автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение пакетов аналитических вычислений для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах

08-5

1706

На правах рукописи

Гладунова Олеся Павловна

ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ИНВАРИАНТНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул - 2008

Работа выполнена на кафедре геометрии и математических методов в Экономикс ГОУ ВПО "Барнаульский государственный педагогический университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Славекий Виктор Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Алгазин Геннадий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор Смоленцев Николай Константинович

Ведущая организация: ГОУ ВПО "Алтайский государственный технический университет имени И.И. Ползунова".

Защита состоится 25 декабря 2008 года и 10-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 при ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет"по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет"по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан "-^-—"ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

С.А. Безносюк

----------ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системы аналитических вычислений находят широкое применение в самых различных областях науки. Как правило, в эти системы входят процедуры для численных и аналитических расчетов, средства для визуализации, программирования и представления результатов. Таким образом, системы компьютерной математики совмещают в одной оболочке обширный набор инструментов, позволяющий решать научные задачи.

В настоящее время повсеместно используются такие популярные системы как Maple, Mathcmatica, Math.Cad, MatLab, Derive. Они обладают универсальными математическими возможностями, постоянно совершенствуются. развивая аппарат и пополняя ресурсы, имеют возможность взаимной интеграции.

Современная геометрия, также как и другие области математики, привлекает новейшие компьютерные технологии для решения своих задач. Сегодня применение систем символьной математики не ограничивается численными расчетами. Все чаще они используются п образовательном процессе для решения задач аналитической [1, 12] и дифференциальной [4, 6| геометрии. Кроме того, существует множество примеров, доказывающих эффективность математических систем при доказательстве теорем. Например, хорошо известно доказательство знаменитой проблемы топологии о четырех красках, осуществленное К. Аппелем (К. Appel) и В. Хакеном (W. Haken) в [1G, 17]. Также основываясь на вычислениях, сделанных с помощью пакета Марк. О.Г. Вагина и М.И. Кабешок дали повое более короткое доказательство теоремы Ханты-Хирчхорна о покрытии евклидовой плоскости выпуклыми равносторонними пятиугольниками [2]. Следует упомянуть работы Ю.В. Никопоровой [10, И] в области комбинаторной геометрии, использующие пакеты символьных вычислений для решения задачи о внутреннем расстоянии на поверхности параллелепипеда, обобщенной задачи Поповичи, задачи Фике, подтверждения гипотезы Ионина. Можно отметить работу В.В. Джепко [3] в области дифференциальной геометрии и работу Е.С. Корнева [5], посвященную изучению специальных классов почти комплексных структур на четырехмерных группах

Ли и связанных с этими почти комплексными структурами левоинва-риантных метрик.

Системы компьютерной математики широко применяются в задачах классификации. Так М. Hlavová в [20] удалось классифицировать дву-параметрические движения плоскости Лобачевского. Т. Arias-Marco и О. Kowalski внесли вклад в проблему классификации 4-мерных однородных D'Atri пространств [19]. Известны результаты, полученные Е.Д. Родионовым и В.В. Славским при классификации локально конформно однородных многообразий [13, 22] и результаты Ю.Г. Нико-норова но классификации однородных эйнштейновых многообразий, полученные в работах [7, 8]. Задачи классификации левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных группах Ли с применением системы аналитических расчетов Марк решались также Л.Н. Чибриковой в [14].

Пакеты прикладных программ используются для исследования однородных римановых пространств [9], определения инвариантных свойств петель [21], для изучеиия свойств флаговых многообразий [18].

Данная работа посвящена применению математических пакетов для нахождения некоторых инвариантных тензорных полей на однородных пространствах; в частности, исследованию свойства гармоничности тензора Схоутена-Вейля левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на трехмерных группах Ли; изучению вопроса гармоничности свертки тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли с левоин-вариактными (псевдо)римановыми метриками.

Целями диссертационной работы являются:

1. Создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Maple для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах.

2. Классификация трехмерных групп Ли с левоинпариантными (псев-до)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля или гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.

Основные задачи работы включают:

1. Разработка алгоритмов для вычисления компонент тензоров секционной, одномерной кривизн и кривизны Риччи, а также компонент тензора Схоутена-Вейля, его ротора и дивергенции ¿ типа (¿ = 1,2) левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на группах Ли.

2. Исследование и классификация трехмерных групп Ли с левоин-вариантными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля.

3. Разработка алгоритмов для определения компонент свертки тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора, компонент ее ротора и дивергенции левоинвариантных (псев-до)римановых метрик па группах Ли.

4. Изучение и классификация трехмерных групп Ли с левоиивариант-пмми (псевдо)римаиовыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.

Исследование каждой классификационной задачи, представленной в диссертации, проводилось по следующему плану. Первоначально строилась удобная для вычислительной работы модель исследуемого объекта. Далее создавалась программа для реализации в системе аналитических расчетов Maple. Следующий этап был посвящен аиализу и истолкованию полученных результатов. После чего делался вывод о структуре изучаемого объекта и о возможности уточнения модели.

Объект исследования - трехмерные группы Ли с левоинвариант-ными (псовдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля. а также трехмерные группы Ли с левоиивари-антными (псевдо)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.

Предмет исследования - компьютерные модели, алгоритмы, программы для изучения трехмерных групп Ли с левоинвариантпыми (псевдо)римановыми метриками и (почти)гармопическими инвариантными тензорами.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы компьютерной алгебры, математического анализа, те-

ории групп и алгебр Ли, (псевдо)римановой геометрии, тензорного анализа.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Пакет программ, написанных в среде Maple, для вычисления основных характеристик однородных (псевдо)римановых многообразий, исследуемых в диссертации.

2. Классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля.

3. Классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.

Научная новизна работы. В данной диссертационной работе разработаны алгоритмы и программы в системе аналитических вычислений Maple для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах (в частности, на группах Ли) с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками.

