автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение пакетов аналитических вычислений для исследования свойств инвариантных тензорных полей на группах Ли

На правах рукописи

005005713

Воронов Дмитрий Сергеевич

ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СВОЙСТВ ИНВАРИАНТНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ГРУППАХ ЛИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

- 8 ДЕК 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул - 2011

005005713

Работа выполнена на кафедре геометрии и математических методов в экономике ФГБОУ ВПО "Алтайская государственная педагогическая академия"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Родионов Евгений Дмитриевич

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО "Кемеровский государственный университет".

Защита состоится 23 декабря 2011 года в 12-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 при ФГБОУ ВПО "Алтайский государственный университет" по адресу: 656049, г. Барнаул, ггр. Ленина, 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО "Алтайский государственный университет" по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан 22 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор Пышнограй Григорий Владимирович доктор физико-математических наук, доцент Славский Виктор Владимирович.

д.ф.-м.и., профессор

С.А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системы аналитических вычислений применяются в различных областях науки и техники. Наиболее широкое применение получили универсальные математические системы, такие как Maple, Mathematica, MathCad, MatLab, Derive и другие. Они предоставляют дополнительные возможности для специалистов разных областей, с их помощью быстрее и проще решать трудоемкие научные задачи.

Как правило, компьютерные математические системы содержат процедуры для численных и аналитических расчетов, средства программирования, визуализации и представления результатов. Соответственно они совмещают в себе обширный набор инструментов, освобождая пользователя от монотонных вычислений и фокусируя его внимание на теоретической стороне исследования.

Современная геометрия, также как и другие области математики, привлекает новейшие компьютерные технологии для решения своих задач. Существуют подтверждения эффективности использования программного обеспечения не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Например, с помощью пакетов аналитических вычислений О.Г. Вагина и М.И. Кабешок в [1] дали короткое доказательство теоремы о покрытии плоскости равносторонними пятиугольниками. К. Аппель (К. Appel) и В. Хакен (W. Haken) доказали знаменитую проблему топологии о четырех красках [14, 15]. Стоит отметить работы J1.H. Чибриковой [12] и О.П. Гладуновой [3] в области (псевдо)римановой геометрии и работы Ю.В. Никоноровой [10] и В.В. Джебко [4] в области дифференциальной геометрии, теории многообразий Эйнштейна.

Известны результаты А.Г. Кремлева и Ю.Г. Никонорова [5, G] по классификации сигнатур кривизны Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками, являющиеся своеобразным продолжением классической работы Дж. Милнора [17] по классификации сигнатур кривизны Риччи на трехмерных группах Ли.

Пакеты прикладных программ использовались для исследования однородных римановых пространств. В этом направлении известны результаты Ю.Г. Никонорова по классификации однородных эйиштейно-

вых многообразий [8, 9] и Е.Д. Родионова и В.В. Славского по оценкам кривизн левоинвариантных римановых метрик на группах Ли [11, 18, 19].

Данная работа посвящена исследованию инвариантных тензорных полей на группах Ли с помощью пакетов аналитических вычислений, в частности: изучению сигнатур оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой, исследованию свойств гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли.

Целями диссертационной работы являются:

1. Создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Марк и МаЛетаИса для нахождения и исследования инвариантных тензорных полей на группах Ли.

2. Исследование вопроса о возможных сигнатурах оператора одномерной кривизны левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли.

3. Классификация четырехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим тензором Вейля.

Основные задачи работы:

1. Разработка алгоритмов для вычисления компонент тензоров одномерной кривизны и кривизны Риччи, Римана, а также компонент тензора Вейля и его дивергенции для левоинвариантных римановых метрик на группах Ли.

2. Исследование возможных сигнатур оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

3. Классификация четырехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим тензором Вейля.

Исследование каждой из задач, представленных в диссертации, проводилось по следующему плану. Первоначально строилась удобная для вычислительной работы модель исследуемого объекта. Далее создавались программы для реализации в системах аналитических расчетов

Maple и Mathematica. Следующий этап был посвящен анализу и истолкованию полученных результатов. После чего делался вывод о структуре изучаемого объекта и о возможности уточнения модели.

Объект исследования — трехмерные и четырехмерные группы Ли с левоинвариантными римановыми метриками и инвариантные тензорные поля на них.

Предмет исследования — компьютерные модели, алгоритмы, программы для изучения групп Ли размерностей 3 и 4 с левоинвариантными римановыми метриками и инвариантными тензорными полями заданного тина: тензором одномерной кривизны, тензором Вейля, дивергенцией тензора Вейля.

Методика исследования ориентирована на использование методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, римановой геометрии, тензорного анализа.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Пакет программ, написанных в среде Maple и Mathematica, для вычисления основных характеристик групп Ли, исследуемых в диссертации.

2. Определение возможных сигнатур оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

3. Классификация четырехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим тензором Вейля.

