автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Категорно-тензорная модель многополюсников и ее применение для расчета крупномасштабных сетей

Введение

Глава 1 Категорно-тензорный подход к моделированию сетей

1.1 От тензорной к категорно-тензорной методологии исследования сетей.

1.2 Электрическая сеть как система

1.2.1 Элементы электрической сети» характеристики элементов сети.

1.2.2 Управляющие уравнения элементов сети.

1.3 Векторные пространства электрической сети

1.3 Л Векторное пространство контурных токов,.

1.3.2 Векторное пространство приложенных напряжений.

1.3.3 Векторные пространства узловых сетей.

1.4 Управляющие уравнения ортогональной электрической сети

1.4.1 Чисто-контурные сети. Категория чисто-контурных сетей и категория векторных пространств этих сетей.

1.4.2 Вывод управляющих уравнений ортогональной сети с помощью чисто-контурной сети.

1.5 Диакоптический расчет крупномасштабных линейных сетей

1.5.1 Подсети и сеть пересечений.

1.5.2 Чисто-контурная крупномасштабная сеть.

1.5.3 Управляющие уравнения крупномасштабной ортогональной сети

1.5.4 Разрезание сети на подсети, имеющие общий узел.

1.5.5 Управляющие уравнения крупномасштабной ортогональной сети при разрезании ее на подсети, имеющие общий узел.

1.5.6 Диакоптический метод анализа сетей Г. Крона.

Глава 2 Диакоптический расчет крупномасштабных сетей, использующий понятие многополюсника

2.1 Характеристики многополюсника, уравнение многополюсника, эквивалентные сети многополюсника

2.1.1 Понятие многополюсника.

2.1.2 Нахождение внутренних характеристик многополюсника.

2.1.3 Управляющие уравнения и величины отклика линейного многополюсника.

2.2. Векторные пространства и категории линейного многополюсника

2.2.1 Векторные пространства токов.

2.2.2 Векторные пространства напряжений и управляющие уравнения линейного многополюсника.

2.2.3 Координатное описание многополюсника.

2.2.4 Категория эквивалентных сетей многополюсника.

2.3. Диакоптический расчет сетей с применением многополюсников

2.3.1 Диакоптический расчет крупномасштабной линейной сети, разделенной на несвязные подсистемы.

2.3.2 Эквивалентность управляющих уравнений крупномасштабной сети, разрезаемой на несвязные подсети.

2.3.3 Алгоритм диакоптического расчета сети с многополюсниками, не имеющими общего узла.

2.3.4 Диакоптический расчет крупномасштабной линейной сети, разделенной на радиально связанные подсистемы.

2.3.5 Эквивалентность управляющих уравнений крупномасштабной сети, разрезаемой подсети, имеющие общий узел.

2.3.6 Алгоритм диакоптического расчета сети, обусловленный делением на подсети, имеющие общий узел.

2.4 Диакоптический расчет сопротивлений

2.4.1 Диакоптический расчет сопротивлений линейной сети, использующий категорно-тензорную модель сетей.

2.4.2 Диакоптический расчет межузловых сопротивлений сети с применением категорно-тензорной модели многополюсников.

Глава 3 Диакоптический расчет крупномасштабных сетей, использующий понятие нелинейного многополюсника

3.1 Характеристики и уравнения нелинейного многополюсника

3.1.1 Характеристики и управляющее уравнение нелинейного двухполюсника.

3.1.2 Характеристики нелинейного многополюсника.

3.1.3 Условие сходимости итерационного процесса расчета сети, содержащей нелинейный многополюсник.

3.2 Векторные пространства нелинейного многополюсника

3.2.1 Векторные пространства и координатное описание нелинейного многополюсника.

3.2.2 Категория эквивалентных сетей нелинейного многополюсника.

3.3 Диакоптический расчет нелинейных сетей

3.3.1 Разрезание нелинейной сети на подсети без общего узла.

3.3.2 Алгоритм диакоптического расчета нелинейных сетей.

Разработка методов анализа и расчета сложных систем и процессов всегда являлась и остается весьма актуальной задачей. Один из таких методов - тензорный анализ крупномасштабных сетей, впервые предложенный Габриэлем Кроном. Однако тензорный анализ сетей Г. Крона не нашел до сих пор достаточно широкого применения при описании крупномасштабных систем. Основными причинами сложившейся ситуации, по нашему мнению, являются следующие:

1. Применение тензорного метода Крона к расчету сложных систем показало наличие в нем проблем и парадоксов.

