автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Построение моделей корреляционно-спектральных характеристик методом аналитических разложений

На правах рукописи

/

Л МчУ /

п • г 1

КУЛИКОВСКИХ Илона Марковна

Построение моделей корреляционно-спектральных характеристик методом аналитических разложений

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

9 ИЮН 2011

Самара - 2011

4849144

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)» (СГАУ) на кафедре информационных систем и технологий.

Научный руководитель: Заслуженный работник высшей школы РФ,

Ведущая организация:

Федеральное государственное унитарное предприятие

Государственный научно - производственный ракетно - космический центр «ЦСКБ-Прогресс» (г. Самара)

Защита состоится 17 июня 2011 г. в 12 час. на заседании диссертационного совета Д 212.215.05, созданного при СГАУ, по адресу: 443086 Самара, Московское шоссе, д. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ.

Автореферат разослан 16 мая 2011 г.

доктор технических паук, профессор Прохоров Сергей Антонович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, доцент Горячкин Олег Валериевич

доктор физико-математических наук, профессор Радченко Владимир Павлович

г

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор технических наук, профессор

\

В.А. Фурсов

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

В результате анализа различных технических объектов получают большой объем разнородных данных, требующих обработки для дальнейшего принятия решения. Часто поставленной задачей является проведение корреляционно - спектрального анализа данных, позволяющего исследовать поведение объекта во временной и частотной областях. Для этого необходимо представить анализируемые корреляционные и спектральные оценки как функционально-преобразованные исходные данные, а затем провести их всестороннее исследование через построение математической модели в виде параметрической модели. Необходимым требованием к построению такой модели является соблюдение основных свойств (условий нормировки) анализируемой характеристики - корреляционной функции (КФ) или спектра. Учитывая разнообразие объектов и порождаемых данных, целесообразнее строить их модель методом ортогональных разложений, инвариантным к виду анализируемой характеристики.

Применение метода ортогональных разложений в различных приложениях распространено достаточно широко, а процедура построения модели понятна и прозрачна. С ростом технического прогресса и развитием научных теорий возрастают и требования к получению конечного результата, а, следовательно, и этот метод нуждается в значительном усовершенствовании и доработке.

В данной работе рассмотрено одно из возможных развитий метода ортогональных разложений - метод аналитических разложений. Суть метода заключается в том, что все соотношения, связанные с ортогональными функциями - интегралы, производные, другие ортогональные функции, а также коэффициенты разложения ряда Фурье - выражаются через аналитические выражения, напрямую связанные с самими функциями. Такой метод дает возможность:

• работать в пространстве простейшей базисной системы функций, выражая «соседние»базисные системы через простейшую, и поставить вопрос о целесообразности применения множества базисных систем и выбора наилучшей системы;

• повысить точность и снизить временные и ресурсные затраты на построение моделей корреляционно - спектральных характеристик;

• оперировать пространством детерминированных функций (простейшей системой функций), анализируя при этом случайные функции (оценки корреляционно - спектральных характеристик).

С этой позиции наибольший интерес представляют классические ортогональные многочлены с варьируемыми параметрами ортогонального базиса, такие как многочлены Якоби и обобщенные многочлены Лагерра. В отличие от эмпирических ортогональных функций, широко развивающихся в последнее время, классические многочлены хорошо изучены и имеют явное аналитическое представление.

Получением и изучением классических ортогональных систем многочленов занимались такие ученые, как К.Г.Я. Якоби, A.M. Лежандр, Э.Н. Ла-герр, П.Л. Чебышев, исследованию их свойств и развитию теории ортогональных многочленов посвящены работы А.А. Маркова, Р. Аски, Г. Сеге, Т. Чихара, В. Коэпфа, Ф. Марселиана, вопросы построения моделей на основе базисных систем функций рассматривались А.Ф. Романенко и Г.А. Сергеевым, Ф.Ф. Дедусом, И.И. Волковым, С.А. Прохоровым, В.И. Батищевым и другими учеными.

Применение метода аналитических разложений делает возможным создание комплекса программ в рамках методологии «Data Mining», используя аналитические модели для выявления скрытых закономерностей между различными наборами данных.

Работа выполнялась при финансовой поддержке гранта по программе «У.М.Н.И.К.» (Участник молодежного научно - инновационного конкурса) в 2010-2011 годах и позволила автору работы стать победителем областного конкурса «Молодой ученый»в номинации «Аспирант» в 2009 году.

Объектом исследования в диссертационной работе являются модели корреляционно - спектральных характеристик стационарных случайных процессов, построенные методом ортогональных разложений.

Предметом исследования в диссертационной работе является метод ортогональных разложений.

Целью диссертационной работы является повышение точности и снижение временных затрат при оценке корреляционно - спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

Методы, используемые в диссертации, основаны на положениях теории ортогональных многочленов, теории случайных процессов, теории аппроксимации, теории операционного исчисления, теории функций комплексной переменной, численных методах, методах интегрального представления и вычисления комбинаторных сумм.

Задачи диссертационной работы:

1. Анализ существующих подходов к оценке корреляционно-спектральных характеристик методом ортогональных разложений, направлений развития и приложений теории ортогональных многочленов, а также инструментальных средств для анализа данных.

2. Повышение точности оценки корреляционно-спектральных характеристик ортогональных рядов с помощью свойств и характеристик орто-

тональных функций.

3. Разработка подхода к построению ортогональных рядов для снижения временных и ресурсных затрат на оценку корреляционных и спектральных характеристик.

4. Разработка комплекса программ для оценки корреляционно - спектральных характеристик методом ортогональных разложений в рамках методологии систем «Data Mining».

5. Проведение имитационного моделирования для метрологического анализа разработанных методов и подходов и апробация комплекса при обработке реальных сигналов.

Научная новизна работы:

1. Разработан метод аналитических разложений для представления функциональных характеристик ортогональных функций, таких как производные и неопределенные интегралы, в виде конечного ряда через ортогональные функции.

2. Предложен численно-аналитический алгоритм к оценке коэффициентов ортогональной модели.

3. Приведено обобщение алгоритма оценки параметра масштаба, гарантирующего минимум-миниморум погрешности приближения, на функции Сонина-Лагерра с помощью метода аналитических разложений.

4. Предложен аналитический подход к построению ортогональных рядов, основанный на методе аналитических разложений.

5. Получено фазовое представление корреляционно-спектральных характеристик в рамках аналитического подхода.

Практическая значимость работы:

1. Алгоритмы оценки параметров моделей корреляционно-спектральных характеристик, построенных методом аналитических разложений.

2. Технология аналитической обработки данных, основанная на методе ортогональных разложений.

3. Пространственная схема взаимодействия объектов.

4. Комплекс программ для построения моделей корреляционно - спектральных характеристик методом аналитических разложений в рамках методологии «Data Mining».

На защиту выносятся:

1. Метод аналитических разложений, позволяющий:

• представить функциональные характеристики ортогональных функций, такие как производные и неопределенные интегралы, в виде конечного ряда через ортогональные функции;

• получить аналитические модели корреляционно - спектральных характеристик, используя простейшие ортогональные базисы;

• снизить временные и ресурсные затраты при оценке коэффициентов разложения и фазового представления корреляционно - спектральных характеристик;

• получить обобщение алгоритма оценки параметра масштаба на функции Сонина-Лагерра, гарантирующего минимум-миниморум погрешности приближения.

2. Численно-аналитический алгоритм оценки коэффициентов разложения ортогональных моделей, позволяющий повысить ее точность.

3. Комплекс программ для оценки корреляционно - спектральных характеристик методом аналитических разложений в рамках методологии систем «Data Mining».

4. Результаты исследований разработанных методов и алгоритмов с помощью комплекса программ методом имитационного моделирования.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на Всероссийской межвузовской научно - практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании», Самара (2005, 2006, 2007, 2008, 2009); научно - технической конференции с международным участием «Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении (ПИТ - 2006)», Самара (2006); Всероссийской научной конференции «Инновационные технологии в управлении, образовании, промышленности (АСТИНТЕХ - 2007)», Астрахань (2007); Международной научно - технической конференции «Проблемы автоматизации и управления в технических системах», Пенза (2007, 2008, 2011); Международном конгрессе студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспектива - 2007», Нальчик (2007); Межрегиональной научно - технической конференции «Информационные технологии в высшем профессиональном образовании», Тольятти (2007); Международной научно - технической конференции «Радиотехника и связь», Саратов (2007, 2009); Международной открытой конференции «Современные проблемы информатизации в анализе и синтезе технологических и программно - телекоммуникационных систем (СПИ - 2008)», Воронеж (2008); Международной молодежной научной конференции «XXXIV Гагаринские чтения», Москва (2008); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара (2008); Международной научно - технической конференции «Методы, средства и технологии получения и обработки измерительной информации (ИЗМЕРЕНИЯ - 2008)», Пенза (2008); Международной научно - технической конференции «Проблемы и перспективы развития двигателестроения», Самара (2009); Российской школы - семинара аспирантов, студентов и молодых ученых «Информатика, моделирование,

автоматизация проектирования (ИМАП - 2009)», Ульяновск (2009); Международной конференции «Interactive Systems and Technologies: The Problems of Human-Computer Interaction», Ульяновск (2007); Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «X Королевские чтения», Самара (2009); Международной научно - практической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза (2009); Международной конференции «Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов (ИИИ -2009)», Новосибирск (2009); Международной научно - практической конференции «Образование - инвестиции в успех», Алматы, Казахстан (2009); Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса (ПИТ - 2010)», Самара (2010).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 57 работах, из них: 2 монографии (в соавторстве), 3 публикации в журналах, рекомендованных ВАК, 32 работы в материалах и трудах Международных и Всероссийских конференций, 4 тезиса доклада, 3 свидетельства о регистрации программ, 6 отчетов о НИР, 7 электронных публикаций.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и трех приложений. Общий объем диссертации 132 страницы. Диссертация содержит 37 таблиц, 49 рисунков и список литературы из 167 названий.