Применяя разработанные алгоритмы, получены новые результаты в теории инвариантных тензорных полей на однородных пространствах. Впервые получена классификация трехмерных групп и алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим, т.е. с нулевым ротором и дивергенцией, тензором Схоутена-Вейля. С помощью операции свертки тензора Схоутсна-Всйля по направлению произвольного вектора, определен кососимметрический 2-тензор. Исследовано строение трехмерных групп и алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метрикой, для которых данный тензор является гармоническим.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях инвариантных тензорных полей на однородных (псевдо)римановых пространствах. С помощью пакета символьных вычислений Maple решены задачи классификации трехмерных алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми

метриками и (почти)гармоническими тензорами Схоутена-Вейля и его свертки по направлению произвольного вектора. Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут применяться для решения аналогичных задач однородной (псев-до)римановой геометрии. Построенные компьютерные модели позволяют вычислять компоненты связности, тензоров кривизны Римана. Риччи, одномерной кривизны, скалярной кривизны, тензора Схоутена-Вейля, его ротора и дивергенции; находить компоненты свертки тензора Схоутсна-Всйля. ос ротора и дивергенции левоинпариантных (псев-до)римановых метрик на конечномерных группах Ли.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Региональной конференции по математическому образованию на Алтае (Барнаул, 24 ноября 2006 г.); Десятой региональной конференции по математике "МАК-2007"(Барнаул. июнь, 2007 г.); Third Russian-German Geometry Meeting dedicated to 95th birthday of A.D. Alexandrov (Санкт-Петербург, 18 23 июня 2007 г.); Международной конференции "Геометрия в Астрахани-2007"(Астрахань. 17—21 сентября 2007); Международной научно-практической конференции по математическому образованию в регионах России (Барнаул, 26 октября 2007 г.); Одиннадцатой региональной конференции но математике "МАК-2008"(Барнаул. июнь, 2008 г.); Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 9 15 сентября 2008 г.); Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения С. J1. Соболева (Новосибирск. 5 -12 октября 2008 г.).

Кроме того, все результаты диссертации в разнос время докладывались на краевом геометрическом семинаре (Барнаул. АлтГТУ, АлтГУ, БарГПУ).

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 06-01-81002-Бел_а. 08-01-98001) и Совета по ведущим научным школам РФ (коды проектов НШ-8526.2006.1, НШ-5682.2008.1).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ. Одна из работ опубликована в ведущем рецензируемом журнале, определенном Высшей аттестационной комиссией. Некоторые результаты получены в соавторстве с В.В. Балащенко, Е.Д. Родионовым и В.В. Славским.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, трех приложений и списка литературы, включающего 48 наименований. Общий объем диссертации составляет 184 страницы, содержит 12 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается изложение современного состояния изучаемых проблем и приводится краткий обзор содержания работы.

Первая глава диссертационной работы посвящена использованию математических пакетов в решении задач (псевдо)римановой геометрии. В первом разделе приводятся необходимые сведения о системе аналитических вычислений Maple. Во втором разделе дается краткое описание пакетов встроенных процедур linalg и LinearAlgebra. используемых автором в процессе решения, указанных выше задач. В третьем разделе на примерах решения задачи о почти гармоничности тензора Схоутена-Вейля и задачи о гармоничности свертки тензора Схоутена-Вейля показано как можно применять пакеты аналитических вычислений в решении задач (псевдо)римановой геометрии. Описаны комплексы компьютерных моделей и алгоритмы, реализованные в пакете символьной математики Maple и используемые при решении данных задач.

Во второй главе изложены необходимые сведения из теории однородных пространств с инвариантными (псевдо)римановыми метриками и доказаны вспомогательные утверждения.

В первом разделе указываются некоторые факты из теории групп Ли и алгебр Ли, необходимые для дальнейшего изложения, доказываются вспомогательные утверждения, даются определения секционной и одномерной кривизн, кривизны Риччи, тензоров Римана, Вейля и Схоутена-Вейля левоинвариантных (псевдо)римановых метрик и указываются формулы для их вычисления.

Во втором разделе приводятся необходимые сведения из теории однородных пространств, указываются формулы для вычисления секционной кривизны, тензора одномерной кривизны, тензоров Риччи, Ри-мана, Вейля и Схоутена-Вейля левоинвариантпых римаповых метрик в случае однородных пространств.

Пусть М = G/H — однородное риманово пространство с компактной группой изотропии Я, g и f) — алгебры Ли групп G и Н соответственно, р — дополнение к [) в д.

Обозначим, через [•,•](, и [-,-]р компоненты скобки [-,-]р. лежащие в t] и р.

Теорема 2.2.2. Пусть М однородное риманово мно?.ооб1>азие, X, Y, Z,T е ТХМ, (•, •) однородная риманова метрика на М. Тогда

ЩХ, Y, Z, Т) = -\{2([Х, У]р, [Z, TJp) + ([X, Т]р, [Z, У]р)-

- ([X, Z]р, [Т, V]p)} - ±{([Jf, [Z,T}e]р, Y) - ([V, [Z,T\a)p,X)+

+ ([Z, (X, У]д)р,Т) - ЦТ, [X, У]0]р, Z)} + (U(X, T),U[Y, Z))--(U(X,Z),U(Y,T)) Здесь отображение U : р х р —> р. определяется с помощью равенства 2ЩХ, Y)Z) = ([Z, Х]р, Y) + (X, [Z, У]р) (2.2.27)

для всех Z € р, где (X, Y) — ^(¿я-инвариаптное скалярное произведение на р, соответствующее однородной римановой метрике д.

В третьей главе исследуются инвариантные тензорные поля на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками. В процессе исследования применяется пакет аналитических расчетов Maple.

Первый раздел посвящен построению лсвоинвариантной римановой метрики на группе Ли и обоснованию возможности редукции задачи об изучении инвариантных тензорных полей на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками к их исследованию в алгебрах Ли.

Во втором разделе приводится классификация Дж. Милнора трехмерных групп Ли и соответствующих им алгебр Ли (Таблица 1), которая используется при дальнейшем изложении.

Определение 3.3.1. Тензор Tit...ip строения (р,0) (см. [15, с.Щ) называется гармоническим, если выполняются следующие три условия:

(1) Tiv..iv — кососимметрический,

(2) rot(ТМз...,-,) = 0 или

— Тцг...1 p;ij + T^t-i^ + • • • + 7t"iia-t;tp,

(3) div(Tilit..^) = g^Ti,.,., = 0.

Определение 3.3.2 Тензор Tj,...,- строения (p, 0) назовем почти гармоническим, если выполняются следующие, два условия:

(1) гоt(Tili2...if>) - 0 или

■^¿IW = + 7ilt...lViil + • • • +

(Äj div(Tj,i2...ip) = = 0.

Определим дивергенцию типа I. II и III тензора Схоутена-Вейля S^ соответстве н но, формул ам и

divi(5) = güSijk:t, (3.3.3)

и

div2(S) = д*%ки, (3.3.4)

div3(S) = Su2;3 + S,-23;1 + S,31;2, Vi e {1,2,3}.

В третьем разделе дается решение задачи о почти трмоничности тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли с левоинварианг-ными римановыми метриками. Вводится понятие почти гармонического тензора, определяется дивергенция г-типа (г = 1,2,3) тензора Схоутена-Всйля: доказывается, что дивергенция типа I тривиальна на любом конечномерном римаповом многообразии (Теорема 3.3.2), а дивергенция типа III тождественно равна нулю на римаповом многообразии размерности 3 (Следствие 3.3.1). Доказываются теоремы классификации трехмерных алгебр Ли с лепоинвариаптными римановыми метриками, для которых тензор Схоутена-Вейля является почти гармоническим.

