автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель осцилляций решений дискретных уравнений Штурма-Лиувилля высших порядков и ее приложения к колебаниям линейных систем

005018828

Бондаренко Алексей Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОСЦИЛЛЯЦИЙ РЕШЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ К КОЛЕБАНИЯМ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13Л8 - «математическое моделирование,

численпые методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук^ уд^ 2012

Москва - 2012 г.

005018828

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Московском государственник технологическом университете «СТАНКИН».

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Елисеева Юлия Витальевна

Официальные оппоненты: Галахов Евгений Игоревич

доктор физико-математических наук, ФГБОУ ВПО Российский университет дружбы народов, доцент кафедры математического анализа и теории функций

Джалалова Маргарита Васильевна кандидат физико-математических наук, НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, старший научный сотрудник

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Тверской государственный

технический университет

Защита состоится « и/ » сМАьР 2012 г. в Я часов на заседанш диссертационного совета Д 212.142.03 при ФГБОУ ВПО Московсю» государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу 127055, Москва, Вадковский переулок, д. За.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПС Московского государственного технологического университета «СТАНКИН».

Автореферат разослан « ^ » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доц.

Семячкова Е.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Механические и электромагнитные колебания в линейных системах, многие явления в ядерной физике и квантовой химии описываются дифференциальными и разностными уравнениями высших порядков. Для таких задач разделение по времени и по пространственным переменным приводит к дифференциальным и дискретным краевым задачам Штурма-Лиувилля. Дискретные краевые задачи Штурма - Лиувилля высших порядков возникают при исследовании поперечных колебаний дискретных моделей стержневых систем, анализе моделей колебаний частиц в одномерных решетках, учитывающих дальние взаимодействия, а также при аппроксимации дифференциальных краевых задач Штурма - Лиувилля конечно-разностными соотношениями. При изучении механических колебаний в линейных системах в теоретическом и прикладном аспектах основной интерес представляют низшие моды колебаний, анализ которых требует решения частичной проблемы собственных значений для дифференциальных и дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков.

В работах Е. А. Coddington, N. Levinson, Р. Hartman, E. С. Titchmarsh, И. М. Глазмаиа, Л. Д. Николенко, В. А. Якубовича и других авторов изучались осцилляциопиые свойства решений дифференциальных уравнений Штурма -Лиувилля, которые позже легли в основу методов решения краевых задач Штурма - Лиувилля второго и четвертого порядков, разработанных А.А.Абрамовым, Р. В. Bailey, W.N. Everitt, А. Zettl1, Л. Д. Акуленко, Г. В. Костиным, С. В. Нестеровым2, L. Greenberg, М. Marietta3 и др.

Дискретная краевая задача Штурма - Лиувилля второго порядка с разделенными граничными условиями равносильна задаче на собственные

' Р.В. Bailey, W.N. Everitt and A. Zettl. The SLEIGN2 Sturm-Liouville Code, ACM Trans. Math. Software, 21, 2001, p. 143-192.

" JI. Д. Акуленко, Г. В. Костин, С. В. Нестеров. Численно-аналитический метод исследования свободных колебаний неоднородных стержней. Изв. РАН. МТТ, 1995, № 5, стр. 180-191

1 L Greenberg,М. Marietta. Algorithm 775: the code SLEUTH for solving fourth-order Sturm-

Liouville problems. ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 23, 4, 1997, p. 453-493.

значения для симметричной трехдиагональной матрицы. Решением последней занимались J. Givens, J. Wilkinson, С. К. Годунов и др.

Теория дискретных симплектических систем уравнений:

А ви

, W%JWk = J, к = 0, ...,N, J =

О / -/ О

(1)

развивалась в работах L. Erbe, Р. Yan, С. Ahlbrandt, М. Bohner, W. Kratz, О. Dosly и др. Дискретные краевые задачи Штурма - Лиувилля высших порядков являются важным частным случаем краевых задач для систем (1) с вырожденным блоком Вк. В 2007 году W. Kratz и О. Dosly доказали

осцилляциоииую теорему4 для дискретных систем (1). Используя метод бисекции и данную теорему, можно решать частичную проблему собственных значений дискретных краевых задач для симплектических систем (1).

Применение метода бисекции для дискретной краевой задачи Штурма-Лиувилля высшего порядка связано с трудностью подсчета фокальных точек5 главного решения соответствующей симплектической системы. Число фокальных точек — осцилляционная характеристика, обобщающая понятие нуля функции на случай матричного решения системы (1).

В настоящей диссертации разрабатываются методы исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма-Лиувилля высших порядков, позволяющие использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков, что является актуальным с позиций практического интереса.

Целью работы является развитие качественных и количественных методов исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма-Лиувилля высших порядков и разработка метода решения

4 O. Dosly, W. ICratz. Oscillation theorems for symplectic difference systems. J. Difference Equ. Appl. 13,2007,585-605.

5 W. Kratz. Discrete Oscillation. J. Difference Equations and Appl. 9, 2003, 135-147.

частичной проблемы собственных значений для дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с заданной точностью.

Метод исследования. В работе используются методы линейной алгебры, матричного анализа и вычислительной линейной алгебры, элементы теории разностных уравнений. Разработка программного обеспечения проводилась в среде МАТЬАВ.

Научная новизна работы.

1. В диссертационной работе разработаны новые методы исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма-Лиувилля высших порядков, отличительной особенностью которых является применение осцилляционной теории симплектических систем и учет структуры соответствующей матрицы симплектической системы.

2. Доказана осцилляциоииая теорема, позволяющая использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретной краевой задачи Штурма - Лиувилля высшего порядка.

3. Доказана теорема о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения, что позволяет сократить число операций в п раз при подсчете фокальных точек решения дискретного уравнения Штурма - Лиувилля порядка 2п.

4. Разработан метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий О (И) операций для вычисления отдельного собственного значения.

