автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Тензорный метод двойственных сетей

пв ОД

^ ц ДЕН А998

На правах рукописи

ПЕТРОВ1 Андрей Евгеньевич

ТЕНЗОРНЫЙ МЕТОД ДВОЙСТВЕННЫХ СЕТЕЙ

05.13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на сонекание ученой степени доктора технических наук

Москва - 1998

Работа выполнена в Московском государственном шшенерно-физическс^ институте (техническом университете).

Официальные оппоненты -

доктор технических наук, профессор Горбатов В. А. доктор технических наук, профессор Копылов И. П. доктор технических наук, профессор Кутергин В. Л.

Ведущая организация: Главное управление информационных систем Федерального Агентства правительственной связи и информации.

Защита состоится 23 декабря 1998 г. в 15 часов на заседании диссертационного

совета № Д053.03.04 в МИФИ по адресу:

115409 Москва, Каширское шоссе, 31, тел. 323-91-67, 324-84-98

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ.

Автореферат разослан 23 ноября 1998 г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., профессор

В.Э. Вольфенгаген

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Технические и экономические системы усложняются по количеству элементов и связей между ними. Возникает проблема расчета изменений процессов при изменении структуры связей системы. Такие проблемы возникают при расчете и анализе технических систем, электрических, транспортных сетей, предприятий нефте- и газопереработки; при анализе возможных последствий отключения элементов, подсистем. Разделение модели сложной системы на подсистемы и соединение подсистем необходимо при организации вычислений в компьютерах с параллельной архитектурой.

Для анализа деятельности экономических систем актуальны расчеты баланса производства продуктов при изменении спроса (плана), при изменении хозяйственных связей, схемы поставок, источников ресурсов. Необходим анализ деятельности промышленных предприятий, банков, страховых компаний. Актуален анализ взаимодействия финансового и реального секторов в экономике. Необходим расчет прогноза исполнения бюджета по доходам при изменении ставок налогообложения, налогооблагаемых баз, схемы поступления доходов.

На сегодня нет математической теории расчета изменения пронессов при изменении структуры. Существуют методы расчета процессов в сложных системах при заданных соединениях элементов. При изменении связей уравнения процессов получают и решают заново. Уравнения поведения не содержат информации о структуре связей элементов. Структуру связи элементов в системе рассматривают в теории графов, графов связей, комбинаторной топологии, которые не содержат понятий метрики, меры расстояния между циклами, разрезами, симплексами.

Материальные, метрические параметры связывают воздействия и отклики процессов. Уравнения поведения составляют относительно независимых переменных, определяемых структурой (степени свободы, замкнутые и разомкнутые пути). При изменении структуры меняется число переменных, получить новые уравнения по старым невозможно, как и преобразовать старое решение в новое, поскольку матрицы таких преобразований прямоугольные, не имеют обратных и не образуют группу. Это не позволяет определить изменения процессов при изменении структуры.

Для расчета сложных технических систем (электрические машины, электрические сети, строительные конструкции, ядерные реакторы, лопатки турбин, уравнения Максвелла, Шредингера и др.) применяется тензорный метод, который разрабатывал Г.Крон, другие ученые. Воздействия, отклики, характеризующие процессы в системе, рассматривают как геометрические объекты с компонентами в независимых замкнутых и разомкнутых путях, определяемых структурой. Изменение структуры рассматривают как преобразование координат. Такой подход обеспечивает исследование, расчет, анализ сложных систем из разных областей единым методом.

Это позволяет использовать уже разработанные методы решения в новых областях, для новых систем. При изменении структуры в одной системе нет необходимости получать и решать уравнения поведения заново; достаточно преобразовать известное решение в решение для новой структуры. Это уменьшает объемы аналитической, алгоритмической, вычислительной работы. При расчете систем по частям тензорным методом отсутствуют итерации; это снижает объемы вычислений и позволяет применять компьютеры с параллельной архитектурой.

Татсим образом, тензорный метод обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сложных технических, экономических систем. Вместе с тем тензорный метод содержал противоречия, которые препятствовали его развитию и применению. В качестве моделей сложных систем использовались электрические цепи. Постулировалось, что при изменении структуры мощность в цепи постоянна. Проблема в том, что это предположение не соответствует реальности, но полученные на его основе методы расчета дают правильные результаты. Это указывало на существование других оснований данного метода. Использование в качестве моделей электрических цепей

снижало общность метода, придавая ему инженерный характер в ущерб математической строгости.

Автор разработал тензорный метод двойственных сетей. Найденный инвариант матриц преобразования путей обеспечивает постоянство величины' вектора потока (представляющего процесс) при изменении структуры двойственных сетей. Разработана технология применения тензорного метода, которая обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сетей, сетевых моделей сложных технических, экономических систем. На основе двойственных сетей разработаны алгоритмы расчета сетей по частям, которые позволяют исключить итерации по расчету взаимодействия подсистем. Метод применен в новой области - для расчета и анализа экономических систем.

Цель работы.

1. Разработать тензорную методологию представления, расчета и анализа процессов и структуры сложных технических, экономических систем сетевыми моделями.

2. Разработать метод двойственных сетей, который обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сети как преобразование координат, заданных замкнутыми и разомкнутыми путями.

3. Найти инвариант преобразований структуры сети при изменении количества узлов. Исследовать закономерности изменения мощности при изменении структуры электрической цепи.

4. Разработать метод и алгоритмы расчета изменений процессов при изменении структуры сетей и сетевых моделей сложных систем, включая расчет по частям.

5. Применить тензорный метод двойственных сетей в новой области - для решения задач экономики: расчета межотраслевого баланса, анализа деятельности предприятий и банков, анализа и прогноза доходов бюджета.

Методы исследования: тензорный метод, тензорный анализ сетей, теория матриц, теория графов, анализ размерностей, математическое моделирование по аналогиям, исследование систем по частям - диакоптика.

Научная новизна работы заключается в том, что:

1. Разработана тензорная методология, которая основана па представлении сетевыми моделями процессов и структуры сложных технических, экономических систем.

2. Разработаны основы метода двойственных сетей (соединяющих процессы и структуру). При изменении связей в сети может меняться число вершин (узлов). Соединения элементов представлены как системы координат, заданные путями. Процессы представлены как векторы в пространстве сети; воздействия и отклики - как ковариантные и контравариантные компоненты. Если соединения меняются в двух двойственных сетях, то матрицы преобразования координат (как и метрические матрицы) связаны инвариантным соотношением, вектор процесса остается постоянным, преобразования обеспечивают расчет процессов при изменении структуры.

3. Найдена, неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при изменении структуры, двойственных электрических цепей. Эта закономерность является физическим проявлением инварианта матриц преобразования и метрических тензоров в двойственных сетях.

4. Построены алгоритмы расчета процессов в сетях при изменении структуры, в том числе при разделении сети (сетевой модели) на подсети, которые обеспечивают расчет сетей по частям без итераций.

5. Построены сетевые модели для экономики:

• потоков продуктов в системе производств, поставок и ресурсов, в которой двойственные величины представляют пропорции финансовых воздействий. Это обеспечивает расчет материально-финансового баланса;

• потоков денежных средств, что обеспечивает анализ результатов деятельности отдельных банков и банковской системы в целом;

• потоков налоговых и неналоговых поступлений бюджета, что обеспечивает расчет вариантов для анализа и прогноза исполнения бюджета. 6. Построена сетевая. модель процесса ректификации для АСУ ТП объектов нефтепереработки.

Практическая ценность полученных результатов подтверждена при внедрении и использовании методик, сетевых моделей, алгоритмов и разработанных на их основе систем, реализованных в виде программных средств и применяемых в Департаменте финансов Правительства Москвы, в бюллетене "Банки и финансы" агентства "Мобиле", применяемых при анализе производственной и финансовой деятельности предприятий в журнале "Промышленность России" (совместное издание Министерства экономики и агентства "Мобиле"), в подсистеме АСУ ТП объектов нефтепереработки.

Алгоритмы расчета сетей (сетевых моделей) по частям обеспечивают параллельные вычисления без итераций, что повышает эффективность вычислительных систем с параллельной архитектурой.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на более чем 30 семинарах и конференциях, в том числе на II Международном Конгрессе по региональному развитию в Монтре (Швейцария) в 1997 г., на Международном совещании по вопросам экономической безопасности и управления рисками (Москва, Торгово-промышленная палата) в 1998 г.

Публикации. Результаты выполненных исследований опубликованы в 106 работах.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 132 наименования. Содержит 292 с. основного текста, включая 57 рисунков, 14 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Представлена общая характеристика тензорного метода расчета и анализа сложных технических, экономических систем. Система состоит из элементов, в которых протекают процессы. Соединения элементов образуют структуру системы (сеть). Изменение соедииепий - это преобразование структуры. Процессы - это потоки в элементах системы, в структуре сети. Потоки заданы величинами воздействий и определяются реакцией системы - откликами. Отклики на приложенные воздействия принимают значения в элементах системы и могут быть измерены. Задачей является расчет и анализ изменения откликов в системе при изменении воздействий, структуры.

Процессы описывают уравнениями, связывающими воздействия и отклики через материальные (метрические) характеристики элементов. Эти уравнения составляют для определенной конфигурации, структуры системы. Переменными выбирают отклики в независимых путях (наборах элементов), которые определяют базис, размерность задачи. При изменении структуры уравнения поведения составляют и решают заново. Решение уравнений дает отклики на воздействия, характеризующие поведение системы.

Например, в электрической цепи уравнения поведения в общем виде связывают ток и напряжение через комплексное сопротивление (по закону Ома). Структуру связей в цепи описывают уравнениями Кирхгофа, которые связывают замкнутые (контуры) и разомкнутые пути, образованные ветвями цепи. В электромагнитных системах уравнения поведения получают на основе уравнений Максвелла, а структуру связей ветвей электрического тока и поверхностей - магнитного потока можно описать симплексами комбинаторной топологии. В экономических системах потоки продуктов вызваны потоками денежных средств, а структура определяется хозяйственными связями -технологиями производства, транспорта и продажи продуктов.

Методы составления и решения уравнений поведения (алгебраических, дифференциальных), где метрика связывает воздействия и отклики, развиты п теориях, восходящих к теоретико-множественной топологии. Методы описания структуры связей (от теории графов и ее обобщений) относятся к комбинаторной (алгебраической) топологии. Таким образом, одно направление математики описывает процессы, связанные

с метрикой, но без структуры. Другое , направление описывает структуру связей элементов, но без метрики. Усложнение современных систем состоит прежде всего в увеличении количества элементов, связей между ними. Происходят изменения связей, особенно в технологиях добычи и транспорта ресурсов, производства продуктов; хозяйственных связей в экономике. Развитие вычислительной техники во многом идет по пути создания систем - с параллельной архитектурой. Для их применения необходимы методы разделения на части для параллельного расчета, соединение целого из частей, т.е. преобразований структуры.

Это делает актуальной задачу развития методов расчета параметров процессов при изменении структуры. В более общем плане - это задача исследования взаимодействия процессов и структуры связей технических, экономических систем.

Тензорный метод представляется одним из наиболее общих подходов для решения этой задачи. Особенность его состоит в едином представлении процессов и структуры сложных систем, расчете и анализе изменения процессов при изменении структуры, включая разделение системы на части.

Изменение структуры - это изменение связей элементов в системе. Проблема состоит в том, что при изменении связей в сети меняется число узлов, а потому меняется число независимых замкнутых и разомкнутых путей, размерность их подпространств. Это приводит к тому, что при изменении структуры в одной сети происходит не только изменение компонент вектора процесса (как при изменении координат в геометрии), но и величины вектора (выраженной произведениями компонент откликов на воздействия). Например, в электрической цепи при изменении структуры связей ветвей меняется рассеиваемая мощность, выраженная произведениями токов и напряжений, характеризующая поток энергии в цепи.

Простейшая структура - это совокупность одномерных ветвей (сеть), в которой распространяются потоки, например, потоки энергии. Ветви соединены своими границами, узлами. В теории графов такая конфигурация представлена двойным набором: ребра (ветви) и вершины (узлы), которые задают граф. Контуры и разомкнутые пути выражаются друг через друга. Пути в сетях составляют векторное пространство, в котором преобразования базисов образуют группу. Если, например, сделаны соединения, то пути нового базиса выражаются через пути старого базиса. Для разъединений можно выразить пути старого базиса через пути нового.

Проблема возникает при описании процессов в структуре системы. При изменении связей меняется число узлов, что приводит к изменению графа. При этом изменение числа независимых замкнутых и разомкнутых путей меняет размерность базисов их подпространств, а значит и число уравнений поведения. Это и меняет не только значения откликов, компонент, но и саму величину вектора.

Процесс, заданный внутренними источниками, определяется замкнутыми путями, а внешними источниками - разомкнутыми путями. Потоки от источников в замкнутых путях циркулируют внутри системы (электрический аналог - источник напряжения). Потоки от источников в разомкнутых путях входят в систему в одном узле, а покидают в другом (электрический аналог - источник тока). Размыкание узлов уменьшает число замкнутых и увеличивает число разомкнутых путей, и наоборот. Соответственно меняются их базисы. Матрицы преобразования этих базисов прямоугольные, поэтому обратных не имеют. По этой причине невозможно для одной сети получить компоненты объехстов, которые должны умножаться на обратную матрицу преобразования (например, ковариантные компоненты вектора).

Таким образом, при описании изменения параметров процессов (воздействий и откликов) преобразования координат (путей) в одной сети не образуют группу. Необходим новый инвариант, который обеспечивает преобразованиям структуры и процессов в пространстве сети групповые свойства.

Тензорный метод двойственных сетей, представленный в данной работе, является новым направлением в теории сложных систем. В двойственных сетях сумма ¡числа узлов,

числа замкнутых и разомкнутых путей постоянны при любой структуре связей. Автор пашел инвариант, связывающий матрицы преобразования базисов путей в двух двойственных сетях. Этот инпариант обеспечивает постоянство величины вектора процесса в системе при изменении структуры. •

Уменьшение числа контуров в данной сети увеличивает их число в двойственной сети. Точяо также уменьшение числа разомкнутых путей в данной сетгг увеличивает их число в двойственной сети. Таким образом, сумма размерностей базисов контуров и разомкнутых путей в двойственных сетях постоянна для любой структуры. Инвариант матриц преобразования двойственных сетей обеспечивает расчеты процессов при изменении структуры сетей и сетевых моделей.

Инвариант двойственных сетей позволяет выразить как базисы, так и, что существенно, компоненты вектора потоков в системе. Увеличение числа переменных при изменении структуры делает задачу расчета откликов вырожденной. Однако при этом в двойственной сети число переменных уменьшается и задача расчета откликов разрешима. Инвариант обеспечивает переход от решения в двойственной сети к решению в заданной сети. Преобразования структуры, благодаря этому, приобретают свойства группы. Это позволяет решить задачи, поставленные в настоящей работе - применение тензорного метода для расчета и анализа изменения процессов в сложных системах при изменении структуры. В частности, расчеты при разделении системы на части, причем решение полной системы получается по решениям подсистем без итераций. Этй уменьшает объемы вычислений при анализе поведения сложных систем, при организации параллельных вычислений, обеспечивает анализ поведения при выходе из строя элементов или целых подсистем в системах безопасности для предотвращения и ликвидации аварий.

Уравнения поведения процессов составляют (и решают) для одной заданной структуры соединения элементов. Чтобы соединить описания процессов и структуры сложной технической, экономической системы, необходимо построить сетевую модель, в которой структура представлена ветвями, а воздействия и отклики - компонентами вектора (геометрического объекта) в базисах путей, "системе координат". Моделирование процессов обеспечивают аналогии между их величинами, которые связаны с понятиями продольных и 'поперечных величин. Продольные величины измеряются в одной точке (например, электрический ток, сила, поток жидкости, тепла). Поперечные - как разность значений В двух точках (разность потенциалов, давление, скорость, тепловой потенциал). Произведение физических размерностей продольной и поперечной величин всегда дает величину мощности (энергия в единицу времени), т.е. ноток энергии в системе. Аналогии позволяют сопоставлять процессы в структуре разных систем.

Структура систем моделируется представлением схемы связей потоков в путях сети. Расчеты, анализ поведения системы при изменении структуры можно ■ проводить на сетевой модели единым методом. Пример физической системы, где наглядно связаны процессы и структура - электрическая цепь. Структура цепи описывается законами Кирхгофа, уравнения поведения - законом Ома.

С 30-х годов Г. Крон, другие исследователи применяли тензорный метод для расчета технических и физических систем при изменении структуры (начиная с единой теории электрических машин). Метод содержал противоречия, связанные, в частности, с постулатом об инвариантности мощности. Технические, физические системы были представлены эквивалентными электрическими цепями. В 40 - 60-е годы Крон построил эквивалентные цепи для уравнений Максвелла, Шредингера, Навье - Стокса, для сжимаемой и несжимаемой жидкости, тепловых потоков. Они применялись для анализа, например, распространения электромагнитных волн в полых, резонаторах. Для технических систем были построены модели электроэнергетических систем (в 80-х годах Хэпп применял для расчетов и анализа сетей передачи электроэнергии США); эквивалентные цепи электрических машин (применяются в единой теории электрических машин), строительных конструкций, лопаток турбин, ядерного реактора (применялись

для расчета потоков нейтронов). Автор построил сетевую модель потоков продуктов и денежных средств в экономике.

Если процессы и структура в системе имеют более' сложный характер, то для моделирования применяются сети из двумерных элементов (поверхностей магнитного потока, представленных обмотками электрических машин), многомерных элементов, которые также образуют сети, замкнутые и разомкнутые пути. Такие модели, применяли Крон, Линн, Кондо, другие исследователи для построения моделей и анализа поведения многомерных функций, представляющих экспериментальные данные, многомерных пространственных фильтров, волновых автоматов.

