автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ устойчивости и методы оценки области притяжения дифференциально-разностных систем

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

4854оНи

На правах рукописи

Зараник Ульяна Петровна

Анализ устойчивости и методы оценки области притяжения дифференциально-разностных систем

05.13.01—системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 СЕН 2011

Санкт-Петербург 2011

4854690

Работа выполнена на кафедре теории управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

заслуженный работник высшей школы РФ доктор физико-математических наук, профессор Жабко Алексей Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Александров Александр Юрьевич Санкт-Петербургский государственный университет,

кандидат технических наук, профессор Шамберов Владимир Николаевич Санкт-Петербургский Государственный Морской Технический Университет

Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева, г. Саранск

Защита состоится «28» сентября 2011г. в 16 часов на заседании Совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб. 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В. О., Университетская наб., дом 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru.

Автореферат разослан « августа 2011г.

Ученый секретарь диссертационого совета доктор физ.-мат. наук, профессор

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тематики. Одной из важнейших характеристик устойчивого движения управляемых динамических систем является область допустимых начальных условии, при которых движение системы асимптотически приближается при возрастании времени к заданному программному движению.

В работе развивается системный подход к теоретико-множественному и теоретико-информационному анализу свойств областей асимптотической устойчивости решений нелинейных дифференциально-разностных систем уравнений запаздывающего типа. Анализ устойчивости таких систем дает необходимые условия для стабильного функционирования большого числа физических и технических объектов.

В связи с этим актуальна задача построения области притяжения. Данная проблема была поставлена A.M. Ляпуновым в 1892 году и решена для динамических систем В.И. Зубовым в середине XX века.

Важным, как с практической, так и с теоретической точек зрения, является класс систем, содержащих запаздывание и описываемых системами дифференциально-разностных систем уравнений. Для анализа устойчивости систем с запаздыванием используется прямой метод Ляпунова в формулировке H.H. Красовского или B.C. Разумихина. Аппарат функций Ляпунова (P.M. Jülich, В.А. Камснецкий) или функционалов Ляпунова-Красовского используется для приближения области притяжения дифференциально-разностных систем. При аппроксимации области асимптотической устойчивости на основе функционалов Ляпунова-Красовского возникают задачи поиска подходящих функционалов и вычисления константы уровня. Основанные на таком подходе методы (В.Д. Го-ряченко, А.П. Блинов) не предполагают реализации на основе компьютерных технологий и приводят к известным трудностям при автоматизированном построении области притяжения. Поэтому для систем с запаздыванием представляют интерес методы построения области притяжения, пригодные для дальнейшей алгоритмизации и исследованные в настоящей работе. В связи с этим актуален вопрос приближения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем с запаздыванием разностными системами с последующей реализацией данной задачи на основе компьютерных методов обработки информации.

В частности, решен вопрос о максимальности области притяжения при оптимальном управлении дифференциально-разностных систем (рассмотренный ранее В.И. Зубовым для динамических систем).

Целью диссертации является теоретическое обоснование и разработка алгоритмов приближения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем уравнений запаздывающего типа об-

ластью асимптотической устойчивости разностной системы. Другая цель работы состоит в развитии методов описания области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы уравнений в функциональном пространстве начальных функций, в разработке способов построения приближенных решений и создании компьютерной программы для визуализации полученной информации об области асимптотической устойчивости.

Основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследования

1. Разработка системного подхода к описанию и анализу свойств области асимптотической устойчивости динамических объектов, задаваемых системами с запаздывающим аргументом.

2. Теоретическое обоснование возможности приближения области притяжения решений системы дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа путем построения области асимптотической устойчивости соответствующей разностной системы уравнений.

3. Развитие и создание конструктивных методов и алгоритмов построения и визуализации областей притяжения на основе компьютерных методов обработки информации.

4. Исследование свойств области асимптотической устойчивости управляемых дифференциально-разностных систем уравнений при оптимальном управлении.

Научная новизна результатов определяется созданием методов приближения решений дифференциально-разностных систем запаздывающего типа решениями разностных уравнений и разработкой алгоритма построения области асимптотической устойчивости нелинейных систем с запаздыванием с помощью разностных систем уравнений на основе оценок погрешности аппроксимации соответствующих решений.

Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлечены классические и современные методы анализа устойчивости нелинейных дифференциально-разностных и разностных систем. Анализ устойчивости осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории систем с запаздыванием, теории устойчивости и теории управления. Одним из основных методов исследования является второй метод Ляпунова. Для визуализации области асимптотической устойчивости применялись численные и компьютерные методы.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретический интерес имеет разработанный метод приближения области асимптотической

устойчивости дифференциально-разностных систем. Доказана теорема об области притяжения нелинейных разностных систем, которая является аналогом теоремы В.И. Зубова для динамических систем. На основе доказанных теорем сформулирован и реализован алгоритм построения связной части области асимптотической устойчивости разностных систем. Выведено уравнение границы области притяжения. Доказана теорема о вложении области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы уравнений в область асимптотической устойчивости соответствующей разностной системы. Сформулирована и доказана теорема о максимальности области асимптотической устойчивости при оптимальном управлении дифференциально-разностных систем.

Полученные результаты имеют большое практическое значение при исследовании устойчивости дифференциально-разностных систем запаздывающего типа, что проиллюстрировано в диссертационной работе на ряде примеров.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации были представлены и обсуждались на заседаниях кафедры теории управления факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на 14th International Workshop Beam Dynamics and Optimization, на III Всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЪЛВ", на XXXVIII, XLI и XLII международной научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", на Всероссийской конференции, посвященной 80-ти летию со дня рождения В.И.Зубова, на V Международной научно-практической конференции "Современные информационные технологии и ИТ-образование".