Практическая ценность. Разработан комплекс программ, реализующий локализацию и вычисление отдельных собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков. Разработанные методы и комплекс программ могут быть использованы при решении следующих задач:

• анализ моделей колебаний частиц в одномерных решетках, учитывающих дальние взаимодействия;

• исследование поперечных колебаний дискретных моделей стержневых систем;

• анализ колебаний стержней переменного поперечного сечения;

• решение частичной проблемы собственных значений симметрических ленточных матриц без приведения к трехдиагональной форме.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методы исследования дискретных уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков, основанные на осцилляционной теореме и теореме о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения.

2. Алгоритмы подсчета фокальных точек главного решения уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка, отличительной особенностью которых является использование ортогональных трансформаций главного решения и структуры симплектической системы, соответствующей уравнению Штурма - Лиувилля высшего порядка.

3. Комплекс программ, реализующий разработанный метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма-Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий О(Л^) операций для вычисления отдельного собственного значения.

Апробация работы. Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики под руководством профессора А. Л. Скубачевского, РУДН (г. Москва, февраль 2012 г.); на XIX международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2012 г.); на II международной научной конференции «Моделирование

нелинейных процессов и систем» (МГТУ «Станкин», Москва, 2011 г.); па XV международной научной конференции "Dynamical system modeling and stability investigation" (КНУ им. Тараса Шевченко, Киев, Украина, 2011 г.); на XI, XII, XIII научных конференциях МГТУ «Станкин» и Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» — ИММ РАН по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2008, 2009, 2010 г.);

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 7 печатных работах, в числе которых 2 статьи из перечня изданий, рекомендованных ВАК, 3 — в сборниках трудов научных конференций и 2 — в периодических изданиях.

Структура II объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Содержание диссертации изложено па 148 страницах машинописного текста, в число которых входит 8 страниц приложений. В тексте имеется 19 рисунков и 8 таблиц. Список литературы включает 91 наименование.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе приводится постановка задачи, представлен обзор литературы, вводятся основные понятия и теоремы дискретной осцилляционной теории симплектических систем необходимые для дальнейшего изложения.

В работе рассматривается дискретная краевая задача Штурма - Лиувилля 2/7-ого порядка для скалярной функции и/, дискретного аргумента к

£ (-Д)" U'' W4+1_, 1 = Xvk+1, т-Г - 0, (2)

/'=0

Ч-п = - = '"О = '"N+2-11 = ••• = = 0. (3)

где к = О, 1, ..., N - п, = ук+1 - ук, А'\ = Я еК

и N>¡1. Задача (2), (3) соответствует задаче на собственные значения для симметричной ленточной матрицы А € к(Л,+1-")х(ЛГ+1-п) с шириной ленты 2/7+1. Задача (2), (3) сводится к симплектической краевой задаче на

собственные значения для векторной функции ук е

»271. .

I 0 ч

Ук+1 = щ (У У к, = -\Ьк I II ик

, о < к < N, (4)

с краевыми условиями а;() = 0 = Матрица симплектическая для всех

О < к < N, т. е.

О Л

4 вк Ск Ок

> ЗБк — 3, 3

-I О

Здесь хк,ик е К", Лк,Вк,С/.,£>/.,Ьк е К"*", О, I — нулевая и единичная матрицы соответственно, Т — знак транспонирования, Ьк — симметрическая неотрицательно определенная матрица.

Для задачи (2), (3) коэффициенты соответствующей симплектической системы (4) имеют вид 1 •■• 1

А,. =

О

,Вк = 4 • ^г<Иа8(0,...)ОД),Ск = с11а8(г'°».....г!""1')^,

'к (5)

Ок = ¿1Щ(г1°\...,г^-1)уВк +{Ак1)Г, Ьк = Ь ='с!1ае(1,0.....0).

Сопряженным базисом (4) называется 2 пхп матричное решение У^ = [Х^ 11^} данной системы, удовлетворяющее условиям: Хк, ик е М"х", т

Уд. ЗУк = 0 и гапкУд. =п. Главным решением (4) называется сопряженный

базис, удовлетворяющий условию: У^' = [Х^ и^] = 0 /I

Основной осцилляционной характеристикой сопряженных базисов симплектических систем является современная концепция числа фокальных точек'1. Пусть определены матрицы

Mt = (i-xkxl)Bt, tI = I-M*]MI (6)

рк = т;,{хк+1х\в1)т1

Сопряженный базис системы (4) имеет m [y^ фокальных точек на интервале (А:,А; + 1], если т (У;.) = гапкМд. + indPfc, и т (УА.) фокальных точек на

интервале [A;, A; -f-1), если тп*(Yk) = vtmliM*. + iridPk , где ind/1 — число отрицательных собственных значений симметрической матрицы А,

А^ — псевдообратиая матрица.

Система (4), (5) обладает следующими свойствами:

1. det (Ak) ^ 0, rank [Bk) = 1.

2. Ker[Xk+-^ <Z Кег(Хк) для всех к = 0,1,...,и — 1, где Хк верхний (7) блок главного матричного решения.

Исследование осцилляциопиых свойств сопряженных базисов и разработка эффективных методов вычисления m{Yj.) и т (Yk) связаны с трудностью использования общего определения числа фокальных точек (6), не учитывающего специфику дискретной модели (2), определяемую (4), (5), (7).

Разработка эффективных методов вычисления rri(Yk) актуальна в силу осцилляциопиой теоремы W. Kratz и О. Dosly.

6 См. сноску 5 на странице 4.

7 Ю.В. Елисеева, «Сравнительный индекс для решений симплектических систем разностных уравнений», Дифференциальные уравнения, т.45, №3, 2009, стр. 431-444

Mk = (i-xk+lxl+1)Bk, Тк = 1-м\мк, р, = Tk(xkxl+xBk)Tk,

Осцилляционная теорема. Для задачи (2), (3) справедливо:

N

#{Ае«7|А<А}= (8)

к=О

где #{А £ а | А < А} — число собственных значений исходной задачи (2),(3),

N

которые не превосходят А, ^ т(У/;,А) — сумма числа фокальных точек

к={)

главного решения системы (4), (5) для заданного А.

