автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Линейно-параметрические дискретные модели в форме разностных уравнений в задачах идентификации диссипативных механических систем

09-6 1655

Зотеев Владимир Евгеньевич

На правах рукописи

ЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИССИПАТИВНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Самара - 2009

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»

Научный консультант: - доктор физ.-мат. наук, профессор

Радченко Владимир Павлович

Официальные оппоненты: - доктор физ.-мат. наук, профессор

Жданов Александр Иванович

- доктор технических наук, профессор Кораблин Михаил Александрович

- доктор технических наук, профессор Семушин Иннокентий Васильевич

Ведущая организация: Южный федеральный университет,

г. Ростов-на-Дону

Защита диссертации состоится 28 декабря 2009 года в В часов на заседании диссертационного совета Д 212.217.03 ГОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» по адресу: 443010, г. Самара, ул. Галактионовская, 141, ауд. 28.

Отзывы по данной работе в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус, на имя ученого секретаря диссертационного совета Д 212.217.03.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета по адресу: 443100, г. Самара, ул. Первомайская, 18, корп. №1.

Автореферат разослан _ 2009 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.217.03

Губанов Н.Г.

г 1) (: t: .ми: к

1 (I i: V1 \ л 1 * ; I г. 1 III А Ч

1 . 1 I I > .' 1 iidli А

IMI'I

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Важнейшей проблемой в машиностроении является проблема идентификации нелинейных диссипативных механических систем в процессе их эксплуатации или прочностных промышленных испытаний. Это объясняется тем, что основным диагностическим признаком технического состояния диссииативной механической системы являются ее динамические характеристики (ДХ), в том числе показатель нелинейности системы. Результаты многочисленных исследований на конкретных примерах подтверждают непосредственную связь между техническим состоянием различного рода механических систем (например, усталостным разрушением материалов, возникновением и развитием микротрещин в деталях, появлением недопустимых люфтов в узлах конструкций, значительным износом контактирующих поверхностей, технологическим браком при сборке и т.п.) и ее динамическими характеристиками.

Решить задачу повышения достоверности и оперативности определения ДХ диссипативной системы можно только на основе новых математических моделей, описывающих результаты наблюдений динамического процесса на выходе системы и ориентированных на современный уровень компьютеризации исследований и применение статистических методов обработки экспериментальных данных.

Проблема построения таких моделей неразрывно связана с проблемой адекватности математического описания динамического процесса на выходе колебательной системы. Бе решению посвящены фундаментальные труды выдающихся математиков 18 века J1. Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа, заложивших основы математического описания колебательных систем с конечным числом степеней свободы, а также работы ученых советской школы И.И. Артоболевского, А.Н. Боголюбова, В.В. Болотина, 10.А. Митропольского, Я.Г. Пановко и др. Большой вклад в развитие математического описания распределенных колебательных систем, рассеяние энергии в которых вызвано внутренними процессами в материале, в теорию и практику моделирования вязкоупругого поведения материалов и гис-терезисных явлений при циклическом деформировании, внесли ученые H.H. Да-виденков, Г.С. Писаренко, Е.С. Сорокин, В.Т. Трощенко, Я.Г. Пановко и др. Построению математических моделей, описывающих кинетику твердых реологических тел, деформация которых является необратимой и описывается кривой ползучести, посвящены работы профессоров Ю.П. Самарина, В.П. Радченко.

В настоящее время существуют различные подходы и способы определения динамических характеристик механической колебательной системы. Среди них лидирующее место занимают высокоэффективные методы вибродиагностики, ориентированные на применение современных средств и алгоритмов вычислений и обработки информации, например, методы цифрового спектрального анализа, методы корреляционного анализа. Основу этих методов составляют стохастические параметрические модели временных рядов. Разработке и исследованию этих моделей, а также вопросам эффективного оценивания параметров моделей по результатам наблюдений, посвящены работы зарубежных ученых Т.В. Андерсена, Дж. Е. П. Бокса, Г.М. Дженкинса, Д.Г. Ватгса, М.Дж. Кендалла, С.Л. Марпла-мл.,

P.J1. Кашьяпа, A.P. Pao, C.M. Кей и др., а также работы B.C. Пугачева, А.И. Жданова, O.A. Коцюба и др.

Однако область применения этих методов функционально ограничена и исключает задачи, в которых основным диагностическим признаком технического состояния механической системы является характеристика рассеяния колебательной энергии, в том числе характеристика нелинейности диссипативной силы. Такие задачи возникают, в частности, при разработке гидравлических амортизаторов, исследованиях конструкционного демпфирования, то есть демпфирования, обусловленного потерями на трение в неподвижных соединениях (прессовых, заклепочных, резьбовых, шлицевых и т.п.), или внутреннего трения в материале при его циклическом деформировании.

Широко применяемые на практике методы определения характеристик рассеяния энергии колебаний различных механических конструкций и демпфирующих свойств материалов совершенно не вписываются в формат современных информационных технологий, применяемых в вибродиагностике. Как правило, эти методы громоздки, нередко требуют графических построений, применяемые алгоритмы вычислений построены на линеаризованных детерминированных моделях и используют минимально необходимое число точек эксперимента при полном отсутствии процедур, связанных со статистической обработкой результатов наблюдений. Попытки преодолеть эти существенные недостатки на основе разностных уравнений можно найти в работах В.А. Кармалита, В.К. Семенычева, А.Н. Тырсина и др. Однако для принципиально нелинейных диссипативиых механических систем задача определения их параметров на основе линейно-параметрических дискретных моделей решена до конца не была.

Таким образом, необходимость коренного улучшения качества машиностроительных конструкций требует разработки и применения при диагностике технического состояния большого класса MC новых высокоточных, оперативных методов определения динамических характеристик, в том числе характеристик нелинейности механической системы как диагностического признака ее технического состояния, методов, соответствующих современному уровню компьютеризации и автоматизации исследований динамических процессов в машинах и механизмах. Основой разработки таких методов могут стать стохастические параметрические модели временных рядов, описывающие результаты наблюдений мгновенных значений динамического процесса на выходе системы при типовых тестовых воздействиях.

Объектом исследования диссертации являются нелинейные диссипативные механические системы с одной и несколькими степенями свободы, а также с распределенными параметрами, к которым относятся, например, конструкционные материалы. Рассматриваются системы с диссипативными силами, пропорциональными п- степени скорости движения, в том числе системы с линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением, а также системы с гистерезисным трением.

Предметом исследования являются математические модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений динамического процесса на выходе диссипативной механической системы, а также численный метод определения динамических характеристик

диссипативной механической системы на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностных уравнений.

Целью диссертационной работы является разработка нового научного подхода к решению проблемы идентификации диссипативных механических систем, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты наблюдений динамического процесса на выходе системы.

Для достижения поставленной цели автором были поставлены и решены следующие взаимосвязанные научные задачи:

- разработка теоретических основ и принципов построения линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих динамические процессы в диссипативных системах;

- формирование класса и систематизация линейио-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений колебаний диссипативной механической системы;

- разработка численного метода определения динамических характеристик диссипативных систем на основе среднеквадратического оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения, позволяющего обеспечить высокую помехозащищенность оценок за счет эффективного использования статистических методов обработки экспериментальных данных;

- анализ и оценка погрешности результатов вычисления динамических характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений, в том числе исследование устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения;

- разработка и исследование эффективности структурных методов повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения;

- разработка программного обеспечения, реализующего устойчивые алгоритмы вычислений динамических характеристик и предназначенного для использования в физических экспериментах.

