автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы, алгоритмы и комплекс программ аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя

На правах рукописи

СОЛОВЬЕВА Яна Владимировна

Методы, алгоритмы и комплекс программ аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

13

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Самара-2013

005061412

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)» (СГАУ) на кафедре информационных систем и технологий.

Научный руководитель: Заслуженный работник высшей школы РФ, доктор технических наук, профессор Прохоров Сергей Антонович.

Официальные оппоненты:

Горячкин Олег Валериевич, доктор технических тук, доцент, федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики», заведующий кафедрой теоретических основ радиотехники и связи;

Храмов Александр Григорьевич, доктор технических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)», кафедра технической кибернетики, профессор.

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет».

Защита состоится 27 июня 2013 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д212.215.05, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)», по адресу: 443086 Самара, Московское шоссе, д. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ.

Автореферат разослан 21 мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. При проведении различных исследований технических объектов нередко приходится сталкиваться с необходимостью обработки больших массивов экспериментальных данных, имеющих случайный характер. При этом для исследования поведения объекта во временной и частотной областях ставится задача проведения корреляционно-спектрального анализа

Построение моделей корреляционных функций (КФ) и спектральных плотностей мощности (СПМ) нередко осуществляется с использованием аппроксимативного подхода при помощи ортогональных базисов. Данный вопрос рассматривался такими учёными, как Р.Г. Бэттин, Д.Г. Лампард, Дж. X. Лэннинг, В.И. Ба-тищев, И.И. Волков, Е.Д. Горбацевич, Ф.Ф. Дедус, Г.Я. Мирский, С.А. Прохоров, А.Ф. Романенко, Г. А. Сергеев, П.М. Чеголин, Э.И. Цветков и другие.

Одной из важных и сложных задач, от правильного решения которой будет зависеть точность полученных результатов при применении метода ортогональных разложений, является выбор ортогонального базиса. В настоящее время при построении ортогональных моделей функциональных характеристик используются, как правило, ортогональные многочлены Лагерра, Лежандра, Якоби, Дирихле. Это связано с тем, что они хорошо изучены и имеют явное аналитическое представление.

В данной работе предложено решение задачи построения моделей корреля-циотш-спектральных характеристик с использованием ортогональных функций Бесселя первого рода нулевого порядка в качестве системы базисных функций.

Идея применения данных функций в качестве ортогонального базиса при решении задач аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа случайных процессов возникла в связи с широким применением функций Бесссля в различных областях математической физики, прикладной математики, оптики и обработки сигналов, что обусловлено рядом свойств, которыми они обладают, в том числе способностью точно приближать различные функциональные зависимости, и, в особенности, затухающие колебательные процессы.

Во многих случаях приближение исходных функций целесообразнее проводить с использованием ортогональных функций, что позволяет обеспечить требуемую точность аппроксимации меньшим числом членов разложения ряда.

При этом возникла необходимость исследования свойств и особенностей ортогонального базиса Бесселя, получеши характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях, разработки алгоритмов построения моделей корреляционно-спектральных характеристик в ортогональном базисе Бесселя. К моменту начала проведения исследований по данному вопросу перечисленные задачи не были решены и рассмотрены в литературе.

В ходе проведения исследований выяснилось, что ортогональные функции Бесселя имеют выгодные аппроксимативные возможности по сравнению с ранее изученными системами базисных функций, а их применение в качестве базисных функций дает возможность повысить точность построен™ ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

Разработанные алгоритмы корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя были положены в основу комплекса программ, с помощью которого проводилось исследование их работы путем использования методов имитационного моделирования.

Данная работа позволила автору работы стать победителем областного конкурса «Молодой ученый» в номинации «Студент» в 2009 году.

Объектом исследования в диссертационной работе являются ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов в базисе Бесселя.

Предметом исследования в диссертационной работе является методика и алгоритмы построения моделей корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов в ортогональном базисе Бесселя.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов и комплекса программ для проведения аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа стационарных случайных процессов в ортогональном базисе Бесселя, позволяющих развить метод аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа и повысить точность оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

Методы исследования. В работе использованы методы, основанные на положениях теории ортогональных многочленов, теории случайных процессов, теории функций комплексной переменной, численных методах и методах интегрального представления.

Задачи диссертационной работы:

1. Сравнительный анализ современных методов и средств оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов методом ортогональных разложений, а также инструментальных средств обработки и анализа данных.

2. Получение выражений для определения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях, проведение сравнительного анализа с другими ортогональными базисами с целью выявления аппроксимативных возможностей базиса Бесселя.

3. Разработка методики и алгоритмов корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя с целью развития метода аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа и повышения точности оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

4. Разработка комплекса программ для оценки корреляционно-спектральных характеристик с помощью аппроксимативного подхода в базисе Бесселя.

5. Проведение анализа погрешностей аппроксимации корреляционно-спектральных функций ортогональными функциями Бесселя и проведение имитационного моделирования с целью проверки адекватности разработанных алгоритмов.

6. Апробация разработанных алгоритмов и комплекса программ на реальных данных.

Научная новизна работы:

1. Получены выражения для определения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях, необходимые для построения ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик.

2. Предложены алгоритмы корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя, позволяющие развить метод аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа и повысить точность оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

3. Предложена методика определения параметров ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик в ортогональном базисе Бесселя.

4. Предложена методика обработки данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей с использованием разработанных алгоритмов и комплекса программ.

Практическая значимость работы:

1. Разработан комплекс программ для оценки корреляционно-спектральных характеристик с помощью аппроксимативного подхода в базисе Бесселя.

2. Разработанные алгоритмы и комплекс программ использованы при обработке данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей и необходимы для анализа экспериментальных испытаний новых вариантов камер сгорания и оценки качества серийных изделий.

На защиту выносятся:

1. Выражения для определения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях.

2. Алгоритмы и методика построения моделей корреляционно-спектральных характеристик в ортогональном базисе Бесселя.

