автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Геометрическое моделирование активных поверхностей зубьев цилиндрических зубчатых передач

ВВЕДЕНИЕ

I. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРЯМОЗУБЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕ ДАЧ С ПОСТОЯННЫМ У Г ЛОМ ЗАЦЕПЛЕНИЯ

1.1. Расчет длины участка эвольвенты окружности

1.2. Расчет длин участков профилей зубьев в виде эвольвент окружностей, входящих в зацепление

1.3. Расчет удельных геометрических скольжений в зубчатом зацеплении с профилями зубьев в виде эвольвент окружностей

В эпоху технического прогресса современное машиностроение тесно связано с геометрическим и математическим моделированием конструктивных элементов различных изделий. Особую актуальность приобретает создание более совершенных, более качественных и долговечных приборов, машин, механизмов и их составных частей. Важную роль в разработке новых методов исследований и анализа существующих моделей играет автоматизация проектирования конструктивных элементов с применением компьютерных технологий.

Развитие машиностроения, сопровождается внедрением оптимальных технологических условий для разработки и эксплуатации новых моделей. Исследовательская работа в области их проектирования должна производиться с определенной точностью расчетов, возможностью визуализации и сравнения существующих и предлагаемых вариантов.

В данной диссертационной работе исследуются модели широко используемых в различных отраслях производства зубчатых передач и рассматриваются теоретические возможности их усовершенствования. Принятая в настоящее время обобщенная модель зубчатых зацеплений, имеющая определенную стандартизацию, состоит из профилей зубьев в виде эвольвент окружностей. Эти профили соответствуют установленным законам кинематических и силовых передач, основной задачей которых является сохранение постоянства передаточного отношения или отношения угловых скоростей при непрерывном вращательном движении двух валов.

Исследования эвольвентных зубчатых зацеплений и описание их основных свойств производились еще в начале XX века в работах Я.И. Дикера /27/, Е. Бакингэма /6/, получили продолжение с применением геометрического моделирования в трудах В.А. Гавриленко /19,20/, Е.Г. Гинзбурга /21/, В.Н. Кудрявцева /50/, B.JI. Вейц /16/, Э.Б. Булгакова /18/ и других /9,11,35,43,93/.

Геометрические исследования поверхностей, применяемых в формообразовании многих технических элементов, в том числе и зубчатых колес, разработка методов графического моделирования и инженерных методик проектирования проводились геометрами-прикладниками: профессорами ИМ. Котовым /46/, B.C. Полозовым /46,72-74/, С.И. Ротковым /72,77/, Г.С. Ивановым /32/, академиками A.JI. Подгорным /67-69/, В.Е. Михайленко /41,59/, B.C. Обуховой /62-65, 99/ и их учениками. Повышение эффективности работы зубчатых передач за счет изменения формы и параметров сопрягаемых зубьев было предложено в изобретениях A.JI. Мартиросова /28,29,54-56/ и С.В. Бескопыльной.

Работы этих ученых значительно углубили теоретическую базу изучения геометрических свойств моделей зубчатых зацеплений и позволили предположить усовершенствование самих форм и поверхностей зубьев. В связи с этим появилась возможность уменьшения неблагоприятных факторов, сопровождающих работу зубчатых передач: снижение трения на рабочих поверхностях, предупреждение от усталостных явлений, поломок зубьев, уменьшение поверхностного износа и истираемости материала.

Форма профилей зубьев в виде эвольвент окружностей (с постоянным углом зацепления) применяется в цилиндрических прямозубых и косозубых передачах внешнего и внутреннего зацепления, а также в шевронных и некоторых конических передачах. Таким образом, эта форма профилей -наиболее распространенная в моделях зубчатых зацеплений и ее усовершенствование является актуальной темой геометрических исследований в данной области науки.

