автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование устойчивости разностных схем для некоторых задач полупроводниковой технологии

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова факультет вычислительной математики и кибернетики

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ТЕХНОЛОГИИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

На правах рукописи

Пономарева Алина Сергеевна

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 2005

Работа выполнена в Институте Прикладной Математики имени М В Кетдыша РАН

Научные руководители член-корреспондент РАН

Ю.П. Попов,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник О С Мажорова

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

профессор А М Попов

кандида! физико-математических наук, старший научный сотрудник А И Федюшкип

Ведущая организация Ка1ужский Филиал Московскою

Государе гвенного Технического Университета имени Н Э Баумана

Защита состоится 20 мая 2005 года в 14 30 на заседании диссертцион ною совета К 501 001 07 при Московском Государственном университете им М В Ломоносова по адресу 119992 г Москва Ленинские горы МГУ факутыет вычислительной математики и кибернетики второй }чебныи корпус, ауд 685

С диссерыцией можно ознакомиться в бибтиотеке факультета вычис лительной математики и кибернетики МГУ

Автореферат разослан 2005 года

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-матемагических доцент В М Говоров

Общая характеристика работы

Разностные схемы, используемые при математическом моделировании различных явлений, процессов и конструкций, должны обладать свойством устойчивости. Общая теория устойчивости линейных разностных схем была построена А.А. Самарским в середине 1960-х гг. Дальнейшее развитие этой теории представлено в работах многих авторов (Самарский А.А., Гу-лин А.В. Устойчивость разностных схем.- М.: Наука, 1973 г. и др.). Однако, для нелинейных несамосопряженных задач в настоящее время не существует законченной теории устойчивости разностных схем. В данной работе проводится исследование устойчивости разностных схем для некоторых несамосопряженных задач параболического типа с нелинейными граничными условиями.

Актуальность проблемы

В диссертации рассматривается класс задач параболического типа, возникающих при математическом моделировании процесса выращивания полупроводниковых материалов методом жидкофазовой эпитаксии. Такого рода исследования на протяжении ряда лет проводятся коллективом сотрудников Института Прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. Важное значение этих работ обусловлено практическими потребностями производства полупроводниковых структур для электронной промышленности. В математическом отношении эти задачи описываются системой нелинейных уравнений, включающей уравнения Навье-Стокса и уравнения конвективной диффузии.

Указанный класс задач обладает рядом математических особенностей, вызывающих трудности при их исследовании и решении. К их числу относятся сложная нелинейная функциональная зависимость между концентрациями растворенных веществ на границе раздела фаз, а также преобладание конвективных процессов над диффузионными. Это приводит к наличию в рассматриваемых системах уравнений нелинейных граничных условий нестандартного вида и малых параметров при старших производных.

Для задачи об эпитаксиальном выращивании полупроводниковых структур были построены различные дифференциальные и разностные модели (Мажорова О.С. Попов Ю.П., Похилко В.И. Исследование алгоритмов численного решения систем параболических уравнений с нелинейными гранич-

ными условиями / / Дифф уравнения, 1987, т 23, N 7, ее 1240 -1250) Однако, в процессе расчетов обнаружилась вычислительная неустойчивость или недостаточная точность некоторых использованных алгоритмов Поэтому возникла необходимость в теоретическом анализе свойств разностных схем, прежде всего с точки зрения их устойчивости, а также в построении на основе этого анализа надежных вычислительных алгоритмов для расчета рассматриваемого класса задач Настоящая работа посвящена этой проблематике что обуславливает ее актуальность Опыт использования методов математического моделирования для изучения процессов массопереноса в многокомпонентных средах с фазовыми переходами показал, что свойства алюритма и, в первую очередь его устойчивость, в значительной степени зависят от способа численной реализации условий на границе раздела фаз

Теоретический и численный анализ дифференциальной системы уравнений и разностных схем в полной нелинейной постановке обычно затруднен, поэтому традиционно принятым является изучение линеаризованных моделей, сохраняющих характерные особенности реальной задачи Исследование устойчивости линеаризованной модели позволило из всей совокупности возможных вычислительных методов выбрать наиболее надежные, подходящие для решения исходной нелинейной системы

В диссертации приведен расчет задачи о получении тройных полупроводниковых соединений из жидкой фазы Показано, что разностные методы, неусюйчивые в линейном случае, дают неправильные результаты и при расчете исходной нелинейной системы Напротив, с помощью устойчивых в модельном случае алгоритмов удаегся получить результаты, согласующиеся с физическими представлениями о процессе во всех рассмотренных областях изменения параметров

Цели работы

Исследование в линейном приближении устойчивости разностных схем для обоснования алгоритмов численною решения некоторых параболических задач нового класса, возникающих при моделировании технологических процессов получения полупроводниковых материалов и характеризующихся наличием малого параметра при старшей производной и нелинейными граничными условиями, построение надежных вычислительных алгоритмов для указанного класса задач, демонстрация их преимуществ на примере расчета полной задачи в нелинейной постановке.

Методы исследований

В работе используются теория разностных схем, методы математического анализа, математической физики и математического моделирования.

Научная новизна работы

Установлены достаточные условия устойчивости разностных схем с искусственной дисперсией, аппроксимирующих уравнение типа конвективной диффузии. Для линеаризованной системы параболических уравнений, моделирующей процесс выращивания тройных полупроводниковых соединений из жидкой фазы, найдены области изменения параметров задачи, в которых разностные схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются безусловно устойчивыми, условно устойчивыми или неустойчивыми. Для чисто неявной схемы исследована также асимптотическая устойчивость. Теоретические результаты, найденные в линейном приближении, подтрерждены расчетами реальной нелинейной задачи.

Практическая значимость

Указан класс разностных схем. который гарантирует получение надежных результатов при численном решении задач параболического типа, моделирующих процесс выращивания тройных полупроводниковых соединений из жидкой фазы.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

- расширенном заседании кафедры Вычислительных методов и лаборатории Математического моделирования в физике на факультете Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова (9 декабря 1998г.);

- семинаре в Институте Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН (8 декабря 2003г.);

- заседании кафедры Вычислительных методов факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова (11 февраля 2004г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6], перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего НО наименований. Объем работы составляет 132 страницы машинописного текста, из них 28 страниц занимают рисунки.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы. Приводится краткий обзор различных определений устойчивости и методов ее исследования. В качестве дополнительного требования к вычислительному алгоритму во введении рассматриваются понятия асимптотической устойчивости и точности разностной схемы.

В первой главе диссертации изучается устойчивость разностных схем с искусственной дисперсией для уравнения типа конвективной диффузии. Во многих интересных с практической точки зрения задачах исследуются математические модели, описывающие конвективный массоперенос с преобладающим влиянием конвекции. К ним, н частности, относятся задача о выращивании полупроводниковых структур методом жидкофазовой эпитаксии, задача о электрофоретическом разделении биосмесей и многие другие. В качестве модельного рассматривается линейное уравнение конвективной диффузии, представленное в виде:

дС дС_ &С д1 +идх^дх^'

м=сог^ > 0.

(1)

Здесь С{х,Ь) - концентрация растворенного вещества; и - заданная скорость течения жидкости; - коэффициент, полученный при обезразмери-вании исходного уравнения, ц—0/(и*Ь). где Б - коэффициент диффузии. и* и Ь - характерные для задачи скорость и линейный размер.

Процессы конвективного массопереноса преобладают над диффузией. Это означает, что в уравнении (1) присутствует малый параметр при старшей производной (для рассматриваемого класса прикладных задач ^ ~ 10"6-г10_3). Известно, что применение для уравнения (1) схем с центральными или направленными разностями, аппроксимирующими конвективные

члены, приводит к хорошему качеству решения только на сетках с шагом по пространству h ~ ß (Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т.1 - М.: Мир, 1991). Обычно такое ограничение на величину шага является слишком обременительным.

Вопросам аппроксимации конвективных членов в уравнении типа конвективной диффузии посвящено большое число научных работ. В первой главе рассматривается семейство разностных схем с искусственной дисперсией на трехточечном и пятиточечном шаблонах по пространству, полученное на основе анализа дифференциального приближения данного уравнения (Ермаков C.B.. Мажорова О.С., Попов Ю.П. Математическое моделирование задач электрофоретического разделения биосмесей I. // Дифф уравн.. т 28, № 10, 1992). Вводится пространственно-временная сетка:

il=ilh х üh={x,=ih,i=Q,l,... ,N}-QT={tj=jT,j=0,l- ■ ■ }, (2)

и h,r~ шаги по пространству и времени соответственно. На сетке определяются дискретная функция C^—C'lx,, t}) и разностные отношения:

_С| — С,-1 п _Сг+1 ~ п С,и ~ С.-1 _Сг ~ С*

^х~ Г ) ^х— Г i — ¡ГГ ! ^хх— Г ! h h х 2h h

C=C3+l; С^=стС + {1-<т)С; <7=0; 0.5; 1.

