автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы вычисления полуцелых регуляризованных следов дискретных полуограниченных операторов

Введение

1. Некоторые спектральные свойства самосопряженных дискретных операторов

1.1 Общие вопросы теории самосопряженных операторов

1.2 Следы дискретных самосопряженных операторов

1.3 Приближенные формулы регуляризованных следов самосопряженных операторов

1.4 Спектральная задача Штурма-Лиувилля

2. Алгоритм вычисления первого полуцелого регулярнзованного следа одного класса возмущенных обыкновенных дифференциальных операторов

2.1 Алгоритм вычисления первого полуцелого гт<:;р.; ^ тг} р " \ ного С Пе1"5 3 К НО п СН О ГО дифференциального оператора порядка 4т.

2.2 Алгоритм вычисления первого полуцелого регулярнзованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора восьмого порядка.

2.3 Алгоритм вычисления первого полуцелого регулярнзованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка.

3. Вычисление первых собственных чисел одного класса возмущенных операторов.

3.1 Формула регулярнзованного следа произвольного пол у цело го порядка возмущенного дискретного самосопряженного оператора.

3.2 Вычисление чисел а£'2(пй) в формуле регулярнзованного следа произвольного полуцелого порядка возмущенного дискретного самосопряженного оператора.

3.3 Явный вид первых пяти поправок теории возмущений.

3.4 Опенка погрешности в формуле регуляризованного следа произвольного полуцелого порядка возмущенного дискретного самосопряженного оператора.

3.5 Вычисления первых собственных чисел модели Штурма

Лиувилля со смешанными граничными условиями.

Постановка задачи. Пусть (7 - сепарабельное гильбертово пространство. Рассмотрим дискретный полу ограниченный снизу оператор Г, действующий в (7 . Обозначим через {//г собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания с учетом кратности. Через обозначим ортонормированные собственные функции, соответствующие собственным числам {/лп }"=]. Рассмотрим ограниченный линейный оператор

Р. Обозначим через {Д,)Г=1 собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом кратности. Регупяризованным следом оператора Т + Р назовем равенство вида

Е(Дв-4С0) = я (0.1) и где а е С, а Ак (Г), В - явно выражаются через характеристики оператора выражения.

Диссертация посвящена разработке эффективных алгоритмов вычисления полуцелых (при а - р12, р е И) регуляризованных следов оператора Т + Р, которые бы явно выражались через параметры невозмущенной задачи и данный возмущающий оператор Р, а также вычислению с помощью найденных следов первых собственных чисел возмущенной задачи.

Рассматриваются два класса операторов. Сначала рассмотрены обыкновенные дифференциальные операторы, действующие в Ь,[а,Ь~\, следующего вида: где т - четное, 2т -1 > к\ > к\ >. > к' > 0, 2т -1 > к, > к, > . > к >0.

1 2 т " 12 т

В качестве конкретной интерпретации этих операторов рассмотрены дифференциальные операторы восьмого и четвертого порядков с краевыми условиями Штурма-Лиувилля.

Далее рассмотрены абстрактные операторы Г + Р, отвечающие сформулированным выше условиям. Решается задача нахождения полуцелых регуляризованных следов возмущенного оператора Т +- Р. На основе полученных формул поставлена задача по разработке программного обеспечения для вычисления первых собственных чисел возмущенного оператора Т + Р. В качестве конкретной интерпретации заявленной абстрактной задачи рассмотрена краевая задача Штурма-Лиувилля со смешанными краевыми условиями: сТ + Г)у(х) = ИГ/2"0(*) + ФМ*) = Яу(х), хе[а,Ь] и.{у) = у1к>\а) + £а/оуи(а) = 0,

0.2)

0.3) ил (V) - ' Ф) + £ (Ь) = 0^ = \,т,

0.4)

0.5)

О^та + У(0)со8а = у{тт)^т ¡3 + у'{71)о,о?> (5 = 0.

