автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Приближение решений задач тензорной томографии рядами по локальным и ортогональным базисам

На правах рукописи

ПОЛЯКОВА Анна Петровна

Приближение решений задач тензорной томографии рядами по локальным и ортогональным базисам

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 г СЕН 2013

Новосибирск - 2013

005532801

005532801

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель:

Деревцов Евгений Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент

Официальные оппоненты:

Пикалов Валерий Владимирович, доктор физико-математических наук, ФГБУН Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Хри-стиановича СО РАН, главный научный сотрудник

Шишленин Максим Александрович, кандидат физико-математических наук, ФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, старший научный сотрудник

Ведущая организация: ФГБУН Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Защита состоится 10 октября 2013 г. в 15 ч. 00 м. на заседании диссертационного совета Д 003.015.04 при ФГБУН Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУН Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан ¿0 августа 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

В. Л. Мирошниченко

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Методы томографического, то есть послойного исследования структуры неоднородных объектов, благодаря успехам вычислительной математики и современному аппаратному оснащению, последние 50 лет развивались очень интенсивно. Наибольшее признание вычислительная томография завоевала в биологии и медицине. Особенно стремительным был рост популярности сначала рентгено-диагностической, а затем ЯМР-диагностической вычислительной томографии. В то же время быстрый прогресс медицинской томографии сопровождался зарождением и развитием многих других приложений этого весьма универсального и информативного метода интроскопии. Методы вычислительной томографии стали все глубже проникать в технику физического эксперимента, геофизику, физику космоса и астрономию, биологию и аналитическую химию, внесли кардинальные перемены в дефектоскопию промышленных изделий. Таким образом, крупные достижения диагностической вычислительной томографии в 70-ые годы явились мощным стимулом для развития приложений в различных областях естествознания и техники.

Кратко упомянем основные математические средства, на которых основаны приближенные методы и алгоритмы томографии. Наиболее привлекательны, с математической точки зрения, формулы обращения. Широкое распространение получили также и алгебраические методы, в которых на первом этапе задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений, а на втором эта система решается, как правило, итерационными методами. Ряд алгоритмов томографии основан на Фурье-анализе и так называемой теореме о центральном сечении, связывающей преобразования Фурье и Радона. Наконец, применимы и хорошо известные вариационные подходы типа метода наименьших квадратов или, с привлечением функционального анализа, сингулярного разложения соответствующих томографических операторов.

Ранее метод наименьших квадратов (МНК) успешно использовался для решения двумерных задач эмиссионной, векторной и 2-тензорной томографии. В частности, в работах Е.Ю. Деревцова МНК применялся для восстановления соленоидальной части векторного и 2-тензорного поля, соответственно, для случая прямолинейного характера распространения лучей. В этих работах в качестве аппроксимирующей последовательности выступали поля, построенные на основе однородных многочленов. В дальнейшем было предложено для решения задачи двумер-

ной эмиссионной томографии использовать в качестве аппроксимирующей последовательности двумерные В-сплаины. Численные эксперименты показали безусловное преимущество предложенного алгоритма. Далее подход с использованием МНК с базисными полями, построенными на основе двумерных В-сплаинов, был развит и на случай векторных и симметричных 2-тензорных полей. Однако у этого подхода есть и недостаток, а именно для численной реализации алгоритма необходимы большие временные затраты (по сравнению с другими подходами). Это связано с тем, что для хорошей точности восстановления необходимо с большой точностью вычислять образы базисных полей под действием лучевых преобразований.

Для обращения томографических операторов также часто используется метод разложения по сингулярным числам. Суть метода заключается в том, что оператор представляется в виде ряда по сингулярным числам и базисным элементам в пространстве образов, тогда обратный оператор будет представлять собой ряд со схожей структурой, где задействованы прообразы этих базисных элементов и те же сингулярные числа. В скалярном и векторном случаях задача решена ранее, построены разложения как оператора Радона, так и некоторых операторов лучевых преобразований векторных полей. С.Г. Казанцевым и A.A. Бух-геймом построено сингулярное разложения оператора продольного лучевого преобразования веерного типа, действующего на соленоидальные тензорные поля. В задачах томографии метод сингулярного разложения позволяет также сконструировать приближенное обращение, в котором используется априори вычисленное ядро реконструкции.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование алгоритмов численного решения задач по восстановлению двумерных тензорных полей малого ранга по их известным лучевым преобразованиям; разработка и исследование алгоритма восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона. Рассматриваются вопросы, связанные с численной реализацией всех предложенных алгоритмов.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) Модификация алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей ранга т < 2, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисных элементов, построенных на основе двумерных B-сплайнов. Получение аналитических выражений для вы-

числения образов тензорных полей малого ранга, построенных на основе двумерных В-сплайнов, под действием операторов лучевых преобразований.