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 9 печатных работах, две из которых опубликованы в журналах, входящих в Перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ. Список опубликованных работ приведен на странице 17.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 54 наименования, и 4 приложений. Объем составляет 108 страниц машинописного текста, работа содержит 15 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертационная работа начинается с формулировки основных определений и понятий, которые используются на протяжении всего исследования.

Во введении рассмотрена общая постановка задач, решаемых в диссертационной работе, обоснована актуальность исследования. Приведен обзор содержания по главам и параграфам.

Первая глава посвящена методам построения решения нелинейных дифференциально-разностных систем.

¿(0 =- я)), (1.1)

где /(х(1),х(1 — II)) - непрерывная функция по своим аргументам, II -постоянное запаздывание. Предполагается, что система имеет нулевое решение, т.е. /(0,0) = 0. Сформулирована постановка задачи и изложены некоторые численные методы построения решения систем с запаздыванием. Метод шагов (метод последовательного интегрирования) является одним из подходов к решению дифференциально-разностных систем уравнений, который сводит интегрирование систем с запаздыванием, к последовательному интегрированию системы без запаздывания на каждом шаге построения. В четвертом параграфе изложен разработанный в диссертации модифицированный метод Рунге-Кутты для системы вида

х{г) = /(1,х(1),х(г~н)), (1.2)

где /(¿,:г(£),:г(£ — Я)) - гладкая, дважды непрерывно дифференцируемая функция по своим аргументам. Для получения разностной схемы решения используется равномерная сетка с шагом Л = -Ц, где /V + 1 - количество точек разбиения, и расчетная схема построения решения дифференциально-разностной системы (1.2) получена в виде

х{ь -I- Л) = х{1) + /¿/(г, я(г), - н))+ [/(« + /г, х(г) + йь х{1 - Я) .+ ¿2)} + 0(/г3),

сЦк) = к!{1,х{1),х{1 - II)),

¿2(/г) = Л/(* - Я,:г(г - Н),х{Ь - 2Я)).

Приведена оценка точности данного метода для систем с запаздыванием (1.2):

т_ь - .

где 0 < 0 < 1, х(Ь) - решение системы с запаздыванием, а ук - решение соответствующей разностной системы, к = 1,..., Лг.

В пятом параграфе обобщен метод Адамса для интегрирования стационарных систем с запаздыванием. На основе конечных разностей были получены следующие расчетные схемы (явные и неявные соответственно):

хм = XI + /г (/г + агД/г-1 4- а2А2/(-2 + азД3/,-_з + а4Д4/г-4),

Xj+i =Xi + h (fi+1 - aiAfi - а2Д2/г-1 - азЛ3/«-2 - о4Д4/г-з), где /j = f(x(ti),x(ti - Я)), - правые конечные разности j-ro порядка, a,, aj - коэффициенты метода, г = 1, 2,....

В предположении, что правые части уравнений к + 1 раз непрерывно дифференцируемые функции, доказано

Утверждение 4. Локальная погрешность явного и неявного методов Адамса для систем с запаздыванием составляет 0(hk+2) и 0(hk) соответственно.

Важно отметить,что использование методов высокой точности - метод Рунге-Кутты и метод Адамса - возможно и в случае, когда точки разбиения совпадают с точками слабого разрыва (Горбунов А.Д. и Попов В.Н. [19G5]).

В параграфе шесть приведен иллюстративный пример использования методов интегрирования изложенных в первой главе.

Во второй главе рассматриваются системы разностных уравнений п-го порядка с непрерывным временем

x(t+l)=f(x(t)), (2.1)

где функция f(z) — непрерывная функция по z, определенная при z 6 Еп. Предполагается, что существует асимптотически устойчивое нулевое решение x(t) = 0 системы (2.1). Первый параграф носит вспомогательный характер, в нем сформулированы основные предположения, метод описания решения в функциональном пространстве и теорема единственности решения задачи Коши.

Пусть начальная функция

<p{t0 + -) = {y{t0 + a)\a £ [-1;0)},

тогда общее решение системы (2.1) имеет вид x(t) = Ф^ - to,<p(to + •))■ В данной главе рассматриваются только непрерывные решения системы с непрерывными начальными функциями, поэтому начальные функции <р должны удовлетворять условиям

<р € С ({to - 1; to)) и <p(tQ - 0) = /И*о - !))• (2-3)

Под метрическим пространством R понимается

с метрикой p{ipk{-),Vi{-)) = SUP - 'М0')!!: гДе М = 1, ... ,71.

¡7£[-1;0)

Множество начальных функций непрерывных решений системы (2.1) удовлетворяет условию (2.3), поэтому далее рассматривается подпространство Rf

Rf = М-) е С([—1; 0)) | </>(—0) = %(-!))} С R.

Доказана следующая теорема о существовании монотонной функции. Теорема 4. Если нулевое решение системы равномерно асимптотически устойчиво, то существует при t е [0; + оо) непрерывная функция L, строго монотонно убывающая от +оо до 0 при возрастании аргумента t

от 0 до +оо и такая, что ||x(i)|| < L{t — to) nput > 0 и sup ||<^i||i <

te[ta-l;i0)

Теорема 4 для разностных систем является аналогом теоремы В. И. Зубова для обыкновенных дифференциальных систем уравнений.

