автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вычислительные технологии решения задач рефракционной, векторной и тензорной томографии

На правах рукописи

Деревцов Евгений Юрьевич

Вычислительные технологии решения задач рефракционной, векторной и тензорной томографии

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 1 ИЮЛ 2014

-ШЮЛ-Щ—

Новосибирск - 2014

005550530

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Официальные оппоненты:

Баландин Александр Леонидович доктор физико-математических наук,

ФГБУН Институт динамики систем и теории управления СО РАН, г. Иркутск, старший научный сотрудник

Пестов Леонид Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор, НИИ прикладной информатики и математической геофизики Балтийского федерального университета им. Иммануила Канта, г. Калининград, главный научный сотрудник

Прохоров Игорь Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБУН Институт прикладной математики ДВО РАН, г. Владивосток, зам. директора

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука СО РАН, г. Новосибирск.

Защита состоится 21 октября 2014 г. в 15 ч. 00 м. на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН http: //www.sscc.ru

Автореферат разослан 4 июля 2014 г. Ученый секретарь I )

диссертационного совета Д 003.061.02 ( 11 У / Сорокин

доктор физико-математических наук \-Jirf Сергей Борисович

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Начавшееся в 70-х годах XX века бурное развитие томографических методов, необходимым условием которого было появление и массовое использование быстродействующих ЭВМ, продолжается и в настоящее время, захватывая все новые области человеческой деятельности.

Отметим существенное обстоятельство: математические основы томографии были заложены в начале прошлого века в работах П. Функа1 и И. Радона2. В них были получены решения, в виде так называемых "формул обращения", задач интегральной геометрии, поставленных на плоскости, в пространстве, и на сфере Иными словами, были указаны способы, которыми находится неизвестная функция, заданная на плоскости, в пространстве или на единичной сфере в R3, по известным интегралам от нее, вычисленным вдоль всех прямых (на плоскости); по всем плоскостям (в R3); вдоль всех больших кругов сферы §2, соответственно.

Наиболее привлекательная черта томографических исследований состоит в том, что способы измерений не разрушают объект. Так, в трансмиссионной томографии используется активное зондирующее физическое поле, взаимодействующее со средой и измеряемое после прохождения объекта. Для этого используются как электромагнитные поля с различным спектром, так и ультразвуковые волны в жидкости или газе, упругие волны в сплошной среде, и др. Измерения в эмиссионной томографии осуществляются с использованием собственных источников излучения, естественного или искусственного происхождения. Второй важной особенностью методов томографии является лучевое приближение, которое предполагает "накопление" информации о среде вдоль луча и ее регистрацию на выходе. Неотъемлемой чертой томографии являются и обычно большие объемы информации, обработка которой осуществляется нетривиальными математическими методами с применением ЭВМ и визуализацией результатов. Наконец, немаловажным обстоятельством, которое также следует иметь ввиду, является некорректность задач томографии.

1 Funk Р. Uber eine geometrische Anwendung der Abelschen Integralgleichung // Math. Ann. — 1916. — V. 77. — P. 129-135.

2 Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integrabwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig Math. Nat. Kl. — 1917. — V. 69. — P. 262-277.

у

/ >

Наряду с интенсивным развитием численных методов решения задач томографии по восстановлению функций, описывающих внутренние свойства объекта, в 70—80 гг. прошлого столетия появились работы, авторы которых Дж.Ф. Гринлиф, С.А. Джонсон (1975), Ф.А. Дак, С.Р. Хансен, М. Танака, А. Лент, Д.А. Кристенсен, Г. Фландро (1977, 1997), В. Манк, С. Вюнш (1979, 1982), С.Дж. Нортон (1987), X. Браун, А. Хок (1991) и др., сформулировали и начали исследование задач, связанных с восстановлением векторных характеристик сред по данным томографического типа. В настоящее время направление в томографии, ориентированное на исследования векторных или тензорных характеристик сред неразрушающими методами, интенсивно развивается благодаря тому, что области приложений исследований нескалярных свойств объектов очень широки. Это потоки жидкости или газа, физический эксперимент и астрофизика, изучение анизотропных свойств промышленных материалов и земных пород, медицинские, биологические и многие другие приложения, отраженные, в частности, в работах Дж.Л. Кинси (1977), Р. Козловера, Р. Маквиллиамса (1986), А.Г. Горелика, В.В. Стерлядкина (1990), С.П. Юлина (1993), Г. Спарра, К. Стралена, К. Линдстрема, Х.У. Перссона (1995), Н.П. Полуэктова, Н.П. Ефремова (1998), А.Л. Баландина, И. Оно (2001), П.Дж. Бассера (2002), М. Дефриз, Г.Т. Галлберга (2005), Т. Шустера (2008).

Развитие томографии движется, в рамках общепринятых моделей, не только в направлении построения более совершенных алгоритмов для повышения точности реконструкции, но и в направлении усложнения самих моделей. Подавляющее большинство принятых в томографии моделей легко допускают включение в себя явления рефракции. Это делается путем задания римановой метрики, которая предполагается известной. При этом необходимой платой за большую общность является усложнение математического аппарата и утрата значительной части методов решения, основанных на преобразованиях Фурье, Рисса и Гильберта, формулах обращения и других подходах, разработанных в предположении прямолинейного характера распространения лучей в исследуемом объекте.

Тем не менее, усложнение модели представляется оправданным, так как явление рефракции очень существенно в ряде задач, например при рассмотрении распространения сигналов в Земле. Отметим также, что во многих моделях считать рефракцию известной не следует, так как это явление непосредственным образом связано с неизвестными характеристиками среды, которые мы хотим определить. Таким образом, в общей

постановке необходимо одновременно определить характеристики среды и найти лучи, вдоль которых происходит распространение сигнала. Один из способов решения этой нелинейной задачи — метод линеаризации, который, в частности, и приводит к постановке, в которой риманова метрика, моделирующая рефракцию, считается известной. Часто такие постановки возникают в связи с задачами сейсмики. Обратные задачи математической физики, задачи интегральной геометрии и томографии, в которых учитывается рефракция, и другие некорректные задачи рассматривались в работах многих авторов и, в частности, исследователями из научной школы по некорректным и обратным задачам, возглавляемой М.М. Лаврентьевым и В.Г. Романовым, см. М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский (1980, 1984), Р.Г. Мухометов (1981), Ю.Е. Аниконов, Л.Н. Пестов (1990, 1995, 1997), В.А. Шарафутдинов (1994, 1995, 2008), В.П. Голубятников (2000), С.И. Кабанихин (2008).

Постановки задач тензорной томографии связаны с изучением анизотропных сред. Так, распространение электромагнитных и упругих волн в анизотропной среде сопровождается явлением поляризации. В приближении геометрической оптики поведение эллипса поляризации описывается системой дифференциальных уравнений, связывающей свойства среды и значения электромагнитного поля, распространяющегося вдоль луча (Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов (1980)), и задача определения свойств среды по степени поляризации падающей и прошедшей через среду волны — задача поляризационной томографии. Эта задача имеет приложения в диагностике плазмы, см. А.Л. Баландин, Г. Фукс, В.В. Пикалов, Дж. Рапп, X. Солтвиш (1995), Дж. Ховард (1996), Г. Фукс, В.В. Пикалов (1998), фотоупругости и волоконной оптике, см., например, Х.К. Абен (1975), В.А. Шарафутдинов (1993), Р.Г. Новиков, В.А. Шарафутдинов (2007, 2008).

Можно ставить задачи восстановления (по данным томографического типа) тензора деформации или напряжений, тензора электромагнитного поля. Усложнение объекта приводит к появлению новых типов преобразований. Прежде всего это продольное лучевое преобразование симметричного т-тензорного поля. Его можно определить, как и ряд других, не только в пространстве произвольной размерности (с евклидовой метрикой), но и на римановом многообразии. Это и укороченное поперечное лучевое преобразование, смешанное (продольно-поперечное) лучевое преобразование. Последнее возникает на пути применения лучевого метода для изотропной упругой среды, описываемой системой уравнений динамической упругости, и, далее, при переходе к квазиизо-

тройной среде, см. В. Червени, И.А. Молотков, И. Пшенчик (1977), В.А. Шарафутдинов (1993).

