автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы параметрической идентификации диссипативных динамических систем на основе разностных уравнений



На правах рукописи

Попова Дарья Николаевна

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИССИПАТИВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата теническкх наук

Самара - 2009

003473515

Работа выполнена на кафедре "Прикладная математика и информатика" Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Самарский государственный технический университет''.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Зотеев Владимир Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жданов Александр Иванович

1 кандидат технических наук,

старший научный сотрудник Куприянов Александр Викторович

Ведущая организация: Институт машиноведения УрО РАН

(г. Екатеринбург)

Защита состоится 26 июня 2009 года в И часов на заседании диссертационного совета Д 212.217.03 при ГОУ ВПО "Самарский государственный технический университет" по адресу: г. Самара, ул. Галактионовская, 141, 6 корпус, ауд. 28.

Отзывы по данной работе в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская 244, Главный корпус на имя ученого секретаря диссертационного совета Д 212.217.03; факс: (846) 278-44-00; эл. адрес: D21221703@list.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета (г. Самара, ул. Первомайская, 18).

Автореферат разослан 25 мая 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доцент

%

Н. Г. Губанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Оценка технического состояния различных машин механизмов, прогнозирование долговечности и ресурса отдельных деталей и елых конструкций является важнейшей1 проблемой в машиностроении. При ди-ностике технического состояния диссипативных механических систем широко ^пользуются методы, основанные на анализе изменения динамических характе-истик системы в процессе ее эксплуатации, прочностных или промышленных 1спытаний. Однако большинство из этих методов используют алгоритмы, полно-тью не учитывающие современный уровень компьютеризации и автоматизации роцессов обработки информации. Вследствие чего возник разрыв между уста-евшими способами оценки демпфирующих свойств нелинейной диссипэтивной истемы и новыми информационными технологиями, применяемыми в виброди-ностике (например, цифровой, спектральный или корреляционный анализ ди-амических процессов в механической системе). Устранить этот разрыв и, тем амым, существенно повысить достоверность оценки технического состояния ме-- пической системы можно на, основе принципиально новых методов параметри-еской идентификации, ориентированных на применение статистических методов работки результатов, эксперимента и компьютеризацию алгоритмов вычисле-ий.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование но--ых методов параметрической идентификации нелинейных диссипативных меха-шческих систем, позволяющих на основе линейно-параметрических дискретных моделей временных и частотных характеристик системы повысить точность оценивания параметров рассеяния энергии колебаний, а также разработка программного обеспечения для определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем по экспериментальным данным.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- построение линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты наблюдений мгновенных значений импульсной и амплитудно-частотной характеристик нелинейной дисеипативной системы;

- разработка метода параметрической идентификации нелинейных диссипативных систем на основе среднеквадратического оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения;

- численно-аналитические исследования помехозащищенности алгоритмов среднеквадратического оценивания коэффициентов стохастических разностных уравнений;

-разработка программного обеспечения, реализующего численный метод определения параметров диссииативной системы на основе разностных уравнений и предназначенного для практического применения в научно-технических экспериментах или промышленных испытаниях.

Научная новизна полученных и представленных в работе результатов состоит в следующем:

- построены линейно-параметричеокие дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений ординат свободных колебаний нелинейных диссипативных систем;

- получены линейно-парамегричеекие модели, описывающие в форме стохаг стических разностных уравнений дискретные значения экспериментально построенной амплитудно-частотной характеристики нелинейной диссипативной системы;

- разработан численный метод определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе построенных стохастических разностных уравнений;

- проведены численно-аналитические исследования помехозащищенности алгоритмов вычисления динамических характеристик на основе итерационной процедуры среднеквадратического оценивания коэффициентов разностного уравнения.

Практическая ценность работы заключается в применении новых линейно-параметрических дискретных моделей в задачах оценки динамических характеристик нелинейных диссипативных систем по экспериментальным Данным. Численный метод определения диманических характеристик диссипативных систем на основе построенных разностных уравнений позволяет обеспечить высокую точность вычислений, помехозащищенность оценок, эффективно использовать современную вычислительную технику в экспериментальных исследованиях. Разработанный пакет прикладных программ, реализующий в среде визуального и объектно-ориентированного языка программирования VBA под управлением операционной системы Windows помехозащищенные алгоритмы вычислений динаг мических характеристик, может быть использован при обработке результатов научно-технических экспериментов и промышленных испытаний систем различной физической природы.

Достоверность основных научных результатов подтверждается следующим:

- корректностью использования математического аппарата и вводимых при проведении расчетов и моделировании допущеиний и гипотез;

- сравнением данных численного расчета с известными аналитическими методами для подтверждения точности результатов вычислений;

- численно-аналитическими экспериментами исследования адекватности моделей;

- численными экспериментами исследования устойчивости вычислений и анаг лиза помехозащищенности моделей.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

- линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений

ординат свободных колебаний нелинейных диссипативных систем;

- линейно-параметрические модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения экспериментально построенной амплитудно-частотной характеристики нелинейной диссипативной системы;

- новые структурные соотношения во временной и частотной областях между отсчетами сигнала, коэффициентами линейно-параметрической дискретной модели и динамическими характеристиками нелинейной диссипативной системы;

- численный метод определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей;

- численно-аналитические исследования помехозащищенности алгоритмов вычисления динамических характеристик на основе разностных уравнений.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты, выводы и рекомендации работы использованы в учебном процессе ГОУ ВПО "Самарский государственный технический университет", а также — в ЗАО "Научно-производственная фирма "СОНДАИНФО" при оценке технического состояния различных по конструкции и функциональному назначению механических систем.

Апробация работы. Основные результаты научных исследований докладывались на Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (г. Санкт-Петербург, 2005); 1-ом Международном форуме молодых ученых (6-ой Международной конференции) "Актуальные проблемы современной науки" (г. Самара, 2005); Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 2006); Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (г. Кисловодск, 2006); Всероссийской научной конференции "Маг тематика. Механика. Информатика" (г. Челябинск, 2006); Научно-технической конференции с международным участием "Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении" (г. Самара, 2006); 2-ом Международном форуме молодых ученых и студентов (7-й Международной конференции) "Актуальные проблемы современной науки" (г. Самара, 2006); Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия) (г. Йошкар-Ола, 2006); конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Самара, 2007); Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием''Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 2007); 3-ем Международном форуме молодых ученых и студентов (8-й Международной конференции) "Актуальные проблемы современной науки" (г. Самара, 2007); V Всероссийской конференций "Механика микронеод-родных материалов и разрушение" (г. Екатеринбург, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ (из них 6 из Перечня ВАК).

Личный вклад автора. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, в равной степени принадлежат результаты, выполненных исследований.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений, в которых приведены

листинг разработанного программного продукта и акты внедрений. Общий объем диссертации 190 страниц, включая 58 рисунков. Библиографический список включает 102 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель и основные задачи работы, аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту основные положения.

В первой главе проводится обзор известных физических и математических моделей нелинейных диссипативных механических систем, рассматриваются их динамические характеристики и анализируются известные методы определения динамических характеристик.

В п. 1,1 излагаются основные принципы построения математических моделей колебаний диссипативных механических систем и методов определения их параметров. Формулируются задачи, решение которых является необходимым условием разработки новых эффективных методов параметрической идентификации механических систем:

- оценка характеристики нелинейности диссипативной системы как одного из основных диагностических признаков технического состояния системы;

- обеспечение помехозащищенности оценок динамических характеристик механической системы за счет применения статистических методов обработки экспериментальных данных;

- проверка адекватности модели, описывающей нелинейную механическую систему.