2. Г. Крон некорректно использовал ряд общепринятых математических понятий, что породило недоверие математиков и физиков к его работам.

3. Принятый Г. Кроном стиль изложения своего метода расчета сетей, сводившийся к перечню предписаний в виде некоторых правил (на фоне глубоких идей), только подтверждал отсутствие строгой математической модели тензорного метода расчета сложных систем.

Поскольку этот метод обладает высокой степенью организации анализа сложных систем, а также чрезвычайно удобен для компьютерного моделирования, задача разработки математической модели тензорного метода расчета систем является актуальной.

Цели работы. В задачу диссертационной работы входило:

1. Построение категорно-тензорной модели многополюсников.

2. Разработка, в рамках этой модели, диакоптических методов расчета крупномасштабных как линейных, так и нелинейных сетей, для которых справедливы правила Кирхгофа.

3. Доказательство эквивалентности двух диакоптических методов расчета крупномасштабных сетей, разработанных в рамках категорнотензорной модели сетей, а именно диакоптического метода, построенного в соответствии с идеями диакоптики Г. Крона, и метода, в котором крупномасштабная сеть не подвергалась реальному, физическому разрезанию на подсети.

4. Построение алгоритмов и создание программ для диакоптического расчета как линейных, так и нелинейных крупномасштабных сетей.

Научная новизна.

В диссертационной работе построена категорно-тензорная модель многополюсников. Введены векторные пространства воздействующих величин и величин отклика для многополюсников. Показано, что на геометрическом языке управляющим уравнением линейного многополюсника будет изоморфное отображение между этими пространствами. Введена категория эквивалентных сетей многополюсника и показано, что переход от одной эквивалентной сети к другой осуществляется с помощью тензорного преобразования. На базе созданной модели многополюсников разработаны диакоптические алгоритмы расчета крупномасштабных линейных и нелинейных сетей, в основу которых положены идеи диакоптики Г. Крона. Показано, что данный метод диакоптического расчета сетей эквивалентен методу, в котором сети не подвергаются физическому разрезанию. Оценивается эффективность этих двух алгоритмов. Построен диакоптический метод расчета межузловых сопротивлений крупномасштабной сети. Создан комплекс программ на языке С++ диакоптического расчета линейных и нелинейных (с малой квадратичной нелинейностью) сетей, в основе которого лежат разработанные в диссертационной работе алгоритмы.

Научная и практическая ценность паботы заключается в том, что в ней разработана математическая модель крупномасштабных сетей, в основе которой лежит понятие многополюсника. В рамках этой модели созданы эффективные алгоритмы и программы расчета крупномасштабных линейных и нелинейных сетей (при условии малого влияния нелинейных добавок), удовлетворяющих правилам Кирхгофа. В процессе компьютерного моделирования крупномасштабных сетей возможно использование банка компьютерных моделей ее подсетей, рассматривающихся как многополюсники, что может повышает эффективность моделирования.

На защиту выносятся:

1. Категорно-тензорная модель многополюсников, в рамках которой построены векторные пространства воздействующих величин, векторные пространства величин отклика, категория эквивалентных сетей многополюсника и обоснован тензорный закон преобразования управляющих уравнений этих сетей.

2. Математическая модель крупномасштабных сетей, удовлетворяющих правилам Кирхгофа, в основе которой лежит рассмотрение подсетей как многополюсников.

3. Диакоптические алгоритмы расчета линейных и нелинейных крупномасштабных сетей, построенные в соответствии с идеями диакоптики Г. Крона;

4. Доказательство эквивалентности управляющих уравнений крупномасштабной сети, полученных в результате использования разных подходов к разработке диакоптических методов расчета сложных сетей (без реального и с реальным разрезанием сети на подсети).

5. Комплекс программ диакоптического расчета линейных и нелинейных (с малой квадратичной нелинейностью) крупномасштабных сетей, созданных на основе разработанных диакоптических алгоритмов.

Структура работы.

