автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод сравнительного индекса при математическом моделировании колебаний дискретных линейных симплектических систем

На правах рукописи

Елисеева Юлия Витальевна

МЕТОД СРАВНИТЕЛЬНОГО ИНДЕКСА ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ КОЛЕБАНИЙ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 9 ДПР 2012

Москва - 2012 г.

005018271

005018271

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Московском Государственном Технологическом Университете «СТАНКИН».

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Уварова Людмила Александровна

Официальные оппоненты: заслуженный деятель науки Российской

Федерации, доктор физико-математических наук, профессор Латышев Анатолий Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор Кожухов Игорь Борисович

доктор физико-математических наук, профессор Кипнис Михаил Мордкович

Ведущее предприятие: Факультет Вычислительной Математики и

Кибернетики ФГБОУ ВПО Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится « 28 » мая 2012 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу: 127055, Москва, Вадковский переулок, д. За.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Московского Государственного Технологического Университета «СТАНКИН».

Автореферат разослан « 10 » апреля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.142.03 Семячкова Е.Г.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. К изучению математических моделей колебаний дискретных систем с симплектической структурой приводят задачи из различных областей естествознания, науки и техники. Среди них ведущую роль играют задачи дискретной гамильтоновой и лагранжевой механики, задачи дискретного вариационного исчисления, задачи связанные с построением и разработкой симплектических методов интегрирования для дифференциальных гамильтоновых систем уравнений, сохраняющих основные инварианты данных систем. Фундаментальная теорема классической гамильтоновой механики утверждает, что эволюция гамильтоновой системы во времени есть эволюция симплектической трансформации. С этой точки зрения любая га-мильтонова система имеет симплектическую структуру. В частности, к моделям, сохраняющим симплектическую структуру фазового потока, относятся дискретные линейные симплектические системы

Yi+l = WiYi, г = 0,1,...,,iV, Wi =

Ai Bt

Ci Di

(1)

где вещественная 2n x 2n матрица системы является симплектической:

WfJWi = J,J =

0 І -/ 0

Частным случаем системы (1) являются следующие важные классы дискретных уравнений и систем: гамильтоновы системы разностных уравнений, дискретные уравнения Штурма-Лиувилля порядка 2п, п £ К, векторные дискретные уравнения Якоби и Штурма-Лиувилля.

Настоящая работа посвящена разработке новых математических методов в осцилляционной теории (или теории колебаний) систем (1) и их приложениям в алгоритмах вычисления собственных значений дискретных самосопряженных краевых задач. Осцилляционная теория, или теория Штурма, имеет фундаментальное значение для теории линейных самосопряженных краевых задач со времени доказательства знаменитых теорем Штурма1 об осцил-ляционных свойствах собственных функций краевой задачи =

Ах((), х(0) = х{1) = 0. Осцилляционная теория для (1) является разностным аналогом теории для линейных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений

JTy' = Щі)у, H(t) =

-C(t) A{t)T A{t) B{t)

, H(tf = H(t)

(2)

1 Sturm C. Mémoire sur une classe d'Équations à différences partielles // J. Math. Pures Appl. 1836. Vol. 1. P. 373-444.

с вещественным гамильтонианом Ti(t), при этом краевые задачи для гамиль-тоновых систем с общими самосопряженными граничными условиями являются предельно общей постановкой линейных самосопряженных граничных задач 2. В то время как осцилляционная теория для дифференциальных систем (2) изучена достаточно глубоко в работах В. Б. Лидского, Ф. Р. Ганмахе-ра, М.Г. Крейна, В.А. Якубовича, В.И. Арнольда, F. Atkinson, W. Coppel, W. Reid, W. Kratz и др., аналогичная теория для общего случая систем (1) активно развивается лишь последние годы и к настоящему моменту далека от завершения. Основной трудностью при построении математических моделей колебаний дискретных систем является формулировка концепции нуля решения. В то время как для дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля определение нуля решения в классическом случае является очевидным, для его дискретного аналога - уравнения — Д^'Да^) + = 0 существо-

вание «обобщенного» нуля на интервале (i, i + 1] связано с нарушением одного из двух условий Xj+i ф 0, xi/(r^xi+1) > 0 (при этом предполагается, что Xi ф 0). Аналогичная ситуация имеет место в случае фокальных точек матричных решений системы (2) и ее разностного аналога - системы (1). Фокальная точка для сопряженного базиса - 2п х п матричного решения Y{t) = [X(t)T U(t)T]T дифференциальной системы (2), удовлетворяющего

rangY(í) = п, XT(t)U(t) = UT(t)X(t), (3)

определяется условием detX(í) = 0 и имеет кратность m(t) = defX(í) = п — rangX(i). В данной работе, при построении математической модели колебаний дискретных систем (1), в основе понятия "обобщенного нуля "матричного решения лежит определение фокальной точки сопряженного базиса Y¿ = [Xf Uf]T на (i, i + l]3. Существование фокальной точки связано с нарушением хотя бы одного из двух условий

KerX¿+1 С KerX¿, XíX¡+1Bí > 0, • (4)

где КегА - ядро А, At означает псевдообратную для А и А > 0 означает, что А = АТ неотрицательно определенная. Количественной мерой нарушения (4) является число фокальных точек m(l¿) на интервале (i, i + 1] (с учетом их кратностей)4. Предлагаемый в работе новый математический аппарат, названный методом сравнительного индекса, предназначен для разработки и исследования дискретной модели колебаний, основанной на современной концепции числа фокальных точек.

2 Гохберг И. Ц., Крейн М.Г. Теория волтерровых операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1967. 508 с.

3 Bohner М., Dosly О. Disconjugacy and transformations for symplectic systems // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 1997. no. 3. Pp. 707-743.

4 Kratz W. Discrete Oscillation // Journal of Difference Equations and Applications. 2003. Vol. 9. Pp. 127-135.

Интерес к изучению осцилляционных свойств систем (1) вызван, как и в непрерывном случае, их приложениями, в частности, в дискретном вариационном исчислении и в теории граничных задач. В дискретном вариационном

исчислении рассматривается задача минимизации дискретного функционала N

х) = ^ /(г, + 1), Ах(г)) —> ¡М для векторной функции х(г) е Кп дис-

г=0

кретного аргумента г = 0,..., ЛГ+1, удовлетворяющей заданным граничным условиям. Среди необходимых (достаточных) условий минимума дискретного функционала содержится условие неотрицательности (положительности)

N

его второй вариации Р2(г) = + +1) + 2гт{1 + 1)Щг)Аг(г) +

г=0

+ (Д-г(г))ГР(г)Дг(г)}. При исследовании знакоопределенности дискретного квадратичного функционала Р2{г) ведущую роль, как и в непрерывном случае5, играет осцилляционная теория для векторного уравнения Якоби. К настоящему моменту дискретная осцилляционная теория позволяет исследовать знакоопределенность квадратичных функционалов более общего вида, чем это было принято рассматривать в классическом вариационном исчислении.

Второй важнейшей областью приложений дискретной осцилляционной теории, с которой непосредственно связаны основные результаты диссертационной работы, является теория граничных задач. Как частный случай, данная теория включает классическую спектральную теорию для разностных скалярных и векторных уравнений Штурма-Лиувилля. Так, для дискретной краевой задачи Штурма-Лиувилля -Д(г-1'Да;,) + г-°'а;г+1 = А^+х, х0 = = хм+1 = 0, осцилляционная теорема Штурма устанавливает равенство между числом собственных значений указанной краевой задачи, не превосходящих А = Ь, Ь Е М и числом фокальных точек на (О, N+1] векторного решения

симплектической системы Ui+1 =

1 1/'

(1)

Уи Уо = [01F

И0,-А l + (rf-A)/rf'j вычисленного для данного А = Ъ. Одним из последних достижений в дискретной спектральной теории для систем (1) с линейной зависимостью от спектрального параметра А является доказательство в 2007 г. обобщения осцилляционной теоремы Штурма6. Данный результат связывает число конечных собственных значений симплектической краевой задачи, не превосходящих заданное А, с числом фокальных точек некоторого сопряженного базиса системы (1).

Общим преимуществом приложений осцилляционных теорем Штурма

5 Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. М.: Факториал, 1998. 351 с.

6 Dosly О., Kratz W. Oscillation theorems for symplectic difference systems // Journal of Difference Equations and Applications. 2007. no. 13. Pp. 585-605.

для дискретного и непрерывного случаев в численных методах решения краевых задач является возможность вычислять число собственных значений краевой задачи на произвольном отрезке [а, 6] С М, решать различные проблемы, связанные с локализацией спектра, в частности, определять число всех отрицательных или всех положительных собственных значений краевой задачи, а также вычислять только одно собственное значение с заданным номером, используя метод бисекций.

Хорошо известно, что метод бисекций для расчета собственных значений симметричной трехдиагональной матрицы (Дж. Гивенс (1954), Дж. Уил-кинсон (1965)) основан на осцилляционной теореме Штурма для дискретного уравнения Штурма-Лиувилля второго порядка. Метод нахождения собственных векторов и- собственных значений симметрических матриц с помощью приведения к трехдиагональной форме, основанный на вычислении обобщенных нулей последовательностей Штурма, активно развивался в работах С.К. Годунова и его учеников7.

Хорошо известны также приложения осцилляционной теории в алгоритмах вычисления собственных значений и собственных функций краевых задач для дифференциальных гамильтоновых систем и их частных случаев. Среди них ведущую роль занимают численные алгоритмы, основанные на различных модификациях метода прогонки, таких как прогонка с унитарной матрицей-функцией (В. Б. Лидский, М.Г. Нейгауз (1962), F. Atkinson (1964), W. Reid (1980)), прогонка с тригонометрическими трансформациями (А. А. Абрамов, 1991), другие модификации метода дифференциальной прогонки (А. А. Абрамов, 2011). В алгоритмах, основанных на приложениях осцилляционной теории8'9'10, устойчивый перенос краевых условий сочетается с параллельным вычислением функций от числа сопряженных точек на заданном интервале интегрирования при фиксированном значении спектрального параметра.

С момента доказательства осцилляционной теоремы для систем (1) с линейной зависимостью от спектрального параметра Л является актуальным вопрос о возможностях её приложений в алгоритмах решения дискретных самосопряженных краевых задач. Как показал проведенный анализ, соответствующие приложения осцилляционной теории для дифференциальных граничных задач потребовали наличия развитого математического аппара-

7 Годунов С. К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1992. 360 с.

8 Greenberg L., Marietta М. Numerical methods for higher order Sturm-Liouville problems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. Vol. 125. Pp. 367-383.

9 Marietta M. Numerical solution of eigenvalue problems for Hamiltonian systems // Advances in Computational Mathematics. 1994. Vol. 2, no. 2. Pp. 155-184

10 Абрамов А. А. О вычислении собственных значений нелинейной спектральной задачи для гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41. С. 29-38.

та, практически отсутствующего в дискретной осцилляционной теории для концепции кратностей фокальных точек. Существующий аппарат, основанный на дискретной вариационной технике, оказался недостаточным для доказательства многих открытых проблем, поставленных в данной теории в конце 90-х г. прошлого века. В частности, открытыми оставались вопросы о соотношениях между кратностями фокальных точек сопряженных базисов симплектических систем при изменении начальных условий и коэффициентов систем; при произвольных симплектических трансформациях; при переходе от системы (1) к ей обратной; другие открытые вопросы, важные для приложений. Построению такого аппарата, его приложениям в дискретной осцилляционной теории и в алгоритмах вычисления собственных значений дискретных симплектических краевых задач посвящена настоящая работа.

Цель диссертационной работы. Введение и разработка математического аппарата, позволяющего получить новые количественные и качественные характеристики осцилляционных свойств решений дискретных симплектических систем, установить основные законы их изменения, а также разработать численные алгоритмы решения дискретных краевых задач, основанные на приложениях новых результатов дискретной осцилляционной теории.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются дискретные симплектические системы, а предметом исследования - осцилля-ционные свойства матричных решений данных систем.

Методы исследования. В работе используются методы линейной алгебры и матричного анализа, элементы теории разностных уравнений, симплектические методы интегрирования гамильтоновых систем и численные методы решения краевых задач. Разработка программного обеспечения проводилась в среде МАТЬАВ.

Научная новизна.

1. Предложен новый математический аппарат в исследовании и разработке математических моделей колебаний дискретных симплектических систем - метод сравнительного индекса.

2. С использованием метода сравнительного индекса впервые получены результаты, связывающие число фокальных точек двух сопряженных базисов одной симплектической системы (обобщение теорем отделимости) или двух сопряженных базисов различных симплектических систем (обобщение теорем сравнения).

3. Разработана концепция числа фокальных точек сопряженного базиса обратной симплектической системы (числа фокальных точек на полуинтервале [г, г + 1)). Решена открытая проблема о равенстве числа фокальных точек главных решений на (0, N + 1] и [0, N + 1).

4. Впервые получены результаты, связывающие число фокальных точек сопряженного базиса и базиса, подвергнутого произвольной симплектической

трансформации. Решена проблема об обобщении принципа взаимности для дискретной симплектической системы при произвольной симплектической трансформации сопряженного базиса.

