автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методика и алгоритмы обработки информации для интерактивного исследования поведения нелинейных динамических систем

005008122 С/'

Кононова Александра Игоревна

Методика и алгоритмы обработки информации для интерактивного исследования поведения нелинейных динамических систем

Специальность: 05.13.01—Системный анализ, управление и обработка информации (в приборостроении)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

1 Э ЯНВ 2012

Москва — 2012

005008122

Работа выполнена на кафедре информатики и программного обеспечения вычислительных систем Национального исследовательского университета «МИЭТ».

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Доктор технических наук, профессор,

Трояновский Владимир Михайлович

Доктор физико-математических наук, профессор,

Кожухов Игорь Борисович

Кандидат технических наук, Степанов Андрей Михайлович

ОАО «Ангстрем-М» .Ло

2012 г. в часов на заседании дис-

Ведущая организация:

Защита состоится «» сертационного совета Д.212.134.02 при Национальном исследовательском уни верситете «МИЭТ»: 124498 Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5, МИЭТ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследова тельского университета «МИЭТ».

Автореферат разослан « И » А 2012 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д.212.134.02, доктор технических наук, доцент

Гуреев А. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Исследование поведения нелинейных динамических систем (НДС) является распространённой задачей во многих областях человеческой деятельности. Это приборостроение, синергетика, управление качеством, математика и физика, теория управления, радиоэлектроника, экономика, биология, социология, медицина и другие.

Научно-технический прогресс привёл к созданию приборов и устройств, использующих компьютерные структуры и наноматериалы. Это приборы, применяемые в системах связи, обработки информации, радиоэлектронного противодействия, радиолокации, в телекоммуникационных, медицинских и военных системах. Процессы, происходящие при функционировании таких приборов и устройств (переходные процессы, генерация импульсов, искажение сигнала, паразитные колебания, тиристорный и другие нелинейные эффекты в электронике), как правило, анализируют с помощью нелинейных динамических моделей.

На этапе проектирования нелинейных динамических систем требуется разработка специальных методик и алгоритмов обработки информации для исследования поведения таких систем. В частности, для эффективного управления нелинейной динамической системой необходимо иметь представление о её свободном поведении (без влияния внешних воздействий), об условиях, при которых нелинейная динамическая система приходит к устойчивому состоянию, о значениях параметров, при которых система обеспечивает необходимые характеристики функционирования.

Исследованием нелинейных динамических систем занимались такие учёные, как А.Н. Колмогоров, В. И. Арнольд, Ю.С. Ильяшенко, С. П. Капица, И. Пригожин, Г. Хакен и др. Нелинейный характер уравнений потребовал привлечения качественных методов анализа (А. А. Андронов, Е. А. Леонтович), и, соответственно, топологической теории, а для разработки эффективных практических алгоритмов — численных методов и интерактивных алгоритмов обработки информации (Г. А. Леонов). Исследованием устойчивости НДС в задачах механики занимались А. М. Ляпунов, Дж. Д. Биркгоф, Н. Е. Жуковский, В. Н. Рубановский и др. Их работы явились основополагающими при решении многих научно-технических проблем.

При исследовании поведения динамической системы, помимо нелинейности, существенными являются возможная вырожденность предельных множеств траекторий, априорная неопределённость относительно расположения особых точек, их бассейнов и разграничительных линий. Особенности применения теории качественного анализа для описания поведения системы вблизи вырожденных особых точек рассматривались Е. А. Леонтович, Ф. Холмсом и др. Привлечение к решению этой задачи широкого круга специалистов и разнообразных методов для анализа поведения нелинейных динамических систем лишь

подчёркивает нерешённость проблемы и позволяет уверенно говорить об актуальности выбранной темы диссертации. Объект и предмет исследований

Объектом исследований являются системы, состояние которых описывается нелинейными динамическими уравнениями, аналитическое решение которых затруднено или на современном этапе вообще невозможно.

Предметом исследований являются методы и алгоритмы исследования возможных путей развития таких систем.

Проблемная ситуация определяется недостаточной функциональностью известных методик и программных средств обработки информации для анализа поведения нелинейных динамических систем для принятия решения, в то время как они востребованы во многих областях науки и техники, и, в частности, определяют уровень развития современного приборостроения.

Целью диссертации является разработка и программная реализация методики и алгоритмов обработки информации для интерактивного исследования поведения нелинейных динамических систем на основе математического моделирования с учётом возможной вырожденности особых точек и технологических ограничений.

В соответствии с указанной целью в работе решаются следующие задачи:

- анализ современного состояния проблемы исследования нелинейных динамических систем;

- анализ траекторий как путь к созданию методики исследования нелинейных динамических систем;

- разработка методики и алгоритмов обработки информации для интерактивного исследования нелинейных динамических систем;

- программная реализация методики и алгоритмов исследования нелинейных динамических систем в виде программного комплекса исследования динамических систем (ПК ИДС);

- практическое использование разработанных методики, алгоритмов и сравнение ПК ИДС с существующими программными продуктами. Методы исследования. Теоретическую и методологическую базу исследования составили методы математического анализа, теории системного анализа, теории автоматического управления, теории принятия решений, теории дифференциальных уравнений и векторных полей, численные методы расчёта, а также компьютерное моделирование на этапе верификации результатов.

Научная новизна. Диссертационная работа представляет собой совокупность научно обоснованных технических разработок, направленных на создание методик, алгоритмов и комплекса программных средств исследования нелинейных динамических системам на основе разработанных методики и алгоритмов, обеспечивающих сокращение времени исследования.

В процессе исследований и разработок получены следующие новые научные результаты.

1. Предложено формализованное представление задачи выбора траекторий для визуализации фазового портрета нелинейной динамической системы, основанное на методах теории графов и учитывающее значимость построенных траекторий развития для управления системой и трудоёмкость их построения.

2. Разработаны алгоритмы поиска сепаратрис двумерной динамической системы:

1) в окрестности особой точки;

2) на основе сравнения кривизны траекторий;

3) на основе изменения расстояний между соседними траекториями.

3. Впервые предложена методика для интерактивного исследования нелинейной динамической системы, основанная на приёмах качественного анализа динамических систем и численных методов, реализованных в компьютерных расчётах.

4. Создана программная реализация методики и алгоритмов качественного анализа нелинейной динамической системы, использующая интеллектуальные директивы пользователя, вносимые в интерактивном режиме. Достоверность полученных результатов подтверждается теоретическими доказательствами и соответствием компьютерного моделирования результатам теоретического анализа.

Разработанное программное обеспечение фактически используется на предприятии приборостроения НПП «ОПТЭКС» и обеспечивает снижение времени использования вычислительных средств при моделировании нелинейно-стей в узлах приборов на 10%.