Научная новизна работы заключается в новизне научного подхода к решению проблемы параметрической идентификации диссипативной механической системы в процессе ее эксплуатации или в различных физических экспериментах.

В работе получены следующие новые научные результаты:

- разработан новый научный подход к решению задачи определения динамических характеристик нелинейной диссипативной механической системы;

- разработаны основы теории и техники построения линейно-параметрических моделей, связывающих дискретные значения функциональных зависимостей, описывающих динамические процессы в диссипативных системах;

- построены и систематизированы в зависимости от типа нелинейности системы и вида тестового воздействия линейно-параметрические дискретные модели, отличающиеся от известных своей структурой и тем, что коэффициенты этих моделей известным образом связаны с динамическими характеристиками системы;

- разработан численный метод определения динамических характеристик диссипативной системы на основе линейно-параметрических дискретных моделей, новизна которого заключается в том, что задача вычисления параметров диссипативной системы сводится к среднеквадратичному оцениванию коэффициентов разностного уравнения;

- разработаны структурные методы повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок, в основе которых лежат модифицированные линейно-параметрические дискретные модели, отличающиеся наличием параметра, который позволяет обеспечить высокую устойчивость вычислений;

- построены новые линейно-параметрические дискретные модели, описывающие результаты эксперимента при неупругом реологическом деформировании материалов и элементов конструкций, и на их основе разработаны высокоточные алгоритмы определения параметров кривой ползучести для нового класса задач оценки индивидуальной надежности механических систем;

- построены новые линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты измерений огибающей амплитуд колебаний систем с диссипативными силами, пропорциональными п- степени скорости движения, в том числе систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением, лежащие в основе новых численных методов вычисления дис-сипативных характеристик системы по огибающей амплитуд колебаний;

- разработаны новые специализированные устройства для измерения различных диссипативных характеристик (декремента колебаний, показателя затухания) в системах с линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением, отличающиеся от аналогов более высокой точностью.

Научная новизна полученных результатов подтверждается пятью авторскими свидетельствами на изобретение.

Научная значимость работы. В диссертации разработан принципиально новый научный подход к решению задачи параметрической идентификации диссипативных механических систем, ориентированный на применение современных компьютерных технологий и статистических методов обработки экспериментальных данных и позволяющий решить важную научно-техническую проблему. Основу подхода составляют линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты наблюдений, и новый численный метод определения параметров диссипативной системы на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения.

Предлагаемый метод параметрической идентификации на основе разностных уравнений имеет существенно более широкую область применения, чем класс диссипативных механических систем. Он может быть эффективно использован при решении задач параметрической идентификации электрических и электротехнических систем, биологических, химических, экономических систем и т.п.

Практическая ценность работы. Теоретические результаты, полученные в диссертационной работе, являются методологической базой для разработки новых линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме разностных уравнений результаты измерений динамических и иных процессов на выходе систем различной физической природы. Предлагаемый численный метод определения параметров системы, в основе которого лежит итерационная проце-

дура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, позволяет практически обеспечить максимальную адекватность модели экспериментальным данным при использовании среднеквадратичного критерия близости.

Объект исследования принадлежит множеству различных по сложности, физической природе, служебному назначению и областям применения механических систем, которое в совокупности может быть описано классом нелинейных диссипативных систем. Например, конструкционные материалы, шарнирные и формально неподвижные соединения, различного рода демпфирующие и амортизирующие устройства, газотурбинные двигатели и их отдельные элементы и т.п. Поэтому область применения нового разработанного математического, алгоритмического и программного обеспечения не ограничена каким-либо одним типом механической конструкции, а охватывает экспериментальные исследования всего многообразия объекгов машиностроения: от оценки внугрениего трения конструкционных материалов до диагностики технического состояния ответственных механических устройств и т.п. Разработанный пакет прикладных программ, реализующий в среде визуального и объектно-ориентированного языка программирования под управлением операционной системы Windows помехозащищенные алгоритмы вычислений динамических характеристик, может быть использован при обработке результатов научно-технических экспериментов и промышленных испытаний систем различной физической природы.

Применение разработанных методов определения параметров механической системы на основе разностных уравнений обеспечивает существенное повышение точности вычисления диссипативных характеристик, а, следовательно, и достоверности оценки технического состояния механической системы. При этом по сравнению с известными методами определения параметров диссипативной системы по огибающей амплитуд колебаний или по резонансной кривой точность оценивания повышается в среднем на порядок. Применение итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения позволяет за счет устранения смещения уменьшить погрешность оценок по сравнению с известными алгоритмами вычислений в несколько раз.

Построенные модели позволяют с высокой точностью оценить показатель нелинейности механической системы, который является важнейшим диагностическим признаком ее технического состояния, что существенно расширяет функциональные возможности разработанного метода определения параметров диссипативной системы. Применение линейно-параметрических дискретных моделей обеспечивает высокую оперативность получения оценок диссипативных характеристик (за несколько периодов колебаний), что позволяет использовать разработанные алгоритмы в задачах управления в режиме реального времени (online).

Таким образом, научные результаты, представленные в работе, позволяют коренным образом изменить способы вычисления диссипативных характеристик при оценке технического состояния механической системы за счет внедрения в практику вибродиагностики диссипативных систем современных компьютерных технологий и статистических методов обработки экспериментальных данных. Экономический эффект от внедрения программного обеспечения, реализующего разработанные алгоритмы вычислений, достигается за счет повышения быстро-

действия и достоверности оценивания технического состояния механической системы в процессе ее эксплуатации или промышленных испытаний.

Основные положения» выносимые на защиту:

- теоретические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих динамические процессы в диссипативных и иных физических системах;

- линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений колебаний диссипативных механических систем при различных показателях нелинейности, в том числе систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением, а также систем с гистерезисным трением;

- новые структурные соотношения во временной области между ординатами колебаний, коэффициентами разностного уравнения и динамическими характеристиками нелинейной диссипативной системы;

- численный метод определения динамических характеристик диссипативной системы на основе линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений динамического процесса на выходе системы;

- структурные методы повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения:

- численный метод определения параметров кривой ползучести, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие результаты эксперимента при неупругом реологическом деформировании материалов и элементов конструкций;

- линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты измерений огибающей амплитуд колебаний и численный метод определения диссипативных характеристик на их основе.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовался системный подход к решаемой проблеме, в том числе методы математического и функционального анализа, аналитические и численные методы линейной алгебры, методы прикладного регрессионного анализа, статистические методы обработки результатов эксперимента, а также методы решения некорректных задач и методы, использующие г- преобразования. С целью верификации теоретических результатов широко использовались методы численного и компьютерного моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе научных результатов, выводов и рекомендаций обеспечивается корректным использованием применяемого математического аппарата и вводимых при проведении расчетов и моделировании допущений и гипотез, сравнением данных численного расчета с известными аналитическими методами для подтверждения точности результатов вычислений, численно-аналитическими экспериментами исследования адекватности моделей, численными экспериментами исследования устойчивости вычислений и анализа помехозащищенности моделей. Справедливость выводов относительно адекватности построенных математических моделей, достоверности, работоспособности и эффективности предложенных ¡алгоритмов вы-

числений подтверждена результатами промышленных и научно-технических экспериментов.

Реализация результатов исследований.