5. Доказаны основные теоремы относительной осцилляционной теории для двух симплектических систем с линейной зависимостью от спектрального параметра и различными самосопряженными (в том числе связанными) граничными условиями на конечном отрезке изменения дискретной переменной. Впервые доказаны теоремы, представляющие число собственных значений дискретной краевой задачи на произвольном интервале (о, Ь]; впервые получены результаты, связывающие число собственных значений двух спектральных задач с различными симплектическими матрицами коэффициентов на интервалах (—оо, а] и (—оо, Ъ] при произвольно заданных а, Ъ е М. Получены неравенства для собственных значений двух дискретных симплектических краевых задач с различными самосопряженными граничными условиями, в частности, обобщенные свойства перемежаемости спектров двух задач с разделенными и связанными граничными условиями.

6. Впервые предложены и доведены до программной реализации алгоритмы вычисления фокальных точек сопряженных базисов дискретных симплектических систем, основанные на разработанных в диссертации вариантах ортогональной прогонки, сохраняющих симплектическую структуру задачи.

7. Разработаны и доведены до программной реализации численные методы определения собственных значений дискретных линейных симплектических краевых задач с самосопряженными граничными условиями, основанные на новых результатах дискретной осцилляционной теории.

Практическая значимость. Разработанный метод сравнительного индекса при математическом моделировании колебаний дискретных симплектических систем может быть использован:

• в новых численных методах и комплексах программ для решения дискретных линейных самосопряженных краевых задач, в том числе полученных при конечноразностных и конечноэлементных аппроксимациях самосопряженных дифференциальных операторов;

• при решении проблемы минимизации дискретных функционалов в задачах дискретного вариационного исчисления, задачах дискретной лагран-жевой и гамильтоновой механики;

• в алгоритмах решения проблемы собственных значений для разреженных А - матриц специальной структуры, в частности, симметрических ленточных и блочно-трехдиагональных матриц;

• в алгоритмах исследования устойчивости численных методов, связанных с проблемами локализации спектра соответствующих вспомогатель-

ных самосопряженных разностных операторов.

Построенная в работе относительная осцилляционная теория для пары самосопряженных дискретных краевых задач может найти приложения в задачах исследования устойчивости колебаний и параметрического резонанса в линейных гамильтоновых системах, а предложенные в работе алгоритмы вычисления собственных значений, основанные на методе прогонки, могут быть использованы в задачах теоретической и прикладной гидродинамики, акустики и геофизики, при исследовании волновых процессов в стратифицированных жидких и упругих средах, в задачах контактного взаимодействия.

Реализация.

Полученные результаты внедрены в учебный процесс для подготовки бакалавров по направлению 231300 «Прикладная математика».

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Разработка теоретических основ метода сравнительного индекса в построении и исследовании математических моделей колебаний дискретных симплектических систем.

2. Теоремы сравнения и отделимости для дискретных симплектических систем, представленные в форме равенств, связывающих число фокальных точек сопряженных базисов данных систем.

2. Доказательство основных формул относительной осцилляционной теории для двух симплектических краевых задач с линейной зависимостью от спектрального параметра и общими самосопряженными граничными условиями: соотношения для числа собственных значений спектральной краевой задачи на интервале (а, 6]; соотношения для числа собственных значений двух спектральных задач с различными матрицами коэффициентов и граничными условиями; неравенства для собственных значений для двух краевых задач с различными граничными условиями.

3. Доказательство обобщений дискретного принципа взаимности при произвольных трансформациях сопряженных базисов симплектических систем. Формулы связи между числом фокальных точек при произвольных симплектических трансформациях.

4. Варианты разностной ортогональной прогонки, предназначенные для переноса краевых условий дискретных самосопряженных краевых задач:

-вариант ортогональной прогонки, основанный на использовании симплектических перестановок строк сопряженного базиса;

-модификация варианта дифференциальной прогонки A.A. Абрамова, основанной на использовании тригонометрических трансформаций.

5. Алгоритмы расчета собственных значений дискретных краевых задач, основанные на вычислении, фокальных точек сопряженных базисов симплектических систем с параметром. Алгоритмы вычисления числа фокальных то-

чек сопряженных базисов, основанные на предложенных вариантах метода прогонки и новых результатах осцилляционной теории:

- алгоритмы, основанные на вычислении индекса симметрического оператора, связанного с сопряженным базисом и матрицей системы;

- алгоритмы, основанные на новых формулах теории трансформаций для сопряженных базисов симплектической системы.

Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Связь работы с научными проектами. Работа была выполнена при поддержке РФФИ (грант 07-07-00213а).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры Общей Математики факультета ВМиК МГУ (руководители академик РАН В.А.Ильин, академик РАН Е. И. Моисеев); на научно-исследовательском семинаре кафедры Вычислительных Методов факультета ВМиК МГУ под руководством проф. A.M. Гулина; на следующих 14 научных конференциях и конгрессах:

III, IV международная научная конференция "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах"(Тверь, 1998; Москва, 2000); 6th International Conference on Difference Equations (Augsburg, Germany, 2001); V International congress on mathematical modelling (Dubna, 2002); VI научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» ( Москва, 2003); 8th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2003 (Brno, Czech Republic, 2003); VI International congress on mathematical modeling (N. Novgorod, 2004); 10th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2005 (Munich, Germany, 2005); European Advanced Studies Conference, EASC7 (Homburg, Germany, 2006);12th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2007, (Lisbon, 2007); Progress on difference equations, International conference PODE 2008 (Laufen/Sal'zach and Salzburg, Germany, 2008); Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем "(Москва, 2008); 14th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2009 (Estoril, Portugal, 2009); Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем"(Москва, 2011);

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 27 статьях и монографии. Из них 8 статей опубликовано в отечественных рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК: [1]-[3],[5],[8],[10]-[12], 4 работы: [4], [6]-[7], [9] опубликованы в международных рецензируемых изданиях, включенных в системы цитирования (библиографические базы) "ScopusnH "Web of Science: Citation Index Expanded "(база данных по естественным нау-

кам).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения, списка литературы из 152 наименований. Общий объем диссертации 400 страниц, включая 14 рисунков, 5 таблиц и 1 приложение.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В Главе 1 проведен обзор различных моделей колебаний в дискретной и непрерывной осцилляционной теории для частных случаев систем (1) и (2), вводятся основные понятия и определения современной дискретной осцилляционной теории и рассматриваются основные ее результаты, предшествующие диссертационным исследованиям автора, определяющие место работы среди других, посвященных той же тематике. В частности, классическими результатами в осцилляционной теории являются теоремы отделимости и сравнения, позволяющие оценивать распределение нулей различных решений дифференциальных или разностных систем в зависимости от изменения начальных условий (теоремы отделимости), а также при изменении матрицы коэффициентов системы (теоремы сравнения). Примером подобных результатов для непрерывного случая является теорема сравнения11 для двух систем (2) с различными гамильтонианами 7i(t), 7i(t), удовлетворяющими

U{t)>H(t), ß(f)>0,ieMi]

и некоторым дополнительным ограничениям, обеспечивающим изолированный характер фокальных точек сопряженных базисов У(£), Y(t) данных систем. Установлено следующее неравенство11

l°(Y,tо, iO - l°(Y,t0> tO < ind(Q - Q)(t0+) - ind(Q - Q)(h-) (5)

для числа l°(Y,to,ti), l°(Y,to,ti) всех фокальных точек сопряженных базисов Y(t), Y(t) на (¿о,¿i), включая их кратности (£0+, h— правый и левый пределы соответственно, incM - число отрицательных собственных значений симметрической матрицы А), при этом если H{t) = H(t), то неравенство (5) переходит в равенство.

Основной отличительной особенностью результатов диссертационной ра- " боты является формулировка основных теорем осцилляционной теории для

11 Kratz W. Quadratic Functional in Variational Analysis and Control Theory. Berlin: Akademie Verlag, 1995. 293 p.

(1) в виде равенств, связывающих число фокальных точек сопряженных базисов симплектических систем, при этом все предыдущие результаты осцил-ляционной теории, представляющие оценки для числа фокальных точек на {М,Ы + 1], являются следствием полученных точных соотношений. Основой получения данных результатов является разработанная в главе 2 теория сравнительного йндекса.

В Главе 2 вводится и разрабатывается метод сравнительного индекса для двух 2п х п матриц У = [ХТ ит]т, У = [Хт ит]т, удовлетворяющих условиям (3):

Определение 1. Пусть 2п х п-матрицы У = [ХТ ит]т, У = [ХТ0Т]Т удовлетворяют условиям (3) и определен Вронскиан

и> = и)(У, У) = УТЗУ. (6)

Тогда сравнительный индекс ц{У,У) = ^{У, У) + (12(У,У) определен следующим образом:

(У, У) = гаг^.М, М = (/ - Х*Х) V), (7)

Ц2{У,У)= ШТ, (8)

Г = ТТ (и!тх^х) Т, Т = I — МШ. (9)

Существование других эквивалентных определений сравнительного индекса и корректность определения 1 (в частности, доказательство, что V = Vх) обоснованы следующей теоремой:

Теорема 2. 1. Матрица М в (7), (9) может быть заменена на

М = (1- XXX.

2. Условие цх(у,У) = 0 равносильно 1т(Х) С 1т(Х) (где 1пъ4 - образ А), и если данные условия выполнены, тоТ = I, ц(У,У) = /х2(У, У) = \п&{Хт\С) — 0\Х) для любых симметрических матриц <5, <3 таких, что

ХТ(2Х = хти, ХТ§Х = Хтй. (10)

3. Матрица V в (8), (9) симметрическая и

г = тТ (хТ[д - с}\х) т

для любых симметрических матрицСтаких, что выполнено (10).

4■ ¡л(У, У) = 0 равносильно условиям 1т(Х) С 1т(Х), Хт(0 — <д)Х ^ 0.

Вводится двойственный сравнительный индекс ц*(У,У), определяемый соотношением ц*(У, У) = ¿¿(£>У, £)У), где Б = diag(^, —I).

Доказываются свойства сравнительного индекса, основными из которых являются следующие:

Теорема 3. Пусть Z, Z - симплектические матрицы, связанные с У, У условиями У = Z[01}Т, У = ¿[01]т, тогда справедливо

1. Цк(уС\, УСг) = У), к = 1,2, где С\, - произвольные несингулярные матрицы соответствующей размерности;

2. Цк{ЬУ, ЬУ) = Цк(У,У), к = 1,2, где Ь - произвольная симплектиче-ская нижняя блочно-треугольная матрица;

3. цк(г{01}т,г[01}т) = жг-1[01}т,г-1г[01}т),к = 1,2-,

4. ц2(2{01}тЛ01}т) = »т01}т,г[01}т),

5. ц{У, У) + /х(У, У) = гапеИУ, У));

Р1(У,У) = rangX — rangX + ^^l(У, У) или в силу свойства 4 выполнено равносильное равенство

+и*(Ё[01}Т,г[01}Т)-

7. О < ц(У, У) < ппп(гап§г/), гагщХ), где и) определена (6).

Доказывается основной результат главы:

Теорема 4. Для произвольных симплектических матриц Z, \¥ справедливо

Устанавливается связь между сравнительным индексом (двойственным сравнительным индексом) и отрицательным (положительным) индексом инерции симметрической матрицы размерности 2п :

Предложение 5. Пусть [х(У,У), ц*(У, У) - сравнительный индекс и двойственный сравнительный индекс, тогда в обозначениях теоремы 2 справедливо представление

Ф =

О (/ - ;ОГ+)Х

ф),

с/

,у =

гдei-(Ф) — тс1(Ф) - число отрицательных, аг+(Ф) - число положительных собственных значений симметрической матрицы Ф.

Предложение 6. Пусть У, У удовлетворяют (3) и определена матрица

А[У) = V2

О /

О о

V-

0 ю(У,У)

о о

= А[У}Т,У = [УУ],У =

где Вронскиан ги(У, У) задан (6). Тогда справедливо представление

/л(У, У) = тс!(Л[У]) - тё(ХТи).

Сравнительный индекс для пары симплектических матриц вводится следующим образом. Для произвольной симплектической 2п х 2п матрицы IV определим 4тг х 2п- матрицу

(Ю

I о

л в

о -/

С Б

, ТУ =

А В С Б

(12)

Тогда (ТУ), определенная (12), удовлетворяет условиям (3) при соответствующей замене размерности п на 2п, следовательно, можно рассматривать сравнительный индекс для пары 4п х 2п матриц (ТУ), (ТУ) со следующими свойствами.

Лемма 7. Пусть ТУ, ТУ - произвольные симплектические матрицы и (ТУ), (ТУ) определены (12), тогда

1. ¿¿((ТУ), (ТУ)) < гапё(ТУ - ТУ),

2. ^(ИОДТ^Н/^ТУ-1),^-1)),

5. /Д(ТУ), (ТУ)) - гапё(В) - гапё(В) + ^((ТУ), (ТУ))

4. /х((ТУ), (ТУ)) = Й/[01}Т) + /¿((ТУ-1ТУ), (I)) =

= /г(ТУ[01]т, ТУТУ-^О/П +/х((ТУТУ-1), (/)).

С помощью леммы 7 доказывается следующее обобщение теоремы 4:

Теорема 8. Для произвольных симплектических матриц У/, Z, IV, 7, справедливо тождество

и(ууг[о /]т, /]т) = ц{г[о 1]Т, ¿[о 1}т) + ц{\уг\о 1}т, ту [о /]т)-

-ц(]¥г[01}Т,Щ01]т)+ (13)

+1Х((Ш), {Щ) - »{(г-^-^г), {¿-1г)1

при этом

»((и?), (&)) - ^(г-^-^г), {¿-'г)) = = ццг^г), (г-^-^г)) - (IV)).