т

(3)

Семейство разностных схем с искусственной дисперсией на пятиточечном шаблоне по пространству записывается в виде:

Q + «Cf» - ¡гС^ - uQ [яд*» + (1 - я)СЩ =0,

„ _Ct+2 — ЗС,+1 + ЗСг — Сг-1 ^ _Сг+1 ~ ЗС| + 3Ct_i — С,_2

где J^ i ^ххх— ' ~

и Q={h2 + 0,5т2и2)/6. При помощи параметра я задается аппроксимация третьей производной: при х—0.5 - симметричная, при х=0 третья "разность назад"(в случае и>0). Если и<0. то используется "разность вперед". х=1. На трехточечном шаблоне по пространству разностное уравнение представляется в виде:

Q + uCf'V-ßC^ + QC^ 0.

В первой главе устанавливаются достаточные условия устойчивости схем с искусственной дисперсией путем приведения разностных уравнений к каноническому виду и применения общей теории устойчивости разностных схем

(Самарский А А Гуиин А В Устойчивость разностных схем М Наука 1973) Доказывается что для схем с искусственной дисперсией на трехточечном шаблоне по пространству условие Куранта является достаточным для устойчивости Для схем на пятиточечном шабтоне достаточные условия устойчивости выполняются при любых соотношениях на шаги сетки т и к Этим обуславливается возможность широкого использования схем с искусственной дисперсией на практике в частности при проведении вычислительного эксперимента по получению полупроводниковых материалов

Во второй главе диссертации изучается одномерная система двух ли нейных паработических уравнений с граничными устовиями специального вида модечирующая процесс потучения потупроводниковых структур методом жидкофазовой зпитаксии

Сущность зтою меюда состою в кристаллизации из раавора-расилава на подложке полупроводниковых соединений В пропейшсм случае насыщенный при начальной температуре раствор кристал тизующихся компонентов приводится в контакт с подложкой, и вся сипема охлаждается по »данному закону С понижением температуры жидкая фаза становится пересыщенной и растворенные в ней вещеава осаждаются на границе расплав-подложка в виде монокристаллическою слоя (Уфимцев В Б , Ачкурин РХ Физико-химические основы жидкофазовой эпитаксии М Ме I аллургия 1983) Происходящие в расплаве процессы определяются скоростью охлаждения системы начальным составом подложки и дру1 ими параметрами

Основу чатечашческой модели Спитакеиального выращивания полупроводников составляют двумерные уравнения концентрационной конвекции в приближении Буссинеска Предпола1ав1ся что концентрации веществ у фронта криаачгазации находятся в состоянии квазиравновесия и связаны уравнением ликвидуса Другим 1раничным условием для кон-цен граций на 1ранице раздела фаз являе1ся условие баланса частиц

При отсутствии в расплаве конвекции процесс описывается с помощью диффузионной модели с 1раничными условиями специального вида Во второй 1лаве рассматривается линеаризованная одномерная диффузионная модель, в которой на подложке задаются упрощенные соотношения для баланса частиц и уравнения ликвидуса Эта модельная задача пред ставляется в виде (Мажорова О С Попов Ю П , Похилко В И Матрич ный алюритм численного решения нестационарных задач концентрацион-

ной конвекции для мноюкомпонентных сред //Веб Математич моделирование Получение монокристаллов и полупроводниковых структур М Наука, 1986)

ди _ д2и dv ^ d2v „ „

flT^a?' ¿ > 0, 0 < х < 1,

w(0, í)=n(0,í)=0, í > 0, х = 0,

и(1, t)=Av(l, t) - фазовая диаграмма, t > 0, х = 1, (4)

ди dv

D1—-D2——баланс частиц, £>0 х = 1, ах от

и(х 0)=uo(x), v(x, 0)=t>o(x), £ = 0, 0 < х < 1

Здесь и(х, £), ь(х t) концентрации растворенных веществ, Di, D2 коэффициенты диффузии щ(х) Vq(x) начальные распределения концентраций, А параметр, полученный при линеаризации уравнения ликвидуса, выражение для которого в обозначениях исходной нелинейной задачи в силу ei о громоздкости здесь не рассматривается

Во второй главе исследуются частные решения дифференциальной задачи (4), имеющие следующий вид

u(t, x)=C\e~Xt sin /íix, v(t, х)=С2в~и sin (jqx>

где характеристические числа Hi, ц2 и собственные значения Л - комплексные Пусть A=\jD\¡Di, А] значение параметра задачи А, отвечающее таким собственным значениям Л и характеристическим числам fi\, что Re А=0 и pti fi2~ минимальные по модулю Доказано следующее Утверждение 2.1 У модельной дифференциальной задачи существуют, не убывающие во времени частные решения тогда и только тогда, когда

d> 1 или А €

d< 1,

, , 1 2 J , , 1 2

гае Ai<-+—-— при а> 1 или j4i>——--— при а< 1

d d{e" - 1) d d{e* + 1)

Для численного решения системы (4) рассматривается разностная задача, аппроксимирующая модельную дифференциальную На сетке (2) определяются дискретные функции и\ v[ и, с учетом обозначений (3), семей-

ство разностных схем записывается в виде:

и,=В{й1х] у(=02%х, 0<г<ЛГ, 7=0,1,...;

«о=0; г^=0, г=0, 7=0,1,...;

и(<п)=А,(«*); Ди^Д^'Ч ¿=ЛГ, 7=0,1,...;

иаг=щ{хгу, г=0,1,..., ЛГ, 7=0.

Параметрами о>,Ь=1,4 определяется способ аппроксимации по времени граничных условий на границе раздела фаз. Рассматриваются три схемы:

схема 1: сг\=\, 02=0, сгз=<т4=1;

схема 2: сг1=(Т2=(Тз=1, ст4=0;

схема 3: <71=«Г2=стз='т4=1-

Согласно схелсе 1, сначала из фазовой диаграммы, описываемой уравнением ликвидуса, определяется 'концентрация и на подложке, а потом, с помощью метода прогонки, - во всем расплаве. Затем из условия баланса частиц, с учетом уже вычисленной концентрации и, находится концентрация у на подложке и далее, используя метод прогонки, - во всем расплаве. По схеме 2 вычисление концентраций происходит аналогичным образом, только в обратном порядке: сначала V. потом - и. Согласно схеме 3, концентрации и а V находятся одновременно, с помощью метода матричной прогонки.

Области безусловной устойчивости разностных схем 1 и 2 определяются доказанными во второй главе теоремами 2.1 и 2.2.

Теорема 2.1 Разностная схема 1 является безусловно устойчивой

тогда и только тогда, когда при д<1: А £ ( —.41 |, где А\>-—--—,

у V й )' й д(е"+1)

или при д> 1: 1у1|<—.

аг

Теорема 2.2 Разностная схема 2 является безусловно устойчивой тогда и только тогда, когда параметры (д., А) удовлетворяют совокуп-

и

ности условий

"(и l>¿

I d < 1

I d > 1

[ d > 1

Кроме тою во второй главе устанавливаю гея диапазоны изменения параметров задачи (d А), в которых схемы 1 к 2 являюгея условно устойчивыми или неустойчивыми при любых соотношениях т и h Таким образом, доказывается что схемы 1 и 2, реализованные методом раздельных прогонок имеют ограничения по устойчивости Вместе с 1ем, отмечается что убывание i > времени по моду но решений дифференциальной задачи является необходимым условием устойчивости чисто неявной схемы 3, ис-полыующей совместное вычисление искомых функций методом мафичной проюнки Полученные теоретические результаты подтверждают я численными расчетами

В третьей главе для разностной задачи, аппроксимирующей одномерную дифференциальную систему (4) изучаются асимптотическая устойчи вость и ючность численного решения Разностная схема является асимп тотически устойчивой, если численное решение с ростом номера временно го слоя выходит на регулярный режим, определяемый первой гармоникой разностной задачи (Самарский А А Теория разностных схем-М Наука, Гл ред физ-маг лит 1989 г) Асимптотическая точность численного решения достигается совпадением с хорошей точностью первых собственных значений дифференциальной и разностной систем При классической постановке задачи собственные значения находятся аналитически, однако, в нашем случае, со специальными граничными условиями, их можно определить только численно

В третьей главе, по аналогии с дифференциальным случаем, для системы разностных уравнений соответствующих схемам 1 и 3, вычисляется частное решение в следующем виде

u(tvx¿)—C\e~xl3 sin fi,ix„ v(tj,xt)=C2e~Xí> sin /i¿x„

где х,- = ¿/1, г = 0,1____, N1 = ^'г, ] — 0,1____; А - как и ранее, вооб-

ще говоря, комплексные числа. Вместе с тем. решение системы разностных уравнений для каждой из схем 1 и 3 при тех же начальных и граничных условиях, находится методом прогонки и сравнивается с точным решением на сетке.

В диапазоне изменения параметров (ё, А), соответствующем области неустойчивости схемы 1, при любых соотношениях Лиг выявляется расхождение между первой собственной функцией разностной задачи и численным решением. Таким образом, для численного алгоритма, использующего явную аппроксимацию одного из граничных условий, доказывается отсутствие асимптотической устойчивости. В случае чисто неявной схемы 3. имеется практически полное совпадение во всех рассмотренных вариантах первых гармоник разностной задачи и численного решения. Далее для исследований асимптотической устойчивости и точности выбирается чисто неявная схема 3. В третьей главе для схемы 3 доказываются следующие утверждения.

