автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Программный комплекс аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов параметрическими моделями

На правах рукописи

КУДРИНА Мария Александровна

ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС АППРОКСИМАЦИИ КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ МОДЕЛЯМИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Самара 2004

Работа выполнена в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С П. Королева

Научный руководитель: Заслуженный работник высшей школы

Российской Федерации, доктор технических наук, профессор С.А. Прохоров

Официальные оппоненты: Заслуженный деятель науки и техники

Российской Федерации, доктор технических наук, профессор Э.К. Шахов

кандидат физико-математических наук, доцент Э.И. Коломиец

Ведущая организация: ОАО "СНТК им. Н.Д. Кузнецова"

Защита диссертации состоится мая 2004 г. в_часов на заседании

диссертационного совета Самарского государственного аэрокосмического университета по адресу:

443086, г. Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан апреля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Всесторонний анализ первичной экспериментальной информации является эффективным средством поиска решений для объектов различной случайной природы и практически неограниченной сложности, а если исследуемый объект не имеет полного математического описания, то экспериментальная информация становится единственным "источником получения важных, параметров исследуемого объекта.

На практике при исследовании явлений, описываемых стационарными случайными процессами (СП), наиболее часто представляют интерес их корреляционные и спектральные характеристики. Знание корреляционной функции (КФ) СП позволяет решать задачи идентификации динамических систем, выбирать оптимальный интервал дискретизации исследуемого процесса, оценивать погрешности средств измерений и т.д.

Одним из способов определения корреляционной функции СП по экспериментальным данным является ее аппроксимация аналитическими выражениями в соответствии с выбранным критерием приближения и спецификой решаемой задачи. Знание модели КФ и численных значений её параметров позволяет легко вычислить интервалы корреляции, моменты корреляционных функций, спектральную плотность мощности, а также позволяет существенно сократить объём хранимой информации о корреляционной функции. Благодаря наличию аналитической связи между корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности, вопросы их аппроксимации оказываются взаимосвязанными.

Большой вклад в развитие аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа внесли такие ученые как Горбацевич Е.Д., Дедус Ф.Ф., Лившиц Н.А., Мирский Г.Я., Прохоров С.А., Романенко А.Ф.. Сергеев Г.А., Чеголин П.М. и другие. Данной проблеме также посвящены труды таких зарубежных исследователей как Бэттин Р.Г., Лампард Д.Л., Лэннинг Дж. X. и других.

Анализ современных математических и статистических систем (таких, как Statistica, SPSS, Mathcad, MatLab и т.п.) показал, что данные системы обладают широким диапазоном статистических методов, но, в большинстве своем, требуют дополнительной настройки или программирования для решения отдельных задач аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа. В целом же, отсутствуют программные средства, которые позволяли бы в одном пакете программ решать задачи моделирования СП с заданным видом корреляционной функции, первичной статистической обработки СП и идентификации СП по виду КФ с дальнейшей аппроксимацией КФ и спектральной плотности мощности. Хотя потребность в таких средствах существует.

До сих пор имеются недостаточно исследованные области корреляционно-спектрального анализа. Например, отсутствует информация относительно того, каким образом отличие закона распределения СП от нормального влияет на погрешность оценки корреляционной функции и погрешность аппроксимации КФ. Нет данных относительно сходимогщ рттипитгг численшх методов при аппроксимации корреляционйь\кофуийШйОД^^М1| заданного вида.

библиотека С.П«ерв»

оа к»

Таким образом, в рамках создания специализированного комплекса программ актуальны задачи исследования методических погрешностей методов аппроксимации КФ, автоматизации процессов первичной статистической обработки СП, идентификации. СП по виду КФ, аппроксимации КФ и спектральной плотности мощности СП.

Целью диссертационной работы является разработка программного комплекса аппроксимации, корреляционно--спектральных характеристик случайных процессов параметрическими моделями, автоматизирующего процессы анализа СП.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи исследования:

• анализ современных методов аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик СП;

• исследование сходимости и методических погрешностей методов аппроксимации КФ с целью выбора наиболее эффективного численного метода нахождения параметров модели;

• анализ методических погрешностей оценки КФ и аппроксимации КФ негауссовских случайных процессов для обоснования допустимого объема выборки случайного процесса;

• разработка специализированного программного комплекса, позволяющего производить моделирование СП с заданным видом КФ, оценку вероятностных характеристик СП, идентификацию СП по виду КФ, а также аппроксимировать КФ и спектральные плотности мощности СП;

• проведение экспериментов по обработке реальных данных с целью апробации комплекса программ.

Методы исследования. Результаты исследований базируются на положениях теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории оптимизации и аппроксимации, а также использовании системного анализа, методов имитационного моделирования и численных методов.

Научная новизна. В результате проведенных исследований был получен ряд новых научных результатов, к которым можно отнести:

1) методику и результаты анализа сходимости различных методов аппроксимации КФ функциями заданного вида;

2) решение обратной задачи и методику формирования негауссовского нормированного СП с заданными значениями коэффициентов асимметрии и эксцесса;

3) обобщенный критерий оценки отличия закона распределения негауссовского нормированного СП от гауссовского СП;

4) обоснование существования области допустимых значений коэффициентов асимметрии и эксцесса для негауссовских нормированных СП;

5) методику и результаты анализа методических погрешностей оценки КФ и аппроксимации КФ негауссовских СП.

