автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод базисных операторов построения дискретных моделей сплошной среды

На правах рукописи 005060639

Коробицын Владимир Анатольевич

МЕТОД БАЗИСНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПОСТРОЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

05.13.18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

3 О МАЙ 2013

Новосибирск - 2013

005060639

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет»

Научный консультант:

Бубенчиков Алексей Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Остапенко Владимир Викторович, доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник, ФГБУН Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, главный научный сотрудник

Роменский Евгений Игоревич, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, главный научный сотрудник

Садовский Владимир Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБУН Институт вычислительного моделирования СО РАН, заместитель директора по научной работе

Ведущая организация: ФГБУН Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Защита состоится 27 июня 2013 г. в 15 ч. 00 м. на заседании диссертационного совета Д 003.015.04, при ФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 630090 Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан / /) мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук

Мирошниченко Валерий Леонидович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Широкое распространение в современных технических сооружениях и природных явлениях течений сплошной среды с контактными разрывами, свободными поверхностями в водоемах, полостях и сосудах различных форм порождает интерес к математическому моделированию этих течений и численному исследованию особенностей протекающих процессов.

Широкое применение метода конечных разностей на подвижных сетках для численного моделирования процессов сплошной среды определяет интерес к построению разностных схем с заданными качествами, такими как полная консервативность, инвариантность.

Существующие методы построения разностных схем с заданными свойствами на косоугольных сетках встречаются с трудностями как технического, так и теоретического характера. Способствует этому многообразие форм областей, аппроксимаций дифференциальных уравнений, особенности решений, видов сеток и т.д. Поэтому математическое моделирование течений сплошной среды с контактными разрывами, свободными поверхностями в сосудах сложных форм, развитие теории конструирования полностью консервативных разностных схем наследующих свойства дифференциальных аналогов, в рамках создания теории построения дискретных аппроксимаций основных дифференциальных операций векторного и тензорного анализа, на косоугольных сетках для систем криволинейных координат, является актуальной задачей.

Явление ядерного излучения при акустической кавитации, выхода нейтронов и ядер трития при акустическом возбуждении кластера паровых пузырьков в дейтерированом ацетоне, подняло интерес к моделированию поведения газовых пузырей в жидкости. Эволюция газовых пузырей в жидкости связана с процессами изменения их формы и объема, дроблением и слиянием границ раздела, изменением связности, широко распространена в природе и технических устройствах. Нестационарные процессы в подводных газо и нефтепроводах, шахтах и скважинах, реакторах, цистернах и баках с жидкостью сопровождаются взаимодействием жидкости, газа и твердых тел. Численное моделирование процессов динамики газовых пузырей в жидкости представляет собой актуальную задачу. В диссертации задача моделирования процессов динамики газовых пузырей в жидкости решается на основе полностью консервативной разностной схемы в совместных, эйлерово-лагранжевых переменных, аппроксимирующей потенциальную постановку задачи. Разностная схема сконструирована разработанным в диссертации методом базисных операторов, являющимся развитием метода опорных операторов.

Цель диссертационной работы. Разработка дискретного метода моделирования течений сплошной среды с контактными разрывами, свободными поверхностями, в областях с криволинейными границами, наследующего свойства дифференциальных моделей механики сплошной

среды в рамках технологической последовательности построения дискретных аппроксимаций основных дифференциальных операций векторного и тензорного анализа на косоугольных сетках для различных систем координат. Декартовых прямоугольных координат, криволинейных координат на плоскости и осесимметричном пространстве, трехмерном пространстве, евклидовых и неевклидовых пространствах. Применение математического моделирования для решения практических задач исследования сложных течений сплошной среды. Групповой анализ разностных схем. Использование дискретных операций векторного и тензорного анализа на косоугольных сетках для конструирования полностью консервативных разностных схем механики сплошной среды, проверке эффективности схем на тестовых задачах и получение численных решений ряда новых задач гидродинамики в интересах отечественной промышленности.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Разработка формализованного метода базисных операторов построения разностных аппроксимаций произвольного порядка, наследующих свойства Дифференциальных операторов векторного и тензорного анализа. Для различных неортогональных сеток и криволинейных ортогональных и неортогональных систем координат в евклидовых и неевклидовых пространствах. Эти аппроксимации согласованы с помощью формул суммирования по частям в форме квадратурных соотношений и представлены в виде простых явных выражений, зависящих от дискретных первых производных по пространственным переменным, заданного произвольного порядка аппроксимации.

2. Установление эффективности построенных дифференциально-разностных и разностных схем, и численного моделирования на их основе ряда задач гидродинамики с контактными разрывами, со свободными и криволинейными границами.

3. Выявление связей между групповыми свойствами дифференциально-разностных уравнений механики сплошной среды и законами сохранения основных количеств дискретной среды.

4. Конструирование дискретных операторов векторного и тензорного анализа посредством преобразования дискретных аппроксимаций в декартовой системе координат при преобразовании координат в произвольную криволинейную систему.

5. Математическое моделирование практически значимых задач в интересах промышленности на основе разработанного метода базисных операторов построения дискретных моделей гидродинамики вязкой и несжимаемой жидкости со свободными границами.

Научная новизна. В работе предложен новый метод базисных операторов построения разностных схем механики сплошной среды, позволяющий получать формализованные, полностью консервативные разностные схемы в произвольной системе координат в виде явных выражений через аппроксимации дифференциальных производных первого порядка. Метод позволяет записать разностные аппроксимации основных дифференциальных

операций векторного и тензорного анализа в произвольной криволинейной системе координат в пространстве дискретных функций на косоугольных сетках в виде конечных формул. Эти аппроксимации, как для непрерывного, так и для дискретного времени, согласованы на основе формул суммирования по частям в форме квадратурных выражений и соотношений типа Гаусса -Остроградского, связывающих дискретные производные в произвольных криволинейных системах координат евклидовых и неевклидовых сеточных пространств.

Для конструирования дифференциально-разностных схем в криволинейных системах координат, в рамках метода базисных операторов, разработаны две различные процедуры построения дискретных первых производных по пространственным переменным заданного порядка аппроксимации.

В рамках первой процедуры, для аппроксимации объема ячейки в криволинейных координатах, предложена формализованная дивергентная трехпараметрическая формула, обобщающая известные формулы объемов в декартовой прямоугольной, цилиндрической, сферической системах координат. Формула основана на представлении аппроксимации произведения функций Ламе через первообразные этого произведения. На основе этой формулы построены трехпараметрические дискретные операторы первых производных по пространственным переменным.

Вторая процедура создана как формализованный метод преобразования дискретных операторов векторного и тензорного анализа в декартовой системе координат в произвольную криволинейную систему. Установлено, что алгоритм преобразования дискретных операторов сохраняет симметрии решений относительно координатных кривых, присущие дифференциальной системе уравнений, и сохраняет согласованность дискретных операторов, что позволяет конструировать эффективные дифференциально-разностные схемы с граничными условиями для дискретных областей с криволинейными границами.

Для построения полностью консервативных разностных схем предлагается квадратурно-аппроксимационный метод построения таких схем на основе дискретных законов сохранения на сеточной области. Метод работает для эйлеровых, лаграгокевых и смешанных эйлерово-лагранжевых координат. Используя аппроксимации метода базисных операторов (как обобщение метода опорных операторов), дифференциально-разностная схема строится как следствие системы законов сохранения в квадратурной форме, которые кладутся в основу численной модели. Построены классы разностных схем в криволинейных системах координат, аппроксимирующие уравнения механики сплошной среды для разработанного комплекса программ моделирования трехмерных течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в сосудах сложной формы.

Метод группового анализа С. Ли - Л.В. Овсянникова обобщен на класс дифференциально-разностных уравнений на косоугольных сетках. Исследованы групповые свойства дискретных моделей и их связь с законами

сохранения. Установлена классифицирующая роль выражения для объема ячейки для классификации дифференциально-разностных схем.

Построены разностные схемы, имеющие такие же законы сохранения, что и исходные дифференциальные уравнения. Для газовой динамики такие схемы названы термодинамически согласованными. Численными расчетами подтверждена эффективность этих схем.

Построен класс разностных схем для расчета потенциальных течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в многосвязных областях. Эффективность разностных схем подтверждается численными расчетами ряда задач гидродинамики. Получены численные решения эволюции пузырей в несжимаемой жидкости с процессами дробления и слияния границ, изменения связности, разрывами потенциала скорости.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность диссертации заключается в разработке новой формализованной теории построения дифференциально-разностных и разностных схем любого порядка аппроксимации для широкого класса сеток. Построенные в работе разностные операторы векторного и тензорного анализа в евклидовых и неевклидовых пространствах и схемы в криволинейных, ортогональных и неортогональных системах координат, имеют вид явных выражений, зависящих от дискретных производных первого порядка. Разработанные алгоритмы реализации схем и граничных условий послужили основой для создания универсальных алгоритмов моделирования течений сплошной среды в областях сложной формы и моделирования многосвязных течений. Тестовые примеры и решения практических задач подтверждают эффективность теоретических построений. Важным результатом является обобщение группового анализа на дифференциально-разностные схемы.