В данной работе рассмотрены одномерные двойственные сети, структура которых представлена графом. Задача состоит в изучении новых закономерностей таких сетей, разработке теоретических основ, обеспечивающих более строгое применение тензорного метода, чем инженерные модели в виде эквивалентных цепей.

Процессы в системе представлены в сетевой модели как объекты, заданные компонентами - значениями воздействий и откликов в путях. Соответствие модели и системы определяет тензорный характер преобразования параметров процессов, метрики элементов при изменении структуры. При переходе от одного базиса путей к другому, от одного соединения элементов к другому, новые компоненты получаются умножением старых компонент на матрицу преобразования базисов путей, или обратную к ней, в зависимости от сложности самого объекта.

Технология применения тензорного метода основана на том, что предполагается существование единого объекта (точки, вектора, элемента, воздействия или отклика в системе) независимо от координат, в которых его представляют. Проекции объекта в разных системах координат различны, сам объект не меняется. Это обеспечивает преобразование его компонент по линейным формулам, включающим только умножения на матрицы, преобразования. Это основное отличие тензора. Тензорами являются все объективно существующие, измеряемые величины. Например, различны токи в различных путях, координатах цепи, но ток в каждой ветви цепи не зависит от выбора -путей, а зависит только от источников и соединения ветвей. Аналогично обстоят дела в других сложных системах.

Каждая система сама рассматривается как тензор. Его "проекции" - значения параметров процессов в координатах, определяемых структурой. При изменении структуры меняются компоненты параметров процессов. Для их преобразования от одних координат (путей) к другим, необходим инвариант, который их связывает. Для сетевой модели системы это инвариант двойственных сетей.

В геометрии объекты не меняются при изменении координат. Меняются значения их проекций, а объекты (например, вектор, квадрат его длины) инвариантны. Преобразования координат образуют группу, включая обратное преобразование.

В пространстве сети объекты (потоки в системе) меняются при изменении структуры. Изменяются значения продольных и поперечных величин, их произведения не только в элементах, но и в сумме по всей сети. Таким образом, для одной сети нет инварианта, постоянной величины, позволяющей преобразовать параметры процессов при переходе от одной структуры к другой структуре.

В метоле двойственных сетей, отражающем реальное изменение потоков в системах при изменении структуры, ситуация меняется. Вектор при изменении структуры связей ветвей меняется в каждой из сетей, но остается постоянным в двух двойственных сетях. Это обеспечивает инвариантность объектов, представляющих процессы и тензорный характер их преобразований при изменении структуры.

Таким образом, технология применения тензорного метода, реализующая указанные особенности, включает в себя следующие этапы.

• Приведение уравнений поведения исследуемой системы к тензорному виду. Для этого записывают все соотношения между потоками, включая те, которые обычно не используют. При изменении структуры параметры процессов должны меняться

линейно, умножением на матрицы преобразования. В модели потоков продуктов это обеспечивает соотношение баланса потоков продуктов, поставок и ресурсов на входе отраслей, что не используется в межотраслевом балансе.

> Использование аналогий между процессами и структурой исследуемой системы и сети для построения сетевой модели. Сложность исходной системы может потребовать использования многомерных сетей для моделирования.

• Применение двойственных сетей для расчета и анализа сетевой модели - при изменении соединений элементов, при подключении или отсоединении элементов или подсистем, при разделении на части или соединении из частей целого.

> Преобразование, интерпретация результатов анализа модели в терминах исходной исследуемой системы.

Разработка теоретических основ метода двойственных сетей играет ключевую роль для его обоснования и приложений. Сеть состоит из одномерных ветвей (дуг), произвольно соединенных своими границами (узлами). Соединения ветвей образуют структуру сети. При изменении соединения ветвей число узлов (вершин) может меняться; в этом отличие сети от графа. Наборы вегпей образуют пути: замкнутые и разомкнутые. Совокупность путей составляет векторное пространство сети над полем рациональных чисел (дробей) с точностью до сохранения целостности ветви. Линейно независимые пути составляют базисы, компоненты которых при изменении базиса преобразуются ковариантно, а компоненты произвольного пути (координаты вектора) - контравариантно. Матрицы преобразования базисов путей образуют группу.

Отказ от узлов в качестве инварианта сети (по сравнению с графом) требует другого инварианта для поддержания алгебраической полноты такой системы. Таким инвариантом оказалось соотношение между матрицами преобразования путей, в двух двойственных сетях (в одной сети матрица обозначена как С, а в двойственной - как А). Инвариант связывает матрицы преобразования двойственных сетей:

(1) С (С1 С)"1 Сь + А (А[ А)"1 А! = I,

где I - единичная матрица. Такая закономерность отличается от кзвестнои ортогональности матриц преобразования: С1 = (Л)"1 (их подматрицы представляют собой цикломатическую матрицу и матрицу разрезов из теории графов). Инвариант имеет вид (1) для единичных весов ветвей (метрических коэффициентов). Если веса не единичны, то соотношение (1) принимает более общий вид, включающий метрическую матрицу и связывает метрику и структуру в пространстве сети.

Следствием существования такого инварианта является постоянство длины вектора в полном пространстве двойственных сетей. При изменении структуры вектор меняется в каждой из сетей, но квадрат его величины в сумме по двум 'сетям остается постоянным. Векторы представляют в сети процессы (потоки энергии) и представлены векторами, наложенными на пространство сети.

Ветви свободны, если их' границы отделены друг от друга, иначе ветви связанные. Структура - это схема связей ветвей. Изменение схемы связей - прообразование структуры. Ветви могут иметь веса (аналог сопротивлений в цепи).

Каждая свободная разомкнутая ветвь имеет два узла на концах, а каждая замкнутая - один узел. Обозначим количество ветвей через п, узлов - .1, подсетей - б, линейно независимых замкнутых путей (контуров) - ш, а разомкнутых - Значения этих параметров связаны известными соотношениями:

(2)

(3) п = ш +

Свободные п разомкнутых ветвей имеют узлов ]д = 2а, а подсетей во = п. Через каждую ветвь проходит один независимый разомкнутый путь, следовательно таких путей 3 = л, а число узлов равно числу ветвей плюс число подсетей: ^ = п + во = 2п.

Простейшая сеть с двойственной структурой - эго одна ветвь с замкнутой и разомкнутой частями. Соотношениям (2) и (3) удовлетворяет только одна комбинация

параметров такой ветви: п = 2, 5 = 2, .1 = 3, ] = 1,т = 1, поэтому в такой двуединой ветви существуют две независимые подсети, как бы в разных пространствах. При этом в разомкнутом пути есть два узла, а в контуре - один узел.

При размыкании контура узел размыкания разделяется на два; одновременно в двойственной части ветви два узла соединяются в один, превращая разомкнутый путь в контур. И наоборот. При изменении структуры сетей, состоящих из многих ветвей, постоянны параметры (п, .ь т), поскольку каждая ветвь подчиняется тем же законам. Если одна часть ветви включена в контур данной сети, то другая часть - в разомкнутый путь двойственной сети. Сумма узлов может меняться при изменении числа подсетей.

Путь - это множество ветвей. Порядок перечисления ветвей задает ориентацию пути; она может не совпадать с ориентацией ветвей. Если начало и конец пути совпадают, то он замкнутый (т-путь), иначе - разомкнутый (]-путь). Путь задается перечислением составляющих его ветвей со знаком плюс, если их ориентации совпадают, и со знаком минус - если нет.

Ветви задают отдельные измерения и определяют размерность пространства сети. Пути проходят через одну или несколько ветвей и служат координатами такого пространства. Пути можно складывать, вычитать, выражать друг через друга, сравнивая составляющие их ветви. Поэтому пути могут быть линейно зависимы или линейно независимы. Полный набор линейно-независимых путей для данной сети образует базис. Все другие пути в сети выражаются комбинациями путей базиса. При изменениях соединений ветвей, пути могут меняться. Ниже представлен пример сети из четырех свободных ветвей и четырех связанных ветвей. Р4* = Ь3 - Ь4 Ь2 рГ

Рис.1. Базис т и ] путей в сети и его преобразования

а - базисные пути в связанной сети; б — базисные пути в свободной сети

Пути в сети из четырех свободных ветвей на рис.16 обозначены как ра, а пути в сети из четырех связанных ветвей на рис. 1а - как рр' , где а, р принимают значения от 1 до 4, перечисляя все пути. В свободной сети пути совпадают с направлением ветвей. Если выразить пути в связанной сети через пути в свободной сети, рс = С(" ра, то коэффициенты при путях-ветвях имеют вид матрицы преобразования Св°: Р

1

1

-1 1 1

1 -1

■ это матрица преобразования путей в свободных ветвях в пути в связанной сети. Обратное выражение путей в связанной сети через пути свободных ветвей:

Р1 = Р2 = Рз =

Р4 =

Ь,= Ь2 = Ь3 = Ь4 =

р1

-рГ - рГ

Р2

+ Р2* + Рг'

+ Рз + Рз'

Р4

р 3 Л т т

а Р1 Р2 ■о л ^ Р4

Р1 1

С„»=Р2 1

РЗ -1 1 1

Р4 -1 1 1 -1

р. = с„'рв

Чтобы получить произвольное преобразование одного базиса сети связанных ветвей в другой базис связанных ветвей, достаточно выразить векторы старого базиса путей через векторы нового базиса, а затем наоборот.

Преобразование базисов путей аналитически имеет вид:

(5) р/ = Су ра = С^ С рг" = С,' р/, где С,' = Ср° С Аналогично обратное преобразование базисов:

(6) рг" = С - р„ = С» С.» р,- = С/ р„\ где С/ = С," С„» .

Таким образом, преобразование одного базиса в другой представимо непосредственно, либо через простейший базис путей в свободных ветвях. Матрицы преобразования базиса в базис р," имеют вид: Сгв = (С,,1)"1 = С," С/ = (С,," С 0,»)"1. Матрицы преобразования базисов путей в сети образуют группу относительно операции умножения, преобразующей один базис в другой. Это обеспечивает представление простейших путей в отдельных ветвях через пути в ветвях связанной сети.

При построении линейно независимых путей в сети фактически получается два базиса - один для замкнутых, а другой для разомкнутых путей. Эти два типа путей независимы. Разомкнутые пути охватывают все узлы, а замкнутые пути - все ветви. Пути составляют векторное пространство. Набор всех подмножеств путей сети (включая пустое множество, 0) обозначим Р. В качестве операции абелевой группы рассмотрим сложение и вычитание произвольных путей.

Число независимых путей равно числу ветвей, т.е. размерности пространства сети (каждая свободная ветвь имеет свой путь). При сложении или вычитании путей складываются или вычитаются одинаковые ветви в соответствии с их ориентацией. Например, на рис.2а пути: р] = Ь) - Ь2 -Ьз + Ь4 и рг = -Ь4 + Ь5 + Ьб - Ь7 в сумме дают путь рз, равный:

рз = 1">1 - Ь2 -Ьз +• Ь4 - Ь4 + Ь5 + Ьб - Ь7 = Ь, - Ь2 -Ь3+ Ь5 + Ь6 - Ь7.

Этот путь показан на рис.2а пушетиром, он также замкнутый. Разность этих путей имеет форму восьмерки, которая проходит путь Р1 в прежнем направлении, а р2 - в обратном. Чтобы сделать это непрерывно, надо начинать обход только из узла А или узла В.

Ь,

А Ы

Ь2

'■•■-.. Ра "О

В

а)

Рис.2. Сложение и вычитание путей

При сложении и вычитании замкнутых путей получается замкнутый путь, хотя он может стать прерывистым (состоять из двух и более контуров) и проходить более одного раза по одной ветви (как при вычитании путей на рис. 2а). Результатом действий с разомкнутыми путями могут быть как разомкнутые, так и замкнутые пути.

На рис. 2.Ь показаны три разомкнутых пути: Р4 = Ьз + Ь7 - Ьб, рз = Ь) + Ь5 и Ре = +■ Ь2. Если сложить пути ре и рэ, то получим также разомкнутый путь Р5.6 = Р5 + Рб = Ь) + Ь5 + Ь2. По связываемым узлам С и О он эквивалентен пути который состоит из других ветвей, но связывает ту же пару узлов. Если сложить все три пути, то получим замкнутый путь, равный пути рз, если учесть, что пути р4 и рб ориентированы противоположно этому пути т. е.:

рз = -р4 + Р5 - Рб = -Ьз - Ь? + Ь6 + Ь( + Ь5 - Ь2,

но составляющие его пути линейно зависимы. Таким образом сложение и вычитание путей может давать пути прерывистые или с разветвлениями.

Сложение и вычитание путей является не арифметическим сложением чисел, а составлением ветвей в одном наборе. Это отличается от кольцевой суммы множеств которая используется в качестве- бинарной операции при построении векторного пространства графа. Для объединения и пересечения ребер графов обратную операцию определить нельзя. Рассмотрим в качестве бинарной операции @ на множестве Р сложение и вычитание путей в указанном смысле. Тогда множество путей в сети Р образует абелеву группу относительно бинарной операции сложения путей:

1. Любая сумма (или разность) произвольных наборов ветвей снова даст путь, т.е. принадлежит множеству Р.

2. Результирующий путь р^ = (ра + рь) + рс = ра + (рь + рь) не зависит от порядка в котором составляются наборы ветвей из разных путей (ассоциативность).

3. Результирующий путь, как набор ветвей, не зависит от последовательности, в которой составляются ветви: Ра + Рь = Рь Ра- Этим обеспечена коммутативность.

4. Пустое множество есть отсутствие ветвей. Добавление нулевого числа ветвей к любому пути .не меняет его. Это нулевой элемент е, такой, что ра + с = = ра.

5. Для каждого пути ра существует иуть с обратной ориентацией составляющих его ветвей (-ра), так что ра + (-ра) = е.

В общем виде рассмотрим поле целых чисел и рациональных дробей. Ограничение состоит в том, что сама ветвь является неделимым элементом сети, поэтому дроби применимы к путям в качестве коэффициентов только тогда, когда ветвь проходится число раз, кратное знаменателю дроби и результатом такого умножения не может быть появление части от самой ветви. Для множества Р выполняются аксиомы векторного пространства.

Операцию умножения элементэ к ноля Р на элемент ра ?1кожества Р определим как рь = а * ра, т.е. такой путь, ветви которого проходятся а раз.

Таким образом, множество наборов ориентированных ветвей (путей) в сети Р образует векторное пространство над полем целых чисел и рациональных дробей. В таком пространстве множества замкнутых Рт и разомкнутых Pj путей линейно не зависят, но взаимно дополняют друг друга до полного пространства путей. Любой путь либо замкнутый, либо разомкнутый; размыкание замкнутого пути порождает разомкнутый путь и наоборот. Сложение замкнутых путей порождает только замкнутый путь, а сложение независимых разомкнутых путей порождает только разомкнутые пути. Таким образом, каждое из этих подмножеств путей Рт и Pj замкнуто по отношению к операции Е сложения путей и потому они представляют собой подпространства векторного пространства путей Р, такие что:

Рт и Р; = ; а Рш п Р, = 0. Это позволяет рассматривать пути как векторы, вводить базисы и рассматривать их свойства относительно преобразований координат, т.е. выбора других путей.

В векторном пространстве существуют понятия скалярного произведения и ортогональности. Для двух векторов рх и р,, которые имеюг в базисе р= компоненты (1ха и с^", такие, что рх = с!х° ра и ру - с1у° р„, их скалярное произведение - это скаляр (рх ру), определяемый суммой произведений компонент:

(рх ру) = с1ха х Ау* = (У х (¿у1 + с1х2 х с1у2 + ... + <3ХП X (1/ .

Векторы рх и Ру ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (рх ру) = 0. Для каждого базиса ра в конечномерном векторном пространстве существует единственный взаимный (или двойственный) базис, обозначаемый верхним индексом, р® (а, р, = 1 ,..., п); он определен симметричными соотношениями:

(ра р') = 5ар = ( = О, если а * р ; и = 1, если а = р).

Таким образом, каждый вектор одного базиса ортогонален всем векторам с а * р, другого; при этом базисы равноправны. Скалярное произведение векторов базиса

определяет фундаментальную матрицу = Ср„, ре). Для векторов двойственного (взаимного) базиса определяется обратная к а,,, матрица g"|! = (¡^р)"1 = (р", р»).

При изменении координат компоненты путей базиса и произвольного пути преобразуются по противоположным законам (как в обычной геометрии). Матрицы преобразования компонент базиса и произвольного вектора ортогональны. Преобразование базисов путей описывается матрицей Сра, элементы которой суть коэффициенты представления путей одного базиса, р„ путями другого, рр.

(7) Ри= ср" Р« ■

Строки такой матрицы показывают, сколько раз и с какой ориентацией надо взять пути старого базиса, чтобы получить путь нового базиса. Столбцы показывают, в какие пути нового базиса входит путь старого базиса и как ориентирован. Произвольный путь рх (вектор пространства путей) представим в базисе путей р„:

(8) р„ = а» р.,

где (1а - коэффициенты разложения рх по векторам базиса, показывают, сколько раз и с какой ориентацией надо взять векторы базиса, чтобы получить данный вектор. Коэффициенты - это компоненты (координаты) р* в базисе р„. Разложение рх в другом базисе р№ примет другой вид:

(9) Рх = <1» р„;

с компонентами (I5; эти компоненты меняются, а вектор остается прежний. Чтобы получить закон преобразования компонент вектора при изменении базиса, подставим в (9) выражение для вектора базиса из (7). Тогда:

(ю) Рх = & р„ = & с„« р„ = а- р.,

откуда, приравнивая коэффициенты при векторах базиса р„_, получим выражение старых компонент через новые: с!' С,а = <К Поскольку матрицы Сц" образуют группу, то новые компоненты вектора через старые:

(и) а» = а» с.' = с. = (с„«)Л а« = а», а»,

где А^ - матрица преобразования компонент вектора. Итак, компоненты произвольного

ВгЧ'ТАЛО ПТЧОЛЛЛПЛЧЛТ^ П по О^п^тип»»!' Ч1Т/ГЧП1 1ТОЛ1 Г1-ЛЧПЛТТП1ТТ1 » ППТ'ТПТЧП ТТЧ Т-ТЧ-Х т"Г п

матрица А®,, ортогональна к матрице преобразования базиса Ср" в (7):

(12) (С,«)-Ч = А", .