Пусть G — трехмерная группа Ли, g алгебра Ли группы G.

Теорема 3.3.4. Пусть G - трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантпой римановой метрикой. Тогда справедливы следующие утверждения:

ю

(1) = 0. Тензор Схоутена-Вейля является почти гармониче-

ским в том и только том случае, если алгебра Ли группы (3 име-

воинвариантная риманова метрика гомотетична стандартной (т.е. структурные константы алгебры Ли равны между собой), а тензор Схоутена-Вейля тривиален.

(2) сИу2(5) = 0 тогда и только тогда, когда алгебра Ли группы б

ле.ваинвариантная риманова метрика гомотетична стандартной, а тензор Схоутена-Вейля тривиален.

Теорема 3.3.5. Пусть (7 — трехмерная неупимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) сНу!(5) = 0. Тензор Схоутена-Вейля является почти гармоническим в том и только том случае, если матрица структурных констант алгебры Ли группы (7 чшеет вид

а тензор Схоутена-Вейля тривиален.

(2) сИуз^) = 0 тогда и только тогда, когда матрица структурных констант алгебры Ли группы. (3 имеет вид (3.3.13), а тензор Схоутена-Вейля тривиален.

В заключительном разделе третьей главы изучаются левоинвариант-ные римановы метрики с гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля. Доказываются теоремы классификации трехмерных алгебр Ли с: левоинвариантной римановой метрикой и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора единичной длины, а также теоремы классификации трехмерных алгебр Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля по гармоническому направлению.

ет один из следующих типов: либо ви(2), либо е(2), либо Л3, ле-

имеет один из следующих типов: либо эи(2), либо е.(2), либо Л3,

(3.3.13)

Определение 3.4.1. Вектор {V1} называется гармоническим, если выполняются следующие условия:

(1) tob(V) = V\d - V{■ = 0 ,

(2) div(V) = V1^ = О,

где ковариантные производные вектора {У} определяются формулой

V7t = (3.4.19)

Теорема 3.4.1. Пусть G — трехмерная упимодулярная группа Ли с левоинвариантной римаповой метрикой, {V*} - вектор длины 1, uiij = VkSkij — гармонический тензор, где Shj ~ тензор Схоутена-Вейля. Тогда для любой трехмерной унимодулярной алгебры Ли существуют направления, для которых тензор W{j гармонический. Если дополнительно, {V4} • гармонический вектор длины 1, то алгебра Ли группы G изоморфна либо е(2), либо е(1,1). либо Я3, а соот-вктствующие гармонические направления содержатся в таблице 2 (см. приложение 1).

Теорема 3.4.2. Пусть G трехмерная неупимодулярная группа Ли с левоинвариантпой римаповой метрикой, {V1} левоип-вариаптпый вектор длины 1, w,j — VkSkij гармонический тензор, где Skij - тензор Схоутепа-Вейля. Тогда структурные константы алгебры Ли группы G и компоненты вектора Vk содержатся в тлблице 3 (см. приложение 1). Более того, если Vk - гармонический вектор, то структурные константы алгебры Ли группы G входит в таблицу 4 (см. приложение 1).

Четвертая глава посвящена изучению инвариантных тензорных полей на группах Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками с привлечением системы компьютерной алгебры Maple.

В первом разделе приведена классификация Е.Д. Родионова, В.В. Славского, Л.Н. Чибриковой левоинвариантных лоренцевых метрик трехмерных групп Ли, которая используется при дальнейшем изложении.

Второй раздел посвящен решению задачи о почти гармоничности тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками. Доказываются теоремы классифика-

ции трехмерных алгебр Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля.

Теорема 4.2.1. Пусть й — трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой. Тогда справедливы следующие. утверэюдения:

(1) сНу!^) = 0. Если дополнительно выполнено условие. го(;(5) = 0, то алгебра Ли д группы С входит в таблицу 5 (см. приложение

(ё) с11у2(5) = 0 тогда и только тогда, когда алгебра Ли д группы й входит в таблицу 5 (см. приложение 1). Если тензор Схоутена-Вейля является почти гармоническим, т. с. выполняются условия: гоЦ5) = 0 и сИу2(5) = 0, то алгебра Ли 0 группы <3 входит в таблицу 5 (см. приложение 1).

Теорема 4.2.2. Пусть С трехмерная неунимодулярпая группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой. Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) = 0. Если дополнительно выполнено условие то^Б) = 0, т. е. тензор Схоутена-Вейля — почти гармонический, тогда алгебра Ли д группы (7 содержится в таблице 6 (см. приложение 1).

(2) Из того, что сНуг(5) = 0 следует тривиальность тензора Схоутена-Вейля, а матрица структурных констант ее алгебры Ли д группы <3 содержится в таблице 6 (см. приложение 1). Если тензор Схоутена-Вейля является почти гармоническим, т. е. выполняются условия: сИу2(5) = 0 и го1;(5) = 0, то алгебра Ли д группы б содер-тсится в таблице 6 (см. приложение 1).

В третьем разделе дается решение задачи о гармоничности свертки тензора Схоутена-Вейля. Рассматриваются вектора вещественной, комплексной и нулевой длины. Доказываются теоремы классификации трехмерных алгебр Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора, а также теоремы классификации трехмерных алгебр Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой и гармонической сверт-

кой тензора Схоутена-Вейля по гармоническому направлению.

Теорема 4.3.1. Пусть б — трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной лорепцевой метрикой, {V*} — произвольный вектор, такой что (V1)2 + (V2)2 + (У3)2 = 1, Щ = ~ гармонический тензор, где. — тензор Схоутена-Вейля. Тогда, если корни характеристического уравнения вещественны, то структурные константы алгебры Ли группы С и компоненты вектора содержатся в таблице 7 (см. приложение 1). Более того, если вектор {Ук} — гармонический, то структурные константы алгебры Ли группы СУ и компоненты вектора {У'*} содержатся в таблице 8 (см. приложение 1).

Если характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни, то структурные константы алгебры Ли группы С? и компоненты вектора {У*} содержатся в таблице 9 (см. приложение 1). Более того, если вектор {Ук} - гармонический, то структурные константы алгебры Ли группы С? и компоненты вектора {У*} содержатся в таблице 10 (см. приложение 1).

