автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы восстановления тензорных полей с использованием локальных базисов и процедур послойного обращения

цо^о * - • - - Р1а правах рукописи

'У-'-/,

К_

■ /-л-

е./ г

СВЕТОВ Иван Евгеньевич

Алгоритмы восстановления тензорных полей с использованием локальных базисов и процедур послойного обращения

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2010

~ 2 ЛЕК 2010

004614898

Работа выполнена в Учреждении Федерального агентства по образованию Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Новосибирском государственном университете.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Деревцов Евгений Юрьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Голубятников Владимир Петрович доктор физико-математических наук Пикалов Валерий Владимирович

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения РАН

Защита состоится "21" декабря 2010 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д003.061.02 при Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект академика Лаврентьева, д. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Автореферат разослан "13" ноября 2010 г. Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н. I / С. Б. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Общественная известность вычислительной томографии (от греческого tomos — слой, срез) обусловлена, главным образом, ее широким применением и замечательными успехами в медицине. Менее известно использование томографических методов в других областях: радиоастрономии, электронной микроскопии, биологии, промышленности, а также физике Земли, океана и космоса. Что касается применений методов томографии для реконструкции нескалярных свойств объектов, описываемых, например, посредством векторных или тензорных полей, то эта область исследований известна лишь специалистам. Тем не менее, разработка именно этого направления в томографии выглядит наиболее многообещающей, как в плане создания новых математических методов, так и с точки зрения применений в научных исследованиях, биологин, медицине и промышленности.

Суть томографических (неразрушающих) методов состоит в многократных измерениях физического поля, "пропущенного" через объект исследования и, далее, в нетривиальной математической обработке и интерпретации результатов. Целью использования таких методов являются как можно более полные сведения о структуре и внутренних свойствах объекта. Как правило, результаты, полученные с помощью томографических методов, невозможно получить иными способами.

Так как не существует точных формул восстановления по конечному числу значений лучевых преобразований, решение задачи восстановления ищется в виде приближенного решения. Именно, в данной работе для решения поставленной задачи использовался алгоритм, основанный на методе наименьших квадратов (МНК). Ранее МНК успешно использовался для решения двумерных задач эмиссионной, векторной и 2-теизориой томографии, а в качестве аппроксимирующей последовательности выступали поля, построенные на основе однородных многочленов. В настоящей работе в качестве аппроксимирующей последовательности выступали поля, построенные на основе двумерных £?-сплайнов.

Задача восстановления соленоидальной части симметричного тп-тензорного поля, заданного в Ж™, по его известным лучевым преобразованиям, была исследована В.А. Шарафутдиновым. Были получены формулы обращения, которые используют полные данные. Следует отметить, что если размерность пространства больше 2, то задача переопределена по размерности данных. Так, в трехмерном пространстве многообразие всех прямых имеет размерность 4. В то же время эта зада-

ча недоопрсделеиа по числу неизвестных функций. Например, в случае векторного поля, заданного в Е3, три неизвестные функции чи? связаны одним дифференциальным уравнением 6 = 0 (оператор дивергенции). Это означает, что Зи зависит от двух некоторых функций. Таким образом нужно восстановить две эти функции по единственной функции — продольному лучевому преобразованию.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование новых алгоритмов в задачах двумерной тензорной томографии (для симметричных тензорных полей валентности т ^ 2). Разработка и исследование алгоритмов восстановления соленоидальных частей трехмерных векторных и 2-тензорных полей. Разработка научно-исследовательского программного обеспечения для реализации полученных алгоритмов.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) Модификация алгоритмов восстановления симметричных тензорных полей валентности т, -<' 2. основанных на методе наименьших квадратов (МНК), с использованием базисных элементов, построенных на основе двумерных ¿--сплайнов. Исследование свойств лучевых преобразований, в частности исследование их ядер и взаимосвязи друг с другом. Подробное исследование построенных алгоритмов для определения пределов их применимости.

2) Сравнение предложенного алгоритма восстановления функций с алгоритмом, основанным на МНК с полиномиальным базисом.

3) Численная реализация алгоритмов восстановления симметричных тензорных полей валентности гп < 2, основанных на формулах обращения, с целью сравнения с предложенными алгоритмами.

4) Разработка алгоритмов для численного восстановления солено-идальной части трехмерных векторных и симметричных 2-тензорных полей по их известным продольным лучевым преобразованиям.

5) Разработка научно-исследовательского программного обеспечения для реализации всех предложенных алгоритмов.

Методы исследования. Основные результаты работы получены с использованием интегральной геометрии тензорных полей, методов вычислительной математики, теории обратных и некорректных задач, методов математического моделирования. Для численного моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы прикладного программирования.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Разработаны алгоритмы восстановления двумерных симметричных тензорных полей валентности т ^ 2, основанные на МНК с использованием базисов, построенных на основе В-сплайнов. При решении задачи восстановления скалярных и векторных полей учитывалось явление рефракции. Локальность носителя базисных элементов позволила значительно сократить время вычисления их образов для лучевых преобразований. В случае же среды с прямолинейным характером распространения лучей используются точные формулы.

2) Найдено разложение пространства двумерных симметричных 2-тензорных полей с потенциалами, обращающимися в нуль вместе с производными первого порядка на границе области, на три компоненты. Для сред с прямолинейным характером распространения лучей в №2, получены оценки устойчивости продольного и поперечного лучевых преобразований векторного поля; продольного, смешанного и поперечного лучевых преобразований симметричного 2-тензорного поля.

3) При параллельной схеме сбора данных, впервые построены и численно реализованы алгоритмы для восстановления соленоидальной части трехмерных векторных и симметричных 2-тензорных полей по неполным данным.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Разработаны алгоритмы восстановления двумерных симметричных тензорных полей валентности т ^ 2, основанные на МНК с использованием базисов, построенных на основе В-сплайнов.

2) Найдено разложение пространства симметричных 2-тензорных полей с потенциалами, обращающимися в нуль вместе с производными первого порядка на границе области, на три компоненты. Получены оценки устойчивости лучевых преобразований для векторного и 2-тензориого случаев, для сред с прямолинейным характером распространения лучей.

3) Впервые построены и реализованы алгоритмы восстановления со-леноидальных векторных и симметричных 2-тензорных полей, заданных в единичном шаре, при параллельной схеме сбора данных, по их известным продольным лучевым преобразованиям.

Практическая ценность работы. В работе предложены алгоритмы восстановления двумерных тензорных полей малого ранга. Впервые построены и реализованы алгоритмы восстановления соленоидальных частей трехмерных векторных и 2-тензорных нолей при параллельной

схеме сбора данных. Все эти алгоритмы могут быть применены для обработки экспериментальных данных а) в физической томографии, б) при исследовании анизотропных сред, в) при решении задач геофизики, г) при решении задач теории упругости, и других областях.