Данная теорема позволяет использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений краевой задачи (2), (3), а именно, находить:

• собственные значения с наперед заданными номерами Лм

• собственные значения в заданном интервале (а;, у|;

• число собственных значений слева от заданного параметра А .

В работе показаны преимущества осцилляционной характеристики

*

т (У/ъ.), которая в отличие от т(Ук) учитывает структуру блоков А^, В^ ,то есть отражает свойства (7) модели (2). Поэтому в следующих главах работы особое внимание уделено осцилляционной характеристике гп (Уд.) и ее применению в методах исследования осцилляциопных свойств решений уравнений (2).

Во второй главе развиваются качественные методы исследования осцилляциопных свойств решений дискретных уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков.

Первым результатом главы является

гр

Теорема 1. Для любого сопряженного базиса У^ = симплектической системы (4) с матрицей (5) справедлива формула:

гп(Ук) = Ш(г£1)) + тй(-х£ик- и£атё(0,...Д1/гМ)и1,)-Ш(-Х[ик). (9)

Теорема 1 устанавливает связь между гп (Уд.) и одноранговым возмущением т

матрицы Х!: , с учетом свойств (7) модели (2).

*

В работе доказана осцилляционпая теорема для то (У/ь.), учитывающая

свойства (7) системы (4), (5). Данная теорема и алгоритмы вычисления гп (У/і:) составляют основу метода бисекции для решения дискретной краевой задачи Штурма-Лиувилля (2), (3).

Теорема 2. Для задачи (4), (5), для любого Є Е справедливо равенство

к-п

где #{А Є о- |А < Ах} — число собственных значений (2) меньших Ар а

N

У] гп ¡У^ (А^І — число фокальных точек для главного решения задачи (4), (5)

к=п

на интервале N +1 ].

Следующая теорема позволяет связать систему (4), (5) с некоторой системой (4), заданной на меньшем интервале.

Теорема 3. Пусть в системе (4), (5) выполняется N = п[(і +1) — 1 и

/ 0 4 В к

II Со

-А Ь I Си 4

71-1 _ .. -

= П 5А.-п+< = %+1)-п-1 "5(І+1)-7І-2 •■■•■'^•ш ^ = Е £(г,)'

1=0 р=0

(-1 Г^-С;-1-^-1, тах(і,і)<р + 1, (10)

О, тах (г,> р + 1,

для каждого к = 0,1,...,<7 имеет блоки

71-1

и

тогда

Х>М= ¿>&). ± т*{Уь)=±т(Ук).

к=0

Ч

I

А:=()

N

С

<1

£

А: = 0

(И)

Таким образом, подсчет фокальных точек на (о,^ +1| или для задачи

(4) с матрицей (5) сводится к подсчету фокальных точек для системы (4) с матрицей (10) на интервале (о,</ + і] или |о, ([ +1) соответственно, то есть в п раз меньшем интервале. Данный результат для т(Уд.) = тп(к) демонстрирует рис. 1.

ш (0) т (1) ¡и (п — 1) пі (Л')

Рис.! Схема подсчета фокальных точек для системы (4) с матрицей (5) и для системы (4) с матрицей (10) Для дискретной краевой задачи Штурма-Лиувилля (2), (3) четвертого

порядка были получены матрицы в явном виде. Таким образом, для

задачи (2), (3) при п — 2 вычисление фокальных точек на интервале

(о, ^ +1) / 2] для (4) с полученными матрицами §к, Ьк приводит к

сокращению числа операций в 2 раза, что подтверждается в четвертой главе вычислительными экспериментами.

Для определенной в (10), блок Вк обратим, следовательно система (4) с матрицей (10) сводится к трехчленному уравнению:

~Кк+1хк+2 + Тк+1хк+1 - 1<1%= ХЬхш, 0 < /г < </ - 1, (12)

где кк = (А:1).^ = (¿¿-+А-+1+ВД71)' \ААА -блоки матрвды

¡3^, матрица Ь определена в (10). Таким образом, из теоремы 3 следует

результат о совпадении осцилляционных свойств уравнений (2) и некоторого трехчленного уравнения (12).

В третьей главе разрабатываются алгоритмы подсчета фокальных точек т{Хк) 11 т основанные на симплектических ортогональных

трансформациях.

Применение осцилляционных теорем для решения частичной проблемы собственных значений задачи (2), (3) связано с трудностью подсчета фокальных точек по формулам (6) или (9), так как вычисление блоков главного решения может не обладать численной устойчивостью для рассматриваемой системы (4).

Первым предлагается «неявный» метод подсчета фокальных точек главного решения (4), (5) четвертого порядка, основанный на формулах связи между числом фокальных точек исходного главного решения и решения, подвергнутого симплектической ортогональной трансформации на каждом шаге интегрирования.

Для симплектической трансформации Рк сопряженного базиса системы (4) трансформированный базис — Р^ удовлетворяет системе

Yk+x = W,,wk =

Ак Bk Ск К

= pk+lwkpk

(13)

Рассмотрим матрицу симплектической ортогональной трансформации8 с диагональными блоками Р.-^, , удовлетворяющими условиям:

Р,пл -С.

рк _

\ ' т

Fm + Gm = l'Fm°.m = °'Fm * °>Gm *

(14)

Отметим, что матрица Р^ однозначно определяется расположением единиц или нулей в одной из матриц или . Число различных п х п матриц

^(А■)> удовлетворяющих условиям (14), равно 2". Пусть на главной диагонали

записано двоичное разложение числа з(к} е |о,1,...,2" — 1|.

J. Elyseeva, A transformation for symplectic systems and the definition of a focal point, Computers and Mathematics with applications, 47, 2004, p. 123-134.

Функция з = з(к),к = О,...,-/V +1 называется путем интегрирования для сопряженного Ук базиса системы (4) с матрицей трансформации (14), если

выполнено условие IRA =

Fj{k)Xk~Gj[k)Uk

0.