Практическая ценность диссертации заключается в полученных численных результатах моделирования течений сплошной среды, как в областях сложной формы, так и в многосвязных областях. Комплекс программ математического моделирования нелинейных течений несжимаемой жидкости и расчета форм свободной поверхности в тороидальных и цилиндрических областях использовался в практике работы предприятия п/я Г-4725. (ныне ФГУП ГРЦ «КБ им. акад. В.П. Макеева», г. Миасс). Основные результаты опубликованы в авторитетных научных изданиях и используются как у нас в стране, так и за рубежом.

Методы исследования. В диссертации применяются методы теории разностных схем, векторного и тензорного анализа, теории групповых преобразований, теоретической механики и механики сплошных сред.

Положения, выносимые на защиту:

1. Комплекс программ математического моделирования трехмерных возмущений гидродинамики вязкой и несжимаемой жидкости со свободными границами в сосудах сложной формы.

2. Математическое моделирование процесса заполнения осесимметричной полости и динамики газовых пузырей на основе потенциальной модели жидкости и метода базисных операторов.

3. Новая теория построения разностных схем в криволинейных системах координат на основе формализованного метода базисных операторов для косоугольных сеток. Метод позволяет строить согласованные разностные аппроксимации основных дифференциальных операторов дискретного векторного и тензорного анализа для различных криволинейных, как ортогональных, так и неортогональных систем координат на неортогональных, регулярных и нерегулярных, сетках. Построенные аппроксимации согласуются с помощью формул суммирования по частям, в форме квадратурных (кубатурных) соотношений и представлены в виде простых явных формул.

4. Дифференциально-разностные и разностные схемы гидродинамики, построенные методом базисных операторов, обеспечивающие выполнение всех законов сохранения, присущих непрерывному случаю.

5. Теория преобразования разностных схем (при преобразовании координат) хорошо зарекомендовавших себя в декартовой системе координат, как развитие метода базисных операторов для областей, криволинейные границы которых являются координатными линиями. Обоснование постановки граничных условий.

6. Групповой анализ дифференциально-разностных и разностных схем гидродинамики.

Обоснованность и достоверность результатов. Полученные в диссертации теоретические результаты имеют строгое математическое обоснование. Достоверность результатов работы основана на математическом уровне строгости, использовании корректных постановок задач. Построение разностных операторов и схем с заданными свойствами, наследуемыми у дифференциальных операторов и аппроксимируемых дифференциальных уравнений. Подтверждение аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем, и тестирование предложенных в диссертации алгоритмов численного решения задач на известных аналитических и численных решениях.

На всех решениях построенных разностных схем точно выполняются дискретные законы сохранения, аппроксимирующие интегральные законы сохранения соответствующих дифференциальных уравнений. Эффективность разработанных алгоритмов и достоверность численных результатов подтверждается сравнением тестовых результатов расчетов с результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• Девятая Всероссийская конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казанский федеральный университет, Казань, 16-22 сентября 2012 г.

• Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева. Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия, 5-12 августа 2012.

• Международная конференция «Fifth Conference on Numerical Analysis and Applications. June 15-20, 2012. Lozenetz. Bulgaria. University of Ruse».

• Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-лению со дня рождения акад. Н.Н. Яненко. - Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 2011.

• Международная конференция «Математические и информационные технологии МИТ 2011», Mathematical and Informational Technologies, MIT-2011, IX Conference «Computational and Informational Technologies for Science, Engineering and Education» held in Vrnjacka Banja and Budva, August 27 -September 5, 2011.

• Международная конференция «Актуальные проблемы современной математики, информатики и механики — II», Алматы, 28-30 сентября 2011г.

• Международная конференция «Современные проблемы математики, информатики и биоинформатики», посвященная 100-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР А. А.Ляпунова 11-14 октября 2011 г., Академгородок, Новосибирск, Россия.

• II Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям механических систем, Нижний Новгород, 1990 г.

• Всесоюзная конференция по нелинейным колебаниям механических систем, Киев, 1976 г.

• Научно-практическая конференция «Молодые ученые и специалисты Томской области в девятой пятилетке». Томск, 1975 г.

• Всесоюзная конференция по механике сплошных сред, Ташкент, 1979 г.

• VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 1986 г.

• Всесоюзные школы молодых ученых под руководством А.А. Самарского, Кишинев, 1981 г.; Львов, 1983 г.; Рига, 1985 г.; Минск, 1987 г.

• Всесоюзная школа-семинар «Динамика механических систем», Томск, 1986 г.

Также основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах:

• Всесоюзные семинары «Динамика упругих и твердых тел взаимодействующих с жидкостью», Томск, 1975 г.,1984 г.

• VII Всесоюзный семинар «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», Кемерово, 1988 г.

• Семинары «Численные методы решения задач математической физики» в ВЦ РАН, Москва, 1987 г., 1988 г.

• Семинар под руководством академика Л.В. Овсянникова в ИГиЛ СО РАН, Новосибирск, 1987 г.

• Семинар под руководством академика Н.Н. Яненко в ИТПМ СО РАН, Новосибирск, 1983 г.

• Семинар под руководством профессора В.Ф. Тишкина в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 2012 г.

• Семинар под руководством профессора Л.Б. Чубарова в ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2012 г.

• Семинары под руководством академика С.К. Годунова, профессора B.C. Белоносова и д.ф.м.н. М. В. Фокина в ИМ им. СЛ. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2012 г.

• Семинар под руководством член-корреспондента В.В. Пухначева в ИГиЛ СО РАН, Новосибирск, 2012 г.

• Семинары в НИИПММ ТГУ, кафедр вычислительной математики, теоретической механики Томского госуниверситета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 26 статей, из них 15 входят в перечень ВАК.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Благодарности. Автор выражает благодарность Э.Е. Либину, привлекшему автора к работе по теме диссертации, профессорам A.M. Бубенчикову и Ю.Д. Шмыглевскому за полезные обсуждения и поддержку работы, академику Ю.И. Шокину за внимание к работе и поддержку, академику Н.Н. Яненко за внимание и поддержку результатов, соавторам за понимание и плодотворное сотрудничество.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, приложения, списка литературы. Изложена работа на 299 страницах, из них 275 страниц текста, содержит 1 таблицу и иллюстрирована 34 рисунками. Библиография включает 131 наименование.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор и обоснование актуальности проблемы, формулировка цели и задачи исследования, перечисление полученных в диссертационной работе результатов, обоснование их практической ценности. Формулируются положения, выносимые на защиту, описывается структура диссертации.

В первой главе приводится справочный материал по тензорному анализу, теории дифференциальных уравнений и разностных схем.

Во второй главе для случая прямоугольных декартовых координат описывается метод базисных операторов, на основе формализованных формул построения дискретных операторов векторного и тензорного анализа косоугольных сеточных 2D и 3D пространств.

Метод конечных разностей является одним из универсальных методов численного интегрирования уравнений математической физики. При численном моделировании процессов сплошной среды на основе конечно-разностных методов одной из основных проблем является построение устойчивых разностных аппроксимаций математических моделей исследуемых процессов.

В этой проблеме можно выделить задачу построения разностных аппроксимаций дифференциальных операторов векторного и тензорного анализа, которые наследуют основные свойства дифференциальных операторов, такие как самосопряженность, знакоопределенность, инвариантность и др. К настоящему времени разработано множество методов построения разностных схем.

Одним из перспективных направлений в теории разностных схем является разработка и обоснование численных алгоритмов на основе принципа полной консервативности A.A. Самарского и Ю.П. Попова. На первом этапе развития теории построения полностью консервативных разностных схем использовался метод непосредственной аппроксимации дифференциальных уравнений.

Второй этап развития теории построения разностных схем знаменуется привлечением принципов математической физики и методов теоретической механики. Для задач механики сплошной среды в лагранжевых переменных в диссертации предложено использовать принципы механики систем материальных точек, в частности уравнения Лагранжа первого рода для дискретной системы материальных точек со связями, с целью построения разностных схем идеальной несжимаемой жидкости на косоугольной сеточной области (автор идеи Э.Е. Либин). Общеизвестно, что для системы дискретных уравнений движения (уравнения Лагранжа) и неразрывности (связь -сохранение площади ячейки) выполнен закон сохранения полной энергии, так как у лагранжиана системы нет явной зависимости от времени. Следовательно, эта схема должна быть устойчива в пространстве L,, и дискретные операторы схемы — аналоги дифференциальных операторов grad, div, согласованы формулами суммирования по частям.

Для борьбы с аппроксимационным вихрем скорости, порождаемым разностной схемой, было предложено дополнить дискретное уравнение импульса антивихревым членом, подавляющим развитие ротора скорости.

Фундаментальная идея применения уравнения Лагранжа 1 рода и принципов механики для построения разностных схем, задала новую направленность развитию теории разностных схем и была подхвачена научными школами академиков A.A. Самарского и H.H. Яненко. Обобщение этой идеи построения разностных схем с использованием принципа наименьшего действия Гамильтона изложено в работах: A.A. Самарский, В.М. Головизнин, А.П. Фаворский (1977), Ю.А. Бондаренко (1985), H.H. Яненко, А.М. Франк (1985), В.А. Коробицын (1986).

С середины 90-х годов эта концепция активно развивается М. Shashkov в Лос-Аламоской национальной Лаборатории США. Идея антивихревого подавления, или вихревого согласования схемы, в дальнейшем была использована J.K. Dukowicz и В. Meltz (1992), для объяснения механизма нефизичного выворачивания лагранжевых ячеек.