Решение данных задач позволяет повысить точность и быстродействие определения динамических: характеристик нелинейных механических систем за счет применения статистических методов обработки результатов измерений на базе компьютеризации экспериментальных исследований..

В п. 1.2 рассмотрены математические модели колебаний диссипативных систем в форме дифференциальных уравнений и их приближенных решений. Представлены функциональные зависимости, описывающие импульсную и амплитудно-частотную характеристики нелинейных диссипативных систем.

Дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания механической системы с диссипативиыми силами, пропорциональные п-ой степени скорости движения, имеет вид

ш1/'Ц) + Ш\УЖ-1 + <*(*) = 0, (1)

где т и с — масса и коэффициент упругости; су(<) — линейная сила упругости (восстанавливающая сила); Ь — малый параметр.

Приближенное решение дифференциального уравнения (1), которое описывает импульсную характеристику нелинейной механической системы, имеет вид

УН) =

I и соз (р4 + фо),

1 + (п-1)аГхЩ—и

(2)

п-1

где р = «/--собственная частота; оо и ^о - амплитуда и фаза колебаний в

начальный момент времени £ = 0. Значения интеграла 1п — 118т7|"+1с!7 зависит

о

только от показателя степени п.

Зависимость амплитуды колебаний от частоты возбуждения (частотно-амплитудная характеристика системы) для систем с диссипативными силами, пропорциональными »-ой степени скорости движения, описывается функцией вида •

В п. 1.3 рассмотрена классификация динамических характеристик механических систем, наиболее часто используемых на практике: частотные характеристики, диссипативные характеристики и характеристика нелинейности системы. Проведен обзор известных методов определения динамических характеристик дисси-пативных систем с анализом преимуществ и недостатков каждого из метода, в том числе возможности применения метода для существенно нелинейных механических систем, а также его способности оценить характеристику нелинейности.

На основе обзора известных методов сделаны следующие выводы. Практически все известные методы предполагают линеаризацию модели динамической системы, что является одним из основных источников погрешности в оценках динамических характеристик и недопустимо для существенно нелинейных механических систем. Методы, использующие линеаризованные модели, не позволяют оценить степень нелинейности диссипативной силы. Большинство из известных методов используют аналоговые математические модели, не позволяют обеспечить помехозащищенность оценок за счет применения статистических методов обработки экспериментальных данных. Таким образом, необходима разработка новых методов параметрической идентификации диссипативных механических систем на основе математических моделей, описывающих результаты наблюдений отклика системы на типовое тестовое воздействие и учитывающих в своей структуре нелинейный характер диссипативной силы.

Во второй главе рассматривается построение линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений

где у« = — — перемещение, вызываемое статически приложенной силой Ро-

результаты измерений свободных колебаний нелинейных диссипативных мехаг нических систем, проводится разработка численного метода определения динамических характеристик диссипативных систем на основе построенных моделей, приводятся результаты исследования эффективности этого метода, сходимости и устойчивости итерационной процедуры среднеквадратического оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели.

В п. 2.1 рассматриваются линейно-параметрические дискретные модели, описывающих в форме стохастических разностных уравнений свободные колебания нелинейных диссипативных систем. Для систем с диссипативными силами общего вида линейно-параметрическая дискретная модель в форме стохастических разностных уравнений имеет вид

г Уо = А5 + ео,

2/1 = ~ Ацд - A2J/I + Аб - у го + (1 + Ai + A2)si,

. Ук 4- Vk-2 = Ao¡ft-i - Al [кук + {к- 2)yk_2j - (4)

-А2 [k?yk + (к- 2fyk-2] + A3(fc - \)ук-1 + A 4(fc -1) Vi + Vk,

щ = [1 + (fc - 2)Ai + (к - 2)2A2] ek-2- _

. - Ao [1 + (k - l)Ai + (fc - 1)2A2] + [1 + fcAi + fc2A2] e*. к = 2, N - 1,

где y¡¡ (fc = 0. N — 1) — результаты измерений мгновенных значений ординат свободных колебаниц системы, ец {к — О, JV - 1) — случайная аддитивная помеха в результатах наблюдений.

Коэффициенты модели (4) функционально связаны с динамическими характеристиками диссипативной системы и описываются формулами

Ao = 2cospr, Aj = А2 = (l -А2, А3 - A0Ai, А4 = А0А2, А5 = a0cos фо,

Аб - -аапшртвтфц.

На основе построенных стохастических разностных уравнений сформирована обобщенная регрессионная модель

Элементы матрицы ^ и вектор-столбца правой части Ъ обобщенной регрессионной модели формируются на основе разностного уравнения (4). Матрица Р\ размера N х ЛГ линейного преобразования вектора случайной помехи е в результат тах наблюдений в уравнении эквивалентного случайного возмущения — нижняя треугольная, ленточная, трехдиагональная. Первый /^-мерный столбец матрицы

Р\ имеет вид: р\ = (1, , 1,0, ...,0)г. Остальные столбцы матрицы Р>, ] — 2, IV, описываются формулами:

(5)

В п. 2.2 рассматривается численный метод определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей в форме стохастических разностных уравнений. Выделены основные этапы метода. Для каждого этапа сформулированы проблемы, связанные с обеспечением заданной точности оценок динамических характеристик.

Применение в алгоритме вычислений широко распространенных и эффективных статистических методов обработки результатов наблюдений эксперимента позволяет обеспечить высокую помехозащищенность оценок динамических характеристик. Основой численного метода является итерационная процедура средне-квадратического оценивания, которая позволяет существенно уменьшить асимптотическое смещение, связанное с корреляцией между случайным возмущением и результатами наблюдений, и тем самым повысить точность вычислений динамических характеристик.

На первом шаге итерационной процедуры вычисляются первоначальные МНК-оценки \f\ Затем вычисляются приближение матрицы Р\ и Р^, преобразуется

обобщенная регрессионная модель, и находятся новые, уточненные оценки Л^ коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели. Эти оценки используются для вычисления второго приближения матрицы Р\ « Pj.fl и т.д. Процесс уточнения повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие останова — *М>| < 0,01 jjÁWjj. Найденные на последней итерации оценки А^ принимаются за истинные значения коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели и по ним далее вычисляются динамические характеристики дис-сипативной системы.

Получены формулы для вычисления частоты и декремента колебаний, а также характеристики нелинейности, по коэффициентам линейно-параметрической дискретной модели (ЛПДМ):

1 Л° х ЗтгАх / А2\

р= -arceos—, ó0 --r-rr, п = 2 11 - .