Научная новизна работы. В данной диссертационной работе разработаны алгоритмы и программы в системах аналитических вычислений Maple и Mathematica для нахождения инвариантных тензорных полей на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

С помощью разработанных программ получены новые результаты в теории инвариантных тензорных полей на группах Ли малых размерностей. Впервые

1) определены сигнатуры оператора одномерной кривизны, реализуемые на трехмерных алгебрах Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантными римановыми метриками;

2) получена классификация четырехмерных алгебр Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим (с нулевой дивергенцией) тензором Вейля;

3) разработан комплекс программ для определения и исследования спектра оператора одномерной кривизны.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях инвариантных тензорных полей на конечномерных группах Ли, при изучении свойств (псевдо)римановых пространств Эйнштейна, связанных с общей теорией относительности А.Эйнштейна. Кроме >гого, результаты диссертации могут пайти применение в теории однородных пространств, теории дифференциальных операторов на многообразиях. С помощью пакетов символьных вычислений Maple и Mathematica решены задачи определения возможных сигнатур оператора одномерной кривизны на трехмерных алгебрах Ли групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками, классификации четырехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим тензором Вейля. Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут применяться для решения аналогичных задач однородной римановой геометрии. Построенные компьютерные модели позволяют вычислять компоненты связности, тензоров кривизны Ри-мана, Риччи, одномерной кривизны, скалярной кривизны, тензора Вейля и дивергенции тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на группах Ли.

Результаты диссертации могут использоваться в учебном процессе высших учебных заведений: при чтении спецкурсов, проведении спецсеминаров по современной дифференциальной геометрии, тензорному исчислению, теории дифференциальных операторов, общей теории относительности А.Эйнштейна.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Двенадцатой региональной конференции по математике "МАК-2009" (Барнаул, июнь, 2009 г.); Международной конференции "Современные проблемы анализа и геометрии"(Новосибирск, 14—20 сентября 2009 г. ); XLVIII Меж-

дународной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 10—14 апреля 2010 г.); Тринадцатой региональной конференции по математике "МАК-2010" (Барнаул, июнь, 2010 г.); Международной школе-семинаре "Ломоносовские чтения на алтае"(Барнаул, 2010 г.); Международной научно-практической конференции "Математическое образование в регионах России "(Барнаул, 22 октября 2010 г.); XLIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 16—20 апреля 2011 г.); Международной научной конференции (Волгодонск, 4-8 июля 2011 г.). Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на краевом семенаре по геометрии и математическому моделированию (Барнаул, АлтГПА, АлтГУ).

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (№ 10-01-90000-Бел_а), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт № 02.740.11.0457).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Некоторые результаты получены в соавторстве с О.П. Гладуновой, Е.Д. Родионовым и В.В. Славским. Две работы опубликованы в научных журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 114 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых па разделы, заключения, 3 приложений и списка литературы.

Содержание диссертации

Первая глава диссертационной работы посвящена использованию математических пакетов в решении задач римановой геометрии. В первом разделе приводятся необходимые сведения о системе аналитических вычислений Maple. Во втором разделе дается краткое описание пакетов встроенных процедур línalg и Linear Algebra, используемых автором в процессе решения, указанных выше задач. В третьем разделе приводятся сведения о пакете символьных расчетов Mathematica. В четвертом разделе, на примерах решения задачи о сигнатуре оператора одномерной кривизны и задачи гармоничности тензора Вейля, показано как можно применять пакеты аналитических вычислений в решении задач римановой геометрии. Описаны

комплексы компьютерных моделей и алгоритмы, реализованные в пакетах символьной математики Maple и Mathematica и используемые при решении данных задач.

Во второй главе рассмотрен вопрос о сигнатуре оператора одномерной кривизны левоинвариантных римановых метрик на группах Ли. В процессе исследования применяется пакет аналитических расчетов Maple.

В первом разделе даются определения секционной и одномерной кривизн, тензора и кривизны Риччи, тензоров Римана и Вейля левоинвариантных римановых метрик и указываются формулы для их вычисления.

Пусть G — группа Ли со связностью Леви-Чивита V и левоинвари-антной римановой метрикой {•,•), {0, [■,•]} — соответствующая алгебра Ли. Обозначим, через Rim(X,Y)Z тензор Римана, Ricc(X,Y) тензор Риччи, р скалярную кривизну, А тензор одномерной кривизны и W тензор Вейля.

Фиксируем в 0 ортонормированный базис {Ei, Е2,..., Еп}. Положим

\Ei, Ej] = с^Ек, {Ei, Ej) = gij,

где {с*-} — структурные константы алгебры Ли, {д^} — компоненты метрического тензора.

Пусть CyS — c^gks, тогда символы Кристоффеля первого рода вычисляются по формулам

— 2 (^Ч?^ Cjki Ч- Ckij) ■ (2.1.2)

Соответственно символы Кристоффеля второго рода имеют вид

Гу = lW"\ (2.1.3)

где ||<?fcs|| есть матрица обратная к ||<7ь||-

Тогда формулу для вычисления тензора Римана можно представить в виде

Rimijkt = 4TU - Г^ + ВДв,(. (2.1.4)

Тензор Риччи и скалярную кривизну соответственно можно найти по формулам

Ricak = Rirriijktg}i, р = Riccikglk. (2.1.5)

Тензор одномерной кривизны определяется следующим образом

= (2.1.6) Тензор Вейля вычисляется по формуле

\Vijkt = Шгпцы - ^^(Ягссгкдл + Шсс^д{к - Шссид^к - Шсс^дц)-

~ (п-!)(„-2)^'{2ЛЛ) Ковариантные производные тензора Вейля равны

Щы,р = Т^т + г^ж-ш + + Т1р^т. (2.1.8)

Второй раздел посвящен рассмотрению оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Приводятся необходимые сведения из теории групп Ли, вводятся необходимые определения раздела, формулируются теоремы классификации трехмерных унимодулярных и неунимодулярных групп и алгебр Ли основанные на работе Дж. Милнора (см. [17]).

Отождествим метрическую алгебру Ли с п-мерным евклидовым пространством. Рассмотрим оператор одномерной кривизны на алгебре.

