автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Тензорный метод расчета сложных систем (на примере балансового планирования)

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕНЗОРНОГО МЕТОДА РАСЧЕТА

СЛОЖНЫХ СИСТЕМ.

1.1. Общая характеристика задачи расчета и проектирования сложных систем.

1.2. Постановка, методы решения и область применения задачи балансового планирования.

1.3. Общая характеристика тензорного метода расчета сложных систем.

1.4. Особенности применения тензорного метода для расчета задач балансового планирования.

Выводы по главе 1.

Глава 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО МЕТОДА РАСЧЕТА

СЛОЖНЫХ СИСТЕМ.

2.1. Теоретические основы тензорного анализа сетей эталонной системы тензорного метода

2.2. Вывод тензорной формулы преобразования напряжения с помощью суммарной инвариантности мощности относительно преобразования структуры сетей.

2.3. Приведение уравнений балансового планирования к тензорному виду.

2.4. Эквивалентная модель балансового планирования в виде электрической цепи.

2.5. Использование понятий напряжений в модели балансового планирования для расчета экономических воздействий в системе отраслей. S

Выводы по главе

Глава 3. ИНЖЕНЕРНЫЕ ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО МЕТОДА РАСЧЕТА

СЛОЖНЫХ СИСТЕМ.

3.1. Технология расчета сложных систем тензорным методом.

3.2. Разработка алгоритмического и программного обеспечения расчета тензорным методом электрических цепей (СИРТЕМ ЭС)

3.3. Разработка алгоритмического и программного обеспечения расчета балансового планирования тензорным методом с использованием диакоптики (СИРТЕМ БП)

Выводы по главе

Глава 4. РЕАЛИЗАЦИЯ, ВНЕДРЕНИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТМЬШЯ

ПРОВЕРКА РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ.

4.1. Методика реализации, внедрения и экспериментальной проверки

4.2. Программная реализация СИРТЕМ ЕП.

4.3. Программная реализация СИРТЕМ ЭС

4.4. Внедрение и экспериментальная проверка комплекса СЕТЬ.

4.5 Внедрение и экспериментальная проверка комплекса БАЛАНС на примере расчета межпродуктового баланса предприятий радиопромышленности

Выводы по главе

В "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года" определено, что необходимо, "обеспечить дальнейший: экономический прогресс общества,., глубокие качественные сдвиги в материально-технической: базе на основе ускорения научно-технического прогресса, интенсификации общественного производства, повышения его эффективности." [IJ •

Для повышения эффективности, ускорения научно-технического прогресса, возрастающую роль играют всё более сложные технические, экономические, физические системы, расчет и проектирование. которых: вырос в одну из новых и основных проблем современной: науки. К таким системам относятся крупные технические, экономические, проектные, информационно-вычислительные комплексы! охватывающие процессы и структуры в больших масштабах в, своей области, а также связь различных областей.

Из-за различия природы сложных: систем, единый подход к их расчету и проектированию на сегодня считается невозможным. Для каждой- новой системы: необходимо разрабатывать практически заново теорию, методы расчета и проектирования; соответствующее алгоритмическое, программное, информационное обеспечение. Это снижает эффективность- разработок, затрудняет применение полученных результатов в новых предметных: областях.

Особенно возрастает роль автоматизации, повышения- эффективности плановых расчетов,ориентированных на повышение качвства планирования и управления экономикой государства развитого социализма. Как известно, сложность задач управления экономикой растет быстрее, чем сама экономика С10, с.?] поэтому должны разрабатываться методы автоматизации управленческих : ; расчетов с применением ЭВМ. Для этого необходимо создать методы адекватного моделирования и расчета экономических систем. Особую роль при этом играют декомпозиционные методы, позволявшие расчленять сложную систему на более простые, доступные для анализа, с последувдим объединением результатов расчета в решение всей системы в целом.