Практическая ценность работы.

1. Разработан специализированный комплекс программ для моделирования, идентификации и аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик СП параметрическими моделями.

2. Предложены рекомендации по выбору метода аппроксимации КФ СП, в зависимости от вида оценки КФ, а также объема выборки для достижения заданной точности аппроксимации КФ негауссовских СП.

Реализация результатов. Результаты работы внедрены в Институте акустики машин Самарского государственного аэрокосмического университета, Самарском центре стандартизации, метрологии и сертификации, а также в учебном процессе кафедры информационных систем и технологий Самарского государственного аэрокосмического университета при подготовке студентов 2-4 курсов по специальности 230102 при выполнении лабораторных, курсовых работ и дипломного проектирования.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: XXV Самарской областной студенческой научной конференции (Самара, 1999), Всероссийской студенческой научной конференции "V Королевские чтения" (Самара, 1999), XXVII Самарской областной студенческой научной конференции (Самара, 2001), Всероссийской научно-методической конференции "Теория и методика непрерывного профессионального образования"' (Тольятти, 2002), международном симпозиуме "Надежность и качество 2002"' (Пенза, 2002).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 6 статей и 3 тезиса докладов научных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении показана актуальность темы диссертации, дана общая характеристика работы, определены цель и задачи исследования, приведены структура и краткое содержание диссертации, основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе проводится сравнительный анализ методов аппроксимации КФ и спектральных плотностей мощности.

В общем виде задача аппроксимации корреляционных функций параметрическими моделями включает следующие этапы:

1. Обоснование и выбор параметрической модели с неизвестными параметрами;

2. Выбор критерия приближения;

3. Выбор метода аппроксимации;

4. Разработка алгоритма определения неизвестных параметров модели;

5. Оценка параметров модели;

6. Оценка погрешности приближения.

Одной из самых сложных и плохо формализуемых задач, от правильного решения которой во многом определяется точность и достоверность полученных результатов, а также простота технической реализации, является выбор модели корреляционной функции.

В качестве моделей корреляционных функций наиболее часто применяют:

• аппроксимацию одной функцией (возможна линейная комбинация конечного числа функций);

• разложение в ряд по определенной системе функций (в частности, возможна аппроксимация степенными рядами, ортогональными полиномами и функциями).

Выбор той или иной модели корреляционной функции основывается на наличии априорной информации о свойствах исследуемого процесса. Если кроме эквивалентной ширины спектра мощности процесса ничего не известно, то в качестве модели следует применять разложение корреляционной функции в ряд по системе ортогональных функций или полиномов. Если ориентировочно известен вид корреляционной функции исследуемого процесса, то наиболее целесообразно выбирать конкретный вид модели, желательно с меньшим числом параметров.

Во второй главе проводится исследование методических погрешностей и сходимости методов аппроксимации КФ функциями заданного вида, а также методических погрешностей аппроксимации КФ ортогональными функциями Лагерра при использовании различных численных методов интегрирования.

Корреляционные функции, предназначенные для дальнейших расчетов, обычно аппроксимируются аналитическими выражениями. Задача аппроксимации КФ в конечном итоге сводится к задаче определения параметров модели посредством решения системы нелинейных уравнений. Традиционно для этого используют метод Ньютона, который обладает сверхлинейной сходимостью. Однако использование метода Ньютона, даже в случае известных аналитических выражений для частных производных, при решении задачи аппроксимации КФ на практике показало его неустойчивость к выбору начальных приближений. С целью выработки -рекомендаций по выбору начальных условий было проведено исследование сходимости метода Ньютона и метода деформируемого многогранника для аппроксимации КФ.

За основу была взята экспоненциально-косинусная модель КФ

Технология построения области сходимости методов аппроксимации КФ сводилась к розыгрышу вектора начальных приближений (параметров а и ©о), равномерно распределенному в пространстве параметров КФ, с непосредственной численной проверкой сходимости исследуемого метода/ Точки, из которых метод сходится, помечались темным цветом.

На рис. 1 приведены области сходимости метода Ньютона для случая вычисления частных производных с применением аналитических выражений. Как видно из рис. 1, область сходимости метода Ньютона достаточно узка. Если учесть, что множество параметров, рекомендуемых в качестве начальных приближений (см. выделенную белым область рис. 1а), смещено относительно области сходимости, то становится понятно, почему так часто метод Ньютона расходится. Представленная область сходимости зависит от свойств нелинейных уравнений, и улучшить характеристики сходимости можно только за счет выбора другого метода решения системы нелинейных уравнений.

На рис. 2 и 3 показаны области сходимости метода Ньютона с конечно-разностным вычислением частных производных и метода деформируемого многогранника соответственно. Из рисунков видно, что метод деформируемого многогранника обладает лучшей характеристикой сходимости и может быть рекомендован в качестве "стартового" метода с последующим переходом к методу Ньютона, который обладает свойством локальной сходимости.