Практическая ценность работы.

Результаты исследования доведены до конкретных методик, алгоритмов и их программной реализации в виде программного комплекса для исследования нелинейных динамических систем и ориентированы на применение комплексной методики исследования нелинейных динамических систем для принятия управленческих решений. Программная реализация обеспечивает уменьшение количества необходимых для выявления структуры фазового портрета траекторий в среднем в 5 раз по сравнению с расчётами в узлах координатной сетки; повышение скорости прорисовки одного экрана с графическими элементами на порядок и более по сравнению с аналогичным инструментом МАТЬАВ при одновременном снижении требований к ОЗУ и ЦП в 2-4 раза. Самостоятельное практическое значение имеют:

- методика интерактивного исследования нелинейной динамической системы;

- программная реализация методики и алгоритмов обработки информации для исследования поведения нелинейных динамических систем в виде ПК НДС, зарегистрированная в РОСПАТЕНТ (свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2010611541).

Практическая значимость подтверждена актом внедрения результатов диссертационной работы в учебном процессе МИЭТ и использования их в НПП «ОПТЭКС» при моделировании системы управления двигателем ЗДБМ185.

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно, в том числе:

1. Разработаны алгоритмы поиска сепаратрис:

1) в окрестности особой точки;

2) на основе сравнения кривизны траекторий;

3) на основе изменения расстояний между соседними траекториями.

2. Разработана методика для интерактивного исследования нелинейной динамической системы.

3. Осуществлена программная реализация разработанных методики и алгоритмов (свидетельство о регистрации программы для ЭВМ №2010611541).

4. Верифицированы разработанные методика и алгоритмы путём вычислительных экспериментов.

5. На основе полученных результатов сформулированы предложения о программной реализации методики исследования НДС в соответствии с тематическим планом НИР МИЭТ, в соответствии с чем получено решение об открытии НИР «Визуализация эволюции нелинейных динамических систем в области управления техническими и синергетическими объектами на основе информационных технологий и методов» в рамках АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» (шифр ГБ 7.1534.2011).

При практической разработке программного обеспечения в соответствии с темой «Визуализация эволюции нелинейных динамических систем в области управления техническими и синергетическими объектами на основе информационных технологий и методов» (ГБ 7.1534.2011) написаны программы, которые позволяют эффективно исследовать поведение сложных НДС независимо от вырожденности особых точек и технологических ограничений, а также в значительной мере сокращают время использования вычислительных средств.

Реализация полученных результатов. Диссертационная работа выполнялась в соответствии с планом научно-технических исследований кафедры «Информатика и программное обеспечение вычислительных систем» НИУ «МИЭТ» в рамках международной научной школы «Микроэлектронные информационно-управляющие системы и комплексы» и аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)». Работа заняла I место на проводившемся в 2011 году всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки по направлению «Оптимальное управление».

Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс кафедры ИПОВС в материалах курсов «Программное обеспечение управляю-

щих систем» и «Системный анализ и математическое моделирование», читаемых для старших курсов специальностей №080801.65, 230105.65, 230105.62, 230105.68; а также использованы в НПП «ОПТЭКС» при модернизации системы СПСИ-108 ФТ, содержащей двигатель ЗДБМ185 с нелинейностью в виде петли гистерезиса. Интерактивное исследование нелинейной динамической модели системы управления двигателем с помощью ПК ИДС позволило уменьшить время разработки узла прибора на 10%.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Разработанное формализованное представление задачи принятия решения об управлении нелинейной динамической системой, основанное на методах теории принятия решений и теории графов, приводит к необходимости построения сепаратрис системы.

2. Анализ изменения расстояний между соседними траекториями даёт возможность построить алгоритм поиска сепаратрис двумерной динамической системы с высокой алгоритмической надёжностью.

3. Использование кривизны траекторий даёт возможность построить алгоритм поиска сепаратрис двумерной динамической системы, позволяющий рассчитывать сепаратрисы с высоким быстродействием.

4. Разработанная методика и алгоритмы, а также их программная реализация в виде интерактивного исследовательского программного комплекса с привлечением интеллекта пользователя создают синергетический эффект за счёт сочетания неформального мышления человека, делающего в процессе исследования промежуточные выводы, вычислительной мощи ЭВМ, и возможности объединить эти две ветви обработки в непрерывный процесс.

5. Компьютерное моделирование позволило осуществить верификацию разработанных методик и алгоритмов, а также установить их высокую эффективность в сравнении с известными.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы представлены на 13 международных, всероссийских и межвузовских форумах:

1. 9-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика—2002», Москва, МИЭТ, 2002.

2. Четвёртая международная научно-практическая конференция «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», Санкт-Петербург, 2007.

3. Десятый всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия), Сочи-Дагомыс, 2009.

4. 3-я Всероссийская межвузовская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы информатизации в науке, образовании и экономике», Москва, МИЭТ, 2009. Доклад занял 1 место и отмечен дипломом.

5. 13-я Международная-телекоммуникационная конференция студентов и молодых учёных «Молодёжь и наука», Москва, МИФИ, 2010.

6. IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Кисловодск, 2010.

7. VII Международная Интернет-конференция «Актуальные вопросы современной науки», Таганрог, 2010.

8. Научно-практическая конференция «Инновационные образовательные технологии», Москва, 2010.

9. 17-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика—2010», Москва, МИЭТ, 2010. Доклад занял 2 место по секции «Автоматизированные информационные системы и информационные технологии» и отмечен дипломом.

10. 2-я конференция с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения», Москва, ИЛУ РАН, 2010.

11. Международная научная школа «Микроэлектронные информационно-управляющие системы и комплексы», Москва, МИЭТ, 2010. Доклад занял 2 место и отмечен дипломом.

12. Четвёртая Международная конференция «Системный синтез и прикладная синергетика» (ССПС-2011), Пятигорск, 2011.

13. Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки, Москва, РГСУ, 2011. Работа заняла I место по направлению «Оптимальное управление» и отмечена дипломом.

По результатам исследований опубликовано 15 печатных работ (7 работ — без соавторов), из них 1 статья и 2 расширенных тезисов — в изданиях, входящих в перечень ВАК. и 8 статей в сборниках трудов конференций. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений, содержащих листинги программ и акты о внедрении результатов работы. Введён глоссарий. Общий объём диссертационной работы: 123 страницы машинописного текста, 8 таблиц и 48 рисунков.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе проводится анализ современного состояния методов принятия решений и проблемы анализа нелинейных динамических систем для прогнозирования их поведения. Выявлена необходимость исследования нелинейной динамики режимов работы проектируемых приборов для систем связи, ра-

диолокации, телекоммуникационных, медицинских и военных систем. В настоящее время при разработке нанотехнологий активно используют нелинейные динамические модели.