Важнейшим инструментом управления экономической системой является балансовое планирование - составление и расчет балансов различного типа (материальных, стоимостных, объединенных материально-финансовых и других), которые составляются щ разных уровнях экономической системы (отраслей - межотраслевой баланс,, объединений, предприятий, отдельных производств).

Первый межотраслевой баланс был составлен ЦСУ СССР ПЗ] G 1925 г. Межотраслевой баланс представляет собой систему таблиц типа "аатраты-выпуск", характеризующих производство и распределение продукции, использование ресурсов (основных фондов* рабочей силы). Расчет такого баланса сводится к решению системы линейных уравнений. В последнее время наблкщается быстрый рост как числа отдельных отраслей (производств), определяющих число планируемых показателей, так, и в особенности, числа связей между ними (схемы взаимных поставок), достигающих миллионов и десятков миллионов. Расчет систем уравнений с таким числом переменных превышает возможности современной вычислительной техники.

Потребности практики заставляют обратиться к различным приближенным, оценочным методам расчета, использовать методы дезагрегации с привлечением экспертов при внесении коррекций в планы [10, с.Юб] . Эти меры вызваны, в основном, отсутствием соответствующих алгоритмических методов, особенно декомпозиционных , разработка которых становится все более актуальной.

Весьма актуальна также разработка единых методов расчета, обеспечивающих возможность декомпозиции, для сложных систем других типов. Существувдие методы расчета и проектирования сложных систем делятся на две большие группы: непрерывные и дискретные. К непрерывным относятся методы представления и расчета процессов, протекающих в сложных системах. В качестве основного математического аппарата используются дифференциальные уравнения. К дискретным относятся методы представления и изучения отруктуры связей между элементами системы. Основным математическим аппаратом является теория графов и её модификации, в многомерном виде рассматриваемые комбинаторной топологией.

На сегодняшний день нет формальной математической теории, объединяющей непрерывные и дискретные методы; нет и метода расчета, проектирования, который бы одновременно рассматривал и процессы (уравнения), и структуру (граф) сложной системы.

В настоящей работе для расчета сложных систем используется и развивается тензорный метод, инженерные, конструктивные черты которого позволяют сочетать достоинства непрерывных и дискретных методов в единое целое.

Тензорный метод, в виде тензорного анализа и тензорного исчисления был разработан в геометрии для непрерывных пространств. |1> с.45] • Тензорный метод был переработан Г.Кроном [15,16] применительно к техническим (первоначально электромеханическим [37] ) системам, соединенные элементы которых образуют структуру и в этой структуре протекают описываемые уравнениями процессы.

Этот подход основан на предположении, что различные системы, а также различные соединения элементов одной системы, представляют собой различные проявления некоторой абстрактной системы и рассматриваются как её проекции в частные системы координат. Это позволяет производить расчет одной (наиболее простой) системы, структуры, а для других, более сложных, получать результаты с помощью стандартных преобразований, типа преобразований координат, не повторяя всего процесса расчета заново. В качест

9 Ji ел* enroll ве пространства рассматривается структура соединенншМзистемы, в которой выбором замкнутых и разомкнутых путей задают системы координат. В качестве геометрических объектов рассматриваются измеряемые величины, характеризукщие параметры протекающих в системе процессов. В качестве инварианта преобразований - потоки измеряемой величины (например, поток энергии), проходящие через структуру системы.[16,Г7,35]. Таким образом, процессы и структура связываются воедино.

Роль простейшей системы координат для электромеханических систем играет обобщенная машина Крона [36,37]. Роль простейшей системы для электротехнических систем (цепей) играет примитивная сеть из отдельных ветвей сети Сгб]. Роль простейшей системы для различных других сложных систем играет электрическая цепь в случае линейных систем f 1б], а в более общих случаях - многомерная (полиэдральная) сеть [46-49].

