автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов

На правах рукописи УДК 517.9

Кадченко Сергей Иванович

НОВЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ВОЗМУЩЕННЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Челябинск - 2004

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

В.Ф. Кравченко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.И. Кожанов, доктор физико-математических наук, профессор Ю.И. Сапронов, доктор физико-математических наук, профессор Г.А. Свиридюк

Ведущая организация: Механико-математический

факультет

Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Защита диссертации состоится 16 июня 2004 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 по присуждению ученой степени доктора физико - математических наук при Челябинском государственном университете по адресу: 454021, г. Челябинск, ул. Бр. Кашириных, 129, ЧелГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан 12 мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета доктор физико - математич<

наук, профессор

Б . Соколинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. С момента получения формул ре-

гуляризованных следов порядка а е И

(1)

где Ап - собственные числа дифференциального оператора А, .Д0(п) - известные числа, обеспечивающие сходимость числовых рядов, Ва - явно вычисляемые через характеристики дифференциального оператора числа, были предприняты попытки применить их для приближенного вычисления первых собственных чисел оператора А. В самом деле, формулы (1) могут быть использованы для написания алгебраической системы уравнений:

J24 = B^(t„), Р = 1,110, tp е N,

(2)

связывающей приближенные значения первых собственных чисел

оператора А. Правые части уравнений (2) содержат ^ частичные суммы сходящихся числовых рядов и определены в случае общих дифференциальных выражений и общих граничных условий с точностью до где - целое число

больше по, получаемое из асимптотики А„, По = дг + к, к - дефект регуляризации. Величины плохо поддаются оценкам и могут сильно расти при

По -> оо. Оценка чисел Вг представляет собой сложную математическую задачу и она получена для небольшого количества спектральных задач.

В 1952 году А. А. Дородницын1 рассмотрел задачу, связанную с равенствами

f °° 1 / Gr[x,x)dx = У) тр, р 6 JV, 4 п~-П А»

где Ср(х,х) - р - повторные функции Грина оператора. Ряды справа абсолютно сходятся, и их остатки можно оценить для конечного набора собственных чисел Л„. Следовательно, от равенств (3) можно перейти к приближенным равенствам, которые содержат справа конечные суммы. Решив полученную систему, можно

'Дородницын A.A. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых видов дифференциальных уравнений второго порядка N ЛДШ^АБД^'

БИБЛИОТЕКА

3

¿гяьиу!

вычислить первые собственные числа оператора. Принципиальным недостатком этого метода является то, что в общем случае числа слева в (3) не выражаются в конечном виде через характеристики оператора, и явного алгоритма их вычисления нет. Кроме того, А. А. Дородницыным не было дано теоретического обоснования метода и нет оценок, позволяющих судить о точности вычисления первых собственных чисел оператора. Впоследствии В. А. Садовничий, В. В. Дубровский и Е. М. Малеко2 обосновали метод Дородницына вычисления первых собственных чисел дифференциальных операторов с ядерной резольвентой и построили алгоритм вычисления первых характеристических чисел симметричных интегральных уравнений. Однако, их исследования относятся к так называемому "одномерному" случаю. "Многомерный" случай (в частности, приложение к дифференциальным операторам в частных производных) нуждается в дальнейших исследованиях.

В 1957 году Л. А. Дикий3 предложил способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма - Лиувилля, основанный на формулах регуляри-зованных следов (1). Идея способа состояла в следующем: пусть {Ап}^1 - собственные числа оператора Штурма - Лиувилля

-и" +р(х)и - Ли, и(0) = и(тг) = 0.

(4)

Как известно, собственные числа больших номеров спектральной задачи (4) допускают асимптотическое разложение

п2 п4 пб

(5)

Допустим, что нам известны регуляризованные следы оператора Штурма - Лиу-вилля (4) всех целых порядков, то есть известны правые части уравнений (1). Под в этом случае понимается начальный отрезок асимптотического разложения (5), обеспечивающий сходимость ряда (1). Коэффициенты асимптотического разложения (5) выражаются в конечном виде через граничные условия (4) и потенциал р(х). Числа Вр, входящие в формулы (1), так же вычисляются

2Садовничий В.А., Дубровский В.В., Малекс Б.М. Об одной способе приближенного нахождения собственных чисел оператора Штурма - Лиувилля // ДАН (России). 1999. Т. 369. № 1. С.16-18.

3Дикий Л.А. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма -

Лиувилля. // ДАН СССР. 1957. Т. 116. № 1. С. 12-14.

< «1; • ,

в конечном виде. И. М. Гельфанд и Л. А. Дикий предположили, что для любого е > 0 найдется такое число пц € N, что

и при этом решения системы щ алгебраических уравнений

приближают п0 первые собственные числа спектральной задачи (4). Пре-

имущества этого способа, по сравнению с методом Дородницына, в том, что числа Ар(п) и В^^р) в системе (6) выражаются в конечном виде через характеристики оператора. Но Л. А. Дикий не дал теоретического обоснования этого способа, а лишь привел пример вычисления первых трех собственных чисел уравнения Матье с хорошей точностью. Впоследствии С.А. Шкарин4 показал, что метод в таком виде применяться не может, так как система (6) имеет бесконечно много решений, причем существуют решения с любым наперед заданным конечным набором {Ап}^1. Метод будет давать при разном выборе п0 и отрезка асимптотики случайные числа, не связанные с собственными числами исходного оператора. В. А. Садовничий и В.Е. Подольский5 впервые сделали теоретическое обоснование вычисления первых собственных чисел оператора Штурма - Лиувилля, основанное на системе, составленной из реIуляризованyых следов (1) оператора.

В 1994 году В.А. Садовничий и В.В. Дубровский6 получили оценки поправок теории возмущений а^(по) дискретного полуограниченного снизу оператора Т

|««(яо)| < * > во,

в случае, когда существует такое натуральное число s0, что оператор ((Т—рЕ)'1^

является ядерным. Здесь ЯДТ) - резольвента оператора Т. Это позволило при

4 Шкарин С.А. О способе Гельфанда - Дикого вычисления первых собственных чисел оператора Штурма - Лиувилля // Вест. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1996. №1. С.39-44.

5Садовничий В.А., Подольский В.Б. О вычислении первых собственных значений оператора

Штурма -Лиувилля // ДАН (России). 1996. Т. 346. № 2. С. 162-164.

в Садовничий В.А., Дубровский В.В. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. М.: МГУ, 1994 Вьш. 17. С. 244-248.

-Ц—- < 1 и условии ограниченности оператора Р записать нелинейные уравне-

Опо

иия

Ея-ЕА+Ъ&ы+о^Шу»1-*), (7)

k=i t=i k=i ui"«/

для нахождения первых щ собственных чисел {Ai}ïl=i оператора Т + Р. Здесь

. г -it

ак ("о) = 2 к'—^ ^ dfi -поправки теории возмущений операг

тора Т + Р, Т„0 - круг радиуса р^ - с центром в начале координат

комплексной плоскости, Rp{T) - резольвента оператора Т, - собственные

числа оператора Т , занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, dn — — /¿п|- При этом было показало, что ряды поправок теории

ÛO

возмущений а*("о) сходятся, а о£(по) явно вычисляются через характеристики *=i

операторов Т и Р с помощью теории вычетов.

Исследования В. А. Садовничего и В. В. Дубровского легли в основу разработанного в диссертации нового метода приближенного вычисления первых собственных чисел дискретных операторов, который, в отличие от выше рассмотренных, основывается на формулах, содержащих конечные суммы целых степеней первых собственных чисел операторов Т + Р и Т. Кроме того, так как поправки теории возмущений вычисляются для большого класса операторов, область применения этого метода шире, чем других известных методов. Замечательным обстоятельством является возможность применения этого метода для дифференциальных операторов в частных производных. В дальнейшем указанный метод будем называть методом регуляризованных следов или методом PC.

Чтобы метод PC можно было применять для численных расчетов, необходимо:

1. Разработать эффективные алгоритмы вычисления поправок теории возмущений а]^'(по) и числовых рядов Релея - Шредингера ^ а^(по).

2. Создать методики оценок сходимости метода и нахождения предельных абсолютных погрешностей, с которыми вычислены первые собственные числа оператора Т + Р.

3. Рассмотреть примеры его применения к различным спектральным задачам. Цель работы. Выполнить теоретическое обоснование нового численного метода нахождения приближенных значений первых собственных чисел возмущенных

самосопряженных операторов, основанного на формулах регуляризованных следов целого порядка. Разработать эффективные алгоритмы вычисления поправок теории возмущений и числовых рядов Релея - Ш р е д и : 0 "

здать методики оценок сходимости метода и нахождения предельных абсолютных погрешностей, с которыми вычислены первые собственные числа оператора Т+Р. Рассмотреть примеры его применения к различным спектральным задачам.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов.

2. Новый метод вычисления сумм числовых рядов поправок теории возмущений дискретных операторов.

3. Пакеты программ в среде "Maple 6"для вычисления первых собственных чисел спектральных задач гидродинамической теории устойчивости Орра - Зом-мерфельда, Пуазейля и Куэтта.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие основные результаты:

1. Теоретически обоснован новый метод регуляризованных следов , позволяющий строить алгоритмы вычисления первых собственных чисел дискретного оператора Т + Р с необходимой точностью.

2. В отличие от известных численных методов нахождения собственных чисел операторов, метод PC не является итерационным.

3. Применение метода PC не требует положительной определенности оператора Т+Р.

4. Найдены оценки поправок теории возмущений а^(по) дискретных операторов.

5. Доказана сходимость числовых рядов поправок теории возмущений целого порядка оператора Т + Р.

6. Получены оценки tp остатков е^'(по) числовых ряд ов^ис^ р е т н о г о оператора Т + Р.

7. Разработаны алгоритмы вычисления поправок теории возмущений а^'(по) дискретных операторов для любых к,р€ N.

8. Получены явные формулы первых четырех поправок теории возмущений ajif'(no)

(к = 1,4, р 6 N) дискретных операторов.

9. Разработан алгоритм вычисления сумм числовых рядов поправок теории возмущений оператора Т + Р, позволяющий определять предельные абсолютные погрешности, с которыми они найдены.

10. Разработаны алгоритмы метода PC вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов с оценкой их предельных абсолютных погрешностей, с которыми они находятся.

11. На основе алгоритмов метода PC созданы пакеты программ в среде "Maple 6", позволяющие вычислять первые собственные числа спектральных задач гидродинамической теории устойчивости Орра - Зоммерфельда, Пуазейля и Куэтта.

Теоретическая и практическая значимость. Разработка алгоритма,

в основе которого лежит новый метод нахождения собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов, имеет большой научный интерес, так как с его помощью расширяются возможности в решении спектральных и краевых задач.

Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях в спектральной теории операторов и при разработке некоторых модификаций • метода PC, которые основываются на регуляризованных следах дискретных операторов рациональных степеней. Они могут найти применение в исследованиях, проводимых в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, в математическом институте им. ВА. Стеклова РАН, в математическом институте им. С.Л. Соболева, во Владимирском государственном педагогическом университете, в Воронежском государственном университете, в Челябинском государственном университете, в Башкирском государственном университете, в Магнитогорском государственном университете.

Кроме того, результаты диссертации можно использовать в теории возмущений линейных операторов и вычислительной математике, а также при составлении пакетов программ для вычисления собственных чисел задач, порожденных линейными дифференциальными и интегральными операторами.

Методы исследования. Для решения поставленных выше задач использовались методы функционального анализа, спектрального анализа линейных oro-

раторов, теории возмущений и вычислительной математики. Основными методами в работе являются методы, разработанные В.А. Садовничим и его учениками: В.А. Любишкиным и В.В. Дубровским. При составлении пакетов программ в среде "Maple 6" использовались подпрограммы, составленные диссертантом на основе известных алгоритмов вычислительной математики.

Апробация работы. Все результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором и докладывались:

• на конференции им. М.Г. Крейна "Теория операторов и их приложения" (Украина, г. Одесса, 1997 г.);

• на Международной конференции, посвященной девяностолетию со дня рождения Л.С. Потрягина (г. Москва, МГУ, 1998 г.);

• на восьмой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, СГТУ, 1998 г.);

• на Международной конференции по теории операторов и их приложениям к научным и индустриальным проблемам (Канада, г. Виннипег, 1998 г.);

• на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г. Москва, МГУ, 1998 г.);

• на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, ВШУ, 2000 г.);

• на конференции "Modern Trends in Computational Physics" (г. Дубна, Объединенный институт ядерных исследований, 2000 г.);

• на Международной конференции "Differential Equations and Related Topics", посвященной столетию со дня рождения И.Г. Петровского (г. Москва, МГУ, 2001 г.);

• на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели"(г. Челябинск, ЧелГУ, 2002 г.);

• на Международной конференции "Колмогоров и современная математика" ( г. Москва, МГУ, 2003 г.).

Результаты работы обсуждались на научных семинарах академика РАН России В. А. Садовничего, профессора В. Б. Лидского, профессора В. В. Дубровского, профессора Г. А. Свиридюка.

Работа диссертанта была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант РФФИ № 00-01-0777, 1999-2002 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 29 работ совместно с ВА. Са-довничим, В.В. Дубровским и В.Ф. Кравченко, которым принадлежит постановка задач. Доказательство лемм, теорем и проведение численных расчетов выполнены диссертантом. Список опубликованных работ приведен в конце автореферата. Структура И объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, приложений и списка литературы. Общий объем работы составляет 301 страницу машинописного текста.

Краткое изложение содержания диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, сформулированы цели, задачи и научная новизна диссертации. Кратко излагается содержание работы.

В первой главе рассмотрены известные факты спектральной теории линейных операторов, которые используются в диссертации.

Вторая глава посвящена теоретическому обоснованию метода PC. Она состоит из пяти пунктов.

В пункте 2.1 получены оценки поправок теории возмущений, используя которые доказывается сходимость числовых рядов и оцениваются их остатки. Доказана теорема, позволяющая вычислять, используя поправки теории возмущений, следы дискретных операторов.

Рассмотрим дискретный, полуограниченный снизу оператор Т и ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Я. Пусть - собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а - его ортонормированные собственные

функции; соответствующие этим собственным числам. Допустим, что собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности.

Теорема 2.1.1.7 Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом про-

тНумерация утверждение совпадает с нумерацией в диссертации.

