автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Модальный метод синтеза многоканальных динамических систем с использованием полиномиального разложения

На правах рукописи

00504ОЮ"

Шоба Евгений Владимирович

МОДАЛЬНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА МНОГОКАНАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

г д >>иВ ¿013

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2013

005048788

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Воевода Александр Александрович

Официальные оппоненты: Гайдук Анатолий Романович,

доктор технических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет», профессор кафедры систем автоматического управления

Панкратов Владимир Вячеславович, доктор технических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет», профессор кафедры электропривода и автоматизации промышленных установок

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет»

Защита состоится «12» февраля 2013 г. в 12-30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.05 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет» по адресу: 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан «/% января 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Шпилевая Ольга Яковлевна

Актуальность исследования. Технические объекты, окружающие нас в повседневной жизни, в большинстве своём являются управляемыми динамическими системами. Непрерывно идёт интенсивное развитие этих систем и, как следствие, постоянное усложнение. В связи с этим, несмотря на большой набор уже существующих методов, задача анализа и синтеза различных типов систем не теряет своей актуальности. Стремительное развитие вычислительных средств автоматизации, используемых при синтезе систем, способствует разработке новых алгоритмов и иных подходов к вопросам проектирования линейных стационарных систем.

В настоящее время акцент делается на исследования многоканальных систем управления, систем с регулятором пониженного порядка и др. В решение поставленных задач большой вклад внесли многие отечественные ученые, такие как Александров A.A., Бесекерский В.А., Беллман Р., Востриков A.C., Гайдук А.Р., Гольдфарба Л.С., Дылевский A.B., Калман Р., Красильщиков M. Н., Красовский М.Н., Ляпунов A.M., Михайлов A.B., Найквист Г, Понтрягин Л.С., Смагина Е.М., Солодовников В.В и др. Среди зарубежных учёных можно выделить Деруссо П., Уонэм М., Astrem K.J., Chen С.Т., Crassidis J.L., Dahleh M., Doyle J.С., Rosenbrock H.H., Wang Q.G. и др. Результаты работы этих авторов можно найти в различных учебных пособиях, монографиях и лекциях.

Данная диссертация посвящена анализу и синтезу многоканальных систем управления, описываемых матричными передаточными функциями (МПФ). Акцент делается на полиномиальный метод синтеза и решение матричного полиномиального уравнения (МПУ). Ставится задача получения регуляторов, обеспечивающих точное расположение полюсов замкнутой системы (регуляторы полного порядка), или расположение их в области (регуляторы пониженного порядка1). Важнейшей задачей является формализация методики синтеза регуляторов, который бы обеспечивал желаемые требования, предъявляемые к системе. Методику необходимо разработать, автоматизировать и применить к конкретным физическим объектам. Этой задаче и посвящена большая часть данного исследования.

Объектом исследований являются физические объекты, соответствующие одномассовым, двухмассовым и трёхмассовым системам, такие как «перевёрнутый маятник на тележке», «кабина—шкив-противовес». Также рассматривается физический объект «термокамера», представляющий собой систему из нескольких секций с различной температурой. Данные типы систем являются многоканальными.

1 Регулятором пониженного порядка будем называть такой регулятор, коэффициентов ко-

торого не достаточно для произвольного назначения всех полюсов замкнутой системы.

3

Предметом исследований является полиномиальный метод синтеза многоканальных динамических систем управления, обеспечивающий желаемое размещение полюсов для замкнутой системы.

Цель и задачи диссертационной работы. Целью работы является разработка методики синтеза регуляторов полного или пониженного порядков полиномиальным методом, которая должна включать использование левого/правого полиномиального разложения, формирование структуры регулятора либо задание желаемой полиномиальной матрицы, составление и решение МГ1У, получение параметров регулятора.

Данная методика позволит получать регуляторы как полного, так и пониженного порядков, которые должны обеспечивать желаемые значения полюсов системы либо расположение их в области. Отличие от существующих методик полиномиального синтеза заключается в конкретном выборе представления объекта и регулятора и возможности получения регулятора пониженного порядка. Для достижения поставленной цели необходимо провести исследования и решить следующие задачи: исследовать и выбрать алгоритм получения правого взаимно простого разложения объекта; рассмотреть вопрос выбора желаемых степеней полиномиальной матрицы; разработать методику решения МПУ; применить методику к различным объектам.

Методы исследования. При выполнении исследовательской работы использовался аппарат теории автоматического управления, основы операционного исчисления, различные разделы линейной алгебры и математического анализа. Широко использовались матричные вычисления и преобразования. При анализе алгоритмов синтеза моделей системы и режимов их работы использовались различные математические пакеты.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждается применением указанных методик для ряда реальных объектов, данными экспериментальных исследований, корректным использованием математических методов, публикациями в материалах всероссийских и международных научно-технических конференций. Для тестовых примеров синтезированы регуляторы по разработанной методике синтеза. Также достоверность положений, методик и расчетов, приводимых в диссертации, обеспечивается моделированием получаемых результатов в пакетах НАПАВ, МАТНСАО.

Научная новизна. Из диссертационного исследования можно выделить следующие основные результаты, характеризующие научную новизну работы:

— разработана методика решения МПУ для случая, когда известная матрица коэффициентов имеет пониженный ранг, а неизвестная матрица коэффициентов содержит заданные известные коэффициенты;

- для управляемых и наблюдаемых объектов управления предложена методика полиномиального синтеза регуляторов полного и пониженного порядков,

позволяющая точно задавать полюса замкнутой системы либо формировать область полюсов;

- важным результатом является разработка методики синтеза регуляторов пониженного порядка для многоканальных систем, с использованием алгоритма обратного дифференцирования;

- на многочисленных примерах показана возможность применения разработанной методики для решения широкого круга задач, получены регуляторы для различных объектов;

- в ходе разработки методики решения МПУ в среде МАТНСАБ был создан пакет функций для выполнения операций с полиномиальными матрицами. Данные операции могут быть применимы для различного круга инженерных задач.

На защиту выносятся следующие положения:

- методика решения МПУ. Рассматривается случай пониженного ранга известной матрицы коэффициентов, предполагается, что некоторые коэффициенты в матрице неизвестных параметров регулятора заранее заданы;

- алгоритм синтеза регуляторов пониженного порядка полиномиальным методом на основе решения МПУ для многоканальных систем;

- методика синтеза регуляторов, пониженного порядка с использованием алгоритма обратного дифференцирования для многоканальных систем.

Практическая ценность. Разработанная методика синтеза регуляторов полиномиальным методом, на основе решения МПУ, является более простой в вычислительном отношении и чётко определённой, по сравнению с наиболее распространёнными методиками. Позволяет получать регуляторы как полного, так и пониженного порядков, что является актуальным для многих систем автоматического управления. Предлагаемая методика поддержана пакетом МАТНСАй, что позволяет автоматизировать процесс расчёта регулятора.

Результаты диссертационной работы были использованы при решении задачи обеспечения устойчивости систем, состоящих из нескольких масс и упругих элементов. Данная задача находит своё применение в робототехнике и в проектировании виброзащитных систем, при разработке регуляторов для камер полимерной покраски узлов и деталей на ООО «Сиблифт» (г. Омск), обеспечивающих поддержание необходимой температуры в секциях камер, при разработке регулятора для современных станций управления лифтами, выполняющих задачу стабилизации положения кабины.

Реализация работы. Работа выполнялась на кафедре автоматики Новосибирского государственного технического университета. Полученные в работе результаты были использованы для синтеза регуляторов, а также внедрены в учебном процессе в курсе лекций и лабораторных работах «Теория автоматического управления и многоканальные системы управления», читаемых для студентов специальностей 220401.65 (Управление и информатика в технических системах), о чём имеются соответствующие акты.

Следует отметить, что диссертационная работа поддержана грантом по заданию Министерства образования и науки РФ, по проекту №7.559.2011, "Исследование предельных точностей оптических методов измерения параметров движения и мехатронных методов управления движением и разработка новых робототехнических и электромеханических систем", Темплан, гос. per. номер НИР 01201255056.

Личный вклад. Все результаты, приведённые в диссертации, за исключением методики синтеза регуляторов пониженного порядка с использованием алгоритма обратного дифференцирования (разработана в соавторстве с Вороным В.В.) и отладки программ в среде MATHCAD, которая выполнялась Марковым А.В., получены автором лично.

Апробация работы. Основные положения диссертации представлялись на The second Russian-Indian Join Workshop on computational Intelligence and Heuristics in Automation And Robotics, CIMHAR-2011 (Novosibirsk, NSTU, 10-13 September, 2011), всероссийской научной конференции молодых учёных «НАУКА. ТЕХНОЛОГИИ. ИННОВАЦИИ» НТИ-2012 (Новосибирск, НГТУ, ноябрь 2012 г.), городской научной конференции по теории автоматического управления и регулирования (Новосибирск, НГТУ, май 2011 г.), а также в школе молодых учёных САИТ-2011 секции №2 «Информационные технологии в системах автоматического и автоматизированного управления» (Новосибирск, 12—16 сентября 2011 г.), на конференции АПЭП-2012 (Новосибирск, НГТУ, октябрь 2012 г.), на научных семинарах кафедры «Автоматика» НГТУ (2009-2012 г.), на конференциях, посвященных проблемам вертикального транспорта и системам их управления, таких как межрегиональные конференции «Эксплуатация вертикального транспорта в жилищно-коммунальном хозяйстве регионов», (Москва, 24-27 января 2012 г.; Москва, 15-17 ноября 2011 г.; Москва, 20-22 апреля 2011 г.; Москва, 10 февраля 2011 г.; Новосибирск, 16 декабря 2010 г.; Краснодар, 27 августа 2010 г.).

Публикации. Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы в 23 работах, в том числе: 4 статьи в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов и изданий; 19 статей в сборниках научных трудов и сборниках трудов и материалах международных и российских конференций.

Структура и объём работы. Работа изложена на 192 страницах машинописного текста. Состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка используемой литературы, включающего 120 наименований, четырёх приложений и 32 рисунков. Основное содержание диссертации изложено на 162 страницах.