Математический аппарат для описания разрывных математических объектов первоначально разрабатывался в рамах теории обобщенных функций (И.М. Гельфанда М.И. Граев, Н.Я. Виленкин (1962), В.П. Па-ламодов (1990)). В настоящее время его развитие осуществляется, в основном, средствами микролокального анализа. Развитые в томографии алгоритмические средства направлены на восстановление функций класса гладкости по крайней мере С1. Поэтому они показывают значительно худшие результаты, если функция класса С или разрывная. Отсюда возникает необходимость в разработке специальных алгоритмических средств, направленных на реконструкцию множества точек разрыва исследуемой функции (или таких геометрических объектов, как векторные и тензорные поля), по томографическим данным. В подавляющем большинстве работ, как и в данной, под термином "восстановление разрывов" подразумевается "визуализация разрывов". Попытки установить величину скачка разрывной функции предприняты, например, в работах А.Г. Рамма, А.И. Кацевича (1996, 1997).

Алгоритм решения задачи визуализации разрывов функции, заданной на плоскости, был впервые предложен в работе Е.И. Вайнберга, И.А. Казака, М.Л. Файнгойза (1985). Идея алгоритма состоит в двойном дифференцировании по переменной 5 (|в| — расстояние от прямой, по которой производится интегрирование, до начала координат) томографических данных, представляющих собой двумерное преобразование Радона, с последующим применением оператора обратной проекции. Данный оператор производит визуализацию множества точек разрыва; поведение же гладкой составляющей объекта при этом искажается. В дальнейшем "алгоритм Вайнберга" получил развитие, в основном в рамках локальной томографии, в работах А. Фаридани с соавторами (1990, 1992, 1997), А.К. Луиса и П. Маасса (1993), и других. Д.С. Аниконовым (1994, 2000, 2007) была предложена иная последовательность действий, приводящая к решению задачи визуализации множества точек разрыва функции по данным томографического типа. Применяя к лучевому преобразованию оператор обратной проекции, получаем сингулярный интеграл (с искомой функцией в качестве подынтегрального выражения) со слабой особенностью. Дифференцирование по пространственным переменным приводит тогда к логарифмическому возрастанию при стремлении точки к линии разрыва. В частности, можно использовать оператор |У(-)|. Некоторые подходы определения сингулярного носителя тензор-

ного поля, заданного на римановом многообразии, по известному продольному лучевому преобразованию этого поля, предложены в работе В.А. Шарафутдинова, М. Скокана, Г. Ульмана (2005).

Кратко упомянем основные математические средства, численные методы и алгоритмы томографии. Распространенное семейство алгоритмов, основанных на формулах обращения и известных как алгоритмы свертки и обратной проекции, сначала получило применение, в двумерном варианте, в радиоастрономии, см. Р.Н. Брэйсуэлл, А.К. Риддл (1967). В применении к медицинским задачам один из его вариантов впервые описан в работах Г.Н. Рамачандрана, A.B. Лакшминарайанана (1971), Л.А. Шеппа, Б.Ф. Логана (1974). В дальнейшем развитие упомянутого подхода привело к многочисленным разновидностям алгоритмов реконструкции (см. Ф. Наттерер (1990)), носящих свои имена. Таковы алгоритмы Дэвисона-Грюнбаума, Мадиха-Нелсона, р-фильтрации обратной проекции, Марра и др. Другой класс алгоритмов, основанных на проекционных теоремах, связывающих преобразования Радона и Фурье, носит наименование Фурье-алгоритмы, первые варианты которых предложены (в R2) для решения задач радиоастрономии, Р.Н. Брэйсуэлл (1979), и электронной микроскопии, P.A. Кроутер, Д.Ж. Дерозье, А. Клюг (1970). Широкое распространение получили также и алгебраические алгоритмы, см. Р. Гордон, Р. Бендер, Г.Т. Херман (1970), Г.Н. Хаунсфилд (1973), в которых на первом этапе решения задачи строится система линейных алгебраических уравнений, а на втором эта система решается, как правило, итерационными методами и, прежде всего, методом Качмажа (последовательных ортогональных проекций), Г.Т. Херман, А. Лент (1976), и др. Все упомянутые подходы и реализованные на их основе алгоритмы разработаны в предположении отсутствия явления рефракции в среде, и перспективы их использование в рамках рефракционной томографии неясны. Особое внимание, в силу возможности использования в моделях с рефракцией, в диссертации уделено вариационным подходам типа метода наименьших квадратов или, с привлечением аппарата функционального анализа, сингулярного разложения соответствующих томографических операторов.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы состоит в создании вычислительных технологий приближенного решения задач рефракционной скалярной, векторной и тензорной томографии. Из основной с необходимостью вытекают следующие вспомогательные цели: разработка конструктивных методов и алгоритмов; обоснование правомерности подходов посредством теоретических исследований; обоснование

правомерности подходов методами математического моделирования.

Задачи исследования. В соответствии с поставленной основной целью в диссертации исследуются следующие основные задачи.

1) Задача эмиссионной томографии в рефрагирующих средах. Состоит в определении распределения внутренних источников, расположенных в среде с заданными коэффициентом поглощения и рефракцией, по его известному экспоненциальному лучевому преобразованию.

2) Задача векторной томографии. Состоит в восстановлении векторного поля или его частей по известным лучевым преобразованиям. Рассматриваются варианты моделей сред без рефракции и с рефракцией.

3) Задача восстановления симметричного 2-тензорного поля. Состоит в восстановлении симметричного 2-тензорного поля или одной из трех его частей, по известным лучевым преобразованиям. В основном рассматривается модель среды с прямолинейным характером распространения лучей.

4) Задача восстановления сингулярного носителя. Состоит в определении множества точек разрыва и (или) множества точек разрыва производных скалярных, векторных и тензорных полей, по их известным лучевым преобразованиям.

Дели и основные задачи диссертационной работы приводят к необходимости исследования и решения следующих вспомогательных, поставленных впервые задач.

1) Задача исследования структуры и свойств симметричных тензорных полей ранга т, заданных на плоскости; описание ядер, дифференциальных и интегральных свойств и связей лучевых преобразований таких полей; получения разложения полей, аналогичных разложению Гельмгольца-Ходжа векторного поля; построения формул обращения.

2) Задачи обоснования корректности применения алгоритмов, построенных на основе метода наименьших квадратов (МНК), для решения задачи обращения операторов лучевых преобразований симметричных тензорных полей, обладающих нетривиальными ядрами.

3) Задача построения сингулярных разложений операторов лучевых преобразований, действующих на векторные и тензорные поля.

4) Задачи обоснования правомерности применения алгоритмов, примененных для решения основных и вспомогательных задач, методами математического моделирования.

Методы исследования. Основные и вспомогательные задачи, сформулированные выше, исследовались методами дифференциальной геометрии, линейной алгебры, математического и функционального ана-

лиза, дифференциальных уравнений математической физики, теории обратных и некорректных задач, вычислительной математики.

Вычислительные технологии решения задач основаны на алгоритмах, в которых используются: а) новые формулы обращения операторов лучевых преобразований симметричных т-тензорных полей (глава 1); б) впервые построенные сингулярные разложения операторов лучевых преобразований векторных и симметричных 2-тензорных полей (глава 6); в) новые методы решения задач рефракционной, векторной и тензорной томографии, разработанные на основе МНК (главы 2-5).

Для решения основных задач использовались впервые построенные полиномиальные и локальные (на основе В-сплайнов) покоординатные и специальные базисы подпространств соленоидальных и потенциальных полей.