Содержание диссертации

Во введении показана актуальность темы диссертации, определены цель и задачи работы, методы исследования, изложена научная новизна и практическая значимость полученных результатов, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе отражены вопросы оценки и построения моделей корреляционно - спектральных характеристик методом ортогональных разложений, даны определения обобщенных многочленов JIareppa и Якоби, рассмотрены направления развития и приложения ортогональных многочленов, а также рассматривались и анализировались существующие математические системы анализа данных, среди которых были выделены две группы - системы общего назначения и специализированные системы аппроксимативного анализа.

При проведении научных исследований и комплексных испытаний с использованием средств информационно-измерительной техники получают случайный сигнал x(t, 0), характеристики 0 которого подлежат оценке. На основании общей теории статистических измерений измеряемая вероятностная характеристика определяется как предел выборочного среднего функцио-

нально - преобразованного случайного процесса

е[*(0] = Ш^МО],

где © - измеряемая функциональная характеристика; S^ - идеальный оператор усреднения; d - параметр усреднения (время Т, совокупность реализаций N или время и совокупность реализаций TN); д - оператор, представляющий собой преобразования, лежащие в основе определения вероятностной характеристики в; хj(t) - j-тая реализация случайного процесса.

Следующим шагом в оценивании вероятностной характеристики является построение ее математической модели вероятностной функциональной характеристики в виде ортогональной модели, при этом модель должна сохранять основные свойства анализируемой характеристики, в первую очередь, условие нормировки.

Представим оценку модели вероятностной функциональной характеристики д[х) через многочлены, ортогональные на [а, 6] как

m

Qa(x) = 7)-

fc=0

При минимизации квадратической погрешности приближения

Гь / m \ 2

Д = / Щх) - M(x,7)di—nmn,

Ja k=о

лишь коэффициенты разложения /3^- определяются автоматически

1 Гь

Рк = -—7^1 д(х)фк{х, 7)р(х, 7)dx, \\Фк\\ Ja

а для определения остальных параметров модели необходимо решать дополнительные задачи: выбор ортогонального базиса фк{-т); определение численного значения параметра масштаба у; определение количества членов разложения ряда; вычисление корректирующих коэффициентов, обеспечивающих выполнение моделью основных свойств вероятностной функциональной характеристики (условие нормировки).

Во второй главе рассмотрены преобразования ортогональных функций во временной и частотной областях, дано описание метода аналитических разложений и введено понятие фазового представления ортогональных функций.

Остановимся на рассмотрении трех групп ортогональных многочленов: Якоби с варьируемым параметром а и нулевым /?; Якоби с нулевым а и варьируемым параметром /3; обобщенные многочлены Лагерра с варьируемым

параметром а. Разбиение на такие группы объясняется влиянием параметров на их характеристики и свойства.

При построении моделей корреляционных и спектральных характеристик необходимо привести область существования ортогональных многочленов к полубесконечному интервалу.

Для ортогональных многочленов Лагерра замена аргумента, позволяющая произвести такое преобразование, соответствует х = 7г, а для функций Якоби - х — 1 — 2ехр(—сгут).

Аналитическое представление рассмотренных ортогональных функций приведено в табл. 1.

Таблица 1 - Аналитическое представление

Вид функций Фк{т, 7) Выражение

РГЧт,у) L[a)(r, 7) t О (* +/+ +а а) И)' -рН2* + Q + ^/2) gU-J si eXp^7T/2)

Такая форма представления удобна при выполнении аналитических преобразований над ортогональными функциями. Однако при реализации предложенных аналитических выражений в форме конечного ряда на ЭВМ возникает ряд трудностей, связанных с вычислением комбинаторных чисел. Наиболее предсказуемым выходом из сложившейся ситуации является применение рекуррентных соотношений. Но, несмотря на возможность вычисления функций высоких порядков, рекуррентные соотношения громоздки, что влечет за собой значительные вычислительные затраты и увеличение времени их реализации. Решение данной проблемы лежит в разработке метода аналитических разложений.

Суть метода аналитических разложений состоит в следующем. Представим функциональную характеристику к - того порядка 7), связанную

(JlJ)^ (-у-, Г

С 'Фк.{т, 7), например, -—/ фк{т> 7)dr и т.д. в виде

оо

= (1) i/=0

где

Pk,v

||^(7)|| Jo

- коэффициенты разложения ряда (1), а

ГОО

Jo

- расширенное соотношение ортогональности функций фк{т, т).

В отличие от основного соотношения ортогональности, имеющего значения только по главной диагонали

ГОО

J о

G{7) = {90,0(7)15i,i (7)1 •■■>5к",лг(т)} >

в расширенном соотношении ортогональности значения располагаются по нескольким смежным диагоналям, например,

Н{ 7) =

(КоЬ) Л1,о(7) 0 0

ho, 1(7) hi,i{l) /12,1(7) О О /«1,2(7) '«2,2(7) /«3,2(7)

О

V о

о /(2,3(7) /13,3(7)

о

о

Ьк.к-i(7)

Ьк.кЬ) )

В третьей главе описаны принципы построения ортогональных моделей корреляционно - спектральных характеристик с наперед заданной точностью, дано описание численно - аналитического алгоритма оценки коэффициентов разложения, аналитического подхода к построению ортогональных рядов, приведено описание фазовых корреляционно - спектральных характеристик.

Стандартная процедура построения модели методом ортогональных разложений предполагает следующую последовательность действий:

/оо / m \ 2

(2)

fa = № = max,iv) |i=0 .. /m„-i (3)

- оценка коэффициента разложения

1 f

& = fi^Mr^l'^^Hr^dT, (4)

p-'fcll Jo

тк max - максимальный интервал корреляции; Дт - шаг дискретизации; г = О imax 1) -^шах = ent[rfc тах/Дт] - число ординат, необходимых для построения функциональной характеристики; N - объем выборки; Е() - функционал, зависящий от метода численного интегрирования.

Для снижения результирующей погрешности (2) необходимо повысить точность оценки коэффициентов (4). Этого можно добиться применением численно-аналитического метода оценки коэффициентов разложения

Дт) = Е (а< + Ьт)й, (5)

. 1, если п ^ т ^ тг+1; где di = < - индикатор состояния. Подстановкой вы-

0, иначе

ражения (5) в (4) получим

Лтпах 1 / TTi^i

HV'Jfcll t=o ^ ■/т<

+ b f тфк{тГ/)^к{т'1)}{r,-r)di

(6)

Для определения оценки (6) необходимо взять неопределенные интегралы

Данные выражения могут быть представлены в различных формах: в виде конечного ряда с комбинаторными числами, в виде рекуррентных соотношений и в виде выражений, полученных с использованием метода аналитических разложений.

На рис. 1 представлены результаты построения модели сигнала

fl-2r/r, если |г| ^ Г/2;

{О, если |т| > Г/2 U

ортогональными функциями JIareppa с

параметрами Г — 1, ш = 50 и 7 = 40

при различных подходах.

Для построения моделей на основе выражений, полученных методом аналитических разложений, разработан аналитический подход.

Аналитический подход позволяет организовать процедуру построения модели таким образом, чтобы вычислялись лишь значения ортогональных функций, которые, в свою очередь, хранятся в памяти ЭВМ в виде матрицы значений, а все характеристики ортогональных функций, включал коэффициенты разложения, а в последующем и корреляционно - спектральные характеристики, вычисляются по данной матрице.

Рис. 1 - Вид модели /(т): а) при численном алгоритме; 6) при численно-аналитическом

алгоритме

В соответствии с представленным подходом можно показать, что коэффициенты разложения /?{.' функций с весом ifij.' (г, 7) выражаются через коэффициенты разложения Рк простейших представителей базисной системы Фк(т,-у).

Рассмотрим процедуру построения модели корреляционной функции (КФ) и производной КФ с учетом предлагаемого аналитического подхода

m

ka.{r)=alYJPikx(T)]Mr)1l (8)

к=О

1 /-ос

4Кх(т)} = Кх(т)фк(тП)ц^т'^(т,ч)с1т. (9)

Ш\ Jo

Для получения адекватной математической модели необходимо пронормировать коэффициенты разложения таким образом, чтобы выполнялось основное свойство КФ

m

= 4 (10)

к=О

С помощью аналитического подхода определим модель производной КФ rfKaV) _ иУ<Лт)}дФк{тп)

dT дт ■ W

к=0

Для модели (11) справедливо следующее условие нормировки:

Такой подход позволяет исключить погрешность численного дифферен-

dKx(r) Кх(т + Дт) - Кх{т)

цирования -:- и ---, где Дт - интервал дискретиза-

ат Дг

ции.

Знание модели КФ и производной КФ позволяет построить фазовое представление КФ

ат

и с учетом фазового представления ортогональных функций представить в следующей форме:

m

Фтшг)}ит) = ^р{клг)}фшгп)}ит] (13)

fc=о

Ниже представлены модели КФ, ее производной и фазового представления в базисе JIareppa с параметрами 7 = 4,899 и m = 200 (см. рис. 2).

