автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение пакетов аналитических вычислений к решению некоторых задач дифференциальной геометрии

На правах рукописи

Джепко Валерий Валентинович

ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

05 13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

□ОЗ 161638

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул - 2007

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Рубцовского индустриального института (филиала) ГОУ ВПО "Алтайский государственный технический университет им И И Ползунова"

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Никоноров Юрий Геннадьевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Родионов Евгений Дмитриевич,

кандидат физико-математических наук, доцент Поликанова Ирина Викторовна

Ведущая организация Институт математики им С Л Соболева СО РАН

Защита состоится 13 ноября 2007 года в 12-00 на заседании диссертационного совета Д 212 005 04 при ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет" по адресу 656049, г Барнаул, пр-т Ленина, 61, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет" по адресу 656049, г Барнаул, пр-т Ленина, 61

Автореферат разослан " ^ " октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, д ф -м н , профессор

С А Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Системы аналитических вычислений играют важную роль во многих областях науки, и со временем их актуальность только возрастает Научное программирование постоянно претерпевает трансформацию развиваются интегральные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем, таких как Maple, Mathematica, MatLab, MathCad, Mupad, Derive и других Эти системы предоставляют широкие возможности для специалистов разных профилей, с их помощью проще и быстрее решать исследовательские и прикладные задачи Для написания программ с помощью математических систем не требуется глубоких знаний алгоритмических языков программирования, пользователь освобождается от монотонных вычислений и концентрирует свое внимание на теоретической стороне решаемой задачи Системы аналитических вычислений привлекают многих своих пользователей удобными и хорошо реализованными возможностями отображения графической информации Многие из рассматриваемых систем позволяют сохранять результаты вычислений в различных форматах (LaTeX, Excel, RTF и др ), что существенно облегчает написание научных статей

Современная геометрия, также как и другие области математики, использует компьютерные технологии для решения своих задач Существуют примеры, доказывающие эффективность математических систем не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем Например, хорошо известно доказательство гипотезы четырех красок, осуществленное К Аппелем и В Хакеном Также в работе О Ковальского и 3 Влаше-ка, о классификации инвариантных метрик Эйнштейна на пространствах Алоффа-Уоллача, применение компьютера подсказало путь к аналитическому доказательству утверждений В работе Ю Сакане [15] при помощи пакетов аналитических вычислений доказывается существование инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых флаговых многообразиях Кроме того, в работе [4] с помощью системы Maple найдены новые примеры эйнштейновых метрик на три-локально-симметрических пространствах с использова-

нием метода Штурма Также при решении систем алгебраических уравнений с применением компьютерных вычислений широко используются базисы Гребнера, с помощью которых в ряде случаев удается найти точное аналитическое решение Можно отметить работы Ю В Никоноровой [5, б], в которых используются пакеты символьных вычислений для решения задач евклидовой геометрии, работу JI Н Чибриковой [11] в области (псевдо)римановой геометрии и многие другие

Данная диссертация посвящена исследованию некоторых задач дифференциальной 1еометрии при помощи систем аналитических вычислений В частности, рассматривается задача поиска коэффициентов формулы символа произведения двух дифференциальных операторов, имеющая важное значение в рамках основанной и развиваемой В А Шарафутдиновым теории псевдодифференциальных операторов на многообразиях со связностью [12] С помощью применения компьютерных вычислений к решению этой задачи удалось получить некоторые новые результаты Также в данной работе использование математических систем применено к исследованию задачи поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли Эта задача имеет важное значение при классификации однородных многообразий Эйнштейна

Цель работы Целью диссертационной работы является создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Maple для решение некоторых задач дифференциальной геометрии Таким образом можно показать эффективность применения аналитических систем для решения таких задач Решаемые задачи

1 Разработка алгоритма вычисления коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов

2 Реализация программного обеспечения в системе Maple для получения коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов

3 Создание пакета программ, позволяющего получить определяющие коэффициенты формулы символа произведения дифференциальных опе-

раторов с использованием двойного экспоненциального отображения на пространствах постоянной кривизны

4 Разработка алгоритма поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли и доказательство на основе этого алгоритма теорем существования таких метрик

5 Создание Мар1е-программы для поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли

Научная новизна В данной диссертационной работе разработаны новые алгоритмы и программы для решения некоторых задач дифференциальной геометрии

Работа содержит новые результаты в теории псевдодифференциальных операторов, в частности, указан алгоритм вычисления определяющих коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов, на основе этого алгоритма разработано программное обеспечение в системе Maple, и с его помощью получены формулы для определяющих коэффициентов до пятого порядка включительно Также найдены явные формулы определяющих коэффициентов на пространствах постоянной кривизны с использованием двойного экспоненциального отображения (на евклидовых сферах Sn постоянной положительной кривизны и на пространствах Лобачевского Ln постоянной отрицательной кривизны)