В теории зацеплений определены условия, при соблюдении которых передача вращательного движения происходит с заданным отношением угловых скоростей. В цилиндрических зубчатых передачах с профилями зубьев в виде эвольвент окружностей форма боковых поверхностей зубьев в каждый момент зацепления обеспечивает постоянство положения мгновенной оси аксоидных пар. Кинематическая основа закона передачи с постоянным передаточным отношением сформулирована в теореме Виллиса: общая нормаль к профилям, образующим высшую кинематическую пару, проведенная через точку их касания, делит расстояние между центрами вращения колес на части, обратно пропорциональные угловым скоростям звеньев, которые входят в высшую пару, образуемую этими профилями. Иными словами, нормаль, проведенная к профилям в точке их сопряжения, проходит через мгновенный центр относительного вращения зубчатых колес (полюс зацепления).

Однако для получения непрерывного вращательного движения в передаче с постоянным отношением угловых скоростей, профили зубьев могут быть любыми из взаимоогибаемых кривых линий, которых существует бесчисленное множество. Профили в виде эвольвент окружностей отличаются простотой в исследовании и задании параметров, связывающих их свойства с общими свойствами зубчатой передачи.

Неблагоприятным фактором, сопровождающим работу зубчатых передач, характеризующим трение и интенсивный износ, является скольжение на активных дополюсных и заполюсных участках поверхностей зубьев. Во многих трудах исследуются относительные скольжения зубьев, которые выражаются в функции расстояния, измеренного по линии зацепления, или удельные скольжения, зависящие от скоростей точек профилей. Эти скольжения не имеют связи с геометрическими элементами поверхностей зубьев, определяющими свойства самой передачи. Возникает необходимость определения связующего параметра, характеризующего трение и зависящего от геометрических свойств поверхностей зубьев.

Нововведением в исследованиях существующей и предлагаемых моделей зубчатых зацеплений является удельное геометрическое скольжение, определяемое зависимостью от длин участков профилей и площадей рабочих поверхностей сопрягаемых зубьев. Актуальным вопросом является снижение этого скольжения за счет изменения длин и площадей поверхностей зубьев.

Цель диссертационной работы состоит в развитии методов геометрического моделирования активных поверхностей зубьев для различных вариантов цилиндрических зубчатых передач, усовершенствовании обобщенной модели зубчатых зацеплений путем изменения геометрического профиля и формы активных поверхностей зубьев, что направлено на уменьшение удельных геометрических скольжений, а, следовательно, и трения в работе зубчатых колес. Такое усовершенствование позволит создать более эффективные зубчатые зацепления, снизить требования к качеству материалов зубьев и их обработке, требований к эксплуатации.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:

• исследование зависимости скольжения в зубчатых передачах от геометрических элементов поверхностей сопрягаемых зубьев, т.е. от длин участков профилей и площадей их активных поверхностей;

• изменение формы профилей зубьев в виде эвольвент окружностей на предлагаемую форму в виде эвольвент спиралеобразных кривых, при которой соблюдаются законы теории зацеплений и имеет место варьирование длиной профиля, что направлено на уменьшение величин скольжения;

• разработка методов геометрического моделирования и расчетов предлагаемой формы активных поверхностей зубьев цилиндрических зубчатых передач, определение ее свойств и сравнение их со свойствами существующей модели в различных вариантах применения передачи, в частности, при прямозубом и косозубом зацеплениях;

• расчеты и сравнение удельных геометрических скольжений в предлагаемой и существующей моделях зубчатых передач при прямозубом и косозубом зацеплениях;

• разработка программ автоматизированного проектирования зубчатых зацеплений по определению геометрических элементов поверхностей и скольжений сопрягаемых зубьев в предлагаемой и существующей моделях зубчатых передач;

• формирование пакета прикладных программ для использования в исследованиях, разработке, технологическом обеспечении воспроизводства и эксплуатации моделей зубчатых зацеплений.

В диссертационной работе использовались методы геометрического моделирования, аналитической и дифференциальной геометрии, элементы дифференциального и интегрального исчислений, математического анализа, а также методы вычислительной геометрии и интерактивной компьютерной графики.

Содержание работы изложено в шести главах.

В первой и третьей главах устанавливаются зависимости удельных геометрических скольжений от геометрических элементов поверхностей сопрягаемых зубьев, а именно от длин участков профилей и площадей их рабочих поверхностей в существующей модели зубчатых передач. В первой главе рассматриваются прямозубые передачи, в третьей - косозубые.