Рассмотрены различные подходы к исследованию поведения динамических систем и их синтеза, алгоритмы и методики, используемые при обработке информации и визуализации развития нелинейных систем. Выявлен комплекс взаимосвязанных проблем из области принятия решений, математического обоснования методики анализа НДС и построения эффективного инструментария. Проведённый обзор известных результатов для математического обоснования методов анализа НДС показал, что в современной математике здесь наиболее значима теория качественного анализа. При этом, как правило, используется представление системы в пространстве состояний в виде уравнений в форме Коши:

§-*мо. (и

Выделены такие компоненты проблемной ситуации при анализе поведения системы, как нелинейность описывающих систему уравнений, вырожденность особых точек системы, и сложность или невозможность аналитического исследования системы уравнений, наличие технологических ограничений.

Для оценки эффективности исследования нелинейных динамических систем с помощью современных программно-аналитических средств рассмотрены известные в настоящее время комплексы XPPAUT, MATCONT, PHASER, НДС. Отмечены ограничения, препятствующие их широкому применению при исследовании нелинейных динамических систем.

Выводы по первой главе включают следующие положения:

1. Методика аналитического исследования сложных нелинейных динамических систем, учитывающая в полной мере комплекс системных требований в рассматриваемой области, в настоящее время не разработана в должной мере.

2. Перспективной является разработка методик, алгоритмов и программных средств, совмещающих современные приёмы качественного анализа динамических систем с численными методами исследований. Для их эффективного использования разрабатываемые средства должны включать элементы интерактивности.

Во второй главе проведена формализация задачи анализа значимости траекторий для принятия решений об управлении НДС (с привлечением теории графов и теории принятия решений).

Пусть задано множество начальных состояний, в которых может находиться система. Для каждой траектории развития определено число щ — трудоёмкость построения траектории г. Для каждой траектории i и каждого решения j определено число —значимость траектории г для принятия решения j, равное 0, если добавление г-й траектории к картине поля не влияет на принятие или отклонение решения j, и не равное 0 в противном случае.

Для дальнейшего анализа принята нормировка величин значимости в пределах от 0 до 1.

Формализуем постановку задачи: построим такой трёхдольный граф (■?

г == {*}, Т = {*,}, С = {с,}, г = 1,2,... N. О = 1,2,... М, ™

что вершины множества Z отвечают возможным начальным точкам вершины множества Т—построенным из них траекториям, вершины множества С — принимаемым решениям об управлении, II — рёбра графа, N — общее количество построенных траекторий, М — количество возможных решений (рис. 1).

Каждая вершина 2 и Т характеризуется определёнными значениями параметров, физический смысл которых зависит от природы системы, каждое ребро (2, Т) — трудоёмкостью построения соответствующей траектории, каждое ребро (Т, С) — значимостью соответствующей траектории для принятия решения.

Каждому ребру (г», ¿¿) 6 и присваивается вес, равный а каждому ребру (и, су) € 11 — вес, равный

Тогда задача выбора траекторий для принятия того или иного решения формулируется как задача максимизации суммарной значимости построенных траекторий при минимальной суммарной трудоёмкости их построения.

Формальная постановка задачи имеет следующий вид:

м

.7=1

при

N

Т^ /ij —г rran, (4)

t=i

где £ — суммарная значимость траекторий, построенных для принятия решения j, ¡ii — трудоёмкость построения г-й траектории.

Поскольку критерии (3) и (4) являются конкурирующими, то для поиска области возможных компромиссов из множества всех возможных решений исключаются заведомо неприемлемые, то есть те, для которых есть решение, превосходящее данное по какому-либо из этих критериев, и не уступающее по другому.

Для разрешения возникшего противоречия используется один из методов теории принятия решений, а именно принцип оптимальности Эджворта—Па-рето, предписывающий искать приемлемое решение в множестве недоминируемых решений. Таким образом, выбранное по этому принципу решение будет по крайней мере не хуже любого другого. На основе аксиом теории принятия решений доказана возможность использования принципа Эджворта—Парето.

Для определения значимости траекторий предложена специальная методика с использованием экспертных оценок.

Проведённые в рамках данного исследования экспертные оценки показывают, что:

- при наличии группы похожих траекторий их суммарная значимость равна значимости любой одной из них;

- значимость траектории, разграничивающей две группы качественно разных траекторий, превышает значимость любой другой траектории из этих групп.

В результате анализа, проведённого в главе 2, и разработанного формализованного представления задачи о выборе траекторий сделаны выводы:

1. Противоречия многокритериальной задачи выбора траекторий для расчёта разрешаются средствами многокритериальной оптимизации теории принятия решений, а именно—применением принципа оптимальности Эджворта—Парето.

2. Предложена и реализована методика определения значимости траекторий.

3. Наибольшую значимость имеют сепаратрисы—разделительные линии между бассейнами траекторий.

В третьей главе разработаны методика и алгоритмы анализа поведения нелинейных динамических систем на основе алгоритмов численного поиска сепаратрис в фазовом пространстве системы.

Для случая, когда в области технологических ограничений находятся особые точки (вырожденные или невырожденные), разработан алгоритм построения сепаратрис в окрестности особой точки.

Для построения сепаратрис независимо от вырожденности и положения особых точек разработаны два алгоритма: на основании анализа кривизны траекторий и на основании анализа их орбитной устойчивости.

В качестве основного метода выделения сепаратрисы среди «пучка» соседних траекторий выбран анализ орбитной неустойчивости траекторий (рис. 3), обеспечивающий, как известно из методов качественного анализа, нахождение всех возможных сепаратрис в заданной области.

Сформулированы следующие положения для построения сепаратрис по этому методу.

1. Выбираются траектории «пучка» (совокупности соседних траекторий), попарные расстояния между которыми в начальный момент времени одинаковы.

2. Для нахождения сепаратрис в этом «пучке» необходимо проанализировать расходились ли траектории в прошлом и будут ли расходиться в будущем.

3. Анализируя попарные расстояния между соседними траекториями пучка, можно определить, есть ли в «пучке» сепаратриса и выделить её. Формально это описывается следующим образом.

Выберем на отрезке соседних траекторий, попарные расстоя-

ния между которыми в некоторый начальный момент ¿о одинаковы (рис. 2).