0.6)

Обоснование интереса к проблеме. Несмотря на «простой» спектр рассматриваемого возмущенного оператора Т + Р, до последнего времени не было удовлетворительных результатов по нахождению его регуляризованных сумм. Даже в случае целого порядка регуляризованного следа решение рассматриваемой задачи предполагало априорное знание асимтотического поведения соответствующей задаче характеристической функции. В случае же полуцелого порядка соответствующие формулы выражались через неизвестный след резольвенты возмущенного оператора. Интересно, что для широкого класса псевдодифференциальных уравнений получены формулы следов произвольного комплексного порядка и доказана сходимость или расходимость соответствующих рядов. Тем не менее, рассматриваемый нами случай возмущенного оператора охватывает широкий класс физических моделей, среди которых важное место занимает и краевая задача Штурма-Лиувилля.

Историография вопроса. Большое значение в исследовании распределения собственных значений операторов с дискретным спектром сыграли работы Г. Вейля и ЭЛ. Тичмарша. Они породили огромное количество работ, связанных с исследованием распределения собственных значений многомерных дифференциальных уравнений с дискретным спектром. Для отыскания асимптотики спектра в основном использовались два метода: вариационный принцип и резольвентный метод. Вариационный принцип, восходящий к работам Г. Вейля [86] и Р. Куранта [32] и впоследствии развитый М.Ш. Бирманом [5], по сравнению с другими, не так чувствителен к гладкости коэффициентов или границы области. Но асимптотика собственных значений не достаточно точна. Резольвентный метод связан с изучением резольвенты оператора или другой функции от него с последующим использованием тауберовых теорем. С этим методом связаны наибольшие достижения последних лет в области спектральных асимптотик. К этому методу тесно примыкают предложенный В.Г. Авакумовичем в [79] и Б.М. Левитаном в [34] метод гиперболического уравнения, а так же метод параболического уравнения, предложенный С. Минакшисундарамом и А. Плейелем в [82]. Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных дан в [50].

Обозначим через N(X) число (с учетом кратности) собственных значений оператора Т, не превосходящих Я. Исследованию асимтотического поведения функции N(X) при |lj —>■ со посвящено большое количество работ.

В работах Г. Вейля [87] был получен главный член N(A) ~ аХ>т без оценки остаточного члена. Здесь т - порядок оператора Т, а п - размерность многообразия, на котором он действует. Им же была доказана гипотеза о существовании второго члена асимптотики 7У(Я) (связанного с граничными условиями, если речь идет о многообразиях с краем).

В случае, когда N(X) имеет «кластерную асимптотику», невозможно улучшение остаточного члена, более того, невозможно даже выделение из остаточного члена второго члена асимптотики. И, поскольку, дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра, по сути, невозможно, необходимо перейти к исследованию другим методом. Стандартным инструментом такого исследования асимптотического поведения спектра является получение формул регуляризованных следов оператора вида (0.1).

Создание этой теории связано с именами И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана [10], [11]. Параллельно с ними свои результаты получил Л.А. Дикий в [15], [13]. В результате исследования И.М. Гельфандом и Л.А. Диким в 1957 году [14] был предложен новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля - в рассмотренной системе регуляризованных следов удерживаются частные суммы до ТУ'-го слагаемого в (7^+1)-ом регуляризованном следе. Полученную приближенную систему решают, находя некоторые приближения к собственным числам задачи. Однако в 1995 году, С.А. Шкарин в [78] доказал неединственность решения бесконечных линейных систем определенного вида. Таким образом было доказано, что метод Гельфанда-Дикого в указанной трактовке не может быть использован. Получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы М.Г. Гасымова и Б.М. Левитана [8], [9], [34], Р.Ф. Шевченко [77], А.Г. Костюченко [31] и многих других.

Наиболее общие результаты для обыкновенных дифференциальных операторов были получены в работах В.А. Садовничего, В.Б. Лидского, В.А. Любишкина и В.Е. Подольского. Так, в работах В.А. Садовничего, В.Б.