В первой главе диссертации дано изложение категорно-тензорной модели сетей [45]. В начале главы дан литературный обзор рассматриваемой 7 задачи, основы которой были заложены в работах Г. Крона 30-х годов прошлого столетия, посвященных тензорному анализу сложных электрических сетей. Отмечены основные проблемы тензорного метода расчета сетей (инвариантность мощности, трактовка пересоединения элементов как перехода к новой системе координат, группа преобразования и др.) и пути их разрешения различными авторами, развивавшими тензорный анализ сетей.

На основе категорно-тензорной модели сетей построено два алгоритма диакоптического расчета крупномасштабной линейной сети. Алгоритмы характеризуются различным способом разбиения исследуемой сети на подсети. По сравнению с алгоритмом, предложенным в работе [45], оба алгоритма являются более общими, поскольку не имеют ограничений на выбор независимых узловых пар исследуемой крупномасштабной сети.

В конце первой главы описан диакоптический метод расчета крупномасштабных сетей Г. Крона.

Во второй главе работы построена категорно-тензорная модель линейных многополюсников: описаны характеристики линейного многополюсника, выведено управляющее уравнение многополюсника, сформулированы принципы нахождения эквивалентных сетей многополюсника, построены векторные пространства, соответствующие многополюснику, а также показано, что эквивалентные сети многополюсника образуют категорию.

В рамках построенной категорно-тензорной модели линейных многополюсников рассмотрен диакоптический метод расчета крупномасштабных сетей. Приведено два алгоритма диакоптического расчета линейных сетей, полученных в рамках этой модели. Алгоритмы характеризуются различным способом разбиения исследуемой сети на подсети. Здесь же показана эквивалентность диакоптических методов расчета крупномасштабных сетей, полученных в рамках различных моделей электрических сетей (модели, описанной в данной главе, и модели, описанной во второй главе).

В конце данной главы показан диакоптический расчет межполюсных сопротивлений электрической сети, полученный в рамках категорно-тензорной модели сетей [45], а также выведен метод диакоптического расчета межполюсных сопротивлений электрической сети, полученный в рамках категорно-тензорной модели линейных многополюсников. Доказана эквивалентность этих методов.

В третьей главе диссертационной работы построена категорно-тензорная модель нелинейных многополюсников: описаны характеристики нелинейного многополюсника, выведено управляющее уравнение многополюсника, рассмотрены векторные пространства, соответствующие нелинейному многополюснику, построена категория эквивалентных сетей нелинейного многополюсника.

В рамках построенной категорно-тензорной модели нелинейных многополюсников рассмотрен диакоптический итерационный метод расчета нелинейных электрических сетей, получен наиболее общий алгоритм диакоптического расчета нелинейных электрических сетей.

В приложении 1 рассмотрена конкретная линейная электрическая сеть. Проиллюстрировано введение векторных пространств, соответствующих этой сети, показаны некоторые базисы введенных пространств. Найдены характеристики эквивалентной сети многополюсника, соответствующего исследуемой сети. Показано, что при смене эквивалентной сети многополюсника его характеристики преобразуются по тензорным законам координатного преобразования.

В приложении 2 проиллюстрирован диакоптический расчет линейной электрической сети. Исследуемая сеть была разбита на две подсети, которые в ходе расчета были заменены многополюсниками.

В приложении 3 проиллюстрирован диакоптический расчет нелинейной сети.

В приложении 4 произведена оценка эффективности использования двух диакоптических методов расчета (с применением многополюсников и без многополюсников) электрических сетей по сравнению с методом контурных токов. Для этих трех методов расчета получены функции, выражающие количество элементарных математических операций, необходимых для расчета сети. С помощью этих функций была доказана эффективность диакоптических методов расчета. Теоретические расчеты подтверждаются экспериментально полученными результатами. Исследована проблема оптимального разбиения на подсети.

Заключение

В ходе работы нами были получены следующие результаты:

1. Построена категорно-тензорная модель линейных многополюсников.

2. В рамках этой модели разработан диакоптический метод расчета крупномасштабных линейных сетей.

3. Построено 2 алгоритма диакоптического расчета крупномасштабных линейных сетей, отличающихся различным способом разрезания исследуемой сети на подсети.