Также в работе, при помощи системы аналитических вычислений Maple, найдены новые инвариантные метрики Эйнштейна и доказаны теоремы существования таких метрик на некоторых однородных пространствах классических групп Ли

Теоретическая и практическая значимость Результаты диссертации имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы для дальнейшего развития теории псевдодифференциальных операторов и теории однородных эйнштейновых многообразий Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут быть использованы

для решения аналогичных задач дифференциальной геометрии

Положения, выносимые на защиту

1 Разработан алгоритм, на основе которого написана программа для вычисления коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов

2 Создан программный пакет, позволяющий получить определяющие коэффициенты формулы символа произведения дифференциальных операторов с использованием двойного экспоненциального отображения на пространствах постоянной кривизны

3 Найден алгоритм, используя который реализовано программное обеспечение для поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли и доказаны теоремы существования таких метрик

Методы исследования. Методика исследования ориентирована на использование стандартных методов линейной алгебры, анализа, дифференциальной геометрии, теории псевдодифференциальных операторов, тензорного анализа, теории групп и алгебр Ли Для решения поставленных задач использовались методы символьных и численных вычислений в системе Maple V Release 4

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах межрегиональная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Проблемы социального и научно-технического развития в современном мире" (Рубцовск, РИИ, апрель 2005 г), всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Проблемы социального и научно-технического развития в современном мире" (Рубцовск, РИИ, апрель 2006 г), международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н В Ефимова (Абрау-Дюрсо, РГУ, сентябрь 2006 г), всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Проблемы социального и научно-технического развития в современном мире" (Рубцовск,

б

РИИ, апрель 2007 г), семинар лаборатории обратных задач математической физики (Новосибирск, ИМ СО РАН, июнь 2005 г), городской геометрический семинар г Барнаула под руководством Е Д Родионова (Барнаул, БГПУ, март 2007 г), семинар "Однородные пространства" под руководством В Н Берестовского и В М Гичева (Омск, ОмГУ, май 2007 г) Кроме того, все результаты работы в разное время докладывались на семинаре кафедры прикладной математики Рубцовского индустриального института Алтайского государственного технического университета имени И И Ползунова

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-01-00611-а) и частичной под держке Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ Российской Федерации (грант НШ-8526 2006 1)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ Одна из работ опубликована в журнале из списка ВАК Некоторые результаты получены в соавторстве с Ю Г Никоноровым и А Арванитоеоргосом

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы Каждая глава в свою очередь разбита на несколько разделов Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех чисел, первое из которых обозначает номер главы, второе - номер раздела, третье - номер утверждения данного типа Аналогично нумеруются формулы, для таблиц используется сплошная нумерация Общий объем диссертации составляет 108 страниц, библиография состоит из 41 наименования

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение основных результатов диссертации

В первой главе диссертации приводятся необходимые сведения о системах аналитических вычислений и их использовании в математических исследованиях, сравниваются различные системы компьютерной математики, рассматриваются их особенности и преимущества

Вторая глава диссертации посвящена поиску коэффициентов, участвующих в формуле символа произведения двух дифференциальных операторов, при помощи системы аналитических вычислений Maple

В первом разделе второй главы приведены необходимые сведения из теории псевдодифференциальных операторов В работе [12] В А Шарафутди-новым определен геометрический символ псевдодифференциального оператора на гладком многообразии X с гладкой симметричной связностью V Одной из важных проблем развиваемой в [12] теории является определение символа произведения двух псевдодифференциальных операторов В частности, в указанной работе получена формула для символа произведения операторов, включающая в себя специальные многочлены € С°°(Т*Х), которые могут быть выражены через тензор кривизны R связности V и его ко-вариантные производные УД [12, §2] Подход В А Шарафутдинова связан с асимптотикой специальных тензоров, проблема асимптотики таких объектов довольно популярна (см , например, [13]) В настоящее время общей явной формулы для многочленов ране получено Приводимое в [12] определение коэффициентов конструктивно, те дает алгоритм для их вычисления Однако объем вычислений быстро растет с номером коэффициента

Во втором разделе второй главы описан алгоритм поиска коэффициентов pa,l3(x, £) в скалярном случае, который был реализован с помощью системы Maple

В третьем разделе второй главы приведены некоторые результаты, полученные с помощью систем аналитических вычислений На основе описанного

во втором разделе алгоритма была создана программа для поиска коэффициентов ра'Р(х, £) С помощью этой программы были получены формулы коэффициентов до порядка пять включительно Формулы до порядка четыре были получены (без применения компьютерных вычислений) В А Шара-футдиновым в [12], они полностью совпадают с формулами, полученными программным путем