странстве H. Если для некоторого натурального число s0 оператор [ДР(Т)]®° является ядерным и для некоторого натурального числа щ выполняется неравенство " < 1, то по собственных чисел {/3n}^=i оператораТ + Р являются

Опо

решениями системы по нелинейных уравнений

По no tp

(8)

*=1

*=1

Здесь о^'(по) = ^^ Бр J црЯм(Т) ¿ц. -поправки теории возмущений

Тп0

оператора Т + Р, е« = £ а^Ы, ТПо - круг радиуса рпо = с

*=<„+1 1 центром в начале координат комплексной плоскости, Яр{Т) - резольвента оператора Т,<1па = ¡Дпо+1 -

Показано, что поправки теории возмущений о) оператора Т + Р вычисляются по формулам

Лемма 2.1.1. Если Т дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р -ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, т о о / <1р> не более чем щк мерен.

Теорема 2.1.2. Пусть Т- дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если для некоторого натурального числа зо оператор [ДДТ)]*0

является ядерным и для некоторого натурального числа щ выполняется нера-2||Р|1

венство ■ < 1, то для поправок теории возмущений а^(по) оператора Т+Р справедливыоценки

V*,* е N.

Теорема 2.1.3. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом про-

операторявляется ядерным

странстве Н. Если для некоторого 8а € N и для некоторого выполняется неравенство

211РЦ

¿ПО

< 1, то числовые ряды

o^'fao) поправок теории возмущений оператора Т + Р абсолютно сходятся.

Теорема 2.1.4. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабелъном гильбертовом пространстве Н. Если для некоторого натурального числа «о оператор [^(Т)]'0 является ядерным и для некоторого натурального числа п0 выполняется неравенство ВМШ < 1( то для Цостатков числовых р я <2 ^'("о)1 Р а ~

<*по к=1

вок теории возмущений оператора Т + Р справедливы оценки

При разработке алгоритма нахождения приближенных значений первых собственных чисел оператора Т + Р необходимо знать суммы числовых ря-

оо . .

дов а^(по) поправок теории возмущений оператора Г T+Р, которые можно вычислить для многих спектральных задач только численно, с определенной точ-иостью. При этом предельные абсолютные погрешности вычислений а^(я<>) можно оценить, используя теорему 2.1.4.

В пункте 2.2 разработан алгоритм вычисления поправок теории возмущений и впервые приведены аналитические формулы первых четырех поправок. Получены оценки действительных и мнимых частей рядов дискретного оператора

Т + Р в случае, когда оператор Р мнимый.

Теорема 2.2.1. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабелъном гильбертовом пространстве Н. Тогда поправки теории возмущений а^'(по) оператора Т+Р, для любых натуральных k, р и п0, вычисляются по формулам:

I - число совпадений — п для любых т = 1,к, {/-»п}^! и {^п}^ - собственные числа и соответствующие им ортонормированные собственные функции оператора Т.

Надо отметить, что по мере возрастания порядка к поправок теории возмущений а^'(по) вычислительная эффективность СЕ алгоритма их нахождения, которую можно определить по формуле СЕ = ^ (е - ошибка приближенного решения, a t - время исполнения алгоритма), резко уменьшается. Это связанно с тем, что формулы, по которым вычисляются а^'(по), содержат к -мерные числовые ряды

и производные до k — 1 порядка включительно. Поэтому возникла необходимость

°° ( 1

разработать новый метод вычисления сумм числовых рядов £ о£'(по).

*=1

В пункте 2.3 разработан новый метод вычисления сумм числовых рядов поправок теории возмущений дискретных операторов, позволяющий строить эффективные численные алгоритмы.

Теорема 2.3.1. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если оператор Т + Р положительно определенный в Н и система координатных функций {у'*}^! является базисом Н, тогда метод Бубнова -Галеркина в применении к задаче об отыскании собственных чисел спектральной задачи

построенный на этой системе фнкцийфсхЬ&ится.

Теорема 2.3.2. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Допустим, что система собственных функций {и^^хоператора Т является базисом Н. Если для некоторого во £ N оператор [ЛВ(Т)]*° является ядерным и для некоторого выполняется неравенство тогда

ОО По р—1 по р

»=1 т-0 «=1

П 0»}=2<

< |Е4Ч(по)| + П0РП0|^, Ъ е Щ *

Ц По , р-2

р-т,

'ЛЛ т

< ¡Е^ю - Е (Е

*=2 >1=1 т=0 "О Р . . _

+ Е Р = 2'"о, елг.

;а>~А>=1 »=1 Л И«)=в

ПШ1

Здесь 4по) = Е - гЙ0) = ШЕ* " собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности, - приближенные значения по Бубнову - Галеркину соответствующих собственных чисел оператора Т+Р, акт = Цк$кт+Укт, Укт = {Ризк,шт), {/х*}^, - собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а - его ортонормированные собственные функции, соответствующие этим собственным числам, р„0 = -—-—--—

| \ 8 + 1, 8фр,. 1 1. * = Р-

В пункте 2.4 описан алгоритм, который позволяет из системы нелинейных уравнений (8) получить многочлен степени ц,, корнями которого являются первые собственные числа {А,}^ оператора Т + Р.

В пункте 2.5 разработан алгоритм вычисления предельных абсолютных погрешностей, с которыми находятся собственные числа {/3ПК2=1 оператора Т + Р.

В пункте 2.6 описан алгоритм метода РС вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов.

Третья глава посвящена классическим задачам линейной гидродинамической теории устойчивости. Известно, что сложности, возникающие в данной теории, в значительной мере связаны с математической проблемой нахождения собственных чисел несамосопряженных операторов. Кроме того, нахождение приближенных значений первых собственных чисел спектральных задач Орра - Зоммерфельда, Пуазейля, Куэтта являются трудными задачами вычислительной математики, поэтому проверка нового метода приближенного вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов была проведена на этих задачах.

В пункте 3.1 рассмотрены вопросы применения метода РС к спектральной задаче гидродинамической теории устойчивости плоского течения вязкой жидкости

между двумя параллельными плоскостями (задача Орра - Зоммерфельда):

(Г„г + 1}0- рТ0)<р = 0, 0 < I/ < 1, (9)

где Т„ = + °21 Но — гаЯ(и{у)Т0 + Р " комплексный спектральный

2я* и

параметр, а = — - волновое число, А - длдна волны возмущения, V{у) - 4—гу(1 — Л иш

у) + угу, и, - скорость верхней плоскости относительно нижней, 11с - скорость в

и*

середине промежутка, между плоскостями (у = Ь), когда последние неподвижны, Я. — * - число Рейнольдса, V • кинематическая вязкость жидкости, (/« — -СД +

ис, и = 26.

Введем оператор :

с„ = т2+и0-рт0,

заданный в сепарабельном гильбертовом пространстве 0,1]. К области определения Д?„ оператора й0 отнесем все фикции ¡р{у) класса С4(0,1) ("¡С^О, 1],

йу*

= С<(о, 1)040,1], 0 6 = «Ц, = 0}.

Рассмотрим дифференциальный оператор с областью определения 0Го1

= {<Р \ ч> 6 с4(0,1) Пс'Ю, 1], ^ е ^[о, 1], Д = о}

и неоднородную краевую задачу

= /(!/), 1 < У < О, <р(0)=?(1) = 0.

Теорема 3.1.1. Решение задачи (11) в области ОтС1 единственно и выражается формулой

1 V

= I/вЬ[а(у-0№)<%У

о

4 € ¿2[0,1], удовлетворяющие граничным условиям (10):

Так как задача (11) имеет единственное решение в области Дгв11 то Т01 имеет обратный оператор:

1 »

о о

Непосредственно применять метод РС к нахождению первых собственных чисел спектральной задачи (9), (10) нельзя, так как оператор 110 = гаЯ (иТв + не является ограниченным на £з[0,1]. Но можно построить вспомогательную задачу, у которой множество собственных чисел совпадает с множеством собственных чисел спектральной задачи (9), (10) и к которой применим разработанный нами метод. Для этого сделаем замену <р — Т"1/- Тогда

Лемма 3.1.1. На множестве функций Др.

Дг. = {/ I/■С(М),0.=

выполняются равенства

ТоТ~Ч = /, т-1твНу) = /(у) - ^Мд 1) - [лм -«льавь(о»)]/(о).

Используя лемму 3.1.1, имеем

ОоЧ> = (т02 + % - рг0)т-1! = (г. + ад;1 - /?)/.

Поэтому спектральную задачу (9), (10) можно записать в следующем виде:

"(т.+р.)/ = 0/, / еДг„ (12)

где

Очевидно, что множество собственных чисел задач (9), (10) и (12) совпадают, а их собственные функции связаны соотношением = /.

Теорема 3.1.2. Для нормы оператора Р„ = Х}0Т~^, заданного в сепарабелъном гильбертовом пространстве 0,1], справедлива оценка

ЦЯ.11 < ая[ шах |«(у)| + \ шах

1о<»<1' " а2о<у<1| ¿у2 и

Найдем собственные числа и собственные функции следующей краевой задачи:

(13)

(14)

Теорема 3.1.3. Спектральная задача (13), (14) имеет множество собственных чисел:

и множество собственных функций:

{С2„ sin(?n!/) + cos(g„jO] ^ (15)

где числа qn являются корнями трансцендентного уравнения

Aae~aq - 2а (l + e-Jo) q cos q + (l - е"2а) (а2 - sin q = 0. (16) Теорема 3.1.4. Собственные функции оператора Т0, соответствующиераз-личным собственным числам, ортогональны.

Числа {C»2n}nLi> входящие в (15), находятся из условий нормировки. Теорема 3.1.5. Оператор Т„ с областью определения Dt„ является дискретным в Lj[0,1].

Обозначим через Ltq подпространство Хг2[0,1], элементами которого являются собственные функции спектральной задачи (13), (14).

Замечание 3.1.7. Поскольку все собственные числа ц задачи (13), (14) положительные, то для всех и £ Ьрф, Lr, 6 Ьг[0,1] имеем

(Г0ы,ш) = р{и],ы) > 0.

Следовательно, операторТ„ положительный на Lr,,, а значит он полуограниченный снизу.

Для нахождения приближенных значений первых По собственных чисел {Ai(tj>)}nli задачи (12) методом PC воспользуемся приближенным аналогом нелинейной системы По уравнений (8), которую запишем в виде

ПО

ЕAfcP(í,>) = av{tf), t, >So,p- 1,П0, *=i

ще

Предельные абсолютные погрешности с которыми записаны уравнения в системе (17), находятся по методикам, описанным в пункте 2.5.

Систему уравнепий (17) для нахождения приближенных значений первых п0 собственных чисел {сп(^р)}п=1 спектральной задачи (12) можно записать в виде

ТЛМ = -фрфл + £ (¿ад)4^ы]> (18)

ще ^

не зависят от числа Рейнольдса Rдля любых ПоИ, поэтому их значения можно использовать при вычислении собственных чисел {^(¿р)}^ задачи Орра - Зоммерфельда для различных R. При этом должно выполняться неравенство

(19)

Неравенство (19) позволяет определить количество уравнений в системе (18).

В конце пункта сформулирован алгоритм вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра - Зоммерфельда.

В пункте 3.2 рассмотрена спектральная задача гидродинамической теории устойчивости осесимметрического течения вязкой жидкости в круглой трубе (задача Пуазейля). Разработан алгоритм вычисления собственных чисел спектральной задачи Пуазейля.

В пункте 3.3 рассмотрены вопросы применения метода PC к спектральной задаче гидродинамической теории устойчивости осесимметрического течения вязкой жидкости между двумя концентрическими вращающимися цилиндрами (задача Куэтта). Приведен алгоритм вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Куэтта.

Щт = -Г^, укт = (р^,Шга). Величины (п0)

М)!+ Ь '

Четвертая глава посвящена вычислительным экспериментам по нахождению собственных чисел спектральных задач Орра - Зоммерфельда, Пуазейля и Куэт-та. Все расчеты были выполнены в среде "Maple 6", которая позволяет, переопределив переменную среды Digits, работать с "машинными числами" с большой мантисой длиной до 268435448. Необходимость этого связана с неустойчивостью некоторых алгоритмов, которые были нами использованы. В частности, алгоритм нахождения корней многочлена высокой степени. В среде "Maple 6" был написан пакет программ, позволяющий вычислять собственные числа оператора Т + Р (Т - дискретный, полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Я), используя алгоритмы, основанные на новом методе PC. Текст пакета программ приведен в приложениях.

В пункте 4.1 проведены численные расчеты, связанные с методом PC, и нахождением собственных чисел задачи Орра - Зоммерфельда при некоторых значениях числа Рейнольдса R и волнового числа а.

Для иллюстрации того, что множества собственных чисел спектральных задач (9), (10) и (12) совпадают, вычислялись их первые собственные числа при некоторых значениях числа Рейнольдса R и а = 1, используя метод Бубнова - Галеркина. Приближенные значения собственных чисел (9), (10) обозначим с, а задачи (12) с. Введем две последовательности конечномерных пространств

D$cDa„ D^qDt.

с базисами {¥>Л?=1 и {w«}?=n соответственно, где и, - собственные функции спектральной задачи(13), (14), <р,(у) - 1ц, sin(ç,î/) + b2, cos(q,y) + b3,ey + bl3e~v,

a(cha-co8ç,) asmç, + g,(e~°-cos?,)

ou = —:-:—»2«, Оз¡ =--тт,—:-:—Ñ—"2«

asmq, — ÇjSina 2(asinç, — q, sin a)

awaq, - q^e? -cosç,) , .

64, =--—:-5-;—r^-ht, Q, ~ корни уравнения (16).

2 (a sin q, — q, sin a)

Коэффициенты Ьг, находятся из условий нормировки. Систему функций faj}" i впервые ввел Г. И. Петров8. Тогда приближения по Бубнову - Галеркину спек-

8 Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ. 1940. Т. 4. В. 3. С. 3 -11.

тральной задачи Орра - Зоммерфельда (9), (10) ищутся в виде

Причем, коэффициенты выбираются так, чтобы невязка G0y.бьша ортогональна всем элементам из акоэффициенты выбираются так, чтобы невязка (Т„ + Р0 — /9)/'"' бьша ортогональна всем элементам из

Обозначим через щ размерность пространства DqJ, а через nz - размерность пространства Для нахождения приближенньж значений си с с необходимой точностью, размерность пространств D¡У и D^J все время увеличивалась. Процесс

счета продолжался до тех пор, i max — cl"' I и max — и

1<7<л' 3 3 ' 1<»<п 3 1

больше заданной точности. При помощи переменной среды Digits увеличивалась точность вычислений £j, Ее-

Результаты численных расчетов приведены в табл. 1,2. Они показывают равенство множеств собственных чисел спектральных задач (9), (10) и (12) для данных значений R и а.

