автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение нелинейных теоретико-информационных методов высокого разрешения к спектральной обработке многомерных случайных полей

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РФ

САМАРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ им АКАДЕМИКА С. П. КОРОЛЕВА

На правах рукописи

АРАТСКИЙ Дмитрий Борисович

ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ВЫСОКОГО РАЗРЕШЕНИЯ К СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБРАБОТКЕ МНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

Специальность: 05.13.16—применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени ' кандидата технических наук

САМАРА 1992

Работа выполнена в научно-исследовательском физико-техническом институте (НИФТИ) при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского.

Научные руководители—кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией НИФТИ Фидельман В. р.,

кандидат физико-математических наук, доцент ННГУ им. Н. И- Лобачевского Солдатов Е, А.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Прохоров С. А.,

кандидат технических наук, доцент Волков И. И.

Ведущая организация—Институт прикладной физики Российской академии наук-

Защита состоится «_» 1992 г. в_ча-

сов на заседании специализированного совета Д 063.87.02 Самарского авиационного института имени акад. С. П. Королева по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке САИ имени академика С. П- Королева по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34.

Автореферат разослан «_»__1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 063.87.02 в САИ,

кандидат физ.-мат. наук, доцент А. А- Калентьев,

РОССИЙСКАЯ

ГОСУДАРСТВЕННА* Ьф'У ^

БИБЛИОТЕКА -------

ОЬЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Хорошо известно, что спектральный диализ является мощным средством исследования статистической структуры случайных процессов и полей. 'Существует широкий класс важных физических приложений, в которых необходима вычислять оценку спектра по небольшому числу отсчетов данных а условиях влияния сильных помех сложной структуры. В том случае, если данные представляют собой отсчеты автокорреляционной функции (ЛКФ) случайного стационарного процесса (поля в многомерном случае), задача спектрального анализа формулируется как задача построения вычислительно реализуемой оценки спектральной плотности мощности (СПМ) процесса, обеспечивающей высокое разрешение и помехоустойчивость а одномерном и, что имеет принципиальное значение, многомерном случаях.

АКТУАЛЬНОСТЬ. с»та задача возникает во многих областях научных исследований и реальных практических разработок, связанных со спектральной обработкой ограниченного объема вычисленных или экспериментально измеренных данных, которые могут быть интерпретированы как некоторые функции случайного процесса или поля (например, его среднее значение или отсчеты автокорреляции). К числу таких областей относятся, например, радио- и гидролокация, медицинская интроскопия, реконструктивная томография, обработка и восстановление изображений различной природы: радиоастрономических, оптических, электронно - микроскопических, рентгенодифр^кциоиных, спекл - интерферомстричсских и т.д. Нзпрнмер, п радиолокации стоит задача определения направления на источник излучения, связанного с основными частотами в спектре; в биофизике и сейсмографии требуется выделять присутствующие в сигнале скрытые периодичности, порождающие главные максимумы в спектре; о радиоастрономии необходимо выделять тонкую структуру в зашумленных изображениях (точечные звезды на карт£ неба).

9 условиях реального эксперимента доступным измерению часто оказывается небольшое число отсчетов данных. Современные методы спектрального анализа подразделяются на линейные и нелинейные. Линейные методы, основанные на применении ■ преобразования Фурье, эффективны в вычислительном отношении, однако обеспечивают относительно невысокое разрешение и сильные артефакты в спектре при

обработке коротких выборок длимых. Нелинейные параметрические методы авторегрсссии (ЛР), авторегрсссии — скользящего среднего (ЛРСС), гармонического разложения Писаренко (ГРП) (и его Модификации в виде проекционных алгоритмов) в одномерном случае способны обеспечить высокое разрешение и помехоустойчивость. Однако в многомерном случае получаемые оценки СПМ являются неоднозначными н не удовлетворяют корреляционным ограничениям, кроме того, Применение этих методов предполагает привлечение дополнительной априорной информации о процессе а виде, например, его модели, что существенно ограничивает класс доступных анализу процессов. Среди нспараметрических методов уместна выделить методы Кейпона и Максимальной энтропии (МЭ). Метод Кейпона обеспечивает получение менее вариабельных, Нежели в ЛР-подходе, оценок спектра. Вместе с-тем era разрешение существенно уступает разрешению параметрических методов, и оценка СПМ Кейнона не удовлетворяет условиям корреляционного согласования. Напротив, метод МЭ обеспечивает получение информационно - обоснованных, оптимальных и единственных оценок СПМ со сверхразрешением и в одномерном случае реализуется на основе вычислительно эффективных алгоритмов. Однако при обработке многомерных случайных полей построение спектральных сшенок максимальной энтропии связано с решением системы нелинейных уравнений, что. делает Метод МЭ в традиционной постановке неприменимым для решения многомерных задач. Это определяется прежде всего отсутствием хорошо разработанной теории решения плохо обусловленных многомерных систем нелинейных уравнений.