Теорема 4.3.2. Пусть С? трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой, {У*} - произвольный вектор, такой что (У')2 + (У2)2 + (У3)2 = 1, и)^ = гармони-

ческий тензор, где •-- тензор Схоутена-Вейля. Тогда, матрицы структурных констант алгебры Ли группы С? и компоненты вектора содержатся в таблице 11 (см. приложение 1). Более того, если вектор {Ук} — гармонический, то структурные константы алгебры Ли группы С и компоненты вектора {К1} содержатся в таблице 12 (см. приложение 1).

Для доказательства вышеизложенных теорем разработаны и реализованы алгоритмы, которые могут быть представлены следующим образом.

Одной из решаемых в диссертации задач является определение трехмерных алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля. Алгоритм ее решения разбивается на несколько этапов. Первоначально вычисляют-

ся компоненты тензора Схоутена-Вейля левоинвариантных (псеп-до)римановых метрик на трехмерных группах Ли. Для этого строится соответствующая математическая модель, на основе которой, применяя систему компьютерной математики Марк, вычисляются искомые компоненты тензора Схоутена-Вейля.

Следующим этапом алгоритма является отыскание компонент го1(5) ротора тензора Схоутсна-Всйля на трехмерных группах Ли с левоин-вариантными (псевдо)римановыми метриками. На этом этапе разрабатывается соответствующая математическая модель для нахождения компонент ротора тензора Схоутена-Вейля. Далее в срсдс пакета аналитических расчетов Марк вычисляются компоненты тоЬ(З), используя полученные выше компоненты тензора З^к-

Затем определяются компоненты дивергенции г-типа

(г =1,2) тензора Схоутена-Вейля левоинвариантных (псев-до)римановых метрик на трехмерных группах Ли. Для этого строится соответствующая математическая модель и с помощью системы компьютерной алгебры Марк находятся искомые компоненты дивергенции г-типа (г = 1,2) тензора Схоутена-Вейля.

Завершающий этап заключается в нахождении трехмерных алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля. Для этого, используя встроенные процедуры пакета, решается система алгебраических уравнений

го^) = О,

= 0, (¿ = 1,2).

Следующей рассматриваемой в диссертации задачей является определение трехмерных алгебр Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля но направлению произвольного вектора. Алгоритм решения данной задачи разбивается на несколько этапов.

Первый этап ее алгоритма решения заключается в нахождении компонент свертки тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на трехмерных группах Ли. На этом этапе разрабатывается соответству-

ющая математическая модель и с помощью пакета прикладных программ Maple вычисляются компоненты свертки W{j.

Далее определяются компоненты rot(iy) ротора 2-тензора ги;;- на трехмерных группах Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой. Для этого строится математическая модель и с помощью пакета символьных вычислений Maple находятся компоненты тензора rot(tu).

Следующим этапом алгоритма является отыскание компонент дивергенции div(u>) тензора wtJ левоиннариантных (псевдо)римановых метрик на трехмерных группах Ли. На этом этапе разрабатывается математическая модель для вычисления компонент дивергенции div(w). Затем в среде системы компьютерной алгебры Maple, применяя вычисленные ранее компоненты свертки w,j. определяются компоненты дивергенции div(ty).

Последним этапом является определение трехмерных алгебр Ли с левоинвариантными (пеевдо)римаповыми метриками и гармон и ческой сверткой Wij тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора. Для этого, используя встроенные процедуры пакета символьных вычислений Maple, находятся решения системы алгебраических уравнений

(rot(w) = О, div(io) = 0.

Кроме того, решалась задача об определении трехмерных алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и гармонической сверткой w,j тензора Схоутена-Вейля по гармоническому направлению. Алгоритм решения этой задачи разбивался на несколько шагов. Первоначально вычислялись компоненты свертки и/¿j. ее ротора и дивергенции, алгоритмы отыскания которых приведены выше.

Затем находились компоненты ротора rot(V) и дивергенции div(V) произвольного вектора Vk на трехмерных группах Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками. Для этого строилась математическая модель и с помощью системы символьных вычислений Maple определись искомые компоненты rot(U) и div(V).

На последнем шаге определялись трехмерные алгебры Ли с левоин-

вариантными (псевдо)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля по гармоническому направлению. Для этого, используя встроенные процедуры пакета, находились решения системы алгебраических уравнений

г

гоЬ(м) = О, с1пг(ги) = О, тоЬ(У) = О, сИУ(К) =0.

В заключении приведены следующие основные результаты работы:

1. Разработаны алгоритмы и созданы Марк-программы для вычисления компонент тензоров секционной, одномерной кривизн и кривизны Риччи, а также компонент тензора Схоутена-Вейля, его ротора и дивергенции г типа (г = 1,2) на группах Ли с левоинвари-антными (псевдо)римановыми метриками.

2. С помощью разработанных алгоритмов получена классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (пссвдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля.

3. Разработаны алгоритмы и созданы Мар/е-программы для определения компонент свертки тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора, компонент ее ротора и дивергенции лево-инвариантных (псевдо)римановых метрик на группах Ли.

4. Применяя разработанные алгоритмы, классифицированы трехмерные группы Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора.

5. С помощью разработанных алгоритмов получена классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля по гармоническому направлению.

Также в заключении рассмотрены перспективы дальнейшего применения аналитических пакетов к решению задач однородной (псев-до)римановой геометрии.

В приложении 1 приведены таблицы 2 — 12, отражающие классификации трехмерных алгебр Ли с левойнвариантными (псев-до)римановыми метриками, полученные в третьей и четвертой главах.

Приложение 2 содержит программные модули, написанные в системе Марк и используемые для решения задач о почти гармоничности тензоры Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли с лекоинвариант-ной (псевдо)римановой метрикой.

В приложении 3 даны программные модули в системе Марк. используемые для решения задач о гармоничности свертки тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли с левоинвариантной (псев-до)римановой метрикой.

Список работ, опубликованных по теме диссертации:1

1. Гладупова. О.П. Применение математических пакетов к вычислению инвариантных тензорных полей на трехмерных группах Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой / 0.11. Гладунова // Математическое образование на Алтае : тезисы региональной конференции. Барнаул : Изд-во БГПУ, 2006. - С. б.

2. Балащепко, В.В. Инвариантные тензорные поля на однородных пространствах / В.В. Балащенко, О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Слаиский // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. 2006. №. С. 5 9.

3. Гладунова, О.П. Левоинвариантпые лоренцевы метрики с почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли / О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. - 2006. - №6. - С. 10 26.

4. Гладунова, О.П. Применение математических пакетов к вычислению инвариантных тензорных полей на трехмерных группах Ли с:

■Жирным шрифтом пыдслсиы статьи в изданиях, [к'комендопанных ВАК РФ.

левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой / О.П. Гладунова // Вестник БГПУ: Естественные и точные науки. - 2006. - №6. -С. 111-115.

5. Гладунова, О.П. Гармонические тензоры на трехмерных группах Ли с левоинвариантными риманопыми метриками / О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // МАК-2007 : материалы десятой региональной конференции по математике. Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2007. • С. 19 20.

6. Gladunova, О.Р. On harmonic tensors on three dimensional Lie groups with left-invariant Riemannian metric / O.P. Gladunova, E.D. Rodionov, V.V. Slavskii // Abstracts of Third Russian-German Geometry Meeting dedicated to 95th birthday of A.D. Alexandrov. -St.-Petersburg. 2007.

7. Гладунова, О.П. Почти гармонический тензор Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой / О.П. Гладунова // Геометрия в Астрахани-2007 : тезисы докладов международной конференции, посвященной памяти и в связи с 85-летием Г.Ф.Кушнера. - Астрахань, 2007.

8. Гладунова, О.П. О тензоре Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой / О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов // Математическое образование в регионах России : труды международной научно-практической конференции. -Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 2007. ■ С. 24 -26.

9. Балащенко, В.В. Левоинвариантные римановы метрики с гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли / В.В. Балащенко, О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. - 2007.

т. - с. 5-13.

10. Гладунова, О.П. Левоинвариантные лоренцевы метрики с гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли / О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Вестник

БГПУ, серия: естественные и точные науки. 2007. • Л'»7. - С. 45 69.

11. Гладунова, О.П. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой / О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Доклады Академии наук. - 2008. - Т. 419. - №6. - С. 735-738.

12. Гладунова. O.IÎ. Гармонические тензоры на трехмерных группах Ли с левоиивариаптными лоренцевыми метриками / О.П. Гладунова // МАК-2008 : материалы одиннадцатой региональной конференции по математике. Барнаул : Изд-во Ал т. ун-та, 2008. С. 17.

13. Гладунова, О.П. Почти гармонические тензоры на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой / О.П. Гладунова // Тезисы докладов международной школы-семинара по геометрии и анализу, посвященная памяти Н.В. Ефимова. - Ростов-на-Дону, 2008.

14. Гладунова. О.П. Гармоническая свертка тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли с левоиивариаптными лоренцевыми метриками / О.П. Гладунова / •' Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск. 5-12 октября 2008 г.) : тезисы докладов. - Ин-т математики СО РАН. Новосибирск : Изд-во Института математики, 2008. С. 305.

Список литературы

[1| Агеева, Н.Р. Создание пользовательских процедур преобразования фигур в трехмерном пространстве средствами пакета Maple [Электронный ресурс] / Н.Р. Агеева, Ю.Г. Игнатьев. - Режим доступа: hf.tp://termech.mpei.ac.rn/kir/PDF/FOTO/kaz/Articles/ageeva.pdf

[2| Вагина, О.Г. Покрытие плоскости равносторонними пятиугольниками / О.Г. Вагина, М.И. Кабенюк /./ Вестник Кемеровского госу-

дарственного университета, серия: математика. - 2001. - №3. - С. 162-166.

[3] Джепко, В.В. Применение пакетов аналитических вычислений к решению задач дифференциальной геометрии: дис. ... канд. ф.-м. наук. : 05.13.18 / Джепко Валерий Валентинович. - Барнаул, 2007.

- 108 с.

[4] Игнатьев. Ю.Г. Создание библиотеки процедур в дифференциальной геометрии (Электронный ресурс] / Ю.Г. Игнатьев. А.Р. Самигуллина. Режим доступа: http://vuz.exponcnta.ru/PDF/FOTO/kaz/Documents/thesis.htm

[5| Корпев, Е.С. Приводимые почти комплексные структуры на од-носвязных группах Ли размерности 4 / Е.С. Корпев // Вестник Кемеровского государственного университета, серия: математика.

2006. №1. - С. 39-42.

[6] Лаптева, Т.Н. Особые точки плоских кривых. Разрешение особенностей плоских кривых с помощью сигма-процесса (Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://rrc.dgu.rU/rcs/exponenta/ediicat/systemat./lapteva/ maiit.asp.htm.

[7] Никоноров. Ю.Г. Компактные семимерные однородные многообразия Эйнштейна / Ю.Г. Никоноров // Доклады Академии наук. -2000. - Т. 372. - №6. - С. 589-592.

[8| Никоноров. Ю.Г. Аналитические методы в теории однородных эйнштейновых многообразий / Ю.Г. Никоноров. Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2000. - 183 с.

[9] Никоноров, Ю.Г. Геометрия однородных римановых многообразий / Ю.Г. Никоноров, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Современная математика и ее приложения. Геометрия. - 2006. - Т. 37. - С. 1-78.

[10] Никонорова, Ю.В. Об одной экстремальной задаче на евклидовой плоскости / Ю.В. Никонорова // Математические труды. - 2001.

- Т. 4.-т. - С. 111-121.

[11] Никоиорова, Ю.В. Применение системы Maple к решению некоторых задач евклидовой геометрии / Ю.В. Никоиорова // Известия АГУ. Специальный выпуск, посвященный пятилетию краевой конференции по математике. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2002. - С. 16-19.

[12] Панченко, Т.В. Решение задач аналитической геометрии на плоскости с помощью пакета Maple (Электронный ресурс]. Режим доступа: http://cont.ent.mail.ru/arch/7505/1787719.html.

[13] Родионов, Е.Д. Локально конформно однородные пространства / Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Доклады Академии паук. 2002. -Т. 387. №3. С. 314 317.

|14] Чибрикова, Л. Н. Применение пакетов аналитических вычислений к решению задач однородной (псепдо)римановой геометрии: дне. ...канд. ф.-м. наук : 05.13.18 / Чибрикова Людмила Николаевна. - Барнаул, 2005. - 118 с.

[15] Япо. К. Кривизна и числа Бетти ,' К. Яно, С Бохнер. М. : ИЛ. 1957. - 152 с.

[16] Appel, К. Every Planar Map is Pour Colorable / K. Appel, W. Haken // Bulletin of the American Mathematical Society. 1976. V. 82. №.5. P. 711-712.

[17] Appel, K. The Solution of the Four-Color-Map Problem / K. Appel, W. Haken /,/ Scientific American. 1977. V. 237. №.4. P. 108 121.

[18] Arias-Marco, T. A property of Wallach's flag manifolds // Archivum mathematicum(BRNO). - 2007. V. 43. - P. 307-319.

[19] Arias-Marco, T. Classification of 4-dimensional homogeneous D'Atry spaces / T. Arias-Marco, O. Kovalski // ICM 2006 - Posters. Abstracts. Section 5. - Madrid, 2006. - P. 1-2.