Достоверность полученных результатов и выводов обоснована теоретически, подтверждается анализом разработанных численных алгоритмов и проведением численных экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященной 75-летию академика М.М.Лаврентьева (Новосибирск, 2007г.). XLVI международной научной студенческой конференции (Новосибирск, 2008г.), международной конференции IEEE Region 8 Intl. Conf. SIBIRCON 2008 (Новосибирск, 2008г.), международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения С.Л.Соболева (Новосибирск, 2008г.), всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009 (Новосибирск, 2009г.), первой и второй молодежных международных научных школах-конференциях "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2009-20Шт.), а также на семинарах лаборатории условно-корректных задач ИМ им. С.Л.Соболева СО РАН.

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 10 работ, перечисленных в конце автореферата.

Личный вклад автора. Основные научные результаты диссертационной работы получены автором лично. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в работу вошли только те результаты, в получении которых он принял непосредственное творческое участие. Часть результатов главы 3, в частности теорема разложения, свойства и связи смешанного лучевого преобразования с другими, получены совместно с Е.Ю. Деревцовым.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 49 наименований. Содержание основного текста работы изложено на 143 страницах, содержит 26 иллюстраций, 22 таблицы.

Содержание диссертационной работы

Во введении обоснована актуальность проблем, рассматриваемых

в диссертационной работе, определены основные цели и задачи исследования, показана ее научная новизна и практическая ценность, сформулированы выносимые на защиту положения и представлен краткий обзор содержания работы. В главах 1-3 задачи томографии решаются в единичном круге В — {х G R2 | (я1)2 + (ж2)2 < 1} с границей дБ.

Первая глава посвящена разработке, исследованию и численной реализации алгоритма восстановления двумерных скалярных полей по их известным экспоненциальным лучевым преобразованиям. В среде предполагается наличие явления поглощения и рефракции. Алгоритм основан на МНК с использованием базисных элементов, построенных из двумерных В-сплайнов.

В п. 1.1 приведена математическая постановка задачи и введены необходимые определения. Особое внимание уделено свойствам экспоненциального лучевого преобразования в частном случае, когда явление поглощения и рефракция отсутствуют.

Пусть г £ С1(В), £ ^ 0, - вещественная функция, называемая поглощением. Экспоненциальным лучевым преобразованием, соответствующим поглощению е, называется линейный оператор,

определяемый равенством

о

{Г/)(а,0) = J /ЫАФехр

т-(а,0)

где 7ц>(а : [т_(а,/3),0] —»В — максимальная геодезическая, определяемая начальными условиями

7а.(з(0) = х — (cos а, sin а), 7а./з(0) = £ = A-1 (cos(a + ¡tf),sin(a + в)).

Задача эмиссионной томографии. Пусть (В, д) — риманова область, и известны значения (1) экспоненциального лучевого преобразования для всех (а, 0) € dB х дВ. Предполагается, что риманова метрика </¿j н коэффициент поглощения е известны. Требуется по этим данным найти функцию /(ж), х 6 В.

В п. 1.2 приводится общая схема МНК. Затем подробно описывается алгоритм, разработанный для восстановления функции по ее экспоненциальным лучевым преобразованиям. Приведем схему предлагаемого алгоритма:

1) Вычисление значений (1) экспоненциального лучевого преобразования для всех (а,Д) 6 дВ х дВ для восстанавливаемой функции f(x) и для базисных двумерных 5-сплайнов. При этом производилась дискретизация процедуры проведения геодезических, геометрически состо-

j e{la,3{s))dÁdt, (1)

ящая в ее приближении ломаной. В эквивалентной формулировке это задача численного решения системы уравнений, решениями которой являются геодезические заданной в В римановой метрики. Приближенное вычисление интеграла (1) при фиксированных значениях а,/3, строго согласованное с процедурой проведения геодезических. В случае отсутствия явления рефракции и поглощения для вычисления значений экспоненциального лучевого преобразования для базисных двумерных В-сплайнов были получены явные формулы.

2) Вычисление скалярных произведений для образов всех базисных элементов и восстанавливаемой функции для создания матрицы Грама и правой части системы, возникающей при реализации МНК.

3) Решение полученной системы методом Холецкого, для определения коэффициентов В-еилайиов при аппроксимации искомой функции.

Поставлена серия экспериментов но исследованию пределов применимости предлагаемого алгоритма.

В п. 1.3 приводятся описание и численная реализация двух алгоритмов, разработанных для восстановления функций, основанных на формулах обращения. На тестовом материале проводится численное сравнение качества восстановления функций этими алгоритмами и алгоритмом, основанным па МНК. Численные эксперименты показали преимущество алгоритма, основанного на МНК с базисом, построенным из В-сплайнов. перед алгоритмами, основанными на формулах обращения. Это преимущество особенно заметно при восстановлении непрерывных функций.

Вторая глава посвящена разработке, исследованию и численной реализации алгоритма восстановления двумерных векторных полей по известным продольным или поперечным лучевым преобразованиям. Предполагается криволинейный характер распространения лучей. Алгоритм основан на МНК с использованием базисных элементов, построенных на основе двумерных В-сплайнов.

В п. 2.1 приведена математическая постановка задачи и введены необходимые определения.

Продольным лучевым, преобразованием векторного поля и называется линейный оператор, определяемый равенством

о

[Ту}(а,0)= I и4(чв,0(О)7(2)

т- (аф)

Поперечным лучевым преобразованием векторного поля V называется линейный оператор, определяемый равенством

о

[3>xv](a,0) = J vdjaAtWcA^dU

(3)

-(a,/3)

где вектор г)а>р ортогонален вектору 70ф в смысле метрики дц.

Задача векторной томографии. Пусть (В, g) — риманова область, и известны значения (2) продольного лучевого преобразования и (или) значения (3) поперечного лучевого преобразования для всех (а,/3) € дБ х дВ. Требуется по этим данным найти векторное иоле v(x), х € В.

Проведено исследование свойств лучевых преобразований векторных полей. Следующее утверждение показывает связь лучевых преобразований друг с другом, а так же описывает их ядра.

Утверждение 1. Пусть ф 6 Н2{В), и — соленоидалъное еектор-

312 дф gn дф

ное поле с ковариантными компонентами щ = —г -г—г - -—z-z—z,

y/g dxl ч/g дхг

922 дф g 12 дф

U2 = —-z—,---а V — потенциальное векторное поле с кова-

sfg àxl ^/g дхг

дф дф

риантными компонентами Vi = ——г, vo = -z—z, тогда

ох ох

[Ум] (а, 0) = (а, .в), [Vv] (а,_/3) = - [Тхи] (а, 0).

Если ф\ов = const, тогда [Уг>](а, j3) = (а, (3) — 0.

Получены оценки устойчивости для лучевых преобразований. Теорема 1. Пусть л^етрика gij — евклидова и v = sv + dip, (дфдф\

bv = — ~—г-, ——г , ip\dB = ф\ов — 0, тогда имеют место оценки \ ох* ох1 /

устойчивости для операторов (2) и (3):

\\M\2L2iS4B))^C^vC(dBxdD), где константы С\ С1 не зависят от v.

В п. 2.2 предлагаются алгоритм для восстановления соленоидалыюй части векторного поля по его известным продольным лучевым преобразованиям и алгоритм восстановления потенциальной части векторного поля по его известным поперечным лучевым преобразованиям. Теорема 1 доказывает обоснованность применения МНК при численном решении

поставленной задачи, а в утверждении 1 даны формулы для построения базисных элементов (в качестве потенциалов используются В-сплайны). Поставлена серия экспериментов по исследованию пределов применимости предлагаемых алгоритмов.