Величины, которые при изменении координат преобразуются как векторы базиса, называются ковариантными (обозначают нижними индексами), а которые изменяются ио обратному закону - контравариантными (верхние индексы). Компоненты векторов базиса ковариантны, произвольного вектора - контравариантны.

Замкнутые пути представимы замкнутыми; разомкнутые - как замкнутыми, так и разомкнутыми путями. Матрица преобразования, таким образом, распадается на две части - тСр" и )Сва. При этом матрица преобразования базисов не распадается на два независимых диагональных блока (один - для замкнутых, а другой - для разомкнутых путей), но есть блок, связывающий замкнутые и разомкнутые пути. Разделение блоков т и j путей показано двойной линией на матрице преобразования Св".

т а

т р а '.с,-

Каждое размыкание уничтожает замкнутый путь и порождает разомкнутый, а замыкание, наоборот, уничтожает разомкнутый путь и порождает контур. Контур в сети не может состоять из одной ветви, поэтому набор ветвей контура может изменяться при изменении структуры сети. Тогда в матрице преобразования, помимо блоков ш-иутей и .¡-путей, появится блок изменяемых путей, т.е. путей, в которых при изменении структуры появляются или исчезают элементы. Такие блоки играют ключевую роль при расчете сетей по частям.

При связывании ветвей в сеть образуются контуры и разомкнутые пути. В матрице С элементы строк перечисляют старые пути (в данном случае ветвн) из которых

составлены новые пути, давая по строкам подматрицы тС и -¡С. Контуры в ШС охватывают все ветви. Каждый новый базисный контур охватывает хотя бы одну новую ветвь, пока не будут перечислены все ветви (и построены все независимые контуры). В -Ю разомкнутые пути охватывают только часть ветвей.

В матрице At обратного преобразования к свободным ветвям элементы столбцов представляют разомкнутые пути, перечисляя все ветви (это соответствует контурам в двойственной сети). Но в At разомкнутые пути связывают пары узлов. Контуры в At только позволяют различить ветви, соединяющие одинаковые узлы. Итак, замкнутые и разомкнутые пути ведут себя противоположно.

Взаимно обратное преобразование базисов замкнутых и разомкнутых путей при изменении структуры сети соответствует поведению векторов прямого и взаимного базисов в геометрии. При изменении системы координат скалярное произведение векторов прямого и взаимного базиса не меняется; если подставить преобразование прямого базиса: 6/ = (р„ р") = (ра. рв ) = (р„ С°(- рО, то преобразование взаимного:

(13) р"' = (СУ)Л р» = А\ р»,

то есть контравариантно по отношению к векторам прямого базиса.

Рассмотрим двойственные сети. В теории графов двойственность определяется только для планарных графов. Пленарный граф делит плоскость на области конечные и бесконечные. Внутренние ячейки-контуры охватывают все ветви, составляя базис (прямой). Контур составляет непрерывную замкнутую линию.

Для построения двойственного графа сети в каждую область помещается один узел (вершина), затем через каждую ветвь проводится линия, связывающая узлы в соединяемых ею областях. Эта линия представляет собой ветвь в двойственной сети. Совокупность всех таких ветвей и есть двойственная сеть. Таким образом, двойственны контуры и узлы. Двойственным к двойственному является исходный граф. Это касается и сетей. Величины двойственной сети обозначим подчеркиванием.

Инвариантом является число ветвей - оно в каждой сети одинаково и равно п = д. Ранг одного из двойственных графов равен цикломатическому числу другого графа. Для сетей это означает, что число линейно независимых контуров одной сети равно числу линейно независимых разомкнутых путей другой сети. Для двойственной сети меняются местами размерности прямого базиса контуров и взаимного базиса разомкнутых путей. Сумма размерностей базисов контуров и сумма размерностей базисов разомкнутых путей в двойственных сетях постоянна для любых соединений ветвей. Общее число Jo узлов ъ двух сетях составит:

Jo=J+I = j + s + i-+S = j+ s + ni+s = n + s + s_ = n + 2s, т.е. сумма узлов в двух сетях постоянна при любых соединениях, поскольку каждой независимой подсети соответствует двойственная независимая подсеть.

Ориентации в двойственных сетях определяются тем, что сумма модулей степеней узлов (вершин) равна сумме числа ветвей в этих сетях. Обозначим сумму модулей степеней узлов сети а через qa = £ I qj , сумму модулей степеней узлов сети а через = XI . Их полная сумма обозначена через qo и равна:

(14) qo = qa + Qa- = 2 IqJ +2 |с[,| = n + n = const.

Эта величина постоянна, а степени узлов в двойственных сетях меняются. Соотношение (14) означает, что если в одной сети меняется ориентация ветви, то соответствующая ветвь в двойственной сети также меняет ориентацию. Изменение ориентации ветвей в матрицах С и А изменяет знаки при элементах, представляющих пути. Матрицы преобразования от свободных к связанным ветвям (и наоборот) для двойственных сетей ортогональны: С„° = Ао" = (C^V1 и Ао" = С.0 = (Ao° h'1-

В геометрии метрика вводится с помощью скалярного произведения и двойственного пространства. Для сети метрика вводится аналогично, с помощью попарного произведения векторов базисов путей, которое дает для сети матрицу Z^, (в геометрии это фундаментальная матрица g,„). Элементы матрицы Z„p - произвольные рациональные (и даже комплексные) числа. Если ветви свободны и не заданы числа - веса, то получим

единичную матрицу, - каждый путь содержит только ту ветвь, по которой проходит, и не зависит от других. Веса свободных ветвей задают меру их взаимодействия.

Если в свободных ветвях данной а0 - сети все пути замкнутые, то в двойственной а„-сети все пути разомкнутые, и наоборот. Базис контуров в данной сети прямой и обозначен как ""р.0. Матрица для такого базиса равна Ъ= (тр„0 тр„°

В свободных ветвях двойственной сети все пути разомкнуты и составляют взаимный базис, обозначен как Для этого базиса метрическая матрица имеет вид 2°' = Оц"0 'е'оь) и обозначается также как 2оР = У"". Она соответствует обратной метрической матрице = (&„)"' в геометрии. Матрицы замкнутых и разомкнутых путей свободных ветвей обратные: У"" = (Х^У1 и Ъ^, - (У"6)"1 потому, что:

г., = (р„ р* р" р\) = (р„ б/ р\) = 5/ .

При связывании ветвей схо в сеть а' часть замкнутых путей разомкнётся. Выражая связанные пути через свободные получим матрицу преобразования тра' = шСа-а ра. В связанной сети матрица 1ар также получается как произведение базисов, которые теперь обозначим штрихами и выразим через базисы свободных ветвей:

(15) = (-Р„. ">рА) = (">са.° "р/ гарв01(1"Св.» = -пса.» (-чу ),.

Это формула преобразования метрического тензора, представленного здесь матрицей 2о[1, при связывании ветвей в сеть или другом изменении структуры сети.

Вектор взаимного базиса преобразуется как р"' = )р"0, где ортогональны

матрицы (С^'0)^1 = А1'«- Матрица УаР при связывании ветвей в сеть или другом изменении структуры преобразуется по формуле:

У«*' = Ор"' У<) = >р"о 0А% У„) 0 = У» 0А% Поскольку в связанной сети есть как замкнутые, так и разомкнутые пути, то представим их базисы в данной сети в виде: р„ ( = (тра, а в двойственной - в виде: а, 4 = (тр„,

В силу ортогональности матриц С и А, базис в двойственной сети аналогичен взаимному в исходной: (р„ ^ = (ра рр = б,':

Р* АН 1 У« й г тР« *'Ев 1 т Л 1 0

(р. Ер ь) = 'л и та с 'Р* -"Ер С = } 0 1

Отсюда следуют отношения между замкнутыми и разомкнутыми базисными путями в двойственных сетях (учитывая, что т = Д, $ - т):

(16) тР„ 4 = 8.,, 4 = 5аВ, ®Ро "в, I = 0, -¡р,,% t = 0.

Важная роль матриц ^ и ^ в геометрии состоит в том, что они связывают ковариантные и контравариантные геометрические объекты. Аналогичную роль такие матрицы играют и для сетей, связывая прямые и взаимные базисы в каждой сети, а также базисы двойственных сетей, например:

• для данной сети: тра° = трв0 = У"" тр"0 = УоР ^Ер0 ,

• для двойственной сети: ^0 = = = У"" тр0°.

Таким образом, ковариантные компоненты (прямой базис) двойственных сетей связаны через метрический тензор, а контра- компоненты (взаимный базис) - через обратный метрический тензор:

(17) '"Ра0 = У"' -¡Ер0 . У"11 "V и трво=]й°. ¥о = юрД

т.е. одинаковые по верхним или нижним индексам объекты в двойственных сетях ведут себя противоположно - они связаны метрическим тензором как ко- и контравариантные. Наоборот, контра- и ковариантные объекты в двойственных сетях ведут себя одинаково по отношению к метрике.

Полученные соотношения связывают п сети структуру, представленную базисами путей, и метрику, описывающую физические. материальные свойства ветвей. Метрика, представленная матрицей 7.^, определяет масштабы расстояний но независимым направлениям в сети, абсолютную величину вектора и т.д.

При связывании свободных ветвей в одной сети размыкаются контуры, а в другой замыкаются разомкнутые пути. В каждой из них уменьшается число путей, которые

имели свободные ветви, поэтому преобразования вырождены: сета теряют часть путей одного типа (они появляются в двойственной сети), но получают взамен пути другого типа. При изменении числа узлов в сети меняются размерности подпространств замкнутых и разомкнутых путей, но суммы их размерностей в двух сетей постоянны.

Существуют также векторы, которые представляют потоки процессов и ведут себя как объекты, наложенные извне на пространство сети. Эти векторы имеют компоненты либо в замкнутых, либо в разомкнутых путях (заданы внутренними или внешними источниками). В каждой сети при изменении структуры величина такого вектора меняется, но в сумме двух двойственных сетей остается постоянной. Этот инвариант определяет изменение компонент вектора процесса при изменении структуры.

Вектор, наложенный на пространство сети, обозначим d и представим контравариантными компонентами da в путях р„ прямого базиса: d = da р„, ми ко-компонентами как d = d,t р" - во взаимном базисе. Вектор d задан в совокупности либо замкнутых путей двойственных сетей, а и а, обозначим как md, либо разомкнутых путей двух сетей, обозначим как Jd.

Если md задан в замкнутых путях, то он имеет по каждой оси координат две компоненты - контравариантную в прямом базисе и ковариантную - во взаимном. Обозначим набор независимых контра- компонент как "d" в прямом базисе контуров шра и набор ковариантных компонент как md„ во взаимном базисе тр" в a-сети. Аналогично, обозначим в двойственной a-сети: в m - путях в прямом базисе - набор компонент как "d™, а во взаимном базисе mj>° - как m¿,. Разложение вектора d в совокупности контуров а и а сетей в прямом и взаимном базисе принимает вид: (18) md = md" mp„ + md* = md„ mp° + mcL

Если все контуры сосредоточены в одной сети, то во второй сети этот вектор не имеет компонент. Например, если в а„-сети ветви свободны и образуют контуры, то:

md = md0" ир°„ = roda° mp0" , где 0 - индекс, показывающий, что это сеть из свободных ветвей. В a-сети при этом все ветви разомкнуты, поэтому md не имеет там компонент, поскольку нет контуров.

Если в свободных ветвях - контурах метрика задана матрицей ZaJ, на главной диагонали - собствешше параметры ветвей, а вне диагонали - взаимные, отражающие взаимное влияние ветвей, то контра- и ковариантные компоненты связаны:

(19) md„° = Zci|1md(A

что соответствует формулам поднимания и опускания индексов в геометрии.

Аналогично, если вектор задан в разомкнутых путях d = id, то по каждой ветви (пути) он также имеет две компоненты: контравариантную в прямом базисе и ковариантную - во взаимном. Обозначим набор независимых компонент id" в прямом базисе j-путей Jpa, и Jd,, во взаимном Jp" в a-сети. В двойственной а-сети: в ¿ - путях обозначим набор компонент У" в прямом базисе ¡д, и -¡i, во взаимном Разложение вектора Jd в разомкнутых путях а и а сетей в прямом и взаимном базисе:

(20) Jd = Jd" ipa + id» = id, ¡p' + -¡4 .

Если все j-пути сосредоточены в одной сети, то во второй у вектора Jd нет компонент. Например, если в а0-сети ветви свободны и разомкнуты, то:

Jd = ido" Jp0« = Jd.» ipo" . В a-сети тогда ветви замкнуты, поэтому у Jd нет компонент - нет разомкнутых путей.

Из разложения вектора по базисным m или j путям двойственных сетей получим выражение для квадрата его величины, которое связывает матрицы преобразования в двойственных сетях, и не выводимо из структурных и метрических соотношений. Абсолютная величина вектора определяется с учетом метрической матрицы:

(21) I di2 = d« р. d- pa = d» (pa p„t) d"t = d° (Z„p) d"t = d" dat. Аналогично, для двойственной сети та же самая абсолютная величина имеет вид:

(22) I d] 2 = d» Д, d° л. = d° (ju bt) d»t = da (Y*) dat = d* d„t-

Постоянство квадрата абсолютной величины вектора в двух сетях является следствием ортогональности путей в двойственных сетях. Рассмотрим квадрат величины вектора md, используя (18), для замкнутых путей в двух сетях:

(23) I md| 2 = "do" md°„t = № mp„ + m^) (md" mp„ + ra&) =

= (md" mp„ mp„t md"t) + 2 (mdQ mp„ ma,t md°t) + (md* mp«, m&t md"t).

Как было показано, mp„ mp„t = 0 в силу ортогональности путей базиса в двойственных сетях, поэтому получаем для квадрата величины вектора выражение:

(24) | md|2 =(md" mPo mpat md\) + (md° ma> m&t Ш<Ю = (md* mZoP nd\) +

+ № mdBt) = (md° mdat) + (md* mit) = = I md'l2 + I md'l2,

которое представляет собой сумму произведений контра- и ковариаитных компонент в базисных контурах двойственных сетей. Аналогично можно записать и для вектора, заданного в разомкнутых путях, заменяя все величины на двойственные:

(25) I Jdl2 = -ido- =(Jd» JdU) + № JcLt) = I Jd'l2 + | Jd'l2. Сооотношения (24) и (25) показывают, что если величина заданного вектора

меняется в одной из сетей, го в двойственной сети изменения происходят так, что сумма величин постоянна, т.е. является инвариантом относительно преобразования структуры. Формулы преобразования ко- и контравариантиых компонент вектора d в базисах при связывании ветвей в сеть получим в предположении, что:

• Вектор d не меняется при изменении структуры двойственных сетей.

• Вектор d задан в путях или замкнутых, или разомкнутых и при изменениях структуры двух сетей имеет компоненты только в путях данного типа.

Пусть вектор d = md задан в то путях свободных ветвей, затем они связаны и получились ш' и ш'- пути. Тогда, в соответствии с (21), разложим его в свободных ветвях как вектор mdo, а в связанных ветвях двойственных сетей как сумму ®da + mda:

J = rnj = md0 = m^a ШрО^ = nifja + nijjtí mjk = m^ + mj^

откуда получим:

(26) md0a Va = md" mCa.* mp„° + md« JA-'» Í&,0.

Свободные ветви в a сети разомкнуты, то = j, тогда ш ¡>J> = Jp,0 = Ya|! mp°(. Приравнивая коэффициенты при одинаковых векторах базиса тр0а, получим формулу преобразования контравариантиых компонент md:

(27) md0» = mdac + mdac = md° mCa-« + md" ¡A°'a Y"" = (mCa-»)t ""d" + (JA°'a)t Y"11 mi», где ""de" и - его компоненты в ветвях двойственных сетей. Отсюда ясно, что нельзя получить компоненты вектора md для связанной сети по их значениям в свободных ветвях, поскольку они распадаются на сумму компонент в двойственных сетях и только в сумме дают компоненты полного вектора.

Аналогично получим двойственную формулу для компонент вектора d = -id. Введение векторов md и Jd имеет двойственные различия. Вектор md задан в свободных контурах ко- компонентами, т.е. во взаимном базисе "р": md = mda mp" , а вектор id - в разомкнутых ветвях контра- компонентами т.е. в прямом базисе Jpa: Jd = Jda Jpa. Все величины в (27) меняются на двойственные; ко- компоненты вектора Jd преобразуются:

(28) ida° = id.* +■ = (JA%)t 5d„ + (mC„-«)t Z„B

Здесь также слагаемые дают преобразование от путей базиса в связанных ветвях, к значениям компонент вектора в отдельных ветвях; только сумма компонент по двум сетям дает исходное значение компоненты Jd для свободной ветви.

Итак, получить значения контравариантиых компонент mda по исходным компонентам mdoa невозможно для m путей и, с двойственными изменениями, также для j путей: Поэтому преобразования координат - путей здесь группу не образуют.

Получим по заданным в свободных ветвях для вектора md ко- компонентам в mda° значения контра- компонент md° в данной или в двойственной сети. Это обеспечат формулы преобразования двойственных компонент вектора (здесь - ковариаитных) при связывании ветвей. Для этого в (24) подставим преобразование компонент из (27): I mdl2 = (md" mdat) + (mda m¿t) = md"o "ЧД = md" mC0.« md°„t + md" JA"'a Y»13 md°,t ,

откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых векторах Ма и , получим две отдельные формулы преобразования ковариантных компонент вектора во взаимном базисе при переходе от свободных ветвей к связанным для данной сети:

(29) т<1а = тС„.« "с!0., е , и для двойственной сети:

(30) т£11 = У"

Эти формулы получены из предположения о постоянстве квадрата величины вектора при изменении структуры двойственных сетей и обеспечивают преобразование ковариантных компонент вектора при связывании свободных ветвей в сеть.