В третьем параграфе доказана основная теорема данной главы. Пусть А - связная часть области асимптотической устойчивости нулевого решения системы разностных уравнений с дискретным временем

x(k+l)=f(x(k)), k = 1,2,...,

содержащую некоторую окрестность О

Теорема 5. Для того, чтобы открытое положительно инвариантное мнооюеетво Л

A = Mt0 + a) е А,<ге [-l;0)}f|Rf, (2.4)

содержащее некоторую окрестность нулевого решения, было связной частью области асимптотической устойчивости равномерно асимптотически устойчивого кулевого решения, необходимо и достаточно, чтобы существовали функции V и W, удовлетворяющие условиям:

1. функция V задана, непрерывна по аргументу z в А и отрицательно определена;

2. фуикция\Ч задана, непрерывна по аргументу z в Еп, положительно определена и для любого а > 0 существует такое, 7 > О что, если ||~|| > а, тогда W(z) > 7;

3. справедливо соотношение ЛУ = V(f{z)) — V(z) = W(^)(l + V(z)).

Причем множество А в равенстве (2.4) определяется следующим образом А = {z | - 1 < V(z) < 0}.

Из теоремы 5 следует, что граница области асимптотической устойчивости задастся множеством Гр(А) = {з| К(А) = —1}.

В третьей главе приводится анализ приближения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем запаздывающего типа на основании результатов предыдущих глав. Рассматриваются системы вида

x = f{x(t),x(t-H)), (3.3)

где J(x(t),x(t — Н)) - дважды непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов.

В первом параграфе формулируется постановка этой задачи и приводится контрпример, который показывает, что не всегда область асимптотической устойчивости систем с запаздыванием совпадает с областью асимптотической устойчивости разностных систем уравнений.

Предполагается, что система (3.3) имеет нулевое решение = 0 и линейное приближение системы (3.3)

¿/(О = Ау{1) + Ву{1 - Я)

экспоненциально устойчиво по Ляпунову.

Рассматривается семейство разностных уравнений

г{1 + 1г) = г(0 + F'1(2(г), г{1 - к), ...,г(1- Я)), (3.4)

где (2 (£). г(4 — /г),..., — Я)) строится на основании системы (3.3) с помощью методов численного интегрирования. Для построения системы вида (3.4) могут быть использованы методы, изложенные в главе 1. Очевидно, что система (3.3) имеет нулевое решение. Доказана

Лемма 1. Существует Нц > 0 такое, что для любого 0 < /г < /¡о линейное приближение системы (3.4) является экспоненциально устойчивым по Ляпунову.

Пусть £0, V3) ~ решение дифференциально-разностного уравнения при Ь > ¿о с начальной функцией <¿>(¿0 + •), а ¿/¡(Мо,- решение разностного уравнения при £ > ¿о-

Под областью асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы понимается множество

А = {<р 6 СНЬЯ'; 0]) I х{Ь, 0,<р) —► 0 при ( -> оо}.

Для заданной величины е > 0, рассмотрим приближение области асимптотической устойчивости Ае системы (3.3)

я < -}•

Здесь С А - дополнение области асимптотической устойчивости, а ие(В) -е-окрестность области П.

Пусть А!г - область асимптотической устойчивости разностного уравнения (2.1). В нее входят кусочно-непрерывные функции с ограниченной первой производной ||^>(£)|| < К > 0, для которых выполнено условие .г(^) = ¡р(1[), где ^ е [—Я;0] - точки разбиения отрезка [—Я;0], причем и = Щ, где N - количество точек разбиения отрезка [—Я; 0], I = 0,1,..., И = |_1 — - шаг разбиения. Доказана

Лемма 2. Пусть ip{t) G ЛЕ, причем число £ > 0 такое, что Ае ф- 0. Тогда для любого S > О существуют величины hi > О и R > О такие, что справедливо неравенство

\\zh{R,v)\\и < 6 при О < h < hi.

В третьем параграфе рассматривается линейное приближение системы (3.3) в виде

x = Ax(t) + Bx{t-H), (3.5)

где

- Э/(м, v)■ - = df(u, у) ■

Л gu lu=w=o' gv lu=i'=o"

Сформулированы свойства области асимптотической устойчивости А дифференциально-разностных систем уравнений

1. Положительная инвариантность А.

2. А — открытое множество.

3. А — связное множество. Введены множество функций Ar

AR = {tpeA\U(R,v)cA},

где U(R,f) - ^-окрестность функции у в пространстве С1, т. е.

U(R,<p) = Ща) 6 С\[-Н-,0])) | \\ф - v\\я < i - d£\\H < i}

и рассмотрено множество функций Sr = Pr{\Ar, где Здесь

Pr = {||x(t,0)¥>)|| < R при t > -Я, ||x(i', 0, ip) - x(t", 0, <^)|| <

< M\\t' — t"\\, M = sup ||/И0),^(-Я))||}.

Доказаны следующие утверждения

Лемма 3. Множество Sr — компактное мнооюество в пространстве

ск

Следствие 1. Для любого вещественного R>0 существует T(R), такое, что для всех функций ц> € Sr выполняется неравенство

||x(i,0,y?)|| < Я при £ > Г.

Теорема 7. Область асимптотической устойчивости диффереици-алъно-разностиой системы (3.3) представима в виде

00

Л = U SR.

