автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное решение задач тензорной и эмиссионной томографии

Введение

Глава 1. ^4-аналитические функции и задачи томографии

Введение

§ 1. Комплексная интерпретация уравнения переноса.

§ 2. Формула Коши в полярной системе координат, оценка скорости сходимости проекционного метода.

§ 3. Численные примеры.

§ 4. Сингулярное и полярное разложения оператора в гильбертовом пространстве

Глава 2. Формула обращения веерного преобразования Радона с поглощением в круге

Введение.

§ 1. Формулировка задачи

§ 2. Веерное преобразование.

§ 3. Формула обращения

§ 4. Численная реализация.

Глава 3. Сингулярное разложение веерного преобразования Радона тензорных полей в круге

Введение

§ 1. Постановка задачи и метод ее решения

§ 2. Тензорные поля в комплексных координатах.

§ 3. Полиномы Цернике.

§ 4. Построение ортогональных полиномиальных базисных тензорных полей в круге

§ 5. Численные эксперименты.

Как известно, термин "томография" происходит от греческого корня гороа — слой, сечение, срез. Его появление связано с тем, что в различных областях науки, медицины и техники удобно восстанавливать изображение неоднородного трехмерного объекта послойно.

Теоретические предпосылки классической рентгеновской томографии были заложены около ста лет назад: в 1895 году Рентген открыл так называемые Х-лучи, оказавшиеся впоследствии электромагнитным излучением с длинами волн от 1СГ2 до 10 нм., и сделал впервые рентгеновский снимок руки своей жены. В 1917 году Радон рассмотрел задачу восстановления функции в пространстве по интегралам от этой функции по всевозможным гиперплоскостям и получил для этой задачи явную формулу обращения.

Только к середине семидесятых годов эти два замечательных открытия соединились в прибор, названный рентгеновским томографом. За его разработку английский инженер Хаунсфилд и американский математик Кормак в 1979 году получили Нобелевскую премию по медицине.

В настоящее время термин "томография" порой просто означает решение той или иной задачи неразрушающего контроля или обратной задачи возникающей в приложениях: сейсмическая томография — получение "изображений" земных недр; электро-импеданс-пая томография — восстановление проводимости тела на основе измерения отображения Л7, дающего по входному напряжению его поток на границе:

Шу(7(Я)УМ) = 0, ПеГ, и / — заданный потенциал, оа ди — измеренный поток, ди эп

Л7 : / ь-> 7

7(х) — искомая проводимость; ультразвуковая томография в медицине и т.д.

В данной работе мы используем термин томография в более узком смысле, понимая под ним задачи интегральной геометрии, возникающие в приложениях. Задача интегральной геометрии состоит (см. [ССУбЗ]) в отыскании неизвестной функции (вещественной / комплексной / векторной / тензорной), заданной на многообразии Г2 размерности п (сИтГ2 = п) из функционального пространства V (например, и = Со°(П)) по интегралам ис13х = /(Л), М{>) где М{ А) е П™ заданное семейство подмногообразий, зависящих от параметра А е Q, a б/бд — мера, заданная на М\, зависящая в общем случае тоже от Л. Предполагается, что dim > dimi) > dimM(A) = т. Обычно рассматривают случаи 0 < dimM < dimf2, однако вырожденные случаи dimM = dimfi и dimM = 0 тоже могут представлять интерес. Для приложений в основном рассматривают случаи dimM = dimf2 — 1 или dimM = 1. Рассмотрим простейший одномерный пример.

Пример. Q = (О, Т) = Q, А = х, М(х) = (0, я). Мера задана с весом: dSx = V(x,y)dy. Задача определения функции и(х), заданной на Q, по ее интегралам по всевозможным отрезкам М{х) = (0, х) записывается в виде уравнения Вольтерра первого рода:

Таким образом, дифференцированием данная задача сводится к уравнению Вольтерра второго рода, которое всегда имеет единственное решение. Иногда М(А) = М(А, и) и dS\ = dS\^u, тогда задача становится нелинейной.