Полученные в работе теоретические положения и практические результаты использованы:

- при выполнении научно-исследовательской работы (НИР) «Разработка аналитических методов решения двумерных стохастических краевых задач установившейся ползучести», проводимой в СамГТУ по заданию Федерального агентства по образованию (Рособразование) (НИР №521/08);

- при выполнении аналитической ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», РНП 2.1.1/745;

- при выполнении НИР «Разработка методов и средств оценки состояния деталей машин, остаточного ресурса и технологических процессов формоизменения», проводимой в КПтИ (отчет по НИР номер гос. регистрации 01.9.20.005773, Куйбышев, 1991);

- при выполнении НИР «Программное и приборное обеспечение прогнозирования и технологические методы предотвращения отказов», проводимой в КПтИ (отчет по НИР номер гос. регистрации 01880016028, Куйбышев, 1990);

- при выполнении НИР «Разработка методов и программ оперативного определения динамических характеристик лопаток в прочностных испытаниях», проводимой для Куйбышевского моторного завода НПО «Труд» (х. д. №43/88, Куйбышев, 1990);

- при выполнении НИР «Доработка и передача алгоритмов и программ измерения параметров экспоненциально-синусных импульсных сигналов», проводимой в составе темы «СНОП-К» для предприятия п/я Р-6856 (договор на передачу научно-технических достижений 13П-86, Вильнюс, 1986);

- при выполнении НИР «Разработка методов и средств диагностирования силовых элементов ВПУ. Разработка методов диагностирования ВПУ для эксплуатации по техническому состоянию», проводимой в КПтИ (отчет по НИР номер гос. регистрации 01830060143, Куйбышев, 1985);

- в учебном процессе Самарского государственного технического университета при подготовке студентов специальности 01.05.01 «Прикладная математика и информатика» в лекционных курсах по дисциплинам «Числениые методы» и «Прикладной регрессионный анализ», а также в курсовых и выпускных квалификационных работах.

Реализация результатов научных исследований подтверждается справками и актами внедрения, представленными в приложении к диссертации.

Апробация работы. Основные научные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на Всесоюзных, Российских и Международных конференциях, симпозиумах, конгрессе и съезде, в том числе: Шестой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2009; IV Всероссийской научно-технической конференции «Ресурс и диагностика материалов и конструкций» - Екатеринбург, 2009; Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» - Ульяновск.

2009; Пятой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2008; V Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» - Екатеринбург, 2008; XVI Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» - Пермь, 2007; Восьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2007; XVIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды Международной конференции) - Саратов, 2007; Четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2007; Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ» - Санкт-Петербург, 2007; Научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» - Самара, 2007; Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Йошкар-Ола, 2006; Научно-технической конференции с международным участием «Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении (ПИТ-2006)» - Самара, 2006; Всероссийской научной конференции «Математика. Механика. Информатика» - Челябинск, 2006; Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2006; IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике - Нижний Новгород, 2006; Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Санкт-Петербург, 2005; Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2005; Пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2004; Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2004; Четвертом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2003; Тринадцатой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2003; Десятой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2000; Девятой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1999; Восьмой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1998; Седьмой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1997; Шестой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1996; Конференции ученых России и стран Европы «Надежность механических систем» - Самара, 1995; Пятой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1995; Семинаре «Новые методы и средства виброакустических исследований и диагностики» - Ленинград, 1990; Первой Всесоюзной школе-конференции «Математическое моделирование в машиностроении» -Куйбышев, 1990; Всесоюзной научно-технической конференции «Применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях» -Севастополь, 1990; Всесоюзной научно-технической конференции «Повышение качества и надежности продукции, программного обеспечения ЭВМ и технических средств обучения» - Куйбышев, 1989; Всесоюзной научно-технической конференции «Эксплуатационная надежность машин, роботов и модулей гибких производственных систем» -Свердловск, 1987; X Всесоюзной научно-

технической конференции «Конструкционная прочность двигателей» - Куйбышев, 1985.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 113 научных работах, в том числе в 1 монографии, 36 научных работах, опубликованных в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК России для опубликования результатов докторских диссертаций, в 46 статьях, 25 тезисах докладов и 5 авторских свидетельствах на изобретение.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложений и списка использованных источников, содержащего 206 наименований. Основная часть диссертационной работы содержит 400 страниц машинописного текста, включающего 126 рисунков и 52 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, формулируются цель и основные задачи работы, кратко характеризуются научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приводятся основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе проводится обзор известного математического описания колебаний диссипативных механических систем, рассматриваются их динамические характеристики, анализируются известные методы определения динамических характеристик и на основе систематизации результатов анализа формулируются научно-техническая проблема, цель и задачи диссертации. Указываются пути решения этих задач в рамках последовательной реализации основных этапов схемы математического моделирования и на основе современных компьютерных технологий.

В п. 1.1 кратко описываются известные математические модели колебаний диссипативных механических систем, в основе построения которых лежит общее уравнение динамики Даламбера-Эйлера, представляющее в дифференциальной форме вариационный принцип механики. При математическом описании колебательных систем обычно используется совокупность уравнений Лагранжа, выражающих интегральный принцип аналитической механики (принцип Гамильтона). С учетом диссипативных сил уравнения Лагранжа можно представить в виде

Э7 Ы

! /

дF д (Т-и) . дЦ; дqJ

кинетическая и потенциальная энергии системы; Г = — ¿2] диссипатив-

2 »=1

пая функция Релея; обобщенные силы (коэффици-

енты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы); и я]^)- обобщенные координаты и скорости системы; л - число степеней свободы.

В основе построения математических моделей, описывающих колебания нелинейных диссипативных систем с конечным числом степеней свободы леж> матричное дифференциальное уравнение относительно обобщенных координат

где М !У! и С(Х1 - матрицы коэффициентов инерции и упругости;

у')={ гДу, у')}, ] =1,2,...,.у, - вектор-функция диссипативных сил; у и Р

- вектора размерностью 5 обобщенных координат и внешних возмущающих сил, соответственно; - число степеней свободы системы. При математическом описании распределенных диссипативных колебательных систем используются аналогичные матричные дифференциальные уравнения в частных производных, содержащие диссипативный оператор, вид которого существенно зависит от модели силы трения, действующей в системе.

При малой диссипации энергии колебаний механическая система является квазилинейной и при выполнении соответствующих условий можно принять гипотезу Базеля, т.е. пренебречь диссипативными связями между собственными формами и считать диссипативную матрицу диагональной. Это означает, что при указанных ограничениях математическая модель диссипативной механической системы может быть представлена системой скалярных, нелинейных в общем случае, дифференциальных уравнений вида ш>'(г) + г[у(г),у(г)]+с>'(/) = Р(г), где тис- масса и коэффициент жесткости; су(/) - линейная сила упругости (восстанавливающая сила); у'(г)]- внутренняя, в общем случае нелинейная,

диссипативная сила (сила трения), обуславливающая рассеяние энергии колебаний на данной собственной частоте; Р(с) - внешнее возбуждающее воздействие.

В зависимости от природы диссипативных сил (внутреннее трение в материале, конструкционное трение в опорах, шарнирах, сочленениях, силы сопротивления жидкой и газообразной среды, силы, возникающие с нагружением поглотителей энергии и т.п.) различают частотно-зависимое и гистеразисное трение. При частотно-зависимом трении (например, в различных демпфирующих устройствах), как правило, полагают, что диссипативные силы пропорциональны

л-ной степени скорости движения: /-[у(г),у'(г)] = /?/(г)|у'(/)|" а дифференциальное уравнение, описывающее движение таких систем, имеет вид:

«/(о+иоИоГ+о-м^')- с»

При п = 0, 1 и 2 имеем уравнения, описывающие важнейшие для практики частные случаи движения систем с кулоновым (сухим), линейно-вязким и турбулентным (гидродинамическим) трением. При описании закона изменения силы гистерезисного трения г[у) в режиме свободных или вынужденных гармонических колебаний системы обычно отдают предпочтение эллиптической форме петли гистерезиса: r(y) = signy'(t)■—a"Jl--^■. Решения соответствующих диффе-

ж V а*

ренциальных уравнений обычно строят методом энергетического баланса или на основе асимптотических разложений по малому параметру. В частности, известное приближенное решение уравнения (1) при Р{г) = 0, описывающее свободные колебания нелинейной диссипативной механической системы с силой трения,

пропорциональной «-ной степени скорости движения, имеет вид:

у(г) = —7=- "" ^СОз(й» + (У0). (2)

В этом же разделе первой главы описываются основные динамические характеристики диссипативной системы, которые могут служить диагностическим признаком ее технического состояния, а также известные методы определения параметров диссипативных систем по результатам наблюдений, полученным в процессе эксплуатации системы или прочностных промышленных испытаний.