2) Разработка алгоритмов для численного восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей, основанных на методе усеченного сингулярного разложения. Построение сингулярных разложений операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля.

3) Разработка алгоритма восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона, основанному на методе усеченного сингулярного разложения. Построение сингулярного разложения оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля.

4) Создание программ для численной реализации на ЭВМ всех предложенных алгоритмов и проведение численных экспериментов.

Методы исследования. Основные результаты работы получены с использованием интегральной геометрии тензорных полей, методов вычислительной математики, теории обратных и некорректных задач, методов математического моделирования. Для численного моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы прикладного программирования.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Получены аналитические выражения для образов симметричных тензорных полей ранга тп ^ 2, построенных на основе двумерных В-сплайнов, под действием лучевых преобразований. Эти формулы легли в основу модификации алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей малого ранга, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисов, построенных на основе двумерных В-сплайнов.

2) Построены сингулярные разложения операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля. Разработаны алгоритмы восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей по их известным лучевым преобразованиям, основанные на методе усеченного сингулярного разложения. Получены оценки для норм операторов приближенного обращения операторов лучевых преобразований.

3) Построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля. Разра-

ботан алгоритм восстановления потенциальной части трехмерного векторного полей по их известному нормальному преобразованию Радона, основанный на методе усеченного сингулярного разложения. Получена оценка для нормы оператора приближенного обращения оператора нормального преобразования Радона.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Предложены модификации алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей ранга тп < 2, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисов, построенных на основе двумерных В-сплайнов. Модификации заключаются в использовании полученных автором аналитических выражений для образов тензорных полей, построенных на основе двумерных В-сплайнов, под действием лучевых преобразований.

2) Разработан алгоритм восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей по их известным лучевым преобразованиям, основанный на методе усеченного сингулярного разложения. Построены сингулярные разложения операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля.

3) Разработан алгоритм для численного решения задачи по восстановлению потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона, основанный на методе усеченного сингулярного разложения. Построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля.

Практическая ценность работы. В работе предложены модификации алгоритмов восстановления двумерных тензорных полей малого ранга по их известным лучевым преобразованиям, основанных на МНК с использованием базисов, построенных на основе двумерных В-сплайнов. Построены и численно реализованы алгоритмы восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей по их известным лучевым преобразованиям, основанные на методе усеченного сингулярного разложения. Предложен и программно реализован алгоритм восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона. Все эти алгоритмы могут быть применены для обработки экспериментальных данных в физической томографии, доплеровской томографии, томографии океана, при решении задач теории упругости, в теории электромагнетизма и в других обла-

стях.

Достоверность полученных результатов и выводов обоснована теоретически, подтверждается анализом разработанных численных алгоритмов и проведением численных экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XLVI, XLVIII международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2008 и 2010гг.), международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения C.J1. Соболева (Новосибирск, 2008г.), всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009 (Новосибирск, 2009г.), первой, второй и четвертой молодежных международных научных школах-конференциях "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2009, 2010 и 2012гг.), всероссийской конференции "Методы сплайн-функций", посвященной 80-летию со дня рождения Ю.С. Завьялова (Новосибирск, 2011г.), международной конференции "Моделирование - 2012" (Украина, Киев, 2012г.), шестой международной конференции "Inverse problems: modeling and simulation" (Турция, Анталия, 2012г.), всероссийской конференции "Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования" (Новосибирск, 2012г.), международной конференции "International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences" (Венгрия, Будапешт, 2012г.), а также на семинаре отдела условно-корректных задач ИМ им. C.JI. Соболева СО РАН (рук. Романов В.Г., Аниконов Д.С.), семинаре "Математика в приложениях" ИМ им. C.JI. Соболева СО РАН (рук. Годунов С.К.), семинаре "Избранные вопросы математического анализа" ИМ им. C.JI. Соболева СО РАН (рук. Демиденко Г.В.), семинаре ИВМиМГ СО РАН (рук. Кабанихин С.И.).

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 17 работ, из них 2 входят в перечень ВАК.

Личный вклад автора. Основные научные результаты диссертационной работы получены автором лично. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в работу вошли только те результаты, в получении которых автор принял непосредственное творческое участие.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 56 наименова-

ний и четырех приложений. Содержание основного текста работы изложено на 148 страницах, содержит 25 иллюстраций, 13 таблиц.