Под сигнатурой оператора одномерной кривизны, действующего на тг-мерной метрической алгебре Ли, будем понимать упорядоченный набор ^п(т1), в§п(т2),..., 8§п(т1г,)), где Т1 < т2 < ... < т„ - собственные значения оператора А, и sgn(x) означает знак (вещественного) числа х.

Занумеруем все возможные сигнатуры для трехмерного случая так, как это указано в таблице 1.

Таблица 1.

№ 1 2 3 4 5

Сигнатура (-.-+) (-0,0) (-Д+)

№ 6 7 8 9 10

Сигнатура (0,0,0) (0,0,+) (0,+,+) (+,+>+)

Теорема 2.2.1. (см. [17]) Пусть й — трехмерная унимодг^ярная группа Ли с алгеброй Ли д, (-, •) — произвольное скалярное произведение на д. Сугцествует ортонормированный базис {Е\, Е2, Е3} такой,

что

[ЕиЕ2] = Х3Е3, [Е2,Е3] = ХхЕъ [Е3,Е1] = Х2Е2. (2.2.9)

Здесь А; 6 К - структурные константы алгебры Ли д, г = 1, 2,3.

Имеется ровно шесть неизоморфных трехмерных алгебр Ли и соответствующих им типов унимодулярных трехмерных групп Ли. Все они приведены в таблице 2 (см. [17]).

Таблица 2.

Случай Знаки (Аь А2, А3) Группа Ли Алгебра Ли

1 577(2) или SO(3) йи(2) — простая, компактная

2 SL{2, R) или 0(1,2) 5/(2, Я) — простая, некомпактная

3 Е( 2) е(2) — разрешимая

4 Е( 1,1) е(1,1) — разрешимая

5 +,0,0 Н — группа Гейзенберга Н — нильпотентная

6 0,0,0 R&RQR R3 — коммутативная

Теорема 2.2.2. (см. [17]) Пусть й — трехмерная пеунимодулярная группа Ли с алгеброй Ли д. Тогда в д существует базис {Е\,Е2,Е3} такой, что

[ЕьЕ2\ = аЕ2 + рЕ3, [ЕиЕ3] = 1Е2 + ёЕ3, [Е2,Е3}= 0, (2.2.10)

причем матрица С = (а ^ ) имеет след а+ 6 = 2. Здесь а, /3,7, <5 —

ь)

структурные константы алгебры Ли д.

В третьем разделе дается решение задачи о возможных сигнатурах оператора одномерной кривизны па трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

Родионов Е.Д. и Славский В.В. в работе [18] показали, что в базисе теоремы 2.2.1 оператор одномерной кривизны диагонализируем и его главные значения имеют вид:

кг = 1(5X1 ~ 3(А2 - А3)2 - 2А1(Аз + А2)),

= ^(5А2 - 3(Ах - Аз)2 - 2А2(А! + Аз)),

о

** = ^(5А2 - 3(А: - А2)2 - 2А3(А! + А2)).

о

С помощью исследования данных функций доказана следующая теорема:

Теорема 2.3.1. Пусть О — трехмерная унимодулярпая группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, д - алгебра Ли группы С, в - произвольная сигнатура из таблицы 1. Тогда в реализуется в качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны для некоторого скалярного произведения на $ в том и только том случае, еелгь в таблице 3 на пересечении строки, соответствующей алгебре Ли 0, и столбца, соответствующего сигнатуре в, находится знак

Таблица 3.

№ сигнатуры

Алгебра Ли 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

зи( 2) - - + - + + - + + +

з1(2, К) - - + - + + - - - -

е(2) - - + - - - + - - -

е(1,1) - - + - + + - - - -

к - - +

те - - - - - - + - - -

В четвертом разделе рассматривается решение задачи о возможных сигнатурах оператора одномерной кривизны на трехмерных неунимо-дулярных группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

Согласно работе Родионова Е.Д. и Славского В.В. (см. [18]) оператор одномерной кривизны в базисе теоремы 2.2.2 диагонализируем. Следуя [17], обозначим а = 1 + /? = (1 + О7?. 7 = -(1 - О1!, <5 = 1 - где С > 0, г) > 0, тогда главные значения оператора одномерной кривизны имеют вид:

7 1 ^ 2 3 2/-2

к1 = -2~2^ "2'

кэ = -1-+2{++\е+\пч2.

Исследование данных функций позволило доказать теорему:

Теорема 2.4.1. Пусть G - неунимодулярная трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, 0 алгебра Ли группы G. Тогда в качестве сигнатур оператора одномерной кривизны на g реализуемы только сигнатуры (—,—,—), (—,—,0), (—,—,+), (—,0, +), (—,+,+), т.е. сигнатуры 1, 2, 3, 5 и 6 таблицы 1.

В третьей главе изучаются инвариантные тензорные поля на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим тензором Вейля. В процессе исследования применялись пакеты аналитических расчетов Maple и Mathematica.

В первом разделе приведена классификация вещественных четырехмерных алгебр Ли, полученная Г.М. Мубаракзяновым в [7].

Второй раздел посвящен решению вопроса о гармоничности тензора Вейля на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Приводится определение гармоничности тензора и формулируются вспомогательные замечания, необходимые для дальнейшего изложения.

Придерживаясь терминологии работ [2, 16], будем называть римано-во многообразие (М, д) размерности п > 4 пространством с гармоническим тензором Вейля или С-пространством, если divW = 0.

