автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение систем аналитических вычислений к исследованию левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли

На правах рукописи

СЛАВОЛЮБОВЛ Ярославна Викторовна

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР НА ПЯТИМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ

05.13.18 — математическое моделирование, числетгые методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 ДЕК 2011

Кемерово — 2011

005003821

005003821

Работа выполнена на кафедре математического анализа ФГВОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Смоленцев Николай Константинович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Родионов Евгений Дмитриевич,

кандидат физико-математических наук Прокопенко Евгения Викторовна

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский

Томский государственный университет»

Защита диссертации состоится 23 декабря 2011 года в 10-00 на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 при ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан «21» ноября 2011 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук,

профессор

С.А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Системы аналитических вычислений находят ши|>окоо применение н самых различных областях науки. Как правило, »эти системы входят процедуры для численных и аналитических расчетов. средства для визуализации, программировании и подставления результатов. Таким образом, системы компьютерной математики совмещают н одной оболочке обширный набор инструментов, позволяющий решать масштабные научные задачи.

В настоящее ii¡hímh повсеместно используются такие популярные системы, как Maple, Mathe.iiuitica, MathCad, MatLab, Derive. Они обладают универсальными математическими возможностями, широко распустранены н Роесии и за рубежом, п(х:тоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя регулы. имеют возможность взаимной интеграции.

Сов]х;менпая геометрия, гак же как и другие области математики для ^мнения своих задач привлекает иопейшие компьютерные технологии для |хчиепня сиоих задач. Сегодня применение систем символьной математики не ограничивается численными расчетами. Существует множество примеров, доказывающих эффективность математических систем при доказательстве теорем.

Хо|юшо известна работа О. Г. Вагиной н М. И. Кабенюка |2|, в которой дано более ко])отк(Х! доказательство тео[>смы о покрытии евклидовой плоек<х-| и равносторонними пятиугольниками, основываясь па вычислениях, сделанных с помощью пакета Марк, Отмстим также доквдательство К. Ai шел я (К. Appel) и В, Хакена (W. Haken) знаменитой проблемы топологии о четырех красках |11, 12|.

Пакеты аналитических нычислений использовались для исследования одпород-ш,ix римаиовых пространств. В том направлении известны результаты К). Г Никош1|юпа по классификации однородных эйнштейновых многообразий |7, 8| и 1>езультаты Е. Д. Родионова и В. В. Славского по классификации локально KOHíjwpMiio однородных многообразий j 10, 21], а также по оценкам к]>иви:зп лево-ипвариаптных римаповых метрик на группах Ли [20j.

Пакеты аналитических вычислений эффективно используются п)>и исследовании геометрии групп Ли. Изиестны результаты А. Г. К|>емлеиа и Ю. Г. Никоноро-ва |4, 5) по классификации сигнатур кривизны Риччи па четьчжхмерных группах Ли е лешинвариантпыми римановыми мириками. При помощи системы Maple

и работах О. П. Гладуновой |3| получена классификация трехмерных групп Ли с левоинвариаптными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена- Оейля. В работах П. Н. Подкур |9| система MATLAB успешно исполкювалась для развития теории вейвлегов с коэффициентом масштабщюиа-пия N >2.

Данная диссертация посвящена исследованию левоипвариаитных контактных метрических структур на пятимермых группах Ли с помощью пакетов аналитических вычислений, в частности: нахождению А'-конгактных, сасакиевых и эйнштейновых леноипвариантных контактных метрических структур и исследованию их свойств кривизны.

Контактная структура-это структура на гладком многообразии нечетной размерности Л/2"+ состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих условию максимальной невырожденности (см. ниже). Контактная структура тесно связана с симплектической и является сн: аналогом для печстпо-мерпых многообразий [1|.

Поле касательных гиперплоскостей (контактное распределение!) D на многообразии принят задавать дифференциальной 1-формойт?: D = {Л' € ТМ : ri(X) = 0}. Тогда условие того, что 1-форма г; определяет контактную структуру, заключается в Т])сбоиа11ии: т/ A (dr))n ф 0.

Простым примером контактной структуры на М3 является 1-форма г) = dz -xdy. Другие естественные примеры контактных структур связаны с. фазовыми пространствами. С 1чюметрической точки зрения фазовое пространство иредстан-ляет собой кокасательное расслоение У* M многообразия А/. На фазовом щю-с.транстне он1К!Дслсна каноническая 1-форма0 следующим образом. Если элемент ù?x 6 Т*М имеет и локальных координатах (хл) вид шх = pidx', то (L - pidx'. Тогда Q = dpi A dz' - каноническая симплектическая структура па фазовом щкь страиетае Т*М. Легко видеть, что на многообразии Т*М х R форма г) = dz —ptdxl определяет контактную структуру. Хорошо известны конструкции контактизации симилектическото многообразия и симплсхтизации контактного многообразия.

Контактные структуры находят применение п аналитической механике |1| бла-Iодари тому, что на любом подмногообразии уровня гамильтониана, задпшюго на фазовом пространство, возникает естественная контактная структура. Примене-

Uno контактной геометрии и дифференциальных уравнениях хорошо iijxyicmiuieno н работе В. В. Лычагина |6|. В этой работе даны также приложения кон тактной геометрии к вариационному исчислению, симметриям и автомодельным ^мнениям и нелинейной акустике.

Контактная геометрия имеет достаточно длинную историю развитии. Наиболее полными изданиями, посвященными контактной геометрии, являются монографии Д. Блэра |13| и |14|, а также книга X. Гейгса |1С).

Группы Ли е левоинвариантпыми симнлсктическими структурами широко изучаются п последнее время многими авторами. Однако контактные группы Ли нее еще остаются малоизученными. В работе |17| решен вопрос о существовании лево-иивариангпых контактных форм пафилиформовых группах Ли и классификации всех контактных структур на таких группах Ли. В работе А. Диатты |15| приведены построения, которые позволяют получать многие контактные группы Ли в любой нечетной размерности. Показано, что н римановом случае не существует Л'-коптактных-эйшптейповых, и тем болте сасаки-эйшптейионых, левоипвариаит-ных структур па группах Ли размерности > 5. В работе Бузби и Ятя доказано, что единственные полупростые группы Ли, которые несут левоипвариантную контактную структуру, только те, которые локально изомо|и[>пы SL(2) или SO(3). Классификация пятимерцых разрешимых и неразрешимых контактных групп Ли получена в работе Диатты |15].

Проблема нахождения групп Ли, допускающих левоиниариаптную контактную структуру (контактные группы Ли), все еще- остается открытой.

Цели исследования:

1. Создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Мар/е для пост]юепии ассоциированных контактных метрических структур и ощюделсиия их свойств.

2. Исследование левоиниариантпых контактных метрических структур на пятимерных группах Ли.

Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие задачи:

1. Построение контактных алгебр Ли.

2. Создание математической модели задач постр(Х'!шя и исследования ассоци-и1К)вапиых левоииварнантиых контактных метрических (структур.

3. Исследование контактных метрических структур па ршцхмниммх и нерал)*'-

пшммх алгебрах Ли.

4. Вычисление геометрических характеристик контактных метрических структур.

Объектом исследования являются лсвоинвариаптные контактные метрические структуры на пятимерных группах Ли.