В п. 2.3 строятся алгоритмы восстановления соленоидальной и потенциальной частей векторного поля, основанные на формулах обращения. На тестовом материале проводится численное сравнение качества восстановления векторного поля этими алгоритмами и алгоритмом, основанным на МНК. Численные эксперименты показали неоспоримое преимущество алгоритмов, основанных на МНК, перед алгоритмами, основанными на формулах обращения.

Третья глава посвящена исследованию и численной реализации алгоритма восстановления двумерных 2-тензорных полей по известным продольным, поперечным или смешанным лучевым преобразованиям, в случае прямолинейного характера распространения лучей. Алгоритм основан на МНК с использованием базисных элементов, построенных на основе двумерных Я-сплайнов.

В п. 3.1 приведена математическая постановка задачи и введены необходимые определения.

Операторы продольного лучевого преобразования, У, поперечного лучевого преобразования и смешанного лучевого преобразования V* 2-тензорного ноля и определяются равенствами

ос

{7и}(а,0)= I иц(х0+ (4)

— СО

ОС

[Тх«](а,/?)= У ««(ю + ЭДчУЛ. (5)

— ОС

СО

[У*и](а,0) = J иц(х(6)

— ос

соответственно. Здесь вектор г) ортогонален

Задача 2-гпепзорной томографии. Пусть известны значения (4) продольного лучевого преобразования У, и (или) значения (5) поперечного лучевого преобразования У"1, и (или) значения (6) смешанного лучевого преобразования У* для всех (а, 0) € дБ х дБ. Требуется по этим данным восстановить симметричное 2-тензорное поле и(х), х € В.

Компоненты поля и € Я1(52(В)), для удобства, будем записывать в

векторной форме = (мц, '«i2/«22)- Любое симметричное 2-теазорное поле и можно записать в виде и — su + d sv + й2Ф, где

d (7)

\дх2' дхду' ду2 ) '

s (OS

V дхду 2 V^i2 а?/2у' дхду)' 1 j

\ ауг ахоу ох* ) Поля вида (7) и (8) потенциальные, а поле вида (9) соленоидальное.

Проведено исследование свойств лучевых преобразований симметричных 2-тензорных полей. Основные результаты приведены ниже.

„ dip dip j Теорема 2. Пусть поле и = d <р с потенциалом —— = — =

ох дв о у IдВ

= —- = 0, а поле w — ьи с дв ду\дв

п ,5 дФ

О, поле v = d v с потенциалом —

ох

потенциалом -ф, где ¡р, ф, ф € Н3(В). Тогда

Следующее утверждение показывает связь лучевых преобразований друг с другом, а так же описывает их ядра.

Утверждение 2. Пусть и = d2<р + ги — у = d2¡¿>

и потенциалы ¡р, ф, ф £ НЪ{В) обещаются е нуль на дВ вместе со своими первыми производньши, тогда

[Ум] (а, 0) = (а, /?) = [3>Ь;] (а, Ц) = 0. Если так же известно, что ср = ф — гр, тогда

[У(^)](а,/3) = [СРх(а 2<р)](а,Р) = 2[У*(<1'1> Ща,0).

Получены оценки устойчивости для лучевых преобразований.

Теорема 3. Пусть и = Ч-й2'/' и потенциалы (р,ф,тр € Н3(В)

обращаются в нуль на дВ вместе со своими первыми производными, тогда имеют место оценки устойчивости для операторов (4)-(6):

Ц4"!! Ь2(52(В)) ^ С\\'?и\\н1(дВхдВ)'

где константы С, С^.С-1 не зависят от и.

В п. 3.2 предлагаются алгоритм восстановления соленоидалыюй части 2-тензорного поля по его продольным лучевым преобразованиям (базисные поля строятся по формуле (9), потенциалы — В-сплайны), алгоритм восстановления потенциальной части вида d2í¿> 2-тензорного поля

по его поперечным лучевым преобразованиям (базисные поля строятся на основе В-сплайнов по формуле (7)), а также алгоритм восстановления потенциальной части вида 112-тензорного поля по его смешанным лучевым преобразованиям (базисные поля строятся на основе В-сплайнов по формуле (8)). Теорема 3 доказывает обоснованность применения МНК при численном решении поставленной задачи. Поставлена серия экспериментов по исследованию пределов применимости предлагаемых алгоритмов.

В п. 3.3 строятся алгоритмы восстановления соленоидальной части 2-тензорного поля, а также потенциальных частей вида с12</? и с! Ч>, основанные на формулах обращения. Проводенное численное сравнение качества восстановления 2-тспзориого поля этими алгоритмами и алгоритмом, основанным на МНК, показало преимущество последнего.

Четвертая глава посвящена описанию и численной реализации алгоритмов восстановления соленоидальных векторных и симметричных 2-тензорных полей по продольным лучевым преобразованиям в Ж3 по неполным данным. Алгоритмы основаны на формулах, предложенных в статье В.А. Шарафутдинова. Рассматривается задача восстановления соленоидальной части векторного или симметричного 2-тензорного поля в М3 по его известным продольным лучевым преобразованиям, вычисленным вдоль всех прямых, параллельных каждой из заданного конечного набора плоскостей, находящихся в общем положении. Для единственности восстановления соленоидальной части векторного поля достаточно набора, состоящего из двух координатных плоскостей, но, в общем случае, для устойчивости восстановления необходим набор, состоящий из трех координатных плоскостей. В случае симметричного 2-тензорного поля, для единственности восстановления достаточно набора, состоящего из трех координатных плоскостей. В то время как, для устойчивости восстановления, в общем случае, необходим набор, состоящий из трех координатных плоскостей и трех плоскостей с нормальными векторами ел + ег, е^ + ез и 61 + е^. Здесь е\, с^ — единичные нормальные вектора для координатных плоскостей.

В п. 4.1 приведена математическая постановка двух вариантов задачи восстановления соленоидальной части векторного поля (при наборе, состоящем из двух и, соответственно, из трех плоскостей) и введены необходимые определения. Предлагаются алгоритмы решения обеих поставленных задач. Приведены основные особенности численной реализации предложенных алгоритмов и результаты, проведенных с целью их

исследования, численных экспериментов.

В п. 4.2 приведена математическая постановка двух вариантов задачи восстановления соленоидальной части 2-тензорного поля (при наборе, состоящем из трех и, соответственно, из шести плоскостей) и введены необходимые определения. Предлагаются алгоритмы решения обеих поставленных задач. Для решения бР-задачи предлагаются два варианта формул, их применение дает различные результаты при реализации алгоритма. Приведены основные особенности численной реализации предложенных алгоритмов и результаты, проведенных с целью их исследования, численных экспериментов.

Публикации по теме исследования

Публикации в журналах списка ВАК

[1] Деревцов Е. Ю., Светов И. Е., Волков Ю. С. Использование B-сплайнов в задаче эмиссионной 2D-томографии в рефрагирую-щей среде. Сиб. Ж. Индустриальной матем., 2008, Т. XI, .423(35), стр. 45-60.