Краткое содержание работы. Во введении дается общая характеристика работы, обсуждается актуальность решаемых задач, формулируются цели работы, рассматривается научная новизна и положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена обзору модальных методов синтеза регуляторов для систем управления, которые можно подразделить на метод синтеза в пространстве состояний и метод синтеза с использованием полиномиального представления объекта и регулятора. Задача синтеза регуляторов находит решение в работах Александрова А.Г., Вострикова A.C., Григорьева В.В., Лукашина О.В., Нгуена Ф.Д. и др. При доступности вектора состояния х объекта, для смещения полюсов, объект охватывают обратной связью u = -Kx + v, где К- матрица коэффициентов. Тогда уравнение системы х = (А- ВК)х+ Ви. Выбором К можно задать полюса системы2. Удобно эти вычисления производить в управляемой канонической форме. Выбрана методика, позволяющая обеспечить не только требуемое расположение полюсов замкнутой системы, но и блочно-диагоналъный вид матрицы А - ВК. В случае недоступности вектора состояния следует использовать наблюдатель полного порядка х= Ах+ Ви + L{y - Сх). Матрица L вычисляется из условия быстрого, по сравнению с переходными процессами в системе, затухания. Ошибка оценки х = х-х вектора состояния х описывается уравнением х = {А — LC)x . Расчёты по определению матриц К и L удобно производить по отдельности, так как характеристическое уравнение всей системы определяется, как det(sl — А + ВК) х det(sl — А + LC)3. Проанализированная методика позволяет обеспечить требуемое расположение полюсов замкнутой системы, блочно-диагональный вид матриц A — LC и А-ВК. Также при недоступности вектора состояния возможно использование наблюдателя пониженного порядка. Предложена модификация методики синтеза регулятора с использованием наблюдателя пониженного порядка, позволяющая обеспечить требуемое расположение полюсов замкнутой системы, а также блочно-диагональный вид матриц А - LC и А- ВК. Выбран алгоритм нахождения матрицы Т в уравнении Ляпунова TA — FT — G\C4. Можем решить это уравнение относительно матричной неизвестной Т. Для этого преобразуем уравнение с векторной неизвестной, через оператор Кронекера, следующим образом: {-F ® /„ + I„_m ®AT)t = glc. Здесь In и In_m - единичные матрицы размером и

2 Теорема (Chen С.Т.). Если система, описываемая в пространстве состояний управляемая, то с помощью матрицы К в обратной связи возможно произвольное назначение собственных значений матрицы А — ВК.

3 Теорема (Chen С.Т.). Все собственные значения матрицы А - LC могут быть назначены произвольно с помощью матрицы L тогда и только тогда, когда пара (А, С) наблюдаема.

4 Теорема (Chen С.Т.). Если матрицы А и F не имеют собственных общих значений, то уравнение вида ТА — FT = G|C имеет решение в виде невырожденной матрицы Т, если пара матриц (А, В) управляема, а пара матриц (F,C) наблюдаема.

и п-т, glc - матрица GXC, развёрнутая построчно в столбик, t - матрица Т, развёрнутая построчно в столбик, <8> - операция Кронекера. Для пакета MATHCAD написаны необходимые функции MakeVector(Mat), MakeMatrix(Vect, n,m). Используется встроенная функция

kronecker(Mat\,MatT). Матрицы Н и G вычисляются из уравнения НТ + GC = I. Для вычисления предложено преобразовать выражение к ви-ду{H,G)(T,C)T = /, откуда необходимо найти составную матрицу (H,G).

Далее рассматривается полиномиальный метод синтеза. Для одноканального случая предлагаются варианты выбора регуляторов. Пусть тип степени знаменателя регулятора и объекта. Вариант №1 -т = п-\, тогда число уравнений равно числу неизвестных, регулятор полного порядка. Вариант №2 - т = п, возможно выполнить нормирование старшего коэффициента объекта, тогда число неизвестных больше количества уравнений. Избыточные коэффициенты могут быть перенесены направо. В данном случае существует множество решений и появляется свобода задания некоторых коэффициентов. Для Варианта №з _ щ = п-2, тогда число уравнений меньше числа неизвестных. Данная система, как правило, решений не имеет. Подобные рассуждения могут быть распространены и на многоканальный случай.

При синтезе линейных многоканальных систем автоматического управления требуется сформировать определённый вид МПУ:

Y(s)D(s) + X(s)N(s) = C(s), (1)

где D(s), N(s),C(s) - заданные полиномиальные матрицы; X(s),Y(s) - неизвестные полиномиальные матрицы регулятора, нахождение которых и решает поставленную задачу синтеза. Ряд работ таких авторов, как Wolowich W.A., Chen С.Т. и др, посвящены алгоритму решения (1). Общим подходом является выбор таких структур X(s) и что уравнение (1) может быть сведено к

эквивалентному матричному уравнению с действительными коэффициентами.

Представим (1) в виде

3-5Я = К, (2)

гдеЗ = [Гт ... Y0 Х„ ... Х0], К = [СИ+Л ... С0], т -матрица действительных коэффициентов - Sylvester resultant (Chen С.Т). Условие разрешимости уравнения вида (2) известно - rank 3 = гапк[3Т |КГ]Г. Однако в случае, когда известная матрица коэффициентов ЭТ неполного ранга, поиск решения не определён. Более того, в случае если матрица неизвестных коэффициентов 3 содержит наперёд заданные значения (например, в случае задания определённых коэффициентов регулятора), то поиск решения также усложняется.

Далее в разделе рассматриваются регуляторы пониженного порядка. Показаны возможные способы получения регуляторов пониженного порядка5-6. В данном направлении следует отметить работы Домбровского В.В., Луценко И.В., Kell L.H., Мелешкина А.И. и др. Большая часть данных исследований связана с одноканальными системами. Значительно меньше количество работ по многоканальным методам, на которые трудно перенести результаты, полученные при синтезе одноканальных систем. Рассмотренные методы, применительно к многоканальным системам, как правило, не дают рекомендаций о выборе степени или структуры регулятора. В заключении данной главы ставится задача диссертационного исследования, суть которой заключается в разработке формализованной методики синтеза регуляторов полного и пониженного порядков на основе решения МПУ вида (1).

Во второй главе предлагается полиномиальная методика синтеза, интенсивно используемая в работах Гайдука А.Р., Дылевского A.B., Лозгачёва Г.И., Chen С.Т., Wang Q.G., и др. В начале раздела рассматриваются и-массовые системы, которые соответствуют разнообразным техническим объектам, из чего можно сделать вывод об актуальности разработки методики синтеза регулятора именно для данных объектов. Предлагаемая методика формируется на примере трёхмассовой системы (рис. 1), которая описывается дифференциальными уравнениями /и, + (с, + с2 )>-, - с2у2 + {к\ + к2 )у{ - к2у2 = ы,, т2у2 - с2у, +

(с2 + с3 )у2 - к2у1 + {к2 + к3 )у2 - к3у3 - с3у3 = иг,

тъУъ+сг(Уг-Уг) + къ(Уъ-Уг) = иъ> гДе т\, т2, т3 - массы тел, кх, к2, к3 - коэффициенты жёсткости пружины, с,, с2, с3 - коэффи-

У1

У 2

Уз

Рис. 1. Трёхмассовый объект

циенты демпфирования, ух, у2, у3 - координаты перемещения грузов, щ, и2 - управляющие воздействия на грузы. Приводятся возможные варианты представления объекта и регулятора. Для рассматриваемой структуры системы «задание — сумматор — регулятор — объект - выход - обратная связь» - система с единичной обратной связью (unity-feedback system) - МПФ замкнутой системы включает в себя МПФ объекта и регулятора. Возможны формы записи МПФ объекта через правое по-

5 YangX.H., Packard A. A. Low Order Controller Design Method // Pros. Of the 34й1 Conference on Decision & Control. - New Orleans, 1995. - P. 3068-3073.

6 Белихмайер М.Я., Гончаров В.И. Синтез корректирующих устройств систем автоматического управления на основе равномерного приближения // АиТ. 1997. -№ 5. - С. 3-11.

линомиальное разложение Wob(s) = Nr(s)Dr (s) или левое

при которых полиномиальная матрица объекта D(s) располагается справа/слева от матрицы N(s). Для регулятора полиномиальные матрицы будем обозначать X(s), Y (s). В зависимости от выбора правого/левого описания для объекта и регулятора возможны четыре случая представления объекта и регулятора. Выберем наиболее удобное, с точки зрения автора, описание объекта в виде правого разложения и регулятора в виде левого разложения. С помощью существующих алгоритмов7 имеется возможность перехода от левого разложения к правому и обратно. Для управляемости и наблюдаемости многоканального объекта необходимо, чтобы матрицы D,(s),N,(s) являлись взаимно простыми слева8 (left coprime). Одновременно, при проверке данного условия, существует возможность получения правого взаимно простого полиномиального разложения объекта Wob(s) = Nr(s)D~x(s). Для этого необходимо привести матрицу [£>;(«), N, (s)] к нижнетреугольному виду с помощью элементарных операций над столбцами. Каждая элементарная операция соответствует умножению исходной матрицы на полиномиальную унимодальную матрицу справа. Перейдем к операциям над строками, что соответствует приведению матрицы к верхнетреугольному виду. Произведение унимодальных матриц 1л-Ьг-...-Ьп = Lmam формирует необходимую блочную матрицу Lmajn, из которой может быть по-

лучено правое разложение объекта ¿^„¡„(s) =

• ■і

• D

. Далее рассматривается

МПУ и формируется методика его решения. Выберем правое разложение для объекта и левое разложение для регулятора Жоі(.ї) = ./УДя)/)'1^), = У^{з)Х. Тогда МПУ имеет вид (1). Первый способ решения данного уравнения заключается в раздельном нахождении матриц регулятора К(^), Х{з~) через выполнение необходимых преобразований9 с (1). Существующие методики накладывают ограничения на матрицы. В случае если матрица N(.5) неквадратная, данные вычисления ещё более усложняются. Второй способ за-

7 Chen L.C., Munro N. Calculation of largest generalized stability hypersphere in the robust stability problem for the maximum setting-time and minimum damping-ratio cases // IEEE Trans. Aut. Control. 1987. AC-36. -№ 6. - P. 756-759.

8 Матрицы D/(s) и N,(s) называются взаимно простыми слева, если их наибольший общий левый делитель есть унимодальная (унимодулярная) матрица. Матрица P(s) называется унимодальной (унимодулярной), если det P(s) = а , где а е R иа*0.

9 Chen С. Т. Linear System Theory and Design // New York: Oxford University Press, 1984.

ключается в формировании матрицы неизвестных коэффициентов и матрицы известных коэффициентов. Далее составляется система линейных уравнений (2), которую следует решать. Предложенная методика10 не учитывает случай, когда некоторые коэффициенты в матрице неизвестных 3 заданы. Так же при формировании структуры регулятора не учитываются возможные варианты формирования регулятора пониженного порядка либо регулятора, порядок которого больше либо равен порядку объекта.