Доказывается, что

(Ю) - цЦг-^-^г), {г~1г))\ < гап§(ж - ио,

следовательно, при IV = IV формула (13) переходит в (11).

В Главе 3 получены все основные результаты работы, относящиеся к классической осцилляционной теории, в частности, теоремы отделимости и сравнения для двух сопряженных базисов симплектических систем.

Устанавливается связь концепции сравнительного индекса с концепцией числа т(У) фокальных точек на (г, г + 1] для сопряженного базиса системы (!)•

Лемма 9. Пусть ^ - симплектическая фундаментальная матрица решений (1) и У = г{[01}Т, тогда

тк&1) = мадо^да/П = ^к(гг+\[01}Т,г-1[01}Т),к = 1,2,

где тп (У,) = Шх (У) 4- ттг2 (У) - число фокальных точек на (г, г + 1] для У, ц = Ц1 + ~ сравнительный индекс, а [л* двойственный к д.

Отметим, что существование эквивалентных определений сравнительного индекса (см. определение 1 и теорему 2) позволяет сформулировать соответствующие эквивалентные определения кратностей фокальных точек, а следовательно, указать и несколько новых способов их вычисления.

С использованием леммы 9 и теорем 4,8 доказываются следующие основные результаты:

Теорема 10 (Отделимости). Пусть - сопряженные базисы системы (1), тогда число фокальных точект(У*) на (г,г + 1] связано с соответствующим числом т(У^) равенством

т(У) - т(У) + Д/х(г) = О, 15

где [і(і) = {¿(Уі, Уі) - сравнительный индекс, и тогда

N

1(У, М, ЛГ) - /(У, М, АҐ) = ц{М) - + 1), 1(У, = МУі), (14)

г=М

где 1(У,м- число фокальных точек Уі на (М, n + 1], число 1(У,м, ы) определено аналогично, и следовательно

11(У, М, ТУ) - 1(У, М,Ы)\< тпёги(Уи %) < п.

Формула (14) теоремы 10 является разностным аналогом формулы (5) для случая тождественно равных гамильтонианов И (£), %(£).

Теорема 11 (Сравнения). Пусть 7ц симплектические фундаментальные матрицы систем (1) и

Уі+1 = ЩУі (15)

соответственно, иУі — £¿[0, 1]Т, % = ¿¿[0, 1]т. Определим

г) = (дш)) - м«йл>, (и^)), д{ = (16)

где матрица (!■V) определена формулой (12). Тогда в обозначениях теоремы 10 число фокальных точек гп(Уі) на (г, г + 1] связано с соответствующим числом т(У{) равенством

т(Уі) - т(Уі) + Д/х(г) = г), (17)

следовательно,

1(у, м, ло - 1(у, м, Ы) = М(м) - ^ +1) + г, м, ло,

Ф(г,г,м,м)= £ (18)

г=М

в частности \1{у, м, лґ) - 1{у, м, лг) - #(г, г, м, ы)\ < п.

Следует отметить, что для дискретного случая теорема 11 устанавливает более общий результат, чем неравенство (5) для дифференциальной гамиль-тоновой системы, в частности, можно показать, что м, ІУ) < 0 при

условии /х((И/г), (Ж)) = 0, следовательно, справедлив разностный аналог 1{У, М, АГ) - 1(У, М, АГ) < ц{М) - ц{Ы + 1) неравенства (5). ■

Важным частным случаем теоремы 11 является следующая теорема, связывающая число фокальных точек главных решений симплектических систем, при этом сопряженный базис симплектической системы называется главным решением в точке М, если У^ = [01]Т :

Теорема 12. Пусть zf^ - симплектические фундаментальные мат-

рицы систем (15), (1) такие, что выполнено

z\f\Qlf = Z^[ülf = [Olf.

Тогда для числа фокальных точек l(Y^M\M,N), l(Y^M\M,N) главных решений систем (15), (1) на (M,N + 1] справедливо равенство

l(Y<M\ М, N) - l(Y^M\ М, N) = #(^+1»,2(м),М, N), (19)

где #(Z(N+1\ М, N) определено формулами (16), (18) для матриц ¿(ЛГ+1)^ Z(M)

Отметим, что все результаты в дискретной осцилляционной теории, основанные на неравенствах для числа фокальных точек сопряженных базисов симплектических систем12, используют предположения, достаточные для выполнения n{{Wi), (Wi)) = 0 (или n{(Wi), (Щ)) = 0), а следовательно, и для неотрицательности (неположительности) правых частей равенств (17),(19). В частности, теоремы 10, 11 обобщают полученные ранее результаты13 для несопряженных дискретных гамильтоновых систем, относящиеся к случаю

l(Y,M, N) = 0, ß({Wi), Wi)),i = M,...,N.

Важным результатом работы является разработка концепции числа фокальных точек m*(Yi) на [г, г + 1) (включен левый конец интервала (г, г + 1)), которую можно отождествить с числом фокальных точек сопряженного базиса обратной симплектической системы

Yi = W^Yi+i, Wf1 =

Система (20) равносильна (1) в том смысле, что Yi - сопряженный базис (1) тогда и только тогда, когда Yi - сопряженный базис (20). В данной системе с «обратным временем» при определении числа фокальных точек меняется роль гиг+1.

Определение 13. Сопряженный базис Yi системы (20) (или (l)j имеет m*(Yi) фокальных точек (с учетом их кратностей) на [г, г+1), если т* (Yi) = т\ (Yi) + т*2 (Yi), где

ml(Yi) = rang Mi} Mt = (l - Х{Х\) Bf, Tf = / - м}ми

12 Bohner М., О. Dosly, Kratz W. Sturmian and spectral theory for discrete symplectic systems // Transactions of the American Mathematical Society. 2009. Vol. 361. Pp. 3109-3123.

13 Bohner M., O. Doäly, Kratz W. Inequalities and asymptotics for Riccati matrix difference operators // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1998. Vol. 221, no. 1. Pp. 262-286.

Щ -BJ

-CT AT

(20)

и

тШ = Ш(Т?ХШХ}ВТТ<), при этом Bi - блок матрицы Щ.

Аналогично лемме 9 доказывается

Лемма 14. Пусть Zi симплектическая фундаментальная матрица решений (1) (или (20)) и Yi = Zi[QI\T, тогда

mlM = - fik(Z7i{0I}T,Z7+\[0lf),k = 1,2,

где m* (г) = m\ (i) + тп^ (i) - число фокальных точек на [г, г + 1) для Yi, ц = /XI + Ц2 - сравнительный индекс, a /i* двойственный к /i.

Выводятся основные зависимости между m*(Yi), m(Yi) :

Лемма 15. Пусть m(Yi), m*(Yi) - число фокальных точек на (г, г + 1], [г,г + 1) соответственно. Тогда

m*{Yi) - m(Yi) = rang(Xi+i) - rang(Xf), .Г (У, М, N) - l(Y, М, N) = ra.ng(XN+1) - rang(XM),

N

l*(Y>M,N) = Y/m*(Yi).

i=M

Доказывается следующая теорема, являющаяся решением открытой проблемы, поставленной в 2007 г.14, о равенстве числа фокальных точек главных решений (1) и (20):

Теорема 16. Пусть l(Y^M\M,N) - число фокальных точек главного решения У/М) системы (1) на (M,N + 1], a l*(Y(N+1>)M, N) - число фокальных точек главного решения системы (20) на [M,N + 1), тогда

I = ¿(У(м),М, N) = l*[Y{N+l\M,N). (21)

Последний раздел главы 3 посвящен доказательствам новых результатов теории трансформаций для сопряженных базисов системы (1). Пусть Ri - симплектическая матрица при любом г. Рассматривается трансформация Yi = R~lYi сопряженного базиса Yi системы (1). Тогда Yi является сопряженным базисом следующей симплектической системы

Yi+\ = WiYi, Щ = R^WiRi. (22)

14 Doäly О., Kratz W. A Sturmian separation theorem for symplectic difference systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2007. Vol. 325. Pp. 333-341.

Основной вопрос, рассматриваемый в теории трансформаций, - это вопрос о связи между числом фокальных точек У* и В частности, исследуются

условия, накладываемые на йг и при которых системы (1) и (22) осциллируют или не осциллируют одновременно при г —> +оо. Отметим, что большое число работ в непрерывной и дискретной осцилляционной теории посвящено частному случаю трансформации Д^1 = 3. Так, если для дифференциальной системы (2) выполнено В(£) > О, С(£) < 0, то решения У(£), ЗУ(Ь) осциллируют или не осциллируют одновременно при £ —> +оо. Данное утверждение принято называть «принципом взаимности» для дифференциальной системы (2). Доказан основной результат об изменении числа фокальных точек У, при действии на данный базис симплектической трансформации Д,- :

Теорема 17 (Об изменении числа фокальных точек при действии симплектической трансформации). Пусть - сопряженный базис (1) иУ{ = Тогда

ш(Д-1У0 - тп(У<) - Дм(ЯГ% ДГМО/П = Щ,

щ = /¿(ЯГ+МО/Г, ЩЫ}Т) - \¥гг1[01]т),

Щ -где тп(У) и т(Ег1Уг) - число фокальных точек на (г, г + 1] для У* и У{ соответственно. Следовательно, для числа фокальных точек на (М, N + 1] справедлива формула

N

/(Л-ХУ, М, М) - 1(У, м, Ю - МЯГЧ Д"1 [О /]г)|^+1 -

¿=л/

где fi\lI = ¡к- /м-

Для дискретной гамильтоновой системы принцип взаимности был доказан в 1997 г.15, вопрос об обобщении данного принципа для общего случая системы (1) оставался открытым до опубликования следующих результатов настоящей диссертационной работы:

Теорема 18 (Обобщенный принцип взаимности для дискретной симплектической системы). Пусть при достаточно больших г выполнено условие

МДГ+М0/]Т, Щ01]Т)=иЧЩ01}Т,\у-1101)Т).

Тогда системы (1) и (22) осциллиру?от и не осциллируют одновременно при г —> + оо.

В частности, при Дг~х = 3, формулируется

15 см. сноску3 на стр.4

Следствие 19. [Дискретный принцип взаимности] Пусть матрица системы (1) разделена на блоки

т = Аг Вг 1 [Я А]

и т(1(—А[Сг) = 'md(AiBf) при достаточно больших г, тогда У{, ЗУ^ осциллируют и не осциллируют одновременно при I —> +оо.

В Главе 4 рассматриваются приложения результатов главы 3 в дискретной спектральной теории для систем (1).

Основные результаты главы 4 связаны с построением относительной ос-цилляционной теории для симплектических граничных задач. Основы данной теории заложены в серии публикаций и монографиях Д. Тешла16, посвященных относительной осцилляционной теории для дифференциальных и разностных задач Штурма-Лиувилля второго порядка. В основе данной теории лежит изучение осцилляционных свойств Вронскиана решений двух уравнений Штурма-Лиувилля, позволяющее сформулировать результаты о взаимном распределении спектров двух краевых задач. Представляются обобщения результатов Тешла для симплектических краевых задач, линейно зависящих от параметра Л 6 К:

гд+1(А) = г = Оу{ = [х{щ\Т, х0 = ж^-ц = 0, (23)

= ЩХ)уи г = 0,..., И, & = [ъ щ]т, х0 = хк+1 = 0, (24) I О"

Wi(A) =

-АЩ I

Si, S} J Si = J, Щ = Щ, W¿ > О, (25)

и предположения, аналогичные (25), выполнены для Й^(А). Доказано17, что задачи (23) - (25) являются самосопряженными, с конечными, вещественными спектрами конечных собственных значений о\, сг2 соответственно. Введем обозначение #{А 6 |А е 3}, I = 1,2 для функций, равных числу собственных значений задач (23), (24), принадлежащих заданному множеству 3-

Первые результаты в относительной осцилляционной теории получены для случая И^А) = ^¿(А) :

Теорема 20. Число собственных значений задачи (23) на полуинтервале (а, 6] равно

#{А е ах|а < А < 6} = £ м(£[01]Т, ^+х[0/]г),

_, *=0 (26)

16 Teschl G. Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices. Providence: AMS Mathematical Surveys and Monographs, 1999. 351 p.

17 см. сноску 6 на стр.5

где Z^N+l\\), zl0\\) - симплектические фундаментальные матрицы системы (23), ■удовлетворяющие (Ь)[01}Т = ^о)(а)[0/]т = [0/]т.

Преимущество использования теоремы 20 в расчете собственных значений задачи (23) состоит в следующем. Вместо расчета фокальных точек сопряженных базисов двух, возможно «быстро» осциллирующих систем с матрицами И^(а), можно перейти к расчету фокальных точек сопря-

женного базиса одной «медленно» осциллирующей (по крайней мере при достаточно близких а, Ь) системы с матрицей ^^{а))-1 ]¥^Ь)ЦГ~1(а) zf^1{a). Следовательно, важнейшие теоретические приложения теоремы 20 состоят в возможности ее использования при построении спектральной теории для дискретных сингулярных краевых задач, практические - в построении алгоритмов вычисления собственных значений с большими номерами, связанных с известными вычислительными трудностями.

Доказываются частные случаи теоремы 20 для задач с самосопряженными общими и разделенными граничными условиями, а также их аналоги для числа собственных значений на [а, Ь).