В работе [12] получены формулы

р°'° = 1, ра<° = р^а = 0 при |а| > 0, ра# = 0 при |а| = |/?| = 1, рЬ)АЩ = _1{щь + др^ р(3т1) = + ДР^

рЬШт) = ¡а(Ыт)(-г\/)кЩ]п^ Мт) = ^«Х"^«^,

рШ.Цт) = -\о{3к)ст{1т){Ь{-1^Щтк + (-г^Щ^р

С помощью компьютерных вычислений установлены равенства для коэффициентов 5-го порядка рМ^а3а4а5) = ^+ Ш^ВР^р^),

р(а1а2),(аза4а5) = -±а(ага4а5)а(а1а2)(18ЧауазЯ^а£р6+

+ЗУа3Уа1Л^а2а5^р6 + 3 V а3 Нд® а2й5 — ^Щ^а2азЩна5рЛрв~

— 16/?Рб ИРв { — 28/?Рб ЯР» £ )

р{ага«ь)М = {274а^^

— 12/?р6 /?Р8 £ — № ^

В этих равенствах предполагается суммирование по повторяющимся верхним и нижним индексам, через (71, обозначен такой мультииндекс а = (аь ,о„), что последовательность отличается лишь порядком элементов от последовательности (1, , 1,2, ^ ,2, ,га, ^ а

»1 «2

через а обозначен оператор симметризации (см подробности в [12])

Объем вычислений растет с номером коэффициента, и уже на 6-м порядке современный компьютер не смог справиться с этой задачей

В четвертом разделе второй главы с помощью средств системы Мар1е ищутся коэффициенты формулы символа произведения двух дифференци-

альных операторов на пространствах постоянной кривизны (используется двойное экспоненциальное отображение)

В работе [2] для гладкого многообразия X с симметричной связностью без кручения V установлена формула, позволяющая искать коэффициенты ра'Р при помощи оператора к = кх Тх{Х) х Тх(Х) —> Тх(Х), определяемого при помощи двойного экспоненциального отображения В этом разделе дается явное выражение для оператора /г в случае метрической связности Леви-Чивита на многообразиях постоянной секционной кривизны При этом в силу локальности задачи и ее тривиальности для евклидова пространства рассматриваются лишь случаи евклидовых сфер (Теорема 2 4.1) и пространств Лобачевского (Теорема 2 4.2.)

Третья глава диссертации посвящена поиску новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли Риманово многообразие (М, р) называется эйнштейновым, если кривизна Риччи метрики р связана с ней соотношением Г11с(р) = с р для некоторой вещественной константы с Более подробные сведения о многообразиях Эйнштейна можно найти в книге А Бессе [1]

В первом разделе третьей главы описан аппарат, позволяющий упростить поиск инвариантных метрик Эйнштейна В этом разделе найдены формулы скалярной кривизны 3 инвариантных метрик для рассматриваемых однородных пространств Критические точки функционала 3 при фиксированном объеме метрик соответствуют инвариантным метрикам Эйнштейна [1] Используя этот вариационный принцип, задачу поиска инвариантных эйнштейновых метрик сводим к задаче Лагранжа для функционала скалярной кривизны 5 при условии постоянства объема и, далее, к решению некоторой системы алгебраических уравнений, что позволяет применить для ее решения аналитические системы вычислений

Во втором разделе третьей главы рассматриваются пространства Шти-феля БО{к1 + к2 + кз)/30(кз), а также их симплектические аналоги Зр(к\ + + к3)/Зр(к3), на которых ищутся БО(к1 + к2 + к3) х 30(кг) х 30(к2)-инвариантные и Бр(к1 + к% + &3) х Зр(кх) х 5р(А;2)-инваРиантные эйнштей-

новы метрики, соответственно Каждая такая метрика соответствует решению некоторой системы из четырех полиномиальных уравнений, которая зависит от трех положительных целочисленных параметров /сь/сг^з и пя~ ти положительных вещественных переменных х1,х2,хц,х\з1х2з, которые и определяют инвариантные метрики Эйнштейна на этих пространствах Доказываются следующие утверждения

Предложение 3.2.1. Если I > к > 3, тогда многообразие Шгпифеля SO(2k +1)/SO(l) допускает по крайней мере четыре SO(2k + l) х SO(k) х SO (к)-инвариантные метрики Эйнштейна, две из которых - метрики Иенсена

Предложение 3 2.2 Если I > k > 1, тогда пространство Sp(2k + l)/Sp{l) допускает по крайней мере четыре Sp(2k + I) х Sp{k) х Sp(k)~ инвариантные метрики Эйнштейна, две из которых - метрики Йенсена В третьем разделе третьей главы рассмотрен более общий случай и доказаны следующие теоремы