Дивергенцию тензора Вейля будем определять формулой из [13]

divWjkt = givWijkttP, (3.2.1)

где Wijkt,P — ковариантные производные тензора Вейля.

Из формул 2.1.7, 2.1.8 и 3.2.1 ясно, что тензор Вейля, ковариантные производные и дивергенция тензора Вейля суть функции от структурных констант ф алгебры Ли д и метрического тензора <7у.

В силу инвариантности римановой метрики вопрос гармоничности тензора Вейля на группах Ли может быть сведен к вопросу о гармоничности соответствующего тензора па алгебре Ли группы Ли.

В первом пункте второго раздела формулируются и доказываются теоремы для четырехмерных унимодулярных алгебр Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля. Все результаты данного пункта формулируются с учетом базиса работы [5] в системе обозначений Г.М. Мубаракзянова [7].

Теорема 3.2.1 Пусть С — действительная четырехмерная уни-модулярная группа Ли с левошюариантной римановой метрикой и разложимой алгеброй Ли д. Тогда равенство А\\\№ — 0 возможно лишь в том случае, если алгебра Ли д есть либо 4Аь либо Аз^ Ф Ах, либо А3 9 ф Аь

При доказательстве теоремы строится компьютерная модель исле-дуемого объекта.С помощью составленной программы в среде Мар1е вычисляются нетривиальные компоненты дивергенции тензора Вейля. Решается система уравнений (МуШ = 0 относительно структурных констант и определяются все четырехмерные действительные разложимые унимодулярные метрические алгебры Ли групп Ли, для которых тензор Вейля является гармоническим.

Теорема 3.2.2 Пусть С — вещественная четырехмерная уни-модулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, и неразложимой алгеброй Ли д. Тогда С? не является С-простанством.

Доказательство основано на применении схемы, указанной выше для случая разложимых алгебр, последовательно к каждой унимодулярной неразложимой алгебре Ли из классификации Г.М. Мубаракзянова (см. [7]).

Во втором пункте второго раздела формулируются и доказываются теоремы для четырехмерных неунимодулярных алгебр Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля. Все результаты данного пункта формулируются с учетом базиса работы [6].

Теорема 3.2.3 Пусть С? - вещественная четырехмерная разложимая неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и разложимой алгеброй Ли 0. Тогда сИуИ'' = 0 в том и только в том случае, если алгебра Ли д и ее структурные константы содержатся в таблице 4-

Таблица 4.

Алгебра Ли Нетривиальные структурные константы (А- ч Ограничения на с*.

А2ф2А! с1,2 = -А А > 0

2А2 С1,2 = Д с| 4 = (7 А >0, С>0

А3.3 0А1 с1,3 = 4,3 = А А > 0

А?,7©А! с1,з = 4,з = — с1,3 = С2,3 = & Ь > 0

Доказательство реализовано в последовательном рассмотрении каждой неунимодулярной разложимой алгебры Ли из классификации Г.М. Мубаракзянова (см. [7]), решении системы уравнений сИу\У = 0 относительно структурных констант и сопоставлении полученных результатов с ограничениями на структурные константы алгебры Ли.

Теорема 3.2.4 Пусть С - вещественная четырехмерная неразложимая неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римаповой метрикой и неразложимой алгеброй Ли д. Тогда = 0 в том и

только в том случае, если алгебра Ли д и ее структурные константы содержатся в таблице 5.

Таблица 5.

Алгебра Ли Нетривиальные структурные константы ч Ограничения на 4

4,5 С1,4 = 4,4 — С3,4 = Ь Ь>0

^4,6 с\А = аЬ, 4,4 = -4,4 = а ф 0, Ь > 0

4,6 с1,4 ~ 4,4 = с3,4 = г3 — -г2 — - Г, с2,4 — с3,4 — ^ р > о,ь > 0

А" 4,9 С1,4 = 4,3 ~ с2,4 = с3,4 = А А > 0

А" 4,11 4,4 = С2,3 = 2Аа, 4,4 = с3,4 = Аа, С24 = — 4,4 = А А > 0,а > 0

А4,12 4.3 = с2,3 = А с1,4 = 4.4 = в, с21Л = ~4,4= —в А > 0,И > 0

Схема доказательства аналогична случаю разложимых неунимоду-лярных алгебр Ли.

В заключении приведены следующие основные результаты работы:

1. Разработаны алгоритмы в среде Maple и Mathematica, созданы программы для вычисления компонент тензоров секционной, одномерной кривизн и кривизны Риччи, а также компонент тензора Вейля и его дивергенции на группах Ли с левоинвариантными римановы-ми метриками.

2. С помощью разработанных алгоритмов найдена классификация сигнатур оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

3. Получена классификация четырехмерных групп Ли с левоинвари-антной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля.

Также в заключении рассмотрены возможности дальнейшего применения аналитических пакетов к решению задач однородной римановой геометрии.

В приложении 1 даны программные модули в пакете Maple, используемые для нахождения собственных значений оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

В приложении 2 приведены листинги программ в системе Maple, используемые для решения задач о гармоничности тензора Вейля на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой.

В приложении 3 даны программные модули в системе Mathematica, используемые для решения задач о гармоничности тензора Вейля на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой.

Автор благодарен О.П.Гладуновой и Е.Д. Родионову за постановку задач, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации

1. Воронов Д.С., Родионов Е.Д. Левоинвариантные римаиовы метрики на четырехмерных неунимодулярных группах Ли с нулевой дивергенцией тензора Вейля // Доклады Академии наук. — 2010.