[20] Hlavovd, M. Two-parametric motions in the Lobatchevski plane // J. Geom. Graph. -- 2002. - V. 6. - №1. - P. 27-35.

[21] Kovdcs, L. An algorithm for automated generation of invariants for loops with conditions / L. Kovacs, T. Jebelean // Proceedings of the Computer-Aided Verification on Information Systems Workshop (CAVIS05), 7th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing (SYNASC05). - Timisoara, 2005. - P. 16-19.

[22] Rodionov, E.D. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces / E.D. Rodionov, V.V. Slavskii ,// Comm. Math. Univ. Carol. ■ 2002. V. 43. ■ №2. - P. 271-282.

л

/

у О'

Подписано в печать 19.11.08 Формат 60 х 80/16 Офсетная печать. Уч.-изд. л. 1.0

Заказ 410-08 Тираж 100 экз. Бесплатно

Типография АлтГУ 656049, Барнаул, ул. Димитрова, 66

2007370135

Введение

1 Использование математических пакетов в решении некоторых задач (псевдо)римановой геометрии

1.1 Система аналитических вычислений Maple.

1.2 Пакеты встроенных процедур linalg и LinearAlgebra.

1.3 Использование пакета Maple в решении некоторых задач (псев-до)римановой геометрии.

1.3.1 Применение пакета Maple в решении задачи о почти гармоническом тензоре Схоутена-Вейля.

1.3.2 Применение пакета Maple в решении задачи о гармонической свертке тензора Схоутена-Вейля.

2 Однородные пространства с инвариантной (псев-до)римановой метрикой

2.1 Группы Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой

2.1.1 Тензорные поля Римана, Риччи, Вейля и Схоутена-Вейля на группах Ли

2.1.2 Матричные группы Ли

2.2 Однородные пространства с инвариантной римановой метрикой 56 2.2.1 Тензорные поля Римана, Риччи, Вейля и Схоутена

Вейля на однородных пространствах.

3 Инвариантные тензорные поля на группах Ли с левоинвари-антными римановыми метриками

3.1 Левоинвариантные римановы метрики на группах Ли.

3.2 Левоинвариантные римановы метрики на трехмерных группах

3.3 Левоинвариантные римановы метрики с гармоническим тензором Схоутена-Вейля

3.3.1 Почти гармонический тензор Схоутена-Вейля на трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой

3.3.2 Почти гармонический тензор Схоутена-Вейля на трехмерных иеунимодулярных группах Ли с левоинвари-антной римановой метрикой.

3.4 Левоинвариантные римановы метрики с гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля

3.4.1 Гармоническая свертка тензора Схоутена-Вейля на трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинвари-антной римановой метрикой.

3.4.2 Гармоническая свертка тензора Схоутена-Вейля на трехмерных иеунимодулярных группах Ли с левоинва-риантной римановой метрикой.

4 Инвариантные тензорные поля на группах Ли с левоинвари-антными лоренцевыми метриками

4.1 Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных группах Ли.

4.2 Левоинвариантные лоренцевы метрики с гармоническим тензором Схоутена- Вейля

4.2.1 Почти гармонический тензор Схоутена-Вейля на трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой.

4.2.2 Почти гармонический тензор Схоутена-Вейля на трехмерных иеунимодулярных группах Ли с левоинвари-антной лоренцевой метрикой.

4.3 Левоинвариантные лоренцевы метрики с гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля

4.3.1 Гармоническая свертка тензора Схоутена-Вейля на трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинвари-антной лоренцевой метрикой.

4.3.2 Гармоническая свертка тензора Схоутена-Вейля на трехмерных неунимодулярных группах Ли с левоинва-риантной лоренцевой метрикой.

Системы аналитических вычислений находят широкое применение в самых различных областях науки. Как правило, в эти системы входят процедуры для численных и аналитических расчетов, средства для визуализации, программирования и представления результатов. Таким образом, системы компьютерной математики совмещают в одной оболочке обширный набор инструментов, позволяющий решать научные задачи.

В настоящее время повсеместно используются такие популярные системы как Maple, Mathematica, MathCad, MatLab, Derive. Они обладают универсальными математическими возможностями, постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы, имеют возможность взаимной интеграции.

Современная геометрия, также как и другие области математики, привлекает новейшие компьютерные технологии для решения своих задач. Сегодня применение систем символьной математики не ограничивается численными расчетами. Все чаще они используются в образовательном процессе для решения задач аналитической [1, 17] и дифференциальной [9, 11] геометрии. Кроме того, существует множество примеров, доказывающих эффективность математических систем при доказательстве теорем. Например, хорошо известно доказательство знаменитой проблемы топологии о четырех красках, осуществленное К. Аппелем (К. Appel) и В. Хакеном (W. Haken) в [27, 28]. Также основываясь на вычислениях, сделанных с помощью пакета Maple, О.Г. Вагина и М.И. Кабенюк дали новое более короткое доказательство теоремы Ханты-Хирчхорна о покрытии евклидовой плоскости выпуклыми равносторонними пятиугольниками [2]. Следует упомянуть работы

Ю.В. Никоноровой [15, 16] в области комбинаторной геометрии, использующие пакеты символьных вычислений для решения задачи о внутреннем расстоянии на поверхности параллелепипеда, обобщенной задачи Поповичи, задачи Фике, подтверждения гипотезы Ионина. Можно отметить работу В.В. Джепко [6] в области дифференциальной геометрии и работу Е.С. Кор-нева [10], посвященную изучению специальных классов почти комплексных структур на четырехмерных группах Ли, и связанных с этими почти комплексными структурами левоинвариантных метрик.

Системы компьютерной математики широко применяются в задачах классификации. Так М. Hlavová в [31] удалось классифицировать двупараметрические движения плоскости Лобачевского, Т. Arias-Marco и О. Kowalski внесли вклад в проблему классификации 4-мерных однородных D'Atri пространств [30]. Известны результаты, полученные Е.Д. Родионовым и В.В. Славским при классификации локально конформно однородных многообразий [21, 34] и результаты Ю.Г. Никонорова по классификации однородных эйнштейновых многообразий, полученные в работах [12, 13]. Задачи классификации левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных группах Ли с применением системы аналитических расчетов Maple решались также Л.Н. Чибриковой в [25].

Пакеты прикладных программ используются для исследования однородных римановых пространств [14], определения инвариантных свойств петель [32], для изучения свойств флаговых многообразий [29].

Данная работа посвящена применению математических пакетов для нахождения некоторых инвариантных тензорных полей на однородных пространствах; в частности, исследованию свойств гармоничности тензора Схоутена-Вейля левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на трехмерных группах Ли; изучению вопроса гармоничности свертки тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками.