Для задач (23), (24) с различными матрицами коэффициентов доказано обобщение теоремы 20. Пусть Z¡0}(X), ¿¡М+1)(Х) - симплектические фундаментальные матрицы систем (23), (24), У/0)(А) = ^0)(А)[0/]Г, ^"^(Л) =

~ главные решения данных систем, и & = ¿¡^^ (Ь)'1 при произвольных вещественных а, Ь, тогда справедлива

Теорема 21. Существует целочисленная постоянная Р, такая, что для любых а, Ъ 6 К выполнено

#{/х 6 а2\» <Ъ}- 6 а^ <а} = #(Я<0>(а), ¿<"+1>(Ъ), 0, Л) - Р,

где = а

г=0

постоянная Р = #(^°)(А0), Я<№+1>(А0), 0, ЛГ) = р - р, где р = /*(.у("+Ч(До), 0, N + 1), р = ¿(У(°)(Ло), 0, N + 1), Ло < тт{Л е <п и а2}.

Отметим, что краевые задачи для систем (25) с общими самосопряженными граничными условиями могут быть записаны в форме (23), (25). В работе доказываются частные случаи теоремы 21 для пары задач с различными самосопряженными общими и разделенными граничными условиями.

Как следствия доказываются неравенства для собственных значений задач с различными граничными условиями. Рассматривается пара задач с са-

мосопряженными разделенными граничными условиями

Vi+1 = Wi{\)yu i = 0,..., N, .2?.

Щх0 - RoUq = 0, R*n+îxn+i + Rn+iun+i =0, ^ >

Vi+i = Wi(X)yi, i = 0,...,N, Щхо - R0u0 = 0, R*n+1xn+i + = 0,

ЛЧ-1,,,.. _ n (28)

где щRl = R0R*0T, R*n+irn+i = Rn+iR*nT+v rang]^ -До] = rang[/?^+1 Rn+1] — n и аналогичные условия выполнены для Щ, Rq, Rpj+l, Д^+î- Напомним, что любая из рассматриваемых краевых задач имеет лишь конечное число собственных значений, при этом не исключена возможность о\ = 0 или 02 = 0- Пусть собственные значения каждой из двух задач упорядочены по неубыванию, с учетом кратностей, тогда справедливо

Следствие 22. Определим число 0 < к < 2п условием

к = rangWb + rangu^,

^JV+lW l lhN+l JV/V+lJ i

wL = [A, R*o]J[RО Щ]т, WR = {-Rn+! R*n+1]J[-Rn+1 RI

тогда если существует А;+/с € сг2, г > 1, то существует А, € о-!, при этом А* < Лг+А;. Аналогично, если существует A¿+fc € оь г > 1, то существует Аг € 0"2, при этом Аг <

Задачи (27),(28) сводятся к паре задач (23), (24) на интервале [—1,^+2], при этом матрицы систем (23), (24) совпадают при г =0,...,]Уи определяются граничными условиями при г = —1, г = N + 1 (такие задачи принято

N+1

называть расширенными). Пусть постоянная р = ^ т(У(Ао)) определена

¿=-1

как число фокальных точек на (—1, А^+1] сопряженного базиса расширенной системы, отвечающей граничным условиям задачи (28) с начальным условием У_1(А0) = [01}Т. Тогда справедливо

Следствие 23. При выполнении условий

р = о, д([До Ё*0}т, [До R*0}т) = 1 [—Ллг+1 1Г„+1]Т) = о

следует, что если существует А, € а, i > 1, то существует и Х^ € а, г > 1, при этом А, < Аг-.

В работе доказываются различные уточнения результатов следствий 22, 23 для собственных значений двух задач с различными самосопряженными, в том числе связанными граничными условиями.

В Главе 5 предлагаются алгоритмы вычисления собственных значений задач (23), основанные на приложениях новых результатов дискретной осцил-ляционной теории, полученных в предыдущих главах диссертации.

Основой алгоритмов является определение значений функции є

< А} при различных А, основанное на осцилляционной теореме Штурма18, согласно которой существует постоянная р є N и {0}, такая, что для любого Ь Є К справедлива формула

/(Г<°>(6), 0, АО = є <п|А <Ь}+р, (29)

1(уМ(\),0,Ю = ^т(У?о\\)), (ЗО)

¿=0

где (30) определяет число фокальных точек на (0, N + 1] главного решения 3^(А) симплектической системы (23). Аналогичная формула доказана в главе 4 для числа Є оі|/х < А}. Так, существует постоянная р* є N11 {0}, такая, что для любого Ъ Є К справедлива формула

1*(уЮ(Ь), 0, ТУ) = є сті|А < Ь} +р*, (31)

N

Г(У<°>( А),0,Л0 = ;£т*(у.(0>(А), (32)

¿=о

где (32) определяет число фокальных точек на [0,// + 1) главного решения симплектической системы (23). Используются также комбинации формул (29) и (31) при переносе граничных условий задач в произвольную точку АГ0Є [0,ЛГ + 1].

Использование формул (29), (31) основано на вычислении фокальных точек сопряженных базисов систем (23) при различных А. Вычисление (30), (32) при произвольных значениях А в сочетании с методом бисекций дает возможность найти все конечные собственные значения (23) на заданном интервале [а,Ь] (включая кратности), а также их номера (с соответствующим сдвигом на на константы р, р* в (29), (31)).

В работе предлагаются два основных подхода к проблеме вычисления фокальных точек сопряженных базисов (1). Основой алгоритмов при первом подходе является блочная диагонализация некоторого симметрического оператора, связанного с сопряженным базисом симплектической системы. Второй подход использует полученные новые результаты в теории трансформаций, в частности, формулы связи между числом фокальных точек при произвольной симплектической трансформации сопряженных базисов системы (1) (см. теорему 17). Базой алгоритмов в обоих случаях является численное интегрирование симплектических систем, основанное на методах ортогональных

18 см. сноску6 на стр.5

прогонок двух типов: ортогональной прогонке с перестановками строк сопряженного базиса симплектичекой системы и модификации дифференциальной прогонки, предложенной в работах Абрамова A.A.19

Теоретической основой алгоритмов при первом подходе являются следующие результаты:

Теорема 24. Если т*(У) - число фокальных точек на [г, г + 1) для сопряженного базиса Yi = [Xf UfY системы (1), и определена матрица

т =

-XTUi

BiUi

UfBj ВіАЇ

то для любой невырожденной главной подматрицы Щ размерности к^ X к{ в матрице справедливо

т*(У5) = тс!(Л[У{]/Я) - шЩ-Х^Щ/Щ),

где А/Н - дополнение Шура блока Н в А. Если справедливо

пле(ХТЩ = кг, г = 0,...,ЛГ,

то

„•(УЛ-! ^(ЛИ/ЯО, А^ > О,

171 Ш(АШЬ = 0. (33)

В разработанном комплексе программ предусмотрена возможность вычисления собственных значений краевых задач

(Р(х)Х')' + [ЛН(х) - <2(х)]Х = О, X = Х(х, А), 0 < х < I, . .

Х(0, А) = Х(1, А) = 0. ^

для дифференциальных векторных уравнений Штурма-Лиувилля, возникающих при математическом моделировании движений взаимодействующих колебательных систем20. Соответствующая симплектическая краевая задача возникает при использовании симплектических явных г -шаговых разностных схем для дифференциальных гамильтоновых систем21. В таб. 1 приведены результаты вычисления собственного значения Ах = 4.158457691044765 модельной задачи для (34) из работы19 для п = 2, <2(х) = О, I = 1, Р = "1 21

при интегрировании с помощью симплектической

I, R(x) = (1 + ®)-

2 4

схемы порядка г = 2, 4 с шагом /і = 10 2, 10 3, 10 4, при этом новый алгоритм вычисления собственных значений основан на использовании формул

h r = 2 r = 4

10-* 1.280672477702526e-004 2.242991865505127e-007

io-J 1.280810673797161e-006 2.242029906268870e-011

10~4 1.280812403183678e-008 5.326204188804695e-016

Таблица 1. Относительная погрешность расчета первого собственного значения Ai

теоремы 24 и (31), (32).

Для вычисления собственных значений «жестких» задач в работе предлагаются новые варианты прогонки, сохраняющие симплектическую структуру задачи. При вычислении фокальных точек с помощью теоремы 24 используется факторизация сопряженного базиса согласно следующей теореме.

Теорема 25. Пусть симплектическая матрица перестановок определена условиями

% =

1: L-G,

Fj

Gj = I,

где Сз - диагональная матрица с диагональными элементами из {0,1} и номер перестановки ^ определен своим двоичным кодом на диагонали С^.

Тогда для произвольной матрицы У = [ХТ 11т]т с условиями (3) существует такой номер э е {0,1,... 2" — 1}, что

ф О, Х3 = Р3Х - и.

Следовательно, справедливо блочное Ы1 разложение У с ведущей матрицей Щ:

mjy =

'I 0" A'/

Qj I. 0

Uj = G,X + Fj U, Qj = Qj, Qj = UjXj\ при этом выполнено

HQJIIi < 1 + V2(n - 1).

(35)

Пусть (35) справедливо для сопряженного базиса У^ симплектической системы (1) при г = 0,1,..., N + 1. Тогда соответствующий номер з = ./(г), г = 0,1,..., ЛГ -+- 1 назовем путем интегрирования для сопряженного базиса Уг.

19 см. сноску 10 на стр.6

20 Л.Д.Акуленко, С.В.Нестеров. Колебания взаимодействующих систем с неоднородными распределенными параметрами // Механика твердого тела. 1999. Т. 2. С. 15-25.

21 Liu Xue-Shen, Qi Yue-Ying, He Jian-Feng, Ding Pei-Zhu. Recent Progress in Symplectic Algorithms for Use in Quantum Systems // Communications in computational physics. 2007. Vol. 2, no. 1. Pp. 1-53.

Если ] = ](г), г = 0,..., N + 1 - некоторый путь интегрирования, то в представлении (35) симметрическая матрица = и^Х^ удовлетворяет разностному уравнению Риккати

C'i - Qjii+ijA + DiQj(q - QJ(mBiQm = 0, Wi = (36)

На рис. 1 приведены графики пути интегрирования и нормы решения матричного уравнения Риккати (36), ассоциированного с дискретной гамиль-тоновой системой (симплектической неявной разностной схемой первого порядка точности), используемой при численном моделировании гармонических колебаний упругих слоисто-неоднородных сред, описываемых системой уравнений теории упругости

(А + 2ц) graddivu — р, rot rot и + gradXdivu + w2p« + . .

+ 2 (gradfj, , grad) и + grad p, x rot и = 0, ^ '

где A = A (t), fj, = ц (t), p = p (t) - кусочно-аналитические функции переменной t с заданным поведением при t —» оо. В предположении цилиндрической симметрии задачи система (37) решалась методом разделения переменных, приводящим к решению гамильтоновой системы (2) с коэффициентами, являющимися функциями t и параметра разделения В данном примере

£ 6 [1СГ3,1.05 ■ 10"3] , t е [9.72,9.59] , A (i) = i4 + 1, ц (t) = 213 + 1, р (i) = t.

Если для сопряженного базиса У^ известен путь интегрирования ] = ¿(1), г = 0,1,..., N + 1 и решение (¿^ф уравнения (36) вдоль данного пути, то число фокальных точек вычисляется согласно следующей теореме:

Теорема 26. Пусть з — з{г) - некоторый путь интегрирования для сопряженного базисаУ1 системы (1), при этомС}^) - решение (36) вдоль данного

Рис. 1. Графики j(t,£) и ШШ! ■

пути. Определим матрицу

Л[У] =

Gj(i)Qj(i)Gj(i) Pi Pi Ri

Pi - ~Gj(i)(I - Qj(i)Fj^)Bj, Ri = BtAj + BiFmQmFmBf.

Тогда для любой невырожденной главной подматрицы Ні размерности k¡ х кі в матрице Gj^Qj^Gj^) число фокальных точек на [г, г + 1) определено формулой

m\{Y) = ind(A[V¿]/Щ) - ind{(GmQmGM)/Hi).

Если ki = rang(Gj(¿)Qj(¡)Gj(i)), то представление (33) справедливо для матрицы A[V¿], определенной (38).

Второй подход связан с практическими приложениями теоремы 17 в алгоритмах вычисления фокальных точек для симплектических ортогональных трансформаций, обеспечивающих невырожденность верхнего блока трансформированного сопряженного базиса Y¿. Рассматриваются тригонометрические трансформации

sin ail — cos ail cos ail sin ail

Ri —

(39)

обеспечивающие выполнение условий

detX¿ = det(sin(a¿)X¿ + сов{а^и{) ф 0, (40)

IIQi.ll ^ С{п), г = М,..., N + 1, (41)

<Зг- = (- соэ(аг)Х; + зт{аг)и№т(а^Хг + соз(аг)^)-1. (42)

Алгоритмы вычисления фокальных точек, использующие (39), основаны на следующей теореме:

Теорема 27. Для случая тригонометрической трансформации (39) при условии выполнения (40), (42) и

справедлива следующая формула для числа фокальных точек на(+ 1]:

N

l(Y, 0, N) = £ Qi - ind(tan(a¿)J - Q,.)| J

N+1

г=О

Qi = ind(BfDi - BjQi+\Bi) - ind(Bf A - t&nai+1BfBi)+ +ind (BiAf — tan aiBiBf),

Wi

Ai Bi СІ Di

Щ = Rf+1WiRi =

Ai Bi Ci Di

Важным моментом в алгоритме является выбор углов щ исходя из условия (40). Для непрерывного случая теорема существования для решений дифференциального уравнения Риккати, отвечающего трансформированной га-мильтоновой системе, и оценка (41) обеспечивают постоянство углов щ на каждом из невырожденных интервалов [¿¿,£¿+1] на которые разбивается весь отрезок интегрирования при переносе левого (правого) граничного условия.