Заметную роль в методах исследования поставленных в диссертации задач сыграли экспериментальные методы в рамках идеологии математического моделирования. Все предложенные алгоритмы реализованы в форме комплексов программ, проведены всесторонние сравнительные исследования на тестовом материале, которые подтвердили правомерность всех разработанных подходов и показали хорошие результаты восстановления скалярных, векторных и симметричных 2-тензорных полей по томографическим данным.

Основные результаты диссертации. В диссертации получены следующие основные результаты.

1) Предложена детальная классификация симметричных т-тензорных поля, тп > 1, заданных на плоскости. Получено разложение такого поля на соленоидальную и т потенциальных частей.

2) Описаны ядра поперечного и смешанных лучевых преобразований симметричного т-тензорного поля. Установлены связи значений этих преобразований с преобразованием Радона их потенциалов. Получены формулы обращения указанных лучевых преобразований.

3) Предложены, обоснованы и реализованы МНК-алгоритмы для нахождения решений интегральных уравнений, операторы которых обладают нетривиальными ядрами.

4) Сконструированы полиномиальные и локальные базисы подпространств соленоидальных и потенциальных симметричных тензорных полей малого ранга.

5) Предложен метод и построен алгоритм получения явного решения, служащего потенциалом векторного поля, однородной краевой задачи для уравнения Пуассона в случае специально заданной правой части

полиномиального вида.

6) Предложен алгоритм приближенного решения, служащего потенциалом заданного в римановой области векторного поля, однородной краевой задачи для неоднородного уравнения Лапласа-Бельтрами сеточными методами и итерациями по оператору.

7) Предложен метод и построен алгоритм получения явного решения, служащего потенциалом симметричного 2-тензорного поля, однородной краевой задачи для эллиптической системы, правые части которой имеют специальный полиномиальный вид.

8) Сконструированы сингулярные разложения операторов лучевых преобразований векторных и симметричных 2-тензорных полей. Разработаны и реализованы БУО-алгоритмы решения задач томографии векторных и 2-тензорных полей с использованием найденных сингулярных разложений.

9) Предложены и апробированы различные комбинации дифференциальных операторов тензорного анализа и операторов обратной проекции с целью восстановления сингулярного носителя скалярных и векторных полей.

10) Разработаны комплексы программ, ориентированные на численное решение задач рефракционной, векторной и тензорной томографии. Проведена их всесторонняя апробация на тестовом материале, сравнение по точности, быстродействию, устойчивости к внесенным в данные ошибкам, и ряду других свойств.

Научная новизна. Перечисленные выше основные результаты являются новыми.

Предложены новые постановки задач томографии. Задачи эмиссионной, векторной и 2-тензорной томографии в рефрагирующей среде сформулированы как задачи обращения операторов лучевых преобразований, действующих на скалярные, векторные и симметричные 2-тензорные поля, заданные в римановой области с известной метрикой. Поставлена задача восстановления симметричного т-тензорного поля, тп > 1, или его части, по известным лучевым преобразованиям смешанного и поперечного типа. Задача восстановления разрывов функции по ее известному преобразованию Радона обобщена и ставится как задача восстановления сингулярного носителя симметричного т-тензорного поля по его лучевым преобразованиям.

Введены новые математические объекты. Действия операторов с1х и 81- обобщены на т-тензорные поля, т > 1. Введены понятия поперечного и смешанных лучевых преобразований для симметричных т-

тензорных полей и операторов обратной проекции, действующих на указанные лучевые преобразования.

Достоверность и обоснованность результатов. Правомерность основных подходов и достоверность результатов и выводов подтверждены, во-первых, классическими средствами математических исследований. Это корректность постановок задач, строгость доказательств основных положений, теорем и обоснований алгоритмов с использованием общепризнанных фундаментальных результатов, методов и классических теорем. Во-вторых, с этими целями широко использовались средства математического моделирования и тестирования, реализованные в виде комплексов программ, созданных на основе новых впервые построенных алгоритмах решения задач томографии. В-третьих, достоверность результатов подтверждена численными экспериментами, в том числе и в сравнении с известными аналитическими и численными решениями, полученными на основе общеизвестных алгоритмов.

Теоретическая и практическая ценность работы. Представление симметричных тензорных полей, заданных на плоскости, через потенциалы и их полная классификация могут быть полезны при дальнейших исследованиях планарных тензорных полей. Сингулярные разложения лучевых преобразований векторных и 2-тензорных полей представляют самостоятельный интерес и могут быть использованы для решения операторных уравнений первого рода. Методика модификации метода наименьших квадратов и построения сингулярных разложений в применении к операторам с нетривиальными ядрами может быть использована во многих других подобных задачах.

Комплексы программ для приближенного решения задач рефракционной, векторной и тензорной томографии, разработанные на основе полученных в диссертации подходов, результатов и алгоритмов, могут быть использованы практически в медицинской диагностике, биологических экспериментах, обработке данных диффузионной томографии и исследованиях потоков жидкости или газа, доплеровской томографии, геотомографии и томографии океана, при решении задач теории электромагнетизма и упругости, ряде других областей.

Результаты диссертации можно использовать при чтении университетских курсов по обратным задачам и томографии.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих Международных и Всероссийских конференциях: Прикладная математика, вычисления и приложения (Новосибирск, 1995); II, III и IV Сибирские Конгрессы по при-

кладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996, 1998 и 2000 гг.), VI Всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач экологии (Новосибирск, 1996), Обратные и некорректные задачи (Москва, 1996), Обратные задачи математической физики (Новосибирск, 1998), Некорректные и обратные задачи (Новосибирск, 2002), Ежегодная Научная Конференция САММ-2002 (Аугсбург, Германия, 2002), "Обратные задачи: моделирование и вычисления" (Фет-хие, Турция, 2004, 2006 гг.), Конференция "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева (Новосибирск, 2007), 8-я Региональная Международная конференция по вычислительным технологиям в электрической и электронной инженерии 81ВП1С01Ч-08 (Новосибирск, 2008), 6-я конференция по обратным задачам в инженерии: теория и практика (Дурдан, Франция, 2008), Международная конференция, посвященная 100-летию С. Л. Соболева (Новосибирск, 2008), 1-я, 2-я, 3-я, 4-я и 5-я Молодежная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2009, 2010, 2011, 2012 и 2013 гг.), Конференция по методам сплайн-функций, посвященная 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова (Новосибирск, 2011), Международная конференция "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященная 80-летию со дня рождения академика М. М. Лаврентьева (Новосибирск, 2012), Международная конференция "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященная 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, 2013), Международная научная конференция "Методы создания и идентификации математических моделей", посвященная 85-летию со дня рождения академика А. С. Алексеева (Новосибирск, 2013).

Результаты исследований докладывались и обсуждались на семинарах в Институте математики им. С. Л. Соболева, Институте вычислительной математики и математической геофизики, Институте теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича; Новосибирском государственном университете, Саарландском университете, Саарбрюк-кен, Германия, Университете им. Г. Шмидта, Гамбург, Германия.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации автором опубликовано 20 основных работы, из них 10 входят в Перечень ВАК. Основные научные результаты диссертации получены автором лично. В опубликованных работах отражено основное содержание, результаты и выводы диссертационного исследования. В большинстве совместных статей диссертанту принадлежит ведущая роль в получении

результатов исследований. Из остальных опубликованных в соавторстве работ в диссертацию вошли только те результаты, в получении которых автор принимал непосредственное творческое участие. Соавторы совместных публикаций претензий к соискателю не имеют.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы и приложений, изложенных на 357 страницах. Нумерация разделов и подразделов внутри главы формируется из номера главы, номера раздела и номера подраздела. Формулы, формулировки, требующие доказательств (теоремы, утверждения, следствия и т.п.), рисунки нумеруются аналогичным образом. Исключение составляет нумерация тестов и таблиц в приложениях, которая продолжает их нумерацию в основном тексте.

