автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение пакетов аналитических вычислений к решению задач однородной (псевдо)римановой геометрии

На правах рукописи

Чибрикова Людмила Николаевна

ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОДНОРОДНОЙ (ПСЕВДО)РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул - 2005

Работа выполнена на кафедре геометрии

Барнаульского государственного педагогического университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Родионов Евгений Дмитриевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Славский Виктор Владимирович,

Защита диссертации состоится 5 июля 2005 года в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 Алтайского государственного университета по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться

в библиотеке Алтайского государственного университета по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан "3 " 'Ьб-СОАС/Я^ ,2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор Смоленцев Николай Константинович.

Ведущая организация:

Институт математики СО РАН им. С.Л.Соболева.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. С момента создания ЭВМ одним из главных применений компьютеров заключалось в численных расчетах, наиболее престижными из которых были и остаются именно научные приложения. Современное программное обеспечение для использования в алгебраических вычислениях представляет собой более или менее полную систему, включающую метод представления нечисловых данных весьма специальной структуры, язык, позволяющий манипулировать с ними, и библиотеку эффективных функций для выполнения необходимых базисных алгебраических операций. В настоящее время повсеместно используются такие популярные системы как MAPLE, Mathematica, Macsyma, Derive.

Современная геометрия, также как и другие области математики, привлекает новейшие компьютерные технологии для решения своих задач. Уже существуют примеры, доказываюшие эффективность программного обеспечения не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Так, например, Вагина О.Г. и Кабенюк М.И. в [1] дали новое более короткое доказательство о покрытии евклидовой плоскости равносторонними пятиугольниками. Доказательство базировалось на вычислениях, сделанных с помощью пакета MAPLE. Камсеманан (N. Khamsemanan) и Коннелли (R. Connelly) в [21] дали новое доказательство теоремы о функции, сохраняющей расстояние. Также стоит упомянуть доказательство гипотезы Атья (Atiyah) о расположении п точек в трехмерном Евклидовом пространстве при п = 4, данное Иствудом (М. Eastwood) и Норбари (P. Norbury) в [18].

Опыт использования пакетов прикладных программ также широко используется в задачах классификации. Так, Hlavova M. в [29] удалось классифицировать двупараметрические движения плоскости Лобачевского, P. Bueken, L. Vanhecke в статье [15] внесли вклад в проблему классификации трех- и четырехмерных однородных относительно тензора кривизна Риччи эйнштейново-подобных многообразий. В отечественной науке известны результаты, полученные Родионовым Е.Д. и Славским В.В. при классификации

локально конформно однородных многообразий [13],[25], и результаты Нико-норова Ю.Г. по классификации однородных эйнштенйновых многообразий, полученные в работах [10], [11]. Известны также работы Никоноровой Ю.В. в области комбинаторной геометрии, использующие для решения задач (о внутреннем расстоянии на поверхности параллелепипеда, задачи Фике, Ионина, Поповичи) пакеты символьных вычислений.

Налицо не только рост числа задач, решенных с помощью компьютера, но и разработка новых алгоритмов и программ для решения определенных типов задач. Появляются новые ([16],[30]), совершенствуются старые ([24],[20]) алгоритмы, и сейчас трудно оценить до конца тот вклад, который привносится в математику новыми компьютерными технологиями.

Диссертация посвящена применению математических пакетов к решению некоторых задач однородной (псевдо)римановой геометрии. В частности, исследованию свойств тензора Схоутена-Вейля левоинвариантных (псев-до)римановых метрик на трехмерных группах Ли; изучению областей в пространстве структурных констант, в которых одномерная, секционная кривизна или кривизна Риччи левоинвариантной римановой метрики на трехмерной группе Ли имеет постоянный знак, и является продолжением вышеприведенных исследований в области римановой и псевдоримановой геометрии с использованием новейших разработок компьютерной алгебры.

Цель работы.

1. Исследование и классификация левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных группах Ли с нетривиальным тензором Схоутена-Вейля, квадрат длины которого равен нулю.

2. Изучение областей в пространстве структурных констант, в которых одномерная, секционная кривизна или кривизна Риччи левоинвариантной ри-мановой метрики на трехмерной группе Ли имеет постоянный знак.

3. Разработка алгоритмов для вычисления компонент тензоров секционной, одномерной кривизн и кривизны Риччи, а также компонент тензора Схоутена-Вейля левоинвариантных лоренцевых метрик на группах Ли.