Во второй и четвертой главах исследуются зубчатые передачи с переменным углом зацепления, в которых произведена замена профилей зубьев в виде эвольвент окружностей на профили в виде эвольвент спиралеобразных кривых. Предлагается сравнение данной модели с принятой в настоящее время. Во второй главе рассматриваются прямозубые, а в четвертой - косозубые передачи.

При сравнении величин скольжений двух вариантов передачи устанавливается, что в предлагаемой модели зацеплений их значения меньше, чем в существующей, как для передач с прямозубыми зацеплениями, так и для передач с косозубыми.

В пятой главе производятся расчеты геометрических элементов модели зубчатых зацеплений с профилями зубьев в виде эвольвент спиралеобразных кривых, определяющих свойства, связанные с непрерывностью работы передачи, ее прочностными характеристиками, и для определения взаимного

9 положения разноименных профилей зубьев. Определяются коэффициент перекрытия передачи, окружные толщины и толщины зубьев по хордам, другие геометрические элементы, которые позволяют произвести оценку предлагаемой модели прямозубых и косозубых передач и сравнить ее свойства со свойствами существующей модели зацеплений, имеющей профили в виде эвольвент окружностей.

В шестой главе рассматриваются вопросы, связанные с автоматизацией расчетов, основанной на теоретической базе исследований, и ее использовании в проектировании создаваемых моделей зубчатых передач. Разработанный пакет прикладных программ позволяет варьированием исходными данными выполнять получение большого количества вариантов решения поставленных задач, расчетов геометрических элементов зубчатых передач и их графических изображений. В прикладном плане пакет позволяет выполнять исследования с помощью ПЭВМ и для выбранного варианта получить данные для воспроизводства, расчета эксплуатационных характеристик и сравнительных оценок.

Работа содержит выводы и список использованной литературы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В диссертационной работе предложен новый подход к геометрии активных поверхностей зубьев цилиндрических зубчатых передач, основанный на формообразовании при изменяемом значении угла зацепления в каждый момент контакта сопрягаемых зубьев.

2. Созданы геометрические модели и аналитические описания элементов поверхностей зубьев. Определены выражения для расчета длин профилей зубьев в существующей и предлагаемой моделях прямозубых зубчатых зацеплений, площадей рабочих поверхностей зубьев в моделях косозубых зубчатых передач.

3. Выведены аналитические зависимости удельных геометрических скольжений, характеризующих трение на рабочих поверхностях зубьев, от геометрических параметров зубчатых передач, а именно, от длин участков профилей и площадей активных участков поверхностей взаимодействующих зубьев.

4. Созданы аналитические алгоритмы описания рабочих поверхностей зубьев, выделения их отсеков и расчетов площадей.

5. Введение такого рода описаний дало возможность создания программного обеспечения для расчета по новой схеме моделей зубчатых зацеплений, в которых имеется целенаправленная возможность изменения геометрических параметров с целью уменьшения величин удельных геометрических скольжений.

6. Создана методика автоматизации проектирования и анализа зубчатых зацеплений различных типов и, в частности, для усовершенствованной модели.

7. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на кафедре ПТ и МО Ростовского государственного строительного университета для использования в курсовом и дипломном проектировании.

1. Алимов Р. У., Садриддинов А. С. Развертка торсов общего вида // Доклады АН УзССР. Вып. 6.- Ташкент: Изд-во ФАН УзССР, 1978.- С. 24-28.

2. Андрющенко В. М. Математические таблицы для расчета зубчатых передач.- М.: Машиностроение, 1974.- 440 с.

3. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин.- М.: Наука, 1975.-С. 182-194.

4. Аугер, Фольфганг. AutoCad 11.0 / Перевод с немецкого.-Киев: Торговоиздательское бюро BNY, 1993.

5. Баджория Г. Ч. Об одном методе построения развертки торсовой поверхности // Судостроение. 1984. № 9.- С. 37-38.

6. Бакингэм Е. Цилиндрические зубчатые колеса.- М.: ОНТИ, 1935.- 372 с.

