автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование устойчивости автономных нелинейных динамических систем без функций Ляпунова и потенциальной функции

005011409

Кузнецов Андрей Юрьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОНОМНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ БЕЗ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

1 с оез т

Тверь, 2012

005011409

Работа выполнена на кафедре «Математического моделирования» Тверского государственного университета.

Научный руководитель:

Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор, Ка-тулев Александр Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, доцент, Зингерман Константин Моисеевич

доктор технических наук, профессор, Золотухин Валерий Константинович Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН

Защита диссертации состоится 02.03.2012 в 16:00 на заседании диссертационного совета Д212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170002, г.Тверь, Садовый переулок, д.25, ауд. 200.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу:

170100, г.Тверь, ул.Володарского, д.24а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http://university.tversu.ru/aspirants/abstracts.

Автореферат разослан 2 февраля 2012 года.

И.О. учёного секретаря диссертационного совета, доктор физико - математических наук, доцент

Г.М.Соломаха

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В физике, технике, экономике, биологии и химии динамические процессы описывают нелинеиными системами автономных обыкновенных дифференциальных уравнении, системами уравнении в частных производных, интегральных и интегро - дифференциальных уравнений.

К таким системам предъявляется одно общее требование — система должна обладать динамической и структурной устойчивостью.

Результаты основополагающих работ Н.П. Еругина, В.А. Плиса, Н.Н. Красовского, А.А. Первозванского и М.А. Айзермана по исследованию сложных динамических систем получены на основе введения и анализа функций Ляпунова - качественными методами. Однако общего алгоритма её построения не имеется, эвристические приемы реализуются в частных случаях. Исследование устойчивости посредством построения фазовых портретов на практике возможно, как правило, лишь для систем первого и второго порядка. В известном методе И.В. Бойкова функция Ляпунова в явном виде не используется, но правая часть исследуемой системы представляется в виде самосопряжённой матрицы. Такое допущение, очевидно, справедливо в частном случае.

Таким образом, существует актуальная необходимость в развитии методов формирования необходимых и достаточных условий устойчивости нелинейных автономных динамических систем, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, а также системами уравнений с частными производными, интегральными и интегро - дифференциальными уравнениями, сводящимися к системам обыкновенных дифференциальных уравнений вида

±{І) = к), (1)

где х(£) = (агі (і),... ,і„(і)) — вектор фазовых координат, к = (Ь,..., кт)

— вектор параметров системы, п, т — размерности пространства фазовых координат и пространства параметров системы, Х{х(і), к) = (Хі(ж(і), к), ..., Хп(х(€), к)) — в общем случае нелинейная вектор - функция.

Проблема выявления необходимых и достаточных условий динамической устойчивости нелинейных систем усиливается тем, что при изменении параметров динамическая система может переходить из устойчивых состояний в неустойчивые — нарушается структурная устойчивость.

Свойство структурной устойчивости или неустойчивости системы, по А.А. Андронову, устанавливается отсутствием или наличием бифуркаций соответственно. Результаты работ А.А. Андронова, Л.С. Понтрягина по исследованию структурной устойчивости потенциальных систем получены на основе анализа потенциальной функции.

Таким образом, существует необходимость в развитии методов исследования структурной устойчивости нелинейных автономных многомерных динамических систем независимо от дифференциации систем на потенциальные и непотенциальные.

На начальных этапах проектирования сложных динамических систем исходные данные не определены и исследование динамической и структурной устойчивости таких систем необходимо проводить в широком диапазоне исходных данных. Проведение таких исследований вручную не возможно из-за ограничений по времени, накладываемых конструктором. Проблема усложняется большой размерностью нелинейных систем.

Таким образом, возникает актуальная необходимость в разработке группы программ исследования динамической и структурной устойчивости нелинейных динамических систем.

Цели работы:

1. Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, системами уравнений с частными производными, интегральными и интегро -дифференциальными уравнениями, сводимыми к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (1).

2. Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

3. Разработка и программирование алгоритмов формирования необходимых и достаточных условий структурной и динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

4. Создание группы программ исследования структурной и динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

5. Выявление необходимых и достаточных условий динамической и структурной устойчивости конкурирующих систем, движения летательного аппарата, динамики численности вредителя леса, динамики загрязнения фос-

фатами эфтрофпых озер, движения воды в канале, процесса химического окисления, динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом их возрастных изменений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем без введения функции Ляпунова, линеаризации, построения фазовых портретов и качественных методов.

2. Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем без дифференциации систем на потенциальные и непотенциальные.

3. Группа программ исследования динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем, реализованных на основе системы символьной математики Maxima и высокоуровневых языков программирования lisp и C++.

4. Необходимые и достаточные условия динамической и структурной устойчивости системы конкурирующих производителей, движения летательного аппарата, динамики численности вредителя леса, динамики загрязнения фосфатами эфтрофпых озёр, движения воды в канале, процесса химического окисления, динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом их возрастных изменений.

Теоретическое обоснование и практическая реализация изложенных положений составляют сущность диссертационной работы автора.

Научная новизна:

1. Развитие теории методов исследования динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем, описываемых многомерными нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений, а также системами уравнений с частными производными, интегральными и интегро - дифференциальными уравнениями, сводящимися к нелинейным системам обыкновенных дифференциальных уравнений (1), без использования функции Ляпунова, линеаризации, построения фазовых портретов и независимо от дифференциации систем на потенциальные и непотенциальные.

Практическая значимость:

1. Созданы алгоритмы и реализованы программы исследования устойчивости автономных нелинейных динамических систем, что составляет вклад в исследовательскую базу нелинейных динамических систем.

2. Получены аналитически необходимые и достаточные условия устойчивости автономных нелинейных динамических систем, существенно развивающие известные эвристические приемы Н.П. Еругина, В.А. Плиса, Н.Н. Красовского, А.А. Первозванского, М.А. Айзермана и Р. Гилмора.

Исследованы на ПЭВМ системы конкурирующих производителей, движения летательного аппарата, динамики распространения вредителя леса, динамики загрязнения фосфатами эфтрофных озёр, движения воды в канале, процесса химического окисления, динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом их возрастных изменений. Установлены необходимые и достаточные условия их динамической и структурной устойчивости.

Условия получены в широком диапазоне исходных данных и без допущений, введённых в работах М.В. Мелика - Гайказяна, В.Ф. Тарасенко, Р. Гилмора, Дж. Касти и других авторов.

3. Разработанные программы по существу представляют группу программ исследования устойчивости автономных нелинейных динамических систем и используется в ФГУП «НИИИТ» при проектировании сложных динамических систем и процессов, имеется соответствующий акт о реализации от 15 ноября 2010г. Группа программ используется в учебном процессе кафедры математического моделирования ГОУ ВПО ТвГУ, выписка из протокола заседания кафедры от 28 октября 2010г.

Разработанные теоремы и группа программ могут применяться в научно - исследовательских организациях при проектировании и на других этапах создания сложных динамических систем с нелинейными элементами и в вузах при изучении теории и практики проведения исследований динамических систем и процессов.

Достоверность. Достоверность необходимых и достаточных условий динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных систем

обусловлена строгим математическим обоснованием в виде теорем. Дополнительно подтверждена сравнением результатов, полученных в фундаментальных работах Н.П. Еругина, Е.А. Барбашина, Н.Н. Красовского, В.А. Плиса, А.А. Первозванского эвристико - качественными методами, с результатами, полученными в диссертационной работе.

Группа программ откалибрована на типовых математических моделях, в результате подтверждена достоверность сформированных необходимых и достаточных условий устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

Апробация результатов исследования. В ходе работы по теме диссертации полученные результаты были доложены на 17-ой Международной научно - технической конференции «Современное телевидение» (ФГУП МКБ «Электрон», Москва, 2009); 18-ой международной научно - технической конференции «Современное телевидение» (ФГУП МКБ «Электрон», Москва, 2010); XVI международном симпозиуме «Динамические системы и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» имени А.Г. Горшкова (МАИ, Ярополец, 2010); второй Российской школы - конференции с международным участием для молодых специалистов «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тв-ГУ, Тверь, 2010); 19-ой Международной научно - технической конференции «Современное телевидение и радиоэлектроника» (ФГУП МКБ «Электрон», Москва, 2011). '

Группа программ апробировалась в ФГУП «НИИИТ» при проектировании сложных динамических систем и процессов, а также в учебном процессе кафедры математического моделирования ГОУ ВПО ТвГУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ, 3 из них - в изданиях, включённых в перечень ведущих российских рецензируемых научных журналов, утверждённый ВАК Минобрнауки России.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 68 наименований. Общий объем составляет 145 страниц; диссертация содержит 2 таблицы и 44 иллюстрации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе проведен анализ математических моделей автономных систем по типу нелинейности, по свойству потенциальности и наличия изменяющихся параметров. Цель анализа сводится к выявлению типа динамической устойчивости автономных нелинейных систем и необходимости её исследования без применения качественных методов и функции Ляпунова, а также к выявлению необходимости исследования структурной устойчивости без построения потенциальной функции, опираясь на сопряжённую гамильтонову систему.