Методы исследования. В работе используются методы компьютерной алгебры, методы теории групп Ли и алгебр Ли, римановой и псевдоримановой геометрии и тензорного анализа.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Классификация левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных группах Ли с нетривиальным тензором Схоутена-Вейля, квадрат длины которого равен нулю.

2. Алгоритм нахождения областей знакоопределенности секционной, одномерной и Риччи кривизн левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли.

3. Пакет программ, написанных в среде MAPLE, для вычисления основных геометрических характеристик однородных многообразий.

Научная новизна работы. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Впервые получена классификация однородных лоренцевых метрик с нетривиальным тензором Схоутена-Вейля, квадрат длины которого равен нулю, в случае трехмерных групп Ли, что дает ответ на проблему о метриках с заданными ограничениями на тензор Вейля (Схоутена-Вейля), поставленную В.В.Славским и Е.Д.Родионовым. Исследованы области знакоопределенности различных типов кривизн левоинва-риантных римановых метрик на трехмерных группах Ли, что является дополнением к известным результатам Дж. Милнора по исследованию кривизн левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли.

Практическая ценность работы. Результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по (псевдо)римановой однородной геометрии. Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, позволяют находить некоторые характеристики геометрических объектов в задачах однородной (псевдо)римановой геометрии.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 23 августа - 2 сентября

2004 г.), Международной школе-конференции по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д.Александрова) (Новосибирск, 9-20 сентября 2002 г.), Седьмой региональной конференции по математике МАК-2004 (Барнаул, 2004), Шестой региональной конференции по математике МАК-2003 (Барнаул, 2003), Межрегиональной конференции по математическому образованию в регионах России (Барнаул, 2004). Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на семинарах кафедры математического анализа Алтайского государственного университета, кафедры геометрии Барнаульского государственного педагогического университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 118 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и пяти приложений. Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из двух цифр, первая из которых обозначает номер главы, вторая - номер утверждения. Для рисунков в тексте диссертации используется сплошная нумерация. Список литературы содержит 41 наименование.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается изложение современного состояния изучаемых проблем и приводится краткий обзор содержания работы.

Первая глава диссертации посвящена использованию математических пакетов в решении задач (псевдо)римановой геометрии. Первый раздел посвящен описанию некоторых возможностей системы аналитических вычислений MAPLE 8.00: дается краткое описание пакетов встроенных процедур, "linalg" и " Linear Algebra", используемых автором в процессе решения указанных выше задач, показано их фундаментальное различие. Во втором разделе на примере решения задачи о левоинвариантных лоренцевых метриках с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля показано как можно эффективно использовать пакеты аналитических вычислений в решении задач (псевдо)римановой геометрии.

Вторая глава посвящена решению задачи о левоинвариантных лоренцевых метриках на трехмерных группах Ли, для которых квадрат длины тензора Схоутена-Вейля тривиален, а некоторые его компоненты отличны от нуля. В первом разделе приводятся необходимые сведения и сформулирована основная задача.

Во втором разделе указываются некоторые факты из теории групп Ли и алгебр Ли, необходимые при дальнейшем изложении, доказываются некоторые вспомогательные утверждения. В третьем разделе даются определения секционной и одномерной кривизн, кривизны Риччи левоинвариантных (псевдо)римановых метрик и указываются формулы для их вычисления в случае однородных пространств.

В четвертом разделе рассматриваются классификации трехмерных алгебр Ли, данные Н. Джекобсоном и Дж. Милнором, которые используются при дальнейшем изложении. Пятый раздел посвящен левоинвариантным лорен-цевым метрикам на трехмерных унимодулярных группах Ли. Доказываются теорема о строении унимодулярных алгебр Ли и теоремы классификации для левоинвариантных лоренцевых метрик с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля.

Пусть G - трехмерная группа Ли, д - алгебра Ли группы С, {Ег, 2?2,£з}

— базис алгебры д. Структурные уравнения алгебры Ли д можно записать в виде

\EifEj] = е^кСкаЕ3,

где ецк - обобщенный символ Кронекера, еф = {(— I)17 : о - четность подстановки (13 к)}, С = ||СЬ|| - некоторая матрица.