Предложим методику решения МПУ, учитывающую данные особенности. Шаг 1: составить систему линейных уравнений исходя из структуры объекта, желаемого порядка регулятора либо желаемого порядка полиномиальной матрицы С(б). Получить систему линейных уравнений, которую можно записать в матричном виде 3-ОТ = К. Здесь 3 = (Ут,...,У0,Хп, ..., Х0), К = (Ср,...,С0), — матрица, включающая в себя элементы Л^. Шаг 2: в

искомой матрице 3 определить нулевые столбцы исходя из структуры регулятора. Исключить их. Сформировать новую матрицу 32. Шаг 3: в матрице 34 определить строки, которые не влияют на результат, так как на них умножаются нулевые элементы матрицы 3. Исключить их. Сформировать новую матрицу ЭТ]. Шаг 4: после исключения строк из матрицы 5? определить, не появилось ли нулевых столбцов в матрице 91,. Исключить их. Сформировать новую матрицу 2■ Шаг 5: определить нулевые столбцы в матрице К, которые обязаны быть после исключения нулевых столбцов из матрицы ОТ| . Исключить их. Сформировать новую матрицу К2. Шаг 6: сформировать новую систему уравнений 32 -9{2 =К2. Шаг 7: определить линейно-зависимые строки в матрице 9?2 ■ Из них сформировать матрицу р2. Шаг 8: определить столбцы матрицы 32, соответствующие линейно-зависимым строкам матрицы Ш2. Из них сформировать матрицу г2 . Шаг 9: с учётом линейно-зависимых строк (матрица р2) и столбцов (матрица г2), определенных на Шагах № 7, 8, разделить левую часть выражения 32 ■ 9!2 на 2 части:

33-ЭТ3+г2-р2=К2. (3)

Шаг 10: определить линейно-зависимые столбцы в матрице 9?3. Исключить их из 9?3,р2,К2. Сформировать новые матрицы 914> р4, К4. Шаг 11: сформировать новое выражение. В результате получения новых матриц 9!4,р4,К4 выражение (3) преобразуется в уравнение З3 - Э?4 = К4 - т2 ■ р4 . Шаг 12: задать корни желаемых полиномов с,у (.у) в матрице С(л). Сформировать матрицу К4. Шаг 13: задать произвольно матрицу г2. Шаг 14: решить окончательную систему уравнений З3-<П4 = К4-т2 ■ рА => З3 = (К4-г2Шаг 15: восстановить исходную 3. Шаг 16: сформировать регулятор Г(^), Х(>) из мат-

рицы 3. Шаг 17: проверить результат, т.е. вычислить C(i) исходя из параметров объекта и параметров регулятора. Для этого достаточно вычислить выражение (1).

Далее показывается возможность использования различных масштабов времени с целью изменения обусловленности системы уравнений. При численном решении систем с плохо обусловленными матрицами возможно накопление погрешностей. В случае плохо обусловленной системы 35П = К иногда удаётся перейти к равносильной системе с оператором, который имеет меньшее число обусловленности, а затем решить эту систему методом. Введение масштаба по времени есть средство улучшения числа обусловленности матрицы 5?. Также возможно введение масштаба по входным и выходным переменным10. При масштабировании по времени в исходном описании s = d/dt выполняется замена

t = M~l -7, где М- коэффициент масштабирования. Тогда J -d/d(M~l -t), откуда s = M-J. Предложен алгоритм масштабирования по времени, с целью уменьшения погрешности решения системы уравнений.

Приведено необходимое и достаточное условие разрешимости задачи ав-тономизации", при котором необходимо, чтобы выполнялось равенство D+Nfa = N*aD+ и чтобы матрицы N+N,a и DfaD+ были взаимно простые. Даны определения данных матриц и выполнена проверка условий разрешимости задачи автономизации на примере трёхмассовой системы. Показана невыполнимость для данного объекта условий разрешимости задачи автономизации.

Формируется требуемая методика синтеза регуляторов полиномиальным методом для многоканального случая, которая состоит из последовательности шагов. Основными являются: получение правого взаимно простого разложения объекта; формирование заданной структуры регулятора либо задание желаемой полиномиальной матрицы; составление и решение МПУ; получение параметров регулятора. Отличие от существующих методик полиномиального синтеза заключается в конкретном выборе представления объекта и регулятора, а также возможности получения регулятора пониженного порядка. Предложенная методика синтеза регулятора включает в себя методику решения МПУ.

В заключении данной главы предложена модификация методики12 поиска регулятора для одноканального случая. Она состоит из набора последователь-

10 Абденова Г.А, Воевода А.А. Обусловленность информационной матрицы Грамма в задаче идентификации: масштабирование входных и выходных сигналов // Доклады ТУСУРа. -№1(25).-С. 131-135.

" Wang Q.G. Decoupling Control I I Lecture Notes in Control and information Scienes: Springer - Verlag Berlin, 2003. - 285 p.

12 Ким Д.П. Синтез оптимальных по быстродействию непрерывных линейных регуляторов // АиТ. 2009. - № 3. - С. 5-14.

ных шагов и заключается в факторизации объекта и последующем формировании устойчивых «частей» в регуляторе. Предложенная модификация позволяет упростить процедуру расчёта регулятора, так как устойчивые части сокращаются в исходной структуре, что позволяет получить более простое описание передаточной функции замкнутой системы. В этом заключается главное отличие от методики, предложенной Ким Д.П. .

В третьей главе внимание акцентируется на дифференцировании характеристического полинома с целью расчёта параметров регулятора пониженного порядка. Приводится краткий обзор работ в этом направлении. Более подробно рассматривается возможность двух вариантов дифференцирования характеристического полинома с целью получения регулятора пониженного порядка. Расчёт подобных регуляторов сложнее, и соответствующие методы только разрабатываются. Варианты расчётов предлагаются в работах Боровикова А.Ю, Мелешкина А.И. и др. Далее проверяется утверждение о сходимости к области корней полиномов, полученных при дифференцировании. Например, для исходного полинома: a(0\s) = s6+ 5s5 + lOs4 + 20s3 + 15j2 + 5s + 2, корни (-3.447,-0.811,-0.293 + 1.98 Ij,-0.078 ±0.429/).

Производные полинома будут иметь следующий вид: 1-я производная: a(l)(s) = 6í5 + 25í4 + 40í3 + 60s1 + 30j + 5, корни (-2.856,-0.331 + 0.117/,-0.324± 1.505j). 2-я производная: ai2)(s) = 30s4 +100í3 + 120i2 + 120*+ 30, корни (-2.26,-0.37±1.091/,-0.333). На рис. 2 показано расположение корней различных производных полинома.

-i--4 а

0

-2

-Я

-4

0

-4

-2-4 в

0

Рис. 2. Расположение корней полинома - а и его производных - б, в Как можно заметить, область расположения корней "сжимается" с увеличением порядка производной. При выполнении операции дифференцирования исходного полинома количество коэффициентов уменьшается при каждой итерации дифференцирования. В случае недостаточности параметров регулятора для назначения всех коэффициентов исходному полиному появляется возможность назначения коэффициентов продифференцированному полиному, а исходный полином «накрывает» данные корни. Далее показывается применимость аппарата дифференцирования для нахождения параметров регулятора в одноканалыюй системе. При определённой структуре регулятора все его пара-

метры попадают в младшие коэффициенты, и нет возможности произвольно назначить полюса старшим производным. Необходимо модифицировать процедуру дифференцирования для устранения данного эффекта. Предлагается в исходном полиноме выполнить замену s на 5"' и умножить результат на J". Далее выполнять дифференцирование полученного результата. Данную процедуру будем называть обратным дифференцированием. Алгоритм обратного дифференцирования позволяет избавляться от старших степеней исходного полинома. У полиномов, получаемых обратным дифференцированием, корни сжимаются и смещаются влево.

Определение обратного дифференцирования. В исходном полиноме заменить s-*T~l. В полиноме P(s) = ans" + an_xs"'} +... + а0 заменяем Получаем полином ) = (а0У" + + ... + an)-Çs")~]. Умножить полином

PÇs) на максимальную степень знаменателя J". Получим полином р{1) = а0Т" + а{1+ ... + ап. Дифференцировать полином p(s) требуемое количество раз. При однократном дифференцировании получим p'(J) = a0nj"~l + <з,(л —1)7"~2 +... + an_t. Выполнить обратную замену Т —> в p\J). Получим полином P(s) = + b„_2s" 2 + • • • + А0) "i-5""1 Г'■ 'Умно-

жить полином P(s)na максимальную степень знаменателя s"-1. Получим полином P(s) = bn_xs"~l + bn_2s"~2 +... + bQ.

Предлагается методика синтеза регулятора для многоканальной системы с использованием алгоритма обратного дифференцирования. Шаг 1: получить правое полиномиальное разложение объекта вида: IVob(s) = Nr(s)D~] (s). Шаг 2: задать структуру регулятора. Получить МПУ. Шаг 3: выполнить обратное дифференцирование МПУ. Шаг 4: задать желаемое МПУ. Выполнить обратное дифференцирование желаемого МПУ. Шаг 5: приравнять искомые и желаемые коэффициенты при одинаковых степенях, составить систему линейных уравнений (2). Решить данную систему в соответствии с предложенной методикой решения МПУ. На Шаге 6 получаем регулятор и выполняем проверку результата.

Для многоканального объекта (трёхмассовая система, имеющая два входа -два выхода) выполнен синтез регулятора пониженного порядка в соответствии с предложенной методикой синтеза на основе алгоритма обратного дифференцирования. Характеристические числа полученных полиномов отличаются от требуемых, так как параметров регулятора недостаточно для точного назначения полюсов.

В четвёртой главе выполняется проверка методики полиномиального синтеза на различных объектах. Рассмотрен синтез регулятора для стабилизации двухмассовой системы. Особенностью данного примера является простой

подход к получению правого разложения объекта, так как в левом разложении объекта матрица N(s) имеет единичный вид. Следует отметить, что если бы объект был устойчив, то можно было бы использовать подход, при котором регулятор формируется в виде обратной функции объекта. Если объект в исходной структуре имеет вид 0^(5) = £>($)"'тогда регулятор можно сформировать в виде fVreg(s) = N(s)-'D(sWms/,(s), где fVwish(s) - желаемая МПФ прямого канала. Тогда в структуре системы с единичной обратной связью при умножении N(s) и Nisy* получим единичную матрицу, при умножении D(s) и D(s)'] также получим единичную матрицу, и параметры системы будут определяться полиномиальной матрицей f¥wish(s), охваченной обратной связью. Затем рассматривается синтез двухканального ВД-регулятора для стабилизации трёхмассовой системы. Особенностью является изначальный выбор желаемой структуры регулятора вида Y(s) = У0, ^(s) = Xxs + Х0, что обеспечивает получение регулятора пониженного порядка.