г 2 arccosAo/2 \ Ч/

Описана методика вычислений погрешности оценок динамических характеристик механической системы, которую можно разбить на этапы:

- вычисление остатков по формуле ек — Ук~Шу гДе Ук ~ результаты наблюдений, yk — результаты вычислений на основе построенной модели;

- вычисление оценки дисперсии случайной помехи в результатах наблюдений

к=1

1 N

где ё = — y^Qt, I — количество неизвестных коэффициентов в ЛПДМ. к=1

- вычисление оценок дисперсий s2[A¿] и ковариаций cov[A¡, Aj] результатов вычис-

лений коэффициентов разностного уравнения

S2 í^'"1] = Ci<s2' °0V j/^'-1'Vi] = су«2,

где Су, = 1,1 — элементы матрицы 1;

- вычисление оценок дисперсий ¿2[р], в2[¿о], «2[й] результатов вычислений динамических характеристик для систем с диссипативными силами общего вида по формулам:

ЖI

oAol д5 2

SA0

дп

dXi

s2[A0]+2cov[A0,A1]

2

s2[Ái] + 2cov[Ai, Аг)

t , Sí 55

dX(¡ d\\ дп dn

■ +

d5

dX\ 8X2

dXi dn

где

др д\>'

1

■ч

85_ ЭХо

2ttAI

дХ2 3S

(8)

2тг

* Aq \2' дХ\

arceos2 ~ у4 ло

Ао

arceos — 1

дп _ 4Аг дп _ 2

Ж" Ар

- вычисление с доверительной вероятностью ¡3 — 0,99 предельной абсолютной погрешности в результатах оценивания динамических характеристик

Др = tTs\p}, А5 = íra[á], Дп = írs[ñ],

(9)

где величина = ((о, и) берется из таблицы распределения Стьюдента при числе степеней свободы у = N — I и уровне значимости а = 1 - /3.

Полученные результаты позволяют найти (с заданной доверительной вероятностью) предельные относительные погрешности вычислений динамических характеристик.

В п. 2.3 проведены исследования сходимости и устойчивости итерационной процедуры среднеквадратического оценивания, эффективности применения итерационной процедуры в сравнении с классическим МНК при использовании ЛПДМ колебаний систем с диссипативными силами общего вида. Для систем с линейно-вязким трением проведены численно-аналитические исследования эффективности разработанного численного метода по сравнению с известным методом затухания колебаний. Результаты исследований показали, что точность определения декремента колебаний разработанным численным методом в несколько раз выше, чем точность при использовании метода затухающих колебаний.

В третьей главе рассматривается построение линейно-параметрических моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений дискрет-

ные значения экспериментально построенной амлитудно-частотной характеристики механических систем с линейно-вязким трением; описывается численный метод определена динамических характеристик диссипативных систем на основе построенных моделей; приводятся результаты исследования помехозащищенности оценок динамических характеристик и сравнения методов определения декремента колебаний по предложенному алгоритму с существующими методами.

В п. 3.1 построена линейно-параметрическая модель, описывающая в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) механической системы с линейно-вязким трением

«о = Лг + 2еооо,

+\1[к*4-{к-1)44_1} + т, * = 1,^-1, (ю)

щ = гена»-! [1 + (к - 1)2Ао + (А - 1)%] - _

-2екак[1 + к2Хо + к%], к = 1,^-1.

Получены структурные соотношения, функционально связывающие динамические характеристики и коэффициенты ЛПДМ (10):

До

_ 2Дш2 /25я \ _ ^ , - р2 Кг

На основе построенных стохастических разностных уравнений сформирована обобщенная •регрессионная модель вида (5). Элементы матрицы ^ и вектор-столбца правой части Ь обобщенной регрессионной модели формируются на основе разностного уравнения (10). Матрица Ра,х размера АГ х N линейного преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений — нижняя треугольная, ленточная, двухдиагопальная. Первый /У-мерный столбец матрицы Ра,л имеет вид: р\ = (2ао,2ао,0, ...,0)г. Остальные столбцы матрицы Ра<\, j = 2, описываются формулами:

{0, i<j, г>з +1,

-2а^(1 + 0 - 1)2*о + 0'" 1)%), »= 3,

1 = 3 +1.

Разработан численный метод вычисления динамических характеристик линейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей в форме стохастических разностных уравнений.

Для определения частоты и декремента колебаний по коэффициентам ЛПДМ Да; / До

получены формулы р =--==, 5 = яч/—== + 2.

у \/А1

Изложена методика вычислений погрешности оценок динамических характеристик механической системы, вычисленных на основе разностных уравнений (10). Получены формулы для оценки предельных абсолютных и относительных погрешностей вычислений динамических характеристик. Вычисление дисперсий

52[50] оценок динамических характеристик системы с линейно-вязким трением проводится по формулам аналогичным формулам (8), где = ——-7^=,

8X1 ИМ

85 7г 85 тгХд

Л ел 1Л 2,5 3 3,5 А 4,5 «

Рис. 1. Зависимости относительной погрешности вычислений декремента колебаний Л от величины случайной помехи в результатах наблюдений при иснользова-

aÂo 2л/АолАГ + 2Ai ' ôÂi 4Aiv/W*ï + 2A1

В п. 3.2 проведены численно-аналитические исследования линейно-параметрической дискретной модели колебаний для АЧХ механической системы с линейно-вязким трением. Проведен сравнительный анализ погрешности вычисления декремента колебаний методом на основе линейно-параг метрической дискретной модели и известным методом кривой резонанса. Результаты исследования показали, что точность вычислений декремента колебаний разработанным численным методом в несколько раз выше,: чем известным методом кривой резонанса (рис. 1).

В четвертой главе рассматривается построение линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения экспериментально построенной АЧХ нелинейных дисси- нии метода кривой резонанса (точки 1) и предложенного численного пативных механических систем; описывается чис- ' * ■

ленный метод определения динамических харак- метода vT04KH ) теристик диссипативных систем на основе построенных моделей с помощью итерационной процедуры среднеквадратического оценивания коэффициентов разностного уравнения.

В п. 4.1 построены линейно-параметрические модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения амплитудно-частотной характеристики нелинейных диссипативных механических систем для различных типов силы трения.

Для систем с кулоновым трением ЛПДМ в форме стохастических разностных уравнений имеет вид

Оо = До + £о,

а*_ 1 -ак = Xi(âk-i(k - I)2 - âkk2) + 1<к<т,

T}k=ek{\ïk2-l)-ek-1{\l{k-l)2-l), 1 <к<т, ,

ttm+l = Л2 + £¿+1, *

Ojfe-1 -ак- Ai(ôa-i (к - I)2 - акк2) + щ, m + 2<k<N~l

Vk = ЫМ2 -1) - e*-i(Ai(i - l)2 - 1), m + 2 < к < N - 1.

Получены структурные соотношения, функционально связывающие динамические характеристики и коэффициенты ЛПДМ (11):

\7Г с)

»СТ \__I > • „2 ' л

Р2 "" А! +2л/Л1 На основе построенных стохастических разностных уравнений сформировав на обобщенная регрессионная модель вида (5). Элементы матрицы Р и вектор-столбца правой части Ь обобщенной регрессионной модели формируются на основе разностного уравнения (11). Матрица Рад размера N х N линейного преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений — нижняя треугольная, ленточная, трехдиагональная. Первый и (ш + 1) //-мерные столбцы матрицы Ра,л имеют вид: рг = (1,1,0,0, ...,0)г и рт+1 = (0,0, ...,1,-А1 - ...,0)г. Остальные столбцы матрицы Ра,\, 3 — 2, N, 3 ф т + 1, описываются формулами:

!0, 1<з, 1>3 + 2,

с? - 1)2А! - 1, г =з,

г = 3 + 1-

Для систем с турбулентным трением и для систем с диссипативными силами общего вида при известном показателе нелинейности ЛПДМ в форме стохастических разностных уравнений имеет вид

Од = Аз 4- 2еоао,

ак-1 ~ а1~ Ао(^2"а4П — {к — 1)2па|"1)-

-{к- 1)2а^) + -0к- 1)4-0+ _

+г1к1 к = 1.ЛГ-1, (12) щ = -2ак£к(пХак2ла1п~2 - Х1 к2 + А2£4 + 1)+

+2а^1ек-1(пМ(к - _

, — Аг(А; - I)2 + Л2(/к - I)4 +1), к = 1, N -1.

