автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вычислительные методы в спектральной теории оператора Штурма-Лиувилля

Введение.

Глава 1. Регулярная задача.

§ 1. Описание метода расчёта собственных чисел и собственных функций.

§2. Основные теоремы.

§3. Вычисление регуляризованного следа.

§4. Краевая задача со спектральным параметром в краевых условиях.

§5. Обобщение на дифференциальные уравнения л-го порядка.

§ 6. Примеры регулярных задач.

§7. Таблицы расчётов собственных чисел для регулярных задач.

Глава 2. Сингулярная задача.

§ 1. Классификация задач.

§2. О выборе краевых условий.

§3. Основные результаты.

§4. Вычисление регуляризованного следа.

§ 5. Примеры сингулярных задач.

§6. Таблицы расчётов собственных чисел для сингулярных задач.

Актуальность темы. Проблема построения эффективных методов решения спектральных задач давно привлекала внимание математиков. Это обусловлено в первую очередь тем, что многие технические и физические процессы требуют решения задач на собственные числа для обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, одной из центральных задач определения собственных чисел оператора энергии, в области квантовой механики, является стационарное уравнение Шрёдингера. Следует отметить, что квантовая механика находит применение практически во всех широких областях физики, в частности, в современном направлении построения квантовых компьютеров. С развитием квантовой механики, проблема численного нахождения собственных чисел и собственных функций сингулярных операторов стала весьма актуальной. Аналитически собственные значения энергии вычисляются лишь для некоторых модельных задач. К сожалению, далеко не все задачи решаются точно, поэтому возникает потребность разрабатывать вычислительные методы.

Формулы регуляризованных следов являются важными спектральными характеристиками и приобретают в последнее время актуальность в связи с их применением для приближенного вычисления первых собственных значений оператора, а также при решении обратных задач.

Развитие методов исследования задач нахождения собственных чисел"и собственных функций, а также регуляризованных следов тесно связано с именами В.А. Тихонова, Г.И. Марчука, А.А. Абрамова, А.Г. Костюченко, И.С. Саргсяна, Б.М. Левитана, Э.Ч. Титчмарша, В.А. Садовничего, Я.Т. Султанаева, А.А. Шкаликова, J1. Коллатц, Н.С. Бахвалова, Е.П. Жидкова, Бэйля (Р.В. Bailey), Эверитта

W.N. Everitt), Зеттла (A. Zettl), и др.

Наряду с этим, многие вопросы остаются мало изученными, даже в случае дифференциального уравнения второго порядка. Это можно объяснить тем, что природа их спектра исследована не полностью. Стремление найти общую основу для изучения спектра одномерных сингулярных дифференциальных операторов второго порядка приводит к разработке новых методов. Задача становится еще более сложной в случае многомерных операторов любого порядка.

Цель работы. Основными целями работы являются: выявление метода расчёта собственных чисел и собственных функций регулярных и сингулярных спектральных задач с различными краевыми условиями, в том числе, когда в краевых условиях присутствует спектральный параметр; получение формул для вычисления первых регуляризованных следов; получение асимптотической формулы для собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля при наличии точки поворота.

Методика исследования. В работе применяются методы численного и асимптотического анализа, некоторые прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов для выбора условий дискретности спектра.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в разработке метода расчёта собственных чисел и собственных функций краевой задачи с различными краевыми условиями, в том числе, когда в краевых условиях присутствует спектральный параметр. Предлагаемый метод решения спектральной задачи позволяет строить приближённые решения без последующей интерполяции и выбора пробных функций. В частном случае, получена асимптотическая формула собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля при наличии точки поворота. Найдены новые условия для вычисления первого регуляризованного следа оператора Штурма-Лиувилля.

Теоретическая и практическая ценность. Основным результатом является построение в явном виде функции /(X), нулями которой будут приближённые собственные числа. Метод можно расширить на дифференциальные уравнения п -го порядка. Результаты работы носят, как теоретический, так и практический характер. Они могут найти применение в области квантовой механики, технической механики и других областях науки, а также при исследовании асимптотики собственных чисел.

Задачи на собственные числа возникают в прикладных областях физики, таких как акустика, аэродинамика, электричество, ядерная физика, квантовая механика, техническая механика и т.д., а также в других областях науки. Например, как отмечалось, известная задача из квантовой механики на собственные числа - уравнение Шрёдингера О, h где m,h- постоянные, U(x) потенциальная энергия, (р - собственная функция, Я- собственное значение энергии, Л - оператор Лапласа.