3. Комплекс программ для оценки корреляционно-спектральных характеристик с помощью аппроксимативного подхода в базисе Бесссля.

4. Методика и результаты обработки данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей с использованием разработанных алгоритмов аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя и разработанного комплекса программ.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы в ОАО «Кузнецов» при обработке данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей, а также в учебном процессе при подготовке специалистов по специальности 230102 - «Автоматизированные системы обработки информации и управления» в ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)», ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет».

Результаты внедрения подтверждены соответствующими актами.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на Всероссийской межвузовской научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании». Самара (2008); Международной научно-технической конференции «Проблемы автоматизации и управ-

ления в технических системах», Пенза (2009); Международной научно-технической конференции «Радиотехника и связь», Саратов (2009); Всероссийской студенческой олимпиаде «Конкурс компьютерных программ», Вологда (2009); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара (2009); Российской школы-семинара аспирантов, студентов и молодых ученых «Информатика, моделирование, автоматизация проектирования (ИМАП-2009)», Ульяновск (2009); Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «X Королевские чтения», Самара (2009); Международной научно-практической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза (2009); Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса (ПИТ-2010)», Самара (2010).

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 18 работах, из них: 3 публикации в журналах, рекомендованных ВАК, 10 работ в материалах и трудах Международных и Всероссийских конференций, 4 тезиса доклада, 1 свидетельство о регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и одного приложения. Общий объем диссертации 116 страниц Диссертация содержит 21 таблицу, 48 рисунков и список литературы из 88 наименований.

Содержание диссертации

Во введении показана актуальность темы диссертации, определены цель и задачи работы, методы исследования, изложены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрены приложения функций Бесселя к областям прикладной математики, математической физики, оптики и обработки сигналов, проведен сравнительный анализ методов построения ортогональных моделей, таких как аппроксимативный подход, спектрально-аналитический подход, численно-аналитический подход, отражены общие положения методики проведения аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональных базисах, проведен обзор теории ортогональных многочленов и направлений её развития, рассмотрены и проанализированы существующие математические системы обработки и анализа данных: системы общего назначения и специализированные системы аппроксимативного анализа. На основании проведенного обзора были поставлены задачи диссертационной работы.

Во второй главе описаны и проанализированы свойства функций Бесселя 1-го рода, получены выражения для определения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях.

Уравнение Бесселя записывается в форме:

х1у" + ху'+{х1-у1)у = 0, (1)

где V — произвольное действительное число, называемое порядком.

Функциями Бесселя 1-го рода являются решения, конечные в точке х = О при целых или неотрицательных V, которые можно определить с помощью разложения в степенной ряд в окрестности нуля:

! (2) ,Л ' ^п\Т(п+у + \)

Так как разложение в ряд (2) практически не используется при значительно удаленных от нуля значениях переменных, где функции Бесселя выявляют четкое асимптотическое поведение, при достаточно больших значениях аргумента используется асимптотическое разложение:

ЛМ^-соф,--^). (3)

Наряду с представлением функций Бесселя в виде (2) и (3) существует также их интегральное представление (для целочисленного порядка V ), называемое интегралом Бесселя:

1 71

./,. (*) = — [соз(;сзт^-^)£/0 . (4)

я"!

В отличие от таких тригонометрических функций, как синус и косинус, которые имеют одинаковое поведение на всей числовой оси и являются периодическими функциями с периодом колебаний 2я, колебания функций Бесселя находятся в коридоре, который при больших значениях переменной постепенно сужается и сходится к нулю. На бесконечности функции Бесселя вырождаются в ноль. Колебания функции Бесселя затухают пропорционально

, а асимптотический период их колебаний стремится к 2л. В силу особенностей такого асимптотического поведения функции Бесселя могут применяться для описания затухающих колебательных процессов.

Важной особенностью функций Бесселя является то, что они, заданные соотношением:

Jft{v,x) = J^x), (5)

где Л^' ' - корни функции Бесселя, к - порядок корня функции Бесселя, образуют полную ортогональную систему функций на интервале [0,1] с весом ^(х)-х. Соотношение ортогональности для функций Бесселя выражается как

)х7г (аУл)Л (6)

о £

где 8т- символ Кронекера, а Уг = 0.

К свойствам ортогональных функций, характеризующих их поведение во временной области, относят такие понятия, как норма, значение на концах интервала ортогональности, вид весовой функции.

Значение ортогональных функций Бесселя на концах интервала ортогональности:

'^(у, 0)=и = 0,

= (7)

Квадрат нормы ортогональных функций Бесселя равен:

1-адС=(8)

о

При построении моделей корреляционных и спектральных характеристик требуются ортогональные функции, определенные на полубесконечном интервале ортогональности. Преобразуем ортогональные функции Бесселя, определенные на конечном сегменте ортогональности [о, 1], в ортогональные функции, определенные на полубесконечном интервале [о, оо) с весом ¿¡(г) = (1 -е~2гт), путем введения замены переменных экспоненциального типа х = 1 - е~1гг, где у - параметр масштаба ортогональных функций Бесселя:

При этом квадрат нормы полученных ортогональных функций определяется:

и к Л1

а значение в «нуле» равно

1 СО)

Исходя из изложенных выше рассуждений, можно представить ортогональные функции Бесселя 1-го рода, определенные на полубесконечном сегменте ортогональное™, следующим образом: 1) с использованием интеграла Бесселя (4):

(V, Т,у)= — ]сО3(Л0 ) ■ (1 - е'2" ' ). 8Шф-^ф, (11)

2) с использованием разложения в степенной ряд (2) и асимптотического разложения (3):

Д-^Г

—1—-—- Л

г<--

п!Г(п+у+1) ' 2 -у

г2г л у-ж /V1

и ; 1-е-1") 4 2 2-у

а) б)

Рисунок 1. Вид ортогональных функций Бесселя, определенных на конечном сегменте ортогональности, к = 0.Я (а) и вид ортогональных функций Бесселя, определенных на полубесконечном сегменте ортогональности, к = 0..8 (б)

Основной частотной характеристикой ортогональных функций Бесселя является преобразование Фурье ортогональных функций Бесселя, которое используется при построении моделей СПМ по параметрам ортогональной модели КФ.