В связи с вышеизложенным особую важность приобретает разработка новых теоретика - информационных подходов к решению задачи многомерного спектрального оценивания коротких выборок данных. Предмет диссертации составляет разработка методов решения этой -задачи, основанных на результатах теории информации, и вычислительно эффективных алгоритмов их реализации Основное внимание при этом уделяется получению аналитических опенок спектра, обеспечивающих высокое разрешение и помехоустойчивость, исследованию их свойств, тестированию и практической апробации

ЦЕЛЫО PAliOTbl является построение новых вычислительно эффективных оценок спектральной плотности мощности . случайных процессов и полей на основе принципа максимальной энтропии, обеспечивающих высокое разрешение н помехоустойчивость; исследование свойств полученных спектральных оценок н их

взаимосвязи с некоторыми традиционными оисчгками спектра; получение аналитического выражения для множителей Лагранжа в рамках традиционного метода максимальной энтропии в одномерном и многомерном случаях; применение разработанных подходов к спектральной обработке данных, полученных при радиолокационном зондировании морской поверхности.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие ЗАДАЧИ: разработать новый подход к решению задачи многомерного спектрального оценивания, основанный на принципе максимальной энтропии; на основе этого подхода получить новые выражения для оценок спектральной плотности мощности случайных процессов и полей, реализуемые с помошью' вычислительно эффективных алгоритмов; исследовать свойства полученных спектральных оценок; разработать быстрый алгоритм вычисления традиционной спектральной МЭ-оцснки Берга в одномерном и многомерном случаях; создать комплекс программ для високоразрешающей спектральной обработки случайных процессов и полей на основе разработанных нелинейных теоретика - информационных методов, с помошью численного моделирования провести исследование разрешающей способности и помехоустойчивости новых спектральных оценок в сравнении с традиционными оценками спектра; с помошью разработанных программных средств провести обработку модельных радиолокационных данных для исследования структуры сигнала.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Построение выражений для платности распределения вероятности и оценок спектральной плотности мощности случайного процесса (поля), а также исследование свойств полученных оценок выполнено с помошью методов теории вероятностей и математической статистики. Модельные исследования характеристик спектральных оценок проводились методами стохастического моделирования н нелинейного программирования. Цифровая обработка молельных данных выполнялась на РС/А'Г-286.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Предложен новый подход к построению оценок спектральной плотности мощности случайных процессов и полей по ограниченному набору априорных данных, основанный на применении принципа максимальной энтропии и формулы Байеса. В рамках предложенного подхода с помошью принципа максимальной энтропии по априорным данным в виде отсчетов автокорреляционной функции получена формула для плотности распределения вероятности случайного процесса. С помощью выражения для сЛм, позволяющего связать спектр случайного процесса с его вероятностным распределением, получены

аналитические выражения для одномерной и двумерной оценок СПМ. Исследована взаимосвязь новых спектральных оценок с некоторыми традиционными оценками спектра, полученными методами Фурье, авторегрсссии, гармонического разложения Писаренко и максимальной энтропии Берга. С помощью численного моделирования показано, что разработанный подход к спектральному оцениванию случайных процессов и полей при обработке коротких выборок данных обеспечивает более рысокие разрешение и помехоустойчивость по сравнению с традиционными методами спектрального анализа. Произведена спектральная обработка пространственна - временных полей сложной структуры, полученных при радиолокационном зондировании морской поверхности, и продемонстрирована способность данного подхода обеспечивать выделение топких деталей в спектрах сложных сигналов. • Предложен быстрый алгоритм реализации метода максимальной энтропии, основанный на прямом, вычислении множителей Лагранжа. Рассмотрено применение этого алгоритма к задаче спектрального анализа и получены аналитические выражения для множителей Лагранжа в одномерном м двумерном случаях для энтропийных форм Шеннона и Берга. На модельных примерах показана эффективность разработанного алгоритма.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Разработанные методы нелинейного спектрального оценивания на основе принципа максимальной энтропии могут быть нсЬользованы для ■ высокараэрешаюшей спектральной обработки коротких массивов данных в условиях сильных помех со

