автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.05, диссертация на тему:Разработка и исследование нелинейных регуляторов и наблюдателей на основе квазилинейного подхода

На правах рукописи

Ланская Алла Алексеевна

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ И НАБЛЮДАТЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПОДХОДА

Специальности - 05.13.05 Элементы и устройства вычислительной

техники и систем управления, 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Таганрог 2005

Работа выполнена на кафедре систем автоматического управления в Таганрогском государственном радиотехническом университете.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Гайдук Анатолий Романович.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Кузнецов Павел Константинович, доктор технических наук, профессор Кравченко Павел Павлович;

Ведущая организация: ФГУП НИИ МА «Прогресс», г. Москва.

Защита состоится 30 августа 2005 г. в 14.20 в ауд. Д-406 на заседании диссертационного совета Д 212.259.02 в Таганрогском государственном радиотехническом университете по адресу: 347928, г. Таганрог, ГСП-17а, пер. Некрасовский, 44.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Таганрогского государственного радиотехнического университета.

Автореферат разослан «№> <¿4^4^2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор

9т

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время высокие требования к качеству и эффективности систем управления делают обязательным учет нелинейных явлений в динамических объектах, поэтому основные проблемы создания современных регуляторов и других элементов систем управления связаны с решением задач анализа и синтеза на основе нелинейных моделей.

Среди множества требований к синтезируемым системам первостепенным и фундаментальным является свойство устойчивости заданной траектории движения. К настоящему времени разработано большое число методов анализа и синтеза нелинейных регуляторов, решающих эту задачу. Эта проблема рассматривалась в работах Айзермана М.А., Цыпкина Я.З., Красовско-го A.A., Калмана P.E. В настоящее время эту задачу исследуют в своих работах Фрадков А.Л., Подчукаев В.А., Раппопорт Э.Я., Колесников A.A., Ней-дорф P.A. и другие. Традиционными здесь являются: метод абсолютной устойчивости, метод гармонической линеаризации и методы оптимального управления. Современные подходы, как правило, развиваются на основе метода функций Ляпунова, предоставляющего большие возможности для исследования нелинейных систем. К ним относятся метод нелинейных преобразований переменных состояния, входных воздействий или выходов системы,

метод пассификации, нелинейное -управление.

Все существующие в настоящее время методы синтеза нелинейных регуляторов дают решение задачи лишь для объектов определенного класса. Поэтому эта задача остается актуальной и во многих аспектах еще не получила своего решения.

Целью диссертационной работы является разработка методов синтеза нелинейных регуляторов и наблюдающих устройств на основе квазилинейного представления с использованием метода функций Ляпунова. При этом модель объекта управления может обладать некоторой неопределенностью.

Достижение поставленной цели осуществляется решением следующих задач:

- разработка принципов построения градиентных регуляторов на основе функций Ляпунова, обеспечивающих возможность задания желаемой длительности процессов управления;

- исследование методики приведения квазилинейной системы к управляемой форме Фробениуса и разработка на ее основе процедуры синтеза нелинейного квазимодального регулятора;

- разработка метода синтеза нелинейных наблюдателей переменных состояния объектов управления на основе квазилинейного подхода и управляемой формы Фробениуса;

- исследование качества сглаживания случайных ошибок оценок рекуррентным наблюдателем производных;

- решение задачи компенсации неопределенностей динамических систем с помощью градиентного регулятора; _____ _____ _

- исследование свойств синтезированных нелинейных регуляторов и наблюдателей методами численного моделирования путем создания соответствующих алгоритмов и программ их реализации на ЭВМ.

Методы исследования. Поставленные в работе задачи решаются на основе теории дифференциальных уравнений, включая аппарат преобразования Лапласа, теории матриц и матричных форм, теории оценивания, теории устойчивости, теории фильтрации, теории моделирования, методов пространства состояний, метода модального управления. При численном моделировании и исследовании разработанных регуляторов, систем управления и их элементов использовался пакет программ Ма^аЬ 6.1.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Метод синтеза и способ практической реализации градиентного регулятора, обеспечивающего устойчивость и желаемую длительность переходных процессов нелинейной системы управления.

2. Метод синтеза квазимодального регулятора на основе приведения уравнений квазилинейной системы к управляемой форме Фробениу-са, позволяющий применить модальное управление к синтезу нелинейных регуляторов и обеспечить требуемое качество переходных процессов.

3. Метод синтеза нелинейного редуцированного наблюдателя переменных состояния объектов на основе управляемой формы Фробениуса.

4. Метод компенсации неопределенностей динамических систем с помощью градиентного регулятора, позволяющий повысить точность измерительных систем и систем автоматического управления.

Новизна научных результатов:

Новизна предложенной методики синтеза нелинейного градиентного регулятора на основе функций Ляпунова заключается в возможности его реализации при последовательном включении с объектом управления. При этом нелинейность может быть неопределенной и принадлежать сектору с криволинейными границами.

Новизна разработанной процедуры синтеза нелинейного квазимодального регулятора на основе управляемой формы Фробениуса заключается в использовании квазилинейного представления уравнений объекта, что позволяет применить модальное управление для синтеза нелинейного регулятора.

В работе впервые получены новые условия выбора корней характеристического уравнения рекуррентного наблюдателя производных, при которых обеспечивается близкое сглаживание случайных помех по различным производным наблюдаемой переменной, что позволяет улучшить качество функционирования систем с квазимодальным регулятором.

В работе впервые предложено использовать метод компенсации неопределенностей динамических систем с помощью градиентного регулятора для повышения точности измерительных систем.