Я 3 "с Et Cj. "с Ее êj

1 0,3835-0,1216« 0,3922 - 0,1251« 0,0093

1000 2 3 41 65 0,6166-0,1216« 0,3380 - 0,2964« 41 65 0,6078 — 0,1258« 0,3387-0,2941« 0,0098 0,0024

1 0,0814 - 0,0629« 0,0837 - 0,0608« 0.0031

10000 2 3 45 75 0,8164-0,0629« 0,8299 - 0,1026« 41 75 0,8163 - 0,0608« 0,8304 - 0,1089« 0,0021 0,0063

1 0,0981 - 0,0324« 0,0971-0,0326« 0,0010

40000 2 3 45 7S 0,0487 - 0,0337« 0,1030 - 0,0658« 45 75 0,0491-0,0344« 0,1036 - 0,0652i 0,0008 0,0009-

Таблица 1. Первые три собственных числа задачи Куэтта (и, = 0, ис = вычисленных при а=-\ и различных числах Рейнолъдса для задач (9),(10) и (12).

я } пг «г 3 Пс £с 3 13-51

1 0,4103 - 0,4219: 0,4158 - 0,4294» 0,0093

100 2 3 35 45 0,5768 - 0,83761 0,6131-1,5562» 35 45 0,5790 - 0,8386» 0,6111-1,5517» 0,0022 0,0049

1 0,2422 - 0,1550» 0,2411-0,1510» 0,0042

1000 2 3 51 75 0,7767 - 0,2235» 0,7850 - 0,2296» 51 75 0,7741-0,2227» 0,7829 - 0,2311» 0,0027 0,0026

1 0,1516 - 0,0097» 0,1517 - 0,0091» 0,0006

4000 2 3 61 75 0,8956-0,1161» 0,8874-0,1105» 62 75 0,8882 - 0,1114» 0,8889 - 0,1133» 0,0088 0,0032

Таблица 2. Первые три собственных числа задачи Пуазейля (и, = 1, 1!с = 0), вычисленных при а=1 и различных числах Рейнольдса для задач (9),(10) и (12).

В пункте 2.2 доказана теорема 2.2.1, позволяющая вычислять поправки теории возмущений любого целого порядка Но эти алгоритмы имеют низкую вычислительную эффективность. Поэтому для создания эффективных

во . .

алгоритмов вычисления сумм рядов ("о) в 2.3 был разработан новый ме-

»=1

тод, который прост в численной реализации. Сравним эти методы на примерах задачи Орра - Зоммерфельда. Обозначим 5р(тг0) = ^ ^ ^гаЛ^ о), а

через ¿^(по) и 5р(по), приближенные значен^^чайденые первым методом (теорема 2.2.1) и вторым ( теорема 2.3.2) соответственно.

В табл. 3 и 4 приведены результаты вычислений 5р(по) и ^(по) для плоского течения Куэтта и плоского течения Пуазейля соответственно, при

Я "0 Р 5р(по) 5р(по) \Spino) - 5р(по)|

1 2,5000 - 0,1892» 2,5000 0,0189

2 1,3982-17,47331 1,5725-17,4060» 0,1868

50 5 3 -128,4493 -14,1255» -128,2074- 16,4061» 2,2935

4 -143,1619 + 992,0460» -158,2618 + 987,1761» 15,8658

5 7714,1731 + 1465,3043» 7700,5554 + 1492,7429» 30,6319

1 2,00000 + 0,0287» 2,0000 0,0287

100 4 2 1,53352 - 5,2584» 1,2335 - 5,1584» 0,0355

3 -12,73298 - 4,5588» -12,6330 - 4,7588» 0,0689

4 -15,44513 + 31,8955» -15; 5998 + 31,8971» 0,1546

Таблица 3. Значения Зр(щ) и 5р(по) для задачи Пуазейля.

Я п0 Р 5„(по) 5,(по) \Sp(n0)-Sp(n0)\

1 2,8849 + 0,0198»- 2,8839 0,0198

2 1,9118-21,4958» 1,9734 - 21,5080» 0,0628

50 5 3 -162,080 - 21,5336» -162,0070 - 22,8619i 1,3304

4 -215,2717 + 1256,3154» -229,1901 + 1253,4464» 14,2113

5 9718,7045 + 2172,2163» 9777,6327 + 2196,4840» 63,7296

1 2,2463 + 0,0093» 2,2438 0,0097

100 4 2 1,4680-6,2158» 1,4448 - 6,1892» 0,0354

3 -15,6159 - 6,2290» -15,6879 - 6,3538» 0,1441

4 -22,2070 + 39,2121» -22,0645 + 39,3310» 0,1851

Таблица 4. Значения 5p(no) и 5р(по)\ для задачи Куэтта.

00 . .

Сравнение результатов вычисления частичных сумм числовых рядов £ а^'(по)

к=1

по двум методикам проведено при небольших числах Рейнольдса R. Это связано с тем, что при больших R первая методика неэффективна. Расчеты показывают, что в рамках принятой точности результаты вычислений по двум методикам хорошо согласуются.

Сравним результаты вычисления собственных чисел задачи Орра - Зоммер-фельда, найденные методом PC, с полученными ранее. При этом необходимо учитывать, что при рассмотрении плоского течения Куэтта, большинство авторов считали, что профиль скорости основного течения U(y) имеет вид U(y) = у (—1 < у < 1), и в качестве масштаба скорости они брали полуразность скоростей пластин, а в качестве масштаба длины - половину зазора между ними. Поэтому число Рейнольдса R*, вводимое ими, в четыре раза меньше, чем число Рейнольдса R в нашей работе.

В табл. 5 приведены значения мнимых частей cj и Ci - первых собственных чисел плоской задачи Куэтта, взятые из работы9 и вычисленные методом PC, при и различных числах Рейнольдса R.

В табл. 6 представлены значения первых собственных чисел плоской за-

дачи Куэтта, взятые из той же работы и вычисленные методом PC соответственно, при R. = 10000.

'Штерн В.Н. Устойчивость плоского течения Куэтта. Дисс....канд. физ.-мат. наук. Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР, 1970.

Из таблиц 5 и 6 видно, что в рамках допустимых погрешностей результаты расчетов хорошо согласуются.

Д. -/тс! -1тс1 |/тс* — 1тс[ |

1 9,306 9,656 .0,350

9,85 0,956 1,013 0,057

49,9 0,288 0,359 0,071

60,3 0,312 0,319 0,007

66,3 0,384 0,304 0,080

103 0,286 0,249 0,037

314 0,184 0,149' 0,035

900 0,124 0,104 0,020

3140 0,0786 0,0753 0,0033

8950 0,0542 0,0560 0,0018.

34000 0,0340 0,0378 0,0038

Таблица 5. Сравнение мнимых частей первых собственных чисел плоской задачи Куэтта, при а — \.

Таблица 6. Значения первых собственных чисел С1 и Сх плоской задачи Куэтта, при Н, = 10000.

Результаты вычислений первых собственных чисел плоской задачи Пуазейля так же дают хорошие совпадение с приведенными в работах10.

Отметим, что первые собственные числа задачи Орра - Зоммерфельда, найденные методом PC, сравнивались с результатами вычислений методом Бубнова -Галеркина. Во всех случаях результаты хорошо согласуются.

10Штерн В.Н. Устойчивость и турбулентность параллельных течений вязкой жидкости: Дис...д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР, 1976. Захарчук В.Т. Спектральные задачи а численное исследование устойчивости. Дис...канд. физ.-

Нейман-Заде М.И., Шкаликов А.А. О вычислении собственных значений задачи Орра - Зоммерфельда // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8. № 1. С. 301 - 305.

Рис. 1. Зависимости мнимых частей 1тСп (п = 1,3,5) первых собственных чисел плоской задачи Куэтта от волнового числа а, при Я = 20000

-Im с„

----

___ 3

2 /

1

V \

100 300 800 700 «00 1100 1300 1S00 1700 1900 £ 2100

Рис. 2. Зависимость ImSn (" = М) плоской задачи Пуазейля от числа Рей-ноль дса R, при а = 1

На рис. 1 представлены зависимости мнимых частей собственных чисел Сп (п = 1,3,5) плоской задачи Куэтта от волнового числа а, при R = 20000. Соответствующий номер графика на рисунках определяет номер собственного числа в последовательности {¿¡JJJLj.

На рис. 2 изображены графики зависимости мнимых частей Jmcj, первых трех собственных чисел плоской задачи Пуазейля от числа R, при а = 1.

Проведенные численные эксперименты по нахождению первых собственных чисел плоских задач Куэтта и Пуазейля показали высокую эффективность, разработанного в работе, нового метода.

В пунктах 4.2 и 4.3 проведены численные расчеты, связанные с методом PC и нахождением собственных чисел задач Пуазейля и Куэтта при некоторых значениях числа Рейнольдса R и волнового числа а. Результаты вычислений собственных чисел этих спектральных задач сравнивались с известными результатами и результатами вычислений методом Бубнова - Галеркина. Во всех случаях они совпали с хорошей точностью.

Проведенные численные расчеты показали высокую эффективность, разработанного в диссертации, метода PC.

Основные результаты и выводы

• Разработан новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов. Проведенные численные расчеты показали высокую вычислительную эффективность нового метода.

• Разработан новый метод вычисления сумм числовых рядов поправок теории возмущений дискретных операторов.

• Доказана сходимость числовых рядов поправок теории возмущений целого порядка дискретных операторов.

• На основе алгоритмов метода PC созданы пакеты программ в среде "Maple 6 "для вычисления первых собственных чисел спектральных задач гидродинамической теории устойчивости: Орра - Зоммерфельда, Пуазейля и Куэтта.

• Теоретические результаты, полученные в работе, позволяют получить ряд обобщений метода PC. В частности, на случай рациональных степеней следов.

Благодарности

Автор диссертации выражает искреннюю благодарность академику РАН Виктору Антоновичу Садовничему, консультанту профессору Виктору Филипповичу Кравченко за чуткое руководство, обсуждение научных результатов. Благодарит ректорат и кафедру прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за поддержку и доброе отношение к диссертанту. Особенно автор благодарен безвременно ушедшему из жизни профессору Владимиру Васильевичу Дубровскому .

Работа посвящается светлой памяти профессора Владимира Васильевича Дубровского.

Список публикаций по теме диссертации

[1] Садовничий В.А., Дубровский В В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения между параллельными плоскостями при малых числах Рей-нольдса. // ДАН (России). 1997. Т. 335. № 5. С. 600-604.

[2] Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А Вычисление первых собственных чисел краевой задачи Орра-Зоммерфельда с помощью теории регуляризованных следов // Электромагнитные волны и электронные системы. 1997. Т. 2. № 6. С 13 - 19.

[3] Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий ВА Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора // Электромагнитные волны и электронные системы. 1998. Т. 3. № 2. С 6 - 8.

[4] Садовничий ВА., Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе // Дифференциальные уравнения. 1998. № 1. С. 50-53.

[5] Садовничий В.А., Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Вычисление собственных чисел задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами при небольших числах Рейнольдса // ДАН (России). 1998. Т. 363. № 6. С. 748-750.

[6] Садовничий ВА, Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Первые собственные числа задачи Орра-Зоммерфельда из теории гидродинамической устойчивости // УМН. 1998. Т. 53. В. 4 (322). С. 138.

[7] Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий ВА Вычисление первых собственных чисел задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. № 6. С. 742-746.

[8] Кадченко С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра - Зоммерфельда. // Электромагнитные волны и электронные системы. 2000. Т. 5. № 6. С. 4- 10.

[9] Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий ВА Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда // ДАН (России). 2001. Т. 378. № 4. С.443-446.

[10] Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе // ДАН (России), 2001. Т. 380. № 2. С. 160-163.

[И] Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Новый метод вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической теории устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами // ДАН (России). 2001. Т. 381. № 3. С. 320-324.

[12] Кадченко С.И. Новый метод вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов // Уравнения Соболевского типа: Сб. науч. работ. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. С. 42-59.

[13] Кадченко С.И. Новый метод нахождения собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов // Вестник МаГУ. Математика Магнитогорск: МаГУ, 2003. Вып. 4. С. 48-79.

[14] Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Устойчивость плоского течения гартмана при малых числах Рейнольдса // Фундаментальные и прикладные исследования: Сб. научных трудов преподавателей и аспирантов. Магнитогорск: Магнитогорский гос. пединститут, 1997. С. 3-12.

[15] Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости по круглой трубе // Фундаментальные и прикладные исследования: Сб. научных трудов преподавателей и аспирантов Магнитогорского госпединститута. Магнитогорск: Магнитогорский гос. пединститут, 1998. С. 20-29.

[16] Кадченко С.И. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел задач гидродинамической теории устойчивости // Вестник МаГУ: Периодический научный журнал Магнитогорского государственного университета, Магнитогорск: МаГУ, 2001-2002. С 199 - 207.

[17] Садовничий В А, Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Первые собственные числа задачи Орра-Зоммерфельда из теории гидродинамической устойчивости // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы "(Совместные заседания семинара имени И.Г. Петровского и Московского математического общества, девятнадцатая сессия). М.: МГУ, 1998.

[18] Садовничий ВА, Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Вычисление первых собственных чисел задачи гидродинамической устойчивости течения жидкости в круглой трубе // Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения Л. С Потрягина. М.: МГУ. Математический институт им. ВА Стеклова. УМН, 1998. С. 153.

[19] Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Первые собственные числа для краевой задачи Орра-Зоммерфельда // Проблемы региональной межвузовской научно - практической конференции. Уфа: Уфимский гос. пединститут, 1997. С 45.

[20] Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи об устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе // Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия: Тезисы докладов конференции в рамках форума "Наука, культура и образование России накануне третьего тысячелетия". 10-12 декабря 1997. Челябинск: ЧГПУ, 1997.

[21] В.В. Dubrovskii, Kadchenko S.I., В.В. Kravchenko, V.A. Sadovnichii. Regularized trace theory and calculation of the first eigenvalues of Orr-Somerfield boundary value problem // International conference on operator theory and applications to scientific and industrial problems, Institute of industrial mathematical sciences university of Manitoba. Canada, 1998.

[22] Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Нахождение поправок теории возмущений произвольного порядка // Проблемы физико - математического образования в педагогических вузах на современном этапе: Материалы Всероссийской научно - практической конференции 16-18 марта 1999 г., Магнитогорск: МГПИ, 1999. С. 11-12.