Запишем преобразование Фурье ортогональных функций Бесселя 1-го рода нулевого порядка:

(М) = рЛ (О, Г, у)-- р0 [я, ■ (1 -)] ■ <

(13)

Путем введения замены переменных у = 1-е и проведения последова-

тельности преобразований получим:

1

где

Г71Г')

у + ](0

1

(14)

3/ + /й> + 2; )| 1 + + 2/

2 У

В третьей главе дано описание разработанных алгоритмов корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя, проведен анализ подбора параметра масштаба при аппроксимации КФ и СПМ ортогональными функциями Бесселя, проведен сравнительный анализ базиса Бесселя с другими ортогональными базисами на примере построения различных моделей КФ.

Рассмотрим процедуру построения модели КФ в ортогональном базисе Бесселя при применении аппроксимативного подхода.

Представим модель КФ в виде:

»=0

где коэффициенты разложения определяются как

нЛгц о

и обеспечивают минимум квадратической погрешности аппроксимации:

Д-]

ед-Ед-я {г,у)

/х(т ,у)с1т.

(17)

После определения коэффициентов разложения Рк, для построения модели КФ необходимо решить задачу определения параметра масштаба у. Для ортогонального базиса Бесселя параметр масштаба определяется из выражения:

0,4

У=( 'п . . (18)

(т +1) ■ Дг

где Дг - интервал дискретизации КФ, ш — число членов разложения ряда. Коэффициенты (16) не обеспечивают выполнение основного свойства КФ:

(19)

Для обеспечения условия (19) вводят коэффициенты разложения Ьк, для которых

(20)

где ра (г) = Ка (г)/<т^ — нормированная корреляционная функция (ШСФ). Поправочные коэффициенты разложения, в свою очередь, определяются как

1 Г, V- Л 1

(21)

Погрешность аппроксимации КФ при ограничениях на её модель представляют в виде Д, = Д + Д2, где Д - погрешность аппроксимации, вызванная конечным числом членов разложения т; Л2 - погрешность аппроксимации, вызванная ограничением, обеспечивающим выполнение основного свойства КФ.

Погрешности аппроксимации с учетом выражения (21) определяются:

/1

^Р-Ил /X

(22)

С учётом (14), оценим взаимную СПМ в ортогональном базисе Бесселя:

2тг

(>)+!« (-Н >

ыа

где (у'сг) - преобразование Фурье ортогональных функций Бесселя.

.„.fi.jí(LyjA ф,

4 4

(24)

Выражения для определения оценки интервала корреляции определяются:

л (2) » 1

»«О V

(25)

Проведем сравнение алгоритмов оценки коэффициентов разложения при применении численного и численно-аналитического подходов в базисах Лагерра, Якоби, Лежандра, Дирихле; численного подхода в базисе Бесселя на примере задачи построения модели КФ идеального полосового шума:

sin(Aíi) т) Rr) = —г—— • cos(ía0r). А (о, г

(26)

Построим модель КФ (26) для <м0 = 5, Де>, =0,5 со следующими параметрами: интервал дискретизации Дг =0,09, число ординат КФ N = 300. число членов разложения ряда т -150.

В таблице 1 приведены значения параметра масштаба / и значения относительной погрешности построения модели КФ (35) 5 = д/ J(/('))2' .

/ о

Таблица 1. Количественная оценка результатов построения модели КФ (26)

Ортогональный базис и тип подхода Значение параметра масштаба у Погрешность аппроксимации 5

Бесселя, численный 0,029 0,04867

Лагерра, численный 0,897 0,20476

Лежандра, численный 0,003 0,22425

Дирихле, численный 0,006 0,23729

Лагерра, численно-аналитический 4,444 0,06852

Лежандра, численно-аналитический 0,015 0,09338

Якоби (-0,5;0), численно-аналитический 0,015 0,09356

Якоби (0,5;0), численно-аналитический 0,015 0,09329

Якоби (1;0), численно-аналитический 0,029 0,09328

Якоби (2;0), численно-аналитический 0,015 0,09336

Сошша-Лагерра (1;1), численно-аналитический 4,444 0,2003

Сонина-Лагерра (2;1), численно-аналитический 4,444 0,3514

Из таблицы видно, что наименьшая относительная погрешность, а, следовательно, и наилучший результат аппроксимации получены в ортогональном базисе Бесселя. Наиболее близкий результат получен в ортогональном базисе Ла-герра с применением численно-аналитического подхода.

На рисунке 2 представлена графическая интерпретация результатов построения модели КФ (26). Из рисунка видно, что на графике результатов аппроксимации в базисе Бесселя отсутствует «выброс» в нулевой точке, а также наблюдается более точное приближение исходной КФ на всем интервале её существования, что, в особенности, заметно на «хвостах».

11

1 ; : ' Ш| III

■Oi •"'PI да — ..... . ................. .1 .1 .0.9 • . • • . ...... : < | §ш т

В)

Рисунок 2. Вид моделей КФ: а) в ортогональном базисе Лагерра при применении численного подхода; б) в ортогональном базисе Лагерра при применении численно-аналитического подхода; в) в ортогональном базисе Бесселя при применении численного подхода

В четвертой главе приведен анализ методических погрешностей построения ортогональных рядов в базисе Бесселя: погрешности оценки коэффициентов разложения ортогональных моделей КФ, погрешности аппроксимации КФ, погрешности оценки спектральной плотности мощности по параметрам модели КФ, погрешности оценки корреляционно-спектральных характеристик.

На практике вместо определения коэффициентов разложения ортогональной модели ßt в соответствии с выражением (24) приходится ограничиваться конечным интервалом наблюдения КФ:

А у

I • (27)

(Л ) о

При этом появляется дополнительная составляющая методической погрешности, вызванная конечным верхним пределом интегрирования:

A2=Ä°-A=t4^ f т,г).(1-е*>. (28)

Необходимо отметить, что lim Д(„'' = 0 .

it____-4-* П

Специфика проведения аппроксимативного корреляционного анализа на ЭВМ заключается в выборе численного метода для вычисления интеграла (28).