В п. 1.2 проводится анализ эффективности применения в задачах параметрической идентификации нелинейных диссипативных систем методов на основе стохастических разностных уравнений. По результатам проведенных исследований делаются выводы и отмечается основной принципиальный недостаток этих методов, который заключается в использовании линеаризованных моделей механической системы. Это является источником значительной систематической погрешности в оценках динамических характеристик, связанной с неадекватностью модели, что для систем с сильной нелинейностью вообще не допустимо. Более того, существенно ограничивается область применения этих методов, т.к. они не позволяют оценить степень нелинейности действующих в системе сил трения, то есть практически бесполезны при оценке одного из основных диагностических признаков технического состояния диссипативной системы.

В п. 1.3 рассматриваются перспективы решения задачи повышения помехоустойчивости и расширения функциональных возможностей методов оценки параметров диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей. Пути решения поставленной задачи конкретизированы с помощью схемы методологической обеспеченности экспериментальных исследований, в основу которой положена систематизация математических моделей по форме их представления, режимам функционирования и природе сил трения. Завершая анализ возможных путей решения поставленной задачи, выделяются основные этапы в разработке новых методов определения параметров нелинейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей (см. рис. 1).

Вторая глава посвящена построению линейно-параметрических дискретных моделей (ЛГ1ДМ), связывающих в виде рекуррентной формулы последовательность нескольких дискретных значений функциональной зависимости, описывающей колебаний диссипативной механической системы при различных законах силы трения и типовых тестовых воздействиях. С этой целью в данной главе разрабатывается математическое описание динамических процессов в нелинейных диссипативных системах при типовых тестовых воздействиях из класса монотонных функций; строятся математические модели огибающей амплитуд колебаний нелинейных диссипативных систем; рассматриваются математические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей; формируется класс линейно-параметрических дискретных моделей, систематизи рованных в зависимости от типа диссипативной силы, режима функционирования системы (типового тестового воздействия) и функций, аппроксимирующих тренд.

Физическая модель объекта

Математическое моделирование

нелинейной днеоипативной механической системы

Разработка теоретических основ и формирование класса линейно-параметрических дискретных математических моделей

Численный метод определения параметров нелинейной днссипативной систем ы

Исследование математической модели

Проверка адекватности математической модели

Комплексы программ

Проверка адекватности физической модели

Разработка и применение комплекса программ н физических экспериментах

Рисунок 1 - Схема решении задачи параметрической идентификации диссипа-гиннмх механических систем на основе разностных уравнений в формате триады: мат ематическое моделирование-численные методы-комплексы программ

В п. 2.1 описываются различные типовые тестовые воздействия, используемые в практике эксперимента; строится модель гистерезисной силы трения при колебаниях с аддитивной монотонной составляющей. На основе метода энергетического баланса построены решения квазилинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамический процесс в системах с диссипативной силой, пропорциональной «-ной степени скорости движения, и систем с гистерезисным трением при воздействиях Р(г) из класса монотонных функций. Так для систем с частотно-зависимым трением решение имеет вид

У (,) = а" ,сс)з(м + рв) + ^Р'(г )Г,

, о„ с с 11

где декремент колебаний, соответствующий нулевому моменту времени, описывается формулой да=^-](пм)а1~\ 3{п,а)= \\~ж(р+о(*\1<р-2п\с1Г[, а=——.

с й ссцо

Построены функции, описывающие при типовых тестовых воздействиях динамические процессы в системах с кулоновым, линейно вязким и турбулентным трением, как частных случаев диссипативных систем с частотно-зависимым трением.

Установлено, что при частотно-независимом трении гистерезисные явления

Р'

проявляются при выполнении соотношения ——- <1 между динамическими

са0й>

параметрами системы и входного воздействия, а динамический процесс описывается функцией г(0 = —I ...... ««(йУ + + , где

]г{п,а) = к{\-а-Уг (VI-а2 + агс5т«|, а-—--.

^ ' V ' са0ш

Полученные зависимости для решений, декремента колебаний и функций ](п,а) и Зт{п,а) обобщают известные формулы для режима свободных колебаний. Приближенные решения уравнений являются равномерно пригодными асимптотическими разложениями первого порядка. Проведенные численно-аналитические исследования показали, что погрешность полученных решений, даже при относительно высокой степени диссипации, составляет доли процента в широком диапазоне изменения параметров системы и входного воздействия.

В п. 2.2 построены и исследованы математические модели огибающей амплитуд колебаний нелинейных диссипативных систем. В связи с этим для систем с диссипативными силами, пропорциональными п- степени скорости движения, и систем с гистерезисным трением решена задача аппроксимации огибающей амплитуд колебаний дробно-рациональной и экспоненциальной функциями. Исслг дованы погрешности для различных аппроксимирующих функций, получены отношения, определяющие временной интервал г , в течение которого ка

модель с заданной погрешностью ДЮ() описывает огибающую амплитуд. В частности, при использовании в качестве огибающей амплитуд колебаний функции

вида а. (г) ---- в соответствующей области определения име-

1+Vк?

Г I 2,

8Д к

ет место соотношение I „ < 1-.-—-г-. Построены области адекватно"" '||(2-и)(3-2н)| О)80

го (для погрешностей 1%, 3%, 5%) приближения функции огибающей амплитуд колебаний различными моделями в форме дробно - рациональных или экспоненциальных функций.

В п. 2.3 рассматриваются математические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей динамических процессов. Выделяются два различных подхода к решению задачи формирования линейно-параметрической дискретной модели, описывающей последовательность дискретных значений некоторой нелинейной зависимости. В основе первого подхода лежат обобщенные многочлены Ф(г) по системе линейно независимых функций

л __

обладающие свойством + = (/), где {«¡(т)}, г' = 1,и, - не-

которая система линейно независимых функций. Сформулирована и доказана теорема о необходимом условии, вытекающем из существования таких функций. На основе обобщенных многочленов формируется класс 'К непрерывных в

Ф(Л

области определения функций вида —тт- гДе Ф(') и (?)- обобщенные

Ч'(г)

многочлены, обладающие указанным свойством. Рассматриваются примеры таких функций; формулируется и доказывается теорема о свойствах функций этого класса.

Описанные функции из класса Н позволяют свести задачу построения линейно-параметрических дискретных моделей к относительно простой задаче линейной алгебры: решению систем линейных алгебраических уравнений. Рассматриваются различные формулировки и способы решения такой задачи в матричной форме.

В основе второго подхода к построению линейно-параметрических дискретных моделей колебаний диссипативных механических систем лежит г- преобразование и теорема, доказательство которой представлено в работе.

Теорема 1 (достаточное условие линейности дискретной модели). Пусть функция у (г): £>()>) = {/е Й > 0] представима в виде у(г) =а(г)-соз(йИ + у/), где а^)> О, 0>О, у/&Я.