Для подсчета фокальных точек «жестких» систем (4) в работе используется вариант симплектической ортогональной прогонки, который использует следующую трансформацию сопряженного базиса Ук

I 0

Р h\Y,. =

'ДО

, det(Rk) 0,

(15)

где Р^щ определена в (14), матрица = (0¡(к)) является решением

уравнения Риккати Ск - + - 0-{к+1)ВкЯ-(к) = 0, где Ак, Вк,

Ск, —блоки матрицы Щ. (13).

Связь тп(У— числа фокальных точек сопряженного базиса Ук с т(ук)— числом фокальных точек У). = отражена в лемме 3.1В

работе показано, что данный результат для (4) с матрицей (5) примет вид:

Теорема 4. Пусть Ук - главное решение (4), Ук = Р'щУк определен в (15), тогда

N к=0

N

+ Е hid

к=0

N N

- Eind

k=0 k=0

0 Fj(k)Bk

Mr

о

F:i(k+l)Bk

lFj(.k+i)Bkf Щок

- ind (-Gj^+ijOj^^jGj^+x)),

(16)

' J.V. Elyseeva, Transformations and the number of focal points for conjoined bases of symplectic difference systems, Journal of Difference Equations and Applications, 15:11, 2009,1055 - 1066

N

N

где ^ т{Уі-) 11 Ху ) числа фокальных точек па + 1] для Ук и У^., к=0 ¿=0

Аі.,Ві ,Сі.,Бі. — блоки Ц?]. (5) и Ак,Вк,Ск1£)к — блоки соответствующей IV

определенной в (13),

В работе доказана теорема, упрощающая подсчет фокальных точек (17) для уравнения Штурма - Лиувилля 4 порядка.

Теорема 5. Пусть п = 2, для (4), (5) = 0,...,ЛГ + 1 определяется из

условия

шах

ИМ)

ОІ^і^^П7 Оль)

к \Т

тогда формулы

сравнительных индексов в (16) примут вид:

0

ІІ1СІ

ртв1

в,Л

(ртвЛ

т(?к) = іпсі((4т -вЩ{?+1])вк), »»I

1,1(Л;) = 0,2, іЦЛ Лк) = 1,3,

р№+1)вк в1ок

2, +1) = 0, ЛА:) = 2,3,

ІЦ(1 _ (Г.(°) + _ А), +1) = 3,:і(к) = 1,

іисі - (?{0) + ГІР + - А), ■] (к + 1) = 3, № = 0,

І11СІ - ф - А) + І11СІ - (г« + г-Р)Лк + 1)= 3,:1(к) = 2,

іисі - (г^ - А) + іисі - (г^), і (к + 1) = 3, т = 3, + 1) = 0,1,2; ¿{к) = 0,1,

і+іисі - {гІР+Ля*+1) = ът = 2,

1 + іисі - (гР), ] (к + 1) = 1, :і{к) = 3, 1 + іисі - (тр - А), ;}(к + 1) = 2, № = 2,3.

(18)

Таким образом, согласно (16), (18) подсчет фокальных точек па (о, ЛГ Ч-1]

главного решения дискретного уравнения Штурма - Лиувилля 4 порядка основан на вычислении N + 2 индексов матриц 2x2 и не более чем 2(7У +1) знаков чисел (в зависимости от пути интегрирования ¿(к)).

Следующий метод подсчета т (У/.) фокальных точек главного решения уравнения Штурма-Лиувилля высшего порядка основан на свойствах (7).

Теорема 6. Пусть в точке к для сопряженного базиса У/, справедливо

р№

~Стт

с

\т

р

№

У, =

1

Я1, Я9,..., Я последовательность

невырожденных симметричных матриц таких, что Я1— ведущая подматрица ®№)(а№)><*№))• Щ ~ идущая подматрица Ящ^Цку"^/11!- " д-Нр — ведущая подматрица (((0/ Я:)/ Я2)...) / Нр_1, причем гапк(Я1) + ... + гапк(Яр) = и определена матрица

"к Ч.

<ч, = {Рт&№рт)М + гк1)- ьк = V-

тогда число фокальных точек на к + 1)

т{Ук) = тс1 (Ак),Ак = № /Нг) / Н2)...) / Нр, (19)

Здесь —множество индексов строк, однозначно определяемое позициями единиц па диагонали Матрица А(а,0) — подматрица матрицы А,

стоящая в строках, определяемых множеством а, и в столбцах, определяемых множеством р. Отметим, что матрица получена симметричным

окаймлением блока Я ](куп ¡{к)} и имеет максимальную размерность п + 1.

*

Таким образом, вычисление гп (Ук) связанно с подсчетом индекса симметричной матрицы размером не превосходящей (п +1) х (п + 1).

В четвертой главе предложены алгоритмы решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с разделенными граничными условиями. Приводятся расчеты собственных значений для тестовых задач, в том числе конечно-разностных аппроксимаций дифференциальных задач, возникающих при анализе механических колебаний линейных систем.

Вычисление собственных значений основано на методе бисекции. Для реализации данного метода необходимо вычислять для каждого Л функцию Соип1(А) — число собственных значений задачи (2), (3) меньших данного А. Опишем алгоритм вычисления СошН(А) для задачи Штурма - Лиувилля высших порядков.

Input: Coef- матрица коэффициентов уравнения Штурма-Лиувилля,

А — пробная точка для метода бисекции. Output: #{а. <5 а | \ < А}.

Определяем начальные данные S = 0, YT = jo /j, к = 0. while к < N

• Поиск симплектической матрицы перестановок Лд/.), удовлетворяющей

условию шах

/б{0,1,...,2" —1}

clet(|/0 Р/'У

detil/ojp^r

• Вычисление симметричной матрицы <2^.) = [о С^-Р^У) 1.

• Вызов функции т{У(.) = ОеХ^итЪе^оса^Ро^^^.уР^.у!-^).

*

• Прибавить к 5 вычисленное т (Уд.) число фокальных точек па [к, к + 1).