Разработан квадратурно-аппроксимационный метод построения дискретных и разностных моделей механики сплошной среды, для которых, помимо принципа полной консервативности, выполняются законы сохранения, аналогичные законам сохранения дифференциальной модели. Эти результаты

позволяют получать схемы механики сплошной среды при эйлеровом, лагранжевом, а также смешанном эйлерово-лагранжевом описании среды. Квадратурно-аппроксимационный метод по результатам схож с методом каскадного представления конвективных членов уравнений, но методически более последователен. Аппроксимация конвективных членов уравнений совпадает с результатами O.A. Ладыженской и А. Кживицкого и метода каскадной аппроксимации.

Разработанный во второй главе метод базисных операторов применен к решению ряда задач динамики несжимаемой жидкости в полостях сложной формы. Приводятся результаты численных расчетов и обсуждаются вопросы верификации численных результатов.

Третья глава. Известно, что помимо выполнения законов сохранения разностные схемы должны воспроизводить симметрийные свойства течений среды. Воспроизведение математическими моделями симметрийных особенностей течений связано с инвариантными свойствами уравнений, граничных и начальных условий. Инвариантность дифференциальных уравнений относительно некоторых групп преобразований является отражением таких фундаментальных свойств природы, как законы сохранения соответствующих количеств. Математически эта связь была установлена Э. Нетер для уравнений допускающих вариационную формулировку. Инвариантность вариационного функционала относительно группы преобразований является достаточным условием выполнения на решениях этих уравнений закона сохранения.

Требования к формулам, определяющим объем ячейки, и связь требований с группами сдвигов, вращений рассматривались ранее В.М. Головизниным, В.Ф. Тишкиным, А.П. Фаворским. Ю.И. Шокин с учениками изучал групповой подход к анализу разностных схем газовой динамики с позиций первого дифференциального приближения.

Как отмечается в монографии Ю.И. Шокин, H.H. Яиенко (1985), «переход к разностной схеме затрудняет групповой анализ». Многих затруднений группового анализа разностных схем удается преодолеть, конструируя дифференциально-разностную схему на основе уравнения Лагранжа первого рода, и рассматривая координаты каждой точки дискретного пространства (сетки) как независимые функции времени из многообразия решений дифференциально-разностной схемы. Однородная схема, как объект группового анализа, в силу конечности шаблона связывает ограниченное количество преобразуемых функций. При этом упрощается продолжение преобразований на разностные производные. Такой подход позволяет проводить групповой анализ дифференциально-разностных схем, причем, в большинстве случаев, группы преобразований, относительно которых схема должна быть инвариантна, известны. Так, для уравнений механики сплошной среды это - преобразования группы Галилея. Инфинитезимальный критерий инвариантности имеет простой вид и легко применяется на практике. А обобщение теоремы Нетер на случай дискретных моделей позволяет легко устанавливать выполнение схемой законов сохранения и их форму.

На этой основе в диссертации обобщена техника группового анализа применительно к дифференциально-разностным схемам на косоугольных сетках механики сплошной среды. Основываясь на вариационной трактовке дифференциально-разностных схем, исследованы групповые свойства дискретных моделей и их связь с законами сохранения.

Рассмотрим группу гладких однопараметрических преобразований независимой переменной t и зависимых переменных т = г' = /((, А), /(г,0)=г, Л = g,(t,q,0)=«?,.

Инфинитезимальный оператор этой группы X имеет вид ЛГ = 5(/)Э/3/ + т1,Э/а?„ £ = 8/(1,0) /ЗЬ, тh=дg¡(t,q,0)/дb. Вопрос о существовании законов сохранения дифференциально-разностных уравнений допускающих вариационную формулировку на, в общем случае косоугольных, сетках со,,О», сводится к задаче об инвариантности функционала с функцией Лагранжа I относительно группы преобразований. Оператор группы X, продолженный на переменные ¿¡1 и разностные переменные д.. = имеет вид

х^х+^д/дд^^д/е^,

где разностный оператор по лагранжевым переменным, и

С = ФМ-. = Л, -^ = ^/дЬ[_0 = УауЛ(.

Чтобы придать условию инвариантности функционала инфинитезимальный вид, продолжим оператор X, на независимую переменную

Л ■ X = X Инфинитезимальный критерий инвариантности

1 ь эл

'I

вариационного функционала |£Л = 0 дифференциально-разностной схемы на

'о

косоугольных сетках сол,Ол относительно группы имеет вид Xг¿Л = 0. Введем следующие функции: Х(1.) = '£.У[£,дТ/д1 + ч,дТ/дд,+£1дТ/дд, +Ь,т)+

о

Ш) = X - ШдТ/Эд + 4Г]+ 2 Ки.

а О

Теорема 1. Справедливо равенство

Х(1) = Е(ь)+с1ХЬ/Ж + 1 (Ь/,{Ц,-Ц ¿ди/дъ).

Назовем это равенство квадратурным тождеством Нетер. Следующее обобщение теоремы Нетер дает достаточное условие, при котором однопараметрической группе соответствует закон сохранения для

дифференциально-разностных уравнений Эйлера-Лагранжа на конечной косоугольной сеточной области с границей Гл.

Теорема 1. Пусть вариационный функционал инвариантен относительно однопараметрической группы Ли. Тогда соответствующие дифференциально-разностные уравнения допускают закон сохранения в форме

сШЬ/Л + Сп, - Ы, )5СА/0ЦУ> = 0.

Отметим, что этот закон является аналогом соответствующего интегрального закона сохранения для дифференциальных уравнений Эйлера-Лагранжа.

Теорема Нетер дает достаточное условие, при котором группе преобразований соответствует закон сохранения. Н.Х. Ибрагимов установил, что необходимым и достаточным условием является инвариантность экстремальных значений функционала действия. Аналогичный результат имеет место и для дифференциально-разностных уравнений.

Теорема 3. Пусть дифференциально-разностные уравнения Эйлера-Лагранжа на косоугольных сетках инвариантны относительно группы. Тогда для того, чтобы эти уравнения имели закон сохранения, необходимо и достаточно, чтобы на решениях уравнений вариационный функционал был инвариантен относительно группы.

Приводятся результаты группового анализа законов сохранения двумерных дифференциально-разностных схем в переменных Лагранжа газовой динамики и несжимаемой жидкости. Метод группового анализа обобщен на трехмерные вариационные дифференциально-разностные схемы в прямоугольной системе координат.

Четвертая глава. Внедрение принципов механики в теорию разностных схем дало толчок развитию методов конструирования разностных схем. Появившиеся в рамках этого направления методы построения разностных схем: метод связей - уравнений Лагранжа 1 рода, вариационно-разностный на основе уравнений Лагранжа 2 рода, опорных операторов, базисных операторов -позволяют, во многих случаях, строить полностью консервативные разностные схемы.

Метод опорных операторов позволяет строить разностные операторы векторного и тензорного анализа, удовлетворяющие на сетке квадратурным тождествам, являющимися аналогами соответствующих интегральных соотношений - следствий формулы Гаусса-Остроградского. Метод строит систему опорных операторов, исходя из определяющего оператора, который аппроксимируется непосредственно. Опорные операторы строятся путем последовательного разрешения рекуррентных соотношений, являющихся квадратурными уравнениями относительно опорных операторов. Недостатком этой процедуры является ее привязанность к определяющему оператору. Изменение определяющего оператора (шаблон и коэффициенты) приводит к необходимости повторить процедуру построения разностных операций. Авторы метода построили разностные 2О, ЗО схемы, для многих процессов сплошных сред в прямоугольной, цилиндрической, сферической системах координат на

различных косоугольных сетках. Но трудности построения таких схем в случае общих криволинейных систем координат, многомерность пространства, произвольные порядки аппроксимации, необходимость учета различных механизмов превращения энергий, ограничивают применение этих методов. Эти трудности связаны с тем, что операторы векторного и тензорного анализа (опорные операторы) определяются через неявные квадратурные соотношения, которые разрешаются методом неопределенных коэффициентов.

С целью преодоления трудностей метода опорных операторов, в диссертации ставится и решена задача явного описания разностных операторов, для которых квадратурные соотношения метода опорных операторов являются следствием. Явное решение опорных операторов в произвольной криволинейной системе координат получено автором в общем виде благодаря выявлению базисных квадратурных дискретных соотношений на неортогональных косоугольных плоских сетках (/ = 1,2) £ +£ F. = ,

Щ «i г,

о;

где сетки типа узлов и ячеек, Ни,Нп - сеточные функции на этих

сетках: ф е Яп,у е Я„. Произвольная криволинейная ортогональная система координат q,,q2,q, связана с декартовой прямоугольной системой (x,y,z) = {xl,x2,xi) уравнениями х, = x,(q,,q2,q,),i= 1,2; z = <7,. Предполагаем наличие плоской симметрии, т. е. все функции не зависят от qJt c/dqJ = 0.

Метод базисных операций имеет иерархическую структуру: первоначально строится система дискретных операций для плоского случая. Далее, для осесимметричного дискретного пространства, достраиваются полная система дискретных операций векторного и тензорного анализа, включающая плоский случай как частный дня осесимметричного параметра г = 1.