[23] Дубровский В.В., Кадченко С.И. Приближенное вычисление первых собственных чисел задачи гидродинамической устойчивости течения между двумя вращающимися соосными цилиндрами // Проблемы физико - математического образования в педагогических вузах на современном этапе: Материалы Всероссийской научно - практической конференции 16-18 марта 1999 г. Магнитогорск: МГПИ, 1999. С. 72-73.

[24] Дубровский В.В., Кадченко С.И. Новый метод вычисления первых собственных чисел задачи Орра - Зоммерфельда // Проблемы математического образования в педагогических вузах на современном этапе: Материалы научно

- практической конференции 30 - 31 марта 2000 г. Екатеринбург: УШУ, 2000. С. 80.

[25] Кадченко С.И. Новый метод вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Математический институт им. Стеклова, ВГУ, ВГПУ. Суздаль 21-26 августа 2000. С.175-177.

[26] Sadovnichii B.B., Kravchenko B.F., Dubrovskii B.B. The New Method Calculation the Eigenvalues of Spectral Problem Orra-Sommerefelds // Second International Conference "Modern Trends in Computational Physics". Joint Institute for Nuclear Research. Laboratory of Computing Techniques and Automation. July 24-29. 2000. Dubna, Russia. S. 141.

[27j Дубровский В.В., Кадченко С.И. О вычислении поправок теории возмущений дискретного оператора // Проблемы математического образования в педагогических вузах на современном этапе: Материалы научно - практической конференции 26-27 марта 2001 г. Челябинск: ЧГПУ, 2001.

[28] Кадченко С.И. О вычислении сумм рядов Релея-Шредингера для дискретных несамосопряженных операторов // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели: Тез. докл. междунар. науч. конф. 4-8 февраля 2002 г. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. С. 24.

[29] Кадченко С.И. Вычисление сумм рядов Релея - Шредингера дискретных несамосопряженных операторов // Колмогоров и современная математика: Тез. докл. междунар. конф. 16 - 21 июня 2003 г. Москва: МГУ, 2003. С. 302.

»11464

Регистрационный № 0363 от 2.04.2001 г. Подписано в печать 7.05.04 г. Формат 60x84 1/16. Бумага тип. № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 120 экз. Заказ 225. Бесплатно.

Издательство Магнитогорского государственного университета 455038, Магнитогорск, пр. Ленина, 114 Типография МаГУ

Введение.

Глава 1. Дискретные операторы. Регуляризованные следы операторов.

1.1. Спектр оператора. Самосопряженные и ядерные операторы.

1.2. Следы дискретных операторов.

Глава 2. Теоретическое обоснование нового метода нахождения первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов.

2.1. Регуляризованные следы дискретных операторов целого порядка. Числовые ряды поправок теории возмущений.

2.2. Вычисление поправок теории возмущений самосопряженных операторов.

2.3. Новый метод вычисление сумм числовых рядов поправок теории возмущений дискретных операторов.

2.4. Составление характеристического многочлена векового определителя для приближенных значений первых собственных чисел дискретных операторов.

2.5. Нахождение предельных абсолютных погрешностей вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов.

2.6. Алгоритм вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов

Глава 3. Алгоритмы нахождения собственных чисел спектральных задач гидродинамической теории устойчивости методом регуляризованных следов.

3.1. Спектральная задача Орра- Зоммерфельда.

3.2. Спектральная задача Пуазейля.

3.3. Спектральная задача Куэтта.

Глава 4. Численные эксперименты.

4.1. Вычисление собственных чисел спектральной задачи Орра -Зоммерфельда методом регуляризованных следов.

4.2. Вычисление собственных чисел спектральной задачи Пуазейля методом регуляризованных следов.

4.3. Вычисление собственных чисел спектральной задачи Куэтта методом регуляризованных следов.

Постановка задачи. Рассмотрим дискретный, полуограниченный оператор Т и ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть {^п}п=1 ~ собственные числа оператора Т , занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а - его ортонормированные собственные функции, соответствующие этим собственным числам. Допустим, что {(3n}^Li -собственные числа оператора Т+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Обозначим dn = — п £ N. Если для натурального числа so оператор [РДТ)]80 является ядерным и для некоторого натурального

2||Р|| числа по выполняется неравенство —— < 1, то по собственных чисел н0

Pn}n=i оператора Т+Р являются решениями системы щ нелинейных уравнений

ПО По 00 я=EfJ+£«?(»<>), v=w (о.1) к=1 к=1 fc=l п (~1)к+1р Г 1*

Здесь сц^щ) = —-———Sp f iip~x PR^T) dfi -поправки теории лт къ rp l . по rn р Г» rj-i /^П0+1 /^П0 возмущении оператора 1 + Р, 1По - круг радиуса рПо =---— с центром в начале координат комплексной плоскости, РДТ) - резольвента оператора Т. Правые части уравнений (0.1) явно выражаются через характеристики невозмущенной задачи и возмущающего оператора Р, а поправки теории возмущений оРк{щ) вычисляются с помощью теории вычетов.

Система уравнений (0.1) позволяет разработать новый численный метод нахождения собственных чисел дискретных операторов. Идея метода впервые была высказана В. А. Садовничим и В. В. Дубровским в работе [110] и состоит в следующем. Составим систему нелинейных уравнений (0.1) относительно щ первых собственных чисел {/Зп}™^

По оператора Т + Р и выразим симметрические многочлены Р = к=1 l,7io от по переменных через правые части системы уравнений (0.1).

Используя теорему Виета, получим многочлен степени по со старшим коэффициентом, равным единице (остальные коэффициенты могут быть найдены со сколь угодно большой точностью по формулам Ньютона), корнями которого будут первые щ собственные числа {^n}n=i оператора Т + Р. Известно, что комплексные корни многочлена со старшим коэффициентом, равным единице, непрерывно зависят от его коэффициентов. Поэтому, решая приближенно подходящим способом это уравнение, можно найти его корни {(Зп}™°i с какой угодно большой точностью. Предельные абсолютные погрешности первых собственных чисел оператора Т + Р будут зависить от того, как точно вычислены оо суммы числовых рядов (щ) поправок теории возмущения опек=1 ратора Т + Р.

Чтобы этот метод можно было применять для численных расчетов необходимо:

1. Разработать эффективные алгоритмы вычисления поправок теории возмущений о) и числовых рядов Релея - Шредингера Е к=1

2. Создать методики оценок сходимости метода и нахождения предельных абсолютных погрешностей вычисления первых собственных чисел оператора Т + Р.

3. Рассмотреть примеры его применения к различным спектральным задачам.

Как известно, процесс математического моделирования состоит из трех основных этапов: создания математической модели, разработки на ее основе алгоритмов вычислений и написания пакетов программ, позволяющих проводить на ЭВМ численные эксперименты. В диссертации разработан новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов, который лежит в основе математических моделей, позволяющих находить собственные числа спектральных задач для широкого класса операторов. Для проверки метода созданы алгоритмы нахождения приближенных значений собственных чисел классических задач гидродинамической теории устойчивости Орра-Зоммерфельда, Пуазейля и Куэтта. Написаны пакеты программ в среде "Maple б", использованные в численных расчетах. При сравнении метода с известными, показана его высокая эффективность, особенно в случае, когда заранее известны следы дискретных операторов необходимого порядка.

Обоснование интереса к проблеме. С момента получения формул регуляризованных следов порядка а € R где Ап - собственные числа дифференциального оператора А, Аа(п) -известные числа, обеспечивающие сходимость числовых рядов, Ва - явно вычисляемые через характеристики дифференциального оператора числа, были предприняты попытки применить их для приближенного вычисления первых собственных чисел оператора А. В самом деле, оо

0.2) п=1 формулы (0.2) могут быть использованы для написания алгебраической системы уравнений

По

ЕХп = Р = М*, tp G N, (0.3)

71—1 связывающей приближенные значения {Ап}^1 первых щ собственных чисел {Агс}^ оператора А. Правые части уравнений (0.3) содержат tp частичные суммы сходящихся числовых рядов и определены в случае общих дифференциальных выражений и общих граничных условий с точностью до O(n0 r+tp lnr+1 гго), где г - целое число больше по, получаемое из асимптотики Ап, щ = qr + к, к, - дефект регуляризации [110]. Величины O(n0r+tp lnr+1 по) плохо поддаются оценкам и могут сильно расти при по —оо.

В некоторых случаях из нелинейной системы (0.2) были найдены приближенные значения первых собственных чисел {А^}™^ дифференциальных операторов и точность оказалась удовлетворительной, но этот факт нельзя принимать за обоснование такого метода вычислений приближенных значений первых собственных чисел, поскольку оценки величин O(n0r+tp lnr+1 по) не проводились, а остатки сходящихся числовых рядов отбрасывались. Кроме того, универсального алгоритма вычисления правых частей (0.3) для широкого класса операторов пока не существует. Известные методы нахождения B^itp) применяются либо только к спектральным задачам Штурма - Лиувилля и требуют знание асимптотики собственных чисел [111], либо требуют знание повторных функций Грина спектральных задач для операторов с ядерными резольвентами, нахождение которых представляет во многих случаях сложные математические задачи [21].

Поэтому возникла необходимость: 1) обосновать предлагаемый метод приближенного вычисления первых собственных чисел дискретных операторов, основанного на использовании уравнений (0.3), получаемых из формул регуляризованных следов (0.2) целого порядка; 2) создать эффективные алгоритмы вычисления правых частей (0.3); 3) разработать методики оценок сходимости метода и нахождения предельных абсолютных погрешностей, с которыми вычислены первые собственные числа оператора Т + Р.

В дальнейшем указанный метод будем называть методом регуляризованных следов или методом PC .

Историография вопроса. Спектральная теория операторов впервые возникла в процессе описания малых колебаний механических систем [68]. Изучение колебаний струны приводит к простейшей спектральной задаче о собственных числах для дифференциального оператора. В случае неоднородной струны надо рассматривать задачу Штурма - Лиувилля для дифференциального оператора с переменными коэффициентами, решение которой нельзя получить в явном виде. В связи с этим возникает потребность в качественном или асимптотическом ее решении [156]. При рассмотрении колебаний мембран или трехмерных упругих тел возникают спектральные задачи для многомерных дифференциальных операторов. К задачам на собственные числа операторов приходят в исследованиях по теории упругости в гидродинамике, квантовой механике, и др.

Работы Г. Вейля и Э.Ч. Титчмарша дали толчок для появления большого количества статей, связанных с исследованием распределения собственных чисел многомерных дифференциальных операторов, имеющих дискретный спектр. Методы, используемые для вычисления асимптотики спектра, можно разделить на две группы: вариационные, восходящие к работам Г. Вейля [173] и Р. Куранта [71] и тауберовы, родоначальником которых следует считать Т. Карлемана [160]. Преимущество вариационных методов в том, что они слабо чувствительны к гладкости коэффициентов операторов и границам областей, но они не дают (по крайней мере, к настоящему времени) достаточно точных оценок асимптотики собственных чисел. В последствии вариационные методы были существенно развиты М.Ш. Бирманом и его учениками. Тауберовые методы подразделяются на: метод гиперболического уравнения, параболического уравнения и резольвентный метод. Резольвентный метод впервые был предложен Т. Карлеманом [160], метод гиперболического уравнения - В.Г Авакумовичем в [159] и Б.М. Левитаном в [73], а метод параболического уравнения - С. Манак-шисундарамом и А. Плейелем [169]. Промежуточное положение между вариационными и тауберовыми методами занимает появившийся сравнительно недавно метод приближенного спектрального проектора, предложенный В.А. Туловским в [144] и М.А. Шубиным в [157]. Достаточно полный обзор научной литературы по различным вопросам спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных дан в работе [109].

Обозначим через N(А) число собственных чисел оператора А, не превосходящих А, с учетом их кратности. Исследованию асимптотического поведения N(А) при А —+оо посвящено большое количество научных работ. Г. Вейль в статье [174] получил, без оценки остаточного члена, главный член асимптотики где т - порядок оператора А, п - размерность многообразия М, на котором действует оператор А. Здесь же была высказана гипотеза о существовании второго члена асимптотики N(А), связанного с граничными условиями, если оператор А задан на многообразии с краем. JL Хёрмандер [166] показал следующие: если А положительный самосопряженный эллиптический оператор, заданный на компактном многообразии без края, то при Л —> +оо где а,Ь - константы, то говорят, что функция N(А) имеет вейлевскую асимптотику [17]. В случае

N{ А) = а\п/т + ЬХ{п~1)/т + Q(A)A(n~1)/m + о(л("-1)/т), (0.6) где а,Ь - константы, a Q(Л) - ограниченная, равномерно непрерывная на R1 функция, говорят, что функция iV(Л) имеет квазивейлевскую асимптотику . Если существует константа с > 0, арифметическая прогрессия {wjfc}^ и сходящаяся к нулю последовательность положительных чисел {^fc}^! таких, что

N{ Л) ~ а\п/т

0.4)

Если при Л —+оо

0.5)

0.7) то говорят, что функция N(А) имеет кластерную асимптотику . Вейлевская асимптотика является частным случаем квазивейлевской. Наличие кластеров исключает (0.5).

Когда функция N{А) имеет кластерную асимптотику (0.7), невозможно улучшить остаточный член в (0.4), более того, невозможно даже выделение из остаточного члена второго члена асимптотики. Поскольку дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра, по сути, невозможно, надо перейти к исследованию более "тонкой" структуры спектра. Стандартным инструментом такого исследования является получение формул регуляризованных следов (0.2) оператора [109].

Первая формула такого вида для оператора Штурма - Лиувилля

-и" + р(х)и = An, и(0) = и(тг) = 0 (0.8) была получена в статье [15] И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном. Наиболее общие результаты для обыкновенных дифференциальных операторов были получены В.Б. Лидским и В.А. Садовничим в [74], где установлено, что вывод формул вида (0.2) для широкого класса краевых задач сводится к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой. Работа [15] дала толчок в исследовании разнообразных обобщений. В статьях [3], [14], [22], [23], [112], [165] можно наблюдать развиватие абстрактного направления этой ветви спектрального анализа. Сильный результат для конечномерных возмущений получен в [115], где были охвачены некоторые классы неограниченных возмущений. Наиболее интенсивно в этом направлении работают В.А. Садовничий и его ученики [1], [5],

8], [11], [25]-[50], [77], [78], [80], [94]-[101], [102], [105], [106], [114]-[127], [142], Муртазин Х.Х [2], [87]-[89], [146], Хасанов А.В. [151]. Заслуживает внимания работа П. Лакса [168], в которой, правда без строгих доказательств, предложен оригинальный метод вычисления следов, основанный на известном по его работам в теории обратных задач методе дифференцирования семейства операторов по внешнему параметру. В работе [161] получен регуляризованный след для неядерного интегрального оператора.