г=0

Рис. 2. К оценке ш-орбитной устойчивости траекторий

Для оценки орбитной устойчивости при Ь -)• +со (или ш-орбитной устойчивости) необходимо построить фрагменты положительных полутраекторий из каждой точки £*, соответствующие поведению системы на интервале времени [¿о, где 4 > ¿о, как показано на рис. 2. В пространстве состояний используется стандартная евклидова метрика.

Обозначим расстояние между конечными точками построенных фрагментов положительных полутраекторий Ь* и как

|<ЩЧ = - = <1

¿1 +

Р(т,Хг(т))<1т

~ хг+1 '

Р(т,хм(т))<1т

• (6)

где Р— вектор-функция, определённая в (1).

Если среди построенных траекторий существует пара, расположенная не на краю отрезка, расстояние между которыми в момент времени | больше

остальных попарных расстояний и при этом больше |Д£<|, то есть проявляется орбитная неустойчивость, то именно между этими траекториями (Ь* и Ь{+1) проходит сепаратриса.

Если пара траекторий с наибольшим находится на краю отрезка, то, вероятнее всего, сепаратриса находится за пределами заданного отрезка.

Если наибольшее | меньше исходного расстояния то, возмож-

но, через данную область проходит сепаратриса, орбитно-неустойчивая при £ —г —со (или а-орбитно-неустойчивая).

Рис. 3. Схема алгоритма поиска сепаратрисы, основанного на сравнении расстояний между траекториями

Для поиска а-орбитно-неустойчивой траектории необходимо повторить все ранее сделанные рассуждения, строя не положительные полутраектории, а отрицательные, то есть восстанавливая предысторию точек х* в моменты времени ^ <

Схема алгоритма, основанного на факте орбитной неустойчивости сепаратрисы, приведена на рис. 3.

Другой разработанный алгоритм опирается на признак кривизны траектории сепаратрисы, который является более наглядным и быстродействующим. Вместе с этим, данный метод плохо работает в точках перегиба траекторий.

Схема алгоритма поиска сепаратрис, основанного на анализе кривизны траекторий приведена на рис. 4.

Рис. 4. Схема алгоритма поиска сепаратрисы, основанного на сравнении

кривизны траекторий Разработанные выше алгоритмы и выводы, сделанные на основе теории качественного анализа, позволяют перейти к разработке методики исследования нелинейной динамической системы в целом.

Основные этапы методики показаны на рис. 5. В выводах по третьей главе указано:

1. Методика анализа поведения НДС может быть построена на основе поиска сепаратрис вблизи особых точек и на произвольном участке фазового

. пространства.

2. Для реализации методики разработаны алгоритмы поиска сепаратрис двумерной динамической системы на основе различных признаков.

Рис. 5. Методика интерактивного исследования

3. Разработана общая методика интерактивного исследования нелинейной динамической системы в целом. Методика и алгоритмы работоспособны независимо от взаимного расположения и вырожденности особых точек и области технологических ограничений.

В четвёртой главе проведена разработка программного комплекса исследования динамических систем (ПК НДС) на основе созданных методики и алгоритмов исследования нелинейных динамических систем. Представлены системообразующие требования к параметрам и функциям ПК НДС. Особо акцентируется, что должен быть обеспечен анализ особых точек, лежащих в рабочей области, независимо от их возможной вырожденности. Должен быть также обеспечен поиск сепаратрис и наглядное представление результатов, причём за минимальное время.

Для учёта ограничений технологического характера по размеру рабочей области, в которой необходимо исследовать систему, в ПК ИДС включён модуль задания параметров.

Важной особенностью разработки является ориентация на использование опыта исследователя.

Дружественный интерфейс позволяет пользователю ПК ИДС интерактивно корректировать процесс исследования для изменения и уточнения параметров системы, а также деталей картины её фазового пространства с использованием 12 специально разработанных инструментов.

Разработанный ПК ИДС предоставляет пользователю картину фазового пространства системы, отображающую все его характеристики:

- особые точки;

- разграничительные линии;

- бассейны с однотипным характером траекторий;

- скорость изменения состояния системы в каждой точке фазового пространства.

В итоге ПК ИДС включает следующие программные модули:

- нахождения особых точек;

- построения сепаратрис;

- построения траекторий, проходящих через заданную точку фазового пространства;

- численного расчёта для моделирования поведения нелинейной динамической системы;

- визуализации рассчитанной картины фазового пространства;

- внесение пользователем корректив в последовательность используемых шагов и используемых параметров;

- координация и управление;

- создание и хранение архивов.

Для реализации этих модулей применены алгоритмы и методика, описанные в третьей главе, а именно:

- принцип локализации и уточнения положения особых точек;

- алгоритм быстрого построения сепаратрис;

- алгоритм построения всех сепаратрис в заданной области;

- метод оптимизации Эджворта—Парето для выбора траекторий. Структура программной реализации методики и алгоритмов исследования

нелинейных динамических систем имеет вид, приведённый на рис. 6.

Лицензионная чистота разработки обеспечена выбором свободной крос-сплатформенной библиотеки LCL, свободной кроссплатформенной среды быстрой разработки приложений Lazarus с языком программирования Object Pascal для программной реализации и свободной среды SciLab с собственным скриптовым языком для моделирования трёхмерных нелинейных динамических систем.

Рис. 6. Структура ПК НДС

В диссертации рассмотрена методика практической работы с ПК НДС на примере самоорганизующейся системы с бифуркацией (задача Хакена):

Г ± = А1 х-ху

\у = -Х2у+х2 (/)

и известной задачи Колмогорова:

(х = а)!2 + ¿>1ху + С1у2 + а^х + р1у \ у = а2з:2 + + с2уг + а2х + /?2г/.

Отрисовка особых точек, траекторий и сепаратрис, наличие разнообразных настроек, использование фона с цветовьм кодированием скорости изменения состояния позволяют эффективно визуализировать фазовое пространство и выделять на нём характерные области и бассейны.

Верификация разработанных методики, алгоритмов и их программной реализации проведена путём компьютерного моделирования.

Верификация проводилась на основе сравнения особых точек и сепаратрис, рассчитанных с помощью ПК НДС, с найденными аналитически.

. На рис. 7 а) показаны аналитически найденные сепаратрисы задачи Колмогорова при некоторых значениях параметров, на рис. 7 6) — сепаратрисы, рассчитанные ПК НДС.

Рис. 7. Аналитически найденные и рассчитанные с помощью ПК НДС

сепаратрисы

В таблице 1 приведены найденные аналитически и рассчитанные ПК НДС координаты особых точек задачи Колмогорова для двух различных наборов параметров: первый формирует систему с четырьмя особыми точками (таблица 1 а); второй — с тремя (таблица 1 б). Значения совпадают в пределах погрешности вычислений.