Тогда для формирования линейно-параметрической дискретной модели вида

к

ЕКЪ Ск, Ук. Л-,.■■ • ■. Ук-ы) = /я+, (к, у,, Л.,,■..ук_„),

где fr{k

'Ук'Ук-]'--"Ук-и)< г —1,/? + 1 - действительные рсщиональные функции своих аргументов, достаточно, чтобы мультипликативная компонента а (г)

Р (t)e'm Р (г)

описывалась функцией вида a(t)=-"' —, где "' ■ - дробно-рациональная

Qn (•) Qn v)

функция (т <п), не имеющая нулей на промежутке t е (0, + и полюсов на промежутке t е [О, + <»).

Разработан алгоритм построения линейно-параметрических дискретных моделей, включающий в себя переход от нелинейных по параметрам функций к их дискретным аналогам, применение г- преобразования, ряд эквивалентных преобразований в пространстве изображений и последующий возврат в пространство оригиналов. Рассмотрены и систематизированы различные подходы к построению ЛПДМ в зависимости от априорной информации о функции F(t), описывающей монотонную составляющую, ее параметрах, частоте колебаний, от условий проведения физического эксперимента. В частности, при наиболее общем подходе, использующем полиномиальную аппроксимацию монотонной составляющей и позволяющем находить ее параметры, линейно-параметрические дискретные модели имеют вид

Hi р -. т , Jit+ii

U-, - ЕЛ +(* -2)J Ук-2 (* - 1)J >'»-. = + Л-2 ■

м L J н j-о

Ее коэффициенты описываются формулами = Zcostvr. ^=bjy Д„+/= '

/н+/

ЫО

7 = 1, т , dj=-gj+ £ (-1)'+2j+1C;+j(2'j-0, n + m, а переменные

являются коэффициентами многочлена С„+1В (к) = = ^Ь^' /¡к'.

Другой подход, при котором не требуется идентификации тренда в уравнении колебаний, позволяет построить модели вида

/ т f 1+2 . N

ЛК-О'с?уН(+0■£(-i)'(с; +cr)(k-i)' Уы К

1=0 V¡=0 )

III { I \ i+2

V1=0 У ¡=0

¡' < 0 и г > /; /!„ = 2соб¿»г, Я] = Ь1, Дт+. = , ./ = 1,»1 .

Рассмотрен также подход, в основе которого лежит использование изображения дискретной функции тренда И {{т/с)} в виде рациональной дроби, приводящий к разностным уравнениям вида

4.Л-. -I+ (к- 2У л-2 ] - 2 к* + >'И,+2) ] -

м

I т

1 Г 1 '

где

--(< + 1 УГУмж, к>1 + 2,

¡=0 .1=1

Лп = 2сокй;г; Лj=bj, 7=1, т; г = М;

= ' ' = ^ = 1'т'

Всего рассмотрено около десяти различных подходов к решению задачи построения линейно-параметрических дискретных моделей, представлены соответствующие им разностные уравнения, приведены формулы, связывающие коэффициенты Л ПДМ с параметрами нелинейных функциональных зависимостей.

В п. 2.4 на основе разработанных подходов к построению разностных уравнений формируется и описывается класс линейно-параметрических дискретных моделей (более тридцати моделей) колебаний механических систем с диссипатив-ными силами, пропорциональными п- степени скорости движения, в том числе, систем с линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением, а также систем с гистерезисным трением. Построенные модели систематизированы в зависимости от типа силы трения, входного типового тестового воздействия, вида аппроксимации монотонной составляющей, априорной информации о частоте колебаний системы. Получены соотношения, связывающие коэффициенты построенных линейно-параметрических дискретных моделей с динамическими характеристиками системы, в том числе с показателем нелинейности, а также с начальными амплитудой и фазой колебаний.

В частности, временная последовательность мгновенных значений свободных колебаний систем с линейно-вязким, турбулентным, кулоновым трением и систем с диссипативными силами общего вида соответственно описывается следующими разностными уравнениями:

Ук =^Ук-1 2> к>2, где Л, = 2ехр|--^^созюг, А, =

Ук + Ук-г = 4> Ум - 4I>* + (* - 2) Ук-г 1) Ум. к > 2,

5 т

где Л,, =2собюг , Л^ЛД;

Л + У« = 4.Я-. + А [(2* - 3) у, + {2к -1) ] - л, [{к -\){к - 2) у, +к{к-1) ] -8 т

где Яв=2созт, Л, , Я2=Л,2, ^ = , /¡.„^ЛД2;

Ун + У к-2 = 4>Ум - Л + (* ~ 2) Л-2 ] - Л [*1У» + (к - 2)г ук_г ] +

где Л,, =2 со пап, \ Л3=Л,,Л1, Я4 = Л,Л-

Построенные линейно-параметрические дискретные модели позволяют определять степень нелинейности диссипативной системы и, тем самым, решать задачу классификации широкого класса нелинейных систем при нестационарных режимах колебаний.

Третья глава посвящена разработке и исследованию численных методов определения параметров диссипативной системы на основе стохастических разностных уравнений. В этой главе описывается алгоритм нового численного метода определения динамических характеристик диссипативной механической системы; формируются и систематизируются в зависимости от типа диссипативной силы и вида типового тестового воздействия стохастические разностные уравнения, описывающие результаты измерений мгновенных значений колебаний системы; проводится анализ эффективности различных статистических методов оценивания коэффициентов разностного уравнения; рассматривается итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения; исследуется сходимость итерационной процедуры и статистические свойства среднеквадратичных оценок, полученных при ее использовании.

В п. 3.1 рассматривается алгоритм численного метода определения динамических характеристик диссипативных механических систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей. Основным содержанием метода является сведение нелинейной задачи вычисления динамических характеристик к задаче прикладного линейного регрессионного анализа, эффективное решение которой обеспечивается применением известных статистических методов идентификации

динамических систем.

Рисунок 2 - Схема численного метода определения динамических характеристик диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей

Схема алгоритма численного метода представлена на рисунке 2. Проведен анализ основных этапов численного метода. Для каждого этапа определен круг вопросов, связанных с обеспечением заданной точности оценок динамических характеристик.

Одним из важнейших этапов численного метода является формирование обобщенной регрессионной модели, в основе которой лежат стохастические разностные уравнения, описывающие результаты эксперимента. Эти уравнения строятся на базе линейно-параметрических дискретных моделей с уче-

том в результатах, наблюдений ук=у„+£к аддитивной случайной помехи ек, природа которой интегрирована и может иметь различную интерпретацию от погрешности средств измерений и каналов обработки информации до неадекватности математического описания, используемого при моделировании динамических процессов в диссипативной механической системе.

В большинстве случаев линейно-параметрическую дискретную модель колебаний диссипативной системы можно описать разностным уравнением вида

(Л) л-,. + ^^^ (Л) + - --"Ь ^ (*=) = ^ (*) , Л: ^ / -1. (3)

р=п /м I Р=О

где ук, к- 0,1,2,..., - теоретические (точные) значения динамического процесса в системе; I- число последовательных отсчетов Ук*Ук-г--;Ук-.м, используемых в разностном уравнении (обычно 1 = 3). Коэффициенты ср1(к) и срЬ(к) в общем

случае могут явно зависеть (не обязательно линейно) от номера отсчета к>1- 1.