Д= 1

Для построения вспомогательных функционалов Ляпунова-Красовского, рассмотрим некоторое решение системы (3.3) x(t) = x(t,Q,ip) с начальной функцией <р & А. Система уравнений в отклонениях от этого решения при t > О есть

z(t) = /(z(t) - i(i), z(t - Я) - ar(f - Я)) - f(x(t),x(t - Я)).

Линейное приближение относительно z(t) существует и имеет вид

z{t) = A{t)z{t) + B{t)z{t-H), (3.6)

причем

А\Ч = —5- « = 2(о —> А при t —+ +оо,

аи „ = х(/ _ я)

B(t) = Щ^-1 „ = ад — В при t -> +0О.

OV „ J:(( _ U)

Общее решение системы (3.6) имеет вид J-H

где фундаментальная матрица т) удовлетворяет уравнению = A(t)I<{ts) + B(t - ll)K{t - II,s) при t > s

и начальному условию

ш

К{Ь, э) = О при I < й Матрица Ляпунова для системы (3.6) имеет вид

/•ОС

Щп,т2).= / 1<т&т1)ШоКЦ,т2)&. (3.10)

гпах{т1,т2}

Выберем функционал полного типа

/•о

(гО = гт(1)\¥0г(1) + - -Н)+ + в)1У2г(1 + 0)М,

J-н

и построим функционал v(t,zi), удовлетворяющий равенству

dv(t,zt)

dt

= -w(zt).

(3.6)

Доказана

Лемма 4. Если система (3.6) экспоненциально устойчива, то производная функционала

v{t, zt) = zT{t)U{t0, t0)z(t) + 2zT(t) / U(t, t + 6 + H)B(t + 0 + H)

J-h

z(t + 0)d0 + Г zT(t + 0!)BT(i + 0! + H) f° U{t + 01 + H, t + 02 + H) J-h lJ-H

Л f°

B{t + 92 + H)z(t + 92)d92 Ml + / zT{t 4- e)\Wx + (Я + e)W2]z{t + 6)de

J-h

вдоль решений системы (3.3) равна (-w(zt)). Здесь U{t\,t2) определяется формулой (3.10).

Сформулирована и доказана теорема о существовании функционалов v(xt) и w(xt), удовлетворяющих теореме 2 об области асимптотической устойчивости нулевого решения для системы (3.3). Пусть функционал w(<p) определяется равенством

w(fp) = ^(о)и^(о) + ipT(-H)WM-H) + / ^T{e)w2V{e)de,

J-н

и х^,0,(р) решение системы (3.3).

Теорема 8. Пусть Л - область асимптотической устойчивости пулевого решения системы (3.3),имеющей экспоненциально устойчивое приближение (3.5). Тогда функционалы ги((р) и г>{ф) = е1'1^ - 1, где VI(¡р) =

со

/ w(xt{^p))dt, удовлетворяют, теореме 2. о

В четвертом параграфе построены функции Ляпунова и исследованы их свойства для разностных схем

у(1 + К) = у(1) + НА(Ь)у(1) + НВЦ)уЦ - Я)

с непрерывным временем при £ > 0 и

Ук+\=Ук + ЬА{кк)ук + кВ{к}1)уь-т1 (3.11)

с дискретным временем (к = 0,1,...). Рассмотрим непрерывную, кусочно-линейную функцию Щ,ф), значения которой в узловых точках £ = т/г

(т = —N, ■.., 0) совпадают со значениями непрерывно-дифференцируемой векторной функции ¡р, а при к = 1,2,..., являются решением системы (3.11). Пусть Y =colon(<p(0),ifi(-h),..., ip(-H)). Определим функцию V(k,Y) = v(khJo(0,ip)). Доказаны следующие теоремы

Теорема 9. Верпы следующие утпверэюдения:

1. V(k,Y) - положительно-определенная функция;

2. На Muooicecm.ee определенных на отрезке [—Я;0], непрерывных и непрерывно-дифференцируемых функций f(cr), удовлетворяющих условию

Ия<(||Л(01|ос + |ТО||ос)|М|я функция W(k,Y), определяемая равенством

W(k, Y) = V{k 4-1, A(kh)<p(0) + B(kh)<p(-H)) - V(k, Y),

является отрицательно-определенной при k > 0 при достаточно малом h > 0.

Теорема 10. Для любого eq > 0 существует 0 < h < hi такое, что верно включение

Ah D А-

Пусть решение х^ разностного уравнения Xk - /(ifc-i, • • •, i/c-лг), асимптотически устойчиво по Ляпунову, А - область асимптотической устойчивости разностной системы, очевидно, А С RniV и существует функция Ляпунова V(yu 2/2, ■ • •, Vn) - отрицательно определенная и удовлетворяющая условиям теоремы 5. Предположим, что решение x(t) системы с запаздыванием является непрерывно-дифференцируемым до s + 1 порядка, т. е. x{t) € Cä+1 ([— Я, 0]) и удовлетворяет уравнению согласования (а + 1)-го порядка: <^s+1'(to) = — !))• Рассмотрим следующую область в

пространстве Cs+1 ([—Я, 0]) :

-d< V

( x(—h 4- ст) \ x{-2h+а)

\ х(-Н + а) )

< 0 | о- € [0, /г]

1 Sd,

которая является приближением области асимптотической устойчивости в функциональном пространстве дифференциально-разностной системы.