о

сложной структурой. Применение этих подходов обеспечивает существенные преимущества по сравнению с традиционными методами при решении практических задач, в которых необходимо выделение тонких деталей в спектрах и выявление слабых компонент и скрытых периодичностей процессов. Па основе предложенных подходов могут быть синтезированы новые методы цифровой обработки сигналов, реконструкции изображений, исследования ' характеристик сложных сигналов, сжатия-восстановления данных

РЕАЛИЗАЦИЯ И ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИИ. Разработанный комплекс программ нелинейного спектрального оценивания на основе принципа максимальной энтропии реализован на ЭВМ РС/АТ-286 и внедрен в ИПФ РАН, где используется для обработки и анализа данных радиолокационного зондирования морской поверхности АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертационной работы докладывались И обсуждались: 'На Третьей Всесоюзной конференции

"Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных процессов и полей", Гродно, 1988; на Пятом Всесоюзном семинаре по автоматизации исследований в ядерной физике и смежных областях, Ташкент, 1988; на Третьей Всесоюзной конференции "Методы и средства обработки сложной графической информации", Горький, 1988; на Всесоюзной научна-технической конференции "Высокоскоростная фотография, фотоника и метрология быстропротекаюших процессов", Москва, 1989; на Всесоюзной конференции "Теория н техника пространственно-временной обработки сигналов", Свердловск, 1989; на Третьей Всесоюзной конференции "Автоматизированные системы обработки изображений (ЛСОИЗ-89)", Ленинград, 1989, на Четвертой Всесоюзной конференции "Математические методы распознавания образов (MMPO-IV)", Рига, 1989; на I ретьей Всесоюзной конференции по оптической обработке информации, Фрунзе, 1990, на Международной конференции "Integral Equal tans and irmrr.c Problems", Болгария, Варна, 1989.

ПУБЛИКАЦИИ. Основное содержание диссертации отражена й 23 печатных работах.

СТРУКТУРА И ОЪЬЕМ ДИССЕРТАЦИИ.

Диссертационная работа изложена на 178 страницах машинописного текста, иллюстрируется рисунками на 55 страницах и состоит из' введения, 6 разделов, заключения, списка используемых источников из 117 наименований и б приложений на 18 страницах.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ПРЕДСТАВЛЯЕМЫЕ К ЗАЩИТЕ.

1. Новый подход к вычислению оценок спектральной платности мощности случайных процессов и полей по ограниченному набору отсчетов автокорреляционной функции, основанный на принципе максимальной энтропии. Аналитические выражения для одномерной н двумерной оценок спектральной плотности мощности, полученные на основе данного подхода

2. Исследование свойств предложенных спектральных оценок и их взаимосвязи с традиционными оценками спектра, полученными методами Фурье, авторегрессни, гармонического разложения Писаренко и максимальной энтропии Берга.

3. Быстрый алгоритм реализации традиционного МЭ-подхода к решению линейного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, основанный на прямом вычислении множителей Лагрзнжа. Применение данного алгоритма к задаче спектрального оценивания случайных процессов и полей методом максимальной энтропии и аналитические

выражения для множителей Лагранжа в одномерном и двумерном случая* для энтропийных форм Шеннона и Берга.

4. Результаты ; исследования свойств и характеристик аналитических МЭ-оиенок СПМ и множителей Лагранжа методами численного моделирования в сравнении с традиционными оценками спектра.

5. Результаты спектральной обработки . пространственно рременных полей сложной структуры, полученных при радиолокационном зондировании морской поверхности, па основе разработанного М^-подхода.

6. Пакет программ нелинейного спектрального анализа, реализующий предложенные методы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом разделе приводится обзор современных методов спектрального оценивания случайных процессов и полей. Проведенный анализ существующих подходов и методов позволяет сделать следующие выводы.