Теорема 3 3 1. Если s>lul>k>3, тогда многообразие Штифеля SO(sk + l)/SO(l) допускает по крайней мере четыре SO(sk + l) х (SO(k))s-инвариантные метрики Эйнштейна, две из которых - метрики Йенсена Теорема 3.3 2 Если s>lul>k>l, тогда пространство Sp(sk + l)/Sp(l) допускает по крайней мере четыре Sp(sk+l)x(Sp(k))s-инвариантные метрики Эйнштейна, две из которых - метрики Йенсена

Метрики Иенсена - это инвариантные метрики Эйнштейна, найденные Г Р Йенсеном [14j

Теорема 3.3.3. Для любого положительного целого р существует многообразие Шгпифеля SO(n)/SO(l) и однородное пространство Sp(n)/Sp(l), которые допускают по крайней мере р SО(п)-инвариантные (соответственно, Sp(n)-инвариантные) метрики Эйнштейна

В четвертом разделе третьей главы рассматриваются пространства SO(ki+ къ + fa)/SO(k2) х SO(k3), а также пространства Sp(ki + + k^/Spfa) х Sp(k3), на которых ищутся SO(ki+k2+k3) х 50(&1)-инвариантные и Sp(ki + к2 + кз) х 5р(А;х)-инвариантные метрики Эйнштейна, соответственно Каж-

дая такая метрика соответствует решению некоторой системы из трех полиномиальных уравнений, которая зависит от четырех положительных вещественных переменных х2, х12, Х\з, х23 и трех положительных целочисленных параметров к\,к2,

После введения замены ki = к (к > 2 для ортогонального случая), к2 = h = 1, ху = х, ж2з = У, Xi2 = = г доказаны следующие утверждения Предложение 3 4 1 Если система

-yz2 ((к-2)z2- 4xzl - 2xzk + 4xz + xly + (2l + k- l)x2) = 0, z((4l-4)z2-4zyl-2zyk + 4yz-yx + yxk+(l + k)y2) = 0

имеет решение x,y,z > 0, тогда мы получаем новую SO(2l + к) х SO(k)-инвариантную метрику Эйнштейна на пространстве SO(2l + k)/SO(l) х SO(l), где x,y,z задают инвариантные метрики Предложение 3 4 2 Если система

-yz2 ((2 + 2k)z2 - (81 + 4k+ 4)zx + 2yxl + (41 + 2k + l)a;2) = 0, z((8l + 4)z2 - (81 + 4k + 4)zy + (2k + l)xy + (2k + 2l)y2) = 0

имеет решение x,y,z > 0, тогда мы получаем новую Sp(2l + k) х Sp(k)-инвариантную метрику Эйнштейна на пространстве Sp(2l + k)/Sp(l) х Sp(l), где x,y,z задают инвариантные метрики

В пятом разделе третьей главы рассматриваются более общие пространства SO(tl + k)/(SO(l)f и Sp(tl + k)/(Sp(V)f, на которых ищутся SO(tl + k) х ¿"О^-инвариантные и Sp(tl + k) х ¿^(/^-инвариантные метрики Эйнштейна, соответственно

Доказаны следующие теоремы Теорема 3 5 1 Если система

j (к- 2 )z2 + (4 - 2 tl - 2 k)xz + (tl - l)xy + (tl + к - l)x2 = 0, \ (21 + tl- 4)z2 + (4 - 2tl - 2k)yz + (k- l)xy + (tl + k- l)y2 = 0

имеет решения x,y,z > 0, то эти решения задают параметры SO(tl + к) х SO (к)-инвариантных метрик Эйнштейна на пространстве SO(tl +

k)/(so(i)Y

Теорема 3 5 2 Если система

Г (2 + 2k)z2 - (4tl + 4к + 4)xz + (2tl - 2l)xy + (2k+l + 2tl)x2 = 0,

\ 2(tl + 21 + 2)z2 - 4(tl + k + 1 )yz + (2& + 1)жу + 2(tl + k — l)y2 = 0

имеет решения x,y,z > 0, то эти решения задают параметры Sp(tl + к) х Sp(k)-инвариантных метрик Эйнштейна на пространстве Sp(tl + k)/(Sp{l)f

В заключении приведены следующие основные результаты работы

1 Разработан алгоритм вычисления коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов

2 На основе разработанного алгоритма реализовано программное обеспечение в системе Maple, с помощью которого получены коэффициенты формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов до порядка пять включительно

3 Создан пакет программ, позволивший получить определяющие коэффициенты формулы символа произведения дифференциальных операторов с использованием двойного экспоненциального отображения на пространствах постоянной кривизны

4 Найден алгоритм поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли, и на основе этого алгоритма доказаны теоремы существования таких метрик

5 Создана Мар1е-программа для поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли

Также в заключении рассмотрены перспективы дальнейшего применения аналитических пакетов к решению различных задач дифференциальной геометрии

В приложении приведены листинги процедур, написанных в системе Maple и использованных для решения пос!авленных задач

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1 Джепко В В Коэффициенты 5-го порядка для формулы символа произведения двух дифференциальных операторов // Проблемы социального и научно-технического развития в современном мире тезисы докладов межрегиональной научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых — РИИ - Рубцовск, 2005 — С 12-13

2 Джепко В В Новые инвариантные метрики Эйнштейна на пространствах Штифеля // Проблемы социального и научно-технического развития в современном мире материалы всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Часть 1 — РИИ - Рубцовск, 2006 - С 7-9

3 Джепко В В О вычислении символа произведения дифференциальных операторов на многообразиях со связностью // Проблемы социального и научно-технического развития в современном мире материалы всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Часть 1 — РИИ - Рубцовск, 2006 — С 9-12

4 Джепко В В Новые инвариантные метрики Эйнштейна на пространствах Штифеля // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н В Ефимова — Ростов-на-Дону Изд-во РГУ, 2006 - С 33-34

5 Arvamtoyeorgos А , Dzhepko V V , Nikonorov Yu G Invariant Ernstem Metrics on Some Homogeneous Spaces of Classical Lie Groups [Электронный ресурс] Preprint -2006 - http//arXiv math DG/0612504

6 Джепко В В Новые инвариантные метрики Эйнштейна // МОНА -2006 тезисы региональной конференции по математическому образованию на Алтае — Барнаул Изд-во БГПУ, 2006 — С 7-10

7 Джепко В В Коэффициенты символа произведения дифференциальных операторов на многообразиях со связностью // МОНА - 2006 тезисы

региональной конференции по математическому образованию на Алтае - Барнаул Изд-во БГПУ, 2006 - С 10-12

8 Джепко В В О поиске коэффициентов символа произведения дифференциальных операторов // Вестник БГПУ Естественные и точные науки - Барнаул Изд-во БГПУ, 2006 - № 6 - С 27-30

9 Джепко В В , Никоноров Ю Г О некоторых инвариантных метриках Эйнштейна // Вестник БГПУ Естественные и точные науки — Барнаул Изд-во БГПУ, 2006 - № 6 - С 92-97

10 Джепко В В , Никоноров Ю Г Двойное экспоненциальное отображение на пространствах постоянной кривизны // Математические труды — 2007 - Т 10 - № 1 - С 141-153

11 Джепко В В Новые инвариантные метрики Эйнштейна на пространствах SO(tl + k)/(SO(l)f и Sp{tl + k)/(Sp{l)Y // Проблемы социального и научно-технического развития в современном мире материалы всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых — РИИ - Рубцовск, 2007 — С 11-12

12 Джепко В В Об инвариантных метриках Эйнштейна на пространствах SOitl + k)/{SO(l)f и Sp(tl + k)/(Sp{l)f // Геометрия в Одессе - 2007 тезисы докладов международной конференции — Одесса, 2007 — С 4951

13 Джепко В В О новых инвариантных метриках Эйнштейна на некоторых однородных пространствах // МАК - 2007 материалы региональной конференций по математике — Барнаул Изд-во АлтГУ, 2007 — С 2122

14 Dzhepko V V New invariant Einstein metrics on some homogeneous spaces // Abstracts of Third Russian-German Geometry Meeting dedicated to 95th birthday of AD Alexandrov - St -Petersburg, 2007 -P 10-11

Литература

[1] Бессе А Л Многообразия Эйнштейна — М Мир, 1990

[2] Гаврилов А В Двойное экспоненциальное отображение и ковариантное дифференцирование // Сиб мат журнал — 2007 — Т 48 — № 1 — С 68-74

[3] Говорухин В , Цибулин Б Компьютер в математическом исследовании - СПб Питер, 2001

[4] Ломшаков А М , Никоноров Ю Г, Фирсов Е В Инвариантные метрики Эйнштейна на три-локально-симметрических пространствах // Математические труды — 2003 — Т 6 — № 2 — С 80-101

[5] Никонорова Ю В Об одной экстремальной задаче на евклидовой плоскости // Математические труды — 2001 — Т 4 — №1 —С 111-121

[6] Никонорова Ю В Применение системы Maple к решению некоторых задач евклидовой геометрии // Известия АГУ Специальный выпуск, посвященный пятилетию краевой конференции по математике — Барнаул Изд-во АГУ, 2002 - С 16-19

[7] Никоноров Ю Г, Родионов Е Д , Славский В В Геометрия однородных римановых многообразий Современная математика и ее приложения Геометрия - 2006 - Т 37 - С 1-78

[8] Очков В Ф MATHCAD 8 Pro для студентов и инженеров [Электронный ресурс] — 1999