• Вычислить сопряженный базис в следующей точке А: + 1, т.е , лТ

1

• Изменить к — к + 1. end while return S

Опишем алгоритм вычисления Get_Number_Focal_Points(Q^^,') для задачи Штурма — Лиувилля высших порядков. Input: Qj(k) матрица определенная в (15), rj\"'s - коэффициент (2),

~ матРИ11а симплектических ортогональных трансформаций.

*

Output: т (У/.) число фокальных точек на [к,к +1). • Если к < п return 0.

» Формируем а-^. Пусть Т = Q\k){aj(kyaj(k■))• Формируем матрицу

V =

т К Ь1 ч

,где ак = (FmQ^k)Fm)(n,n) + 7Іп),

while norm(T)> cps^

• Находим II ведущую подматрицу первого или второго порядка матрицы Т.

• Формируем V = V / Н,Т = Т / Н. end while

(о ь) [l, И> ср»2 va < 0

» Вычисляем iiul( V) = ind _ = 11 11

b а 0, в противном случае

» return iucl( V).

Работоспособность алгоритма исследуется на ряде модельных примеров. Для Штурма - Лиувилля 4 порядка

А\_1 = fc = 0,WV+l, (20)

У-\ = Уо = % = VN+г =

при различных N = 102,103,104,105 вычислялись собственные значения А^^

_г

с точностью е = 10 и оценивались временные характеристики расчетов. Алгоритм 1 основан па результатах 3-ей главы, а Алгоритм 2 — 2-ой главы. Результаты вычислений на PC Pentium 4 3GHz представлены в таблице 1.

Вычислительные эксперименты подтверждают, что применение теоремы 3 позволяет сократить вычисления собственных значений в 2 раза.

£ = Ю-5 Алго штм 1 Алгоритм 2

'(с) '(с) ^N/2

N = 102 0.79 3.917823 0.41 3.917823

N = 103 7.78 3.991645 3.89 3.991645

N = 104 77.5 3.999168 39.1 3.999168

N = 105 776.7 3.999916 389.7 3.999916

В работе были вычислены первые 4 собственных значения краевой задачи, описывающей колебания стержня конической формы, определяемой

параметром а, с относительной погрешностью е = 10_(!. Для аппроксимации данной задачи четвертого порядка в работе используются однородные консервативные схемы10, приводящие к уравнению (2) с разделенными граничными условиями. В безразмерных переменных уравнение поперечных колебаний стержня конической формы имеет вид":

(р(ж)им)" = А<}{х)и, 0<х< 1, р (х) = (1 — ста) , Ч (ж) = (1 — (гх)' . Для различных граничных условий: а) ы(о| = = 0,ы(1) = ы'(1) = 0,

б) и (0) = и' (0) = 0, и (1) = и " (1) = 0, в) и (0) = и " (0) = 0, и (1) = и' (1) = 0 и

г) и (о) = и "(о) = 0,и(1) = «"(1) = 0 построены графики зависимости от

параметра а — 0,0.01,...,0.99 для первых двух собственных значений.

При а: = 0 система (21) описывает задачу колебания стержня постоянного сечения. Для стержня с жестко защемленным левым концом и свободным правым существует частотное уравнение соа(7)с.7<(7) = — 1 для вычисления

"' Хао Шоу. Разностная задача Штурма - Лиувилля для уравнения четвертого порядка с разрывными коэффициентами Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 3:6, 1963, 1014-1031 " Акуленко Л. Д. Частотно-параметрический анализ собственных колебаний неоднородных стержней. Прикладная математика и механика, том 67, вып. 4, 2003, 588-602

А = 7 і. Вычисленные первые шесть значений 7 представлены для сравнения с решениями частотного уравнения в таблице 2.

График первы* СЗ График вторых СЗ

Рис. 2 Иллюстрация вычислений первых двух собственных значений для задачи (21) с различными граничными условиями

Таблица 2. Пример расчета параметра 7

№ N = 100 N = 500 N = 1000 Решение ЧУ

1 1.87515281Зе+000 1.875102353е+000 1.875104152е+000 1.875104069е+000

2 4.694202785е+000 4.694095420е+000 4.694092285е+000 4.694091 ІЗЗе+000

3 7.854290751е+000 7.854738466е+000 7.854752747е+000 7.854757438е+000

4 1.099306860е+001 1.099544044е+001 1.099551566е+001 1.099554073е+001

5 1.413051198е+001 1.413689839е+001 1.413710075е+001 1.413716839е+001

6 1.726497480е+001 1.727820049е+001 1.727861951е+001 1.727875953е+001

Проведенные численные эксперименты определения собственных значений дискретных и дифференциальных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с разделенными краевыми условиями демонстрируют эффективность и точность программного комплекса.

В заключении приводятся основные результаты работы.

В приложение вынесено описание основных программных модулей разработанного комплекса программ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В работе решена задача о разработке качественных и количественных методов исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков, имеющая большое значение для численных методов исследования колебаний линейных систем.

2. Доказана осцилляционная теорема, позволяющая использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретной краевой задачи Штурма - Лиувилля высшего порядка.

3. Доказана теорема о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения, что позволяет сократить число операций в п раз при подсчете фокальных точек решения дискретного уравнения Штурма - Лиувилля порядка 2п.

4. Разработаны алгоритмы подсчета фокальных точек главного решения уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка, отличительной особенностью которых является использование ортогональных трансформаций главного решения и структуры симплектической системы, соответствующей уравнению Штурма - Лиувилля высшего порядка.

5. Разработан метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий О(Ы) операций для вычисления отдельного собственного значения.

6. Создан комплекс программ, реализующий разработанный метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с заданной точностью. Проведены эксперименты вычисления собственных значений дискретных и дифференциальных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с

разделенными граничными условиями, которые демонстрируют точность программного комплекса.

7. Результаты работы могут быть рекомендованы к исследованию продольных, крутильных и поперечных колебаний линейных систем с распределенными и сосредоточенными параметрами, а также к использованию в учебном процессе по направлению 231300 «Прикладная математика».