Практическая ценность полученных в диссертационной работе результатов заключается в конструктивности и практической направленности процедур синтеза регуляторов и наблюдателей. Предложенные градиентные регуляторы на практике обеспечивают устойчивость при наличии произвольной «секторной» нелинейности и придают системе управления желаемые характеристики. Кроме того, разработанные алгоритмы дают возможность сократить время проектирования системы управления, а также в полной мере использовать ресурсы современной вычислительной техники, развитие которой в настоящее время происходит очень быстрыми темпами. Предложенные элементы систем управления отличаются широкой областью практического применения, которая включает в себя системы управления летательными аппаратами, энергетическими установками, процессами измерения географических координат объектов и другими. Разработанные программы моделирования позволяют получить обоснованные заключения о свойствах нелинейных систем и их элементов при незначительных затратах временных и материальных ресурсов.

На основе полученных результатов решен ряд задач синтеза реальных регуляторов и наблюдателей переменных состояния и их производных по времени (для систем стабилизации корабля или подводного транспортного средства, напряжения генератора постоянного тока, угла тангажа летательного аппарата и др.).

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- пятой Всероссийская научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2000);

- открытом конкурсе на лучшую работу студентов и аспирантов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в высших учебных заведениях РФ (2001);

- шестой Московской международной телекоммуникационной конференции студентов и молодых ученых «Молодежь и наука» (Москва, 2002);

- седьмой Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2004);

- международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях-18» (Казань, 2005);

- на ежегодной конференции профессорско-преподавательского состава ТРТУ в 2005 г.

Полученные результаты диссертационной работы использовались в ОКБ «Миус» при ТРТУ при разработке систем мониторинга САУ, в ООО НПК «Бюро Кадастра Таганрога» при разработке алгоритма обработки географических координат наземных объектов, получаемых с помощью спутниковой системы глобального позиционирования GPS, а также в учебном процессе

кафедры САУ в курсе «Теория автоматического управления», что подтверждается соответствующими актами о практическом использовании.

По теме диссертационной работы опубликовано шесть печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 105 наименований, и приложения. Общий объем работы составляет 157 страниц, содержит 47 рисунков и 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показывается актуальность рассматриваемой темы, формулируется цель диссертационной работы, приводится общая характеристика работы по главам, дается обоснование научной новизны, практической значимости и формулировка основных результатов, выносимых на защиту.

В первой главе рассматриваются известные методы построения нелинейных регуляторов и наблюдателей переменных состояния нелинейных объектов и их производных. Показано, что метод функций Ляпунова в сочетании с квазилинейным представлением нелинейностей является одним из перспективных направлений синтеза нелинейных регуляторов и элементов систем управления. В заключение главы формулируется цель диссертационной работы - разработка методики инженерного синтеза нелинейных регуляторов и элементов нелинейных систем управления с возможностью обеспечения заданного качества нелинейной системы управления на основе метода функций Ляпунова и квазилинейного подхода.

Во второй главе решение сформулированной выше задачи ищется на основе градиентного подхода. Нелинейные градиентные регуляторы (НГР) ориентированы на системы с неопределенной нелинейностью. Предполагается, что уравнения системы имеют вид

х = Ах - В(/(х) + и(х)), у = Сх.

Здесь х - п-мерный вектор состояния; А, В, С - матрицы коэффициентов линейной части системы; и(х) - искомое управление, причем вектор х доступен измерению; нелинейность /(х) удовлетворяет «секторному» ограничению, т.е.

Д0) = 0, 0<\/(х)\<к(х), (2)

где к(х)< оо - некоторая положительно определенная функция переменных состояния; к(0) = 0 .

Для построения стабилизирующего управления и = и(х) используется функция Ляпунова в виде квадратичной формы

У(х) = хУРх, (3)

где Р - матрица, являющаяся решением уравнения Ляпунова

АТР + РА = -Е.

Так как по условию матрица А является гурвицевой, то Р> 0.

В работе показано, что положение равновесия системы (1) является асимптотически устойчивым в целом, если

Здесь

- линейное управление;

т

ил = к х

иг =

О, =

хтРВ , ч I т„„ \х1РВ

ххРВ\

* О,

(5)

(6)

(7)

- градиентное управление, ц(х) = к(х) + \>(х), где к(х) - положительно определенная функция, а у(х) = у](х)||х||2у/2|;ст/>б|, У](х) - некоторая положительно полуопределенная функция.

Если матрица А системы (1) устойчива, то ип = 0. Если же матрица А

т

неустойчива, то выбирается вектор к, так, чтобы матрица А-Вк была устойчивой. Например, вектор к можно выбрать методом модального управления. В дальнейшем предполагается, что матрица А устойчива и ил = 0.

В работе показано, что выбором функции VI (х) или в частном случае числа v0 можно обеспечить требуемую скорость затухания нормы решения системы. Таким образом, эта функция фактически является параметром настройки НГР. Выбирая величину у0 в соответствии с выражением

у0 >

>

* 'р ^гпт ♦ <Р 1 "б'

^тт ♦ > 'р 1 лтт * 'р 1 V

(8)

можно изменять длительность переходных процессов в замкнутой нелинейной системе управления. В (8) - желаемое время затухания переходного процесса в системе, Хтт - минимальное собственное число матрицы Р .

Предложенное градиентное управление (7) может использоваться для стабилизации систем вида (1) с секторными нелинейностями различного вида, в частности, немонотонными или расположенными не только в первом и третьем квадрантах.

Недостатком градиентного регулятора (7) является то, что практическое введение дополнительного управления и(х) параллельно нелинейности /(х) часто затруднено или невозможно. Это объясняется тем, что обычно /(х) -это нелинейность исполнительного механизма или рабочего органа, поэтому устройство, реализующее управление и(х) в соответствии с уравнением (1), являлось бы вторым исполнительным механизмом.