Для получения контравариантных компонент вектора в двойственных сетях используем формулы преобразования матриц и У"" при изменении структуры сети типа' (15), откуда следует, что метрические отношения между прямым и взаимным базисами в связанной сети можно представить в виде: (31) т ) ш \

m mP. m Zmm Zmj m mpa m ШС Z mCt mC ZJCt

j JPa = j ^im 4 j Jp« = j JC Z raCt *C Z iCt

(где Z - это матрица для свободных ветвей), откуда получим выражение контурной части прямого базиса в связанной сети через вектор взаимного базиса:

(32) mp„ = Zrom mp» + Zmj Jp« .

Подставим mp„ в выражение для разложения по векторам базиса той части md0 вектора md, которая располоясена в данной сети (см. 18):

(33) md„ = md» >„ = ®d» (Zmm mp« + Zmj jp").

Вектор, заданный в замкнутых путях, не имеет составляющих в разомкнутых, следовательно md" Zm¡ ip" = 0. Тогда "М" = md„ - это и есть компоненты разложения вектора "Ч15 во взаимном базисе тр°. Подставляя сюда значение md„ из (29), получим выражение контра- компонент md° вектора nld в контурах связанной сети через заданные ко- компоненты в свободных ветвях md°„:

сч/f) m<ia = <t v им = /»f ,'7 mrí .vi mr j mho

Чтобы получить значения контра- компонент "de" вектора в отдельных ветвях связанной сети, подставим (34) в (27):

(35) mdc" = ®Cv", md° = mC„-«t ( mCV ZaP may)"1 mC/ md°p = Yc rad"p,

где Yc - матрица решения, умножение которой иа заданные md°p дает решение ""de". Проделав такие же рассуждения для компонент md° вектора md в двойственной сети, но подставляя вместо ""сЦ его значение из (30), получим:

(36) md¿- = iA"'at = JA«'at OA«'. Y"» JAV1 íaP P md°p = Zc md°p, где jAa'a записано вместо mC¿a, для сопоставления компонент в двойственных сетях.

Все рассуждения можно повторить для вектора Jd, заданного контравариантными компонентами в разомкнутых путях, сделав двойственные замены матриц Z на Y и С на А. Очевидно, что (34) и (35), а также ко- и контравариантые компоненты вектора поменяются местами. Для разомкнутых путей в данной сети получим:

(37) idca = iA/t Ч = JA/t ОК' У" j Vt)-' JAp»' ido" = Z ido".

Проделав двойствешше рассуждения для компонент ida вектора Jd для a - сети, получим для нее выражение ко- компонент через контра- компоненты:

(38) jdca = аС/, Jdrl = -С.Л (ЫС„"Zep "С'рО:1 тС/ ZaP >dj> = Yc id0B,

где "С/ записано вместо JA/, для сопоставления компонент в двойственных сетях.

Итак, вместо группы преобразований путей в сети, получаем цепь преобразований ко- и контравариантных компонент вектора в (35 - 38) при переходе от несвязанной сети к связанной сети, которая заменяет группу. Ее инвариант - квадрат величины вектора, остающийся постоянным при изменении структуры сетей.

Изменение компонент наложенных векторов при изменении структуры одной сети нельзя определить из-за прямоугольности матриц преобразования. Таким образом, по

компонентам вектора в одном базисе, нельзя определить его компоненты в другом, если меняется размерность нового базиса.

Как показано в (27), сумма контравариантных компонент вектора по каждой ветви !Мса (см. 35) и 1П(1са (см. 36) в двух сетях, равна значению компоненты т<Зоа в этой свободной ветви, т.е.:

(39) тс1о» = (г»,)"1 "4°, = "Мс" + =

= тс,л (тс</ г^ тау)-1 тс/ та°р + у» 'аЛ Оа««' у«р у^р

где справа и слева входят одинаковые по вариантности векторы. Поскольку величина тйс", обратная по своей вариантности к т(1с°, в силу двойственности величин в а - сети, то во втором слагаемом слева появляется матрица У"®, которая приводит компоненты к одинаковой вариантности. Из (39) ясно, что :

• сумма контравариантных компонент вектора по каждой ветви постоянна, вне зависимости от сложности структуры;

• во все слагаемые входят одни и те же ковариантньте компоненты вектора тс10р.

Приравняв коэффициенты при них получим выражение, связывающее структуру и метрику самой сети (независимо от наложенных векторов):

(40) (г)-' = У = »О; ( тс г тс)-' тс + у -А* 0к у М1)-1 и у.

Данное соотношение характеризует свойства пространства сети и не следует из ортогональности матриц преобразования. Оно связывает структурные и метрические свойства сети. Если веса ветвей единичные, то Ъ = У = I. Тогда из (40) получим:

(41) ( тС тС1)и гаС + ^ ('А ¡А = I.

Это чисто структурное соотношение представляет собой закономерность, которая связывает только матрицы преобразования путей. Оно выражает фундаментальное свойство двойственности замкнутых и разомкнутых путей в сети.

Аналогичное соотношение связывает матрицы двух двойственных сетей:

(42) тО. (ШС "СО"1 тС + тС( (тС тС = I, где I везде означает единичную матрицу.

Соотношения (40 - 42) - это разные формы закономерности, объективно существующей в любых системах, которые можно представить сетями. Она связывают метрические характеристики процессов со структурой систем.

Метод двойственных сетей обеспечивает расчет сетей при изменении структуры. Найденная новая закономерность (40 - 42) придает матрицам преобразования свойства группы. Это необходимо для расчета откликов при изменении структуры.

Задача расчета сети состоит в получении откликов на приложенные воздействия при изменениях структуры связей ветвей. Рассмотрены три основных типа расчетов:

• откликов в ветвях связанной сети по заданным воздействиям в свободных ветвях;

• изменения откликов в сети при изменении структуры связей, по ранее полученному решению для прежней структуры;

• расчет по частям - изменения откликов при соединении подсетей в сеть или разделении сети на отдельные подсети.

Ветвь может быть замкнутая, либо разомкнутая. В первом случае вектор задается ковариантными компонентами "с!0,,, а во втором - контравариантными ¡¿о"- При изменении структуры (и параметров гор) эти компоненты постоянны. Но двойственные компоненты (шс1ор и меняются, поскольку они связаны через Связь ко- и контравариантных компонент вектора для замкнутых ветвей дана соотношением (22). Аналогично - для разомкнутых путей. Если свободные ветви не взаимодействуют, то матрицы и У*" диагональные, тогда ко- и контравариантные компоненты связаны по каждой ветви только собственным метрическим параметром.

Наиболее простой расчет сети - определение откликов на воздействия при соединении ветвей в сеть. Это контурный и узловой методы расчета линейной цепи в электротехнике. Они основаны на законах Кирхгофа, описывающих структуру:

• сумма токов, входящих в узел и выходящих из узла, равна нулю;

• сумма всех напряжений в контуре равна нулю.

Задача расчета сети состоит в нахождении в ветвях откликов на воздействия, удовлетворяющих законам Кирхгофа. Для вектора т(1, заданного ко- компонентами 'М0о в свободных ветвях, с метрикой можно найти ковариантные тс1с„ и контра- тс1с° компоненты в ветвях связанной сети по формуле (33). Для вектора У, заданного контра-компопентами Моа в свободных ветвях, с метрикой У0" = (г^)"', можно найти ко- )с1са и контра- компоненты в ветвях связанной сети по (37).

В электротехнике компоненты т<10а вектора "41 - это источники напряжения еа; а метрическая матрица представляет собственные и взаимные сопротивления, ветвей. Решением такой связанной сети являются: компоненты "с!/ - это токи (обозначим ¡с"), компоненты ш{Зса - это напряжения (обозначим есЛ) в каждой ветви; а также тс1а - токи (обозначим К) и тс!а - напряжения (обозначим еа.) в базисных контурах сети. Аналогично для вектора М с двойственными заменами.

Рассмотрим расчет сети (сетевой модели сложной системы) при изменении соединений ветвей с изменением числа узлов. Уравнения поведения в сложной системе получают для одной структуры. При изменении связей их необходимо снова выводить и решать всю задачу заново. Для автоматизации расчетов целесообразно использовать результаты расчета одной сети для получения решения сети с другой структурой.

При изменении числа узлов, их слиянии или расслоении, в сети изменяются пути. Пусть в сети О) из п ветвей есть ^ узлов и одна подсеть, в) = 1. Тогда независимых разомкнутых путей л = .Ь - эь контуров Ш) = п - Если число узлов изменилось, например, часть узлов ^ соединили с другими и стало узлов Лг = Л) - Л1, то в сети аг, также пусть из одной подсети, изменится и число разомкнутых путей:

(43) )2 = ¡2 - Я! = - АЗ - в] = л - М, и число замкнутых путей, контуров:

(44) Ш2 = п - ¡2 = п - + М = пи + А1 = пн + Дт.

Уменьшение числа узлов увеличивает число контуров на Дт и уменьшает число разомкнутых путей. Увеличение числа узлов уменьшает число контуров на Дт.

В матрице преобразования от свободных к связанным ветвям второй сети С^2а строк т-путей тр2 будет на Дт больше, а строк .¡-путей -¡р2 на Дт меньше, чем в С„ч°. Новые строки т-путей составят подматрицу изменений структуры, ДС. Тогда можно выразить новую матрицу преобразования через подматрицы старой:

-п п п

га1 "С..," т, т, тС( т2

.и 'О,'!* = .И ¿С, ; Са.2* = Дт ДС

32 ¡1

где двойная черта разделяет в матрице подматрицы тС2 и -"Сг-

Для двойственной сети замыканиям соответствуют размыкания, Д,1 = Дт, матрица С^" = А"'2„ новой сети выражается через матрицу старой сети Со^а = Аа1а и матрицу изменений путей ДС = ДА:

п п

(46) ¿1 ь

£/.* = А-'«. = Ш1 тса.1° ; £,.2« = А'\ = Дт ДС Ь

ш2 тс2 пи

где двойная черта отделяет тС2 от -)С2, и где между сетями выполняются старые отношения: Щ) = л; Шг = ¡2': ¿1 = т1; }2 = т2> а также новое - между изменяемыми путями: Дт = Д^ В двойственной сети растет число разомкнутых путей.

Для получения решения надо выразить матрицу решения новой сети, У2С, через матрицу решения старой, У'с и матрицу изменений ДС. Рассмотрим невырожденные

случаи получения матрицы решения У2+с для вектора Шс1 при введении соединений узлов, и матрицы решения для вектора ¡¿, при введении разъединений узлов.

Двойственные соотношения позволят получить матрицы решения для вырожденных задач: при разделении узлов У2~с - для вектора шс1, а при соединении, слиянии узлов 22+с - для вектора У.

Матрица решения для контуров в старой сети имеет вид, в соответствии с (35): У'с = тСи (тС1 Ъ ""Си)"1 тС), а новой сети - аналогично:

(47) У2+с = тС21 (тС2 Ъ тС21)"' тС2,

. где через У2+с обозначена матрица решения при введении соединений (уменьшении числа узлов). Подставим сюда выражение тС2 через 1ЯС) и матрицу дс из (45):

(48) п ___г.

Дт Ш]

)"1 Дт

У2+с = |"Сц | дсч

ПЧ

(Дт

ШС)

ДС

т,

I г | п|"Си | дсГ

"С,

ДС

Произведение в скобках дает в символах матрицу импедансов связанной сети т22 : (49) Ш) Дт_ Ш] Дт

т, тС, Ъ тС1( тС\ г до а Ь

= Дт дс г тС) 4 дс г до т2 - с а

тг

где справа сокращенно обозначены элементы матрицы т22'.

Обратная к этой матрице, (т72)' = (тСг Ъ тС24)"1, в символах имеет вид: (50) Ш| Дт

т, а"'(1 + Ь О с а"') -а"' Ь В е Г

тУ2' = (,т12')л = Ат -Б с а"' В т2 = 8 ь

т2

где П - (о + с а"' Ь) Для примера дадим один элемент { этой матрицы:

{= -а-'ю = -(тс, г «с,,)-1 тс, ъ до (дс г до + дс г (Ус) ъ дС1)-'.

Чтобы получить матрицу решения новой сети У2+с, умножим слева тУ2' на тС24 и справа на тС2, вырал<еш1ые через матрицы тС) и ДС. Затем подставим значения элементов тЪ2 из (48), преобразуем и получим матрицу решения новой сети У2+с, выраженную через матрицу решения старой сети У'с и матрицу изменений путей ДС:

(51) у2+с = Ус + дус = у'с + (I - у'с г) до [дс г (I - Ус г) дед-' дс (I - г у'с),

где второе слагаемое обозначено как ДУС - матрица изменения решения.

Матрица решения У2+с новой сети получена как сумма прежней матрицы решения У'с и матрицы изменения решения ДУС. Каждая из них - это метрическая матрица для сети сложной конфигурации. Они не связаны с векторами, другими объектами. Это свойства структуры и метрики самих двойственных сетей.

Эти матрицы решения связывают ко- и контравариантные компоненты геометрических объектов в сетях с разной структурой. Например, если вектор "Ч задан ковариантными компонентами "М®,, то контра- компоненты тс1С2° в новой сети:

(52) "4.2" = У2+с ■М», = (У'с + ДУС) = "Ч,- + Дтс1сЛ

где добавочные компоненты Д"1^'* обусловлены введением в сети связей; они изменяют компоненты вектора в старой сети тс1с1<' в комгюненты в новой сети Ш(1С2>. Если метрики нет (г = У = I), то матрица У2+с проще:

(53) У2+с = Ус +• (I - У'с) ДО; [ДС (I - У'с) ДОГ' ДС (I - У'с), где теперь У'с = шСи ("С] тСн) и ИС1.

Матрицу решения новой сети Тс2+ при введении соединений для вектора М в разомкнутых путях получим, подставляя а (40) значение Ус2+ из (51), а затем еще раз используя (40) для преобразования круглых скобок:

(54) гс2+ = ъ - ъ Ус2+ г = г - ъ (ус' + дус) г = гс1 - гс' ао[ас ъ^ дс,.]4 дс гс\

т.е. матрица решения новой сети Хс2+ выражается через матрицу старой и матрицу изменения путей ДС. Эту формулу также представим в виде суммы матрицы решения Ъ^ и матрицы изменения решения А2С, причем ДУС здесь остается той же самой: (55) . 2с2+ = гс1 - г дус г = гс1 - дгс.

Это формула аналогична (40) и представляет те же преобразования параметров сети. По сравнению с (51), где знак "плюс" показывает, что метрические параметры увеличиваются с ростом числа переменных (контуров), здесь знак "минус" показывает двойственное уменьшение этих параметров с уменьшением числа разомкнутых путей.

Выражение (54) проще, чем (51), но по числу умножений и обращений матриц они одинаковы. Разница состоит в размерности матрицы решения старой сети, равной числу контуров, или разомкнутых путей. Если контуров много меньше, чем .¡-путей, то проще получить Ус', а по ней найти с помощью (40), и наоборот.

Полученные формулы показывают, что при наложении связей матрицы решений УС1 или г1 с, преобразуются параметрами изменяемых путей в данной и двойственной сетях, которые представлены матрицами ДС и ДА. Матрица изменения решения ДУС или Мс соответствует сети, двойственной к сети из путей, которые изменились при изменении структуры.

При разрывании связей (разъединении узлов), в сети уменьшается число контуров и на столько же растет число разомкнутых путей. Для вектора М в данной сети (или вектора "М в двойственной) растет число переменных и, в соответствии с (46), в матрице преобразования появляется подматрица д£ = да, которая описывает пути, измененные при разрывании связей.

Для получения матрицы решения новой сети по матрице решения старой сети Ус' и матрице изменений (типа дус) при разрывании связей достаточно использовать соотношение (40). Запишем (51) для замкнутых путей в двойственной сети, заменяя путем подчеркивания все величины на двойственные:

(56) х2+с = у'с + дХс = у1с + (I - 1) д^ [дс г (I - у'с г) дш-1 дс (I - г у"с), где соответствие: — У, V'^ — С " А, ДС = ДА. Матрице У^в двойственной сети соответствует 2в данной сети из (40): = У2+с, поскольку они относятся к одной структуре. Подставляя в (56) двойственные величины, получим:

(57) гг\ = г'с + дхс = г\ + (I - г\ у) дак [да у (I - т.\ у) да1]-1 да (I - у г'д

Здесь новая матрица решения при разрывании связей выражена через старую матрицу решения 2и ортогональную матрицу изменения путей ДА. Это разрывание связей есть обратное преобразование структуры по отношению к введению связей. Знак "плюс" показывает, что метрические параметры увеличиваются, поскольку растет число переменных - разомкнутых путей, в то время как в (54) они уменьшались.

Точно также запишем (54) для разомкнутых путей в двойственной сети, заменяя величины на двойственные подчеркиванием и преобразуя. Получим формулу расчета матрицы решения для замкнутых путей при разрывании связей в сети:

(58) Ус2" = Ус1 - Ус1 АА1 [ДА УС1 ДА^"1 ДА Ус'= Ус1 - А2С = Ус' - У АУС У.

Формула (58) дает обратное преобразование - разрывание, заданное матрицей ДА. Оно обратно соединениям, данным в (55). Знак "минус" показывает уменьшение метрических параметров сети для замкнутых путей при разделении узлов.

Формулы (53-54) и (57-58) полностью описывают преобразования матриц решения при изменении числа узлов в связанной сети. Показано, что такие же формулы описывают расчет сетей по частям, но тогда матрица Ус1 блочно-диагональная. Таким образом, эти формулы описывают все возможные случаи расчета сетей при изменении структуры: расчеты для замкнутых и разомкнутых путей; при разделении и соединении ветвей в одной сети; по частям - в подсетях, в данной сети и в двойственной сети - все они являются частными случаями этих формул.