[2] Светов U.E., Полякова А.П. Восстановление 2-тензорных полей, заданных в edunuuHOAi круге, по их лучевым преобразованиям на основе МНК с исполъзованиелг B-сплайнов, Сиб. Ж. Вычислительной матем., Новосибирск, Россия. Т 13, №2, 2010г. Стр. 183-199. -

Публикации в трудах конференций

[3] Деревцов Е.Ю., Светов U.E. Использование локальных базисов в задачах скалярной и векторной томографии рефрагирую-щих сред. Международная конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященная 75-летшо академика М.М.Лаврентьева. 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия. Тезисы, 2 стр. http : //math.nsc.ru/conference/ipmpQ7/abstracts/ Section2/DerevtsovEYuSvetovIE.pdf

[4] Светов И. Е. Приближенное решение задач эмиссионной и векторной 20-томографии с помощью B-сплайнов. Материалы XLVI международной научной студенческой конференции, 26-30 апреля 2008г., Новосибирск, Россия. Тезисы, стр. 29.

[5] Derevtsov E.Yu., Svetov I.E., Volkov Yu.S. and Schuster T. Numerical B-spline solution of emission and vector 2D-tomography

problems for media with absorbtion and refraction. Proceedings 2008 IEEE Region 8 International Conference on Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering SIBIRCON-08, Novosibirsk Scientific Center, Novosibirsk, Russia, July 21-25, 2008, pp. 212-217.

[6j Светов И. E., Полякова А. П. Приближенное решение задачи тензорной томографии с помощью B-сплайнов. Международная конференция "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященная 100-летию со дня рождения С.Л.Соболева, 5-12 октября 2008г., Новосибирск, Россия. Тезисы, стр. 562.

[7] Светов U.E., Полякова А. П. Чисаенное решение задачи 2-тензорной томографии в случае среды без рефракции. Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2009, 23-25 июня 2009 г., Новосибирск, Россия. Тезисы, 1 стр.

http : //www.sbras.ru/ws/show_abstract.dhtmr!ru + 199 + 15524

[8] Светов И. Е. Приближенное решение одной задачи 2-тензорной томографии. Молодежная международная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", 10-20 августа 2009г., Новосибирск, Россия. Тезисы, стр. 86.

[9] Светов И. Е. Алгоритмы послойного восстановления векторных и симметричных 2-тензорных полей, заданных в R3, по неполным данным. Молодежная международная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", 21-29 сентября 2010г., Новосибирск, Россия. Тезисы, 3 стр. http : //math.nsc.ru/conference/onzlO/thesis/abstracts.pdf

[10] Светов И. Е. Восстановление соленоидалъных 2-тензорных полей, заданных в единичном круге, по их продольным лучевым преобразованиям. Сибирские электронные математические известия, Труды первой международной молодежной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", часть I. Новосибирск, Россия. 2010, стр. 139-149.

Светов Иван Евгеньевич

Алгоритмы восстановления тензорных полей с использованием локальных базисов и процедур послойного обращения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Формат 60 х 84 1/16 Усл. печ. л. 1.0 Тираж 120 экз.

Подписано в печать 08.11.10 Печать офсетная Заказ .VI73

Отпечатано ООО "Омега Принт". 030090, Новосибирск-90, проспект академика Лаврентьева, б.

1 Численное решение задачи скалярной 20-томографии

1.1 Постановка задачи.

1.2 Алгоритм восстановления функций, основанный на МНК с базисом, построенным на основе £?-сплайнов.

1.2.1 Общая схема МНК

1.2.2 Дискретизация задачи и ее особенности.

1.2.3 Численные эксперименты.

1.3 Сравнение алгоритма на основе МНК с базисом, построенным на основе 5-сплайнов, с алгоритмами, основанными на формулах обращения

1.3.1 Формулы обращения лучевого преобразования

1.3.2 Численное сравнение алгоритмов.

1.4 Выводы.

2 Численное решение задачи векторной 20-томографии

2.1 Постановка задачи.

2.1.1 Определения.

2.1.2 Исследование свойств лучевых преобразований.

2.2 Алгоритм восстановления векторных полей, основанный на МНК с базисом, построенным на основе В-спл.айнов.

2.2.1 Дискретизация задачи и ее особенности.

2.2.2 Численные эксперименты.

2.3 Сравнение алгоритма на основе МНК с базисом, построенным на основе ^-сплайнов, с алгоритмами, основанными на формулах обращения

2.3.1 Формулы обращения для продольного и поперечного лучевых преобразований

2.3.2 Численное сравнение алгоритмов.

2.4 Выводы.

3 Численное решение задачи 2-тензорной 20-томографии

3.1 Постановка задачи.

3.1.1 Определения.

3.1.2 Исследование свойств лучевых преобразований.

3.1.3 Смешанное лучевое преобразование.

3.2 Алгоритм восстановления 2-тензорных полей, основанный на МНК с базисом, построенным на основе 5-сплайнов.

3.2.1 Дискретизация задачи и ее особенности.

3.2.2 Численные эксперименты.

3.3 Сравнение алгоритма на основе МНК с базисом, построенным на основе В-сплайнов, с алгоритмами, основанными на формулах обращения

3.3.1 Формулы обращения для продольного, смешанного и поперечного лучевых преобразований.

3.3.2 Численное сравнение алгоритмов.

3.4 Выводы.

4 Алгоритмы послойного восстановления векторных и симметричных 2-тензорных полей, заданных в М3, по неполным данным

4.1 Задачи восстановления векторного поля в!3.

4.1.1 Определения.

4.1.2 Алгоритмы для решения 2Р- и ЗР-задач.

4.1.3 Особенности численной реализации алгоритмов.

4.1.4 Численные эксперименты.

4.2 Задачи восстановления симметричного 2-тензорного поля в R3.

4.2.1 Определения.

4.2.2 Алгоритмы для решения 3Р- и бР-задач.

4.2.3 Особенности численной реализации алгоритмов.

4.2.4 Численные эксперименты.

4.3 Выводы.

Актуальность работы.

Общественная известность вычислительной томографии (от греческого tomos — слой, срез) обусловлена, главным образом, ее широким применением и замечательными успехами в медицине. Менее известно использование томографических методов в других областях: радиоастрономии, электронной микроскопии, биологии, промышленности, а также физике Земли, океана и космоса [15]. Что касается применений методов томографии для реконструкции нескалярных свойств объектов, описываемых, например, посредством векторных или тензорных полей, то эта область исследований известна лишь специалистам. Тем не менее, разработка именно этого направления в томографии выглядит наиболее многообещающей, как в плане создания новых математических методов, так и с точки зрения применений в научных исследованиях, биологии, медицине и промышленности.

Суть томографических (неразрушающих) методов состоит в многократных измерениях физического поля, "пропущенного" через объект исследования и, далее, в нетривиальной математической обработке и интерпретации результатов. Конечной целью использования таких методов является как можно более полные сведения о структуре и внутренних свойствах объекта. Как правило, результаты, полученные с помощью томографических методов, невозможно получить иными способами.