Для дискретной системы (23) в общем случае нельзя гарантировать постоянства а, при переходе от г к г+1. Если при г = к выполнено условие (40) с углом аь и <2* определена согласно (42), то на следующем шаге угол 0^+1 выбирается из условия выполнения (40) для матрицы У = Щ(А)Щ[10г]т, г = к, по построению удовлетворяющей (3). Алгоритм выбора для У опирается на следующую лемму:

Лемма 28. Для любой матрицы У = [ХТиТ]Т, удовлетворяющей (3), и 6 £ К следующие условия равносильны:

с!еЬ(Х + ¿и) ^ О,

+ 51Ш') = гаг^г/СД Существует 5 такое, что выполнено (28), при этом

д = (-5Х + и)(Х + 5и= (-бии^Хи^ + ии*){ии*ХЦ* + ¿Ш/^-

-5{1-ии*),

и для спектральной нормы <Э выполнена оценка ||<5|| < С(п), где С(п) зависит только от размерности п блоков X, и, в частности, возможен выбор 6^0.

В работе приводится алгоритм выбора угла а,, обеспечивающий выполнение (40)-(42). Предложены модификации указанного алгоритма при интегрировании системы от г = М+1 до г = 0, а также «встречного» интегрирования в произвольную точку N0 € [О, ТУ + 1].

Последний раздел главы 5 посвящен тестированию комплекса программ для расчета собственных значений дискретных симплектических краевых задач. Проведенный вычислительный эксперимент по определению спектров модельных задач подтвердил правильность основных теоретических результатов работы, эффективность метода сравнительного индекса в разработке устойчивых алгоритмов вычисления фокальных точек сопряженных базисов симплектических систем, а также возможности практического использования данных алгоритмов в численных методах нахождения собственных значений дискретных краевых задач, в том числе полученных как конечноразностные

аппроксимации соответствующих дифференциальных задач; в алгоритмах решения проблемы собственных значений для разреженных Л - матриц специальной структуры, в частности, симметрических ленточных и блочно-трех-диагональных матриц.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы, в приложении приведены тексты основных программ программного комплекса для расчета собственных значений дискретных краевых задач.

Основные результаты и выводы.

1. В диссертации на основе выполненных автором исследований в дискретной осцилляционной теории разработаны теоретические положения, совокупность которых можно классифицировать как научное достижение в области разработки метода математического моделирования колебаний дискретных линейных симплектических систем.

2. Разработан метод сравнительного индекса, позволяющий с единой точки зрения рассматривать определения кратностей фокальных точек, лежащие в основе изучаемой дискретной модели колебаний; проблемы сравнения решений; проблемы сравнения матриц-коэффициентов дискретных симплектических систем.

3. Доказаны теоремы сравнения и отделимости для дискретных симплектических систем, представленные в форме равенств, связывающих числа фокальных точек сопряженных базисов данных систем.

4. Введена и разработана концепция числа фокальных точек для сопряженного базиса обратной симплектической системы (число фокальных точек на [г, г + 1)), решена открытая проблема о равенстве числа фокальных точек главных решений на (О, ЛГ+1] и [0,7У +1), позволяющая свести изучение осцилляционных свойств решений исходной системы к изучению осцилляционных свойств обратной симплектической системы.

5. Впервые получены результаты о связи между числом фокальных точек сопряженного базиса и базиса, подвергнутого произвольной симплектической трансформации. Исследовано взаимное осцилляционное поведение решений симплектической системы и трансформированной системы при г —> оо в зависимости от симплектической матрицы системы и выбранной трансформации, доказаны обобщения принципа взаимности для дискретной симплектической системы.

6. Доказаны основные теоремы относительной осцилляционной теории для двух симплектических краевых задач с линейной зависимостью от спек-

трального параметра и общими самосопряженными граничными условиями: соотношения для числа собственных значений спектральной краевой задачи на интервале (а, 6]; соотношения для числа собственных значений двух спектральных задач с различными матрицами коэффициентов и граничными условиями; неравенства для собственных значений для двух краевых задач с различными граничными условиями и матрицами коэффициентов.

7. Разработаны варианты разностной ортогональной прогонки, предназначенные для переноса краевых условий дискретных самосопряженных краевых задач:

-вариант ортогональной прогонки, основанный на использовании сим-плектических перестановок строк сопряженного базиса;

-модификация варианта дифференциальной прогонки A.A. Абрамова, основанной на использовании тригонометрических трансформаций.

8. Разработаны новые алгоритмы вычисления фокальных точек сопряженных базисов, основанные на предложенных вариантах метода прогонки и новых результатах осцилляционной теории:

- алгоритмы, основанные на вычислении индекса симметрического оператора, связанного с сопряженным базисом и матрицей системы;

- алгоритмы, основанные на новых формулах теории трансформаций для сопряженных базисов симплектической системы.

9. Разработан комплекс программ для вычисления собственных значений дискретных симплектических краевых задач с разделенными граничными условиями, основанный на использовании основных алгоритмов вычисления фокальных точек, предложенных в работе. Результатами тестирования ряда модельных задач программами комплекса- подтверждена правильность основных теоретических результатов работы, эффективность метода сравнительного индекса в разработке устойчивых алгоритмов вычисления фокальных точек сопряженных базисов симплектических систем. Предложенные в работе алгоритмы вычисления собственных значений могут быть использованы в задачах теоретической и прикладной гидродинамики, акустики и геофизики, при исследовании волновых процессов в стратифицированных жидких и упругих средах, в задачах контактного взаимодействия.

Публикации по теме диссертации

Основные результаты диссертационной работы опубликованы

в научных изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Елисеева Ю.В. Равномерные асимптотические разложения решений системы уравнений теории упругости // Вестник Московского Университета. Серия 15: Вычислительная Математика и Кибернетика. 1987. № 3. С. 23-30.

2. Елисеева Ю.В. Об одном алгоритме решения симплектического матричного уравнения Риккати // Вестник Московского Университета. Серия 15: Вычислительная Математика и Кибернетика. 1990. № 2. С. 14-19.

3. Елисеева Ю.В. Об одном алгоритме решения матричного разностного уравнения Риккати // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. Т. 39, № 2. С. 187-194.

4. Elyseeva J.V. A transformation for symplectic systems and the definition of a focal point // Computers & Mathematics with Applications. 2004. T. 47, № 1. C. 123-134.

5. Елисеева Ю.В. Сравнительный индекс для решений симплектических систем разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 3. С. 431-444.

6. Elyseeva J.V. Transformations and the number of focal points for conjoined bases of symplectic difference systems // Journal of Difference Equations and Applications. 2009. T. 15, № 11. C. 1055-1066.

7. Elyseeva J.V. On relative oscillation theory for symplectic eigenvalue problems // Applied Mathematics Letters. 2010. T. 23, № 10. C. 1231-1237.

8. Елисеева Ю.В, Теоремы сравнения для симплектических систем разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 9. С. 1329-1342.

9. Elyseeva J.V., Bondarenko A.A. The Schur complement in an algorithm for calculation of focal points of conjoined bases of symplectic difference systems // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2011. T. 67, № 4. C. 455-474.

10. Елисеева Ю.В., Бондаренко А.А. Один метод вычисления собственных значений дискретных задач Штурма-Лиувилля высших порядков // Вестник МГТУ "Станкин". 2011. Т. 1, № 13. С. 95-101.

11. Елисеева Ю.В. Дополнение Шура и число фокальных точек симплекти-ческой системы разностных уравнений // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2011. № 3. С. 18-23.

12. Елисеева Ю.В. О спектрах дискретных симплектических краевых задач с разделенными граничными условиями // Известия высших учебных заведений. Математика. 2011. № 11. С. 84-88.

в монографии:

13. Ю.В. Елисеева. Сравнительный индекс в математическом моделировании колебаний дискретных симплектических систем. М.: ФГБОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2011.-354 с.

в других периодических изданиях, сборниках научных трудов, трудах конференций:

14. Ю.В. Елисеева. Обобщенный алгоритм инверсии для дискретного матричного уравнения Риккати // Проектирование технологических машин: Сборник научных трудов / Под ред. А. В. Пуш. М.: МГТУ " Станкин ", 1997. Т. 6. С. 8-11.

15. Ю.В. Елисеева. Об одном методе решения канонической системы разностных уравнений // Динамика технологических систем". Труды V Международной научно-технической конференции / Под ред. А. В. Пуш. Т. 1. Ростов на Дону: ДГТУ, 1997. С. 25-27.

16. Ю.В. Елисеева. Об одном алгоритме переноса граничных условий для задачи теории упругости // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Ежегодный сборник научных трудов / Под ред. JI.A. Уваровой. М.: "Янус-К", 1998. Т. 1. С. 154-159.

17. J. Elyseeva. On oscillation and nonoscillation domains for difference Riccati equation // Mathematical Models of Ñon-Linear Excitations, Transfer, Dynamics and Control in Condensed Systems and Other Media / Ed. by Uvaro-va L.A., Arinstein A.E., Latyshev A. V. Kluwer Academic/Plenum publishers,

1999. Pp. 157-169.

18. Ю.В. Елисеева. Об областях существования положительных решений разностного уравнения Риккати // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Ежегодный сборник научных трудов / Под ред. JI.A. Уваровой. М.: "Янус-К",

2000. Т. 3. С. 152-159.

19. О.Н. Белькова, Ю.В. Елисеева. Применение квадратичных операторов в теории Штурма симплектических систем // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Ежегодный сборник научных трудов / Под ред. JI.A. Уваровой. М.: "Янус-К", 2004. Т. 7. С. 4-17.

20. Elyseeva J. Symplectic Factorizations and the Definition of a Focal Point // Proceedings of the Eighth International Conference on Difference Equations and Applications, 2003 / Ed. by Elaydi S., Aulbach В., Ladas G. Boca Raton: Chartman Hall/CRC, 2003. Pp. 127-135.

21. Elyseeva J. A transformation for the Riccati difference operator // Proceedings of the Sixth International Conference on Difference Equations, 2001 / Ed. by Elaydi S., Aulbach В., Ladas G. Boca Raton: Chartman Hall/CRC, 2005. Pp. 417-424.

22. Elyseeva J. The comparative index for conjoined bases of symplectic difference systems // Difference equations, Special functions and Orthogonal polinomi-als, Proceedings of the International Conference Munich, Germany, 25 - 30 July 2005 / Ed. by Elaydi S., Cushing J., Lasser R., all. Singapore: World Scientific, 2007. Pp. 168-177.

23. Schmeidel E., Elyseeva J. Generalized Kiguradze's lemma on time scales with application for oscillation of higher order nonlinear dynamic equations // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Ежегодный сборник научных трудов / Под ред. Л.А. Уваровой. М.: "Янус-К", 2008. Т. 11. С. 18-21.

24. Elyseeva J. Index results in Sturmian Theory of symplectic difference systems // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Ежегодный сборник научных трудов / Под ред. Л.А. Уваровой. М.: "Янус-К", 2008. Т. 11. С. 22-29.

25. Ю.В. Елисеева, О.А. Казаков, Л.А. Уварова и др. Математическое моделирование процессов, явлений и структур в сложных системах. // Вестник МГТУ "Станкин". 2008. № 1. С. 44 - 59.

26. Ю.В. Елисеева, А.А. Бондаренко. Применение теории Штурма при расчете собственных значений разностной задачи Штурма-Лиувилля четвертого порядка // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Ежегодный сборник научных трудов / Под ред. Л.А. Уваровой. М.: "Янус-К", 2009. Т. 12. С. 4-17.

27. Elyseeva J. The comparative index and the number of focal points for conjoined bases of symplectic difference systems // Discrete dynamics and difference equations, Proceedings of the Twelfth International Conference on Difference Equations and Applications / Ed. by Elaydi S., Oliveira H., Ferreira J., Alves J. Singapore: World Scientific, 2010. Pp. 231-238.

28. Elyseeva J., Bondarenko A. Calculating eigenvalues of discrete fourth order Sturm-Liouville problems // Mathematical Models of Non-linear Phenomena, Processes and Systems: From Molecular Scale to Planetary Atmosphere / Ed. by Nadykto A. B., Uvarova L.A., Latyshev A. V. Nova Science Publishers, 2010. Pp. 443-452.

Подписано в печать 02.04.2012 г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Печать цифровая. Тираж 100 Экз. Заказ № 002 Типография "АртПоход" 127055, г. Москва, ул. Новослободская, д. 58, оф. 101 Тел. 8-499-978-38-27

Введение

Глава 1. Дискретные симплектические модели и основные понятия дискретной осцилляционной теории

1.1. О симплектической структуре фазового потока в классической и дискретной гамильтоновой механике.

1.2. Дискретные симплектические системы как математические модели колебаний.