Содержание диссертационной работы

Во введении обоснована актуальность проблем, рассматриваемых в диссертационной работе, определены основные цели и задачи исследования, показана ее научная новизна и практическая ценность, сформулированы выносимые на защиту положения и представлен краткий обзор содержания работы.

Первая глава посвящена вычислению образов тензорных полей ранга т < 2, построенных на основе двумерных Б-сплайнов, под действием операторов лучевых преобразований. Полученные аналитические выражения легли в основу модификаций алгоритмов восстановления тензорных полей, основанных на МНК.

В п. 1.1 введены определения, используемые в главах 1 и 2. В частности, сформулированы теоремы разложения двумерных векторных и 2-тензорных полей; даны определения преобразования Радона и лучевых преобразований векторных и симметричных 2-тензорных полей, описаны их свойства; определены двумерные В-сплайны. А также сформулированы основные цели главы 1.

Преобразованием Радона функции / называется оператор, который задается формулой:

+ЭС

(3lf)(s,ip)= J /(—t sin ¡p + seos ip, t cos</5 + s sin ip) dt. (1)

— oc

Переменные s, ip определяют положение единственной (отстоящей на расстояние |s| от начала координат) прямой в пучке параллельных прямых, который, в свою очередь, задается нормальным вектором г] = (eos <р, sin ср). Направляющий вектор прямой, вдоль которой ведется интегрирование, обозначим через £ = (— sin ip, cos <р).

Продольное 7, поперечное У1- и смешанное ¡Pt лучевые преобразования симметричного 2-тензорного поля w задаются формулами

ос

(Уто)(s, = У Wij(-tsmip + seostp, tcosip + ssin<p)g£,jdt, (2)

— ОС

ОС

(СР-'-ги)(s, ip) = J Wij(—tsinip + seosip, icos<p + ssin(p)r]lrf>dt, (3)

x.

ЭС

(3>tw)(s, ip) = J Wij(—tsimp + scosip, tcos<p + ssintp)r]l^dt. (4)

— DC

Продольное 7 и поперечное У1- лучевые преобразования, действующие на векторные поля определяются аналогично.

В п. 1.2 приведены подробные вычисления преобразования Радона от двумерных В-силашюв нулевой и первой степеней. Отмечены особенности задачи, которые позволили сократить количество необходимых вычислений. Приведена общая формула для преобразования Радона от двумерных В-сплайнов степеней 0-4. Пусть Вп — двумерный Б-сплайн степени п ^ 4, заданный на равномерной сетке с шагом h, с центром в начале координат. Тогда имеем:

71 + 2

\ЪВп\(а,ч>) = Кп(<р) J2

i,j = 1

где Кп{<р) = (2n + 1)!ft2n cosn+1(v) sinn+1((¿)'

су = (-i)i+jcir+\ct+\;

Sy (v) = Л(((п + 3)/2 - i) eos </> + ((n + 3)/2 - j) sin <p).

Используя полученные формулы и связи лучевых преобразований и преобразования Радона, был указан способ вычисления образов векторных и симметричных 2-тензорных полей, построенных на основе В-сплайнов, под действием соответствующих лучевых преобразований.

В п. 1.3 приведена математическая постановка задач двумерной скалярной, векторной и 2-тензорной томографии. Описано применение полученных выше формул, которое состоит в замене ими блока численного интегрирования в имеющемся алгоритме решения поставленных задач, основанном на МНК. Модифицированный алгоритм численно реализован. Проведена серия экспериментов, которая показана выигрышность этого алгоритма по времени без потери точности.

Вторая глава посвящена разработке, исследованию и численной реализации алгоритмов восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей (или их части) по известным продольным У, поперечным 3>х и смешанным У* лучевым преобразованиям. Алгоритмы основаны на методе усеченного сингулярного разложения.

В п. 2.1 формулируется постановка задачи 2-тензорной томографии, состоящая в определении двумерного симметричного 2-тензорного поля или его части по известным лучевым преобразованиям. Далее приводится общая схема метода сингулярного разложения, а также вводится понятие усеченного сингулярного разложения. Затем подробно описывается построение сингулярных разложений операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на симметричные 2-тензорные поля. А именно:

1) Построены ортонормированные системы симметричных 2-тензорных полей в основном пространстве с использованием потенциалов

у) = е(п,к)(1-х2-у^н^\х,у)р(к+3^нх2+у2),

где константа е{п, к) = {п+1)^+2) > Я£°8'5Ш — однородные гар-

монические полиномы степени к, РпР'9' — полиномы Якоби степени п с индексами (р, д).