Таблица 1

Координаты особых точек задачи Колмогорова

а) б)

№ З'ТОЧН. Уточи. £расч. Урасч. № З'точн. Уточн. Ерасч. Урасч.

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

2 0 1 Ю-19 1 2 0 1 0 1

3 1 0 1 10-19 3 1 2 0,99 2

4 1 1 1 1

Показано, что расчёт с помощью ПК НДС даёт более полную картину фазового пространства системы, при числе траекторий, в семь раз меньшем, чем при расчётах в узлах координатной сетки. При этом расчёт с помощью ПК НДС потребовал в пять раз меньше времени.

На рис. 8 показан результат работы ПК НДС для задачи Хакена в сравнении с аналогичной картиной, приведённой в литературе.

Рис. 8. Сравнение картины фазового пространства, приведённой в литературе (а), с полученной ПК НДС (б)

Фактическое совпадение картинок завершает верификацию. В выводах по четвёртой главе указано:

1. Разработана структурно-функциональная схема программной реализации разработанных методики и алгоритмов в виде программного комплекса интерактивного исследования нелинейной динамической системы (ПК НДС).

2. Определён состав модулей, обеспечивающих эффективную функциональность ПК НДС.

3. На основе разработанных алгоритмов поиска сепаратрис созданы программные модули, входящие в состав ПК ИДС. Дружественный интерфейс, позволяющий использовать интеллект пользователя, включает 12 инструментов исследования.

4. Проведена верификация разработанных методики, алгоритмов и программ ПК ИДС, подтвердившая работоспособность и эффективность полученного решения.

В пятой главе проведён сравнительный анализ полученных результатов с известными, а также приведены сведения о внедрениях результатов диссертации.

В диссертации проведено сравнение эффективности созданного ПК ИДС с программами XPPAUT, MATCONT, PHASER, DYNPAO и пакетом «НДС».

Результаты сравнения ПК ИДС с ранее существующими приведены в таблице 2. Анализ таблицы 2 показывает, что в рамках данной работы впервые разработаны методика и алгоритмы построения разграничительных линий фазового пространства нелинейной динамической системы и интерактивный программный комплекс (отмечены цветом). Такие параметры ПК ИДС как быстродействие, снижение избыточности при построении промежуточных данных, специализированный инструментарий, превышают аналогичные показатели у известных методов и систем в 3-5 раз и более. Также следует отметить независи-

Таблица 2

Сравнение инструментов анализа нелинейных динамических систем

чПрограмма Функция N. XPPAUT MATCONT PHASER DYNPAO 1- Пакет «НДС» Разработанный инструмент

Учёт технологических ограничений + + - + +

Быстродействие среднее низкое среднее высокое нет сведений высокое (в 3-5 раз)

Системные требования нет сведений Matlab CoreDuo 2.0 ГГц, 2.0 Гб ОЗУ нет сведений нет сведений Pentium П 64М6 ОЗУ (на порядок ниже)

Работа с вырожденными особыми точками - - + - нет сведений +

Поиск сепаратрис - - - - нет сведений *

Элементы интерактивности + + - - + +

Градиентный фон - - - - ■ - +

Цветовые метки времени - - + - - +

Интерактивное использование интеллекта пользователя - - - - нет сведений И

мость работоспособности ПК НДС от вырожденности особых точек и ограничений рабочей области.

Теоретические и методические результаты, полученные в диссертации, использованы при преподавании в МИЭТ учебных дисциплин «Программное обес-

печение управляющих систем» и «Системный анализ и математическое моделирование».

Полученные результаты также применялись для исследовании системы менеджмента качества МИЭТ [1]. Для описания динамики поведения системы использована система уравнений, основанная на энтропийной трёхпараметриче-ской модели Лоренца:

Здесь R — результативность, 5 — качество, U — удовлетворённость — безразмерные относительные переменные.

Результаты диссертационной работы использованы в НПП «ОПТЭКС» при моделировании и доработке системы управления прибором оптического наблюдения, разрабатываемого на предприятии по госзаказу. Работа по использованию «Методики интерактивного исследования НДС» в НПП «ОПТЭКС» описана в приложении. В результате использования разработанных методики и алгоритмов и создания интерактивной программы моделирования работы прибора (узла двигателя ЗДБМ 185), содержащей элементы нелинейности, время разработки сократилось на 10%.

В выводах по пятой главе указано:

1. ПК НДС обеспечивает:

- снижение системных требований на порядок по сравнению с наиболее близким прототипом;

- повышение скорости расчёта в 3-5 раз по сравнению с наиболее близким прототипом;

- предоставление пользователю специализированного инструментария исследования нелинейных динамических систем и дружественного интерфейса;

- повышение скорости прорисовки одного экрана с графическими элементами до 0,1 с в сравнении с 1-3 с для аналогичного инструмента MATLAB при одновременном снижении требований к ОЗУ и ЦП в 2-4 раза.

2. Результаты диссертации внедрены в учебный процесс и использованы на промышленном предприятии при моделировании системы управления двигателем ЗДБМ 185.

В заключении отражены основные выводы и результаты диссертации. В приложениях приведены фрагменты кода разработанного ПК НДС, экспертные оценки значимости траекторий, сравнение результатов работы ПК НДС с аналитическими решениями, копия свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ [16] и акты внедрения результатов.

Основные результаты и выводы

В ходе выполнения диссертационной работы создан комплекс программных средств обработки информации для интерактивного исследования поведения нелинейных динамических систем на основе разработанных методик и алгоритмов, при этом получены следующие научные результаты:

1. Предложено формализованное представление задачи выбора траекторий для визуализации фазового портрета нелинейной динамической системы, на основе которого показана необходимость построения сепаратрис.

2. Разработана и реализована методика интерактивного компьютеризированного исследования нелинейной динамической системы, позволяющая для произвольной двумерной нелинейной динамической системы второго порядка получить картину её фазового пространства и поведения в этом пространстве, то есть:

- определить наличие особых точек и их расположение;

- определить области топологически схожих траекторий;

- построить сепаратрисы—границы этих областей.

3. Разработаны и программно реализованы алгоритмы поиска сепаратрис двумерной динамической системы:

1) в окрестности особой точки;

2) быстрый поиск на основе сравнения кривизны траекторий;

' 3) на основе изменения расстояний между соседними траекториями, обеспечивающий нахождение всех сепаратрис в заданной области.

4. Проведена верификация разработанной методики и алгоритмов исследования возможных путей развития нелинейной динамической системы, позволившая установить их высокую эффективность в сравнении с известными.