'Мт) ЛКх(т) dl<x(.T) dK а(т)

к а<0

Рис. 2 - Вид моделей корреляционных характеристик; а) КФ; б) производной КФ; в) фазового представления КФ; г) выявленной характеристики на фоне шумовых помех

В четвертой главе приведен анализ методических погрешностей построения ортогональных рядов с наперед заданной точностью: погрешности оценки коэффициентов разложения, погрешности оценки параметров модели, фазовые погрешности оценки корреляционно - спектральных характеристик.

Представим методическую погрешность аппроксимации (2) в виде

Д = Дш1п + Дь (14)

/■оо m

Дтш = / (15)

>0

fc=о

- минимальная погрешность аппроксимации, вызванная ограничением числа членов ряда тп;

m

Д1 = Х>а)21М12 (16)

и

- погрешность аппроксимации, вызванная оценкой коэффициентов Д/3^ = = /5к — /3к- Значение методической погрешности (14), главным образом, зависит от способа оценки параметров, в частности, параметра масштаба. Существует несколько приближенных алгоритмов оценки параметра масштаба, которые, в свою очередь, не обеспечивают минимум-миниморум квад-ратической погрешности аппроксимации (14). Для ортогональных функций Лагерра известен оптимальный алгоритм определения данного параметра Pm+i = О (И.И. Волков, С.А. Прохоров, 1972).

С помощью метода аналитических разложений было получено обобщение данного алгоритма для функций Лагерра с произвольным параметром ортогонального базиса.

Рассмотрим методическую погрешность оценки коэффициентов разложения, рассчитанных с помощью численно-аналитического алгоритма, приведенного в главе 3. Представим оценку (6) идеальных коэффициентов разложения (4) с учетом представления приближаемой функции /(гДг) = /(гДт)+ +£(гДт),тах|£(гДт)| < £тах в кусочно-линейном виде (5) со случайными параметрами а,; и bi

1 /т.," 1/ Ч

Рк = Т]—72 + i>ih,i,k , (17)

\\Фк\\ г=0 ^ /

где

Лпах ~~ 1 / \

П}гсть Ек{сч, bi)i=o../max-i = ^ ( ajliiifc + bj2,i,k ) • Тогда

= .. 1 ..2 [sfc(flt.bi) + Sfc(ai,bi)|, M[pk\ = 1 Hfc(a,,bi),

IPfcll L J H^fcll

Г ° 91 1 1

^i^*) ] = 7f—jj4 £ КЛа + ^Ли)-

На рис. 3 приведены рез}гльтаты оценки коэффициентов при численном алгоритме (стандартном) и предлагаемом численно-аналитическом алгоритме при проведении имитационного моделирования со следующими исходными данными: диапазон порядка коэффициента к = 0..m, т = 30; параметр масштаба функций Лагерра 7 = 4,899; р(т) = ехр(—Ат) сов(шот) с отношением шо/А = 5/1, Дт = 0,0816, числом ординат J = 37, объем выборки N = 5000, пехр = 29.

а)

б)

Рис. 3 - Вид оценок (/?£ — /З/t)2: а) при численном алгоритме; б) при численно-аналитическом алгоритме

Из рис. 3 б) видно, что при дальнейшем увеличении числа членов ряда значения отклонений (ft^ — fit) уменьшаются, а величина этих отклонений ниже более чем на порядок. Отсюда следует - вклад погрешности вычисления коэффициентов, вызванной случайными отклонениями, в результирующую погрешность (14) снижается. Ниже приведены квадратические погрешности приближения при оценке коэффициентов разложения по различным методикам (см. рис. 4).

/

'"V / /

\ /

10 20 m

10 20 m

а) б)

Рис. 4 - Вид погрешности Д и ее составляющих: а) при численном алгоритме; б) при численно-аналитическом алгоритме

В пятой главе приведено описание комплекса программ и основных программ построения ортогональных моделей с помощью описанных выше методов и алгоритмов.

Разработанный программный продукт имеет следующие требования и технические характеристики: тип ЭВМ - IBM PC совместимый; тип операционной системы - Windows ХР и выше; наличие Microsoft Office (Word, Excel); среда разработки - Borland Delphi v. 7.0; размер программного продукта -5,19 Мб; текущая версия - SCAN ver. 3.1.

Структура разработанного комплекса программ представлена на рис. 5.

комплекс программ с программой, реализующей технологию аналитической обработки

программа построения и 1ния КФ

программа генераци и данных

прогро мма

программа загрузки данных из файла ввода и интерпретации данных

программа

данных по

ческому

программа построения

обобщенных функций

программа

построе-

ния функ.

характер и-

построения

программа простей ших

построе- ортогональ-

ния обоб. ных функций

характери-

стик

программа построения модели фазовой КФ в обоб-щеннык базисах

построения функ. характери- м одел и КФ в простей ших базисах

программа построе-ни я обоб. характери-

программа построен и дели фазового спекп обобщенных базисах

программа построения модели спектра е

простейших базисах

построения функ. характери-

программа построения обоб.

КОМПЛЕКС ПРОГРАММ

программа ими. тационного моделирования

программа обра. ботки внешних данных

программа фор- мирования отчетов

Рис. 5 - Структура разработанного комплекса программ

В шестой главе содержатся результаты проведения имитационного моделирования и решения прикладных задач с помошью разработанного комплекса программ.

Приводятся результаты имитационного моделирования, подтверждающие правильность работы разработанных методов и подходов. С помощью разработанного комплекса программ были решены две задачи прикладного ха-

рактера, связанные с обработкой музыкальных и фотоплетизмографнческих сигналов.

В заключении сформулированы основные выводы, перечислены полученные в работе результаты.

В результате выполнения диссертационной работы были решены поставленные задачи и получены следующие результаты:

1. Проведен сравнительный анализ методов и программных комплексов ортогональных представлений корреляционно-спектральных характеристик. Показано, что дальнейшее улучшение качества ортогональных моделей связано с применением новых свойств ортогональных функций.

2. Разработаны алгоритмы, основанные на методе аналитических разложений, позволяющие:

• представить функциональные характеристики ортогональных функций, такие как производные и неопределенные интегралы, в виде конечного ряда через ортогональные функции;

• получить аналитические модели корреляционно - спектральных характеристик, используя простейшие ортогональные базисы;

• снизить временные и ресурсные затраты при оценке коэффициентов разложения и фазового представления корреляционно - спектральных характеристик;

• получить обобщение алгоритма оценки параметра масштаба, гарантирующего минимум-миниморум погрешности приближения, на базисные функции Сонина-Лагерра.

3. Предложен численно-аналитический алгоритм оценки коэффициентов разложения ортогональных моделей, позволяющий повысить ее точность.

4. Разработан комплекс программ для оценки корреляционно - спектральных характеристик методом ортогональных разложений в рамках методологии систем «Data Mining».

5. С помощью программного комплекса методом имитационного моделирования проведен метрологический анализ разработанных алгоритмов оценки корреляционно-спектральных характеристик.

6. Результаты исследований использовались при выполнении гранта по программе «У.М.Н.И.К.», а также внедрены в учебный процесс при подготовке специалистов по специальности 230102 - «Автоматизированные системы обработки информации и управления»в Самарском государственном аэрокосмическом университете, Саратовском государственном техническом университете, Пензенском государственном университете.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Монографии (в соавторстве):

1. Прикладной анализ случайных процессов/ Под ред. С. А. Прохорова/С.А. Прохоров, А.В. Графкин, И.М. Куликовских и др.-Самара: СНЦ РАН, 2007.-582 с.

2. Прохоров, С. А. Ортогональные модели корреляционно - спектральных характеристик случайных процессов. Лабораторный практикум/С. А. Прохоров, И.М. Куликовских.-Самара: СНЦ РАН, 2008.-301 с.

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:

3. Прохоров, С. А. Частотные характеристики ортогональных функций Сонина-Лагерра/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских//Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия физ.-мат. науки. - 2007. - №2(15). - С. 123-127.

4. Прохоров, С.А. Аппроксимация корреляционных функций и спектральных плотностей мощности ортогональными функциями Сонина-Лагерра/С. А. Прохоров, И.М. Куликовских//Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия физ.-мат. науки. - 2008. - №2(17). - С. 185-191.

5. Прохоров, С.А. Численно-аналитический подход к вычислению интегралов при построении ортогональных моделей/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия физ.-мат. науки. - 2009. -№2(19). - С. 140-146.

Статьи в других изданиях:

6. Прохоров, С. А. Корреляционно - спектральный анализ в ортогональных базисах Якоби/С. А. Прохоров, И. М. Куликовских//Компьютерные технологии в науке, практике и образовании: труды Всероссийской межвузовской научно - практической конференции. - Самара: СГТУ, 2005. - С. 54-59.

7. Куликовских, И. М. Изучение влияния весовых функций ортогональных базисов на результаты аппроксимации корреляционных функций заданного вида/ И. М. Куликовских//«Перспектива - 2007». Т. II. Технические науки, архитектура, физика, математика: материалы Международного конгресса студентов, аспирантов и молодых ученых. - Кабардино-Балкария, Нальчик, 2007. - С. 51-53.

8. Прохоров, С. А. Частотные свойства ортогональных функций Якоби/С. А. Прохоров, И.М. Куликовских//Информационные технологии в высшем профессиональном образовании: сборник докладов второй межрегиональной научно - технической конференции. - Тольятти, 2007. - С. 125-128.

9. Куликовских, И.М. Многомерная параметрическая модель артериальной пульсовой волны/ И.М. Куликовских//Биомедсистемы - 2007. Биотехнические, медицинские и экологические системы и комплексы: материалы XX Юбилейной Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов.- Рязань: РГРТУ, 2007. - С. 112-113.