[9] Потемкин В Г Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5 х В 2 томах — М Диалог-МИФИ, 1999

[10] Прохоров Г В , Колбеев В В , Желнов К И , Леденев М А Математический пакет Maple V Release 4 Руководство пользователя — Калуга Облиздат, 1998

[11[ Чибрикова Л Н Применение математических пакетов к решению задач (псевдо)римановой геометрии // Вестник БГПУ Естественные и точные науки — Барнаул, 2004 — № 4 — С 71-80

[12] Шарафутдинов В А Геометрическое исчисление символов псевдодифференциальных операторов Часть 1 // Математические труды — 2004 -Т 7 -№2 - С 159-206, Часть 2 // Матемагические труды - 2005 - Т 8 — № 1 - С 176-201

[13] Gray A The volume of a small geodesic ball of a Riemannian manifold // Michigan Math J - 1973 - V 20 - P 329-344

[14] Jensen G R Einstein metrics on principal fibre bundles //J Diff Geom — 1973 - V 8 - P 599-614

[15] Sakane Yu Homogeneous Einstein metrics on flag manifolds // Lobachevskn J Math - 1999 - V 4 - P 71-87

Подписано в печать 02 10 2007 Формат 60 х 80/16 Заказ 07-613 Тираж 120 экз Per № 84 Уел печ 1

Отпечатано в типографии ООО Фирма "Выбор" 658213, Рубцовск, пр Ленина, 41

Введение

1 Вычислительные системы в математическом исследовании

1.1 Система аналитических вычислений Maple.

1.2 Система численных исследований MatLab.

1.3 Вычислительный пакет MathCad.

1.4 Система компьютерной алгебры Mathematica.

2 Коэффициенты формулы символа произведения двух дифференциальных операторов

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Алгоритм поиска коэффициентов

2.3 Основные результаты

2.4 Поиск коэффициентов с использованием двойного экспоненциального отображения на пространствах постоянной кривизны

2.4.1 Предварительные сведения.

2.4.2 Евклидовы сферы

2.4.3 Пространства Лобачевского.

2.4.4 Следствия и замечания.

3 Новые инвариантные метрики Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Поиск метрик при t = 1, s =

3.2.1 Пространства 30(кг + к2 + к3)/80(к3).

3.2.2 Пространства Зр(к\ + кч + к3)/Зр(к3).

3.3 Поиск метрик при < = 1 и произвольном я.

3.4 Поиск метрик при £ = 2, й =

3.4.1 Пространства 30(кх + Л?2 + к3)/30{к2) х 50(^3)

3.4.2 Пространства 5р(&1 + + к3)/Зр{к2) х

3.5 Поиск метрик при я = 1 и произвольном t.

3.5.1 Пространства БО{И + к)/{80(1)У.

3.5.2 Пространства Бр{И + к)/(8р(1)У.

Системы аналитических вычислений играют важную роль во многих областях науки, и со временем их актуальность только возрастает. Научное программирование постоянно претерпевает трансформацию: развиваются интегральные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем, таких как Maple, Mathema-tica, MatLab, MathCad, Mupad, Derive и других. Эти системы предоставляют широкие возможности для специалистов разных профилей, с их помощью проще и быстрее решать исследовательские и прикладные задачи. Для написания программ с помощью математических систем не требуется глубоких знаний алгоритмических языков программирования, пользователь освобождается от монотонных вычислений и концентрирует свое внимание на теоретической стороне решаемой задачи. Системы аналитических вычислений привлекают многих своих пользователей удобными и хорошо реализованными возможностями отображения графической информации. Многие из рассматриваемых систем позволяют сохранять результаты вычислений в различных форматах (LaTeX, Excel, RTF и др.), что существенно облегчает написание научных статей.

Современная геометрия, также как и другие области математики, использует компьютерные технологии для решения своих задач. Существуют примеры, доказывающие эффективность математических систем не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Например, хорошо известно доказательство гипотезы четырех красок, осуществленное К. Аппелем и В. Хакеном. Также, в работе О. Ковальского и 3. Влаше-ка, о классификации инвариантных метрик Эйнштейна на пространствах

Алоффа-Уоллача, применение компьютера подсказало путь к аналитическому доказательству утверждений. В работе Ю. Сакане [37] при помощи пакетов аналитических вычислений доказывается существование инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых флаговых многообразиях. Кроме того, в работе [7] с помощью системы Maple найдены новые примеры эйнштейновых метрик на три-локально-симметрических пространствах с использованием метода Штурма. Также при решении систем алгебраических уравнений с применением компьютерных вычислений широко используются базисы Гребнера, с помощью которых, в ряде случаев, удается найти точное аналитическое решение. Можно отметить работы Ю.В. Никоноровой [9, 10], в которых используются пакеты символьных вычислений для решения задач евклидовой геометрии, работу JI.H. Чибриковой [17] в области (псев-до)римановой геометрии и многие другие.

