Новосибирск, 1997), Международной научно-технической конференции "Научные основы высоких технологий" (Новосибирск, 1997), III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ-98" (Новосибирск, 1998), Международных научно-технических конференциях "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (Новосибирск, 1996, 1998), First Korea-Russia International Symposium on Science and Technology "KORUS'97" (Ulsan, Republic of Korea, 1997), XIII International Conference on Systems Science (Wroclaw, Poland, 1998) и на III Международном научно-техническом симпозиуме "KORUS'99" (Новосибирск, 1999). Кроме того, материалы диссертации неоднократно обсуждались на городском научно-техническом семинаре "Проблемы синтеза систем управления".

г"

Публикации. По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 17 работ. Ссылки на основные 15 работ приведены в диссертации. Также материалы диссертации отражены в двух госбюджетных отчётах.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Основное содержание имеет объём 157 страниц. В приложениях представлены определения терминов, используемых в работе, и акты о внедрении.

Во введении предложена общая характеристика работы, обсуждается актуальность рассматриваемой темы и даётся аннотация основных положений работы.

Первая глава посвящена критическому анализу существующих методов синтеза регуляторов пониженного порядка. Здесь же формулируется постановка задачи диссертационного исследования.

Во второй главе предлагается мотивация выбора критерия оптимизации и схема итерационного алгоритма синтеза регуляторов пониженного порядка.

В третьей главе анализируется новое свойство кривизны амплитудно-фазовой характеристики гурвицевых полиномов. Полученные результаты позволяют использовать их для определения начальных условий в итерационной процедуре синтеза.

В четвёртой главе исследуются свойства области расположения корней производного полинома по отношению к области расположению корней исходного полинома. Для объектов без конечны