10. Калакутский, JI.И. Моделирование сигнала фотоплетизмографического измерительного преобразователя гемодигшмических параметров сосудистого кровотока / JI.II. Калакутский, И.М. Куликовских//Актуальные проблемы радиоэлектроники и телекоммуникаций: материалы Всероссийской научно - технической конференции. - Самара: СГАУ, 2007. - С. 22-24.

11. Куликовских, И.М. Применение автоматизированной системы аппроксимативного корреляционно - спектрального анализа в ортогональных базисах при обработке физиологических биосигналов/И.М. Куликовских//ХХХ1У ГА-ГАРИНСКИЕ ЧТЕНИЯ: научные труды Международной молодежной научной конференции. -М: МАТИ, 2008. - С. 74.

12. Прохоров, С.А. Лабораторный практикум по ортогональным моделям корреляционно - спектральных характеристик случайных процессов/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских//Математическое моделирование и краевые задачи: труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием. 4.4.-Самара, 2008. - С. 112-116.

13. Прохороз, С.А. Погрешность оценки спектра по параметрам аппроксимирующего выражения корреляционной функции/С.А. Прохоров, И.М. Куликов-ских//Математическое моделирование и краевые задачи: труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием. 4.4. - Самара,

2008. - С. 116-120.

14. Куликовских, И.М. Программный комплекс оценки корреляционно - спектральных характеристик методом ортогональных разложений/И.М. Kyj-и-ковских//Проблемы и перспективы двигателестроения, секция «Коммерциализация результатов научно - технической деятельности»: материалы докладов конкурса программы «У.М.Н.И.К.» - Самара: СГАУ, 2009. - С. 17-18.

15. Прохоров, С.А. О некоторых свойствах ортогональности/ С.А. Прохоров, И.М. Куликовских//Информатика, моделирование, автоматизация проектирования (ИМАП-2009): сборник научных трудов Российской школы - семинара аспирантов, студентов и молодых ученых. - Ульяновск, 2009. - С. 195197.

16. Prokhorov, S.A. Reduction of a numerical differentiation error by the method of orthogonal decomposition/S.A. Prokhorov, I.M. Kulikovskikh//Interactive systems and technologies: the problem of human - computer interaction: Collection of scientific papers. Vol.III.-Ulyanovsk, 2009. - C. 169-171.

17. Куликовских, И. M. Тенденции развития аппроксимативного подхода на хгримере разработки программного комплекса оценки корреляционно - спектральных характеристик методом ортогональных разложений в рамках программы «У.М.Н.И.К.»/И. М. Куликовских//X Королевские чтения: сборник трудов Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием -Самара: СГАУ, 2009. - С. 292.

18- Прохоров, С.А. Применение метода ортогональных разложений для выявления зависимостей между характеристиками ортогональных базисов/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских//Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей IV

Международной научно - технической конференции -Пенза: Приволжский Дом знаний, 2009. - С. 81-83.

19. Прохоров, С.А. О некоторых преобразованиях коэффициентов разложения ортогональных моделей/ С.А. Прохоров, И.М. Куликовских // Компьютерные технологии в науке, практике и образовании: труды Всероссийской межвузовской научно - практической конференции. - Самара: СГТУ, 2009. -С. 40-43.

20. Прохоров, С.А. Методы оценки коэффициентов разложения ортогональных рядов/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских//Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов (состояние, перспективы развития) (ИИИ,2009): Сборник материалов международной конференции. - Новосибирск: НГТУ, 2009. - С. 168-171.

21. Prokhorov, S.A. SCAN: Software package of spectral-correlation analysis/ S.A. Prokhorov, I.M. Kulikovskikh//nepcneKTHBHbie информационные технологии для авиации и космоса (ПИТ-2010): Избранные труды Международной конференции с элементами научной школы для молодежи. - Самара, 2010. -С. 3-8.

22. Прохоров, С.А. Разработка программного продукта корреляционно - спектрального анализа в рамках методологии «Data Mining»/C.A. Прохоров, И.М. Куликовских // Проблемы автоматизации и управления в технических системах: материалы международной научно - технической конференции.— Пенза: ИИЦ ПГУ, 2011. - С. 164-167.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ:

23. Куликовских, И.М. Автоматизированная система спектрально - корреляционного анализа методом ортогональных разложений «СКАН»/И.М. Куликовских, С.А. Прохоров / Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. Per. №2009613943 от 24.07.09 г.

24. Куликовских, И.М. Автоматизированная информационная система исследования обобщенных ортогональных многочленов Якоби/И.М. Куликовских, С.А. Прохоров/Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. Per. №2009614285 от 14.08.09 г.

25. Гребнев, В.В. Программа обработки базы данных нейтрализаторов/В.В. Греб-нев, Г.Д. Мальчиков, В.И. Заражевский, И.Б. Кравченко, С.А. Прохоров, И.М. Куликовских/Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. Per. №2010612790 от 06.10.10 г.

Подписано к печати 13 . 05 .2011 Формат СО X 84/10 Тираж 100 Бесплатно

СГАУ 443086, Самара, Московское шоссе, д. 34

Введение

1 Обзор существующих методов и средств построения моделей корреляционно - спектральных характеристик с помощью ортогональных разложений

1.1 Анализ существующих методов построения моделей корреляционно - спектральных характеристик с помощью ортогональных разложений.

1.1.1 Процедура построения ортогональных моделей с аппроксимативным подходом.

1.1.2 Процедура построения моделей обобщенным спектрально - аналитическим методом

1.2 Обзор существующих определений и приложений ортогональных многочленов и функций.

1.2.1 Определение и свойства ортогональных многочленов и функций.

1.2.2 Обзор существующих направлений развития и приложений теории ортогональных многочленов.

1.3 Обзор существующих математических систем анализа данных

1.3.1 Математические системы общего назначения.

1.3.2 Специализированные системы аппроксимативного анализа

Выводы и результаты

2 Описание ортогональных функций во временной и частотной областях 26 2.1 Описание ортогональных функций во временной области

2.1.1 Основные и дополнительные свойства ортогональных функ

2.1.2 Формы представления ортогональных функций и связанных с ними характеристик.

2.1.3 Фазовое представление ортогональных функций.

2.2 Описание ортогональных функций в частотной области.

2.2.1 Основные и дополнительные свойства преобразований Фурье ортогональных функций.

2.2.2 Формы представления преобразований Фурье ортогональных функций.

2.2.3 Фазовое представление преобразований Фурье ортогональных функций

2.3 Метод аналитических разложений.

2.3.1 Описание метода аналитических разложений.

2.3.2 Реализация метода аналитических разложений во временной области.

2.3.3 Реализация метода аналитических разложений в частотной области.

Выводы и результаты

3 Построение моделей корреляционно - спектральных характеристик с аналитическим подходом

3.1 Численно - аналитический алгоритм оценки коэффициентов разложения ортогонального ряда.

3.1.1 Описание численно - аналитического алгоритма.

3.1.2 Применение метода аналитических разложений при оценке коэффициентов разложения.

3.2 Аналитический подход к построению моделей

3.2.1 Описание аналитического подхода.

3.2.2 Применение метода аналитических разложений при вычислении коэффициентов разложения в рамках аналитического подхода.

3.3 Построение моделей корреляционных характеристик

3.3.1 Оценка КФ и производной КФ по параметрам модели

КФ и производной КФ.

3.3.2 Фазовое представление КФ.

3.4 Построение моделей спектральных характеристик.

3.4.1 Оценка спектра КФ и спектра производной КФ по параметрам модели КФ и производной КФ.

3.4.2 Фазовое представление спектра КФ.

Выводы и результаты

4 Анализ методических погрешностей построения моделей с аналитическим подходом

4.1 Погрешности оценки параметров модели

4.1.1 Обобщение алгоритма оценки параметра масштаба, гарантирующего минимум - миниморум погрешности приближения с помощью метода аналитических разложений

4.1.2 Погрешность оценки коэффициентов разложения при численно - аналитическом алгоритме

4.2 Погрешности оценки корреляционно - спектральных характеристик

4.2.1 Погрешность оценки спектра по параметрам модели КФ

4.2.2 Фазовые погрешности оценки корреляционных и спектральных характеристик

Выводы и результаты

5 Комплекс программ для анализа данных по корреляционно - спектральным характеристикам в рамках «Data Mining» 73 5.1 Описание комплекса программ.

5.1.1 Основные характеристики комплекса программ в рамках «Data Mining».

5.1.2 Структурная схема комплекса программ и ступенчатая платформа анализа данных.

5.1.3 Технология аналитической обработки и механизмы поиска скрытых закономерностей.

5.2 Описание основных программ.

5.2.1 Программа построения простейших ортогональных функций

5.2.2 Программы построения моделей КФ и спектра в простейших базисах.

5.2.3 Программа имитационного моделирования.

Выводы и результаты

6 Проведение исследований и решение прикладных задач с помощью разработанного комплекса программ

6.1 Обработка музыкальных сигналов.

6.2 Обработка фотоплетизмографических сигналов

Выводы и результаты

В результате анализа различных технических объектов получают большой объем разнородных данных, требующих обработки для дальнейшего принятия решения. Часто поставленной задачей является проведение корреляционно - спектрального анализа данных, позволяющего исследовать поведение объекта во временной и частотной областях. Для этого необходимо представить анализируемые корреляционные и спектральные оценки как функционально-преобразованные исходные данные, а затем провести Pix всестороннее исследование через построение математической модели в виде параметрической модели. Необходимым требованием к построению такой модели является соблюдение основных свойств (условий нормировки) анализируемой характеристики - корреляционной функции (КФ) или спектра. Учитывая разнообразие объектов и порождаемых данных, целесообразнее строить их модель методом ортогональных разложений, инвариантным к виду анализируемой характеристики.