5. Программная реализация разработанных методики и алгоритмов в виде ПК НДС обладает не менее чем 5 параметрами, оценка которых свидетельствует о превышении аналогичных показателей у известных методов и систем в 3-5 раз и более. К числу таких параметров относятся работоспособность методик и алгоритмов независимо от вырожденности особых точек и ограничений рабочей области, быстродействие, снижение избыточности при построении промежуточных данных, наличие специализированного инструментария для дружественности интерфейса.

6. Результаты диссертации использованы на промышленном предприятии НПП «ОПТЭКС» при моделировании и модернизации системы управления прибором оптического наблюдения. За счёт эффективного визуального представления петли гистерезиса узла прибора время разработки уменьшилось на 10%, что улучшило энергоэффективность моделирования. Разработанный ПК НДС активно использует интеллект пользователя, чувствующего особенности поведения исследуемой динамической системы и обеспечивает: ----- - - • ................. ...................

- сокращение времени использования вычислительных средств на 50%;

- повышение суммарной значимости визуализации фазового портрета динамической системы на 20%;

- снижение в 5 раз количества необходимых траекторий по сравнению с построением линий из узлов координатной сетки.

Таким образом, можно констатировать, что все поставленные задачи выполнены в полном объёме.

Основные результаты диссертационной работы представлены

в следующих публикациях

1. Акулёнок М. В., Кононова А. И., Трояновский В. М. Исследование динамики сложной организационной структуры на примере вуза // Изв. вузов. Электроника (ВАК). 2011. № 1(87). С. 70-77.

2. Кононова А. И. Исследование фракталов. Визуализация движения точки в пространстве множества Жюлиа // Микроэлектроника и информатика -2002. 9-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тезисы докладов. М.: МИЭТ, 2002. С. 100.

3. Кононова А. И. Визуализация траекторий движения в поле, заданном нелинейными динамическими уравнениями // Инноватика и информационные технологии: проблемы, перспективы, решения: Сборник научных трудов / Под ред. д. т. н., проф. Л. Г. Гагариной; МИЭТ. М.: МИЭТ, 2009. С. 97-99.

4. Кононова А. И. Разработка программы выделения зон и особых точек нелинейной динамической системы // 3-я Всероссийская межвузовская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы информатизации в науке, образовании и экономике»: Материалы конференции. М.: МИЭТ, 2009. С. 70.

5. Кононова А. И. Визуализация движения нелинейной динамической системы в пространстве состояний // Микроэлектроника и информатика - 2010. 17-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тезисы докладов. М.: МИЭТ, 2010. С. 165.

6. Кононова А. И. Интерактивная программа моделирования эволюции нелинейной динамической системы как синергетический инструмент исследования // Инновационные образовательные технологии. 2010. Т. 2. С. 59-60.

7. Кононова А. И. Компьютерная визуальная модель и программа для исследования поведения нелинейной динамической системы П Актуальные вопросы современной науки: Материалы УП-ой Международной Интернет-конференции (Таганрог, 31 января 2010 г.): Сборник научных трудов / Под ред. д. пед. н., проф. Г. Ф. Гребенщикова. М.: Издательство «Спутник+», 2010. С. 203-206.

8. Кононова А. И. Моделирование динамики сложной организационной структуры как нелинейной системы (на примере вуза) // Международная научная

школа «Микроэлектронные информационно-управляющие системы и комплексы». Материалы научной школы. М.: МИЭТ, 2010. С. 130.

9. Кононова А. И. Исследование эволюции нелинейных динамических систем // Сборник научных трудов победителей всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки. М.: Издательство РГСУ, 2011. С. 111-127.

10. Кононова А. И., Лисов О. И., Трояновский В. М. Обучающий комплекс для задач моделирования и идентификации линейных динамических объектов // Сборник трудов Четвёртой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности». 02-05.10.2007, Санкт-Петербург, Россия / Под ред. А. П. Кудинова, Г. Г. Матвиенко. 2007. С. 451^*52.

11. Кононова А. И., Сердюк О. А., Трояновский В. М. Некоторые пути повышения качества систем управления нелинейными динамическими объектами с использованием методов дуального управления // Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения (CD-ROM). М.: ИПУ, 2010. С. 733-737.

12. Кононова А. И., Трояновский В. М. Выделение зон и особых точек в пространстве состояний нелинейной динамической системы II Обозрение прикладной и промышленной математики (ВАК). Т. 16. М.: 2009. С. 669.

13. Кононова А. И., Трояновский В.М. Алгоритмический метод анализа поведения нелинейной динамической системы вблизи вырожденных особых точек // Обозрение прикладной и промышленной математики (ВАК). Т. 17. М.: 2010. С. 275-276.

14. Кононова А. И., Трояновский В. М. Методика определения значимости траекторий как часть системного анализа нелинейных динамических систем // Материалы Четвёртой Международной конференции «Системный синтез и прикладная синергетика» (ССПС-2011). Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. С. 102-113.

15. Кононова А. И. Интерактивная программа моделирования движения нелинейной динамической системы в пространстве состояний // 13-я Международная телекоммуникационная конференция студентов и молодых учёных «Молодёжь и наука»: каталог докладов. 2010. URL: http://meplii.ru/ molod/docs.php?SECTI0N_ID=1297&ELEMENT_ID=7292.

16. Кононова А. И., Трояновский В. М. Программа выделения зон и особых точек нелинейной динамической системы в двумерном пространстве состояний. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010611541. 2010.

Подписано в печать:

Заказ № £ Тираж 80 экз. Уч.-изд. л. 1,2 Формат 60x84 1/16 Отпечатано в типографии МИЭТ 124498, Москва, МИЭТ

61 12-5/1763

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИЭТ»

Методика и алгоритмы обработки информации для интерактивного исследования поведения нелинейных динамических систем

Специальность: 05.13.01— Системный анализ, управление и обработка

информации (в приборостроении)

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата технических наук

Научный руководитель

Доктор технических наук, профессор

Трояновский В. М.