Простейшим элементом томографической схемы измерений является цепочка: источник — среда — приемник. В этой схеме основными объектами математических исследований являются модели сред и модели взаимодействий физических полей со средой. Считается, что перспективное развитие математического аппарата томографии осуществляется в следующих направлениях. Во-первых, это исследование нескалярных свойств объектов (векторные и тензорные поля). Во-вторых, усложнение математической модели среды с включением в нее явлений поглощения, рассеивания и рефракции. Наконец, это включение в модель сложных форм взаимодействия физического поля со средой. Следует отметить, что в томографии используются практически все известные физические поля.

Отметим некоторые теоретические результаты по решению задачи эмиссионной томографии, относящиеся к модели среды без рефракции. Прежде всего, интересны работы, в которых получены формулы обращения для экспоненциального лучевого преобразования функций, заданных в среде без рефракции, но с переменным поглощением. В работах [10], [23], [26] получены формулы обращения для коэффициентов поглощения из классов С°° и С2. Другие формулы обращения были получены в работах [39], [40], [38], [34], [24].

Намного меньше работ посвящено рассмотрению задачи эмиссионной томографии в среде с рефракцией и переменным поглощением. В работе В.А. Шарафутдинова [44] обратимость оператора лучевого преобразования доказана при выполнении некоторого условия интегрального характера, связывающего характеристики метрики и поглощения. В работе Дж. Бомэна [25] исследуются вопросы единственности и характер неоднозначности решения задачи эмиссионной томографии с неизвестной мерой. В работе Л. Пестова [41], в отсутствии поглощения, получена формула обращения для лучевого преобразования скалярных полей, заданных в компактном двумерном римановом многообразии с краем и метрикой постоянной кривизны. В более общем случае задания простой римановой метрики, получена формула обращения фред-гольмова типа.

Намного большее количество работ посвящено вычислительным аспектам задачи эмиссионной томографии. Наиболее употребительными при вычислениях являются алгоритмы фильтрованной обратной проекции, БУБ-разложения, а также различные варианты метода конечных элементов. Рассмотрения ведутся в рамках модели без рефракции, а коэффициент поглощения подбирается исходя из эмпирических соображений либо экспериментальных данных. Как правило, рассматриваются трехмерные постановки с конусными системами наблюдения, по геометрии которых также имеется значительное число публикаций [35].

Зачастую в обратных задачах искомыми величинами являются не скалярные функции, а векторные или тензорные поля различной валентности. Таковы постановки ряда задач теории неоднородных и анизотропных сред, газовой и гидродинамики, электродинамики. Математические формулировки задач восстановления векторных и тензорных полей возникли сравнительно недавно (см., например, работу В.Г. Романова [18]). Дальнейшее их развитие привело к постановкам обратных задач с данными томографического типа, которые естественно рассматривать как приложения интегральной геометрии скалярных [17], векторных и тензорных полей на римановом многообразии [44]. Метод восстановления скалярных свойств объектов по томографическим данным общеизвестен и изучен в деталях, в то время как методы решения задач векторной и тензорной томографии развиты не в полной мере (см. [28]).

В качестве первого примера можно привести задачу восстановления распределения скоростей океанического течения по измерениям значений времен прохождения звука [37]. Эта проблема была первой, поставленной как задача векторной томографии. Значительно позднее была поставлена задача допплеровской томографии, в которой па основе измерений допплеровского смещения частоты ультразвука восстанавливается распределение скорости кровотока в кровеносных сосудах (см., например, [36], [48]). К постановкам векторной томографии приводят и задачи, связанные с восстановлением распределения напряжений вещества в металлах или электромагнитного поля в плазме [1С]. Отметим обзор Т. Шустера [47], посвященный наиболее важным теоретическим и численным достижениям в области векторной томографии за последние два десятилетия.

Как известно, анизотропия любой из характеристик — диэлектрической и магнитной проницаемости, проводимости — сопровождается эффектами поляризации электромагнитной волны, распространяющейся в среде. Аналогичное утверждение справедливо и для упругих воли в твердом теле. Возникает возможность обнаружения и количественной оценки анизотропии среды по результатам сравнения степени поляризации падающей и прошедшей воли. Для каждого луча эффект поляризации прошедшей волны зависит исключительно от значений искомой характеристики на данном луче, т.е. эта задача имеет томографический характер. Такие задачи принято называть задачами поляризационной томографии [44]. Круг возможных приложений поляризационной томографии очень широк: волоконная оптика, диагностика плазмы, проблема прогноза землетрясений, задача фотоупругости и многое другое.

В уже упоминавшейся работе В.А. Шарафутдипова [44] доказана обратимость оператора продольного лучевого преобразования тензорного поля любой валентности при выполнении некоторого условия интегрального характера, связанного с характеристиками метрики. В работе Л. Пестова[41] получена формула обращения для продольного лучевого преобразования векторных полей, заданных в компактном двумерном римановом многообразии с краем и метрикой постоянной кривизны.

Так как не существует точных формул восстановления по конечному числу значений лучевых преобразований, решение задачи восстановления ищется в виде приближенного решения. Именно, в данной работе для решения поставленной задачи использовался алгоритм, основанный на методе наименьших квадратов (МНК). Ранее МНК успешно использовался для решения двумерных задач эмиссионной [30], векторной [5] и 2-тензорной томографии [6]. В частности, в работах Е.Ю. Деревцова [5] и [6] МНК применялся для восстановления соленоидальной части векторного и 2-тензорного поля, соответственно, для случая прямолинейного характера распространения лучей. В этих трех работах в качестве аппроксимирующей последовательности выступали поля, построенные на основе однородных многочленов.

В настоящее время в вычислительных задачах, связанных с аппроксимацией функций, общепризнанным наиболее мощным и универсальным инструментом являются сплайны [9]. Во многих прикладных задачах они не просто позволили более эффективно по сравнению с многочленами провести расчеты, но и получить решения ряда новых задач [3], [2]. Безусловно, методологическая роль многочленов в теории приближений велика, особенно в теоретических исследований, но в практических вычислениях сплайны почти полностью вытеснили многочлены.

В работе В.А. Шарафутдинова [44], для случая поля произвольной валентности и пространства произвольной размерности, сформулированы достаточные условия обратимости оператора продольного лучевого преобразования, носящие интегральный характер, в зависимости от кривизны метрики и степени поглощения. Выполнение достаточных условий обратимости гарантирует справедливость оценки устойчивости где константа С не зависит от тензорного поля и валентности т. Здесь через ви обозначена соленоидальная часть тензорного поля и, а через / обозначен оператор продольного лучевого преобразования. Таким образом, для скалярного поля (тензорное поле нулевой валентности) эта оценка не является условной. В случае тензорного поля валентности т ^ 1, из оценки следует, что для устойчивого восстановления соленоидальной части тензорного поля необходимо знать дополнительную информацию о самом восстанавливаемом поле. Отметим так же работу П.Л. Комарова [11], в которой получена несколько иная условная оценка устойчивости. А именно, для устойчивого восстановления необходимо знать дополнительную информацию не о самом восстанавливаемом поле, а о его дивергенции. Автору не известно о существовании более сильных оценок для случая симметричного тензорного поля валентности т ^ 1, даже для частных случаев размерности пространства К".