-10

т ■

а

-1

1

3 -1 1

а) решение системы: а=1, а0=5 б) решение системы: а=1, (о0=Ю

Рис. 1. Области сходимости метода Ньютона с аналитическими производными

» «

¡У^Т

-1 1

а) решение системы: а=1, о>0=5

-1 1

б) решение системы: а=1, ш0=10 Рис. 2. Области сходимости метода Ньютона с конечными разиостями

СОп

а) решение системы: а=1, <о0=5

б) решение системы: а=1, (йо=10

Рис. 3. Области сходимости метода деформируемого многогранника 5 М=100

-Л/=1000 П —Ф— погрешность

аппроксимации КФ

•••О-- погрешность оценки а

- - погрешность оценки Оо

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 погрешность оценки КФ Рис. 4. Зависимость погрешностей оценки параметров аппроксимации от погрешности оценки КФ (рх(х) = е"^ сомй0х, а=1, со0=5)

Построение областей сходимости показало, что сходимость метода Ньютона более чувствительна к выбору начального приближения параметра Юо, чем параметра а (см. рис. 1-2). Однако, как следует из вычислительных экспериментов, методическая погрешность аппроксимации КФ сильнее зависит от погрешности оценки а, чем от а>о (см. рис. 4). В данном случае погрешности оценки а и СОо рассматривались в зависимости от размера выборки СП M. Естественно, что между методическими погрешностями оценки КФ и аппроксимации КФ существует линейная зависимость, которая показана на рис. 4.

В данной главе проведено исследование методических погрешностей аппроксимации КФ ортогональными функциями Лагерра. Было предложено использовать метод Симпсона численного интегрирования, который позволяет уменьшить методическую погрешность аппроксимации КФ при несущественном усложнении алгоритма вычислений.

В третьей главе с помощью метода имитационного моделирования исследуются методические погрешности оценки КФ и аппроксимации КФ для процессов с законом распределения, отличным от нормального.

Классическая теория позволяет вычислять методические погрешности оценки КФ только гауссовских СП. В то же время, на практике часто встречаются СП с законами распределения, отличными от гауссовских. Возникает вопрос, в какой мере "негауссовость" СП влияет на погрешность оценки КФ и на величину объема выборки СП, необходимую для достижения заданной точности оценки КФ.

В работе Мирского ГЛ.1 была установлена связь между коэффициентом' эксцесса и квадратом относительной среднеквадратической погрешности оценки КФ для негауссовских СП.

В диссертации исследуется зависимость методических погрешностей оценки КФ негауссовских СП одновременно от коэффициентов эксцесса k и асимметрии ka в общем случае. На рис. 5 приведена математическая модель данного вычислительного эксперимента.

Рис. 5. Математическая модель эксперимента

1 Мире кий Г.Я. Погрешности измерения корреляционных функций случайных процессов с различными распределениями вероятностей II Измерительная техника. -М. -1979. -№ 8. -С. 17-20.

Первым шагом в решении данной задачи являлось генерирование СП с заданным видом КФ. Для этого первоначально генерировался СП с равномерным законом распределения R[0, 1], затем при помощи алгоритма рекурсивной фильтрации получался СП с заданным видом КФ и законом распределения, близким к нормальному, производилось его центрирование и нормирование. У полученного центрированного и нормированного СП X(j) оценивалась корреляционная функция и рассчитывалась погрешность оценки КФ. Затем над СП X(t) производилось нелинейное преобразование <р(X(t)\ в результате которого получался СП Y(t) с законом распределения, отличным от нормального. Из всех возможных нелинейных преобразований входного СП X(t) рассматривался класс монотонно возрастающих функций, обеспечивающих заданные значения Д, и Л, у выходного процесса

Было проведено исследование влияния ка и кэ на среднеквадратическое отклонение соответствующих ЗР от нормального

Err(k„kJ= ¡(fT(x)-fx(x))2dx,

0)

где ка - коэффициент асимметрии, к - коэффициент эксцесса, /Х(х) -нормальный закон распределения, /у(х) - закон распределения СП с нелинейным преобразованием отсчетов.

Для построения зависимости Егг(ка,к,) на классе монотонно возрастающих нелинейных преобразований ф(Д0) необходимо было моделировать нормированные СП (с математическим ожиданием, равным 0, дисперсией 1) с заданными коэффициентами асимметрии и эксцесса (ка и £>). Математически задача подбора нелинейного преобразования фСЦ/)) решалась, как задача решения следующей системы интегральных уравнений

]ц,(х)/х(х)сЬс=й,

-Ж

]^(х)/х(х)<Ь = \, /Ч>>(х)/х(х)сЬ = кт,

•Я

]<?*(х)/х(х)сЬ-3 = к,

В диссертации в качестве нелинейного преобразования ф(Л"(0) бьш выбран параболический сплайн вида

у0 + ид, д<0,

я-1

ЗДНл+иЗ + ^+Е^-*)'' <?е[0,л], (3)

(2)

Л

Для параболического сплайна система уравнений (2) из функциональной преобразуется в параметрическую. Коэффициенты сплайна (3) зависят от значений сплайна в узлах интерполяции у, ...,уп- Таким образом, задача решения системы интегральных уравнений (2) сводится к задаче условной оптимизации

где q -•

ЦУо.Уу-У.)-*™», Д,у(>0, I = 1, n—I, S2(q)-монотонная возрастаюиря функция, х-хп

ЦУо.Ух.....У„)=<\(Ч)2 +<т.(<4 -1/ -К)2 +с/ос4 -К)\

аь а2) а3, а4 - начальные моменты СП У(1), С|, с2, сз, с* - ьесовые коэффициенты.