Эти формулы описывают потоки энергии в сетях, представляющих технические, экономические системы. Они выражают закон постоянства потока энергии при изменениях структуры двойственных сетей.

Например, контравариантные компоненты вектора md в двойственных сетях: (59) mdc" + mdc" = (Yc2+ + Y Zc2+ Y) md0„ = Yc0 md0,, = md0°, откуда ясно, что при любой структуре соединения ветвей двойственных сетей их сумма постоянна. Этому соответствует, например, постоянство суммы токов и суммы напряжений в каждой ветви электрической депи и двойственной к ней цепи.

Постоянству квадрата величины вектора при изменении структуры двойственных сетей соответствует постоянство суммы рассеиваемой мощности от источников тока и/или напряжения в совокупности цепей с двойственной структурой. Таким образом, например, формула (24) постоянства квадрата величины вектора для мощности ШР в электрической цепи и тР в двойственной цепи имеет вид:

mp + шр = mp0j

где тРо - мощность источников. При подстановке выражения md2 через компоненты (ковариантным компонентам соответствуют напряжения е„, а контра- компонентам - токи i" ), эта формула примет вид:

е„ mCt (mC Z ""Ct)"1 mC e„ + ea Y mCt (mC Y mCt)"1 mC- Ye, = e,Z'' e„.

Метрические параметры Z, Структурные параметры С Компоненты вектора d

Построение матриц С и А по матрице инцидеиций M°i

Выделение подсетей в соединенной сети

{Матрица Zs+j подсети s+1

Матрица Z( подсети :

Матрица Cs+1 подсети s+1

Матрица С| подсети 1 U

Комп-ты вектора ds+1 s+1

Параллельный расчет подсетей

yic = mc't (mC' Zi "С1»)'1 "С1

ACS] ДС52 ... ACSS ДС®5+|

AY'C =ACS, Y1C ДС5! +...+ ACsg Ysc ACSS+ ACss+t Yrc ДС%+1

ЭВМ с параллельной архитектурой

Процессор г (s+1)

Процессор 1

AZC' =(AY' J'1

г л s

У'сДС', AZ'C ACS, Y'e = = AY„

Y2C = Y> + AYC

Рис.3. Расчет сети по частям с использованием параллельных процессоров

Таким образом, эта закономерность представляет постоянство потока энергии (выраженного мощностью) при изменении структуры двойственных цепей.

. Практически важной особенностью алгоритмов расчета сетей по частям является отсутствие итераций, которые обычно возникают при расчете взаимного влияния подсистем. Это обеспечивается тем, что при разрывании связей изменение матрицы решения, как и компонент наложенного вектора (потока), "переходит" в сеть, двойственную к сети из разделенных путей - "сеть пересечений", в соответствии с инвариантом двойственных сетей. Решение сети пересечений сразу определяет взаимодействие подсистем в полной сети без итераций.

Алгоритм последовательности расчета сети по частям в соответствии со схемой рис. 3, например, для контурной матрицы решения Yc соединенной сети (вектора, заданного в контурах) состоит из следующих основных этапов.

1. Задаш1е исходных параметров: ветвей - матрицей Z (или Y), структуры - матрицей С (А), компоненты вектора md (или Jd), в свободных ветвях - md°a или Моа.

2. Разделение сети на подсети, выделение отдельных блоков ""С1, ..., mCs, mCs+1. Размер подсетей, выделение сети соединений определяются условиями задачи.

3. Выделение подматрицы изменений в ДО, ДСГ -строк путей, которые замыкаются при соединении подсетей (или размыкаются при разделении сети на подсети).

4. Расчет s подсетей и (s+1) сети соединения вида У'га = mCst(mCs ZsmCst)"' mCs может выполняться на ЭВМ с параллельной архитектурой.

Практические приложения метода двойственных сетей связаны с разработкой актуальных информационно-аналитических систем. Приложения тензорного метода для технических систем (электрические машины, сети передачи электроэнергии, строительные конструкции, ядерный реактор, лопатки турбин); физических систем (модели уравнений Максвелла, Шредингера, Навье - Стокса) были выполнены в 30 - 80-х годах. В данной работе представлена сетевая модель процесса ректификации на нефтеперерабатывающем заводе, основанная на сети потоков движения продукта, потоков возможной утечки и предназначена для предупреждения аварий.

Актуально применение двойственных сетей для расчетов, анализа и прогноза экономических систем. Необходим расчет изменения потоков продуктов в реальном секторе и потоков денежных средств в финансовом секторе при изменении хозяйственных связей, а также изменении показателей и связей на мировых рынках. Последнее имеет возрастающую актуальность для анализа и прогноза влияния изменений на мировых рынках финансов и ресурсов на экономику страны.

Тензорный метод применен для построения сетевой модели (в виде электрической цепи) для задачи межотраслевого баланса потоков продуктов. Контурные и узловые токи представляют потоки продуктов. Контурные и узловые напряжения представляют потоки денежных средств, которые обеспечивают производство продуктов. Связывая потоки и структуру,; сеть раскрывает зависимость финансов и продуктов в экономической системе. Декомпозиция на подсистемы сокращает время расчета вариантов, что необходимо, например, при подготовке оптимального бюджета. Модель соединяет расчеты материального и финансового баланса; обеспечивает анализ состояния и варианты прогноза развития производственного и финансового секторов.

Задача межотраслевого баланса представлена системой уравнений потоков продуктов, которая описывает закон сохранения (баланс) продуктов на выходе отраслей. Валовой выпуск продуктов Ха в п отраслях (а = 1,...,п), должен обеспечивать спрос (план) у„ и поставки в другие отрасли р - х^:

(60) X" = +уа.

а-1

Межотраслевые поставки заданы коэффициентами прямых затрат а«Р; они равны количеству продукта отрасли а для производства одной единицы продукта отрасли р:

(61) х"* = а"» Х„.

Потребление ресурсов определяется коэффициентами Ь°®, они равны количеству ресурса у для производства одной единицы продукта отрасли р:

(62) г* = Ь" Х„.

Подставляя (61) в (60) и преобразуя, получим систему уравнений

(63) у" -аа")Х?,

где ЫаЬ - ааЬ)= (I - А) - экономическая матрица, которую надо обратить для решения:

(64) Ха ^{8а>> -а^у'у".

Экономическая матрица обращается вычислением суммы ряда:

(65) (/ - А)л = I + А + А2 + А3 +...,

где коэффициенты а"" меш>ше единицы и норма матрицы - меньше единицы. Ряд (65) сходится медленно. Вычисление его суммы для нескольких тысяч показателей требует больших затрат времени.

Существует связь между потоками продуктов в узлах входов отраслей:

(66) , , £ а°Ф+ ЕЬсф = 1.

Физически это означает, что для выпуска единицы продукта необходимо обеспечить все поставки и ресурсы. Это соотношение дополняет описание потоков в сети и необходимо для приведения уравнений к тензорному виду.

Валовой выпуск играет на входе в отрасль роль воздействия, вызывает потоки поставок и ресурсов, а на выходе - роль отклика, результата производства. В первом случае он входит в уравнение (61), а во втором - в (60). Если отрасль не потребляет свою продукцию, то а„„ = 1, а значит валовые выпуски на входе и выходе отрасли численно равны. При изменении структуры связей при постоянном воздействии (спросе) у", валовой выпуск преобразуется по формуле: Х„' = С„.а Х„, где:

Св." = (I - а«8,) (I - а-у1, есть матрица, характеризующая изменение связей. Таким образом, валовой выпуск -воздействие преобразуется как ковариантная величина.

Контрзвариантные компоненты, Ха, определяют поток п^од^'ктов, они связаны с воздействиями, Х„ метрической матрицей:

(67) X" = Ха.

При изменениях производства эта матрица имеет сложный вид. В стационарном режиме, когда = б"01, получим при переходе к новой системе координат:

(68) X«' = Хр. = с/ хе = с/ а. X«.

Учитывая свойство метрического тензора поднимать и опускать индексы, получим, что матрица преобразования Ха имеет вид: Сц-" др„ = С"'9 g(lI = С"'п, следовательно, формула преобразования X" принимает вид:

(69) X"' = С*'а X».

Итак, X" преобразуется с помощью матрицы С"'а = (С/)"^, т.е. ортогональной к матрице преобразования Хв. Валовой выпуск подчиняется тензорным законам преобразования координат. Аналогично получим формулы преобразования для потоков поставок х"" и ресурсов г1*1: Эти формулы преобразования не тензорные, поскольку вместе с матрицей С0" в них входят гакже множителями матрицы а"'"', Ъ''"', (а"9)"1, (Ь4)"1, которые не являются матрицами преобразования.

Если задать одновременно поставки и ресурсы, то можно получить формулу преобразования совокупности поставок, и ресурсов, с учетом (66):

(70) X х»'«' + £ Г'»' = 2 Х„0 + £ (Ь1'"' Х.0 = (£ ав'«' + £ Ь''°') X». =

= х„. = С„." Х„ = с„." (£ х"» + £ Г'-), откуда ясно, что сумма поставок и ресурсов преобразуется тензорно, с помощью только С„'*. При этом используется (66), необходимое для приведения уравнений потоков продуктов к тензорному виду. Соотношения (67). (69) и (70) показывают, что при изменении связей отраслей все величины преобразуются по тензорным формулам.

Для применения тензорного метода необходимо представить задачу баланса продуктов сетевой моделью. Внешне система отраслей аналогична технической системе, электрической цепи: там и здесь протекают потоки энергии как отклики на воздействия.

Однако это не так. Техническая система потоки энергии рассеивает, а экономическая -накапливает. Только двойственные понятия (контуров и разомкнутых путей и т.д.) позволяют представить потоки продуктов величинами сетевой модели.

Спрос в каждой отрасли будем представлять источником тока, а потоки продуктов в отраслях, поставки и ресурсы - как отклики. Здесь проявляется отличие техники от экономики. Потоки в цепи подчиняются теореме Волавера о неусилении мощности при соединениях. Отклики в цепи не превышают воздействий. Потоки продуктов в отраслях должны превышать конечный спрос, поскольку обеспечивают также поставки другим отраслям. С ростом числа связей объемы поставок растут. Таким образом, токи и потоки продуктов принципиально отличаются.

Независимые векторы в замкнутых и разомкнутых путях дополняют друг друга,' что позволяет представить продукты токами. Для этого зададим ковариантные компоненты вектора в контурах (источники напряжения) так, чтобы их отклики дополняли отклики на контра- компоненты вектора в разомкнутых путях (источники тока, спрос) до величин потоков продуктов. Это позволит выразить потоки продуктов понятиями сети, получить сетевую модель задачи баланса.

Примеры структуры отраслей, поставок и ресурсов представлены на рис. 4. Сеть состоит из отраслей (жирные линии), связанных поставками (наклонные линии); сверху подходят ресурсы. Внизу стрелки показывают источники тока (спрос на конечный продукт), а круги - двойственные компоненты, источники напряжения.

Рис. 4. Схемы сетевой модели потоков продуктов и ресурсов

Построим соответствие между потоками продуктов и контра- компонент векторов в замкнутых и разомкнутых путях сети (токов). Для наглядности будем использовать аналогии с электрической цепью. Очевидная аналогия - спрос у" представим как источники тока на ветвях отраслей, обозначим I". Коэффициенты прямых затрат (а"|! для поставок и Ьл для ресурсов) представим как проводимости ветвей У"' (метрика). Расчет полученной сети даст отклики на ветвях - 1°с. Обозначим их значения для ветвей отраслей, поставок и ресурсов соответственно, как Г*са, 1°сч, 1°сг-

Реальные токи в такой сети не равны потокам продуктов, не совпадают с ними по направлениям. Система отраслей принципиально отличается от сети, в которой мощность уменьшается при соединении ветвей, а разность "переходит" в двойственную сеть. Поэтому отклики в ветвях не соответствуют величииам валового выпуска, поставкам и ресурсам, обеспечивающим спрос. Закон Кирхгофа для токов в узлах выхода отраслей имеет вид: 1° = 1°са + £ Рс[1: ток-спрос равен сумме валового выпуска и поставок, а в задаче баланса валовой выпуск равен сумме спроса и поставок в соответствии с (60).

Итак, нет полной аналогии между узловыми токами (контра- компонентами вектора в разомкнутых путях) и потоками продуктов, хотя структура соединения ветвей одинакова. Чтобы представить продукты токами используем двойственность компонент векторов замкнутых и разомкнутых путей в сети. Допустим, что источники напряжения (ко- компоненты вектора контуров) расположены в сети так, что отклики дополняют узловые токи до значений, соответствующих потокам продуктов.

Выполним это в несколько этапов. Сначала пусть источники е,,1 таковы, что отклики ¡а1, (по отраслям, поставкам, ресурсам - ¡°п1, ¡"т), ¡аг1), вместе с откликами на I" равны

начальным значениям потоков продуктов при вычислении суммы ряда (65). Формулы представления продуктов с помощью токов тогда:

X», = 1«п + ¡«„1 = у" + хаР] = у<*;

(71) хчР, = 1«т + ¡«т1 = 0;

ггР, = 1% 4- 1«г1 = у.

То есть, отрасли производят лишь столько, что удовлетворить спрос и потребляют необходимые ресурсы, не обмениваясь взаимными поставками.

Теперь допустим, что источники еа2 таковы, что отклики ¡"2, (по отраслям, поставкам, ресурсам - ¡"п2, ¡"^г, вместе с откликами на 1° и откликами на еа', равны значениям потоков продуктов при вычислении второго члена суммы ряда (65). Получим формулы для выражения потоков продуктов токами на втором этапе: Х«2 = 1\ + ¡<"„, + 1«ц2 = у" + 2 = у» + г а^ у»; (72) х«»2 = 1«т + ¡^1 + = х"". + а„р X", = аа|> у»;

г«2 = 1"г + + ¡«г2 = Г + £ у" - 2 а*, у» = Ь„ у + Е а„„ у".

Продолжая выбирать значения источников так, чтобы на каждом этапе они обеспечили в ветвях сумму узловых и контурных токов, равную потокам продуктов в сети отраслей, получим для р - этапа расчета в сети следующие уравнения:

(73) х- =/; = а<4ууе =у° + а

11=1 11-0

где справа подразумевается суммирование и но индексу р.

(74) =0».,)'-^

Эти суммы двойственных контурных и узловых токов численно равны потокам продуктов в отраслях, поставках и ресурсах, получаемым при вычислении р членов ряда (65). Уравнения (73) - (75) представляют в общем виде потоки продуктов в системе отраслей (производств), как комбинацию токов (или контравариантных компонент вектора потока) в сетевой модели задачи баланса.

Представление потоков продуктов величинами сети позволяет построить алгоритм расчета балансовой задачи по частям, что сокращает время расчета и допускает параллельные вычисления при расчете подсистем. Алгоритм можно построить двояко:

• разделить сеть па подсети и сделать полный расчет сети по частям;

• для каждой подсети решить задачу баланса - вычислить (I - А)"1 или сумму ряда (65), а решения подсетей соединить, используя сетевое представление.

В первом случае получим все значения токов и напряжений, т.е. контра- и ковариантные компоненты вектора потока, получив данные для материально-финансового анализа. При этом размерность задачи становится больше числа отраслей, что увеличит время расчета для задач с большим числом переменных. Потоки продуктов представлены как комбинации связанных контурных и узловых токов, поэтому надо сначала рассчитать узловую сеть, а затем много раз - контурную сеть при одной структуре (матрице решения), но разных значениях источников напряжения.

Во втором случае получим только значения потоков продуктов, но размерность , задачи не превысит числа отраслей, при расчете полной задачи, и будет значительно меньше при расчете по частям. Объем вычислений становится минимальным.

1. Разделение на подсети.

2. Нулевой цикл расчета подсетей - финишные продукты.

3. Расчет подсетей с воздействиями чистого спроса. . ^ ,

4. Получение взаимного воздействия подсетей друг на друга. ■к

5. Проверка на достижение заданной точности решения.

6. Переход к пункту 3 - расчет подсетей с новыми взаимными воздействиями.

Для применения сетевой модели к расчету баланса только потоков продуктов матрица (I - А) всей системы делится на примерно одинаковые блоки-подсети. Разделение , производится до расчета подсистем, получения обратных матриц Время расчета обратной матрицы определяется размером наибольшей подсети, поскольку при обращении объем вычислений пропорционален кубу размера матрицы. При разделении подсетям соответствуют диагональные блоки, а не попавшие в них элементы, составляют матрицу двойственной сети пересечений, в которую входят: ненулевые элементы вне блоков; нулевые элементы строк и столбцов этих элементов, которые пересекаются строками или столбцами других ненулевых элементов; элементы на главной диагонали на пересечении строк и столбцов таких элементов вне блоков.

Автор показал, что реализация такого алгоритма значительно уменьшает объемы вычислений, причем экономия растет с ростом размерности задачи и допускает применение других методов, например, разреженных матриц.

Методика анализа потоков в модели баланса применена для анализа результатов деятельности коммерческих банков и банковской системы. Анализ банка производится на основе бухгалтерских балансов по счетам второго порядка . Счета представляют собой хронологическую ведомость прихода (к - кредит) и расхода (д - дебет) средств данного типа. Например, счет 010к содержит сумму уставного фонда (капитала), т.е. сумму, которую акционеры (пайщики) или учредители вносят как основу для начала работы банка. Счет 194д - сумма вложений банка в государственные долговые обязательства. Счета играют роль ветвей (координат), разделяя потоки денежных средств; связь ветвей определяют бухгалтерские проводки, переводящие средства с дебета одного счета па кредит другого, как внутри банка, так и между клиентами или другими банками. Таким образом банки составляют финансовую сеть, связывая предприятия, которые производят продукты и услуги, других пользователей денежных средств. Особенность потоков в такой сети в том, что средства поступают (зачисляются на счета, списываются со счетов) в разные сроки и независимо (параллельно). Денежные средства являются воздействиями для производства.