Поэтому при практической реализации ИГР (7) в работе предлагается перейти к последовательному включению градиентного регулятора и нелинейного объекта (рис. 1). В частном случае, когда нелинейность /(х) в (1) доступна измерению и зависит от скалярной функции а = а(.х), т.е. /(х) = /(а), последняя на каждом интервале времени -/,_! аппроксимируется линейной функцией

/аппр{<*) = Ь1 +а,ст , ¿ойо,,

где коэффициенты аппроксимации а, и Ь, находятся по формулам:

0,- - а

ъ=—и---+/(<ч_,).

где а, ~ a(t, ), а НГР описывается следующим выражением

J

-d, +с,

т

\х ;рв\

X, < е, ,x j Рв\ > е,

(9)

(10)

(И)

где ст, = Сх1, г = 1,2,...

При этом уравнения замкнутой системы (1), (11) принимают вид

х, = Ах; - В/(аш), у = Сх1.

(12)

Структурная схема синтезированного нелинейного градиентного регулятора (II) приведена на рис. 1, где ЗУ - запоминающее устройство, ОУ - объект управления. Здесь на каждом интервале -<,_[ требуется выполнить выполнение 10 операций сложения, 21 операции умножения, 1 операции деления и 2 операций сравнения.

На основе разработанного градиентного регулятора в работе проводится синтез системы стабилизации корабля или подводного транспортного средства и системы стабилизации напряжения генератора постоянного тока. Путем численного моделирования нелинейных систем управления с градиентным регулятором показано, что выбором параметра настройки градиентного регулятора можно обеспечивать желаемую длительность переходных процессов нелинейных систем управления при различных видах секторных нелинейно-стей.

Применение НГР ограничивается классом систем с «секторной» нелинейностью, в то время как на практике часто встречаются объекты с произвольными нелинейностями. Поэтому в третьей главе предлагается метод ^ синтеза квазимодальных регуляторов (КМР), предназначенных для систем с

нелинейностями более общего вида. Эти регуляторы применяются в тех случаях, когда объекты описываются уравнениями вида

х = Дх,и). (13)

Предполагается, что при отсутствии управления система (13) находится в равновесии, т.е. /(0,0) = 0, компоненты вектор-функции /(х,и) дифференцируемы по всем х1 и по и, причем о2//ди2 = 0 . Если при этом существуют производные

jL = fijM, Ц-= //,(*)• (14)

то квазилинейное представление системы (12)

.X = А(х)х + &(л)м , (15)

где A(x) = [a,j(x)] - функциональная матрица, Ь(х) = [ЬДх)] - функциональный вектор, компоненты которых определяются известными выражениями.

Задача синтеза регулятора, формирующего управление и(х) как некоторую функцию переменных состояния и обеспечивающего желаемое качество переходных процессов в замкнутой системе, решается путем преобразования переменных состояния системы к новой системе координат. При этом предполагается, что соответствующие преобразования являются ляпуновскими. Положим

X = Р(х)х, (16)

где Р(х) - функциональная матрица преобразования, столбцы которой P'(x) = A(x)Pl~l(x)-Pi~\x), P°(x) = b(x), х - новая переменная.

Преобразование (16) называется преобразованием Крылова - Луенберге-ра и приводит систему (15) к форме Крылова - Луенбергера

"о 0 . . 0 -к0(х) " "1"

X - 1 0 . . 0 -Чх) х + 0

0 0 . . 1 ~кп-\(х) 6

В уравнениях (17) коэффициенты к,(х) определяются равенствами

к1(х) = Р1+1(х)[А(х)Рп(х)-Ря(х)], i = 0,1,...,и -1, (18)

где Р"(х) - я-й столбец матрицы Р(х), Р, - строки матрицы Р~](х).

Далее система (17) приводится к управляемой форме Фробениуса с помощью дополнительного преобразования Ляпунова

х=Т(х)х, (19)

где х - вектор новых переменных состояния. В результате преобразования (19) получим

х = A(x)x+h{x)u, у = с(х)х, (20)

где

А{:Ф

О _0 _0 -а0(х) -а,(л) -а2(х)

О 9 _ i

ь =

• (21)

В работе получены общие выражения, определяющие вид матрицы Т(х) и элементы матрицы А(х) при любых п. Например, при п = 2

М*) 1"

Т(х) =

1

О

При п = 3 Т(х) =

к1(х) + к2(х)

к2(х) 1

к2(х) 1 1 О О О

а0(х) = к0(х) + к^(х) + к2(х), о.\(х) = к^(х) + 2к2(х), а2(х) = к2(х). Квазимодальное управление определяется выражением

u(x) = -hT( х)х, (22)

где

h т (х) = [h, (*)] = h r(x)T~1 (х)Р- '1 (*),

/¡,(x) = a*_1 -a,_,(x), i = l, и,

a, - постоянные коэффициенты желаемого полинома, которые определяются исходя из требований к качеству переходных процессов замкнутой нелинейной системы.

Структурная схема нелинейного квазимодального регулятора, разработанного для летательного аппарата, приведена на рис. 2. Для ее реализации требуется выполнение 44 операций сложения, 60 операций умножения, 16 операций деления и 9 операций вычисления нелинейных функций (sin, cos). Показано, что синтезированный квазимодальный регулятор позволяет увеличить допустимый диапазон изменения регулируемых переменных в 4-5 раз по сравнению с традиционным линейным регулятором.

Уравнения предлагаемых в работе градиентного и квазимодапьного регуляторов зависят от переменных состояния и производных по времени некоторых функций, которые не всегда доступны измерению. Поэтому в четвертой главе на основе квазилинейного подхода рассматривается метод построения наблюдающих устройств, используемых для формирования соответствующих оценок переменных состояния нелинейных систем

При построении нелинейного наблюдателя переменных состояния предполагается, что в исходной нелинейной системе и-го порядка выделена подсистема, которая описывается уравнениями

¿ = С(дс)г + /,(о), (23)

¿ = А( лфг + /2(и).