4. Доказана эквивалентность управляющих уравнений крупномасштабной сети, полученных в результате использования разных подходов к разработке диакоптических методов расчета сложных сетей (без реального и с реальным разрезанием сети на подсети).

5. Разработан диакоптический метод расчета межполюсных сопротивлений линейной сети.

6. Получены уравнения, позволяющие найти наиболее эффективный способ разбиения исследуемой сети на подсети при расчете сети диакоптическим методом, использующим понятие многополюсника, и диакоптическим методом, не использующим понятие многополюсника.

7. Построена категорно-тензорная модель нелинейных многополюсников.

8. В рамках этой модели разработан диакоптический метод расчета крупномасштабных нелинейных сетей.

9. Построен алгоритм диакоптического расчета крупномасштабных нелинейных (с малой квадратичной нелинейностью) сетей.

10. Создан комплекс программ для диакоптического расчета как линейных, так и нелинейных крупномасштабных сетей, а также для диакоптического расчета межполюсных сопротивлений линейной сети.

1. Антамошкина О.И., Верёвкина Е.В. Тензорный метод анализа нагрузки в сетях интегрального обслуживания: Материалы IX Всероссийской научно-методическая конференции "Телематика 2002": СПб, 2002 // http://tm.ifmo.ru/tm2002/

2. Арменский А.Е., Кузина И.В. Единая теория электрических машин. М.: Изд-во МИЭМ, 1975.256 с.

3. Арменский А.Е. Тензорные методы построения информационных систем. М.: Наука, 1989.143 с.

4. Атабеков Г. Й. Основы теории цепей. М.: Энергия, 1967.

5. Березуев Р.И. Модель теории Крона / \wwv.berezuev.hotbox.ru/

6. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М.: Высш. шк. ,1984.

7. Бугров В.Г. Тензорный анализ в электроснабжении: Учеб. пособие. Тверь, 1994.

8. Бунь Р.А., Васильев Е.Д., Семотюк В.Н. Моделирование электрических цепей методом подсхем. Киев: Наук.думка, 1991.170с.

9. Веревкина Е.В., Захарченко М.О., Петров М.Н. Тензорная методология в информационных сетях. Красноярск: НИИ СУВПТ, 2001.158с.

10. Гераскин О.Т. Декснис Г.К. Уравнения установившегося режима в Y-кусочной диакоптической форме для большой ЭЭС, представленной как совокупность радиально связанных подсистем // Электроэнергетика. 1991. №7. С.7-12.

11. Гераскин О.Т., Селеннова Т.Г. Решение уравнения установившихся режимов больших ЭЭС в Y-диакоптической форме итерационным методом Ньютона-Рафсона на многопроцессорных ЭВМ// Электроэнергетика. 1994. № 9-10. С.3-15.

12. Грузов JI. Н. К статье Н. Г. Максимовича "О теории преобразования схем Г. Крона"// Электричество. 1952. №12. С.82-83.

13. Губкин И.А. Метод оператора проектирования в теории линейных электрических цепей // Электричество. 1991. № 11. С.77-78.

14. Губкин И.А. Метод редукции в теории линейных электрических цепей // Электричество. 1993. №.2. С.45-50

15. Девлишов Д. А., Петров М. Н. Применение тензорной методолога и для расчета надежности сетей: Материалы конф. "Современные проблемы радиоэлектроники": Красноярск, 2003 // http://www.rtf.kgtu.runnet.ru/

16. Ермилова Е.Ю., Петров М.Н. Исследование экономических характеристик сетей интегрального обслуживания тензорным методом: Материалы конф. "Современные проблемы радиоэлектроники": Красноярск, 2003 // http://www.rtr.kgtu.runnet.ru/

17. Ермолаева Н.М. Разработка методов и алгоритмов расчета режимов электрических систем на основе диакоптики: Дне. канд. техн. наук. Чебоксары,1999.

18. Ермолаева Н.М., Щедрин В.А. Алгоритм автоматического разбиения электрических систем на отдельные подсистемы // Надежность и оптимизация систем электроснабжения промышленных предприятий / Межвуз. сб. Чебоксары, 1982. С.8-12.

19. Жен Хунлин Диакоптика цепей сопряжением переходных процессов их подсхем на произвольном интервале времени: Дис. канд. техн. наук. СПб.:Спб. гос. тех. ун-т,1997.