Во Введении приводятся аргументы, обосновывающие актуальность задач, поставленных, рассматриваемых и исследуемых в диссертации. В кратком обзоре описываются общепринятые постановки и математические модели "классической" томографии. Описаны практические постановки, приводящие к задачам рефракционной, векторной и тензорной томографии. Приводятся схемы методов наименьших квадратов и сингулярного разложения. Приведены определения и основные свойства В-сплайнов. Сформулированы цели, основные и вспомогательные задачи исследований, отмечены их научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Сформулированы основные результаты и представлен краткий обзор содержания работы.

Первая глава посвящена исследованию симметричных тензорных полей произвольной валентности ш, заданных на плоскости.

Раздел 1.1 является вспомогательным, но важным для дальнейших рассмотрений. В нем приведены известные сведения о необходимых в этой и следующих главах математических объектах, связей и результатов. Дано определение преобразования Радона и лучевых преобразований векторного поля. Сформулирована теорема разложения Гельмгольца-Ходжа, описаны области значений и ядра продольного и поперечного лучевых преобразований. Приведены определения оператора обратной проекции и преобразования Рисса, формулы обращения для преобразования Радона и лучевых преобразований векторных полей.

Пусть на плоскости К2 задано скалярное поле (функция) / € /^(-В), /:£?—> К. Через В обозначен единичный круг с центром в начале

координат, дВ — его граница (единичная окружность), Z = {(£, s) | £ g дБ, s G [—1, 1]} — цилиндр.

Преобразование Радона 31: ¿2(В) L2(Z) функции / задается формулой

(Я/)(£,в) = / f(xl(s,t,a),x2(s,t,a))dt, (1)

%/ —оо

где £ = (cosa,sino) _L x1(s,t,a) = scosa — ísina, x2(s,t,a) = ssina +1 cosa.

Под формулой обращения (решением интегрального уравнения (1)) понимается композиция операторов, позволяющая восстановить искомую функцию / по известным значениям ее преобразования Радона. Оператор обратной проекции

1

(3l*g)(x) = —- / (/(^(a),^1 cosa + х2 sin a) da, (2)

2 Л" Jo

действует на функции д 6 L2(Z), и, в частности, на д = 31 f. Этот оператор, являясь усреднением значений преобразования Радона, вычисленного вдоль всех прямых, проходящих через точку х, позволяет "вернуться" из пространства функций, зависящих от переменных s, в пространство функций, зависящих от исходной переменной х.

Потенциал Рисса определяется с помощью преобразования Фурье,

(3>Hj/) = \у\~аф{у),

a < 2. Если оператор Рисса 3a применяется к функции, определенной на цилиндре Z, он действует по второй переменной. Если >р S S(M2), то функция (3aipf~(y) принадлежит L\(R2), поэтому 3~а(3а<р) = <р. Для f е S(R2), a < 2, справедлива формула обращения

f = д = Я/. (3)

Введем класс потенциалов, с помощью которых можно описать разрывные, непрерывные и С^-гладкие, k G N, тензорные поля, а также поля с разрывами в производных. Из физических соображений естественно полагать, что речь идет о разрывах 1-го рода.

Область DcM2 такая, что D С В, состоит из конечного числа непересекающихся подобластей {Di}, i = 1 ,...,N, таких что объединение Dq = UDi этих подобластей плотно в D, а их границы гладкие класса С1. Отметим, во-первых, что D может быть многосвязной, а, во-вторых, D может совпадать с В. Нетрудно заметить, что dD с сШо, а граница

dD0 совпадает с объединением границ UDi подобластей Di, i = 1,..., N. Важное требование к границам состоит в том, что они не должны содержать прямолинейных участков.

Пусть функция <р(х) класса Ск определена в В, причем она обращается в 0 на множествах Ж2 \ В, В \ D, а ее носитель совпадет с замыканием D, suppip = D. В точках (xl,x2) е D области D функция ip(x) бесконечно дифференцируема. В точках (х1, х2) € ODq она непрерывно дифференцируема до fc-ro порядка включительно и обращается в 0. В силу своей гладкости в области D функция >*р обладает частными производными любого порядка. Что касается точек, принадлежащих ODq,

д1ш

то в них все частные производные ,. ■ow—I = 0,..., к, j < I,

о{х1)1д(х2у-з

до порядка к включительно непрерывны, а производные порядка к + 1 терпят разрыв 1-го рода. Будем говорить, что функция (р является потенциалом гладкости Ск, или Ск-потенциалом в М2. В дальнейшем эти обозначения будут закреплены именно за описанном выше классом потенциалов.

Наряду с известными операторами градиента d : Нк{В) —> Hk~1(S1(B)) и дивергенции 8 : ^(S^B)) Я^-^Б) определим операторы ортогонального градиента d-1- : Нк(В) —> Hk~1(S1(B)), и ортогональной дивергенции (J-1- : Hk(S1(B)) —> Нк~1(В),

dWd^btd^и-«).

Напомним, что векторное поле и £ Hk(S1(B)) потенциально, если существует функция tp е Нк+1(В), такая что и = dip. Поле v € Нк (Sl (В)) соленоидально, если Sv G Нк~1(В) = 0. Для всякого соленоидально-го векторного поля v существует потенциал "ф 6 Нк+1(В), такой что d€ Hk(S1(B)). Векторное поле dh е Ch(S1(B)) гармоническое, если h — гармоническая в В функция.

Сформулируем теорему Гельмгольца-Ходжа о разложении векторного поля.

Для любого векторного поля w G Hl (S1(B)) имеет место единственное разложение

w = v+ dh + dtp, Sv- 0, ф\дв~0, (v,u)\aB = 0, (4)

где di/; — потенциальное векторное поле, v — соленоидальное векторное поле, a dh — гармоническое векторное поле; v — вектор внешней к границе дВ нормали, v 6 Hq(S1(B)), гЬ 6 Щ(В). Часто векторные поля

рассматриваются в классе С^-потенциалов, к ^ 0, и тогда в разложении гармоническая часть отсутствует,

w = v + u = áLip + dipi Sv = 0, <р, ф \ав = 0, (5)

Продольное и поперечное лучевые преобразования векторных полей v(x), и(х), х 6 В, s € [—1,1],

/оо />оо

(j/,ü(s$ + í77))dí= / (Г?1^ +í?2V2)í/Í. (6)

-оо «/ —оо

/ОО /»ОС

(e,«(sí + ¿r?)>dí= / (^«i+^ttajdí. (7)

-оо J — оо

Здесь ё дВ, £ = (cos a, sin а) — нормальный вектор прямой, r¡ = (—sina, cosa) — направляющий вектор прямой, 77 = вдоль которой осуществляется интегрирование.

Свойства лучевых преобразований и формулы обращения сформулируем для класса векторных полей с потенциалами из Ск(В), к ^ 0.

Предложение 1. Пусть v € Ck(S1(B)) — соленоидальное, и 6 Ck(S1(B)) — потенциальное векторное поле, к целое, к ^ —1. Тогда справедливы следующие свойства:

1) существуют <р, ф € Ск+1(В), такие что v = dií = dip;

2) если <л V € Cfc+1(B), ft > 1, то S( ¿ф) = Аф, 5(dV) = 0, 6х(dip) = 0, 5x{d±v) = А<р;

3) (0>и)(^,«)=0, (3>-4;)(É,S)=0;

4) поперечное лучевое преобразование поля и & Ck(S1(B)), и = dip, гр € Ск+1(В), и продольное лучевое преобразование поля v € Ск (S1 (В)), V = d^tp, ip € Ск+1(В), связано с преобразованием Радона их потенциалов ф, <р соотношениями

i^U^s) = =

Приведем формулы обращения для компонент векторного поля в предположении что даны продольное (6) и поперечное (7) лучевые преобразования поля w. Запишем эти преобразования в форме системы уравнений,

"Pw = ti1 (Hwi) + 772 (Яи>2) =-sina(3?wi) + cosa^u^)

= ^(5lwi) +t2(Rw2) = cos ctftwi) + sina(^w2),

относительно неизвестных (Jiu^). Разрешая эту систему, полу-

чим выражения

ftwi = r¡l(7w) +7ffi^w) = -sina(3y) + cosa^-1«;)

(9)

:Ru,2 = ^ (Уги) + £2 (T-Lw) = cos a {7w) + sin а (У-'-го)

для преобразований Радона "Riv 1, 31«,'2 компонент неизвестного векторного поля w в зависимости от известных лучевых преобразований СPw и 'Jl±w. Применяя к обеим частям полученных выражений любую из многочисленных формул обращения оператора Радона, получим компоненты wi, U>2 искомого поля.