1.3. Основные этапы развития дискретной осцилляционной теории

Актуальность работы. К изучению математических моделей колебаний дискретных систем с симплектической структурой приводят задачи из различных областей естествознания, науки и техники. Среди них ведущую роль играют задачи дискретной гамильтоновой и лагранжевой механики, задачи дискретного вариационного исчисления, задачи построения симплекти-ческих разностных схем для дифференциальных гамильтоновых систем уравнений, сохраняющих основные инварианты данных систем. Фундаментальная теорема классической гамильтоновой механики утверждает, что эволюция гамильтоновой системы во времени есть эволюция симплектической трансформации. С этой точки зрения любая гамильтонова система имеет симплекти-ческую структуру. В частности, к моделям, сохраняющим симплектическую структуру фазового потока, относятся дискретные линейные симплектиче-ские системы

Л Вг Сг Д где вещественная 2п х 2тг матрица системы является симплектической:

Шг = 3,3 =

О I -I О г = 0,., N.

Частным случаем симплектических систем являются следующие важные классы дискретных уравнений и систем: гамильтоновы системы разностных уравнений, дискретные уравнения Штурма-Лиувилля порядка 2тъ, п Е М, векторные дискретные уравнения Якоби и Штурма-Лиувилля.

Настоящая работа посвящена разработке новых математических методов в осцилляционной теории (или теории колебаний) дискретных симплектических и их приложениям в алгоритмах вычисления собственных значений дискретных самосопряженных краевых задач. Осцилляционная теория, или теория Штурма, имеет фундаментальное значение для теории линейных самосопряженных краевых задач со времени доказательства знаменитых теорем Штурма [146] об осцилляционных свойствах собственных функций краевой задачи — = А:г(£), я(0) = х(1) = 0. Рассматриваемая теория является разностным аналогом осцилляционной теории для линейных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Щ = п(г)у, п{1) =

-С{1) Л(г)т Л(г) В{г) щ)т = Щ) с вещественным гамильтонианом при этом краевые задачи для гамильтоновых систем с общими самосопряженными граничными условиями являются предельно общей постановкой линейных самосопряженных граничных задач [20]. В то время как осцилляционная теория для дифференциальных систем (1.1.5) изучена достаточно глубоко в работах В. Б. Лидского [43], Ф. Р. Ганмахера, М.Г. Крейна, В.А. Якубовича, В.И. Арнольда, Ф. Аткинсона, В. Коппела, В. Рейда, В. Кратца и др., аналогичная теория для общего случая дискретных симплектических систем активно развивается лишь последние годы, и к настоящему моменту далека от завершения. Основной трудностью при построении математических моделей колебаний дискретных систем является формулировка концепции нуля решения. В то время как для дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля определение нуля решения в классическом случае является очевидным, для его дискретного аналога - уравнения г- = 0 существование «обобщенного» нуля на интервале (г, г + 1] связано с нарушением одного из двух условий Х{+\ Ф 0, Х{/{г^Хг+\) > 0 (при этом предполагается, что Х{ ф 0). Аналогичная ситуация имеет место в случае фокальных точек матричных решений дифференциальной гамильтоновой системы и ее разностного аналога - дискретной симплектической системы. Фокальная точка для сопряженного базиса -2 пхп матричного решения = [X (Ь)т II (1)т]т дифференциальной системы, удовлетворяющего гаг^У(г) = п, хг(г)*7(г) = ит(г)х(г), определяется условием с^ Х(Ь) = 0 и имеет кратность т(£) = с1е£Х(£) = п — rangX(í). В данной работе, при построении математической модели колебаний дискретных систем (1.2.1) в основе понятия «обобщенного» нуля матричного решения лежит определение фокальной точки сопряженного базиса У{ = [Х? и?]Т на (г, г + 1] [81]. Существование фокальной точки связано с нарушением хотя бы одного из двух условий условий

КегХш С КегХ{, ХгХ}+1Вг > О, где КегА - ядро А, А* означает псевдообратную для А и А > 0 означает, что А = Ат неотрицательно определенная. Количественной мерой нарушения данных условий является число фокальных точек тп(У{) [122] на интервале (г, г + 1] (с учетом их кратностей). Предлагаемый в работе новый математический аппарат, названный теорией сравнительного индекса, предназначен для разработки и исследования дискретной модели колебаний, основанной на современной концепции числа фокальных точек.

Интерес к изучению осцилляционных свойств дискретных симплектиче-ских систем вызван, как и в непрерывном случае, их приложениями, в частности, в дискретном вариационном исчислении и в теории граничных задач. В дискретном вариационном исчислении рассматривается задача минимизации N дискретного функционала Т(х) = ^2/(1,х(1 + 1),Ах(г)) —> ш£ для векторг=0 ной функции х(г) е Кп дискретного аргумента г = 0,., N + 1, удовлетворяющей заданным граничным условиям. Среди необходимых (достаточных) условий минимума дискретного функционала содержится условие неотрицательности (положительности) его второй вариации N

ВД = + !) +1) + 2*т(г +1) Д(*) Аг(г) + (Дг(г))тР(г) Дг(г)}. г=0

При исследовании знакоопределенности дискретного квадратичного функционала ведущую роль, как и в непрерывном случае [37], играет осцил-ляционная теория для векторного уравнения Якоби. К настоящему моменту дискретная осцилляционная теория позволяет исследовать знакоопределенность квадратичных функционалов более общего вида, чем это было принято рассматривать в классическом вариационном исчислении.

Второй важнейшей областью приложений дискретной осцилляционной теории, с которой непосредственно связаны основные результаты диссертационной работы, является теория граничных задач. Как частный случай данная теория включает классическую спектральную теорию для разностных скалярных и векторных уравнений Штурма-Лиувилля. Так, для дискретной краевой задачи Штурма - Лиувилля —Д(г|^Ахг) + \ = Ахг+х, хо =

1 = 0 осцилляционная теорема Штурма устанавливает равенство между числом собственных значений указанной краевой задачи, не превосходящих А, и числом фокальных точек на (О, N + 1] векторного решения сим

1 1/г,(1)

А 1 + (г<о)А)/г(.) численного для данного А. Одним из последних достижений в дискретной спектральной теории для симплектических систем с линейной зависимостью от спектрального параметра А является доказательство в 2007 г. обобщения осцилляционной теоремы Штурма [95]. Данный результат связывает число конечных собственных значений симплектической краевой задачи, не превосходящих заданное А, с числом фокальных точек некоторого сопряженного базиса симплектической системы.

Общим преимуществом приложений осцилляционных теорем Штурма плектическои системы у{+\ =

Уь уо = [0 1]т, выдля дискретного и непрерывного случаев в численных методах решения краевых задач является возможность вычислять число собственных значений краевой задачи на произвольном отрезке [а,Ь] С М, решать различные проблемы, связанные с локализацией спектра, в частности, определять число всех отрицательных или всех положительных собственных значений краевой задачи, а также вычислять только одно собственное значение с заданным номером, используя метод бисекции.

Хорошо известно, что метод бисекции для расчета собственных значений симметричной трехдиагональной матрицы (Дж. Гивенс (1954), Дж. Уил-кинсон (1965)) основан на осцилляционной теореме Штурма для дискретного уравнения Штурма-Лиувилля второго порядка. Метод нахождения собственных векторов и собственных значений симметрических матриц с помощью приведения к трехдиагональной форме, основанный на вычислении обобщенных нулей последовательностей Штурма, активно развивался в работах С.К. Годунова и его учеников [17]. Хорошо известны также приложения осцилляционной теории в алгоритмах вычисления собственных значений и собственных функций краевых задач для дифференциальных гамильтоновых систем и их частных случаев. Среди них ведущую роль занимают численные алгоритмы, основанные на различных модификациях метода прогонки, таких, как прогонка с унитарной матрицей-функцией (В. Б. Лидский, М.Г. Нейгауз (1962), А. Аткинсон (1964), В. Рейд (1980)), прогонка с тригонометрическими трансформациями (А. А. Абрамов, 1991), другие модификации метода дифференциальной прогонки (А. А. Абрамов, 2011). В алгоритмах, основанных на приложениях осцилляционной теории [115], [133], [3] устойчивый перенос краевых условий сочетается с параллельным вычислением функций от числа сопряженных точек на заданном интервале интегрирования при фиксированном значении спектрального параметра.

С момента доказательства осцилляционной теоремы для дискретных симплектических систем с линейной зависимостью от спектрального параметра Л, является актуальным вопрос о возможностях её приложений в алгоритмах решения дискретных самосопряженных краевых задач. Как показал проведенный анализ, соответствующие приложения осцилляционной теории для дифференциальных граничных задач потребовали наличия развитого математического аппарата, практически отсутствующего в дискретной осцилляционной теории для концепции кратностей фокальных точек. Существующий аппарат, основанный на дискретной вариационной технике, оказался недостаточным для доказательства многих открытых проблем, поставленных в данной теории в конце 90-х г. прошлого века. В частности, открытыми оставались вопросы о соотношениях между кратностями фокальных точек сопряженных базисов симплектических систем при изменении начальных условий и коэффициентов систем; при произвольных симплектических трансформациях; при переходе от симплектической системы к ей обратной; другие открытые вопросы, важные для приложений. Построению такого аппарата, его приложениям в дискретной осцилляционной теории и в алгоритмах вычисления собственных значений дискретных симплектических краевых задач посвящена настоящая работа.

Цель диссертационной работы. Введение и разработка математического аппарата, позволяющего получить новые количественные характеристики осцилляционных свойств решений дискретных симплектических систем, установить основные законы их изменения, а также разработать численные алгоритмы решения дискретных краевых задач, основанные на приложениях новых результатов дискретной осцилляционной теории.

Научная новизна.

1. Предложен новый математический аппарат в исследовании и разработке математических моделей колебаний дискретных симплектических систем - метод сравнительного индекса.

2. С использованием метода сравнительного индекса впервые получены результаты, связывающие число фокальных точек двух сопряженных базисов одной симплектической системы (обобщение теорем отделимости) или двух сопряженных базисов различных симплектических систем (обобщение теорем сравнения).

3. Разработана концепция числа фокальных точек сопряженного базиса обратной симплектической системы (числа фокальных точек на полуинтервале [г, г +1)). Решена открытая проблема о равенстве числа фокальных точек главных решений на (О, N + 1] и [О, N + 1).

4. Впервые получены результаты, связывающие число фокальных точек сопряженного базиса и базиса, подвергнутого произвольной симплектической трансформации. Решена проблема об обобщении принципа взаимности для дискретной симплектической системы при произвольной симплектической трансформации сопряженного базиса.

5. Доказаны основные теоремы относительной осцилляционной теории для двух симплектических систем с линейной зависимостью от спектрального параметра и различными самосопряженными (в том числе связанными) граничными условиями на конечном отрезке изменения дискретной переменной. Впервые доказаны теоремы, представляющие число собственных значений дискретной краевой задачи на произвольном интервале (а, &]; впервые получены результаты, связывающие число собственных значений двух спектральных задач с различными симплектическими матрицами коэффициентов на интервалах (—оо, а] и (—оо, Ь] при произвольно заданных а, Ъ Е М. Получены неравенства для собственных значений двух дискретных симплектических краевых задач с различными самосопряженными граничными условиями, в частности, обобщенные свойства перемежаемости спектров двух задач с разделенными и связанными граничными условиями.

6. Впервые предложены и доведены до программной реализации алгоритмы вычисления фокальных точек сопряженных базисов дискретных сим-плектических систем, основанные на разработанных в диссертации вариантах ортогональной прогонки, сохраняющих симплектическую структуру задачи.

7. Разработаны и доведены до программной реализации численные методы определения собственных значений дискретных линейных симплекти-ческих краевых задач с самосопряженными граничными условиями, основанные на новых результатах дискретной осцилляционной теории.

Практическая значимость Разработанный метод сравнительного индекса при математическом моделировании колебаний дискретных симплекти-ческих систем может быть использован:

• в новых численных методах и комплексах программ для решения дискретных линейных самосопряженных краевых задач, в том числе полученных при конечноразностных и конечноэлементных аппроксимациях самосопряженных дифференциальных операторов;

• при решении проблемы минимизации дискретных функционалов в задачах дискретного вариационного исчисления, задачах дискретной лагранжевой и гамильтоновой механики;

• в алгоритмах решения проблемы собственных значений для разреженных Л - матриц специальной структуры, в частности, симметрических ленточных и блочно-трехдиагональных матриц;

• в алгоритмах исследования устойчивости численных методов, связанных с проблемами локализации спектра соответствующих вспомогательных самосопряженных разностных операторов.

Построенная в работе относительная осцилляционная теория для пары самосопряженных дискретных краевых задач может найти приложения в задачах исследования устойчивости колебаний и параметрического резонанса в линейных гамильтоновых системах, а предложенные в работе алгоритмы вычисления собственных значений, основанные на методе прогонки, могут быть использованы в задачах теоретической и прикладной гидродинамики, акустики и геофизики, при исследовании волновых процессов в стратифицированных жидких и упругих средах, в задачах контактного взаимодействия.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры Общей Математики факультета ВМиК МГУ (руководители академик РАН В.А.Ильин, академик РАН Е. И. Моисеев); на научно-исследовательском семинаре кафедры Вычислительных Методов факультета ВМиК МГУ под руководством проф. A.M. Гулина; на следующих 14 научных конференциях и конгрессах:

III, IV международная научная конференция "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах"(Тверь, 1998; Москва, 2000); 6th International Conference on Difference Equations (Augsburg, Germany, 2001); V International congress on mathematical modelling (Dubna, 2002); VI научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» ( Москва, 2003); 8th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2003 (Brno, Czech Republic, 2003); VI International congress on mathematical modeling (N. Novgorod, 2004); 10th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2005 (Munich, Germany, 2005); European Advanced Studies Conference, EASC7 (Homburg, Germany, 2006); 12th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2007, (Lisbon, 2007); Progress on difference equations, International conference PODE 2008 (Laufen/Salzach and Salzburg, Germany, 2008); Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем"(Москва, 2008); 14th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2009 (Estoril,

Portugal, 2009); Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем "(Москва, 2011);

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Разработка теоретических основ метода сравнительного индекса в построении и исследовании математических моделей колебаний дискретных симплектических систем.