Теорема 2.4. Пусть О - унимодулярная трехмерная группа Ли, ||2у||

- произвольный метрический тензор лоренцевой сигнатуры. Тогда характеристическое уравнение ¿еЬ(ТцсСк* — ) — 0 инвариантно относительно преобразований А базиса алгебры Ли g таких, что detA = 1. Если все корни этого уравнения вещественны и различны, то существует базис, в кото-

ром коэффициенты ЦС^Ц и ||Ту[| составляют диагональные матрицы:

Если характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни -^1,2 — сс±г/3 и вещественный корень Аз, тогда существует базис, в котором матрицы С иТ имеют вид:

—а Р 0' "-1 0 0"

с = Р а 0 , Т = 0 1 0

_ 0 0 Аз 0 0 1

Теорема 2.5. Пусть G - связная трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой, имеющей нетривиальный тензор Схоутена-Вейля со свойством ЦЗИ^Ц2 = 0, тогда алгебра Ли g группы Ли G изоморфна либо е(1,1), либо в1(2,К).

В заключительном разделе второй главы изучаются левоинвариантные лоренцевы метрики на неунимодулярных группах Ли. Рассматриваются возможные расположения плоскости базисных векторов в алгебре Ли по отношению к изотропному конусу и, в зависимости от этого, определяются метрики с ненулевыми компонентами и нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля.

Лемма 2.2. Существует базис {\/1,У2,\гз} алгебры Ли д, в котором матрица ||СЧ|| имеет вид:

Плоскость тг = пересекает изотропный конус либо по вершине, либо

касается конуса по прямой, либо пересекает по паре прямых. В зависимости от этого сужение скалярного произведения на плоскость 7г: А) - положительно определено, В) - неотрицательно определено, С) - знако-неопределено и невырождено.

Теорема 2.6 [Случай А]. Существует ортонормированный базис Е2, £3} в метрической алгебре Ли (д, {■,•)) относительно скалярного произведения (■, ■}, в котором матрицы С, Т, соответственно, имеют вид:

С =

сов(ф)\ вш.(ф)р О — 8т(0)Л соз(ф)ц О О 0 0

'1 0 0 "

, Т = 0 1 0

0 0 -1

где /х > 0, А > 0 - некоторые параметры.

Теорема 2.7 [Случай В]. Существует базис {Еу, Е2, -Ез} в метрической алгебре Ли (д, {•, ■)), в котором матрицы С, Т, соответственно, имеют вид:

~р я 0" " 0 0 -1"

С — ь 0 , Т = 0 1 0

0 0 0 -1 0 0

где р, <7, £, в - некоторые параметры и д ф

Теорема 2.8 [Случай С]. Существует базис {Е1, Е2, Е^} в метрической алгебре Ли (д, {•, •)), в котором матрицы С, Т, соответственно, имеют вид:

1 )С-

Я 0'

-р о о о

,2 )С:

р

-я о

я О' г О

о о

о о 0-10 0 \

где р, д, в, г - некоторые параметры.

Теорема 2.9. Пусть (7 - связная трехмерная неунимодулярная группа Ли. В случаях А) и Б) из равенства ЦйТУЦ2 — 0 следует, что все компоненты тензора Схоутена-Вейля равны нулю. В случае С) существует бесконечно много левоинвариантных лоренцевых метрик на группе Ли С, для которых ||5Й^||2 = 0, а тензор Схоутена-Вейля не тривиален.

В третьей главе дается решение задачи об областях знакоопределенности одномерной, секционной кривизн и кривизны Риччи левоинвариантных

римановых метриках на трехмерных группах Ли. Первый раздел содержит необходимые сведения об оценках указанных кривизн, второй раздел посвящен отысканию областей в пространстве структурных констант, в которых секционная кривизна имеет постоянный знак.

Пусть G - связная трехмерная унимодулярная группа Ли, д - алгебра Ли, (•,•) - произвольное скалярное произведение на д, {Ех,Е2,Ез} - положительно ориентированный ортонормированный базис такой, что

[Е\, Е2] = Аз-Ез, [Е2, Е3] — Х\Е\, [Ез, — Х2Е2.

Тогда справедлива

Теорема 3.4. Пусть (Эи(2), (-,-)) - риманово многообразие с левоин-вариантпой римановой метрикой (-, •}, тогда имеют место следующие утверждения.

1. Если секционная кривизна положительна и Аз = с, С > 0, то структурные константы алгебры Ли $и(2) группы Ли Би(2) А^Аг удовлетворяют

системе 113 1 1 1

множество решений которой не пусто.

2. Если секционная кривизна неотрицательна и Аз = с, с > 0, то структурные константы алгебры Ли su(2) группы Ли 577(2) АьАг удовлетворяют системе

множество решений которой не пусто.