Целями диссертационной работы являются:

1. Создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Maple для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах.

2. Классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля или гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.

Основные задачи работы включают:

1. Разработка алгоритмов для вычисления компонент тензоров секционной, одномерной кривизн и кривизны Риччи, а также компонент тензора Схоутена-Вейля, его ротора и дивергенции г типа (г — 1,2) левоинвари-антных (псевдо)римановых метрик на группах Ли.

2. Исследование и классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля.

3. Разработка алгоритмов для определения компонент свертки тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора, компонент ее ротора и дивергенции левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на группах Ли.

4. Изучение и классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.

Исследование каждой классификационной задачи, представленной в диссертации, проводилось по следующему плану. Первоначально строилась удобная для вычислительной работы модель исследуемого объекта. Далее создавалась программа для реализации в системе аналитических расчетов Maple. Следующий этап был посвящен анализу и истолкованию полученных результатов. После чего делался вывод о структуре изучаемого объекта и о возможности уточнения модели.

Объект исследования — трехмерные группы Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля, а также трехмерные группы Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.

Предмет исследования — компьютерные модели, алгоритмы, программы для изучения трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и (почти)гармоническими инвариантными тензорами.

Методика исследования ориентирована на использование методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, (псевдо)римановой геометрии, тензорного анализа.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Пакет программ, написанных в среде Maple, для вычисления основных характеристик однородных (псевдо)римановых многообразий, исследуемых в диссертации.

2. Классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля.

3. Классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля.

Научная новизна работы. В данной диссертационной работе разработаны алгоритмы и программы в системе аналитических вычислений Maple для нахождения инвариантных тензорных полей на однородных пространствах (в частности, на группах Ли) с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками.

Применяя разработанные алгоритмы, получены новые результаты в теории инвариантных тензорных полей на однородных пространствах. Впервые получена классификация трехмерных групп и алгебр Ли с левоинвариантны-ми (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим, т.е. с нулевым ротором и дивергенцией, тензором Схоутена-Вейля. С помощью операции свертки тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора, определен кососимметрический 2-тензор. Исследовано строение трехмерных групп и алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метрикой, для которых данный тензор является гармоническим.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях инвариантных тензорных полей на однородных (псевдо)римановых пространствах. С помощью пакета символьных вычислений Maple решены задачи классификации трехмерных алгебр Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и (почти) гармоническим и тензорами Схоутена-Вейля и его свертки по направлению произвольного вектора. Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут применяться для решения аналогичных задач однородной (псевдо)римановой геометрии. Построенные компьютерные модели позволяют вычислять компоненты связности, тензоров кривизны Римана, Риччи, одномерной кривизны, скалярной кривизны, тензора Схоутена-Вейля, его ротора и дивергенции; находить компоненты свертки тензора Схоутена-Вейля, ее ротора и дивергенции левоинвариантных (псев-до)римановых метрик на конечномерных группах Ли.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Региональной конференции по математическому образованию на Алтае (Барнаул, 24 ноября 2006 г.); Десятой региональной конференции по математике "МАК-2007"(Барнаул, июнь, 2007 г.); Third Russian-German Geometry Meeting dedicated to 95th birthday of A.D.Alexandrov (Санкт-Петербург, 18—23 июня 2007 г.); Международной конференции "Геометрия в Астрахани-2007" (Астрахань, 17—21 сентября 2007); Международной научно-практической конференции по математическому образованию в регионах России (Барнаул, 26 октября 2007 г.); Одиннадцатой региональной конференции по математике "МАК-2008" (Барнаул, июнь, 2008 г.); Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 9—15 сентября 2008 г.); Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения С. JI. Соболева (Новосибирск, 5—12 октября 2008 г.). Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на краевом геометрическом семинаре (Барнаул, АлтГУ, БарГПУ).

Публикации. Все основные результаты работы были опубликованы в [35 -48]. Одна из работ опубликована в ведущем рецензируемом научном журнале, определенном Высшей аттестационной комиссией.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 184 страницах, состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, трех приложений и списка литературы.

Заключение

С помощью методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групп и алгебр Ли, тензорного анализа, (псевдо)римановой геометрии в диссертации получены следующие результаты:

1. Разработаны алгоритмы и созданы Мар1е-программы для вычисления компонент тензоров секционной, одномерной кривизн и кривизны Рич-чи, а также компонент тензора Схоутена-Вейля, его ротора и дивергенции г типа (г = 1, 2) на группах Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками.

2. Получена классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля.

3. Разработаны алгоритмы и созданы Марк-программы для определения компонент свертки тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора, компонент ее ротора и дивергенции левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на группах Ли.

4. Классифицированы трехмерные группы Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля по направлению произвольного вектора.

5. Получена классификация трехмерных групп Ли с левоинвариантными (псевдо)римановыми метриками и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля по гармоническому направлению.

Успешное применение систем компьютерной алгебры зависит, в первую очередь от правильного выбора модели соответствующей геометрической задачи. Вычислительная система при исследовании задачи играет роль экспериментальной базы, позволяет численно проверить возникающие гипотезы и, что более примечательно, указать путь к математически строгому доказательству.

Вышеуказанные результаты, полученные с привлечением средств и методов систем символьных вычислений, показывают целесообразность применения подобных систем к исследованиям в областях однородной (псев-до)римановой геометрии и смежных дисциплин.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод о возможности дальнейшего использования систем аналитических расчетов для получения новых результатов в решении различных геометрических задач.

В заключение автор выражает благодарность Е.Д. Родионову и В.В. Слав-скому за постановку задач, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

1. Агеева, H.Р. Создание пользовательских процедур преобразования фигур в трехмерном пространстве средствами пакета Maple Электронный ресурс] / Н.Р. Агеева, Ю.Г. Игнатьев. - Режим доступа: http://termech.mpei.ac.ru/kir/PDF/FOTO/kaz/Articles/ageeva.pdf.

2. Вагина, О.Г. Покрытие плоскости равносторонними пятиугольниками / О.Г. Вагина, М.И. Кабенюк // Вестник Кемеровского государственного университета, серия: математика. 2001. - №3. - С. 162-166.

3. Бессе, А. Многообразия Эйнштейна: В 2 т. Т. 1. Пер. с англ. / А. Бессе. М. : Мир, 1990. - 318 с.

4. Говорухин, В. Компьютер в математическом исследовании / В. Говорухин, Б. Цибулин. СПб. : Питер, 2001. - 620 с.

5. Громол, Д. Риманова геометрия в целом / Д. Громол, В. Клингенберг, В Майер. М. : Мир, 1971. - 344 с.