Далее обсуждается синтез регулятора для стабилизации объекта «перевёрнутый маятник на тележке». Показана применимость методики к «неквадратному» объекту, имеющему один вход и два выхода. С помощью одного управляющего сигнала решается задача стабилизации вертикального положения и достижения заданной скорости или расстояния. Ставятся следующие задачи: Задача №1. Стабилизация положения маятника в вертикальном положении, при одновременном перемещении тележки в заданное положение. Задача М2. Стабилизация положения маятника в вертикальном положении, при одновременном достижении заданной скорости перемещения тележки. Задача №3. Стабилизация положения маятника в вертикальном положении при одновременном достижении заданной скорости перемещения тележки (используется разработанная методика полиномиального синтеза). Рассмотрим общие положения, характерные для эти задач. Приводится описание объекта системы в виде набора дифференциальных уравнений:

(1 - cos2<d)S + gsinQcos0 - —sin®(©)2 = — и, (4)

V MtL M,L M, M, ( '

(1 ——сш2©)0 - —sinS + -^-sin@cos©(®)2 =--—cosOu, (5)

K M,L L M,L M,L K '

где L = (I + ml2)/ ml, M, - M + т. Эти уравнения удобны для моделирования, так как в каждое из них входит по одной старшей производной. Линеаризованная модель для общего случая приводится в (6). Линеаризация выполнена в окрестности точки 0 = 0 и © = 0, в уравнениях (4), (5) полагаем sinQ = 0, cosQ = 1 :

M,L M,L M, M,L L M,L

При заданных значениях параметров объекта т = 70 кг, М = 30 кг, I = 1 м, g = 10 м/сек , передаточные функции по каналу 0(s) и S(s) имеют вид

W

®0)

u(s)

o.oi

j2-33.3

S(s)

"(О.

s2 -10

= 0.033^-^-. (7)

Для решения задачи №1 используем ЛОД-регулятор в цепи обратной связи, который обеспечивает вертикальное положение маятника. Для управления положением используем также ЛЯД-регулятор, но разместим его в прямой цепи. Для форсирования процессов по возмущению дифференциальную часть поставим в цепи обратной связи. Передаточные функции регулятора по каналу 0 и 5 имеют вид

Кеф с*) = (« + Р* + г*2) ■ ' СО = + « + •'•

В соответствии с методиками синтеза одноканальных систем найдены параметры регулятора у = 454.55, £ = 3281.8, а=3787.9, ¿ = -378.79, е- -984.85, »/ = 60.6. Для решения задачи №2 используем ЛСД-регулятор в цепи обратной связи, который обеспечивает вертикальное положение маятника. Для управления скоростью используем ЛЯ-регулятор, но разместим его в прямой цепи. Передаточные функции регулятора по каналу © и 5" имеют вид КецеМ = (а + 0» + Г*2) • , Ке^' (*) = + «) •'

В соответствии с методиками синтеза одноканальных систем найдены параметры регулятора а = 249, £ = 3480, х = 1,5 = 0.189, £ = 60.303. Решение задачи №3 основано на использовании предложенной методики для многоканальных систем. Регулятор выбираем размером 1x2 1Угег(.?) == [Л0(,?), О)] в виде двух регуляторов ПИД и ПИ, включенных параллельно:

КегвМ = + + я-1, (*) = (5 + и)• Г1.

Предполагается, что задание по углу отклонения маятника от вертикали тождественно равно нулю. В соответствии с предложенной методикой синтеза для многоканальных систем параметры регулятора следующие [13]:

а = 249, р = 3480, у = 1,5 = 0.189, £ = 60.303. (8)

Моделирование системы. Система стремится стабилизировать вертикальное положение маятника и при этом происходит поддержание заданной скорости движения тележки. Передаточные функции, описывающие связь по каналу ©($) и каналу , получены и имеют следующий вид

= 0.01(ая + / + 0.5)4, IV (.у) = 0.033(гс + 5)02 -10) / (* + 0.5)4.

Параметры регулятора соответствуют (8). В качестве тестового сигнала будет формироваться задание скорости. Графики отклонений на рис. 3, а, б.

Юг

0- ■ | , !

6....... і ' : 2 |-------' -------- 'Г4

2 а - (V---!5 : 1 5 - .

6 - ;------- " 1

-5 -10

! !

/V:

5 |0 5 : 25

І і \1 ■

Рис. 3. Значение угла отклонения - а, значение скорости - б (х-время, сек, у-отклонение в градусах и м/сек)

В начальный момент задаём скорость равную 1 м/сек. Через время равное 10 сек задаём новое значение скорости равное 0.5 м/сек. Через время 20 сек имитируем "толчок". На рис. 3, а происходит отклонение угла в начальный момент времени, на десятой и двадцатой секундах, затем отклонение становится нулевым. На рис. 3, б происходит выход на скорость 1 м/сек и 0.5 м/сек.

Далее рассматривается синтез регулятора для стабилизации положения кабины лифта. В структуре рис. 4 можно выделить следующие узлы - кабина с пассажиром, шкив, через который перекинуты канаты, противовес. На данном рисунке: т{ - масса кабины лифта с пассажиром; т2 - масса шкива; от3 - масса противовеса; ^ - пружина - эквивалент растяжению канатов с левой стороны шкива; - дополнительное управляющее воздействие; Р2 - основная движущая сила развиваемая шкивом; х1, х2, х3 - координаты движения грузов т1, т2,

Рис. 4. Эквивалентная схема системы «кабина - шкив - противовес»

Ставятся следующие задачи: Задача №1. Стабилизация положения кабины в начальный момент времени. Коэффициенты жёсткости и массы канатов не учитываются, имеется одно управляющее воздействие на шкив. Используем методику для одноканальных систем; Задача №2. Стабилизация положения кабины в начальный момент времени. Учитывается коэффициент жёсткости канатов со стороны кабины. Имеется два управляющих воздействия (одно приложе-

но к шкиву, другое к кабине). Используем методику для многоканальных систем.

Для задачи №1 используем /ЖД-регулятор в цепи прямой связи вида 1Угег(-?) = (Ь2.^2 +¿,5* + 60)-(л,л)_1. Потребуем длительность переходного процесса около 2 сек. Тогда желаемый характеристический полином замкнутой системы равен (0.2х +1)3. Найдём параметры регулятора, приравняв коэффициенты исходного и желаемого полиномов. Значения параметров регулятора а, = 6.154 • 10"5 , ¿)2 = 0.48, А, = 1.2, Ь0 = 1. Регулятор имеет следующий вид: ¡у (5) = (0.48л2 +1.2л- +1) ■ (6.2 • 10'5 я)"1. На рис. 5, а показана реакция на внешнее экспоненциальное задание 1 м. При введении возмущения, обусловленного массой противовеса 600 кг, массой кабины 400 кг и задании входной координаты х1 = 0, отработка данного возмущения показана на рис. 5, б.

1.2 0.9 0.6 0.3

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05:

0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.1

а

2.1 2.4 2.7

0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3 б

Рис. 5. Реакция на задание — а, возмущение - б (х—время, сек, у-отклонение, м) На рис. 5а показана реакция на внешнее единичное экспоненциальное воздействие, при котором система переходит в заданное положение. При наличии внешних возмущений, система выполняет их компенсацию рис. 56.

Для задачи №2 математическое описание учитывает коэффициент жёсткости пружины и два управляющих воздействия. При значениях параметров

объекта А] = 104 н/м при длине троса 100 м, т[ = 400 кг, т2 = 80 кг, т3 = 600 кг,

описание объекта имеет вид ^¿(л^УУДл)^' (л), где

¿Дл) = £/4л4+с/2л2, = 256-103, ¿2 =104-105,

ЛГ2 =(640 0), ЛГ0=(Ю5 105). Структура регулятора ^(л) = ^/"1(^)Х/(5), где

У^)-У+ + Уг^ + > (5) = + X,*3 + Х2л2 + Х^ + Х0. Параметры найдены в соответствии с разработанной методикой. МПФ замкнутой системы имеет вид

5.9-10~3Л4+34-10"3л3+0.28Л2 + 0.8Л + 1 (0.1л + 1)8

На рис. 6, а показана реакция на внешнее экспоненциальное задание 1 м. При введении возмущения, обусловленного массой противовеса 600 кг, и задании хі = 0 м, отработка данного возмущения показана на рис. 6, б.

о.з

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

/

/ \

/

0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3 б

Рис. 6. Реакция на задание - а, возмущение - б (х-время, сек, у-отклонение, м)

Показана реакция на внешнее единичное экспоненциальное воздействие, при котором система переходит в заданное положение. При наличии внешнего возмущения система выполняет его компенсацию.

В последнем примере рассматривается задача синтеза регулятора для стабилизации температуры камеры полимерной покраски. Проходная камера представляет собой контейнер, в котором движутся детали. Камера состоит из четырёх соединённых между собой секций. В каждой секции необходимо поддерживать определённую температуру в соответствии с технологическим процессом. В первой секции поддерживается температура 50 град., во второй секции 100 град., в третьей секции 180 град., в четвёртой секции происходит остывание детали до температуры 50 град. В каждой секции деталь находится 5 мин. Данный объект — четырёхканальная система с четырьмя управляющими воздействиями и четырьмя выходными величинами. Управляющие воздействия — это значения напряжения, подаваемые на нагревательные тэны. Выходные сигналы - измеренные значения температуры в каждой секции камеры. В матричном виде описание объекта13, где а,- — коэффициенты передачи тепла от последующей секции к предыдущей, Д — коэффициенты передачи тепла от предыдущей секции к последующей, Ь{ — коэффициенты рассеивания тепла внутри секции, а, — коэффициенты определяющие нагревания секции, иа- входное воздействие из-за влияния температуры окружающей среды на 1-ю и 4-ю секции. Передаточные функции звеньев с обратной связью Ь1 имеют вид

^•(я) = <я, -(.Я-6,)-1. Сигналы и; - управляющие воздействия, - возмущения,

— <7|«| 0 0

агР\ з + Ь2 -с>2а2 0

0 а302 $ + ¿3 °заз

0 0 -алВ-, я + Ь.