Общее решение этой задачи, в виде явных формализованных выражений для произвольных, ортогональных и неортогональных систем координат, для евклидовых и неевклидовых пространств и косоугольных сеток, произвольных порядков аппроксимации тензорных операций, в завершенном виде было получено диссертантом.

Векторы и тензоры в системе координат q,,q2,q, будем записывать через их физические составляющие, которые обозначим

/1 = {Л,,Л2,Л3}= + А1с1 + Аге,,Т = {г]. Здесь Л - физические компоненты вектора Л, et - орты координатных направлений, Т - физические составляющие тензора. Функции Ламе Я,,Н2 будем задавать на сетке узлов в>к, Н[ = Н2,Н'2 = Я,, поэтому аппроксимируем элемент объема на сетке соА выражением К = HtH2S„. Объем элемента сетки fiefiA аппроксимируем

выражением Vn = L]L,Sn,Li - аппроксимация функций Я,,Я2 на сетке . Sm, Sa - аппроксимация величины dqíq1 на сетках юь, flh.

Базисные соотношения связывают три типа согласованных аппроксимаций: операторов первых производных V^.V^,, операторов типа дивергенции и градиента (аналогов оператора набла)

vj>=(п,п2Уd(yH;)/dq¡ = о(л") н„->ни,

V^cp = H^dq, + 0{h" ) Ha -> Нш

и операторов усреднения функций {©}''; II а н> Я„, (у)^ н,„ -> Яа,(/ = 1,2),

где Я; = (Я1Я2Я3/Я,.)"' . Сужение класса аппроксимаций достигается за счет

отказа от независимости базисных квадратурных соотношений. Из первого и второго базисных соотношений следует третье, при условии что

(<PL = fcM')- tfÄV>J/(atf;/d<7,.),

где L[ = L2, L[ = I,. Возможны другие операторы усреднения функций.

Эти три типа сопряженных операторов позволяют записать в явном виде систему разностных операторов векторного и тензорного анализа (суммирование по повторяющемуся греческому индексу) GRADy= RV^v?, HQ

GRADy= R.L-y^y, Я„ -» Hn,

DIV w= V"a,Aa —> #Q, <П = (Я,Я2)"',

DIV В = (//,//,)- [Vml (¿2Я,) + V„2 (¿Д )J Яц -> Нф,

ROTA = {LyalA,,-LyalAy^A2 - V>a\A,}, Hr —> Ha ,

(D/Kr), = 9?[v„1(£2a11)+ V.J(Aoll)+{a11).1 ЭЯ./Я?, -<а22)ы QHjdq], iPIVe\ =9lk,(V,2)+V„2(¿,a22)+(a2,).ie^/a9l-<c„).2 бЯ./а^], (D/K<x), = 3l[V.,(¿2a„) + V„2 (¿,c2í)+-(a2;)ы£>//,-(о,,).,5Я,/%], (DIVt\ = Vq'T,, -V^'2T21 + [(т]2)шУ02Я, -{Т22)01УшЯ2]/(^12), (D/Fr)2 = V£t„ - V^t22 +[{т21}шУп,Я2 -(t,,)^^, J/(¿,£2). (Wr)3=V<',T,,-V<'2TJ3,//,-+tfD,

{GRADÄ)u=L-ynA +(УШЯ,Х4)Ш/(А4), = - (v„2^X4L/(L,U

(GRADAl=LynlA,,

(GRADA)» =L-yQA J.

(grada)2í = ¿¡V02^3,

(GRADB)U = + ЗЯ./Э^) й2/(Я,Я2), (iGRADB\2 = v:> B2 - 3//,¡dq2 (i?, . Дя, Яг), (iGRADB\, =

(GRADB\, = V^B, -dH2/dq,{B2)J{H,H2), {GRADB)n=VÍ\B2-dfíJdqjB^JO/Ji,), {GHADB\, = V'.'B,, Яп Я..

Эти дискретные операторы удовлетворяют квадратурным соотношениям (у е Я0,<ре Яа,Л еН„,Ве На,ае Нп,Т е Я.)

X К„/1 • СЛ4/)(р + X (cpD/M) = О,

• (ч^^®) = О,

• Д0ГВ -ZFo(B • ROTÁ)= 0,

a» Q4

X VaGRADA • crT +X Й ■ DIVff) = 0,

Zra(B- DIVS)+X V^GRADB ST = 0.

n\ o>;

Каждая из этих формул является следствием базисных соотношений (формул суммирования по частям). Разностные операторы из этого класса воспроизводят соотношения между операторами дивергенция тензора и градиент вектора, аналогичные дифференциальным. Для шарового тензора справедливы равенства DIVol = GRALkp, pl • GRADA = pDIVA.

Следствием этих равенств, для разностных уравнений механики сплошной среды, будет возможность предельного перехода от диссипативных сред к идеальным. Линейные дискретные операторы векторного и тензорного анализа воспроизводят многие свойства аппроксимируемых дифференциальных операторов, такие как сопряженность, самосопряженность, знакоопределенность, перестановочность, инвариантность и симметричность операторов, соленоидальность и безвихревость векторных полей.

Дальнейшее сужение класса базисных операторов происходит за счет связи между операторами разностных производных и операторами типа дивергенции и градиента. Для этого выразим объем расчетной ячейки с участием операторов разностных производных. Обозначим через F первообразную функции H¡H2 относительно переменной q¡, 8Fj8ql - Я,Я2, Я,, Н2 -функции Ламе. Считая, что F¡ задана на сетке со,,, определим аппроксимацию произведения Я,Я2 на сетке Clh формулой

<^2) = SVnlF1 + (l-9)VmF2> 0 < Э < 1.

Тем самым определен объем ячейки Va = (H,H2)S. Сумма объемов ячеек образующих односвязную область определяется координатами узлов из

окрестности границы этой области. Разностные операторы получим, исходя из закона изменения объема

d(H,H2)S/dt = + Я, = dq/dt.

Операторы V^. имеют представление

V» и = (//,//2)"' {ЭУП1(Я2и)+ (1 - 3)[Vti„,2 («///,)+ Vn2{uH" dFjdqJ, V^v = (Я,Яг)'{(1- 3)VD2(^v)+ 0[УО2Р1(у/Я2)+ vJvH-> dFjdq М-Согласованные с ними операторы V" имеют вид

v:> = 0//,'V,i;]P + (1 - фмгр + 3F2/a<7, у^^вд), ч:\р=(1 - ö)fryalP+ o[y„2FllP+3Fjdq2 ^ш1/)]/(я|я2). Порядок аппроксимация разностных операторов совпадает с порядком аппроксимации операторов V^.V^.

При численном моделировании нестационарных процессов приходится учитывать зависимость разностных операторов векторного и тензорного анализа от дискретного времени. Аппроксимируем производную по времени разностным соотношением dg/dt — g, - g")^s(g - g)h,n- номер

временного слоя f'= f+т,, г -шаг по времени. Аппроксимируем кинематическое соотношение между физической компонентой вектора скорости Wj частицы среды и ее соответствующей координатой qt формулой

»

Возьмем разностную производную по 1 от выражения объема ячейки. Основываясь на формуле

г, --:-Чи +-: Ч2,.

Чх-Чх Чг-Чг

получаем явный вид операторов :

V"u =

V" v =

—!_.¡kV

+ к

vn

F-F и

Чг

F

\Чг-Чг Щ

+ к

f \ v

Hl

+ V„

'F,

<7, Я,"' F

Чг-Чг Нг

Здесь 0 < к < 1, к = 1- к, С, = <7,ы, п = qi;•-), Ф = Ч» = .

Функции Ц = Р2(4„д2), Т\ = аппроксимирующие функции , имеют вид

Согласованные операторы определяются формулами

v> = кЧ^Р/НГ - Шч.-чМ^^н^),

К\р = к У^р/Н^ + к К 2фР +-

Полученный в итоге класс дискретных операторов векторного и тензорного анализа записывается через формализованные представления

17

разностных аппроксимаций первых производных. Такая процедура вывода явных формул для опорных операторов названа в диссертации методом базисных операторов. Метод базисных операторов обобщен на случай осевой симметрии течений, на случай трех пространственных переменных, евклидовых и неевклидовых пространств, для систем криволинейных координат, как ортогональных, так и неортогональных.

Квадратурно-аппроксимационным методом построены классы разностных схем в криволинейных системах координат, аппроксимирующие уравнения механики сплошной среды в переменных Лагранжа. В криволинейных системах координат закон сохранения импульса может не выполняться, что связано с разностным дифференцированием координатных ортов системы. Проявляется это, как правило, для эйлеровых переменных.

Приведем разностную схему в переменных Лагранжа, которая имеет законы сохранения массы и энергии. Закон сохранения массы расчетной ячейки, движущейся вместе со средой, может быть записан в виде

где ри - плотность, Уа - объем ячейки. Запишем разностное уравнение импульса в форме скалярных следствий

Щ, = (£>Л'Т),/ р„,

А = (я;1 ая,/ед^щМ / н? - (я,-1 ая2/а? .У"1 / я<4

Скалярное уравнение энергии запишем в операторной форме рпс, = Т■ СЛАВУУ <'"'), = {((',"*',;<"''']. Свертывание двух тензоров

определено в ортонормированном базисе, Т - тензор напряжений, е -внутренняя энергия газа, параметры 6, 6, ц, ^Д.р^к,,^ принимают значения от 0 до 1.