20. Жуков JI.A., Стратан И.П. Установившиеся режимы сложных электрических сетей и систем. М: Энергия,1979.415с.

21. Зевеке Г. В. Многополюсники. М.: МЭИ, 1971.

22. Золотухин В.В., Пономарев Д.Ю. Исследование возможностей тензорного метода анализа сетей связи с использованием имитационного моделирования: Материалы конф. "Современные проблемы радиоэлектроники": Красноярск, 2003 // http://vwvw.rtf.kgtu.runnet.ru/

23. Кнеллер В.Ю., Боровских Л.П. Определение параметров многоэлементных двухполюсников. М.: Энергоатомиздат, 1986.

24. Ковалев В.З. Моделирование электротехнических комплексов и систем как совокупности взаимодействующих подсистем различной физической природы: Дис. канд. техн. наук. Омск, 2000.

25. Котарова И.Н., Шамаева О.Ю. Параллельный метод диакоптики для решения сложных задач на расщепленных вычислительных системах //Кибернетика АН УССР. 1979. T.l. С.112-119.

26. Крон Г. Исследования сложных систем по частям диакоптика. М: Наука, 1972. 544 с.

27. Крон Г. Применение тензорного анализа в электротехнике. М.; JI.: Госэнергоиздат, 1955.276 с.

28. Крон Г. Тензорный анализ сетей. М: Сов. Радио,1978. 720 с.

29. Кузина Н.В. Единая теория электромашинных элементов САУ: Текст лекций. М.: Изд-во МИЭМ, 1987.60с.

30. Курнышев Б.С., Данилов С.П. Тензорная методология в теории электротехнических систем: Учеб. пособие / Иван. гос. энерг. ун-т. Иваново, 2002. 180 с.

31. Максимович Н. Г. К теории преобразования схем Г. Крона // Электричество. 1952. №11. С. 56-57.

32. Меерович Э. А. Геометрическая теория электрических цепей // Электричество. 1947. №2. С.30-39.

33. Милославская Н.Г. Инструментальные средства расчета сложных систем по частям тензорным методом: Дис. канд. техн. наук. М.,1988.

34. Миронов В.Г., Стахив П.Г. Перспективы использования диакоптического подхода при анализе динамических режимов электрических цепей // Электричество. 1990. № 12. С. 50-56.

35. Образцова Р. И., Кузнецов П. Г., Пшеничников С. Б. Инженерно-экономический анализ транспортных систем. М.: Наука, 1990.191 с.

36. Основы теории цепей: Учеб. для вузов / Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин и др. М.: Энергоиздат, 1989. 528 с.

37. Петров А. Е. Тензорная методология в теории систем. М.: Радио и связь, 1985.152 с.

38. Самарский А. А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.432 с.

39. Сигорский В. П. Методы анализа электрических схем с многополюсными элементами. Киев: Изд-во АН УССР, 1958.404 с.

40. Слипченко В.Г., Елизаренко В.Г. Методы диакоптики в электронике. Киев: В ища шк.,1981. 205с.

41. Сметанин Е.В. Векторное пространство и электрические сети // Математические основания теории сложных систем. Иваново: Иван, гос. ун-т, 1989. С. 19-30.

42. Сметанин Е.В. Категорно-тензорный подход к моделированию

43. V; * систем. Иваново: Иван. гос. ун-т, 1995.264 с.

44. Сметанин Е.В. Категорно-тензорный метод исследования сложных систем // Научно-технические средства информатизации, автоматизации и интеллектуализации в народном хозяйстве. М.: Общество "Знание" РСФСР, 1991. С. 54-61.

45. Сметанин Е.В. Роль инвариантности мощности в тензорном анализе сетей // Управление в сложных системах. Иваново: Иван. гос. ун-т, 1989. С. 29-36.

46. Сметанин Е.В., Иванова Н.Б. Математическое обоснование и обобщение диакоптики Крона: Разбиение крупномасштабной сети на подсети с одним общим узлом // Вестник Иван. гос. ун-та; серия "Биология. Химия. Физика. Математика.". 2002. Вып. 3. С. 66-69.