Лидского в [37], [54], рассматривался класс К целых функций /(г), допускающих представление к=О где Рк (г) разлагаются в асимптотические ряды при г —> оо : со

Г* о. и=О

Функции этого вида возникают при рассмотрении краевых задач для дифференциальных уравнений со спектральным параметром г. В выражения для регуляризованных сумм входят члены асимптотики из разложения

Р {г) ыо я

В этих работах авторы активно использовали теорию аналитических функций, благодаря которой им удалось сформулировать решение для широкого класса операторов. Однако при всей универсальности рассмотренного решения оно было достаточно громоздким и приближенным. Поэтому задача эффективного вычисления регуляризованных следов рассмотренных операторов осталась не до конца решенной.

Позже появились работы В.А. Садовничего [56], где он, пользуясь той же методикой, исследовал распределение части корней характеристической функции оператора, что для оператора Штурма-Лиувилля означало нахождение полуцелого регуляризованного следа задачи. В результате применения этого метода В. А. Садовничему удалось выписать полу целый след широкого класса операторов. Но суммы Ак(Т),В содержали интегралы от следа резольвенты возмущенного оператора, что не позволяло в принципе говорить о возможности численной реализации этого метода. Заметим, что вычисление и^, и интегралов от следа резольвенты является сложной и трудно алгоритмизируемой задачей.

Позднее в 80-х годах в работах В.А. Садовничего и В.А. Любишкина [66], [67] класс целых функций был расширен на класс С (класс целых функций экспоненциального вида) и для этого случая были получены похожие результаты, использующие также асимптотику > —;—, г -> оо .

Таким образом, несмотря на очень широкий класс рассмотренных операторов, при нахождении полуцелых регуляризованных следов и, отчасти, следов целых степеней неизвестные величины выражались через неизвестные.

Поэтому была поставлена задача нахождения полуцелого регуляризованного следа возмущенного оператора, который бы в явном виде выражался через термины задачи и возмущающий потенциал. Решению этой задачи была посвящена работа В.В. Дубровского, Н.В.Семина [23], в которой был получен первый полуцелый регуляризованный след для широкого класса операторов. В частности, если оператор Т, допускает разложение в виде Т'иг=А + В, где А - ядерный вольтерров, а В ограниченный конечномерный операторы, то для собственных чисел оператора (Т + У)"2 и

Г1/2 была получена формула первого регуляризованного следа. В этой работе авторы применили отличный от методов В. А. Садовничего метод приближенного вычисления. Заметим, что в настоящее время именно тенденция нахождения характеристик возмущенного оператора через характеристики невозмущенного с наперед заданной точностью является наиболее развиваемой.

После опровержения С.А. Шкариным в [78] метода Гельфанда-Дикого в исходной интерпретации крупным продвижением в решении задачи нахождения первых собственных чисел оператора стали работы В.А. Садовничего, В.Е. Подольского [68], [69], в которых был введен класс операторов £, с помощью которых была доказана возможность нахождения собственных чисел задачи с заранее заданной погрешностью вычисления £. Однако данный метод разработан для регуляризованных сумм целой степени а е N и достаточно полно описан лишь для оператора Штурма-Лиувилля второго порядка. Тем не менее, следует заметить, что предложенная методика представляет собой очень мощный аппарат для изучения возмущенных операторов и является универсальным.

Альтернативным методом можно считать метод, предложенный В.А. Садовничим, В.В. Дубровским [58], [59], [60], [61], [62], [63], который использовал теорию возмущений операторов. В данном методе предлагается рассматривать систему нелинейных уравнений

1=1 (=1 ¿=1 предполагается, что Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, заданный в сепарабельном гильбертовом пространстве Ь2 [ОД].

Позже В.В. Дубровским и учениками в [17], [18], [19], [20], [21], [22]. [95], [96] данный метод был развит, и с помощью него найдены регуляризованные следы для различных классов дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений. Замечательным обстоятельством является возможность применения этого метода для плохо изученных в настоящее время дифференциальных уравнений в частных производных.