Раздел 1.2 посвящен исследованию симметричных 2-тензорных полей и обоснованию формул обращения для их лучевых преобразований. Даны определения продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований симметричных 2-тензорных полей. Доказана теорема разложения, аналогичная теореме Гельмгольца-Ходжа для векторных полей, описаны области значений и ядра всех трех типов лучевых преобразований. Определены операторы обратной проекции и обоснована процедура сведения формул обращения для лучевых преобразований симметричных 2-тензорных полей к формулам обращения для преобразования Радона. Как и в векторном случае, имеются два способа обращения операторов. Один способ дает в результате потенциал одной из трех частей искомого поля, другой — компоненты этого поля.

В разделе 1.3 результаты, изложенные в предыдущих разделах главы, обобщаются на симметричные тензорные поля произвольного ранга. Предложена их классификация, на основе которой получена теорема разложения типа Гельмгольца-Ходжа в классе полей с Ск-потенциалами. Даны определения продольного, смешанных и поперечного лучевых преобразований симметричных m-тензорных полей, т > 1. Описаны их свойства, связи с преобразованием Радона их потенциалов и ядра. Задача обращения операторов лучевых преобразований сведена к задаче обращения преобразования Радона.

Симметричные m-тензорные поля строятся с помощью следующих двух дифференциальных операторов. Оператор внутреннего дифференцирования d : Hk{Sm(B)) ->■ H^^S^HB)),

(т ч

®il-Im;i "Ь Wil...ik-1jik + l---im-,ikJ, (10)

действует на симметричное m-тензорное поле w и дает симметричное (то + 1)-тензорное поле и. Запись wM,..¿m;j означает частную производ-

ную компоненты ?^1...гт по переменной х^. Оператор внутреннего дифференцирования а-1 : Нк(Зт(В)) ->• Нк-1(Зт+1(В)),

= гп+1 — ^■Уг^г1..ЛТп;3-з + ( — ,

действует по аналогии с оператором <1.

Предложение 2. а) Операторы Ах, (1 коммутативны, т.е. (с!-1«!)?« = (сЫ^К и? е Я'г(5т(5)).

Ь) Пусть задан потенциал <р € Ск(В), к > т — 1. Существует т + 1 различных симметричных т-тензорных полей

(а^Г-1^, • • ■, (^Г^,..., ат<£>,

порожденных потенциалом <р. Поле соленоидалъно, остальные

т полей потенциальны.

Детальное разложение симметричного т-тензорного поля базируется на следующем результате.

Теорема 1. [В. А. Шарафутдинов] Для каждого поля ш е Ск(Зт{В)), к > т — 1, существуют потенциальное и е Ск+1 (Я"1'1 (В)) и солено-идальное V Ск(Зт(В)) симметричные т-тензорные поля, такие что

ги = V + с1и, 5у = 0.

Теорема 2. Для каждого поля IV € Ск~т(Згп(В)) существуют потенциальные ... е Ск~т(Зт{В)) и соленоидальное V е Ск~Тп(Зт(В)) симметричные т-тензорные поля, к ^ т, и потенциалы ..., 6 Ск(В), такие что

т т

и, = V + иО) = + ^ (а^)"1^' {¿УФи\ ёу = 0.

3 = \ 3 = 1

Смешанные лучевые преобразования симметричного т-тензорного поля ги(х,у) = (гУг!,...,гт)5 {х,у) £ В, и/ £ 1/2(5т(Л)), задающиеся формулой

J — оо

к = 0,1,..., т — 1, т, служат исходными данными для решения задачи реконструкции симметричного т-тензорного поля.

При к = 0 это — продольное лучевое преобразование, со своим обозначением CP,

/ОО РОО

(т1mM*S + tv))dt= / Vil---Vimwil,...,imdt,

-ос J — ОО

а при к = га — поперечное, с выделенным обозначением

/ОО Л ОС

-оо ^ — ОО

Следующая система уравнений связывает лучевые преобразования У^Цт], s), j = 0,..., m, симметричного ш-тензорного поля w, w = v + YlY=i + и, c преобразованиями Радона его компонент Ш1...11, w.'i...i2, ■••, W2...22,

Pi:= 7w{a,s)= ф ... rf^rf™ (Rwh...im){a, s),

P2:= ?^w(a,s)= ф ...rj^C-iRwi^.iJi^s),

Pm+1:= ?±w{a,s)= С1?2 ■.■€m{Rwil...im){ a, s).

(12)

Показано, что матрица А указанной системы уравнений ортогональна, и А2 = Е, где Е — единичная матрица размера (т + 1) х (т +1). Поэтому задача сводится к обращению преобразования Радона, так как решение системы (12) можно получить явно:

(13)

Применением к обеим частям уравнений системы любых формул обращения для преобразования Радона задача окончательно решается.

Во второй главе представлен алгоритм решения задачи рефракционной томографии или, иными словами, задачи эмиссионной томографии, поставленной в рефрагирующей среды с произвольным переменным поглощением. Требуется найти распределение внутренних источников по его известному экспоненциальному лучевому преобразованию. Используется алгоритм, построенный на основе метода наименьших квадратов. Задача томографии в стандартной постановке некорректна,

но мы показываем, что если справедлива определенная оценка на томографический оператор, действующий в паре соболевских пространств, то МНК-аппроксимация /¿дг = Фк уравнения А/ = д$ с приближенно заданной правой частью д$, Ц35 — Л/Ц < 5, сходится к точному решению задачи безусловно, ||/ — fsN\\ 0, при 6 —> О, N —> оо. Здесь — базис в исходном пространстве, I = 1,..., И,____

Предложен конструктивный метод решения рассматриваемой задачи, построен и обоснован алгоритм ее решения. Проанализированы составляющие его блоки и подобраны адекватные задаче способы их алгоритмической реализации. Достаточно подробное описание алгоритма обусловлено тем обстоятельством, что его основные блоки используются и для решения задач векторной и тензорной томографии, рассматриваемых в следующих главах.

Раздел 2.1 содержит постановку задачи. Пусть М — ограниченная область в К", п = 2,3, д — определенная на М риманова метрика. Считаем, что граница строго выпукла (относительно метрики д) и М не содержит геодезических бесконечной длины. В этих условиях пару (М, д) называют компактным рассеивающим римановъш многообразием, (КРРМ). Введем следующие обозначения:

- ТМ = {(ж, £) | х € М, £ е К"} — касательное расслоение многообразия М;

- 0.М = {{х,£) £ ТМ | |£|2 = д^С^ = 1} — ег0 подпространство, состоящее из единичных в метрике д векторов;

Т°М = {(х,0 етм\ е^О}; д±ПМ = {(х,С) € ПМ | х е дМ\ ±{£, и{х)) > 0}; ~~ (¿) — максимальная геодезическая, удовлетворяющая начальным условиям 7а:,^(0) = х; 7x^(0) = определенная на отрезке

Пусть (М,д) — КРРМ и е е С°°(М) — вещественная функция, называемая поглощением. Экспоненциальным лучевым преобразованием, соответствующим поглощению е, называется линейный оператор

3£ : С00(М)^С00(д+ПМ), (14)

определяемый равенством

о = Г /(7х,€(0) ехР { - е(7*,е00) ¿Л <а, (15)

где € д+ÜM, : [т_(ж,£),0] M — максимальная геодезиче-

ская, определяемая начальными условиями — х; 7x,i(0) =

Важное свойство оператора (14) состоит в том, что он продолжается до ограниченного оператора 3£ : Нк{М) —>■ Нк(д+ПМ) при любом целом к > 0. В частности, из I2 в ¿2-

Задача состоит в определении функции распределения источников / по известному на д+О.М экспоненциальному лучевому преобразованию, если поглощение е и метрика g заданы.