47. Сметанин Е.В., Иванова Н.Б. Математическое обоснование и обобщение диакоптики Крона: Разбиение крупномасштабной сети на подсети без общего узла // Вестник Иван. гос. ун-та; серия "Биология. Химия. Физика. Математика.". 2002. Вып. 3. С. 70-72.

48. Сохор Ю.Н. Моделирование электромагнитных процессов в синхронном линейном двигателе при питании от тиристорного преобразователя частоты: Дис. канд. техн. наук. М.: Моск. гос. ун-т' путей сообщения, 1997.V

49. Стахив П. Г. Анализ динамических режимов в электронных схемах с многополюсниками. Львов, 1988.

50. Фокин Ю.А., Курилко М.В., Павликов B.C. Декомпозиция в расчетах надежности сложных электроэнергетических систем // Электричество. 1999. №12. С. 2-9.

51. Хачатрян B.C., Бадалян Н.П. Расчет установившегося режима большой электроэнергетической системы методом диакоптики// Электричество. 2003. №6. С. 13-17.г>

52. Хачатрян B.C., Бадалян Н.П. Решение гибридных уравнений установившегося режима электроэнергетической системы// Электричество. 2003. №11. С. 11-16.

53. Хачатрян B.C., Этмекчян Э.Я., Бадалян Н.П. Решение гибридных уравнений установившегося режима электроэнергетической системы методом диакоптики// Электричество. 1999. № 4. С.7-12.

54. Хепп X. Диакоптика и электрические цепи. М.: Мир, 1974. 344 с.

55. Шакиров М.А. Применение диакоптики для расчета динамических режимов электрических цепей // Электричество. 1997. № 7. С. 58-67.

56. Шакиров М.А. Преобразования и диакоптика электрических цепей. JI: Изд-во ЛГУ, 1980. 195с.

57. Шамаева О.Ю. Разработка методов и организация процессов параллельных вычислений для задач большой размерности на основе диакоптических принципов декомпозиции: Дис. канд. техн. наук. М.: МЭИ, 1990.

58. Щедрин В.А. Метод преобразования координат в исследовании электрических систем: Учеб. пособие. Чебоксары: Чуваш, гос. ун-т, 1982. 120 с.

59. Arsove М. G. A note on the network postulates // Journal of Mathematics and Physics. 1953. vol. 32, № 2/3. P. 203-206.

60. Bargiela A. Nonlinear Tearing Algorithm for Transputer System Implementation // Transputers and Parallel Applications, IOS Press, Amsterdam, 1993. P. 19-24.

61. Braal R. Tensor analysis and linear network theory // The Transaction of S. Afr. Institute of Electrical Engineers. 1955. Vol. 46, Pt 3. P. 67-95.

62. Branimir Reljin, Siavica Ristic, Milesa Sreckovic. Analysis of some physical phenomena and processes by equivalent electric circuits // Int. J. Elect. Enging. Educ. Manchester U.P. 1996. Vol. 33. P.353-372.

63. Happ H. H. Foundations of tensor network theory // Journal of the Franklin Institute. 1968. Vol. 286, № 6. P. 561-564.

64. Нарр Н. Н. Orthogonal networks // Trans, of the Inst, of Electrical and Electronics Engineers. 1966. Vol. pas. 85, № 3. p. 281-294.

65. Нарр H. H. Special Cases of Orthogonal Networks Mesh and Nodal Networks // IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. 1968. Vol. pas. 87, № l.P. 53-66.

66. Нарр H. H. Special Cases of Orthogonal Networks Tree and Link //IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. 1966.Vol. pas. 85, № 8. P.880-891.

67. Hoffman B. Nature of the primitive system in Kron's theory // Amer. Journal of Physics. 1955. Vol. 23, № 6. P.341-355.

68. Hoffmann B. Kron's method of subspaces // Quarterly of Applied Mathematics. 1944. Vol. 11,№3. P.218-231.

69. Howard R. A, Application of matrix algebra to electric networks // American Journal of Physics. 1954. Vol.22, № 2. P. 93.

70. Ingram W.H., Cromlet C.M. On the foundation of electrical network theory // Journal of mathematics and physics. 1944.Vol.23, №3. P. 134155.

71. Iordache M., Lucia Dumitriu, Roxana Opera, Perpelea M. Generalized hybrid analysis for large-scale nonlinear electric circuits // Rev. Roum. Sci. Techn.: Electrotechn. et Energ. Bucarest. 1994. Vol. 39, № 2. P. 223-234.