Получению похожих систем посвящены работы В.А. Садовничего, В.А. Любишкина [65], но для произвольной комплексной степени. Однако, результаты, полученные в них, носят лишь предварительный характер и не позволяют вычислять регуляризованные следы произвольной степени для рассмотренного класса операторов. Задача нахождения следов в них сведена к нахождению аналитического продолжения некоторой функции ряда поправок теории возмущений в целых точках, являющихся ее особенностями. Поэтому в качестве основной теоремы рассмотрены регуляризованные следы целых степеней.

В работах В.А. Садовничего, В.В. Дубровского, С.И. Кадченко [20], [21], [26] (1998-2002 г.г.) были получены оценки остаточного члена и вычислены поправки теории возмущений для целого р. Причем в [26] рассмотренный метод был применен для разработки модели вычисления первых собственных чисел краевой задачи Орра-Зоммерфельда. Там же были полно освещены вопросы оценки погрешности вычисления этих чисел, а также приведены конкретные результаты численного эксперимента. Отметим, что с задачами теории гидродинамики вязкоупругих жидкостей тесно связаны работы Г.А. Свиридюка [70] и его учеников.

Актуальность темы диссертации. В настоящее время задача нахождения регуляризованных следов операторов относится к числу активно изучаемых. Подтверждением этому может стать обилие вышедших за последние несколько лет работ, посвященных этой проблеме и решающих ее для различного типа операторов, действующих в различных банаховых пространствах [1], [2]. [3], [4], [7], [24], [30], [38], [45], [46], [48], [51], [52], [74], [76]. Существенное продвижение наблюдается в изучении псевдодифференциальных операторов, действующих в гильбертовых пространствах. Тем не менее, для операторов с дискретным спектром, моделирующим не менее широкий класс прикладных задач (например, в теории гидродинамической устойчивости течения жидкости, квантовой механике), изучение их спектральных характеристик еще рано назвать завершенным.

Задача нахождения полуцелых регуляризованных следов была поставлена академиками Тихоновым А.Н. и Садовничим В.А. Но решена она была описанным выше методом для широкого класса операторов, характеристические функции которых принадлежат классу К, который не позволяет применить его для вычислительного эксперимента. Поэтому поставленная задача до сих пор не имеет удовлетворительного решения, так как получаемые формулы либо трудно алгоритмизируемы, либо содержат неизвестные величины возмущенного оператора.

Новизна полученных результатов. Впервые разработаны алгоритмы вычисления первого полуцелого регуляризованного следа для обыкновенных дифференциальных операторов порядка 4т, которые были использованы для нахождения регуляризованного следа операторов восьмого и четвертого порядков с краевыми условиями Штурма-Лиувилля. Данные алгоритмы позволяют вычислить след задачи через параметры невозмущенной задачи и возмущающий потенциал. Оператор четвертого порядка был рассмотрен ранее в работе В.В. Дубровского, Н.В. Семина [23], но при других краевых условиях.

Впервые с использованием теории возмущений были получены полуцелые регуляризованные следы для широкого класса операторов, в том числе для обыкновенных дифференциальных операторов и дифференциальных операторов с частными производными. С помощью полученных формул была разработана программа для вычисления первых собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля. Сделано сравнение результатов вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля по двум методам - с помощью вычисления регуляризованных следов целых и полуцелых степеней.

Методы исследования. Для решения указанных выше задач используются методы функционального анализа, спектрального анализа линейных операторов, теории возмущений.

Теория возмущений линейных операторов была создана Л. Рэлеем и Е. Шредингером. Л. Рэлей в 1927 г. [83] дал формулу для вычисления собственных частот и мод колебаний системы, мало отличающейся от более простой системы, которая допускает полное описание частот и мод колебаний. С математической точки зрения этот метод эквивалентен приближенному решению задачи на собственные значения для линейного оператора, мало отличающегося от более простого оператора, для которого эта задача полностью решена.

Е. Шредингер [85] развил аналогичный метод для задач на собственные значения, возникающих в квантовой механике. Строгое математическое обоснование методам Л. Рэлея и Е. Шредингера было дано в серии работ Реллиха 1937-1940гг. (см. [27]). Фундаментальные работы Реллиха положили начало спектральной теории возмущений и стимулировали дальнейшие исследования по аналогичным или родственным проблемам теории линейных операторов.