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК:

1.A. А. Бондаренко, Ю. В. Елисеева. Один метод вычисления собственных значений дискретных задач Штурма-Лиувилля высших порядков. ВЕСТНИК МГТУ «Станкии». М.: МГТУ «Станкин», №1, 13, 2011. стр. 91-101.

2. J. Elysceva, A. Bondarenko. The Schur complement in an algorithm for calculation of focal points of conjoined bases of symplectic difference systems. International Journal of Pure and Applied Mathematics, №4, 67, 2011, p. 455-474.

в других периодических изданиях:

3. А. А. Бондаренко. Дискретная краевая задача Штурма-Лиувилля четвертого порядка и соответствующая трехчленная рекуррентная задача. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. М.: Янус -К, Выпуск 14, 2011. стр. 83-90.

4. А. А. Бондаренко, Ю. В. Елисеева. Применение теории Штурма при расчете собственных значений разностной задачи Штурма-Лиувилля четвертого порядка. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. М.: Янус-К, Выпуск 12, 2009. стр. 4-17.

в сборниках трудов научных конференции:

5. A. A. Bondarenko, J. V. Elyseeva. Calculating eigenvalues of discrete fourth order Sturm-Liouville problems. Mathematical Models of Non-Linear Phenomena, Processes and Systems, Nova Science Publishers, NY, USA, 2009, p. 272-281.

6. А. А. Бондаренко, IO. В. Елисеева. Вычисление собственных значений разностной задачи Штурма-Лиувилля высшего порядка. Материалы XIII научной конференции МГТУ «Стапкин» и Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Сташаш» - ИММ РАН по математическому моделированию и информатике: Сборник докладов /Под ред. Казакова О.А. - М:ИЦ ГОУ ВПО МГТУ «Стапкин», 2010, стр. 20-22.

7. А. А. Бондаренко. Об одном методе расчета собственных значений разностной задачи Штурма-Лиувилля высшего порядка. Материалы XII научной конференции МГТУ «Станкип» и Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Стапкин» - ИММ РАН по математическому моделированию и информатике: Сборник докладов /Под ред. Казакова О.А. -М:ИЦ ГОУ ВПО МГТУ «Станкип», 2009. стр. 23-25.

Подписано в печать 13.04.2012 г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Печать цифровая. Тираж 100 Экз. Заказ № 004 Типография ООО "АртПоход" 127055, г. Москва, ул. Новослободская, д. 58, оф. 101 Тел. 8-499-978-38-27

61 12-1/810

ФГБОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «СТАНКИН»

на правах рукописи

Бондаренко Алексей Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОСЦИЛЛЯЦИЙ РЕШЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ К КОЛЕБАНИЯМ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Елисеева Ю. В.

Москва-2012 г.

Содержание

Введение ................................... 4

Глава 1. Методы осцилляционной теории в математическом моделировании колебаний линейных систем............10

1.1. Математическое моделирование колебаний линейных систем . . 10

1.2. Постановка задачи..........................23

1.3. Обзор осцилляционной теории уравнений Штурма - Лиувилля

и её приложений в численных методах..............28

1.4. Основные свойства дискретной модели, описываемой уравнениями Штурма - Лиувилля порядка 2п..............43

1.5. Основные результаты главы 1...................45

Глава 2. Осцилляционные свойства решений уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков..................48

2.1. Число фокальных точек решения уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка......................48

2.2. Одно свойство числа фокальных точек т* (У^)..........49

2.3. Осцилляционные теоремы для уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка...........................51

2.4. Уравнения Штурма - Лиувилля и трехчленные рекуррентные соотношения.............................54

2.5. Пример исследования дискретных уравнений Штурма - Лиувилля ................................62

2.6. Основные результаты главы 2...................65

Глава 3. Вычисление фокальных точек дискретных уравнений Штурма — Лиувилля..........................67

3.1. Трудности вычисления фокальных точек ............67

3.2. Ортогональные трансформации сопряженного базиса симплек-тической системы........................: . 69

3.3. Подсчет числа фокальных точек уравнения Штурма - Лиувил-

ля четвертого порядка .......................73

3.4. Подсчет числа фокальных точек уравнений Штурма - Лиувил-

ля высшего порядка.........................82

3.5. Дискретная краевая задача Штурма - Лиувилля второго порядка с периодическими граничными условиями.........87

3.6. Основные результаты главы 3...................92

Глава 4. Алгоритмы вычисления собственных значений дискретной краевой задачи Штурма — Лиувилля высшего порядка ......................................94

4.1. Алгоритмы вычисления фокальных точек и их применение в методе бисеции............................94

4.2. Примеры вычислений собственных значений дискретных краевых задач Штурма-Лиувилля с граничными условиями Дирихле 106

4.3. Примеры задач с разделенными граничными условиями . . . .112

4.4. Вычисление собственных частот колебаний моделей с распределенными параметрами......................116

4.5. Основные результаты главы 4...................127

Заключение..................................129

Литература..................................131

Приложение А. Описание программного комплекса ......141

А.1. Основные характеристики комплекса................141

Введение

Актуальность работы. Механические и электромагнитные колебания в линейных системах, многие явления в ядерной физике и квантовой химии описываются дифференциальными и разностными уравнениями высших порядков. Для таких задач разделение по времени и по пространственным переменным приводит к дифференциальным и дискретным краевым задачам Штурма - Лиувилля. Дискретные краевые задачи Штурма - Лиувилля высших порядков возникают при исследовании поперечных колебаний дискретных моделей стержневых систем, анализе моделей колебаний частиц в одномерных решетках, учитывающих дальние взаимодействия, а также при аппроксимации дифференциальных краевых задач Штурма - Лиувилля конечно-разностными соотношениями. При изучении механических колебаний в линейных системах в теоретическом и прикладном аспектах основной интерес представляют низшие моды колебаний, анализ которых требует решения частичной проблемы собственных значений для дифференциальных и дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков.