Коэфициенты модели (12) связаны с параметрами диссипативкой системы со, Ш 'д 2п л А? , з отношениями: Ап = { — | Ду , Ах = I—5-, Лг = —, Аз = у'.

\ 7ГС) р2 4

На основе построенных стохастических разностных уравнений сформирована обобщенная регрессионная модель вида (5). Элементы матрицы Р и вектор-столбца правой части Ь обобщенной регрессионной модели формируются на основе разностного уравнения (12). Матрица Ра<\ размера N х N линейного преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений в уравнениях эквивалентного случайного возмущения — нижняя треугольная, ленточная, двухдиагональная. Первый ^-мерный столбец матрицы Р^д имеет вид: рх = (2ао, 2оо, 0,..., 0)г. Остальные столбцы матрицы Ра \, 3 = 2, И, описываются формулами:

Г0, i<j,i>j+1,

РЯ = { .-2а,_г(1 + пЦ- - 1)2"А0а^2 - (3 - 1)% + (; - 1)4А2), г = 3,

Для систем с диссипативными силами общего вида при неизвестном показа-

Дш2 „

теле нелинейности с учетом /3 = —ЛПДМ имеет вид

Рг

1п

- (1 - /ЗА;2)2а\\ = А0 + Ах 1п(как) +

г Ч ОчО 1

Чк = ~£к

А! | 2(1-^)4 ак У%г-

(1 — ¡Зк2)2а\

■щ, к = 1,М,

к ~ 1737.

(13)

Получены структурше соотношенш, функционально связывающие динамические характеристики и коэффициенты ЛПДМ (13):

А0 = 21п^Дс^, Ах=2п.

На основе построенных стохастических разностных уравнений сформирована обобщенная регрессионная модель вида (5). Элементы матрицы Р и вектор-столбца правой части Ь обобщенной регрессионной модели формируются на основе разностного уравнения (13). Матрица Р0,д линейного преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений в уравнениях эквивалентного случайного возмущения — диагональная, размера N х N. Столбцы матрицы Р0д, ] = 1, И, описываются формулами:

О,

рц

А! 1 2(1 -

уЪ~ (1-/У2)Ч?

»7к3-.

г = 3.

Разработан численный метод для определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей в форме стохастических разностных уравнений для АЧХ.

Получены формулы для определения собственной частоты и декремента колебаний, а также характеристики нелинейности, по коэффициентам линейно-парат метрической дискретной модели. В частности, для систем с кулоновым трением р = Аи//\/Аг, 6(а) = -т/^ст — Ад, для систем с турбулентным трением р =

Д^-\/2/А), у„ = \Аз> ¿(о) = 2тга-\/Ао/А11 для систем с диссипативными силами общего вида при известном показателе нелинейности р = Аил/2рХ\) уст = </\з, 6(а) = 7Г\/Ао ^-у/2/А^ а"-1, для систем с диссипативными силами общего вида

А1 V М / р >11

при неизвестном показателе нелинейности гь — -у, й(о) = же2 д^у а"? \

Изложена методика вычислений погрешности оценок динамических характеристик механической системы. Получены формулы для оценки предельных абсолютных и относительных погрешностей вычислений динамических характеристик. Вычисление дисперсий з2[р], в2[¿о], 82{п] оценок динамических характеристик нелинейной диссипативной системы проводится по формулам аналогичным

, . др Ди 86

формулам (8), где для систем с кулоновым трением -г- — —;—-г- =

ЗА! 2Дх V Ах 9Ао

-. . . ■■■■; для систем с турбулентным трением и систем с диссипативными си-

2ал/У« -

лами общего вида при известном показателе нелинейности -чР- ---^

ЗА! Л/2Ахл/АХ

85 ( 2 \ 5 а""1 85 2 5'1

-х- = 7г I — | —==, -г- = — ятш Ао— а ; для систем с диссипатив-

ЗА0 \*1/ 2д/До 9Л1 Л1

ными силами общего вида при неизвестном показателе нелинейности -х- =

д\\ 2

= (?) * аН - I Ш * а^1 (1п + 1па) . дХо 2 ЧДиУ 2 VДu^/ V Дш /

В п. 4.2 исследована сходимость и эффективность итерационной процедуры среднеквадратического оценивания коэффициентов разностных уравнений, описывающих дискретные значения АЧХ нелинейной диссшттивной системы. Для ЛПДМ колебаний систем с диссипативными силами общего вида при неизвестном показателе нелинейности проведены численные эксперименты с целью исследования зависимости погрешности вычислений динамических характеристик от мощности помехи, объема выборки и периода дискретизации. На рис. 2 и 3 представлены зависимости смещения оценок и обобщенной ошибки вычисления декремента колебаний (рис. 2) и характеристики нелинейности (рис. 3) от мощности случайной помехи. Точки 1 соответствуют результатам, полученным на основе классического метода наименьших квадратов. Точки 2 соответствуют результатам, полученным на основе итерационной процедуры среднеквадратичных оценивания коэффициентов разностного уравнения. Как видно из рис. 2 и 3, применение итерационной процедуры среднеквадратического оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения позволяет существенно увеличить точность вычисления динамических характеристик.

В пятой главе описывается разработанное программное обеспечение, реализующее помехозащищенные алгоритмы вычислений динамических характеристик нелинейных механических систем, приводятся результаты экспериментальной проверки адекватности разработанных дискретных математических моделей реальным физическим процессам в механических системах.

В п. 5.1 представлена структурная схема, связывающая основные этапы численного метода вычисления динамических характеристик и описывается программный продукт, реализующий алгоритмы вычислений динамических характеристик диссипативных механических систем, включая описание интерфейса и работы основных модулей.

В п. 5.2 приведены результаты проверки адекватности разработанных линейно-параметрических дискретных моделей физическим процессам. Описаны результаты применения ЛПДМ в форме стохастических разностных уравнений и Численного метода на их основе в физических экспериментах по обнаружению

Ли,

60 50 40

30

го ю

Тгтт 1 У;

I 1>Г

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 «

а)

о.» ■+•■

ОЯ • 0.7 ■]—! 0.6 0.5 • 0.4 0.3 02 0.1

Т Ч:

туггтгг*

Ж

Рис. 2. Зависимости смещения оценок (а) и обобщенной ошибки вычислений (б) декремента колебаний от величины случайной помехи в результатах наблюдений

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 с б)

Рис. 3. Зависимости смещения оценок {а) и обобщенной ошибки вычислений (б) характеристики нелинейности от величины случайной помехи в результатах наблюдений

некачественной сборки деталей за счет фиксации локальных дефектов. При вычислении динамических характеристик механического соединения использовался разработанный программный продукт.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Построены линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений свободные колебания нелинейных диссипативных систем. Получены формулы для определения частоты и декремента колебаний, а также характеристики нелинейности по коэффициентам линейно-параметрической дискретной модели.