Обозначим оператор численного интегрирования Ф{}. Тогда оценка коэффициентов разложения, вызванная дискретизацией КФ и необходимостью численного интегрирования, примет вид:

Ат=Ф{р,(Ат-/).^(Аг-«,г),^и.}, (29)

где Дт - интервал дискретизации корреляционной функции, Л,» а ¡'=1,..,^,.

В этом случае составляющая методической погрешности, вызванная дискретизацией КФ и необходимостью численного интегрирования, равна

(30)

В связи с конечностью выборки значений КФ выражение для оценки коэффициентов разложения:

Д-3) (Д^?-),^^}, (31)

где N - объем выборки.

Следовательно, составляющая методической погрешности, вызванная конечностью объема выборки, равна

= (32)

Следующая составляющая методической погрешности связана с необходимостью дискретизации уравнения и применения численных методов для оценки параметра масштаба у. Выражение для оценки коэффициентов разложения:

А(4) = ■ (33)

Составляющая методической погрешности, вызванная заменой параметра масштаба у его оценкой у :

д ,;,=Д<4,-Д№- (34)

Перечисленные составляющие методической погрешности образуют полную группу погрешностей. Следовательно, методическая погрешность вычисления коэффициентов разложения Д определяется следующим образом:

Лд=Д«+А»+А®+А <;=Д№-А. (35)

Конечность интервала корреляции КФ и применение численных методов интегрирования будут вносить в результирующую погрешность систематическую составляющую, а ограниченность выборки для определения значений КФ и оценки параметра масштаба у - случайную составляющую. При увеличении числа членов ряда значение погрешности, обусловленной конечностью интервала корреляции КФ, уменьшается, однако погрешность, обусловленная применением численных методов интегрирования, напротив, растет, как и систематическая составляющая погрешности оценки коэффициентов разложения.

Запишем погрешность аппроксимации КФ в виде:

Д = (36)

л-4 " с« V

гдеД„

я-у ¿--(Л )

А- = А1 -ЛЛГ)-

о у 4-х к-о

Математическое ожидание и дисперсия погрешности аппроксимации равны:

= + = (37)

4 • у ¿г=а

< = ■'»М"? < -К1 + 2- Д1.) - (38)

О-у к-л

Математическое ожидание погрешности аппроксимации, помимо минимальной погрешности Лт1П , содержит вторую составляющую, которая увеличивается с увеличением числа членов разложения ряда т, в то время как Дт1л уменьшается. Следовательно, существует минимум погрешности по т.

Дисперсия погрешности аппроксимации растет с увеличением числа членов разложения ряда т, а её численное значение зависит от погрешности, вызванной смещенностью оценки коэффициентов разложения ряда.

На практике оценивают относительную погрешность аппроксимации:

S

= А/ К= 8тт +5Ш , (39)

I А+д^ Iр; -л^аГ)

где 5т = -J--, а <5Ю1П = 1 -

о о

Погрешность СПМ по параметрам аппроксимирующего выражения КФ:

Л= „, J г ^

2-л

lKx(T)?{\-e*')<b-Y#^ (Г)

Vu t=n 4-х

(40)

В пятой главе приведено описание разработанного комплекса программ и основных программ построения ортогональных моделей в базисе Бесселя с помощью описанных выше методов и алгоритмов. Приведены результаты имитационного моделирования, подтверждающие правильность работы предложенных алгоритмов.

Разработанный программный продукт имеет следующие требования и технические характеристики: тип ЭВМ - IBM PC совместимый; тип операционной системы - Windows ХР и выше; среда разработки - Borland Delphi v. 7.0; размер

программного продукта - 2,85 Мб.

Структурная схема разработанного комплекса программ представлена на рисунке 3, где цифровыми обозначениями указаны соответствующие программы: 1) генерации случайного процесса; 2) первичной обработки процесса; 3) настройки оптимальных параметров; 4) фильтрации; 5) формирования ВКФ; 6) аппроксимации ВКФ; 7) построения модели СПМ; 8) аппроксимации составляющих СПМ; 9) восстановления ВКФ; 10) ввода-вывода; 11) имитационного моделирования; 12) исследования ортогональных функций Бесселя.

Рисунок 3. Стр>ктурная схема разработанного комцтекса программ

В шестой главе предложено решение задачи обработки данных измерения полей температур контуров камер сгорания (КС) газотурбинных двигателей (ГТД) с помощью разработанных алгоритмов построения моделей корреляционно-спектральных характеристик в базисе Бесселя и комплекса программ.

В настоящее время используются три конструкции КС двигателей семейства НК: двухзонная кольцевая (А); двухзонная с выносными жаровыми трубами (Б); двухзонная малоэмиссионная (В). В работе проведено сравнение этих конструкций КС с целью оценки и анализа равномерности поля температур в выходном сечении.

Традиционно, в соответствии с техническими условиями на испытание, для решения этой задачи применяется следующая методика. На выходе, на срезе КС, устанавливается специальный измерительный инструмент - гребёнка с 6-ю термопарами, которая движется по окружности, перемещаясь из одного положения в другое. Угол смещения гребёнки составляет =2,5°, количество точек измерения за один оборот гребёнки - 140. Гребёнка перемещается из одного положения в другое за 2 с, а в точке измерения задерживается на 16 с для устранения влияния инерционности гребенки. Измерение происходит в конце интервала задержки. В результате испытания получается массив значений температур, характеризующий неравномерность температурного поля по окружности.

Далее определяется средняя температура по измеряемым поясам КС:

Гг-ХЛМ (41)

где Тк: -значение температуры в ¡-й точке к-го пояса.