л м 0 0 (Г

'2 0 аг 0 0 "2 "Л

'з 0 0 «3 0 "з-/з

) Л; 0 0 «4,

обусловленные переходом детали из одной секции в другую. ЯЯ-регулятор в виде левого полиномиального разложения имеет вид У^,

Х(з) = + Х0. Примем =0.1, а1 = 0.2. Коэффициенты, определяющие нагревание соседних секций равны ах =0.15, а2 =0.15, =0.15. Коэффициенты, определяющие охлаждение соседних секции равны а3=0.1, Д =0.1, Р2= 0.1. Найденные параметры регулятора приведены: Г37.55 + 5 33.755 0 0

-22.55 37.55 + 5 33.755 0 0 -22.55 37.55 + 5 -22.55 О 0 33.755 37.55+ 5_

На рис. 7, а показаны переходные процессы в каждой секции. На рис. 7, б показаны реакции на возмущение, вызванное появлением новой детали в секции №1 на 400-й секунде, в секции №2 на 500-й секунде, в секции №3 на 600-й

секунде, в секции №4 на 700-й секунде.

200

Х(5) =

'2255 0 0 0 0 2255 0 0 0 0 2255 0 0 0 0 2255

180 160 140 120 100 80 60 40 20 О

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 О

600 б

Рис. 7. Переходные процессы в секциях - а, реакция на возмущение - б (х—время в сек., у-температура в градусах)

Рассчитанный регулятор позволяет получить нулевую статическую ошибку и компенсировать возмущения, возникающие в системе.

В заключении перечислены основные результаты и изложены выводы по диссертационной работе. В приложениях приведены практические результаты работы, полученные при решении поставленной задачи синтеза. А именно: для среды МАТ НС А О разработан пакет функций, которые выполняют различные операций с полиномиальными матрицами, предложена методология проектирования современного программного обеспечения, для реализации полученных результатов в программном коде, сформированы математические описания системы «кабина - шкив - противовес» с учётом различных параметров системы. Дополнительно прикладываются копии актов об использовании и внедрении результатов диссертационной работы.

Заключение. Представленная диссертационная работа отражает результаты исследований, целью которых является разработка методики синтеза регуляторов полного и пониженного порядков для многоканальных систем. Изна-

чалыю рассматривались методики синтеза в пространстве состояний. Предложены модификации методики синтеза, позволяющие обеспечить не только требуемое расположение полюсов замкнутой системы, но и блочно-диагональный вид матриц обратной связи, а при недоступности вектора состояния задавать быстродействие наблюдателя. Методики в пространстве состояний обладают рядом ограничений. Для достижения поставленной цели предложено использовать полиномиальный метод синтеза на основе решения матричного полиномиального уравнения. В результате проведенного научного исследования были получены следующие результаты:

1. Предложена методика решения матричного полиномиального уравнения для случая, когда матрица из известных коэффициентов имеет пониженный ранг, а матрица неизвестных коэффициентов содержит заданные значения.

2. Предложена методика полиномиального синтеза регуляторов полного и пониженного порядков, позволяющая задавать полюса замкнутой системы либо размещать их в области. Отличие от существующих методик полиномиального синтеза заключается в возможности получения регулятора пониженного порядка, а также в простоте её изложения и использования.

3. Предложена методика синтеза регуляторов пониженного порядка на основе алгоритма обратного дифференцирования, которая состоит из операций обратного дифференцирования исходного и желаемого полиномов, приравнивания матричных коэффициентов при одинаковых степенях, решении полученной системы уравнений. Методика отличается простотой использования и возможностью автоматизации.

4. Выбран алгоритм перехода от левого разложения объекта к правому через набор элементарных операций, который позволяет проверить взаимную простоту исходных полиномиальных матриц, а также получить правое, взаимно простое разложение объекта. Для среды МАТНСАО написан пакет функций, реализующий выполнение элементарных операций над матрицами.

5. Показано влияние масштабирования на погрешность решения системы линейных уравнений, которая зависит от обусловленности матрицы известных коэффициентов. Предложен алгоритм масштабирования по времени.

6. Представлены известные необходимые и достаточные условия разрешимости задачи автономизации многоканальной системы. Выполнена проверка условий разрешимости задачи автономизации на примере.

7. Предложена модификация методики синтеза регулятора полиномиальным методом для одноканального случая с использованием факторизации объекта. Данная методика позволяет существенно упростить процедуру расчёта регулятора, так как матрицы известных и неизвестных коэффициентов имеют меньшие размерности.

8. Выполнено внедрение разработанного регулятора в современную станцию управления лифтами «СОЮЗ». Данный регулятор позволяет стабилизировать положение кабины лифта в начальный момент движения, что исключает "просадку кабины" при старте. Выполняется процесс внедрения разработанного регулятора в цикл полимерной покраски узлов и деталей на ООО «Сиблифт» (г.

Омск), предложенный регулятор позволяет поддерживать заданные значения температуры в секциях камеры.

Разработанные на основе предложенных методик синтеза многоканальные регуляторы позволяют повысить экономичность управления технологическими процессами. Научные результаты, полученные в диссертации, используются в учебном процессе в курсе лекций и лабораторных работах «Теория автоматического управления» и «Многоканальные системы управления», читаемых для студентов специальностей 220401.65 - Управление и информатика в технических системах, на кафедре автоматики НГТУ.

Публикации по теме диссертации. Статьи в журналах, рекомендованные ВАК для публикации результатов диссертации на соискание учёной степени доктора и кандидата наук:

1. Воевода A.A., Вороной В.В., Шоба Е.В. Модальный синтез многоканального регулятора пониженного порядка с использованием «обратной» производной на примере трёхмассовой системы // Науч. вестник НГТУ. - 2012. -№ 1(46).-С. 15-22.

2. Воевода A.A., Чехонадских A.B., Шоба Е.В. Модальный метод синтеза с использованием полиномиального разложения: разделение движений при стабилизации трёхмассовой системы // Науч. вестник НГТУ. - 2011. - №2(43). -С. 39-46.

3. Шоба Е.В. Метод модального синтеза для многоканальных систем с использованием полиномиального разложения // Науч. вестник НГТУ. - 2011. -№4(45).-С. 186-190.

4. Воевода A.A., Вороной В.В., Шоба Е.В. Синтез регулятора для системы «перевёрнутый маятник - тележка» // Научн. вестник НГТУ. - 2012. - №4(49). -С. 161-165.

В других изданиях:

5. Воевода A.A., Шоба Е.В. Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза в пространстве состояний // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2010. -№1(59).-С. 25-34.

6. Воевода A.A., Шоба Е.В. О «строгой правильности» передаточной функции разомкнутой системы // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2010. -№2(60). - С. 175-180.

7. Воевода A.A., Шоба Е.В. О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы 4.1. // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2010. -№ 2(60). - С. 9-16.

8. Воевода A.A., Шоба Е.В. О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы 4.2. // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2010. - № 3(61). - С. 41-50.

9. Воевода A.A., Шоба Е.В. О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы Ч.З. И Сб. науч. тр. НГТУ. -2010. -№ 4(62). - С. 3-12.

10. Воевода A.A., Шоба Е.В. О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы 4.4. // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2011. - № 3(65). - С. 11-18.

11. Воєвода A.A., Шоба E.B. Стабилизация трёхмассовой системы: Модальный метод синтеза в пространстве состояний с наблюдателем пониженного порядка// Сб. науч. тр. НГТУ. - 2010. -№4(62). - С. 13-24.

12. Воевода A.A., Шоба Е.В. О модели перевёрнутого маятника // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. - №1(67). - С. 3-14.

13. Воевода A.A., Шоба Е.В. Управление перевёрнутым маятником // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. - №2(68). - С. 12-22.

14. Воевода A.A., Шоба Е.В. Полиномиальный метод синтеза: стабилизация перевёрнутого маятника // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. - №2(68). - С. 15-30.

15. Вороной В.В., Шоба Е.В. Стабилизация трёхмассовой системы: двухка-нальный ЛД-регулятор // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2010. -№ 4(62). - С. 183-188.

16. Шоба Е.В. Модальный метод синтеза в пространстве состояний с наблюдателем пониженного порядка. О возможности обеспечения статического режима // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2010. - № 4(62). - С. 175-182.

17. Шоба Е.В. Моделирование работы лифта. Стабилизация положения кабины // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. - №1(67). - С. 79-86.

18. Шоба Е.В. Стабилизация положения кабины лифта. Расчёт регулятора // Сб. науч. тр. НГТУ. -2012. -№3(69). - С. 135-142.

19. Шоба Е.В. Расчёт двухканального регулятора для стабилизации положения кабины лифта с учётом жёсткости каната и двумя управляющими воздействиями // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. - №4(70). - С. 3-10.

20. Шоба Е.В. Расчёт многоканального регулятора для поддержания заданной температуры в камере полимерной покраски // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. -№4(70). - С. 11-20.

21. Шоба Е.В., Марков A.B. Методология проектирования современного программного обеспечения применительно к станции управления лифтом // Сб. науч. тр. - НГТУ. - 2012. - №1(67). - С. 121-132.

22. Шоба Е.В., Коротиков С.С. Расширение пакета MATHCAD для решения задач полиномиального синтеза // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. - №1(67). - С. 133-145.

23. Voevoda A.A., Voronoy V.V., Shoba E.V. Low order controllers synthesis using the «reverse derivative» // Proceedings of RFBR and DST Sponsored «The 2-nd Russian-Indian Joint Workshop on Computational Intelligence and Modern Heuristics in Automation and Robotics», 10-13 September, 2011. - P. 12-22. [Синтез регулятора пониженного порядка с использованием «обратного дифференцирования»].

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20,

тел./факс (383) 346-08-57 формат 60 X 84/16 объем 1.5 пл. тираж 100 экз. Заказ № 159 подписано в печать 9.01.2013 г

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. МОДАЛЬНАЯ ЗАДАЧА СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРА.

1.1. Общая постановка задачи синтеза регулятора.

1.2. Синтез в пространстве состояний.

1.3. Полиномиальный синтез.

1.4. Регуляторы пониженного порядка.

1.5. Постановка задачи диссертационного исследования.

2. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МЕТОДИКА СИНТЕЗА.

2.1. Обзор разномассовых объектов.

2.2. Полиномиальное разложение передаточной функции объекта и регулятора.

2.3. Матричное полиномиальное уравнение. Методика его решения.

2.4. Обусловленность системы уравнений. Введение масштаба по времени и масштабирование переменных.

2.5. Проверка условий разрешимости задачи автономизации.

2.6. Синтез регуляторов. Многоканальный случай.

2.7. Синтез регуляторов. Одноканальный случай.

2.8. Выводы.

3. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОИЗВОДНЫХ.

3.1. О свойствах производных полинома.

3.2. Синтез регуляторов пониженного порядка с использованием дифференцирования характеристического полинома.

3.3. Синтез регуляторов пониженного порядка с использованием обратного дифференцирования характеристического полинома.

3.4. Методика синтеза многоканальных регуляторов пониженного порядка с использованием обратного дифференцирования.

3.5. Выводы.