Современные методы спектрального анализа подразделяются н< линейные и нелинейные Линейные методы спектрального оценивания, основанные на применении преобразования Фурье, реализуются на основе быстрых вычислительно эффективных алгоритмов, однако при обработке коротких массивов данных они обеспечивают довольно низкое разрешение и сильные артефакты, что обусловлено хорошо известным принципом "неопределенности". Среди современных нелинейных методов спектрального анализа уместна выделить методы авторсгрессни, гармонического разложения Писаренко и его модификации в виде проекционных алгоритмов, Ксйпона и максимальной энтропии. Параметрические методы авторсгрсссим и ГРГ1 при спектральной обработке одномерных случайных процессов обеспечивают високос разрешение и помехоустойчивость. Однако в многомерном случае а рамках авторегрсссноннаго подхода схема предсказания н, как следствие, , оценка спектра становятся неоднозначными. При использовании метода ГРП для спектральной обработки многомерных случайных полей также имеет место проблема неоднозначности, связанная с неединственностью определения ча'стат (корим! многомерного полинома) При обработке многомерных данных, в отличие от одномерного случая, методы авторегрессии н ГРП не обеспечивают

выполнение условий корреляционного согласования. Кроме того, параметрические методы предполагают привлечение дополнительной априорной информации о процессе в виде знания его модели, что существенно ограничивает класс доступных анализу процессов. Одним из наиболее. ' известных испзрамстрнческнх методов спектрального оценивания является метод Кейпона (минимума дисперсии). В отличие от параметрических подходов метод Кейпона применим для обработки многомерных сигналов, однако ом обеспечивает более низкое по сравнению с ними разрешение, что ограничивает его использование в задачах, где требуется выделение топких деталей спектра. В последнее время активно развиваются теорстнко' -. информационные подходы к решению задачи спектрального анализа данных, основанные на применении принципа максимальней энтропии. Методы МЭ обладают рядом преимуществ по сравнению с другими методами спектрального анализа Во-первых, это информационная обоснованность Их применения в одномерном и многомерном случаях. Во-вторых, при использовании теоретнко - информационных подходов не привлекается никакой другой информации, кроме заданной; при этом методы МЭ дают возможность оптимального в информационном смысле учета дополнительной априорной информации п решения. В-третьих, применение методов МЭ к спектральной обработке коротких массивов данных обеспечивает сверхразрешение и помехоустойчивость, сравнимые с характеристиками параметрических подходов. Однако при обработке многомерных случайных полей реализация традиционных мстодап МЭ встречает серьезные вычислительные трудности, ' связанные с решением плохо обусловленных систем нелинейных уравнений большой размерности.

Во втором разделе описаны некоторые известные свойства энтропии, изложены принцип максимальной энтропии и теорема о концентрации энтропии, которая является логическим обоснованием применимости МЭ-подходов Также рассмотрен формализм традиционного метода максимальной энтропии. Сделан вывод о том, что принцип МЭ представляет собой наиболее обоснованный с информационной точки зрения современный подход к учету априорной информации и построению спектральных оценок случайных процессов и полей.

В рамках данного формализма решение задачи условной оптимизации функционала информационной энтропии относительно вероятностного распределения р(х) в "форме Шеннона с линейными ограничениями в виде априорных данных-

///■- - ¡p(x)t»P(x)dx * J AK -> old (1)

имеет вид:

р(Ь = exp { j> *К1К(Ъ} (2)

где неизвестные множители Лагранжа, а известная функция fJx)

К> п.

описывает физическую природу данных. В силу выпуклости энтропийного функционала, (1) решение (2) является единственным Множители Лагранжа находятся путем решения системы нелинейных уравнений, получающейся после подстановки решения (2) в ограничения, что и определяет вычислительную неэффективность метода МЭ в многомерном случае. .

В задаче спектрального оценивания априорная информация представляет собой отсчеты автокорреляционной функции случайного процесса, а ограничения принимают вид соотношения Винера-Хинчина (условий корреляционного согласования) В этом случае математический формализм традиционного метода максимальной энтропии сводится к оптимизации энтропийного функционала в форме Берга относительно спектра S(S) с вышеуказанными ограничениями:

Л2 =■■ - ♦ [Кк - £ -> opt, (3)

что привадит к М^-оценке спектральной платности мощности (СИМ) Берга;

S(u) , ( jT Л^чр^/цик)}.'

Такнсе рассмотрены некоторые важные свойства спектральных опенок максимальной энтропии. Отмечена, что в одномерном случае имеет место формальная аналогия выражения для авторсгрессионной оценки СПМ и МЭ-оценки спектра Берга. Это обстоятельство позволяет вычислять множители Лагранжа путем решения системы нормальных уравнений Юла-Уокера, что значительно эффективнее решения системы нелинейных уравнений в рамках обычной 'схемы МЭ-оценивания. йтмечено также, что для случайных процессов в виде суммы одномерных синусоидальных сигналов и белого шума при устремлении дисперсии шума к нулю МЭ-оцснка СПМ Берга по форме спектра асимптотически стремится к спектральной оценке Писаренко

I

В третьем разделе предложен новый подход к решению задачи многомерного спектрального оиеннвання, основанный на применении принципа максимальной энтропии. В рамках данного подхода на основе принципа МЭ и формулы Бзйеса для условных вероятностей получено аналитическое выражение для плотности распределения вероятности (ПРВ) случайного стационарного процесса (поля в двумерном случае), заданного отсчетами его автокорреляционной функции С помощью выражения для СПМ, позволяющего связать спектр процесса с его плотностью распределения вероятности, получены аналитические выражения для оценок СПМ случайного . процесса и двумерного случайного поля.