Задача восстановления соленоидальной части симметричного т-тензорного поля, заданного в Кп, по его известным лучевым преобразованиям, была исследована в работе В.А. Шарафутдинова [44]. Были получены формулы обращения, которые используют полные данные. Следует отметить, что если размерность пространства больше 2, то задача переопределена по размерности данных. Так, в трехмерном пространстве многообразие всех прямых имеет размерность 4. В то же время эта задача нсдоопределена по числу неизвестных функций. Например, в случае векторного поля, заданного в К3, три неизвестные функции связаны одним дифференциальным уравнением 8ви = 0 (оператор дивергенции). Это означает, что ви зависит от двух некоторых функций. Нам нужно восстановить две эти функции по единственной функции — продольному лучевому преобразованию.

В работе А. Денисюка [29] впервые доказана возможность восстановления соленоидальной части т-тензорного поля, заданного в К3, по "неполным" данным, т.е. по многообразию размерности 3, с использованием конусной схемы сбора данных.

Там же были приведены некоторые соображения, на основании которых выражались сомнения о возможности восстановления соленоидальных частей векторных и 2-тензорных по данным, имеющим ту же размерность 3, но при параллельной схеме сбора данных. В работе В.А. Шарафутдинова [45] сомнения были рассеяны и была предложена послойная схема сбора данных, по которым восстанавливаются со-леноидальные части соответствующих полей. В работе [45] рассматривается задача восстановления соленоидальной части векторного или симметричного 2-тензорного поля в Е3 по его известным продольным лучевым преобразованиям, вычисленным вдоль всех прямых, параллельных каждой из заданного конечного набора плоскостей, находящихся в общем положении. Доказано, что для единственности восстановления соленоидальной части векторного поля достаточно набора, состоящего из двух координатных плоскостей, но для устойчивого восстановления, вообще говоря необходим набор, состоящий из трех координатных плоскостей. В случае симметричного 2-тензорного поля, для единственности восстановления достаточно набора, состоящего из трех координатных плоскостей. Для устойчивого же восстановления, нужен набор, состоящий из трех координатных плоскостей и трех плоскостей с нормальными векторами е1+е2, в2+ез и е1+е3. Здесь е\, ег, е3 — единичные нормальные вектора для координатных плоскостей. Основными элементами в формулах обращения, полученных в работе [45], являются 3.0 преобразование Фурье и 2£> оператор обратной проекции.

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование новых алгоритмов в задачах двумерной тензорной томографии (для симметричных тензорных полей валентности т ^ 2). Разработка и исследование алгоритмов восстановления соленоидальных частей трехмерных векторных и 2-тензорных полей. А также разработка научно-исследовательского программного обеспечения для реализации всех этих алгоритмов.

Задачи исследования.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) Модификация алгоритмов восстановления симметричных тензорных полей валентности т, ^ 2, основанных на методе наименьших квадратов (МНК), с использованием базисных элементов, построенных на основе двумерных 5-сплайнов. Исследование свойств лучевых преобразований, в частности исследование их ядер и взаимосвязи друг с другом. Подробное исследование построенных алгоритмов для определения пределов их применимости.

2) Сравнение предложенного алгоритма восстановления скалярных полей с алгоритмом, основанным на МНК с использованием полиномиального базиса.

3) Численная реализация алгоритмов восстановления симметричных тензорных полей валентности га ^ 2, основанных на формулах обращения, с целью сравнения с алгоритмами, предложенными в работе.

4) Разработка алгоритмов для численного восстановления соленоидальной части трехмерных векторных и симметричных 2-тензорпых полей по их известным продольным лучевым преобразованиям.

5) Разработка научно-исследовательского программного обеспечения для реализации всех предложенных алгоритмов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Разработаны алгоритмы восстановления двумерных симметричных тензорных полей валентности т ^ 2, основанные на МНК с использованием базисов, построенных на основе 5-сплайнов. При решении задачи восстановления скалярных и векторных полей учитывалось явление рефракции. Локальность носителя базисных элементов позволила значительно сократить время вычисления их образов для лучевых преобразований. В случае же среды с прямолинейным характером распространения лучей используются точные формулы.

2) Найдено разложение пространства двумерных симметричных 2-тензорных полей с потенциалами, обращающимися в нуль вместе с производными первого порядка на границе области, на три компоненты. Для сред с прямолинейным характером распространения лучей в М2, получены оценки устойчивости продольного и поперечного лучевых преобразований векторного поля; продольного, смешанного и поперечного лучевых преобразований симметричного 2-тензорного поля.

3) При параллельной схеме сбора данных, впервые построены и численно реализованы алгоритмы для восстановления соленоидальной части трехмерных векторных и симметричных 2-тензорных полей по неполным данным.

Методы исследования.

Основные результаты работы получены с использованием интегральной геометрии тензорных полей, методов вычислительной математики, теории обратных и некорректных задач, методов математического моделирования. Для численного моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы прикладного программирования.

Достоверность результатов.

Достоверность полученных результатов и выводов обоснована теоретически, подтверждается анализом разработанных численных алгоритмов и проведением численных экспериментов.

Практическая ценность работы.

В работе предложены алгоритмы восстановления двумерных тензорных полей малого ранга. Впервые построены и реализованы алгоритмы восстановления соле-ноидальпых частей трехмерных векторных и 2-тензорных полей при параллельной схеме сбора данных. Все эти алгоритмы могут быть применены для обработки экспериментальных данных а) в физической томографии, б) при исследовании анизотропных сред, в) при решении задач геофизики, г) при решении задач теории упругости, и других областях.

Основные положения выносимые на защиту.

1) Разработаны алгоритмы восстановления двумерных симметричных тензорных полей валентности т ^ 2, основанные на МНК с использованием базисов, построенных на основе ^-сплайнов.

2) Найдено разложение пространства симметричных 2-тензорных полей с потенциалами, обращающимися в нуль вместе с производными первого порядка на границе области, на три компоненты. Получены оценки устойчивости лучевых преобразований для векторного и 2-тензорного случаев, для сред с прямолинейным характером распространения лучей.

3) Впервые построены и реализованы алгоритмы восстановления соленоидаль-ных векторных и симметричных 2-тензорных полей, заданных в единичном шаре, при параллельной схеме сбора данных, по их известным продольным лучевым преобразованиям.

Личный вклад автора.

Основные научные результаты диссертационной работы получены автором лично. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в работу вошли только те результаты, в получении которых он принял непосредственное творческое участие. Часть результатов главы 3, в частности теорема разложения, свойства и связи смешанного лучевого преобразования с другими, получены совместно с Е.Ю. Деревцовым.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященной 75-летию академика М.М.Лаврентьева (Новосибирск, 2007г.), XLVI международной научной студенческой конференции (Новосибирск, 2008г.), международной конференции IEEE Region 8 Intl. Conf. SIBIRCON 2008 (Новосибирск, 2008г.), международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения С.Л.Соболева (Новосибирск, 2008г.), всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009 (Новосибирск, 2009г.), первой и второй молодежных международных научных школах-конференциях "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2009-2010гг.), а также на семинарах лаборатории условно-корректных задач ИМ им. С.Л.Соболева СО РАН.