В работах Е. А. Coddington, N. Levinson [64], Р. Hartman [80], E. С. Titchmarsh, И. М. Глазмана [15], Л. Д. Николенко [27], В. А. Якубовича [44], [42], [43], [45] и других авторов изучались осцилляционные свойства решений дифференциальных уравнений Штурма -Лиувилля, которые позже легли в основу методов решения краевых задач Штурма - Лиувилля второго и четвертого порядков, разработанных А. А. Абрамовым [2], Р. В. Bailey, W. N. Everitt, А. Zettl [52], Л. Д. Акуленко, Г. В. Костиным, С. В. Нестеровым [3], [49], L. Greenberg, М. Marietta [74],[75] и др.

Дискретная краевая задача Штурма - Лиувилля второго порядка с разделенными граничными условиями равносильна задаче на собственные значения для симметричной трехдиагональной матрицы. Решением последней

занимались J. Givens [70], J. Wilkinson [39], С. К. Годунов [16] и др. Теория дискретных симплектических систем уравнений:

= WiYu Щ =

Ai В{

Ci А

WfJWi = J, г = 0, ..., N, J =

0 I -I 0

развивалась в работах L. Erbe, Р. Yan [69], С. Ahlbrandt [48], M. Bohner [53, 55, 58], W. Kratz [86],[88], O. Dosly [56, 57], и др. Дискретные краевые задачи Штурма - Лиувилля высших порядков являются важным частным случаем краевых задач для систем (3.4.3) с вырожденным блоком Д. В 2007 году W. Kratz и О. Dosly доказали осцилляционную теорему [88] для дискретных симплектических систем. Используя метод бисекции и данную теорему, можно решать частичную проблему собственных значений дискретных краевых задач для дискретных симплектических систем.

Применение метода бисекции для дискретной краевой задачи Штурма - Лиувилля высшего порядка связано с трудностью подсчета фокальных точек [86] главного решения соответствующей симплектической системы. Число фокальных точек — осцилляционная характеристика, обобщающая понятие нуля функции на случай матричного решения дискретной симплектической системы.

В настоящей диссертации разрабатываются методы исследования осцил-ляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков, позволяющие использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков, что является актуальным с позиций практического интереса.

Цель диссертационной работы развитие качественных и количественных методов исследования осцилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков и разработка метода

решения частичной проблемы собственных значений для дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с заданной точностью.

Научная новизна.

1. В диссертационной работе разработаны новые методы исследования ос-цилляционных свойств решений дискретных уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков, отличительной особенностью которых является применение осцилляционной теории симплектических систем и учет структуры соответствующей матрицы симплектической системы.

2. Доказана осцилляционная теорема, позволяющая использовать метод бисекции для решения частичной проблемы собственных значений дискретной краевой задачи Штурма - Лиувилля высшего порядка.

3. Доказана теорема о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения, что позволяет сократить число операций в п раз при подсчете фокальных точек решения дискретного уравнения Штурма - Лиувилля порядка 2п.

4. Разработан метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий О (Ж) операций для вычисления отдельного собственного значения.

Практическая значимость. Разработан комплекс программ, реализующий локализацию и вычисление отдельных собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков. Разработанные методы и комплекс программ могут быть использованы при решении следующих задач:

• анализ моделей колебаний частиц в одномерных решетках, учитывающих дальние взаимодействия;

• исследование поперечных колебаний дискретных моделей стержневых систем;

• анализ колебаний стержней переменного поперечного сечения;

• решение частичной проблемы собственных значений симметрических ленточных матриц без приведения к трехдиагональной форме.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методы исследования дискретных уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков, основанные на осцилляционной теореме и теореме о совпадении осцилляционных свойств дискретного уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка и некоторого трехчленного уравнения.

2. Алгоритмы подсчета фокальных точек главного решения уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка, отличительной особенностью которых является использование ортогональных трансформаций главного решения и структуры симплектической системы, соответствующей уравнению Штурма - Лиувилля высшего порядка.

3. Комплекс программ, реализующий разработанный метод решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков с заданной точностью, требующий О (А/") операций для вычисления отдельного собственного значения.

Апробация работы. Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: на научном семинаре кафедры дифференциальных

уравнений и математической физики под руководством профессора A. JI. Ску-бачевского, РУДН (г. Москва, февраль 2012 г.); на XIX международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 2012 г.); на II международной научной конференции "Моделирование нелинейных процессов и систем" (МГТУ "Станкин", Москва, 2011 г.); на XV международной научной конференции "Dynamical system modeling and stability investigation"(КНУ им. Тараса Шевченко, Киев, Украина, 2011 г.); на XI, XII, XIII научных конференциях МГТУ "Станкин" и Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ "Станкин" — ИММ РАН по математическому моделированию и информатике (МГТУ "Станкин", г. Москва, 2008, 2009, 2010 г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 7 печатных работах, в числе которых 2 статьи из перечня изданий, рекомендованных ВАК, 3 — в сборниках трудов научных конференций и 2 — в периодических изданиях.

Личный вклад автора состоит в разработке представленных в диссертации методов исследования осцилляционных свойств дискретных уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков, разработке численного метода решения частичной проблемы собственных значений дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков, разработке программного комплекса, позволяющего проводить расчеты на основе предложенного численного метода. Основные результаты и их доказательства, изложенные в диссертационной работе, были впервые получены автором и отражены в 7 публикациях автора. В статье [59] автором лично разработаны и реализованы алгоритм подсчета фокальных точек решения уравнения Штурма - Лиувилля высших порядков, метод вычисления собственных значений, проведен вычислительный эксперимент. В остальных материалах совместных работ личный вклад автора является определяющим, научному руководителю принадлежат постановка задач и возможная методика их решения.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Содержание диссертации изложено на 148 страницах машинописного текста, в число которых входит 8 страниц приложений. В тексте имеется 19 рисунков и 8 таблиц. Список литературы включает 91 наименование.