Предметом исследования являются компьютерные модели, алгоритмы, программы и методы исследования левоипвариантных контактных метрических структур на мятимерных группах Ли.

Методы исследования. Выполнение задач диссертационного исследования (х^ущесгвляется на основе комплексного использовании методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, римапоной и нспвдо-римаиовой пюметрии и тензорного анализа.

Основные положения, выносимые на защиту:

- математические модели задачи построения и исследовании асшцищюшшиых контактных метрических структур па пятимерных группах Ли;

- пакет программ, написанных на языке Maple, для пост|хх:ния левоиннариант-ных контактных метрических структур па пятимерных группах Ли и вычисления их основных характеристик;

- классификация пятимерных алгебр Ли, допускающих ст руктуры Сасаки, К-контактпые, ^эйнштейновы и эйнштейновы структуры, в том числе А'-кон гактные-эйшптейиовы и сасаки-эйнштейновы структуры, с приведением явных многопараметрических выражений полученных структур.

Научная новизна работы. В данной диссертационной работе ргмрайотапы алгоритмы и программы в системе аналитических вычислений Марк для погонь ения ассоциированных контактных метрических структур, нахождения основных тензоров и всех геометрических характеристик контактных метрических структур па нятимерных группах Ли.

Применяя разработанные алгоритмы, получены новые результаты в теории контактных метрических структур на группах Ли. Впервые:

1. Получены явные многопараметрические выражения ассоциированных лево-инвариантных метрик на нятимерных группах Ли, найдены их ^метрические

характеристики.

2. Найдены и явном виде ЛГ-контактпые, сасакиевы, гу-зЯнштейпопы, эйнштейновы структуры на пятимерных группах Ли.

Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность и достоверность результатов, полученных » диссертации, обеспечивается кар^кгшкгто постановок рассматриваемых задач, использованием математических методов, подробными доказательствами теорем и подробно аннотированными листингами 11]Х)грамм.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое и практически; значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях левоипвариантных контактных структур па груша* Ли и однородных пространствах. Алгоритмы и программы, разработанные щ>и решении указанных задач, могут применяться для (кипения аналогичных задач однородной (псевдо)римановой геометрии. Постоянные компьютерные модели позволяют решать вопросы существования структур Сасаки на пятимерпых группах Ли, определять компоненты связности, тензора кривизны Римани, секционной кривизны, тензора Риччи, оператора Риччи, скалярной кривизны, квадраты норм тонзортв Римана и Риччи, главные кривизны Риччи, а также компоненты основных тензоров контактной метрической структуры.

Полученные чторетичоские и практические результаты могут быть использованы в учебном процессе при организации специальных курсов для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены па ряде конференций: Региональной научно-методической конференции «Математическое образование на Алтае» (г. Барнаул, 24 ноября 2005 г.); И (XXXIV) Междуна^д-ной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей» (г. Кемерово, апрель, 2007 г.); Российской конференции «Математика в современном ми-1х:», посвященной 50-летию Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, (г. Новосибирск, 17-23 сентября 2007 г.); Международной научно-практической кошИжнции «Математическое образование в регионах России», посвященной 65-

летиlo кж|>едры «Высшая математика» АлтГТУ (г. Барнаул, 2G октября 2007 г.): Шестой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтония-2007» (г. Казань. 10-19 декабря 2007 г.); III (XXXV) Международной научно-практической конкуренции студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей» (г. Кемерово, ащи'ль, 2008 г.); Всероссийской конкуренции по математике и механике (г. Томск, 22-25 сентября 2008 г.): Всероссийской научно-методической конференции «Математическое образование на Алтае» (г. Барнаул, 21 ноября 2008 г.); Седьмой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2008» (г. Казань, 1-3 декабри 2008 г.); Двенадцатой региональной конкуренции по математике «МАК-2009» (г. Барнаул, 19-22 июня 2009 г.); Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (г. Новосибирск, 14-20. сентября 2009 г.); Восьмой молодежной научной шкипе-конферсиции «Лобачевские чтеиия-2009» (г. Казань, 1-G ноября 2009 г.); Межрегиональной школе-семинарт «Ломоносовские чтения на Алтае» (г. Барнаул, 4-8 октября 2010 г.); Международной научно-практической Ии-гсрнст-коифсрснции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития, 2010» (г. Одесса, 4-15 октября 2010 г.); Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19-2G июня 2011 г.); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2011». посвященной 50-летию кафедры геометрии и топологии НГУ (г. Новосибирск, 1-4 сентября 2011 г.); Международной школе-семинаре «Ломоносовские чтения па Алтас-2011» (г. Барнаул, 8-11 ноября 2011 г.). Кроме того, все [х!зульта-ты диссертации в разнос время докладывались на научном семинаре по геометрии и анализу ка<|х:дры математического анализа КемГУ, г. Ксме|юно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 печатные работы, куда входит: 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК; 2 статьи - в журнале «ГЗест-пик ТГУ. Математика и механика»; 3'Статьи - в журнале «Вестник КемГУ»; 1 статья - в журнале «Вестник КузГТУ»; 1 монография - в зарубежном издании п 10 работ - н трудах и тезисах региональных, всероссийских и международных конференций.

Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит' из введения, т]х:х глав, списка литературы, изложенных па 207 страницах машипо-

ииспого текста. D работу включены 12 таблиц, список литературы из 73 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нумерации представленных ниже утверждении и таблиц cooi iieiствует нумерации, которая дана в диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дастся об:«)]) современного состояния изучаемых П]х>блем м приводится краткое изложение! диссертации.

Первая глава «Модель задачи посещении левоиивариантпых контактных метрических структур па пятимерных группах Ли» посвящена описанию компьютерных моделей задач диссертации, их математическим методам (юшеиия. а также методам [кчнепия с использованием систем компьютерной математики.

В первом разделе первой главы приводятся необходимые сведения о системе аналитических вычислений Maple, в том числе дается краткое описание пакетов встроенных процедур linalg и LinearAlgebra, используемых в процессе решения указанных выше задач.

Во втором разделе нерпой главы приводятся математические методы реализации задачи щхгтроепия контактных метрических структур. Также вводятся предварительные соглашения и обозначения. Затем приводятся общие сведения о контактных структурах, А'-ко1пактиых метрических структурах, контактных структурах Сасаки и г/-эйнигтсйноиых контактных метрических структурах па многообразиях и группах Ли произвольной нечетной размерности; описываются методы коптактизации (т. е. построения контактных алгебр Ли). Приводится список четырехмерных вещественных разрешимых псабслепмх еимплектических алгебр Ли (таблица 1,2.1).

Основным результатом раздела является теорема 1.2.11, в ко'Ш|юй для контактных алгебр Ли списка Диатты найдены изомо1)фные им алгебры Ли в виде центральных расширений четырехмерных алгебр Ли. Результат получен при помощи cm,темы Maple. Для этого построена соответствующая математическая модель, на основе которой, применяя систему аналитических вычислений Maple, получается ¡хчнепие.