Пояс - массив значений температур, измеренных одной термопарой. Всего в КС 6 поясов, а первый пояс находится около внутренней оболочки КС. Далее рассчитывается среднемассовая температура КС Г„:

(42)

Предлагается ввести в оценку параметров камеры сгорания:

- автокорреляционную функцию (АКФ) значений температур Ти и взаимную корреляционную функцию (ВКФ) между Ти и Тп1;

- среднеквадратическое отклонение (СКО) значений температур в поясе;

- коэффициенты корреляции Ть и Тп1;

- спектр распределения значений температур в поясах.

Для оценки корреляционно-спектральных характеристик параметров камеры сгорания в работе предлагается методика, содержащая следующие этапы:

1) центрирование результатов измерения температуры Тк1;

2) оценку АКФ и ВКФ ( Ты и Ти, Ты) и коэффициентов корреляции;

3) аппроксимацию АКФ (ВКФ) ортогональными функциями Бесселя;

4) оценку СПМ Гй по параметрам моделей АКФ (ВКФ) в базисе Бесселя.

Представим результаты обработки данных измерения полей температур на примере КС с выносными жаровыми трубами (вариант Б), в которой установлены 11 равномерно расположенных по окружности горелок с общим газосборником. Количество отверстий для подачи топливовоздушной смеси с излишком воздуха (больших) - 44. Отверстия расположены по 4 на каждой горелке КС.

Был проведен расчёт среднеквадратического отклонения (СКО) о, математического ожидания (МО), АКФ, ВКФ. СПМ для нескольких испытаний КС.

Из таблицы 2 видно, что разброс значений температуры в поясах велик и со-

ставляет 160-172 °С.

Таблица 2. Результаты расчёта СКО и МО значений температуры по поясам КС

Пояс 1 2 3 4 5 6

СКО (ст) 163 165 172 160 163 161

МО 734 821 817 781 788 684

На рисунке 4 приведены результаты построения моделей АКФ в ортогональном базисе Бесселя. Характер их поведения говорит о значительной величине гармонической составляющей процесса, что особенно заметно по 6 поясу.

Рассчитаем коэффициенты корреляции по ВКФ между поясами температурного поля, которые показывают степень взаимовлияния газовых потоков в поясах КС между собой. Положительным результатом считается отсутствие корре-

ляции между поясами КС, так как поля температур не взаимодействуют друг с другом и не «смешиваются», следовательно, наблюдаются меньшие флуктуации и поперечные пульсации, а схема горения имеет одинаковую природу с ламинарным потоком. Матрицы корреляции (МК) со значениями коэффициентов корреляции (ЮС) приведены в таблице 3.

г.... М .р=--"

А....:;.....-1....:.......:....

; - ¡¡г ......

Я : <\ . . Л

> || уу ; ДЛ I

Рисунок 4. Аппроксимативная модель АКФ в базисе Бесселя: А - ] -й пояс; Б — 6-й пояс

Таблица 3. Матрица корреляции между поясами Т-ьТ-| КС со значениями КК

Т-1 Т-2 Т-3 Т-4 Т-5 Т-6

Т-1 1 0,9558 0,8236 0,5844 0,3282 -0,0651

Т-2 0,9558 1 0,8984 0,6256 0,3461 -0,0851

Т-3 0,8236 0,8984 1 0,8758 0,6621 0,2137

Т-4 0,5844 0,6256 0,8758 ! 0,9177 0,5568

Т-5 0,3282 0,3461 0,6621 0,9177 1 0,7990

Т-б -0,0651 -0,0851 0,2137 0,5568 0,7990 1

Видно, что пояса 6 и 1, 2, 3 практически взаимонезависимы. Коэффициент корреляции меньше 0,3, что говорит о неоднородности потоков в зоне горения.

Проведён спектральный анализ массива показаний температур по поясам на предмет выявления гармонической составляющей процесса, замеченной при анализе АКФ.

На рисунке 5 показаны СПМ, построенные по параметрам модели АКФ в ортогональном базисе Бесселя. По оси У - температура в °С, по оси X - частота процесса в единицах, которые могут быть пересчитаны в Гц по формуле: Б = п * 140 Гц, где п - показания по оси X.

На графиках СПМ видны три максимума. По 6 поясу: I) на частоте примерно 1 Гц амплитуда около 90 °С; 2) на частоте примерно 11 Гц амплитуда около 170 °С; 3) на частоте примерно 22 Гц амплитуда около 90 °С. Аналогичная картина, но с меньшей амплитудой, наблюдается по 1-му поясу. Таким образом, влияние конструкции более негативно сказывается около внешней оболочки КС, чем около внутренней.

Наличие всех трёх частот на графиках СПМ объясняется конструктивными особенностями и дефектом на данном экземпляре КС: при испытании КС не зажглась одна жаровая труба, в результате чего на графике СПМ появилась частота 1 Гц.

"С .....

?ай.....

\.....

Щ

-ih

tz

S.3 n

Рисунок 5. СПМ по поясам КС в базисе Бесселя: а - по 1-му поясу; б - по 6-му поясу

Частота 11 Гц полностью соответствует числу жаровых труб - 11 шт., амплитуда этой частоты довольно велика - 170 °С. Наблюдается явное отрицательное влияние конструктивных элементов на равномерность температурного поля, которое возможно устранить лишь увеличением их числа до оптимального предела. Отверстия для подачи смеси воздуха в КС на графиках СПМ не проявляются, так как они расположены на жаровой трубе и вносят свой вклад в неравномерность температурного поля вместе с ней.

Таблица 4. Сводная таблица характеристик трех вариантов камер сгорания

КС СКО ВКФ СПМ

Б Большой разброс зна чений (161-172 °С) Коррелированны только ближние пояса. КК по поясам: 1)0: 2) 0: 3) 0,2:4)0,6; 5)0,8. В СПМ прослеживаются частоты, соответствующие числу не горящих и плохо горящих головок: 1 Гц (110°С) и 11 Гц (170°С). Амплитуда частоты 11 Гц велика.