Применение метода ортогональных разложений в различных приложениях распространено достаточно широко, а процедура построения модели понятна и прозрачна. С ростом технического прогресса и развитием научных теорий возрастают и требования к получению конечного результата, а, следовательно, и этот метод нуждается в значительном усовершенствовании и доработке.

В данной работе рассмотрено одно из возможных развитий метода ортогональных разложений - метод аналитических разложений. Суть метода заключается в том, что все соотношения, связанные с ортогональными функциями - интегралы, производные, другие ортогональные функции, а также коэффициенты разложения ряда Фурье - выражаются через аналитические выражения, напрямую связанные с самими функциями. Такой метод дает возможность:

• работать в пространстве простейшей базисной системы функций, выражая «соседние»базисные системы через простейшую, и поставить вопрос о целесообразности применения множества базисных систем и выбора наилучшей системы;

• повысить точность и снизить временные и ресурсные затраты на построение моделей корреляционно - спектральных характеристик;

• оперировать пространством детерминированных функций (простейшей системой функций), анализируя при этом случайные функции (оценки корреляционно - спектральных характеристик).

С этой позиции наибольший интерес представляют классические ортогональные многочлены с варьируемыми параметрами ортогонального базиса, такие как многочлены Якоби и обобщенные многочлены Лагерра. В отличие от эмпирических ортогональных функций, широко развивающихся в последнее время, классические многочлены хорошо изучены и имеют явное аналитическое представление.

Получением и изучением классических ортогональных систем многочленов занимались такие ученые, как К.Г.Я. Якоби, A.M. Лежандр, Э.Н. Лагерр, П.Л. Чебышев, исследованию их свойств и развитию теории ортогональных многочленов посвящены работы A.A. Маркова, Р. Аски, Г. Сеге, Т. Чихара, В. Коэпфа, Ф. Марселиана, вопросы построения моделей на основе базисных систем функций рассматривались А.Ф. Романенко и Г.А. Сергеевым, Ф.Ф. Дедусом, И.И. Волковым, С.А. Прохоровым, В.И. Батищевым и другими учеными.

Применение метода аналитических разложений делает возможным создание комплекса программ в рамках методологии «Data Mining», используя аналитические модели для выявления скрытых закономерностей между различными наборами данных.

Работа выполнялась при финансовой поддержке гранта по программе «У.М.Н.И.К.» (Участник молодежного научно - инновационного конкурса) в 2010-2011 годах и позволила стать автору работы победителем областного конкурса «Молодой ученый»в номинации «Аспирант» в 2009 году.

Объектом исследования в диссертационной работе являются модели корреляционно - спектральных характеристик стационарных случайных процессов, построенные методом ортогональных разложений.

Предметом исследования в диссертационной работе является метод ортогональных разложений.

Целью диссертационной работы является повышение точности и снижение временных затрат при оценке корреляционно - спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

Методы, используемые в диссертации, основаны на положениях теории ортогональных многочленов, теории случайных процессов, теории аппроксимации, теории операционного исчисления, теории функций комплексной переменной, численных методах, методах интегрального представления и вычисления комбинаторных сумм.

Задачи диссертационной работы:

1. Анализ существующих подходов к оценке корреляционно-спектральных характеристик методом ортогональных разложений, направлений развития и приложений теории ортогональных многочленов, а также инструментальных средств для анализа данных.

2. Повышение точности оценки корреляционно-спектральных характеристик ортогональных рядов с помощью свойств и характеристик ортогональных функций.

3. Разработка подхода к построению ортогональных рядов для снижения временных и ресурсных затрат на оценку корреляционных и спектральных характеристик.

4. Разработка комплекса программ для оценки корреляционно - спектральных характеристик методом ортогональных разложений в рамках методологии систем «Data Mining».

5. Проведение имитационного моделирования для метрологического анализа разработанных методов и подходов и апробация комплекса при обработке реальных сигналов.

Научная новизна работы:

1. Разработан метод аналитических разложений для представления функциональных характеристик ортогональных функций, таких как производные и неопределенные интегралы, в виде конечного ряда через ортогональные функции.

2. Предложен численно-аналитический алгоритм к оценке коэффициентов ортогональной модели.

3. Приведено обобщение алгоритма оценки параметра масштаба на функции Сонина-Лагерра, гарантирующего минимум-миниморум погрешности приближения с помощью метода аналитических разложений.

4. Предложен аналитический подход к построению ортогональных рядов, основанный на методе аналитических разложений.

5. Получено фазовое представление корреляционно-спектральных характеристик в рамках аналитического подхода.

Практическая значимость работы:

1. Алгоритмы оценки параметров моделей корреляционно-спектральных характеристик, построенных методом аналитических разложений.

2. Технология аналитической обработки данных, основанная на методе ортогональных разложений.

3. Пространственная схема взаимодействия объектов.

4. Комплекс программ для построения моделей корреляционно - спектральных характеристик методом аналитических разложений в рамках методологии «Data Mining».

На защиту выносятся:

1. Метод аналитических разложений, позволяющий:

• представить функциональные характеристики ортогональных функций, такие как производные и неопределенные интегралы, в виде конечного ряда через ортогональные функции;

• получить аналитические модели корреляционно - спектральных характеристик, используя простейшие ортогональные базисы;

• снизить временные и ресурсные затраты при оценке коэффициентов разложения и фазового представления корреляционно - спектральных характеристик;

• получить обобщение алгоритма оценки параметра масштаба на функции Сонина-Лагерра, гарантирующего минимум-миниморум погрешности приближения.

2. Численно-аналитический алгоритм оценки коэффициентов разложения ортогональных моделей, позволяющий повысить ее точность.

3. Комплекс программ для оценки корреляционно - спектральных характеристик методом аналитических разложений в рамках методологии систем «Data Mining».

4. Результаты исследований разработанных методов и алгоритмов с помощью комплекса программ методом имитационного моделирования.

Результаты, полученные в диссертации, представлялись на Всероссийской межвузовской научно - практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании», Самара (2005, 2006, 2007, 2008, 2009); научно - технической конференции с международным участием «Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении (ПИТ - 2006)», Самара (2006); Всероссийской научной конференции «Инновационные технологии в управлении, образовании, промышленности (АСТИНТЕХ - 2007)», Астрахань (2007); Международной научно - технической конференции «Проблемы автоматизации и управления в технических системах», Пенза (2007, 2008, 2011); Международном конгрессе студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспектива - 2007», Нальчик (2007); Межрегиональной научно - технической конференции «Информационные технологии в высшем профессиональном образовании», Тольятти (2007); Международной научно - технической конференции «Радиотехника и связь», Саратов (2007, 2009); Международной открытой конференции «Современные проблемы информатизации в анализе и синтезе технологических и программно - телекоммуникационных систем (СПИ - 2008)», Воронеж (2008); Международной молодежной научной конференции «XXXIV

Гагаринские чтения», Москва (2008); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара (2008); Международной научно - технической конференции «Методы, средства и технологии получения и обработки измерительной информации (ИЗМЕРЕНИЯ - 2008)», Пенза (2008); Международной научно -технической конференции «Проблемы и перспективы развития двигателе-строения», Самара (2009); Российской школы - семинара аспирантов, студентов и молодых ученых «Информатика, моделирование, автоматизация проектирования (ИМАП - 2009)», Ульяновск (2009); Международной конференции «Interactive Systems and Technologies: The Problems of Human-Computer Interaction», Ульяновск (2007); Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «X Королевские чтения», Самара (2009); Международной научно - практической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза (2009); Международной конференции «Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов (ИИИ - 2009)», Новосибирск (2009); Международной научно - практической конференции «Образование -инвестиции в успех», А л маты, Казахстан (2009); Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса (ПИТ - 2010)», Самара (2010).

Результаты диссертации опубликованы в 57 работах, из них: 2 монографии (в соавторстве), 3 публикации в журналах, рекомендованных ВАК, 32 работы в материалах и трудах Международных и Всероссийских конференций, 4 тезиса доклада, 3 свидетельства о регистрации программ, 6 отчетов о НИР, 7 электронных публикаций.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и трех приложений. Общий объем диссертации 132 страницы. Диссертация содержит 37 таблиц, 49 рисунков и список литературы из 167 названий.

Выводы и результаты

С помощью разработанного комплекса программ были решены задачи, связанные с обработкой музыкальных и медицинских сигналов:

1. Проведен частотный анализ работы синтезированных камертонов с прямоугольным, пилообразным и синусоидальным сигналами.

2. Оценена погрешность распознавания частот нот и их обертонов на диапазоне от суб-контр-октавы до третьей октавы включительно.

3. Произведена проверка работоспособности предлагаемых методов и а и лгоритмов в распознавании нотного состава отрывка музыкального произведения.

4. Проведен спектральный анализ фотоплетизмографических сигналов с целью диагностики состояния обследуемого.

Заключение

В результате выполнения диссертационной работы были решены поставленные задачи, и получены следующие результаты:

1. Проведен сравнительный анализ методов и программных комплексов ортогональных представлений корреляционно-спектральных характеристик. Показано, что дальнейшее улучшение качества ортогональных моделей связано с применением новых свойств ортогональных функций.