Как известно (Л. Коллатц [21]; С. Гулд [17]), значительное количество задач на собственные числа описываются или сводятся к дифференциальным уравнениям вида:

1{у) = ~[р(х)у'(х)] + \д(х) - X • w(x)]y(x), х е (a,b), - оо < а < b < +00, где q(x) - кусочно-непрерывная функция, р(х) Ф 0, ф 0. К ним добавляются ещё некоторые краевые условия.

Основы спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены Штурмом и Лиувиллем, которые рассматривали уравнение в частном случае, когда р(х) = 1, w(x) = 1. В настоящее время, оно известно как уравнение Штурма-Лиувилля в нормальной форме. В некоторых частных случаях, известны асимптотические разложения решений по спектральному параметру Я при Я —><х>, асимптотики больших собственных чисел, а также формулы первых регуляризованных следов.

Развитие прикладных областей науки привело к необходимости в разработке численных методов нахождения собственных чисел. В последнее время известны несколько методов, которые применяются для достаточно широкого класса задач. Они сочетают в себе преимущества численного метода (высокая точность определения собственных чисел с младшими порядковыми номерами) и асимптотических формул классического анализа (можно отнести к определению собственных чисел с большими порядковыми номерами). Например, метод конечных элементов достаточно эффективен при решении самых разнообразных задач, в своей основе он является вариационным, и история его возникновения и развития восходит к основополагающим работам Бубнова и Галёркина.

В работах А.А. Абрамова, В.В. Диткина, Н.Б. Конюховой, В.Н. Ульяновой и др. (см., например, библиографию в их статье [9]), для вычисления собственных чисел и собственных функций используется так называемое фазовое уравнение, в котором задача сводится к нелинейному уравнению первого порядка путем замены переменных у = р sin0, р-у' = pcosd, где р, 0 - новые переменные (это, так называемая, замена Прюфера). Таким образом, для 9 получаем уравнение в' = —1—cos2 в + (Я • w(x) - q(xj) ■ sin2 в. р(х)

Метод фазовых функций хорошо известен и применяется в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для доказательств теорем осцилляций и сравнения, в вычислительной физике при решении задач квантовой механики на связанные состояния частиц и рассеяние (В.В. Бабиков [14]), в вычислительной математике для решения краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений с вещественными коэффициентами (А.А. Абрамов [7]; А.А. Абрамов [8]), где предложен и исследован, связанный с преобразованиями Прюфера, вариант ортогональной дифференциальной прогонки для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Данный метод имеет обобщение на системы двух уравнений первого порядка (А.А. Абрамов, В.В. Диткин, Н.Б. Конюхова и др. [9]). Метод фазовых функций требует введения вспомогательных функций, необходимых при получении асимптотических граничных условий в окрестностях особых точек. Более подробно о вспомогательных функциях см. работу А.А. Абрамова [8].

В настоящее время метод фазовых функций имеет различные модификации, в которых учитывается устойчивость решения задач с сингулярными концами, а также наличие сингулярно входящих в уравнения больших параметров, что экономит память ЭВМ при вычислении собственных функций и т.п. При модификации основное внимание уделялось возможности решения с помощью единого алгоритма широкого класса сингулярных самосопряжённых краевых задач квантовой физики для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с дискретным спектром собственных значений.

В работах [37]-[42] предлагается метод, в котором основная краевая задача также сводится к нелинейному уравнению первого порядка путем замены Прюфера. Данный метод представляет собой, по мнению автора, некоторую модификацию метода фазовых функций, в которой дополнительно рассматривается классификация граничных точек, и относительно них записываются краевые условия (A. Zettl [3 8]). Основные усовершенствования заключаются в том, что описанная процедура позволяет вычислять собственные числа, когда р(х) и w(x) могут менять знак на (а,Ь). Дело в том, что модификация метода фазовых функций существенно развита для уравнений второго порядка с краевыми условиями вида где u(x),v(x) решения задачи при некотором фиксированном Я.