2) Построена соответствующая ортонормированная система функций в пространстве образов лучевых преобразований

где Ст' (в) — полином Гегенбауэра степени т с параметром и.

3) Найдены сингулярные числа сги.п = к+2п+л операторов Т1- и У.

Сингулярные числа оператора У* равны 0>п/2.

В п. 2.2 предлагаются алгоритмы численного решения задачи восстановления симметричного 2-тензорного поля (или его части) по известным лучевым преобразованиям. Получены оценки для норм операторов приближенного обращения операторов лучевых преобразований. Поставлена серия экспериментов по исследованию пределов применимости предлагаемых алгоритмов.

Третья глава посвящена разработке, исследованию и численной реализации алгоритма восстановления потенциальной части трехмерного

векторного поля по известному нормальному преобразованию Радона. Алгоритм основан на методе усеченного сингулярного разложения.

В п. 3.1 приведена математическая постановка задачи и введены необходимые определения. В частности, сформулирована теорема разложения трехмерных векторных полей; даны определения трехмерного преобразования Радона и нормального преобразования Радона, действующего на векторные поля, описаны их свойства.

Плоскость Р^.,5 в К3 задается уравнением х) - в = 0 для х = (х,у, г), £ = = (соз</?зт0, втрвтв, сов0). Здесь |в|

— расстояние от плоскости до начала координат, а £ — нормальный вектор плоскости. Нормальное преобразование Радона векторного поля ■уу = лу(з;, у, г) = (гиг, и>2, гия) задается формулой

Интеграл не зависит от выбора базиса е2 на плоскости Р_с 5.

Векторное поле и называется потенциальным, если существует функция ф (потенциал), такая, что и = <1ф = (ф'х, ф'у,ф'^ .

Постановка задачи. Пусть в единичном шаре задано некоторое векторное поле. Требуется восстановить потенциальную часть этого поля по его известному нормальному преобразованию Радона.

В п. 3.2 подробно описывается построение сингулярного разложения оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерное векторное поле. А именно:

1) Построена ортонормированная система потенциальных векторных полей в основном пространстве с использованием потенциалов

функция), Ны — однородные гармонические полиномы степени к и порядка I.

2) Построена соответствующая ортонормированная система функций в пространстве образов нормального преобразования Радона

в,1р) = J j и)г(ие 1 + г;е2 + ¿и с1у. Ре,.

ФЫп(х) = Цк,п)(1 - |х|2)Яи(х)Р<'=+2 В''=+1-5)(|х|2),

где константа

2п+к+2.5 2

Ф к1п{в,9,<р)

( —1)"~1\/2п + к + 2.5

(в)¥ы(в,<р).

у/{2 п + к + 3)(2 п + к + 2)||Уы||

3) Найдены сингулярные числа оператора нормального преобразования Радона акп = ,

у/{2п+к+2)(2п+к+3)

В п. 3.3 предлагается алгоритм численного решения задачи восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона. Получена оценка для нормы оператора приближенного обращения оператора нормального преобразования Радона. Проведена серия экспериментов по исследованию пределов применимости предлагаемого алгоритма.

В приложениях А—С приведены подробные вычисления преобразования Радона от двумерных В-спл айнов 2-ой, 3-ей и 4-ой степеней.

В приложении О приведены определения и основные свойства специальных функций, используемых в диссертационной работе.

Публикации по теме исследования

Публикации в журналах из списка ВАК

[1] Полякова, А.П. Восстановление 2-тензорных полей, заданных в единичном круге, по их лучевым преобразованиям на основе МНК с использованием В-сплайнов / А.П. Полякова, И.Е. Светов // Сиб. журн. выч. мат. - 2010. - Т.13, №2. - С. 183-199.

[2] Деревцов, Е.Ю. Решение задачи интегральной геометрии 2-тензорных полей методом сингулярного разложения / Е.Ю. Деревцов, А.П. Полякова // Вестник НГУ. - 2012. - Т. 12, №3. -С. 73-94.

Публикации в рецензируемых журналах

[3] Полякова, А.П. Сравнение двух алгоритмов численного решения задачи двумерной векторной томографии / А.П. Полякова, И.Е. Светов // Сибирские электронные математические известия. - 2013. -Т. 10. - С. 90-108.