7. Баранов Г. Г. Курс теории механизмов и машин.- М.: Машиностроение, 1967.- С. 63-80.

8. Болотовская Г. П., Болотовский И. А., Бочаров Г. С. Справочник по геометрическому расчету эвольвентных зубчатых и червячных передач.- М.: Машгиз, 1963.- 472 с.

9. Болотовская Г. П., Болотовский И. А., Бочаров Г. С. Справочник по корригированию зубчатых колес.- М.: Машиностроение, 1967.576 с.

10. Болотовский И. А., Гурьев Б. И., Смирнов В. Э. и др. Цилиндрические эвольвентные зубчатые передачи внешнего зацепления //

11. Справочное пособие.- М.: Машиностроение, 1974.- 160 с.

12. Бронштейн И. Н., С е м е н д я е в К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд.- М.: Наука, 1986.544 с.

13. Б у б е н н и к о в А. В., Громов М. Я. Начертательная геометрия.- М.: Высшая школа, 1973.- 416 с.

14. Булгаков В. Я. Конструирование торсов 4-го порядка по наперед заданным условиям // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 12.-Киев, 1971.-С. 41-48.

15. Булгаков В. Я. Аналитическое исследование торсов 4-го порядка // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 14.- Киев, 1972.-С. 68-73.

16. Вейц В. JL, Волженская А. М., К о л ч и н Н. И. Геометрия зацепления зубчатых передач. 3-е изд.- Л.: Машиностроение, 1978.- 136 с.

17. Волков А. И. К геометрии торса, опирающегося на пространственную замкнутую кривую // Вопросы начертательной геометрии и ее приложение.- Харьков: ХАДИ, 1963.- С. 25-28.

18. Булгаков Э. Б., Васина JI. М. Эвольвентные зубчатые передачи в обобщающих примерах // Справочник по геометрическому расчету.-М.: Машиностроение, 1978.- 174 с.

19. Гавриленко В. А. Зубчатые передачи в машиностроении.- М.: Машгиз, 1962.-532 с.

20. Гавриленко В. А. и др. Теория механизмов.- М.: Высшая школа, 1973.-С. 71-91.

21. Георгиев А. К., Г о л ь д ф а р б В. И. Аспекты геометрической теории и результаты исследования спироидных передач с цилиндрическими червяками // Механика машин. Вып. 31.- М.: Наука, 1972.

22. Гинзбург Е. Г., Голованов Н. Ф., Ф и р у н Н. Б., Халебский Н. Т. Зубчатые передачи// Справочник.- JL: Машиностроение,1980.- 416 с.

23. ГольдфарбВ. И. Некоторые результаты исследования кривизны взаимоогибаемых поверхностей в гипоидно-червячных (спироидных) передачах с цилиндрическими линейчатыми червяками // Механические передачи.- Ижевск: ИМИ, 1971.

24. Г р о м о в М. Я. Пространственные кривые линии в ортогональных проекциях.- М.: ВЗПИ, 1956.

25. Грэнвиль В., Лузин Н. Н. Элементы дифференциального и интегрального исчислений.- M.-JL: Государственное издательство, 1931.

26. Д е л о н е Б. Н., Р а й к о в Д. А. Аналитическая геометрия / Т1.- М.: Гостехиздат, 1948.

27. Делоне Б. Н., Райков Д. А. Аналитическая геометрия / Т2.- М.: Гостехиздат, 1949.

28. Джанабаев Д. Д. Построение развертки торса с помощью ЭВМ // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 23.- Киев, 1977.- С. 69-71.

29. Д и к е р Я. И. Эвольвентное зацепление.- М.: Оргаметалл, 1935.220 с.

30. Ефременко А. В., Мартиросов A. JT. Один из способов задания торсовых поверхностей. Депонирована ВИНИТИ 19.03.99 № 844 В99.

31. Ефременко А. В., Мартиросов A. JI. Одно решение описания качения торса по торсу. Депонирована ВИНИТИ 16.04.99 № 1230 -В99.

32. Заблонский К. И. и др. Проектирование механизмов и приборов.- Киев: Вища школа, 1971.- С. 26-44.