Использование замены Прюфера позволяет избавиться от необходимости учета точки поворота (хл называется точкой поворота, если q(xx) = Л). По нашему мнению, наличие точки поворота, по-видимому, должно упростить переход от сингулярной задачи к регулярной. Наличие хх позволяет получать пока лишь верхние и нижние оценки собственных чисел. Но с другой стороны, нами получена асимптотическая формула для собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля, с сингулярным правым концом, относительно точки хл (P.P. Абзалимов [1])

А\у,и\а)+A2\y,v\a) = Q

Bx\y,u\(b) + B2{y,v\b) = О f ш

V 1 **

В работе Е.П. Жидкова, А.Г. Соловьева [18], рассматривается задача с убывающей потенциальной функцией, с некоторыми дополнительными условиями. Основная идея работы заключается в том, что производится замена бесконечного интервала конечным с переносом граничных условий из бесконечности, при котором используются асимптотические решения, при я: —» +оо. Эта процедура описывается в работах А.А. Абрамова [8], и достаточно хорошо развита. Результатом замены полуоси отрезком [О, R] (где R> О достаточно большое) является отличие найденных собственных чисел и собственных функций от искомых. Исследование влияния выбора точки R на погрешность их определения показывает, что она тем меньше, чем больше R. Реально же задача на [0, i?] часто решается повторно, с большим R. Сравнение полученных при этом собственных чисел и собственных функций даёт информацию об их точности. Если она оказывается недостаточной (собственные числа и собственные функции сильно отличаются), то необходимо дальнейшее увеличение отрезка [О,R]. Однако, Е.П. Жидков и А.Г. Соловьев обходят эту процедуру. Имея в своём распоряжении два собственных числа на различных отрезках строят их линейную комбинацию таким образом, что погрешность приближения будет существенно меньше, чем каждого по отдельности. То же самое производится и с собственными функциями. Однако следует отметить, что данный метод описан для спектральных задач с убывающей потенциальной функцией. Анализ литературы показал, что в настоящее время не встречаются работы, в которых применяется перенос и процедура уточнения собственных чисел для задач с растущей потенциальной функцией.

В диссертационной работе предлагается новый способ нахождения собственных чисел и собственных функций (численные расчёты собственных функций не проводились, так как их можно рассчитать практически любыми классическими методами) дифференциального оператора второго порядка. Алгоритм вычисления представлен только для регулярной задачи. В случае сингулярной задачи уравнение заменяется серией регулярных, со специально выбранными краевыми условиями. При их правильном выборе достигается максимальная точность расчета. Предлагаемый метод решения спектральной задачи позволяет строить приближённые решения без последующей интерполяции и выбора пробных функций и сочетает в себе преимущества конечных разностей и сплайн-функций. Основным результатом является построение функции /(Я) в явном виде, нулями которой будут приближённые собственные числа исходного уравнения. Метод можно расширить на дифференциальные уравнения и-го порядка, а также на задачи в граничных условиях которого присутствует спектральный параметр (P.P. Абзалимов [5]). Для удобства будем называть его "СМРСЧ" -сплайн-метод расчета собственных чисел.

Перейдём к описанию диссертации, которая состоит из введения, двух глав и приложения.

1. Абзалимов P.P. Вычисление собственных чисел и собственных функций регулярной и сингулярной краевых задач // Электронный журнал "Исследование в России" 79, 1085-1091, 2000 http ://zhurnal .аре .relarn .ru/articles/2000/079.pdf.

2. Абзалимов P.P. Методика отыскания собственных значений и собственных функций регулярной задачи Штурма-Лиувилля //Вест. БашГУ 1999, № 2. С. 20-23.

3. Абзалимов P.P. Отыскание собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля //Вест. БашГУ1999, №3. С. 7-12.

4. Абзалимов P.P. Вычисление собственных чисел и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля на полуоси //Вест. БашГУ2000, № 1.С. 13-18.

5. Абзалимов P.P. Метод расчёта собственных чисел и собственных функций регулярной краевой задачи со спектральным параметром в краевых условиях //Сборник статей «На рубеже веков -Естественно-математический цикл» ч.З Уфа: 2001, С. 90-96.

6. Абрамов А.А. О поведении граничных условий, переносимых в окрестности регулярной особой точки // Ж. вычис. матем. и матем. физ. 1980. - Т.20, № 4. - С. 901-908.

7. Абрамов А.А. Вариант метода прогонки. // Ж. вычис. матем. и матем. физ. 1961. - Т.1, № 2. - С. 349-351.