Таким образом, система скалярных уравнений массы, импульса и энергии, дополненная соответствующими начальными и граничными условиями и уравнениями состояния, является разностной схемой численного моделирования процессов сплошной среды. Если интеграл по времени от функции не вычисляется, то для определения объема ячейки на каждом

временном слое необходимо добавить уравнение изменения объема.

Из уравнений следуют законы сохранения массы, кинетической и полной энергии, для адиабатических течений газа имеет место энтропийная форма уравнения энергии. Следствием этих уравнений является баланс кинетической энергии, который при однородных граничных условиях имеет вид (см. стр.16)

IX Р. 0.5()Кг + ), = • -Т.

Из этого энергетического тождества вытекает устойчивость линеаризованной разностной схемы и при наличии аппроксимации - сходимость схемы. Выполняется также закон сохранения полной энергии

Следующая из этой схемы в декартовой прямоугольной системе, схема уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа, имеет те же законы сохранения, что и дифференциальная система, за исключением закона сохранения энтропии. Довольно неожиданным оказался факт, что дополнительные законы сохранения выполняются для идеального газа с уравнением состояния, согласованным с разностной схемой. Преимущества таких схем, названными термодинамически согласованными, рассмотрены на примере одномерной разностной схемы газовой динамики в лагранжевых массовых переменных. Преимущества заключаются в существенном снижении у численного решения энтропийного следа, а также более точном воспроизведении области ударного разрыва.

Граничные условия позволяют учитывать характерные особенности поведения сплошной среды. Принцип однородности алгоритма требует, чтобы поведение граничных узлов рассчитывалось по формулам, применяемым для внутренних узлов, т. е. единообразно. Пользуемся известным приемом введения вспомогательных узлов и ячеек, примыкающих к границе сетки. Для твердых и свободных границ вспомогательные узлы вводятся по разному. При граничных условиях, определяющих нормальную компоненту скорости, вспомогательные ячейки вводятся как зеркальное отражение граничных ячеек в плоскости прямоугольных координат давление во вспомогательных ячейках определяется из уравнения изменения нормальной компоненты вектора скорости (нормальной компоненты импульса). В случае задания на границе раздела давления вводим на ней вспомогательные узлы, координаты и скорости которых совпадают с координатами и скоростями соответствующих граничных узлов. В образовавшихся вспомогательных ячейках нулевого объема давление полагаем равным приложенному. Такая реализация граничных условий позволяет проводить вычисления во внутренних и граничных узлах по одинаковым формулам, что упрощает программную реализацию алгоритма.

Из анализа численных решений в диссертации установлена необходимость при аппроксимации сил внешнего воздействия учитывать потенциальный характер последних. В связи с этим возникает вопрос об аппроксимации потенциала во вспомогательных ячейках границы раздела. Из принципа минимума потенциальной энергии следует, что потенциал во вспомогательных ячейках границы раздела задается в середине отрезка прямой соединяющей соседние узлы границы раздела. В этом случае минимум потенциальной энергии будет достигаться при плоской границе раздела независимо от расположения узлов сетки, и такое положение равновесия будет устойчивым.

Приведем решение задачи о развитии течения идеальной несжимаемой жидкости, частично заполняющей сектор тора (ось симметрии -Ог). Угол раствора сектора 45°, радиус меридионального сечения 1, радиус окружности центров меридиональных сечений 2. В начальный момент жидкость покоится, занимает общую область, внешнюю для кругового цилиндра радиуса 2.5 с осью

Ол, и внутреннюю сектора тора. На жидкость действует постоянная сила, равная орту внешней нормали к правой боковой грани сектора тора (на рис.1 - нижней). На свободной поверхности вводились вспомогательные ячейки нулевой толщины, давление в которых полагалось равным давлению на свободной границе. На рис. 1 приведена центральная проекция поверхностной сетки узлов на момент времени /=0.8. Шаг по времени 0.01. Выделенная кривая на переднем плане - линия трехфазного контакта (жидкость, газ, стенка). Это новый численный результат.

В пятой главе строится формализованная двумерная система разностных операций векторного и тензорного анализа произвольного порядка аппроксимации на нерегулярных сетках на поверхности, в произвольной криволинейной системе координат. Эта система разностных операций базируется на согласованных разностных производных по криволинейным координатам и формулах усреднения (операторы проектирования) сеточных функций.

Построен новый класс полностью консервативных дифференциально-разностных схем, аппроксимирующих нестационарные уравнения механики сплошной среды в произвольной системе координат на поверхности.

Шестая глава. Для некоторых задач гидродинамики оправдано применение потенциальной модели жидкости. Моделирование нестационарных течений жидкости на основе потенциальной модели широко используется в вычислительной практике. Отметим спектральные методы, основанные на разложении по собственным функциям потенциала и формы свободной поверхности, методы граничных интегральных уравнений, вариационные, конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей. Течение считаем осесимметричным, а жидкость безвихревой, несжимаемой и невязкой, основное влияние на изучаемое взаимодействие оказывают силы инерции давления газа. Молекулярными эффектами пренебрегаем.

Цель - построить эффективный алгоритм расчета осесимметричных потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью на основе разностной схемы, для которой выполняются разностные законы сохранения массы, импульса, энергии, и иллюстрации эффективности алгоритма на ряде задач. Алгоритм, на основе метода базисных операторов, принадлежит к классу конечно-разностных, применяемых в расчетах нестационарных потенциальных течений жидкости. Течение в

Рис. 1. Развитие возмущений жидкости, частично заполняющей сектор тора. Жирная линия разделяет твердые и свободную поверхности

неограниченной области моделируется на сетках с конечным числом узлов, в силу чего появляются вычислительные граничные условия на разностных границах, моделирующих бесконечность. Граничные условия на "разностной бесконечности" следуют из закона сохранения энергии. Приводятся результаты численного моделирования эволюции газовых пузырей в жидкости.

Безвихревое осесимметричное течение тяжелой жидкости происходит в области, ограниченной твердыми и свободными границами, границами раздела. Возможны также границы на бесконечности. В силу осевой симметрии задачи рассматриваем решение в области меридионального сечения течения жидкости.

Потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа в цилиндрической системе координат х,г. На оси симметрии и твердых границах нормальная производная обращается в нуль. При приближении к бесконечности скорость и потенциал скорости стремятся к нулю. На границе раздела выполняются два граничных условия, кинематическое и динамическое условие непрерывности давления в окрестности границы раздела. Для потенциальных течений давление в фиксированной точке связано с потенциалом через интеграл Лагранжа -Коши. Считаем, что давление газа меняется по адиабатическому закону.

Пусть твердые границы области течения параллельны координатным линиям. В области введем связную прямоугольную неравномерную сетку узлов, согласованную с твердыми границами. Методом базисных операторов определяются согласованные разностные операторы DIV, GRAD, ROT. Повторный оператор DIVGRAD определяет однородную аппроксимацию оператора Лапласа в цилиндрической системе координат. Повторный оператор ROT GRAD = 0. Следствием этого соотношения будет закон сохранения вихря скорости внутри области для приведенной ниже разностной схемы.

Будем искать потенциал <р в узлах сетки со4, удовлетворяющий разностному уравнению Лапласа Ааф = 0. Для удовлетворения граничных условий на оси симметрии и твердых границах доопределяем значения потенциала во вспомогательных узлах в соответствии с значением нормальной производной Э<р/дп, так, чтобы выполнялся принцип максимума.

Границу раздела газ-жидкость будем определять точками пересечения линии (поверхности) раздела с линиями сетки. Кинематическое условие будет выполнено, если точки границы раздела на каждом временном шаге отождествим с частицами жидкости, скорости которых определяются через потенциал ближайших к ним точек сетки a>h (шаблона):

х,=М>г.=М-

Здесь (.) обозначает операцию выбора шаблона. Динамическое условие аппроксимируем в каждом узле границы раздела уравнением

ф, - 0. s{x? + r,1)+pr/p + gx = F(t), где рг— давление газа на границе раздела. В силу ограниченности сеточной области условия на бесконечности необходимо аппроксимировать на

«вычислительных» границах. Условия на «вычислительной» границе не должны нарушать баланса энергии, либо быть диссипативными.

Исследуется поведение баланса энергии и показывается возможность такой аппроксимации граничных условий непротекания и на бесконечности, при которой на соответствующих границах не будет дисбалансов энергии. В этом случае кинетическая энергия жидкости сохраняется, если нет подвижных границ раздела газ-жидкость. Наличие таких границ меняет как массу, так и энергию. Приводятся условия устойчивости схемы.

Вопросы точности дискретизации уравнений и граничных условий исследовались при решении задачи Релея о схлопывании сферического пузырька в несжимаемой жидкости. Проводилось сравнение численных решений задач эволюции пузырей в жидкости.