Здесь х - одна из измеряемых переменных состояния, г - вектор неизме-рясмых переменных, /](о) - скалярная нелинейность, /2(и) - нелинейная вектор-функция, и - вектор измеряемых переменных исходной нелинейной системы, включающий переменную х; А(х), С(х) - нелинейные функциональные матрица и вектор-строка, полученные в результате квазилинейного представления исходной нелинейной системы и зависящие только от измеряемой переменной х.

Уравнения нелинейного наблюдателя имеют вид

w=f2(v)-J(í>(x)Mv) + H(x)z, ¿ = w+^?(x), (24)

где £ - оценка вектора г , м> - вектор переменных состояния наблюдателя, ф(*)> р(х) - нелинейная вектор-функция и ее якобиан. Задача построения

наблюдателя переменных г, сводится к выбору соответствующей матрицы

Н(х) и вектор-функции ф(х) таких, что выполняется условие \\mzit) = г(/) яри I -» со .

Для решения этой задачи уравнение (24) подвергается нелинейным преобразованиям (16) и (19), с тем, чтобы привести матрицу Н(х) к форме Крылова-Луенбергера. Это позволяет найти искомую вектор-функцию <р(х) и матрицу Н(х).

Функциональная схема разработанного наблюдателя переменных состояния для нелинейной системы приведена на рис 3, где НР - нелинейный регулятор.

Для получения производных по времени некоторых функций, зависящих от переменных состояния системы, в работе предлагается использовать известный рекуррентный наблюдатель производных (РНП). При этом основное внимание уделяется вопросу обеспечения одинаковых ошибок оценивания различных производных по времени. Для учета случайных ошибок измерений используются формирующие фильтры и вводится расширенное пространство состояния. Оценка степени подавления цветного шума в РНП осушествляется по матрице дисперсий вектора состояния.

На основе полученных выражений для дисперсий переменных состояния в работе показано, что выбором значений корней характеристического полинома РНП можно обеспечить близкое сглаживание влияния помех на оценки различных производных измеряемой переменной. При этом точность оценивания первой производной наблюдаемой переменной повышается на 37%, второй производной - на 87%.

В этой же главе показано, что предложенный градиентный регулятор позволяет скомпенсировать ограниченные неопределенности. Если неопределенным является возмущение 9, значение которого заключено в некотором известном интервале, т.е. а < 9 < с, то при подаче выхода градиентного регулятора к, в точку приложения возмущения 9 уравнения системы имеют вид

х = Ax + h(9-ur). (25)

Производная по времени градиентного управления иг определяется выражениями

уФ(х), if иг > с, Ф(х) > 0; iir = ■ уФ(х), if иг < а, Ф(х) < 0; уФ(х), otherwise-,

где у > 0 - постоянный параметр, функция Ф(х) определяется градиентом функции Ляпунова (3), т.е.

(dV(x)Y

дх ) •

Ф(х) = кТ

а функции ф и Ф определяются выражениями

f иг - а

Ф(*) =

В установившемся режиме иг = 9, что приводит к компенсации влияния неопределенного возмущения 9 . В работе показано, что применение данного метода компенсации неопределенности позволяет на 40% повысить точность оценивания координат объектов на земной поверхности, получаемых с помощью системы глобального позиционирования GPS.

В заключении сформулированы основные результаты работы. В приложении приведены документы, подтверждающие внедрение полученных результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Предложен метод синтеза и разработан алгоритм практической реализации градиентного регулятора путем преобразования его к последовательной схеме, что обеспечивает желаемое время регулирования в нелинейных системах управления при различных видах секторных нелиней-ностей.

Путем преобразования уравнений объектов к квазилинейной форме разработан метод синтеза нелинейных квазимодальных регуляторов, обеспечивающих заданные требования к качеству переходного процесса. Предложена процедура приведения уравнений объектов с дифференцируемыми нелинейностями к управляемой форме Фробенкуса, которая позволяет разработать аналитический метод синтеза квазимодальных регуляторов.

Разработан метод синтеза и алгоритм практической реализации нелинейных редуцированных наблюдателей переменных состояния для случая, когда неизмеряемые переменные входят линейно в уравнения объекта. При этом обеспечивается желаемое время оценивания. Для оценивания производных по времени предложено использовать рекуррентный наблюдатель производных. Получены условия огггимального выбора корней его характеристического уравнения, при которых обеспечивается практически одинаковое сглаживание случайных помех по всем производным наблюдаемой переменной.

Показана возможность компенсации ограниченных неопределенностей системы с помощью градиентного регулятора, что позволило повысить точность определения географических координат наземных объектов, получаемых с помощью спутниковой системы глобального позиционирования GPS.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кривовид1 A.A., Кривовид Е.В. Исследование абсолютной устойчивости колебательной системы. Оценка достаточности критерия Попова // V Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». Тезисы докладов. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. С. 176-177.

2. Кривовид A.A. Синтез градиентного управления для нелинейных объектов // 6-я Московская международная телекоммуникационная конференция студентов и молодых ученых «Молодежь и наука». Тезисы докладов. М.: Изд-во МИФИ, 2002. С. 256-257.

3. Гайдук А.Р., Ланская A.A. Градиентное управление возбуждением генератора постоянного тока // Известия ТРТУ. Тематический выпуск «Актуальные проблемы производства и потребления электроэнергии». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. № 7 (42). С. 7-14.

05-1 40 0 »

4. Ланская A.A. Градиентное управление возбуждением генератора постоянного тока И VII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». Тезисы докладов. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. С.189-190.

5. Ланская A.A. Градиентное управление производственными процессами // XVIII международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях-18». Сборник трудов. Т. 10. Казань: Изд-во КГТУ, 2005. С. 105-106.

6. Ланская A.A. Синтез нелинейных квазимодальных регуляторов // Информационные технологии моделирования и управления. Воронеж: «Научная книга», 2005, №3(21). С. 369-375.