3. Если секционная кривизна осциллирует и Аз = с, с > 0, то структурные константы алгебры Ли su{2) группы Ли Б11(2) АьАг удовлетворяют системе

множество решений которой не пусто.

Заметим, что для других унимодулярных групп Ли секционная кривизна либо осциллирует, либо равна нулю.

Пусть G - связная трехмерная неунимодулярная группа Ли с алгеброй Ли д, {■, •) - произвольное скалярное произведение на д. Тогда существует [23] положительно ориентированный ортонормированный базис {Ех, Е2, Ез} в д такой, что

где а + 6 ф 0 и ату + ¡35 — 0. Следуя [23] обозначим а = 1 + £,/?=(1 + 7 = -(1 - От?, 5 = 1 - где £ > 0,7? > 0.

Справедлива

Теорема 3.6. Пусть ((?,{■,•)) (где С? - неунимодулярная трехмерная группа Ли) - риманово многообразие с условием 0 < £ < 1, тогда справедливы следующие утверждения.

1. Область отрицательной секционной кривизны представляет собой множество решений системы

2.Область неположительной секционной кривизны представляет собой множество решений системы

3.Область осциллирующей секционной кривизны представляет собой множество решений системы

Причем множества решений этих систем не пусты.

В третьем и четвертом разделах доказаны соответствующие теоремы для одномерной кривизны и кривизны Риччи. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 3.8. Пусть (О, {•,•)) = {Зи(2), (•,•)) - однородное риманово многообразие, тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если одномерная кривизна положительна и Аз = с, то структурные константы удовлетворяют системе

Г 5А? - ЗА! + 6сА2 - Зс2 - 2сА: - 2А1А2 > О \ 0 < А! < А2 < с

множество решений которой не пусто.

2. Если одномерная кривизна неотрицательна и А3 = константы удовлетворяют системе

Г 5А? - ЗА| + 6сА2 - Зс2 - 2сА1 - 2М\2 \ 0 < А1 < А2 < с

множество решений которой не пусто.

3. Если одномерная кривизна осциллирует и А3 = с, то структурные константы удовлетворяют системе

множество решений которой не пусто.

Теорема 3.10. Пусть (б, {•,■)) (где С? - неунимодулярная трехмерная группа Ли) ~ риманово многообразие с условием 0 < £ < 1, тогда справедливы следующие утверждения:

1. Область отрицательной одномерной кривизны представляет собой множество решений системы

—1 + 4£ + 4т72£ ■+• 772£2 + £2 < О 0<£<1

2.Область неположительной одномерной кривизны представляет собой множество решений системы

то структурные

— О

3. Область осциллирующей одномерной кривизны представляет собой множество решений системы

Причем множества решений этих систем не пусты.

В случае унимодулярной группы Ли для кривизны Риччи справедливо

Предложение 3.1. Для группы 577(2) с алгеброй su(2) в случае, когда структурные константы удовлетворяют условию 0 < Ах < А2 < Аз < Ах + Аг кривизна Риччи либо положительна, либо неотрицательна, а в случае, когда структурные константы удовлетворяют условию 0 < А1 < Аг < А1 + Аг < Аз кривизна Риччи либо осциллирует, либо неотрицательна. Для группы SL(2, R) с алгеброй sl(2) кривизна Риччи либо осциллирует, либо неположительна. В случае группы Е(2) с алгеброй е(2) кривизна Риччи либо равна нулю (в случае А1 = Х2), либо осциллирует. Для группы Е(1,1) с алгеброй е( 1, 1) при 0 < А1 = |Аг| кривизна Риччи неположительно определена, при остальных \ она осциллирует. В случае трехмерной группы Гейзенберга кривизна Риччи осциллирует, а в случае группы Л3 она всегда равна нулю.

Теорема 3.12. Пусть (£?,{•,•)) (где G - неунимодулярная трехмерная группа Ли) -риманово многообразие, тогда справедливы следующие утверждения.

1.Область отрицательной кривизны Риччи представляет собой множество решений системы

2. Область неположительной кривизны Риччи представляет собой множе-

ство решений системы

{

—1 + 4£ + + 7]2£2 + £2 > О 0<£ <1

-2+¿(1+о V -1(1 - е) V < О £>0

-2 + 2е+А(1 + ОУЧ(1-ОУ = 0 £ >0

3.Область осциллирующей кривизны Риччи представляет собой множество решений системы

Причем множества решений этих систем не пусты.