С учетом аддитивной случайной помехи ек в результатах наблюдений у, = ук детерминированная модель (3) принимает вид линейной обобщенной регрессионной модели, которая описывается совокупностью стохастических разностных уравнений

>'о = Л~И + . У] - Л-+2 +е,> У2 =А+3 +е2 ••■' .>'(-3 = А+ы + £1-г -

'К =Л18и+Л18к2+- + Лг8кг+$к, 8„ = X с,, (*)-V*+/-:-„> *=1,2....,Л/-/ + 1,

р=0

1^1-1 I

,,=0 /= I

Я»=с,_„{к)~ Л = 1,2, - / +1, (4)

9=1

где N - объем выборки результатов наблюдений.

В матричной форме обобщенная регрессионная модель, сформированная на основе стохастических разностных уравнений, описывающих результаты измерений мгновенных значений динамического процесса в системе, принимает вид

Ь=РХ + Г), (5)

П = (6)

Здесь ^ --

"0 Е

в 0

- матрица размера Л'хл, имеющая блочную структуру;

^-единичная матрица размера (/-1)х(/-1); С-матрица размера (УУ-/ + 1)хг, элементы которой формируются на основе соответствующей ЛГ1ДМ; /1 = (Д,Я2,...,Л.Г,/1Г+1,...,Л5.+,_1)Г- л-мерный вектор неизвестных коэффициентов;

^ = I ¿т)7 - N - мерный вектор свободных членов обобщенной рег-

рессионной модели, первые 1-1 элементы которого совпадают с первыми /-1 членами выборки результатов наблюдений, а следующие (Л/ - / +1), образующие

вектор с!, вычисляются на основе соответствующей ЛПДМ. Вектор т) ~ (?с,гг...,¿у., | - N - мерный вектор случайного эквивалентного возмущения в модели (5). Первые /-1 элементов этого вектора совпадают с первыми /-1 элементами вектора е = (е0,е1,...,еГ1)1. Остальные элементы вектора //, составляющие вектор £ размера (/V - / +1), могут быть найдены с учетом формул ГЕ | о"

(4). Матрица РА = линейного преобразования вектора е случайной поме-

хи в результатах наблюдений имеет размер /Ух N и блочную структуру: Е- единичная матрица размера (/-1)х(/-1); ленточная матрица размера (/V-I + 1)хN , элементы которой описываются формулами (4).

В п. 3.2 рассматривается построение стохастического разностного уравнения общего вида, описывающего результаты измерений мгновенных значений динамического процесса в нелинейной диссипативной системе при типовых тестовых воздействиях, в том числе ее свободных колебаний. Представлены формулы, описывающие элементы матрицы ^ и вектора Ь для соответствующей обобщенной регрессионной модели (5), а также элементы матрицы Рл линейного преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений.

Рассматривается построение стохастических разностных уравнений, описывающих результаты измерений мгновенных значений реакции диссипативных систем с линейно-вязким, кулоновым, турбулентным трением, а также системы с нелинейной силой трения общего вида, при основных видах типового тестового воздействия: импульсном, ступенчатом, линейном. На основе этих уравнений формируются и описываются элементы матриц Р и Р;, вектора Ъ для соответствующих обобщенных регрессионных моделей. Полученные результаты (более пятнадцати разностных уравнений различного порядка и сложности) систематизированы и представлены в зависимости от типа силы трения и вида тестового воздействия в форме таблицы. В частности, при описании результатов измерений свободных колебаний систем с турбулентным трением следует использовать разностные уравнения вида у0 =А>+ ей, у, = Д, + е1, + ук_г = \ук_г[(Л -1) укА +

+ к=зЛ, ?7,=£0> +

-/?„[1 + ^(Л-2)]г4_2+[1 + ^,(^-1)]^..,, к=Ъ,И. Соответствующие формулы, описывающие элементы матрицы ^ и вектора Ь обобщенной регрессионной модели имеют вид: /„=]' . , ] = 15, Ьк=ук_г к = 1,2; /к1 =ук.г, [О, ]Фк + Ъ,

/и ="[(*- О У^ + (к 3) У" 1' Лз = (* " 2) У>-2 - /« = /и = 0 > К = Уы + Л-э -

к = 3, N, а элементы матрицы РК линейного преобразования вектора е случайной помехи в результатах наблюдений описываются формулой

Рч

1- к = ]. 7 = 1. N. к = 1,2;

0, к *./', ./ = и\?, к = 1,2;

0, 1 <]<к-3, к

1 + Л,(*-3), ] = к- 2, к = 3^

-4, [1 + 4 (А-2) ], .1 - к !. к=зГК'

1+А {к-1). ] = к. к = зГ5у

0. к + 1 <у< /V, к=зГм.

В п. 3.3 рассматриваются проблемы, связанные со среднеквадратичным оцениванием коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели, описывающей в форме стохастических разностных уравнений результаты эксперимента.

Исследуются свойства матрицы Г обобщенной регрессионной модели (5), элементы которой функционально зависят от результатов наблюдений, а, следовательно, и от случайной помехи. Описываются зависимости регрессоров -вектор-столбцов матрицы Г- и вектора Ь в обобщенной регрессионной модели Ь= РА ¡) от случайной помехи ек в результатах наблюдений; строятся матрицы

дисперсий-ковариаций = С ¡С] ст] и V[¿] = С,,С('<т;, где С] и С„ - некоторые

детерминированные матрицы линейного преобразования вектора случайной помехи, размера ЫхЫ , включающие блоки единичной и нулевой матриц; сг- дисперсия случайной помехи в результатах наблюдений.

Построены и описаны матрицы С, и С-ь для систем с линейно-вязким, турбулентным трением, а также для систем с диссипативными силами общего вида. В частности, для систем с линейно-вязким трением эти матрицы имеют вид;

, Сь = Е2, где £, и Е2-единичные матрицы

(N-2) и N порядка; ©,, 02 и О,-нулевые матрицы размера 2хЫ, (N-2)х1 и (/V - 2) х 2 соответственно.

Построенные матрицы CJ лежат в основе теоретических и эксперимен тальных исследований статистических свойств оценок коэффициентов разностных уравнений, в первую очередь смещения оценок, которое является основным источником погрешности результатов вычислений. При применении классического метода наименьших квадратов (МНК) (который является основным инструментом регрессионного анализа) к вычислению коэффициентов регрессионной модели

(5); |т7||" = — =;>п™' среднеквадратичные оценки коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели вычисляются по формуле Л = (р'р) ' Р'Ь.

Г 1 0, 1

0, I Е, I 02 , Ц -- | 03_

Получены соотношения, позволяющие с высокой степенью достоверности оценить смещение вектора среднеквадратичных оценок коэффициентов ЛПДМ:

где £ = (Щ,(гд2,...,1гОг,0,0,...,0)т- п- мерный вектор, у которого последние и -г элементов равны нулю; ()] = С]РХ. Представлены формулы, описывающие элементы вектора g для систем с линейно-вязким и турбулентным трением. В частности, для систем с линейно-вязким трением вектор £ имеет вид: g--{Ы-2)(Л],Л2,0,0^. Представлены результаты численно-аналитических исследований адекватности полученных соотношений, описывающих смещение МНК- оценок, которые подтверждают высокую достоверность полученных аналитических формул. На рисунке 3 точки 1 и 3 соответствуют экспериментально полученным результатам вычисления смещения М.НК- оценок коэффициентов \ и Л, для систем с линейно-вязким трением. Точки 2 и 4 на рисунке 3 соответствуют смещению МНК- оценок коэффициентов Д и А,, вычисленному на основе построенных формул.