Публикации.

По теме диссертационной работы автором опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 49 наименований. Содержание основного текста работы изложено на 141 странице, содержит 26 иллюстраций, 22 таблицы. Содержание диссертаци

4.3 Выводы

В данной главе описаны алгоритмы для восстановления соленоидальных векторных и симметричных 2-тензорных полей по известным продольным лучевым преобразованиям в М3. Алгоритмы восстановления основаны на формулах из работы

Рис. 4.3: Компоненты 2-тензорного поля из теста 4.2.4.1 (столбец а) и компоненты его приближений для ЗР-задачи (столбец б), для бР-задачи(а) (столбец в) и для бР-задачи(б) (столбец г) при дискретизации 1024 х 1024 по в, 5.

В.А. Шарафутдинова [45]. Подробно описаны шаги численной реализации для каждого из предлагаемых алгоритмов восстановления. Реализация каждого из алгоритмов состоит из следующих шагов: 1) вычисление продольных лучевых преобразований вдоль лучей параллельных плоскости из определенного семейства; 2) нахождение значений 2D оператора обратной проекции от производной по s для продольных лучевых преобразований (векторный случай) или от самих продольных лучевых преобразований (2-тензорный случай); 3) применение З-О-преобразования Фурье; 4) использование явных формул для нахождения su; 5) применение обратного 3.0-преобразования Фурье.

На основе проведенных численных экспериментов о восстановлению соленоидаль-ной части векторных полей можно сделать следующие выводы:

1) С увеличением дискретизации по в, s относительная погрешность восстановления векторного поля для 2Р-задачи уменьшается незначительно. В свою очередь, для ЗР-задачи, увеличение дискретизации по 9, s дает заметный выигрыш в точности. Как и ожидалось, точность восстановления для ЗР-задачи значительно превосходит точность восстановления для 2Р-задачи. Возможность увеличения дискретизации входных данных по z могла бы улучшить точность восстановления.

2) При повышении гладкости восстанавливаемого векторного поля от С1 до С°° относительная погрешность восстановления уменьшается в 1.5 раза.

3) На Рис.4.1 и 4.2 видно, что, в обоих экспериментах, третья компонента векторного поля восстановилась хорошо, и для 2Р- и для ЗР-задачи, но первая и вторая компоненты для 2Р-задачи восстановились с коэффициентом ко ~ 0.8. Для срезок на других уровнях {яз = Z{} и коэффициенты ki будут другие. Этот эффект требует дополнительного исследования. Возможно, зная коэффициент для каждого уровня срезки, можно будет улучшить точность восстановления, поделив на него.

На основе проведенных численных экспериментов по восстановлению соленои-дальной части 2-тензорных полей можно сделать следующие выводы:

1) С увеличением дискретизации по 9, s относительная погрешность восстановления 2-тензорного поля для ЗР-задачи уменьшается незначительно. В свою очередь, для бР-задачи(а) и бР-задачи(б), увеличение дискретизации по в, s дает заметный выигрыш в точности. Как и ожидалось, точность восстановления для 6Р-задачи(а) и бР-задачи(б) значительно превосходит точность восстановления для ЗР-задачи. Сравнение бР-задачи(а) и бР-задачи(б) показало небольшое преимущество бР-задачи(а) в точности восстановления. Возможность увеличения дискретизации входных данных по 2 могла бы улучшить точность восстановления.

2) При повышении гладкости восстанавливаемого 2-тензорного поля от С1 до С°° относительная погрешность восстановления уменьшается в 1.3 раза.

Заключение

Приведем основные результаты, полученные в работе.

1) Разработаны алгоритмы восстановления двумерных симметричных тензорных полей валентности т ^ 2, основанные на МНК с использованием базисов, построенных на основе В-сплайиов. При решении задачи эмиссионной (наличие в среде поглощения) и векторной томографии учитывалось явление рефракции. Локальность носителя базисных элементов позволила значительно сократить время вычисления их образов для лучевых преобразований. В случае же среды с прямолинейным характером распространения лучей используются точные формулы.

2) Найдено разложение пространства двумерных симметричных 2-тензорных полей с потенциалами, обращающимися в нуль вместе с производными первого порядка на границе области, на три компоненты.

3) Для сред с прямолинейным характером распространения лучей в М2, получены оценки устойчивости продольного и поперечного лучевых преобразований векторного поля; продольного, смешанного и поперечного лучевых преобразований симметричного 2-тензорного поля.

4) Проведено тестирование предлагаемых алгоритмов восстановления двумерных тензорных полей. Исходя из поставленных экспериментов можно сделать выводы:

• С увеличение дискретизации входных данных по а, (3, относительная погрешность восстановления тензорных полей уменьшается. При этом, для каждой из дискретизаций, существует оптимальный параметр п шага К = 2/п сетки, на которой задаются базисные поля, построенные на основе В-сплайнов, меньший дискретизации по а примерно в 4 раза.

• При повышении гладкости восстанавливаемого 2-тензорного поля от разрывного до С°° относительная погрешность восстановления уменьшается на 3 порядка.

• Поглощение вплоть до уровня сравнимого с восстанавливаемой функцией увеличивает относительную погрешность восстановления вплоть до 1.5-2 раза.

• Наличие метрики с положительной кривизной не влияет на точность восстановления. Наличие метрики с отрицательной кривизной вплоть до К = —1.5 увеличивает относительную погрешность восстановления до 1.5 раз.

5) Для алгоритма восстановления скалярных полей, основанного на МНК с использованием базисов, построенных на основе Л-сплайнов, проведено сравнение с алгоритмом, основанным на МНК с использованием базисов, построенных на основе однородных полиномов. Сравнение показало преимущество первого алгоритма.

6) В случае прямолинейного распространения лучей было сделано сравнение предлагаемых алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей валентности т ^ 2, основанные на МНК с использованием базисов, построенных на основе В-сплайнов, с алгоритмами, основанными на формулах обращения. Поставленные эксперименты показали преимущество предлагаемых алгоритмов. Это преимущество особенно заметно при восстановлении непрерывных полей.

7) Впервые построены и численно реализованы алгоритмы для восстановления соленоидальной части трехмерных векторных и симметричных 2-тензорных полей при параллельной схеме сбора данных. Из проведенных численных экспериментов можно сделать следующие выводы:

• С увеличение дискретизации входных данных по в, э, относительная погрешность восстановления уменьшается.

• Использование алгоритма решения ЗР-задачи '(6Р-задачи) показало явное преимущество перед алгоритмом решения 2Р-задачи (ЗР-задачи) по восстановлению соленоидальной части векторного (симметричного 2-тензорного) поля.

• При повышении гладкости восстанавливаемого поля от С1 до С°° относительная погрешность восстановления уменьшается в 1.3—1.5 раза.

1. Благовещенский A.C. О восстановлении функции по известным интегралам от нее, взятым вдоль линейных многообразий. // Математические заметки. 1986, Т. 39, №6, с. 841-849.

2. Волков Ю.С., Галкин В.М. О выборе аппроксимаций в прямых задачах построения сопла Ц ЖВМиМФ. 2007, Т. 47, №5, с. 923-936.