Публикации в трудах конференций

[4] Полякова, А.П. Способ вычисления образов В-сплайнов при преобразовании Радона и их использование в задачах тензорной томографии / А.П. Полякова // ХЬУТ международная научная студенческая конференция: труды конференции. - Новосибирск, 2008. -С. 26.

[5] Полякова, А.П. Приближенное решение задачи тензорной томографии с помощью В-сплайнов / А.П. Полякова, И.Е. Светов // Международная конференция "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева: труды конференции - Новосибирск, 2008. - С. 562.

[6] Полякова, А.П. Численное решение задачи 2-тензорной томографии в случае среды без рефракции / А.П. Полякова, И.Е. Светов // Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2009: труды конференции. - Новосибирск, 2009. - URL: http : //www.sbras.ru/ws/show_abstract.dhtmnru + 199 + 15524

[7] Полякова, А.П. Применение аналитически вычисленных образов лучевых преобразований 2-тензорных полей, построенных на основании B-сплайнов, при численном решении задач 2-тензорной томографии / А.П. Полякова // Молодежная международная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач": труды конференции. - Новосибирск,

2009. - С. 77.

[8] Полякова, А.П. Восстановление 2-тензорных полей по их лучевым преобразованиям на основе МНК с использованием В-сплайнов / А.П. Полякова // XLVIII Международная научная студенческая конференция: труды конференции. - Новосибирск, 2010. - С. 217.

[9] Полякова, А.П. О получении аналитических выражений для образов B-сплайнов при преобразовании Радона и их использование в задачах скалярной томографии / А.П. Полякова // Сибирские электронные математические известия: труды первой международной молодежной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", часть I. - Новосибирск,

2010. - С. 248-257.

[10] Полякова, А.П. Восстановление векторных полей по их известным лучевым преобразованиям на основе метода наименьших квадратов с использованием В-сплайнов / А.П. Полякова // Российская конференция "Методы сплайн-функций", посвященная 80-летию со дня рождения Ю.С. Завьялова: труды конференции. - Новосибирск, 2010. - С. 75-76.

[11] Полякова, А.П. Сингулярное разложение лучевых преобразований симметричных 2-тензорных полей в единичном круге / А.П. Полякова // Молодежная международная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач": труды конференции. - Новосибирск, 2011. - С. 46-47.

[12] Полякова, А.П. Восстановление симметричных 2-тензорных полей по томографическим данным методом сингулярного разложения / А.П. Полякова // Международная конференция "Моделирование — 2012": труды конференции. - Киев, 2012. - С. 347-348.

[13] Polyakova, А.Р. Numerical solution of 2-tensor tomography problem by using singular value decomposition / A.P. Polyakova // The 6-th international conference "Inverse problems: modeling and simulation": conference proceedings. - Antalya, 2012. - P. 74-75.

[14] Полякова, А.П. Алгоритм восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известным нормальным преобразованиям Радона / А.П. Полякова // Всероссийская конференция "Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования": труды конференции. - Новосибирск, 2012. -URL: http://parbz.sscc.ru/fcp/apm2012/pdf/Polyakova.pdf

[15] Полякова, А.П. Сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона векторного поля, заданного в единичном шаре / А.П. Полякова // Четвертая международная молодежная научная школа-конференция "Теория и численные метода решения обратных и некорректных задач": труды конференции. - Новосибирск, 2012. - С. 98.

[16] Polyakova, А.Р. Reconstruction of potential part of 3D vector field by using singular value decomposition / A.P. Polyakova // International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences: conference proceedings. - Budapest, 2012. - P. 12.

[17] Polyakova, A.P. Reconstruction of potential part of 3D vector field by using singular value decomposition / A.P. Polyakova // Journal of Physics: Conference Series. - 2013. - Vol. 410. - 012015, doi:10.1088/1742-6596/410/1/012015

Подписано в печать 09.08.2013 г. Печать цифровая. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2 Тираж 100 экз. Заказ № 168.

Отпечатано в типографии «Срочная полиграфия» ИП Малыгин Алексей Михайлович 630090, Новосибирск, пр-т Академика Лаврентьева, 6/1, оф. 104

Тел. (383) 217-43-46, 8-913-922-19-07

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

04201362595 На пРавах Рукописи

Полякова Анна Петровна

ПРИБЛИЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ТЕНЗОРНОЙ ТОМОГРАФИИ РЯДАМИ ПО ЛОКАЛЬНЫМ И ОРТОГОНАЛЬНЫМ БАЗИСАМ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель к. ф.-м. н., доцент Деревцов Евгений Юрьевич

Новосибирск — 2013

Оглавление

Стр.