Приведению сложной системы к простейшей "системе координат" соответствует построение эквивалентной модели в виде электрической цепи; последняя используется как своеобразная "эталонная система", для которой уже разработан стандартный метод расчета - тензорный анализ сетей LI67- Такие мо-дели были построены для уравнений математической физики С38-40,42], ядерного реактора [431, многоатомных молекул [41] , транспортной задачи линейного программирования С451, сложных физических структур расчета радиации [51]и др. Таким образом, тензорный метод успешно применялся как единый аппарат расчета весьма различных по своей природе сложных систем. Делались попытки его применения в области экономики.

В связи со сказанным выше, представляется актуальным применение тензорного метода для расчета задач балансового планирования экономических систем. На перспективность такого подхода указывалось в работе Авондо-Бодино [э,с.13б], который предлагал представить задачу 'межотраслевого баланса как задачу Дирихде-Неймана по определению потока в графе, где известны избытки для одних узлов, и потенциалы для других, и рассчитывать её средствами тензорного анализа сетей. Однако, необходимую для этого модель в виде электрической цепи Авон-до-Бодино не построил. Крон построил модель только для расчета по частям транспортной задачи [15, гл. 5-б], указав при этом на перспективность применения тензорного метода для расчета экономичесиких задач.

Представляется актуальным продолжить эти работы и распространить область применения тензорного метода на экономические системы, а также продолжить разработку математических основ самого метода.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка теоретических и инженерных основ, алгоритмического и программного обеспечения тензорного метода расчета сложных систем ; его применение для расчета задач балансового планирования в экономических системах.

Методы исследований. При проведении исследований применялись методы балансового планирования, тензорного анализа сетей, теории матриц и диакоптики.

Научная новизна работы состоит в том, что:

- разработана технология расчета сложных систем тензорным методом в виде последовательности этапов, выполнямых для различных предметных областей;

- обнаружена неизвестная ранее закономерность постоянства (инвариантности) мощности при преобразовании структуры взаимодвойственных электрических сетей, которая ранее постулировалась, что позволило получить более обоснованный вариант тензорного анализа сетей;

- разработана тензорная форма уравнений балансового планирования, на основании которой построена эквивалентная модель балансовой задачи в виде элешшческой цепи, в которой потоки продуктов представлены комбинациями контурных и узловых токов;

- показана возможность составления объединенного материально-финансового баланса на основе интерпретации генерируемых в модели напряжений как воздействий в экономике, пропорциональных распределению финансов;

- разработаны и реализованы алгоритмические и программные средства расчета по частям задач балансового планирования эконимических систем (программный комплекс БМАНС) и расчета электрических сетей со взаимнодвойственной структурой, контурным и узловым возбуждением, тензорным методом (программный комплекс СЕТЬ).

Содержание работы.^ссерталия состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 192 страницах машинописного текста, куда входит рисунков и таблиц - 42, список литературы из 55 наименований; кроме того имеется 5 приложений.

Во введении представлены актуальность, практическая и теоретическая важность работы : области и особенности применения тензорного метода для расчета сложных систем, в частности, для расчета балансового планирования в экономических системах.

В первой главе дается общая характеристика задачи расчета сложных систем. Рассмотрены постановка и области применения задач балансового планирования. Лдна общая характеристика тензорного метода, технологии его применения для расчета сложных систем (СИРТЕМ). Рассмотрена общая схема системы расчета тензрным методом балансового планирования (СИРТЕМ ЕЛ).

Во второй главе рассмотрены теоретические основы тензорного метода. Рассмотрены основы тензорного анализа сетей, играющих роль эталонной системы. Представлена обнаруженная неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при структурных преобразованиях взаимнодвойственных сетей, которая позволяет получить ковариантную формулу преобразования напряжения и создать более обоснованный вариант тензорного анализа сетей. Уравнения межотраслевого баланса приведены к тензорному виду и для такой тензорной математической модели построена эквивалентная модель в виде электрической цепи, в которой потоки продуктов представлены комбинациями контурных и узловых токов. Понятия напряжений на ветвях модели используются в качестве основы для расчета объединенного материально-финансового баланса.