Две алгебры Ли (д. (в!.....е„).С£) и (д, (е",.....е„),С'ч) являются изоморфными, <куш существует изоморфизм / : 0 —' 0, такой, что /([А'. К]) = [/(АГ),/(У)). Пусть /(в,) = Тогда Д[е„е^ = = С^е. и [/(е,). /(с,)] = = = ёч\ = А? А^С^е,. Следовании,по, вощюс об изоморфизме сводится к системе уравнений относительно неизвестных Л?:

С^А1 = А'^С^ йз.з = 1,2.....п. г <

Это система из нелинейных уравнений на пг неизвестных Л\. При п — 5 она состоит из 50 нелинейных уравнений, которые невозможно решить без использования систем аналитических вычислений. Указанная система является переопределенной, и решения может не существовать, что соответствует случаю неизоморфности гип'ебр Ли. В случае, когда решение существует (алгебры Ли изоморфны), оно находится неоднозначно, что объясняется тем, что алийры д и д могут иметь нетривиальные группы автоморфизмов. Анализируя полученное решение Л/, выбираем свободны«' элементы матрицы так, чтобы получился наиболее п]юстой вид матрицы А] изоморфизма /.

При решении этой задачи были рассмотрены все пятимерпые алгебры Ли, которые получаются расширениями четырехмерных, веет 17 алгебр Ли. Дал«; каждая из этих алгебр б|>1ла проверена па изоморфизм с каждой из нятимерных контактных алгебр Ли списка Диатты (24 алгебры). Результаты приведены в диссертации в таблице 1.2.3, где также указана матрица изоморфизма А{■

В третьем разделе первой главы описываются комплексы компьютерных моделей построения контактных структур, контактных метрических структур на нятимерных группах Ли и алгоритмы, реализованные в пакете символьной математики Марк. Основным результатом раздела является модель, позволяющая решить вон]юс о существовании структуры Сасаки на заданной контактной группе Ли, определить 1хх>метрические характеристики структуры Сасаки, а также модель иост[>оения и исследования контактных метрических структур на нятимерных группах Ли.

Вторая глава «Применение математических пакетов к классификации контактных метрических структур» посвящена исследованию контактных нятимерных групп Ли.

В первом разделе второй главы приводятся исследования лсвоинвариантпых

А'-коптактиых структур. В этом случае существует естественная риманова суб-мсреия Л'-коптактпой группы Ли на почти кэлерову группу Ли. В данном разделе получены явные формулы для вычисления элементов римаиовой субмерсии в случае левоинвариаптной А'-коитактиой структуры (г/, <р, д) па грунт? Ли Cl'1"*1 и римаповой субмерсии л : G —» M — G/Fn. Основной [хпультат раздела - это •К!0|)ема 2.1.1, устанавливающая выражения тензора Риччи на группе Ли G че-1>ез тензор Риччи факторнространстиа M — G/F0, где Fu однонараметричеекая подгруппа поля Риба£.

Теорема 2.1.1 Если левоиивариантиая контактная метрическая структур (7h в) па гриппе Ли G2a+1 является h'-контактной, нш и ортоиормирован-иом бшисе Ei,..., /?2п+ь первые 2п векторов котором лежит <ï контактном распределении D, а вектор Еь,+i есть ноле Риба mciuwp Риччи Rie имеет следующую структуру:

Л«'2„,1.2п+1 = «/2. RiCjj = RicMij -

Rica»« = £ (C%Cirl + (C]l + Cij + CJCf;^). ij = 1.....2n.

¿..i=i

sd<. Rie m - тетор Риччи факторпроетранетва M — G/Fn.

Другим [хгзулвтатом раздела являете»! теорема 2.1.4, устанавливающая связь между тензором jV(i) контактной метрической структуры на G и тензором Нейен-xeiica N соответствующей почти комплексной структуры па M = G/Fn, кото|х>й предшествуют леммы:

Лемма 2.1.2 Для К-контактной метрической структуры на группе. Ли G Оля любых касательных векторов X, У е T,,G, Vc/ G G имеет место следующая формула:

dn(N^(X,Y)) = N(dir(X). dx(Y)).

Лемма 2.1.3 Для любых касательных векторов X. Y € TtlG, Vf? е С ./начеты ташора кручения N^{X,Y) контактной метрической структуры лежат в контактном ]шенределении, т. е.. r)(N^(X,Y)) = 0.

Теорема 2.1.4 Тейлор кручения N^(X,Y) 1\ -контактной метрической структуры (rj. ¡р, g) равен нулю тогда и только тогда, когда равен нулю теп-нор Нейсшейсл N{X, Y) почти комплексной структуры миогообраяия(С/F». дм.

u,'. J). Полному К-контактная метрическая структур (»/,£. ip. д) является са-еактюой тогда и только тогда, когда многооб^юие(М = G/F„, (jm.ui, .1) является юлеровым.

Во втором разделе нторой главы исследуются контактные структуры па пя-тимериых группах Ли, которые получены контактными расширениями точных четы|х;хмериых и двумерных симплектических групп Ли.

Исследуются контактные алгебры Ли, полученные основными методами кон-тактизации па основе точных симплектических подалгебр Ли коразмерности 1, и доказывается

Теорема 2.2.1 Если симплектичесмая алгебра Jin (I), и) является точной сгшплектической, и) = da, то контактные расширения (ft х^ R, i) = -и") и (I) х R. г) = se0 + «) являются изоморфными при любом значении najKiMcmjta •s ^ 0.

Устанавливается связь между левоипвариантной почти калеровой етрукту[юй па точной симплектической группе Ли и левоипвариантной ft'-коптактпой метрической структу]>ой на ее контактном расширении и доказывается

Лемма 2.2.2 Левоинвариантная почти юлерооа структура (l),u.' = da. ,)ц. да) па точной сгшплектической группе. Ли (Н.и> = da) одпо.тачпо определяет левоинаариаптную К-контактную метрическую структуру ()/,£, ip.g) па контактном pacviupenuu (fj х Reo. f) = е° + о).

Исследуется взаимосвязь между левоинпариантной А'-коптактпой (.-грук гуро» Сасаки па контактной аш-ебре Ли и левоипвариантной кэлсцювой структурой на ее точной симплектической подалi-ебре Ли коразмерности 1 и доказывается

Теорема 2.2.3 Точная симплектическая алгебра Ли (t).w = da) обладает левоипвариантной кмеровой структурой (f),w = da,Jf!,(jH) тогда и только тогда, когда контактное расширение (f) х Re0. ц — в" -f а) обладает лчвоипаари-(чашшй К-контактной структурой Сасаки (rj.f; =

Пос]х>дством контактных расширений четырехмерных точных симплектических групп Ли получены пятимерпые контактны«! группы Ли. На каждой из них построена контактная метрическая структура. Исследованы свойства ассоциированных контактных метрических структур в зависимости от параметров, а также приведены их основные геометрические характеристики. Описаны примеры коп-

тактпых метрических структур, которые не являются саеакиевыми. На примере одноИ и:) алгебр Ли рассмотрены и исследованы частные классы ассоциированных метрик. Выявлены //-эйнштейновы контактные метрические структуры. Приведены группы Ли, допускающие псевдоримаповы эйнштейновы Ä'-коптактные структуры Сасаки. Результаты исследования представлены tiтеоремах 2.2.4-2.2.10.

D теоремах 2.2.11-2.2.15 построены контактные метрические структуры на контактных ])асширениях двумерных симплектических групп Ли. Приведены примеры А'-коптактиых структур Сасаки. Постчххчшые кон такт ные расширения включают в себя и неразрешимый случай.