В приложениях описаны программы для вычисления компонент тензоров римановой, секционной, одномерной кривизн, тензора Риччи и Схоутена-Вейля и программа, для вычисления матрицы формы Киллинга.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю Е.Д.Родионову и В.В.Славскому за постановку вопросов, плодотворные дискуссии и поддержку.

Список работ, опубликованных по теме диссертации:

1. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрикова Л.Н. Левоинвариантные ло-ренцевы метрики на трехмерных группах Ли с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля//Доклады Академии наук.- 2005. Т. 401. №4.

2. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрикова Л.Н. Конформные деформации псевдоримановых пространств //Тезисы докладов международной школы-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 23 августа - 2 сентября 2004 г.), Новосибирск, 2004.- С. 210-217.

3. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрикова Л.Н. Локально-конформно однородные псевдоримановыпространства//Тезисыдокладов международной школы-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 23 августа - 2 сентября 2004г.), Новосибирск, 2004.- С. 218.

4. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрикова Л.Н. Левоинвариантные ло-ренцевы метрики на трехмерных группах Ли с нулевым квадратом

{

—2 + 2£ + 1(1 + О'У ~ |(1 - £)У > О £>0

длины тензора Схоутена - В'ейля/^/ВестникБГПУ: Естественные и точные науки.- 2004. №4.- С. 53-60.

5. Чибрикова Л.Н. Применение математических пакетов крешению задач (псевдо)римановойгеометрии///Вестник БГПУ: Естественные и точные науки.- 2004. Л<4.- С. 71-80.

6. Чибрикова Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных неунимодулярных группах Ли//Тезисы межрегиональной конференции по математическому образованию в регионах России.- Барнаул: Изд-во БГПУ, 2004.- С. 21-22.

7. Чибрикова Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных неунимодулярных группах Ли// МАК-2004: Материалы Седьмой региональной конференции по математике. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2004.- С. 18-20.

8. Чибрикова Л.Н. О некоторых классахлевоинвариантныхлоренцевых метрик на трехмерных унимодулярных группах Ли//МАК-2003: Материалы Шестой региональной конференции по математике.- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2003.- С. 15.

9. Чибрикова Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных унимодулярных группах Лм//Вестник БГПУ: Естественные и точные науки.- 2003. №3.- С. 44-46.

10. Шестакова Л.Н. Области знакоопределенной одномерной кривизныле-воивариантныхримановых метрик трехмерных групп Ли//Тезисы докладов международной школы - конференции по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д.Александрова (1912-1999) (Новосибирск, 9-20 сентября 2002 г.), Новосибирск, 2002.- С. 77.

11. Шестакова Л.Н. Области знакоопределенной одномерной кривизны левоивариантных римановых метрик трехмерных групп Ли//Труды

Рубцовского индустриального института: Выпуск 9: Естественные науки/ под ред. Никонорова Ю.Г./ Рубцовский индустриальный институт.-Рубцовск: РИО, 2001.- С.107-115.

Список литературы

[1] Вагина О.Г., Кабенкж М. Покрытие плоскости равносторонними пятиугольниками/ /Вестник Кемеровского Государственного Университе-та:Серия "Математика".- 2001.- №3. С. 162-166.

[2] Бессе А. Многообразия Эйнштейна: в 2-х т. Т. I. Пер. с англ. - М.: Мир, 1990.- 318 с.

[3] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли: Пер. с фр.- М.: Мир, 1976.- 496 с.

[4] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953.- 494 с.

[5] Джекобсон Н. Алгебры Ли. - Ы.: Мир, 1964.- 355 с.

[6] Дубровин Б.А., Новиков СП, Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.- 760 с.

[7] Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ. - Изд. второе, стереотип. - М.: Мир, 2001.- 575 с, ил.

[8] Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. - М.: Физико-математическая литература, 2000.- 368 с.

[9] Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механи-ки.-СПв.: БХВ-Петербург, 2001.- 528 с.

[10] Никоноров Ю.Г. Аналитические методы в теории однородных Ейн-штейновых многообразий. ~ Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2000.- 183 с.

[11] Никоноров Ю.Г. Компактные семимерные однородные Ейнштейновы многообразия// Математические труды.- 2000.- Вып.З.- №2.- С. 129-145.

[12] Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973.- 520с.

[13] Родионов Е.Д., Славский В.В. Локально конформно однородные пространства// Доклады академии наук, 373(3), 2002.

[14] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. - М.: Мир, 1964.- 534 с.

[15] Bueken P., Vanhecke L. Three- and four-dimensional Einstein-like manifolds and homogenezty//Gegm.Dedicata.-VoL75.- №2.- P. 123-136.