Примеры многомерных задач интегральной геометрии:

• Задача Функа. Найти функцию /, заданную на сфере, если известны интегралы по всевозможным "экваториальным" сечениям. Понятно, что функцию / можно определить только в классе четных функций, т.к. для нечетных функций все такие интегралы будут нулевыми.

• Задача Радона. Определить функцию /, заданную в n-мерном пространстве по значениям интегралов от этой функции по всевозможным гиперплоскостям.

• Задача Адамара. Определить функцию в полупространстве по значениям интегралов на семействе полусфер, центры которых пробегают границу полупространства.

• Задача Джона. Ищется функция в n-мерном пространстве по ее интегралам по всевозможным единичным (п— 1)-мерным сферам с центрами в п-мерном пространстве.

Задачи интегральной геометрии, связанные с теорией представлений групп Ли, исследовались в работах И. М. Гельфанда, М. Н. Граева, Н. Я. Виленкина, С. Г. Гин-дикина (см. [GGV62, GGG00]).

Задачи интегральной геометрии, связанные с обратными задачами математической физики, стали рассматриваться в работах М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, Ю. Е. Аниконова и их последователей с середины 60-х годов (см. [Ашг8б, Ani78, Ani83, Ani90, Ani98, AR79, AR82, BAL88, BG78, BL73, LRSh80, LS91, Gol95] и указанную там литературу).

Несколько позже, в работах X. К. Абена [Abn75], В. Д. Зимина и В. И. Шахудри-на [ZSh87], В. А. Шарафутдинова [Sha93, Sha94, Sha95, Sha96] и Л. Н. Пестова [PSh88], Е. Ю. Деревцова [Der96] и других авторов, стали рассматриваться задачи тензорной томографии.

Если Vx{x,y) Е Loo (о, Г), V{x,x) = 1, то

1 Н- V')u = и(х) + /' V'(x, y)u(y)dy = f'(x). rx jo

Первый результат по глобальной единственности двумерных задач интегральной геометрии общего вида был получен Р. Г. Мухометовым [Muh77] методом энергетических оценок. Впоследствии, эти результаты были обобщены на многомерный случай в работах В. Г. Романова [Rom78], Р. Г. Мухометова [Muh81], Н. Н. Берн-штейна и М. JI. Гервера [BG78], В. А. Шарафутдинова и JL Н. Пестова [Sha95, PSh88] и других авторов.

Применительно к двумерной задаче эмиссионной томографии, метод Мухометова гарантирует единственность решения только при достаточно малом коэффициенте поглощения (i(x), см. [Fin86j. Более того, если функция ц = ц(х,ш) зависит еще и от направления ш, то имеются примеры неединственности, построенные Боманом [ВотЭЗ].

Для гладких /х, зависящих только от х € М2, глобальная единственность и формула обращения были получены А. Л. Бухгеймом и С. Г. Казанцевым на основе теории А-аналитических функций, см. [АВК98]. Другие подходы к решению этой задачи предложены Ю. Е. Аниконовым [Ani98] и Р. Г. Новиковым [NovOO, Nov02], Основы теории А-аналитических функций и ее связь с задачами томографии изложены в работах [ВК90, BAL88, LS91, Kaz97, Sol91].

В настоящей диссертации численно решаются двумерные задачи эмиссионной и тензорной томографии. Идейной основой для нас послужила теория А-аналити-ческих функций, хотя она формально и не используется в основных 2 и 3 главах. Взаимосвязь методов из глав 2, 3 с А-аналитическими функциями обсуждается в главе 1. В ней также приводятся необходимые нам в дальнейшем вспомогательные факты.

В работе [АВК98] формула обращения задачи эмиссионной томографии в веерной постановке была получена с помощью формулы Коши для А-аналитических функций в терминах коэффициентов Фурье измеряемой функции. Численная реализация этой формулы для ¡j, = 0 приводится в главе 1 настоящей диссертации. В главе 2 мы получаем другую формулу обращения непосредственно в терминах исходной функции для произвольного fi € С2 и приводим численный алгоритм решения этой задачи. В главе 3 мы получаем сингулярное разложение тензорной задачи Радона в веерной постановке и приводим численную реализацию полученных алгоритмов. Более подробно эти задачи описываются во введении к главам 2 и 3.