В процессе численной эволюции пузыря возможно наступление момента, когда часть границы пузыря с одним значением потенциала войдет в соприкосновение (сольется) с другой частью границы с иным распределением потенциала. Обычно в этот момент происходит прекращение численного моделирования на ЭВМ. Для возможности продолжения расчетов последняя модель была модифицирована. Через крайние точки слившейся границы проводился разрез, с разными значениями потенциала на разных берегах разреза, и на разрезе ставилось условие отсутствия сдвигового перемещения. Обычно этот момент связан с переходом области решения из односвязной в многосвязную, при этом циркуляция по контуру, который не может быть стянут в точку, не равна нулю. В разностном алгоритме прямой разрез проходил через одну из крайних точек слившейся границы параллельно линиям сетки х — const. В точках пересечения разреза и линий сетки г = const

вводились дополнительные узлы двух берегов и в этих узлах выполнялось уравнение Лапласа с условием равенства касательных скоростей по разным берегам разреза. И если в односвязной области циркуляция по любому замкнутому контуру, состоящему из внутренних узлов, всегда равна нулю, то в многосвязной области циркуляция по замкнутому контуру пересекающем разрез, уже не равна нулю.

На рис. 2 показаны формы границы раздела газовых пузырей в процессе заполнения цилиндрической полости, под действием избыточного начального давления. Пунктирной линией указана форма границы раздела в начальный момент времени / = 0. Прерывистая линия с двумя точками отмечает границу В момент t = 5.17 на фазе схлопывания пузыря, когда жидкость по плоскости х=0 прорывается к оси

R. Z

Рис. 2. Фазы заполнения полости, t — О

пузыря. Штрих-пунктирная линия соответствует I = 15.48, в жидкости уже два газовых пузыря, а струя жидкости достигла дна цилиндрической полости. Верхний пузырь превратился в двусвязный торообразный. Сплошной линией отмечен момент г = 16.81. Дно полости уже закрыто жидкостью, нижний пузырь вытесняется в полость большего радиуса, а верхний пузырь медленно поднимается к свободной поверхности.

Рассматривалась задача эволюция пузыря вблизи свободной поверхности. Идеальная несжимаемая тяжелая жидкость находится в полупространстве х < 0. Правая плоскость - начальная свободная поверхность х-0. В жидкости имеется осесимметричная газовая полость с границей раздела в форме сферы, центр которой расположен на глубине х = -Я. В начальный момент времени жидкость покоится.

Радиус сферической полости примем за характерный линейный размер. Давление газов в этой полости отличается от характерного р, — гидростатического давления на уровне х = -н. Задача состоит в определении возникающего осесимметричного течения жидкости, порождаемого перемещением и изменением формы пузыря.

Использовалась неравномерная расчетная сетка, сгущающаяся к свободной поверхности. У всплывающего к свободной поверхности пузыря, граница кормовой части с течением времени сильно деформируется с образованием осесимметричной кумулятивной струйки, стремящейся к передней части пузыря. Эта струя через некоторый промежуток времени достигает верхней границы газового пузыря, в результате газовый пузырь приобретает торообразную форму, а область течения становится двусвязной. С переходом

пузыря в двусвязную форму, циркуляционное течение по оси пузыря, из широкой торообразной кормы пузыря к узкой передней части гонит сужающийся и ускоряющийся поток к свободной поверхности: на рис. 3. свободная поверхность справа от пузыря. Когда верхняя граница пузыря приблизится к начальному уровню свободной поверхности, на движение свободной поверхности начинает, в основном, влиять циркуляционное течение. На поднимающейся свободной поверхности по оси пузыря сначала появляется локальное возвышение, которое развивается в явно выраженную кумулятивную струйку -султан (см. рис. 3). При достижении вершиной пузыря свободной поверхности численный расчет завершался.

Рис. 3. / = 1.1; Многосвязный пузырь всплывает к свободной поверхности с султаном. Нижняя линия — ось симметрии.

Седьмая глава расширяет возможности дискретного анализа, создавая формализованную процедуру конструирования дискретных операторов векторного и тензорного анализа посредством преобразования дискретных аппроксимаций в декартовой системе координат в произвольную криволинейную систему. Дискретные операторы тензорного анализа на плоскости строятся на основе метода базисных операторов. Установлено, что алгоритм преобразования дискретных операторов сохраняет симметрии решений относительно координатных кривых, присущие дифференциальной системе уравнений, и сохраняет согласованность дискретных операторов, что позволяет конструировать эффективные дифференциально-разностные схемы с граничными условиями для дискретных областей с криволинейными границами, избегая тем самым нежелательных дисбалансов в дискретных законах сохранения.

Полученные результаты применяются для конструирования дифференциально-разностных схем газовой динамики в переменных Лагранжа для произвольных ортогональных систем координат в плоском и осесимметричном пространствах. Установлена возможность сохранения симметрии решений относительно координатных кривых. Если твердая граница - координатная кривая, это позволяет, путем достроения фиктивных ячеек за криволинейной стенкой, реализовать граничное условие непротекания однородным алгоритмом. Для этой схемы выполняются все законы сохранения, включая дополнительные, присущие непрерывному случаю. Проводя вычисления в декартовых координатах мы избавляемся от необходимости дифференцировать координатные орты для разделения координатных направлений. Ценность таких преобразований разностных схем, для численного анализа задач механики сплошной среды, состоит в возможности сквозного расчета в декартовых координатах течений в областях со сложными криволинейными границами. Постановка и реализация граничных условий осуществляется в локальных системах координат с преобразованием в декартову систему.

Приводится численное решение задачи о двух поршнях, вдвигаемых в идеальный газ, занимающий пространство первого квадранта.

Разработанный в диссертации метод базисных операторов является технологией построения дискретных операторов векторного и тензорного анализа для евклидовых и неевклидовых косоугольных дискретных пространств. Из геометрического закона изменения элементарной площади дискретной ячейки заданной аппроксимации следуют операторы дискретных производных первого порядка Для выбранной системы криволинейных

координат формулируется аппроксимация произведения функций Ламе и формула объема дискретной ячейки. Эта аппроксимация определяет дискретные операторы типа дивергенции и градиент У^, в форме выражений, зависящих от операторов У„,,Уп,- Далее, по формулам, определяется система операторов проектирования функций {-) ,{-}а ■

Полученный набор операторов позволяет, используя явные формулы для базисных операторов, записать необходимые дискретные операторы векторного и тензорного анализа. На их основе сконструировать полностью консервативную дифференциально-разностную схему, которая формально выражается через дискретные операторы первых производных При

переходе от плоского к осесимметричному пространству с геометрическим законом изменения осесимметричной площади дискретной ячейки, к системе базисных операторов добавляются операторы У", V" и (•)'„*.(■)'*■

Приведем основные результаты работы

1. Созданы комплексы программ математического моделирования трехмерных и осесимметричных практически значимых задач динамики несжимаемой жидкости и газовых пузырей.

2. Разработан метод базисных операторов построения разностных аппроксимаций основных дифференциальных операторов тензорного анализа для различных криволинейных систем координат для евклидовых и неевклидовых пространств. Эти аппроксимации согласованы с помощью квадратурных соотношений метода базисных операторов и представлены в виде простых явных формул, формально зависящих от аппроксимаций первых производных по координатным переменным на косоугольной сетке.

3. Для базисных операторов создан квадратурно-аппроксимационный метод, который строит дифференциально-разностную схему как следствие системы законов сохранения в квадратурной форме. Метод работает при любом описании: лагранжевом, эйлеровом и смешанном.

4. Построены классы полностью консервативных дифференциально-разностных и разностных схем механики сплошной среды в лагранжевых переменных, как в ортогональных, так и неортогональных системах координат. У этих схем выполнены все законы сохранения группы Галилея, включая дополнительные, присущие непрерывному случаю.

5. Исследован теоретико-групповой аспект дифференциально-разностных схем и законов сохранения этих схем, обобщена теорема Нетер на класс дифференциально-разностных схем на косоугольных сетках, допускающих вариационную трактовку.

6. Численными расчетами подтверждена эффективность построенных дифференциально-разностных и разностных схем газовой динамики и динамики несжимаемой жидкости.

7. Проведено численное моделирование процесса заполнения осесимметричной полости и динамики газовых пузырей на основе потенциальной модели жидкости.

8. Разработан метод преобразования дифференциально-разностных схем механики сплошной среды в произвольную криволинейную систему координат на плоскости.

Основное содержание диссертации отражено в следующих статьях. Жирным шрифтом выделены публикации в журналах из списка ВАК.

1. Коробицын В.А. Об одном алгоритме решения нестационарных задач несжимаемой жидкости со свободной поверхностью / В.А. Коробицын // Молодые ученые и специалисты Томской области в девятой пятилетке: материалы научно-практической конференции. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 1975.-С. 87-90.

2. Коробицын В.А. Преобразования двухслойных разностных операторов / В.А. Коробицын // Дифференциальные уравнения. - 1984. -Т. 20, №3.-С. 533-536.

3. Коробицын В.А. Квадратурно-апроксимационный подход к построению разностных схем динамики несжимаемой вязкой жидкости в переменных Эйлера / В.А. Коробицын // Динамика упругих и твердых тел взаимодействующих с жидкостью. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1984. - С. 57-63.

4. Коробицын В.А. Законы сохранения в дискретных моделях сплошной среды / В.А. Коробицын // Численные методы механики сплошной среды / ВЦ и ИТПМ СО АН СССР. - Новосибирск, 1986. - Т. 17, № 4. _ с. 77-101.

5. Коробицын В.А. Теорема Нетер и законы сохранения дифференциально-разностных схем / В.А. Коробицын. - М., 1986. - И с. - Деп ВИНИТИ 14.07.86. № 5055-В86.