В трггьем разделе второй главы рассматриваются контактные структуры на пятимерных группах Ли, которые получены центральными расширениями чееты-|к:хмерных симплектических групп Ли. За основу принимается классификация четырехмерных симплектических групп Ли, полученная в работах Г. Онандо |18. 10j. Приведены все пятимерпыо группы Ли, которые! получены центральными расширенными четырехмерных симплектических групп Ли (таблица 2.3.2). Пост^юеиы ассоции1х>ваипы(! контактные метрические структуры. Вычислены их основные геометрические характеристики. Выявлены группы Ли, допускающие сасакиевые ^-эйнштейновы контактные метрические структуры. Описаны примеры контактных метрических структур, которые не являются еасакиевыми. Результаты исследования представлены в теоремах 2.3.2-2.3.18.

В четвертом разделе второй главы рассмотрены ассоциированные контактные метрические структуры на разрешимых и неразрешимых алгебрах Ли. Данный раздел начинается с рассмотрения контактных структур на пятимерных группах Ли (таблица 2.4.1), которые не получены ни контактными расширениями четырехмерных точных симплектических групп Ли, ми центральными расширениями симплектических групп Ли, но имеются в классификационном списке |15|, В результате компьютерного исследования получены теорема 2.4.1 и теорема 2.4.2.

В теоремах 2.4.3-2.4.6 рассмотрены ассоции]х>вапиые контактные метрические структуры на неразрешимых пятимерных алгебрах Ли. Изучены их свойства и основные геометрические характеристики.

В пятом разделе второй главы полученные результаты компьютерного исследования относительно контактных метрических структур на пятимериых группах

Ли с.веде.иы в одну таблицу (таблица 2.5.1).

Для доказательства вышеизложенных теорем разработаны и реализованы ¡и<-горитмы в системе Марк, которые представлены в третьей главе «Программный комплекс: для классификации контактных мет рических структур».

В первом раздело т]>етьей главы приводится подробно аннотированный текст щюграммы Марк, реализующий вычисления тензора Риччи на группе Ли О'2"1'1 через тензор Риччи факторпрострапстваМ - С//о, где Р„ - одпопараметриче-ская подгруппа поля Риба используя выражения теоремы 2.3.1 в случае лево-инвариантной Л'-контактной структуры.

Во втором разделе третьей главы представлено рчпепие: задачи о существовании структуры С'асаки на заданной пятимерной алгебр: Ли. Алгоритм ее решения разбивается па несколько этапов.

На первом этапе мы выбираем новый базис {£,} контактной алгебры Ли д с тем. чтобы некто)) £>, совпадал бы с нолем Риба £ контактной структуры •;/. Используются следующие е|юрмулы для пересчета структурных констант:

рица перехода от базиса {с,} к {Ei}.

На втором этапе мы задаем аффинор iр. В адаптированном базисе: {к',} он имеет блочный вид

v Фп Ф\ i Ф-а Фи /

Матрица^ должна удовлетворять ente двум условиям: ip.\2 = -/,ь di¡oíp.x = — ip,t'o di). С учетом этих условий, а<1>финор <р зависит от G независимых параметров. На т|х!тьем этапе строится оператор J па алгебре: Ли 0 х RA',; в блочном виде

/

Фи Ф\2 Ф13 ФИ Фп Фп Фп Фг i Фи Фз2 Фаз Ф:и

\

'у О О N 0 0-1

V О 1 о

Четвертый этап - [кчпеиие. Контактная метрическая структура является структурой Сасаки. если J является комплексной структурой, т. е. если ./"' = -/ и тензор Нейепхейса N(J) = 0. Таким образом, параметры к\} искомой) аффинора <fi определяются из следующих условий:

1) астциировашюсти: + drj.J^ = 0. i,j = j.....4:

2) условия поч ти комплексности ,/3 = -/: = -rfj'. k.s = 1 4;

Л) условия интегрируемости:

дгА: = /I 1 _ /"'г1' _ /'г"" /-.t- ,, , . ...

Для j кипения задачи мы получили (при п = 5) 82 уравнения (из которых CG нелинейных) относительно поименных фц. Без использования систем компьютерной математики эту систему решить невозможно. Использование встроенных решателей (solve) системы Марк также не да»гг результата. Поэтому система ре-жалась поэтапно, решая попеременно часть уравнений системы^ = -/ и затем часть уравнений системы N — 0.

D третьем разделе третьей глапы приводится подрано аннотированный текст И|Х)|раммы Maple для решения задачи диссертации «наделения тшетрических характеристик структуры Сасаки (т?.£,<р,,,<jp): символов Кристоффеля, тензора кривизны и 014) нормы, секционной кривизны, тензора Риччи и его нормы, оператора Риччи, глшшых кривизн Риччи, скалярной кривизны.

Представленная программа позволяет получить явный вид многопараметричс-екого семейства ассоциированных метрик и определит!,, какие из них обладают свойством эйшптсйиоиости и г/-эйпште11новости. Для вычислений используются <|м)рмулы, нриисдеиные и первой главе (разделл 1.2.5). Компьютерное исследона-нно проводится и несколько этапов.

На первом этапе строится ассоциированная метрика ц по асеоцииршаниому а<|и|)инору уз, зависящему от параметров но формуле: ди = driaij + гuij-Предполагается, что вид аффинора найден при решении предыдущей задачи.

На птором »тане вычисляются компоненты связности, (необходимые для нахождения тензора кривизны: = \ (С£ + + ftvf)jkC§ .

На третьем этапе вычисляем компоненты тензора кривизны по формуле: RJjk -~ Массив Щк ««гонт из G25 элементов, вычисляемых че-

Iм-' '^К'мситы массива Г^ по достаточно сложной (формуле. Учитывая также, что

Гу выражается череп метрический тензору, который зависит от параметра фи. получаем, что тензор Римаиа Я не может быть вычислен без систем аналитиче'.-ских вычислений.

На четвертом этапе, используя тензор Римапа /?"-4„ вычисляются ем.тальныв! неметрические характеристики: квадрат нормы тензора кривизны компо-

ненты секционной кривизны Ау, тензор Риччи Шс и сто матрица, оператор Риччи ШС\ главны»! кривизны Риччи А'пю, квадрат нормы тензора Риччи ||йсс||2, скалярная кривизна Б ассоциированной метрики д (вычислительные формулы см. в раздел*! 1.2.5).

В четвертом разделе третьей главы приводится подробно аппотщюпнпнып текст программы Марк, позволяющий ощюдолить свойства А'-коптактноети и саса-киевости для контактной метрической структуры (т},£,<^о-9п)- Кроме, основных пчшетрическнх характеристик программа позволяет вычислить тензоры, отие-чающие за свойства Л'-коптактпоети и сасакиевоетн: тензор /V'1', тензор а также проверить дополнительные критерии и условия: е/(Л({, Х)Х, £) =

1ЦХ.£)Х = ад К)« = 1(9«. - Обследующей рассматриваемой в диссертации задачей, предстаиленной программой в пятом разделе третьей главы, является построение! он]К!делевн1.1х классов лсвоипвариантных ассоциированных контактных метрических структур с не неш,-:юванием преобразования Кэли и определение их свойеггв. Этот подход к определению аежоциироваппых контактных метрических структур удобен тем, что элементы матрицы метрического тензора зависят от параметров, несвязанных никакими дополнительными условиями.