Банк, с точки зрения физики, играет роль трансформатора в финансовой сети, собирая средства и направляя их в операции с наибольшей прибылью. На основе гарантий капитала и резервов банк по одной группе циклов привлекает средства (бюджета, предприятий, населения), они составляют пассив баланса. За пользование этими средствами банк платит, в зависимости от сроков пользования, суммы, других условий. Средства поступают на разные счета, отражающие суть источников средств. По другой группе циклов банк размещает средства - дает ссуды клиентам, вкладывает в ценные бумаги, другие активные операции, совокупность которых составляет актив баланса. Суммы активов (дебетов счетов) и пассивов (кредитов счетов) в каждый момент равны, эго основной закон баланса банка, отражающий сохранение потока.

За размещенные средства банку платят, также в зависимости от сроков, суммы и условий. Разность между доходами от размещения и расходами по привлечению средств составляет прибыль банка (или убыток). Для анализа результатов деятельности банка счета группируют в показатели, характеризующие основные каналы движения денежных средств по пассиву и активу, суммы по этим каналам, определяющие специализацию банка, доли привлеченных и размещенных средств в сумме активов и обязательств эффективность работы по каждому каналу и банка в целом отражают потоки прибыли на рубль вложений в единицу времени. Например, межбанковские кредиты (МБК), отражающие взаимодействие банков, имеют вид:

МБК = 054д + 056д + 615д + 822д; ' вклады и депозиты юридических лиц срочные (ВДЮЛ):

ВДЮЛ = 736к + 737к + 738к + 739к + 741 к + 742к + 743к + 744к + 745к + 746к + 747к + 748к + 749к + 750к + 751к + 824к.

Прочие неработающие активы (ПНА) характеризуют "балласт" банка. В них порой скрывают убытки. У некоторых банков в ПНА находятся немалые средства. ПНА вычисляется по счетам:

ПНА = 57д + 58д + 626д + 627д + 628д + 662д + 681д + 808д + 816д + 829д + 890д + 893д

+ 904д + 905д +■ 941д + 15д.

Кредиты экономике состоят из суммы и разности более 130 счетов, а обязательства до востребования - более 220 счетов и т.д.

При переходе на новый План счетов (НПС), начиная с финансовой отчетности на 01.02.98 г., изменились группировки счетов, которые составляют показатели деятельности банков. Но это не изменило величины самих денежных средств, подобно тому, как не меняется длина вектора при изменении- системы координат. Роль системы координат играют старый или новый План счетов. Преобразование представления показателей счетами при переходе на НПС обеспечено применением тензорного метода для анализа деятельности банков.

По новому Плану счетов представленный выше показатель межбанковских кредитов МБК (НПС) принимает следующий вид, отражая те же средства, что и по старому Плану счетов:,

МБК (НПС) = 32001 + 32002 + 32003 + 32004 + 32005 +32006 +32007 +32008 +32009 + 32101 +32102 +32103 +32104 +32.105 +32106 +32107 +32108 +32109 +32401 +32402.

Выбор показателей пассивов и активов, отражающих реальные потоки денежных средств, обеспечил сопоставимость анализа при переходе на новый План счетов бухгалтерского учета в банках России с 1.02.98. Объективные показатели оказались аналог ичны векторам, длина которых не зависит от системы координат .

Разработанная методика анализа результатов деятельности банков, основанная на анализе финансовых потоков, с 1995 г. применяется в информационно-аналштгческом бюллетене "Банки и финансы" (выходит один раз и лпя месяца) информационного агентства "Мобиле" для определения положения и динамики развития банков Москвы и регионов России, анализа банковской системы России в целом.

Результаты расчета и анализа показателей деятельности 700 банков Москвы и 900 банков регионов России на каждый месяц и в динамике за 5 месяцев представлены в бюллетене в таблицах. На 1 число каждого месяца представлено около 20 основных показателей деятельности (собственных средств, пассивов, активов и прибыли/убытков) каждого банка. В аналитических таблицах представлена динамика наиболее критичных показателей (работающих активов, капитала, вкладов граждан, вложений в государственные ценные бумаги и т.д.), а также их сопоставление с динамикой отношений (долей) других важных показателей. Например, таблица 3.2.1 динамики работающих активов (РА) и отношения работающих активов к сумме активов, валюте баланса (РА/ВБ) в бюллетене № 15 имеет вид:

Таблица 3.2.1. Динамика работающих активов и отношения РА/ВБ

N9 Название банка РА, млн. руб. и отношение РА/ВБ, % на дату Изменение РА и РА/ВБ за период

1.03.98 1.04.98 1.05.98 1.06.98 1.07.98

1 СБЕРБАНК РОССИИ 133 807 36.04% 139 802 36.84% 141 941 37.37% 106.08% 103.70%

2 ИНКОМБАНК 19,888 43.20% 20 483 44.44% 21 625 45.07% 20 264 41.01% 22 302 45.15% 112.14% 104.07%

350 ЩИТ-БАНК 26 56.98% 20 42.68% 28 55.01% 25 49.89% 21 42.66% 82.26% 74.87%

Такой подход позволил выделить систему показателей, характеризующих основные стороны деятельности банка. Ежемесячный анализ динамики их изменения дает представление о результатах и перспективах деятельности банков, позволяет сравнить их

между собой.. Результативность работы банка определяется по эффективности (скорости поступления потока прибыли) по основным операциям и структуры прибыли и убытков от основных видов банковской деятельности.

На основе метода двойственных сетей и модели баланса разработана методика анализа производственной и финансовой деятельности, предприятий. В отличие от банка, финансовый оборот деятельности предприятия обеспечивает основной, производственный цикл. Поставки сырья и комплектующих на входе, вместе с энергоресурсами (электричество, вода, тепло, газ) и рабочей силой обеспечивают выпуск продукции, которая на выходе отгружается потребителям. Эти потоки связывают предприятия в технологические цепочки, образуют производственную сеть, представленную моделью межотраслевого баланса. Навстречу движутся потоки денежных средств, отгруженная продукция отражается дебиторской задолженностью, затраты на производство характеризуют производственный процесс, долги поставщикам и финансовым институтам . отражает кредиторская задолженность.

Данная методика реализована с 1997 г. в журнале "Промышленность России" (совместное издание Министерства экономики и агентства "Мобиле") применяется для анализа деятельности предприятий, технологических цепочек предприятий. Например, в журнале № 1 (9) за январь 1998 г. дан анализ производственной и финансовой деятельности автозаводов и шинных заводов России на основе запросов к базе данных промышленных предприятий в соответствии с методикой.

Практическим применением разработанных методов стал расчет вариантов прогноза доходов бюджета. Разработанная модель денежных, потоков доходов бюджета использована при разработке информационно-аналитической системы прогноза поступления налоговых и неналоговых доходов в бюджет г. Москвы. Представление потоков денежных средств, в соответствии с Классификатором доходов, в виде единой сети позволило создать систему расчета вариантов прогноза доходов бюджета при разных значениях облагаемых баз, дефляторов, коэффициентов распределения и ставок налогов.

Система реализована и внедрена в Департаменте финансов Правительства Москвы, использовалась при расчете нескольких вариантов прогноза доходов бюджета г. Москвы на 1996 год, демонстрировалась в 1997 г. на выставке "Управление-97" в Москве. Применение системы позволило сократить время расчета одного варианта прогноза бюджета в 10-15 раз (в зависимости от числа вносимых изменений) и перейти к расчету вариантов прогноза при внесении изменений в режиме реального времени. Использование этого метода позволило повысить обоснованность принимаемых решений, обеспечивая многовариантный анализ с учетом максимального числа факторов, влияющих на формирование бюджета.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана тензорная методология исследования сложных систем.

2. Разработан метод двойственных сетей, который обеспечивает расчет изменения > процессов при изменении структуры сложных технических, экономических систем.

3. Найден инвариант, связывающий матрицы преобразования структуры и метрические матрицы двойственных сетей.

4. Найдена неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при изменении структуры двойственных электрических цепей.

5. Разработаны алгоритмы расчета процессов в сетях при изменении структуры, включая разделение сети на подсети. Расчет сетей и сетевых моделей сложных систем по частям проводится без итераций, что повышает эффективность расчетов.

6. Получена сетевая модель баланса потоков продуктов и денежных средств в экономике, используемая для анализа деятельности предприятий.

7. Разработана модель и методика анализа результатов деятельности банков, используемая в бюллетене "Банки и финансы".

8. Разработана модель и методика расчета и прогноза исполнения бюджета; выполнена алгоритмическая, программная реализация аналитико-прогнозной системы для Департамента финансов Правительства Москвы.

9. Получена сетевая модель массообмена для подсистемы оперативного прогнозирования пожароопасных ситуаций в АСУ ТП объектов нефтепереработки.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Петров А.Е. Тензорная методология в теории систем. М.: Радио и связь, 1985. 152 с.

2. Петров А.Е. Тензорный метод расчета сложных систем (иа примере балансового планирования). - автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических паук. - М.; МИФИ, 1984. 17 с.

3. Арменский А.Е., Кузин Л.Т., Петров А.Е. Тензорный метод проектирования интегрированных систем управления. В кн.: Интегрированные автоматизированные системы управления. Москва, Знание, 1983.

4. Петров А.Е. Тензорные методы проектирования систем балансового планирования. В кн.: Интеллектуальные банки данных. Тбилиси, 1982. 3 с.

5. Петров А.Е. Тензорный метод расчета сложных систем по частям. В кн.: Математические методы и программные средства в системах моделирования и управления на ЭВМ. Энергоатомиздат, 1987. 2 с.

6. Петров А.Е. Тензорный метод расчета сложных систем и инвариантность мощности. В кн.: Математические основания теории сложных систем. Иваново, ИвГУ, 1989. - с 37 -44.

7. Петров А.Е. Параллельный алгоритм расчета систем по частям тензорным методом. В кн.: Методы и программы решения оптимизационных задач на графах и сетях. Новосибирск, СОАН, 1989. - с. 155 - 157.

8. Петров А.Е. Применение тензорного метода для прогнозирования развития сложных систем. Труды XX - ХХП Чтений, посвященных разработке научного наследия и развития идей К.Э. Циолковского. М: 1989. - с. 16 - 23.

9. Деглин Э.Г., Петров А.Е. Тензорная вибродинамика газотурбиновых двигателей (ГТД). ВИМИ, сборник рефератов депоиир. рукописей, №1, 1990, № Д08204.

10. Петров А.Е. Тензорный анализ сетей и параллельные вычисления. - М/. МИФИ, 1991. - 24 с.

11. Петров А.Е. Тензорная декомпозиция сложных систем. В кн.: Методы синтеза и планирования структур крупномасштабных систем. Звенигород, 1990. - 2 с.

12. Петров А.Е. Тензорный метод и параллельные вычисления. В сб.: Научно-технические средства информатизации, автоматизации и интеллектуализации в народном хозяйстве. М.: Знание, 1991. с. 43 - 54.

13. Петров А.Е. Об основах геометрии двойственных сетей. В кн.: Тензорные методы анализа сложных систем. Ижевск, 1991. - с 30 - 34.

14. Петров А.Е. Моделирование и анализ поведения сложной системы при чрезвычайной ситуации тензорным методом. В кн.: Проблемы управления в условиях чрезвычайной ситуации. Звенигород, 1992. - 2 с.

15. Петров А.Е. (главный редактор). Банки и финансы. - Информационно-аналитический бюллетень, №№ 1-16. - М.: "Мобиле", 1995 - 1998. - 400 с.

16. Петров А.Е. Состояние нефтедобычи и нефтепереработки в России. Журнал "Промышленность России", N° 3, М.: Минэкономики РФ - ИА "Мобиле", 1997. - с. 11 - 19.

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО МЕТОДА В ТЕОРИИ СИСТЕМ

1.1. Особенности тензорного метода

1.1.1. Актуальность тензорного метода расчета технических и 13 экономических систем

1.1.2. Развитие тензорного метода в математике и физике

1.1.3. Особенности применения тензорного метода для расчета 18 сложных систем

1.2. Применение тензорного метода в теории систем

1.2.1. Области применения тензоров в науке и технике

1.2.2. Применение тензоров для расчета технических систем

1.2.3. Применение тензоров в экономике и других областях

1.3. Проблемы применения тензоров для расчета систем

1.3.1. Представление структуры систем двойственными сетями

1.3.2. Построение сетевых моделей сложных систем

1.3.3. Технология расчета систем методом двойственных сетей 45 Выводы по главе

2. МЕТОД ДВОЙСТВЕННЫХ СЕТЕЙ

2.1. Основные понятия сетей

2.1.1. Элементы сети

2.1.2. Двойственность ветвей в сети

2.1.3. Изменения путей при пересоединениях ветвей

2.1.4. Топологические параметры двойственных сетей

2.2. Пути в сети

2.2.1. Свойства путей

2.2.2. Преобразования базисов путей в сети

2.2.3. Замкнутые и разомкнутые пути

2.3. Векторное пространство путей в сети

2.3.1. Соответствие путей векторному пространству

2.3.2. Ко- и контравариантность в пространстве путей 76 2.4 Двойственные сети

2.4.1. Преобразование путей при изменении структуры сети

2.4.2. Ортогональность замкнутых и разомкнутых путей

2.4.3. Прямой и взаимный базисы в пространстве сети

2.4.4. Инварианты двойственных сетей 91 2.5. Метрика и структура двойственных сетей

2.5.1. Метрика в геометрии

2.5.2. Метрика в сети

2.5.3. Преобразования базисов в двойственных сетях

2.5.4. Векторы, наложенные на пространство сети

2.5.5. Инвариант пространств путей с переменной размерностью 121 Выводы по главе

3. РАСЧЕТ СЕТЕЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ СТРУКТУРЫ 125 3.1. Расчеты сетей при связывании свободных ветвей

3.1.1. Воздействия и отклики в двойственных сетях

3.1.2. Двойственные сети и электрические цепи

3.1.3. Задача расчета сети

3.1.4. Расчеты сетей из свободных ветвей

3.2. Инвариантность потока в сети

3.2.1. Квадрат величины вектора и поток энергии в сети

3.2.2. Изменение мощности в цепи при изменении структуры

3.3. Расчет сети при изменении соединений ветвей

3.3.1. Матрица изменений при пересоединении ветвей

3.3.2. Матрицы решения при наложении связей

3.3.3. Матрицы решения при разрывании связей

3.3.4. Эффективность вычислений при изменении структуры

3.3.5. Расчет матриц решения при изменении структуры

3.4. Расчеты сложной сети при разделении на подсети

3.4.1. Матрица изменений при разделении сети на подсети

3.4.2. Матрицы решения при расчетах сетей по частям

3.4.3. Алгоритмы расчета сложных сетей по частям

3.4.4. Пример расчета сети по частям

3.4.5. Изменение величины вектора при изменении структуры сети 239 Выводы по главе

4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ СЕТЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА 207 ТЕХНИЧЕСКИХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

4.1. Применение сетей для расчета межотраслевого баланса

4.1.1. Полная система уравнений межотраслевого баланса

4.1.2. Тензорная форма уравнений межотраслевого баланса

4.1.3. Сетевая модель для задачи межотраслевого баланса

4.1.4. Расчет межотраслевого баланса по частям

4.1.5. Двойственность потоков продуктов и денежных средств

4.2. Анализ результатов деятельности банков и предприятий

4.2.1. Потоки продуктов и денежных средств в экономике

4.2.2. Анализ банковских балансов

4.2.3. Методика анализа деятельности банков и предприятий

4.2.4. Анализ динамики развития банков

4.3. Применение сетей для расчета и прогноза доходов бюджета

4.3.1. Схема потоков доходов бюджета

4.3.2. Система сбора, анализа и прогноза доходов бюджета

4.3.3. Расчеты доходов в оперативной базе данных

4.3.4. Расчет и коррекция вариантов прогнозов доходов

4.4. Сетевая модель массобмена при переработке нефти

4.4.1. Особенности физического процесса ректификации

4.4.2. Аналогии параметров массообмена и сети

4.4.3. Тепловой и материальный баланс колонны

4.4.4. Сетевая модель процесса ректификации

4.4.5. Применение модели для анализа пожароопасных ситуаций 277 Выводы по главе 4 282 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Актуальность проблемы. Технические и экономические системы усложняются по количеству элементов и связей между ними. Актуальна проблема расчета изменений процессов при изменении структуры связей элементов сложной системы; в широком смысле - взаимодействия процессов и структуры. Это проблема исследования новых закономерностей, связывающих процессы и структуру; расчета поведения технических, экономических систем при изменении структуры, включая разделение на подсистемы и расчет по частям. Такие проблемы возникают при расчете и анализе технических систем, электрических, транспортных сетей, предприятий нефте- и газопереработки; при анализе возможных последствий отключения элементов, подсистем. Разделение модели сложной системы на подсистемы и соединение подсистем необходимо для организации вычислений в компьютерах с параллельной архитектурой.

Для анализа деятельности экономических систем актуальны расчеты баланса производства продуктов при изменении спроса (плана), при изменении хозяйственных связей, источников ресурсов. Необходим анализ деятельности промышленных предприятий, банков, страховых компаний. Актуален анализ взаимодействия финансового и реального секторов в экономике. Необходим расчет прогноза исполнения бюджета по доходам при изменении ставок налогообложения, налогооблагаемых баз, схемы поступления доходов.

На сегодня нет математической теории расчета изменения процессов при изменении структуры. Существуют методы расчета процессов в сложных системах при заданных соединениях элементов. При изменении связей уравнения процессов получают и решают заново. Уравнения поведения не содержат информации о структуре связей элементов. Структуру связи элементов в системе рассматривают в теории графов, графов связей, комбинаторной топологии, которые не содержат понятий метрики, меры расстояния между циклами, разрезами, симплексами.