Результаты проведенных численно-аналитических исследований свойств оценок коэффициентов разностных уравнений, полученных на основе классической процедуры метода наименьших квадратов, т.е. на основе минимизации

дл,'

|,б 1,2 0.8

0,4-

1

ч 1

в

1 * 1 *

Я 1 ,1 4

функционала

\\Ь - => гпт, по-

0 2 4 б 8 г,% Рисуиок 3 - Зависимость смещения оценок коэффициентов разностного уравнения для систем с линейно-вязким трением от величины случайной помехи

казали, что вследствие корреляции между элементами регрессоров /. и вектора эквивалентного случайного возмущения г], смещение МНК- оценок практически для всех построенных линейно-

параметрических дискретных моделей недопустимо большое.

Проведен сравнительный анализ эффективности известных методов оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели, использующих различные стохастические модели эквивалентного случайного возмущения 7]. Результаты численно-аналитических исследований показали, что наиболее эффективным является метод среднеквадратичного оценивания, использующий АР модель эквивалентного случайного возмущения, построенную на основе стохастического уравнения (6).

Предложен новый подход к вычислению коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели, в основе которого лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания, обеспечивающая минимизацию ¡2

= || РЯ-1Ь-Р^РЛ\\

функционала £ может быть описан последовательностью

ппп. Алгоритм итерационной процедуры

формул:

^ ^^¡¡..^^О^й, к = 1,2,3,— Сформулированы идо-казаны две теоремы о достаточных условиях сходимости итерационной процедуры к решению векторного уравнения Х = <?(Д), где q(лJ = (Fтí2ч(Л)F) ЕТ&2~'(Х)Ь.

Теорема 2 (достаточное условие). Пусть функции д1. и —4—,

__Ц

/, ] — 1, я, определены и непрерывны в известной замкнутой области С действительного п -мерного пространства Е", причем в области С выполняется неравен-

а = шах

лей

шах У У

-Гп

дсо,.

дЛ,

(FTa-\X)F)~'FTIHI

(7)

где Щк- элементы матрицы размера NxN ; е = b - FA- вектор остат-

ков. Тогда, если последовательные приближения

Xll)=q(X{t~l)), Л = 1,2,3,..., (8)

не выходят из области G, то: 1) независимо от выбора начального приближения процесс итерации (8) сходится, то есть существует предел lim X[t) = Л ;

2) предельный вектор Я является единственным решением уравнения Д = i/(Aj в области G; 3) имеет место оценка

||l_if')||<_JL-jUw_F-')|. (9)

II II 1-й; II II

Следствия из теоремы 2 позволяют, во-первых, при заданной погрешности

ДЛ указать апостериорную оценку погрешности к- того приближения:

' и, во-вторых, сформулировать ограничения на вели-

Ц^-дмЦ

ff

чину случайной помехи, позволяющие обеспечить достаточное условие сходимости итерационной процедуры: уь_

1

я /V

шах У У

J=l 4=1

дЩь dl

где

'fl-'(V)'

F ПНР,\

идемпотентная матрица Н имеет вид: Н = Е - РгОГ[(Х).

Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2 и множества

5 (Лг) = : — л|| < г| (замкнутый шар радиуса г с центром в точке Л) -

замкнутая ограниченная область, целиком лежащая в б, причем

\\^(Л)-Л\\<(1-а)г,

где Л- вектор истинных значений коэффициентов разностного уравнения; а<1~ коэффициент сжатия, который определяется соотношением (7). Пусть , где - первоначальная оценка, найденная методом наименьших квадратов по формуле Л^ - (Е1 /-") РТЬ. Тогда итерационный процесс (8) сходится.

предельный вектор Я является единственным решением уравнения в об-

ласти С и имеет место оценка {9).

Следствия из теоремы 3, во-первых, позволяют получить априорную оценку

погрешности А--того приближения: ||я - Л(4)| < 2акг < кЛ, и указать число итера-

_ „ 1пД, -1п2г

ции, необходимое для достижения заданной точности Л, : к>---; во-

1п а

вторых, описать ограничения на величину случайной помехи е, обеспечивающую

и н (1- ос) г сходимость итерационной процедуры: £ <------

(рТа\Л)ру Рт(Р->)7

Рассмотрены свойства оценок А, коэффициентов разностного уравнения, вычисленных на основе итерационной процедуры; описана матрица дисперсий-

ковариации

. Разработан алгоритм формиро-

нием: § =

-;0;0;0

вания элементов обратной матрицы для матриц Р, наиболее общего вида, описывающих линейное преобразование вектора случайной помехи в системах с куло-новым, линейно-вязким и турбулентным трением, а также в системах с диссипа-тивными силами общего вида. Решение этой задачи позволило получить аналитическое описание матрицы О"1 (Д) для различных типов ЛПДМ.

Получены соотношения, описывающие смещение оценок коэффициентов, вычисленных на основе итерационной процедуры: А А = ¡> ст;. В ча-

стности, для систем с линейно-вязким трением, с точностью до принятых допущений при построении формул, вектор нулевой, т. е. смещение в оценках отсутствует. Для систем с турбулентным тре-

ыг \ + кЯ['

Для проверки адекватности и достоверности полученных соотношений и эффективности итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения проведены численно-аналитические исследования на основе компьютерного моделирования. Результаты численно-аналитических исследований смеще-

Рисунок 4 - Зависимости смещения ния оценок коэффициентов подтверждают оценок коэффициентов разностного ь „„„

уравнения ¿(точки 1) и л, (точки 2) ВЫС0КУЮ сходимость и эффективность ите-

(в относительных, единицах) от числа рационной процедуры среднеквадратичного итераций для систем с турбулентным оценивания (см. рис. 4). Применение итера-греиисм ционной процедуры позволяет существенно.

^^ 1

на несколько порядков, уменьшить смещение оценок, а в ряде случаев практически устранить это смещение. Устранение смещения в оценках коэффициентов стохастического разностного уравнения за счет применения итерационной процедуры позволяет существенно повысить достоверность результатов вычисления динамических характеристик нелинейных диссипативных систем. На рисунке 5 представлены зависимости смещения оценок декремента колебаний. Точки 1 соответствуют результатам, полученным без использования, а точки 2-е использованием итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания.

Проведен сравнительный анализ погрешности вычисления декремента колебаний в системах с линейно-вязким трением известным методом затухающих колебаний и численным методом, в основе которого лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов разностного уравнения. На рисунке 6 представлены зависимости погрешности вычисления декремента колебаний от величины случайной помехи в результатах измерений при времени обработки экспериментальной виброграммы равном 207', где Т- период колебаний. Точки 1 соответствуют погрешности вычисления известным методом затухающих колебаний, а точки 2,3, 4 и 5 - погрешности вычисления декремента колебаний на основе стохастического разностного уравнения при объемах выборки N = 100 , 200, 400 и 800, соответственно. Результаты анализа показали, что точность оценивания декремента колебаний численным методом на порядок выше, чем известным методом затухающих колебаний.

Проведен сравнительный анализ эффективности устранения смещения МНК-оценок одним из новых методов, описанным в современной научной литературе, и методом на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Результаты исследований показали, что применение итерационной процедуры позволяет на порядок повысить точность вычислений оценок динамической системы по сравнению с известным методом.

В четвертой главе рассматриваются вопросы, связанные с оценкой погрешности результатов вычисления динамических характеристик диссииативной системы, проводится анализ вычислительной устойчивости алгоритмов средне-

г-**" — — -

/ ✓

1 К и в-— -* 1С.........-

л .........■■"/•■ ✓

0 12 3 4 е,%

Рисунок 5 - Зависимости смещения оценки декремента колебаний системы с турбулентным трением от величины случайной помехи

1 У* / / у*

-У-у / X)

-х &

/ Га-"! -V* Х-.--»"

0 2 4 6 8 г.% Рисунок б - Зависимости погрешности вычисления декремента колебаний от величины случайной помехи в результатах измерений при различных объемах выборки

квадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, разрабатываются и исследуются структурные методы повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок. В последнем параграфе главы рассматриваются линейно-параметрические дискретные модели, использующие результаты измерений различных фазовых переменных.