В статьях Садовничего В.А., Дубровского В.В. и других [51]-[60], [128]-[130] рассматриваются вопросы связанные с обратными задачами спектрального анализа.

Актуальность темы диссертации. В 1952 году А.А. Дородницын в статье [21] рассмотрел задачу, связанную с равенствами: где Gp(x, х) - р - повторные функции Грина оператора. Используя то, что ряды справа абсолютно сходятся, и их остатки можно оценить для конечного набора значений Ап от этих равенств, можно перейти к приближенным равенствам, которые содержат справа конечные суммы. Решив полученную систему, можно вычислить первые собственные числа. Принципиальным недостатком этого метода является то, что в общем случае числа слева в (0.9) не выражаются в конечном виде через характеристики оператора, и явного алгоритма их вычисления нет. Кроме того, в работе [21] не дано теоретического обоснования метода и нет оценок, позволяющих судить о точности вычисления первых

0.9) собственных чисел оператора. В последствии В.А. Садовничий, В.В. Дубровский и Е.М. Малеко в работах [61], [80]-[82], [131] обосновали метод вычисления первых собственных чисел дифференциальных операторов с ядерной резольвентой, предложенный А.А. Дородницыным, и построили алгоритм вычисления первых характеристических чисел симметричных интегральных уравнений. Однако, их исследования относятся к так называемому "одномерному" случаю. "Многомерный" случай (в частности, приложений к дифференциальным операторам в частных производных) нуждается в дальнейших исследованиях.

В 1957 году J1.A. Дикий в статье [19] предложил способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма - Лиувилля. Идея способа состояла в следующем: пусть {Anj-^Lj - собственные числа оператора Штурма - Лиувилля (0.8). Как известно, собственные числа больших номеров допускают асимптотическое разложение + + ^ + + (0.10) пг п4 пь

Допустим, что нам известны регуляризованные следы оператора Штурма - Лиувилля (0.8) всех целых порядков, то есть, известны правые части уравнений (0.2), где под Ар(п) понимается начальный отрезок асимптотического разложения (0.10), обеспечивающий сходимость ряда (0.2). Коэффициенты асимптотического разложения (0.10) выражаются в конечном виде через граничные условия (0.8) и потенциал р(х). Числа Вр, входящие в формулы (0.2), так же вычисляются в конечном виде [20]. И.М. Гельфанд и Л.А. Дикий предположили, что для любого > 0 найдется такое число no G Я, что

По

J2 [as - Ар(п)

Вр £, V = 1,П0 п=1 и при этом решения системы по алгебраических уравнений

По pg - Ар(п)] - B^\tp) = О, Р = w (0.11)

71—1 приближают по первые собственные числа {А^}™^ спектральной задачи [20]. Преимущества этого способа, по сравнению с методом Дородницына, в том, что числа Ар{п) и B^ftp) в системе (0.11) выражаются в конечном виде через характеристики оператора. Но в работе [19] не дано теоретическое обоснование этого способа, а лишь приводится пример вычисления первых трех собственных чисел уравнения Матье с хорошей точностью. Впоследствии С.А. Шкарин в статье [152] показал, что этот метод в таком виде применяться не может, так как система (0.11) имеет бесконечно много решений, причем, существуют решения с любым наперед заданным конечным набором {Ап}"!^. Метод будет давать при разном выборе по и отрезка асимптотики Ап случайные числа, не связанные с собственными числами исходного оператора.

В работе В.А. Садовничего и В.Е. Подольского [111] впервые сделано теоретическое обоснование вычисления первых собственных чисел оператора Штурма - Лиувилля, основанное на системе, составленной из регуляризованных следов оператора (0.11). Они ввели следующий класс операторов Штурма - Лиувилля: оператор

-у" + q(x)y = \у, (0.12)

0) - МО) = 0, у'(тг) - Яу(тг) - 0 (0.13)

14 принадлежит классу S, если решение задачи Коши ip(О, Л) = 1, <р'(0,А) = h имеет при |А| —> оо асимптотическое разложение лч / /т \ 7 / Ssin(y/Xx) . , ,cos(V\x) ф, А) ~ cos(v Аж) + кг(х)—+ к2(х)—Ц-- + . +

V А А ,sin(\/A^) 7 , чсов(л/Аж) fe-W—^ + • • • такое, что лишь конечное число коэффициентов kj(x) отлично от нуля на отрезке [0,7г]. Было показано, что класс операторов S плотен в множестве операторов Штурма - Лиувилля с потенциалом из ^2[0,7г]. Если {Ап}^0 - спектр некоторого оператора из класса S и оо вр

Г [А? - Ар(п) п=О является полной системой регуляризованных следов оператора, то эта система однозначно определяет спектр {Ап}^0. В этом случае для любого положительного е существуют натуральные числа N я К такие, что если использовать в Ар(п), р = 1, К, первые N членов асимптотического разложения А^ по степеням р, то будут верны неравенства п к

Е [хп - М") Вр е, р=1:К. п—0

Эти утверждения позволяют говорит о том, что произвольный оператор Штурма - Лиувилля приближается (в операторной форме) с заданной точностью оператором из класса S. Из принципа максимума следует: если норма разности операторов меньше е, то и модуль разности собственных чисел этих операторов с одинаковыми номерами не превосходит е. Поэтому для оператора класса S собственные числа находятся из системы регуляризованных следов с любой заданной наперед точностью. Параметры N и К можно выразить через е, норму р(гс), h, Н и для любого оператора Штурма - Лиувилля можно построить приближающий его оператор класса S.

Различные результаты в теории следов были получены методами теории возмущений дискретных операторов, отраженные в работах М.Г. Крейна, В.А. Садовничего, В.А. Любишкина, В.В. Дубровского [70], [110], [113], [120], [121], [132], [133].

Л.Л. Фадеевым и B.C. Буслаевым [9], [10], [145] получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром. С.

Хальберг, В. Крамер, Р. Гильберт [163], [164], [165] для случая, когда

00 ряд {Вфп-, <Рп) сходится, получили формулу п=1 оо оо п - А^гг) = </>„)■ п= 1 п—1

Здесь {/in}^! - собственные числа с учетом кратности самосопряженного ограниченного снизу оператора А, действующего в гильбертовом пространстве Н} занумерованные в порядке возрастания их величин, а {</?nK£Li соответствующие им ортонормированные собственные функции, {Ап}^! - собственные числа с учетом кратности самосопряженного ограниченного снизу оператора С. Причем А и С имеют одинаковую область определения Da и В = С — А.

В 1994 году В.А. Садовничий и В.В. Дубровский [110] получили оценки поправок теории возмущений а^(по) дискретного полуограниченного снизу оператора Т

1Р,Ы1 < |&ma*||(^(T))'',|| ||Р||* к > а», (0.14) ть о в случае, когда существует такое натуральное число so, что оператор jT — fiE)-1^ является ядерным. Здесь R^{T) - резольвента опе

2\\Р\\ ратора Т. Это позволило при —— < 1 и условии ограниченности по оператора Р записать нелинейные уравнения п0 По tp Ol I Dl I * -Ul

Е я ■= Е А+Е •«Г ы+о ((в1, (0.15) к=1 к=1 к=1 п° tp > «0, Р = 1, для нахождения первых по собственных чисел оператора Т +

Р. При этом было показано, что ряды поправок теории возмущений оо о^(^о) сходятся, а о^(по) явно вычисляются через характеристики к=1 операторов Т и Р с помощью теории вычетов.

Таким образом, в работе [110] впервые были сформулированы идеи нового метода приближенного вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов (метода PC). В отличие от выше рассмотренных методов, он основывается на формулах, в которые входят конечные суммы целых степеней первых собственных чисел операторов Т + Р и Т. Кроме того, так как поправки теории возмущений а^\по) вычисляются для большого класса операторов, область применения этого метода гораздо шире, чем других известных методов. Замечательным обстоятельством является применение этого метода для нахождения собственных чисел дифференциальных операторов в частных производных.

Теоретическому обоснованию метода PC и разработки методики его применения к некоторых задачам гидродинамической теории устойчивости и посвящена данная диссертация.

В.В. Дубровский и В.В. Распопов в работах [62], [103], [104], [105] опираясь на результаты исследований С.И. Кадченко [182], [186], [187], обобщили их на случай полу целых регуляризованных следов.

Хотелось бы отметить, что с краевыми задачами теории гидродинамики вязкоупругих сред тесно связаны работы Г.А. Свиридюка и его учеников [139]-[141]. В области построения конечномерных редукций для гладких экстремальных задач интенсивно работает Ю.И. Сапронов [137], [138].

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие основные результаты:

1. Теоретически обоснован новый метод PC, позволяющий строить алгоритмы вычисления первых собственных чисел дискретного оператора Т + Р с необходимой точностью.

2. В отличие от известных численных методов нахождения собственных чисел несамосопряженных операторов, метод PC не является итерационным.

3. Применение метода PC не требует положительной определенности оператора Т + Р.

4. Найдены оценки поправок теории возмущений а^\по) дискретных операторов.

5. Доказана сходимость числовых рядов поправок теории возмущений целого порядка оператора Т + Р.

6. Получены оценки tp остатков £^\по) числовых рядов Yl о)

Р к=1 дискретного оператора Т + Р.

7. Получены явные формулы первых четырех поправок теории возмущений а^ (по) (к = 1,4, р G N) дискретных операторов.

8. Разработаны алгоритмы вычисления поправок теории возмуще \ ний (ц (по) дискретных операторов для любых к:р £ N.

9. Разработаны алгоритмы вычисления сумм числовых рядов поправок теории возмущений оператора Т + Р, позволяющие находить предельные абсолютные погрешности, с которыми они найдены.

10. Разработаны алгоритмы вычисления собственных чисел дискретных операторов с оценкой предельных абсолютных погрешностей, с которыми они находятся, методом PC.

11. На основе алгоритмов метода PC созданы пакеты программ в среде "Maple 6", позволяющие вычислять первые собственные числа спектральных задач гидродинамической теории устойчивости Орра -Зоммерфельда, Пуазейля и Куэтта.

Теоретическая и практическая значимость. Разработка алгоритма, в основе которого лежит новый метод нахождения собственных чисел несамосопряженных операторов, имеет большой научный интерес, так как с его помощью расширяются возможности в решении спектральных и краевых задач.

Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях в спектральной теории операторов и при разработке некоторых модификаций метода PC, которые основываются на регу-ляризованных следах дискретных операторов рациональных степеней. Они могут найти применение в исследованиях, проводимых в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, в математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, в математическом институте им. C.JI. Соболева, во Владимирском государственном педагогическом университете, в Воронежском государственном университете, в Челябинском государственном университете, в Башкирском государственном университете в Магнитогорском государственном университете. Кроме того, результаты диссертации можно использовать в теории возмущений линейных операторов и вычислительной математике, а также при составлении пакетов программ, вычисляющих собственные числа задач, порожденных линейными дифференциальными и интегральными операторами.

Методы исследования. Для решения поставленных выше задач использовались методы функционального анализа, спектрального анализа линейных операторов, теории возмущений и вычислительной математики. Основными методами в работе являются методы, разработанные В.А. Садовничим и его учениками: В.А. Любишкиным и В.В. Дубровским. При составлении пакетов программ в среде "Maple 6" использовались подпрограммы, составленные диссертантом на основе известных алгоритмов вычислительной математики.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 29 работ [175] - [203] совместно с В.А. Садовничим, В.В. Дубровским и В.Ф. Кравченко, которым принадлежит постановка задач. Доказательство лемм, теорем, составление пакета программ и численные расчеты выполнены диссертантом.

Все результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором и докладывались:

• на конференции им. М.Г. Крейна "Теория операторов и их приложения" (Украина, г. Одесса, 1997 г.);

• на Международной конференции, посвященной девяностолетию со дня рождения JI.C. Потрягина (г. Москва, МГУ, 1998 г.);

• на восьмой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, СГТУ, 1998 г.);

• на Международной конференции по теории операторов и их приложениям к научным и индустриальным проблемам (Канада, г. Виннипег, 1998 г.);

• на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г. Москва, МГУ, 1998 г.);

• на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, ВГПУ, 2000 г.);

• на конференции "Modern Trends in Computational Physics" (г. Дубна, Объединенный институт ядерных исследований, 2000 г.);

• на Международной конференции "Differential Equations and Related Topics", посвященной столетию со дня рождения И.Г. Петровского (г. Москва, МГУ, 2001 г.);

• на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели"(г. Челябинск, ЧелГУ, 2002 г.);

• на Международной конференции "Колмогоров и современная математика" (г. Москва, МГУ, 2003 г.).

Результаты работы обсуждались на научных семинарах академика РАН России В. А. Садовничего, профессора В. Б. Лидского, профессора В. В. Дубровского, профессора Г. А. Свиридюка.

Работа диссертанта была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант РФФИ № 00-01-0777, 1999-2002 г.).

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, сформулированы цели, задачи и научная новизна диссертации. Кратко излагается содержание работы.

В первой главе рассмотрены известные факты из спектральной теории линейных операторов, которые используются в диссертации.

Вторая глава посвящена теоретическому обоснованию метода PC.

В пункте 2.1 получены оценки поправок теории возмущений, используя которые доказывается сходимость числовых рядов и оцениваются их остатки. Доказана теорема, позволяющая вычислять следы дискретных операторов.

Рассмотрим дискретный, полуограниченный снизу оператор Т и ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть {цп}™=1 - собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а {w„}~=1 - соответствующие им ортонормированные собственные функции. Допустим, что {(Зп}™=1 - собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности.