2. Разработаны алгоритмы, основанные па методе аналитических разложений, позволяющие:

• представить функциональные характеристики ортогональных функций, такие как производные и неопределенные интегралы, в виде конечного ряда через ортогональные функции;

• получить аналитические модели корреляционно - спектральных характеристик, используя простейшие ортогональные базисы;

• снизить временные и ресурсные затраты при оценке коэффициентов разложения и фазового представления корреляционно - спектральных характеристик;

• получить обобщение алгоритма оценки параметра масштаба, гарантирующего минимум-миниморум погрешности приближения, на базисные функции Сонина-Лагерра.

3. Предложен численно-аналитический алгоритм оценки коэффициентов разложения ортогональных моделей, позволяющий повысить ее точность.

4. Разработан комплекс программ для оценки корреляционно - спектральных характеристик методом ортогональных разложений в рамках методологии систем «Data Mining».

5. С помощью программного комплекса методом имитационного моделирования проведен метрологический анализ разработанных алгоритмов оценки корреляционно-спектральных характеристик.

6. Результаты исследований использовались при выполнении гранта по программе «У.М.Н.И.К.», а также внедрены в учебный процесс при подготовке специалистов по специальности 230102 - «Автоматизированные системы обработки информации и управления»в Самарском государственном аэрокосмическом университете, Саратовском государственном техническом университете, Пензенском государственном университете.

1. Автоматизированные системы аппроксимативного анализа случайных процессов/Под ред. С.А. Прохорова.— Самара: СГАУ, 2010.—26 с. http: / / www. ssau. ru/files/resources / sotrudniki / prohorov / prohorovautosystems.pdf

2. Батищев, В.И. Аппроксимационные методы и системы промышленных измерений, контроля, испытаний, диагностики/В.И. Батищев, B.C. Мелентьев,— М.: Машиностроение 1, 2007.—393 с.

3. Беидат, Дж. Основы теории случайных шумов: нер. с англ./Под ред. B.C. Пугачева/Дж. Беидат.—М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1965.—464 с.

4. Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных: пер. с англ./Дж. Беидат, А. Пирсол.— М.: Мир, 1989.—540 с.

5. Бендат, Дж. Измерение и анализ случайных процессов: пер. с ан-гл./Дж. Бендат, А. Пирсол—М.: Мир, 1974—463 с.

6. Бутвина, A.B. Выбор начальной точки процесса векторизации контурных изображений в задачах распознавания /A.B. Бутви-на//Математические методы распознавания образов (ММРО-11): доклады 11-й Всероссийской конференции.— М.: ВЦ РАН, 2003.—С. 260.

7. Ван дер Поль, Б. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа: пер. с англ./Б. Ван дер Поль, X. Бреммер.— М.: издательство иностранной литературы, 1952.—506 с.

8. Волков, И.И. Способ повышения точности аппроксимации корреляционных функций ортогональными функциями Jlareppa/И.И. Волков, С.А. Прохоров//ИВУЗов СССР «Приборостроение». 1974. -№7(XVII). - С. 66-72.

9. Геронимус, Я.Л. Теория ортогональных многочленов. Обзор достижений отечественной математики/Я.Л. Геронимус.— М.,Л.: Государственной издательство технико теоретической литературы, 1950.—164 с.

10. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведе-ний/И.С. Градштейн, И.М. Рыжик.-М.: ФИЗМАЛИТ, 1963.-1100 с.

11. Грибанов, Ю.И. Спектральный анализ случайных процессов/Ю.И. Грибанов, B.J1. Мальков.—М.: Энергия, 1974.—240 с.

12. Гульден, Я. Перечислительная комбинаторика: пер. с англ./Под ред. В.Е. Тараканова/Я. Гульден, Д. Джексон.— М.: Наука, 1990.—504 с.

13. Дедус, Ф.Ф. Классические ортогональные базисы в задачах аналитического описания и обработки информационных массивов/Ф.Ф. Дедус, Л.И. Куликова, А.Н. Понкратов, Р.К. Тетуев,- М.: МГУ, 2004.-141 с.

14. Дергузов, A.B. Анализ и идентификация функций, заданных на сфере /A.B. Дергузов, С.А. Махортых//Математические методы распознавания образов (ММРО-11): доклады 11-й Всероссийской конференции.-М.: ВЦ РАН, 2003.—С. 65-68.

15. Джексон, Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы: пер. с англ./Д. Джексон,— М.,Л.: Главное издательство иностранной литературы, 1948.—260 с.

16. Дженкинс, Г. Спектральный анализ и его приложения: пер. с. англ./Г. Дженкинс, Д. Ваттс.-Т.1-М.: Мир, 1971.-317 с.

17. Дженкинс, Г. Спектральный анализ и его приложения: пер. с. ан-гл./Г. Дженкинс, Д. Ватте-Т.2-М.: Мир, 1972,—288 с.

18. Дюк, В. Data Mining интеллектуальный анализ данных/В. Дюк/Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН.http://www.inftech.webservis.ru/it/database/datamining/ar2.html

19. Егорычев, Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм/Г.П. Егорычев.— Новосибирск: Издательство "Наука" Сибирское отделение, 1977.—287 с.

20. Калакутский, Л.И. Аппаратура и методы клинического мониторинга: учеб. пособие/Л.И. Калакутский, Э.С. Манелис.-М: Высш.шк., 2004.— 156 с.

21. Крянев, A.B. Математические методы обработки неопределенных данных /A.B. Крянев, Г.В. Лукин.-2-e изд., испр М.: ФИЗМАЛИТ, 2006 — 216 с.

22. Куликовских, И.М. Автоматизированная информационная система исследования обобщенных ортогональных многочленов Якоби/И.М. Куликовских, С.А. Прохоров/Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ от 14.08.09 г. Рег.№ 2009614285.

23. Куликовских, И.М. Автоматизированная система спектрально-корреляционного анализа методом ортогональных разложений «СКАН»/И.М. Куликовских, С.А. Прохоров/Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ от 24.07.09 г. Рег.№ 2009613943.

24. Лебедев, П.А. Диагностика функции сосудистого эндотелия у больных с сердечно-сосудистыми заболеваниями: методические указания/П.А. Лебедев, Л.И. Калакутский, С.П. Власова, А.П. Горлов.—Самара: СГАУ, 2004.-18 с.

25. Махортых, С.А. Компьютерные методы виброакустического прогноза/С. А. Махортых, А.Р. Гатина, С. А. Костарев, С. А. Ры-бак//Математические методы распознавания образов (ММРО-11): доклады 11-й Всероссийской конференции.- М.: ВЦ РАН, 2003.—С. 361364.

26. Махортых, С.А. Классификация биомагнитных данных и диагностика патологий /С.А. Махортых, P.A. Семечкин//Математические методы распознавания образов (ММРО-13): доклады 13-й Всероссийской конференции,- М.: ВЦ РАН, 2007.-С. 491-493.

27. Менде, У. Обобщение теоремы Винера-Хинчина/У. Менде, B.C. Гут-ников//Цифровая информационно-измерительная техника: межвуз. сб. науч. тр.-Вып. 12.-1982 -С. 3-7.

28. Прикладной анализ случайных процессов/Под ред. С.А. Прохорова. — Самара: СНЦ РАН, 2007.-582 с.

29. Прохоров, С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов/С.А. Прохоров-2-е изд., перераб. и доп.- Самара: СНЦ РАН, 2001.-380 с.

30. Прохоров, С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов/С.А. Прохоров — Самара: СНЦ РАН, 2001 —329 с.

31. Прохоров, С.А. Программный комплекс корреляционно спектрального анализа в ортогональных базисах/С.А. Прохоров, A.B. Графкин,— Самара: СНЦ РАН, 2005.-241 с.

32. Прохоров, С.А. Структурно спектральный анализ случайных процес-сов/С.А. Прохоров, В.В. Графкин - Самара: СНЦ РАН, 2010.-148 с.

33. Прохоров, С.А. Ортогональные модели корреляционно спектральных характеристик случайных процессов. Лабораторный практи-кум/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских.— Самара: СНЦ РАН, 2008.— 301 с.

34. Прохоров, С.А. Частотные характеристики ортогональных функций Сонина-Лагерра/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских//Вестник Самарского государственного технического университета. Физико-математические науки. 2007. - №2(15). - С. 123-127.

35. Прудников, А.П. Интегралы и ряды: в 3-х томах/А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Марычев.-T.l. Элементарные функции.-М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1981.—800 с.

36. Прудников, А.П. Интегралы и ряды: в 3-х томах/А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Марычев.-Т.2. Специальные функции.-М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1983.—752 с.

37. Прудников, А.П. Интегралы и ряды: в 3-х томах/А.-П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Марычев.-Т.З. Специальные функции. Дополнительные главы.-М.: ФИЗМАЛИТ, 2003.-688 с.

38. Пугачев, B.C. Введение в теорию вероятностей/В.С. Пугачев.— М.: Наука, 1968.-368 с.

39. Риордан, Дж. Комбинаторные тождества/Дж. Риордан.— М.: Физма-лит, 1982.-256 с.

40. Романенко, А.Ф. Аппроксимативный анализ случайных процессов/А.Ф. Романенко, Г.А. Сергеев.—М.: Энергия, 1974,—176 с.

41. Сато, Ю. Без паники! Цифровая обработка сигналов: пер. с яп. Селиной Т.Г./Ю. Сато.- М.: Додэка-ХХ1, 2010.-176 с.

42. Суэтин, П.К. Классические ортогональные многочлены: в 2-х то-мах/П.К. Суэтин.- М.: Наука, 1976.-Т. 1. -328 с.