По поводу других методов исследования обратных задач для уравнения переноса см. [Klim90, Isa95, POVOO, АКР95, АКРОО, КВ95, VG84, Mch64, Grn91, ChS99] и цитированную там литературу. Прикладные и вычислительные аспекты широкого круга томографических задач рассмотрены в [РР82, РР87].

Все описываемые в диссертации формулы обращения программно реализованы в системе Windows. Пользовательский интерфейс реализован на С++, а математические процедуры — на С и на Ассемблере х86 [RovdOO], В численных примерах если не оговорено обратное, то предполагается, что восстановление происходит без внесения помех в измеренные данные. Под термином "поглощение" в диссертации понимается коэффициент полного взаимодействия или ослабления, состоящий из рассеяния и самого поглощения. В каждой главе используется независимая нумерация формул.

Результаты диссертации опубликованы в работах [ВК01, ВК02, ВК02а, ВК021, BK02t, BK02v],

Заключение

Проведенные в работе исследования имеют следующие продолжения:

• реализация формулы обращения для эмиссионной томографии на основе формулы Коши для ^-аналитических функций. В первой главе был реализован только случай без поглощения. Во второй главе формула обращения для эмиссионной томографии была получена в терминах самой функции (синограммы), а не ее коэффициентов Фурье. Было бы интересно реализовать формулу обращения в терминах коэффициентов Фурье и сравнить с уже имеющейся;

• продолжение работ по изучению векторного случая эмиссионной томографии (в диссертации были представлены первые результаты восстановления векторных полей, однако все они были сделаны при постоянном поглощении);

• реализация формулы обращения для преобразования Радона для тензорных полей ранга > 1;

• также перспективным направлением в эмиссионной томографии является получение формул обращения для определения одновременно двух коэффициентов: поглощения и источников без какой-либо дополнительной информации.

Данная диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке гранта ЕС 1ЭТ-1999-29034.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору В. Н. Белых за постоянное внимание и поддержку в работе, а также к.ф.-м.н. С. Г. Казанцеву за плодотворное сотрудничество.

1. Abn75. Абен X. К. Интегральная фотоупругость. Таллин: Валгус, 1975. 218 стр.

2. АКРОО. Аниконов Д. С., Ковтанюк А. Е., Прохоров .И. В. Использование уравнения переноса в томографии. Москва: Логос, 2000. 224 стр.

3. Amr86. Амиров A. X. Теоремы существования и единственности решения одной обратной задачи для уравнения переноса // Сибирский Математический Журнал, 1986, том 27, №6, стр. 3-20.

4. Ani78. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 118 стр.

5. Ani83. Аниконов Ю. Е. О классах единственности решения задач интегральной геометрии. // Сборник научных трудов: Методы исследования некорректных задач математической физики, Новосибирск, 1983. стр. 16-17.

6. Ani90. Аниконов Ю. Е., Пестов Л. Н. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1990. 64 стр.

7. Ani98. Anikonov Yu. Е. Several results of multidimensional inverse problems theory // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. Vol 6. pp. 1-21.

8. AR79. Аниконов Ю. E., Романов Б. P. Об однозначности определения формы первого порядка по ее интегралам по геодезическим // Сборник: Некорректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск, 1979. стр. 22-27.

9. AR82. Аниконов Ю. Е., Романов В. Р. Некоторые задачи интегральной геометрии и кинематики. // Сборник научных трудов: Вопросы корректности обратных задач математической физики, Новосибирск, 1982. стр. 30-36.

10. BAL88. Бухгейм A, JI. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988. 184 стр.

11. ВаЬ86. Бабенко К. И. Основы численного анализа. Москва: Наука, 1986. 744 стр.

12. Ве187. Белых В. Н. Алгоритмы без насыщения в осесимметричных краевых задачах // Докл. АН СССР. 1987. том 295, №5, стр. 1037-1041.

13. BG78. Бернгитейн Н. Н., Гервер M.JI. О задаче интегральной геометрии для семейства геодезических и об обратной кинематической задаче сейсмики // Доклады АН СССР, 1978, том 243, №2, стр. 302-305.