В третьей главе подробно рассматривается технология в виде последовательности этапов применения тензорного метода для расчета сложных систем. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение для расчета тензорным методом электрических сетей (СИРТЕМ ЭС) и для расчета по частям задач балансового планирования. Действия с матрицами преобразования представлены операциями перекодировки элементов экономической матрицы.

В четвертой главе рассмотрена реализация разработанных методов в виде программных комплексов БМАНС и СЕТЬ, представлены результаты внедрения и экспериментальной проверки комплексов, полученные характеристики эффективности применения СИРТЕМ HL' Представлена результаты расчетов с помощью комплекса СЕТЬ, подтверждающие обнаруженную закономерность постоянства мощности.

В заключении перечислены основные результаты работы, выступления на семинарах и конференциях, список печатных работ по результатам диссертации.

Результаты численных экспериментов с программными комплексами БАЛАНС и СЕТЬ, а также документы, подтверждающие внедрение разработок, даны в приложениях.

Тема исследований непосредственно связана с темами координационного плана по проблеме "Техническая кибернетика" АН СССР: шифры 1.12.10.2г - теория машинного моделирования; 1.12.14.1а - моделирование экономических систем.

Основные положения и результаты диссертации докладывал ись на тринадцати конференциях и семинарах; опубликованы в двенадцати печатных работах.

На защиту выносятся: технология расчета сложных систем тензорным методом; тензорная форма уравнений балансового планирования и построенная на их основе эквивалентная модель задачи баланса в виде электрической сети; алгоритмическое и программное обеспечение расчета межотраслевого баланса по частям; результаты внедрения и экспериментальной проверки разработанных.методов; метод расчета пропорций материально-финансового баланса; неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при изменении структуры электрической сети.

Основные результаты опубликованы в следующих работах: I. Кузина И.В.,Петров А.Е. О тензорных методах построения языка базы данных. - В кн.: Банки данных для принятия решений.

-М.: ВДНТП им.Ф.Э.Дзержинского, 1976, е. 50-67.

2. Кузин Л.Т., Петров А.Е. Тензорные методы проектирования ИБД. - В кн.: Интеллектуальные банки информации. - Тбилиси,

1977, с. 43-45.

3. Кузин Л.Т., Петров А.Е. Реляционное и тензорное исчисления в задачах проектирования. - в кн.: Моделирование электроэнергетических систем. - Таллин; 1977, с. 15-16,

4. Кузин Л.Т., Кузина И.В., Петров А.Е. Тензорные методы построения банйов информации. - Там же, с. 16-17.

5. Кузин Л.Т.,Кузнецов П.Г., Петров А.Е. "Тензорный анализ сетей" Г.Крона и его роль в проектировании сложных систем.

В кн.: Г.Крон. Тензорный анализ сетей. - М.: Советское радио,

1978, с. 691-698.

6. Кузин Л.Т., Кузина И.В., Петров А.Е. Применение тензорных методов в ИБД. - В кн.: Интеллектуальные банки данных. -Ереван: ЕЖ, 1980, с. 10-12.

7. Петров А.Е.,Соколов В.Н. Применение яздка АЛЛ в тензорных методах ИБД. - там же, с. 49.

8. Петров А.Е. Тензоры и фреймы. - В кн.: Интеллектуальные банки данных . - Тбилиси: 1982, с. 21-23.

9. Петров А.Е. Тензорные методы проектирования систем балансового планирования. - Там же, с. 25-26.

10. Арменский,А.Е., Кузин Л.Т.,Петров А.Е. Тензорный метод проектирования интегрированных систем управления. - В кн.: Интегрированные системы управления. - М.: 1983, ЭДДНТП. - с.24-28.

11. Кузин Л.Т., Петров А.Е. и др. Тензорные банки данных. -Приборостроение, Изв. ВУЗов, т.ХШ, № 6, 1984. - с. 38-40.