2. Рассмотрены основные этапы численного метода определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей в форме стохастических разностных уравнений. Для каждого этапа сформулированы проблемы, связанные с обеспечением заданной точности оценок динамических характеристик.

3. Проведены численно-аналитические исследования численного метода определения динамических характеристик, в основе которого лежит линейно-парамет-

рическая дискретная модель в форме стохастических разностных уравнений для систем с диссипативными силами общего вида в режиме свободных колебаний. Для системы с линейно-вязким трением проведен сравнительный анализ погрешности вычисления декремента колебаний методом на основе ЛПДМ и методом затухающих колебаний.

4. Построены линейно-параметрические модели, описывающих в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения АЧХ линейной и нелинейных диссипативных систем. Получены формулы для вычисления собственной частоты и декремента колебаний, а также оценки характеристики нелинейности по коэффициентам построенных линейно-параметрических дискретных моделей.

5. Проведены численно-аналитические исследования эффективности разработанного численного метода определения динамических характеристик диссипативных систем, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений импульсной и амплитудной характеристик.

6. Разработано программное обеспечение, реализующее устойчивые алгоритмы вычислений параметров нелинейной диссипативной системы на основе построенных моделей и предназначенное для использования в физических экспериментах.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Попова Д. Н. Определение динамических характеристик нелинейных дисси-пативиых систем на основе линейно параметрической дискретной модели для амплитудно-частотной характеристики // Вестник Самарского государственного технического университета. - Серия Физико-математические науки. — 2008. - № 1 (16). - С. 108-112.

2. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Разработка и исследование линейно параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики механической системы с линейно-вязким трением // Вестник Самарского государственного технического университета. - Серия Физико-математические науки.— 2007. - № 2 (15). - С. 179-182.

3. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Определение динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе стохастического разностного уравнения // Вестник Самарского государственного технического университета. -Серия Физико-математические науки. — 2006. — № 42. — С. 162-168.

4. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Определение декремента колебаний на основе линейно параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики системы с линейно-вязким трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2007. — Т. 14, № 2. — С. 300-301.

5. Зотеев В. Е., Попова Д. И. Оценка нелинейности диссипативной системы на основе итерационного метода среднеквадратического оценивания коэффициентов

разностного уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2006,- Т. 13, № 5.- С. 907-908.

6. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Оценка нелинейности сил трения на основе стохастического разностного уравнения колебаний диссипативной системы // Обозрение прикладной и промышленной математики,— 2005,— Т. 12, № 2,— С. 373.

7. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Оценка погрешности вычисления динамических характеристик диссипативной системы при использовании разностных уравнений // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Третьей Всероссийской научной конференции. — Часть 2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. — Самара: СамГТУ, 2006. — С. 78-86.

8. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Применение стохастических разностных уравнений при определении характеристик рассеяния энергии колебаний механической системы // Математика. Механика. Информатика: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. — Челябинск: Челяб. гос. ун-г, 2006. — С. 59.

9. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания коэффициетов стохастического разностного уравнения колебаний диссипативной системы // Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении (ПИТ-2006): Труды научно-технической конференции с международным участием. — Т. 2. — Самара: СГАУ,

2006.- С. 19-24.

10. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Определение динамических характеристик нелинейной диссипативной системы на основе стохастических разностных уравнений для амплитудно-частотной характеристики // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тезисы докладов Всероссийской конференции. — Самара: Уни-верс групп, 2007.— С. 55-56.

11. Зотеев В. Е., Попова, Д. Н. Исследование помехозащищенности среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием. — Часть 4: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. — Самара: СамГТУ,

2007.-С. 82-87.

12. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Определение динамических характеристик диссипативной механической системы на основе стохастических разностных уравнений // Механика микронеоднородных материалов и разрушение. Тезисы докладов V Всероссийской конференции. — Екатеринбург. ИМАЩ УрО РАН, 2008.

13. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Исследование линейно параметрических дискретных моделей колебаний нелинейных диссипативных систем // Актуальный проблемы современной науки. Труды 1-го Международного форума молодых ученых (6-й Международной конференции). — Естественные науки. Части 1, 2: Математика. Математическое моделирование.— Самара: СамГТУ, 2005.— С. 126—132.

14. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Построение линейно параметрической дискретной модели для амплитудно-частотной характеристики систем с линейно-вязким трением // Актуальный проблемы современной науки. Труды 2-го Международного форума молодых ученых (7-й Международной конференции). — Естественные науки. Части 1-3: Математика. Математическое моделирование. Механика. - Самара: СамГТУ, 2006. - С. 83-88.

15. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Построение стохастических разностных уравнений для амплитудно-частотной характеристики систем с нелинейными дисси-пативныеми силами // Актуальный проблемы современной науки. Труды 3-го Международного форума молодых ученых (8-й Международной конференции).— Естественные науки. Части 1, 2: Математика. Математическое моделирование. - Самара: СамГТУ, 2007. - С. 176-182.

Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д212,217.03 ГОУ ВПО Самарский государственный технический университет (протокол № 2 от 14 мая 2009 г.)

Заказ №427. Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе. ГОУ ВПО Самарский государственный технический университет Отдел типографии и оперативной печати 443100 г. Самара ул. Молодогвардейская, 244

Введение

Глава 1. Математическое описание диссипативных механических систем и методы определения их динамических характеристик

1.1. Диссипативные механические системы и проблема повышения' точности их параметрической идентификации.

1.2. Математические модели колебаний диссипативных систем в форме дифференциальных уравнений и их приближенных решений

1.3. Динамические характеристики нелинейных диссипативных механических систем и их методы определения.

1.4. Выводы по главе 1.

Глава 2. Разработка, исследование и применение в задачах параметрической идентификации стохастических разностных уравнений свободных колебаний нелинейных диссипативных механических систем.

2.1. Построение линейно-параметрических дискретных моделей в форме стохастических разностных уравнений для режима свободных колебаний

2.2. Разработка численного метода определения динамических характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений

2.3. Численно-аналитические исследования алгоритмов среднеквад-ратического оценивания коэффициентов стохастических разностных уравнений для режима свободных колебаний

2.4. Выводы по главе 2.

Глава 3. Разработка и исследование метода определения дис-сипативных характеристик механических систем с линейно-вязким трением на основе стохастических разностных уравнений для амплитудно-частотной характеристики

3.1. Построение разностных уравнений, описывающих амплитудночастотную характеристику механических систем с линейно-вязким трением, и метода параметрической идентификации на их основе

3.2. Численно-аналитические исследования устойчивости, эффективности и сходимости численного метода определения дисси-пативных характеристик на основе стохастических разностных уравнений для амплитудно-частотной характеристики

3.3. Выводы по главе 3.

Глава 4. Разработка, исследование и применение стохастических разностных уравнений для амплитудно-частотной характеристики нелинейных диссипативных механических систем

4.1. Построение и применение линейно-параметрических дискретных моделей амплитудно-частотных характеристик нелинейных диссипативных систем.

4.2. Исследования помехозащищенности алгоритмов среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики

4.3. Выводы по главе 4.

Глава 5. Разработка программного обеспечения для обработки экспериментальных данных в задачах идентификации диссипативных механических систем

5.1. Разработка алгоритмов вычисления динамических характеристик диссипативных механических систем на основе стохастических разностных уравнений

5.2. Результаты апробации численного метода в научно-технических экспериментах

5.3. Выводы по главе 5.