- Т. 432, №3. - С. 301-303.

2. Воронов Д.С., Гладунова О.П., Сигнатура оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римано-вой метрикой // Известия АГУ: математика и механика. — 2010.

- № 1, вып. 2-С. 24-28.

Другие публикации:

3. Воронов Д.С., Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. Гармонический тензор Вейля на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // Вестник АлтГПА: Естественные и точные науки. — 2010. — №2. — С. 5-24.

4. Воронов Д.С., Гладунова О.П Левоинвариантные римаиовы метрики на четырёхмерных алгебрах Ли с почти гармоническим тензором Вейля // МАК — 2009 : материалы двенадцатой региональной конференции по математике. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2009.

- С. 23-24.

5. Воронов Д.С., Гладунова О.П. О почти гармонических тензорах на четырехмерных группах Ли е левоинвариантной римановой метрикой // Современные проблемы анализа и геометрии : тезисы докладов Международной конференции. — Новосибирск, 2009. — С. 23. [электронный ресурс] режим доступа http://math.nsc.ru/conference/cag09/files/abstracts.pdf

6. Воронов Д.С., Гладунова О.П. Левоинвариантные римаиовы метрики на 4-мерных группах Ли с гармоническим тензором Вейля // Студент и научно-технический прогресс. Математика: материалы ХЬУШ Международной научной студенческой конференции. — Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2010. — С . 69.

7. Воронов Д.С., Гладунова О.П. О сигнатуре оператора одномерной кривизны // МАК 2010 : материалы тринадцатой региональной конференции по математике. — Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2010.

- С. 27-28.

ю

8. Воронов Д. С. Свойства тензора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли // Ломоносовские чтения на Алтае: сборник научных статей международной школы-семинара: в. 2 ч. — Барнаул: АлтГПА, 2010. - 4.1. - С. 15-19.

9. Воронов Д.С., Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. Инвариантные тензорные ноля на группах Ли малых размерностей // Математическое образование в регионах России : труды международной научно-практической конференции. — Барнаул, 2010. — С. 25-27.

10. Воронов Д.С., Гладунова О.П. О сигнатуре оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли // Студент и научно-технический прогресс. Математика: материалы ХЫХ Международной научной студенческой конференции. — Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2011. — С. 74.

11. Воронов Д.С., Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. Применение пакетов аналитических вычислений к исследованию инвариантных тензорных полей на однородных римановых многообразиях // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: тезисы докладов международной научной конференции. - Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. - С. 110.

Список литературы

[1] Батина О.Г., Кабешок М.И. Покрытие плоскости равносторонними пятиугольниками // Вестник Кемеровского государственного университета, серия: математика. — 2001. — №3. — С. 162—166.

[2] Бессе А. Многообразия Эйнштейна: пер. с англ.; в 2 т. М., 1990.

[3] Гладунова О.П. Применение пакетов аналитических вычислений для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах: дис.... канд. ф.-м. наук : 05.13.18 / Гладунова Олеся Павловна. — Барнаул, 2008. — 184 с.

[4] Джепко В.В. Применение пакетов аналитических вычислений к решению задач дифференциальной геометрии: дис. ... канд. ф.-м.

наук.: 05.13.18 / Джепко Валерий Валентинович. — Барнаул, 2007.

- 108 с.

[5] Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи лево-инвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай // Мат. труды. 2008. — Т.11, №2. - С. 115147.

[6] Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи лево-инвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай // Мат. труды. — 2009. — Т. 12, №1. — С. 40-116.

[7] Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1963. — Т.32, №1. — С. 144

- 123.

[8] Никоноров Ю.Г. Компактные семимерные однородные многообразия Эйнштейна // Доклады Академии наук. — 2000. — Т. 372, №6.

- С. 589-592.

[9] Никоноров Ю.Г. Аналитические методы в теории однородных эйнштейновых многообразий. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2000. — 183 с.

[10] Никонорова Ю.В. Применение системы Maple к решению некоторых задач евклидовой геометрии // Известия АГУ. Специальный выпуск, посвященный пятилетию краевой конференции по математике. — Барнаул : Изд-во Алт. уи-та, 2002. — С. 16—19.

[11] Родионов Е.Д., Славский В.В. Локально конформно однородные пространства // Доклады Академии наук. — 2002. — Т. 387, №3. — С. 314-317.

[12] Чибрикова Л. Н. Применение пакетов аналитических вычислений к решению задач однородной (псевдо)римановой геометрии: дис. .. .канд. ф.-м. наук : 05.13.18 / Чибрикова Людмила Николаевна.

- Барнаул, 2005. — 118 с.

[13] Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. — М. : ИЛ, 1957. — 152 с.

[14] Appel K., Haken W. Every Planar Map is Four Colorable // Bulletin of the American Mathematical Society. - 1976. - V. 82, №5. - P. 711-712.

[15] Appel K., Haken W. The Solution of the Four-Color-Map Problem // Scientific American. - 1977. - V. 237, - №4. - P. 108-121.

[16] Listing M. Conformal Einstein spaces in N-dimensions // Ann. Global Anal. Gcom. 2001. - V. 20. - P. 183-197.

[17] Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Advances in mathematics. — 1976. — V. 21.

[18] Rodionov E.D., Slavskii V.V. Curvature estimations of left invariant Riemannian metrics on three dimensional Lie groups // Differential Geometry and Application. Proceeding of the 1th International Conference. Brno, August 10—14, 1998. — Masaryk University, Brno, Czech Republic, 1999.