2. Теоремы сравнения и отделимости для дискретных симплектических систем, представленные в форме равенств, связывающих число фокальных точек сопряженных базисов данных систем.

2. Доказательство основных формул относительной осцилляционной теории для двух симплектических краевых задач с линейной зависимостью от спектрального параметра и общими самосопряженными граничными условиями: соотношения для числа собственных значений спектральной краевой задачи на интервале (а, &]; соотношения для числа собственных значений двух спектральных задач с различными матрицами коэффициентов и граничными условиями; неравенства для собственных значений для двух краевых задач с различными граничными условиями.

3. Доказательство обобщений дискретного принципа взаимности при произвольных трансформациях сопряженных базисов симплектических систем. Формулы связи между числом фокальных точек при произвольных симплектических трансформациях.

4. Варианты разностной ортогональной прогонки, предназначенные для переноса краевых условий дискретных самосопряженных краевых задач:

-вариант ортогональной прогонки, основанный на использовании симплектических перестановок строк сопряженного базиса;

-модификация варианта дифференциальной прогонки A.A. Абрамова, основанной на использовании тригонометрических трансформаций.

5. Алгоритмы расчета собственных значений дискретных краевых задач, основанные на вычислении фокальных точек сопряженных базисов симплек-тических систем с параметром. Алгоритмы вычисления числа фокальных точек сопряженных базисов, основанные на предложенных вариантах метода прогонки и новых результатах осцилляционной теории:

- алгоритмы, основанные на вычислении индекса симметрического оператора, связанного с сопряженным базисом и матрицей системы;

- алгоритмы, основанные на новых формулах теории трансформаций для сопряженных базисов симплектической системы.

Основные результаты данной главы опубликованы в работах [25], [26], [30], [98], [107], [24], [36], [28], [27], [29], [12], [100], [23], [106],[34], а также в принятой к опубликованию работе: Ю.В. Елисеева Об одном подходе к вычислению собственных значений дискретных симплектических краевых задач. Известия Вузов. Математика.

Заключение

1. В диссертации на основе выполненных автором исследований в дискретной осцилляционной теории разработаны теоретические положения, совокупность которых можно классифицировать как научное достижение в области разработки метода математического моделирования колебаний дискретных линейных симплектических систем.

2. Разработан метод сравнительного индекса, позволяющий с единой точки зрения рассматривать определения кратностей фокальных точек, лежащие в основе изучаемой дискретной модели колебаний; проблемы сравнения решений; проблемы сравнения матриц-коэффициентов дискретных симплектических систем.

3. Доказаны теоремы сравнения и отделимости для дискретных симплектических систем, представленные в форме равенств, связывающих числа фокальных точек сопряженных базисов данных систем.

4. Введена и разработана концепция числа фокальных точек для сопряженного базиса обратной симплектической системы (число фокальных точек на [г, г + 1)), решена открытая проблема о равенстве числа фокальных точек главных решений на (О, +1] и [О, Ы +1), позволяющая свести изучение осцилляционных свойств решений исходной системы к изучению осцилляционных свойств обратной симплектической системы.

5. Впервые получены результаты о связи между числом фокальных точек сопряженного базиса и базиса, подвергнутого произвольной симплектической трансформации. Исследовано взаимное осцилляционное поведение решений симплектической системы и трансформированной системы при г —> оо в зависимости от симплектической матрицы системы и выбранной трансформации, доказаны обобщения принципа взаимности для дискретной симплектической системы.

6. Доказаны основные теоремы относительной осцилляционной теории для двух симплектических краевых задач с линейной зависимостью от спектрального параметра и общими самосопряженными граничными условиями: соотношения для числа собственных значений спектральной краевой задачи на интервале (а, Ь]; соотношения для числа собственных значений двух спектральных задач с различными матрицами коэффициентов и граничными условиями; неравенства для собственных значений для двух краевых задач с различными граничными условиями и матрицами коэффициентов.

7. Разработаны варианты разностной ортогональной прогонки, предназначенные для переноса краевых условий дискретных самосопряженных краевых задач:

-вариант ортогональной прогонки, основанный на использовании симплектических перестановок строк сопряженного базиса;

-модификация варианта дифференциальной прогонки A.A. Абрамова, основанной на использовании тригонометрических трансформаций.

8. Разработаны новые алгоритмы вычисления фокальных точек сопряженных базисов, основанные на предложенных вариантах метода прогонки и новых результатах осцилляционной теории:

- алгоритмы, основанные на вычислении индекса симметрического оператора, связанного с сопряженным базисом и матрицей системы;

- алгоритмы, основанные на новых формулах теории трансформаций для сопряженных базисов симплектической системы.

9. Разработан комплекс программ для вычисления собственных значений дискретных симплектических краевых задач с разделенными граничными условиями, основанный на использовании основных алгоритмов вычисления фокальных точек, предложенных в работе. Результатами тестирования ряда модельных задач программами комплекса подтверждена правильность основных теоретических результатов работы, эффективность метода сравнительного индекса в разработке устойчивых алгоритмов вычисления фокальных точек сопряженных базисов симплектических систем. Предложенные в работе алгоритмы вычисления собственных значений могут быть использованы в задачах теоретической и прикладной гидродинамики, акустики и геофизики, при исследовании волновых процессов в стратифицированных жидких и упругих средах, в задачах контактного взаимодействия.

1. Абрамов А. А., Асланян A.A. Обобщение одного метода решения задачи на собственные значения для гамильтоновых систем // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. Т. 34, № 12. С. 1896-1901.

2. Абрамов А. А. Об отыскании собственных значений и собственных функций самосопряженной дифференциальной задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 41. С. 819-831.

3. Абрамов А. А. О вычислении собственных значений нелинейной спектральной задачи для гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41. С. 29-38.

4. Абрамов А. А. О численной устойчивости одного метода переноса граничных условий // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46. С. 401-406.

5. Абрамов А. А. Модификация одного метода решения нелинейной самосопряженной спектральной задачи для гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 51. С. 39-43.

6. Абрамов А. А., Юхно JI. Ф. Об определении числа собственных значений спектральной задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. Т. 34. С. 776-783.

7. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Колебания взаимодействующих систем снеоднородными распределенными параметрами // Механика твердого тела. 1999. Т. 2. С. 15-25.

8. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Частотно-параметрический анализ собственных колебаний неоднородных стержней // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67, № 4. С. 588-602.

9. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. Москва: Мир, 1968. 752 с.

10. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Москва: Эдиториал УРСС, 2000. 408 с.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы. Москва: Наука, 1975. 631 с.

12. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. Москва: Наука, 1973. 343 с.

13. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. Москва: Издательство иностранной литературы, 1959. 457 с.

14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Москва: Физматлит, 1998. 552 с.

15. Гельфанд И. М., Локуциевский О. В. Метод прогонки для решений разностных уравнений // Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. Москва: Физматгиз, 1962. 352 с.

16. Годунов С. К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1992. 360 с.

17. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1987. 416 с.

18. Голуб Дж., Лоун Ч. Ван. Матричные вычисления. Москва: Мир, 1999. 548 с.

19. Гохберг И. Ц., Крейн М.Г. Теория волтерровых операторов в гильбертовом пространстве. Москва: Наука, 1967. 508 с.

20. Дмитриев В.И., Аккуратов Г.В., Мерщикова H.A., др. Численные методы в геофизике. Москва: Издательство Московского университета, 1979. 122 с.

21. Елисеева Ю.В., Казаков O.A., Уварова JI.A. и др. Математическое моделирование процессов, явлений и структур в сложных системах. // Вестник МГТУ "Станкин". 2008. № 1. С. 44 59.

22. Елисеева Ю.В., Бондаренко A.A. Один метод вычисления собственных значений дискретных задач Штурма-Лиувилля высших порядков // Вестник МГТУ "Станкин". 2011. Т. 1, ДО 13. С. 95-101.

23. Елисеева Ю.В. Равномерные асимптотические разложения решений системы уравнений теории упругости // Вестник Московского Университета. Серия 15: Вычислительная Математика и Кибернетика. 1987. № 3. С. 23-30.

24. Елисеева Ю.В. Об одном алгоритме решения симплектического матричного уравнения Риккати // Вестник Московского Университета. Серия 15: Вычислительная Математика и Кибернетика. 1990. № 2. С. 14-19.

25. Елисеева Ю.В. Об одном методе решения канонической системы разностных уравнений // Динамика технологических систем". Труды V Международной научно-технической конференции / Под ред. А. В. Пуш. Т. 1. Ростов на Дону: ДГТУ, 1997. С. 25-27.

26. Елисеева Ю.В. Обобщенный алгоритм инверсии для дискретного матричного уравнения Риккати // Проектирование технологических машин: Сборник научных трудов / Под ред. А. В. Пуш. М.: МГТУ " Станкин ", 1997. Т. 6. С. 8-11.

27. Елисеева Ю.В. Об одном алгоритме решения матричного разностного уравнения Риккати // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. Т. 39, № 2. С. 187-194.

28. Елисеева Ю.В. Сравнительный индекс для решений симплектических систем разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 3. С. 431-444.

29. Елисеева Ю.В. Теоремы сравнения для симплектических систем разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 9. С. 1329-1342.

30. Елисеева Ю.В. Сравнительный индекс в математическом моделировании колебаний дискретных симплектических систем. Москва: ФГБОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2011. 354 с. ISBN: 978-5-7028-07492.

31. Елисеева Ю.В. О спектрах дискретных симплектических краевых задач с разделенными граничными условиями // Известия высших учебных заведений. Математика. 2011. № 11. С. 84-88.

32. Елисеева Ю.В. Дополнение Шура и число фокальных точек симплектической системы разностных уравнений // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2011. № 3. С. 18-23.

33. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. Москва: Факториал, 1998. 351 с.

34. Ильин В.П. Кузнецов Ю.И. Трехдиагональные матрицы и их приложения. Москва: Наука, 1985. 208 с.

35. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. Москва: Наука, 1975.162с.

36. Коллатц JI. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. Москва: Наука, 1968. 504 с.

37. Кублановская В. Н. Методы и алгоритмы решения спектральных задач для полиномиальных и рациональных матриц // Зап. научн. сем. ПО-МИ. 1997. Т. 238. С. 7-328.

38. Лидский В. В., Нейгауз М.Г. К методу прогонки в случае самосопряженной системы второго порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2, 1. С. 161-165.

39. Лидский В.Б. Осцилляционные теоремы для канонической системы дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1955. Т. 102, № 3. С. 877-880.

40. Милнор Дж. Теория Морса. Москва: Издательство ЛКИ, 2011. 184 с.

41. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Москва: Наука, 1984. 204 с.

42. Монастырный П. И. Об одном аналоге метода A.A. Абрамова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5, № 2. С. 342-345.

43. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. Москва: КомКнига, 2007. 192 с.

44. Набоко С. Н., Яковлев С. И. Дискретный оператор Шрёдингера. Точечный спектр, лежащий на непрерывном // Алгебра и анализ. 1992. № 4. С. 183-195.

45. Нейгауз М.Г., Шкадинская Г.В. Метод расчета поверхностных волн Ре-лея в вертикально-неоднородном полупространстве // Машинная интерпретация сейсмических волн. Москва: Наука, 1966. С. 121-129.

46. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Москва: Мир, 1983. 382 с.

47. Самарский A.A. Теория разностных схем. Москва: "Наука 1977. 656 с.

48. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1966. 736 с.

49. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. Москва: Машиностроение, 1985. 472 с.

50. Уилкинсон Д. Алгебраическая проблема собственных значений. Москва: Наука, 1970. 564 с.

51. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. Москва: Мир, 1999. 685 с.

52. Юхно JI. Ф. Алгоритм вычисления ранга и сигнатуры эрмитовой блочно-трехдиагональной матрицы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. Т. 36. С. 42-51.

53. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. Москва: Наука, 1972. 720 с.

54. Якубович В.А. Условия колебательности и неколебательности для линейных канонических систем дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 5. С. 994-997.

55. Якубович В.А. Аргументы на группе симплектических матриц // Математический сборник. 1961. Т. 55, № 3. С. 255-279.

56. Agarwal R., Ahlbrandt С., Bohner М., Peterson A. Discrete Linear Hamilto-nian Systems: A Survay // Dynamic systems and Applications. 1999. Vol. 8. Pp. 307-333.

57. Ahlbrandt C. D. Variational inequalities // Lecture notes in Pure and Applied mathematics. 1991. no. 129. Pp. 1-19.

58. Ahlbrandt C. D. Discrete variational inequalities // "General inequalities 6 6th international conference on general inequalities, Oberwolfach, 1990 / Ed. by W. Walter. Basel: Birkhauser-Verlag, 1992. Pp. 93-107.

59. Ahlbrandt C. D. Equivalence of discrete Euler equations and discrete Hamil-tonian systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1993. no. 180. Pp. 498-517.

