автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Многовариантное моделирование динамических систем эволюционного типа для управления в экстремальных ситуациях

На правах рукописи

ПЛАХОТНЮК Олег Сергеевич

МНОГОВАРИАНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИТУАЦИЯХ

Специальность 05 13 18 — Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

003071352

Воронеж - 2007

003071352

Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университете

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Барабанов Владимир Федорович

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Громов Юрий Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент Есипенко Дмитрий Георгиевич

Ведущая организация Воронежская государственная

технологическая академия

Защита состоится 24 мая 2007 г в Ю00 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212 037 01 Воронежского государственного технического университета по адресу 394026, г Воронеж, Московский просп, 14

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного технического университета

Автореферат разослан 2. апреля 2007 г

Ученый секретарь _ __

диссертационного совета ^уг Питолин В М

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Динамические системы

эволюционного типа возникают в связи с современными прикладными задачами математической физики при описании поведения сплошной среды, математические модели которых представлены в виде эволюционных дифференциальных уравнений в частных производных, где решение зависит от одной «пространственной» и одной «временной» переменной В ходе эволюции системы могут возникать различные экстремальные (нештатные) ситуации (режимы), приводящие к разрушению объектов технологического процесса (оборудования, сырья, продуктов и тд) Важнейшей задачей математического моделирования является обнаружение и предотвращение ситуаций такого рода за счет формирования управляющих воздействий на граничных условиях параметров эволюционных систем

Проведение вычислительного эксперимента при исследовании сложных систем нелинейных эволюционных уравнений в современных универсальных системах математического моделирования осложняется высокими требованиями к точности начального приближения, низкой скоростью приближения к решению или отсутствием сходимости применяемых итерационных численных методов при резких изменениях краевых условий Кроме того, низкая производительность при использовании интерпретируемых языков описания математических моделей (МАТЬАВ, МаШСас!, МаШешаИса и тд), а также недостаточная гибкость систем с трансляцией в компилируемые языки (Х1УГО8), не позволяют использовать перечисленные программные системы для обнаружения экстремальных ситуаций и формирования управляющих воздействий, выводящих моделируемый объект из экстремального режима в реальном времени

Решение проблемы снижения требований к точности начального приближения к решению может быть достигнуто с использованием интервальных методов, однако повышенные вычислительные затраты и погрешности при вычислении интервальных отображений функций приводят к необходимости применения многовариантного подхода, заключающегося в совместном использовании интервальных и численных итерационных методов При этом язык описания математических моделей эволюционных систем должен иметь средства формализации экстремальных ситуаций и задания управляющих воздействий

Таким образом, актуальность диссертационной работы определяется необходимостью создания алгоритмов и методов для повышения производительности и счетной устойчивости процессов численного решения при моделировании динамических режимов объектов эволюционного типа, осуществления обнаружения нештатных ситуаций и формирования управляющих воздействий, выводящих систему из экстремального режима

Тематика диссертационной работы соответствует научному направлению Воронежского государственного технического университета «Вычислительные системы и программно-аппаратные комплексы»

Цель работы и задачи исследования. Целью исследования является разработка алгоритмов и методов численных расчетов для моделирования динамических режимов систем эволюционного типа, обеспечивающих повышенную счетную устойчивость, характеризующихся минимальными требованиями к ресурсам, а также осуществляющих обнаружение нештатных ситуаций и формирование управляющих воздействий, выводящих систему из экстремального режима

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи

- провести функциональный анализ распространенных программных средств математического моделирования динамических режимов систем эволюционного типа,

- разработать структуру системы многовариантного моделирования, позволяющую осуществлять численный расчет и визуализацию динамических режимов систем эволюционного типа, обнаружение нештатных ситуаций и формирование квазиоптимальных типовых управляющих воздействий, выводящих систему из экстремального режима,

- проанализировать традиционные способы адаптивной подстройки шага дифференцирования для аппроксимации частных производных и разработать алгоритм, учитывающий значения шагов на всех предыдущих итерациях численного расчета,

- разработать структурный язык описания математических моделей систем эволюционного типа, включающий в себя средства задания экстремальных ситуаций и качественного вида управляющих воздействий,

- программно реализовать и осуществить практическую апробацию системы многовариантного моделирования и алгоритмов, осуществляющих численный расчет, визуализацию динамических режимов систем эволюционного типа, обнаружение нештатных ситуаций и вывод системы из экстремального режима

Методы исследования. В работе использованы методы исследования теории нелинейных динамических систем, численные методы решения нелинейных уравнений в частных производных, математическое программирование, интервальная математика

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной

- алгоритм формирования частично регуляризированной расчетной сетки, учитывающий топологию разностной аппроксимации исходной системы уравнений в частных производных,

- модифицированный метод адаптивной подстройки шага, учитывающий неравномерность распределения ячеек на всех временных слоях расчетной сетки,

- критерий эффективности расчетной сетки, отражающий требования к вычислительным ресурсам, характеризующий неравномерность распределения шагов и позволяющий комплексно сравнивать различные алгоритмы построения расчетной сетки,

- структура системы многовариантного моделирования и визуализации динамических режимов систем эволюционного типа, позволяющая осуществлять обнаружение нештатных ситуаций и формирование квазиоптимальных типовых управляющих воздействий, выводящих систему из экстремального режима

Практическая значимость работы. Предложенные в работе алгоритмы и методы построения частично регуляризированной расчетной сетки, адаптивной подстройки шага численного дифференцирования, многовариантного решения систем эволюционных уравнений, обнаружения экстремальных ситуаций, формирования управляющих воздействий и визуализации полученных результатов реализованы в виде специальной программной системы «Система многовариантного интерактивного моделирования эволюционных систем»

Разработанное программное обеспечение может быть использовано для комплексного исследования динамических систем эволюционного типа, обнаружения экстремальных ситуаций и поиска квазиоптимальных управляющих воздействий, выводящих систему из нештатного режима

Реализация и внедрение результатов работы. Основные алгоритмы и методы, предложенные в диссертации, реализованы и апробированы в виде программной системы многовариантного интерактивного моделирования динамических систем эволюционного типа Система внедрена и используются в учебном процессе Воронежского государственного технического университета, а также передана в опытную эксплуатацию в ООО НПФ «Кварц»

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всероссийских конференциях «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2004-2006), Международных конференциях «Современные проблемы информатизации в системах моделирования, программирования и телекоммуникаций» (Воронеж, 2004-2006), Международной конференции «Современные проблемы информатизации в непромышленной сфере и экономике» (Воронеж, 2005), научных семинарах кафедры «Автоматизированные и вычислительные системы» ВГТУ (Воронеж, 2004-2007)