[19] Rodionov E.D., Slavskii V.V Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comm. Math. Univ. Carol. - 2002. - V. 43, №2. - P. 271-282.

Подписано в печать 18.11.2011 Бумага офсетная. Усл. п. л. 1,0. Формат 60x84/16 Заказ 796. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии ООО «АЗБУКА» г. Барнаул, пр. Красноармейский, 98а тел. 62-91-03, 62-77-25 E-mail: azbuka@dsmail.ru

61 12-1/645

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ФГБОУ ВПО "АЛТАЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ"

На правах рукописи

Воронов Дмитрий Сергеевич

ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СВОЙСТВ ИНВАРИАНТНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ГРУППАХ ЛИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул 2011

Оглавление

Введение 4

1 Использование математических пакетов в решении некоторых задач римановой геометрии 18

1.1 Система аналитических вычислений Maple........... 18

1.2 Пакеты встроенных процедур linalg и LinearAlgebra...... 20

1.3 Система аналитических вычислений Mathematica....... 21

1.4 Использование систем компьютерной математики в решении некоторых задач римановой геометрии ............. 24

1.4.1 Применение пакета Maple в решении задачи о сигнатуре оператора одномерной кривизны............. 24

1.4.2 Применение пакетов Maple и Mathematica в решении задачи о гармоничности тензора Вейля......... 30

2 Сигнатура оператора одномерной кривизны левоинвариант-ных римановых метрик 37

2.1 Левоинвариантные римановы метрики на группах Ли..... 37

2.2 Оператор одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой............. 40

2.3 О сигнатуре оператора одномерной кривизны на трехмерных унимодулярных группах Ли.................... 43

2.4 О сигнатуре оператора одномерной кривизны на трехмерных неунимодулярных группах Ли .................. 47

3 Группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гар-

моническим тензором В ей ля 50

3.1 Левоинвариантные римановы метрики на четырехмерных группах Ли............................. 50

3.2 Левоинвариантные римановы метрики с гармоническим тензором Вейля............................. 52

3.2.1 Левоинвариантные римановы метрики с гармоническим тензором Вейля на четырехмерных унимодуляр-ных алгебрах Ли....................... 53

3.2.2 Левоинвариантные римановы метрики с гармоническим тензором Вейля на четырехмерных неунимоду-лярных группах Ли .................... 67

Заключение 98

Литература 99

Приложения 104

Приложение 1 ..............................104

Приложение 2 ..............................108

Приложение 3 ..............................111

Введение

Системы аналитических вычислений применяются в различных областях науки и техники. Наиболее широкое применение получили универсальные математические системы, такие как Maple, Mathematica, MathCad, MatLab, Derive и другие. Они предоставляют дополнительные возможности для специалистов разных областей, с их помощью быстрее и проще решать трудоемкие научные задачи.

Как правило, компьютерные математические системы содержат процедуры для численных и аналитических расчетов, средства программирования, визуализации и представления результатов. Соответственно они совмещают в себе обширный набор инструментов, освобождая пользователя от монотонных вычислений и фокусируя его внимание на теоретической стороне исследования.

Современная геометрия, также как и другие области математики, привлекает новейшие компьютерные технологии для решения своих задач. Существуют подтверждения эффективности использования программного обеспечения не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Например, с помощью пакетов аналитических вычислений О.Г. Вагина и М.И. Кабенюк в [1] дали короткое доказательство теоремы о покрытии плоскости равносторонними пятиугольниками. К. Аппель (К. Appel) и В. Хакен (W. Haken) доказали знаменитую проблему топологии о четырех красках [18, 19]. Стоит отметить работы JI.H. Чибриковой [16] и О.П. Гладу-новой [3] в области (псевдо)римановой геометрии и работы Ю.В. Никоноро-вой [11] и В.В. Джебко [4] в области дифференциальной геометрии, теории многообразий Эйнштейна.

Известны результаты А. Г. Крем лева и Ю.Г. Никонорова [6, 7] по классификации сигнатур кривизны Риччи на четырехмерных группах Ли с левоин-вариантными римановыми метриками, являющиеся своеобразным продолжением классической работы Дж. Милнора [21] по классификации сигнатур кривизны Риччи на трехмерных группах Ли.

Пакеты прикладных программ использовались для исследования однородных римановых пространств. В этом направлении известны результаты Ю.Г. Никонорова по классификации однородных эйнштейновых многообразий [9, 10] и Е.Д. Родионова и В.В. Славского по оценкам кривизн левоин-вариантных римановых метрик на группах Ли [14, 22, 23].

Данная работа посвящена исследованию инвариантных тензорных полей на группах Ли с помощью пакетов аналитических вычислений, в частности: изучению сигнатур оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой, исследованию свойств гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли.

Целями диссертационной работы являются:

1. Создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Maple и Mathe-matica для нахождения и исследования инвариантных тензорных полей на группах Ли.

2. Исследование вопроса о возможных сигнатурах оператора одномерной кривизны левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли.

3. Классификация четырехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим тензором Вейля.

Основные задачи работы:

1. Разработка алгоритмов для вычисления компонент тензоров одномерной кривизны и кривизны Риччи, Римана, а также компонент тензора Вейля

и его дивергенции для левоинвариантных римановых метрик на группах Ли.

2. Исследование возможных сигнатур оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

3. Классификация четырехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим тензором Вейля.