Теорема 2.1.1. Пусть Т - дискретный полу ограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если для натурального числа sq оператор [ЛДТ)]50 является ядерным и для некоторого натурально

2||р|| го числа щ выполняется неравенство —— < 1, то щ собственных чисел {/Зп}^! оператора Т+Р являются решениями системы щ нелинейных уравнений

По По tp

Е^Е^ + Е^'Ы+^'Ы, p = hm. к= 1 k=1 к=1 Здесь 4р)(п0) = ^r-Sp f jjPRfj,(T) [РЯ^(Т)1 т dfi -поправки теории ) 00 м возмущений оператора Т + Р, е^ ' = Y1 ак (по)> ТПо - круг радиk=tp+1

Мп0+1 + fino\ уса рщ = --- с центром в начале координат комплексной плоскости, Яц(Т) - резольвента оператора Т, dno = \fino+i — Мп01

Показано, что поправки теории возмущений а^(по) оператора Т + Р можно вычислять по формулам &»,„ ч (~l)t+1P. ai dfi. т

Лемма 2.1.1. Если Т дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, то оператор f цр~1 РРДТ) dfi не rp L более чем п$к - мерен.

Теорема 2.1.2. Пусть Т - дискретный полу ограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если для некоторого натурального числа «о оператор [P^(T)]S° является ядерным и для натураль

2||Р|| ного числа щ выполняется неравенство —— < 1, то для поправок dn0 теории возмущений а^ (щ) оператора Т + Р справедливы оценки a^(n0)\<n0Pffnoq\ Vk,p 6 N. 23

Теорема 2.1.3. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепара-белъном гильбертовом пространстве Н. Если для sq £ N оператор

Rfj,(T)]s° является ядерным и для щ £ N выполняется неравенство

211РИ -1 Л ^ (р), N 1, то числовые ряоы \по) поправок теории возмуще

----------^----- ^ лк по к=1 ний оператора Т + Р абсолютно сходятся.

Теорема 2.1.4. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабель-ном гильбертовом пространстве Н. Если для некоторого натурального числа so оператор [РДТ)]*0 является ядерным и для некоторого

2||Р|| натурального числа щ выполняется неравенство —:— < 1, то для dno ) 00 с ) tp остатков е^ (по) числовых рядов (по) поправок теории возр к=1 мущений оператора Т + Р справедливы оценки е^(по)| < pnQ*Р ~ s°' Ур е N■

При разработке алгоритма нахождения приближенных значений первых собственных чисел оператора Т + Р необходимо знать оо суммы числовых рядов а^(по) поправок теории возмущений опеk=1 ратора Т + Р, которые можно вычислить для многих спектральных задач только численно. При этом предельные абсолютные погрешно

00 сти вычислений ^ а^* (щ) можно оценить, используя теорему 2.1.4. fc=i

В пункте 2.2 разработан алгоритм вычисления поправок теории возмущений и впервые приведены аналитические формулы первых четырех поправок. Получены оценки действительных и мнимых частей ряоо . . дов (щ) дискретного оператора Т + Р в случае, когда оператор к=1 Р мнимый.

Теорема 2.2.1. Пусть Т - дискретный полу ограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабель-ном гильбертовом пространстве Н. Тогда поправки теории возмущений (2.1.11) оператора Т + Р, для любыхк,р,щ е N, вычисляются по формулам: i Л к4-1 По 00 к (П^)-(^-), т=1 rn+1, т < к, где Vij = (Puji,L)j), s =

1, т = к IJT1 res(^

П ~ Nm) m=1

0, jm фп, Vm= 1, fc, = I 1 d'-1 ( M"-1 \

Г! (M - Mi™)

7Tl=l

71 5

I - число совпадений jm = n для любых m = l,k, u {^nl^Li собственные числа и соответствующие им ортонормированные собственные функции оператора Т.

Надо отметить, что по мере возрастания порядка к поправок теории возмущений вычислительная эффективность СЕ алгоритма их нахождения, которую можно определить по формуле СЕ — — (е et

- ошибка приближенного решения, at - время исполнения алгоритма) [148], резко уменьшается. Это связанно с тем, что формулы по которым вычисляются ctjf* (щ) содержат к -мерные числовые ряды и производные до А; — 1 порядка включительно. Поэтому возникла необходимость оо создать новый метод вычисления сумм ^ а^\по). к-1

В пункте 2.3 разработан новый метод вычисления сумм числовых рядов сц!(по) поправок теории возмущений дискретных операто-к—\ ров, позволяющий строить эффективные численные алгоритмы.

Теорема 2.3.1. Пусть Т - дискретный полу ограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабель-ном гильбертовом пространстве Н. Если оператор Т + Р положительно определенный в Н и система координатных функций {^aJ^Li является базисом Н, тогда метод Бубнова -Галеркина в применении к задаче об отыскании собственных чисел спектральной задачи

Т + Р)<р = fa построенный на этой системе функций, сходится.

Теорема 2.3.2. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабель-ном гильбертовом пространстве Н. Допустим, что система собственных функций {а;^}^! оператора Т является базисом Н. Если для некоторого sq Е N оператор является ядерным и для

2\\Р\\ некоторого щ Е N выполняется неравенство —— < 1, тогда dпо

ОО По р—1 4Р)Ы = ££ c™n?v*r+ k=1 k=1 m=О n0 p Y, П а3е]т + <*рЫ, jlr.,jp = l S=1 n Ш=0 n=l h tl+l l^i (no) | < o) +noPn——, tx E N, k=2 У tp no P~ 2 iyno)i < IE «Ты - £ (£ c7^lvhh + k=2 ii=l m=0 р = 2, no, tp 6 iV.

J2v,jp = l S=1 i> п оп}=0

Здесь 8р(п0) = £ 5ар(п0), <Мп0) = - /3£(гс0), {Pk}kLi - собственна ные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности, ~ приближенные значения по Бубнову - Галерки-ну соответствующих собственных чисел {Pkj'kLi оператора Т + Р, акт = Hk&km + Vkm, Vkm = (Puk,um), {/*fc}£Li ~ собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а {и^}]^ - его ортонормир о ванные собственные функции, соответствующие этим собственным числам, рПо =

В пункте 2.4 описан алгоритм, который позволяет из системы нелинейных уравнений (0.1) получить многочлен степени щ, корнями которого являются первые собственные числа {Рп}п°= i оператора Т -+- Р-Обозначим через s^p{tp) приближенные значения правых частей уравнений (0.1), а через 5$р предельные абсолютные погрешности, с которыми найдены правые части уравнений (0.1). Тогда приближенный аналог нелинейной системы щ уравнений (0.1) для нахождения приближенных значений собственных чисел {Pkitp)}7^^ дискретного оператора Т + Р запишем в виде k=1

Используя теорию симметрических многочленов, задача нахождения

0.17) корней системы уравнений (0.17) сводится к задаче нахождения корней многочлена щ степени f(P(tp)) = (шТ + н1(д(Д(д)П0"1+ чпо-2 ~ (0.18) a2(tp\\J3(tp)j + . + ano-.i(tp)(3(tp) + ano(tp), коэффициенты которого находятся по рекуррентным формулам к-1 ak(tP) = (-1 fMtp) = - £ [s*(*p) + ^(-l)mSk-m(tP)5?m(*p)] • (°Л9)

771=1

Это позволяет построить эффективный алгоритм нахождения коэффициентов многочлена f(j3(tp

В пункте 2.5 разработан алгоритм, позволяющий оценить предельные абсолютные погрешности, с которыми находятся собственные числа {Мп=1 оператора Т + Р.

Приближенные значения первых щ собственных чисел {^(tp)}^^ оператора Т + Р являются корнями многочлена (0.18), коэффициенты которого вычисляются приближенно по формулам (0.19), используя значения sp(tp). При численной реализации метода надо знать предельные абсолютные погрешности, с которыми находятся собственные числа {Mtp)}k=v \

Если вычислять tp первых поправок теории возмущений (я<о)> используя теорему 2.2.1, тогда числа sp(tp), входящие в уравнения (0.17), находятся по формулам

Пр tP

Sp{tp) = $ + a<k\no)^ P = V^O, tp G N, k=1 k=1 а предельные абсолютные погрешности Sjp, с которыми записаны правые части уравнений (0.17), равны

Используя лемму 2.1.4, имеем qtp+1 hp < РЩP^oJZr^' р = 1'п°' е N

Если для нахождения при tp —У оо использовать методику вычисления сумм числовых рядов поправок теории возмущений

00 ак \по) описанную в пункте 2.3, тогда оценки предельных абсолют-к=1 ных погрешностей Sjp, с которыми записаны правые части уравнений (0.17), определяются теоремой 2.3.1 h (1) Qh+1 |<Чпо)1 < Е ак (по) + щрПо-л-, h е N, к=2 1 Я

Ь, = |<5р(«о) | < I Е а«(тю) - Е ( Е +

1 fc=2 ji = l vm=0 о P \ I E П a3.3r) + -, P = 2, n0, tp E iV. j2,.,iP=i s=i / I 1 - Q

П {in}=0

71—1

Обозначим через <5afc предельную абсолютную погрешность, с которой найден к - тый коэффициент a,k(tp) многочлена (0.18), а через предельную абсолютную погрешность, с которой вычислена величина

0k(tp), к = 1 ,n0, tp Е N. Тогда ак = к = 1 ,п0, а предельные абсолютные погрешности 5ak, с которыми найдены коэффициенты многочлена определяются по формулам fc-i + XI [l^Wfe-m + 1^-т(гРЖат]}, * = ТТйо

771=1

Полная погрешность Sk(tp) нахождения собственного числа /3k{tp) складывается из безусловной погрешности (tp) и условной погрешhoc

Pk{tp) связана с точностью вычисления коэффициентов многочлена (0.18) и вычисляется по формуле определяется модулем разности найденного решения и ближайшего к нему точным решением. В случае однократного корня /3k(tp) для ее вычисления можно использовать формулу Ньютона, которая определяет эту погрешность с точностью до бесконечно малых второго порядка

В пункте 2.6 описан алгоритм метода PC вычисления первых собственных чисел дискретных операторов.

Третья глава посвящена классическим задачам линейной гидродинамической теории устойчивости. Известно, что сложности, возникающие в данной теории, в значительной мере связаны с математической проблемой нахождения собственных чисел несамосопряженных операторов. Кроме того, нахождение приближенных значений первых собственных чисел спектральных задач Орра - Зоммерфельда, Пуа-зейля, Куэтта являются трудными задачами вычислительной математики. Поэтому проверка нового метода приближенного вычисления

Условная погрешность 5^ (tp) нахождения собственного числа (tp) первых собственных чисел дискретных операторов была проведена на этих задачах.

В пункте 3.1 рассмотрены вопросы применения метода PC к спектральной задаче гидродинамической теории устойчивости плоского течения вязкой жидкости между двумя параллельными плоскостями (задача Орра - Зоммерфельда):

Г2 + ио- {ЗТ0)<р = 0, 0 < у < 1, (0.20) где Т0 = ~ + a2, Uо = iaR(u(y)T0 + ^Г"), Р

2тг спектральный параметр, а = —— волновое число, А - длина волны

U U возмущения, U(y) = Us - скорость верхней плоскости и * с* относительно нижней, Uc - скорость в середине промежутка между плоскостями (у = Ь), когда последние неподвижны, R = ——- - число v

Рейнольдса, v - кинематическая вязкость жидкости, £/* = -Us + Uc, 2

L* = 2b.

Введем оператор Ga: комплексный

G0 = Т2 + U0- (3TQ, заданный в сепарабельном гильбертовом пространстве I^fO, 1]. К области определения Dq0 оператора G0 отнесем все функции <р(у) класса dSp dy4 виям (0.21):

С4(0,1) р) Сг[0,1], -j-j € 1<2[0,1], удовлетворяющие граничным уело

DGo = {y\ipe с4(о, 1) ПсЧо, 1], 0 е l2[o, 1],

Рассмотрим дифференциальный оператор d2 , с областью определения Dt dAip dt01 = {v I ¥> е C4(o, l) fl c% l2[O, 1], <p(y) = о} и неоднородную краевую задачу

To.<p = f(y), 1 < у < 0, 1 KJ (0.22) у>(0) = <р( 1) = 0.

Теорема 3.1.1. Решение задачи (0.22) в области Dt„x единственно и выражается формулой

1 у о о

Так как задача (0.22) имеет единственное решение в области Dt , то T0l имеет обратный оператор:

1 у о о

Непосредственно применять метод PC к нахождению первых собственных чисел спектральной задачи (0.20), (0.21) нельзя, так как опекуратор Uо = iaR(lJT0 + не является ограниченным на £2[0,1]. Но можно построить вспомогательную задачу, множество собственных чисел которой совпадает с множеством собственных чисел спектральной задачи (0.20), (0.21) и к которой применим разработанный метод PC. Для этого сделаем замену (р = T~xf. Тогда

Go4> - (Т* + U0 - j3T0)T~lf.

Лемма 3.1.1. На множестве функций Dtq d2f . r dT~4{y)

DTo = {f\feC2(0,i)^eL2[0: l], dy 0}

0,1 ) выполняются равенства sh(m/) sho; ch(ay) — cth a sh(o!?/) /(0).

T0T~lf = f, T~lT0f(y) = f(y)

1)

Используя лемму 3.1 Л, имеем

G0tp = (Т02 + U0 - /5T0)T-V = (Т0 + UoT-1 - /5)/. Поэтому спектральную задачу (0.20), (0.21) можно записать в следующем виде: где т0 + Р0)/ = /3/, /6%

Р0 = iaR (U + ^Т-'

0.23) dy2 01 J '

Очевидно, что множество собственных чисел задач (0.20), (0.21) и (0.23) совпадают, а их собственные функции связаны соотношением

Т01Ч> -/•

Теорема 3.1.2. Для нормы оператора Р0 = U0T0 1, заданного в сеol парабельном гильбертовом пространстве 1], справедлива оценка d2u{y) dy'

Найдем собственные числа и собственные функции следующей краевой задачи:

Т0ш = fiu, (0.24) dr-M 0) dr-41) dy dy 0.

0.25)

Теорема 3.1.3. Спектральная задача (0.24), (0.25) имеет множество собственных чисел:

К+ и множество собственных функций: г [q(cosqn - cha) 1

1 C2n -г-:—~ sm\ЯпУ) + cos(qny) > , (0.26)

I lqnsha — asmqn J J n=i где числа qn являются корнями трансцендентного уравнения

4ae~~aq -2a(l + е~2а)q cos q + (l - e~2a) (a2 - g2) sin q = 0. (0.27)

Теорема 3.1.4. Собственные функции onepamopaT0, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.

Числа {С2п}™=1, входящие в (0.26), находятся из условий нормировки.

Теорема 3.1.5. Оператор Т0 с областью определения Dt0 является дискретным в L2[Q,1].

Обозначим через Lt0 подпространство L2[0, 1], элементами которого являются собственные функции спектральной задачи (0.23).