В связи с этим рассмотрены основные определения устойчивости и связи между ними. Из анализа установлена целесообразность формирования необходимых и достаточных условий асимптотической динамической устойчивости также опираясь на сопряжённую гамильтонову систему. При этом критериями асимптотической динамической устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений являются критерии Раусса - Гурви-ца и Льенара - Шипара, а для нелинейных динамических систем формальных универсальных критериев асимптотической устойчивости не предложено.

В главе поставлена научная задача, заключающаяся в

- математическом обосновании необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем без использования функции Ляпунова;

- математическом обосновании необходимых и достаточных условий структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем независимо от дифференциации систем на потенциальные и непотенциальные;

- разработке группы программ исследования динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

В связи с выявленной необходимостью оперативного проведения исследования динамической и структурной устойчивости нелинейных динамических систем в широком диапазоне исходных данных, а также в связи с большой размерностью и нелинейностью этих систем, к группе программ предъявляются следующие требования:

- распределенность. Программы должны выполняться на разных ПЭВМ или на разных ядрах многоядерных ПЭВМ, в том числе в облачных инфраструктурах;

- параллельность. Вычисления должны проводиться по возможности па-

раллельно;

- открытость. Группа программ должна быть адаптирована к наращиванию функциональности в смысле включения в неё новых вычислительных модулей;

- интерактивность. Программы должны взаимодействовать с оператором посредством графического интерфейса интерактивно.

Во второй главе доказаны теоремы, представляющие теоретическую основу необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

В основу формирования необходимых и достаточных условий устойчивости автономных нелинейных динамических систем в работе принимается известный факт: для основной (1) и сопряжённой систем гамильтоновых уравнений

d(XT(x,k),p(t))^T- м

Pi{t) ----------^--------, г - 1,71, (6)

где p(t) = (pi(t),... ,pn(t)) — вектор сопряжённых фазовых координат, {Хт(х, к), p{t)) — скалярное произведение, одновременно невозможны асимптотически устойчивые положения равновесия и асимптотически устойчивые предельные циклы в фазовом пространстве.

Одной из ключевых в главе 2 является следующая теорема:

Теорема 1 Для любой нелинейной автономной системы п-го порядка

ii{t) = Xiix^t), ...,xn(t)), i = l,n :

существует сопряжённая гамильтонова система

Pi(t) = -d(XT,p{t))/dxi, г = I"й,

линейная однородная относительно сопряжённых фазовых координат.

При этом, если действительные части собственных значений сопряжённой системы тождественно не равны 0, то условия их положительности являются необходимыми и достаточными для асимптотической устойчивости решения исходной системы.

Доказаны теоремы, представляющие непосредственное решение проблемы Айзермана в смысле обоснования необходимых и достаточных усло-

I

Ж! (О = «11^(0 + •■ ■ + Я1пхп(1) +/(а;(()),

Xи ^21*^1(^) “Ь • • • “Ь &2п‘£ и (^) >

где х(£) = (х1({),... ,хп(1)) — вектор фазовых координат размерности п, а.{к, г,к = 1 ,п - числовые коэффициенты, /{х(Ь}) — нелинейная дифференцируемая функция. Всего доказано 13 теорем.

Достоверность теорем дополнительно подтверждена сравнением результатов, полученных в фундаментальных работах Н.П. Еругина, Е.А. Бар-башина, Н.Н. Красовского, В.А. Плиса, А.А. Первозванского эвристико -качественными методами, с результатами из главы 2.

Доказаны теоремы:

- по распространению необходимых и достаточных условий устойчивости нелинейных динамических систем, на системы, описываемые уравнениями в частных производных. В основу теоремы положена идея перевода уравнения в частных производных из временной области в частотную посредством преобразования Фурье с последующим применением теоремы Планшереля о равенстве норм пространства исходных фазовых координат и пространства частотных координат.

- по распространению необходимых и достаточных условий устойчивости нелинейных динамических систем, на системы, описываемые интегральными и интегро - дифференциальными уравнениями. Основой теоремы является известная возможность преобразования исходного интегрального или интегро - дифференциального уравнения к уравнению с обыкновенными производными применением линейного оператора дифференцирования.