6. Коробицын В.А. Инвариантные разностные уравнения и группа Галилея / В.А. Коробицын // Газовая динамика. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 1987. - С. 71-76.

7. Коробицын В.А. Метод согласованных разностных операторов в цилиндрической системе координат / В.А. Коробицын. - М. 1988. - 26 с. - Деп. ВИНИТИ 22.03.88. № 2204-В88.

8. Демин A.B. О расчете на двумерных лагранжевых сетках течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью / A.B. Демин, В.А. Коробицын, А.И. Мазуренко, А.И. Хе // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1988. - Т. 28, № 11. - С. 1719-1729.

9. Коробицын В.А. Исследование трехмерных нелинейных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в полостях твердого тела различной формы. Описание программы : отчет НИИПММ при ТГУ / В.А. Коробицын. - Томск, 1988.

10. Коробицын В.А. Разностные операторы в криволинейной ортогональной системе координат. Случай плоской симметрии / В.А. Коробицын //Математическое моделирование.-1989. -Т. 1,№5.-С. 126-138.

11. Коробицын В.А. Термодинамически согласованные разностные схемы / В.А. Коробицын // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1989. - Т. 29, № 2. - С. 309-312.

12. Коробицын В.А. Инвариантные вариационно-разностные схемы и законы сохранения / В.А. Коробицын И Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1989. - Т. 29, № 7. - С. 1067-1078.

13. Коробицын В.А. Осесимметричные разностные операторы в ортогональной системе координат / В.А. Коробицын // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1989. - Т. 29, № 11. - С. 1621-1633.

14. Коробицын В.А Законы сохранения инвариантных дифференциалыю-разностныж схем / В.А. Коробицын // Математическое моделирование. -1989. - Т. 1, № 8. - С. 110-115.

15. Коробицын В.А. Метод базисных операторов построения операторных разностных схем / В.А. Коробицын // Математическое моделирование. -1990. - Т. 2, № 5. - С.131-148.

16. Коробицын В.А. Метод базисных операторов построения разностных схем в криволинейной ортогональной системе координат / В.А. Коробицын // Математическое моделирование. -1990. - Т. 2, № 6. - С. 110-117.

17. Коробицын В.А. Полностью консервативные осесимметричные разностные схемы в криволинейных ортогональных системах координат / В.А. Коробицын // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1992. - Т. 32, № 5. - С. 810-815.

18. Коробицын В.А. Метод базисных операторов построения разностных схем в неортогональных системах координат на плоскости /

B.А. Коробицын // Математическое моделирование. - 1991. - Т. 3, № 10. - С. 31-41.

19. Коробицын В.А. Численное моделирование осесимметричных потенциальных течений несжимаемой жидкости / В.А. Коробицын // Математическое моделирование. —1991. - Т. 3, № 10. - С. 42-49.

20. Korobitsyn V.A. Computations of a gas bubble motion in liquid / V.A. Korobitsyn // International Series of Numerical Mathematics. - 1992. - Vol. 106. -P. 179-185.

21. Коробицын В.А. Численное исследование эволюции границы раздела двух жидкостей / В.А. Коробицын, В.И. Пегов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 1993. - № 5. С. 128-133.

22. Коробицын В.А. Базисные разностные схемы в криволинейных системах / В.А. Коробицын // Современная баллистика и смежные вопросы механики. — Томск : Изд-во Том. ун-та, 2009. - С. 271-272.

23. Коробицын В.А. Базисный разностный метод для ортогональных систем на поверхности / В.А. Коробицын // Журнал вычислительной математикии математической физики. — 2011.-Т.51,№7.-С. 1308-1316.

24. Коробицын В.А. Ковариантные преобразования базисных дифференциально-разностных схем на плоскости / В.А. Коробицын // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2011. -Т. 51, № 11. - С. 2033-2041.

25. Коробицын В.А. Численное моделирование многосвязных течений несжимаемой жидкости / В.А. Коробицын // Matematiike i informacione tehnologije : zbornik radova konferencije MIT 2011. — Beograd. 2012. - P. 217-221. -Электрон, версия печат. публ.-URL: http://www.mit.rs/2011/zbornik-2011.pdf

26. Коробицын В.А. Вихресогласованные численные модели сплошной среды / В.А. Коробицын // Сеточные методы для краевых задач и приложения : материалы Девятой Всероссийской конференции. — Казань : Отечество. 2012. —

C. 239-241

Подписано в печать 04.05.2013 г. Формат А4/2. Ризография Печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 01/05-13 Отпечатано в ООО «Позитив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТГУ)

05201351294

На правах рукописи Коробицын Владимир Анатольевич

МЕТОД БАЗИСНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПОСТРОЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Томск-2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................... 7

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД........... 30

§ 1.1. Сводка результатов из тензорной алгебры....................................... 30

1.1.1. Криволинейные координаты.................................................. 30

1.1.2. Компоненты вектора и тензора.............................................. 31

§ 1.2. Некоторые сведения из тензорного анализа..................................... 33

1.2.1. Метрический тензор................................................................ 33

1.2.2. Ковариантное дифференцирование....................................... 34

1.2.3. Дифференциальные операторы............................................. 35

1.2.4. Интегральные операции.......................................................... 36

1.2.5. Ортогональные координаты................................................... 37

1.2.6. Дифференциальные операторы в ортогональных системах..................................................................................... 39

§ 1.3. Модели механики сплошной среды.................................................. 40

1.3.1. Законы сохранения.................................................................. 40

1.3.2. Уравнения гидродинамики несжимаемой жидкости........ 42

1.3.3.Потенциальная модель несжимаемой жидкости ............... 44

1.3.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейных

системах координат................................................................... 45

§ 1.4. Основные понятия теории разностных схем.................................... 47

1.4.1. Дискретизация. Сетка. Шаблон............................................ 47

1.4.2. Сеточные функции................................................................... 52

1.4.3. Аппроксимация и устойчивость............................................ 53

ГЛАВА 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

СИСТЕМАХ КООРДИНАТ.......................................................................... 56

§ 2.1. Разностные операторы векторного и тензорного анализа.............. 57

2.1.1. Разностные операторы............................................................. 58

2.1.2. Критерий согласованности разностных операторов........... 60

2.1.3. Построение операторов V , V ^............................................. 61

2.1.4. Построение операторов ............................................ 68

2.1.5. Граничные условия.................................................................. 71

2.1.6. Инвариантность операторов.....................................................74

§ 2.2. Трехмерные операторы...................................................................... 76

§ 2.3. Квадратурно- аппроксимационный алгоритм построения

дифференциально-разностных схем................................................. 79

2.3.1. Основание алгоритма............................................................... 79

2.3.2.Алгоритм построения полностью консервативных схем... 81 § 2.4. Разностные схемы в переменных Лагранжа...................................... 84

2.4.1. Дифференциально - разностная схема................................... 84

2.4.2. Класс разностных схем с полным набором законов сохранения................................................................................. 86

§2.5. Численные расчеты течений несжимаемой жидкости............... 89

2.5.1. Сетка и операторы.................................................................... 89

2.5.2. Разностная схема...................................................................... 91

2.5.3. Аппроксимация вектора внешних массовых сил.................. 92

2.5.4. Устойчивость схемы................................................................ 94

2.5.5. Реализация граничных условий.............................................. 95

2.5.6. Линейный анализ разностной схемы...................................... 96

§ 2.6. Численные расчеты двумерных течений........................................... 97

§ 2.7. Численное моделирование трехмерных течений........................... 106

2.7.1. Разностная схема.................................................................... 106

2.7.2. Граничные условия................................................................ 108

2.7.3. Комплекс программ ТОРЗ..................................................... 108

§ 2.8.Термодинамически согласованные разностные схемы.............. 116

ГЛАВА 3. ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННО - РАЗНОСТНЫЕ

СХЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ.......................................... 123

§ 3.1. Инвариантные двумерные дискретные модели............................... 124

3.1.1. Вариация функционала дискретной системы...................... 124

3.1.2. Тождество Нетер.....................................................................126

3.1.3. Теорема Нетер......................................................................... 128

3.1.4. Обобщение теоремы Нетер................................................... 129

3.1.5.Дифференциально-разностные уравнения гидродинамики.. 131

ГЛАВА 4. МЕТОД БАЗИСНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

КООРДИНАТ................................................................................................................................................................................................136

§ 4.1.Разностные операторы в криволинейной ортогональной системе

координат. Случай плоской симметрии..................................................................138

4.1.1. Дифференциальные операторы........................................................................................138

4.1.2. Разностные операторы....................................................................................................................139

4.1.3. Некоторые соотношения..............................................................................................................144

4.1.4. Согласованность разностных операторов......................................................144

4.1.5. Дифференциально-разностная схема гидродинамики..........146

4.1.6. Операторы в полярной системе координат..................................................148

§ 4.2. Формулы для базисных операторов..................................................................................................151

§ 4.3. Осесимметричные разностные операторы в ортогональной

системе координат............................................................................. 161

4.3.1. Дифференциальные операторы........................................... 161

4.3.2. Разностные операторы.......................................................... 162