[16] Chiang Li, Chu H., Kang M. Generation of invariants// J. Algebra.- 1999.-Vol.221.- M.-P. 232-241.

[17] Deconinck В., van Hoeij M. Computing Riemann matrices of algebraic curves I/ Physica D.-2001.-Vol.152-153.- P. 28-46.

[18] Eastwood M., Norbury P. A proof of Atiyah's conjecture on configurations of four points in Euclidean three-space//Geom. Topol.- 2001.- Vol.5.- P. 885-893.

[19] von zur Gathen J.,Gernard J. Modern computer algebra. - New York, NY: Cambridge University Press, 1999.- 753 p.

[20] Kavian M., McLenaghan R.G., Geddes K.O. MapleTensor:progress report on a new system for performing indicial and component tensor calculations using symbolic computation//Lakshman, Y. N. (ed.), Proceedings ofthe 1996 international symposium on symbolic and algebraic computation, ISSAC '96, Zurich, Switzerland, July 24-26,1996.- New York, NY: ACM Press.-1996.- P. 204-211.

[21] Khamsemanan N., Connelly R. Two - distance preservingfunctions//Beitr. Algebra Geom.- 2002.- Vol. 43.- №2.- P. 557-564.

[22] Kowalski O., Opozda B., Vlasek Z. A classification of locally homogeneous connections on 2-dimensional manifolds via group-theoretical approach // Cent. Eur. J. Math.-2004.- Vol. 2.- №1.- P. 87-102, (electronic only).

[23] Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups// Advances in mathematics.-1976.- 21.- P. 293-329 (1976).

[24] Mulcahy C. The basic curves and surfaces of computer aided geometric design///Maple Tech. Basel etc.: Birkhaeuser Verlag. 3.- 1996.- M,- P. 65-73.

[25] Rodionov E.D., Slavskii V.V. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comment. Math. Univ. Carolinae.- 2002.-V.43.- №2.- P. 271-282.

[26] Rodionov E.D., Slavskii V.V. Curvature estimations of left invariant riemannian metrics on three dimentionalLie groups// Differential Geometry and Application. Proceeding of the 7th International Conference (Brno, August 10-14,1998), Masaryk University, Brno, Czech Republic- 1999.- P. 111-126.

[27] Stokes T., Bulmer M. A complex change of variables for geometrical reasoning Richter-Gebert, Jiirgen(ed.)et al., Automated deduction in geometry. 3rd international workshop, ADG 2000, Zurich, Switzerland, September 25-27, 2000. Revised papers. Berlin: Springer. Lect. Notes Comput. Sci. 2061, 143-153 (2001).

[28] Sturmfels B. Four counterexamples in combinatorial algebraic geometry// J.Algebra.- 2000.- Vol. 230.- Nol- P. 282-294.

[29] Hlavovd M. Two-parametric motions in the Lobatchevski plane//J. Geom. Graph.- 2002.- Vol.6.- M. - P. 27-35.

[30] Zakhary E., Vu K.T., Carminati J. A new algorithm for the Petrov classification of the Weyl tensor// Gen. Relativ. Gravitation.- 2003.- Vol.35.-m.- P. 1223-1242.

Подписано в печать 30.05.2005. Формат 84><60х 1/16. Бумага офсетная. _Тираж 80 экз. Печ. Л. /,1ЯЗаказ № _

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. Маркса, 20

11 ИЮЛ 2005

Введение

1 Использование математических пакетов в решении некоторых задач (псевдо)римановой геометрии

1.1 Пакеты встроенных процедур "linalg" и " Linear Algebra"

1.2 Использование пакета MAPLE в решении некоторых задач (псевдо)римановой геометрии. if 2 Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных группах Ли с нулевым квадратом длины тензора Схоутена

Вейля

2.1 Постановка основной задачи

2.2 Некоторые факты теории групп и алгебр Ли.

2.3 Классификации трехмерных алгебр и групп Ли.

2.4 Формулы для вычисления кривизн левоинвариантных (псев-до)римановых метрик.

2.5 Левоинвариантные лоренцевы метрики с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля на трехмерных унимодуляр-ных группах Ли

2.6 Левоинвариантные лоренцевы метрики с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля на трехмерных неунимоду-лярных группах Ли

3 Области знакоопределенности кривизн левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли

3.1 Оценки кривизн левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли.