Известно, что любой стационарный гауссов случайный процесс можно представить (или сколь угодно точно аппроксимировать) в виде:

хт ^ А¡ырС^ш^} , (5)

где Лу - случайные взаимно ортогональные амплитуды, а ы^ - частоты. Вводится новое определение СПМ случайного процесса, выражающее среднюю энергию процесса на частоте '

«со

р{%й)1гл

о о

где р(Я,и) - вероятностное распределение случайного процесса,

записанное в координатах (АЗ), А = (Л/.Л2.....

Для построения вероятностного распределения случайного процесса по отсчетам автокорреляции в работе предложена применить принцип МЭ Путем решения задачи условной оптимизации энтропийного функционала в форме Шеннона относительно вероятностного распределения р(х) с использованием формулы условных вероятностей Байееа о работе получено выражение для вероятностного распределения произвольного числа К>1 последовательных отсчетов процесса:

(?(Х0.....Хц) Р(х0, ... , Х^х

г гК-1-/ ш ш

'До т-£ы*1и<т»)Хт,1Х'1*1]} '

Где элемс,1ТЫ теплицевых автокорреляционных матриц

размера И А/х//. Путем подстановки в эта выражение

аналитического представления процесса (5) далее с помощью ряда преобразований получено выражение для вероятностного распределения случайного, процесса в координатах ('А,'и)

,р(Я.З)=Д«р{-и5[ п1о ^и^ЧхйШи^т-п) -

А/-/ Ы-1 , »1 -п (а)

¿о«£оа™е-К1'<>я'и1<т-я>1}

|Ц основе выражения (8) и определения спектра (6) получено новое выражение для спектральной МЭ-оиенки одномерного случайного процесса:

А/-/ А/-/ , т „ ,-/

Предложенный подход применен к построению всрояшосшого распределения и спектра двумерного случайного ноля. В работе проделаны аналогичные одномерному случаю выводы и получены выражение для вероятностного распределения двумерного случайного поля:

и соответствующей двумерной спектральной МЗ-оненнн.

40

где вщп*^' " ЭЛеме,1ти блочно-теплицевь^ автокорреляционных

матриц размера (ЛМ)х(ЛМ.) и ЫхЫ, а О'т'п'^пт^ ~ пари Ч,1ССЛ ~ элементы матрицы, содержащей индексы отсчетов автокорреляции в соответствующих блочно-теплнцевых матрицах.

В диссертации отмечено, что основой программной реализации процедуры вычисления спектральных оценок (9), (11) является операция обращения, матрицы заданной структуры, которая при обработке матриц небольшой размерности может быть выполнена на основе вычислительна эффективных алгоритмов сингулярного разложения с помощью современных быстродействующих вычислительных средств.

Исследованы некоторые свойства полученных спектральных оценок и их взаимосвязь о традиционными оценками США. Показано, что эти оценки представляют собой аналитическую форму спектральных оценок максимальной энтропии Берга В одномерном случае оценка (9) по виду нелинейности совпадает с авторегрессиопной оценкой СПМ, а при анализе гармонических процессов при устремлении дисперсии шума к нулю по форме спектра асимптотически стремится к оценке по методу гармонического разложения Пнсаренка Доказана, что полученные оценки асимптотически эквивалентны классическим оценкам спектра Фурье в бесконечных пределах. В рамках доказательства этого утверждения установлено, что для оценок СПМ (9), (И) обеспечено выполнение условий "корреляционного согласования". Омечено, что в силу формальной аналогии оценки (9) и одномерных ЛР-оиснки и МЭ оценки Берга оценка (9) обладает рядом известных статистических свойств указанных оценок СПМ (эмпирическими оценками разрешающей способности, энергетическими характеристиками и законами асимптотического поведения среднего и дисперсии частоты для модели случайного процесса в виде суммы синусоид и белого шума).