На рис. 6 представлена диаграмма исследования зависимости Егг(ка,к1) для большого количества экспериментов, обеспечивающих различные значения к.. Точки диаграммы разбиты на группы по величине Егг(ка,к3): [0; 0,01], [0,01; 0,02],... ,>0,08.

с

■ ■.

Я 0 • 0,02 * 0,02- 0,03 »0.03-0.04 * 0,04-0,05 * 0,05.0,06 * 0,06 • 0,07 ■ 0,07 - 0,06 И >0,06

X 1 9 ♦ * ■ Ж 4 X л Л? ■ п а

.. »» ** йг-Ш- м •

0 1 2 3 4 5

Рис. 6. Зависимость Err от ка и к,

Из рисунка видно, что не при всех сочетаниях асимметрии и эксцесса существует монотонно возрастающая функция нелинейного преобразования. С другой стороны, при совпадающих значениях ка,кг критерий Егг(ка,к3) может принимать разные значения. Последнее говорит о неоднозначности зависимости Err от ка,кг.

Далее в рассмотрение был введен критерий оценки среднеквадратического взвешенного отклонения нелинейного преобразованного СП от эквивалентного:

Х= J(x-S1(x))1f(x)dx,

(5)

где

f(*) =

i .4

, S2(x) - нелинейное преобразование СП.

На рис. 7 представлены результаты вычислительных экспериментов в координатах (х;Егг). Зависимость Err от % выглядит естественной, поскольку монотонные преобразования, существенно отличающиеся от эквивалентного (у=х), должны увеличивать значение параметра Err и наоборот. Результаты эксперимента хорошо аппроксимируются линейной зависимостью Егг(х) = 0.433-х.

0,05 0,1 0,15 ОД 0,25 Точки эксперимента —Аппроксимация

Рис. 7. Зависимость Err - среднеквадратического отклонения ЗР от

критерия х

В работе были проведены исследования предельных значений асимметрии и эксцесса и выявлены границы их допустимых сочетаний для частных случаев законов распределения. На рис. 8 представлено множество допустимых сочетаний асимметрии и эксцесса для СП с двухмодальной плотностью распределения-

/(x) = /ie 2<Т| +7ге , при aj=-0,25 и варьируемых значениях параметров Ф. Yu Уг» Oi. 02. Как видно из рисунка, на параметр и АэЛадываются существенные ограничения.

Рис. 8. Область допустимых значений параметров ка и к,

В конце главы приведены результаты исследования зависимостей погрешности оценки КФ от числа отсчетов СП М для различных значений критерия х» оценивающего степень отличия закона распределения СП от гауссовского. На рис. 9 приведены графики для экспоненциальной модели КФ (рх(х) = , а=1). Из графиков видно, что при увеличении значения критерия х погрешность оценки КФ увеличивается. Однако при значениях критерия Х-0>12 графики погрешностей оценки КФ негауссовских СП практически сливаются с гауссовскими. То есть, если величина критерия х негауссовского СП не превышает 0,12, погрешности оценки КФ и аппроксимации КФ можно считать такими же, как

у гауссовских СП. Графики, изображенные на рис. 4 и 9, позволяют выбрать минимальное число отсчетов М случайного процесса с негауссовским законом распределения, при котором погрешность оценки КФ и погрешность аппроксимации КФ не превышают заданного уровня. При этом для вычисления величины критерия % следует использовать выражение (8).

100 1000 10000 100000 1000000

Рис. 9. Зависимость погрешности оценки КФ от числа отсчетов СП М для различных значений критерия х (Pi(= > а=0

Для произвольных негауссовских центрированных и нормированных СП предлагается методика определения погрешности оценки КФ, состоящая в следующем: находятся оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса ка и к, СП, строится сплайн S/x) нелинейного преобразования СП, по которому вычисляется значение критерия % по формуле (5). По экспериментальным графикам, один из которых приведен на рис. 9, зная величину критерия х, можно определить погрешность оценки КФ негауссовского СП.

В четвертой главе приводится описание программного комплекса аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа СП, а также приводятся результаты апробации программного комплекса применительно к исследованию вариабельности сердечного ритма и для исследования результатов измерения отдельных характеристик газотурбинных двигателей НК38 газоперекачивающей станции при проведении испытаний на испытательных стендах филиала ОАО "СНТК им. Н.Д. Кузнецова".

На рис. 10 приведена структурная схема программного комплекса аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа.