Актуальность работы. Оценка технического состояния различных машин и механизмов, прогнозирование долговечности и ресурса отдельных деталей и целых конструкций является важнейшей проблемой в машиностроении. При диагностике технического состояния диссипативных механических систем широко используются методы, основанные на анализе изменения динамических характеристик системы в процессе ее эксплуатации, прочностных или промышленных испытаний. Однако большинство из этих методов используют алгоритмы, полностью не учитывающие современный уровень компьютеризации и автоматизации процессов обработки информации. Вследствие чего возник разрыв между устаревшими способами оценки демпфирующих свойств нелинейной диссипативной системы и новыми информационными технологиями, применяемыми в вибродиагностике (например, цифровой, спектральный или корреляционный анализ динамических процессов в механической системе). Устранить этот разрыв и, тем самым, существенно повысить достоверность оценки технического состояния механической системы можно на основе принципиально новых методов параметрической идентификации, ориентированных на применение статистических методов обработки результатов эксперимента и компьютеризацию алгоритмов вычислений.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование новых методов параметрической идентификации нелинейных диссипативных механических систем, позволяющих на основе линейно-параметрических дискретных моделей временных и частотных характеристик системы повысить точность оценивания параметров рассеяния энергии колебаний, а также разработка программного обеспечения для определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем по экспериментальным данным.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- построение линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты наблюдений мгновенных значений импульсной и амплитудно-частотной характеристик нелинейной диссипативной системы;

- разработка метода параметрической идентификации нелинейных диссипативных систем на основе среднеквадратического оценивания коэффициен тов стохастического разностного уравнения;

- численно-аналитические исследования помехозащищенности алгоритмов среднеквадратического оценивания коэффициентов стохастических разностных уравнений;

- разработка программного обеспечения, реализующего численный метод определения параметров диссипативной системы на основе разностных уравнений и предназначенного для практического применения в научно-технических экспериментах или промышленных испытаниях.

Научная новизна полученных и представленных в работе результатов состоит в следующем:

- построены линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений -результаты измерений мгновенных значений ординат свободных колебаний нелинейных диссипативных систем;

- получены линейно-параметрические модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения амплитудно-частотной характеристики нелинейной диссипативной системы;

- разработан численный метод определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе построенных стохастических разностных уравнений;

- проведены численно-аналитические исследования помехозащищенности алгоритмов вычисления динамических характеристик на основе итерационной процедуры среднеквадратического оценивания коэффициентов разностного уравнения.

Практическая ценность работы заключается в применении новых линейно-параметрических дискретных моделей в задачах оценки динамических характеристик нелинейных диссипативных систем по экспериментальным данным. Численный метод определения диманических характеристик диссипативных систем на основе построенных разностных уравнений позволяет обеспечить высокую точность вычислений, помехозащищенность оценок, эффективно использовать современную вычислительную технику в экспериментальных исследованиях. Разработанный пакет прикладных программ, реализующий в среде визуального и объектно-ориентированного языка программирования VBA под управлением операционной системы Windows помехоза-щищенные алгоритмы вычислений динамических характеристик, может быть использован при обработке результатов научно-технических экспериментов и промышленных испытаний систем различной физической природы.

Достоверность основных научных результатов подтверждается следующим:

- корректностью использования математического аппарата и вводимых при проведении расчетов и моделировании допущенний и гипотез;

- сравнением данных численного расчета с известными аналитическими методами для подтверждения точности результатов вычислений;

- численно-аналитическими экспериментами исследования адекватности моделей;

- численными экспериментами исследования устойчивости вычислений и анализа помехозащищенности моделей.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

- линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений ординат свободных колебаний нелинейных диссипативных систем;

- линейно-параметрические модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения экспериментально построенной амплитудно-частотной характеристики нелинейной диссипативной системы;

- новые структурные соотношения во временной и частотной областях между отсчетами сигнала, коэффициентами линейно-параметрической дискретной модели и динамическими характеристиками нелинейной диссипативной системы;

- численный метод определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей;

- численно-аналитические исследования помехозащищенности алгоритмов вычисления динамических характеристик на основе разностных уравнений.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты, выводы и рекомендации работы использованы в учебном процессе ГОУ ВПО "Самарский государственный технический университет", а также — в ЗАО "Научно-производственная фирма "СОНДАИНФО" при оценке технического состояния различных по конструкции и функциональному назначению механических систем.

Апробация работы. Основные результаты научных исследований докладывались на Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (г. Санкт-Петербург, 2005); 1-ом Международном форуме молодых ученых (6-ой Международной конференции) 'Актуальные проблемы современной науки" (г. Самара, 2005); Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 2006); Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (г. Кисловодск, 2006); Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика" (г. Челябинск, 2006); Научно-технической конференции с международным участием "Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении" (г. Самара, 2006); 2-ом Международном форуме молодых ученых и студентов (7-й Международной конференции) "Актуальные проблемы современной науки" (г. Самара, 2006); Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия) (г. Йошкар-Ола, 2006); конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Самара, 2007); Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 2007); 3-ем Международном форуме молодых ученых и студентов (8-й Международной конференции) "Актуальные проблемы современной науки" (г. Самара, 2007); V Всероссийской конференции "Механика микронеодродных материалов и разрушение" (г. Екатеринбург, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ (из них 6 из Перечня ВАК).

Личный вклад автора. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, в равной степени принадлежат результаты выполненных исследований.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений, в которых приведены листинг разработанного программного продукта и акты внедрений. Общий объем диссертации 190 страниц, включая 58 рисунков. Библиографический список включает 102 наименования.

5.3 Выводы по главе 5

1. Разработана структурная схема алгоритма вычисления динамических характеристик нелинейных диссипативных механических систем.

2. Программными средствами Visual Basic Application реализован комплекс программ, позволяющий пользователю находить оценки динамических характеристик нелинейных механических систем на основе обработки экспериментальных данных.

3. Проведена апробация численного метода в научно-технических экспериментах по определению некачественной технологической сборки механической системы вал-втулка.

Заключение

В результате выполненной диссертационной работы получено следующее:

1. Построены линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений свободные колебания нелинейных диссипативных систем. Получены формулы для определения частоты и декремента колебаний, а также характеристики нелинейности по коэффициентам линейно-параметрической дискретной модели.

2. Рассмотрены основные этапы численного метода определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей в форме стохастических разностных уравнений. Для каждого этапа сформулированы проблемы, связанные с обеспечением заданной точности оценок динамических характеристик.

3. Проведены численно-аналитические исследования метода определения динамических характеристик, в основе которого лежит линейно-параметрическая дискретная модель в форме стохастических разностных уравнений для систем с диссипативными силами общего вида в режиме свободных колебаний. Для системы с линейно-вязким трением проведен сравнительный анализ погрешности вычисления декремента колебаний методом на основе ЛПДМ и методом затухающих колебаний.

4. Построены линейно-параметрические дискретные модели в форме стохастических разностных уравнений для АЧХ линейной и нелинейных диссипативных систем. Получены формулы для вычисления собственной частоты и декремента колебаний, а также оценки характеристики нелинейности по коэффициентам построенных линейно-параметрической дискретной модели.