- по обоснованию необходимых и достаточных условий структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем. Сущность теоремы заключается в том, что собственные значения сопряжённой линейной системы (2) как функции от изменяющихся параметров системы (1) в областях структурной устойчивости исходной системы положительно определены и меняют знак в точках бифуркации — при нарушении структурной устойчивости.

В третьей главе созданы и запрограммированы основные алгоритмы исследования динамической и структурной устойчивости нелинейных ав-

тономных динамических систем. Это алгоритмы:

- асинхронного управления процессом вычислений;

- работы системы управления базой данных;

- работы сетевого транспортного ядра;

- формирования необходимых и достаточных условий динамической устойчивости нелинейных автономных динамических систем;

- формирования необходимых и достаточных условий структурной устойчивости нелинейных автономных динамических систем;

- построения интерактивного графического интерфейса оператора.

Разработанная группа программ удовлетворяет требованиям по распараллеливанию вычислений, по распределённости программ между ПЭВМ и по интерактивности режима работы.

Основой распределённости вычислений является сетевая прозрачность, реализуемая транспортным ядром.

Открытость группы программ достигается путём декларирования программных интерфейсов транспортного ядра и расширяемостью нереляционной базы данных.

Распараллеливание вычислений основано на асинхронности системы событий.

В главе дано математическое обоснование выбора средств и инструментов разработки программного обеспечения.

Проведена калибровка группы программ на типовых математических моделях. В результате подтверждена достоверность формирования группой программ необходимых и достаточных условий динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

В четвёртой главе изложены результаты вычислительного эксперимента по исследованию динамической и структурной устойчивости различных автономных нелинейных динамических систем в биологии, экологии, физике, химии, а также аэродинамических и конкурирующих систем. Исследования проведены в широком диапазоне исходных данных и в результате сформированы необходимые и достаточные условия динамической и структурной устойчивости этих систем в аналитической форме.

Так, получены необходимые и достаточные условия динамической и структурной устойчивости автономной нелинейной непотенциальной динамической системы конкурирующих систем без допущений относительно поведения её изменяющихся параметров и фазовых переменных, введён-

ных в работе М.В. Мелик - Гайказяна, В.Ф. Тарасенко.

Построено бифуркационное множество для движения летательного аппарата как многомерной автономной непотенциальной системы с изменяющимися параметрами в развитие результатов, установленных Р. Гилмором для конкретного самолёта.

Сформированы необходимые и достаточные условия, при которых могут наблюдаться вспышки численности насекомого - вредителя, периодически разрушающего леса на больших территориях Северной Америки — листовертки.

Установлены исходные данные и степень необратимого загрязнения фосфатами эвтрофных водоёмов. Результаты охватывают данные, полученные Дж. Касти при исследовании конкретного водоёма с заданными исходными данными.

Математическими моделями динамики загрязнения фосфатами эвтрофных водоёмов и развития листовертки являются трёхмерные автономные нелинейные непотециальные системы с изменяющимися параметрами.

Сформированы необходимые и достаточные условия динамической и структурной устойчивости движения воды в канале, описываемого нелинейным уравнением в частных производных с изменяющимися параметрами.

Получены области значений исходных данных и параметров системы, при которых проведение химического эксперимента по окислению СО на кластере палладия безопасно. Процесс окисления СО на кластере палладия описывается автономной нелинейной непотециальной системой четырёх дифференциальных уравнений с изменяющимися параметрами.

Установлены необходимые и достаточные условия динамической устойчивости и бифуркационное множество для процесса развития бактерий с учётом старения клеток, описываемого интегро - дифференциальным нелинейным уравнением с изменяющимися параметрами.

В заключении излагаются основные выводы и результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Теоретически обоснованы необходимые и достаточные условия динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем, опи-

сываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, системами уравнений с частными производными, интегральными и интегро -дифференциальными уравнениями, сводимыми к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (1) без введения функции Ляпунова, построения фазовых портретов, линеаризации исследуемой системы или применения качественных методов.

Теоретически обоснованы необходимые и достаточные условия структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем без их дифференциации на потенциальные и непотенциальные.

Получены аналитически необходимые и достаточные условия устойчивости автономных нелинейных динамических систем в развитие известных эвристических приемов Н.П. Еругина, Е.А. Барбашина, В.А. Плиса, Н.Н. Красовского, А.А. Первозванского, М.А. Айзермана и Р. Гилмора.