43. Тихонов, A.A. Интегральные оценки исправности сложных систем по их обобщённым характеристикам/А.А. Тихонов//Математические методы распознавания образов (ММРО-11): доклады 11-й Всероссийской конференции.- М.: ВЦ РАН, 2003.-С. 451-453.

44. Тихонов, В.И. Выбросы траекторий случайных процессов/В.И. Тихонов, В. И. Хименко — М.: Наука, 1987—304 с.

45. Хемминг, Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров: пер. с англ./Р.В. Хемминг.— М.: Наука, 1972.—400 с.

46. Цветков, Э.И. Методические погрешности статистических измере-ний/Э.И. Цветков.— JI.: Энергоатомиздат, 1984.—144 с.

47. Цветков, Э.И. Основы теории статистических измере-ний/Э.И. Цветков.-2-е изд., перераб. и доп.- JL: Энергоатомиздат, 1982.-256 с.

48. Adzic, N. Jacobi polynomials in spectral approximation for shock layer problems/N. Adzic//Mat. Fak. Ser. Mat.-№ 25 (l)-Yugoslavia: Univ. u Novom Sadu Zb. Rad. Prirod, 1995.—pp. 53-65.

49. Aghigh, K. A survey on third and fourth kind of Chebishev polynomials and their applications/K. Aghigh, M. Masjed-Jamei//Appl. Math, and Comput.-2008.-jY2 1 (199).-pp. 655-662.

50. Akasaka, T. Noise estimation based on series expansion of orthogonal functions/T. Akasaka, T. Shimamura/Signal Processing (ICSP), 2010 IEEE 10th International Conference.-2010.—pp. 115-118.

51. Aim, Jeremy F. Time-Frequency analysis of musical instruments/Jeremy F. Aim, James S. Walker//SIAM Review. 2002.-№ 3 (44)-pp. 457-476.

52. Alhaidari, A.D. Evaluation of integrals involving orthogonal polynomials: Laguerre polynomial and Bessel function example/A.D. Alhaidari/Applied Mathematics Letters.-2007.—(20).—pp. 38-42.

53. Alvarez de Morales, Maria. A matrix Rodrigues formula for classical orthogonal polynomials in two variables/Maria Alvarez de Morales, L. Fernandez, Teresa E. Perez, Miguel A. Pinar//J. Approx. Theory-2009.-(157)-pp. 32-52.

54. Alvarez de Morales, Maria. On differential properties for multivariate orthogonal polynomials/Maria Alvarez de Morales, L. Fernandez, Teresa E. Perez, Miguel A. Pinar//Numeric Algorithms-2007.-(45)-pp. 153-166.

55. Alvarez de Morales, Maria. A semiclassical perspective on multivariate orthogonal polynomials/Maria Alvarez de Morales, L. Fernandez, Teresa E. Perez, Miguel A. Pinar//J. Comput. Appl. Math.-2008.-(214)-pp. 447456.

56. Anum Nuhu, Marnah. Spectral methods: orthogonal polynomials/Marnah Anum Nuhu.-CASA Seminar, 2007—54 pp

57. Assche, W. Some classical multiple orthogonal polynomials/W. Van Assche, E. Coussementr.—Department of Mathematics, Katholieke Universiteit Leuven.—32 pp.

58. Becker, Peter A. Spectral formation in X-ray pulsars and associated identities involving the Laguerre polynomials/Peter A. Becker/Journal of Mathematical Physics.-2007.—11 pp.

59. Birkhoff, George D. A theorem on series of orthogonal functions with an application to Sturm-Liouville series/George D. Birkhoff//Department of Mathematics, Harvard University.-1917.—pp. 656-659.

60. Bloom, T. New perspectives in univariate and multivariate orthogonal polynomials/T. Bloom, J. Geronimo, P. Iliev, D. Lubinsky, E. Saff-2010.-10 pp.

61. Buffat, M. An efficient spectral method based on an orthogonal decomposition of the velocity for transition analysis in wall bounded flow/M. Buffat, L. Le Penven, A. Cadiou-2008—26 pp.

62. Bultheel, A. Orthogonal rational functions and continued fractions/A. Bultheel, P. Gonzalez Vera, E. Hendriksen, O. Njastad.—13 p.

63. Chaggara, H. On linearization coefficients of Jacobi polynomials/H. Chaggara, W. Koeph//Applied Mathematics Letters.-2010.-(23).—pp. 609-614.

64. Chen, Y. A general algorithm for biorthogonal functions and performance analysis of biorthogonal scramble modulation system/Y. Chen, Zh. Tan/Wireless Sensor Network.-2010—(2).—pp. 199-205.

65. Coussement, J. Differential equations for multiple orthogonal polynomials with respect to classical weights: raising and lowering operators/J. Coussement, W. Van Assche.-9 pp.

66. Dattoli, G. Associated Laguerre polynomials: monomiality and biorthogonal functions/G. Dattoli, M. Migliorati/International Mathematical Forum.-2008.-J№ 19 (3).-pp. 901-909.

67. Deb, A. A new set of orthogonal functions and its application to the analysis of dynamic systems/A. Deb, A. Dasgupta, G. Sarkar//Journal of the Franklin Institute-2006 —(343).—pp. 1-26.

68. Deb, A. Triangular orthogonal functions for the analysis of continuous time systems/A. Deb, G. Sarkar, A. Senguptag.—Anthem Press, 2010.—200 pp.

69. Ditkowski, A. Computing derivatives of noisy signals using orthogonal functions expansions/A. Ditkowski, A. Bhandari, Brian W. Sheldon//Journal of scientific computing.-2008.-№ 3 (36).-pp. 333349.

70. Douak, Khalfa. On 2-orthogonal polynomials of Laguerre type/K. Douak/Internat. J. Math and Math. Sci.-1999.-№ 1 (22).-pp. 29-48.

71. Dunkl, Charles F. Some orthogonal polynomials in four variables/Charles F. Dunkl//Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA).-2008.—(4).—9 pp.

72. Ellis, D. Cross-correlation of beat-synchronous representations for music similarity/D. Ellis, C. Cotton, M. Mandel/Laboratory for Recognition and Organization of Speech and Audio, Dept. Electrical Eng., Columbia Univ. USA, NY, 2008.-15 pp.

73. Fan, H.-Y. Application of eigenkets of bosonic creation operator in deriving some new formulas of associated Laguerre polynomials/H.-Y. Fan, T.-T. Wang//Commun. Theor. Phys.-Chinese Physical Society, 2008 -№ 2 (50).—pp. 315-320.

74. Farooq, U. Smooth orthogonal decomposition for modal analysis of randomly excited systems/U. Farooq, B.F. Feeny//Journal of sound and vibration-2008.—(316).—pp. 137-146.

75. Fernandez, Lidia. Orthogonal polynomials in two variables as solutions of higher order partial differential equations/L. Fernandez, Teresa E. Perez, Miguel A. Pinar//J. Approx. Theory.-2011.-(163).-pp. 84-97.

76. Guo, Ben-Yu. Numerical integration based on Laguerre-Gauss interpolation/Ben-Yu Guo , Zhong-Qing Wang//Comput. Methods Appl. Engrg-2007.—(196).—pp. 3726-3741.

77. Guo, Ben-Yu. Composite generalized Laguerre-Legendre spectral method with domain decomposition and its application to Fokker-Planck equation in an infinite channel/Ben-Yu Guo, Tian-Jun Wang//Mathematics of computation.-2009.-№ 265 (78)—pp. 129-151.

78. Hill, J.B. Strong orthogonal decompositions and non-linear impulse response functions for infinite variance processes/J.B. Hill.-Dept. of Economics, Florida International University, 2010.—37 pp.

79. Ismail, Mourad E.H. Structure relations for orthogonal polynomials/Mourad E.H. Ismail//Pacific journal of mathematics-2009- № 2 (240).—pp. 309319.

80. Heath, W.P. Orthogonal function for cross-directional control of web forming processes/W.P. Heath//Automatica.-1996.-№ 2 (32).—pp. 183-198.

81. Hirashima, M. A new non-orthogonal decomposition method to determine effective torques for three-dimensional joint rotation/M. Hirashima, K. Kudo, T. Ohtsuki//Journal of Biomechanics.-2010.-(40).—pp. 871-882.

82. Ibrahim, F. Estimation of heart rate variability from peripheral pulse wave using PPG sensor/F. Ibrahim, N.A. Abu Osman, J. Usman, N.A. Kadri (Eds.)/Biomed06, IFMBE Proceedings . 2007.-(15).—pp. 325-328.

83. Jacobi, C.G.J. Gesammelte werke (6 band)/Herausgegeben von K. Weierstrass/ C.G.J. Jacobi.— Berlin: Verlag von G. Reimer, 1881-1891.

84. Koeph, W. Computer algebra algorithms for orthogonal polynomials and special functions/W. Koeph.-Department of Mathematics, University of Kassel, Kassel, Germany.—19 pp.

85. Knowledge discovery through Data Mining: what is knowledge discovery? -Tandem Computers Inc., 1996.

86. Koeph, W. A genetic formula for the values at the boundary points of monicclassical orthogonal polynomials/W. Koeph, M. Masjed-Jamei//Journal of

87. Computational and Applied Mathematics-2006- № 1 (191).—pp. 98-105.t /

88. Koeph, W. A generalization of Student's t-distribution from the viewpointspecial functions/W. Koeph, M. Masjed-Jamei//J Integral transforms and Special Functions-2006.- № 12 (17).-pp. 863-875.

89. Koeph, W. Two classes of special functions using Fourier transforms of some finite classes of classical orthogonal polynomials/W. Koeph, M. Masjed-Jamei//Proceedings of the American Mathematical Society.-2007.- №11 (135).-pp. 3599-3606.