5. Исследованы линейно-параметрические дискретные модели в форме стохастических разностных уравнений систем с линейно-вязким трением и систем с диссипативными силами общего вида при неизвестном показателе нелинейности. Для данных моделей проведены численно-аналитические эксперименты для исследования зависимости погрешности вычислений динамических характеристик от мощности помехи, объема выборки, периода дискретизации. Для АЧХ систем с линейно-вязким трением проведен сравнительный анализ погрешности вычисления декремента колебаний методом на основе ЛПДМ и методом кривой резонанса.

6. Разработано и описано программное обеспечение, позволяющее найти оценки динамических характеристик нелинейных механических систем, реализующее численные методы на основе ЛПДМ в форме стохастических разностных уравнений и предназначенное для использования в физических экспериментах.

1. Андерсон, Т. Статистический анализ временных рядов / Т. Андерсон. — М.: Мир, 1976, — 756 с.

2. Бабаков, И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. — М.: Наука, 1968. — 560 с.

3. Басков, А. Г. Автоматическая система измерения характеристики демпфирования колебаний механических систем на основе микроЭВМ / А. Г. Басков, А. Г. Кратко, А. П.Бовсуновский // Проблемы прочности. 1990. — № 1. — С. 110-112.

4. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельников. — М.: Наука, 1987. — 600 с.

5. Бендат, Д. Применение корреляционного и спектрального анализа / Д. Бендат, А. Пирсол. — М.: Высшая школа, 1980. — 408 с.

6. Боглаев, Ю. П. Вычислительная математика и программирование / Ю. П. Боглаев. — М.: Высш. шк, 1990. — 544 с.

7. Божко, А. Е. Динамико-энергетические связи колебательных систем / А. Е. Божко, Н. М. Голуб. — Киев: Наук, думка, 1980.— 188 с.

8. Бокс, Д. Анализ временных рядов. Прогноз и управление / Д. Бокс, Г. Дженкинс. Вып. 1. — М.: Мир, 1974. — 406 с.I

9. Брандт, 3. Статистические методы анализа наблюдений. Пер. с анг. / 3. Брандт. М.: Мир, 1975,— 312 с.

10. Бутенин, Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бу-тенин, Ю. В. Неймарк. — М.: Наука, 1987.

11. Вибрации в технике. Справочник: В 6 т. — М.: Машиностроение. — Т. 1 1978. - 352 е.; Т. 2 - 1979. - 351 е.; Т. 5 - 1981. - 496 с.

12. Воеводин, В. В. Вычислительные основы линейной алгебры / В. В. Воеводин.— М.: Наука, 1977.

13. Воеводин, В. В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. — М.: Наука, 1984. — 320 с.

14. Волков, Е. А. Численные методы / Е. А. Волков.-- М.: Наука, 1982.— 256 с.

15. Вульфсон, И. И. Компьютерное моделирование динамических эффектов, обусловленных нелинейными диссипативными силами при полигармоническом возбуждении / И. И. Вульфсон // Теория механизмов и машин. 2005. - Т. 3, № 2. — С. 42-53.

16. Вульфсон, И. И. Колебания в машинах / И. И. Вульфсон, — СПб.: 2-ое, дополненное / СПГУТД, 2006. 260 с.

17. Вучков, И. Прикладной линейный регрессионный анализ / И. Вучков, J1. Бояджиева, О. Солаков. — М.: Финансы и статистика, 1987. — 238 с.

18. Горяченко, В. Д. Элементы теории колебани / В. Д. Горяченко. — Красноярск: Издательство Красноярского университета, 1995.

19. Грановский, В. А. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях / В. А. Грановский, Т. Н. Сирая. — Л.: Энергоатомиздат, 1990.- 288 с.

20. Демиденко, Е. 3. Линейная и нелинейная регрессии / Е. 3. Демиден-ко. —М.: Финансы и статистика, 1981.

21. Демидович, Б. П. Численные методы анализа. Приближенные функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. 3. Шувалов, — М.: Физматгиз, 1968.— 368 с.

22. Деч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования / Г. Деч. — М.: Наука, 1971. — 288 с.

23. Добровольский, А. В. К вопросу о расчете теоретической линии регрессии при обработке статистической информации / А. В. Добровольский // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 2004. — № 2.-С. 85-87.

24. Добрынин, С. А. Методы автоматизированного исследования вибраций машин: Справочник / С. А. Добрынин, М. С. Фельдман, Г. И. Фирсов. — М.: Машиностроение, 1987.— 224 с.

25. Дрейпер, Н. Прикладной регресионный анализ / Н. Дрейпер, Г. Смит. — М.: Статистика, 1973.

26. Жданов, А. И. О приближенных стохастических системах линейных алгебраических уравнений / А. И. Жданов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1989. — Т. 29, № 12,- С. 1776-1787.

27. Жданов, А. И. Вычисление регуляризованных оценок наименьших квадратов коэффициентов авторегрессии по неточным данным / А. И. Жданов // Автоматика и телемеханика.— 1990.— № 3.— С. 110-117.

28. Жданов, А. И. Регуляризация неустойчивых конечномерных линейных задач на основе расширенных систем / А. И. Жданов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2005. — Т. 45, № 11,— С. 1918-1926.

29. Жданов, А. И. Особенности применения метода наименьших квадратов для оценивания параметров линейных разностных операторов в задачах идентификации объектов управления / А. И. Жданов, О. А. Кацюба // Автоматика и телемеханика. — 1979. — № 8. — С. 86-96.

30. Жданов, А. И. Прямой проекционный метод в задаче полных наименьших квадратов / А. И. Жданов, П. А. Шамаров // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 4. — С. 77-87.

31. Закс, Л. Статистическое оценивание / JI. Закс. — М.: Статистика, 1976.

32. Зотеев, В. Е. Идентификация диссипативных и жесткостных характеристик механических систем на основе линейных дискретных моделей / В. Е. Зотеев // Надежность и неупругое деформирование конструкций. Куйбышев: КПтИ, 1990.-С. 152-159.

33. Зотеев, В. Е. Идентификация нелинейных механических систем на основе авторегрессионных моделей / В. Е. Зотеев // Математическое моделирование в машиностроение. Тезисы докладов Первой Всесоюзной школы-конф. — Куйбышев: 1990. — С. 18.

34. Зотеев, В. Е. Авторегрессионные модели колебаний нелинейных диссипативных систем / В. Е. Зотеев // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды пятой научной межвузовской конференции. — Самара: ИА РФ, СамГТУ, 1995. С. 48-95.

35. Зотеев, В. Е. Вибродиагностика нелинейных диссипативных систем на основе разностных уравнений / В. Е. Зотеев // Надежность механических систем. Тезисы докладов научно-технической конференции. — Самара: 1995. — С. 82.

36. Зотеев, В. Е. Сравнительный анализ методов определения динамических характеристик диссипативной системы / В. Е. Зотеев // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. — 2006. — № 43. — С. 153-158.

37. Зотеев, В. Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений / В. Е. Зотеев; Под ред. В. П. Радченко. — М.: Машиностроение, 2009. — 344 с.

38. Зотеев, В. Е. Оценка нелинейности сил трения на основе стохастического разностного уравнения колебаний диссипативной системы / В. Е. Зотеев, Д. Н. Попова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12, № 2. - С. 373.

39. Кармалита, В. А. Цифровая обработка случайных колебаний / В. А. Кармалита. — М.: Машиностроение, 1986.— 80 с.