Данная диссертация посвящена исследованию некоторых задач дифференциальной геометрии при помощи систем аналитических вычислений. В частности, рассматривается задача поиска коэффициентов формулы символа произведения двух дифференциальных операторов, имеющая важное значение в рамках основанной и развиваемой В.А. Шарафутдиновым теории псевдодифференциальных операторов на многообразиях со связностью [18]. С помощью применения компьютерных вычислений к решению этой задачи удалось получить некоторые новые результаты. Также, в данной работе, использование математических систем применено к исследованию задачи поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли. Эта задача имеет важное значение при классификации однородных многообразий Эйнштейна.

Целью диссертационной работы является решение некоторых задач теории псевдодифференциальных операторов и теории эйнштейновых многообразий при помощи пакетов аналитических вычислений, тем самым обосновывается эффективность систематического использования аналитических пакетов для решения задач дифференциальной геометрии.

Основные задачи работы включают:

1. Поиск алгоритма вычисления и эффективное вычисление коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов.

2. Получение определяющих коэффициентов формулы символа произведения дифференциальных операторов с использованием двойного экспоненциального отображения на пространствах постоянной кривизны.

3. Нахождение новых инвариантных метрик Эйнштейна и доказательство теорем их существования на некоторых однородных пространствах классических групп Ли с помощью систем аналитических вычислений.

Методика исследования ориентирована на использование стандартных методов линейной алгебры, анализа, дифференциальной геометрии, теории псевдодифференциальных операторов, тензорного анализа, теории групп и алгебр Ли. Для решения поставленных задач использовались методы символьных и численных вычислений в системе Maple V Release 4.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько разделов. Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех чисел, первое из которых обозначает номер главы, второе - номер раздела, третье - номер утверждения данного типа. Аналогично нумеруются формулы, для таблиц используется сплошная нумерация.

Заключение

С помощью системы аналитических вычислений Maple в диссертации получены следующие результаты:

1. Найден алгоритм вычисления коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов.

2. Получены коэффициенты формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов до порядка пять включительно.

3. Получены определяющие коэффициенты формулы символа произведения дифференциальных операторов с использованием двойного экспоненциального отображения на пространствах постоянной кривизны.

4. Найдены новые инвариантные метрики Эйнштейна и доказаны теоремы их существования на некоторых однородных пространствах классических групп Ли.

Успешное применение математических пакетов зависит, в первую очередь, от правильного выбора модели соответствующей геометрической задачи. Вычислительная система при исследовании задачи играет роль экспериментальной базы, позволяет численно проверять возникающие гипотезы и, что более примечательно, указывает путь к математически строгому доказательству.

Вышеуказанные результаты, полученные на основании развития методов применения систем символьных вычислений, показывают целесообразность применения подобных систем к исследованию в областях дифференциальной геометрии и смежных дисциплин.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что дальнейшие исследования по применению средств символьных вычислений к различным задачам геометрии может позволить получить новые результаты.

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Ю.Г. Никонорову за постоянное внимание и поддержку.

1. Алексеевский Д.В., Винберг Э.Б., Солодовников A.C. Геометрия пространств постоянной кривизны. // Совр. пробл. матем. Фунд. напр. М.: ВИНИТИ. 1988. Т.29. С.5-146.

2. Бессе A.J1. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир. 1990.

3. Гаврилов A.B. Двойное экспоненциальное отображение и ковариантное дифференцирование. // Сиб. мат. журнал. 2007. Т.48. М. С.68-74.

4. Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании. СПб.: Питер. 2001.

5. Дьяконов В.П. Системы символьной математики MATHEMATICA 2 и MATHEMATICA 3. М.: CK ПРЕСС. 1998. 320 с.

6. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.1,2. М.: Наука. 1981.

7. Ломшаков A.M., Никоноров Ю.Г., Фирсов Е.В. Инвариантные метрики Эйнштейна на три-локально-симметрических пространствах. // Матем. труды. 2003. Т.6. М. С.80-101.

8. Матросов A.B. MAPLE 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб.: БХВ-Петербург. 2001. 528 с.

9. Никонорова Ю.В. Об одной экстремальной задаче на евклидовой плоскости. // Матем. труды. 2001. Т.4. №1. С.111-121.

10. Никонорова Ю.В. Применение системы Maple к решению некоторых задач евклидовой геометрии. // Известия АГУ. Специальный выпуск, посвященный пятилетию краевой конференции по математике. Барнаул: Изд-во АГУ. 2002. С.16-19.

11. И. Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Геометрия однородных римановых многообразий. Современная математика и ее приложения. Геометрия. 2006. Т.37. С.1-78.