Утверждение 3.1 Существует значение, шага по времени т*, удовлетворяющее условию

АА^Н

такое, что при любых значениях т>т* в области ¿>1 или

11 * Л

-<Л<-гт, ¿<1 чисто мнимому характеристическому числу, которому в а а*

дифференциальном случае соответствует возрастающее по модулю решение, в разностном случае отвечает убывающее.

Здесь ?7=(1 + АсГ)/(1-Л^); а={(1- 1)/(с/+1); 0<|а|<1. Из Утверждения 3.1 следует, что для любых Д, А найдется такое значение А из области возрастающих по модулю во времени частных решений дифференциальной задачи, что при всех т>т* разностная задача не будет асимптотически устойчивой.

Утверждение 3.2 Пусть для первого собственного числа А в области изменения параметра А, соответствующей действительным характеристическим числам дифференциальной задачи, справедливо соотношение 1ш1/,_,оНеА = Не + 0(г). Тогда выполняется условие

Т ~ 6А Н -1)

В третьей главе показывается, что при нарушении ограничения на шаг т соотношение lim/, = ReAdi/ + 0(r) не справедливо и чисто неявная

схема 3 не является асимптотически точной Отмечается что что ограничение имеет смысл только в окрестности d = 1 при значениях А из области убывающих по модулю решений дифференциальной задачи Приводятся соответствующие примеры численных расчетов

В четвертой главе содержатся результаты математического моделирования процесса получения полупроводниковых соединений Cd\ Hqi уТе и AlyGai^yAs из раствора-расплава методом жидкофазовой эпитаксии Приводится постановка двумерной дифференциальной задачи с учетом фазовой диафаммы, соответствующей конкретным типам полупроводников. Дифференциальная система уравнений для трехкомпоненюю рас плава записывается следующим образом (Денисов И.А , Лакеенков В М , Мажоро-ва О С , Попов Ю П Матемашческое моделирование эпитакг иального выращивания твердых растворов CdyHqi^yTe из жидкой фа ¡ы / / Преприн i инетит Прикладной мат ем им М В Келдыша РАН М , 1992, N 65 42 с)

Здесь х, у - декартовы координаты I - время. V коэффициент кинематической вязкости раствора-расплава; О, - коэффициент диффузии г-го компонента; д - ускорение свободного падения; ш - вихрь, тр - функция тока, и, V компоненты вектора скорости, С, - концентрация в растворе г-го компонента, выраженная в ат/(/Уем*5). (ЛГ число Авогадро; г = 1,2): /?, -коэффициент концентрационного расширения, Г(Ь) 1емпература, изменяющаяся по линейному закону Т(Ь)=Та—ак Та - начальная температура подложки и расплава; а скорость охлаждения всей системы, выраженная в град/мин

Система уравнений (5) решается в области £>=[(). £]*[0. Я]. гдеЬ - длина подложки. Н толщина расплава Граница расчетной области представляется объединением трех частей' Г={Г1 и Г 2 и Гз}, где - подложка, Г2 боковые стенки ростовой камеры, Г3 верхняя граница расплава На границе Г для поля скоростей ставятся стандартные условия "непротекания"и

прилипания:

и|г = г>|г=0.

(6)

На границе Г) для концентраций задаются два условия: соотношение для баланса числа частиц на подложке и уравнение ликвидуса:

Р(СиС2,У\Т) = 0.

(7)

Здесь С/, С;, ¿=1,2 - концентрации растворенных компонентов в твердой и жидкой фазах соответственно, Р - нелинейная функция, представляющая уравнение ликвидуса, Уа - молярная доля СЧ'Ге или А1Ав в твердой фазе (в зависимости от типа моделируемой полупроводниковой структуры). На границе Г2 задается условие отсутствия потоков растворенных компонентов через графитовые стенки ростовой камеры:

дх

дС 1

=Дя-М =0, ¿=1,2. (8)

х=0 ОХ I х=1

На участке Гз моделируется отсутствие потоков растворенных компонентов с поверхности раствора-расплава:

ду

г, дС2

ду

(9)

В качестве начальных условий в задаче задаются объемные концентрации й и С2.

В четвертой главе сначала анализируется одномерный вариант задачи (5)-(9). получающийся в предположении, что конвективное движение в растворе-расплаве отсутствует. Во второй главе доказано, что значение модуля коэффициента А из граничного условия на подложке в задаче (4) существенно влияет на устойчивость разностного алгоритма.

Расчеты одномерного варианта задачи (5)-(9) проводятся с использованием трех схем, описанных во второй главе диссертации. Анализируется влияние способа аппроксимации граничных условий на устойчивость численного метода. Для этого уравнение ликвидуса в задаче (5)-(9) линеаризуется и выделяется коэффициент, аналогичный коэффициенту А из граничного условия на подложке в системе (4). В исходной нелинейной постановке этот коэффициент уже не является фиксированным параметром, а изменяется во времени в соответствии с фазовой диаграммой. Вследствие

этого, численное решение схем с явной аппроксимацией одного из граничных условий может перейти на плоскости [ё, А) из области устойчивости разностного алгоритма в область неустойчивости

Точно так же, как ранее для линейного приближения, анализируется устойчивость разностных схем в зависимости от величины модуля выделенного из граничного условия на подложке коэффициента. Теоретическое и численное исследование разностного решения нелинейной одномерной задачи показало, что на фазовой диаграмме состояния систем С Л — Нд — Те и А1 — Са — Аз имеются области значений состава твердой фазы расплава в которых схемы с последовательным вычислением концентраций являются неустойчивыми

Выводы, сделанные относительно ограничений на устойчивость схем 1 и 2 в одномерной нелинейной задаче полностью переносятся на двумерный случай Для разных способов аппроксимации граничных условий на подложке проводится серия двумерных расчетов в диапазоне параметров, представляющих практический интерес Отмечается, что существуют такие значения состава твердой фазы расплава У, при которых одна либо обе схемы, использующие явную аппроксимацию одного из граничных условий на подложке, дают неправильное решение

Вместе с гем. при расчетах по чисто неявной схеме, реализованной матричным методом с совместным вычислением концентраций во всех рассмотренных вариантах получаются результата отвечающие физическим представлениям о характере моделируемых процессов

Основные результаты, полученные в диссертации

1. Доказано, что для схем с искусственной дисперсией, аппроксимирующих уравнение конвективной диффузии с преобладающим влиянием конвекции, условие Куранта является достаточным для устойчивости на трехточечном шаблоне по пространству; схемы на пятиточечном шаблоне являются безусловно устойчивыми.

2. Для одномерного варианта линейного приближения задачи о выращивании полупроводниковых структур найдены области изменения параметров задачи, в которых разностные схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются безусловно устойчивыми, неустойчивыми и условно устойчивыми. Доказано, что в области возрастающих по модулю во времени решений дифференциальной задачи чисто неявная разностная схема не является асимптотически устойчивой: в области убывающих по модулю решений дифференциальной задачи имеется диапазон изменения параметров задачи, в котором чисто неявная схема не является асимптотически точной.

3. Выполнено математическое моделирование процесса получения полупроводниковых структур методом жид-кофазовой эпитаксии. Выяснено, что в системах и А1 - Оа — А имеются такие значения состава твердой фазы У8, при которых схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются неустойчивыми. В различных диапазонах изменения параметров задачи произведены численные расчеты, демонстрирующие устойчивость чисто неявной схемы. Подтверждено преимущество матричного метода решения по чисто неявной схеме перед методами, использующими последовательное вычисление концентраций.

Публикации по теме диссертации

[1 ] Мажорова О С Попов Ю П , Сахарчук Пономарева А С Исследование устойчивости разностных схем с искусственной дисперсией // Препринт ИПМ им М В Келдыша РАН, 1993, №28

[2 ] Мажорова О С , Попов Ю П , Сахарчук-Пономарева А С Об одной краевой задаче для системы параболических уравнений // Препринт ИПМ им М В Келдыша РАН, 1996, №107

[3 ] Мажорова О С Попов Ю П , Сахарчук-Пономарева А С Устойчи вость разностной задачи для системы парабопических уравнений с нетрадиционными граничными условиями //Дифференц уравн 1997, т 33, №7, ее 946-955

[4 ] Мажорова О С , Попов Ю П Сахарчук-Пономарева А С Устойчивость разнос!пых схем для системы параболических уравнений // Преириш ИПМ им М В Келдыша РАН, 1997, №90

|5 | Мажорова О С Попов Ю П Сахарчук-Пономарева А С Асимптотическая устойчивость разностных схем для системы параболических уравнений с нетрадиционными граничными условиями // Диффе ренц уравн 1999 т 35 №2 ее 249-256

[6 | Пономарева А С О некоторых особенностях численного исследования процесса зпигаксиального выращивания тройных полупроводниковых соединений / Препринт ИПМ им М В Келдыша РАН, 2005, №8

Подписано в печать 06.04.2005 г. Формат 60 х 84'/,6.

Объем 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ 766.