Н четвертом разделе предложен быстрый алгоритм реализации традиционного ' М;>- подхода К решению линейного интегрального уравнения Фред голь м а 1-го рода, основанный на аналитическом

вычислении множителей Лагранжа

И

Если подставить МЭ-рсшенне (2) в ограничения, то в вскторно-матричной форме можно записать

Я = I х схр{-й}. (12)

Из формулы (12) в работе получено выражение для множителей Лагранжа в аналитическом виде,

Я --г^ио* $),- из)

где А - вектор исходных данных, а I* - матрица, псевдообратная матрице ядра I, Огмсчсно, что в случае квадратной матрицы С соотношение (13) определяет тачные значения множителей Лагранжа, а в случае прямоугольной матрицы даст наилучшее п смысл? наименьших квадратов начальное приближение для их итерационного уточнения.

Вышеописанный алгоритм прямого вычисления множителей Лагранжа рассмотрен применительно к решению задачи спектрального оценивания. В этом случае вектор исходных данных & представляет собой вектор отсчетов автокорреляционной функции, а матрица ядра I является матрицей комплексных экспонент. В рамках традиционного формализма метода максимальной энтропии для энтропийных форм Шеннона и Берга относительно спектра получены выражения • для множителей Лггранжа:

АI Л ехр(-2лшп)1п{ ^ Н„ехрС~2Шик)), (И)

т и^О к-О к }

Ат = ^,0схр(-2мшп)х[ ^Пкехр{-2Шш)], (15)

>дс Кк - отсчеты автокорреляции процесса Аналогичные выражения получены и для двумерного случая. Отмечена, что формулы (И), (15) в случае М^N определяют точные значения множителей Лагрзнжа, а при N они дают оптимальную в смысле наименьших кмдратоп аппроксимацию исходных данных и оценки спектра.

В пятом разделе содержатся результаты моделирования и анализа разрешающей способности и помехоустойчивости полученных методов в одномерном и двумерном случаях. В качестве модельного примера использована модель случайного' процесса (двумерного гюля),

представляющего собой сумму синусоидальных сигналов на заданных частотах н белого шума с известной дисперсией. Соответствующее программное обеспечение создано на языке ФОРТРАН-77, версия 50 и реализована на персональном компьютере IBM РС/ЛТ-283 с 287-сопроцессором и стандартной конфигурацией.

Расчеты показали, что полученные аналитические МЗ-оценки СПМ обеспечивают достижение более высокого разрешения и помехоустойчивости, нежели традиционные методы Фурье, Кейпоиа и авторегрессии. В вычислительном отношении предложенные процедуры оценки спектров, реализованные без привлечения специализированных средств и алгоритмов, лишь незначительно уступают традиционным методам спектрального анализа.

Результаты расчетов спектров вышеописанного модельного процесса и двумерного поля (суммы синусоид в белом шуме) показали, что алгоритм построения МЗ-оценок спектра на основе прямого вычисления множителей Лагрзнжа обеспечивает более высокое разрешение, нежели метод Фурье. Применение этого алгоритма к решению задачи реконструкции Функции по набору ее фурье -коэффициентов методом МЭ показала повышение вычислительной эффективности метода МЭ в 5-6 раз при использовании аналитических опенок множителей Лагранжа в качестве начального приближения по сравнению с обычным нулевым начальным приближением

В шестом разделе содержатся результаты спектральной обработки пространственно-временных полей, получаемых при радиолокационном зондировании морской поверхности, с помошью нового метода, основанного па принципе МЗ, и метода Фурье для сравнения

В условиях научна-исследовательского эксперимента в направлении, перпендикулярном направлению движения судна, излучался радиосигнал Регистрируемый отраженный от морской поверхности сигнал представлял собой пространственно-врсменнос поле сложной структуры Задача состояла в выделении в спектре низкочастотной компоненты, соответствующей длинноволновой составляющей ноля, в условиях мультипликативного влияния релеевского шума и высокочастотной составляющей (мелкомасштабных неоднородностей моря) На интервале измерения укладывалось. около 2-3 периодов искомой волны Результаты обработки показали, что новый метод, основанный на принципе МЭ, в отличие от метода Фурье, обеспечивает прецизионное выделение в спектре компоненты "глубокой волны".