12. Никоноров Ю.Г. Аналитические методы в теории однородных Ейнштей-повых многообразий. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та. 2000. 183 с.

13. Никоноров Ю.Г. Об одном классе однородных компактных многообразий Эйнштейна // Сиб. мат. журнал. 2000. Т.41. №1. С.200-205.

14. Очков В.Ф. MATHCAD 8 Pro для студентов и инженеров. 1999.

15. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x. В 2-х томах. М.: Диалог-МИФИ. 1999.

16. Прохоров Г.В., Колбеев В.В., Желнов К.И., Леденев М.А. Математический пакет MAPLE V Release 4: Руководство пользователя. Калуга: Облиздат. 1998.

17. Чибрикова Л.Н. Применение математических пакетов к решению задач (псевдо)римановой геометрии. // Вестник БГПУ: Естественные и точные науки. Барнаул. 2004. №4 С.71-80.

18. Шарафутдииов В.А. Геометрическое исчисление символов псевдодифференциальных операторов. Часть 1. // Матем. труды. 2004. Т.7. №2. С.159-206; Часть 2. // Матем. труды. 2005. Т.8. №1. С.176-201.

19. Шарафутдинов В.А. Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: Наука. 1993.

20. Alekseevsky D., Dotty I., Ferraris S. Homogeneous Ricci positive 5-manifolds. // Рас. J. Math. 1996. V.175. P.l-12.

21. Arvanitoyeorgos A. Homogeneous Einstein metrics on Stiefel manifolds // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1996. V.3. P.627-634.

22. Arvanitoyeorgos A. New invariant Einstein metrics on generalized flag manifolds. // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V.337. P.981-995.

23. Back A., Hsiang W.Y. Equivariant geometry and Kervaire Spheres // Transac. Amer. Math. Soc. 1987. V.304. P.207-270.

24. Böhm С. Homogeneous Einstein metrics and simplicial complexes // J. Diff. Geom. 2004. V.67. P.79-165.

25. Böhm С., Kerr M. Low dimensional homogenous Einstein manifolds // Transac. Amer. Math. Soc. 2006. V.358. N.4. P. 1455-1468.

26. Böhm С., Wang M., Ziller W. A variational approach for compact homogeneous Einstein manifolds. // Geom. Func. Anal. 2004. V.14. P.681-733.

27. Cartan E. Lecons sur la geometrie des espaces de Riemann. Paris: Gauthier-Villars. 1928. (Пер. на рус. яз.: Картан Э. Геометрия римановых пространств. М.-Л.: ОНТИ. 1936. 244с.)

28. D'Atri J.E., Nickerson N. Geodesic symmetries in space with special curvature tensors // J. Diff. Geom. 1974. V.9. P.251-262.

29. D'Atri J.E., Ziller W. Naturally reductive metrics and Einstein metrics on compact Lie groups // Memoirs Amer. Math. Soc. 1979. V.18. N.215.

30. Gray A. The volume of a small geodesic ball of a Riemannian manifold. // Michigan Math. J. 1973. V.20. P.329-344.

31. Jensen G. The scalar curvature of left invariant Riemannian metrics // Indiana J. Math. 1971. V.20. P.1125-1144.

32. Jensen G.R. Einstein metrics on principal fibre bundles. // J. Diff. Geom. 1973. V.8. P.599-614.

33. Kerr M. Some new homogeneous Einstein metrics // Michigan. J. Math. 1998. V.45. P.115-134.

34. Kimura M. Homogeneous Einstein metrics on certain Kahler C-spaces // Adv. Stud. Pure Math. 1990. V.18. N.l. P.303-320.

35. Kobayashi S. Topology of positive pinched Kahler manifolds // Tohoku Math. J. 1963. V.15. P.121-139.

36. Sagle A.A. Some homogeneous Einstein manifolds // Nagoya. J. Math. 1970. V.39. P.81-106.

37. Sakane Yu. Homogeneous Einstein metrics on flag manifolds. // Lobachevskii J. Math. 1999. V.4. P.71-87.

38. Wallach N. Compact homogeneous riemannian manifolds with strictly positive curvature // Ann. math. 1972. V.96. P.277-295.

39. Wang M, Einstein metrics from symmetry and Bundle Constructions // Surveys in differential geometry: essays on Einstein manifolds. P.287-325, Surv. Differ. Geom. Int. Press. Boston. MA. 1999. VI.

40. Wang M., Ziller W. Existence and Non-existence of Homogeneous Einstein Metrics // Invent. Math. 1986. V.84. P.177-194.

41. Wang M., Ziller W. Einstein metrics with positive scalar curvature // Curvature and Topology of Riemannian Manifolds, Springer Lecture Notes in Mathematics 1201. P.319-336.