В течение долгого времени наиболее существенной частью теории вполне непрерывных операторов в гильбертовом пространстве оставались исследования Д.Гильберта и Ф.Рисса, обобщавшие теорию интегральных уравнений Фредгольма. Теория вполне непрерывных операторов тесно связана с теорией несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, являющейся молодой ветвью функционального анализа.

Операторы дифференцирования, действующие в гильбертовом пространстве, не являются, как известно, ограниченными операторами. При их изучении иногда переходят к их резольвентам, которые оказываются во многих случаях уже ограниченными и даже вполне непрерывными операторами. Вместе с тем, в теории несамосопряженных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Биркгоф (1908г.), а затем Я.Д.Тамаркин (1917г.) [72] достигли крупных успехов. Эти авторы отправлялись от методов О. Коши и А. Пуанкаре, основанных на изучении аналитических свойств резольвенты задачи.

Основными методами диссертации стали методы научной школы академика Садовничего В.А., с помощью которых удалось рассмотреть абстрактные возмущенные операторы, а затем редуцировать к ним задачи частного вида.

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка литературы.

1. Результаты, полученные с помощью двух методик, совпадают с точностью допущенной при вычислении погрешности.2. Разработанный в диссертации алгоритм может быть использован для вычисления первых собственных чисел возмущенных дискретных полуограниченных операторов.

1. Абзалимов P.P. Асимптотическая формула для собственных чисел полуограниченного оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом.// Труды Средневолж. мат. о-ва. 1999. Т. 2. №1 С. 73-74.

2. Алероев Т.С. О собственных значениях одной краевой задачи для дифференциального оператора дробного порядка// Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36. №10. С. 1422-1423.

3. Алыдина Е.А., Калиткин H.H. Вычисление спектров линейных дифференциальных операторов// Доклады РАН. 2001. Т. 380. №4 С. 443-447.

4. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений.// Итоги науки и техники ВИНИТИ. Мат. Анализ. 1977. Т. 14. С.5-88.

5. Васильева А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М.: МГУ, 1989.

6. Владимиров A.A. О спектре самосопряженных дифференциальных операторов из параметрического семейства// Мат. заметки. 2000. Т. 68. №3. С.471-474.

7. Гасымов М.Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов// ДАН СССР. 1963. Т. 150. №6. С. 12021205.

8. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М: 1965.

9. Дикий Л. А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке // Известия АН СССР. Сер. матем. 1955. Т. 19, №4, с. 187-200.

10. Дикий JI.A. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. 1957. Т. 116. №1. С. 1214.

11. Дикий Л.А. Об одной формуле Гельфанда-Левитана// УМН. 1953. Т. 54. №(8:2). С. 119-123.

12. Дородницын A.A. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // УМН. 1952. Т. 7, №6. С.3-96.

13. Дубровский В.В. Обоснование метода вычисления собственных чисел интегральных операторов с помощью теории следов // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. № 10. С. 1762 1763.

14. Дубровский В.В. Приближенные формулы следов // Деп. ВИНИТИ АН СССР. 1978. №2002 — 78. С. 9.

15. Дубровский В.В. Теория возмущений и следы операторов. Дисс.докт. физ-мат. нук, М. 1992.

16. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора// Новыемат. методы. Электромагн. волны и электронные системы. 1998. №2. Т. 3.С. 4-8.

17. Дубровский В.В., Кунакова Е.Ю. Формула регуляризованного следа степени оператора Штурма-Лиувилля на треугольнике// Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. №7. С. 1274-1276.

18. Дубровский В.В., Семин Н.В. Приближенные формулы регуляризованных следов. // ДАН. 1996. Т. 350. №5. С.583-584.

19. Дьяченко A.B. Асимптотика собственных значений индефенитной задачи Штурма-Лиувилля// Мат. заметки. 2000. Т. 68. №1. С. 139-143.

20. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Самосопряженные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1991.