60. Akulenko L.D., Nesterov S.V. A frequency-parametric analysis of natural oscillations of non-uniform rods // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2003. Vol. 67. Pp. 525-537.

61. Akulenko L.D., Nesterov S.V. Flexural vibrations of a moving rod // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2008. Vol. 72. Pp. 550-560.

62. Akulenko L. D., Nesterov S. V. High-precision methods in eigenvalue problems and their applications. Boca Raton London New York Washington, D.C.: Chapman and Hall/Crc, 2005. 235 p.

63. Amrein W. O., Hinz A. M., Pearson D. B. Sturm-Liouville theory past and present. Basel: Springer, 2005. 348 p.

64. Auckenthalera T., Blumb V., Bungartza H.-J. et al. Parallel solution of partial symmetric eigenvalue problems from electronic structure calculations // Parallel Computing. 2011. Vol. 37. Pp. 783-794.

65. Bailey P.B., Everitt W.N., Zettl A. The SLEIGN2 Sturm-Liouville Code // ACM Trans. Math. Software. 2001. Vol. 21. Pp. 143-192.

66. Bandyrskii B., Gavrilyuk I., Lazurchak I.,Makarov V. Functional-discrete method (fd-method) for matrix Sturm-Liouville problems // Comput. Methods in Appl. Math. 2005. Vol. 5. Pp. 362-386.

67. Ben-Israel A., Greville E.N. Generalized Inverses, Theory and Applications, Springer-Verlag. New York: Springer-Verlag, 2003.

68. Benner P. Symplectic balancing of Hamiltonian matrices / / SI AM Journal on Scientific Computing. 2000. no. 22. Pp. 1885-1904.

69. Bohner M. Linear Hamiltonian difference systems: Disconjugacy and Jaco-bi-type conditions // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1996. no. 199. Pp. 804-826.

70. Bohner M. On disconjugacy for Sturm-Liouville difference equation // Journal of Difference Equations and Applications. 1996. Vol. 2. Pp. 227-237.

71. Bohner M. Riccati matrix difference equations and linear Hamiltonian difference systems // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. 1996. Vol. 2, no. 2. Pp. 147-159.

72. Bohner M. Discrete Sturmian Theory // Mathematical Inequalities and Applications. 1998. Vol. 1. Pp. 375-383.

73. Bohner M., Dosly 0. Disconjugacy and transformations for symplectic systems // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 1997. no. 3. Pp. 707-743.

74. Bohner M., Dosly 0. Trigonometric transformations of symplectic difference systems // J. Differential Equations. 2000. no. 163. Pp. 113-129.

75. Bohner M., Dosly O., Kratz W. A Sturmian theorem for recessive solutions of linear Hamiltonian difference systems // Appl.Math. Lett. 1999. no. 12. Pp. 101-106.

76. Bohner M., Dosly O., Kratz W. An oscillation theorem for discrete eigenvalue problems // Rocky Mountain J. Math. 2003. Vol. 33. Pp. 1233-1260.

77. Bohner M., 0. Dosly, Kratz W. Inequalities and asymptotics for Riccati matrix difference operators // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1998. Vol. 221, no. 1. Pp. 262-286.

78. Bohner M., 0. Dosly, Kratz W. Sturmian and spectral theory for discrete symplectic systems // Transactions of the American Mathematical Society. 2009. Vol. 361. Pp. 3109-3123.

79. Coppel W.A. Disconjugacy. Berlin: Springer, 1971.

80. Demmel J., McKenney A. A test matrix generation suite: LAPACK Working Note 9. New York: Courant Institute,Computer science dept. technical report, 1989.

81. Demmel J. W., Dhillon I. S., Ren H. On the Correctness of Some Bisectionlike Parallel Algorithms in Floating Point Arithmetic // Electronic Transactions of Numerical Analysis. 1995. Vol. 3. Pp. 116-140.

82. Dopico F. M., Johnson C. R. Complementary bases in symplectic matrices and a proof that their determinant is one // Linear Algebra and it's Applications. 2006. Vol. 419. Pp. 772-778.

83. Dopico F. M., Johnson C. R. Parametrization of matrix symplectic group and applications // SIAM Journal of Matrix Analysis. 2009. Vol. 419. Pp. 1-24.

84. Dosly O. Transformations of linear Hamiltonian systems preserving oscillatory behaviour // Arch. Math. (Brno). 1991. Vol. 27b. Pp. 211-219.

85. Dosly O. Transformations of linear Hamiltonian difference systems and some of their applications //J. Math. Anal. Appl. 1995. no. 191. Pp. 250-265.

86. Dosly O., Hilscher R. Linear Hamiltonian difference systems: Transformations, recessive solutions, generalized reciprocity // Dynamic Systems and Applications. 1999. Vol. 8, no. 2. Pp. 401-419.

87. Dosly O., Kratz W. Oscillation theorems for symplectic difference systems // Journal of Difference Equations and Applications. 2007. no. 13. Pp. 585-605.

88. Dosly O., Kratz W. A Sturmian separation theorem for symplectic difference systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2007. Vol. 325. Pp. 333-341.

89. Dosly O., Kratz W. Oscillation and spectral theory for symplectic difference systems with separated boundary conditions // Journal of Difference Equations and Applications. 2010. Vol. 16. Pp. 831-846.

90. Elyseeva J.V. A transformation for symplectic systems and the definition of a focal point // Computers & Mathematics with Applications. 2004. Vol. 47, no. 1. Pp. 123-134.

91. Elyseeva J. A transformation for the Riccati difference operator // Proceedings of the Sixth International Conference on Difference Equations, 2001 / Ed. by Elaydi S., Aulbach B., Ladas G. Boca Raton: Chartman Hall/CRC, 2005. Pp. 417-424.

92. Elyseeva J.V. Transformations and the number of focal points for conjoined bases of symplectic difference systems // Journal of Difference Equations and Applications. 2009. Vol. 15, no. 11. Pp. 1055-1066.

93. Elyseeva J.V. On relative oscillation theory for symplectic eigenvalue problems // Applied Mathematics Letters. 2010. Vol. 23, no. 10. Pp. 1231-1237.

94. Elyseeva J.V., Bondarenko A.A. The Schur complement in an algorithm for calculation of focal points of conjoined bases of symplectic differencesystems // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2011. Vol. 67, no. 4. Pp. 455-474.

95. Erbe L., Yan P. Disconjugacy for linear Hamiltonian difference systems // J. Math. Anal. Appl. 1992. Vol. 167. Pp. 355-367.

96. Fassbender H. Symplectic Methods for the Symplectic Eigenproblem. New York: Kluwer, 2000.

97. Feng K., Qin M.-Z. The symplectic methods for the computation of Hamiltonian equations // Lecture Notes in Mathematics. 1987. Vol. 1297. Pp. 1-37.

98. Flach S., Gorbach A. V. Discrete breathers — Advances in theory and applications // Physics Reports. 2008. Vol. 467. Pp. 1-116.

99. Greenberg L. An oscillation method for fourth order, self-adjoint two-point boundary value problems with nonlinear eigenvalues // Siam J. Math. Analysis. 1991. no. 22. Pp. 1021-1042.

100. Greenberg L. A Priifer method for calculating eigenvalues of self-adjoint systems of ordinary differential equations: Tr91-24. Maryland: University of Maryland technical report, 1991.

101. Greenberg L., Marietta M. Algorithm 775: The code SLEUTH for solving fourth-order Sturm-Liouville problems // ACM Trans. Math. Software. 1997. Vol. 23. Pp. 453-493.

102. Greenberg L., Marietta M. Numerical methods for higher order Sturm-Liouville problems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. Vol. 125. Pp. 367-383.

103. Greenspan D. Discrete models. London: Addison-Wesley, 1973.

104. Hairer E., Norsett S, P., Wanner G. Ordinary Differential equations I, Non-stiff Problems. New York: Springer, 2008.

105. Hilscher R.S., Zeidan V. Symmetric Three-Term Reccurence Equations and Their Symplectic Structure // Advances in Difference Equations. 2010. Vol. 2010.

106. Huanga Y., Denga Z., Yaoa L. An improved symplectic precise integration method for analysis of the rotating rigid-flexible coupled system // Journal of Sound and Vibration. 2007. Vol. 299. Pp. 229-246.

107. Kratz W. Quadratic Functionals in Variational Analysis and Control Theory. Berlin: Akademie Verlag, 1995.

108. Kratz W. Banded matrices and difference equations // Linear Algebra and its Applications. 2001. no. 337. Pp. 1-20.

109. Kratz W. Discrete Oscillation // Journal of Difference Equations and Applications. 2003. Vol. 9. Pp. 127-135.

110. Kratz W., Tentler M. Recursion formulae for the characteristic polynomial of symmetric banded matrices // Linear Algebra and its Applications. 2008. no. 428. Pp. 2482-2500.

111. Kriiger H., Teschl G. Relative Oscillation Theory, weighted zeros of the Wronskian, and Spectral Shift Function // Communications in Mathematical Physics. 2009. Vol. 287. Pp. 613-640.

112. Ladas G., Grove E.A., Kulenovic M.R.S. Progress Report on Rational Difference Equations // Journal of Difference Equations and Applications. 2004. Vol. 10. Pp. 1313-1327.

113. Laub A. J. Matrix Analysis for Scientists and Engineers. Philadelphia: SIAM, 2005.

114. Ledoux V., Van Daele M.,Vanden Berghe G. Efficient computation of high index Sturm-Liouville eigenvalues for problems in physics // Computer Physics Communications. 2009. Vol. 180. Pp. 241-250.

115. Lill J.V., Schmalz T.G., Light J.C. Imbedded matrix Green's functions in atomic and molecular scattering theory //J. Chem. Phys. 1983. Vol. 78. Pp. 4456-4463.

116. Xue-Shen L., Yue-Ying Q., Jian-Feng H., Pei-Zhu D. Recent Progress in Symplectic Algorithms for Use in Quantum Systems // Communications in computational physics. 2007. Vol. 2, no. 1. Pp. 1-53.

117. Loan V. A Symplectic method for approximating all the eigenvalues of a Hamiltonian matrix // Linear Algebra and it's Applications. 1984. Vol. 61. Pp. 233-251.

118. Mackey D.S., Mackey N., Tisseur F. Structured tools for structured matrices // Electron. J. Linear Algebra. 2003. Vol. 10. Pp. 106—145.

119. Marietta M. Automatic solution of regular and singular vector Sturm-Liou-ville problems // Numer. Algorithms. 1993. Vol. 4. Pp. 65-99.

120. Marietta M. Numerical solution of eigenvalue problems for Hamiltonian systems // Advances in Computational Mathematics. 1994. Vol. 2, no. 2.

121. Marsden J., West M. Discrete Mechanics and Variational Integrators // Acta Numerica. 2001. Pp. 1-158.

122. McMahona J., Grayb S., Schatza G. A discrete action principle for electrodynamics and the construction of explicit symplectic integrators for linear,non-dispersive media // Journal of Computational Physics. 2009. Vol. 228. Pp. 3421-3432.

123. Mehrmann V. A symplectic orthogonal method for single input or single output discrete time optimal quadratic control problems / / SI AM J. Matrix Anal. Appl. 1988. Vol. 9. Pp. 221-247.

124. Morse M. Variational analysis: Critical extremals and Sturmian extensions. New York: Willey, 1973.

125. Nelson P. On the effectiveness of the inverse Riccati transformation in the matrix case // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1978. no. 67. Pp. 201-210.

126. Rasmussen C. H. Oscillation and asymptotic behaviour of systems of ordinary linear differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. no. 256. Pp. 1-49.

127. Reid W.T. Riccati differential equations. New York and London: Academic Press, 1972.

128. Reid W.T. Sturmian Theory for Ordinary Differential Equations. New York Berlin - Heidelberg: Springer-Verlag, 1980.

129. Ruth R.D. A Canonical integration technique // IEE T. Nucl.Sci. 1983. Vol. 30. Pp. 2669—2671.

130. Sanz-Serna J. M., Portillo A. Classical numerical integrators for wave-packet dynamics // J. Chem. Phys. 1996. Vol. 104, no. 6. Pp. 2349-2355.

131. Shi Y. Symplectic Structure of Discrete Hamiltonian Systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2002. Vol. 266. Pp. 472-478.

132. Stephen N. G. Transfer matrix analysis of the elastostatics of one-dimensional repetitive structures // Proc. R. Soc. A. 2006. Vol. 462. Pp. 2245—2270.

133. Sturm C. Mémoire sur une classe d'Équations á differences partielles //J. Math. Purés Appl. 1836. Vol. 1. P. 373-444.

134. Swanson C.A. Comparison and Oscillation Theory of Linear Differential Equa- tions. New York: Academic Press, 1968.

135. Teschl G. Oscillation theory and renormalized oscillation theory for Jacobi operators // Journal of Differential Equations. 1996. Vol. 129. Pp. 532-558.

136. Teschl G. Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices. Providence: AMS Mathematical Surveys and Monographs, 1999.

137. Tian Y. Equalities and inequalities for inertias of Hermitian matrices with applications // Linear Algebra and it's Applications. 2010. Vol. 433. Pp. 263-296.

138. Huang X., Jiang A., Zhang Z., Hua H. Design and optimization of periodic structure mechanical filter in suppression of foundation resonances // Journal of Sound and Vibration. 2011. Vol. 330. Pp. 4689-4712.

139. Zettl A. Sturm-Liouville Theory. Providence: AMS Mathematical Surveys and Monographs, 2005.