В предположении, что функция \У(х(—1г), х(—2К),... ,х(—Я)) = У(х(0),х(—к),... ,х(—Н +Д)) - У(х(-Ь),х(-2 К),... ,х(-Н)) доказана

Теорема 11. Если V удовлетворяет условию теоремы 3 главы 2 и функция

Ш{х{-к),х{-2}1),.. ,,х{-Н)){1 + У(х(—Н), х(—2к),.. .,х(-Н)))~ дУ(х[0),х(-Н),...,х(-Н + к))

-Mh

S+1

д£(0)

m=m-h),..,i(-H))

то область

(5+1)!

— положительно определена в где М = тах 5(/ содержится в области асимптотической устойчивости исходной дифференциально-разностной системы, т. е. А Э

В пятом параграфе на примере ядерного реактора с двумя активными зонами проиллюстрированы методы описания области асимптотической устойчивости в функциональном пространстве:

1. Сечение области асимптотической устойчивости при £ = 0. Предложено рассматривать множество значений начальных функций, входящих в область асимптотической устойчивости систем с запаздыванием, т.е.

{¥>(0) | ж(£,00 при £ —> оо},

которое является областью в Ы- мерном пространстве. В примере рассмотрена одна из проекций данного множество на плоскость.

2. Сечение области асимптотической устойчивости при £ = —Н. Рассматриваются значения таких начальных функций при £ = —Я, которые входят в область асимптотической устойчивости дифференциатьно-разностных систем запаздывающего типа. В диссертации приведен график проекции данного множества на плоскость.

3. Огибающая области асимптотической устойчивости. Анализируется область допустимых значений для начальных функций входящих в область асимптотической устойчивости систем с запаздыванием

{(£,УъУ2,---, Ум) I Уз = max||^(i)||,£ G [~H,0],s = 1 ,N}.

<рел

4. Пространство среднеквадратичных значений, которое описывает динамические характеристики функций, входящих в область притяжения рассматриваемых систем, имеет вид

___ _ [0

J-H

5. Эмиттанс

p(t, хъ..., xN) = / dfx, где D = <p e A, <ps{t) = xs,s = l,N. Jd

Эмиттанс отражает плотность распределения начальных функций, входящих в область асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем запаздывающего типа, в единице объема.

В четвертой главе рассмотрена управляемая дифференциально-разностная система вида

x = f(x{t),x(t-H),u), (4.1)

где f(x(t),x(t - Н).и) - непрерывно-дифференцируемая функция своих аргументов.

При допустимом управлении система имеет нулевое решение.

Функционал качества есть

/■00

•%)= / w(x(t,y),u{xv))dt, J о

где W(x,u) положительно определенная функция своих аргументов. Под областью притяжения Л(и) нулевого решения х = 0 при управлении и понимается множество функций ip(t -f а), где а е [~Н; 0], обладающих свойством

x(t, <р) —► 0 при t —> +00,

где x(t,<p) решение системы (4.1) при управлении и = u(xt). Доказана теорема о максимальности области при оптимальном управлении.

Теорема 12. Если существует щ = щ(х) - оптимальное управление, то верно следующее включение

Л(ы0) D Л(и).

В качестве примера рассмотрено уравнение вида

х = -x(t) + х3(£ - Я) + u2{x{t)). (4.1)

В предположении, что существует оптимальное управление щ, построена область асимптотической устойчивости уравнения (4.1). Для визуализации использованы метод Адамса и метод приближения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем, описанный в главе 3.

Черным цветом, на графиках отмечены начальные функции <р, для которых построенное решение при оптимальном управлении щ. x(t,ip,uo) —> О при I —> оо. Серыми точками, начальные функции, для которых решение при любом другом управлении и = и(х) ф щ, принадлежит области асимптотической устойчивости. На рис. 1 изображена область асимптотической

Рис. 1. Область асимптотической устойчивости уравнения (4.1)

устойчивости в пространстве хдг, К, Я, где Хм = 0 — последняя точка деления отрезка [-Я; 0] на N частей, К - ограничение на производную.

В заключении приведены основные результаты, которые получены в итоге исследования и положения, выносимые на защиту

1. Разработка системного подхода к описанию и анализу свойств области асимптотической устойчивости динамических объектов, задаваемых системами дифференциально-разностных уравнений.

2. Теоретическое обоснование возможности приближения области притяжения нулевого решения системы дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа путем построения области асимптотической устойчивости нулевого решения соответствующей разностной системы уравнений.

3. Развитие и создание конструктивных методов и алгоритмов построения и визуализации областей притяжения на основе компьютерных методов отображения информации.

4. Исследование свойств области асимптотической устойчивости управляемых дифференциально-разностных систем уравнений при оптимальном управлении.

Основное содержание диссертации отражено в следующих опубликованных работах:

Статьи в рецензируемых журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Зараиик У.П. Построение области асимптотической устойчивости разностных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2008. Вып. 2. С. 11 - 15.

2. Жабко А.П., Зараиик У.П. О приближении решений экспоненциально устойчивых систем дифференциально-разностных уравнений // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Выи. 3. С. 29 - 38.

Статьи в научных журналах

3. Зараиик У.П. Построение области асимптотической устойчивости разностных систем //Abstracts 14th International Workshop: Beam Dynamics Optimization, St. Petersburg, 2007, C. 28 - 29.

4. Зараиик У.П. Визуализация области асимптотической устойчивости разностных систем в среде MATLAB // Труды III Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB". - СПб.: Изд-во С.-Пстсрб. ун-та, 2007. С. 670 - 676.

5. Зараиик У.П. Метод Адамса для построения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем //Труды 41 международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В.Смирнова, Г.Ш.Тамасяна, 2010. С. 18 - 24.