Публикации. По результатам исследований опубликовано 13 научных работ, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателем предложены [1,10] - модульная структура системы многовариантного интерактивного моделирования, [2] — алгоритм адаптивной подстройки шагов численного дифференцирования, [3] -несколько подходов к обнаружению и управлению в экстремальных ситуациях, [4] - алгоритмизация и программная реализация графического представления результатов моделирования, [5,8,9] - древовидная структура данных для хранения численной информации для визуализации, [6,7] -методология отображения высокочастотных численных данных на грубой экранной сетке, [11] — структурная декомпозиция математической модели на

элементы, [12] - применение радиально-базисной нейронной сети для редуцирования пространства поиска корней, [13] - методология формирования начальных и граничных условий

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, изложена на 148 листах, содержит список литературы из 66 наименований, 26 рисунков, 2 таблицы и 2 приложения

Во введении показана актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследования, представлены основные научные результаты, определены их научная новизна и практическая значимость, приведено краткое содержание работы по главам

В первой главе определены процессы, описываемые эволюционными уравнениями в частных производных, рассмотрены методы численного решения систем нелинейных уравнений, проведен сравнительный анализ средств математического моделирования эволюционных систем

Математическая модель системы эволюционного типа в общем случае представляется системой нелинейных уравнений в частных производных, имеющей вид

где Г = , /г„) — вектор-функция состояний, характеризующих закон эволюции системы, х = , . ,хп) - переменные, характеризующие состояние системы, I - временная координата, 1 - пространственная координата, т — натуральное число, Ти- начальные условия, Тг— граничные условия Функции К в общем случае гладкие (дифференцируемые), нелинейные относительно указанных переменных

В работе определено, что основные трудности в ходе численного решения систем нелинейных эволюционных уравнений возникают при отсутствии точного начального приближения В таких ситуациях целесообразно применять интервальные методы численного решения систем уравнений Наиболее важными характеристиками интервальных методов решения являются низкая требовательность алгоритма к начальному приближению (задается не точка, а интервал поиска решений), гарантированная экспоненциальная сходимость метода к решению при условии принадлежности интервала поиска решения к области определения нормы вектор-функции Е Недостатком данного алгоритма является быстрый рост вычислительной сложности при увеличении размерности решаемой задачи

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

0)

г п

Численное решение задачи (1) осуществляется на динамической расчетной сетке, представленной множеством ячеек с координатами

О = |о 1тах,0 . ¿¡к}, причем временная граница 1тах является плавающей и определяется критерием останова расчета Множество ячеек, в которых решение найдено, имеет координаты М = |о 1-1,0 ,!тах}и {'> 0 л}» М с Б, где 1, J - координаты текущей ячейки Под экстремальной ситуацией в работе понимается выполнение условия

Л (х1.)>0,0<т;<1, (2)

Лих

где Л - критерий экстремальности, 1] - глубина расчета критерия

экстремальности по времени, 1тах, 1тах - размер множества Б по

пространственной и временной координатам, I - временная координата

последнего рассчитанного временного слоя, - номер временного слоя,

соответствующий времени I - т;, - количество ячеек на 1-ом временном слое В случае возникновения экстремальной ситуации необходимо осуществить коррекцию граничных условий Гг на участке I = 1(,

которая приведет к выполнению равенства

'='1-,) «Л '

где Гг - искомая поправка к граничным условиям динамическои эволюционной системы (1), р - вектор параметров Обобщенный критерий экстремальности, учитывающий все временные слои с индексами 1 = 1(

и управления по граничным условиям (3), имеет вид

1=1, ^Лт / ч

2 I (4)

1=>1-т, j=0

Задача поиска вектора параметров р квазиоптималыюго управляющего воздействия 1г ставится как оптимизационная

р = а^гшпО(р,1,т) (5)

реР

для заданного пространства оптимизации Р, текущего временного слоя с координатой I и заданной глубины расчета критерия экстремальности т

С учетом перечисленных недостатков известных подходов к моделированию динамических систем эволюционного типа поставлена задача разработки алгоритмов и методов многовариантного моделирования и

визуализации динамических режимов систем эволюционного типа, обеспечивающих повышенную вычислительную устойчивость, осуществляющих обнаружение экстремальных ситуаций и формирование управляющих воздействий, выводящих систему из экстремального режима

Во второй главе формируются требования к основным функциональным блокам математического и программного обеспечения для многовариантного моделирования динамических эволюционных систем и функции подбора квазиоптимальных значений параметров законов управления граничными условиями в экстремальных режимах На основе этих требований разработана модульная структура программной системы (рис 1), включающая в себя следующие модули

- Модуль задания входных данных осуществляет структурированный ввод математического описания модели, краевых условий и параметров моделирования на основе специально разработанного структурного языка, позволяющего дополнять хранилище математических моделей без изменения исходного кода программы Язык является подмножеством XML, представляет собой иерархическую декомпозицию модели на компоненты Для обеспечения высокой скорости работы вычислительного блока (рис 1) осуществляется автоматическая трансляция файлов задания входных данных в С++ код, который компилируется и статически подключается к системе на этапе запуска.

- Модуль численного решения производит численную аппроксимацию математической модели системы эволюционного типа, а также формирование динамической расчетной сетки на основе данных, полученных от модуля задания входных данных Задача численного решения системы эволюционных уравнений (1) в общем случае имеет вид

F' (х'~т х' t I 1 = 0

j\ j-n> I ">

= 0 Ах,'0 = 0 tu 1, (6)

где i,j - индексы ячейки в расчетной сетке, m, п - количество ячеек, участвующих в аппроксимации производных, t,,lj - значения временной и

пространственной координат в ячейке, J^ax" количество ячеек на i0-m временном слое, imax - количество временных слоев

Краевые условия (серые ячейки на рис 2) могут задаваться как в виде функций от соответствующих координат

x'f = f"K >1AJ = ° Jmах, '0 = 0 . m -1;

(7)

ХЛ =f^l"lJo )>' = 0 • гшах,л=° »-1,

так и в результате решения системы уравнений статики

Рис 1 Модульная структура системы интерактивного моделирования

р'о/х'о 'о , I ) = О

} \ у-"' ' ^ ' 'О' V / '

,г;(хГ' (8)

/0=0 »г -1, у0 = 0 п-\,1~т гтах^ = " ^ах

Решение осуществляется на динамической расчетной сетке с частичной регуляризацией (рис 2) при помощи многовариантного подхода используя заданное прямоугольное пространство поиска корней, находится интервал, гарантированно содержащий корень, после чего найденное решение уточняется методом обобщенного покоординатного спуска, а затем -методом Ньютона для получения точного приближения к решению