Вклад автора в работы, написанные в соавторстве: [1] - исследована зависимость области устойчивости от параметров; [3] - предложена программная реализация градиентного управления.

До 2002 г. Ланская A.A. носила фамил'— ""-------

РНБ Русский фонд

i

г Таганрог, типография ТРТУ Заказ тираж 100 экз, 2005 г

Л Введение.

Глава 1. Краткий обзор существующих методов синтеза нелинейных регуляторов и наблюдателей.

1.1. Методы построения нелинейных регуляторов.

1.2. Методы оценивания состояния нелинейных систем.

1.3. Методы оценивания производных измеряемых переменных.

Актуальность темы. В настоящее время высокие требования к качеству и эффективности систем управления делают обязательным учет нелинейных явлений в динамических объектах. Традиционно используемые методы линейного приближения [33] практически всегда позволяют придать синтезируемой системе необходимые свойства, но лишь в малом. Однако мировой научно-технический. прогресс приводит к значительному усложнению элементов систем автоматического управления (САУ) и условий их функционирования. В современном мире возникает необходимость создания регуляторов, способных обеспечить работу объектов управления в условиях высоких температур, больших давлений, в критических и неустойчивых режимах при высоких скоростях и уровнях мощности. Как известно, для таких весьма интенсивных или даже предельных режимов работы характерны большие отклонения переменных, и, соответственно, адекватными могут быть только нелинейные модели объектов. Поэтому в большинстве случаев современные регуляторы и управляющие устройства реальных систем управления должны рассматриваться как нелинейные, то есть описываться нелинейными дифференциальными уравнениями.

Таким образом, основные проблемы создания современных регуляторов и других элементов систем управления связаны с изучением, анализом и синтезом нелинейных моделей. Проблема синтеза нелинейных регуляторов систем управления нелинейными объектами в отличие от линейных несравненно более сложная. Среди множества требований к синтезируемым системам первостепенным и фундаментальным является свойство асимптотической устойчивости заданной траектории движения. В свою очередь, задача устойчивости непосредственно связана с решением такой важнейшей проблемы теории автоматического управления, как синтез закона управления, то есть регулятора системы управления. Поэтому основная проблема синтеза нелинейных регуляторов и систем управления заключается в разработке общих методов, обеспечивающих асимптотическую устойчивость движения в целом или в большом с оценкой области притяжения.

В настоящее время разработано большое число методов синтеза нелинейных регуляторов и анализа нелинейных систем автоматического управления. Традиционными являются такие, как метод абсолютной устойчивости [33], гармонической линеаризации [87], оптимального управления [86]. Современные подходы, как правило, развиты на основе метода функций Ляпунова [10], предоставляющего большие возможности для исследования нелинейных систем. К ним относятся метод нелинейных преобразований переменных состояния системы [74, 24, 103], входных воздействий или выходов системы [46, 47], метод пассификации [76], нелинейное Н™ -управление [101].

В последние годы в работах, посвященных проблемам синтеза нелинейных регуляторов и систем управления, все чаще предлагаются аналитические методы анализа и синтеза на основе квазилинейного представления уравнений нелинейных систем [10, 20, 74, 19, 37]. Например, полиномиальный метод синтеза [20, 19, 99] позволяет при определенных условиях придать заранее заданные значения коэффициентам характеристического полинома функциональной системной матрицы. Использование квазилинейного представления уравнений нелинейной системы [37] является весьма перспективным, так как позволяет решать задачу синтеза регуляторов и других элементов нелинейных систем управления по аналогии с методами синтеза линейных систем.

Все существующие в настоящее время методы синтеза нелинейных регуляторов дают решение задачи лишь для объектов определенного класса. Поэтому задача построения регуляторов нелинейных систем остается актуальной и во многих аспектах еще не получила должного решения.

Целью диссертационной работы является синтез нелинейных регуляторов и наблюдающих устройств на основе квазилинейного представления с использованием метода функций Ляпунова. При этом модель системы может обладать некоторой неопределенностью.

Достижение поставленной цели осуществляется решением следующих задач:

- Разработка принципов построения градиентных регуляторов на основе функций Ляпунова, обеспечивающих возможность задания желаемой длительности процессов управления, а также создание алгоритмов и программ их реализации на ЭВМ;

- Исследование методики приведения квазилинейной системы к управляемой форме Фробениуса и разработка на ее основе процедуры синтеза нелинейного квазимодального регулятора;

- Разработка метода синтеза нелинейных наблюдателей переменных объекта на основе квазилинейного подхода и управляемой формы Фробениуса;

- Исследование качества сглаживания случайных ошибок оценок рекуррентным наблюдателем производных;

- Решение задачи компенсации неопределенностей динамических систем с помощью градиентного управления.

- Исследование нелинейных систем управления методами численного моделирования на ЭВМ.

Методы исследования. Поставленные в работе задачи решаются на основе теории дифференциальных уравнений, включая аппарат преобразований Лапласа, теории матриц и матричных форм, теории оценивания, теории устойчивости, теории фильтрации, теории моделирования, методов пространства состояний, методов модального и оптимального управлений. При численном моделировании и исследовании разработанных регуляторов, систем управления и их элементов использовался пакет программ Ма^аЪ 6.1.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Метод синтеза градиентного регулятора и способ его практической реализации;

2. Методика приведения квазилинейной системы к управляемой форме Фробениуса и метод синтеза квазимодального регулятора;

3. Методика синтеза нелинейного редуцированного наблюдателя переменных состояния объектов на основе управляемой формы Фробениуса;

4. Исследование случайных ошибок оценивания производных рекуррентным наблюдателем;

5. Алгоритмы и программы моделирования на ЭВМ нелинейных регуляторов и элементов систем управления.