12. Петров А.Е. Тензорный метод: расширение семантики предметной области. - В кн.: Интеллектуальные банки данных. -Нальчик, 1984. - с. 40 - 41.,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена применению и дальнейшей разработке тензорного метода расчета сложных систем, состоящего в применении методов расчета одной системы, выбранной в качестве эталона, при расчете других систем, представленных моделями в виде эталона, на основе совместного использования аналогий как их структур, так и процессов. Тензорный метод применяется на примере расчета экономической задачи балансового планирования, а также для расчета электротехнических систем.

1. Материалы ХШ съезда КПСС. - М.: Политиздат, 1981. -223 с.

2. Афанасьев В.Г. Общество: системность, познание, управление. М.: Политиздат, 1981. - 432 с.

3. Авондо-Бодино Дк. Применение в экономике теории графов.

4. М.: Прогресс, 1966. 160 с.

5. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука,1978. 400 с.

6. Брамеллер А., Аллан Р., Хэмэм Я. Слабозаполненные матрицы. М.: Энергия, 1979. - 192 с.

7. Веблен 0. Инварианты дифференциальных квадратичных форм.1. М.: ИЛ, 1948, 230 с.

8. Веблен 0., Уайтхед Дк. Основания дифференциальной геометрии. М.: ИЛ, 1949. - 230 с.

9. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: ИЛ,1964. 150 с.

10. Вершин В.Е. Законы энергодинамики при решении задач управления экономическими объектами. М.: Вопросы кибернетики, вып. 32, 1977.

11. Глушков В.М. Макроэкономические модели и принципы построения ОГАС. М.: Статистика, 1975. - 160 с.

12. Дадаян B.C. Экономико-математическое моделирование содаалистического воспроизводства. М.: Экономиздат, 1963. - 276 с.

13. Деннис Дж. Б. Математическое моделирование и электрическиецепи. М.: ИЛ, 1961. - 212 с. 13. Коссов В.В. Межотраслевой баланс. - М.: Экономика, 1966. -212 с.

14. Кузин Л.Т. Основы кибернетики, т. 2. Основы кибернетических моделей. М.: Энергия, 1979. - 584 с.

15. Крон Г. Исследование сложных систем по частям (диакоптика). М.: Наука, 1972. - 544 с.

16. Крон Г. Тензорный анализ сетей. М.: Советское радио,1978. 720 с.

17. Максвелл Дж.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. М.: БОТ, 1954. - 688 с.

18. Математическая энциклопедия / Гл.ред. И.М.Виноградов.

19. М.: Советская энциклопедия, т.4, Ок Сло, 1984. - 1216стб.

20. Немчинов B.C. Экономико-математические методы и модели.

21. М.: Соцэкгиз, 1962 . 320 с.

22. Петров А.Е. Тензоры и фреймы. В сб./ Интеллектуальныебанки данных. Тбилиси: 1982. - с. 21-23.

23. Петров А.Е. Тензорные методы проектирования систем балансового планирования. Там же, с. 25-26.

24. Петров А.Е. Тензорный метод: расширение семантики предметной области. В сб./ Интеллектуальные банки данных. -Нальчик, 1984. - с. 40-41.- 19026". Победря. Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.:МГУ,; 1974. -206 с,

25. Понтрягин Л.С. Основания, комбинаторной, топологии. М.:

26. Наука, 1976. 136 с. 28. Стинрод Н., Эйленберг 0.= Основания алгебраической топологии.- М.Физматгиз, 1958. 403 с.

27. Сухотин Б.В. Основа ые проблемы грамматики и семантики втензорном исчислении. В сб. / Проблемы структурной: лингвистики- 1976. - М.,:. Наука, 1978. - с. 234-288. 80. Тьюарсон Р.П. Разреженные матрицы. - М. Мир, 1977.

28. Форд Л.Р., Фалкерсон. Д.Р.Г Потоки, в сетях. М.: Мир, 1966.-276 с.