6. Джепко, В.В. Применение пакетов аналитических вычислений к решению задач дифференциальной геометрии: дис. . канд. ф.-м. наук : 05.13.18 / Джепко Валерий Валентинович. Барнаул, 2007. - 108 с.

7. Дубровин, Б.А. Современная геометрия. Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. М. : Наука, 1986. - 760 с.

8. Желобенко, Д.П. Компактные группы Ли и их представления / Д.П. Желобенко. М. : Наука, 1970. - 664 с.

9. Игнатьев, Ю.Г. Создание библиотеки процедур в дифференциальной геометрии Электронный ресурс] /

10. Ю.Г. Игнатьев, А.Р. Самигуллина. Режим доступа: http://vuz.exponenta.ru/PDF/FOTO/kaz/Documents/thesis.htm.

11. Корнев, Е.С. Приводимые почти комплексные структуры на односвяз-ных группах Ли размерности 4 / Е.С. Корнев // Вестник Кемеровского государственного университета, серия: математика. 2006. - №1. - С. 39-42.

12. Лаптева, Т.Н. Особые точки плоских кривых. Разрешение особенностей плоских кривых с помощью сигма-процесса Электронный ресурс]. Режим доступа: http: / / rrc.dgu.ru/res / exponenta/educat / systemat/lapteva/main.asp.htm.

13. Никоноров, Ю.Г. Компактные семимерные однородные многообразия Эйнштейна / Ю.Г. Никоноров // Доклады Академии наук. 2000. -Т. 372. - №6. - С. 589-592.

14. Никоноров, Ю.Г. Аналитические методы в теории однородных эйнштейновых многообразий / Ю.Г. Никоноров. Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2000. - 183 с.

15. Никоноров, Ю.Г. Геометрия однородных римановых многообразий / Ю.Г. Никоноров, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Современная математика и ее приложения. Геометрия. 2006. - Т. 37. - С. 1-78.

16. Никонорова, Ю.В. Об одной экстремальной задаче на евклидовой плоскости / Ю.В. Никонорова // Математические труды. 2001. - Т. 4. -т. - С. 111-121.

17. Никонорова, Ю.В. Применение системы Maple к решению некоторых задач евклидовой геометрии / Ю.В. Никонорова // Известия АГУ. Специальный выпуск, посвященный пятилетию краевой конференции по математике. Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2002. - С. 16-19.

18. Панченко, T.B. Решение задач аналитической геометрии на плоскости с помощью пакета Maple Электронный ресурс]. Режим доступа: http://content.mail.ru/arch/7505/1787719.html.

19. Постников, М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли / М.М. Постников. М. : Наука, 1987. - 448 с.

20. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Ра-шевский. М. : Наука, 1967. - 664 с.

21. Родионов, Е.Д. Левоинвариантные лоренцевы метрики на 3-мерных группах Ли с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля / Е. Д. Родионов, В.В. Славский, Л.Н. Чибрикова // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. 2004. - №4. - С. 53-60.

22. Родионов, Е.Д. Локально конформно однородные пространства / Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Доклады Академии наук. 2002. - Т. 387.- т. С. 314-317.

23. Рохлин, В.А. Начальный курс топологии / В.А. Рохлин, Д.В. Фукс. -М. : Наука, 1977. 488 с.

24. Схоутен, Я.А. Тензорный анализ для физиков / Я.А. Схоутен. М. : Наука, 1965. - 456 с.

25. Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства / С. Хелгасон. М. : Мир, 1964. - 534 с.

26. Чибрикова, Л. Н. Применение пакетов аналитических вычислений к решению задач однородной (псевдо)римановой геометрии: дис. . канд. ф.-м. наук : 05.13.18 / Чибрикова Людмила Николаевна. Барнаул, 2005.- 118 с.

27. Яно, К. Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С Бохнер. М. : ИЛ, 1957. -152 с.

28. Appel, К. Every Planar Map is Four Colorable / K. Appel, W. Haken // Bulletin of the American Mathematical Society. 1976. - V. 82. - Ж 5,-P. 711-712.

29. Appel, K. The Solution of the Four-Color-Map Problem / K. Appel, W. Haken // Scientific American. 1977. - V. 237. - №.4. - P. 108-121.

30. Arias-Marco, T. A property of Wallach's flag manifolds // Archivum mathematicum(BRNO). 2007. - V. 43. - P. 307-319.

31. Arias-Marco, T. Classification of 4-dimensional homogeneous D'Atry spaces / T. Arias-Marco, O. Kovalski // ICM 2006 — Posters. Abstracts. Section 5. Madrid, 2006. - P. 1-2.

32. Hlavova, M. Two-parametric motions in the Lobatchevski plane //J. Geom. Graph. 2002. - V. 6. - №. - P. 27-35.

33. Milnor, J. Curvature of left invariant metric on Lie groups / J. Milnor // Advances in mathematics. 1976. - V. 21. - P. 293-329.

34. Rodionov, E.D. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces / E.D. Rodionov, V.V. Slavskii // Comm. Math. Univ. Carol. 2002. - V. 43. - №. - P. 271-282.

35. Работы автора по теме диссертации

36. Балащенко, В.В. Инвариантные тензорные поля на однородных пространствах / В.В. Балащенко, О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. 2006. - №6. - С. 5-9.

37. Гладунова, О.П. Гармонические тензоры на трехмерных группах Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками / О.П. Гладунова // МАК-2008 : материалы одиннадцатой региональной конференции по математике. Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2008. - С. 17.

38. Гладунова, О.П. Левоинвариантные лоренцевы метрики с гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли / О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. 2007. - №7. - С. 45-69.

39. Гладунова, О.П. Левоинвариантные лоренцевы метрики с почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли / О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. 2006. - №6. - С. 10-26.

40. Гладунова, О.П. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой / О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский // Доклады Академии наук. 2008. - Т. 419. - №6. - С. 735-738.

41. Гладунова, О.П. Почти гармонические тензоры на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой / О.П. Гладунова // Тезисы докладов международной школы-семинара по геометрии и анализу, посвященная памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону, 2008.

42. Гладунова, О.П. Применение математических пакетов к вычислению инвариантных тензорных полей на трехмерных группах Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой / О.П. Гладунова // Вестник БГ-ПУ: Естественные и точные науки. 2006. - №6. - С. 111-115.

43. Gladunova, O.P. On harmonic tensors on three dimensional Lie groups with left-invariant Riemannian metric / O.P. Gladunova, E.D. Rodionov, V.V.

44. Slavskii //Abstracts of Third Russian-German Geometry Meeting dedicated to 95th birthday of A.D. Alexandrov. St.-Petersburg, 2007.