ГУП МО « Серпуховская типография» Министерство по делам печати и информации Московской области

19 Mía 7005 V ■ '

989

Введение

Глава 1. Устойчивость разностных схем с искусственной дис-* Персией для уравнения типа конвективной диффузии

1.1 Постановка разностной задачи для уравнения конвективной диффузии с малым параметром при старшей производной

1.2 Построение разностных схем для уравнения конвективной диффузии

1.3 Исследование устойчивости разностных схем с искусственной дисперсией

1.4 Выводы.

Глава 2. Об одной задаче для системы параболических уравнений со специальными граничными условиями

2.1 Математическое моделирование процесса выращивания твердых растворов полупроводников из жидкой фазы.

2.2 Решение модельной дифференциальной задачи

2.3 Исследование устойчивости разностной задачи.

2.4 Результаты численных расчетов.

2.5 Выводы. v

Глава 3. Асимптотическая устойчивость разностной схемы для одной краевой задачи

3.1 Понятие асимптотической устойчивости.

3.2 Вычисление точного решения разностной схемы.

3.3 Исследование асимптотической устойчивости и точности разностной схемы

3.4 Описание численных расчетов. i 3.5 Выводы.

Глава 4. Численное моделирование эпитаксиального выращивания тройных полупроводниковых соединений

4.1 Физико-химические основы процесса.

4.2 Математическое моделирование процесса выращивания твердых растворов CdyHgi-yTe из жидкой фазы

4.3 Моделирование эпитаксиального выращивания твердых растворов AlyGai-yAs из жидкой фазы.

4.4 Выводы.

В диссертации рассматривается класс задач параболического типа, возникающих при математическом моделировании процесса выращивания полупроводниковых материалов методом жидкофазовой эпитаксии. Такого рода исследования на протяжении ряда лет проводятся коллективом сотрудников Института Прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. Важное значение этих работ обусловлено практическими потребностями производства полупроводниковых структур для электронной промышленности. В математическом отношении эти задачи описываются системой нелинейных уравнений, включающей уравнения Навье-Стокса и уравнения конвективной диффузии.

Указанный класс задач обладает рядом математических особенностей, вызывающих трудности при их исследовании и решении. К их числу относятся сложная нелинейная функциональная зависимость между концентрациями растворенных веществ на границе раздела фаз, а также преобладание конвективных процессов над диффузионными. Это приводит к наличию в рассматриваемых системах уравнений нелинейных граничных условий нестандартного вида и малых параметров при старших производных.

Для задачи об эпитаксиальном выращивании полупроводниковых структур были построены дифференциальные и разностные модели [1]. Однако, в процессе расчетов обнаружилась вычислительная неустойчивость или недостаточная точность некоторых использованных алгоритмов. Поэтому возникла необходимость в теоретическом анализе свойств разностных схем, прежде всего с точки зрения их устойчивости, а также в построении на основе этого анализа надежных вычислительных алгоритмов для расчета рассматриваемого класса задач. Настоящая работа посвящена этой проблематике, что обуславливает ее актуальность. Опыт использования методов математического моделирования для изучения процессов массопереноса в многокомпонентных средах с фазовыми переходами показал, что свойства алгоритма и, в первую очередь, его устойчивость, в значительной степени зависят от способа численной реализации условий на границе раздела фаз.

Теоретический и численный анализ дифференциальной системы уравнений и разностных схем в полной нелинейной постановке обычно затруднен, поэтому традиционно принятым является изучение линеаризованных моделей, сохраняющих характерные особенности реальной задачи. Исследование устойчивости линеаризованной модели позволило из всей совокупности возможных вычислительных методов выбрать наиболее надежные, подходящие для решения исходной нелинейной системы.

В диссертации приведен расчет задачи о получении тройных полупроводниковых соединений из жидкой фазы. Показано, что разностные методы, неустойчивые в линейном случае, дают неправильные результаты и при расчете исходной нелинейной системы. Напротив, с помощью устойчивых в модельном случае алгоритмов удается получить результаты, согласующиеся с физическими представлениями о процессе во всех рассмотренных областях изменения параметров.

Цели работы

Исследование в линейном приближении устойчивости разностных схем для обоснования алгоритмов численного решения некоторых параболических задач нового класса, возникающих при моделировании технологических процессов получения полупроводниковых материалов и характеризующихся наличием малого параметра при старшей производной и нелинейными граничными условиями; построение надежных вычислительных алгоритмов для указанного класса задач; демонстрация их преимуществ на примере расчета полной задачи в нелинейной постановке.

Различные подходы к понятию устойчивости разностных схем и способам ее исследования

В 1955 г. в статье А. Ф. Филиппова [2] были определены свойства разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение. Доказано, что если: 1) решение дифференциального уравнения существует; 2) разностное уравнение аппроксимирует дифференциальное уравнение; 3) решение разностного уравнения устойчиво, то при измельчении сетки решение разностного уравнения стремится к решению дифференциального уравнения. Под устойчивостью в [2j понимается равномерно непрерывная при измельчении сетки зависимость решения разностного уравнения от правой части и начальных данных.

Понятие устойчивости, определяемое в смысле ограниченности всех гармоник решения разностной задачи, было впервые введено в 1950 г. Джоном фон Нейманом и Р. Д. Рихтмайером. В книге Р. Д. Рихтмайера и К. Морто-на [4] понятие устойчивости включает также условие того, что погрешность вычислений можно сделать сколь угодно малой. В работах А. А. Самарского [7], А. А. Самарского и А. В. Гулина [6] под устойчивостью разностной схемы понимается свойство непрерывной зависимости приближенного решения от начальных данных, коэффициентов уравнения и правой части.

Определение устойчивости, рассмотренное в книге С. К. Годунова и В. С. Рябенького [5], предполагает, что малое возмущение правой части разностной схемы вызывает равномерное относительно шага сетки малое возмущение решения.

Для нелинейных задач Н. Н. Кузнецовым в статье [8] введено понятие слабой устойчивости разностной схемы, которое допускает в качестве решения устойчивых схем неограниченно растущие функции. Критерий слабой устойчивости схемы, решением которой могут быть экспоненциально растущие гармоники, установлен в [4, 8].

Наряду с различными определениями устойчивости предлагаются и разные математические способы ее доказательства. Так, например, анализ необходимых условий устойчивости, введенный Дж. фон Нейманом, проводится с помощью разложения разностного решения в ряд Фурье или с помощью оценки нормы сеточного решения. Применяется также энергетический метод, в котором используются соотношения, аналогичные принципу сохранения энергии в физической системе.

Условия устойчивости задачи Коши в равномерной метрике для разностных уравнений, аппроксимирующих систему дифференциальных уравнений параболического типа, изучались в работе С. И. Сердюковой [44]. Предложенный метод доказательства устойчивости основывается на рассмотрении характеристической матрицы системы разностных уравнений и анализе ее собственных чисел. Характеристическая матрица составляется по коэффициентам разложения приближенного решения в ряд Фурье. Подобный способ исследования устойчивости содержится также в книге Р. Д. Рихтмайера и К. Мортона [4].

А. А. Самарским в середине 1960-х гг. была построена общая теория устойчивости линейных разностных схем, получены основные теоремы для гильбертовых пространств. Дальнейшее развитие этой теории представлено в книге А.А. Самарского и А. В. Гулина [6]. В статье А. А. Самарского и А. В. Гулина [9] отмечается, что в теории устойчивости разностных схем формулируются положения, аналогичные положениям теории устойчивости для дифференциальных уравнений.

Анализ устойчивости линейной разностной схемы обычно проводится следующими способами [6, 10]: методом сведения к явной схеме и последующей оценки спектра оператора перехода; методом проверки условий выполнения принципа максимума; методом энергетических неравенств; методом разделения переменных. Вопросам исследования устойчивости разностных схем посвящены работы А. А. Самарского [10], А. А. Самарского и Е. С. Николаева [11], А. А. Самарского и Ю. П. Попова [12], С. К. Годунова и В. С. Рябенького [5], Г. И. Марчука [13], А. А. Самарского и А. В. Гулина [6], Р. Д. Рихтмайера и К. Мортона [4], и многие другие. Обзор теории устойчивости для нестационарных разностных схем приведен в статье А. А. Самарского, П. Н. Вабищевича и А. В. Гулина [14]. Однако, в настоящее время не существует законченной теории исследования устойчивости разностных схем, аппроксимирующих несамосопряженные краевые задачи.

Наряду с обычной устойчивостью в теории разностных схем применяется понятие асимптотической устойчивости, введенное А.А.Самарским [10]. Асимптотическая устойчивость сеточного решения устанавливается по аналогии с асимптотической устойчивостью решения дифференциального уравнения. Разностная схема является асимптотически устойчивой, если при расчете длительных нестационарных процессов численное решение выходит на регулярный режим, задаваемый первой собственной функцией разностной задачи. В работах А. А. Самарского и А. В. Гулина [6, 9, 60] отмечается, что асимптотическую устойчивость можно определить как специальный случай р - устойчивости, где р G (0; 1) [60].

В статьях А. А. Самарского, А. В. Гулина [42, 60], А. В. Гулина и С. JI. Дегтярева [61] изучаются симметризуемые разностные схемы, в классе которых также исследована асимптотическая устойчивость. В [35] приводятся примеры устойчивых разностных схем, решение которых показывает плохую точность на реальных сетках. Следовательно, на практике важную роль, помимо устойчивости, играют асимптотическая устойчивость и точность разностного алгоритма.