Программный комплекс позволяет моделировать СП с заданным видом КФ и вводить данные из файла. В подсистеме генерирования неэквидистантных временных рядов (НВР) реализованы алгоритмы адаптивно-временной дискретизации, дискретизации с "дрожанием", аддитивной случайной дискретизации, метод р-преобразования. Вычисление корреляционных функций производится в подсистеме первичной статистической обработки, причем КФ НВР вычисляются при помощи интервальной корреляционной функции (ИКФ). Программный комплекс позволяет производить идентификацию КФ при помощи анализа фазовых портретов Существует возможность аппроксимации КФ и

спектральной плотности мощности функциями заданного вида и ортогональными функциями Лагерра. Подсистема информационного обеспечения предназначена для Накопления и обработки данных в виде исходной, промежуточной и результирующей информации, что обеспечивает единое информационное пространство программного комплекса.

Программный комплекс;

Рис. 10. Структурная схема программного комплекса

На рис. 11-13 приведены примеры аппроксимации КФ и спектральной плотности мощности функциями заданного вида и ортогональными функциями Лагерра, произведенной с помощью программного комплекса аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа.

Для разработки программного обеспечения программного комплекса аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа использовался объектно-ориентированный язык Java. Выбор языка программирования обусловлен несколькими факторами:

• объектная модель в Java проста и легко расширяется;

• программы, написанные на Java, выполняются на любой из поддерживаемых платформ (где существует виртуальная Java-машина - броузеры на всехплатформах, OS/2, Netware);

• программы на Java не могут вызывать глобальные функции и получать доступ к произвольным системным ресурсам, что обеспечивает в Java уровень безопасности, недоступный для других языков;

• Java позволяет создавать свои активные сетевые приложения апплеты (applets), которые могут настраиваться и распространяться потребителям с такой же легкостью, как любые документы HTML.

С"^'*. 'И. * 1 " ~ ' 1~ ' ! м ru»!.«'»» , 1 ' 1 I

| Г«*Ч'Г>">|ГЧ И1М«И1» ^ | \ II' . | '"V - - - Ь- \ -1. _ ZL 1 | Ö] j' Чг — t- у t

Гс . , - , i .. \ / 1 | р=—j! / , ! 1

--- ... "V 1 , .............* ....V 1

Рис. 11. Аппроксимация КФ функциями Рис. 12. Аппроксимация КФ

заданного вида ортогональными функциями Лагерра

>«"' 1 " ' ч————иммц.т:,нт..у» t-ал

Рис. 13. Аппроксимация спектральной плотности мощности параметрическими моделями

Аппаратные требования программного комплекса: процессор Pentium-166-ММХ и выше, ОЗУ 32Мб, свободное место на диске 50Мб, дисплей SVGA с минимальным разрешением 1024 х 768.

Требования к программному обеспечению: тип операционной системы Microsoft Windows'98-2000; необходимые библиотеки поддержки Java; СУБД Microsoft SQL Server.

В заключении приводятся основные результаты, полученные в работе, а также список опубликованных работ.

Приложения содержат табличную и графическую информацию, описание реализующих программ и материалы по внедрению диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Сравнительный анализ современных методов аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик показал, что в настоящий момент недостаточно исследована устойчивость сходимости методов аппроксимации корреляционных функций функциями заданного вида, существует необходимость в исследовании погрешностей оценки и аппроксимации корреляционных функций негауссовских случайных процессов. Отсутствуют автоматизированные программные средства, позволяющие в едином информационном пространстве производить моделирование СП с заданным видом КФ, оценку вероятностных характеристик СП, идентификацию СП по виду корреляционной функции, а также аппроксимировать КФ и спектральные плотности мощности.

2. Исследована устойчивость сходимости метода Ньютона и метода деформируемого многогранника при варьировании начальных приближений, примененных для аппроксимации корреляционных функций функциями заданного вида, и предложены рекомендации по - выбору того или иного , метода аппроксимации КФ, в зависимости от вида КФ.

3. Проведен анализ методических погрешностей аппроксимации корреляционных функций функциями заданного вида и ортогональными функциями Лагерра.

4. Разработана методика формирования негауссовского нормированного СП с заданными значениями коэффициентов асимметрии и эксцесса.

5. Предложен обобщенный критерий оценки отличия закона распределения негауссовского нормированного СП от гауссовского СП.

6. Проведено обоснование существования области допустимых значений коэффициентов асимметрии и эксцесса у негауссовских нормированных СП для данного класса нелинейных преобразований.

7. Разработана методика и проведен анализ методических погрешностей оценки КФ и аппроксимации КФ негауссовских СП.

8. Разработан программный комплекс аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов, позволяющий производить моделирование СП с заданным видом КФ, оценку вероятностных характеристик СП, идентификацию СП по виду корреляционной функции, а также аппроксимировать КФ и спектральные плотности мощности СП функциями заданного вида и ортогональными функциями Лагерра.

9. Разработанный программный комплекс аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов внедрен в Самарском центре стандартизации, метрологии и сертификации, в Институте акустики машин Самарского государственного аэрокосмического университета, а также в учебном процессе кафедры информационных систем и технологий Самарского государственного аэрокосмического университета при подготовке студентов 2-4 курсов по специальности 230102 для выполнения лабораторных, курсовых работ и дипломного проектирования.