Исследование каждой из задач, представленных в диссертации, проводилось по следующему плану. Первоначально строилась удобная для вычислительной работы модель исследуемого объекта. Далее создавались программы для реализации в системах аналитических расчетов Maple и Mathematical Следующий этап был посвящен анализу и истолкованию полученных результатов. После чего делался вывод о структуре изучаемого объекта и о возможности уточнения модели.

Объект исследования — трехмерные и четырехмерные группы Ли с левоинвариантными римановыми метриками и инвариантные тензорные поля на них.

Предмет исследования — компьютерные модели, алгоритмы, программы для изучения групп Ли размерностей 3 и 4 с левоинвариантными римановыми метриками и инвариантными тензорными полями заданного типа: тензором одномерной кривизны, тензором Вейля, дивергенцией тензора Вейля.

Методика исследования ориентирована на использование методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, римановой геометрии, тензорного анализа.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Пакет программ, написанных в среде Maple и Mathematical для вычисления основных характеристик групп Ли, исследуемых в диссертации.

2. Определение возможных сигнатур оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

3. Классификация четырехмерных групп Ли с левоинвариантными рима-новыми метриками и гармоническим тензором Вейля.

Научная новизна работы. В данной диссертационной работе разработаны алгоритмы и программы в системах аналитических вычислений Maple и Mathematica для нахождения инвариантных тензорных полей на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

С помощью разработанных программ получены новые результаты в теории инвариантных тензорных полей на группах Ли малых размерностей. Впервые

1) определены сигнатуры оператора одномерной кривизны, реализуемые на трехмерных алгебрах Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантными римановыми метриками;

2) получена классификация четырехмерных алгебр Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим (с нулевой дивергенцией) тензором Вейля;

3) разработан комплекс программ для определения и исследования спектра оператора одномерной кривизны.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях инвариантных тензорных полей на конечномерных группах Ли, при изучении свойств (псев-до)римановых пространств Эйнштейна, связанных с общей теорией относительности А.Эйнштейна. Кроме того, результаты диссертации могут найти применение в теории однородных пространств, теории дифференциальных операторов на многообразиях. С помощью пакетов символьных вычислений Maple и Mathematica решены задачи определения возможных сигнатур оператора одномерной кривизны на трехмерных алгебрах Ли групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками, классификации четырехмерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и гармоническим

тензором Вейля. Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут применяться для решения аналогичных задач однородной римановой геометрии. Построенные компьютерные модели позволяют вычислять компоненты связности, тензоров кривизны Римана, Риччи, одномерной кривизны, скалярной кривизны, тензора Вейля и дивергенции тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на группах Ли.

Результаты диссертации могут использоваться в учебном процессе высших учебных заведений: при чтении спецкурсов, проведении спецсеминаров по современной дифференциальной геометрии, тензорному исчислению, теории дифференциальных операторов, общей теории относительности А.Эйнштейна.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Двенадцатой региональной конференции по математике "МАК-2009"(Барнаул, июнь, 2009 г.); Международной конференции "Современные проблемы анализа и геометрии" (Новосибирск, 14—20 сентября 2009 г. ); XLVIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 10—14 апреля 2010 г.); Тринадцатой региональной конференции по математике "МАК-2010" (Барнаул, июнь, 2010 г.); Международной школе-семинаре "Ломоносовские чтения на алтае"(Барнаул, 2010 г.); Международной научно-практической конференции "Математическое образование в регионах России"(Барнаул, 22 октября 2010 г.); XLIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 16—20 апреля 2011 г.); Международной научной конференции (Волгодонск, 4-8 июля 2011 г.). Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на краевом семенаре по геометрии и математическому моделированию (Барнаул, АлтГПА, АлтГУ).

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (К2 10-01-90000-Бел_а), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт № 02.740.11.0457).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Некоторые результаты получены в соавторстве с О.П. Гладуновой, Е.Д. Родионовым и В.В. Славским. Две работы опубликованы в научных журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 114 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения, 3 приложений и списка литературы.

Содержание диссертации

Первая глава диссертационной работы посвящена использованию математических пакетов в решении задач римановой геометрии. В первом разделе приводятся необходимые сведения о системе аналитических вычислений Maple. Во втором разделе дается краткое описание пакетов встроенных процедур linalg и Linear Algebra, используемых автором в процессе решения, указанных выше задач. В третьем разделе приводятся сведения о пакете символьных расчетов Mathematica. В четвертом разделе, на примерах решения задачи о сигнатуре оператора одномерной кривизны и задачи гармоничности тензора Вей ля, показано как можно применять пакеты аналитических вычислений в решении задач римановой геометрии. Описаны комплексы компьютерных моделей и алгоритмы, реализованные в пакетах символьной математики Maple и Mathematica и используемые при решении данных задач.

Во второй главе рассмотрен вопрос о сигнатуре оператора одномерной кривизны левоинвариантных римановых метрик на группах Ли. В процессе исследования применяется пакет аналитических расчетов Maple.

В первом разделе даются определения секционной и одномерной кривизн, тензора и кривизны Риччи, тензоров Римана и Вейля левоинвариантных римановых метрик и указываются формулы для их вычисления.

Пусть G — группа Ли со связностью Леви-Чивита V и левоинвариантной римановой метрикой (•, •), {д, [•, •]} — соответствующая алгебра Ли. Обозна-

чим, через тензор Римана, Шсс(Х,У) тензор Риччи,р скалярную

кривизну, А тензор одномерной кривизны и тензор Вейля.

Фиксируем в д ортонормированный базис {Е\, Е^,..., Еп}. Положим

[Ег, Еу] = с^Ек, {Ег, = д^,

где {<*} — структурные константы алгебры Ли, {д^} — компоненты метрического тензора.