6. Зараиик У.П. Построение приближения области асимптотической устойчивости // Устойчивость и процессы управления. Всероссийская конференция, посвященная 80-ти летию со дня рождения В.И.Зубова Санкт-Петербург,1-2 июля 2010. - СПб.: ВВМ, 2010. С. 37 - 38.

7. Жабко А.П., Зараиик У.П. Построение области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных уравнений в среде MATLAB // Современные информационные технологии и ИТ-образование. Сборник докладов научно-практической конференции / Под ред. В.А. Сухомлина,

2010. С. 499 - 508.

8. Жабко А.П., Зараиик У.П. Об одном способе приближения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем // Вестник Мордовского университета, Сер.Физико-математические науки,

2011, Вып. 1. С. 43- 48.

9. Жабко А.П., Зараиик У.П. Область асимптотической устойчивости управляемых систем с запаздыванием // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Еремина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. ун-та, 2011. С. 15 - 18.

Подписано к печати 27.06.2010. Формат бумаги 60 х 84 Vie. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5215. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ. 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр. 26

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Зараник Ульяна Петровна

Анализ устойчивости и методы оценки области притяжения дифференциально-разностных систем

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук,

профессор Жабко А.П.

Санкт-Петербург 2011

Введение 4

Основные определения 11

1 Методы построения решений дифференциально-разностных систем уравнений 18

1.1 Постановка задачи и основные определения...........18

1.2 Метод шагов............................20

1.3 Метод квадратурных формул ..................21

1.4 Метод Рунге-Кутты........................24

1.5 Метод Адамса...........................28

1.6 Пример...............................30

1.7 Обзор основных результатов ...................32

2 Построение области асимптотической устойчивости разностных систем 33

2.1 Вспомогательные результаты...................33

2.2 Теорема об области асимптотической устойчивости разностных систем.............................36

2.3 Обзор основных результатов ...................45

3 Приближение области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем уравнений 46

3.1 Постановка задачи.........................46

3.2 Точность приближения решения дифференциально-разностной системы уравнений..................50

3.3 Функционалы Ляпунова для дифференциально-разностных систем................................54

3.4 Метод функций Ляпунова для оценки области асимптотической устойчивости разностных систем..............64

3.5 Методы визуализации области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем в функциональном пространстве ........................................................75

3.6 Обзор основных результатов ...................83

4 Анализ области асимптотической устойчивости управляемых систем 84

4.1 Постановка задачи и основные предположения.........84

4.2 Теорема о максимальной области при оптимальном управлении 87

4.3 Пример...............................89

4.4 Обзор основных результатов ...................92

Заключение 93

Приложения 94

Приложение 1 ..............................94

Приложение 2 ..............................96

Приложение 3 ..............................98

Приложение 4 ..............................101

Список литературы 103

В большинстве случаев динамика и свойства реальных объектов характеризуются эффектом последействия, заключающегося в том, что будущее состояние объекта зависит не только от настоящего, но и от прошлого поведения объекта. Системы с запаздыванием получили широкое применение в механике, экономике, медицине, биологии ([13], [19], [3] и др.). Так в медицине любое протекание болезни и взаимодействие вируса с клетками организма происходит не мгновенно и тесно связано с предысторией, в биологии процессы, связанные с эволюцией популяций, также зависят от прошлого состояния биологической системы.

В настоящее время интенсивно изучаются термоядерные процессы, которые описываются системами дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа, протекающие в токамаках, как новый перспективный способ получения энергии. Отличительной особенностью данного вопроса является широкий спектр требований и ограничений по качеству динамических процессов, по проблеме удержания плазмы в устойчивом положении, стабилизации положения, тока и формы плазмы для повышения эффективности и безопасности объекта. Исключительную роль играют подходы теории устойчивости, теории оптимального управления и робастной устойчивости. Широкое применение системы с запаздыванием получили в приборостроении ([52], [53]) для точного управления объектами при ограничениях на характеристики движения.

Для уравнений с запаздывающим аргументом начальная задача Коши поставлена и подробно изучена в работах Р. Беллмана, Дж. Хейла, Н.Н. Красовского, А.Д. Мышкиса в середине XX века ([14], [51], [35], [42]). Определения, методы и основные принципы анализа устойчивости для обык-

новенных дифференциальных уравнений были перенесены и адаптированы для дифференциально-разностных систем уравнений. К исследованию систем с запаздывающим аргументом применяется метод функционалов Ляпунова-Красовского, который интенсивно развивается в настоящее время. Также, из-за наличия запаздывания, решение не всегда продолжимо в обе стороны, что накладывает на исследуемую систему ряд ограничений. Особенности решений систем с отклоняющимся аргументом исследованы в работе Л.Э. Эльсгольца, С.Б. Норкина [54]. В книге [14] подробно изучены вопросы устойчивости линейных дифференциально-разностных уравнений, перенесены некоторые теоремы Ляпунова на случай дифференциально-разностных систем уравнений, особая роль уделена вопросам теории устойчивости данных систем.