Рис 2 Частично регуляризированная динамическая расчетная сетка

( О . начальные и граничные условия, О - ячейки, значения которых

получены численным решением системы нелинейных уравнений (2), ^ -ячейки, значения которых получены путем интерполяции между соседними ячейками слоя; х - пространственная координата, 1 - временная координата, бХ1 - шаги расчетной сетки по пространственной координате, - шаги

расчетной сетки по временной координате, хтш,хтах - пространственные границы расчетной сетки, 1:тш,1:тах - временные границы расчетной сетки)

- Библиотека типовых управляющих воздействий содержит набор типовых законов управления в виде функций временного аргумента, задающих качественный вид воздействия, а также набора коэффициентов, задающих количественные характеристики закона управления Имеется возможность задания произвольного управляющего воздействия в виде функции временной переменной при помощи структурного языка описания математических моделей

- Модуль управления в экстремальных ситуациях осуществляет циклическое численное решение динамической эволюционной системы на расчетной сетке с коррекцией коэффициентов текущих управляющих воздействий Тип управляющего воздействия задается в модуле задания входных данных из библиотеки типовых управляющих воздействий

- Модуль идентификации параметров модели производит коррекцию коэффициентов модели с целью минимизации отклонения профилей параметров модели, полученных в результате численного решения от данных натурного эксперимента

- Модуль визуализации формирует графическую диагностику работы модулей системы интерактивного моделирования Осуществляет визуализацию решения системы эволюционных уравнений в двухмерном и трехмерном виде, шага дифференцирования, краевых условий

- Модуль сериализации осуществляет чтение или запись состояния процесса моделирования в бинарный поток, что обеспечивает возможность автосохранения, приостановки и последующего продолжения расчета на любом этапе хода численного решения

Модуль пользовательского интерфейса предназначен для формирования двухсторонней связи между оператором и системой интерактивного моделирования Модуль выполнен с использованием современных средств графической визуализации

В третьей главе проведена разработка алгоритмов формирования динамической частично регуляризированной расчетной сетки и методов использования всей информации о ходе решения для эффективной адаптивной подстройки шага дифференцирования

Разработан алгоритм добавления ячейки в динамическую расчетную сетку с частичной регуляризацией, учитывающий разностную схему системы уравнений моделируемой эволюционной системы и осуществляющий численное решение системы на заданном числе дополнительных промежуточных ячеек на предыдущих временных слоях, за счет чего повышается точность найденного численного решения

Сформулирован критерий оптимальности расчетной сетки, отражающий неравномерность распределения ячеек на различных временных слоях, требования к машинной памяти и вычислительные затраты

шах ЛГ, + пип Аг,

/=0 п, 1=0 п,

шах N.

1=0 п.

ТК Т,, (9)

/=0

где Nl - количество ячеек на 1-ом временном слое, Т1 - количество итераций методов численного решения, затраченное на расчет 1-го временного слоя, п, - количество временных слоев Меньшему значению критерия соответствует более оптимальный алгоритм построения расчетной сетки Данный критерий позволяет комплексно сравнивать различные стратегии формирования шагов численного дифференцирования при одинаковом наборе используемых численных методов

Разработан обобщенный алгоритм адаптивной подстройки шага с учетом частичной регуляризации динамической расчетной сетки (рис 3), где

хтт > *гоах> 'тш. 'тах " границы расчетной области, л™ш, 5™3-4, .?,тш, 5,тах -границы изменения шагов, Ч'1 - константы, определяющие количество успешно рассчитанных слоев и ячеек до увеличения шага Увеличение и уменьшение шага осуществляется по формулам

^ = т1П (О5* )> хх>ЗХ )' Ух ) > ^ (Ю)

^ = (11)

где у, г\ - законы увеличения и уменьшения шага соответственно

Рис 3 Алгоритм адаптивной подстройки шага численного дифференцирования с учетом частичной регуляризации расчетной сетки

Исследованы типовые законы адаптивной подстройки шага при численном расчете динамических режимов эволюционных систем (рис 4) 77,(5,) = т 5г,0<т<1,у,(5,) = /с 1 (12)

Т!,(з,) = *1-т,Г1(з,) = *1+т,т>0 (13)

= я,-т,т> О, = ^

(14)

(15)

О Ое+ООО ;2 0е+000 1,100000е 001---, -

>4,0е*000

__ |

5 000000Й<Н

■ _ 1

4,бЬбШ0е-002 | з,ооосоо1»:оо2" "7

2 0б0000е-002

1,606000^002^

О.Ое+ООО |2,0е+000 1,100000е-001 п I Щ -

дбо0000е-002 !

3 000000ё-002" 7"000000ёй502"

в ООООООе 002 1 5да000е-б02_~Л| " 4"000000е-6б2 ~3 000000е-002 *"] •2

К

¡6,0е+000 8 0е+000

I

о иииииие-ии*: | ] I.

2 000000Г00Г~Г—И - "] Н

1шюоое'-оог ] ^ ^

Рис 4 Распределение шагов временной координаты по всем слоям (ось абсцисс - координаты временного слоя, ординат - значение шага по времени, а - шаг меняется по формуле (12), б — шаг меняется по формуле (15))

Предложен закон адаптивной подстройки шага с памятью, учитывающий значения шагов на всех предыдущих временных слоях (ах,Ьх,ах,Рх - масштабирующие коэффициенты)

л* к

-,ах,Ъх,ах,рх> 0,

(16)

Характеристики разработанного закона адаптивной подстройки шага с памятью по сравнению с типовыми законами (12-15), полученные в ходе решения модельной задачи эволюции динамической системы (регенерация неподвижного слоя катализатора), представлены в таблице ниже

Приведенные в следующей таблице результаты экспериментов показывают, что разработанный алгоритм подстройки шагов с памятью является наиболее эффективным для решения данной модельной задачи с точки зрения минимальных вычислительных затрат и комплексного критерия эффективности к, однако расчетная сетка с наименьшим количеством ячеек получена при помощи несимметричного линейного закона формирования шага (15)