Новизна научных результатов:

Новизна предложенной методики синтеза нелинейного градиентного регулятора на основе функций Ляпунова заключается в возможности его реализации при последовательном включении с объектом управления. При этом обеспечивается устойчивость и желаемая длительность переходного процесса нелинейной системы управления.

Разработанная процедура синтеза нелинейного квазимодального регулятора на основе управляемой формы Фробениуса позволяет применить модальное управление к синтезу нелинейных регуляторов и обеспечить требуемую длительность переходных процессов.

При найденных в работе новых условиях выбора корней характеристического уравнения рекуррентного наблюдателя производных обеспечивается близкое сглаживание случайных помех по всем производным наблюдаемой переменной, что позволяет улучшить качество функционирования систем с квазимодальиым регулятором.

Разработанный метод компенсации неопределенностей динамических систем с помощью градиентного управления позволяет повысить точность измерительных систем и систем автоматического управления.

Практическая ценность полученных в диссертационной работе результатов заключается в конструктивности и практической направленности процедур синтеза регуляторов и наблюдателей, позволяющих учесть требование сохранения устойчивости при наличии неопределенности в модели системы и возможности придания системе управления желаемых характеристик. Кроме того, разработанные элементы систем управления отличаются широкой областью применения, которая включает в себя системы управления летательными аппаратами, энергетическими установками, процессами измерения географических координат объектов и другими. Разработанные методики синтеза и моделирования реализованы в виде программных продуктов. Они позволяют получить обоснованные заключения о свойствах исследуемых систем при незначительных затратах временных и материальных ресурсов.

На основе полученных результатов решен ряд задач синтеза реальных регуляторов и наблюдателей переменных состояния и их производных по времени (системы стабилизации корабля или подводного транспортного средства, напряжения генератора постоянного тока, угла тангажа летательного аппарата и др.).

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- пятой всероссийская научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2000);

- открытом конкурсе на лучшую работу студентов и аспирантов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в высших учебных заведениях РФ (2001);

- шестой Московской международной телекоммуникационной конференции студентов и молодых ученых «Молодежь и наука» (Москва, 2002);

- седьмой Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2004);

- международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях-18» (Казань, 2005);

- на ежегодной конференции профессорско-преподавательского состава ТРТУ в 2005 г.

Результаты диссертационной работы использовались в ОКБ «Миус» при ТРТУ при разработке проектов систем мониторинга САУ, в ООО НПК «Бюро Кадастра Таганрога» при разработке алгоритма программы обработки географических координат наземных объектов для приемников спутниковой системы глобального позиционирования GPS, а также в учебном процессе в курсе «Теория автоматического управления», что подтверждается соответствующими актами о практическом использовании.

По теме диссертационной работы опубликовано семь печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 105 наименований, и приложения. Общий объем работы составляет 157 страниц и содержит 47 рисунков и 1 таблицу.

4.6. Основные результаты и выводы

1. Разработан метод синтеза нелинейных редуцированных наблюдателей переменных состояния для случая, когда неизмеряемые переменные входят линейно в уравнения объекта. При этом обеспечивается желаемое время оценивания.

2. Для оценивания производных по времени при реализации квазимодальных регуляторов предложено использовать рекуррентный наблюдатель производных. Найдены условия оптимального выбора корней характеристического уравнения рекуррентных наблюдателей производных, при которых обеспечивается практически одинаковое сглаживание-случайных помех по всем производным наблюдаемой переменной. При этом точность оценивания первой производной наблюдаемой переменной повышается на « 37%, второй производной - на «116%. Показана возможность компенсации ограниченных неопределенностей системы с помощью градиентного регулятора, что позволило повысить точность определения географических координат наземных объектов, получаемых с помощью спутниковой системы глобального позиционирования GPS, на 40%.

Указанные выше результаты подтверждены численным моделированием нелинейных систем на ЭВМ. Разработаны требования к архитектуре и базовым параметрам микроконтроллерных средств реализации нелинейных систем. •

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложен метод синтеза и разработан алгоритм практической реализации градиентного регулятора путем преобразования его к последовательной схеме, что обеспечивает желаемое время регулирования в нелинейных системах управления при различных видах секторных нелиней-ностей.

Разработан метод синтеза нелинейных квазимодальных регуляторов путем преобразования уравнений объектов к квазилинейной форме, обеспечивающих заданные требования к качеству переходного процесса. Предложена процедура приведения уравнений объектов с дифференцируемыми нелинейностями к управляемой форме Фробениуса, которая позволяет разработать аналитический метод синтеза регуляторов. Синте-зирвоанный квазимодальный регулятор позволяет увеличить диапазон регулируемых переменных в 6 раз по сравнению с традиционным линейным регулятором.

Разработан метод синтеза нелинейных редуцированных наблюдателей переменных состояния для случая, когда модель объекта с дифференцируемыми нелинейностями содержит подсистему, в которую неизмеряемые переменные входят линейно. При этом обеспечивается желаемое время оценивания.

Для оценивания производных по времени предложено использовать рекуррентный наблюдатель производных. Получены условия оптимального выбора корней его характеристического уравнения, при которых обеспечивается практически одинаковое сглаживание случайных помех по всем производным наблюдаемой переменной. Использование данного условия позволяет повысить точность оценивания первой производной наблюдаемой переменной на « 37%, второй производной - на «116%. Показана возможность компенсации ограниченных неопределенностей системы с помощью градиентного регулятора, что позволило повысить точность определения географических координат наземных объектов, получаемых с помощью спутниковой системы глобального позиционирования GPS, на 40%.

Указанные выше результаты подтверждены численным моделированием нелинейных систем на ЭВМ. Разработаны требования к архитектуре и базовым параметрам микроконтроллерных средств реализации нелинейных систем.

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М., 1963.

2. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высшая школа. 1989.

3. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JL. Управление хаосом: методы и приложения. I. Методы // АиТ. 2003. № 5.

4. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физ-матгиз 1959.

5. Бакан Г.М., Одинцова Е.А. Наблюдатель для одного класса линейных ' систем, обеспечивающий получение точечной и множественной оценок состояния // АиТ. 1986. № 5.

6. Балакришнан A.B. Теория фильтрации Калмана. М.: Мир. 1988.

7. Барабанов А.Е., Лукомский Ю,А., Мирошников А.Н. Адаптивная фильтрация при неизвестной интенсивности шумов и возмущений // АиТ. 1992. №11.

8. Барабанов Н.Е., Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Лихтарников А.Л., Матвеев A.C.,- Смирнова В.Б., Фрадков А.Л. Частотная теорема (лемма Якубовича -Калмана) в теории управления // АиТ. 1996. № 10.

9. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука. 1967.

10. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

11. Боголюбов H.H., Крылов Н.М. Введение в нелинейную механику. Киев. 1937.

12. Босов A.B., Панков А.Р. Робастное рекуррентное оценивание процессов в стохастических системах // АиТ. 1992. № 9.

13. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В. Многократное дифференцирование финитных функций с использованием теоремы отсчетов в задачах оценивания, управления и идентификации // АиТ. 1996. № 4.

14. Воронов A.A. и др. Основы теории автоматического регулирования и управления. М.: Высшая школа. 1977.

15. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979,

16. Воронов B.C. Показатели устойчивости и качества робастных систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. № 6.

17. Гайдук А.Р. Алгоритмическое обеспечение самоорганизующихся регуляторов с экстраполяцией // Известия АН. Теория и СУ. 2002. № 3.

18. Гайдук А.Р. Аналитические методы анализа и синтеза систем автоматического управления. Ростов-на-Дону: РГУ, 1988.

19. Гайдук А.Р. Аналитический синтез управлений нелинейными объектами одного класса // АиТ. 1993. № 2.

20. Гайдук А.Р. Выбор обратных связей в системе управления минимальной сложности // АиТ. 1990. №5.

21. Гайдук А.Р. Математические основы систем автоматического управления. М.: Фирма «Испо-Сервис», 2002. 152 с.

22. Гайдук А.Р. Об ограничениях, обусловленных заданной частью системы и управляющим устройством // Известия вузов. Приборостроение. 1987. №5.

23. Гайдук А.Р. Оценивание переменных состояния нелинейных систем // АиТ. 2004. №1.

24. Гайдук А.Р. Полиномиальный синтез нелинейных систем управления// АиТ. 2003. № 10.

25. Гайдук А.Р. Синтез систем автоматического управления по передаточным функциям // АиТ. 1980. № 1.

26. Гайдук А.Р. Теория автоматического управления. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004.

27. Гайдук А.Р., Медведев М.Ю. Модальное управление объектами с неизвестной моделью. Сб. Синтез алгоритмов сложных систем. Москва Таганрог, 1997. • •

28. Гайдук А.Р., Ланская A.A. Градиентное управление возбуждением генератора постоянного тока. Известия ТРТУ. Актуальные проблемы производства и потребления электроэнергии. № 7, 2004 г.

29. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1988, 548 с.

30. Глумов В.М., Земляков С.Д., Рутковский В.Ю. О некоторых алгоритмах управления нестационарными динамическими системами // Изв. РАН. ТиСУ. 1998. № 2.

31. Голубев Г.А. Минимаксные линейные динамические фильтры минимальной размерности координат линейных динамических объектов // АиТ. 1986. № 6.

32. Гордиенко Е.К., Лукьянуца A.A. Искусственные нейронные сети. I. Основные определения и модели // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1994. № 5.

33. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

34. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. М.: Наука. 1970.

35. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и ^преобразования. М.: Наука. 1971.

36. Джури Э.И. Робастность дискретных систем // АиТ. 1996. № 5.

37. Егоров И.Г-.'К устойчивости в целом нулевого решения системы двух дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1991. Т.27. № 9.

38. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Наука. 1972;39. -Зубов В.И. Методы A.M. Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ. 1957. •

39. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение. 1974.

40. Калман Р., Фалб П., Абриб М. Очерки по математической теории систем. М.: 1971.

41. Квакернаак .X., Сиваи Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

42. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. М.: Энерго-атомиздат, 1994.

43. Колесников A.A., Гайдук А.Р., Бирко В.В. Синтез оптимальных систем управления при наличии воздействий. Учебное пособие. Таганрог. 1988.

44. Колесников A.A., Медведев М.Ю. Современные методы синтеза систем управления. Таганрог; Изд-во ТРТУ, 2003 г.

45. Королев С.М., Мирошник И.В. Анализ динамики и управление пространственным движением нелинейных динамических систем // АиТ. 2000. №1.

46. Краснова С.А., Уткин В.А., Михеев Ю.В. Каскадный синтез наблюдателей состояний нелинейных многомерных систем // АиТ. 2001. № 2.

47. Красовский A.A. Адаптивный оптимальный регулятор с переменным порядком наблюдателя и временем экстраполяции // АиТ. 1994. № 11.

48. Красовский A.A. Теория самоорганизующегося оптимального регулятора биномиального типа в детерминировано-стохастическом приближении // АиТ. 1999/№5.

49. Красовский A.A., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.-Л.: Госэнергоиздат. 1962.

50. Кривовид A.A. Синтез градиентного управления для нелинейных объектов /V Молодежь и наука: Сб. докладов 6-й Московской межд. телеком, конф. студентов и молодых ученых. М.: 2002 г.

51. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение. 1982.

52. Кухтенко А.И. Основные этапы формирования теории инвариантности.

53. Основополагающие работы. АН УССР. Автоматика. 1984. № 2.

54. Кухтенко А.И. Основные этапы формирования теории инвариантности.