14. ВН91. Braun Н., Наиск A. Tomographic reconstruction of vector fields // IEEE Trans action on Processing. 1991. V. 39, N 2. P. 464-471.

15. BK01. Бухгейм А. А., Казанцев С. Г. Сингулярное разложение веерного преобразования Радона тензорных полей в круге. // Препринт РАН. Сиб. отд-ние. №86. Новосибирск: Издательство Института Математики, октябрь, 2001. 34 стр.

16. ВК02. Бухгейм А. А., Казанцев С. Г. Формула обращения веерного преобразования Радона с поглощением для единичного круга // Препринт РАН. Сиб. отд-ние. №99. Новосибирск: Издательство Института Математики, август, 2002. 34 стр.

17. BK021. Bukhgeim A. A., Kazantsev S. G. Numerical methods in 2D tensor and emission tomography // Abstracts of the International Conference "Ill-posed and Inverse problems" held on August 5-9 at Novosibirsk, Russia, 2002. pp. 41-42.

18. BK02t. Bukhgeim A. A., Kazantsev S. G. Tensor and emission tomography problems on the plane // Abstracts of the First International Conference "Inverse problems: Modeling and Simulation" held on July 14-21 at Fethiye, Turkey, 2002. pp. 44-45.

19. BK90. Бухгейм А. Л., Казанцев С. Г. Эллиптические системы типа Бельтрами и задачи томографии // Докл. АН СССР. 1990. том 315, №1, стр. 15-19.

20. BL73. Бухгейм А. Л., Лаврентьев М. М. Об одном классе операторных уравнений первого рода. // Функциональный анализ и его приложения, вып. 4, №7, 1973, стр. 44-53.

21. Вош93. J. Вотап An example of non-uniqueness for a generalized radon transform. — Journal D'Analyze Mathematique, 1993, 61, c. 395-401.

22. Bron99. Bronnikov A. V. Numerical solutions of identification problems for the attenuated Radon transform // Inverse Problems. 1999. Vol. 15. pp. 1315-1324.

23. BW88. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. M.: Наука, 1988.

24. CGLT79. Censor Y., Gustafson D. E., Lent A., Tuy H. A new approach to the emission computerized tomography problem: simultaneous calculation of attenuation and activity coefficients // IEEE Trans. Nuclear Sci. 1979. Vol. 41, No. 4. pp. 1594-1600.

25. ChS99. Choulli M., Stefanov P. An inverse boundary value problem for the stationary transport equation 11 Osaka J. Math. 1999. Vol. 36, No. 1. pp. 75-92.

26. СогтбЗ. Cormack A. M. Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications //J. Appl. Physics. 1963. No. 34. pp. 2722-2727.

27. Der96. Деревцов E. Ю. Приближенный метод решения задачи реконструкции тензорного поля по его лучевому преобразованию // Математические проблемы экологии 1996. С. 22-32.

28. Di99. Dicken V. Simultaneous activity and attenuation reconstruction in emission tomo graphy // Inverse Problems. 1999. Vol. 15. pp. 931-960.

29. DKOO. Деревцов E. Ю., Кашина И. Г. Приближенное решение задачи векторной томографии с помощью полиномиальных базисов. Новосибирск, 2000. (Препринт/ РАН. Сиб. отд-ние. Институт математики; N 74, 2000) .

30. DLOO. Dautray R., Lions J.- L. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. V.3. Spectral Theory and Applications. Springer, 2000.

31. Fin86. Finch, D. Uniqueness for the X-ray transform in the physical range. // Inverse problems. 1986. Vol. 29. pp. 197-203.

32. GGGOO. Гельфанд И. M., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии. Москва: Добросвет, 2000. 208 стр.

33. GGV62. И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Н.Я. Виленкин, Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. — Москва: Физматгиз, 1962.

34. Gol95. Goldin S. V. Ray reflection tomography: review and comments. // Proceedings of the fourth international symposium "Computerized Tomography", Novosibirsk, Russia. The Netherlands: VSP, 1995, pp. 169-187.