72. Iordache M., Lucia Dumitriu, Voicu N., Perpelea M. Generalized diakoptic analysis for large-scale electric circuits // Rev. Roum. Sci. Techn.: Electrotechn. et Energ. Bucharest. 1993. Vol. 38, № 3. P. 365-381.

73. Kron G. A method of solving very large physical systems in easy stages // Proc. Of Inst, of Radio Engineers. 1954. Vol.42, № 4. P.680 686.

74. Kron G. A physical interpretation of the Rirmann-Christoffel curvature tensor // Tensor (Japan). 1955. Vol. 4, № 3. P.150-172.

75. Kron G. A set of principles to interconnect the solution of physical systems // The journal of applied physics. 1953. Vol. 24, № 8. P.965-980.

76. Kron G. A very simple example of piece-wise solution // Matrix and Tensor Quarterly. 1957. Vol. 8, № 1. P. 13-15.

77. Kron G. Basic concepts of multidimensional space filters // Trans. Of American Inst, of Electrical Engineering: Pt.l Communications and Electronics. 1959. Vol. 78, № 11. P. 554 561

78. Kron G. Camouflaging electrical 1-networks as graphs // Quarterly of Applied Mathematics. 1962. Vol. 20, № 2. P.161-174.

79. Kron G. Detailed example of interconnecting piece-wise solution // Journal of the Franklin Institute. 1955. Vol. 259, № 4. P. 307-333.

80. Kron G. Diakoptics a gateway into universal engineering // The Electrical Journal. 1956. Vol. 157, № 12. P. 1940-1945.

81. Kron G. Diakoptics the science of tearing, tensor and topological models // Research Association of applied Geometiy (RAAG) Memoirs. Tokyo, 1958. Vol.2, Div. F. P. 343 - 368.

82. Kron G. Elastic structures from the point of view of topological network theory // Research Association of applied Geometry (RAAG) Memoirs. Tokyo, 1962. Vol.3, Div. A. P. 23 32.

83. Kron G. Electric circuit model of the Schrodinger equations // Physical Review. Ser. 2. 1945. Vol.67, № 1. P.39 43.

84. Kron G. Electric circuit models for the vibration spectrum of polyatomic molecules //The journal of chemical physics. 1946. Vol. 14, №1. P. 19-31.

85. Kron G. Electrical engineering problems and topology // Matrix and Tensor Quarterly. 1951. Vol. 2, № 1. P. 2 4.

86. Kron G. Equivalent circuits of compressible and incompressible fluid flow fields // Journal of Aeronautical Sciences. 1945. Vol. 12, № 2. P. 221 -234.

87. Kron G. Equivalent circuits of electric machinery. New York: Dover Publications, Inc., 1967. 278 p.

88. Kron G. Equivalent circuits of the elastic field // Journal of Applied Mathematics: Trans. Of American Society of Mechanical Engineers. 1944. Vol. 11,№3. P. A-149 —A-161.

89. Kron G. Equivalent circuits of the field equation of Maxwell I // Proc. Of Inst. Radio Engineers. 1944. Vol. 32, № 5. P. 289-299.

90. Kron G. Equivalent circuits to represent the electromagnetic field equations // Physical Review. Ser. 2.1943.Vol.64, № 3-4. P. 126-128.

91. Kron G. Factorized inverse of partitioned matrices // Matrix and Tensor Quarterly. 1957.V.8, №2. P.39-41.

92. Kron G. Generalized theory of electric machinery // Trans, of American Inst, of Electrical Engineering. 1930. Vol.49, №14. P.666-693.

93. Kron G. Graphs as illegitimate models of electrical networks // Matrix and Tensor Quarterly. 1961. Vol. 12, № 1. P. 1-10.

94. Kron G. Improved procedure for interconnecting piece-wise solutions // Journal of the Franklin Institute. 1956. Vol. 262, № 5. P. 385-392.

95. Kron G. Invariant form of the Maxwell-Lorentz field equations for accelerated systems // Journal of Applied Physics. 1938. Vol. 9, № 3. P. 196-208.