Разработаны и запрограммированы алгоритмы формирования необходимых и достаточных условий структурной и динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

Создана группа программ исследования структурной и динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем, расширяющая исследовательскую базу нелинейных динамических систем. Группа программ применима для исследования устойчивости автономных нелинейных динамических систем, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений (1).

Разработанная группа программ удовлетворяет требованиям по распараллеливанию вычислений, по распределённости программ между ПЭВМ и по интерактивности режима работы.

Выявлены необходимые и достаточные условия динамической и структурной устойчивости конкурирующих систем, движения летательного аппарата, динамики численности вредителя леса, динамики загрязнения фосфатами эфтрофных озёр, движения воды в канале, процесса химического окисления, динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом их возрастных изменений.

Полученные данные расширяют результаты работ М.В. Мелика - Гай-

казяна, В.Ф. Тарасенко, Р. Гилмора, Дж. Касти.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В научных журналах, включённых в перечень ведущих российских рецензируемых научных журналов, утверждённый ВАК Минобрнауки России

[1] Катулев А.Н., Кузнецов А.Ю. Алгоритм исследования устойчивости решений нелинейных автономных систем дифференциальных уравнений// «Нелинейный мир» № 10, т.8, М.: Роспечать, 2010, с.616-620.

[2] Катулев А.Н., Кузнецов А.Ю. Исследование устойчивости автономных нелинейных динамических систем// Электронный журнал «Труды МАИ», Шр://www.mai.ru/эйепсе/(;гис1у/риЬНзЬес!.рЬр?1В=:22859, т.28,2010, с.1-16.

[3] Кузнецов А.Ю., Катулев А.Н. Программа для ЭВМ «Расчет необходимых и достаточных условий устойчивости нелинейных динамических систем без использования качественных методов и функций Ляпунова». Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011611938, ФИПС Роспатент, 2011.

В сборниках трудов международных конференций

[4] Катулев А.Н., Кузнецов А.Ю. Исследование устойчивости автономных нелинейных динамических систем// Материалы XVI международного симпозиума «Динамические системы и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» имени А.Г. Горшкова, МАИ, Ярополец, 2010, с.110-112.

[5] Катулев А.Н., Кудинов А.Н., Кузнецов А.Ю. Метод анализа устойчивости автономных динамических систем// Труды 17-ой Международной научно - технической конференции «Современное телевидение», ФГУП МКБ «Электрон», Москва, 2009, с.222-225.

[6] Катулев А.Н., Кузнецов А.Ю. Распространение интернета в современном обществе// Труды 18-ой международной научно - технической кон-

фсрснции «Современное телевидение», ФГУП МКБ «Электрон», Москва, 2010, с.246-249.

[7] Кузнецов А.Ю. Численный расчет необходимых и достаточных условий устойчивости нелинейных динамических систем// Труды 19-ой Международной научно - технической конференции «Современное телевидение и радиоэлектроника», ФГУП МКБ «Электрон», Москва, 2011, с.245-247.

В других изданиях

[8] Катулев А.Н., Кузнецов А.Ю. Метод оценки устойчивости нелинейных автономных динамических систем// Материалы второй Российской школы - конференции с международным участием для молодых специалистов «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании», ТвГУ, Тверь, 2010, с.133-140.

Формат 60x84 1/16. Бумага ксероксная. Усл.печ.л.1. Тираж 100 экз Отпечатано в ФГУП «НИИИТ» 170003, г.Тверь, ул. Володарского, 3

61 12-1/646

Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования «Тверской государственный университет»

на правам

А.Ю.КУЗНЕЦОВ

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОНОМНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ БЕЗ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ,

А.Н.Катулев

Тверь, 2012

Оглавление

Введение 5

1 Анализ типовых математических моделей нелинейных автономных динамических систем. Постановка научной задачи 14

1.1 Математические модели нелинейных автономных динамических систем.......................... 14

1.1.1 Математическая модель взаимодействия конкурирующих динамических систем ............ 14

1.1.2 Математическая модель движения летательного аппарата .......................... 18

1.1.3 Математическая модель динамики роста плотности вредителя леса..................... 21

1.1.4 Математическая модель динамики загрязнения фосфатами эвтрофных озёр................ 23

1.1.5 Математическая модель движения воды в канале . 24

1.1.6 Математическая модель процесса химического окисления .......................... 26

1.1.7 Математическая модель динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом их возрастных изменений..................... 28