55. Расширение тематики исследований. АН УССР. Автоматика. 1985. № 2.

56. Ланская A.A. Градиентное управление возбуждением генератора постоянного тока // Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления: Сб. докладов 7-й Всеросс. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. Таганрог. 2004 г.

57. Ланская A.A. Градиентное управление производственными процессами // XVIII Международная научная конференция «Математические методы в технике и- технологиях-18». Сборник трудов. Т. 10. Казань: Изд-во КГТУ, 2005. С.

58. Ланская A.A. Синтез нелинейных квазимодальных регуляторов // Сб. докладов. Таганрог. 2005.

59. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Методы A.M. Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ. 1957.

60. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз. 1962.

61. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: 1951.

62. Макаров И.М. и др. Новое поколение интеллектуальных регуляторов// Приборы и системы управления // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1992. № 4.

63. Маликов А.И., Матросов В.М. Вектор функции Ляпунова в анализе динамических свойств систем со структурными изменениями // Изв. РАН. ТиСУ. 1998. № 2.

64. Мандалыптам Л.И. и др. Новые исследования в области нелинейных колебаний. 1936.

65. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1985.

66. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред.

67. A.A. Воронова, В.М. Матросова. М.: Наука. 1987.

68. Метод Гольфарба в теории регулирования (сборник статей). М. 1962.

69. Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем / Под ред.

70. B.М. Матросова, Р.И. Козлова. Новосибирск: Наука, Сиб. отдел. 1983.

71. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.

72. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики, М.: Наука, 1981г.

73. Мороз А.И. Курс теории систем: Учебное пособие. М.: Высшая школа. 1987.

74. Небылов A.B. Дифференцирование сигнала с ограниченными дисперсиями производных в шумах // АиТ. 1992. № 3.

75. Основы идентификации систем управления. М.: Мир. 1975.

76. Пирагас К.А., Жданов В.И., Александров А.Н., Кудря Ю.Н. Качественные и аналитические методы в релятивистской динамике. М.: Энергоатомиз-дат. 1995.

77. Полушин И.Г., Фрадков А.Л., Хилл Д.Д. Пассивность и пассификация нелинейных систем // АиТ. 2000. №3.

78. Поктрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М. 1969.

79. Попов В.М. Критерий качества нелинейных регулируемых систем. В кн.: Труды Первого международного конгресса ИФАК по автоматическому управления. Т. 1. М. 1961.

80. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз. 1960.

81. Применение фильтра Калмана в навигационной аппаратуре (перевод «Навгеоком» статьи из журнала GPS World) Электронный ресурс.: Режим доступа: http://www.navgeocom.ru/gps/kaIman/index.htm Загл. с экрана.

82. Пьявченко Т.А. Программа, методические указания и контрольные работы по дисциплине «Технические средства автоматизации и управления» //. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003.

83. Руш П., Абетс П., Лалуа П. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир. 1980.

84. Салычев О.С. Скалярное оценивание многомерных динамических систем. М.: Машиностроение. 1987.

85. Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управле-ujwkM.: Наука. 1980.

86. Современная прикладная теория управления: Синергетическии подход в теории управления/ Под ред. A.A. Колесникова. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.4.II.

87. Справочник по ТАУ. Под ред. Красовского A.A. М., Наука, 1987 г.

88. Теория автоматического управления. Нелинейные системы, управления при случайных воздействиях. Под ред. A.B. Нетушила. М.: Высшая школа, 1983 г.

89. Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных систем управления: теоретические и прикладные аспекты (обзор) // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1991. № 3.

90. Фельдбаум A.A., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука. 1971.

91. Харитонов B.JI. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 11.

92. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: ГИТТЛ, 1956. 270 с.

93. Шильман С.В. Адаптивное прогнозирование временных рядов при наличии систематической составляющей // Теория и системы управления. 1996. №2.

94. Шильяк Д. Неопределенные системы. М.: Мир, 1995.

95. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования // Тр. межвуз. конф. По прикладной теории устойчивости движения и аналитич. механике (Казань, 1962). Казань: КАИ, 1964. С. 135-142.

96. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // ДАН СССР. 1962. Т.143. №6. •

97. Byrnes S.I., Isidori A., Willems J.C. Passivity, feedback equivalence and tha global stabilization of minimum phase nonlinear systems // IEEE Trans. Aut.Contr. 1991. V. AG-36. № 11.

98. Carr J.- Applications of Centre Manifold Theory. 1981.21. Ciccarella G., Dalla M.M., German A. A Luenberger-lake observer for nonlinear systems // Int. J. Control. 1993. V. 57. № 3.

99. Fitts R.E. Two conterexamples to Aizerman's conjecture. IEEE Trans. On Automatic Control, July 1966, v. AG-11, №3, p. 553 - 556.

100. Gaidulc A.R. Polinomial design of the stochastic optimal, minimal complication systems / Proc. of 14thIFIP-Conference «System modeling and optimization», Leipzig, July 3-7, 1989. P. 611-615.

101. Hermes H. Onastabilising Feedback Attitude Control. J. Optimizat. Theory an Appl. 1980. Vol. 31. №3. P. 343 384.

102. Isidory A., Astolfi A. Disturbance attenuation and H00 -control via measurement feedback in nonlinear systems // IEEE Trans. On Automat. Control. 1992. V.AC-37. .

103. Isidori A. Nonlinear control systems. N.Y.: Springer-Verlag, 1995.

104. Luenberger D.G. Canonical forms for linear multivariable systems // IEEE Trans on Automat. Control. 1967. V. AC-12.

105. Proichev Ph., Mishkov R.L. Transformation of nonlinear systems in observer canonical form with reduced dependency on derivatives of the input // Automatica. 1993. V. 29. № 2.

106. Thor I.Fossen, John-Morten Godhavn. MIMO backstepping designs for nonlinear systems with different relative degrees.