Алгоритм [кипения данной задачи разбивается на несколько этапов. На первом этапе определяется общий вид матрицы Р. От нее требуется только симметричность относительно некоторой начальной метрики с?«, невырожденность / - И1 и ан тикоммутирование с некоторым начальным а|})фипором р»: Р*ри = —у?«Р- Ассо-цнн|юваниый л<1к[>ииор вычисляется по формуле: ¡р,, = 1ри(1 + Р)(1 - Р) 'л Дале* исследование прелюдится но той же схеме, что и в п|>сдыду|ЦеИ задаче. Разработанная программа позволяет рассматривать частные! классы ассчщищкшанных контактных метрических структур.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны алгоритмы и создан комплекс программ н системе коммьюч'ер-иоП математики Maple для посг/юечия ассоциированных структур Сасаки. ассо-ции|х)ванных контактных метрических структур; вычислении сх.немпых те;поров и нчшетрических характеристик контактных метрических структур.

2. С использованием систем аналитических вычислений получены явные мпого-пнраметрические выражения левошшариантных контактных метрических структур па не чех пятимериых контактных группах Ли.

3. Пост]ххчтые контактные метрические структуры исследованы с: использование: систем аналитических вычислений. Найдены алгебры Ли. допускающие:

- А'-контактпые структуры;

- структуры Сасаки;

- г/-эйнштсйнопы и эйнштейновы структуры;

- неендоримаповы А'-коптактные-эйппггейновы и сасаки-чйпштейновы структуры.

4. С исполыюванисм систем аналитических вычислений исследованы свойства Л'-контактпых метрических структур, связанные с римановой еубмерсией.

5. С использованием систем аналитических вычислений исследованы взаимосвязи между почти кэлеровыми (кэлеровыми) и /f-контактпыми (сасакисоыми) структурами.

Список публикаций по теме исследования

В журналах, рекомендуемых ВАК по специальности

1. Славолюбова Я. В. Применение математических пакетов Оля исследования контактнш: метрических структур // Вестник КузГТУ. - Кемерово, 2011. - № С. - С. G2435.

2. Славолюбова Я. В. Применение систем компьютерной математики к решению вопросов существования псевдоримановых К-контактнш: :>йшитейно-вых структур Сасаки на группах Ли // Вестник Кем ГУ. - 2011. - № 3/1. - С. 101-154.

3. Славолюбова Я. В. К-контактные структуры па группах Ли // Вестник ТГУ. Математика и механика, 2011. - JV"« 1 (13). - С. 47-54.

Другие публикации

4. СлаволюбоваЯ. В. Левоинвариантпые контактные метрические структуры на группе Ли Гейзепберга размерности 5// Математическое обра'ижание на Алтае: тезисы региональной конференции по математическому образованию на Алтае (г. Барнаул, 24 ноября 2006 г.). - Барнаул, 200G. - С. 30-39.

5. СлаиолюбоиаЯ. В. Левоинвариантпые компактные метрические структуры па пятимерпой группе. Ли Гейзепберга // Вестник КемГУ. - 200G. - Выи. 4 (28). - С. 24-29.

G. СлаиолюбоиаЯ. В. О контактной структуре па одной пятимерпой группе Ли / Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей: труды II (XXXIV) Международной научно-практической конфс]>енции студентом, аспирантов и молодых ученых (г. Кемерово, апрель 2007 г.). - Кемерово, 2007. - Т. 2. - Выи. 8. - С. 483-480.

7. СлаиолюбоиаЯ. В. О контактных структурах па некоторые пятимерпых группах Ли 11 Математика я современном мире: тезисы докладов российской конференции, посвященной 50-летию Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск, 17-23 сентября 2007 г.). - Новосибирск, 2007. - Режим доступа: http://math.nsc.ni/coiiference/conf50/Abstracts.ixlf - С. 102-103.

8. СлаволюбоваЯ. В. Левоинвариантпые контактные метрические, структуры па пятимерпых неразрешимых группах Ли// Математическое образование в Регионах России: труды международной научно-нрактической конфедонции, посвященной 65-летию кафедры «Высшая математика» АлтГТУ (г. Барнаул, 26 октября 2007 г.). - Барнаул, 2007. - С. 24-29.

9. СлаволюбоваЯ. В. Левоинвариантпые контактные метрические, структуры па пятимерпых ;шзрешимых группах Ли // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 36. Лобачевские чтсния-2007: материалы Шестой молодежной научной школы-конференции (г. Казань, 16-19 декабря 2007 г.). -Казань: Казанское математическое общество: Издательство КазГУ, 2007. - С. 194-196.

10. СлаволюбоваЯ. В. Об одной пятимерпой К-контактной и нормальной группе Ли // Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей: труды III (XXXV) Международной научно-практической конференции студентов,

»спирантом и молодых ученых (г. Кемерово, апрель 2008 г.). - Кемерово. 2008. -Т. 1. - Вып. 9. - С. 211-214.

11. СлаволюбоваЯ. В. Леооиивариантные контактные метрические структуры на пяшимерных ¡нарешимых группах Ли ; / Т<г.исы докладов Всер<х:с:ий-ской конференции но математике и механике (с. Томск, 22-25 сен тябри 2008 т.). -Томск, 2008. - С. 111-112.

12. СлаволюбоваЯ. В. Примеры К-контактных метрических структур па гшмшернш разрешимых группах Ли// Математическое образование „ ,к.,-ионах России: мате])иалы Всероссийской научно-практической конференции (г. Барнаул, 21 ноября 2008 г.). - Барнаул, 2008. - С. 38-41.

13. СлаволюбоваЯ. В. Левоиноариаитпые контактные метрические структуры па пятимерных разрешимых группах Ли// Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 37. Лобачевские чтения-2008: материалы Седьмой молодежной научной школы-конференции (г. Казань. 1-3 декабря 2008 г.).

- Казань: Казанское математическое общество: Издательство КазГУ, 2008.- С. Ю1-104.

14. СлаволюбоваЯ. В. Контактные расширения четырехмерна точных, сим-плектических групп Ли // Вестник КемГУ. - 2008. - Вып. 4 (36). - С. 20-24.

15. СлаволюбоваЯ. В. Центральные расширения четырехмерны:!: еимнлекти-ческш групп Ли // МАК-2009: тезисы Двенадцатой региональной конференции но математике (г. Барнаул, 10-22 июня 2009 г.). - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2009.

- С. 53-57.

10. СлаволюбоваЯ. В. Леооиивариантные К-коптакшные структуры па 5-м,ерных группах Ли // Современные проблемы анализа и геометрии: тезисы Международной конференции (г. Новосибирск, 14-20 сентября 2009 г.). - Новосибирск. 2000. - Режим доступа: llttp://www.nmth.llsc.rи/(:oпferenc(!/cagOg/flles/al)sf,тacts-ver-2009-09-09.pdf - С. 108-109.

17. СлаволюбоваЯ. В. Леаоиивариаптные контактные метрические структуры на пятимерных разрешимых группах Ли // Вестник ТГУ. Математика и механика. - 2009. - Л» 3 (7). - С. 50-64.