А Небольшой разброс значений (42-63 "С) Все пояса коррелированны. КК по поясам: 1) 0,4; 2)0,5; 3)0,65:4) 0,83; 5)0,95. В спектре прослеживаются частоты, соответствующие: 1) числу горелок 1-го и 2-го контура: 28 Гц (10-12°С), 44 Гц(30-35°С); 2) числу холодных, или горячих горелок. Амплитуды частот 28 и 44 Гц невелики.

В Небольшой разброс значений (28-57 °С) Все пояса, кроме 1-го, хорошо коррелированны. КК по поясам : 1) 0; 2) 0,65; 3) 0,73; 4) 0,83; 5) 0,95. В спектре прослеживаются частоты, соответствующие числу горелок 1-го и 2-го контура: 28 Гц (20еС) и 56 Гц (40°С). Амплитуда частоты 28 Гц невелика.

В результате решения задачи обработки данных измерения полей температур контуров трех вариантов КС ГТД были сделаны следующие выводы:

1. Использование АКФ, ВКФ, СПМ для анализа испытаний трёх вариантов КС (А, Б, В), показало наличие связи между количеством горелок, качеством их отстройки и характеристиками температурного поля.

2. ВКФ и коэффициенты корреляции отражают уровень коррелированное™ процессов в КС и характеризуют степень смешения потоков.

3. СПМ характеризует уровень качества настройки горелок и показывает степень влияния конструкции на окружную неравномерность поля температур.

4. Лучшими характеристиками по СКО, АКФ. ВКФ, СПМ обладает вариант В.

5. Повышение качества характеристик температурного поля по лучшему смешению потоков, уменьшению разброса, отсутствию пиков на СПМ видится в увеличении числа горелок и их тщательной отегройке по характеристикам.

6. Предложенная методика обработки данных измерения полей температур контуров КС ГТД значительно расширяет возможности анализа экспериментальных испытаний новых вариантов КС и оценки качества серийных изделий. Кроме того, появляется возможность формализовать оценки параметров КС и проводить количественные оценки вариантов конструкции и качества сборки.

В заключении сформулированы основные выводы, перечислены полученные в работе результаты:

1. Проведен обзор приложений функций Бесселя к различным областям математической физики, прикладной математики, оптики и обработки сигналов, рассмотрены и проанализированы основные свойства функций Бесселя 1-го рода. Показано, что данные функции способны точно приближать различные функциональные зависимости, и, в особенности, затухающие колебательные процессы, однако до настоящего момента они не применялись для оценки корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов методом ортогональных разложений.

2. Получены выражения для определения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях, необходимые для построения ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик.

3. Разработаны методика и алгоритмы корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя, позволяющие повысить точность построения ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик.

4. Разработан комплекс программ для оценки корреляционно-спектральных характеристик в базисе Бесселя с использованием аппроксимативного подхода.

5. Проведен анализ погрешностей построения ортогональных моделей в базисе Бесселя методом имитационного моделирования с целью проверки адекватности разработанных алгоритмов.

6. Предложена методика обработки данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей с использованием разработанных алгоритмов аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя и разработанного комплекса программ.

7. Результаты исследований внедрены в учебный процесс при подготовке специалистов по специальности 230102 - «Автоматизированные системы обработки информации и управления» в ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)», ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет», ОАО «Кузнецов».

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Прохоров, С.А. Автоматизированная система аппроксимативного корреляционно-

спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя/С.А. Прохоров, Я.В. Газето-

ва//Извесгия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки -

2010. -№2(14). - С. 30-40.

2. Прохоров, С.А Аппроксимативный корреляционно-спектральный анализ температурных полей камер сгорания/С.А Прохоров, С.А Ильинский, Т.Г. Александрова, Я.В. Соловьева//Весгник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета). - 2012. - №1 (32). - С. 36-46.

3. Прохоров, С.А Анализ погрешностей аппроксимации корреляционно-спектральных функций ортогональными функциями Бесселя/С. А Прохоров, Я.В. Соловьева// Известия Самарского научного центра РАН. - 2012. - Том 14, №4. - С. 155-162.

Статьи в других изданиях:

4. Прохоров, С. А Автоматизированная система аппроксимативного корреляционного анализа в ортогональном базисе Бесселя/С.А Прохоров, Я.В. Газетова, ИМ. Куликовских//Труды седьмой Всероссийской межвузовской научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании», Самара: СамГТУ, 2008. - С. 13-16.

5. Прохоров, С.А Частотные характеристики ортогональных функций Бесселя/С.А. Прохоров, ЯЗ. Газетова//Радиотехника и связь: сборник научных трудов. Саратов: СГТУ, 2009. -С. 28-35.

6. Прохоров С.А. Программный комплекс аппроксимативного анализа корреляционных и спектральных характеристик случайных процессов в ортогональном базисе Бесселя/С.А Прохоров, Я.В. Газетова//Информатиха, моделирование, автоматизация проектирования: сборник научных трудов/ под ред. В.Н. Негоды. - Ульяновск: УлГТУ, 2009.-С. 189-194.

7. Прохоров С.А О некоторых свойствах цилиндрических функций Бесселя 1-го рода/С. А. Прохоров, Я.В. Газетова//Аналотнческие и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей IV Международной научно-технической конференции. - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2009. - С. 21-25.

8. Прохоров С.А. Применение автоматизированной системы аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя при обработке данных измерения полей температур контуров камеры сгорания ГТД/С.А. Прохоров, Я.В. Газетова//Надежность и качество - 2010: труды Международного симпозиума: в 2 т./ под ред. Н.К. Юркова - Пенза: ПТУ, 2010. - 1 т., С. 49-50.

9. Газетова Я.В. Перспективы применения программного комплекса аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа для обработки результатов испытаний камер сгорания ГТД/ Я.В. Газетова/ЛПерспективные информационные технологии для авиации и космоса (ПИТ-2010): Избранные труды Международной конференции с элементами научной школы для молодежи. - Самара, 2010. - С. 38-42.

Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ:

10. Газетова, Я.В. Автоматизированная система аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя/ Я.В. Газетова, С.А Прохоров/Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. Рег.№ 2009614347, от 18.08.09 г.

Подписано к печати 17.05.2013 Формат 60x80/16

_Тираж 100_

СГАУ 443086, Самара, Московское шоссе, 34

ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет

имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)»

На правах рукописи

042 СИ 35959?

Соловьева Яна Владимировна

МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ АППРОКСИМАТИВНОГО КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА В ОРТОГОНАЛЬНОМ БАЗИСЕ БЕССЕЛЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: Заслуженный работник высшей школы РФ,

доктор технических наук, профессор Прохоров С.А.

Самара 2013

Содержание

Введение...........................................................................................................................5

1 Обзор существующих методов и средств построения ортогональных моделей корреляционно-спектральных функций......................................................................11

1.1 Обзор областей приложения функций Бесселя............................................11

1.1.1 Математическая физика и прикладная математика..............................11

1.1.2 Оптика........................................................................................................13

1.1.3 Обработка сигналов..................................................................................16

1.2 Общие положения методики проведения аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональных базисах.......................17

1.3 Обзор теории ортогональных многочленов и направлений её развития...21

1.4 Обзор существующих математических систем обработки и анализа данных.........................................................................................................................23

Выводы и результаты....................................................................................................27

2 Исследование свойств ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях........................................................................................................28

2.1 Свойства цилиндрических функций Бесселя 1-го рода...............................28

2.2 Описание свойств ортогональных функций Бесселя во временной области 30

2.3 Описание свойств ортогональных функций Бесселя в частотной области .33

2.3.1 Преобразование Фурье ортогональных функций Бесселя...................33

2.3.2 Преобразование Фурье ортогональных фильтров Бесселя..................38

Выводы и результаты....................................................................................................40

3 Построение моделей корреляционно-спектральных характеристик в ортогональном базисе Бесселя с аппроксимативным подходом..............................41

3.1 Построение ортогональных моделей КФ......................................................41

3.2 Оценка спектра КФ по параметрам модели КФ...........................................45

3.3 Построение ортогональной модели СПМ.....................................................46

3.4 Оценка обобщенных корреляционно-спектральных характеристик.........48

3.5 Сравнительный анализ результатов построения ортогональных моделей при применении различных подходов к оценке корреляционно-спектральных

характеристик в различных ортогональных базисах.............................................51

Выводы и результаты....................................................................................................56

4 Анализ погрешностей аппроксимации корреляционно-спектральных функций ортогональными функциями Бесселя..........................................................................57

4.1 Погрешность оценки коэффициентов разложения ортогональных моделей корреляционной функции в базисе Бесселя............................................................57

4.2 Погрешность аппроксимации корреляционных функций ортогональными функциями Бесселя....................................................................................................61

4.3 Погрешность оценки спектра по параметрам модели КФ..........................65

4.4 Погрешность оценки корреляционно-спектральных характеристик.........66

Выводы и результаты....................................................................................................69

5 Комплекс программ аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа случайных процессов в ортогональном базисе Бесселя..............................70

5.1 Описание комплекса программ......................................................................70

5.2 Структурная схема комплекса программ......................................................71

Выводы и результаты....................................................................................................85 •

6 Применение комплекса программ аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя при обработке данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей .86

6.1 Описание предметной области.......................................................................86

6.2 Особенности реализации этапов методики оценки корреляционно-спектральных характеристик параметров камеры сгорания.................................89

6.2.1 Этап 1.........................................................................................................89

6.2.2 Этап 2.........................................................................................................90

6.2.3 Этап 3.........................................................................................................90

6.2.4 Этап 4.........................................................................................................90

6.3 Особенности применения предлагаемой методики для анализа КС..........91

6.3.1 Двухзонная КС с выносными жаровыми трубами (вариант Г)...........91

6.3.2 Двухзонная кольцевая КС (вариант В)...................................................96

6.3.3 Малоэмиссионная КС (вариант Д)........................................................100

Выводы и результаты..................................................................................................104

Заключение...................................................................................................................106

Список использованных источников........................................................................108

Приложение А. Акты внедрения................................................................................116

Введение

При проведении различных исследований технических объектов нередко приходится сталкиваться с необходимостью обработки больших массивов экспериментальных данных, имеющих случайный характер. При этом для исследования поведения объекта во временной и частотной областях ставится задача проведения корреляционно-спектрального анализа.

Построение моделей корреляционных функций (КФ) и спектральных плотностей мощности (СПМ) нередко осуществляется с использованием аппроксимативного подхода при помощи ортогональных базисов. Данный вопрос рассматривался такими учёными, как Р.Г. Бэттин, Д.Г. Лампард, Дж. X. Лэннинг, В.И. Батищев, И.И. Волков, Е.Д. Горбацевич, Ф.Ф. Дедус, Г.Я. Мирский, С.А. Прохоров, А.Ф. Романенко, Г.А. Сергеев, П.М. Чеголин, Э.И. Цветков и другие [4,5,18,23,24,25,39,40,41,45,63,64,70,71,72,81].

Одной из важных и сложных задач, от правильного решения которой будет зависеть точность полученных результатов при применении метода ортогональных разложений, является выбор ортогонального базиса. В настоящее время при построении ортогональных моделей функциональных характеристик используются, как правило, ортогональные многочлены Лагерра, Лежандра, Якоби, Дирихле. Это связано с тем, что они хорошо изучены и имеют явное аналитическое представление.

В данной работе предложено решение задачи построения моделей корреляционно-спектральных характеристик с использованием ортогональных функций Бесселя первого рода нулевого порядка в качестве системы базисных функций.

Идея применения данных функций в качестве ортогонального базиса при решении задач аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа случайных процессов возникла в связи с широким применением функций Бесселя в различных областях математической физики, прикладной математики, оптики и обработки сигналов, что обусловлено рядом свойств, которыми они обладают, в

том числе способностью точно приближать различные функциональные зависимости, и, в особенности, затухающие колебательные процессы.