Москва —2011

На правах рукописи

Кононова Александра Игоревна

Содержание

Принятые обозначения и сокращения....................................6

Введение......................................................................8

Глава 1. Анализ современного состояния проблемы исследования

нелинейных динамических систем....................................16

Введение..................................................................16

1.1. Глоссарий теории и методов принятия решений................22

1.2. Нелинейные динамические системы в современной науке и технике ................................................................23

1.3. Математические подходы к описанию динамики нелинейных динамических систем..............................................26

1.3.1. Период Ньютона..........................................26

1.3.2. Период Пуанкаре .......................................27

1.3.3. Период Андронова........................................30

1.4. Современные программно-аналитические комплексы исследования нелинейных динамических систем........................33

1.5. Направление дальнейших исследований и постановка задачи . 39 Выводы по главе 1........................................................40

Глава 2. Анализ траекторий как путь к созданию методики исследования нелинейных динамических систем ........................42

2.1. Этапы исследования нелинейной динамической системы ... 42

2.2. Постановка задачи выбора траекторий и определение критериев выбора..............................................................46

2.3. Методика экспертной оценки значимости траектории..........47

2.4. Графовое представление задачи принятия решения об управлении нелинейной динамической системой........................55

2.5. Выбор траекторий для построения с учётом противоречивости

критериев............................. 58

2.5.1. Доказательство применимости принципа оптимальности Эджворта—Парето к задаче выбора траекторий . 60

2.5.2. Структура множества Эджворта—Парето для задачи выбора траекторий.................... 64

Выводы по главе 2............................ 66

Глава 3. Разработка методики и алгоритмов исследования нелинейной динамической системы...................... 67

3.1. Геометрические свойства траекторий, используемые для поиска сепаратрис........................... 67

3.2. Разработка алгоритма поиска сепаратрис двумерной динамической системы вблизи особой точки............... 72

3.3. Разработка алгоритма поиска сепаратрис двумерной динамической системы на основе анализа орбитной устойчивости траекторий ................................ 77

3.4. Разработка алгоритма поиска сепаратрис двумерной динамической системы на основе сравнения кривизны траекторий ... 82

3.5. Методика интерактивного исследования нелинейной динамической системы в целом....................... 85

Выводы по главе 3............................ 88

Глава 4. Программная реализация методики и алгоритмов исследования нелинейной динамической системы............. 89

4.1. Выбор средств программной реализации разработанных методики и алгоритмов исследования нелинейных динамических систем ................................ 89

4.1.1. Системообразующие требования к функциональным

возможностям программной реализации........ 89

4.1.2. Требования к операционной и программной среде программной реализации.................. 91

4.1.3. Выбор операционных сред и технологии разработки на основе их сравнительного анализа........... 91

4.2. Программная реализация инструмента исследования динамической системы (ИДС) в виде программного комплекса..... 94

4.3. Основные характеристики и особенности пользовательского интерфейса программного комплекса исследования динамических систем (ПК ИДС)...................... 100

4.4. Верификация методики, алгоритмов интерактивного исследования нелинейной динамической системы и ПК ИДС..... 103

Выводы по главе 4............................ 109

Глава 5. Сравнительный анализ полученных результатов и использования ПК ИДС ............................ 111

5.1. Сравнение программной реализации разработанных методики и алгоритмов исследования нелинейной динамической системы

с существующими аналогами................... 111

5.2. Использование разработанных методики, алгоритмов и программного комплекса ИДС.................... 113

5.2.1. Использование ПК ИДС в учебном процессе МИЭТ . 113

5.2.2. Исследование системы менеджмента качества государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования (на примере МИЭТ) . . 114

5.2.3. Моделирование узла прибора оптического наблюдения 120 Выводы по главе 5............................ 120

Заключение................................. 122

Литература................................. 124

Приложение А. Акты внедрения.........................137

Приложение Б. Листинги фрагментов программной реализации . 139

Приложение В. Экспертные оценки значимости траекторий .... 147

В.1. Задача Хакена......................................................I47

В.2. Задача Колмогорова (цикл существует)..........................149

В.З. Задача Колмогорова (цикла не существует)......................151

Приложение Г. Сравнение результатов работы ПК НДС с аналитическими решениями....................................................153

ГЛ. Сравнение рассчитанных для задачи Колмогорова с помощью

ПК НДС координат особых точек с найденными аналитически 153 Г.2. Сравнение рассчитанных с помощью ПК НДС сепаратрис с найденными аналитически ............................................154

Приложение Д. Использование «Методики интерактивного исследования НДС» в НПП «ОПТЭКС»....................................156

Д.1. Обшая характеристика предприятия............................156

Д.2. Общая характеристика задачи....................................156

Д.З. Распределение работ..............................................158

Вывод......................................................................159

Приложение Е. Копия свидетельства о регистрации программы

для ЭВМ..................................................................160

Принятые обозначения и сокращения

Ж Множество действительных чисел.

Аттрактор Бассейн

Бифуркация

Вырожденная особая точка

Иррефлексивное отношение

Качественная теория дифференциальных уравнений

Критериальное пространство

Математическая модель

НДС

Особая точка

Притягивающее предельное множество.

Совокупность топологически схожих траекторий в пространстве состояний.

Скачкообразное изменение, происходящее при плавном изменении параметров.

Особая точка, в которой матрица Якоби вырождена.

Бинарное отношение >- на некотором множестве X, для которого УаеХ : а ^ а.

Математическая дисциплина, изучающая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

Евклидово пространство т-мерных векторов с вещественными компонентами (М"г), где каждая компонента соответствует одной из компонент векторного критерия.

Совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т. п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе.

Нелинейная динамическая система.

Точка, в которой скорость изменения параметров системы равна нулю.

ПК

Персональный компьютер.

ПО

Программное обеспечение.

Проприетарное ПО

Пространство состояний (фазовое пространство)

ПО, являющееся частной собственностью авторов или правообладателей и не удовлетворяющее критериям свободного ПО.

Пространство, в котором каждая точка соответствует некоторому определённому состоянию системы. В пространстве состояний каждая координата соответствует одной из переменных системы.

Релевантность Соответствие получаемого результата желаемому результату.

Репеллер

Отталкивающее предельное множество.

Свободное ПО

Сепаратриса

ПО, в котором права пользователя на неограниченные установку, запуск, а также свободное использование, изучение, распространение и изменение программ защищены юридически авторскими правами при помощи свободных лицензий.

Разделительная линия между бассейнами.

Траектория Совокупность точек в пространстве состояний, соответ-

(фазовая кривая, ствующая последовательным положениям системы.

орбита)

Транзитивное отношение

Бинарное отношение >~ на некотором множестве X, для которого \/а, Ь,с е X : (а ^ Ь) к (Ъ ^ с) => а ^ с.

Введение

Актуальность темы диссертации. Исследование поведения нелинейных динамических систем (НДС) является распространённой задачей во многих областях человеческой деятельности. Это приборостроение, синергетика, управление качеством, математика и физика, теория управления, радиоэлектроника, экономика, биология, социология, медицина и другие.