■В

В приложение вынесены некоторые математические выкладки, поясняющие соответствующие результаты и выводы, содержащиеся в основной части диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В диссертации предложен новый подход к задаче спектрального оценивания, основанный на нетрадиционном варианте применения принципа максимальной энтропии. В рамках данного подхода на основе принципа МЭ и формулы условных вероятностей Байсса получено выражение для вероятностного распределения случайного процесса (поля в двумерном случае), заданного отсчетами автокорреляционно!'! функции. С помощью выражения для спектра, позволяющего связать спектральную платность мощности процесса с его плотностью распределения вероятности, получены аналитические выражения для одномерной и двумерной оценок СПМ.

2. Доказано, что предложенные оценки удовлетворяют условиям "корреляционного согласования", а также установлена их взаимосвязь с традиционными оценками спектра Фурье, авторегресснн, гармонического разложения Пнсаренко н максимальной энтропии Берга

3. В работе впервые предложен новый алгоритм реализации традиционного метода МЭ, основанный на вычислении множителей Лагранжа в амалнтнческом виде. Описана методика решения обратных задач общего счда (линейных интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода) с помощью предложенного подхода. Рассмотрено применение этой методики к решению задачи спектрального оценивания н получены аналитические выражения для множителей Лагран;;;а в случае энтропийных форм Шеннона и Берга в одномерном и двумерном случал;<

4. ■ Разработаны программные средства, реализующие новые подходы к решению задачи построения многомерных спектральных оценок высокого разрешения по ограниченному набору отсчетов АКФ в условиях влияния сильных помех. С помощью данных программных средств исследованы характеристики и свойства полученных аналитических МЭ-оцснок СПМ и выражений для множителей Лагранжа Показана их способность обеспечивать высокое разрешение и помехоустойчивость по сравнению с традиционными спектральными оценками Фурье, Ксйпона и авторегрессии.

5. Представлены результаты спектральной • обработки пространственно - временных полей, имитирующих реальные данные, получаемые при радиолокационном зондировании морской поверхности, с помощью нового метода, основанного на принципе МЭ. Показано, что данный метод обеспечивает прецизионное выделение в спектре тонких деталей, соответствующих искомым низкочастотным составляющим двумерных полей сложной структуры.

Основное содержание диссертационной работы представлена в следующих публикациях:

1. Д.БАратский, О.А.Морозов, Е. Л. Солдатов, В. Р.фндельман. О реконструкции и улучшении качества сигналов теоретика -информационными методами максимальной энтропии. Автометрия, 1991, .№6, с. 97-101. 2 Д.Б Аратский, Е.А Солдатов, В.Р.Фидельман. О вычислительных аспектах спектрального оценивания методом максимума энтропии Деп. а ВИНИТИ от 10.03.87, per. № 175I-B87, библ. 7 назв., 11с.

3. Д. Б. Аратский, Е А.Солдатов, В. Р. Фидельман. О байесовском подходе

к вычислению спектров случайных процессов и полей. Деп. в ВИНИ 111 от 22.10 87, per,№ 7430-В87, библ. 14 назв., 13с.

4. Д.Б Аратский, Е А Солдатов, В.Р.Фидельман. К спектральному анализу временных рядов и функций. Деп. в ВИНИТИ от 12.12.87, per № 8458-В87, библ 21 назв , 20 с.

5. Д.Б.Аратсиий, Е.Д Солдатов, В.Р.фндельман. Алгоритм метода максимальной энтропии в задачах статистической обработки данных. Деп. в ВИНИТИ от 17.03 88, per. № 2099-В88, библ. э'назв., 13с.

6. Д. Б. Аратский, Е. А.Солдатов, В. Р. Фидельман. Многомерный спектральный анализ. Байесовский подход. Деп. в ВИНИТИ от 17 03.88, per № 2101- В88, библ. 31 назв., 41 с.

7 Д Б Аратский, II.C Будников, Е.А.Солдатов, В.Р.Фидельман. О многомерном спектральном анализе методом Байеса. Деп. в ВИНИТИ от 01 04 88, per № 2514-В88, библ. 13 назв., 15 с.

8 Д Б Аратский, Е Д.Солдатов, В. Р. Фидельман. О взаимосвязи оценки спектральной плотности мощности, построенной на основе байесовского подхода, и спектральных оценок Фурье. Деп. в ВИНИТИ от 21.09.89, ,рег.№ 1154-В89, библ. 9 назв., 10 с.

45

9. Д.Б. Аратский, Е А. Солдатов, В. Р. Фндельман. Алгоритмы метода максимальной энтропии в задачах статистической обработки данных. Тезисы Всесоюзного семинара "Вопросы оптимизации вычислений", Алушта, 1987.