Пусть = с^дк8у тогда символы Кристоффеля первого рода вычисляются по формулам

— Оггу)• (2.1.2)

Соответственно символы Кристоффеля второго рода имеют вид

Ц=Гыд>», (2.1.3)

где \\дкв|| есть матрица обратная к ||дь||-

Тогда формулу для вычисления тензора Римана можно представить в виде

Штт = 43Т\к - г;^ + (2.1.4)

Тензор Риччи и скалярную кривизну соответственно можно найти по формулам

Ялсс{к = ШтцЫдЭ\ р = Къссгкдгк. (2.1.5)

Тензор одномерной кривизны определяется следующим образом

д, = _±_ (Жссу _ . (2Л.6)

Тензор Вейля вычисляется по формуле

ЩзЫ = Ягт{]Ы--^—(Шссгкд^ + Шсс^к ~ Ягссцд^к - Ягсс]кди)-

ТЬ £

{дзкдц- д^дгк)- (2.1.7)

(п- 1)(п- 2) Ковариантные производные тензора Вейля равны

Щы,р = Т1ргШиы + Т1р]\¥гШ + Г1рк\¥т + Т1р^т. (2.1.8)

Второй раздел посвящен рассмотрению оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Приводятся необходимые сведения из теории групп Ли, вводятся необходимые определения раздела, формулируются теоремы классификации трехмерных унимодулярных и неунимодулярных групп и алгебр Ли основанные на работе Дж. Милнора (см. [21]).

Отождествим метрическую алгебру Ли с п-мерным евклидовым пространством. Рассмотрим оператор одномерной кривизны на алгебре.

Под сигнатурой оператора одномерной кривизны, действующего на п-мерной метрической алгебре Ли, будем понимать упорядоченный набор (sgn(rl),sgn(r2),..., sgn(rn)), где г\ < т<х < ... < тп - собственные значения оператора А, и sgn(x) означает знак (вещественного) числа х.

Занумеруем все возможные сигнатуры для трехмерного случая так, как это указано в таблице 6.

Таблица 1.

№ 1 2 3 4 5

Сигнатура (-- 0) (-,-,+) (-,о,о) (-,о,+)

№ 6 7 8 9 10

Сигнатура (0,0,0) (0,0,+) (0,+,+)

Теорема 2.2.1. (см. [21]) Пусть — трехмерная унимодулярная группа Ли с алгеброй Ли (-, •) — произвольное скалярное произведение на 0. Существует ортонормированный базис {Е\, £2, такой, что

[¿?1, Е2] = А3.Е3, [£2, £3] — \\Е1, [£3, Е\[ = Х2Е2. (2.2.9)

Здесь Аг 6 К. — структурные константы алгебры Ли г = 1,2,3.

Имеется ровно шесть неизоморфных трехмерных алгебр Ли и соответствующих им типов унимодулярных трехмерных групп Ли. Все они приведены в таблице 7 (см. [21]).

Таблица 2.

Случай Знаки (Ai, А2, А3) Группа Ли Алгебра Ли

1 SU(2) или SO(3) ви( 2) — простая, компактная

2 SL{2, R) или 0(1,2) й/(2, Я) — простая, некомпактная

3 +,+,0 Е( 2) е(2) — разрешимая

4 £(1,1) е(1,1) — разрешимая

5 +,0,0 Н — группа Гейзенберга к — нильпотентная

6 0,0,0 R&R&R Я3 — коммутативная

Теорема 2.2.2. (см. [21]) Пусть (7 — трехмерная неунимодулярная группа Ли с алгеброй Ли д. Тогда в д существует базис {£1, Е2, £3} такой, что

[Е1}Е2] = аЕ2 + РЕЪ, [ЕиЕ3} = 7£2 + 6Еъ, [Е2, Е3] = 0, (2.2.10)

{<* Р\

причем матрица С = I имеет след а + 6 — 2. Здесь а,(3,7,5 —

\7 Ч

структурные константы алгебры Ли д.

В третьем разделе дается решение задачи о возможных сигнатурах оператора одномерной кривизны на трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

Родионов Е.Д. и Славский В.В. в работе [22] показали, что в базисе теоремы 2.2.1 оператор одномерной кривизны диагонализируем и его главные значения имеют вид:

к\ = ^(5А2 - 3(А2 - А3)2 - 2Ах(Аз + А2)),

к2 = ^(5А2 - 3(А! - А3)2 - 2А2(Ах + А3)), кз = ^(5А2 - 3(А1 - А2)2 - 2Аз(Ах + А2)).

С помощью исследования данных функций доказана следующая теорема: Теорема 2.3.1. Пусть — трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, д - алгебра Ли группы в - произвольная сигнатура из таблицы 6. Тогда в реализуется в качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны для некоторого скалярного произведения на д в том и только том случае, если в таблице 8 на пересечении строки, соответствующей алгебре Ли д, и столбца, соответствующего сигнатуре в, находится знак "+".

Таблица 3.

№ сигнатуры

Алгебра Ли 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ви{ 2) — — + — + + — + + +

з1{2, Я) — — + — + + — — — —

е(2) — — + — — — + — — —

е(1,1) — — + — + + — — — —

к — — + — — — — — — —

В? — — — — — — + — — —

В четвертом разделе рассматривается решение задачи о возможных сигнатурах оператора одномерной кривизны на трехмерных неунимодулярных группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

Согласно работе