Введение 5

Глава 1. Получение образов двумерных В—сплайнов под действием преобразования Радона 19

/

1.1. Определения и постановка задачи....................................19

1.2. Формула для вычисления образов двумерных Б-сплайнов под действием преобразования Радона....................................29

1.2.1. Преобразование Радона от В-сплайна 0-ой степени..............31

1.2.2. Преобразование Радона от Б-сплайна 1-ой степени..............31

1.2.3. Общая формула для вычисления преобразования Радона от двумерных 5-сплайнов степеней 0-4..............................34

1.2.4. Формулы для вычисления лучевых преобразований от векторных и симметричных 2-тензорных полей, построенных на основе двумерных .В-сплайнов........................................34

1.3. Применение полученных формул при решении задач скалярной, векторной и 2-тензорной томографии................................35

1.3.1. Общая схема МНК..................................................36

1.3.2. Решение задачи скалярной томографии..........................38

1.3.3. Решение задачи векторной томографии..........................39

1.3.4. Решение задачи 2-тензорной томографии..........................39

1.3.5. Численные эксперименты..........................................40

1.4. Выводы..................................................................43

Глава 2. Восстановление симметричных 2-тензорных полей по их лучевым преобразованиям с использованием метода сингулярного разложения 45

2.1. Построение сингулярного разложения операторов лучевых преобразований симметричных 2-тензорных полей....................46

2.1.1. Общая схема метода сингулярного разложения..................46

2.1.2. Ортогональные базисы потенциальных и соленоидальных симметричных 2-тензорных полей......................................47

2.1.3. Ортогональный базис в пространстве образов лучевых преобразований............................................................61

2.2. Алгоритм численного решения задачи 2-тензорной томографии

с использованием метода сингулярного разложения................65

2.2.1. Усеченное сингулярное разложение................................65

2.2.2. Особенности численной реализации алгоритма..................66

2.2.3. Численные эксперименты..........................................68

2.3. Выводы..................................................................76

Глава 3. Восстановление потенциальной части трехмерного векторного

поля по его известному нормальному преобразованию Радона 79

3.1. Определения и постановка задачи....................................79

3.2. Сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона..............................................................84

3.3. Алгоритм численного решения задачи векторной томографии с использованием метода сингулярного разложения..................106

3.3.1. Усеченное сингулярное разложение................................106

3.3.2. Особенности численной реализации алгоритма.........107

3.3.3. Численные эксперименты..........................................108

3.4. Выводы..................................................................113

Заключение 116

Литература 119

Приложение А. Получение формул для преобразования Радона от

5-сплайна 2-ой степени. 125

Приложение В. Получение формул для преобразования Радона от

Б-сплайна 3-ей степени. 129

Приложение С. Получение формул для преобразования Радона от

5-сплайна 4-ой степени. 134

Приложение Э. Специальные функции.

144

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы.

Методы томографического, то есть послойного исследования структуры неоднородных объектов, благодаря успехам вычислительной математики и современному аппаратному оснащению, последние 50 лет развивались очень интенсивно. Наибольшее признание вычислительная томография завоевала в биологии и медицине. Особенно стремительным был рост популярности сначала рентгено-диагностической, а затем ЯМР-диагностической вычислительной томографии.

В то же время быстрый прогресс медицинской томографии сопровождался зарождением и развитием многих других приложений этого весьма универсального и информативного метода интроскопии. Методы вычислительной томографии стали все глубже проникать в технику физического эксперимента, геофизику, физику космоса и астрономию, биологию и аналитическую химию, внесли кардинальные перемены в дефектоскопию промышленных изделий. Таким образом, крупные достижения диагностической вычислительной томографии в 70-ые годы явились мощным стимулом для развития приложений в различных областях естествознания и техники [16].

Выделим основные черты и особенности томографических методов. Наиболее характерная черта таких исследований состоит в том, что способы измерений не разрушают объект. Так, в трансмиссионной томографии используется активное зондирующее излучение (физическое поле), взаимодействующее со средой и измеряемое после прохождения объекта. Измерения же в эмиссионной томографии осуществляются с использованием собственных источников излучения [5].

Второй особенностью неразрушающих методов является обоснованно предполагаемый способ взаимодействия поля со средой. Именно, инфор-

мация о среде "накапливается" вдоль луча и регистрируется на выходе; в подавляющем большинстве моделей используется исключительно лучевое приближение. Заметим, что в качестве зондирующего излучения используются как электромагнитные поля с различным спектром, так и поля другой физической природы. Иными словами, наряду с рентгеновским излучением, электромагнитными полями в оптическом, инфракрасном и радиодиапазонах, используются ультразвуковые источники излучения, упругие волны в сплошной среде и др. [10].