33. Зиновьев В. А. Курс теории механизмов и машин.- М.: Наука, 1972.-С. 31-68.

34. И в а н о в Г. С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований).- М.: Машиностроение, 1987.- 192 с.

35. И в а н о в М. Н. Детали машин.- М.: Высшая школа, 1976.- 399 с.

36. Калашниковы. А. Точность в машиностроении и ее законы.-M.-JL: Машгиз, 1946.- 148 с.

37. Калашников С. Н., Калашников А. С., Коган Г. И., Козловский А. И. и др. Производство зубчатых колес // Справочник.-М.: Машиностроение, 1990.- 464 с.

38. К а р д а ш е в с к а я Ю. Г. Развертывание торса способом касательных плоскостей // Вопросы прикладной геометрии.- М.: Изд-во МАИ, 1966.- С. 86-91.

39. К а р т а ш е в А. И. Поверхности одинакового ската, Автореф. дис. канд. техн. наук.- JL: Ленинградский институт инженеров железнодорожного транспорта, 1954.- 16с.

40. К а т а л о г внедренных программ. Геометрия передач, проектирование и исследование.- Киев: ВНИИредуктор, 1975.- 194 с.

41. Кашина И. В., Замятин А. В. Алгоритмы построения торсовых поверхностей. Депонирована ВИНИТИ 31.05.99 № 1723 В99.

42. К о ж е в н и к о в С. Н. Теория механизмов и машин.- М.: Машиностроение, 1974.- С. 54-83.

43. К о л о т о в С. М., Михайленко В. Е. Курс начертательной геометрии.- Киев: Госстройиздат УССР, 1958.

44. К о л ч и н Н. И., М о в н и н М. С. Теория механизмов и машин.- Л.: Судпромгиз, 1962.- С. 35-78.

45. К о р а б л е в А. И., Р е ш е т о в Д. Н. Повышение несущей способности и долговечности зубчатых передач.- М.: Машиностроение, 1968.288 с.

46. К о р е н я к о А. С. Теория механизмов и машин.- Киев: Вища школа, 1976.- 444 с.

47. К о р н Г., К о р н Т. Справочник по математике.- М.: Наука, 1984.

48. Котов И. И., Полозов В. С., Широков JI. В. Алгоритмы машинной графики.- М.: Машиностроение, 1976.- 220 с.

49. Кривошапко С. Н. Построение разверток торсов и складок // Известия вузов. Строительство и архитектура. № 11,1987.- С. 114-116.

50. К р и в о ш а п к о С. Н. Расширение класса торсовых поверхностей, заданных ребром возврата // Расчет и проектирование строительных конструкций.- М.: Изд-во УДН, 1989.- С. 62-68.

51. Кривошапко С. Н. Торсовые поверхности и оболочки.- М.: Изд-во Университета дружбы народов, 1991.- С. 287.

52. Кудрявцев В. Н. Зубчатые передачи.- М.-Л.: Машгиз, 1957.- 264 с.

53. К у л ь б а ч н ы й С. И. и др. Теория механизмов и машин. Проектирование.- М.: Высшая школа, 1970.- С. 105-118.

54. Лапшин М. Л. Графо-аналитические методы проектирования каркасной поверхности. Автореф. дис. .канд. техн. наук.- М.: МИСИ, 1967.

55. Мартиросов А. Л. О развертках торсов 4-го порядка // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 22.- Киев, 1976.- С. 93-97.

56. Мартиросов А. Л. Об изгибаниях торсовых поверхностей // Тезисы докладов. Республиканская конференция по прикладной геометрии и инженерной графике.- Киев: Наукова думка, 1976.

57. Методические указания по внедрению ГОСТ 1643-72 «Передачи зубчатые цилиндрические. Допуски».- М.: Издательство стандартов, 1975.- 110 с.

58. Механические передачи. Межвузовский сборник. Вып. 1-2 // Под редакцией Воробьева Н.В., Георгиева А.К., Гольдфарба В.И. и др.- Ижевск, 1976-1977.

59. Милинский В. И. Дифференциальная геометрия.- Л.: КУБУЧ, 1934.- 234 с.