35. GR63j Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Гос. изд.-во физ.-мат. лит.-ры, 1963. 1100 стр.

36. Grn91. Грынъ В. И. О совместном восстановлении коэффициента поглощения и функции источников для уравнения стационарного переноса излучения в!3 // Докл. АН СССР. 1991. том 319, №4, стр. 849-853.

37. GZC95. Gullberg G. Т., Zeng G. L., Clack R. Inverse problem in single photon emission computed tomography // Proceedings of the fourth international symposium "Computerized Tomography", Novosibirsk, Russia. The Netherlands: VSP, 1995, pp. 201-217.

38. Halm70. Халмош П. Р. Гильбертово пространство в задачах. Москва: Мир, 1970. 352 стр.

39. Негш80. Herman G. Т. Image Reconstruction from Projections, the Fundamentals of Computerized Tomography. Academic Press, New-York, 1980.

40. Kaz97. Kazantsev S. G. Generalized Л-analytic functions in tomography problems // Doklady Akademii Nauk. 1997. Vol. 356, No. 4 (Oct), pp. 449-451.

41. Klim90. Клименко О. А. Численное решение задачи интегральной геометрии с экспоненциальным весом. // Сборник научных трудов: Методы решения обратных задач, Новосибирск, 1990, стр. 72-79.

42. KS94. Kuchment P., Shneiberg I. Some inversion formulae in the single photon emission computed tomography If Appl. Anal. 1994. Vol. 53. pp. 221-231.

43. Sh80. Лаврентьев M. M., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Москва: Наука, 1980. 286 стр.

44. М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев, Линейные операторы и некорректные задачи. — Новосибирск: Наука, 1991.

45. Mar74. Marr R. В. On the Reconstruction of a Function on a Circular Domain from a Sampling of its Line Integrals // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1974. Vol. 45, No. 2. pp. 357-374.

46. Mch64. Марчук Г. И. О постановке некоторых обратных задач // Докл. АН СССР. 1964. том 156, №, стр. 503-506.

47. Mas90. Maass P. Singular value decompositions for Radon transform // Mathematical Methods in Tomography. Springer-Verlag, 1990. pp. 6-14.

48. MNCBD99. Mennissier СN00 F., Clackdoyle R., Bal G., Desbat L. Attenuation correction in SPECT using consistency conditions for the exponential ray transform // Phys. Med. Biol. 1999. Vol. 44, No. 2. pp. 2483-2510.

49. Мог87. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. 240 с.

50. Muh77. Мухометов Р. Г. Задача восстановления двумерной римановой метрики и интегральная геометрия // Докл. АН СССР. 1977. том 296, №2, стр. 279-283.

51. Muh81. Мухометов Р. Г. Об одной задаче восстановления римановой метрики // Сибирский Математический Журнал, 1981, том 22, №3, стр. 119-135.

52. Nat86. Natterer F. The mathematics of Computerized Tomography, Teubner Verlag, Stuttgart, 1986.

53. NatOl. Natterer F. Inversion of the attenuated Radon transform // Inverse Problems. 2001. Vol. 17. pp. 113-119.

54. Nat90. Natterer F. An Inverse Problem for Transport Equation and Integral Geometry // Contemporary Mathematics. 1990. Vol. 113. pp. 221-231.

55. Natr90. Hammepep Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990.

56. Nor87. Norton S. J. Tomographic reconstruction of 2-D vector fields: application to flow imaging // J. of Geophysics. 1987. V. 97. P. 161-168.

57. NovOO. Novikov R. G. An inversion formula for the attenuated X-ray transformation. Preprint CNRS, UMR 6629, Departement of Mathematics, Universite de Nantes, 2000.

58. Nov02. Novikov R. G. On the range characterization for the two-dimensional attenuated X-ray transformation // Inverse Problems. 2002. Vol. 18. pp. 677-700.

59. NW01. Natterer F., Wubbeling F. Mathematical Methods in Image Reconstruction, Philadelphia: SIAM, 2001.

60. NWgOl. Noo F., Wagner J-M. Image reconstruction in 2D SPECT with 180° acquisition // Inverse Problems. 2001. Vol. 17. pp. 1357-1371.