Алгоритм Количество Время Критерий Разница с

слоев вычисления (с) . к лучшим показателем

Минимальное количество слоев

Алгоритм с 383 3155 1208365 18%

памятью

Экспоненциальный 487 1907 928709 50%

закон

Линейный закон 324 6947 2250828 0%

Минимальное время вычисления

Алгоритм с 529 1392 736368 0%

памятью

Экспоненциальный 610 1612 983320 16%

закон

Линейный закон 398 4168 1658864 200%

Лучший показатель эффективности к

Алгоритм с 445 1451 645695 0%

памятью

Экспоненциальный 503 1783 896849 39%

закон

Линейный закон 349 4532 1581668 145%

В четвертой главе осуществляется формирование пользовательских интерфейсов, иерархического языка описания математических моделей, разработка метода повышения производительности процесса моделирования за счет трансляции описания математической модели в машинный код, применение интервальной проекции расчетной сетки на экранную плоскость В качестве инструментария разработки программной системы многовариантного моделирования была выбрана среда Microsoft Visual С++, т к компилятор, включенный в состав данной среды, i енерирует наиболее оптимальный код под платформу Windows

Пользовательский интерфейс системы интерактивного моделирования динамических эволюционных систем представлен как в графическом виде (рис 5), так и в виде текстовых консольных команд, что позволяет осуществлять удаленное управление процессом моделирования

Введен специальный иерархический язык структурного описания математических моделей на основе языка XML (рис 5) С целью повышения производительности вычислительного процесса описание модели транслируется в программный модуль на языке С++, который компилируется и статически подключается к основному вычислительному блоку системы моделирования динамических эволюционных систем

Предложен алгоритм применения самобалансирующихся по высоте ABJI-деревьев для хранения численных данных при визуализации динамической расчетной сетки В ходе визуализации осуществляется

интервальная проекция расчетной сетки на плоскость экрана при помощи анализа границ изменения сеточных функций на пространстве экранного пикселя, что позволяет избежать графических артефактов при использовании мелких масштабов визуализации.

<modd name^"caía!yst" ddepth- "2"> ■ dim name-"]" low V high -r I max." l> ■;dira imnn-"t" low="0" hifji"")' prd" t> <prml namc-"M" value="M0V> <piml immt="G" value-"GOV;-<pnnl rtame-'T" value-" T07> <to namc^'EqMd" «p'"Diiïï M, t ) + U »

Diffl; M, I )- И * W"i> <fuiK name-" "EqG_d" exp="Diffl¡ O, í ) - k2 * W'7>

<func name="EqT d" оф="ШГ( T, t ) + UU *

Dif]] T, ] ) - В * W7> <func name="EqM_s" exp="U • Difft M, I )- kl * W7>

<stop cui'd "Gçui LtiStLayci'Avg ( G ) -Gmin"/>

:t'.íi:!l-[ -

Рис.5. Главное окно системы интерактивного моделирования и пример описания модели регенерации неподвижного слоя катализатора

В системе многовариантного моделирования имеется возможность задавать произвольное управляющее воздействие при помощи структурного языка описания математических моделей, а т акже имеется библиотека типовых управляющих воздействий:

• линейный закон u(t) = а ■ t + b;

• гармонический закон u(t) = а ■ sin(b t + с) + d;

• трапециевидный закон:

i = -0.5'a + (b- t + c)mod d;

^ ^ min(e,max(f,-g-T + h)),T<0;mm(-e,max(f,!T + j)),т>0.

Реализована возможность автоматизированного подбора коэффициентов выбранного закона управления с целью вывода системы из экстремальной ситуации (2) по всей длине профиля. Критерий экстремальности (2) реализован в виде границ области изменения параметров, соответствующих нормальному режиму работы:

■К'*) = l^ttiin ~ Р> Р < Ppiin'^" ''max' Р ** ^max >®> ''mm — Р - Ртах- О

Входные данные, задаваемые пользователем:

• качественный вид закона управления;

• управляемый параметр Р„, на канал граничных условий которого будет подаваться управляющее воздействие и ;

• параметр Р и его границы допустимых значений Ртш, Ртах,

• настройки подбора коэффициентов закона управления,

• ширина временного окна О., выраженная в секундах

После расчета каждой ячейки осуществляется проверка Ртт < Р < Ртах В случае выхода Р из допустимого диапазона включается управляющее воздействие на канале ГУ Ри либо корректируются коэффициенты активного управляющего воздействия, после чего происходит откат процесса моделирования на П секунд назад и процесс моделирования повторяется

В пятой главе проведена апробация системы многовариантного интерактивного моделирования на исследовании модельных задач процесса регенерации неподвижного слоя катализатора с учетом экстремального характера температурного режима

Процесс регенерации неподвижного слоя катализатора представлен системой уравнений

д.. Р\ = еД,р2=(1-£)Р2,С = Сх + р2С2/Р\>

сМ 0М _

1Г зГ 1 и = У0/Л8,и* = С1и/С,

—-к W

"йГ 2 • w = к(т)м

G 1 w-гл ~i7(1~aT) (18)

— ,K(T) = aie RT , >

GoJ

ST T * ОТ __ ... — + U — = K,W, i 10

dt ol 3 Ki=-—,K2=--— ,K3=-^-;

Pl P2«2 AC

где M - содержание кислорода в газе, G - содержание кокса в катализаторе, Т - температура процесса Начальные условия

G(0,1) = G0, Т(0,1) = Т0, ^ = М(0,0) = М0 (19)

Граничные условия

Щ- = K2W, G(0,0) = G0, T(t,0) = T0, M(t,0) = M0 (20)

ol

Расчет останавливается, если остаточный слой кокса не превышает значения 10~4 Условимся считать допустимым температурным диапазоном интервал от 670°К до 710°К При выходе за нижнюю границу интервала выжиг кокса прекращается, при превышении верхней границы происходит разрушение катализатора, т е имеет место экстремальный режим

Проведены следующие вычислительные эксперименты (рис 6-8) 1 Отложение кокса равномерно по всей длине реактора На рис 66 видно распределение температуры рядом на всех временных профилях Температура меняется в диапазоне от 690° К до 750° К

2 Отложение G(0,1) = G0

кокса 1

1„

На

шах /

смещающийся

линеино уменьшается по рис 76 виден ярко

длине реактора выраженный пик

температуры, смещающийся с течением времени в сторону выхода реактора Температура меняется в диапазоне от 690° К до 745 0 К 3 Отложение кокса равномерно по всей длине реактора, но осуществляется управление граничными условиями концентрации кислорода по линейному закону M(0,t) = a t + b с целью удержания температуры Т на всей длине профиля в интервале [Tmin,Tmax], где Tmin =670°K,Tmax = 710°К Температура процесса целиком лежит в