16 ^ „ g 6 1 7

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Коварцева М.А., Новиченкова И.Ю. Исследование методических погрешностей результатов измерений вероятностных характеристик НВР с помощью имитационного моделирования // Тез. докл. XXV Самарской областной студ. науч. конф. Часть I. - Самара, 1999. - С. 111-112.

2. Коварцева М.А. Аппроксимация корреляционных функций параметрическими моделями // Тез. докл. Всероссийской студ. науч. конф. "V Королевские чтения". - Самара, 1999. - С. 143.

3. Прохоров С.А., Кудрина М.А., Новиченкова И.Ю., Шевченко Д.В. Автоматизированная учебно-исследовательская система аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа // Сборник научных трудов, посвященных 25-летию факультета информатики "Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении".-Самара, 2001.-С. 142-156.

4. Кудрина М.А., Кудрин КА. Исследование сходимости методов аппроксимации корреляционных функций параметрическими моделями // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. ак. СП. Королева. Серия: Актуальные проблемы радиоэлектроники. Выпуск 5. - Самара, 2001. -С. 85-91.

5. Кудрина М.А., Шевченко Д.В. Автоматизированная учебно-исследовательская система аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа // Тез. дочл XXVII Самарской областной студ. науч. конф. Часть I. - Самара, 2001. - С. 171.

6. Кудрина М.А., Кудрин К.А., Новиченкова И.Ю. Учебно-исследорательская система анализа вероятностных характеристик случайных процессов // Сборник трудов Всероссийской научно-методической конференции "Теория и методика непрерывного профессионального образования" Том 1. - Тольятти, 2002. - С. i 77-179.

7. Коварцев А.К, Кудрина М.А. Проблема оценки надежности программных комплексов // Надежность и качество 2002: Труды межд. симпозиума. Пенза, 2002, С. 139-143.

8. Прохоров С.А., Кудрина М.А., Кудрин К.А. Автоматизированная система аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа // Вестник СГАУ №1(5) Самарский государственный аэрокосмический университет. - Самара, 2004.

9. Кудрина М.А. Информационное обеспечение автоматизированной системы аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. ак. СП. Королева. Серия: Актуальные проблемы радиоэлектроники. Выпуск 9. -Самара, 2004. - С.60-66.

Подписано в печать 23 04.04 г. Формат 60x84 '/16

Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Отпечатано с готовых оригинал-макетов в типографии СГАУ.

Перечень условных обозначений и сокращений.

Введение.

1 Сравнительный анализ методов аппроксимации корреляционных функций и спектральных плотностей мощности

1.1 Основные понятия и определения.

1.1.1 Оценка корреляционной функции.

1.1.2 Идентификация корреляционных функций.

1.2 Классификация методов аппроксимации корреляционных функций параметрическими моделями.

1.3 Аппроксимация корреляционных функций функциями заданного вида.

1.4 Аппроксимация корреляционных функций ортогональными функциями и полиномами.;.

1.4.1 Аппроксимация корреляционных функций ортогональными функциями Лагерра.

1.5 Аппроксимация спектральных плотностей мощности параметрическими моделями.

1.5.1 Аппроксимация спектральных плотностей мощности функциями заданного вида.

1.5.2 Аппроксимация спектральных плотностей мощности ортогональными функциями Лагерра.

1.6 Оценка корреляционно- спектральных характеристик по параметрам аппроксимирующей модели.

1.6.1 Оценка обобщенных корреляционных характеристик.

1.6.2 Оценка обобщенных спектральных характеристик.

1.7 Обзор существующих пакетов статистической обработки данных.

Всесторонний анализ первичной экспериментальной информации является эффективным средством поиска решений для объектов различной случайной природы и практически неограниченной сложности, а если исследуемый объект не имеет полного математического описания, то экспериментальная информация становится единственным источником получения важных параметров исследуемого объекта.

Вопросам обработки информации большое внимание уделялось в статьях советских и зарубежных ученых: Пугачева B.C., Солодовникова В.В., Чеголина П.М., Мирского Г.Я., Синицына Б.С., Ланге Ф., Себастиана Г.

На практике при исследовании явлений, описываемых стационарными случайными процессами (СП), наиболее часто представляют интерес корреляционные и спектральные характеристики исследуемых СП. Знание корреляционной функции (КФ) СП позволяет решать задачи идентификации динамических систем, выбирать оптимальный интервал дискретизации исследуемого процесса, оценивать погрешности средств измерений и т.д.

Одним из способов определения корреляционной функции СП по экспериментальным данным является ее аппроксимация аналитическими выражениями в соответствии с выбранным критерием приближения и спецификой решаемой задачи. Знание модели КФ и численных значений её параметров позволяет легко вычислить интервалы корреляции, моменты корреляционных функций, спектральную плотность мощности, а также позволяет существенно сократить объём хранимой информации о корреляционной функции. Благодаря наличию аналитической связи между корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности, вопросы их аппроксимации оказываются взаимосвязанными.

Большой вклад в развитие аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа внесли такие ученые как Горбацевич Е.Д., Дедус Ф.Ф., Лившиц H.A., Мирский Г.Я., Прохоров С.А., Романенко А.Ф., Сергеев Г.А., Чеголин П.М. и другие. Данной проблеме также посвящены труды таких зарубежных исследователей как Бэттин Р.Г., Лампард Д.Л., Лэннинг Дж. X. и других.