Замечание 3.1.7. Поскольку все собственные числа ц задачи (0.23) положительные, то для всех си G Lt0, Lt0 С Ь2 [0,1] имеем

Т0и,и) = /J,(> 0.

Следовательно, оператор Т0 положительный на Lt0, а значит он полуограниченный снизу.

Для нахождения приближенных значений первых по собственных чисел {(3n{tp)}n°=i задачи (0.23) воспользуемся приближенным аналогом нелинейной системы щ уравнений (0.1), записанную в виде

0.28) где

По

X = Sp(tp)> tp > so, Р = 1,^0, к=1 о ^Р

Mtp) = J2 $ + Л ak] (По) • fc=l k=1

В зависимости от способа вычисления чисел sp(tp) (см. пункт 2.5), предельные абсолютные погрешности с которыми записаны уравнения в системе (0.28), оцениваются неравенствами gr^P+l $sv < РЩРпп-tp > So, Р= 1 ,n0, или неравенствами ti I^MI + ГСОРпо^З ii+l к=2 п0 Р~ 2

Е - Е (Е сжг+ к=2 п0 р j i=l m=0 j2,.,jp=l s=l

П bn}=0 n=l

Систему уравнений (0.28) для нахождения приближенных значений первых по собственных чисел {cn{tp)Y^=i спектральной задачи (0.23) можно записать в виде

По о -I г "о "р / \ к п ы [iaRj ^V У J

0.29) fc = l где

7?>Ы =

-1)*+1 p J^v ^ к n0 oo к vi

Е.Е -). п=1 j1„.,jk=l rn=l

П (м - Nm) т=1

Wkm — ^fem = {Pd^k^mj- Величины (no) не зависят от числа Рейнольдса R для Vno, к,р £ iV, поэтому их значения можно использовать при вычислении собственных чисел {cn(£p)K£Li задачи Орра -Зоммерфельда для различных R. При этом должно выполняться неравенство

П° > ^[г£а<Х1 Iе7'Ml + in?8?! I^'WI]" (°-30)

7Г L0<j/<1 Q! 0<J/<1 J

Неравенство (0.30) позволяет определить число уравнений в системе (0.29).

В конце параграфа сформулирован алгоритм вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра - Зоммерфельда.

В пункте 3.2 рассмотрена спектральная задача гидродинамической теории устойчивости осесимметрического течения вязкой жидкости в круглой трубе (задача Пуазейля). Разработан алгоритм вычисления собственных чисел спектральной задачи Пуазейля.

В пункте 3.3 рассмотрены вопросы применения метода PC к спектральной задаче гидродинамической теории устойчивости осесимметрического течения вязкой жидкости между двумя концентрическими вращающимися цилиндрами (задача Куэтта). Приведен алгоритм вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Куэтта.

Четвертая глава посвящена вычислительным экспериментам по нахождению собственных чисел спектральных задач Орра - Зоммерфельда, Пуазейля и Куэтта. Проведенные численные расчеты показали высокую эффективность разработанного в диссертации нового метода вычислений собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов.

Благодарности. Автор диссертации выражает искреннюю благодарность академику РАН Виктору Антоновичу Садовничему, консультанту профессору Виктору Филипповичу Кравченко за чуткое руководство, обсуждение научных результатов. Благодарит ректорат и кафедру прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за поддержку и доброе отношение к диссертанту. Особенно автор благодарен, безвременно ушедшему из жизни, профессору Владимиру Васильевичу Дубровскому

Работа посвящается светлой памяти профессора Владимира Васильевича Дубровского.

Основные результаты и выводы

• Разработан новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов. Проведенные численные расчеты показали высокую вычислительную эффективность нового метода.

• Разработан новый метод вычисления сумм числовых рядов поправок теории возмущений дискретных операторов.

• Доказана сходимость числовых рядов поправок теории возмущений целого порядка дискретных операторов.

• На основе алгоритмов метода PC созданы пакеты программ в среде "Maple 6"для вычисления первых собственных чисел спектральных задач гидродинамической теории устойчивости: Орра - Зоммерфельда, Пуазейля и Куэтта.

• Теоретические результаты, полученные в работе, позволяют получить ряд обобщений метода PC. В частности на случай рациональных степеней следов и на случай использования регуляризованных следов возмущенных самосопряженных операторов.

1. Александрова Е.В. Формулы следов в задачах колебаний стержней и труб, а также некоторых классов сингулярных операторов: Дис. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1997.

2. Ахмерова Э.Ф., Муртазин Х.Х. Спектральная асимптотика для негладких возмущений дифференциальных операторов и формулы следов // ДАН. 2003. Т. 388. № 6. С. 731 -733.

3. Баскаков А.Г. Метод подобных операторов и формулы регуляризованных следов // Изв. высших учебных заведений. Математика. 1984. № 3. С. 3-12.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1973. Ч. 1.

5. Белаббаси Ю. О следах обыкновенных дифференциальных операторов, порожденных многоточечными задачами: Дис. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1980.

6. Бирх Р.В. О спектре малых возмущений плоскопараллельного течения Куэтта // ПММ. 1965. Вып. 4. С. 798- 800.

7. Бирх Р.В., Гершуни Г.З., Жуховитский Е.М. О спектре возмущений плоскопараллельных течений при малых числах Рейнольдса // ПММ. 1965. Т.29. С. 88- 98.

8. Бобров А.Н. Формулы следов псевдодифференциальных операторов с периодическим гамильтоновым потоком: Дис. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2000.

9. Буслаев B.C., Фаддеев Jl.Д. О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма Лиувилля // ДАН СССР. 1960. Т. 132. т. С. 13-16.

10. Буслаев B.C. Формулы следов для оператора Шредингера в трехмерном пространстве // ДАН СССР. 1962. Т. 143. №5. С. 10671070.

11. Винокуров В.А., Садовничий В.ВА. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего <5 функции // ДАН (России). 2001. Т. 376. С. 445-448.

12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1958.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

14. Гасымов М.Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов // ДАН СССР. 1963. Т. 150. № 6. С. 1202-1205.

15. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. 1953. Т. 88. № 4. С. 593-596.

16. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

17. Гурев Т.Е., Сафаров Ю.Г. Точная асимптотика спектра оператора Лапласа на многобразии с периодическими геодезическими // Труды МИАН. 1988. Т. 179. С. 36-53.

18. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: ИФМЛ, 1963.

19. Дикий Л.А. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма Лиувилля // ДАН СССР. 1957. Т. 116. № 1. С. 12-14.

20. Дикий Л.А. Формулы для дифференциальных операторов Штурма Лиувилля // УМН. 1958. Т.13. №3. С. 111-143.

21. Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых видов дифференциальных уравнений второго порядка // УМН. 1952. Т. 7. № 6. С. 3-96.

22. Дубровский В.В. К абстрактной формуле Гельфанда Левитана // УМН. 1991. Т. 46. № 3. С. 187-188.

23. Дубровский В.В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких дифференциальных операторов, заданных на компактных многообразиях // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 12. С. 2164-2166.

24. Дубровский В.В. Асимптотика собственных чисел дискретного оператора // Тр. семинара им. И.П. Петровского. М.: МГУ. 1978. Вып. 4. С. 227-231.

25. Дубровский В.В. Регуляризованный след билапласиана с периодическими краевыми условиями на квадрате // ДАН БССР. 1980. Т. 24. № 3. С. 210-213.

26. Дубровский В.В. О регуляризованных следах дифференциальных операторов в частных производных // Тр. семинара им. И.П. Петровского. М.: МГУ. 1983. Вып. 9. С. 40-44.

27. Дубровский В.В. О формулах регуляризованных следов самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. № 11. С. 1995-1998.

28. Дубровский В.В., Садовничий В.А. Об одной абстрактной теореме возмущений, о формулах регуляризованных следов и о дзета-функцииоператоров // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 7. С. 1264-1271.

29. Дубровский В.В. Приближенные формулы следов // ВИНИТИ. 2002-78 15.6.78.

30. Дубровский В.В. Асимптотика собственных чисел дискретных операторов // Тр. семинара им. И.П. Петровского. М.: МГУ. 1978. № 4. С. 627-631.

31. Дубровский В.В., Садовничий В.А. Следы дифдеренциальных операторов // Тр. семинара им. И.П. Петровского. М.: МГУ. 1978. С. 213-216.

32. Дубровский В.В., Садовничий В.А. О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1206-1211.

33. Дубровский В.В. Регуляризованный след оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. N? 7. С. 1127-1129.

34. Дубровский В.В. О формулях регуляризованных следов самосопряженных эллиптических д ифференциальных операторов второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. Ne 11. С. 1995-1998.

35. Дубровский В.В. Об оценке разности спектральных функций и о формулах регуляризованных следов дискретных операторов // Известия АН БССР серия физико-математических наук. 1987. № 3. С. 46-50.

36. Дубровский В.В., Садовничий В.А., Нагорный А.В. Асимптотика спектральной функции дискретного оператора // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 8. С. 1340-1344.

37. Дубровский В.В. Асимптотика спектральной функции дискретных операторов // УМН. 1989. Т. 44. №4. С. 221-222.

38. Дубровский В.В. Асимптотика спектральной функции обыкновенного дифференциального оператора // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 3. С. 533-534.

39. Дубровский В.В., Садовничий В.А. К обоснованию метода вычислений собственных чисел дискретного оператора с помощью регуляризованных следов // УМН. 1990. Т. 45. № 4. С. 120.

40. Дубровский В.В. Формулы регуляризованных следов операторов с компактной резольвентой // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 12. С. 2046-2051.

41. Дубровский В.В. К абстрактной формуле Гельфанда-Левитана // УМН. 1991. Т. 46. № 4. С. 187-188.

42. Дубровский В.В., Садовничий В.А. Регуляризованный след оператора Лапласа с нечетным потенциалом на двумерной сфере / / УМН. 1991. Т. 46. № 6. С. 159.

43. Дубровский В.В. К асимптотике спектральной функции дифе-ренциальных операторов в Lp // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 1. С. 69-75.

44. Дубровский В.В. Кунакова Е.Ю. Формула первого регуляризо-ванного следа степени оператора Лапласа на треугольнике // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 7. № 28. С. 1274-1276.

45. Дубровский В.В., Садовничий В.А. Первый регуляризованный след оператора Лапласа-Бельтрами с нечетным потенциалом на двумерной сфере // УМН. 1993. Т. 48. № 4(292). С. 209.

46. Дубровский В.В., Садовничий В.А. Регуляризованный след оператора Лапласа-Бельтрами на единичной сфере с любым комплексным дважды непрерывно дифференцировонным потенциалом // УМН. 1995. Т. 50. № 4(304). С. 86.

47. Дубровский В.В. Обоснование метода вычисления собственных чисел интегральных операторов с помощью теории следов // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 10. С. 1762-1763.

48. Дубровский В.В. Регуляризованные следы самосопряженных операторов. // Вести АН БССР серия физико-математических наук. 1996. № 1. С. 30-33.

49. Дубровский В.В. Оценка разности спектральных функций со скобками на диагонали самосопряженных эллиптических операторов в Lp при 1 < q < 2 // ДАН Росси. 1996. Т. 351. № 4. С. 452-453.

50. Дубровский В.В., Печенцов А.С. К асимптотике спектральной функции самосопряженных псевдодифференциальных операторов // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 5. С. 852058.

51. Дубровский В.В., Нагорный А.В. Обратная задача для степеней оператора Лапласса с потенциалом из L2 // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 9. С. 1552-1561.

52. Дубровский В.В. К устойчивости обратных задач спектрального анализа для уравнений математической физики // УМН. 1994. Т. 49. № 3(297). С. 171-172.

53. Дубровский В.В. Востановление потенциала по собственным значениям различных задач // УМН. 1996. Т. 51. Вып. 4(310). С. 155-156.

54. Дубровский В.В. Теорема единственности решения обратных задач спектрального анализа // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. № 3. С. 421-422.

55. Дубровский В.В. Об одном неравенстве в обратных задачах спектрального анализа // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. № 6. С. 843-844.

56. Дубровский В.В. Теорема существования в обратной задаче спектрального анализа // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. № 12. С. 1702-1703.

57. Дубровский В.В., Смирнова J1.B. К единственности решения обратных задач спектрального анализа для уравнений матеиати-ческой физики // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 2. С. 411-416.

58. Дубровский В.В., Дубровский В.В.(младший) Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом на пямоугольнике // ДАН (России). 2001. Т. 377. № 3. С. 310-312.

59. Дубровский В.В., Дубровский В.В.(младший), Пузанкова Е.А. О востановлении потенциала в обратной задаче спектрального анализа // ДАН (России). 2001. Т. 380. № 4. С. 316-318.

60. Дубровский В.В., Великих А.С. Обратная задача для обыкновенного дифференциального оператора в Lp (р > 2) // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. № 2. С. 621-626.

61. Дубровский В.В., Малеко Е.М. О сходимости формально собственных чисел // Вестник Челябинского гос. университета. Челябинск: ЧелГу. 1999. С. 56-72.

62. Дубровский В.В., Распопов В.В. Формула регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка. // Дифферениальные уравнения. 2002. Т. 38. № 7. С. 979-981.

63. Дубровский В.В. Теория возмущений и следы операторов: Дис.док. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1992.

64. Дьяконов В. Maple 7. Учебный курс. Санкт Петербург: Питер бук. 2002.

65. Загускин B.J1. Справочник по численным методам решения урав-ненийю. М.: ИФМЛ, 1960.

66. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

67. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

68. Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. направление. 1985. Т. 3. С. 5-300.

69. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

70. Крейн М.Г. О формуле следов в теории возмущений // Метема-тический сборник. 1953. Т. 33. Вып. 3. С. 597-626.

71. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Том 1. М.: ГТГИ, 1951.

72. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.

73. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка // Изв. АН СССР. Серия матем. 1952. Т. 16. № 1. С. 325-352.

74. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функ. анализ и его прилож. 1967. Т. 1. № 2. С. 52-59.

75. Линь Цая-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958.

76. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973.

77. Любишкин В.А. О некоторых вопросах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов: Дис. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1981.

78. Любишкин В.А. Регуляризованные следы оператора Штурма -Лиувилля на полуоси в случае неограниченно убывающего потенциала // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 2. С. 345-346.

79. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980.

80. Малеко Е.М. О вычислении первых собственных чисел некоторых линейных операторов: Дис. канд. физ.-мат. наук. Магнитогорск.: МаГУ, 2000.