Впервые задача теории устойчивости была строго сформулирована Леонардом Эйлером в XVIII веке для решения задачи равновесия механической системы, состоящей из стержня, сжатого под воздействием силы. В 1892 году A.M. Ляпуновым была опубликована монография [37], которая дала толчок для дальнейшего исследования этих вопросов. Введены основные понятия теории устойчивости, такие как устойчивость по Ляпунову, устойчивость по первому приближению. В работе были предложены два фундаментальных метода исследования устойчивости динамических систем - первый и второй методы Ляпунова. Первый метод основан на анализе характеристик линейного приближения исследуемой системы. Второй метод сводится к исследованию поведения функций специального вида (функций Ляпунова) на решениях системы. Второй, или прямой, метод Ляпунова получил дальнейшее развитие для систем с запаздыванием в виде метода функционалов Ляпунова-Красовского [34] и в виде подхода Разумихина [47]. Большой вклад в развитие второго метода и теории устойчивости было внесено учеными Ю.М. Репиным, В.И. Зубовым, А.П. Жабко, В.Л. Харитоновым,

А.Ю. Александровым ([8], [9], [48], [50]).

Одной из важнейших количественных характеристик асимптотически устойчивого движения является область притяжения ([29], [30]). Поэтому актуальными являются задачи построения области асимптотической устойчивости для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-разностных систем. Для динамических систем В.И. Зубовым была сформулирована и доказана известная теорема об области асимптотической устойчивости.

Динамической системой в метрическом пространстве Б, называется од-нопараметрическое семейство операторов

удовлетворяющее следующим условиям:

1. /(р, 0) = р для любого р е К,

2. значение оператора является непрерывной функцией по совокупности переменных р,

3- /(/(р,£ 1)^2) = Для любых € (—оо,+оо), р еК.

Теорема Зубова В.И. [30]. Для того чтобы открытое инвариантное множество Л С К,, содержащее некоторую окрестность замкнутого инвариантного множества М С И динамической системы /(р, £), было областью асимптотической устойчивости равномерно асимптотически устойчивого и равномерно притягивающего множества М, необходимо и достаточно, чтобы существовали два функционала У(р) и Ф(р), обладающие следующими свойствами:

1. Функционал У(р) задан и непрерывен в А, функционал Ф(р) задан и непрерывен в К,.

2. -1 < V(p) < 0 при р е А; Ф(р) > 0 при ре R, р(р, М) ^ О и Ф (р) = О при р £ М.

3. По любому достаточно малому 72 > 0 можно указать величины 71 и а\ такие, что

V{p) < -71 при р(р, М) > 72, Ф(р) > a;i при р{р,М) > 72.

4. Функционалы 7иФ стремятся к 0 при р(р, М) —> 0.

5. Если существует точка дбМ, g G то lim V{p) = —1.

б- (а=о=ад(1+пр))-

Много работ посвящено оценке области притяжения для динамических и полудинамических систем на основе функций Ляпунова ([11], [33], [18], [20] и др.)

В последние десятилетия задача построения области притяжения дифференциально-разностных систем уравнений привлекла внимание большого числа исследователей. Интерес к этой тематике можно объяснить бурным развитием методологии исследования, прежде всего - прямого метода Ляпунова, основанного на построении функционалов Ляпунова-Красовского для исследования устойчивости решений систем с запаздыванием.

Наличие запаздывания в контурах большинства реальных систем управления мотивирует интенсивные исследования систем с последействием (обзор работ приведен в [6], [7]). Пространство состояний системы с запаздыванием бесконечномерное, что значительно усложняет задачу построения области притяжения. В диссертационной работе предложены некоторые методы визуализации области притяжения в функциональном пространстве

начальных функций.

Часто для построения области притяжения используют функции Ляпунова-Разумихина, которые удовлетворяют условиям теоремы Разу-михина. Так в [22] была построена область асимптотической устойчивости нулевого решения дифференциально-разностной системы уравнений, описывающих динамику ядерного реактора с двумя связанными активными зонами, а также получены оценки области. Однако применение теорем Разумихина - довольно трудоемкий процесс и поиск функции Ляпунова-Разумихина является непростой задачей.

В диссертационной работе для исследования устойчивости решений систем с запаздыванием рассматриваются функционалы полного типа, аналогичные изученным в работе В.Л. Харитонова [50] для линейных стационарных систем уравнений. В этой статье построены и исследованы свойства квадратичных функционалов для систем с запаздыванием, введены функционалы полного типа, получены оценки экспоненциально устойчивых решений, изучены свойства матрицы Ляпунова для систем с запаздыванием и предложен конструктивный алгоритм её вычисления.

В работе [15] определены достаточные условия существования конечной области притяжения невозмущенного движения автономных систем с запаздыванием и дана её оценка снизу, для которой требуется знание функции Ляпунова для исходной системы при отсутствии запаздывания. Результаты исследования устойчивости нелинейной системы без запаздывания позволяют определять область устойчивости в пространстве параметров и находить области притяжения невозмущенного движения.

В диссертационной работе разрабатывается системный подход к анализу структуры области асимптотической устойчивости управляемых и неуправляемых систем, описываемых системами дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа, развивается методология (см. стр. 70)

последовательного приближения этой области в пространстве начальных функций и предлагаются методы визуализации полученной информации в графическом виде.

Проблему описания и построения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы уравнений предложено решать в два этапа. Первый этап заключается в приближении решений дифференциально-разностной системы уравнений решениями разностной системы. Получены оценки близости полученных решений разностной системы уравнений и решений исходной дифференциально-разностной системы. Второй этап состоит из построения области асимптотической устойчивости разностной системы уравнений и описания приближаемой области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы, используя оценки приближения соответствующих решений, полученные на первом этапе.

В начале работы приведены основные определения и понятия, которые используются на протяжении всего исследования.