Общая характеристика рассматриваемых задач

Настоящая работа является частью цикла исследований, проводимых в ИПМ имени М. В. Келдыша РАН и посвященных математическому моделированию процессов массопереноса в многокомпонентных средах с фазовыми переходами. Основное внимание в диссертации уделяется анализу устойчивости разностных схем для одномерного линеаризованного уравнения конвективной диффузии с малым параметром при старшей производной и одномерной системы двух параболических уравнений с граничными условиями специального вида, моделирующими условия на границе раздела фаз.

Об уравнении типа конвективной диффузии

Основные трудности при построении разностных схем для уравнения конвективной диффузии связаны с аппроксимацией конвективных членов. Хорошо известно, что использование направленных разностей для аппроксимации конвективных членов приводит к сильному сглаживанию - размазыванию - решения в области его резкого изменения. Напротив, схемы с центрально-разностной аппроксимацией порождают решение, содержащее нефизические осцилляции [27].

Существует большое число разностных схем для численного решения уравнений такого типа: использование односторонних разностей со сгущением сетки [20]; применение центрально-разностной аппроксимации конвективных членов высокого порядка [21, 22]; введение в схему регуляриза-тора или специальная монотонизация схемы [10, 23]; комбинирование определенным образом направленных и центральных разностей [16], [18], [24]-[26]. Достоинством таких схем является более высокая точность численного решения по сравнению с традиционной односторонней или центрально-разностной аппроксимацией. Но вместе с тем,известно, что сгущение сетки трудно осуществить при моделировании высокоскоростных неустойчивых течений; при центрально-разностной аппроксимации высокого порядка также возникают нефизические осцилляции решения; введение в схему регуляризатора может значительно усложнить вычислительный алгоритм.

Другой способ построения разностных схем высокого порядка точности основан на анализе дифференциального приближения разностного уравнения. Связь между дифференциальным приближением и разностной схемой обсуждается в работах Н. Н. Кузнецова [29, 30] и Ю. И. Шокина, Н. Н. Яненко [28]. Анализ дифференциального приближения сеточного уравнения позволяет выяснить, какие искусственные эффекты вносит в решение дифференциальной задачи разностный алгоритм. В полученном с помощью дифференциального приближения модифицированном уравнении производные четного порядка связываются со схемной диссипацией, а нечетного - с дисперсией [27]. В работах [31, 32] на основе схем с центральными разностями предложены сеточные алгоритмы с так называемой антидисперсионной добавкой, частично компенсирующей численную дисперсию, внесенную в решение исходной симметричной схемой. Свойства схем с искусственной дисперсией интерпретируются на основе их дифференциальных приближений.

Среди других подходов к аппроксимации конвективных членов отметим широко распространенные за рубежом QUICK - схемы (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics) [22]. Применяются также гибридные схемы [24, 63], в которых чередуются, в зависимости от величины скорости, направленные и центральные разности.

В статьях [35]-[38] устойчивость разностных схем, аппроксимирующих уравнение конвективной диффузии, проверяется с использованием Фурье-анализа, в [39], [40] - метода Дж. фон Неймана. Однако, если рассматривается краевая задача, то, как было найдено С. К. Годуновым и В. С. Рябеньким, выполнение условий фон Неймана только необходимо для устойчивости, но не достаточно.

О математическом моделировании процесса получения полупроводниковых структур методом жидкофазовой эпитаксии.

Полупроводниковые соединения являются основой современных типов транзисторов, фотоэлементов, квантовых генераторов и многих других приборов. Одной из технологий получения полупроводниковых структур является метод жидкофазовой эпитаксии [47].

Сущность этого метода состоит в кристаллизации из раствора-расплава на подложке полупроводниковых соединений. В простейшем случае насыщенный при начальной температуре раствор кристаллизующихся компонентов приводится в контакт с подложкой, и вся система охлаждается по заданному закону. С понижением температуры жидкая фаза становится пересыщенной, и растворенные в ней вещества осаждаются на границе расплав-подложка в виде монокристаллического слоя [48]. Происходящие в расплаве процессы определяются скоростью охлаждения системы, начальным составом подложки и другими параметрами.

Математическое моделирование задачи о выращивании эпитаксиальных слоев полупроводниковых материалов из раствора - расплава проводится в работах [49] - [52], [106]. Основу математической модели составляют двумерные уравнения концентрационной конвекции в приближении Бусси-неска. Предполагается, что концентрации веществ у фронта кристаллизации находятся в состоянии квазиравновесия и связаны уравнением ликвидуса. Другим граничным условием для концентраций на границе раздела фаз является условие баланса частиц.

При отсутствии в расплаве конвекции процесс описывается с помощью диффузионной модели с граничными условиями специального вида. Разностная задача, аппроксимирующая систему параболических уравнений, является несамосопряженной, что значительно затрудняет ее теоретический анализ.

Содержание диссертации по главам

В первой главе изучается одномерное линейное уравнение конвективной диффузии с малым параметром при старшей производной. Приводится обзор различных способов аппроксимации конвективных членов, отмечаются их преимущества и недостатки. Для схем с искусственной дисперсией на трехточечном и пятиточечном шаблонах по пространству при помощи общей теории разностных схем А. А. Самарского и А. В. Гулина устанавливаются достаточные условия устойчивости.

Во второй главе изучается одномерная линеаризованная система двух параболических уравнений с граничными условиями специального вида, являющаяся модельной для задачи о выращивании полупроводниковых материалов методом жидкофазовой эпитаксии.

Находятся области изменения параметров, в которых имеются не убывающие по модулю во времени частные решения дифференциальной системы. Для численного решения модельной задачи используются две разностные схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий и чисто неявная схема. При помощи оценки предела при t оо модуля сеточного решения в граничной точке шаблона, исследуется устойчивость двух разностных схем с явной реализацией граничных условий. Устанавливаются диапазоны изменения параметров задачи, в которых эти схемы являются безусловно устойчивыми, условно устойчивыми или неустойчивыми при любых соотношениях шагов сетки /гиг. Вместе с тем, отмечается, что убывание во времени по модулю решений дифференциальной задачи является необходимым условием устойчивости чисто неявной схемы, использующей совместное вычисление искомых функций методом матричной прогонки. Полученные теоретические результаты подтверждаются численными расчетами.

Отмечается, что для чисто неявной схемы необходимые условия устойчивости выполняются везде, где решения дифференциальной задачи убывают во времени по модулю. Теоретические результаты подтверждаются численными расчетами.

В третьей главе исследуется асимптотическая устойчивость и точность разностной задачи, аппроксимирующей модельную систему параболических уравнений со специальными граничными условиями.

Для системы разностных уравнений, соответствующих схемам с явной аппроксимацией одного из граничных условий и чисто неявной схеме, по аналогии с дифференциальным случаем, вычисляется частное решение в виде сеточной собственной функции. Вместе с тем, решение системы разностных уравнений для каждой из рассматриваемых схем при тех же начальных и граничных условиях, находится методом прогонки и сравнивается с точным решением на сетке.

В диапазоне изменения параметров задачи, соответствующем области неустойчивости схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий, при любых соотношениях /гиг выявляется расхождение между первой собственной функцией разностной задачи и численным решением. Таким образом, для численных алгоритмов, использующих явную реализацию одного из граничных условий, доказывается отсутствие асимптотической устойчивости. В случае чисто неявной схемы имеется практически полное совпадение во всех рассмотренных вариантах первых гармоник разностной задачи и численного решения. Далее для исследований асимптотической устойчивости и точности выбирается чисто неявная схема, реализованная методом матричной прогонки.

С помощью аналитической оценки первого собственного значения разностной задачи доказывается, что в области возрастающих по модулю во времени решений дифференциальной системы чисто неявная разностная схема не является асимптотически устойчивой. В области убывающих по модулю решений дифференциальной задачи устанавливается, что величина шага сетки по времени влияет на асимптотическую точность разностного решения.

В четвертой главе содержатся результаты математического моделирования процесса получения полупроводниковых соединений CdyHgi-yTe и AIyGcli-yAs из раствора-расплава методом жидкофазовой эпитаксии. Приводится постановка двумерной нелинейной дифференциальной задачи с учетом фазовой диаграммы соответствующей системы [62].

В диффузионном приближении исследуется одномерный вариант реальной задачи. Для численного решения используются разностные схемы, аналогичные описанным во второй и третьей главах диссертации. Указываются области значений состава твердой фазы расплава Y на каждой из фазовых диаграмм систем Cd—Hg—Te и Al—Ga—As, в которых схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются неустойчивыми.

С учетом анализа диффузионного приближения одномерной задачи, проводятся расчеты в рамках полной двумерной задачи. Указываются варианты, демонстрирующие неустойчивость разностных схем с явной реализацией граничных условий в зависимости от значения состава твердой фазы Y, соотношений коэффициентов диффузии веществ и шагов сетки. Вместе с тем, при расчетах по чисто неявной схеме во всех рассмотренных случаях получаются результаты, отвечающие физическим представлениям о характере моделируемых процессов.