Анализ современных математических и статистических систем (таких, как Statistica, SPSS, Mathcad, MatLab и т.п.) показал, что данные системы обладают широким диапазоном статистических методов, но, в большинстве своем, требуют дополнительной настройки или программирования для решения отдельных задач аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа. В целом же, отсутствуют программные средства, которые позволяли бы в одном пакете программ решать задачи моделирования СП с заданным видом корреляционной функции, первичной статистической обработки СП и идентификации СП по виду КФ с дальнейшей аппроксимацией КФ и спектральной плотности мощности. Хотя потребность в таких средствах существует.

До сих пор имеются недостаточно исследованные области корреляционно-спектрального анализа. Например, отсутствует информация относительно того, каким образом отличие закона распределения СП от нормального влияет на погрешность оценки корреляционной функции и погрешность аппроксимации КФ. Нет данных относительно сходимости различных численных методов при аппроксимации корреляционных функций функциями заданного вида.

Таким образом, в рамках создания специализированного комплекса программ актуальны задачи исследования методических погрешностей методов аппроксимации КФ, автоматизации процессов первичной статистической обработки СП, идентификации СП по виду КФ, аппроксимации КФ и спектральной плотности мощности СП.

Целью диссертационной работы является разработка программного комплекса аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов параметрическими моделями, автоматизирующего процессы анализа СП.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи исследования:

• анализ современных методов аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик СП;

• исследование сходимости и методических погрешностей методов аппроксимации КФ с целью выбора наиболее эффективного численного метода нахождения параметров модели;

• анализ методических погрешностей оценки КФ и аппроксимации КФ негауссовских случайных процессов для обоснования допустимого объема выборки случайного процесса;

• разработка специализированного программного комплекса, позволяющего производить моделирование СП с заданным видом КФ, оценку вероятностных характеристик СП, идентификацию СП по виду КФ, а также аппроксимировать КФ и спектральные плотности мощности СП;

• проведение экспериментов по обработке реальных данных с целью апробации комплекса программ.

В ходе работы были получены результаты, имеющие практическую ценность:

1. Разработан специализированный комплекс программ для моделирования, идентификации и аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик СП параметрическими моделями.

2. Предложены рекомендации по выбору метода аппроксимации корреляционных функций СП, в зависимости от вида оценки КФ, а также объема выборки для достижения заданной точности аппроксимации КФ негауссовских СП.

Разработанный программный комплекс аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов внедрен в Самарском центре стандартизации, метрологии и сертификации, в Институте акустики машин Самарского государственного аэрокосмического университета, а также в учебном процессе кафедры информационных систем и технологий Самарского государственного аэрокосмического университета при подготовке студентов 2-4 курсов по специальности 230102 для выполнения лабораторных, курсовых работ и дипломного проектирования.

Основные результаты работы

1. Сравнительный анализ современных методов аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик показал, что в настоящий момент недостаточно исследована устойчивость сходимости методов аппроксимации корреляционных функций функциями заданного вида, существует необходимость в исследовании погрешностей оценки и аппроксимации корреляционных функций негауссовских случайных процессов. А также отсутствуют автоматизированные программные средства, позволяющие в едином информационном пространстве без дополнительного программирования производить моделирование СП с заданным видом КФ, оценку вероятностных характеристик СП, идентификацию СП по виду корреляционной функции, а также аппроксимировать КФ и спектральные плотности мощности.

2. Исследована устойчивость сходимости метода Ньютона и метода деформируемого многогранника при варьировании начальных приближений, примененных для аппроксимации корреляционных функций функциями заданного вида. Предложены рекомендации по выбору того или иного метода аппроксимации КФ, в зависимости от вида КФ.

3. Проведен анализ методических погрешностей аппроксимации корреляционных функций функциями заданного вида и ортогональными функциями Лагерра.

4. Разработана методика формирования негауссовского нормированного СП с заданными значениями коэффициентов асимметрии и эксцесса.

5. Предложен обобщенный критерий оценки отличия закона распределения негауссовского нормированного СП от гауссовского СП.

6. Проведено обоснование существования области допустимых значений коэффициентов асимметрии и эксцесса у негауссовских нормированных СП для данного класса нелинейных преобразований.

7. Разработана методика и проведен анализ методических погрешностей оценки КФ и аппроксимации КФ негауссовских СП.

8. Разработана автоматизированная система аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа, позволяющая производить моделирование СП с заданным видом КФ, оценку вероятностных характеристик СП, идентификацию СП по виду корреляционной функции, а также аппроксимировать КФ и спектральные плотности мощности СП функциями заданного вида и ортогональными функциями Лагерра.

9. Разработанное информационное обеспечение внедрено в Самарском центре стандартизации, метрологии и сертификации, в Институте акустики машин Самарского государственного аэрокосмического университета, а также в учебном процессе СГАУ при подготовке студентов 2-4 курсов по специальности 230102 для выполнения лабораторных, курсовых работ и дипломного проектирования, а также в научно-исследовательской работе студентов.