60. М и х а й л е н к о В. Е. Точное и приближенное определение площадей поверхностей некоторых оболочек // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 13.- Киев, 1971.- С. 8-15.

61. М о н ж Г. Приложение анализа к геометрии.- M.-JL: ОНТИ, 1936.-699с.

62. М у р а д о в Ш. Конструирование торсовых поверхностей и их общие уравнения // Тезисы XXIII научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава. Ч.1.- Ташкент, 1974.- С. 108-109.

63. Обухова В. С. Классификация торсов Т3 по направляющимконусам и исследование видов их конических сечений // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 39.- Киев, 1985.- С. 9-12.

64. Обухова В. С. О некоторых видах алгебраических торсов // Материалы III научно-методической зональной конференции по начертательной геометрии и инженерной графике. Вып. 90.- Ташкент: ТашИИТ, 1973,- С. 3-8.

65. О б у х о в а В. С. Параметризация й каноническая форма уравнения торса // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 30.- Киев, 1980.- С. 17-20.

66. Обухова B.C., Булгаков В. Я. Об одном приложении торсов 4-го порядка // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 15.- Киев, 1972.- С. 76-81.

67. Осипов В. А. Автоматизированная система геометрии и графики // Тезисы докладов 2-й Всесоюзной конференции. Методы и средства обработкисложной графической информации. Межвузовский сборник.- Горький, 1984.- С. 65-70.

68. Подгорный A. JI. Конструирование поверхностей оболочек по заданным условиям на основе выделения их из конгруэнций прямых // Прикладная геометрия и инженерная графика.- Киев: Бущвельник, 1969.- С. 17-28.

69. Подгорный A. JI. Проекционный способ задания конгруэнций многозначным соответствием плоских полей и конструирование из них поверхностей // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 13.- Киев, 1971.- С. 98-101.

70. Подгорный А. Л., Ш в и д е н к о Ю. 3. Выделение сопрягающих линейчатых поверхностей из множества прямых // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 5.- Киев, 1967.- С. 73-78.

71. Подкорытов А. Н. Теоретические основы и общий метод формирования сопряженных винтовых криволинейных поверхностей с применением ЭВМ // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 50.-Киев: Буд1вельник, 1990.- С. 17-20.

72. П о й а Д. Математическое открытие / Перевод с английского.- М.: Наука, 1970.- 452 с.

73. Полозов В. С., Б у д е к о в О. JI., Ротков С. И. и др. Автоматизированное проектирование. Геометрические и графические задачи.-М.: Машиностроение, 1983.- 280с.

74. П о л о з о в В. С., Ш и р о к о в a J1. В. Оптимизация изображений в проекционной машинной графике. Автоматизация обработки сложной графической информации. Межвузовский сборник, 1984.- С. 65-70.

75. П о л о з о в В. С., Широкова JI. В. Структурно-лингвистический подход в применении к начертательной геометрии и инженерной графике // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 50.-Киев: Бущвельник, 1990.- С. 20-23.

76. Прикладная геометрия и графика // Сборник статей.- Ростов н/Д.: РИСИ, 1973.- С. 98-100.

77. Р е ш е т о в Д. Н. Детали машин.- М.: Машиностроение, 1974.556 с.

78. Ротков С. И. Анализ некоторых систем геометрии и графики пространственных объектов // Прикладные проблемы информатики.- М.: МЦНТИ, 1988, № 5.- с. 45-53.

79. РузлеваН. П. О поверхности одинакового ската как огибающей// Доклады МИИСП. Т.2. Вып. 5.- М.: МИИСП, 1965.- С. 189-193.

80. С а з о н о в К. А. Диалоговое графическое пространственное проектирование. Автореф. дис. док. техн. наук.- М., 1988.

81. Серегин А. С. Построение условных разверток кривых поверхностей с помощью торсовых посредников // Графика и прикладная геометрия поверхностей. Вып. 229.- М.: Изд-во МАИ, 1971.- С. 57-61.

82. С и н и ц ы н В. JI. Вычисление площадей и объемов отсеков поверхностей некоторых оболочек-покрытий // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 14.-Киев, 1972.