18. СлаволюбоваЯ. В. Нормальные, контактные метрические структуры на одной из пятимерных разрешимых групп Ли// Труды Математического центра

имени Н. И. Лобачевского. Т. 39. Лобачевские чтении-2009: материалы Восьмой молодежной научной школы-конференции (г. Казань, 1-0 ноября 2009 г.). - Казань: Казанское математическое общество: Издательство КазГУ, 2009,- С. 342344.

19. Славолк/хта Я. В. Контактные расширения трехмерных уии.м.одулярных алгебр Ли /'/ Ломоносовские чтения на Алтае: сборник научных статей меж[>сги-опальпоИ школы-семинара (г. Барнаул, 4-8 октября 2010 г.). - Барнаул. 2010. -Ч. I. - С. 70-74,

20. СлавшпобоваЯ. D. Контактные метрические структуры на контактных ]w:viupcniuu: трехмерпжг, упимодулярпых алгебр Ли // Научные исследования и их практически применение. Современное состояние и пути развития. 2010: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической кон<[к:)Х'ПЦИИ (г. Одесса, 4-15 октября 2010 г.). - Одесса: Черноморце, 2010. - Т. 1С. - С. 10-15.

21. СлаволюбоваЯ. В. Лсаоюшриантные контактные метрические структуры на группах Ли /,/ LAMBERT Acadcmic Publishing'. - 2011. - 1G1 с.

22. Слаполюбова Я. В. Псевдориманоаы сасакиеоы K-контактные :>ünmmeüuo-аы структуры на пятимерных группах Ли // Тезисы докладов Международной школы-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19-20 июня 2011 г.). -Кемерово, 2011. — К® ГР 0321102235. - Режим доступа: http://www.iiwtli.kiiuisu.ru/ kma/file/tesis/milex.litm - 4 с.

23. СлавшпобоваЯ. В. Левоиноариаптпые псевдориманоаые МтитеАшюы структуры на пятимерных группах Ли // Дни геометрии в Новосибирске, 2011: материалы Международной конференции, посвященной 50-летию кафедры геометрии и топологии НГУ (г. Новосибирск, 1-4 сентября 2011 г.). - Новосибирск, 2011. - Режим доступа: ]ittp://iiiath.nsc.rii/confererice/Reoiiit,op2011/abstract,4/Sla-volubova.pdf - 4 с.

24. Сливал юбова Я. В. Математическая модель задачи существоиания структуры Саечки па В-мерпых группах Ли. препринт. - Кемерово: Кузбасевузиздат, 2011.- 20 с.

Список литературы

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики - 5-е изд., сто]кк>тиииое. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 41G е.

2. Багииа О. Г., Кабепнж М. И. Покрытие плоскости раоиосторонними пятиугольниками И Вестник КемГУ. - 2001. - № 3. - С. 1G2-1GG.

3. Гладупова О. П. Применение пакетов ашштшчсскга: вычислений для нахождения иниириаптных тензорных полей на однородны:/: пространствах: дис. ... канд. физ.-мат. паук: 05.13.18. - Барнаул, 2008. - 184 е.

4. Кремлей А. Г., Никопороп К). Г. Сигнатура критыны Риччи лсооииаариапт-ных рнмаиоаьиг. метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулмрный случай

. Мат. труды. - 2008. - Т. 11, № 2. - С. 115-147.

5. K|«M.icii А. Г., Никопоров Ю. Г. Сигнатура кривизны Риччи лпшиниари-антнш: римаиоаш: метрик на четырехмерных группах. Ли. Неушшодцллрныи случай // Мат. труды. - 2009. - Т. 12, № 1. - С. 40-11G.

G. Лычагип В. В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные у/мюнеиия второго порядка // Успехи маг, паук. - 1979. - Т. 34, пыл. 1. - С. 137-1G5.

7. Никоно)Х)11 К). Г. Компактные семимерные однородные мщштб]шия Эйнштейна // Доклады Академии наук. - 2000. - Т. 372, № 0. - С. 589-592.

8. Hhkohojhib К). Г. Аналитические методы в теории однородных Мишткй-ноаых миогообрший. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2000. - 183 с,

9. Подкур П. Н. Масштабирующие функции и аейвлеты с. ко.ф/тциеитом масштабирования N > 2: дис. ... канд. физ.-мат. паук: 05.13.18. — Барнаул, 2007. - 233 с.

10. Родионов Е. Д., Славский В. В. Локально конформно однородные пространства Ц Доклады Академии наук. - 2002. - Т. 387, X» 3. - С. 314-317.

11. Appel К., Haken W. Every Planar Map in Four Colorable // Bulletin of the American Mathematical Society. - 1976. - Vol. 82, № 5. - P. 711-712.

12. Appel K., Haken W. The Solution of the. Four-Color-Map ProblemЦ Scientific American. - 1977. - V. 237, Л» 4. - P. 108-121.

13. Blair D. E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry Lecture Notes in Mathematics. - Springer; Verlag; Berlin; Heulellwrg, 197G. - 145 p.

11. Blair D. E. Riemannian Geometry of Contact, and Symplectic Manifolds Progress in Mathematics. - 2010. - Vol. 203. - 145 p.

15. Diatta A. Left, invariant contact structures on Lie (/roups j / aiXiv:niatIi/0403555-v2. |math.DG|, 2004, - 17 p.

1G. Geiges H. Contact Geometry j/ arXiv:math/0307242v2 |mat,li.SG|, v2. 2004.-8G p.

17. Gosie M., Khakiindjanov Y., Medina A. Sympkctic or contact structures on Lie (/roups // Differential Goon». Appl. - Vol. 21, No. 1. - 2004. - P. 41-54.

18. Ovando G. Complex, symplectic and Kiihler structures on four dimensional Lie algebras /7 arXiv:math/0309146vl, |math.DG|,' 2003. - 15 p.

19. Ovando G. Four dimensional symplectic Lie alyebras/; arXiv:tuatli/0407501vl, (ninth.DG|, 2004. - 21 p.

20. Rodioiiov E. D., Slavskii V. V. Curvature estimations of left invariant Riewun-nian metrics on three dimensional Lie groups// Differential Geometry and Application. Proceeding of the 7"' International Conference. Brno, August 10-14, 1998. - Masaryk Univeinity, Brno. Czech Republic, 1999.

21. Rodionov E. D., Slavskii V. V. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comm. Math. Univ. Carol. - 2002. - V. 43, No. 2. - P. 271-282.

Псипищио в печать 18.11.2011. Формат Gl) х 84 1/1С. Бумаг* нфепнаи -V 1.