Детектироваться могут как широкие, так и узкие (приближенно-монохроматические) участки спектров испускания, поглощения, рассеяния. Измеряются также фазовые искажения фронта волны (шлирен-, теневые и интерферометрические методы), сигналы свободной индукции (ЯМР-интроскопия), углы поворота плоскости поляризации (вычислительная томография, основанная на эффекте Фарадея) и т.п. С середины 80-ых годов широко используется эффект электрон-позитронной аннигиляции с применением схемы совпадений (однофотонная эмиссионная томография), а с середины 90-ых — эффект доплеровского смещения с целью реконструкции векторного поля [17].

Еще одной неотъемлемой чертой томографии является многократное проведение однотипных измерений. Этим достигается цель получения достаточного для приемлемого решения задачи объема данных. Недостаточность данных ведет к большому произволу в решении, а неточности в измерениях ведут к еще большей неопределенности. Здесь может помочь лишь априорная информация об объекте [4].

Математические модели томографии постоянно развиваются, появляются новые постановки, развиваются адекватные постановкам методы решения. Такова диффузионная томография, термотомография, томография векторных и тензорных полей. Математические модели (от простых до очень сложных) в томографии сочетают в себе глубокие идеи и разви-

тый аппарат, разнообразие конструктивных методов и широкий класс используемых алгоритмов. Разнообразие математических постановок связаны, прежде всего, с потребностью реконструкции характеристик и свойств сред различной сложности. Прежде всего это вычислительная трансмиссионная и эмиссионная томография неоднородных сред с прямолинейным характером распространения лучей, томография рефрагирующих сред, в которых учитывается явление искривления лучей. Наконец, это томография векторных и тензорных полей, разработанная прежде всего с целью определения нескалярных характеристик неоднородных и анизотропных сред [3], [15].

Математические формулировки задач восстановления векторных и тензорных полей возникли сравнительно недавно (см., например, работу В.Г. Романова [19]). Дальнейшее их развитие привело к постановкам обратных задач с данными томографического типа, которые естественно рассматривать как приложения интегральной геометрии скалярных [18], векторных и тензорных полей на римановом многообразии [55]. Метод восстановления скалярных свойств объектов по томографическим данным общеизвестен и изучен в деталях, в то время как методы решения задач векторной и тензорной томографии развиты не в полной мере [31].

По-видимому, первой проблемой, поставленной как задача векторной томографии, была проблема восстановления распределения скоростей океанического течения по измерениям значений времен прохождения звука [45]. Значительно позднее была поставлена задача доплеровской томографии, в которой на основе измерений доплеровского смещения частоты ультразвука восстанавливается распределение скорости кровотока в кровеносных сосудах [39]. К постановкам векторной томографии приводят и задачи, связанные с восстановлением распределения напряжений вещества в металлах или электромагнитного поля в плазме [17].

Теория и практика векторной томографии изучались многими иссле-

дователями. Джонсон предложил восстанавливать скорость трехмерного потока по измерениям акустической трансмиссии [38]. Им был развит численный подход и установлено, что решение задачи неединственно. Нортон рассмотрел двумерную задачу, доказал двумерную проекционную теорему и показал, с использованием разложения Гельмгольца векторных полей, что потенциальная компонента не вносит вклад в измерения стандартного лучевого интеграла [47]. Этим объясняется неединственность решения. Нортон предложил отдельно восстанавливать потенциальную компоненту по граничным измерениям в предположении отсутствия источников и стоков внутри области. Браун и Хоук вновь рассмотрели двумерную задачу с применением разложения Гельмгольца, но предложили использовать другое зондирующее направление для восстановления потенциальной компоненты [27]. Их подход не требует отсутствия источников и стоков [48]. Принс обобщил результат Брауна и Хоука на случай трехмерного векторного поля и произвольного зондирующего направления [51]. Было показано, что потенциальная и соленоидальная компоненты произвольного трехмерного векторного поля могут быть восстановлены по измерениям, полученным с использованием одного или двух зондирующих направлений соответственно. В частности, для восстановления трехмерного потенциального векторного поля Принс использовал формулу обращения для преобразования Радона, действующего на образующий поле потенциал. Отметим обзор Т. Шустера [54], посвященный наиболее важным теоретическим и численным достижениям в области векторной томографии за последние два десятилетия.