Материальные, метрические параметры связывают воздействия и отклики процессов. Уравнения поведения составляют относительно независимых переменных, определяемых структурой (степени свободы, замкнутые и разомкнутые пути). При изменении структуры меняется число переменных, получить новые уравнения по старым невозможно, как и преобразовать старое решение в новое, поскольку матрицы таких преобразований прямоугольные, не имеют обратных и не образуют группу. Это не позволяет определить изменения процессов при изменении структуры.

Для расчета сложных технических систем (электрические машины, электрические сети, строительные конструкции, ядерные реакторы, лопатки турбин, уравнения Максвелла, Шредингера и др.) применяется тензорный метод, который разрабатывал Г.Крон, другие ученые. Воздействия, отклики, характеризующие процессы в системе, рассматривают как геометрические объекты с компонентами в независимых замкнутых и разомкнутых путях, определяемых структурой. Изменение структуры рассматривают как преобразование координат. Такой подход обеспечивает исследование, расчет, анализ сложных систем из разных областей единым методом.

Это позволяет использовать уже разработанные методы решения в новых областях, для новых систем. При изменении структуры в одной системе нет необходимости получать и решать уравнения поведения заново; достаточно преобразовать известное решение в решение для новой структуры. Это уменьшает объемы аналитической, алгоритмической, вычислительной работы. При расчете систем по частям тензорным методом отсутствуют итерации; это снижает объемы вычислений и позволяет применять компьютеры с параллельной архитектурой.

Таким образом, тензорный метод обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сложных технических, экономических систем. Вместе с тем тензорный метод содержал противоречия, которые препятствовали его развитию и применению. В качестве моделей сложных систем использовались электрические цепи. Постулировалось, что при изменении структуры мощность в цепи постоянна. Проблема в том, что это предположение не соответствует реальности, но полученные на его основе методы расчета дают правильные результаты. Это указывало на существование других оснований данного метода. Использование в качестве моделей электрических цепей снижало общность метода, придавая ему инженерный характер в ущерб математической строгости.

Автор разработал тензорный метод двойственных сетей. Найденный инвариант матриц преобразования путей обеспечивает постоянство величины вектора потока (представляющего процесс) при изменении структуры двойственных сетей. Разработана технология применения тензорного метода, которая обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сетей, сетевых моделей сложных технических, экономических систем. На основе двойственных сетей разработаны алгоритмы расчета сетей по частям, которые позволяют исключить итерации по расчету взаимодействия подсистем. Метод применен в новой области - для расчета и анализа экономических систем. Соединение анализа процессов и структуры позволяет вскрыть, выявить новые закономерности, получить больше информации о системе, чем при раздельном анализе (например, установить связь потоков продуктов и денежных средств в сетевой модели межотраслевого баланса).

Цель диссертационной работы.

1. Разработать тензорную методологию представления и расчета процессов и структуры сложных систем сетевыми моделями.

2. Разработать метод двойственных сетей, который обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сети как преобразование координат, заданных замкнутыми и разомкнутыми путями.

3. Найти инвариант преобразований структуры сети при изменении количества узлов. Исследовать закономерности изменения мощности при изменении структуры электрической цепи.

4. Разработать методы и алгоритмы расчета изменений процессов при изменении структуры сетей и сетевых моделей сложных систем, включая расчет по частям.

5. Применить тензорный метод двойственных сетей в новой области - для решения задач экономики: расчета межотраслевого баланса, анализа деятельности предприятий и банков, анализа и прогноза доходов бюджета.

Методы исследования: тензорный метод, тензорный анализ сетей, теория матриц, теория графов, анализ размерностей, математическое моделирование по аналогиям, расчет систем по частям - диакоптика.

Научная новизна работы заключается в том, что:

1. Разработана тензорная методология представления сетевыми моделями процессов и структуры сложных технических, экономических систем.

2. Разработаны основы метода двойственных сетей для представления процессов и структуры. Схемы соединений элементов представлены как системы координат, заданные путями в сети. Процессы представлены как векторы в пространстве сети; воздействия и отклики заданы ковариантны-ми и контравариантными компонентами. При изменении структуры двойственных сетей матрицы преобразования путей (как и метрические матрицы) связаны инвариантным соотношением, которое обеспечивает постоянство величины вектора процесса в двух сетях. Данный инвариант обеспечивает расчет процессов при изменении структуры.

3. Найдена неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при изменении структуры двойственных электрических цепей. Эта закономерность является физическим проявлением инварианта двойственных сетей.

4. Получены алгоритмы расчета процессов в сетях при изменении структуры, в том числе при разделении сети (сетевой модели) на подсети и параллельном расчете по частям без итераций.

5. Построена сетевая модель массобмена при нефтепереработке с целью расчета процессов при изменении структуры и выработки воздействий для вывода системы из предаварийного режима.

6. Построены сетевые модели для экономики:

• потоков продуктов в системе производств, в которой двойственные величины представляют пропорции потоков денежных средств. Это обеспечивает расчет материально-финансового баланса и анализ результатов деятельности промышленных предприятий;

• потоков денежных средств, что обеспечивает анализ результатов деятельности банков и банковской системы в целом;

• потоков налоговых и неналоговых поступлений бюджета, что обеспечивает расчет вариантов для анализа и прогноза исполнения бюджета.

Практическая ценность полученных результатов подтверждена при внедрении и использовании методик, алгоритмов и разработанных на их основе систем, которые реализованы в виде программных средств в рамках НИР "Эффективность" на предприятии п/я А-3706, внедрены в Департаменте финансов Правительства Москвы, бюллетене "Банки и финансы" агентства "Мобиле", в подсистеме АСУ ТП объектов нефтепереработки, применяются при анализе производственной и финансовой деятельности предприятий в журнале "Промышленность России" (совместное издание Министерства экономики и агентства "Мобиле"). Методика представления объектов в тензорном виде эквивалентными схемами, алгоритмы и программы внедрены при реализации задач балансового типа в в/ч 03353.

Алгоритмы расчета сетей (сетевых моделей) по частям обеспечивают параллельные вычисления без итераций, что повышает эффективность вычислительных систем с параллельной архитектурой. Алгоритмы и программные средства расчета сетевой модели потоков продуктов обеспечивают эффективный расчет по частям вариантов межотраслевого баланса, анализ изменений объемов производства в зависимости от финансовой политики.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на более чем 30 семинарах и конференциях, в том числе на II Международном Конгрессе по региональному развитию в Монтре (Швейцария) в 1997 г., на Международном совещании по вопросам экономической безопасности (Москва, Торгово-промышленная палата) в 1998 г.

Публикации. Результаты выполненных исследований опубликованы в 106 работах, включая книгу [1985], препринт [1991], бюллетень «Банки и финансы» [1995 - 1998], журнал «Промышленность России» [1997 - 1998].

На защиту выносятся:

• тензорный метод исследования сложных систем;

• метод двойственных сетей, который обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры технических, экономических систем;

• найденный автором инвариант матриц преобразования структуры и метрических матриц двойственных сетей;

• неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при изменении структуры двойственных электрических цепей;

• алгоритмы расчета процессов в сетях при изменении структуры, включая разделение сети на подсети;

• сетевая модель баланса потоков продуктов и денежных средств в экономике, применяемая для анализа производственной и финансовой деятельности предприятий в журнале "Промышленность России";

• модель и методика анализа результатов деятельности банков, внедренная в агентстве "Мобиле" и применяемая в бюллетене "Банки и финансы";

• модель и методика расчета и прогноза исполнения бюджета; алгоритмическая, программная реализация аналитико-прогнозной системы для Департамента финансов Правительства Москвы;

• сетевая модель массобмена и алгоритмы расчета параметров процесса нефтепереработки, применяемая в подсистеме оперативного прогнозирования пожароопасных ситуаций в АСУ ТП объектов нефтепереработки.

Структура и объем. Работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы, включающего 132 наименования. Содержит 292 с. основного текста, включая 57 рисунков, 14 таблиц.

В главе 1 представлены основы тензорной методологии в теории систем. Особенность применения тензорного метода для моделирования и анализа сложных технических, экономических систем состоит в едином представлении процессов и структуры связей элементов, расчете и анализе изменения параметров процессов при изменении структуры, включая разделение системы на подсистемы и соединение подсистем в целое. Для построения сетевых моделей используются аналогии процессов и структуры различных сложных систем. Представлена технология применения двойственных сетей для расчета и анализа технических и экономических систем. Дана общая схема алгоритма расчета сетей по частям.

В главе 2 представлен метод двойственных сетей - основа применения тензорного метода в теории систем. Показано, что пути в сети обладают свойствами векторного пространства. Ветви могут иметь "веса", представляющие метрику (сопротивление «среды»), а пути задают системы координат, представляют структуру. Набор независимых замкнутых и разомкнутых путей составляет базис. В пространстве путей определены скалярное произведение, ортогональность, ковариантность и контравариантность, инварианты двойственных сетей. Показано различие преобразования базисов и векторов при изменении структуры сетей. Представлен неизвестный ранее инвариант, который связывает матрицы преобразования структуры двойственных сетей. При введении метрики инвариант обобщается и связывает метрические и структурные матрицы. Этот инвариант обеспечивает групповые свойства преобразований структуры двойственных сетей. Для заданного в сети вектора процесса инвариант обеспечивает преобразование его компонент (воздействий и откликов) при изменении структуры.

В главе 3 представлены приложения метода двойственных сетей для расчета задач сети при изменении структуры: изменении соединений в связанной сети, разделении сети на части или соединении частей в целое. Получены единые формулы расчета сети при любых изменениях структуры. Эти формулы, двойственные для базисов замкнутых путей (представляющих внутренние источники) и разомкнутых путей (внешние источники), обеспечивают расчет сетей по частям без итераций. Взаимодействие частей отражается в двойственной сети к сети ветвей, составляющих размыкаемые контуры. Представлены алгоритмы расчета сетей по частям для организации параллельных вычислений, что повышает эффективность вычислительной техники. Рассмотрены аналогии между сетями и электрическими цепями. Представлена найденная автором неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при изменении структуры двойственных цепей.

В главе 4 представлены приложения в новой области - моделирование, расчет и анализ экономических систем. Для задачи межотраслевого баланса продуктов в системе производств построена эквивалентная сетевая модель. Потоки продуктов представлены комбинациями контурных и узловых токов, а потоки денежных средств - как комбинации напряжений. Сетевая модель обеспечивает расчет валовых выпусков, поставок и потребления ресурсов при

11 изменении связей производств, разделении на подсистемы. Алгоритм расчета задачи межотраслевого баланса по частям сокращает объемы вычислений. Расчет в сети денежных средств (напряжений) показывает возможность расчета объединенного материально-финансового баланса.

Разработана методика анализа результатов деятельности банков на основе сетевой модели потоков денежных средств. Методика внедрена в информационном агентстве «Мобиле» и с 1995 г. применяется для анализа деятельности банков России в бюллетене "Банки и финансы". Методика анализа производственной и финансовой деятельности предприятий с 1997 г. применяется в журнале "Промышленность России" (совместное издание Министерства экономики РФ и агентства «Мобиле») для подготовки аналитических обзоров по отраслям промышленности.

Для расчета вариантов прогноза бюджета разработана, программно реализована сетевая модель потоков денежных средств в системе анализа поступления доходов бюджета. Модель применена для расчета вариантов прогноза бюджета г. Москвы при изменении налогооблагаемых баз, коэффициентов, ставок, неплатежей. Система внедрена в Департаменте финансов Правительства Москвы, демонстрировалась на выставке "Управление-97".

Построена сетевая модель массообмена при ректификации в процессе переработки нефти, которая применяется при разработке подсистемы оперативного прогнозирования пожароопасных ситуаций в АСУ ТП объектов нефтепереработки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана тензорная методология исследования сложных систем.

2. Разработан метод двойственных сетей, который обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры сложных технических, экономических систем.

3. Найден инвариант, связывающий матрицы преобразования структуры и метрические матрицы двойственных сетей.

4. Найдена неизвестная ранее закономерность постоянства мощности при изменении структуры двойственных электрических цепей.

5. Разработаны алгоритмы расчета процессов в сетях при изменении структуры, включая разделение сети на подсети. Расчет сетей и сетевых моделей сложных систем по частям проводится без итераций, что повышает эффективность расчетов.

6. Получена сетевая модель баланса потоков продуктов и денежных средств в экономике, используемая для анализа деятельности предприятий в журнале «Промышленность России».

7. Разработана модель и методика анализа результатов деятельности банков, используемая в бюллетене "Банки и финансы".

8. Разработана модель и методика расчета и прогноза исполнения бюджета; выполнена алгоритмическая, программная реализация аналитико-прогнозной системы для Департамента финансов Правительства Москвы.

9. Получена сетевая модель массообмена для подсистемы оперативного прогнозирования пожароопасных ситуаций в АСУ ТП объектов нефтепереработки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан тензорный метод двойственных сетей, который обеспечивает расчет и анализ взаимодействия структуры и процессов, расчет изменения процессов при изменении структуры сложных технических и экономических систем. Метод позволяет сократить время расчета, уменьшить аналитическую, алгоритмическую, вычислительную работу по расчету вариантов различных структур, конфигураций систем за счет единого подхода к исследованию, расчету и анализу различных технических и экономических систем (раздел 1).

Предложена технология применения тензорного метода (раздел 1.3.3) для моделирования, расчета и анализа не только технических, но и экономических систем, где данный метод не применялся.

Впервые применяется построение моделей и расчет исследуемых систем тензорным методом двойственных сетей (раздел 2). Необходимость использования двойственных сетей вызвана тем, что при изменении структуры меняется число узлов в сети и, соответственно, размерность подпространств замкнутых и разомкнутых путей. Матрицы преобразования их базисов прямоугольные и не образуют группу, что не позволяет рассчитать изменения параметров процессов при изменении структуры связей.

Автор нашел инвариант преобразования структуры для двух двойственных сетей при изменении числа узлов, который обеспечивает расчет изменения процессов при изменении структуры. Инвариант выражается соотношением между матрицами преобразования путей:

2.76) С (С* С)"1 С* + А (А± А)"1 А1 = I, а если заданы метрические веса ветвей, выраженные матрицей Z = У"1, то:

2.75) (г)-1 = у = (тс г тсу1 тс + у ^А!; оа у ^а^-1 ^а у.

Этот инвариант обеспечивает постоянство величины вектора процесса при изменении структуры двойственных сетей и объективно существует в сетях и системах, пред ставимых сетевыми моделями.

Тензорный метод двойственных сетей позволяет находить новые соотношения в исследуемых системах, которые отражают объективно существующие закономерности взаимодействия процессов и структуры систем. Например, в модели межотраслевого баланса (раздел 4.1) потоки продуктов представлены комбинацией контравариантных компонент (аналогом являются контурные и узловые токи в цепи), а ковариантные компоненты, не заданные в исходной постановке задачи, соответствуют потокам денежных средств (аналогом являются напряжения). Это позволяет проводить расчеты взаимодействия реального и финансового секторов экономической системы.

Получены единые уравнения расчета сетей при изменении структуры (3.122) для вектора внутреннего воздействия и (3.125) для вектора внешнего воздействия, которые основаны на инварианте двойственных сетей. Форма уравнений зависит от количества изменяемых путей и от вида преобразования структуры (связывание свободных ветвей в соединенную сеть, изменение соединений в связанной сети, разделение сети на подсети и соединение из отдельных подсетей). Эти виды расчета отличаются блоками подматрицы изменения путей в матрицах преобразования (раздел 3).

Уравнения (формулы расчета) для отдельных видов преобразования структуры являются частными случаями общих уравнений. Если поток процесса задан внешними источниками, то компоненты его вектора определяются в базисе разомкнутых путей (определяющих узлы входа и выхода потока из сети). Этому соответствует общее уравнение расчета для базиса разомкнутых путей (3.125): ъ? = - дгс = гс1 - ъ^ дсмс гс* дед1 дс ъс\ где матрица решения соединенной сети Ъ2 выражается через матрицы решения подсетей Ъсх и матрицу изменения путей ДС. Если поток процесса задан внутренними источниками, то компоненты его вектора определяются в базисе замкнутых путей (определяющих контуры циркуляции потока внутри сети, системы). Общее уравнение расчета для базиса контуров (3.122): у2с = у!с + ДУС = у!с + (I - Yic г)АСг [дс га - у^ гмед^с (I - г у^), где матрица решения соединенной сети У2С выражается через матрицы решения подсетей У^ и матрицу изменения путей АС. Разделение сети на независимые подсети позволяет проводить параллельный расчет по частям.

Тензорный метод двойственных сетей обеспечивает расчет компонент заданного вектора при изменении структуры, что позволяет использовать ранее полученные решения для расчета процессов в новой структуре, а также проводить расчет по частям, используя компьютеры с параллельной архитектурой. При этом двойственность обеспечивает расчет взаимодействия подсистем без итераций, что повышает вычислительную эффективность.

Представлена найденная автором закономерность постоянства суммарной рассеиваемой мощности в двойственных электрических цепях при изменении их структуры, которая является следствием инварианта постоянства величины вектора при изменении структуры двойственных сетей (раздел 3.2).

1. Абрамов Д.Ю., Арменский А.Е., Ермаков А.Н., Кузин Л.Т., Петров А.Е. Тензорные банки данных.// Изв. Вузов. Приборостроение, 1985, № 6.

2. Авондо-Бодино Дж. Применение в экономике теории графов. М.: Прогресс, 1966. 160 с.

3. В.А. Александров. Повышение эффективности автоматических систем управления технологическими процессами промышленных производств с обеспечением пожарной безопасности. Кандидатская диссертация, Москва, 1985. 150 с.

4. Андросов А.М. Финансовая отчетность банка. М.: Менатеп-информ, 1995. -460 с.

5. Арменский А.Е., Кузин Л.Т., Петров А.Е. Тензорный метод проектирования интегрированных систем управления.// Интегрированные АСУ. М.: МДНТП, 1983.

6. Арменский А.Е., Милославская Н.Г. Решение задач большой размерности по частям с использованием тензорного анализа. // Автоматизация проектирования сложных систем. ЛИТМО, 1986.