Печать (к|кс-тиая. Усл. нсч. л. 1,0. Тицаж НЮ ж). Закн Л> 420. Ад|юс издательства и типографян: ООО «Иэдатс-лы-пм «K.v ifiaon.viiD.iar». 6ÖÜ043, г. Кгмерово, ул. Ермака, 7. Тел. 8 (3842) 58-20-34, т '.JxiKr .30-83-77. E-mail: 58293469'4mail.rii

61 12-1/528

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СЛАВОЛЮБОВА ЯРОСЛАВНА ВИКТОРОВНА

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР НА ПЯТИМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: профессор,

доктор физико-математических наук, Смоленцев Николай Константинович

Кемерово - 2011

На правах рукописи

Оглавление

Введение 3

1 Модель задачи построения левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли 15

1.1 Система аналитических вычислений Maple..........15

1.2 Математические методы.....................20

1.2.1 Контактные структуры .................21

1.2.2 Контактные структуры на группах Ли.........25

1.2.3 Симплектические четырехмерные алгебры Ли .... 28

1.2.4 Пятимерные контактные алгебры Ли .........30

1.2.5 Вычислительные формулы...............38

1.3 Математические модели исследования левоинвариантных контактных метрических структур.................41

2 Применение математических пакетов к классификации контактных метрических структур 52

2.1 К-контактные структуры....................52

2.1.1 Римановы субмерсии...................53

2.1.2 Инварианты А и Т для К-контактных структур на группе Ли.........................56

2.1.3 Кривизна Риччи.....................57

2.1.4 Связь между тензорами Nw и N............61

2.2 Контактные расширения точных симплектических групп Ли 63

2.2.1 Контактные расширения симплектических групп Ли . 63

2.2.2 Контактные расширения четырехмерных точных симплектических групп Ли.................68

2.2.3 Контактные расширения двумерных симплектических групп Ли .........................94

2.3 Центральные расширения четырехмерных симплектических

групп Ли .............................103

2.3.1 Симплектические четырехмерные алгебры Ли . . . .104

2.3.2 Центральные расширения симплектических четырехмерных алгебр Ли....................106

2.4 Другие пятимерные контактные группы Ли списка Диатты . 149

2.4.1 Контактные разрешимые неразложимые алгебры Ли 149

2.4.2 Контактные неразрешимые алгебры Ли........158

2.5 Классификация контактных метрических структур.....172

3 Программный комплекс для классификации контактных метрических структур 176

3.1 Вычисление тензора Риччи с использованием свойства ри-мановой субмерсии........................176

3.2 Нахождение ассоциированных структур Сасаки.......178

3.3 Вычисление геометрических характеристик ассоциированных структур Сасаки ......................184

3.4 Определение свойств К-контактности и сасакиевости . . . .188

3.5 Нахождение ассоциированных К-контактных структур и структур Сасаки............................194

Заключение 198

Список литературы 200

Введение

Системы аналитических вычислений находят широкое применение в самых различных областях науки. Как правило, в эти системы входят процедуры для численных и аналитических расчетов, средства для визуализации, программирования и представления результатов. Таким образом, системы компьютерной математики совмещают в одной оболочке обширный набор инструментов, позволяющий решать масштабные научные задачи.

В настоящее время повсеместно используются такие популярные системы как Maple, Mathematica, MathCad, MatLab, Derive. Они обладают универсальными математическими возможностями, широко распространены в России и за рубежом, постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы, имеют возможность взаимной интеграции.

Современная геометрия, так же как и другие области математики привлекает новейшие компьютерные технологии для решения своих задач. Сегодня применение систем символьной математики не ограничивается численными расчетами. Существует множество примеров, доказывающих эффективность математических систем при доказательстве теорем.

Хорошо известна работа О. Г. Вагиной и М. И. Кабенюка в [2], в которой дано более короткое доказательство теремы о покрытии евклидовой плоскости равносторонними пятиугольниками, которая основана на вычислениях, сделанных с помощью пакета Maple. Отметим также доказательство К. Аппеля (К. Appel) и В. Хакена (W. Haken) знаменитой проблемы топологии о четырех красках [46, 47].

Пакеты аналитических вычислений использовались для исследования однородных римановых пространств. В этом направлении известны результаты Ю. Г.Никонорова по классификации однородных эйнштейновых многообразий [15, 16] и результаты Е. Д. Родионова и В. В. Славского по классификации локально конформно однородных многообразий [19, 73], а также по оценкам кривизн левоинвариантных римановых метрик на группах Ли [72].

Пакеты аналитических вычислений эффективно используются при исследовании геометрии групп Ли. Известны результаты А. Г. Крем лева и

Ю. Г. Никонорова [11, 12] по классификации сигнатур кривизны Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками. При помощи системы Maple в работах О. П. Гладуновой [6] получена классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля. В работах П. Н. Подкур [17] система MATLAB успешно использовалась для развития теории вейвлетов с коэффициентом масштабирования N >2.

Данная диссертация посвящена применению математических пакетов для исследования левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли. Контактные группы Ли появляются естественным образом во всех областях математики и физики, использующих контактную геометрию или топологию (см. напр. [49], [51], [59], [60], [61], [62]). Энциклопедическим изданием, связанным с понятием контактных многообразий, К-контактных и сасакиевых структур, является книга Д. Блэра [51].

Контактная структура - это структура на гладком многообразии нечетной размерности M2n+1, состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих условию максимальной невырожденности (см. ниже). Контактная структура тесно связана с симплектической и является ее аналогом для нечетномерных многообразий [1].

Поле касательных гиперплоскостей (контактное распределение) D на многообразии принято задавать дифференциальной 1-формой г/: D = {X (Е ТМ : г](Х) = 0}. Тогда условие того, что 1-форма ц определяет контактную структуру, заключается в требовании: г) А (dr])n ф 0.

Простым примером контактной структуры на 1R3 является 1-форма г] = dz — xdy. Другие естественные примеры контактных структур связаны с фазовыми пространствами. С геометрической точки зрения фазовое пространство представляет собой кокасательное расслоение Т*М многообразия М. На фазовом пространстве определена каноническая 1-форма 9 следующим образом. Если элемент их £ Т*М имеет в локальных координатах (хг) вид их = Pidx\ то 9W = pidx\ Тогда Q = dpi A dxl - каноническая симплектическая структура на фазовом пространстве Т*М. Легко видеть, что на многообразии Т*М х R форма г] = dz — pidx1 определяет контактную структуру. Хорошо известны конструкции контактизации симплектического многообразия и симплектизации контактного многообразия.

Контактные структуры находят применения в аналитической механике [1] благодаря тому, что на любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контакт-

ная структура. Применение контактной геометрии в дифференциальных уравнениях хорошо представлено в работе В. В. Лычагина [13]. В ней даны также приложения контактной геометрии к вариационному исчислению, симмметриям и автомодельным решениям в нелинейной акустике.

Основным вопросом о контактных структурах является их существование на заданном многообразии. Существование контактной структуры накладывает сильные топологические и алгебраические условия на многообразие (например, структурная группа касательного расслоения редуцируется к U(n) х 1). Каждое замкнутое ориентируемое 3-многообразие допускает контактную структуру (Дж. Мартинет, 1971). Несмотря на то, что некоторые ответы были получены А. Вейнстейном (1991) и X. Гейге-сом (1998) на основе использования специальных методов построения вопрос по-прежнему остается открытым в высоких размерностях. Согласно М. Громову, на каждой связной некомпактной группе Ли нечетной размерности существует контактная структура. Но такие контактные структуры не обязательно являются инвариантными относительно левых сдвигов на группе Ли.