96. Kron G. Inverting a 256x256 matrix; solution of an engineering system by method of sections using a card programmed calculator // Engineering. 1955. Vol. 179, № 4650. P.309-312.

97. Kron G. Invisible satellites of electric networks // Matrix and Tensor Quarterly. 1964. Vol. 14, № 3. P. 90-94.

98. Kron G. Multidimensional curve-fitting with self-organizing automata // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1962. Vol.5, № 1. P. 46-69.

99. Kron G. Multidimensional space filters // Matrix and Tensor Quarterly. 1958. Vol. 9, №2. P. 40-46.

100. Kron G. Non-Riemannian dynamics of rotating electrical machinery // Journal of Mathematics and Physics. 1934. Vol. 13, № 2. P. 103 194.

101. Kron G. Numerical examples for interconnecting piece-wise solutions of elastic structures // Research Association of applied Geometry (RAAG) Memoirs. Tokyo, 1958. Vol.2, Div. F. P. 23-403.

102. Kron G. Numerical solution of ordinary and partial differential equations by means of equivalent circuits // Journal of Applied Physics. 1945. Vol. 16, №3. P. 172-186.

103. Kron G. Quasi — holonomic dynamical systems // Physics. 1936. Vol. 7, №4. P. 143-152.

104. Kron G. Self-organizing? Dynamo-type automata // Matrix and Tensor Quarterly. 1960. Vol. 11, № 2. P. 42-52.

105. Kron G. Solution of complex nonlinear plastic structures by the method of tearing // Journal of Aeronautical Science. 1956. Vol. 23, № 6. P. 557 -562.

106. Kron G. Tearing and interconnecting as a form of transformation // QuarterlyofAppliedMathematics.1955.Vol. 13, №2. P.147-159.

107. Kron G. Tearing, tensors and topological models I I American scientist. 1957.Vol. 45, Ns 5. P.401-413.

108. Kron G. Tensorial analysis and equivalent circuits of elastic structures // Journal of the Franklin Institute. 1944. Vol. 238, № 6. P. 399-442.

109. Kron G. Tensors as organizations // Matrix and Tensor Quarterly. 1950. Vol. 1,№ 1.P.3 -4.

110. Le Corbeiller P. Matrix analysis of electric networks. New York etc., 1950.12 p.

111. Lynn J. W. Tensors in electrical engineering. London: Arnold, 1963.216 p.

112. Nasar S.A. Linaer transformations and invariance // Matrix and Tensor Quarterly. 1968. Vol. 19, № 1. P. 31.

113. Roth J. P. An application of algebraic topology to numerical analysis : II. The validity of Kron's method of tearing // Proc. Natl. Acad. Sci. 1955. №41. P. 518-521.

114. Roth J. P. An application of algebraic topology to numerical analysis: I. On the existence of a solution to the network problem // Proc. Natl. Acad. Sci.1955. №41. P. 599-600.

115. Roth J. P. An application of algebraic topology: Kron's method of tearing // Quarterly of applied mathematics .1959. Vol.17, № 1. P. 1-24.

116. Saltzer C. The second fundamental theorem of electrical networks// Quarterly of Applied Mathematies.1953. Vol.9, №1. P.l 19-123.

117. Stepina J. Fysikalnt podstata reseni elektrickych obvodu transformaci podle G. Krona // Electrotechniky obzor. 1954. Sv.43, № 10. P. 516-521.

118. Stigant S. A. Matrix and tensor analysis in electrical network theory. London: Macdonald, 1964. 505 p.

119. Stigant S. A. The elements of determinants, matrices and tensors for engineers. London: Macdonald, 1959. 433 p.

120. Stigant S. A., Gibbs W. J. Power input invariance and the singular transformation tensor // Matrix and Tensor Quarterly. 1951. Vol. 1, № 4. P. 7-8.

121. Stigant S. A., Gibbs W. J. The fundamental relations: i-Ci\ e'=Cte // Matrix and Tensor Quarterly. 1951. Vol. 1,№4. P. 9-12.

122. Synge J.L. The fundamental theorem of electrical networks // Quarterly of applied mathematics .1951. Vol.9, № 2. P.l 13-127.

123. Tuero M. Matricove resem linenearnich soustav elektrickych obvodu // Slaboproudu obzor. 1954. Sv. 15, № 8. P. 377-387.