29. Хэпп. X. Диакоптика и электрические цепи. М.: Мир, 1974.- 344 с.

30. Fierstouh F.A. Anew analogy between mechanical and electricalsystems. J. Acoustic Soc.A.4. - 1933. - p. 249-267.

31. Happ H.H. (Editor). Gabriel Kron and System Theory. N.Y.: Union College press, 1973. - 172 p.

32. Hoffmann B. Power invariance. Matrix and Tensor Quart., 1957, v. Y11, no 1 . - p.2 - 12.

33. Kron G. Generalized Theory of Electrical Machinery. -AIEE Trans., v. 49, 1930. p. 666 - 683.

34. Kron G. Non-Riemmannian dynamics of rotating electrical machinary. J. of Mathematical Physics, v. X111, no 2, May 1934. - p. 103 - 195.

35. Kron G. Equivalent circuits of the field equation of Maxwell-1, Proc. IRE, v. 32, no 5, 1944. -p. 289-299.

36. Kron G. Equivalent cirquits of the elastic field. ASKE

37. Trans., дourn. of Appl. Ilech., v. 11 ,no 3, 1944. p. A-149 -A—1 61 .

38. Kron G. Electrical circuits models of ScHr<5dinger equation.

39. Pbys. Rew., v. 67, Ser. 2; no 1, 1945. p. 39- 43.

40. Kron G-. Equivalent circuits model off or the vibration spectrum of polyatomic molecules. Journ. of Chem. Phys.,v. 14, no 1, 1946. - p. 19 - 31.

41. Kron G. Electrical circuit models of partial differential equations. AIEE Trans. , Elect. Eng., v. 67, 1948. - p. 672- 684.

42. Kron G. Electrical circuit models of the nuclear reactor. -AIEE Trans., p.1, Com. & El., v. 73, 1954. p. 259 - 265.

43. Kron G. The analytical solution of complex phisicaJ structures.- Matrix and Tensor Quart. v. 5, no 4, 1955. - p. 115 - 120.

44. Kron G. Multiple substitution of basic vectors in linear programming. Katrix and Tensor Quart. , v. 7, no 1-2, 1956,p. 1 11, 48-50 .

45. Kron G. A generalization of the Calculus of finite differential to non-uniformly-spaced variables. Trans. AIEE, part 1, Comm. & El., v. 77, Sept., 1958. - p. 343 - 368.

46. Kron G. IIulti-dimensional curve-fitting with self-organizing automata. J. of Hath. Analj^sis and Appl., v. 5, no 1 , 1962. -p. 46 - 69.

47. Kron G. Invisible dual (n 1) - Networks, induced by electric 1 - networks. - IEEE Trans., v. CT - 12,no 4, 1955.p. 464 470.

48. Lynn J.W., Balasubramanian N.V., Sen-Gupta D.P. Differential forms on electromagnetic networks. London; Butterworths, 1970.- 184 p.

49. LYNn J.W. Tensors in Electrical Engineering. London: E.Arnold. - 1963. - 214 p.

50. Oppenheim A.K. The Engeneering Radiation Problem an Example of the interaction between engineering and mathematics.

51. Zeitschrift ftir Angewandte Mathematik und Mechanik, v.36, 1956. - 81 - 93.

52. Roth J.P. An application of algebraic topology to numerical analysis. On the existence of a solution to the network problem. Proc.of the Nat. Acad, of Science, v. 41, no 7, 1955. - p. 518 - 521.

53. Roth J.P. The validyty of Kron's method of tearing. Proc. of the Nat. Acad, of Sciences, v. 41, no 8, 1955. - p. 599 - 600.

54. Roth J.P. An application of Algebraic Topology: Kronfs Method of Tearing. Quart. Appl. Hath., 17, 1959. - p. 1 - 24.

55. Veblen 0. Analysis Situs. N.Y., 1922.1. ПЕШГОЖЕНЖ