Кратко упомянем основные математические средства, на которых основаны приближенные методы и алгоритмы томографии. Наиболее привлекательны, с математической точки зрения, формулы обращения. В работах [11], [25], [28] получены формулы обращения для коэффициентов поглощения из классов С°° и С2. Другие формулы обращения были получены в

работах [49], [50], [46], [37], [26].

Широкое распространение получили также и алгебраические методы, в которых на первом этапе задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений, а на втором эта система решается, как правило, итерационными методами. Ряд алгоритмов томографии основан на Фурье-анализе и так называемой теореме о центральном сечении, связывающей преобразования Фурье и Радона. Интересны алгоритмы, в которых учитывается априорная информация как о самом объекте, так и о форме "законов сохранения" (соотношения Асгейрссона, моменты и т.п.). Эти алгоритмы также носят итерационный характер. Наконец, применимы и хорошо известные вариационные подходы типа метода наименьших квадратов или, с привлечением функционального анализа, сингулярного разложения соответствующих томографических операторов [5], [10].

Ранее метод наименьших квадратов (МНК) успешно использовался для решения двумерных задач эмиссионной [35], векторной [6] и 2-тензорной томографии [7]. В частности, в работах Е.Ю. Деревцова [6] и [7] МНК применялся для восстановления соленоидальной части векторного и 2-тензорного поля, соответственно, для случая прямолинейного характера распространения лучей. В этих трех работах в качестве аппроксимирующей последовательности выступали поля, построенные на основе однородных многочленов. В работе [8] было предложено для решения задачи двумерной эмиссионной томографии использовать двумерные В-сплайны в качестве аппроксимирующей последовательности. Численные эксперименты показали безусловное преимущество предложенного алгоритма. В дальнейшем подход с использованием МНК с базисными полями, построенными на основе двумерных Б-сплайнов, был развит на случай векторных [20], [36] и симметричных 2-тензорных полей [20], [21]. Однако у этого подхода есть и недостаток, а именно для численной реализации алгоритма необходимы большие временные затраты (по сравнению с другими подходами). Это свя-

зано с тем, что для хорошей точности восстановления необходимо с большой точностью вычислять образы базисных полей под действием лучевых преобразований.

Для обращения томографических операторов также часто используется метод разложения по сингулярным числам. Суть метода заключается в том, что оператор представляется в виде ряда по сингулярным числам и базисным элементам в пространстве образов, тогда обратный оператор будет представлять собой ряд со схожей структурой, где задействованы прообразы этих базисных элементов и те же сингулярные числа. В скалярном и векторном случаях задача решена ранее, построены разложения как оператора Радона [29], [43], [52], [44], [42], так и некоторых операторов лучевых преобразований векторных полей [34], [33]. В работе [40] построено сингулярное разложения оператора продольного лучевого преобразования веерного типа, действующего на соленоидальные тензорные поля.

В задачах томографии метод сингулярного разложения позволяет также сконструировать приближенное обращение, в котором используется априори вычисленное ядро реконструкции, см. [43], [53]. Кроме того, описанный метод существенно используется при анализе задач томографии, в которых имеется ограничения в данных [42], и очень полезен при прямом восстановлении, по преобразованию Радона, особенностей решения, см. [41].

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование алгоритмов численного решения задач по восстановлению двумерных тензорных полей малого ранга по их известным лучевым преобразованиям; разработка и исследование алгоритма восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона. А также численная реализация всех этих алгоритмов на ЭВМ.

Задачи исследования.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) Модификация алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей ранга т < 2, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисных элементов, построенных на основе двумерных В-сплайнов. Получение аналитических выражений для вычисления образов тензорных полей малого ранга, построенных на основе двумерных В-сплайнов, под действием операторов лучевых преобразований.

2) Разработка алгоритмов для численного восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей, основанных на методе усеченного сингулярного разложения. Построение сингулярных разложений операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля.

3) Разработка алгоритма восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона, основанному на методе усеченного сингулярного разложения. Построение сингулярного разложения оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля.

4) Создание программ для численной реализации на ЭВМ всех предложенных алгоритмов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Получены аналитические выражения для образов симметричных тензорных полей ранга т < 2, построенных на основе двумерных В-спл айнов, под действием лучевых преобразований. Эти формулы легли в основу модификации алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей малого ранга, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисов, построенных на основе двумерных В-сплайнов.

2) Построены сингулярные разложения операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля. Разработаны алгоритмы восстановления двумерных симметричных 2-тензор