40. Кашъяп, Р. Л. Построение динамических стохастических моделей поэкспериментальным данным / P. J1. Кашьяп, А. Р. Рао.— М.: Наука, 1983.- 384 с.

41. Кей, С. М. Современные методы спектрального анализа. Обзор / С. М. Кей, С. П. Марпл-мл. // ТИИЭР. 1981. - № 11.- С. 5-51.

42. Кендалл, М. Статистические выводы и связи / М. Кендалл, А. Стью-арт, — М.: Наука, 1973. — 900 с.

43. Кононенко, В. О. Методы идентификации механических нелинейных колебательных систем / В. О. Кононенко, Н. П. Плахтиенко. — Киев: Наук, думка, 1976.— 116 с.

44. Костин, В. А. О необходимых условиях адекватности математических моделей механических систем / В. А. Костин, Н. В. Минаева // Известия вузов. Машиностроение. — 2005. — № 2. — С. 5-7.

45. Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. — М.: Мир, 1975.

46. Кузнецов, Е. Б. Моделирование кривых параметрическими многочленами по методу наименьших квадратов / Е. Б. Кузнецов, А. Ю. Якимо-вич // Математическое моделирование. — 2004. — Т. 16, № 6. — С. 4851.

47. Кэдзоу, Д. А. Спектральное оценивание: метод переопределенной системы уравнений рациональной модели / Д. А. Кэдзоу // ТИИЭР. — 1982, — Т. 70, № 9. — С. 256-293.

48. Левитский, И. И. Колебания в механизмах / Н. И. Левитский.— Гл. ред. физ.-мат. лит. — М.: Наука, 1988.— 336 с.

49. Левитский, Н. И. Теория механизмов и машин / Н. И. Левитский. — М.: Наука, 1979.- 576 с.

50. Линник, Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений / Ю. В. Линник. — М.: Физматгиз, 1962.

51. Львовский, Е. Н. Статистические методы построения эмпирических формул / Е. Н. Львовский, — М.: Высш. шк., 1988. — 239 с.

52. Максименко, А. А. Динамические контактные взаимодействия при сложном нагружении в условиях трения покоя / А. А. Максименко, Н. В. Перфильева, Н. В. Котенева // Известия вузов. Машиностроение. 2002. - № 2-3. - С. 28-37.

53. Максименко, А. А. Экспериментальный комплекс для исследования контактного взаимодействия в пределах трения покоя / А. А. Максименко, Н. В. Перфильева, Н. В. Котенева // Известия вузов. Машиностроение. — 2002. — № 4. — С. 3-7.

54. Марпл-мл., С. А. Цифровой спектральный анализ и его приложения. Пер. с англ. / С. А. Марпл-мл. — М.: Мир, 1990. — 584 с.

55. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук.— М.: Наука, 1989. — 609 с.

56. Мостпеллер, Ф. Анализ данных и регрессия / Ф. Мостеллер, Д. Тыокин. Вып. 1, 2. — М.: Финансы и статистика, 1982.

57. Основы теории колебаний / В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Му-стель, В. Н. Парыгин.— М.: Наука, 1988.

58. Отнес, Р. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы / Р. Отнес, JL Эноксон. — М.: Мир, 1982. — 428 с.

59. Пановко, Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем / Я. Г. Пановко. — М.: Физматгиз, I960. — 194 с.

60. Пановко, Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара / Я. Г. Пановко.— JL: Машиностроение, 1976.— 320 с.

61. Пановко, Я. Г. Введение в теорию механических колебаний / Я. Г. Пановко.— М.: Наука, 1991.— 256 с.

62. Писаренко, Г. С. Методы определения характеристик колебаний упругих систем / Г. С. Писаренко, В. А. Матвеев, А. П. Яковлев. — Киев: Наук, думка, 1976. — 88 с.

63. Писаренко, Г. С. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов. Справочник / Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев.— Киев: Наук, думка, 1971.— 376 с.

64. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах / Под ред. И. А. Биргера, Я. Г. Пановко.— М.: Машиностроение, 1968.

65. Пустылъник, Е. И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений / Е. И. Пустыльник. — М.: Наука, 1968.

66. Редько, С. Ф. Идентификация механических систем. Определение динамических характеристик и параметров / С. Ф. Редько, В. Ф. Ушкалов, В. П. Яковлев. — Киев: Наук, думка, 1985. — 216 с.

67. Румишский, Л. 3. Математическая обработка результатов эксперимента / JI. 3. Румишский, — М.: Наука, 1971.

68. Сафронов, В. С. Об адекватности математических моделей механических систем / В. С. Сафронов, Н. А. Барченкова, Н. В. Минаева // Известия вузов. Машиностроение. — 2005. — № 5. — С. 17-23.

69. Себер, Д. Линейный регрессионный анализ / Д. Себер.— М.: Мир, 1980.-456 с.

70. Семёнов, Ю. А. Механика. Теория механических колебаний / Ю. А. Семёнов. — СПб.: Политехи, университет, 2008. —412 с.

71. Сухомлинов, Г. Л. Вычислительная модель для исследования вынужденных колебаний упругих систем при больших значениях сил трения / Г. JI. Сухомлинов // Известия вузов. Машиностроение. — 2002. — №4.-С. 7-14.

72. Сухомлинов, Л. Г. Неявный итерационный алгоритм численного решения задач динамики с нелинейностями типа кулоновского трения / JL Г. Сухомлинов, Г. JI. Сухомлинов // Известия вузов. Машиностроение. 1998. - № 4-6. - С. 5-8.

73. Тафте, Д. И. Адаптивный метод оценивания сигнала, основанный на разложении матрицы данных по особым значениям / Д. И. Тафте, Р. Кумаресан, А. Кирстайнс // ТИИЭР. — 1982. Т. 70, № 6. - С. 189191.

74. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, — М.: Наука, 1979. — 288 с.

75. Тихонов, А. Н. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация / А. Н. Тихонов, А. В. Гопчаровский, В. В. Степанов. — М.: Наука, 1983,—200 с.

76. Успенский, А. Б. Вычислительные аспекты метода наименьших квадратов при анализе и планировании регрессионных коэффициентов / А. Б. Успенский, В. В. Федоров. — М.: МГУ, 1976.

77. Устойчивые статистические методы оценки данных / Под ред. JI. P. Jlo-нера, Г. Н. Уилкинсона. — М.: Машиностроение, 1984.

78. Фаддеев, Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева. — М.: Физматгиз, 1963.

79. Форсайт, Д. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений / Д. Форсайт, К. Моллер. — М.: Мир, 1969.

80. Химмелъблау, Д. Анализ процессов статистическими методами / Д. Химмелъблау. — М.: Мир, 1973. — 958 с.

81. Цабанска-Плашкевич, К. Колебания сложных систем с затуханием при динамическом нагружении / К. Цабанска-Плашкевич // Проблемы прочности. — 2002. — № 2. — С. 82-101.

82. Чайковский, Б. С. Прибор для автоматического счета числа циклов затухающих колебаний в заданном интервале изменения амплитуды / Б. С. Чайковский, Н. JI. Позен, Р. К. Иванов // Проблены прочности. — 1970. — № 9.-С. 112-113.

83. Штейнберг, Ш. Е. Идентификация в системах управления / Ш. Е. Штейнберг. — М.: Энергоатомиздат, 1987.— 80 с.

84. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния / П. Эйкхофф. — М.: Мир, 1975. — 241 с.