допустимых границах (от 690° К до 710° К) на всех профилях Проведенные вычислительные эксперименты позволяют утверждать, что система многовариантного интерактивного моделирования является гибким инструментом ддя численного решения систем нелинейных эволюционных уравнений и может использоваться в качестве средства исследования математических моделей динамических эволюционных систем Сочетание личного опыта пользователя и возможности автоматизированного подбора коэффициентов управляющего закона из библиотеки типовых управляющих воздействий позволяет использовать систему в качестве советчика оператору при управлении сложными динамическими объектами

В приложении приводится спецификация структурного языка описания математических моделей динамических режимов систем эволюционного типа, акты внедрения результатов исследования

а) профили G

б) профили Т Рис 6 Отложение кокса равномерно

Рис 7. Отложение кокса линейно уменьшается по длине реактора

а) граничные условия для М б) профили Т

Рис 8 Управление граничными условиями по кислороду М ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Сформирована структура системы многовариантного моделирования и визуализации динамических режимов систем эволюционного типа, позволяющая осуществлять обнаружение нештатных ситуаций и формирование квазиоптимальных типовых управляющих воздействий, выводящих систему из экстремального режима

2 Разработан алгоритм формирования частично регуляризированной расчетной сетки, учитывающий топологию разностной аппроксимации исходной системы уравнений в частных производных

3 Произведена модификация метода адаптивной подстройки шага для учета неравномерности распределения ячеек на всех временных слоях расчетной сетки

4 Предложен критерий эффективности расчетной сетки, отражающий требования к вычислительным ресурсам, характеризующий неравномерность распределения шагов и позволяющий комплексно сравнивать различные алгоритмы построения расчетной сетки

5 Разработан специальный структурный язык описания математических моделей эволюционных динамических систем, являющийся подмножеством языка XML Описания моделей автоматически транслируются в С++ код и подключаются к системе на этапе загрузки

6 Разработана специальная программная система многовариантного моделирования, апробированная при исследовании процесса регенерации неподвижного слоя катализатора в экстремальных условиях по температуре

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1 Барабанов В Ф, Плахотнюк О С Моделирование и визуализация динамических систем эволюционного типа // Вестник Воронежского государственного технического университета — 2005 - Т 1 №5 —С 40-42

2 Плахотнюк О С, Барабанов В Ф Применение эффективного алгоритма адаптивной подстройки шагов дифференцирования с памятью для численного решения уравнений эволюционного типа // Вестник Воронежского государственного технического университета - 2007 - Т 3 №1 — С 45-48

3 Плахотнюк О С , Барабанов В Ф Прогнозирование и предотвращение экстремальных ситуаций в ходе моделирования динамических систем эволюционного типа // Вестник Воронежского государственного технического университета -2007 -ТЗ №1 -С 112-113

Статьи и материалы конференций

4 Барабанов В Ф, Плахотнюк О С. Программный модуль "Система визуализации численных данных на плоскости", ФАП ВНТИЦ № 2649916100139 от 22 12 2003

5 Плахотнюк О С, Барабанов А В Универсальный визуализатор числовых данных // Современные проблемы информатизации в системах моделирования, программирования и телекоммуникаций сб тр Воронеж Издательство "Научная книга", 2004 Вып 9 С 370-371

6 Плахотнюк О С , Барабанов А В Система визуализации численных данных на плоскости // Информационные технологии моделирования и управления междунар сб науч тр Воронеж Издательство "Научная книга", 2004 Вып 12 С 110-114

7 Барабанов В Ф , Плахотнюк О С Система визуализации численных данных в трехмерном пространстве // Информационные технологии моделирования и управления междунар сб науч тр Воронеж Издательство "Научная книга", 2004 Вып 12 С 43-46

8 Барабанов В Ф, Плахотнюк О С Визуализация результатов моделирования // Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве труды всерос конф Воронеж, 2004 С 23-24

9 Барабанов В Ф, Плахотнюк О С Графическое представление результатов моделирования // Современные проблемы механики и прикладной математики сб тр междунар школы-семинара Воронеж ВГУ, 2004 -С 63-66

10 Барабанов В Ф, Плахотнюк О С Интерактивная система моделирования динамических режимов систем эволюционного типа // Современные проблемы информатизации в непромышленной сфере экономики сб тр Воронеж Издательство "Научная книга", 2005 Вып 10 С 91-92

11 Плахотнюк О С , Барабанов В Ф О декомпозиции математической модели в интерактивной среде моделирования // Современные проблемы информатизации в моделировании и программировании сб тр Воронеж Издательство "Научная книга", 2006 Вып 11 С 197-198

12 Плахотнюк О С , Барабанов В Ф Использование радиально-базисной нейронной сети для численного решения систем нелинейных уравнений // Прикладные задачи моделирования и оптимизации межвуз сб науч тр Воронеж ВГТУ, 2006 С 122-128

13 Барабанов В Ф, Плахотнюк О С. Исследование динамических режимов систем эволюционного типа // Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве тр всерос конф Воронеж, 2006 С 31

Подписано в печать 23 04 2007 Формат 60x84/16 Бумага для множительных аппаратов Уел печ л 1,1 Тираж 90 экз Заказ № /Ут

аппар;

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет» 394026 Воронеж, Московский просп, 14

ВВЕДЕНИЕ

1. ПРОБЛЕМАТИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ СИСТЕМ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА

1.1. Особенности моделирования динамических режимов эволюционных процессов

1.2. Аппарат динамических систем эволюционного типа

1.2.1. Математические модели, представленные эволюционными уравнениями в частных производных

1.2.2. Методы исследования динамических режимов систем эволюционного типа

1.2.3. Методы численного решения систем нелинейных уравнений

1.3. Сравнительный обзор и функциональный анализ распространенных средств математического моделирования динамических режимов систем эволюционного типа.