Во многих случаях приближение исходных функций целесообразнее проводить с использованием ортогональных функций, что позволяет обеспечить требуемую точность аппроксимации меньшим числом членов разложения ряда.

При этом возникла необходимость исследования свойств и особенностей ортогонального базиса Бесселя, получения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях, разработки алгоритмов Построения моделей корреляционно-спектральных характеристик в ортогональном базисе Бесселя. К моменту начала проведения исследований по данному вопросу перечисленные задачи не были решены и рассмотрены в литературе.

В ходе проведения исследований выяснилось, что ортогональные функции Бесселя имеют выгодные аппроксимативные возможности по сравнению с ранее изученными системами базисных функций, а их применение в качестве базисных функций дает возможность повысить точность построения ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

Разработанные алгоритмы корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя были положены в основу комплекса программ, с помощью которого проводилось исследование их работы путем использования методов имитационного моделирования.

Данная работа позволила автору работы стать победителем областного конкурса «Молодой ученый» в номинации «Студент» в 2009 году.

Объектом исследования в диссертационной работе являются ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов в базисе Бесселя.

Предметом исследования в диссертационной работе является методика и алгоритмы построения моделей корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов в ортогональном базисе Бесселя.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов и комплекса программ для проведения аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа стационарных случайных процессов в ортогональном базисе Бесселя, позволяющих развить метод аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа и повысить точность оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

Методы исследования. В работе использованы методы, основанные на положениях теории ортогональных многочленов, теории случайных процессов, теории функций комплексной переменной, численных методах и методах интегрального представления.

Задачи диссертационной работы:

1. Сравнительный анализ современных методов и средств оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов методом ортогональных разложений, а также инструментальных средств обработки и анализа данных.

2. Получение выражений для определения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях, проведение сравнительного анализа с другими ортогональными базисами с целью выявления аппроксимативных возможностей базиса Бесселя.

3. Разработка методики и алгоритмов корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя с целью развития метода аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа и повышения точности оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

4. Разработка комплекса программ для оценки корреляционно-спектральных характеристик с помощью аппроксимативного подхода в базисе Бесселя.

5. Проведение анализа погрешностей аппроксимации корреляционно-спектральных функций ортогональными функциями Бесселя и проведение имитационного моделирования с целью проверки адекватности разработанных алгоритмов.

6. Апробация разработанных алгоритмов и комплекса программ на реальных данных.

Научная новизна работы:

1. Получены выражения для определения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях, необходимые для построения ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик.

2. Предложены алгоритмы корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя, позволяющие развить метод аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа и повысить точность оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

3. Предложена методика определения параметров ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик в ортогональном базисе Бесселя.

4. Предложена методика обработки данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей с использованием разработанных алгоритмов и комплекса программ.

Практическая значимость работы:

1. Разработан комплекс программ для оценки корреляционно-спектральных характеристик с помощью аппроксимативного подхода в базисе Бесселя.

2. Разработанные алгоритмы и комплекс программ использованы при обработке данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей и необходимы для анализа экспериментальных испытаний новых вариантов камер сгорания и оценки качества серийных изделий.

На защиту выносятся:

1. Выражения для определения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях.

2. Алгоритмы и методика построения моделей корреляционно-спектральных характеристик в ортогональном базисе Бесселя.

3. Комплекс программ для оценки корреляционно-спектральных характеристик с помощью аппроксимативного подхода в базисе Бесселя.

4. Методика и результаты обработки данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей с использованием разработанных алгоритмов аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя и разработанного комплекса программ.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы в ОАО «Кузнецов» при обработке данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей, а также в учебном процессе при подготовке специалистов по специальности 230102 -«Автоматизированные системы обработки информации и управления» в ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)», ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет».

Результаты внедрения подтверждены соответствующими актами.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на Всероссийской межвузовской научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании», Самара (2008); Международной научно-технической конференции «Проблемы автоматизации и управления в технических системах», Пенза (2009); Международной научно- технической конференции «Радиотехника и связь», Саратов (2009); Всероссийской студенческой олимпиаде «Конкурс компьютерных программ», Вологда (2009); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара (2009); Российской школы-семинара аспирантов, студентов и молодых ученых «Информатика, моделирование, автоматизация проектирования (ИМАП-2009)», Ульяновск (2009); Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «X Королевские чтения», Самара (2009); Международной научно-практической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза (2009); Международной конференции с элементами научной школы для

молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса (ПИТ- 2010)», Самара (2010).

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 18 работах, из них: 3 публикации в журналах, рекомендованных ВАК, 10 работ в материалах и трудах Международных и Всероссийских конференций, 4 тезиса доклада, 1 свидетельство о регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и одного приложения. Общий объем диссертации 116 страниц. Диссертация содержит 21 таблицу, 48 рисунков и список литературы из 88 наименований.

1 Обзор существующих методов и средств построения ортогональных моделей корреляционно-спектральных функций

1.1 Обзор областей приложения функций Бесселя

Функции Бесселя являются, по-видимому, наиболее часто употребляемыми высшими трансцендентными функциями. Начиная с конца XIX века, и по сей день, они используются в качестве математического аппарата во многих отраслях математической физики, прикладной математики и технических приложениях [30]. Это связано с тем, что они обеспечивают быструю и корректную сходимость решений целого ряда прикладных задач, которые могут быть, так или иначе, сведены к уравнению Бесселя.

Области приложения этих функций крайне разнообразны, рассмотрим основные из них.

1.1.1 Математическая физика и прикладная математика

В монументальном трактате Ватсона, который является основным трудом по функциям Бесселя, показано, что чаще всего данные функции встречаются в связи с решением дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных, а также в связи с вычислением некоторых определенных интегралов [8]. Поэтому приложение бесселевых функций широко используется в математической физике при решении задач волнового движения, теории потенциала и диффузии [20,34,36].

Характерными задачами, приводящими к цилиндрическим функци