4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДИКИ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО СИНТЕЗА

4.1. Синтез регулятора для стабилизации двухмассовой системы.

4.2. Синтез двухканального ДД-регулятора для стабилизации трех-массовой системы.

4.3. Синтез регулятора для стабилизации положения маятника.

4.4. Синтез регулятора для стабилизации положения кабины лифта.

4.5. Синтез регулятора для стабилизации температуры камеры полимерной покраски.

4.6. Выводы.

Актуальность темы. Технические объекты, окружающие нас в повседневной жизни, в большинстве своём, являются управляемыми динамическими системами. Непрерывно идёт интенсивное развитие этих систем и, как следствие, постоянное усложнение. В связи с этим, несмотря на большой набор уже существующих методов, задача анализа и синтеза различных типов систем не теряет своей актуальности. Существующие классические методы синтеза [1, 2, 4, 6, 7, 37-39, 42, 44, 50, 54, 55, 66, 78] имеют большую историю и проработаны достаточно хорошо, однако стремительное развитие вычислительных средств автоматизации, используемых при синтезе систем, способствует разработке новых алгоритмов и иных подходов к вопросам проектирования линейных, стационарных систем.

В настоящее время область рассматриваемых вопросов увеличилась, и акцент делается на исследования многоканальных систем управления, систем с регулятором пониженного порядка и др. В решение поставленных задач большой вклад внесли многие отечественные ученые, такие как Александров A.A., Бесекерский В.А., Беллман Р., Востриков A.C., Гайдук А.Р., Гольдфарба Л.С., Дылевский A.B., Калман Р., Красильщиков M. Ii., Красовский М.Н., Ляпунов A.M., Михайлов A.B., Найквист Г, Понтрягин Л.С., Смагина Е.М., Солодовников В.В и др. Среди зарубежных учёных можно выделить Деруссо П., Уонэм М., Astrem K.J., Chen С.Т., Crassidis J.L., Dahleh M., Doyle J.C., Rosenbrock H.H., Wang Q.G. и др. Результаты работы этих авторов можно найти в различных учебных пособиях, монографиях и лекциях [1], [2], [6], [29], [33-35], [44, 57, 59, 63-65, 71, 75, 90-98].

Данная диссертация посвящена анализу и синтезу многоканальных систем управления [76, 77, 79], акцент делается на полиномиальный метод синтеза. Рассматривается получение регуляторов полного и пониженного порядков.

Важной задачей является формализация методики синтеза регулятора, который бы обеспечивал желаемые требования, предъявляемые к системе. Методику необходимо разработать, автоматизировать и применить к конкретным физическим объектам. Этой задаче и посвящена большая часть данного исследования.

Целью работы является разработка методики синтеза регуляторов полного или пониженного порядков полиномиальным методом [8, 10, 31, 43, 53], которая должна включать использование левого/правого полиномиального разложения, формирование структуры регулятора, либо задание желаемой полиномиальной матрицы, составление и решение матричного полиномиального уравнения, получение параметров регулятора. Данная методика позволит получать регуляторы как полного, так и пониженного порядков, которые должны обеспечивать желаемые значения полюсов системы либо расположение их в области. Отличие от существующих методик полиномиального синтеза заключается в конкретном выборе представления объекта и регулятора и возможности получения регулятора пониженного порядка.

Объектом исследований являются физические объекты, соответствующие одномассовым, двухмассовым и трёхмассовым системам. Также рассматриваются объекты типа «перевёрнутый маятник на тележке» [104-108] и система «термокамера». Данные типы систем являются многоканальными. Как правило, имеется несколько управляющих воздействий и одна или несколько регулируемых величин. Для предложенных физических объектов выполняется задача поддержания определённого значения регулируемой величины.

Методы исследования. При выполнении исследовательской работы использовался аппарат теории автоматического управления [37, 38, 42], основы операционного исчисления, различные разделы линейной алгебры и математического анализа. Широко использовались матричные вычисления и преобразования. При анализе алгоритмов синтеза моделей системы и режимов их работы использовались различные математические пакеты. Применялись практические методы исследований на реальных объектах. Достоверность положений, методик и расчетов, приводимых в диссертации, обеспечивается моделированием получаемых результатов в пакетах MATLAB, MATHCAD.

Научная новизна. Из диссертационного исследования можно выделить следующие основные результаты, характеризующие научную новизну работы: разработана методика решения матричного полиномиального уравнения для случая, когда известная матрица коэффициентов имеет пониженный ранг, а неизвестная матрица коэффициентов содержит заданные известные коэффициенты; для управляемых и наблюдаемых объектов управления предложена методика полиномиального синтеза регуляторов полного и пониженного порядков, позволяющая точно задавать полюса замкнутой системы либо формировать область полюсов; важным результатом является разработка методики синтеза регуляторов пониженного порядка для многоканальных систем, с использованием алгоритма обратного дифференцирования; на многочисленных примерах показана возможность применения разработанной методики к широкому кругу задач, получены регуляторы для различных объектов; в ходе разработки методики решения матричного полиномиального уравнения в среде MATHCAD был создан пакет функций для выполнения операций с полиномиальными матрицами. Данные операции могут быть применимы для различного круга инженерных задач.

Практическая ценность и внедрение. Разработанная методика синтеза регуляторов полиномиальным методом, на основе решения матричного полиномиального уравнения, является более простой в вычислительном отношении и чётко определённой по сравнению с наиболее распространёнными методиками. Позволяет получать регуляторы как полного, так и пониженного порядков, что является актуальным для многих систем автоматического управления. Предлагаемая методика поддержана пакетом MATHCAD [111], что позволяет автоматизировать процесс расчёта регулятора. Практически результаты диссертационной работы были использованы:

- при решении задачи обеспечения устойчивости систем, состоящих из нескольких масс и упругих элементов. Данная задача находит своё применение в робототехнике и в проектировании виброзащитных систем [95-96];

- при разработке регулятора для камеры полимерной покраски узлов и деталей на ООО «Сиблифт» (г. Омскj, обеспечивающего поддержание необходимой температуры в секциях камеры;

- при разработке регулятора для современной станции управления лифтами «СОЮЗ», выполняющего задачу стабилизации положения кабины.

На защиту выносятся следующие положения:

- методика решения матричного полиномиального уравнения. Рассматривается случай пониженного ранга известной матрицы коэффициентов. Рассматривается случай «известности» (заданности) некоторых коэффициентов в матрице неизвестных параметров регулятора;

- методика синтеза регуляторов пониженного порядка полиномиальным методом на основе решения матричного полиномиального уравнения для многоканальных систем, для конкретных объектов. Рассматриваются особенности разработанной методики;

- методика синтеза регулятора пониженного порядка с использованием алгоритма обратного дифференцирования для многоканальных систем.

Апробация работы. Основные положения диссертации представлялись на The second Russian-Indian Join Workshop on computational Intelligence and Heuristics in Automation And Robotics, CIMHAR-2011 (Novosibirsk, NSTU, 10-13 September, 2011), всероссийской научной конференции молодых учёных «НАУКА. ТЕХНОЛОГИИ. ИННОВАЦИИ» НТИ-2012 (Новосибирск, НГТУ, ноябрь 2012 г.), городской научной конференции по теории автоматического управления и регулирования (Новосибирск, НГТУ, май 2011 г.), а также в школе молодых учёных САИТ-2011 секции №2 «Информационные технологии в системах автоматического и автоматизированного управления» (Новосибирск, 12—16 сентября 2011 г.), на конференции АПЭП-2012 (Новосибирск, НГТУ, октябрь 2012 г.), на научных семинарах кафедры «Автоматика» НГТУ (2009-2012 г.), на конференциях, посвященных проблемам вертикального транспорта и системам их управления, таких как межрегиональные конференции «Эксплуатация вертикального транспорта в жилищно-коммунальном хозяйстве регионов» (Москва, 24—27января 2012 г.; Москва, 15-17 ноября 2011 г., Москва, 20-22 апреля 2011 г.; Москва, 10 февраля 2011 г.; Новосибирск, 16 декабря 2010 г.; Краснодар, 27 августа 2010 г.).

Публикации. Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы в 23 работах, в том числе 4 статьи в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов и изданий; 19 статей в сборниках научных трудов и материалах международных и российских конференций.

Структура и объём диссертации. Работа изложена на 192 страницах машинописного текста. Состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка используемой литературы, включающего 120 наименований, четырёх приложений и 32 рисунков. Основное содержание диссертации изложено на 162 страницах.

4.6. Выводы

В ходе проведённых исследований в данном разделе была показана применимость разработанной методики к различным объектам. Для двухмассовой системы сформирован регулятор, обеспечивающий требуемое расположение полюсов замкнутой системы. Для трёхмассовой системы получен регулятор пониженного порядка. Отличительной особенностью данного примера является изначальный выбор желаемой структуры регулятора, а именно /ЗД-регулятор. В следующем примере для объекта «перевёрнутый маятник на тележке», полученный регулятор применен к «неквадратному» объекту, имеющему один вход и два выхода. Для заданной структуры регулятора были найдены необходимые коэффициенты, выполнена реализация регулятора и моделирование его работы. При этом с помощью одного управляющего сигнала удаётся стабилизировать как вертикальное положение маятника, так и скорость его движения, либо координату. Для практической задачи стабилизации положения кабины лифта выполнен расчёт регулятора, обеспечивающий стабилизацию положения кабины в желаемой координате. Объект имеет один вход - один выход. Далее рассмотрен вариант с возможностью реализации дополнительного управляющего воздействия на кабине, учитывается жёсткость канатов со стороны кабины. Регулятор получен для объекта два входа — два выхода в соответствии с разработанной методикой. В заключение представлена четырёхканальная система — камера полимерной покраски узлов и деталей. Разработана структурная схема данного объекта, сформировано его описание, рассчитан регулятор, обеспечивающий поддержание заданной температуры в секциях камеры. Выполнено моделирование его работы. Возмущения, возникающие в системе, компенсируются в течение времени переходного процесса. Данный регулятор находится на стадии внедрения в процесс полимерной покраски на ООО «Сиб-лпфт» (г. Омск).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленная диссертационная работа отражает результаты исследований, целью которых является разработка методики синтеза регуляторов полного и пониженного порядков для многоканальных систем. Изначально рассматривались методики синтеза в пространстве состояний. Предложены модификации методики синтеза, позволяющие обеспечить не только требуемое располоэ/се-ние полюсов замкнутой системы, но и блочно-диагональный вид матриц обратной связи, а при недоступности вектора состоя}тя задавать быстродействие наблюдателя. Методики в пространстве состояний обладают рядом ограничений. Для достижения поставленной цели предложено использовать полиномиальный метод синтеза на основе решения матричного полиномиального уравнения.