Основные результаты, полученные в диссертации

1. Доказано, что для схем с искусственной дисперсией, аппроксимирующих уравнение конвективной диффузии с преобладающим влиянием конвекции, условие Куранта является достаточным для устойчивости на трехточечном шаблоне по пространству; схемы на пятиточечном шаблоне являются безусловно устойчивыми.

2. Для одномерного варианта линейного приближения задачи о выращивании полупроводниковых структур найдены области изменения параметров задачи, в которых разностные схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются безусловно устойчивыми, неустойчивыми или условно устойчивыми. Доказано, что в области возрастающих по модулю во времени решений дифференциальной задачи чисто неявная разностная схема не является асимптотически устойчивой; в области убывающих по модулю решений дифференциальной задачи имеется диапазон изменения параметров задачи, в котором чисто неявная схема не является асимптотически точной.

3. Выполнено математическое моделирование процесса получения полупроводниковых структур CdyHgi-yTe и AlyGai-yAs методом жид-кофазовой эпитаксии. Выяснено, что в системах Cd — Нд — Те и Al — Ga — As имеются такие значения состава твердой фазы У, при которых схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются неустойчивыми. В различных диапазонах изменения параметров задачи произведены численные расчеты, демонстрирующие устойчивость чисто неявной схемы. Подтверждено преимущество матричного метода решения по чисто неявной схеме перед методами, использующими последовательное вычисление концентраций.

В заключение я хочу поблагодарить О.С.Мажорову и Ю.П.Попова за постановку задачи и выбор научного направления. Эта диссертация, по ряду причин, писалась на протяжении многих лет, в течение которых я находила постоянную поддержку и внимание к работе со стороны моих научных руководителей О. С. Мажоровой и Ю. П. Попова. Их вера в успех и деятельное участие помогли мне завершить свои исследования.

4.4 Выводы

В данной главе описаны результаты проведенных расчетов полной нелинейной задачи о выращивании методом жидкофазовой эпитаксии полупроводниковых структур CdyHgi-yTe и AlyGa^yAs. Использованы три разностные схемы: две схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий и чисто неявная схема. Представлены результаты серии расчетов одномерной и двумерной нелинейных задач с учетом реальных фазовых

ВАРИАНТ 5

Состав слоя - 0.802 Di=0,00002 см2/сек.; D2=0,00002 см2/сек.; d=l; т=0,15; h=0,l

Концентрация алюминия в середине подложки

Неустойчивость решения, вычисляемого по схеме 1. время, мин.

Устойчивость решения, вычисляемого по схеме 2. Рис.4.9, а

Состав слоя-0.802; охлаждение на 13,2°К Di=0,00002 см2/сек.; D2=0,00002 см2/сек.; d=l Данные расчетов на момент времени - 8,8 мин. т=0,15; h=0,l * * * схема 2 * * * схема 2

0.8020

0.7990 1111 п 11111111111111111111111111111111111111111111 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025

ТОЛЩИНА СЛОЯ, СМ

Рис. 4.9, б. Толщина и состав эпитаксиального слоя, рассчитанные по схеме 2.

ВАРИАНТ 6 Состав слоя - 0,402 D1=0,0004 см2/сек.; D2=0,00002 см2/сек.; d=4,47; х=0,1; h=0,l

Концентрация алюминия в середине подложки

Выход решения, полученного по схеме 1, на неверный режим. время, мин. Неустойчивость схемы 2.

Рис. 4.10, а.

Состав слоя - 0,402 Di=0,0004 см2/сек.; D2=0,00002 см2/сек.; d=4,47 Данные расчетов на момент времени - 29,34 мин. т=0,1; h=0,l

Схема 1

0.5 1.0 1.5 ПОДЛОЖКА, ММ

2.0

2.5

Выход решения, полученного по схеме 1, на неверный режим.

Рис. 4.10, б. диаграмм в различных диапазонах параметров, представляющих практический интерес. В одномерном и двумерном случаях найдены варианты, для которых неприменимы одна из схем 1 или 2, либо обе схемы. Вместе с тем, во всех рассмотренных случаях расчеты по чисто неявной схеме 3 дали надежные, отвечающие физическим представлениям о моделируемых процессах, результаты.

Заключение

В настоящей работе проведено исследование устойчивости разностных схем для некоторых параболических задач нового класса, возникающих при моделировании процессов выращивания полупроводниковых структур методом жидкофазовой эпитаксии. Такие задачи характеризуются наличием малого параметра при старшей производной и нелинейными граничными условиями.

В качестве модельного для задачи о выращивании полупроводниковых материалов в первой главе рассматривается линейное безразмерное уравнение конвективной диффузии. В силу того, что процессы конвекции преобладают над диффузионными, после обезразмеривания уравнения при старшей производной появляется малый параметр порядка Ю-6 -г 103. В первой главе исследуются достаточные условия устойчивости семейства разностных схем с искусственной дисперсией, аппроксимирующих линейное одномерное уравнение конвективной диффузии с преобладающим влиянием конвекции. Доказывается, что для схем на трехточечном шаблоне по пространству условие Куранта является достаточным для устойчивости; схемы на пятиточечном шаблоне по пространству - безусловно устойчивы.

Во второй главе проводится исследование одномерной линеаризованной системы двух параболических уравнений со специальными граничными условиями, также являющейся модельной для задачи о выращивании твердых растворов полупроводников из жидкой фазы. Устанавливается необходимое и достаточное условие существования частных решений дифференциальной задачи, не убывающих со временем по модулю. При проведении численных расчетов используются три разностные схемы: две схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий - схемы 1,2- и чисто неяная схема 3. По первым двум схемам компоненты решения вычисляются на каждом временном слое последовательно, по чисто неявной схеме искомые функции определяются одновременно при помощи матричной прогонки. Во второй главе устанавливаются диапазоны изменения параметров задачи и шагов сетки, в которых две схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются неустойчивыми, условно устойчивыми или безусловно устойчивыми.Отмечается, что для чисто неявной схемы 3, необходимые условия устойчивости выполняются везде, где решения дифференциальной задачи убывают во времени по модулю. Теоретические результаты подтверждаются численными расчетами.

Таким образом, делается вывод о нецелесообразности использования при решении исходной двумерной нелинейной задачи разностных схем 1,2 с явной аппроксимацией одного из граничных условий, так как сеточное решение в процессе расчетов может выйти из области устойчивости вычислительного алгоритма в область неустойчивости.

В третьей главе для системы разностных уравнений, соответствующих схемам 1 и. 3, находятся собственные функции. Анализируется влияние шагов сетки т и h на первое собственное значение и характеристические числа разностной задачи. Показывается, что в определенном диапазоне изменения параметров точное решение разностной системы для схемы 1 качественно отличается от численного решения, полученного по этой схеме с помощью метода прогонки. Этим подтверждаются теоретические выводы, сделанные во второй главе диссертации относительно ограничений на устойчивость схем с явной аппроксимацией одного из граничных условий. В случае схемы 3 собственная функция разностной системы и численное решение, полученное методом матричной прогонки, практически совпадают между собой во всех рассмотренных вариантах.

Для чисто неявной схемы 3, исследуются асимптотические устойчивость и точность. Устанавливается, что в области возрастающих со временем по модулю решений дифференциальной задачи эта схема не является асимптотически устойчивой; в области убывающих по модулю решений дифференциальной задачи имеется диапазон изменения параметров, в котором разностная схема 3 не является асимптотически точной.

Исследования, проведенные в третьей главе, подтверждают сделанное ранее заключение. Использование в практических расчетах чисто неявной схемы 3 является наиболее предпочтительным, так как схемы 1,2 с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются неустойчивыми в определенных областях изменения параметров задачи. Вместе с тем, чисто неявная схема 3 может демонстрировать недостаточную точность в узком диапазоне параметров.

В четвертой главе описываются результаты расчетов нелинейной задачи о выращивании методом жидкофазовой эпитаксии полупроводниковых соединений CdyHgi-yTe и AlyGa\-yAs. Так же, как и в линейном приближении, рассмотренном во второй и третьей главах, используются три разностные схемы: две схемы 1,2 с явной аппроксимацией одного из граничных условий и чисто неявная схема 3. Серия расчетов одномерной и двумерной нелинейных задач с учетом реальных фазовых диаграмм проводится в различных диапазонах параметров, представляющих практический интерес. В одномерном и двумерном нелинейных случаях находятся варианты, для которых неприменимы одна из схем 1 или 2, либо обе схемы. Вместе с тем, отмечается, что во всех рассмотренных случаях расчеты по чисто неявной схеме 3 дают надежные, отвечающие физическим представлениям о моделируемых процессах, результаты.

Общий вывод проведенных в диссертации исследований состоит в следующем. Чисто неявная схема 3, по которой искомые функции определяются совместно, является наиболее оптимальным, по сравнению со схемами 1, 2, или единственно возможным методом решения исходной двумерной нелинейной задачи. Рекомендации, полученные в первой главе при анализе устойчивости схем с искусственной дисперсией для решения уравнения конвективной диффузии, и - в третьей главе при исследовании асимптотической устойчивости и точности чисто неявной схемы, аппроксимирующей модельную задачу для системы двух параболических уравнений, могут быть также использованы в реальном вычислительном эксперименте по выращиванию твердых растворов полупроводников эпитаксиальным методом.