3.2 Области знакоопределенности секционной кривизны левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли

3.3 Области знакоопределенности одномерной кривизны левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли

3.4 Области знакоопределенности кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли

Данная диссертация посвящена применению математических пакетов к решению задач (псевдо)римановой геометрии. За пятьдесят лет своего существования вычисления с использованием ЭВМ не только не утратили своей актуальности, но являются приоритетным направлением в развитии современной науки. Область применения компьютерной математики уже не ограничивается предсказанием погоды и вычислением числа 7г. Современная геометрия, также как и другие области математики, привлекает новейшие технологии для решения своих задач. Уже существуют прецен-денты, доказывающие эффективность программного обеспечения не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Так, например, О.Г. Вагина и М.И. Кабенюк в [1] дали новое более короткое доказательство о покрытии евклидовой плоскости равносторонними пяти' угольниками. Доказательство базировалось на вычислениях, сделанных с помощью пакета MAPLE. Камсеманан (N. Khamsemanan) и Коннелли (R. Connelly) в [21] дали новое доказательство теоремы о функции, сохраняющей расстояние. Также стоит упомянуть доказательство гипотезы Атья (Atiyah) о расположении п точек в трехмерном Евклидовом пространстве при п = 4, данное Иствудом (М. Eastwood) и Норбари (P. Norbury) в [18].

Опыт использования пакетов прикладных программ также широко используется в задачах классификации. Так, Hlavovd М. в [29] удалось классифицировать двупараметрические движения плоскости Лобачевского, P. Bueken, L. Vanhecke в статье [15] внесли вклад в проблему классификации трех- и четырехмерных однородных относительно тензора кривизна Риччи эйнштейново-подобных многообразий. В отечественной науке у известны результаты, полученные Е.Д. Родионовым и В.В. Славским при классификации локально конформно однородных многообразий [13],[25], и результаты Ю.Г. Никонорова по классификации однородных эйнштенйновых многообразий, полученные в работах [10], [11]. Известны также работы Никоноровой Ю.В. в области комбинаторной геометрии, использующие для решения задач (о внутреннем расстоянии на поверхности параллелепипеда, задачи Фике, Ионина, Поповичи) пакеты символьных вычислений.

Налицо не только рост числа задач, решенных с помощью компьютера, но и разработка новых алгоритмов и программ для решения определенных типов задач. Появляются новые ([16],[30]), совершенствуются старые ([24],[20]) алгоритмы, и сейчас трудно оценить до конца тот вклад, который привносится в математику новыми компьютерными технологиями.

Данная работа посвящена исследованию левоинвариантных (псев-до)римановых метрик на трехмерных группах Ли и является продолжением вышеприведенных исследований в области римановой и псевдори-мановой геометрии с использованием новейших разработок-компьютерной алгебры.

Методы исследования. В работе используются методы компьютерной алгебры, методы теории групп Ли и алгебр Ли, римановой и псевдорима-новой геометрии и тензорного анализа.

Основные результаты.

1. Получена классификация левоинвариантных лоренцевых метрик на группах Ли с нетривиальным тензором Схоутена-Вейля, квадрат длины которого равен нулю.

2. Найдены области в пространстве структурных констант, в которых одномерная, секционная кривизна и кривизна Риччи левоинвариантной римановой метрики на трехмерной группе Ли имеет постоянный знак.

3. Разработаны эффективные алгоритмы для вычисления компонент тензоров секционной, одномерной кривизн и кривизны Риччи, а также компонент тензора Схоутена-Вейля левоинвариантных лоренцевых метрик на группах Ли.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетияка (Новосибирск, 23 августа - 2 сентября 2004г.), Международной школе-конференции по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова) (Новосибирск, 9-20 сентября 2002г.), Седьмой региональной конференции по математике МАК-2004 (Барнаул, 2004), Шестой региональной конференции по математике МАК-2003 (Барнаул, 2003), Межрегиональной конференции по математическому образованию в регионах России (Барнаул, 2004). Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на семинарах кафедры математического анализа Алтайского государственного университета, кафедры геометрии Барнаульского государственного педагогического университета.

Публикации. Все основные результаты работы были опубликованы в [31]-[41].

Структура и обьем работы. Диссертация изложена на 118 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, пяти приложений и списка литературы.

1. Вагина О.Г., Кабенюк М. Покрытие плоскости равносторонними пятиугольниками//Вестник Кемеровского Государственного Университета:Серия "Математика" - 2001.- №3. С. 162-166.

2. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: в 2-х т. Т. I. Пер. с англ. М.: Мир, 1990.- 318 с.

3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли: Пер. с фр.- М.: Мир, 1976.- 496 с.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953.- 494 с.

5. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.- 355 с.

6. Дубровин Б.А., Новиков С.П, Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.- 760 с.

7. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ. Изд. второе, стереотип. - М.: Мир, 2001.575 е., ил.

8. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. М.: Физико-математическая литература, 2000.368 с.

9. Матросов A.B. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики.-СПб.: БХВ-Петербург, 2001.- 528 с.1.. Никоноров Ю.Г. Аналитические методы в теории однородных Ейн-штейновых многообразий. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2000.- 183 с.

10. Никоноров Ю.Г. Компактные семимерные однородные Ейнштейповы многообразия// Математические труды.- 2000.- Вып.З.- №2.- С. 129-145.

11. Понтрягин JI.C. Непрерывные группы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973.- 520 с.

12. Родионов Е.Д., Славский В.В. Локально конформно однородные пространства// Доклады академии наук, 387(3), 2002.

13. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.- 534 с.

14. Bueken P., Vanhecke L.Three- and four-dimensional Einstein-like manifolds and homogeneity //Gegm.Dedicata.- Vol.75.- №2.- P. 123-136.

15. Chiang Li, Chu H., Kang M. Generation of invariants / / J. Algebra.-1999-Vol.221.- т.- P. 232-241.

16. Deconinck В., van Hoeij M. Computing Riemann matrices of algebraic curves // Physica D.-2001.- Vol.152-153.- P. 28-46,

17. SAC '96, Zurich, Switzerland, July 24-26, 1996.- New York, NY: ACM Press.- 1996.- P. 204-211.

18. Khamsemanan N., Connelly R. Two distance preserving functions// Beitr. Algebra Geom.- 2002.- Vol. 43.- №2.- P. 557-564.

19. Kowalski 0., Opozda B., Vlasek Z. A classification of locally homogeneous connections on 2-dimensional manifolds via group-theoretical approach /f Cent. Eur. J. Math.-2004.- Vol. 2.- №.- P. 87-102, (electronic only).

20. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups// Advances in mathematics.- 1976.- 21.- P. 293-329 (1976).

21. Mulcahy C. The basic curves and surfaces of computer aided geometric design//Maple Tech. Basel etc.: Birkhaeuser Verlag. 3.- 1996.- M P. 6573.

22. Rodionov E.D., Slavskii V.V. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comment. Math. Univ. Carolinae.- 2002.- V. 43.- №2.- P. 271-282.

23. Sturmfels B. Four counterexamples in combinatorial algebraic geometry// J.Algebra.- 2000.- Vol. 230.- Nol.- P. 282-294.

24. Hlavovä M. Two-parametric motions in the Lobatchevskiplane//J. Geom. Graph.- 2002.- Vol.6.- M.- P. 27-35.

25. Zakhary E., Vu K.T., Carminati J. A new algorithm for the Petrov classification of the Weyl tensor// Gen. Relativ. Gravitation.- 2003.-Vol.35.- №7.- P. 1223-1242.Работы автора по теме диссертации

26. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрикова JI.H. Левоинвариантпые лоренцевы метрики на трехмерных группах Ли с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля//Доклады Академии наук.- 2005. Т. 401. т.

27. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрикова JI.H. Левоинвариантпые лоренцевы метрики на трехмерных группах Ли с пулевым квадратом длины тензора Схоутена Вейля//Вестник БГПУ: Естественные и точные науки.- 2004. JVM.-C. 53-60.

28. Чибрикова Л.Н. Применение математических пакетов к решению задач (псевдо)римановой геометрии//Вестник БГПУ: Естественные и точные науки.- 2004. №4.- С. 71-80.

29. Чибрикова Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы . метрики на трехмерных неунимодулярных группах Ли//Тезисы межрегиональной конференции по математическому образованию в регионах России.-Барнаул: Изд-во БГПУ, 2004.- С. 21-22.

30. Чибрикова Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных неунимодулярных группах Ли// МАК-2004: Материалы Седьмой региональной конференции по математике.- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2004.- С. 18-20.

31. Чибрикова Л.Н. О некоторых классах левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных унимодулярных группах Ли//МАК-2003: Материалы Шестой . региональной конференции по математике.-Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2003.- С. 15.

32. Чибрикова Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных унимодулярных группах Ли//Вестник БГПУ: Естественные и точные науки,- 2003. №3.- С. 44-46.