90. Lampard, D.G. Generalization of the Winer-Khintchine-Theorem to nonstationary processes/D.G. Lampard//Journal of applied physics-1954.-№ 6 (25).-pp. 802.

91. Legendre, A.M. Traite des fonctions elliptiques te des intégrales euleriennes (3 tome)/A.M. Legendre.— Paris: Imprimerie de Huzard-Courcier, rue du jardinet, № 12, 1825-1828.

92. Maleknejad, K. Triangular functions (TF) method for the solution of nonlinear Volterra-Fredholm integral equations/K. Maleknejad, H. Almasieh, M. Roodaki//Commun Nonlinear Sci Numer Simulât 2010.-(15).—pp. 3293-3298.

93. Marcellan, F. Non standard orthogonal polynomials. Applications in numerical analysis and approximation theory/F. Marcellan//Rcvista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales.-2009.~ m 29 (117).-pp. 1-17.

94. Marcellan, F. When do linear combinations of orthogonal polynomials yield new sequences of orthogonal polynomials?/F. Marcellan, M. Alfaro, A. Pena, M.L. Rezola//Journal of Computational and Applied Mathematics.-2010.-(233).—pp. 1446-1452.

95. Marcellan, F. Generating new classes of orthogonal polynomials/F. Marcellan, A. Branquinho//International Journal on Mathematics and Mathematical Sceinces.-1996.-N5 19 (4).—pp. 643-656.

96. Marcellan, F. An electrostatic interpretation of zeros of Hermite-type orthogonal polynomials/F. Marcellan, A. Carrido//Communications in the Analytical Theory of Continued Fractions-2003 (11).—pp. 50-63.

97. Marcellan, F. On orthogonal polynomials with perturbed recurrence relations/F. Marcellan, J.S. Dehesa, A. Ronveaux//Journal of Computational and Applied Mathematics-1990 (30).—pp. 203-212.

98. Marcellan, F. Laguerre-type orthogonal polynomials: electrostatic interpretation/F. Marcellan, H. Duenas//International Journal of Pure and Applied Mathematics-2007.- (38).-pp. 345-358.

99. Marcellan, F. Electrostatic models for zeros of polynomials: old, new, and some open problems/F. Marcellan, A. Martinez Finkelshtein, P. Martinez//Journal of Computational and Applied Mathematics.-2007-(207).-pp. 258-272.

100. Marcellan, F. Orthogonality properties of linear combinations of orthogonal polynomials II/F. Marcellan, F. Peherstorfer, R. Steinbauer//Advances in Computational Mathematics-1997- (7).—pp. 401-428.

101. Masjed-Jamei, Mohammad. A basic class of symmetric orthogonal functions with six free parameters/M. Masjed-Jamei/J. Comput. Appl. Math.-2010.-~ № 1 (234).—pp. 283-296.

102. Masjed-Jamei, Mohammad. On rational classical orthogonal polynomials and their application for explicit computation of inverse Laplace transforms/M. Masjed-Jamei, M. Dehghan//Mathematical Problems in Engeneering.-2005.-jT2 2 (2005).-pp. 215-230.

103. Masjed-Jamei, Mohammad. On incomplete symmetric orthogonal polynomials of Jacobi type/M. Masjed-Jamei, W. Koeph//Integral transforms and Special Functions.-2010.-(21).-pp. 655-662.

104. Mathar, Richard J. Orthogonal basis functions over the binocular pupil/Richard J. Mathar//Baltic Astronomy.-2010.-(19).—21 pp.

105. Meigas, Kalju. Continuous blood pressure monitoring using pulse wave delay/Kalju Meigas, Rain Kattai and Jaanus Lass.-4 pp.

106. Minnan, Xu. Local measurement of the pulse wave velocity using Doppler ultrasound/Xu Minnan/Massachusetts institute of technilogy, Department of electrical engineering and computer science, 2002.-79 pp.

107. Mendes, R.S. Universal patterns in sound amplitudes of songs and music ganres/R.S. Mendes, H.V. Ribeiro, F.C.M. Freire, A.A. Tateishi, E.K. Lenzi/ arXiv:1012.0142vl physics.data-an], 2010.-4 pp.

108. Mirevski, S.P. On some fractional generalizations of the Laguerre polynomials and the Kummer function/S.P. Mirevski, L. Boyadjiev//Computers and Mathematics with Applications.-2010.-(59)-pp. 1271-1277.

109. Muller, M. Advanced. course computer science «Music processing»/M. Muller/Saarland University. Summer Term, 2010.11 pp.

110. Munoz, B. Design-based empirical orthogonal function model for environmental monitoring data analysis/B. Munoz, V.M. Lesser, F. Ramsey//Environmetrics.-2008.-(19).—pp. 805-817.

111. Narayan, Akil C. A Generalization of the Wiener rational basis functions on infinite intervals. Part I derivation and properties/Akil C. Narayan, Jan S. Hesthaven.—American Mathematical Society, 2009.-39 p.

112. Nenova, Bistra. An automated algorithm for fast pulse wave detection/Bistra Nenova, Ivo Iliev//INT. J. BIOAUTOMATION. -2010.-14(3).—pp. 203-216.

113. Normand, J.-M. Block orthogonal polynomials: II. Hermite and Laguerre standard block orthogonal polynomials/J.-M. Normand//J. Phys. A: Math. Theor.-2007.-(40).—pp. 2371-2405.

114. Odake, S. Another set of infinitely many exceptional (X/) Laguerre polynomials/S. Odake, R. Sasaki.-2009.—4 pp.

115. Olver, Frank W.J. NIST Handbook of Mathematical functions/Frank W.J. Olver, Daniel W. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark-Cambridge University Press, National Institute of Standards and Technology, 2010.-967 p.

116. Petkovsek, Marko. Л = B/M. Petkovsek.-1997.-208 pp.

117. Polynomes Orthogonaux et Applications: lecture notes in mathematics: proceedings of the Laguerre Symposium held at Bar-le-Duc (édité par C. Brezinski, A. Draux, A.P. Magnus, P. Maroni et A. Ronveaux)/edited by A. Dold and B. Eckmann 1984. —584 p.

118. Quadrelli, R. On sampling errors in empirical orthogonal functions/R. Quadrelli, C.S. Bretherton, J.M. Wallace//Journal of climate.-2005.-(18).—pp. 3704-3710.

119. Razzaghi, Mohsen. On the applications of orthogonal functions in the mathematical modeling of biological processes/Mohsen Razzaghi//AIP Conf. Proc-2008.—(971).—pp. 285-293.

120. Randall, David A. Empirical orthogonal functions/David A. Randall-2000.—pp. 65-68.

121. Rose, F. The correlation between time and timbre/F. Rose, J. Kapuscinski/CIM09. 2009 - pp. 148-149.

122. Sasaki, R. Exceptional Laguerre and Jacobi polynomials and the corresponding potentials through Darboux-Crum transformations/R. Sasaki, S. Tsujimoto, A. Zhedanov//J. of Physics A: Mathematical and Theoretical-2010.—(43).—20 pp.

123. Shen, J. Some recent advances on spectral methods for unbounded domains/J. Shen, Li-Lian Wang//Communications in computational physics.-2009.2-4 (5).-pp. 195-241.

124. Simon, B. Fine structure of the zeros of orthogonal polynomials: a progress report/B. Simon//Contemporary mathematics.-2010.- (507).—pp. 2412542.

125. Sorjamaa, Antti. Time series prediction as a problem of missing values: application to ESTSP2007 and NN3 competition benchmarks/A. Sorjamaa, A. Lendasse.—Helsinki University of Technology, Finland, 2007.—6 pp.

126. Spicer, Paul E. Semi-classical Laguerre polynomials and a third order discrete integrable equation/Paul E. Spicer, Frank W. Nijhoff//J. Phys. A: Math. Theor.-2009.-№ 42 (454019).-9 p.

127. Steinhaus, S. Comparison of mathematical programs for data analysis (Edition 4.42)/S. Steinhaus.-Germany, Miinchen, 2004.—67 p.

128. Steinhaus, S. Comparison of mathematical programs for data analysis (Edition 5.04)/S. Steinhaus.-Germany, Miinchen, 2008.—64 p.

129. Szego, G. Orthogonal polynomials/ G. Szego.—Rhode Island: American Mathematical Society Providcnce, 1939.—431 p.

130. Totik, V. Orthogonal polynomials/V. Totik//Surveys in Approximation Theory.-2005.-N-' 1 (2005).-pp. 70-125.

131. Vinet, L. A «missing» family of classical orthogonal polynomials//J. of Physics A: Mathematical and Theoretical-2011.—(44).—16 pp.

132. Wang, Tian-Jun. Composite Laguerre-Legendre Pseudospectral Method for Exterior Problems/Tian-Jun Wang, Ben-Yu Guo//Commun. Comput. Phys.-2009.-№ 2-4 (5).-pp. 350-375.

133. Zhang, Man-Lian. Evaluation of global modeling of M(3000)F2 and hmF2 based on alternative empirical orthogonal function expansions/Man-Lian Zhang, Chunxu Liu, Weixing Wan, Libo Liu, Baiqi Ning//Advances in Space Research.-2010.-(46).—pp. 1024-1031.

134. Zhang-Meng, Liu. Generalized wideband cyclic MUSIC/Zhang-Meng Liu, Zhi-Tao Huang, Yi-Yu Zhou/Article ID 539727, doi: 10.1155/2009/539727//EURASIP Journal on Advances in Signal Processing. 2009.-(2009).—8 pp.