3. Галкин В. М., Волков Ю. С. Сравнение базисных функций в прямой задаче профилирования сверхзвуковой части сопла. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004, Т. 7, №4(20), с. 48-58.

4. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М.И. Интегральная геометрия в аффинном и проективном пространствах. // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Мб, ВИНИТИ, М., 1980, с. 53-226.

5. Деревцов Е. Ю., Кашина И. Г. Численное решение задачи векторной томографии с помощью полиномиальных базисов. // Сиб. Ж. Вычислительной математики. 2002, Т. 5, №3, с. 233-254.

6. Деревцов Е. Ю., Кашина И. Г. Приближенное решение задачи реконструкции тензорного поля второй валентности с помощью полиномиальных базисов. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002, Т. 5, №1(9), с. 39-62.

7. Деревцов Е. Ю., Светов И. Е., Волков Ю. С. Использование B-сплайнов в задаче эмиссионной 20-томографии в рефрагирующей среде. // Сиб. Ж. Индустриальной матем., 2008, Т. XI, №3(35), стр. 45-60.

8. Деревцов Е. Ю. Некоторые подходы к задаче визуализацции сингулярного носителя скалярных, векторных и тензорных полей по томографическим данным. // Сиб. электрон, матем. известия, 2008, Т. 5, с. 632-646.

9. Завьялов Ю. С.,' Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн функций. // М.: Наука. 1980.

10. Казанцев С. Г. Обобщенные А-аналитические функции в задачах томографии. // Доклады РАН. 1997, Т. 356, с. 449-451.

11. Комаров П. Л. Устойчивость задачи интегральной геометрии в соболевских нормах. II Сибирский математический журнал. 2000, Т. 41, №3, с. 602-614.

12. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. // М.: Наука. 1965.

13. Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. // М.: Наука, 1980.

14. Ланс Дж. Н. Численные методы для быстродействующих машин. // М.: Изд-во иностр. лит. 1962, 208 с.

15. Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Вычислительная томография и физический эксперимент // Успехи физических наук. 1983. Т. 141. №3. С. 469-498.

16. Пикалов В. В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. // Новосибирск: Наука. 1987, 230 с.

17. Романов В. Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римано-вой метрики. // ДАН СССР. 1978, Т. 241, №2, с. 290-293.

18. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. // М:, Наука. 1984, 264 с.

19. Светов И. Е., Полякова А. П. Восстановление 2-тензорных полей, заданных в единичном круге, по их лучевым преобразованиям на основе МНК с использованием В-сплайнов. // Сиб. Ж. Вычислительной матем., Новосибирск, Россия. Т 13, №2, 2010г. Стр. 183-199.

20. Статистические методы для ЭВМ / Под ред. К. Энслейна, Э. Рэлстона, Г. С. Уилфа. // М.: Наука. 1986, 460 с.

21. Треногин В. А. Функциональный анализ. // М.: Наука. 1980, 496 с.

22. Arbuzov Е. V., Bukhgeim A. L., Kazantsev S. G. Two-dimensional tomography problems and the theory of A-analytic functions. // Siberian Adv. Math. 1998, Vol. 8, p. 1-20.

23. Bal G. On the attenuated Radon transform, with full and partial measurements. // Inverse Problems. №20 (2004), p. 399-419.

24. Boman J. On generalized Radon transform with unknown measures. // Integral geometry and tomography (Areata, CA, 1989). Cpntemp. Math., №113. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1990, p. 5-15

25. Bukhgeim A. A., Kazantsev S. G. Inversion formula for the fan-beam attenuated Radon transform in a unit disk. // Препринт №99, Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2002, 34 с.

26. Deans S. R. The Radon Transform And Some Of Rs Applications. // John Wiley & Sons, Inc., 1983, 290 p.

27. Defrise M., Gullberg G.T. 3D Reconstruction of Tensor and Vector. // Technical Report LBNL-54936. Lawrence Berkeley National Laboratory. 2005.

28. Denisjuk A. Inversion of the X-ray transform for 3D symmetric tensor fields with sources on a curve. // Inverse Problems. №22 (2006), p. 399-411.

29. Derevtsov E.Yu., Kleshchev A. G., Sharafutdin.ov V. A. Numerical solution of the emission 2D-tomography problem for a medium with absorption and refraction. // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 1999, Vol. 7, №1, p. 83-103.

30. Derevtsov E.Yu., Dietz R., Louis A.K., Schuster T. Influence of refraction to the accuracy of a solution for the 2D-emission tomography problem. //J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2000, Vol. 8, №2, p. 161-191.

31. Derevtsov E. Yu. An approach of direct reconstruction of a solenoidal part in vector and tensor tomography problems. // J. Inverse Ill-Posed Problems. 2005, Vol. 13, №3, p. 213-246.

32. Finch D. The attenuated X-ray transform: recent development. // In: Inverse Problems and Applications. G.Uhlmann (ed.) Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003.

33. Gullberg G.T., Zeng G.L., Datz F.L., Christian P.E., Tung C-H, Morgan H.T. Review of convergent beam tomography in single photon emission computed tomography. // Phys. Med. Biol. 1992, Vol. 37, p. 507-534.

34. Juhlin P. Doppler tomography. // Proc. 15th Annual Int. Conf. of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Soc. (San Diego), 1993.

35. Munk W., Wunsh c. Ocean acoustic tomography: a scheme for large-scale monitoring. // Deep-Sea Res., 1979, 26A, p. 123-161.

36. Natterer F. Inversion of the attenuated Radon transform. // Inverse Problems. №17 (2001), p. 113-119.

37. Novikov R. G. An inversion formula for the attenuated X-ray transformation. // Preprint CNRS, UMR 6629. Department of Mathematics, Universite de Nantes, 2000.

38. Novikov R. G. An inversion formula for the attenuated X-ray transformation. // Ark. Math. №40 (2002), p. 145-167.

39. Pestov L., Uhlmann G. On the Characterization 6fthe Range and Inversion Formulas for the Geodesic X-Ray Transform. // International Math. Research Notices. 2004, Vol. 80, p. 4331-4347.

40. Palamodov V. P. Reconstructive Integral Geometry. // Besel: Birkhauser, Monographs in Mathematics. №98, 2004.

41. Sharafutdinov V. A. Tomographic problem of photoelasticity. // Proceeding of SPIE (The International Society of Optical Engineering). Analytical Methods for Optical Tomography. G. Levin ed., November 1991, Zvenigorod, Russia, 234-243.

42. Sharafutdinov V. A. Integral Geometry of Tensor Fields. // Utrecht: VSP. 1994, 271 P

43. Sharafutdinov V. Slice-by-slice reconstruction algorithm for vector tomography with incomplete data. // Inverse Problems. №23 (2007), p. 2603-2627.

44. Schuster T. The 3D Doppler transform: elementary properties and computation of reconstruction kernels. // Inverse Problems. №16 (2000), p. 701-722.

45. Sparr G., Strahlen K., Lindstorm K., Persson H. W. Doppler tomography for vector fields. // IOP Publishing Ltd., 1995.

46. Vertgeim L. Integral geometry problems for symmetric tensor fields with incomplete data. // J. Inverse Ill-posed Problems. №8 (2000), p. 353-362.