В первой главе рассматриваются численные методы интегрирования дифференциально-разностных систем. Изложен известный метод шагов, также представлены адаптированные методы построения решениях помощью разностных схем (метод квадратурных формул, метод Рунге-Кутты и метод Адамса). Показана сходимость данных методов, приведен иллюстративный пример построения решения описанными методами.

Вторая глава посвящена вопросу построения области асимптотической устойчивости разностных систем на основе второго метода Ляпунова. Приведены вспомогательные результаты и доказана теорема о связной части области асимптотической устойчивости разностных систем, базирующаяся на использовании функции Ляпунова. Теорема Зубова В.И. об области асимптотической устойчивости перенесена на случай разностных систем с

непрерывным временем. В заключении главы рассмотрен иллюстративный пример построения области асимптотической устойчивости одной нелинейной разностной системы.

Исследование области асимптотической устойчивости решений дифференциально-разностных систем с запаздыванием изложено в третьей главе. В этой главе предложен способ приближения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем. В параграфе 3.3 сформулированы свойства области притяжения. Для системы стационарных дифференциально-разностных уравнений, имеющей экспоненциально устойчивое линейное приближение, строится соответствующая разностная система. Далее для разностной системы строится область асимптотической устойчивости. На основании полученных в главе 1 оценок близости решений дифференциально-разностной системы и соответствующей разностной системы получено приближение области асимптотической устойчивости исходной системы. Для доказательства взаимной вложенности областей притяжения рассматриваемых систем в параграфе 3.3 вводятся вспомогательные множества. В параграфе 3.5 предложены некоторые возможные способы визуализации полученного приближения области асимптотической-устойчивости в наглядной форме. Теоретические исследования подкреплены иллюстративным примером, который реализован в среде МАТЬАВ.

В четвертой главе доказана теорема о максимальности области притяжения при оптимальном управлении для дифференциально-разностных систем запаздывающего типа. Данная задача для обыкновенных дифференциальных уравнений была рассмотрена и решена В.И. Зубовым.

Обзор основных результатов представлен в конце каждой главы. В заключении диссертационной работы представлены положения, выносимые на защиту.

Основные определения

В работе рассматривается дифференциально-разностная система вида

х = /(х (*),*(*-#)), (0.1)

где /(ж(£), — Н)) - непрерывная по своим аргументам функция, Н -постоянное запаздывание. Система имеет нулевое решение, /(0,0) = 0. Предполагается, что система имеет экспоненциально устойчивое нулевое решение. Через

обозначим решение системы (0.1) в форме Коши, где

¥>(*> + •) = Ы*о + в)\в е [-#;<>]}

- начальная функция. В случаях, когда начальный момент времени и начальная функция очевидны из контекста или не существенны, аргументы ¿о и <р будем опускать. Предположим, что начальная функция <р определена в классе непрерывных на отрезке [—Н, 0] функций, то есть <р е С([—Н, 0]).

Основной задачей диссертации является разработка алгоритма приближения области притяжения нелинейных дифференциально-разностных систем запаздывающего типа областью асимптотической устойчивости разностных систем, обоснование и анализ такого подхода. Также предлагаются некоторые способы визуализации найденных множеств на основе компьютерных методов обработки информации.

Приведем определения, которыми будем пользоваться в дальнейшем

при исследовании [54].

Определение 1. Нулевое решение системы (0.1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого момента времени ¿о > 0 и любого числа г > 0 можно указать величину 5 — <5(£о, е) > 0 такую, что для любой начальной функции (р, удовлетворяющей условию ||</?||я < <5, решение <р) опре-

делено и удовлетворяет условию ¿о> + 0)11 < £ Для любого Ь > ¿о-

Здесь и далее под ||ср||я будем понимать

|И|Я= 8Пр +

0€[-Я;О]

Определение 2. Нулевое решение системы (0.1) называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если для любого момента времени £о > 0 и любого е > 0 найдется величина Д = Д(£о,£) > 0 такая, что для любой начальной функции (р, для которой выполнено ||<£>||я < Д? следует, что решение системы удовлетворяет условию с/?)|| < £ для любого £ > ¿о и tQ, <р) —> 0 при t оо.

Определение 3. Нулевое решение системы (0.1) называется экспоненциально устойчивым, если оно асимптотически устойчиво и существуют 7 > 1 и а > 0 такие, что справедлива оценка

\№,г0,<р)\\ < 7е'ст(^о)|М1я при Ь > ¿0-

Определение 4• Областью асимптотической устойчивости нулевого решения системы (0.1) называется множество

А = {(р | ?/>(£, £о> Ф) —»■ 0 ПРИ £ —>

Для решений разностных систем уравнений определения переносятся соответственно [10].

Рассмотрим разностную систему уравнений

y(t+l) = F(y(t)), (0.2)

где y(t) - непрерывная функция в пространстве Еп. Будем считать, что при любом t функция F(z) непрерывна по z. Введем обозначение y(t,to, ф)

- решение системы (0.2) в форме Коши,

Ф{к + •) = {0(tО + (т)\*е [-1; 0) ф е C{[to - 1; t0))}

- начальная функция разностной системы.

Определение 5. Нулевое решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого £q > 0 и любого г\ > 0 можно указать такое Q(to, v) > 0> что при выполнении неравенства ||^(io + Olli < в решение y(t,to,ф) определено для всех t > to и удовлетворяет условию \\y(t, to, </>)|| < rj при t > to.

Определение 6. Нулевое решение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если оно является устойчивым и для любого to > 0 