Сформулируем условия обратимости оператора (15).

Теорема 3. Пусть (Ai, g) — КРРМ и е & С°°(М). Предположим, что для всякой точки (х, £) 6 ÇIM уравнение

^г +R(t)y = Q (16)

не имеет сопряженных точек на геодезической 7 = 7Tjç : [т_(ж,£),т+(а;,£)] —> М. Здесь D/dt — абсолютная производная вдоль £

7; а R(t) : T^(t)M —>■ Tl{t)M — линейный оператор, определяемый в координатах равенством

m) = kjkliji\ (17)

где £

Rijkl= Rijkl + £ (9ik9jl — 9il9jk)) a Rijki — тензор кривизны. Тогда оператор

0£ : Я1 (А/) -> Н^д+ПМ) (18)

обратим и для / G H1 (M) справедлива оценка устойчивости

У\\ь2(М) ^ С \\1£ПНЧд+пм) (19)

с не зависящей от / постоянной С.

В разделе 2.2 описывается общая схема модифицированного метода наименьших квадратов, которая используется для решения поставленной задачи.

Наличие оценки (19) позволяет модифицировать стандартный алгоритм МНК в соответствии со следующий общей схемой.

Пусть Hi, Hi, W — гильбертовы пространства; вложение Н\ С //2 непрерывно и Н\ плотно в А : Hi —ï W — линейный ограниченный оператор,

И/11 ||/||„, /6Я,.

такой, что

Н/11н2 < \\Af\\w

Тогда МНК -решение fsiv — ^к Vk уравнения

Af=9s, \\9s-Af\\w<6 сходится к точному, ||/ — /<5лг||я2 0 при 6 —> О, N —¥ оо, где {</>;} —

базис в Hi, I = 1,..., N,____В нашем случае Hi := Hl(B), Н2 := Хг(-В),

W := Н1{д+ПВ).

Раздел 2.3 посвящен описанию вычислительных инструментов, используемых в алгоритме. Метод Рунге-Кутты и его модификация — схема Мерсона, наряду с квадратурными формулами используются для вычисления экспоненциального лучевого преобразования базисных функций, т.е. многочленов и В-сплайнов, вдоль геодезических заданной рима-новой метрики. Быстрое преобразование Фурье применяем для быстрого вычисления скалярных произведений в соболевских пространствах. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений — орто-гонализация и метод Холецкого.

В разделе 2.4 впервые предложен алгоритм послойного решения задачи рефракционной томографии, поставленной в цилиндрической области. Описан класс римановых метрик, допускающих наличие вполне геодезических подмногообразий размерности 2. Для таких метрик трехмерная задача сводится к решению серии двумерных задач.

Раздел 2.5 содержит описания, результаты и выводы ряда численных экспериментов, направленных на всестороннее исследование свойств предложенного алгоритма.

Третья глава посвящена обоснованию алгоритмов приближенного решения задачи векторной томографии, поставленной в единичном круге без учета рефракции, на основе метода наименьших квадратов.

В разделе 3.1 описывается постановка задачи. Задача векторной томографии (ВТ) может быть поставлены в трех вариантах.

1. Задача ВТ 1. Пусть задано продольное лучевое преобразование векторного поля ги(х), х € В, У : Hk{S1(B)) -» Hk(Z), к > 0, определяемое формулой

/оо

(tüi(s£ + trjjr)1 + w2{s£, + trj)T]2)dt.

-оо

Здесь (rj, s) £ Z, £ = (eos a, sin a) _L r¡ = (—sin a, cosa) ||

Требуется найти соленоидальную часть v(x) векторного поля w = v + и := dJ"V + d</3. Потенциальная часть dip по этим данным не может быть найдена, так как она является ядром оператора О3.

2. Задача ВТ 2. Пусть задано поперечное лучевое преобразование векторного поля w(x), х е В, СРХ : Hk(S1{B)) Hk(Z), к > О, определяемое соотношением

/оо

(u>i(s£ + trj+ w2(s£ + tr])e)dt,

-ос

(£,s) G Z, £ = (cosa,sina) -L т] = (— sina,cosa) ||

Требуется найти потенциальную часть и(х) векторного поля w = v 4-и := d^ip+dcp. Соленоидальная часть d±ф принадлежит ядру оператора У-1, поэтому по этим данным ее найти невозможно.

3. Задача ВТ 3. Заданы продольное и поперечное лучевые преобразования. Найти векторное поле w = v + и := d~4/> + dip.

Раздел 3.2 содержит обоснование МНК-алгоритма с использованием покоординатных базисов на основе многочленов. На основе базиса pi,p2, ■ ■ ■ ,Ркт ■ ■ в пространстве Н2(В) строится базис векторных полей (pi,0), (0,pi), (р2,0), (0,р2), ■ ■ ■, (рк, 0), (0,рк), — Использование МНК дает аппроксимацию wapp векторного поля, которая содержит как соленоидальную, так и потенциальную части, в силу структуры базиса.

Если в качестве исходных данных выступало продольное лучевое преобразование Т поля w, то далее необходимо найти потенциал ip потенциальной части dip поля путем решения однородной краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона Sdip = Swapp, подействовать на него оператором d, и вычесть полученное потенциальное поле dip из аппроксимации, wapp — dp. В результате мы получаем приближение искомой соленоидальной части d^-tp векторного поля.

Если же в качестве исходных данных выступало поперечное лучевое преобразование У1- поля и:, то далее необходимо найти потенциал ф соленоидальной части dx поля путем решения однородной краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона 5х&±ф = 5xwapp, подействовать на него оператором dx, и вычесть полученное соленоидальное поле dхф из аппроксимации, wapp — d±ф. В результате мы получаем приближение искомой потенциальной части dip векторного поля.

Полиномиальная аппроксимация потенциалов ip или ф, соленоидаль-ного или потенциального поля, находится путем явного решения сформулированных выше краевых задач. В разделе 3.3 приведено описание этой процедуры.

В разделах 3.4 и 3.6, на основе полиномов и В-сплайнов, строятся базисы подпространств соленоидальных векторных полей, заданных в круге и шаре.

В круге базисы подпространства соленоидальных векторных полей конструируются по правилу р^ —> (—др^/дх2, др^/дх1) = , а подпространства потенциальных — по правилу -4 (др^/дх^, др^/дх2) = ф>_,) полей. Базисы сконструированы на основе полиномов (нелокальные) и В-сплайпов (локальные). Условно этот подход аппроксимации векторного поля по базисным элементам подпространств соленоидальных и потенциальных полей, можно назвать методом прямого восстановления.

Раздел 3.5 посвящен обоснованию метода прямого восстановления на примере задачи определения соленоидальной части векторного поля путем его аппроксимации на основе соленоидальных базисов. Решены следующие вопросы: а) существование полиномиального разложения произвольного векторного поля полиномиального типа, заданного в круге; б) единственность такого разложения; в) сходимость соленоидальной части полиномиальной аппроксимации векторного поля к соленоидальной части исходного векторного поля.

Теорема 4. Пусть ги = (тх, гиг) £ В1 (в1 (В)) — полиномиальное однородное степени п+ 1 векторное поле. Тогда имеет место разложение

гп = и)3 +<1у + д, 6и>3 =0, V \ам= 0, (20)

где и;3 — полиномиальное однородное степени п +1 соленоидальное векторное поле, а с1г> — полиномиальное потенциальное поле, являющееся суммой однородных полей степеней п + 1, п — 1, д — полиномиальное однородное степени тг — 1 векторное поле, ги*1 £ Я'1(51(,В)), у £ Н2(В), д е Н1(31(В)). Разложение (20) единственно.