1. Айвазян С. А. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное изд./ С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. М.: Финансы и статистика, 1983. - 471 с.

2. Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения: Учеб. пособие для студ. втузов / Е.С. Вентцель, JI.A. Овчаров. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Издательский центр "Академия", 2003. - 432 с.

3. Венцелъ Е.С. Теория вероятностей. М.: Физматгиз, 1962. - 576 с.

4. Вишнякова H.H., Геранин В.А. Труды X Всесоюзного симпозиума "Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей". Л., ВНИИЭП, 1978, т. I

5. Волгин В.В., Саков И.А. Труды VI Всесоюзного симпозиума "Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей". Л., ВНИИЭП, 1973, т. IV.

6. Волков ИЖ, Прохоров С.А., Батищев В.И. Методы и аппаратура для аппроксимативной оценки корреляционных характеристик с применением функций Лагерра. Куйбышев, КПТИ, 1977. - 55 с.

7. Галушкин А.И., Затов Ю.Я., Шикунов Ю.А. Оперативная обработка экспериментальной информации. М.: Энергия, 1972. - 360 с.

8. Горбацевич Е.Д. Коррелометры с аппроксимацией. — М.: "Энергия", 1971.-125 с.

9. Картузов A.B. Программирование на языке JAVA. Справочное руководство (e-book).18 .Коварцев А.Н. Автоматизация разработки и тестирования программных средств // Самар. гос аэрокосм. ун-т. Самара, 1999. 150 с.

10. Кудрина М.А., Шевченко Д.В. Автоматизированная учебно-исследовательская система аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа // Тез. докл. XXVII Самарской областной студ. науч. конф. Часть I. Самара, 2001. - С. 171.

11. Кузъмик П.К., Маничев В.П. Автоматизация функционального проектирования. // САПР, кн. 5, М.: Высш. шк., 1986. 144 с.

12. Кулаичев А.П. Полное собрание сочинений в трех томах. Том 1. Методы и средства анализа данных в среде Windows. STADIA. Изд. 3е, перераб. и доп. -М.: Информатика и компьютеры, 1999. 341 е., ил.

13. Маслов В.Г., Кузъмичев B.C., Коварцев B.C., Григорьев В.А. Теория и методы начальных этапов проектирования авиационных ГТД. // Учебн. пособие, Самар. гос. аэрокосм, ун-т, Самара, 1996. 147 с.

14. Методы нормирования метрологических характеристик, оценки и контроля характеристик погрешностей средств статистических измерений. РТМ 25 139-74//Минприбор. 1974. -76 с.

15. Мидлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. М.: "Сов. Радио", 1961, т. 1.

16. ЪЪМирский Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. -М.: Энергия, 1972. 456 е., ил.

17. ЪАМирский Г.Я. Погрешности измерения корреляционных функций случайных процессов с различными распределениями вероятностей // Измерительная техника. -М. -1979. -№ 8. -С. 17-20.

18. ЪЪМирский Г.Я. Характеристика стохастической взаимосвязи и их измерения. М.: Энергоиздат, 1982. - 319 с.

19. Немировский A.C., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. -М.: Наука, 1979. 384 с.

20. AI.Прохоров С.А. Исследование и разработка методов и аппаратуры для аппроксимации корреляционных функций функциями заданного вида.- Дис. к.т.н. Куйбышев, 1974. - 126 с.

21. Прохоров С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов/Самарский государственный аэрокосмический университет, 2001.-329 с.

22. A3.Прохоров С.А. Моделирование и анализ случайных процессов. Лабораторный практикум. 2-е изд., перераб. и доп./ СНЦ РАН, 2002.- 277 е., ил.

23. Тихомиров Ю.В. MS SQL Server 2000: разработка приложений. СПб.: БХВ Петербург, 2000. - 368 е., ил.

24. Тунаков А.П. Классификация математических моделей ГТД. // Изв. вузов. Авиационная техника. 1986. -№4. с.99-101; №1. с.116-117.

25. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере / Под. ред. В.Э. Фигурнова. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2003. -544с., ил.

26. ФиларетовГ.Ф. Труды X Всесоюзного симпозиума "Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей". Л., ВНИИЭП, 1978, т. I55 .Цветков Э.И. Основы статистических измерений. Л.: Энергоатомиздат, 1986. — 256 с.

27. Цветков Э.И. Основы теории статистических измерений. 2-е изд., перераб. и доп. - Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отделение, 1982. -256с.

28. Akselrod S, Gordon D, TJbel F A et al Power spectrum analysis of heart rate fluctuation: a quantitative probe of beat to beat cardiovascular control. Science 1981; 213: 220-222.

29. Bigger IT, Fleiss JL, Steinman RC et al Frequency domain measures of heart period variability and mortality after myocardial infarction. Circulation 1992; 85: 167-71.

30. Lampard D.G. A new Method of determining Correlation Function Stationary Time Series. "Proceedings of the Institution of Electrical Engineers", vol. 102, part C. March, 199, London, №1.

31. Prokhorov S.A. Manual for the simulation of random processes and systems. Zagreb, 1980. - 62 p.