8. Абрамов А.А. Методы решения некоторых линейных задач: Дис. докт. физ. матем. наук. - М., 1974. - 174.

9. Абрамов А.А., Диткин В.В., Конюхова Н.Б. и др. Вычисление собственных значений и собственных функций обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями //Ж. вычис. Матем. и матем. физ. 1980. - Т.20, № 5. - С. 1155-1173.

10. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. //ПММ. 1997. - Т.61, вып.З. -С. 547-555.

11. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. //ДАН 1998. - Т.363, №3. - С. 323-326.

12. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. //ПММ. 1999. - Т.63, вып.4. -С. 645-654.

13. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. //ПММ. 1999. - Т.63, вып.5. -С. 746-756.

14. Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. -М.: Наука, 1976.-286 с.

15. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Собственное значение и след оператора Штурма-Лиувилля как дифференциальные функции суммируемого потенциала. //ДАН. 1999, Т.365, № 3, С.295-297.

16. Глазман ИМ. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Наука. 1963.М.Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. М.: Наука. 1970. - 328 с.

17. Жидков Е.П., Соловьев А.Г. // Ж. вычис. матем. и матем. физ.-1999. т.39. №3. С.1098-1118.

18. Керимов Н.Б., Мамедов Х.Р. II Сиб. Мат. журнал. 1999. Т.40. №2. С. 325-335.

19. Китороагэ Д-Н., Конюхова Н.Б., Парийский B.C. Модифицированный метод фазовых функций в сингулярных задачах квантовой физики на связные состояния частиц //Сообщ. по прикл. матем. М.: ВЦ АН СССР, 1987. 61 с.

20. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука. 1968.-503 с.

21. Костюченко А.Г., Саргсян И. С. Распределение собственных значений. М.: Наука. 1979 - 400 с.

22. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука. 1973.- 752 с.

23. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука. 1970 - 671 с.25 .Любишкин В. А. Вычисление регуляризованного следа оператора Штурма-Лиувилля в случае предельного круга Вейля //Сем. им. Петровского 1986.

24. Митрохин СИ. //ДАН. 1997, Т.356, № l, С.13-15.

25. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969 - 526 с.

26. Отелбаев М. К асимптотическим формулам собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля. //ДАН СССР. 1981, Т.259, № 1, С.42-44.

27. Отелбаев М. К асимптотическим формулам собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля. //Сиб. матем. журнал. 1983, T.XXIV, № 4, С.116-130.

28. Рид М., Саймон Д. Методы современной математической физики.(тома 1 и 4). М. «Мир». 1977.

29. Султанаев Я. Т. Асимптотика дискретного спектра одномерных дифференциальных операторов. //Диф. уравнения. 1974, Т. 10, № 11, С.2010-2020.

30. Султанаев Я.Т., Муртазин Х.Х. К формулам распределения собственных чисел неполуограниченного оператора Штурма-Лиувилля. //Мат. заметки. 1980, Т.28, вып.4, С.545-553.

31. Титчмарш Э.Ч. Разложение по собственным функциям связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. -М.: Наука. 1960.-276 с.

32. Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории одномерных сингулярных дифференциальных уравнений. -М.: Наука. 1983. 352 с.

33. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976. - 376.

34. Р.В. Bailey, B.S. Garbow, H.G. Kaper and A. Zettl. Eigenvalue and eigenfunction computation for Sturm-Liouvile problems. //ACM Trans. Math. Software 17 (1991), no.4, p. 491-499.

35. P.B. Bailey. SLEIGN an eigenfunction eigenvalue code for Sturm-Liouvile problems. //SAND 77-2044, Sandia Laboratories, Albuquerque (1978).

36. P.P. Bailey, W.N. Everitt and A. Zettl. Computing eigenvalues of singular SLP. //Resultate fur Mathemaik v.20, 1991, p. 391-423.

37. Q. Kong, H. Wu and A. Zettl. Dependence of eigenvalues on the problem.//Math. Nachr. 188, 1997, p. 173-201.

38. W.N. Everitt, M.K. Kwong and A. Zettl. Oscillations of eigenfunctions of weighted regular SLP. //J. London Math. Soc. N2, v.27, 1983, p. 106-120.

39. A.Zettl. Spectral theory and computational methods of SLP (Knoxville, TN, 1996), p. 1-104, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 191, Dekker, New York, 1997.