83. Скидан И. А. Развертка торсов с ребром возврата на круговом конусе // Прикладная геометрия и инженерная графика: Реф. информ. законченных научн. исслед. работах в вузах УССР. Вып. 1.- Киев: Вища школа, 1977.-С. 1549.

84. С к и д а н И. А. Развертка торсов // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 46.- Киев, 1988.- С. 25-26.

85. С м и р н о в В. И. Курс высшей математики / Т1.- М.: Наука, 1974.-С. 214-246.

86. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений.- М.: Наука.- 511с.

87. Справочник по элементарной математике, механике и физике. 3-е изд. / Под обшей редакцией И.Н. Бронштейна.- M.-JL: ОГИЗ, 1943.- 200 с.

88. С т р и ж а к о в А. В. Сравнение спирали Архимеда и эвольвенты окружности. Депонирована ВИНИТИ 06.05.00 № 1309 В00.

89. Стрижаков А. В. Длина участка эвольвенты. Депонирована ВИНИТИ 11.10.00 № 2594 В00.

90. Стрижаков А. В. Площадь отсека поверхности развертывающегося геликоида. Депонирована ВИНИТИ 20.02.02 № 345 В02.

91. Т е в л и н А. М., Иванов Ю. Н., Подкорытов А. Н. Кинематические методы в прикладной геометрии поверхностей // Тезисы докладов II всесоюзной геометрической конференции.- Харьков, 1964.

92. Фролов С. А. Преобразование проекций.- М.: Машиностроение, 1970.

93. X а л е б с к и й Н. Т., Новикова Т. А. О переходных поверхностях зубьев цилиндрических колес, нарезаемых червячными фрезами.-В кн.: Зубчатые и червячные передачи.- JL: Машиностроение, 1974.- с. 48-52.

94. Ч а с о в н и к о в Л. Д. Передачи зацеплением.- М.: Машиностроение, 1969.- 487 с.

95. Четверухин Н. Ф., ТевлинА. М. Начертательная геометрия.-М.: Высшая школа, 1963.

96. Ч е т в е р у х и н Н. Ф. Проективная геометрия. 6-е изд.- М.: ГУПИ, 1953.-350 с.

97. Ш в и д е н к о Ю. 3. Некоторые вопросы сопряжения развертываемых поверхностей // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 1.- Киев, 1965.- С. 144-151.

98. Ядгаров Д. Я., Шоломов И. X. Применение дифференциальных уравнений к конструированию ротативных поверхностей с аксоидами торс-торс // Исследования в области теории дифференциальных уравнений и теории приближения.- Ташкент, 1982.- С. 96-100.128

99. Ядгаров Д. Я., Шоломов И. X. Аналитический способ конструирования спироидальных поверхностей с аксоидами торс-торс // Прикладная геометрия и инженерная графика. Вып. 35.- Киев, 1983.- С. 102105.

100. О б у х о в а В. С. Про алгебра1чни торси // Питания прикладшн геометри буд1вельного. Матер1али доповщей ЗО-i науково-техшчно1 конференци KiiBCbKoro шженерно-буд1вельного шституту.- Кшв, К1Б1,1969.- С. 15-17.- на укр. яз.

101. D a d 1 е у D. W. Gear handbook. 1962. N. Y.

102. Me ire г К. Der Drall windschifer Flachen mit gegebener, insbesondere konstant geboschter Zentraltorse // Sitzungsberichte. Osterreichische Akademie der Wissenschaften. Math.-naturwiss. Klasse, 1970.- Abt. 2. Bd. 178. № 4-7.- P. 125145.

103. M e i r e r K. Die konstant gedrallten Strahlflachen mit einer kubischen Zentraltorse von der konstanten Boschung л/з // Sitzungsberichte. Osterreichische Akademie der Wissenschaften. Math.-naturwiss. Klasse, 1971.- Abt. 2. Bd. 179. № 1-3.-P. 93-121.

104. M u a r d F. Sur une generation des surfaces reglees developpables dont l'helicoide // Arts et manuf. 1972. № 225.- P. 9-10.