Новизна проведенной в диссертации научной работы заключается в следующем. Установлены достаточные условия устойчивости разностных схем с искусственной дисперсией, аппроксимирующих уравнение типа конвективной диффузии. Для линеаризованной системы параболических уравнений, моделирующей процесс получения полупроводниковых материалов, найдены области изменения параметров задачи, в которых разностные схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются безусловно устойчивыми, условно устойчивыми и неустойчивыми. Для чисто неявной схемы исследованы асимптотическая устойчивость и точность. Теоретические результаты, полученные в линейном приближении, подтверждены расчетами реальной нелинейной задачи.

1. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Похилко В. И. Исследование алгоритмов численного решения систем параболических уравнений с нелинейными граничными условиями. // Дифф. уравнения, 1987, т. 23, № 7, с. 1240 - 1250.

2. Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. // ДАН СССР, т. 100, №- 6, 1955, с. 1045 1048.

3. Рябенький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956 г.

4. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972 г.

5. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977г.

6. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем.- М.: Наука, 1973 г.

7. Самарский А. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных разностных схем. // ДАН СССР, т. 181, № 4,1968, с. 808 -811.

8. Кузнецов Н. Н. Слабо устойчивые конечно разностные аппроксимации дифференциальных уравнений. // Ж. Выч. Матем. и Матем. Физики, т. 11, № 6, 1971.

9. Самарский А. А., Гулин А. В. О некоторых результатах и проблемах теории устойчивости разностных схем. // Матем. сборник, т. 99 (141), № 3, 1976, с. 299 330.

10. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989 г.

11. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М. : Наука, 1978 г.

12. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М. : Наука, 1980 г.

13. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.-М.: Наука, 1980г.

14. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Гулин А. В. Устойчивость операторно- разностных схем. // Дифф. уравнения, т. 35, № 35, 1999, сс. 152-187.

15. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Сахарчук-Пономарева А. С. Исследование устойчивости разностных схем с искусственной дисперсией.- Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1993, № 28.

16. Siemienich J. and Gladwell I. Analysis of explicit difference methods for a diffusion convection equation. // Internat. J. Numer. Methods Engin., № 12, 1978, pp. 899 - 916.

17. Fisk R. On an oscillation phenomenon in the numerical solution of the diffusion convection equation. // SIAM J. Numer. Anal., № 19, 1982, pp. 721 - 723.

18. Morton K. Stability of finite difference approximation to a convection -diffusion equation. // Internat. J. Numer. Methods Engin., № 15, 1980, pp. 677 683.

19. Griffiths D., Christie I. and Mitchell A. Analysis of error growth for explicit difference schemes in conduction convection problems.// Internat. J. Numer. Methods Engin., № 15, 1980, pp. 1075 - 1081.

20. Leonard B. P. A stable and accurate convective modeling procedure based on a quadratic upstream interpolation.// Comput. Methods Appl. Mech. Engin., № 19, 1979, pp. 59 98.

21. Leonard B. P. Simple high accuracy resolution program for convective modeling of discontinuities. //Internat. J. Numer. Methods Fluids, JY2 8, 1988, pp. 1291 - 1318.

22. Leonard B. P. The ULTIMATE conservative difference scheme applied to unsteady one dimensional advection. // Comput. Meth. in Appl. Mech. and Engin., № 88, 1991, pp. 17 - 74.

23. Вабищевич П. H. Монотонные разностные схемы для задач конвекции- диффузии. // Дифф. Уравн., т. 30, № 3, 1994.

24. Spalding D. В. A novel finite difference formulation for differential expressions invoilving both first and second derivatives. // Internat. J. Numer. Engin., № 4, 1972, pp. 551 559.

25. Runchal A. K. Convergence and accuracy of three finite difference schemes for a two dimensional conduction and convection problem. // Internat. J. Numer. Methods Engin., № 4, 1972, pp. 541 550.

26. Gupta M. A discussion of papers by Spalding and Runchal. // Internat. J. Numer. Methods Engin., № 6, 1974, pp. 560 562.

27. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей, т.1.- М.: Мир, 1991.

28. Шокин Ю. И., Яненко Н. Н. Метод дифференциального приближения. Новосибирск : Наука, 1985 г.

29. Кузнецов Н. Н. Слабая устойчивость и асимптотика решений конечно разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений. // ДАН СССР, т. 200, № 5, 1971 г.

30. Кузнецов Н. Н. Асимптотика решений конечно разностной задачи Коши. // Ж. Выч. Матем. и Матем. Физики, т. 12, № 2, 1972 г.

31. Ермаков С. В., Мажорова О. С., Попов Ю. П. Построение разностных схем для параболических уравнений с малым параметром при старшей производной. // Препринт Инст. прикл. матем. им. М. В. Келдыша АН СССР, № 89, 1990 г.

32. Ермаков С. В., Мажорова О. С., Попов Ю. П. Математическое моделирование задач электрофоретического разделения биосмесей. I. // Дифф. уравн., т. 28, № 10, 1992 г.

33. Leonard В. P. and Mokhtari Simin. Beyond First-order Upwinding: the Ultra Sharp Alternative for Non-oscillatory Steady-State. // Internat. J. for Numer. Methods in Engin., v. 30, 1990, pp. 729 - 766.

34. Галанин М.П., Еленина Т.Г. Сравнительный анализ разностных схем для линейного уравнения переноса. Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1998, №52.

35. Rigal Alain. Numerical Analysis of Two Level Finite Difference Schemes for Unsteady Diffusion - Convection Problems. // Internat. J. for Numer. Methods in Engin., v. 28, № 5, 1989, pp. 1001 - 1021.

36. Morton К. W. Stability of Finite Difference Approximations to a Diffusion Convection Equation. // Internat. J. for Numer. Meth. in Engin., v. 15, 1980, pp. 677 - 683.

37. Carey G. F. and Sepehrnoori K. Gershgorin Theory for Stiffness and Stability of Evolution Systems and Convection Diffusion. // Comput. Methods Appl. Mech. Engin., v. 22, 1980, pp. 23 - 48.

38. Varah J. M. Stability Restriction on Second Order, Three Level Finite Difference Schemes for Parabolic Equations. // SIAM J. Numer. Anal., v. 17, № 2, 1980.

39. Tony F. Chan. Stability Analysis of Finite Difference Schemes for the Advection Diffusion Equation. // SIAM J. Numer. Anal., v. 21, № 2, 1984.

40. Самарский А. А., Гулин А. В. Критерии устойчивости семейства разностных схем. // ДАН, т. 330, № 6, 1993 г.

41. Гулин А. В., Самарский А. А. Об устойчивости одного класса разностных схем. /./ Дифф. Уравн., т. 29, № 7, 1993 г.

42. Вабищевич П. Н., Самарский А. А. Об устойчивости разностных схем для задач конвекции диффузии. // Ж. Выч. Матем. и Матем. Физики, т. 37, № 2, 1997, с. 188 - 192.

43. Сердюкова С. И. Об устойчивости в равномерной метрике систем разностных уравнений. // Ж. Выч. Матем. и Матем. Физики, т. 7, № 3, 1967 г., сс. 497 509.

44. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Сахарчук-Пономарева А. С. Об одной краевой задаче для системы параболических уравнений. // Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1996, № 107.

45. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Сахарчук-Пономарева А. С. Устойчивость разностной задачи для системы параболических уравнений с нетрадиционными граничными условиями. Дифференц. уравн., 1997, т. 33, 7, с. 946 955.

46. Андреев В. М., Долгинов Jl. М., Третьяков Д. Н. Жидкостная эпи-таксия в технологии полупроводниковых приборов. М.: Советское радио, 1975 г.

47. Уфимцев В.В., Ачкурин РХ. Физико-химические основы жидкофазовой эпитаксии.- М.: Металлургия, 1983, 221 с.

48. Мажорова О.С., Попов Ю.П., Смирнов В.А., Шленский А.А. Численное моделирование процесса выращивания монокристаллических слоев полупроводниковых материалов методом жидкофазовой эпитаксии. // Физика и Химия Обраб. Материалов, № 4, 1983 г., сс.81-90.

49. Верезуб Н. А., Полежаев В. И. Математическое моделирование конвекции и концентрационных полей при росте эпитаксиальных слоев. // В сб. Математич. моделирование. Получение монокристаллов и полупроводниковых структур. М. : Наука, 1986.

50. Карпов С. Ю., Мажорова О. С., Никишин С. А., Попов Ю. П., По-хилко В. И., Синявский Д. В. Диффузионная модель эпитаксиального роста Ga\-xALxAs из ограниченного расплава. //Ж. технич. физ., т. 58, № 2, 1988, с. 355 362.

51. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов JI. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1984 г.

52. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Похилко В. И. Математическое моделирование процесса массопереноса при жидкофазовой эпитаксии в горизонтальных системах. // Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1986, № 194.

53. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Похилко В. И. О численном решении уравнений параболического типа с нелинейными граничными условиями. // Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1985, № 46.