Сформулируем основные положения и результаты диссертации.

1. Сформирована методика решения матричного полиномиального уравнения для случая, когда матрица из известных коэффициентов имеет пониженный ранг, а матрица неизвестных коэффициентов содержит заданные значения.

2. Предложена методика полиномиального синтеза регуляторов полного и пониженного порядков, позволяющая задавать полюса замкнутой системы либо размещать их в области. Отличие от существующих методик полиномиального синтеза заключается в возможности получения регулятора пониженного порядка, а также в простоте её изложения и использования.

3. Предложена методика синтеза регуляторов пониженного порядка на основе алгоритма обратного дифференцирования, которая состоит из операций обратного дифференцирования исходного и желаемого полиномов, приравнивания матричных коэффициентов при одинаковых степенях, решении полученной системы уравнений. Методика отличается простотой использования и возможностью автоматизации.

4. Выбран алгоритм перехода от левого разложения объекта к правому, через набор элементарных операций, который позволяет проверить взаимную простоту исходных полиномиальных матриц, а также получить правое, взаимно простое разложение объекта. Для среды МАТНСАО написан пакет функций, реализующий выполнение элементарных операций над матрицами.

5. Показано влияние масштабирования на погрешность решения системы линейных уравнений, которая зависит от обусловленности матрицы известных коэффициентов. Предложен алгоритм масштабирования по времени.

6. Представлены известные необходимые и достаточные условия разрешимости задачи автономизации многоканальной системы. Выполнена проверка условий разрешимости задачи автономизации на примере.

7. Предложена модификация методики синтеза регулятора полиномиальным методом для одноканального случая с использованием факторизации объекта. Данная методика позволяет существенно упростить процедуру расчёта регулятора, так как матрицы известных и неизвестных коэффициентов имеют меньшие размерности.

8. Выполнено внедрение разработанного регулятора в современную станцию управления лифтами «СОЮЗ». Данный регулятор позволяет стабилизировать положение кабины лифта в начальный момент движения, что исключает "просадку кабины" при старте. Выполняется процесс внедрения разработанного регулятора в цикл полимерной покраски узлов и деталей на ООО «Сиблифт» (г. Омск), предложенный регулятор позволяет поддерживать заданные значения температуры в секциях камеры.

Разработанные на основе предложенных методик синтеза многоканальные регуляторы позволяют повысить экономичность управления технологическими процессами. Научные результаты, полученные в диссертации, используются в учебном процессе в курсе лекций и лабораторных работах «Теория автоматического управления» и «Многоканальные системы управления», читаемых для студентов специальностей 220401.65 — Управление и информатика в технических системах, на кафедре автоматики НГТУ.

1. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем // Учебник. -Москва, 1986.-263 с.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами // Учеб. пособие. Москва: Наука, 1976. -424 с.

3. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JL Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB II Учеб. пособие. СПб: Наука, 1999.-467 с.

4. Анисимов A.C. Коррекция динамики следящих систем // Учеб. пособие. -НЭТИ: Изд-во НЭТИ, 1986. 79 с.

5. Асанов А.З., Демьянов Д.Н. Формирование заданного спектра передаточных нулей многосвязной динамической системы // Науч. вестник. Уфа: Изд-во УГАТУ, 2008. - т. 10, № 2(27). - С. 25-34.

6. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. Изд.4-е, перераб. и доп. // Учебник. СПб: Изд-во Профессия, 2003. - 752 с.

7. Бобцов A.A., Мирошник И.В. Линейные системы автоматического управления //Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГИТМО (ТУ), 2001.-245 с.

8. Боровиков А.Ю., Воевода A.A., Мелешкин А.И. Апроксимационные алгоритмы синтеза регуляторов пониженного порядка // Сб. науч. тр. НГТУ. — 1999.-№2(15).-С. 130-134.

9. Воевода A.A. Синтез робастных линейных систем управления для объектов с интервальными параметрами // Межвуз. сб. Красноярск: КГТУ, 1995. -С. 12-16.

10. Воевода A.A., Вороной В.В. Модальный синтез регуляторов пониженного порядка методом дифференцирования характеристического полинома // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2010. - №4(62). - С. 25-34.

11. Воевода A.A., Вороной В.В., Шоба Е.В. Модальный синтез многоканального регулятора пониженного порядка с использованием «обратной» производной на примере трёхмассовой системы // Науч. вести. НГТУ. 2012. - № 1(46).-С. 15-22.

12. Воевода A.A., Востриков A.C., Жмудь В.А. Управление линейными динамическими объектами по методу разделения движений // Препринт № 467. -Ин-т автоматики и электрометрии СО АН СССР, 1991. 40 с.

13. Воевода A.A., Ижицкая Е.А. Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза // Сб. науч. тр. НГТУ. 2009. - №2(56). - С. 3-10.

14. Воевода A.A., Мелешкин А.И. Синтез регуляторов пониженного порядка // Научи, вестник НГТУ. 1997. - № 3. - С. 41-58.

15. Воевода A.A., Плохотников В.В. О методике синтеза регуляторов для объектов с интервальными параметрами // Сб. науч. тр. НГТУ. 1998. - № 3. -С. 157-160.

16. Воевода A.A., Плохотников В.В. О множестве корней производных интервального полинома//Сб. науч. тр. НГТУ. 1999. -№ 4(17). - С. 27-31.

17. Воевода A.A., Пономарев К.Н., Чехонадских A.B. Об устойчивости производной устойчивого многочлена // Научн. вестник НГТУ. 1998. - № 1(4).-С. 185-186.

18. Воевода A.A., Трошина Г.В. О масштабировании данных «вход-выход» при идентификации объектов // Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. - №3(61). - С. 3540.

19. Воевода A.A., Чехонадских A.B., Шоба Е.В. Модальный метод синтеза с использованием полиномиального разложения: разделение движений при стабилизации трёхмассовой системы // Научн. вестник НГТУ. 2011. - №2(43). -С. 39-46.

20. Воевода A.A., Шоба Е.В. Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза в пространстве состояний // Сб. науч. тр. НГТУ. — 2010. — №1(59).-С. 25-34.

21. Воевода A.A., Шоба E.B. О «Строгой правильности» передаточной функции разомкнутой системы // Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. - №2(60). - С. 175-180.

22. Воевода A.A., Шоба Е.В. О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы 4.1. // Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. - № 2(60). - С. 9-16.

23. Воевода A.A., Шоба Е.В. О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы 4.2. // Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. - № 3(61). - С. 41-50.

24. Воевода A.A., Шоба Е.В. О разрешимости задачи авгономизации многоканальной системы Ч.З. // Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. - № 4(62). - С. 3-12.

25. Воевода A.A., Шоба Е.В. О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы 4.4. // Сб. науч. тр. НГТУ. 2011. - № 3(65). - С. 11-18.

26. Гайдук А.Р. Синтез автономных и связных многомерных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление: 2012. -№ 1. С. 13-20.

27. Воевода A.A., Шоба Е.В. Стабилизация трёхмассовой системы: Модальный метод сшпеза в пространстве состояний с наблюдателем пониженного порядка // Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. - №4(62). - С. 13-24.

28. Волков М.А., Гурентьев Е.А., Ишматов З.Ш., Плотников Ю.В. Полиномиальный подход к синтезу и анализу систем управления электроприводам // Труды V Международной конференции по автоматизированному электроприводу. СПб, 2007. - С. 141-144.

29. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем // Учеб. пособие. Москва: Энергия, 1980.-312 с.

30. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость // Учеб. пособие. Москва: Наука, 1979. - 336 с.

31. Вороной В.В. Краткий обзор методов синтеза регуляторов пониженного порядка // Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. - №4(62). - С. 25-34.

32. Вороной В.В., Шоба Е.В. Стабилизация трёхмассовой системы: двухка-нальный ЯД-регулятор // Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. - № 4(62). - С. 183-188.

33. Востриков A.C. Синтез нелинейных систем методом локализации // Учеб. Пособие . Новосибирск, 1990. - 120 с.

34. Востриков A.C., Гаврилов Е.Б., Французов» Г.А. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования // Учеб. пособие. Новосибирск, 2008.-476 с.

35. Востриков A.C., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования // Учебник. М.: Высшая школа, 2006. - 365 с.

36. Григорьев В.В., Журавлёва II.В. и др. Синтез систем автоматического управления методом модального управления // Учеб. пособие. СПб: Изд-во ИТМО, 2007-108 с.

37. Гребе С.Ф., Гудвин Г.К. и др. Проектирование систем управления // Учебник. Москва: Изд-во БИНОМ, 2004. - 911 с.

38. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления // Учеб. пособие. М.: Наука, 1970. - 86 с.

39. Дылевский A.B. Синтез конечномерных регуляторов для бесконечномерных объектов // Автореферат. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2009. - 30 с.

40. Дылевский A.B., Лозгачёв Г.И. Синтез линейных систем управления с заданным характеристическим полиномом // Известия РАН. Серия: Теория и системы управления, 2003. -№4. С. 17-20.

41. Дылевский A.B., Лозгачёв Г.И. Синтез модальных систем управления // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика, математика, 2004. №1. -С. 103-109.

42. Егупов Н.Д. Методы классической и современной теории автоматического управления // Учебник в 3-х томах. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2000 г.

43. Замятин C.B. Анализ и синтез систем управления с интервальными параметрами на основе корневого подхода // Автореферат. Томск: Изд-во ТПУ, 2007. - 16 с.

44. Киселёв Е.В. Развитие методов анализа и синтеза нечётких супервизор-пых систем автоматического управления // Автореферат. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 2009.-30 с.

45. Кокорев С.А. Разработка и исследование метода одновременной оценки корней характеристического уравнения линейной системы // Автореферат. -Москва: Изд-во МГТУ, 2006. 15 с.

46. Красильщиков М. II. Основы теории многосвязных систем автоматического управления летательными аппаратами // Учеб. пособие. М.: Изд-во МАИ, 1995.-288 с.

47. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства // Учебник. М.: Машиностроение, 1976. - 184 с.

48. Липатов А.В., Соколов Н.И. О некоторых достаточных условиях устойчивости линейных непрерывных стационарных систем // АиТ. 1978. - № 9. -С. 30-37.

49. Лукашин О.В. Синтез квазиоптимальных полиномиальных систем управления простой структуры // Автореферат. Тула: Изд-во ТГУ, 2007. -18 с.

50. Любимов Е.В. Автоматизированный аналитический синтез нелинейных систем управления сложными динамическими объектами // Автореферат. -Владивосток: Изд-во Морской ГУ, 2007. 18 с.