7. Арменский А.Е. Тензорные методы построения информационных систем. -М.: Наука, 1989. 152 с.

8. Арменский Е.В., Кузина И.В. Единая теория электрических машин. М.: МИЭМ, 1975.

9. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. М.: Энергия, 1969. - 424 с.

10. Ю.Афанасьев В.Г. Общество: системность, познание и управление. М.:1. Политиздат, 1981. 432 с.

11. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. Пер. с англ., М.: Мир, 1979.

12. Бартини Р.О., Кузнецов П.Г. Множественность геометрий и множественность физик. В кн.: Моделирование динамических систем. -Брянск, 1974. - с. 18 - 29.

13. Берендеев A.B. О работах Крона по применению тензорного исчисления в электротехнике. Электричество, 1950, № 12, с.78 - 79.

14. Брамеллер А., Аллан Р., Хэмем Я. Слабозаполненные матрицы. М.: Энергия, 1979. - 192 с.

15. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. - 455 с.

16. Веблен О. Инварианты дифференциальных квадратичных форм. М.: ГИИЛ, 1948. - 140 с.

17. Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М.: ГИИЛ, 1949. - 135.

18. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука, 1986. - 496 с.

19. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. - 400 с.

20. Веников В.А., Ионкин П.А., Петров Г.Н., Копылов И.П. Габриэль Крон. -Электричество, 1969, ЛИ, с. 92-93.

21. Веников В.А. Вступительная статья в кн.: А.Е.Петров. Тензорная методология в теории систем. М.: Радио и связь, 1985.

22. Веников В.А. Веников Г.В. Теория подобия и моделирования. 3-е изд. -М.: Высшая школа, 1984. - 439 с.

23. Галушкин А.И. Нейронные ЭВМ и нейроматематика. В кн.: Научно -технические средства информатизации, автоматизации и интеллектуализации в народном хозяйстве. - М.: Знание, 1991.

24. Деглин Э.Г., Петров А.Е. Тензорная вибродинамика ГТД. ВИМИ, сборник рефератов депонированных рукописей, №1, 1990, №Д08204.

25. Деглин Э.Г., Петров А.Е. Тензорная системная вибродинамика ГТД. В кн.:Тензорные методы анализа и синтеза сложных систем. - Ижевск, 1991.

26. Деннис Дж. Б. Математическое программирование и электрические цепи. -М.: ИЛ, 1961. 216 с.

27. Долан Э. Дж., Кэмпбелл К. Д., Кэмпбелл Р. Дж. Деньги, банковское дело и денежно-кредитная политика. СПб.: "Санкт-Петербург оркестр", 1993. -494 с.

28. Инструкция № 1 "О порядке регулирования деятельности кредитных организаций". Вестник Банка России, № 5 (97) от 8.02.96.

29. Инструкция № 1 "О порядке регулирования деятельности банков" (Новая редакция инструкции от 30.01.96 "О порядке регулирования деятельности кредитных организаций"). Утверждена Приказом Банка России № 02-430 от 01.10.97 г.

30. Кант И. Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей появиться как наука. 1783. Сочинения, т.4, ч. 1, М.: Мысль, 1965.

31. Комацу М. Многообразие геометрии. М.: Знание, 1981. - 208 с.

32. Коссов В.В. Межотраслевой баланс. М.: Экономика, 1966. - 224 с.

33. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для инженеров и научных работников. М.: Наука, 1977. - 832 с.

34. Котарова И.Н., Шамаева О.Ю. Параллельный метод диакоптики для решения сложных задач на распределенных вычислительных системах. //Кибернетика, 1979, № 1.-е. 112-119.

35. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, изд. 9, 1965. - 426 с.

36. Крон Г. Применение тензорного анализа в электротехнике: Пер. С англ./Под ред. П.В. Мееровича. М.: Гостехиздат, 1955. - 250 с.

37. Крон Г. Исследование сложных систем по частям (диакоптика). Наука, 1972. - 544 с.

38. Крон Г. Тензорный анализ сетей: Пер. с англ. /Под ред. Л.Т.Кузина, П.Г. Кузнецова. М.: Сов. Радио, 1978. 720 с.

39. Кузин Л.Т. Предисловие в кн.: Кэрноп Д., Розенберг Р. (ред.). Применение теории графов связей в технике. М.: Мир, 1974.

40. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. В 2 т. Т. 1. Математические основы кибернетики. 2-е изд. - М.: Энергоатомиздат, 1994. - 576 с.

41. Кузина И.В., Петров А.Е. О тензорных методах построения языка базы данных. В кн.: Банки данных для принятия решений. - М.: Знание, 1976, с. 59 - 67.

42. Кузина И.В., Таран А.Н. Автоматизация получения математических моделей механических подсистем электроприводов. В кн.: Математические основания теории сложных систем, Иваново, 1989.

43. Кузина И.В., Тимофеева В.В. Введение уравнений обобщения для построения математических объектов электромеханики//Изв. Вузов. Сер. Электромеханика. 1986, 10.

44. Кузина И.В., Тимофеева В.В., Бунто А.Н. Введение тензорных операций в алгоритмический язык ПЛ/1. Программирование, М.: 1987, № 4. - с. 4147.

45. Кузнецов П. Г. Искусственный интеллект и разум человеческой популяции.- В кн.: Александров Е.А. Основы теории эвристических решений. М.: Сов. радио, 1975.

46. Куратовский К. Топология. Пер. с англ. т. 1, М.: 1966.

47. Кэрноп Д., Розенберг Р. (ред.). Применение теории графов связей в технике. М.: Мир, 1974. 95 с.

48. В. Леонтьев, Х.В., Ченнери и др. Исследование структуры американской экономики. Пер. с англ. М.: Госстатиздат, 1958. 640 с.

49. Максвелл Дж. К. О фарадеевых силовых линиях. //Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. Пер. с англ./Под ред. П.С. Кудрявцева.- М.: ГИТТЛ, 1954.

50. Мантуров О.В. Элементы тензорного исчисления. М.: Просвещение, 1991.- 255 с.

51. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т. 3 Коо- Од. -М.: Советская энциклопедия, 1982. 1184 стб.

52. Математические основания теории сложных систем. Межвузовский сборник научных трудов. - Иваново: ИвГУ, 1989.

53. Молоканов Ю.К. Процессы и аппараты нефтегазопереработки. М.: Химия, 1980. 408 с.

54. Образцова Р.И., Кузнецов П.Г., Пшеничников С.Б. Инженерно-экономический анализ транспортных систем. /Под. ред. К.В. Фролова. 2-е изд., стереотип. - М.: Радио и связь, 1996. - 192 с.

55. Петров А.Е. Тензорный метод расчета сложных систем (на примере балансового планирования). автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. - М.: МИФИ, 1984.

56. Петров А.Е. Тензорная методология в теории систем. М.: Радио и связь, 1985. - 152 с.

57. Петров А.Е. Тензорный анализ сетей и параллельные вычисления. М.: МИФИ, 1991. - 24 с. - 1.

58. Петров А.Е. Тензорный метод и параллельные вычисления. В сб.: Научно-технические средства информатизации, автоматизации и интеллектуализации в народном хозяйстве. - М.: Знание, 1991. - с. 43-54. - 2.

59. Петров А.Е. (главный редактор). Банки и финансы. Информационно-аналитический бюллетень, №№ 1-16. - М.: "Мобиле", 1995 - 1998. - 400 с.

60. Петров А.Е. Состояние нефтедобычи и нефтепереработки в России. Журнал "Промышленность России", № 3, М.: ИА "Мобиле", 1997. с. 11 - 19.

61. Петров А.Е., Плошкин М.В., Ханин A.A. Энергосистемы России. Журнал "Промышленность России", № 5, М.: ИА "Мобиле", 1997. с. 57 - 66.

62. Петров А.Е. Инвестору необходима информация. Журнал "Банковское дело в Москве", № 9, М.: "Российский салон", 1997. с. 37 - 40.

63. Петров А.Е., Парадиз А.Л. Информационное обеспечение инвестиций в России. Журнал "Банковское дело в Москве", № 9, М.: "Российский салон", 1997. с. 37 - 40.

64. План счетов бухгалтерского учета в коммерческих банках (кредитных учреждения^РФ. Журнал "Бухгалтерский бюллетень", 1996.

65. План счетов бухгалтерского учета в кредитных учреждениях РФ. Утвержден Приказом Банка России № 02-263 от 18.06.97 г.

66. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: МГУ, 1974.

67. Подолинский С.А. Труд человека и его отношение к распределению энергии. М.: Слово, 1880; М.: Ноосфера, 1991. - 82 с.

68. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы: Пер. с англ. /ред. В.А.Горбатов. М.: Мир, 1984. - 455 с.

69. Синдж Д.Л. Тензорные методы в динамике. М.: ИЛ, 1947.

70. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. Изд. 9-Е. - М.: Наука, 1981.- 448 с.

71. Сметанин Е.В., отв.редактор. Математические основания теории сложных систем. Иваново, ИвГУ, 1989.

72. Сохор Ю.Н., Козаченко Е.Г., Фиронов А.Н. Тензорное моделирование режимов линейных двигателей для транспорта на магнитном подвесе. В кн.: Тензорные методы анализа и синтеза сложных систем. - Ижевск, 1991.

73. Сохор Ю.Н. Моделирование электромагнитных процессов в синхронном линейном двигателе при питании от тиристорного преобразователя частоты. -Диссерт. канд.техн.наук., Москва, Московский Государственный университет путей сообщения (МИИТ), 1^7. 152 с.

74. Сухотин Б.В. Основные пролемы грамматики и семантики в тензорном исчислении. В кн.: Проблемы структурной лингвистики. - М.: Наука, 1978, с. 234 - 288.

75. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков.- М.: Наука, 1965. 454 с.

76. Указания № 62 У от 11.12.97 г. «О внесении изменений и дополнений в Правила ведения бухгалтерского учета в КО, расположенных на территории РФ» № 61 от 18.06.97 г.

77. Физический энциклопедический словарь: Гл. редактор А.М.Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1984. - 944 с.

78. Л. Форд, Д. Фалкерсон. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966. - 276 с.

79. Хэпп Х.Х. Диакоптика и электрические цепи. М.: Мир, 1974.

80. Циолковский К.Э. Механика в биологии. Подобие организмов и уклонение от него. собр.соч., т. 4, М.: 1964. - с. 161 - 263.

81. Шамаева О.Ю. Модели параллельных вычислений на основе диакоптики для решения задач большой размерности.//Тензорные методы анализа и синтеза сложных систем. Ижевск, 1991.

82. Шаталов A.C. Работа асинхронной машины с конденсаторами (генераторные и двигательные установки). Диссерт. канд.техн.наук. Новочеркасский индустриальный институт им. С.Орджоникидзе. Новочеркасск, 1941.

83. Щукарев А.Н. Опыт обоснования системы структурного реализма. -Государственная библиотека СССР им. В.И.Ленина, Музейное собрание, ф. 178, 1934, пост. № 11.

84. Amari S. Topological foundations of Kron's Tearing of electrical networks. -RAAG Memoirs, v. 3, 1962. p. 322 - 350.

85. Balasubramanian N. V., Lynn J. W., Sen Gupta D.P. Differential forms on electromagnetic networks. London, Butterworths, 1970.

86. Bowden K. Kron's Method of Tearing on the Transputer.//The SERC/DTI Initiative in the Engineering Applications of Transputers. v. Ill, May 1988.

87. Bowden К. Kron's Method of Tearing on the Transputer. (Supplementary Report)//The SERC/DTI Initiative in the Engineering Applications of Transputers. v. VII, October 1989.

88. Brameller A., John M.N., Scott M.R. Practical diakoptics for electrical networks. London: Chapman and Hall, 1969. - 212 p.

89. Branin F. N. The relation between Kron's method and thee classical methods of network analysis. //The Matrix ahd Tensor Quart., v. 12, no 3, march 1962. -pp. 69 115.

90. Brown B. A new treatment of analysis of dimensions. Proc. Phys. Soc., 1941, v. 53, p. 418-432.

91. Carter G.K., Krön G. Network analyser solution of the equivalent circuits for elastic structures. J. of the Franklin Inst., v. 238, №6, 1944.

92. Carter G.K., Krön G. A.C. network analyser study of the Schrodinger equation. // Phys. Rev., 1945, v. 67, ser. 2, № 1, 2. pp. 44-49.

93. Chua L.O., Chen L.K. Diacoptic and Generalized Hybrid Analysis. // Trans. IEEE on Circuits and Systems, CAS., v. -23, No 12, 1976.

94. Duschek A., Hochrainer A. Grundzuge der Tensorrechnung in Analutscher Darstellung. Wien: Springer, 1949. - 232 p.

95. Einschtein A. Annalen der Physic. - 4-я серия, т. 49, 1916, с. 769.

96. Firestone F.A. A new analogy between mechanical and electrical systems. J. Acoustic Soc., 1933, v. 25, N 2, p. 39-47.

97. Fucko V.F., Merugu L.N. Network folding for large electrical Network problems.//Transputer Initiative, July, 1991, p. 42.

98. Gabriel Kron and System Theory. /Ed. by H.H. Happ, N. Y., Schenectady: Union College Press, 1973. - 186 p.

99. Happ H.H. Piecewise Methods and Applications to Power Systems. N. -Y., Wiley, 1980. - 405 p.

100. Hoffmann B. Kron's method of subspaces. Quart. Appl. Math., 1944, v. 11, oct., p. 218 - 231.

101. Hoffmann B. Kron's Non-Riemannian Electrodynamics. Rev. Mod. Phys. (Einstein's 70-th birthday commemorative issue), 1949, v. 21.

102. Hoffmann B. Power invariance. Matrix and Tensor Quart., 1957, v. 7, Sept., p. 2-4.

103. Kirchoff G. Ueber die Auflosung der Gleicungen, auf welche man bei der Untersungen der linearen Vertheilung galvanischer ströme fuhrt wird. -Poggendorf's Ann. Physik u. Chemie. 1847, v. 72, p. 497 508.

104. Kron G. Generalized theory of electrical machinery. AIEE Trans., 1930, v. 49, Apr., p. 666 - 683.

105. Kron G. Non-Riemannian dynamics of rotating electrical machinary. //J. Math. Phys., 1934, v. 13, № 2, p. 103 194.

106. Kron G. The application to the analysis of rotating electrical machinary. N. Y., Schenectady: Gen.Electric Rew., 1942.

107. Kron G. Tensors for circuits. 1942.

108. Kron G. Equivalent circuit of the field equations of Maxwell. // proc. IRE, 1944, v. 32, № 5, p. 289 299. - 1.

109. Kron G. Equivalent circuit of the elastic field. //ASME Trans., J. Appl. Mech., 1944, v. 11, № 3. 2

110. Kron G. Equivalent circuits of compressible and incompressible fluid flow fields. //J. of the Aeronautical Sciences, v. 12, № 2, 1945. 1

111. Krön G. Numerical solution of ordinary and partial differential equations by means of equivalent circuits. J. of Applied Physics, v. 16, № 3, 1945. pp. 172 - 186. - 2

112. Krön G. Electrical circuit models of the Schrodinger equation. // Phys. Rev., 1945, v. 67, ser. 2, № 1,2.- pp. 39 43.-3

113. Krön G. Electrical circuit models of the nuclear reactor. //. AIEE Trans. Communications and Electronics, 1954, v. 73, p. 259 265.

114. Krön G. Multi-dimensional space filters. //Matrix and Tensor Quart., 1958, v. 9, № 2, p. 40 43.

115. Krön G. Basic concepts of multi-dimensional space filters. AIEE Trans. 1, 78, 1959. 554 - 561.

116. Krön G. Self-organizing, dynamo-type automata. //Matrix and Tensor Quarterly, I960, v. 11, № 2, p. 42 52.

117. Krön G. Multi-dimensional curve-fitting with self-organizing automata. //J. Math. Analysis and Appl., 1962, v. 5, № 1, p. 46 69.

118. Krön G. Invisible dual (n-1) networks induced by electric 1-networks//IEEE Trans., v. CT-12, No 4, (December 1965).

119. Lie C.T., Chang W.L. A Generalized Technique for Modeling Switch-controlled Induction Machine Circuits. IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 7, No 1, March 1992. - p. 168 - 176.

120. Lynn J. W. Tensors in electrical engineering. London: Pitman, 1963.

121. Lynn J. W., Russell R.A. Kron's wave automaton. //Physical Structure in Systems Theory. London, N. Y.: Academic Press, 1974 - p. 131 - 142.

122. Nickle C.A. Oscillographic Solution of Electro-mechanical Systems. //Trans. AIEE 44, 1925. 844-856.

123. Olson H.F. Dynamical Analogies. Van Nostrand, Princeton, 1943.

124. Onodera R. Diakoptics and codiakoptics of electrical networks.// RAAG Memoirs, v. 2, 1958. pp. 369 - 388.

125. Physical Structure in Systems Theory/Ed. by J. J. Van Dixhoorn and F. J. Evans. London, N. Y.: Academic Press, 1974. - 306 p.

126. Ricci J. Atti della R. Acc. die Lincei Rendiconti, v. 5, Pt. 1,1889.

127. Roth J.P. An application of algebraic topology to numerical analysis. On the existence of a solution to the network problem. Proc. National Acad, of Sciences, v. 41, № 76 1955, p. 518 - 521.

128. Roth J.P. An application of algebraic topology: Kron's method of tearing. -Quart. Appl. Math., 1959, v. 17 № 1 pp. 1 24.

129. Voigt W. Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Kristalle. -Leipzig, Teubner, 1898.

130. Weyl H. Repartition de correinte et uno red conductora. Revista matematica, Hispano - Americana, 1923, № 5, p. 153 - 164.

131. Wiener N. Notes on the Krön theory of tensors in electrical machinery. J. Electrical Engineering, China, 1936, № 3/4, p. 11-18.