1.2 Показатели устойчивости математических моделей нелинейных автономных динамических систем.......... 31

1.3 Постановка научной задачи. Принцип исследования .... 33

1.4 Выводы............................. 35

2 Теоремы об устойчивости нелинейных динамических систем без введения функции Ляпунова 37

2.1 Теоремы о необходимых и достаточных условиях устойчивости динамических систем, описываемых автономными нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями ............................. 37

2.2 Теоремы о необходимых и достаточных условиях устойчивости динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными..... 63

2.3 Теоремы о необходимых и достаточных условиях устойчивости динамических систем, описываемых интегральными уравнениями .......................... 65

2.4 Лемма об устойчивости динамических систем, описываемых неавтономными обыкновенными дифференциальными уравнениями ........................ 65

2.5 Теоремы о необходимых и достаточных условий структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем.............................. 67

2.6 Выводы............................. 68

3 Группа программ исследования устойчивости автономных нелинейных динамических систем 69

3.1 Структура группы программ..................................69

3.1.1 Управляющая программа..............................70

3.1.2 Система управления базой данных....................73

3.1.3 Транспортная программа..............................75

3.1.4 Программа исследования динамической устойчивости 78

3.1.5 Программа исследования структурной устойчивости 85

3.1.6 Программа построения графического пользовательского интерфейса........................................92

3.2 Организация вычислительного эксперимента................98

3.3 Калибровка группы программ ................100

3.3.1 Математическая модель движения воздушных масс

в атмосфере.......................100

3.3.2 Математическая модель колебательных процессов . 104

3.4 Выводы..............................107

4 Исследование устойчивости нелинейных автономных динамических систем 108

4.1 Исследование структурной и динамической устойчивости конкурирующих производителей...................108

4.2 Исследование структурной и динамической устойчивости летательного аппарата.....................112

4.3 Исследование структурной и динамической устойчивости роста плотности вредителя..................117

4.4 Исследование структурной и динамической устойчивости загрязнения фосфатами эвтрофных озёр..........122

4.5 Исследование структурной и динамической устойчивости движения воды в канале . ...................125

4.6 Исследование структурной и динамической устойчивости окисления СО на кластере палладия.............127

4.7 Исследование структурной и динамической устойчивости динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом старения клеток....................133

4.8 Выводы.............................136

Заключение 138

Литература 141

Введение

В физике, технике, экономике, биологии и химии динамические процессы описывают нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений, системами уравнений в частных производных, интегральных и интегро - дифференциальных уравнений [1, 2, 3, 4, 5]. Нелинейности в таких системах могут быть гладкие и негладкие, непрерывные и разрывные [6, гл.1, §1.1].

Нелинейные динамические системы классифицируют на автономные и неавтономные. Автономными называют системы, описываемые дифференциальными уравнениями, правые части которых не зависят явно от времени, и неавтономными - все остальные.

К таким системам предъявляется одно общее требование - система должна обладать устойчивостью Рассматривают устойчивость динамическую и структурную. Термин «устойчивость» не имеет чёткой формулировки. Так, под динамической устойчивостью понимают свойство динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, иметь малые отклонения от траектории первоначального движения при малых возмущениях начальных условий [8, гл.1, §1]. Выделяют различные виды динамической устойчивости: устойчивость по Ляпунову [8, гл.1, §1], устойчивость в малом, большом [6, гл.5, §5.1], равномерную [9, гл.1, §2], устойчивость в целом [10, гл.1, §2], [9, гл.1, §12], абсолютную устойчивость [6, гл.5, §5.1], асимптотическую устойчивость [9, гл.1, §2], [10, гл.1, §2], экспоненциальную устойчивость [10, гл.1, §2]. [11, гл. 1], [13, гл.IV, §8], орбитальную устойчивость [15, гл.1, §1, 1.8], [13, гл.IV, §19]; условную устойчивость[16, гл.пятая, §2], [13, гл.IV, §22], [8, гл.1, §1] стохастических систем, устойчивость по мере [10, гл.1, §2].

Понятие асимптотической устойчивости охватывает устойчивость по Ляпунову; для автономных систем асимптотическая устойчивость решения влечет равномерную устойчивость [17, гл.1, §1], устойчивость в малом, в большом; асимптотическая устойчивость тривиального решения гарантирует его абсолютную устойчивость [9, гл.1, §12], а значит - устойчивость в целом [13, гл.IV, §7].