21. Кадченко С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда.// Новые мат. методы. Электромагнитные волны и электронные системы. 2000. №6 Т.5. С. 410.

22. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

23. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений// ДАН. 1951. Т. 77. №1 С. 11-14.

24. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

25. Копылов В.И. Кратные собственные значения дифференциальных операторов// Деп ВИНИТИ. 22.02.2001 №458-В2001. 21с.

26. Костюченко А.Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов. Дисс. докт. физ-мат. наук. М. 1966.

27. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.: ГТГИ. 1951.

28. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1983.

29. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка// Изв. АН СССР. Серия мат. 1952. Т. 16. №1. С. 325-352.

30. Лидский В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след //ДАН СССР. 1959. Т. 125. № з. С. 485 487.

31. Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов// Труды ММО. 1962. Т. 11. С. 3-35.

32. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций// Функциональный анализ и его приложения. 1967. Т. 1. №2. С. 52-59.

33. Лугуева A.C. Исследование спектральных характеристик дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом Q(x,p(x),e) в случае р(х)еХь. // Деп. ВИНИТИ 30.05.2000, №1555-В2000.

34. Любишкин В.А., Подольский В.Е. О суммируемости регуляризованных следов дифференциальных операторов// Мат. заметки. 1993. Т. 53. №2. С.33-38.

35. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Том I. М.: Наука, 1967.

36. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Том И. М.: Наука, 1967.

37. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды ММО. 1952. Т. 1. С. 327--420.

38. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Наука. 1959.

39. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа. 1977.

40. Муратбеков М.Б. Оценка собственных чисел одного класса дифференциального оператора смешанного типа// Межд. конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Алматы 26-28 сент. 2001.2001. 46с.

41. Мустафокулов Р. О задаче Штурма-Лиувилля для уравнений четвертого порядка на пространственных сетях. Автореф. дисс.на соискание уч. ст. докт. физ.-мат. наук. Душанбе. 2000. 28с.

42. Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов// Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. направления. 1989. Т. 64. С. 1-248.

43. Савчук A.M., Шкаликов A.A. Формулы следа для операторов Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом// Мат. заметки. 2001. Т. 69. №3. С. 427-442.

44. Садовничая И.В. Регуляризованные следы одного класса сингулярных операторов// Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. №6. С. 771778.

45. Садовничий В.А., Конягин C.B., Подольский В.Е. Регуляризованный след оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным. // ДАН. 2000. Т. 373. № 1. С. 26-28.

46. Садовничий В.А. Регуляризованные суммы полуцелых степеней оператора Штурма-Лиувилля. // Мат. заметки. 1973. Т. 14. №2. С. 279289.

47. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Наука. 1986.

48. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Замечание об одном новом методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретного оператора// Труды сем. И.Г. Петровского. 1994. №19. С. 244-248.

49. Садовничий В.А., Дубровский В.В. К обоснованию метода вычислений собственных чисел дискретного оператора с помощью регуляризованных следов. // УМН. 1990. Т. 45. №4. с. 120.

50. Садовничий В. А., Дубровский В.В. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере// ДАН СССР. 1991. Т. 319. №1. С. 61-62.

51. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О классической формуле первого регуляризованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере// Труды сем. И.Г. Петровского. 1996. №19. С. 37-72.

52. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дифференциальных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в частных производных// Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. №11. С. 2033-2042.

53. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Соченко Н.Ю. Регуляризованные следы несамосопряженных дискретных операторов с неядерной резольвентой// Доклады РАН. 2000. Т. 370. №1. С.24-26.

54. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов// Функц. анализ и его прил.1986. Т. 20. №3. С. 55-65.

55. Садовничий В. А., Любишкин В.А. Регуляризованные следы дискретных операторов// ДАН СССР. 1982. С. 290-293.

56. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа// ДАН СССР, 1981. Т. 256. №5 С.794-798.

57. Садовничий В.А., Любишкин В.А., Мартинович М. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов// ДАН СССР.1987. Т. 293. №5. С. 1062-1064.

58. Садовничий В.А., Подольский В.Е. О вычислении первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля // ДАН. 1996. Т. 346. №2. С. 162-164.

59. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Об одном классе операторов Штурма-Лиувилля и приближенном вычислении первых собственных значений// Математический сборник. 1998. Т. 189. №1. С. 133-148.

60. Свиридюк Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости// Известия ВУЗов. Математика. 1994. №1. С. 62-70

61. Семин H.B. О некоторых обратных задачах спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных уравнений// Вестник молодых ученых. Сер. прикл. мат. и мех. 2000, №4 С. 53-55. Англ.

62. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Монография: Петроград, 1917г.

63. Тичмарш Е.К. Дзета-функция Римана. М.: Иностранная литература. 1947.

64. Томин Н.Г. О регуляризованных следах операторов с ядерной резольвентой.// Тезисы доклада на Межд. конференции по дифф. уравнениям и динам, системам, Суздаль. Владимир. 2000. С. 189-190.

65. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Иностранная литература. 1962.

66. Ускова Н.Б. О приближениях к собственным значениям и собственным векторам возмущенных линейных операторов// Мат. заметки Якутского гос. ун-та. 2000. Т. 7. №1. С. 72-76

67. Шевченко Р.Ф. О следе дифференциального оператора// ДАН СССР, 1965. Т. 164. №1. С.62-65.

68. Шкарин С.А. О способе Гельфанда-Дикого вычисления первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля // Вестник МГУ. Сер.1. Матем., мех. 1996. №1. С. 39-44.

69. Avacumovic V.G. Uber die Eigenfunctionen auf geschlossen Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Math. Z., 1956, 65, p. 324-344.

70. Calkin J.W. Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space, Ann. Math., 42, N4 (1941), 839-873.

71. Carleman T. Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller Differential-gleichungen. Ber. Sachs. Acad.Wiss. Leipzig, 1936, 88, p. 119-132.

72. Minalcshisundaram S., Plejel A. Some properties of the eigenfunctions of the Laplace operator on Riemannian manifolds// Canad. J. Math. 1949. V. 1. №2. P. 242-256.

73. Rayleigh Lord The theory of Sound. London: 1927, v. 1.

74. Schatten R. A theori of cross-spaces. Princeton. 1950.

75. Schrödinger E. С ollected p apers о n w ave mechanics. N ew-York-Toronro-London: Mc. Graw-Hill, 1955.

76. Weil H. Das asymptotische Verteilungsgesatz der Eigenverte linearer partieller Differential-gleichungen (mit einer Anwendung Theorie Hohlraumstrahlung)//Math. Ann. 1912. 71. P. 441-479.

77. Weil H. Uber die Randwertaufgabe der Strahlungstheorie und asymptotische Spektralgesetze// J. Reine. Angew, 1913. V. 143. №3. P. 177-202.Основные публикации автора по теме диссертации

78. Распопов В.В., Дубровский В.В. Формула регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка.// Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38 №7. С.979-981.

79. Распопов В.В., Дубровский В.В. К вопросу о формуле регуляризованного следа дифференциального оператора// Сборник научных трудов преподавателей и аспирантов Магнитогорского госпединститута: Вып. 2. г.Магнитогорск. 1998. С. 34-38

80. Распопов В.В. К вопросу вычисления регуляризованных следов обыкновенных дифференциальных операторов// Материалы Международной научно-практической конференции. Казахстан, Чимкент. 2000. С. 40-41.

81. Распопов В.В. Вычисление первого регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка// Деп. ВИНИТИ.2001 №937-В2001

82. Распопов В.В. Нахождение первого регуляризованного следа одного дифференциального оператора// Студент и научно-технический прогресс. Материалы XXXIX Международной научной студенческой конференции г.Новосибирск. 2001. С. 122-123

83. Распопов В.В. Вычисление первого регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора порядка 4m// Деп. ВИНИТИ. 2002. № 1210-В2002.

84. Распопов В.В. Формула регуляризованного следа дробного порядка возмущенного дискретного самосопряженного оператора// Деп. ВИНИТИ. 2002. №1211-В2002.