4.3.3. Дифференциально-разностная схема гидродинамики..... 167

4.3.4. Операторы в цилиндрической системе координат............ 167

§ 4.4. Полностью консервативные осесимметричные разностные

схемы в криволинейных ортогональных системах координат... 171

§ 4.5. Метод базисных операторов построения операторных разностных

схем в трехмерном пространстве.......................................... 178

4.5.1. Дифференциальные операторы........................................................................................179

4.5.2. Разностные операторы....................................................................................................................180

4.5.3. Согласованность разностных операторов......................................................185

4.5.4. Дифференциально-разностная схема......................................................................186

4.5.5. Базисные операторы............................................................................................................................186

4.5.6. Операторы в цилиндрической системе координат..........................191

§ 4.6.Базисные разностные схемы для неортогональных систем........... 195

4.6.1. Дифференциальные операторы................................. 195

4.6.2. Дискретизация пространства.................................... 196

4.6.3. Операторы усреднения.......................................................... 198

4.6.4. Разностные операторы.................................................... 200

4.6.5. Согласованность разностных операторов........................ 201

4.6.6. Базисные операторы................................................. 202

4.6.7. Дифференциально-разностная схема гидродинамики..... 205

4.6.8. Разностная схема.................................................. 207

4.6.9. Примеры расчета................................................. 208

ГЛАВА 5. БАЗИСНЫЙ РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ДЛЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ

СИСТЕМ НА ПОВЕРХНОСТИ.................................................................. 210

§ 5.1. Дифференциальные операторы........................................................ 210

§ 5.2. Дискретизация пространства............................................................ 213

§ 5.3. Дискретные операторы......................................................................216

§ 5.4. Базисные операторы...........................................................................218

§ 5.5.Уравнения механики дискретной среды...........................................221

ГЛАВА 6. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ

ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.......224

§ 6.1. Постановка задачи............................................................................. 224

§ 6.2. Дискретизация области и операторов..............................................227

§ 6.3. Разностная схема................................................................................229

§ 6.4.Устойчивость схемы........................................................................... 231

§ 6.5. Вычислительная граница................................................................... 231

§ 6.6. Модельная задача............................................................................... 233

§ 6.7. Заполнение полости........................................................................... 235

§ 6.8. Заполнение криволинейной полости................................................ 239

§ 6.9. Эволюция пузыря............................................................................... 243

§6.10. Заполнение шахты............................................................................ 246

ГЛАВА 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ......................... 249

§ 7.1. Введение.............................................................................................. 249

§ 7.2. Преобразования дискретных операторов......................................... 254

§ 7.3. Дискретные операторы векторного анализа.................................... 257

§ 7.4. Сохранение симметрий...................................................................... 259

§ 7.5. Дискретная схема газовой динамики................................................ 262

§ 7.6. Законы сохранения дискретной схемы........................................... 264

§ 7.7. Задача о двух поршнях ......................................................................265

§ 7.8. Заключение ......................................................................................... 272

ПРИЛОЖЕНИЕ............................................................................................. 274

Исследование трехмерных нелинейных течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в полостях/ краткое описание

комплекса программ ТОРЗ/.............................................................. 274

ЛИТЕРАТУРА.............................................................................................. 281

Введение

Метод конечных разностей является одним из универсальных методов численного интегрирования уравнений математической физики. К настоящему времени разработано множество методов построения разностных схем. Одним из перспективных направлений в теории разностных схем является разработка и обоснование численных алгоритмов на основе принципа полной консервативности.

Появившиеся в рамках этого направления методы построения разностных схем: уравнений Лагранжа I рода, вариационно - разностный и опорных операторов - позволяют во многих случаях строить полностью консервативные разностные схемы. Но трудности построения таких схем в случае косоугольных сеток и криволинейных систем координат, многомерности пространства, необходимости учета различных механизмов превращения энергий, ограничивают применение этих методов.

В работе, для построения полностью консервативных разностных схем, предлагается метод базисных операторов, позволяющий записать дискретные (разностные) аппроксимации основных дифференциальных операций векторного и тензорного анализа в произвольных криволинейных системах координат в сеточном пространстве на косоугольной сетке в виде конечных формул. Эти аппроксимации, как для непрерывного, так и для дискретного времени, согласованы в рамках метода опорных операторов. Для построения полностью консервативных разностных схем предлагается квадратурно-аппроксимационный метод. Используя аппроксимации (опорные операторы) метода базисных операторов, дифференциально - разностная схема строится как следствие системы законов сохранения в квадратурной форме, которые кладутся в

основу численной модели. Построены классы разностных схем в криволинейных системах координат, аппроксимирующие уравнения механики сплошной среды. Исследованы групповые свойства дискретных моделей и их связь с законами сохранения. Эффективность построенных этим методом разностных схем подтверждается численными расчетами ряда задач гидродинамики.

При численном моделировании процессов сплошной среды на основе конечно - разностных методов одной из основных проблем является построение устойчивых разностных аппроксимаций математических моделей исследуемых процессов. В этой проблеме можно выделить задачу построения разностных аппроксимаций дифференциальных операторов векторного и тензорного анализа, которые наследуют основные свойства дифференциальных операторов, такие как самосопряженность, знакоопределенность, потенциальность,

диссипативность, инвариантность и др. На протяжении всего периода развития теории разностных схем этот круг вопросов постоянно привлекал внимание исследователей. Было предложено множество решений, подходов к построению разностных схем. На этом пути одним из первых явился метод непосредственной аппроксимации членов дифференциальных уравнений конечно - разностными соотношениями. При этом требовалось выполнить ставшие впоследствии классическими требования аппроксимации и устойчивости. При выполнении этих условий последовательность приближенных разностных решений на сгущающихся сетках сходится к решению аппроксимируемой системы линейных дифференциальных уравнений. Достижения первого этапа развития теории разностных схем обобщены в ряде монографий [15], [20].

В дальнейшем был сформулирован принцип однородности алгоритма численного моделирования (А. Н. Тихонов, А. А. Самарский [98], требующий, чтобы расчетные формулы алгоритма были

единообразны как во внутренних, так и в граничных точках сетки. Для регулярной прямоугольной сетки были получены разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики (В.И. Лебедев [68]).

Развитие теории и практики разностных схем, потребность численного интегрирования нелинейных систем уравнений привело к осознанию того факта, что при построении схем, помимо требований аппроксимации и устойчивости, необходимо требовать на решениях схемы выполнения основных законов сохранения, аналогичных законам дифференциальной системы. Эти требования были сформулированы в форме принципов консервативности и полной консервативности разностных схем. Математические модели процессов протекающих в природе, основываются на физических законах управляющих этими процессами. В механике сплошной среды основными законами являются законы сохранения массы, импульса и энергии. Дифференциальная система уравнений является следствием математической записи законов сохранения в интегральной форме в определенном классе функций. В 1966 году А.Н.Тихонов и А.А.Самарский сформулировали принцип консервативности разностных схем [84], [99], который требует, чтобы на решениях разностной схемы выполнялись законы сохранения, аналогичные законам, представленными дифференциальными уравнениями. Ими же был предложен интегро-интерполяционный метод построения консервативных разностных схем и указан пример неконсервативной разностной схемы, имеющей второй порядок точности в классе достаточно гладких коэффициентов и расходящейся в классе разрывных коэффициентов [100].

Для построения консервативных разностных схем было предложено множество методов, таких как, например, метод аппроксимации дивергентной формы дифференциальных уравнений [70], [80], [82],

консервативные методы крупных частиц и потоков О.М.Белоцерковского, Ю.М.Давыдова и Л.И.Северинова [5], [6], метод распада разрыва С.К.Годунова [19], метод конечного объема [117] и др. Развитие этих методов основывалось на современном уровне развития математической физики и стимулировало появление новых математических результатов, отметим работы по определению всей совокупности законов сохранения, связанных с системами дифференциальных уравнений [34], [75], [97], [123].

В современной литературе огромный массив публикаций посвящен разностным схемам повышенной точности типа ТУТ) сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем уравнений. В работе [76] показано, «что схемы типа ТУБ имеют не более чем первый порядок локальной сходимости в областях влияния нестационарных ударных волн и тем самым не являются по существу схемами повышенной точности. Такое снижение порядков сходимости свидетельствует о том, что в ТУБ схемах происходит потеря точности при передаче условий Гюгонио через размазанные фронты ударных волн».

Для однозначного определения решения дифференциальной системы уравнений необходимо задавать граничные условия, а при численных решениях этих уравнений граничные условия должны быть аппроксимированы с заданным порядком аппроксимации. Вопросы аппроксимации граничных условий исследуются в [15], [19], [20], [70], [80], [82], [83], [91]. Но, помимо однозначного определения решения в задачах механики сплошной среды, граничные условия задают режим изменения некоторых количеств решения на границах. Естественно желание сохранить в разностной схеме при аппроксимации граничных условий режим изменения разностных количеств.

Используется подход к конструированию разностных схем на основе требования адекватности [7] разностной схемы исходной

дифференциальной модели, т.е. разностная схема строится так, чтобы она допускала построение разностного аналога диссипативного интеграла энергии. Наличие такого аналога позволяет получить энергетическую оценку [80] устойчивости схемы, при наличии которой теорема существования достатачно гладкого решения доказывается стандартными рассуждениями [20]. Ясно, что реализовать такой подход в полной мере возможно лишь для линейных краевых задач.

Опыт практических расчетов задач гидродинамики на основе консервативных алгоритмов показал их эффективность. Модели