Для исследования устойчивости нелинейных динамических систем

1 Требования наблюдаемости, идентифицируемости, управляемости в настоящей работе не затрагиваются

разработаны аналитические методы Линдштета [15, гл.III, §8, 8.2], Пуанкаре [15, гл.Ш, §8, 8.3], Крылова, Боголюбова и Ван-дер-Поля [15, гл.III, §8, 8.4], Картрайта [15, гл.Ш, §9, 9.7], Важевского [15, гл.Ш, §9, 9.8], А.А.Первозванского [18], И.В.Войкова [10, 21]. Такие методы применимы для исследования систем с заданной структурой. Исследование нелинейных многомерных динамических систем качественными методами, в частности, анализ фазовых портретов [19, гл. 1], [20, гл. 3], на практике затруднительно.

Для нелинейных автономных динамических систем исследования асимптотической устойчивости проводятся согласно первому [22, гл.III-VI] и второму [23, гл. 4] подходам Ляпунова [8, гл.1, §5], [24, гл. 8].

Первый подход Ляпунова основан на линеаризации системы и исследовании линеаризованной системы с последующим переносом результатов исследования на исходную нелинейную систему. Результаты исследования на основе линеаризации системы могут не удовлетворить требованиям точности полного описания особенностей поведения исследуемой системы, так как известно [8], что линеаризованная система, или, иначе, система уравнений первого приближения [22, гл.Ш-VI], не всегда приводит к устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Устойчивость линеаризованного уравнения исследуется по критерию Раусса -Гурвица [13, гл.2, §9], [12, гл. 3], [25, гл. 13] или Льенара - Шипара [14, гл. 3], а также методами Михайлова [13, гл.2, §10], Найквиста [14, гл. 3], Попова [6, 7], асимптотических разложений [15, гл.IV] или построением фазовых портретов.

Второй подход основан на анализе функции Ляпунова. Однако универсального метода её построения к настоящему времени не найдено [26, гл.II, §2], [27, гл.4, предисловие]. Известны лишь частные методы: энергетический приём, метод Беллмана- Ляпунова- Якоби, метод подбора функций, задание вспомогательной функции желаемого вида.

Энергетический метод [27, гл.II, §2] основан на формировании функции полной энергии исследуемого процесса. В общем случае функцию полной энергии выявить не представляется возможным.

Метод разделения переменных [1, §6.5] основан на эвристическом построении структуры функции Ляпунова: функция Ляпунова берется в виде произведения функций, зависящих от одной из фазовых координат.

Метод Беллмана [27, гл.II, §2] основан на решении системы уравнений Беллмана- Ляпунова- Якоби, однако решить такое уравнение не представляется возможным, так как неизвестна структура искомой функции.

Так, в связи с объективным обстоятельством, что существующие на сегодняшний день методы исследования устойчивости неприменимы для исследования любых нелинейных динамических систем, продолжает су-

ществовать актуальная необходимость в развитии методов исследования динамической устойчивости нелинейных автономных динамических систем.

Эта проблема усиливается тем, что при изменении параметров динамической системы, то есть при изменении её структуры, система может переходить из устойчивых состояний в неустойчивые - нарушается структурная устойчивость. Принято [28] считать структурно устойчивой системой ту, которая остается эквивалентной по своим топологическим свойствам исходной при малых её возмущениях.

Структурная устойчивость и неустойчивость определяется соответственно отсутствием и наличием бифуркаций [29, 30, 31]. Бифуркации определяются путём исследования потенциальной функции системы, однако такую функцию можно построить только для потенциальных систем.

Таким образом, существует необходимость в развитии методов исследования структурной устойчивости нелинейных автономных динамических систем без дифференциации на потенциальные и непотенциальные.

На начальных этапах проектирования сложных динамических систем исходные данные не определены и исследование динамической и структурной устойчивости таких систем необходимо проводить в широком диапазоне исходных данных. Проведение таких исследований вручную не возможно из-за ограничений по времени, накладываемых конструктором. Проблема усложняется большой размерностью нелинейных систем. В связи с этим исследование целесообразно проводить на ПЭВМ с помощью систем символьной математики.

Так, целями работы являются:

1. Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, системами уравнений с частными производными, интегральными и интегро- дифференциальными уравнениями, сводимыми к системам обыкновенных дифференциальных уравнений

x(t) = X(x(t), к),

где х(£) = (xi(t),..., xn(t)) — вектор фазовых координат, п — размерность пространства фазовых координат, к = [к\,..., кт) — вектор параметров системы, т— размерность пространства параметров системы, X(x(t), к) = (Х\(x(t), к),... ,Xn(x(t), к))) — в общем случае нелинейная вектор- функция.

2. Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий

структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

3. Разработка и программирование алгоритмов формирования необходимых и достаточных условий структурной и динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

4. Создание группы программ исследования структурной и динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

5. Выявление необходимых и достаточных условий динамической и структурной устойчивости конкурирующих систем, движения летательного аппарата, динамики численности вредителя леса, динамики загрязнения фосфатами эфтрофных озёр, движения воды в канале, процесса химического окисления, динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом их возрастных изменений.

В основу формирования необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем в работе принимается известный факт [32]: для основной и сопряжённой систем гамильтоновых уравнений одновременно невозможны асимптотически устойчивые положения равновесия и асимптотически устойчивые предельные циклы в фазовом пространстве, и устойчивость исходной системы однозначно соответствует неустойчивости сопряжённой. Последняя является линейной однородной относительно сопряжённых фазовых координат.

Основой формирования необходимых и достаточных условий структурной устойчивости является зависимость собственных значений сопряжённой системы от управляющих параметров основной системы, а точки изменения знака собственных значений сопряжённой системы есть точки перехода основной системы из устойчивых состояний в неустойчивые.

В [33] раскрывается важность результатов об устойчивости гамильтоновых систем, а в [34] исследуется устойчивость гамильтоновых систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными и периодическими коэффициентами, результаты исследования не перенесены на нелинейные динамические системы.

Особенностями разработанной группы программ являются: - Распределенность. Разные программы должны выполняться на разных ПЭВМ или на разных ядрах одной ПЭВМ, в том числе в облачных инфраструктурах.

- Параллельность. Вычисления в группе должны проводиться по возможности параллельно.

- Открытость. Группа программ должна быть адаптирована к наращиванию функциональности в смысле включения в нее новых вычислительных модулей.

- Интерактивность. Программы должны взаимодействовать с оператором посредством графического интерфейса интерактивно.

Основой распределённости вычислений в группе программ является сетевая прозрачность, реализуемая транспортным ядром; открытость группы программ достигается путём декларирования программных интерфейсов ядра и расширяемостью нереляционной базы данных; распараллеливание вычислений основано на системе асинхронных событий.

Группа программ разработана на основе системы символьной математики Maxima с использованием высокоуровневых языков программирования lisp, С++ и библиотек Qt.

Содержание работы изложено в 4 главах.

В первой главе проведен анализ математических моделей автономных систем по типу нелинейности, по свойству потенциальности и наличия изменяющихся параметров. Цель анализа сводится к выявлению типа динамической устойчивости автономных нелинейных систем и необходимости её исследования без применения качественных методов и функции Ляпунова, а также к выявлению необходимости исследования структурной устойчивости без построения потенциальной функции, опираясь на сопряжённую гамильтонову систему. В связи с этим рассмотрены основные определения устойчивости и связи между ними. Из анализа установлена целесообразность формирования необходимых и достаточных условий асимптотической динамической устойчивости также опираясь на сопряжённую гамильтонову систему. При этом критериями асимптотической динамической устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений являются критерии Раусса-Гурвица и Льенара-Шипара, а для нелинейных динамических систем формальных универсальных критериев асимптотической устойчивости не предложено. В первой главе поставлена научная задача.

Во второй главе дано теоретическое обоснование методов формирования необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем. Их достоверность дополнительно подтверждена сравнением результатов, полученных в фундаментальных работах [9, 35, 36, 18, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43] эвристико-качественными методами, с результатами, полученными разработанными методами.

Доказаны теоремы:

- по распространению необходимых и достаточных условий устойчивости

нелинейных динамических систем, на системы, описываемые уравнениями в частных производных. В основу теоремы положена идея перевода уравнения в частных производных из временной области в частотную посредством преобразования Фурье с последующим применением теоремы Планшереля о равенстве норм пространства исходных фазовых координат и пространства частотных координат.

- по распространению необходимых и достаточных условий устойчивости нелинейных динамических систем, на системы, описываемые интегральными и интегро - дифференциальными уравнениями. Основой теоремы является известная возможность преобразования исходного интегрального или интегро - дифференциального уравнения к обыкновенному дифференциальному уравнению применением линейного оператора дифференцирования.

- по обоснованию необходимых и достаточных условий структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем. Сущность теоремы з