1.4. Цель работы и задачи исследования

2. ФОРМИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ СИСТЕМЫ МНОГОВАРИАНТНОГО ИНТЕРАКТИВНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА

2.1. Формирование требований к функциональности системы многовариантного интерактивного моделирования

2.1.1. Формирование вычислительных требований к моделированию динамических систем эволюционного типа

2.1.2. Формирование требований к средствам квазиоптимального управления

2.1.3. Постановка задачи визуализации работы компонентов системы интерактивного моделирования

2.1.4. Формирование требований к интерактивному режиму моделирования и взаимодействию с оператором

2.2. Модульная структура системы многовариантного интерактивного моделирования

2.3. Многовариантный подход к численному решению систем эволюционных уравнений 42 Выводы

3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ И МЕТОДОВ МНОГОВАРИАНТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА

3.1. Постановка задачи численного решения систем эволюционных уравнений в частных производных

3.2. Методология численного решения систем эволюционных уравнений в частных производных

3.2.1. Переход от аналитического вида решаемой системы эволюционных уравнений к разностной аппроксимации

3.2.2. Функциональный анализ различных способов задания краевых условий динамической системы эволюционного типа

3.2.3. Применение динамической расчетной сетки с нерегулярным шагом для решения эволюционных уравнений в частных производных

3.2.4. Разработка алгоритма добавления новой ячейки в нерегулярную расчетную сетку с использованием частичной регуляризации сетки

3.2.5. Адаптация алгоритма обобщенного покоординатного спуска для нахождения численного решения в узлах нерегулярной расчетной сетки с адаптивной подстройкой шага дифференцирования

3.2.6. Модификация пространственного метода численного решения систем нелинейных уравнений с применением радиально-базисной нейронной сети для хранения информации о пространстве решения

3.3. Повышение эффективности алгоритма адаптивной подстройки шага численного дифференцирования систем эволюционного типа

3.3.1. Формирование критерия оптимальности динамической расчетной сетки

3.3.2. Выявление обобщенного алгоритма адаптивной подстройки шага для двухмерной прямоугольной нерегулярной расчетной сетки

3.3.3. Разработка эффективного алгоритма адаптивной подстройки шага с памятью

3.3.4. Исследование параметров эффективности алгоритма адаптивной подстройки шага с памятью по сравнению с широко распространенными алгоритмами

3.4. Методология параметрической оптимизации эволюционных динамических систем

3.4.1. Постановка задачи параметрической оптимизации

3.4.2. Редуцирование задачи многокритериальной оптимизации к однокритериальной задаче

3.4.3. Явление овражности и методы распознавания овражной ситуации

3.4.4. Методология решения общей задачи однокритериальной оптимизации динамических систем эволюционного типа

3.5. Вывод эволюционных динамических систем из экстремальных ситуаций 98 Выводы

4. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ И МЕТОДОВ ФУНКЦИНИРОВАНИЯ МОДУЛЕЙ СИСТЕМЫ МНОГОВАРИАНТНОГО ИНТЕРАКТИВНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

4.1. Разработка пользовательского интерфейса управления процессом моделирования в интерактивном режиме

4.1.1. Формирование графического пользовательского интерфейса с учетом управления в экстремальных ситуациях

4.1.2. Удаленное управление и текстовый интерфейс работы со системой интерактивного моделирования

4.2. Разработка специализированного языка описания математических моделей для автоматизации задания входных данных

4.3. Реализация вычислительного модуля системы моделирования динамических систем эволюционного типа

4.3.1. Осуществление автоматического перехода от математического описания модели к численной аппроксимации

4.3.2. Реализация методов задания краевых условий динамической системы

4.3.3. Формирование и хранение динамической расчетной сетки с нерегулярным шагом дифференцирования

4.3.4. Нахождение численного решения системы эволюционных уравнений в узлах расчетной сетки

4.4. Сохранение и подсчет частоты использования шагов дифференцирования

4.5. Квазиоптимальное управление параметрами модели через граничные условия при помощи типовых законов управления

4.6. Методология визуализации результатов моделирования динамических систем эволюционного типа

4.6.1. Синтез нерегулярной самоорганизующейся структуры данных для хранения численной информации при визуализации

4.6.2. Разработка метода проекции высокочастотных численных данных на пространство визуализации 114 Выводы

5. ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ МНОГОВАРИАНТНОГО ИНТЕРАКТИВНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ СИСТЕМ

5.1. Апробация работы интерактивной системы моделирования на модельной задаче процесса регенерации неподвижного слоя катализатора

Выводы

Актуальность темы исследования. Динамические системы эволюционного типа возникают в связи с современными прикладными задачами математической физики при описании поведения сплошной среды, математические модели которых представлены в виде эволюционных дифференциальных уравнений в частных производных, в которых решение зависит от одной «пространственной» и одной «временной» переменной. В ходе эволюции системы могут возникать различные экстремальные (нештатные) ситуации (режимы), приводящие к разрушению объектов технологического процесса (оборудования, сырья, продуктов и т.д.). Важнейшей задачей математического моделирования является обнаружение и предотвращение ситуаций такого рода за счет формирования управляющих воздействий на граничных условиях параметров эволюционных систем.

Проведение вычислительного эксперимента при исследовании сложных систем нелинейных эволюционных уравнений в современных универсальных системах математического моделирования осложняется высокими требованиями к точности начального приближения к решению, низкой скоростью приближения к решению или отсутствием сходимости применяемых итерационных численных методов при резких изменениях краевых условий. Кроме того, низкая производительность при использовании интерпретируемых языков описания математических моделей (MATLAB, MathCad, Mathematica и т.д.), а также недостаточная гибкость систем с трансляцией в компилируемые языки (XMDS), не позволяют использовать перечисленные программные системы для обнаружения экстремальных ситуаций и формирования управляющих воздействий, выводящих моделируемый объект из экстремального режима в реальном времени.

Решение проблемы снижения требований к точности начального приближения к решению может быть достигнуто с использованием интервальных методов, однако повышенные вычислительные затраты и погрешности при вычислении интервальных отображений функций приводят к необходимости применения многовариантного подхода, заключающегося в совместном использовании интервальных и численных итерационных методов. При этом язык описания математических моделей эволюционных систем должен иметь средства формализации экстремальных ситуаций и задания управляющих воздействий.

Таким образом, актуальность диссертационной работы определяется необходимостью создания алгоритмов и методов для повышения производительности и счетной устойчивости процессов численного решения при моделировании динамических режимов объектов эволюционного типа, осуществления обнаружения нештатных ситуаций и формирования управляющих воздействий, выводящих систему из экстремального режима.

Тематика диссертационной работы соответствует научному направлению Воронежского государственного технического университета «Вычислительные системы и программно-аппаратные комплексы».

Цель работы и задачи исследования. Целью исследования является разработка алгоритмов и методов численных расчетов для моделирования динамических режимов систем эволюционного типа, обеспечивающих повышенную счетную устойчивость, характеризующихся минимальными вычислительными затратами и требованиями к машинной памяти, а также осуществляющих обнаружение нештатных ситуаций и формирование управляющих воздействий, выводящих систему из экстремального режима.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1 провести функциональный анализ распространенных программных средств математического моделирования динамических режимов систем эволюционного типа;

2 разработать структуру системы многовариантного моделирования, позволяющую осуществлять численный расчет и визуализацию динамических режимов систем эволюционного типа, обнаружение нештатных ситуаций и формирование квазиоптимальных типовых управляющих воздействий, выводящих систему из экстремального режима;

3 проанализировать традиционные способы адаптивной подстройки шага дифференцирования для аппроксимации частных производных и разработать алгоритм, учитывающий значения шагов на всех предыдущих итерациях численного расчета;

4 разработать структурный язык описания математических моделей систем эволюционного типа, включающий в себя средства задания экстремальных ситуаций и качественного вида управляющих воздействий;

5 программно реализовать и осуществить практическую апробацию системы многовариантного моделирования и алгоритмов, осуществляющих численный расчет, визуализацию динамических режимов систем эволюционного типа, обнаружение нештатных ситуаций и вывод системы из экстремального режима.