Теорема 5. Для всякого векторного поля и/' 6 Н1(31(В)), компоненты которого гу", ги." являются полиномами степени не более п, существуют такие однозначно определенные (гоя)" € Н1(31(В)) и уп+1 е н2{В), что

гип = Ю"+(1(г;"+1), 6(ю3)п = 0, уп+1 \ав= 0, (21)

компоненты которых являются полиномами степени не выше п и (п + 1) соответственно.

Теорема 6. Пусть т £ Н1(31(В)) — векторное поле. Тогда существует последовательность соленоидальных аппроксимаций, основанных на базисе, состоящем из соленоидальных векторных полей, сходящаяся к соленоидальной части IV3 исходного поля ю.

Построение базиса потенциальных векторных полей в шаре не представляет трудностей. Базис, состоящий из соленоидальных векторных полей, заданных в шаре, строится существенно более сложной процедурой с использованием операторов градиента и ротора. Как и в двумерном случае, для векторных полей в шаре:

- получено полиномиальное разложение произвольного полиномиального векторного поля, т.е. доказано, что для всякого полиномиального векторного поля, заданного в шаре существует разложение на солено-идальную и потенциальную части, состоящее из полиномиальных же полей, причем степени не более чем исходное;

- показана единственность такого разложения;

- доказана сходимости соленоидальной части полиномиальной аппроксимации векторного поля к соленоидальной части исходного векторного поля, заданного в шаре.

В разделе 3.7 описываются результаты численных экспериментов.

В четвертой главе построены и обоснованы алгоритмы, позволяющие восстанавливать векторное поле в среде с рефракцией. В разделе 4.1 приводится постановка задачи.

Пусть известна аппроксимация векторного поля wapp, полученная по продольному лучевому преобразованию СР. Известно, что

wapp = v + d<p, ¥> = 0| ев, Sv = 0.

Тогда ödip = Swapp, ip \эв = 0. <5d — оператор Лапласа Бельтрами,

Требуется решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона с оператором Лапласа-Бельтрами. Если задача решена, то по известному потенциалу ip находим dip, и тогда vapp := wapp — dip. Если аппроксимация wapp получена по CP-1", то

wapp = d^ip + и, ф = 0\эв, 6±и = 0.

Действуя на обе части оператором J-1, получаем 5Lvjapp, ф |ов = 0, где ¿^d1- — оператор Лапласа-Бельтрами. Далее действуем по следующей схеме: ф => d^ф => иарр := wapp — й^-ф.

В разделе 4.2 описана общая схема алгоритма восстановления потенциала векторного поля сеточными методами. Алгоритм включает в себя следующие шаги:

- построение семейства непрерывных отображений круга в квадрат, индуцирующих другую риманову метрику и соответственно, преобразование оператора Бельтрами-Лапласа в оператор с другими коэффициентами. Рассмотрены два варианта, когда в круге задана евклидова метрика, и когда в круге задана риманова метрика (раздел 4.3);

- численное решение эллиптической задачи в квадрате, итерациями по операторам, с начальным приближением оператором Лапласа. Алгоритм предложен и обоснован в разделе 4.4;

- использование обратного отображения позволяет найти потенциал <р (или ф) соленоидального поля и (потенциального поля и) в круге и, далее сами поля ¿<р (или с^ф);

- решение задачи тогда уарр := тарр — с1<р (либо иарр := гиарр — А^-ф). Последний раздел 4.5, как и в других главах, посвящен изложению результатов численных экспериментов.

В пятой главе рассмотрена задача восстановления симметричного 2-тензорного поля. Предложены, обоснованы и реализованы МНК-алгоритмы, приводящие к решению этой задачи. Структура главы очень близка структуре главы 3, за исключением трехмерного случая, который в данной главе не рассматривается. В разделе 5.1 поставлена задача восстановления соленоидальной части поля по его известному продольному лучевому преобразованию; приведены сопутствующие сведения общего характера. Задачи восстановления потенциальных частей по известным поперечному и смешанному лучевым преобразованиям ставятся и решаются с очевидными небольшими видоизменениями, поэтому в деталях не рассматриваются.

Разделы 5.2 и 5.3 посвящены изложению способа аппроксимации симметричного 2-тензорного поля с помощью покоординатного базиса, построенного на основе многочленов. Обоснована и описана процедура определения потенциальной части поля путем явного решения краевой задачи для эллиптической системы, состоящей из уравнений второго порядка, Ми = 6и>£ с краевым условием V \ов= 0, которую можно записать в развернутом виде

и VI \,эв= Щ |ав= 0. Сформулированная однородная краевая задача для любой правой части из Ь2(81(В)) имеет единственное решение в

(22)

пространстве Н2(31(В)). После того, как краевая задача решена, находится приближение потенциальной части (с1г;)£ исходного тензорного поля и, затем, приближение искомой соленоидальной части гия поля IV по формуле гу| = ше — (с!г;)е.

В разделе 5.4 обоснован способ прямого восстановления соленоидальной части симметричного 2-тензорного поля путем его аппроксимации с помощью базиса, построенного из соленоидальных симметричных 2-тензорных полей. Доказано существование полиномиального разложения симметричного 2-тензорного поля полиномиального типа, заданного в круге, его единственность и сходимость соленоидальной части полиномиальной аппроксимации симметричного 2-тензорного поля к соленоидальной части исходного поля. В разделе 5.5 содержатся численные эксперименты и выводы.

Шестая глава посвящена алгоритмам восстановления векторных и симметричных 2-тензорных полей (или их частей) по известным лучевым преобразованиям. Алгоритмы основаны на методе сингулярного разложения соответствующих томографических операторов. В разделе 6.1 приведены необходимые для построения сингулярных разложений предварительные сведения и результаты.

Пусть Н, К — гильбертовы пространства, А : Н —» К — линейный ограниченный оператор. Задача состоит в приближенном решении уравнение

Л/ = д.

Сингулярным разложением оператора А называется его представление вида

•А/ = ^2<Тк{/,/к)н9к-

ь=1

Здесь (/&), (<3к) — нормированные ортогональные системы в Н и К, <Тк — сингулярные числа оператора А. Если оператор А допускает сингулярное разложение, то оператор Мура-Пенроуза, дающий нормальное решение, представим в виде ряда

оо

А+д = ^сгй1{9^9к)к1к-к-1

Известно (см., например, Треногин (1980)), что вполне непрерывные операторы допускают сингулярное разложение.

Сингулярное разложение преобразования Радона хорошо известно. Семейство функций

= а - - у2унг^{х,у)р£+1+2и>к+1\х2+У2),

где к, п = 0,1,2,..., V ^ —1/2; Ну. — гармонические функции, —

ортогональные на интервале [0,1] многочлены Якоби, формируют ортогональную систему в Ь2{В) с нормами

Пф ц2 __Г(п + 2и + 1)

II МПЫВ) 2(к + 2п + 1)Ск+кГ(к + п + 2и+1у

В разделе 6.2 впервые построены сингулярные разложения продольного и поперечного лучевых преобразований векторных полей. Для этого, применяя к потенциалам системы

у) = (1-х2- у2)НГ'°'т(х, у)Ркк+2^ {х2 + У2),

операторы с! и получаем ортогональные (в Ь2(51(В))) системы потенциальных и соленоидальных векторных полей, образы которых, под действием лучевых преобразований, также ортогональны в весовом пространстве Ь2(2, (1 — в2)-1/2). Нахождение сингулярных значений томографических операторов завершает построение их сингулярных разложений.

В разделе 6.3 строятся сингулярные разложения операторов лучевых преобразований симметричных 2-тензорных полей. Для построения ортогональных базисов подпространств полей исходная система потенциалов выбирается следующим образом,

*Г/Ш(х,у) = (1 - х2 - у2)2НГ'^(х,у)Р^+3'к+1\х2 + у2), (23)

к, п = 0,1,2,... Применяя к потенциалам операторы с!2 и (М-1, получим потенциальные симметричные 2-тензорные поля двух типов. Применяя оператор (с!-1)2 — соленоидальные поля. По аналогичной примененной в предыдущем разделе схеме получаем сингулярные разложения операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований.