10. Д.Б.Аратский, А.Солдатов, 'Г.Ю.Удалова, В.Р Фидельман. • Метод фильтрации шумов на основе сингулярного разложения автокорреляционной матрицы. Тезисы докладов на 111 Всесоюзной конференции "Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов", Гродно, 1988.

11. Д.Б.Аратский, ЕА.Солдатов, В.Р.Фидельман. Теоретико

информационные методы анализа структуры случайных процессов и полей. Тезисы докладов на III Всесоюзной конференции "Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов", Гродно, 1988.

12. ДБ.Аратскнй, Е.А. Солдатов, Т.Ю.Удалова, В.Р.Фидельман. Теоретико - информационные методы обработки спектрометрической информации. Тезисы докладов на 5-ом Всесоюзном семинаре по автоматизации исследований в ядерной физике и смежных областях. Ташкент, 1988.

13. ДБ.Аратскнй, ЕА.Солдатов, В. Р. Фидель млн. Пакет программ для

многомерного спектрального анализа методами максимальной энтропии. Тезисы докладов на 5-ом Всесоюзном семинаре по автоматизаиж исследований в ядерной физике, и смежных областях. Ташкент, 1988 ,

14. Д.Б.Аратский, И.Л.Козлова, ЕА.Солдатов, В.Р.Фидельман Методы

выделения спектральных пршнаков при анализе многомерных изображений. Тезисы докладов на III Всесоюзной конференции "Методы и средства обработки сложной графической информации", Горький, 1988.

15. Д.Б Аратский,. Е А.Солдатов, В.Р.Фидельман Построение

пространственно-временных спектров многомерных случайных полей на основе принципа максимальной энтропии. Тезисы докладов ' на II Всесоюзной конференции "Теория и техника пространственно -временной обработки сигналов", Свердловск, 1989. .6. Д.Б.Аратский, ЕА.Солдатов, В.Р.Фидельман. Алгебраический метод фильтрации шумовой помехи при пространственна - временной обработке сигналов. Тезисы докладов на II Всесоюзной

конференции "Теория и техника пространственно - временной обработки сигналов", Свердловск, 1989.

17. Д.Б.Аратский, Е А Солдатов, В.Р.Фидельман, . О.А Морозов

Высокоразрешаюшая спектральная обработка спекл. интсрферометрическнх изображений, основанная на принципе максимальной энтропии (МЭ). Тезисы доклада на 111 Всесоюзной конференции "Автоматизированные системы обработки изображений (АСОИЗ-89)", Ленинград, 1989.

18. Д Б Аратский, О.А.Морозов, Е.А Солдатов, В Р.Фидельман.

Процедура сжатия-восстановления изображений, основанная на принципе максимальной энтропии. Тезисы доклада на ill Всесоюзной конференции "Автоматизированные системы обработки изображений (АСОИЗ-89)", Ленинград, 1989.

19 Д. Г> Аратский, Е А Солдатов, В.Р.Фидельман, О.А Морозов. Метод

интерпретации и обработки спекл - йнтерферометрических изображений, основанный на нелинейном спектральном оценивании Тезисы докладов на IV Всесоюзной конференции "Математические методы распознавания образов (ММРО-4)", Рига, 1989.

20 Д.Б Аратский, Е.А.Солдатов, В.Р.Фидельман. Высокоразрешаюший метод обработки радиосигналов для определения координат источников Гезисы докладов на XXI Всесоюзной конференции "Радиоастрономическая аппаратура", Ереван, 1989.

21. Д.Б.Лрзгский, Е Л.Солдатов, В.Р.Фидельман, О.А.Морозов.-Спектральная высокоразрешаюшая обработка спекл интсрферометрическнх изображений в реальном масштабе времени Тезисы докладов на Всесоюзной конференции ''Высокоскоростная фотография, фотоника и метрология быстропротекаюших процессов", Москва, 1989.

22 D В Aratskii, E.A.Soldaíov, V.li. Fidel'man. Multidimensional

Spectral Rslmialiori Based on the Principle of Maximum Entropy. Доклад включен а сборник трудов Международной конференции "Integral Equations and Inverse Problems", Варна, Болгария,' 1989.

23. Д.Б Аратский, О.А Морозов, Е.А.Солдатов, В Р.Фидельман.

Цифровая система сжатия-восстановления изображений. Тезисы докладов на II Всесоюзной конференции по оптической обработке информации, Фрунзе, 1990