54. Тихонов А. Н., Самарский А. А. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов. // ДАН СССР, т. 124, № 3, 1959, с. 529 532.

55. Попов Ю. П., Самарский А. А. Полностью консервативные разностные схемы.// Ж. Выч. Матем. и Матем. Физики, т. 9, N2 4, 1969 г., с. 953 958.

56. Андреев В. Б. Об устойчивости по начальным данным разностных схем для параболических уравнений. // Ж. Выч. Матем. и Матем. Физики, т. 11, № 6, 1971 г., с. 1462 1475.

57. Мокин Ю. И. Двухслойные параболические и слабо параболические разностные схемы. // Ж. Выч. Матем. и Матем. Физики, т. 15, JV2 3, 1975 г., с. 661 671.

58. Самарский А. А., Гулин А. В. Критерий асимптотической устойчивости симметризуемых разностных схем. // Дифф. Уравн., т. 31, № 7, 1995 г., с. 1257 1260.

59. Гулин А. В., Дегтярев С. J1. Об устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями. // Вестник МГУ. Вычислит, матем. и кибернетика, т. 3, 1994 г., с. 23 29.

60. Денисов И.А., Лакеенков В.М., Мажорова О.С., Попов Ю.П. Математическое моделирование эпитаксиального выращивания твердых растворов CdyHgi^yTe из жидкой фазы.// Препринт инстит. Прикладной матем. им. М.В.Келдыша РАН, М., 1992, № 65, 42 с.

61. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980, 616 с.

62. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -М., 1984.

63. Ермаков С. В., Мажорова О. С., Попов Ю. П. Построение разностных схем для параболических уравнений с малым параметром при старшей производной. Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1990, №89.

64. Шаракшанэ А. А. О некоторых разностных схемах второго порядка для уравнений с малым параметром при старшей производной. -Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1983, № 150.

65. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Похилко В. И. Разностная схема с искусственной дисперсией для уравнения параболического типа. Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1986, № 142.

66. Шаракшанэ А. А. Монотонная разностная схема второго порядка для двумерных уравнений с малым параметром при старших производных. Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1985, № 3.

67. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М. : Наука, 1973,258 с.

68. Huang P. G., Launder В. Е., Leschziner М. A. //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1985, Vol. 48, p. 1.

69. Дегтярев Jl. M., Дроздов В. В., Иванова Т. С. Метод адаптивных к решению сеток в одномерных краевых задачах с пограничным слоем.- Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1986, № 164.

70. Мухин С. И., Попов С. Б., Попов Ю. П. Дисперсионные и диссипатив-ные свойства разностных схем для нелинейного уравнения переноса.- Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1981, № 150.

71. Мухин С. И., Попов С. Б., Попов Ю. П. Разностные схемы с искусственной дисперсией для уравнений газовой динамики. Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1983, № 66.

72. Мухин С. П., Попов С. Б., Попов Ю. П. Разностные схемы с искусственной дисперсией для уравнений магнитной газодинамики. Препринт ИПМ РАН им. М. В. Келдыша, 1985, № 19.

73. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М. : Наука, 1976.

74. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М. : Мир, 1989, 655 с.

75. Crossley I., Small М. В. The application of numerical methods to simulation of the liquid phase epitaxial growth of Ga\-XALXAS from solution. // J. Crystal Growth, 1972, № 15, p. 268 274.

76. Тихонов A. H., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- M.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977 г.

77. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1 М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969 г.

78. Самарский А. А. Введение в численные методы. М. : Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1982 г.

79. Бахвалов Н.С. Численные методы, т.1 М. : Наука, 1973.

80. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики.- М. "Наука", 1970, 664 с.

81. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Сахарчук-Пономарева А. С. Устойчивость разностных схем для системы параболических уравнений.//Препр. Инст. Прикладной матем. им. М. В. Келдыша РАН, -М., 1997, № 90.

82. Литвин А.А., Марончук И.Е. Особенности выращивания эпитакси-альных слоев из ограниченного объема раствора-расплава. Кристаллография, 1977, т. 22, вып. 2, сс. 428-431.

83. Мильвидский М.Г., Орлов В.П., Цепелевич В.Г. Особенности процессов массопереноса при жидкостной эпитаксии. Изв. АН СССР, Неорган. материалы, 1980, т. 16, № 7, сс. 1159-1163.

84. Романенко В.Н. Управление составом полупроводниковых кристаллов. М.: Металлургия, 1976, 386 с.

85. Stringfellow G.B., Greene Р.Е. Liquid phase epitaxial growth of InAsi-xSbx. J. Electrochem. Soc., 1971, v. 118, № 5, p. 805.

86. Галченков Д.В., Бондарь С.А., Большакова Г.В., Лебедев В.В. О влиянии некоторых технологических параметров иа рост слоев InAs\xSbx из жидкой фазы. Специальная электроника. Сер. Материалы, 1975, вып. 1, с. 49-55.

87. Winden Н.Т. A comparion of liquid phase epitaxy and chemical vapor epitaxy of III — V compound semiconductirs. Solid State Techology, 1973, v. 16, p. 31-38.

88. Nelson H. Liquid phase epitaxy its role in crystal growth techology. - J. of Cryst. Growth, 1974, v. 27, № 1, p. 1-5.

89. Ангина H.P., Варфоломеев С.П., Матвеенко А.В., Олеск А.О. Военные области применения инфракрасной техники. Зарубежная электронная техника, 1980, вып. 9(229), с. 3-35.

90. Пашковский М.В., Соколов Е.Б., Берченко Н.Н., Соколов A.M. CdxHgi-xTe новый материал электронной техники. - Зарубежная электронная техника, 1974, вып. 12(84), с. 3-55.

91. Gertner E.R. Epitaxial mercyry cadmium telluride. Ann. Rev. Mater. Sci. 1985, v.15, p. 303-328.

92. Herman M.A., Ressa M. Hgi-XCdxTe Hgi-YCdYTe (0 < X,Y < 1) heterostructions. - J. appl. Phys., 1985, 57(8), p. 2671-2694.

93. Castro С.A., Tregilglas S.H. Development HgCdTe and HgZnTe growth from Те solutions. J. Cryst. Growth, 1988, v. 86, № 1-4, p. 138-145.

94. Brice S.C., Capper P., Easton B.L., Page S.L., Whiffin P.A.C. Growth and characterisation of CdxHg\-xTe growth by LPE using a novel sliding beat. Semicond. Sci. and Technol., 1987, v. 2, № 11, p. 710-715.

95. Вигдорович B.H., Селин А.А., Шутов С.Г. Моделирование процесса жидкофазной эпитаксии многокомпонентных твердых растворов. Теоретические основы химической технологии, 1981, т. 15, JY2 6, сс. 926-931.

96. Wilcox W. R. Influence of convection on the growth of crystals from solution. J. Cryst. Growth, 1983, vol. 65, p. 133 - 142.

97. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972, 392 с.

98. Harman Т.С. Liquidus isotherms, solidus lines and LPE growth in the Te-rich corner of Hg — Cd — Те system. J. Electron. Mater., 1980, v. 2, № 6, p. 945-961.

99. Lusson A., Triboulet R. Liquid phase epitaxy of CdxHg\xTe (0,5<ж<1) and phase diagram determination. J. Crystal Growth, v.85, 1987, p. 505509.

100. Лозовский B.H., Попов В.П., Власенко Н.В., Ефремова Н.П., Сарры П.Л. Выращивание и свойства варизонных слоев AlxGa\-xAs. В межвуз. сб.: Кристаллизация и свойства кристаллов, 1978, вып. 5, с. 33-40.

101. Литвин А.А., Марончук И.Е. Влияние массо- и теплопереноса на рост эпитаксиальных слоев А111 Ву в процессе принудительного охлаждения раствора-расплава. Изв. АН СССР, Неорган, материалы, 1980, т. 16, № 2, сс. 204-212.

102. Литвин А. А., Марончук И. Е., Марончук Ю. Е. и др. Влияние массо-и теплопереноса на рост эпитаксиальных слоев АЪВЪ в процессе принудительного охлаждения раствора расплава. - Изв. АН СССР, Неорган, материалы, 1980, т. 16, № 2, с. 204 - 212.

103. Похилко В.И. Математическое моделирование процессов жидкофазовой эпитаксии и электрофореза.// Дисс. на соискание уч. степ, кандидата физ. мат. наук, М., 1986.

104. Елюхин В.А., Карпов С.Ю., Портной Е.Л., Третьяков Д.Н. Особенности выращивания волноводных гетероструктур AlxGa\-xAs с плавным изменением состава. // Письма в ЖТФ, т.4, вып. 11, 1978.

105. Гуревич С. А., Портной Е. JI., Пронина Н. В. Гетеролазерная структура (GaAl)As с изменением состава в плоскости активного слоя. -Письма в ЖТФ, 1979, т. 5, вып. 23.

106. Бабичев А.П., Бабушкина Н.А., Братковский A.M. и др. Физические величины: справочник. // Под ред. Григорьева И.С., Мейлихова Е.З. М.: Энергоатомиздат, 1991, 1232 с.

107. Мажорова О.С., Попов Ю.П. О методах численного решения уравнений Навье-Стокса. // ЖВМ и МФ, т. 20, № 4, 1980.