Методы исследования. В работе использованы методы исследования теории нелинейных динамических систем, численные методы решения нелинейных уравнений в частных производных, математическое программирование, интервальная математика.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- алгоритм формирования частично регуляризированной расчетной сетки, учитывающий топологию разностной аппроксимации исходной системы уравнений в частных производных;

- модифицированный метод адаптивной подстройки шага, учитывающий неравномерность распределения ячеек на всех временных слоях расчетной сетки;

- критерий эффективности расчетной сетки, отражающий требования к вычислительным ресурсам, характеризующий неравномерность распределения шагов и позволяющий комплексно сравнивать различные алгоритмы построения расчетной сетки;

- структура системы многовариантного моделирования и визуализации динамических режимов систем эволюционного типа, позволяющая осуществлять обнаружение нештатных ситуаций и формирование квазиоптимальных типовых управляющих воздействий, выводящих систему из экстремального режима.

Практическая значимость работы. Предложенные в работе алгоритмы и методы построения частично регуляризированной расчетной сетки, адаптивной подстройки шага численного дифференцирования, многовариантного решения систем эволюционных уравнений, обнаружения экстремальных ситуаций, формирования управляющих воздействий и визуализации полученных результатов реализованы в виде специальной программной системы «Система многовариантного интерактивного моделирования эволюционных систем».

Разработанное программное обеспечение может быть использовано для комплексного исследования динамических систем эволюционного типа, обнаружения экстремальных ситуаций и поиска квазиоптимальных управляющих воздействий, выводящих систему из нештатного режима.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные алгоритмы и методы, предложенные в диссертации, реализованы и апробированы в виде программной системы многовариантного интерактивного моделирования динамических систем эволюционного типа. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе Воронежского государственного технического университета в дисциплинах «Автоматизированные системы проектирования», «Компьютерная графика».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: Всероссийских конференциях «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2004-2006); Международных конференциях «Современные проблемы информатизации в системах моделирования, программирования и телекоммуникаций» (Воронеж, 2004-2006); Международной конференции

Современные проблемы информатизации в непромышленной сфере и экономике» (Воронеж, 2005); научных семинарах кафедры «Автоматизированных и вычислительных систем» ВГТУ (Воронеж, 2004-2007).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 13 научных работ, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателем предложены: [53,62] - модульная структура системы многовариантного интерактивного моделирования; [54] - алгоритм адаптивной подстройки шагов численного дифференцирования; [55] -несколько подходов к обнаружению и управлению в экстремальных ситуациях; [56] - алгоритмизация и программная реализация графического представления результатов моделирования; [57,60,61] - древовидная структура данных для хранения численной информации для визуализации; [58,59] - методология отображения высокочастотных численных данных на грубой экранной сетке; [63] - структурная декомпозиция математической модели на элементы; [64] - применение радиально-базисной нейронной сети для редуцирования пространства поиска корней; [65] - методология формирования начальных и граничных условий.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, изложена на 148 листах, содержит список литературы из 66 наименований, 30 рисунков, 3 таблицы и 2 приложения.

Выводы

1. Проведено моделирование процесса регенерации неподвижного слоя катализатора с применением системы многовариантного интерактивного моделирования. Осуществлено решение ряда модельных задач регенерации неподвижного слоя катализатора в экстремальных условиях по температуре.

2. Проведенные вычислительные эксперименты позволяют утверждать, что система многовариантного интерактивного моделирования является гибким инструментом для численного решения систем нелинейных эволюционных уравнений и может использоваться в качестве средства исследования математических моделей динамических эволюционных систем.

3. Сочетание личного опыта пользователя и возможности автоматизированного подбора коэффициентов управляющего закона из библиотеки типовых управляющих воздействий позволяет использовать систему в качестве советчика оператору при управлении реальными объектами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенной работы по разработке математического и программного обеспечения для моделирования и визуализации динамических режимов систем эволюционного типа, осуществляющего управление в экстремальных ситуациях, были получены следующие результаты.

1. Сформирована структура системы многовариантного моделирования и визуализации динамических режимов систем эволюционного типа, позволяющая осуществлять обнаружение нештатных ситуаций и формирование квазиоптимальных типовых управляющих воздействий, выводящих систему из экстремального режима.

2. Разработан алгоритм формирования частично регуляризированной расчетной сетки, учитывающий топологию разностной аппроксимации исходной системы уравнений в частных производных.

3. Произведена модификация метода адаптивной подстройки шага для учета неравномерности распределения ячеек на всех временных слоях расчетной сетки.

4. Предложен критерий эффективности расчетной сетки, отражающий требования к вычислительным ресурсам, характеризующий неравномерность распределения шагов и позволяющий комплексно сравнивать различные алгоритмы построения расчетной сетки.

5. Разработан специальный структурный язык описания математических моделей эволюционных динамических систем, являющийся подмножеством языка XML. Описания моделей автоматически транслируются в С++ код и подключаются к системе на этапе загрузки.

6. Разработана специальная программная система многовариантного моделирования, апробированная при исследовании процесса регенерации неподвижного слоя катализатора в экстремальных условиях по температуре.

1. Павленко В.Г. Основы механики жидкости. -JL: Судостроение, 1988. -240 с.

2. Тучинский М.Р.; Родных Ю.В. Математическое моделирование и оптимизация пиролизных установок. -М.: Химия, 1979.

3. Задорожний В.Г., Ульянова E.JL, Родных Ю.В. Оптимизация процесса пиролиза бензина // Дифференциальные уравнения и их приложения. -Воронеж: ВГУ, 1985. -С. 25-32.

4. Подвальный С.Л., Барабанов В.Ф. Моделирование периодического управления расходом сырья процесса пиролиза углеводородов. -Воронеж, 1988. -13 с. -Деп. В ВИНИТИ, № 57-ХП88.

5. Самарский А.А., Попов Ю.П. Вычислительный эксперимент. -М.: Знание. 1983.

6. Афанасьев В.Н., Колмаковский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 1989. -477 с.

7. Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. -М.: Наука, 1987.

8. Романов А.Н., Жабеев В.П. Имитаторы и тренажеры в системах отладки АСУТП. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 112 с.

9. Самарский А.А. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982. - С. 332.

10. Справочник проектировщика АСУТП / Г.Л. Смилянский, Л.З. Амлинский, В.Я. Баранов и др.; Под ред. Г.Л. Смилянского. М.: Машиностроение, 1983. - 527 с.

11. П.Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965.

12. Солодов А.В., Солодова Е.А. Система с переменным запаздыванием. М.: Наука, 1980.384 с.

13. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Д. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

14. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978.-416 с.

15. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М., Изд-во АН СССР, 1963.

16. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.

17. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., Наука, 1967.

18. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

19. Нелепин Р.А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Л.: Судостроение, 1967.

20. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М., Наука. 1979. 351 с.

21. Точные аналитические методы исследования нелинейных автоматических систем. Бутенин Н.В., Нелепин Р.А. // Прикладная математика и кибернетика. М., Наука, 1973. С. 39-45.

22. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М., Гостехиздат, 1946.

23. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988.

24. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. -М.: Мир, 1977.

25. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. М.: ИЛ, 1963.

26. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. М.: Мир, 1985.

27. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высш. Шк., 2002 -840 с.

28. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

29. Галлеев Э.М. Тихомиров В.Н. Оптимизация: теория, примеры, задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

30. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация М.: Мир, 1985.

31. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. М.: Изд-во МАИ, 1995.

32. Neumaier A.; Interval Methods for Systems of Equations // Cambridge University Press, Cambridge, 1990-C. 143-145.

33. Цирлин A.M. Оптимальные циклы и циклические режимы. М.: Энерноатомиздат, 1985. - 264 с.

34. Кафаров В.В., Мешалкин В.Г., Гурьева Л.В. Оптимизация теплообменных процессов и систем. -М.: Энергоатомиздат, 1988.

35. Цирлин A.M., Балакирев B.C., Дудников Е.Г. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов. М.: Энергия, 1976.

36. Балакирев B.C., Володин В.М., Цирлин A.M. Оптимальное управление процессами химической технологии (Экстремальные задачи в АСУ). -М.: Химия, 1978.-383 с.

37. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. -М.: Химия, 1985.-448 с.

38. Бодров В.И., Вильский Е.Г. Оптимизация процесса пиролиза с использованием нестационарной математической модели // Теор. основы хим. технол. 1977. - № 45. - С. 750-756.

39. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 448 с.

40. Розенброк X., Стори С. Вычислительные методы для инженеров-химиков. М.: Мир, 1968.

41. Черноруцкий И. Г. Методы оптимизации в теории управления. СПб.: Питер, 2004.

42. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

43. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. М.: Мир, 1983.

44. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.

45. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963.

46. Уилкинсон Дж. X., Райнш С. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. М.: Машиностроение, 1976.

47. Chen, S., C.F.N. Cowan, P. M. Grant.; Orthogonal Least Squares Learning Algorithm for Radial Basis Function Networks // 1991 C. 302-309.

48. James A. Freeman, David M. Skapura.; Neural networks : algorithms, applications, and programming techniques //1991. C. 103-106.

49. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

50. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

51. Черноруцкий И. Г. Оптимальный параметрический синтез: электротехнические устройства и системы. Л.: Энергоатомиздат, 1987.

52. Барабанов В.Ф., Подвальный С.Л. Интерактивные средства моделирования сложных технологических процессов. Воронеж: ВГТУ, 2000.

53. Барабанов В.Ф., Плахотнюк О.С. Моделирование и визуализация динамических систем эволюционного типа // Вестник ВГТУ. 2005. -Том 1, №5.-С. 40-42.

54. Плахотнюк О.С., Барабанов В.Ф. Применение эффективного алгоритма адаптивной подстройки шагов дифференцирования с памятью для численного решения уравнений эволюционного типа // Вестник ВГТУ. 2007. - № 1.

55. Плахотнюк О.С., Барабанов В.Ф. Прогнозирование и предотвращение экстремальных ситуаций в ходе моделирования динамических систем эволюционного типа // Вестник ВГТУ. 2007. - №1.

56. Барабанов В.Ф., Плахотнюк О.С. Программный модуль "Система визуализации численных данных на плоскости", ФАП ВНТИЦ № 2649916100139 от 22.12.2003.

57. Плахотнюк О.С., Барабанов А.В. Универсальный визуализатор числовых данных //Современные проблемы информатизации в системах моделирования, программирования и телекоммуникаций: Сб. трудов. Вып. 9 Воронеж: Издательство "Научная книга", 2004. -С.370-371.

58. Плахотнюк О.С., Барабанов А.В. Система визуализации численных данных на плоскости //Информационные технологии моделирования и управления: Международный сборник научных трудов. Вып. 12 -Воронеж: Издательство "Научная книга", 2004. -С. 110-114.

59. Барабанов В.Ф., Плахотнюк О.С. Система визуализации численных данных в трехмерном пространстве //Информационные технологии моделирования и управления: Международный сборник научных трудов. Вып. 12 Воронеж: Издательство "Научная книга", 2004. -С.43-46.

60. Барабанов В.Ф., Плахотнюк О.С. Визуализация результатов моделирования //Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве: Труды Всерос. конференции.- Воронеж, гос. тех. ун-т, 2004. -С.23-24.

61. Барабанов В.Ф., Плахотнюк О.С. Графическое представление результатов моделирования //Современные проблемы механики и прикладной математики: Сборник трудов международной школы-семинара. Воронеж, ВГУ, 2004. -С.63-66.

62. Барабанов В.Ф., Плахотнюк О.С. Интерактивная система моделирования динамических режимов систем эволюционного типа //

63. Современные проблемы информатизации в непромышленной сфере экономики: Сб. трудов. Вып. 10. Воронеж: Издательство "Научная книга", 2005. -С. 91-92. (по итогам X международной научной конференции).

64. Плахотнюк О.С., Хмелевской К.Г. Разработка интерактивной среды численного исследования математических моделей.

65. Плахотнюк О.С., Барабанов В.Ф. Использование радиально-базисной нейронной сети для численного решения систем нелинейных уравнений // Прикладные задачи моделирования и оптимизации: Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж, 2006. -С. 122-128.

66. Барабанов В.Ф., Плахотнюк О.С. Исследование динамических режимов систем эволюционного типа // Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве: Труды Всероссийской конференции. Воронеж, ВГТУ, 2006. -С.31.