61. POVOO. Prilepko A. 1., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, 2000. 710 стр.

62. PP82. Преображенский H. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибииск: Наука, 1982. 240 стр.

63. РР87. Пикалов В. В., Преображенский Н. Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. Новосибирск: Наука, 1987. 230 стр.

64. PR89. Praia A., Rusch W. V. Algorithm for computation of Zernike polynomials expansion coefficient // Applied Optics, 1989. Vol. 28, No. 4. pp. 749-754.

65. PSh88. Пестов Л. H., Шарафутдинов В. А. Интегральная геометрия тензорных полей на многообразии отрицательной кривизны // Сибирский Математический Журнал, 1988, том 29, т, стр. 114-130.

66. PTVF92. Press W. Н., Teukolsky S. A., Vetterhng W. Т., Flannery В. P. Numerical recipes in С (The art of scientific computing), second edition. Cambridge University Press, 1992. 996 pages.

67. Rom78. Романов В. Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной ри-мановой метрики. // Докл. АН СССР, 1978, том 242, №3. стр. 541-544.

68. Rom94. Romanov V. G. Conditional stability estimates for the two-dimensional problem of restoring the right-hand side and absorption in the transport equation // Simerian Mathematical Journal, 1994, Vol. 35, №6. pp. 1184-1201.

69. Rom96. Romanov V. G. A stability estimate in the problem of determining the dispersion index and relaxation for the transport equation // Siberin Mathematical Journal, 1996, Vol 37, m, pp. 308-324.

70. RovdOO. Ровдо А. А. Микропроцессоры от 8086 до Pentium III Xeon и AMD-K6-3. Москва: ДМК, 2000. 590 стр.

71. Sha93. В.А. Шарафутдинов, Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: Наука, 1993.

72. Sha94. Шарафутдинов В. А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса для рефрагирующей среды // Сибирский Математический Журнал, 1994, том 35, №4, стр. 937-945.

73. Sha95. Шарафутдинов В. А. Модифицированная горизонтальная производная и некоторые ее применения // Сибирский Математический Журнал, 1995, том 36, №3, стр. 664-700.

74. Sha96. Шарафутдинов В. А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса для гамильтоновой системы // Сибирский Математический Журнал, 1996, том 37, №1, стр. 211-235.

75. Sol91. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. Москва: Высшая школа, 1991. 208 стр.

76. Str97. Strahlen К. Exponential vector field tomography. In Alberto Dei Bimbo, editor, Lecture Notes in Computer Science, 1311: Image Analysis and Processing. 9Th International Conference, ICIAP'97, pp. 348-355. IAPR, Springer, 1997.

77. Sue88. Суетин П. К. Ортогональные многочлены по двум переменным. М.: Наука, 1988.

78. ТМ80. Tretiak О. J., Metz С. The exponential Radon transform // SI AM J. Appl. Math. 1980. Vol. 39. pp. 341-354.

79. Vek62. Vekua I. N. Generalized analytic function. Pergamon Press, London, 1962. Vek88] Векуа И. H. Тензорный анализ. М.: Наука, 1988.

80. VG84. Введенская Н. Д., Гиндикин С. Г. Формула Пуассона для преобразования Радона и численный алгоритм реконструкции изображения //Докл. АН СССР, 1984, том 279, №4, стр. 780-784.

81. WCNG97. Welch A., Clark R., Natterer F., Gullberg G. Т. Attenuation correction in SPECT without transmission measurements // IEEE Trans. Med. Imag. 1997. Vol. 16, No. 5. pp. 532-541.

82. Weyl40. Weyl H. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Math. J. 1940. V.7. P. 411-444. Рус. пер.: Метод ортогональной проекции в теории потенциала // Вейль Г. Избранные труды. М.: Наука, 1984. С. 275-307.

83. ZSh87. Зимин В. Д., Шахурдин В. И. Соотношения для теневых и интерференционных методов исследования напряженно-деформируемого состояния твердых тел // Журнал "Прикладная механика", 1987, том 14, №5, стр. 25-29.