Нечетномерные торы среди многообразий имеют наиболее простое глобальное описание, но на них очень сложно задать контактную структуру. Лутц построил [67] контактную структуру на Т5, и это стимулировало интерес к нахождению контактных структур на торах более высоких размерностей. Ф. Бургеоис (Bourgeois) (2002) показал, что на самом деле все нечетномерные торы допускают контактную структуру. X. Гейгес доказал, что каждое многообразие вида М х Е, где М - контактное многообразие и Е- поверхность рода как минимум 1, допускает контактную структуру [60].

Группы Ли с левоинвариантными симплектическими структурами широко изучаются в последнее время многими авторами (среди которых А. Медина, М. Гозе, А. Лихнерович, Э.Б. Винберг, К. Накайяма). Однако контактные группы Ли все еще остаются малоизученными. В настоящее время известны примеры контактных групп Ли размерности > 3, которые имеют центр (недискретный) размерности 1. В работе [66] решен вопрос существования левоинвариантных контактных форм на филиформовых группах Ли (то есть, с нильпотентной алгеброй Ли 0, у которой нильин-декс равен dim(g) — 1) и классификации всех контактных структур на таких группах Ли. В работе [57] А. Диатты приведены построения, которые позволяют получать многие контактные группы Ли (особенно такие, которые имеют дискретный центр) в любой нечетной размерности.

Обобщая результаты Дж. Грея, Бузби и Янг в работе [54] доказали, что единственные полу простые группы Ли, которые несут левоинвариантную

контактную структуру - только те, которые локально изоморфны SL(2) или 50(3). В статье [53] Д. Блэр в своем основном результате (см. также [51]) доказал, что контактная метрическая структура на контактном многообразии М размерности > 5 не может быть плоской. В работе [57] показано, что в случае контактных групп Ли размерности > 5 не существует плоской левоинвариантной римановой метрики, даже если бы такая метрика никак не была бы связана с заданной контактной структурой. Известно [57], что если dim(G') > 5, тогда не существует левоинвариантной контактной структуры в следующих случаях: 1) G обладает свойством, что каждая левоинвариантная метрика имеет секционную кривизну постоянного знака; 2) G - разрешимая 2-степенная группа Ли отрицальной кривизны; 3) G имеет левоинвариантную риманову метрику с отрицательной секционной кривизной такую, что связность Леви-Чивита V и тензор кривизны R удовлетворяют условию Vi? = 0. Помимо этого в [57] доказано, что в случае dimG > 3 не существует левоинвариантной /^-контактной метрической структуры, имеющей кривизну Риччи постоянного знака. В частности, не существует К-контактных-эйнштейновых и тем более сасаки-эйнштейновых, левоинвариантных структур на группах Ли размерности > 5. В любой размерности 2п + 1 > 7 существует бесконечно много локально неизоморфных разрешимых контактных групп Ли ¡57].

Проблема нахождения групп Ли, допускающих левоинвариантную контактную структуру (контактные группы Ли), все еще остается открытой.

Классификация пятимерных разрешимых и неразрешимых контактных групп Ли получена в работе Диатты [57]. Разложимая (произведение двух идеалов) 5-мерная контактная алгебра Ли является или прямым произведением g = äff (Ж) х а, где а - любая трехмерная алгебра Ли, отличная от х Ж2, или прямым произведением точной симплектической 4-мерной алгебры Ли и К. [57]. Классификация трехмерных алгебр Ли представлена в работах [7], [68]. Среди всех неразрешимых пятимерных групп Ли контактными являются только такие, у которых алгебра Ли является одной из следующих: разложимые: äff (Ж) х 5/(2), äff (Ж) х so(3) и неразложимые: sl(2) хрМ2 [57]. Классификация симплектических и точных симплектических четырехмерных алгебр Ли получена в работах [69], [70]. Почти кэлеровы структуры на четырехмерных алгебрах Ли изучались в диссертации Е.С. Корнева [10]. В частности, в статье [63] приведены исследования четырехмерных групп Ли. Классификация пятимерных алгебр Ли получена Г.М. Мубаракзяновым [14]. Эта же классификация приведена в [71]. Пятимерные группы Ли, наделенные структурой Саса-ки, классифицированы в работе [48].

Цели диссертационной работы:

1. Создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Maple для построения ассоциированных контактных метрических структур и определения их свойств.

2. Исследование левоинвариантных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли.

Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие задачи:

1. Построение контактных алгебр Ли.

2. Создание математической модели задач построения и исследования ассоциированных левоинвариантных контактных метрических структур.

3. Исследование контактных метрических структур на разрешимых и неразрешимых алгебрах Ли.

4. Вычисление геометрических характеристик контактных метрических структур.

Выполнение задач диссертационного исследования осуществляется на основе комплексного использования методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, римановой и псевдо-римановой геометрии и тензорного анализа.

Основные результаты работы:

1. Разработаны алгоритмы и создан комплекс программ в системе компьютерной математики Maple для построения ассоциированных структур Сасаки, ассоциированных контактных метрических структур; вычисления основных тензоров и геометрических характеристик контактных метрических структур.

2. С использованием систем аналитических вычислений получены явные многопараметрические выражения левоинвариантных контактных метрических структур на всех пятимерных контактных группах Ли.

3. Построенные контактные метрические структуры исследованы с использование систем аналитических вычислений. Найдены алгебры Ли, допускающие: i^-контактные структуры; структуры Сасаки; эйнштейновы и ^-эйнштейновы структуры; псевдоримановы ii-контактные-эйнштейновы и сасаки-эйнштейновы структуры.

4. С использованием систем аналитических вычислений исследованы свойства /С-контактных метрических структур, связанные с римано-вой субмерсией.

5. С использованием систем аналитических вычислений исследованы взаимосвязи между почти кэлеровыми (кэлеровыми) и К-контактными (сасакиевыми) структурами.

Научная новизна работы. В данной диссертационной работе разработаны алгоритмы и программы в системе аналитических вычислений Maple для построения ассоциированных контактных метрических структур, нахождения основных тензоров и всех геометрических характеристик контактных метрических структур на пятимерных группах Ли.

Применяя разработанные алгоритмы, получены новые результаты в теории контактных метрических структур на группах Ли. Впервые:

1. Получены явные многопараметрические выражения ассоциированных левоинвариантных метрик на пятимерных группах Ли, найдены их геометрические характеристики.

2. Найдены в явном виде i^-контактные, сасакиевы, эйнштейновы, г]-эйнштейновы структуры на пятимерных группах Ли.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях левоинвариантных контактных структур на группах Ли и однородных пространствах. Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут применяться для решения аналогичных задач однородной (псев-до)римановой геометрии. Построенные компьютерные модели позволяют решать вопросы существования структур Сасаки на пятимерных группах Ли, определять компоненты связности, тензора кривизны Римана, секционной кривизны, тензора Риччи, оператора Риччи, скаляной кривизны, квадраты норм тензоров Римана и Риччи, главные кривизны Риччи, а также компоненты основных тензоров контактной метрической структуры.

Полученные теоретические и практические результаты могут быть использованы в учебном процессе при организации специальных курсов для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на ряде конференций: Региональной научно-методической конференции «Математическое образование на Алтае» (г. Барнаул, 24 ноября 2006 г.); II

(XXXIV) Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей» (г. Кемерово, апрель, 2007 г.); Российской конференции «Математика в современном мире», посвященной 50-летию Института математики им. С. JI. Соболе