51. Малышенко А.М. Системы автоматического управления с избыточной размерностью вектора управления // Учеб. пособие. — Томск: Изд-во Томского политехи, ун-та, 2005. 302 с.

52. Мееров М. В. Исследование и оптимизация многосвязных систем управлении // Учеб. пособие. М.: Наука, 1986. - 233 с.

53. Мелешкин А.И. Модальный синтез регуляторов пониженного порядка // Дне. канд. техн. наук. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1999. - 166 с.

54. Мирошиик И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы // Учеб. пособие. СПб.: Изд-во Питер, 2005. - 336 с.

55. Нгуен Ф.Д. Синтез робастных регуляторов численным методом // Сборник трудов VI Всероссийской научно-практической конференции. Томск: Изд-во: ТПУ, 2009 - Ч. 2. - С. 75-78.

56. Нсмировский A.C., Поляк Б.Т. Необходимые условия устойчивости полиномов и их использование // АиТ. 1994. - №2 11. - С. 113-119.

57. Ротач В.Я. Теория автоматического управления // Учеб. пособие. М. : Изд-во МЭИ, 2004. - 400 с.

58. Смагина Е.М. Нули линейных многомерных систем. Определения, классификация, применение (обзор) // АиТ. 1985. -№12. - С. 5-33.

59. Смагина Е.М. Вычисление и задание нулей линейной многомерной системы // АиТ. 1987. -№12. -С. 165-173.

60. Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы // Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 160 с.

61. Суходоев М.С. Определение желаемой области расположения доминирующих полюсов замкнутой системы с учётом её нулей // Известия Томского политехнического университета, 2007. т. 311 - № 5. - С. 57-61.

62. Суходоев М.С. Размещение областей локализации доминирующих полюсов интервальной системы автоматического управления в заданном усеченном секторе // Известия Томского политехнического университета, 2007. т. 311.-№ 5. - С. 5-9.

63. Уопэм М. Линейные многомерные системы управления // Учеб. пособие. -М.: Наука, 1980.-375 с.

64. Французова Г.А. Теория автоматического управления. Линейные системы // Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ,1997. - 122 с.

65. Французова Г.А. Теория автоматического регулирования // Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. - 365 с.

66. Шинтиков Д.В. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем с кратными сингулярными числами // Автореферат. СПб: Изд-во СПбГУАП, 2009-21 с.

67. Шоба Е.В. Модальный метод синтеза в пространстве состояний с наблюдателем пониженного порядка: О возможности обеспечения статического режима // Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. -№ 4(62). - С. 175-182.

68. Шоба Е.В. Метод модального синтеза для многоканальных систем с использованием полиномиального разложения // Ыаучн. вестник НГТУ. 2011. -№4(45).-С. 186-190.

69. Anderson B.D.O., Jury E.I., Mansour М. On robust Hurwitz Polynomials // IEEE Trans. Aut. Control. 1987. AC-32. № 10. P. 18-28.

70. Argoun M.B. On the stability of low-order polynomials // IEEE Trans. Aut. Control. 1987. AC-35. № 2. P. 180-182.

71. Chen C.T. Linear System Theory and Design, Third Edition // New York Oxford, 1999.-334 p.

72. Chen L.C., Munro N. Calculation of largest generalized stability hypersphere in the robust stability problem for the maximum setting-time and minimum damping-ratio cases // IEEE Trans. Aut. Control. 1987. AC-36. № 6. - P. 756-759.

73. Coimnault C., Lafay J.F., Malabre M. Structure of linear systems. Geometric and transfer matrix approaches // Cybernetika. 1991. - V. 27. - № 3. - P. 170185.

74. Dong J.W., Brosilovv G.B. Design of robust multivariable PID controllers via IMC // Proc. American Control Conference. Albuquerque: New Mexico, 1997. P. 3380-3384.

75. Doyle J.C., Stein G. Multivariable feedback design: concept for a classical/modern synthesis // IEEE Trans. Aut. Control. 1981. AC-26. №1. P. 4-16.

76. Falb P.L., Wolovich W. Decoupling in the design and synthesis of multivariable systems // IEEE Trans. Aut. Control. 1967. AC-12. №.4. - P. 651-669.

77. Luyben L.W. Simple method fortuning SISO controllers in multivariable systems // Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev. Vol.25, 1986. - P. 654-660.

78. MacFarlane A.G. Geometric approach to analysis and synthesis of system zeros. Pt 1. Square systems. Pt 2. Non-square systems // Int. J. Control, 1976. V. 23, №2. - P. 149-181.

79. Morse A.S. Structural invariants of linear multivariable systems // SIAM J. Control, 1973. -№ 11. P. 446-465.

80. Röhn J. Systems of linear interval equations // Linear Algebra and its Applications, 1989.-V. 126.-P. 39-78.

81. Rosenbrock H.H. State-space and multivariable theory // N. Y.: Wiley, 1970. -257 p.

82. Voevoda A.A., Meleshkin A.I. Lower-order regulator design: Proc. of the 13th International conference on systems science // Wroclaw, 1998. Vol. 1. - P. 198— 205.

83. Wang Q.G. Decoupling Control // Lecture Notes in Control and information Scienes: Springer Verlag Berlin, 2003. - 285 p.

84. Wolovich W.A. Linear multivariable systems // N.Y.: Springer-Verlag, 1974. -358 p

85. Воевода A.A., Мелешкин А.И. О модальном синтезе линейных систем с регулятором пониженного порядка // Сб. науч. тр. НГТУ. — 1996. № 3(5). - С. 157-160.

86. Albertos P., Sala А. Multivariable control systems: an engineering approach // Springer, 2004. 340 p.

87. Antsaklis P.J., Michel A.N. Linear systems // Birkhauser,1997. 669 p.

88. Astrem K.J., Murray R.M. Feedback system // Princeton University Press, 2008.-390 p.

89. Astrem K.J., Witten mark B. Control Systems // theoiy and design: Prentice Hall, 1999.-560 p.

90. Bishop R.H. Modern control systems analysis and design using MATLAB II Massachusetts: N.Y, 2006. 160 p.

91. Bonivento C., Isidori A., Marconi L., Rossi C. Advances in control theory and application // Springer, 2007. 306 p.

92. Crassidis J.L., Junkins J.L. Optimal estimation of dynamic systems // Chapman and Hall, N.Y, 2004. 587 p.

93. Dahleh M., Dahleh M.A., Verghese G. Lecture on dynamic systems and control // Massachuasetts Institute of Technology, 2003. 600 p.

94. Damen A. Modern control theory // Eindhoven, 2012. 170 p.

95. D'azzo J. J., Iloupis C.H., Sheldon S.H. Linear control system analysis and design with MATLAB И N.Y: Basel, 2003. 450 p.

96. Doyle J.C., Francis В., Tannenbaum A. Feedback control theory // Macmil-lan Publishing, 1990. 198 p.

97. Чехонадских A.B. О ступенчато-дифференциальной оптимизации корней характеристического многочлена САУ // Научный вестник НГТУ. 2008. №4(33).-С. 205-208.

98. Французова Г.А. Синтез многосвязных систем с производными выходных переменных в законе управления // Автореф. дис. . канд. техн. наук. Челябинск, 1982.

99. Geering Н.Р. Optimal control with engineering applications // Springer, 2007. 133 p.

100. Goodwin G.C., Graebe S.F., Calgado M.E. Control system design // Valparaiso, 2000. 840 p.

101. Воевода A.A. Стабилизация двухмассовой системы: полиномиальный метод синтеза двухканальной системы // Сб. науч. тр. НГТУ. 2009. - №4(58). -С. 121-124.

102. Саблина Г.В., Ходакова Д.И. Исследование математической модели системы «Подвешенный груз» // Сб. науч. тр. НГТУ. 2009. - №2(56). - С. 1118.

103. Саблнна Г.В., Ходакова Д.И. Исследование свойств модельной системы «Вращающийся маятник» // Сб. науч. тр. НГТУ. 2009. - №3(57). - С. 2532.

104. Саблина Г.В., Ходакова Д.И. Разработка алгоритма стабилизации системы «Подвешенный груз» // Сб. науч. тр. НГТУ. 2009. - №3(57). - С. 33-40.

105. Воевода A.A., Шоба Е.В. О модели перевёрнутого маятника // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. -№1(67). - С. 3-14.

106. Воевода A.A., Шоба Е.В. Управление перевёрнутым маятником // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. -№2(68). - С. 3-14.

107. Шоба Е.В., Марков A.B. Методология проектирования современного программного обеспечения применительно к станции управления лифтом // Сб. науч. тр. НГТУ.-2012.-№1(67).-С. 121-132.

108. Шоба Е.В. Моделирование работы лифта. Стабилизация положения кабины//Сб. науч. тр. НГТУ.-2012.-№1(67).-С. 79-86.

109. Шоба Е.В., Коротиков С.С. Расширение пакета MATHCAD для решения задач полиномиального синтеза // Сб. науч. тр. НГТУ. 2012. - №1(67). -С.133-145.

110. Гайдук А.Р. Теория автоматического управления // Учебник. М.: Высш. шк., 2010.-415 с.

111. Буков В.Н., Косьянчук В.В., Рябченко В.Н. Вложения систем. Полиномиальные уравнения // АиТ. 2002. -№ 7. - С. 12-23.

112. Ким Д.П. Синтез оптимальных по быстродействию непрерывных линейных регуляторов // АиТ. 2009. - № 3. - С. 5-14.

113. Воевода A.A., Шоба Е.В. Полиномиальный метод синтеза: стабилизация перевёрнутого маятника//Сб. науч. тр. НГТУ. 2012. - №2(68). - С. 15-30.

114. Шоба Е.В. Стабилизация положения кабины лифта. Расчёт регулятора // Сб. науч. тр.-НГТУ.-2012.-№3(69).-С. 135-142.

115. Шоба Е.В. Расчёт двухканального регулятора для стабилизации положения кабины лифта с учётом жёсткости каната и двумя управляющими воздействиями // Сб. науч. тр. НГТУ. 2012. - №4(70). - С. 3-10.

116. Шоба E.B. Расчёт многоканального регулятора для поддержания заданной температуры в камере полимерной покраски // Сб. науч. тр. НГТУ. 2012. -№4(70). -С. 11-20.

117. Гайдук А.Р., Беляев В.Е., Пьявченко Т.А. Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB II Учеб. пособие. 2-е изд., испр. СПб.: Изд-во «Лань», 2011. -464 с.

118. Воевода A.A., Вороной В.В., Шоба Е.В. Синтез регулятора для системы «Перевёрнутый маятник тележка» // Научн. вестник НГТУ. - 2012. - №4(49). -С. 161-165.