81. Малеко Е.М. О новом методе нахождения собственных чисел несамосопряженных ядерных операторов // Вестник МаГУ. Магнитогорск: Периодический научный журнал Магнитогорского государственного университета. 2001-2002. С. 233-235.

82. Малеко Е.М. К обоснованию метода вычисления собственных чисел ядерных операторов с помощью теории следов // Сб. науч. трудов. Фундаментальные и прикладные исследования. Магнитогорск: МГПИ. 1998. С. 43-46.

83. Маркушевич А.И.,Маркушевич Л.А.Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение, 1977.

84. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

85. Медведев В.А. О сходимости проекционного метода и о применении метода Бубнова Галеркина в теории гидродинамической устойчивости: Дис.канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1964.

86. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: ТТЛ, 1957.

87. Муртазин Х.Х., Фазуллин З.Ю. О формулах следов для неядерных возмущений // ДАН (России). 1999. Т. 368. № 4. С. 442-444.

88. Муртазин Х.Х., Фазуллин З.Ю. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора // Метематический сборник. 2001. Т. 192. № 5. С. 87-134.

89. Муртазин Х.Х., Садовничий В.А. Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера. М.: МГУ, 1988.

90. Нейман-Заде М.И., Шкаликов А.А. О вычислении собственных значений задачи Орра Зоммерфельда // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8. № 1. С. 301 - 305.

91. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. М.: Наука, 1974.

92. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

93. Петров Г.И. Применение метода Галёркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ. 1940. Т. 4. Вып. 3. С. 3 11.

94. Печенцов А.С. Регуляризованные следы краевых задач в случае кратных корней характеристического полинома // ДАН (России). 1999. Т. 367. № 5. С. 600-602.

95. Печенцов А.С. Регуляризованные следы для одной задачи второго порядка // Теоретико-функциональные методы исследования физических процессов. М.: Энергоатомиздат. 1983. С. 42-47.

96. Печенцов А.С. Регуляризованные суммы собственных значений для некоторых краевых задач // Функциональные методы в задачах математичекой физики. М.: Энергоатомиздат. 1985. С. 3442.

97. Печенцов А.С. О следах сингулярных дифференциальных операторов высших порядков // ДАН СССР. 1990. Т. 312. № 6. С. 1321-1324.

98. Печенцов А.С. Регуляризовванные следы обыкновенных дифференциальных операторов // УМН. 1996. Т. 51(5). С. 177-178.

99. Печенцов А.С., Попов А.Ю. Асимптотическое повидение спектральных функций дифференциальных операторов —у" — ех2у. // Математические заметки. 1998. Т. 63. № 2. С. 302-306.

100. Печенцов А.С. Регуляризованные следы и спектральные асимптотики обыкновенных дифференциальных операторов: Дис. докт. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2000.

101. Подольский В.Е. Ядерные оценки возмущенной операторной полугруппы // ДАН России. 2002. Т. 387. № 4. С. 452-453.

102. Порецков О.А. Алгоритмы и методы вычисления первого регуля-ризованного следа оператора Лапласа Бетртрами с негладкимпотенциалом на единичной двумерной сфере: Дис. канд. физ.-мат. наук. Магнитогорск: МаГУ, 2003.

103. Распопов В.В. Формула регуляризованного дробного порядка возмущенного дискретного самосопряженного оператора // Деп. ВИНИТИ. 2002. № 1211-В2002.

104. Распопов В.В. Вычисление первого регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора порядка 4га. // Деп. ВИНИТИ. 2002. № 1210-В2002.

105. Распопов В.В. Алгоритмы вычисления полуцелых регуляризо-ванных следов дискретных полуограниченных операторов: Дис. канд. физ.-мат. наук. Магнитогорск: МаГУ, 2002.

106. Расторгуев В.А. Формулы регуляризованных следов некоторого класса дифференциальных операторов с особенностью: Дис. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1991.

107. Рисс Ф., Секифальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

108. Розе Н.Г., Кибель И.А., Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика. М.: ТТЛ, 1937.

109. Розенблюм Г.М., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. направления. 1989. Т. 64. С. 1248.

110. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. М.: МГУ, 1994. Вып. 17. С. 244-248.

111. Садовничий В.А., Подольский В.Е. О вычислении первых собственных значений оператора Штурма -Лиувилля // ДАН (России). 1996. Т. 346. № 2. С. 162-164.

112. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Об одной абстрактной теореме теории функций, о формулах регуляризованных следов и о дзета функции операторов // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. Вып. 7. С 1264-1271.

113. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов // Функцион. анализ и его прил. 1986. Т. 20. Вып. 3. С. 55-65.

114. Садовничий В.А. Аналитические методы в спектральной теории дифференциальных операторов. М.: МГУ, 1973.

115. Садовничий В.А. Дзета функция и собственные числа дифференциальных операторов // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. Вып. 7. С 1276-1285.

116. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дискретных операторов. Формулы следов дифференциальных операторов в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 11. С. 2033-2041.

117. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Свойства спектра дискретных операторов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика, Механика. М.: МГУ. 1977. № 5. С. 37-44.

118. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О некоторых свойствах оператора с дискретным спектром // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1206-1211.

119. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Любишкин В.А. Следы дискретных операторов // ДАН СССР. 1982. Т. 263. № 4. С. 830-832.

120. Садовничий В.А., Любишкин В.А. О некоторых вопросах возмущений линейных операторов // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. № 10. С. 1910-1914.

121. Садовничий В.А., Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 1. С. 109-116.

122. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Регуляризованный след ограниченного возмущения с ядерной резольвентой // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 34. № 4. С. 556-564.

123. Садовничий В.А., Конягин С.В., Подольский В.Е. Регуляризованный след оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным // ДАН (России). 2000. Т. 373. № 1. С. 26-28.

124. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов с относительно ядерных возмущением // ДАН (России) 2001. Т. 378. № 3. С. 1-2.

125. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов с относительно компактным возмущением // Метематический сборник. 2002. Т. 193. № 2. С. 129-151.

126. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регу-ляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа Бельтрами с потенциалом на сфере // ДАН (России). 1991. Т. 319. № 1. С. 61-61.

127. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Порецков О.А. Формула первого регуляризованного следа оператора Лапласа Бельтрами с негладким потенциалом на двумерной сфере // ДАН (России). 2002. Т. 382. № 1. С. 11-14.

128. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Нагорный А.В. Устойчивость решений обратных задач спектрального анализа // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 5. С. 856-869.

129. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Пузанкова Е.А. Об обратной задаче спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом // ДАН (России). 1999. Т. 367 № 3. С. 307-309.

130. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Смирнова Л.В. О единственности решения обратных задач спектрального анализа // ДАН (России). 2000. Т. 370. № 3. С. 319-321.

131. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Малеко Е.М. Об одном способе приближенного нахождения собственных чисел оператора Штурма Лиувилля // ДАН (России). 1999. Т. 369. № 1. С.16-18.

132. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные следы дискретных операторов // ДАН СССР. 1981. Т. 261. № 2. С. 290-293.

133. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспотенциального типа // ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 4. С. 794-798.

134. Садовничий В.А., Подольский В.Е.// Дифференциальные уравн. 1999. Т. 35. № 4. С. 556-564.

135. Садовничий В.А., Конягин С.В., Подольский В.Е. // ДАН (России). 2000. Т. 373. № 1. С. 26-28.

136. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999.

137. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстрималь-ных задачах // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, № 1. С. 101-132.

138. Сапронов Ю.И. Сапронов Ю.И., Царев С.Л. Глобальное сравнение конецномерных редукций в гладких выриационных задачах // Матем. заметки. 200. Т. 2000. С. 745-754.

139. Свиридюк Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости // Известие ВУЗов. Математика. 1994. № 1. С. 62-70.

140. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Быстро медленная динамика вяз-коупругих сред // ДАН СССР. 1989. Т. 308. № 4. С. 791-794.

141. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости // Ма-тем. заметки. 1998. Т. 63 № 3. С. 442-450.

142. Сидоренко С.В. Регуляризованные следы возмущенных самосопряженных операторов: Дис. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2000.

143. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

144. Туловский В.Н. Распределение собственных чисел для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами // Функ. анал. и его прил. 1971. Т. 5. № 3. С. 85-100.

145. Фадеев Л.Д. О выражении для следа разности двух сингулярных дифференциальных операторов типа Штурма Лиувилля // ДАН СССР. 1957. Т. 115. №5. С. 878.

146. Файзулин З.Ю., Муртазин Х.Х. Регулярный след двумерного гармонического оператора // Метематический сборник. 2001. Т. 192. № 5. С. 87-124.

147. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.\ Наука, 1970. Т. 2.

148. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991. Т. 1.

149. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.

150. Харин В.Т. О вычислении собственных значений прямыми методами и применение последних к теории гидродинамической устойчивости: Дис.канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1965.

151. Хасанов А.Б, Яхшимуратов А.Б. Вычисление регуляризованного следа оператора Штурма Лиувилля с особенностью в потенциале // ДАН. 2002. Т. 382. № 2. С. 170-172.

152. Шкарин С.А. О способе Гельфанда Дикого вычисления первых собственных чисел оператора Штурма - Лиувилля // Вест. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1996. №1. С.39-44.

153. Штерн В.Н. Устойчивость плоского течения Куэтта // ПММ.1969. № 5. С. 117-119.

154. Штерн В.Н. Устойчивость плоского течения Куэтта: Дис.канд. физ.-мат. наук. Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР,1970.

155. Штерн В.Н. Устойчивость и турбулентность параллельных течений вязкой жидкости: Дис.докт. физ.-мат. наук. Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР, 1976.

156. Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. направление. 1988. Т. 30. С. 1-262.

157. Шубин М.А. Об асимптотическом распределении собственных значений псевдодифференциальных операторов в Rn // Мете-матический сборник. 1973. Т. 93. № 4. С. 571-588.

158. Янке Е.А., Эмде Ф.Э., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968.

159. Avakumovic V.G. Uber die Eigenfunktionen auf geschlossen Riemannschen Mannigfaltigkeiten // Math. Z. 1956. Vol. 65. P. 324344.

160. Carleman T. Uber die asymptotische Verteilungsgesatz der Eigenverte linearer partielle Differentialgleichungen // Ber. Sachs. Acad. Wiss. Leipzig. 1936. Vol. 88. P. 119-132.

161. Dostanic M. Spectral properties of the operator of Riesz potential // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. V. 126. № 8. P. 2291-2297.

162. Gallfgher A. P., Mercer A. McD. On the behaviour of small disturbancesin plane Couette flow. J. Fluid Mech., 1962. Vol. 13, part 1. P. 91.

163. Gilbert R.C., Kramer V.A. Trace formulas perturbed operator // Duke Math. J. 1963. V.30. №2. P. 275-296.

164. Gilbert R.C., Kramer V.A. Trace formulas for powers a Sturm -Liouville operator // Can. J. Math. 1964. V.16. №2. P. 412-422.

165. Halberg J.A, Jr.V.A. Kramer. A generalization of the trace concept // Duke Math. J. 1960. Vol. 27. № 4. P. 607-617.

166. Hormander L. The spectral function of elliptic operator // Acta. Math. 1968. Vol. 121. P. 193-218.

167. Kulik S. A metod of approximatihg the complex roots of eguations // Pacific J. Mathem. 8. 1958. № 2. P. 277-281.

168. Lax P.D. Trace formulas for the Schroedinger operator // Comm. Pure Appl. Math. 1994. V. 47. P. 503-512.

169. Minakshisundaram S., Pleijel A. Some properties of the eigenfunctions of the Laplace operator on Riemannian manifolds // Canad. J. Math. 1949. Vol. 1. P. 242-256.

170. Parodi M. Sur la localisation des zeros des polinomes // Compt. Rend. As. Sc. 1956. B. 243. № 16. P. 1093-1096.

171. Thomas L.H. The stability of plane Poiseuille flow. Phys. Rev. 1953 V. 91. № 4. P. 780-783.

172. Westerfield E.C. A new bound for the zaros of polinomialsd // Amer. Math. Monthly. 1933. B. 40. № 1. P. 18-23.

173. Weyl H. Gas asymptotische Verteilungsgesatz der Eigenverte linearer partieller Differentialgleichunger // Math. Ann. 1912. Vol. 71. P. 441-479.

174. Weyl H. Uber die Randwertaufgabe der Strahlungstheotie und asymptotische Spektralgesetze // J. Reine Angew. 1912. Vol. 143. № 3. P. 177-202.

175. Публикации автора по теме диссертации

176. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи Орра-Зоммерфельда с помощью теории регуляризованных следов // Электромагнитные волны и электронные системы. 1997. Т. 2. № 6. С. 13 19.

177. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора // Электромагнитные волны и электронные системы. 1998. Т. 3. № 2. С. 6 8.

178. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе // Дифференциальные уравнения. 1998. № 1. С. 50-53.

179. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Первые собственные числа задачи Орра-Зоммерфельда из теории гидродинамической устойчивости // УМН. 1998. Т. 53. В. 4 (322). С. 138.

180. Кадченко С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра Зоммерфельда // Электромагнитные волны и электронные системы, 2000. Т. 5. № 6, С. 4- 10.

181. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда // ДАН (России). 2001. Т. 378. № 4. С.443-446.

182. Кадченко С.И. Новый метод вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ. Челябинск: Челяб. гос. ун-т. 2002. С. 42-59.

183. Кадченко С.И. Новый метод нахождения собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов // Вестник МаГУ. Математика. Магнитогорск: МаГУ. 2003. Вып. 4. С. 48 -79.

184. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Устойчивость плоского течения гартмана при малых числах Рейнольдса / / Фундаментальные и прикладные исследования: Магнитогорск: Магнитогорский гос. педиститут. 1997. С. 3-12.

185. Кадченко С.И. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел задач гидродинамической теории устойчивости // Вестник МаГУ. Магнитогорск: Периодический научный журнал Магнитогорского государственного университета. 20012002. С. 199 207.

186. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко

187. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Первые собственные числа для краевой задачи Орра-Зоммерфельда // Проблемы региональной межвузовской научно практической конференции. Уфа: Уфимский гос. педиститут. 1997. С 45.

188. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи об устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе // Современные проблемы математики на кануне третьего тысячелетия. Челябинск: ЧГПУ. 1997.1. C. 10.

189. Кадченко С.И. Вычисление сумм рядов Релея Шредингера дискретных несамосопряженных операторов // Колмогоров и современная математика. Тез. док. междунар. конф. 16 - 21 июня 2003 г. Москва: МГУ. 2003. С. 302.