Глава 1

Методы осцилляционной теории в математическом моделировании колебаний

линейных систем

1.1. Математическое моделирование колебаний линейных систем

Приведем примеры математических моделей колебаний в линейных системах с сосредоточенными и распределенными параметрами, описываемых дискретными уравнениями Штурма-Лиувилля высших порядков и краевыми задачами для данных уравнений.

1.1.1. Колебания в кристаллических решетках и их аналоги

Простейшее твердое тело - это твердый аргон. Он состоит из правильно расположенных атомов с крепко связанными электронными оболочками. Эти атомы удерживаются вблизи друг друга силами Ван-Дер-Ваальса, которые действуют в основном между ближайшими соседями в решетке. Физические процессы в таком кристалле связаны с тепловым движением атомов вблизи своих идеализированных положений равновесия. Для простейшего описания такого движения используется модель Эйнштейна, согласно которой каждый атом колеблется подобно простому гармоническому осциллятору в потенциальной яме, образованной силами его взаимодействия с соседями [22].

Решетка представляет собой самый наглядный объект, который естественно назвать упорядоченной структурой из осцилляторов. Моделями упорядоченной структуры, в которых осцилляторы связаны между собой опре-

деленным образом, являются (см. [12], [31]): линейная цепочка из одинаковых частиц, расположенных вдоль прямой на равных расстояниях друг от друга (одномерная решетка из одинаковых частиц); цепочка из ЬС - элементов; ряд акустических резонаторов; цепочка, образованная из магнитов и др.

Простую модель, соответствующую описанному твердому аргону, можно представить как систему правильно расположенных в пространстве шариков, связанных друг с другом пружинами. Волны, бегущие в твердом теле или другой упорядоченной структуре, характеризуются длинной волны и частотой и.

Рассмотрим движение одномерной решетки из одинаковых равноудаленных частиц (см. рис. 1.1). Отметим, что на рис. 1.1 отражена зависимость только от соседних частиц. Выведем уравнение движения цепи, учитывающее силу взаимодействия между всеми частицами цепи.

(п-1)а

и

па

х

л-1

Уп-1

а

-)—У(Аг+

х„

Уп

{п+\)а

х

У

Уп-и

«+1

зс

Рис. 1.1. Одномерная "решетка"состоящая из равноудаленных частиц с взаимодействием только между соседними частицами; вверху - решетка до возмущения; внизу - после возмущения

Координата п - й частицы после возмущения равна

хп = па + уп

(1.1.1)

где уп - отклонение от положения равновесия (будем далее предполагать, что

уп -С а). Выражение для расстояния между п-й п + т-й частицами имеет вид

гп,п+к — хп+к — хп = ка + Уп+к ~ Уп (1-1-2)

Будем считать, что потенциальная энергия, на основании которой можно найти силу взаимодействия между двумя данными частицами, зависит только от расстояния между ними \хп+к — хп\, поэтому будем обозначать ее через и{гщп+к) = и(\хп+к — хп\). Таким образом, выражение для полной потенциальной энергии всей решетки можно записать в виде

п к> О

Чтобы не учитывать дважды взаимодействие каждой пары частиц, ограничимся суммированием только по положительным значениям к. Если предполагать смещение уп малым по сравнению с расстоянием между частицами, то функцию и всегда можно разложить в ряд Тейлора. Пренебрегая степенями величины (уп+к — Уп), большими двух, получаем

и(хп+к - хп) = 11(ка) + (уп+к - уп)и'(ка) + ^(уп+к ~ Уп)2и"(ка), (1.1.4)

где 1/'(ка) и II"(ка) - соответственно значения производных ¿11 /¿г и с1211 /¿г2 в точке г = ка.

Подставляя (1.1.4) в (1.1.3), запишем выражение для потенциальной энергии цепочки

и = £ Е - Уп)и'{ка) + ^(уп+к - уп)2и"{ка)\ + Щ (1.1.5)

п к>0 ^ '

где Щ = и(ка). Зная II, вычислим силу, действующую на р-ю части-

п к>О

цу, поскольку Гр = —ди/дур. Дифференцирование ведется по смещению ур рассматриваемой частицы, поэтому вклад в Рр при суммировании по п дадут лишь слагаемые, зависящие от ур, то есть слагаемые, для которых справед-

ливы равенства п = ркп + к=р. Тогда из (1.1.6) следует, что

дЪ дц

811

Рр = = XI и"{ка)(ур+к + Ур_к - 2ур) (1.1.6)

к> О

Можно показать, что для модели рис. 1.1 величина II"(ка) аналогична жесткости пружинок, соединяющих шарики.

Наиболее важный случай имеет место, когда сила быстро спадает с расстоянием. Если радиус действия сил порядка Ма, то в сумме (1.1.6) следует оставить члены с 1 < к < М.

Уравнение движения частицы получим, приравнивая силу Гр силе инерции. Таким образом, для р-й частицы получаем

т

М

дР

к> О

Будем искать решение виде

ур = гр-еш, (1.1.8)

где и - частота колебания. Подставляя (1.1.8) в (1.1.7), получаем

м

ти2гр = ик(2гР ~ гР+к ~ гр-к), (1.1.9)

к> о

Замечание 1.1.1. Отметим, что уравнение (1.1.9) в самосопряженной форме будет иметь вид дискретного уравнения Штурма-Лиувилля 2М - го порядка, где параметр X — ш2.

При соответствующих граничных условиях для (1.1.9) получаем дискретную краевую задачу Штурма-Лиувилля 2М - го порядка, для решения которой необходимо найти значение параметра Л = и2 удовлетворяющего граничным условиям. В последующих главах диссертации разрабатываются методы позволяющие вычислять Ап - собственные значения данной задачи , то есть

Рис. 1.2. Электрический аналог одномерной цепочки из одинаковых частиц: гп - ток, протекающий через индуктивность между (п-1) и п - й емкостями; (}п и Уп = (}п/С заряд на емкости и приложенная к ней разность потенциалов

находить допустимые частоты гармонических колебаний соотв