В разделе 6.4 описаны и проанализированы численные эксперименты, подтвердившие обоснованность и перспективность предложенного подхода.

В седьмой главе рассматривается задача визуализации сингулярного носителя тензорных полей малого ранга, заданных в единичном круге. Наряду с модификацией известного оператора Вайнберга, для решения поставленной задачи используются операторы обратной проекции и операторы векторного и тензорного анализа. В разделе 7.1 приводится постановка задача и основные сведения, необходимые в дальнейшем. В разделе 7.2 исследовано поведение индикаторов разрыва векторного

поля вблизи границы его носителя. В разделе 7.3 описываются численные эксперименты и на основе их результатов делаются выводы о применимости описываемых подходов.

Заключение содержит общие выводы.

В приложениях приведены формулы, описаны функции и римано-вы метрики, используемые в тестовых расчетах; определения и свойства ортогональных многочленов; часть результатов численных экспериментов, собранных в таблицах, графиках и иллюстрациях.

Основные публикации из списка ВАК

[1] Деревцов, Е.Ю. Приближенное решение задачи реконструкции тензорного поля второй валентности с помощью полиномиальных базисов / Е.Ю. Деревцов, И.Г. Кашина // Сиб. Ж. Индустриальной матем. - 2002. Том V, №1(9). - С. 39-62.

[2] Деревцов, Е. Ю. Численное решение задачи векторной томографии с помощью полиномиальных базисов / Е.Ю. Деревцов, И.Г. Кашина // Сиб. Ж. Вычислительной матем. - 2002. Том 5, №3. - С. 233-254.

[3] Аниконов, Ю.Е. Численное решение обратной кинематической задачи сейсмики с внутренними источниками / Ю.Е. Аниконов, В.В. Богданов, Е.Ю. Деревцов, B.J1. Мирошниченко, H.A. Сапожникова // Сиб. Ж. Индустриальной матем. - 2006. - T. IX, №4(28). - С. 3-26.

[4] Деревцов, Е.Ю. Использование В-сплайнов в задаче эмиссионной 2£)-томографии в рефрагирующей среде / Е.Ю. Деревцов, И.Е. Све-тов Ю.С. Волков // Сиб. Ж. Индустриальной матем. - 2008. - Т. XI, №3(35). - С. 45-60.

[5] Anikonov, Yu.E. Some approaches to a numerical solution for the multidimensional inverse kinematic problem of seismics with inner sources / Yu.E. Anikonov, V.V. Bogdanov, E.Yu. Derevtsov, V.L. Miroshnichenko, N.B. Pivovarova, L.B. Slavina //J. Inv. Ill-posed Prob. - 2009. - Vol. 17, No. 3. - P. 209-238.

[6] Деревцов, Е.Ю. Восстановление векторного поля и его сингулярно-стей по лучевым преобразованиям / Е.Ю. Деревцов, В.В. Пикалов // Сиб. Ж. Вычислительной матем. - 2011. - Т. 14, №1. - С. 25-42.

[7] Аниконов, Ю.Е. О критерии горизонтальной однородности среды в обратной кинематической задаче сейсмики / Ю.Е. Аниконов, Ю.С. Волков, С.Б. Горшкалев, Е.Ю. Деревцов, C.B. Мальцева // Вестник НГУ. Сер. матем., мех., информ. - 2011. Т. 11, вып. 3. - С. 3-19.

[8] Derevtsov, E.Yu. Singular value decomposition and its application to numerical inversion for ray transforms in 2D vector tomography / E.Yu. Derevtsov, A.V. Efimov, A.K. Louis, T. Schuster // J. Inv. Ill-Posed Prob. - 2011. - Vol. 19, No. 4. - P. 611-637.

[9] Деревцов, Е.Ю. Решение задачи интегральной геометрии 2-тензор-ных полей методом сингулярного разложения / Е.Ю. Деревцов, А.П. Полякова // Вестник НГУ. Сер. матем., мех., информ. - 2012.Т. 12, вып. 3.- С. 73-94.

[10] Svetov, I.E. A numerical solver based on B-splines for 2D vector field tomography in a refracting medium / I.E. Svetov, E.Yu. Derevtsov, Yu.S. Volkov, T. Schuster // Mathematics and Computers in Simulation. - 2014. - Vol. 97. P. 207-223.

Другие публикации автора по теме диссертации

[11] Derevtsov, E.Yu. Numerical solution of the emission 2D-tomography problem for a medium with absorption and refraction / E.Yu. Derevtsov, A.G. Kleshchev, V.A. Sharafutdinov //J. Inv. Ill-posed Prob. - 1999. - Vol. 7, No. 1. P. 83-103.

[12] Derevtsov, E. Yu. Influence of refraction to the accuracy of a solution for the 2D-emission tomography problem / E.Yu. Derevtsov, R. Dietz, A.K. Louis, T. Schuster //J. Inv. Ill-posed Prob. - 2000. - Vol. 8, No. 2. P. 161-191.

[13] Bezuglova, M.A. The reconstruction of a vector field by finite difference methods / M.A. Bezuglova, E.Yu. Derevtsov, S.B. Sorokin //J. Inv. Ill-posed Prob. - 2002. - Vol. 10, No. 2. - P. 125-154.

[14] Derevtsov, E.Yu. Two approaches to the problem of defect correction in vector field tomography solving boundary value problems / E.Yu. Derevtsov, A.K. Louis, T. Schuster //J. Inv. Ill-posed Prob. - 2004. -Vol. 12 No. 6. - P. 597-626.

[15] Derevtsov, E.Yu. An approach to direct reconstruction of a solenoidal part in vector and tensor tomography problems / E.Yu. Derevtsov // J. Inv. Ill-posed Prob. - 2005. - Vol. 13, No. 3-6. - P. 213-246.

[16] Derevtsov, E.Yu. Polynomial bases for subspaces of vector fields in the unit ball. Method of ridge functions / E. Yu. Derevtsov, S.G. Kazantsev, T. Schuster // J. Inv. Ill-posed Prob. - 2007. - Vol. 15, No 1. - P. 1-38.

[17] Derevtsov, E.Yu. Application of local operators for numerical reconstruction of a singular support of a vector field by its known ray transforms / E.Yu. Derevtsov, V.V. Pickalov, T. Schuster // Journal of Physics: Conference Series. IOP Publishing. - 2008. - Vol. 135, 012035.

- 6th International Conference on Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice. - June 15-19, 2008. - Dourdan, France. - 8 P.

[18] Derevtsov, E.Yu. Numerical B-spline solution of emission and vector 2D-tomography problems for media with absorbtion and refraction / E.Yu. Derevtsov, I.E. Svetov, Yu.S. Volkov, T. Schuster // Proceedings 8 International Conference on Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering SIBIRCON-O8. - Novosibirsk Scientific Center, Novosibirsk, Russia. - July 21-25, 2008. - P. 212-217.

[19] Деревцов, Е.Ю. Некоторые подходы к задаче визуализации сингулярного носителя скалярных, векторных и тензорных полей по томографическим данным / Е.Ю. Деревцов // Сиб. Электронные Ма-тем. Известия. - 2008. - Т. 5. - С. 632-646.

[20] Деревцов, Е.Ю. Некоторые задачи нескалярной томографии / Е.Ю. Деревцов // Сиб. Электронные Матем. Известия. - Труды первой международной молодежной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". - Часть I. - 2010. - Т. 7. С. С.81-С.111.

Подписано в печать 02.07.2014 г. Печать цифровая. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2 Тираж 100 экз. Заказ №.

Отпечатано в типографии "Срочная полиграфия" ИП Малыгин Алексей Михайлович 630090, Новосибирск, пр. Акад. М. А. Лаврентьева, 6.1, оф 104 Тел. (383) 217-43-46, 8-913-922-19-07