Научно-технический прогресс привёл к созданию приборов и устройств, использующих компьютерные структуры и наноматериалы. Это приборы, применяемые в системах связи, обработки информации, радиоэлектронного противодействия, радиолокации, в телекоммуникационных, медицинских и военных системах. Процессы, происходящие при функционировании таких приборов и устройств (переходные процессы, генерация импульсов, искажение сигнала, паразитные колебания, тиристорный и другие нелинейные эффекты в электронике), как правило, анализируют с помощью нелинейных динамических моделей.

На этапе проектирования нелинейных динамических систем требуется разработка специальных методик и алгоритмов обработки информации для исследования поведения таких систем. В частности, для эффективного управления нелинейной динамической системой необходимо иметь представление о её свободном поведении (без влияния внешних воздействий), об условиях, при которых нелинейная динамическая система приходит к устойчивому состоянию, о значениях параметров, при которых система обеспечивает необходимые характеристики функционирования.

Исследованием нелинейных динамических систем занимались такие учёные, как А. Н. Колмогоров, В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, С. П. Капица, И. Пригожий, Г. Хакен и др. Нелинейный характер уравнений потребовал привлечения качественных методов анализа (А. А. Андронов, Е. А. Леонтович), и, соответственно, топологической теории, а для разработки эффективных практических алгоритмов — численных методов и интерактивных алгоритмов обработки информации (Г. А. Леонов). Исследованием устойчивости НДС в задачах механики занимались А. М. Ляпунов, Дж. Д. Биркгоф, Н. Е. Жуковский, В. Н. Руба-

новский и др. Их работы явились основополагающими при решении многих научно-технических проблем.

При исследовании поведения динамической системы, помимо нелинейности, существенными являются возможная вырожденность предельных множеств траекторий, априорная неопределённость относительно расположения особых точек, их бассейнов и разграничительных линий. Особенности применения теории качественного анализа для описания поведения системы вблизи вырожденных особых точек рассматривались Е. А. Леонтович, Ф. Холмсом и др. Привлечение к решению этой задачи широкого круга специалистов и разнообразных методов для анализа поведения нелинейных динамических систем лишь подчёркивает нерешённость проблемы и позволяет уверенно говорить об актуальности выбранной темы диссертации.

Объект и предмет исследований

Объектом исследований являются системы, состояние которых описывается нелинейными динамическими уравнениями, аналитическое решение которых затруднено или на современном этапе вообще невозможно.

Предметом исследований являются методы и алгоритмы исследования возможных путей развития таких систем.

Проблемная ситуация определяется недостаточной функциональностью известных методик и программных средств обработки информации для анализа поведения нелинейных динамических систем для принятия решения, в то время как они востребованы во многих областях науки и техники, и, в частности, определяют уровень развития современного приборостроения.

Целью диссертации является разработка и программная реализация методики и алгоритмов обработки информации для интерактивного исследования поведения нелинейных динамических систем на основе математического моделирования с учётом возможной вырожденности особых точек и технологических ограничений.

В соответствии с указанной целью в работе решаются следующие задачи: - анализ современного состояния проблемы исследования нелинейных динамических систем;

- анализ траекторий как путь к созданию методики исследования нелинейных динамических систем;

- разработка методики и алгоритмов обработки информации для интерактивного исследования нелинейных динамических систем;

- программная реализация методики и алгоритмов исследования нелинейных динамических систем в виде программного комплекса исследования динамических систем (ПК НДС);

- практическое использование разработанных методики, алгоритмов и сравнение ПК ИДС с существующими программными продуктами.

Методы исследования. Теоретическую и методологическую базу исследования составили методы математического анализа, теории системного анализа, теории автоматического управления, теории принятия решений, теории дифференциальных уравнений и векторных полей, численные методы расчёта, а также компьютерное моделирование на этапе верификации результатов.

Научная новизна. Диссертационная работа представляет собой совокупность научно обоснованных технических разработок, направленных на создание методик, алгоритмов и комплекса программных средств исследования нелинейных динамических системам на основе разработанных методики и алгоритмов, обеспечивающих сокращение времени исследования.

В процессе исследований и разработок получены следующие новые научные результаты.

1. Предложено формализованное представление задачи выбора траекторий для визуализации фазового портрета нелинейной динамической системы, основанное на методах теории графов и учитывающее значимость построенных траекторий развития для управления системой и трудоёмкость их построения.

2. Разработаны алгоритмы поиска сепаратрис двумерной динамической системы:

1) в окрестности особой точки;

2) на основе сравнения кривизны траекторий;

3) на основе изменения расстояний между соседними траекториями.

3. Впервые предложена методика для интерактивного исследования нелинейной динамической системы, основанная на приёмах качественного анализа динамических систем и численных методов, реализованных в компьютерных расчётах.

4. Создана программная реализация методики и алгоритмов качественного анализа нелинейной динамической системы, использующая интеллектуальные директивы пользователя, вносимые в интерактивном режиме. Достоверность полученных результатов подтверждается теоретическими доказательствами и соответствием компьютерного моделирования результатам теоретического анализа.

Разработанное программное обеспечение фактически используется на предприятии приборостроения НПП «ОПТЭКС» и обеспечивает снижение времени использования вычислительных средств при моделировании нелинейностей в узлах приборов на 10%.

Практическая ценность работы.

Результаты исследования доведены до конкретных методик, алгоритмов и их программной реализации в виде программного комплекса для исследования нелинейных динамических систем и ориентированы на применение комплексной методики исследования нелинейных динамических систем для принятия управленческих решений. Программная реализация обеспечивает уменьшение количества необходимых для выявления структуры фазового портрета траекторий в среднем в 5 раз по сравнению с расчётами в узлах координатной сетки; повышение скорости прорисовки одного экрана с графическими элементами на порядок и более по сравнению с аналогичным инструментом МАТЬ А В при одновременном снижении требований к ОЗУ и ЦП в 2-4 раза. Самостоятельное практическое значение имеют:

- методика интерактивного исследования нелинейной динамической системы;

- программная реализация методики и алгоритмов обработки информации для исследования поведения нелинейных динамических систем в виде

ПК НДС, зарегистрированная в РОСПАТЕНТ (свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2010611541). Практическая значимость подтверждена актом внедрения результатов диссертационной работы в учебном процессе МИЭТ и использования их в НПП «ОПТЭКС» при моделировании системы управления двигателем ЗДБМ185.

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно, в том числе:

1. Разработаны алгоритмы поиска сепаратрис:

1) в окрестности особой точки;

2) на основе сравнения кривизны траекторий;

3) на основе изменения расстояний между соседними траекториями.

2. Разработана методика для интерактивного исследования нелинейной динамической системы.

3. Осуществлена программная реализация разработанных методики и алгоритмов (свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2010611541).

4. Верифицированы разработанные методика и алгоритмы п