В н. 4.1 проводится анализ и численно-аналитические исследования процесса формирования результирующей погрешности на всех этапах математического моделирования и численного метода определения параметров диссипативной системы на основе разностных уравнений. Результаты анализа составляющих погрешности вычисления динамических характеристик и способов их уменьшения систематизированы и представлены в форме таблицы.

Разработана методика оценки погрешности вычисления динамических характеристик на основе разностных уравнений при обработке результатов наблюдений. Получены формулы статистической оценки дисперсий и ковариаций результатов вычислений коэффициентов разностного уравнения, динамических характеристик, а также начальных амплитуды и фазы колебаний.

Проведены численно-аналитические исследования, результаты которых подтверждают достоверность и корректность рассмотренной методики вычисления погрешности оценок динамических характеристик диссипативной системы на основе стохастических разностных уравнений. На рисунке 7 представлены зависимости экспериментально найденных относительных погрешностей (точки 3) и оценок предельной относительной погрешности вычисления декремента колебаний от величины случайной помехи в результатах наблюдений. Кривая 1 описывает зависимость максимальных значений

Дт«0Ц =тж{(Д<у)у.}, а кривая 2 - минимальных значений ДтЬ (60). = 1Ща{(Лд )„]

предельных относительных погрешностей. Видно, что практически все точки, соответствующие относительным погрешностям вычисления декремента колебаний, укладываются в границы, описываемые минимальными значениями предельной относительной погрешности. По результатам исследований можно сделать важный вывод о том, что при практических расчетах вполне достаточно одной реализации динамического процесса в диссипативной системе (одной выборки результатов наблюдений), чтобы достоверно оценить предельные абсолютную и относительную погрешности вычисления любого параметра системы.

В п. 4.2 рассматриваются вопросы, связанные с аначизом устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения. Дано определение устойчивости линейно-параметрической дискретной модели;

Рисунок 7- Зависимости оценок предельной относительной погрешности (кривые 1 и 2) и экспериментально найденных относительных погрешностей (точки 3) вычисления декремента колебаний от величины случайной помехи для систем с дис-сипативными силами общего вида

сформулирована и доказана теорема о достаточном условии устойчивости линейно-параметрической дискретной модели второго порядка. Теорема 4 (достаточное условие устойчивости).

Пусть функция )>(?): £>(у)={ге Л:г>0} описывается выражением вида

>•(*) = а0<; 6'г соз + где а0,8,Те (0,»), у/0е Я.

Тогда УДе [0, Д0] для устойчивости линейно-параметрической дискретной

Т

модели Ду^ + А,ук_2 = ук,где ук=у(тк) + А1, |Д4|<Д, к= 2,3,4,..., 0сг< —,

достаточно выполнения одного из двух условий:

Т 3 1 или — 2,1--

где 8у-

ак-2 = й0 ехр

агсвт

2 е'^у

\

для

1---е*8у для значений Д0

. За.

16

2)

Численно-аналитические исследования на основе компьютерного моделирования подтвердили достоверность полученных теоретических результатов.

Проведен комплекс численно-аналитических исследований вычислительной устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностных уравнений для основных типов нелинейной диссипативной системы: систем с линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением. Результаты исследований представлены в виде графиков зависимости меры обусловленности матрицы нормальной системы уравнений сопй Р1 Р = -ЦяЦ, а также смещения оценок декремента колебаний, от периода дискретизации и числа уравнений в обобщенной регрессионной модели. По результатам исследований сделан вывод о существенном ухудшении устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения при малых значениях периода дискретизации экспериментальной виброграммы.

В п. 4.3 разработан структурный метод повышения устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, в основе которого лежит построение модифицированных линейно-параметрических дискретных моделей, инвариантных к уменьшению периода дискретизации при формировании выборки результатов наблюдений. Методика построения инвариантных моделей подробно рассмотрена на примере модификации разностного уравнения для систем с турбулентным трением (как относительно простой, но при этом обладающей всеми основными свойствами ЛПДМ нелинейных систем, модели).

Модифицированная линейно-параметрическая дискретная модель, связывающая мгновенные значения функциональной зависимости, описывающей колебания систем с турбулентным трением, содержит целочисленный параметр / и

имеет вид - Л,

(к \ (к л|

ного значения параметра /„ =

2ят § т!

где 2 сов ~ I, Л, = -у- , Л2 = ЯД. Устойчивость вычислений среднеквадратичных оценок коэффициентов этой модели обеспечивается выборам оптималь-

Г 1

— . Построены и представлены аналогичные нн-Ат\

вариантные модели для систем с линейно-вязким, кулоновым трением и систем с диссипативными силами общего вида.

Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях существования значений параметра /, позволяющих уменьшить число обусловленности матрицы, порождаемой модифицированной линейно-параметрической дискретной моделью второго порядка.

Теорема 5 (достаточное условие минимизации числа обусловленности). Пусть функция у(0: О (у) = {ге Я :1 >0} описывается выражением вида

у(г) = аме '' + где а,.,о,Те (0,°°), К, и ей соответствуют две

линейно-параметрические дискретные модели: ЛьуА._, = к=2,3,...,

(*) « 4А-.+4Л.»-**. к =21, 21 + 1..... (**),где 1еЫ, ук=у(тк), 0<г<|,

и пусть соп(1А{ и сопйА, - числа обусловленности матриц систем линейных алгебраических уравнений, порождаемых разностными уравнениями (*) и (**).

Тогда для существования, по крайней мере, одного значения параметра I > 2,

г 1 2ж 1

при котором сопсЩ <со>и!Аг достаточно выполнения условия —<—arctg—<-■

На основе рекуррентных формул модифицированных линейно-парамезрических дискретных моделей построены соответствующие стохастические разностные уравнения, описывающие результаты наблюдений динамического процесса в диссипативных системах. В частности, для систем с турбулентным трением инвариантные к изменению периода дискретизации стохастические разностные уравнения могут быть представлены в виде:

у„ = Я, + еа, у, = Д, + , у2 = Л, + , ..., у2(_, = Л2(+| + е21_2, = Я,,+2 +

к к у-2 к-.+уУ*

%-2И

НИ*

£к-21 А)

8л1

+

1 + -Я, I м

ек, к = 21, N — 1,

где Яи = 2сокйл7, Д,=-у-, Л^ЛД, Я,=оцсо5^ц.

Проведены численно-аналитические исследования, подтверждающие высокую эффективность построенных модифицированных разностных уравнений при высокой частоте дискретизации экспериментальной виброграммы колебаний (малых значениях периода дискретизации и больших объемах выборки результатов

измерений). Применение модифицированных моделей позволило в несколько раз уменьшить относительную погрешность вычисления декремента колебаний за счет повышения объема выборки результатов наблюдений при стабилизации устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок.

В п. 4.4 рассматривается разработка и исследование линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих результаты измерений Различных фазовых переменных: скорости и ускорения, как по отдельности, так и в их совокупности. Построены модели, аппроксимирующие уравнения, которые описывают скорость и ускорение движения квазилинейных диссипативных систем. Показано, что погрешность такой аппроксимации, даже для систем с достаточно высокой степенью диссипации, не превышает десятых долей процента.

Для всех основных типов диссипативной силы построены дискретные модели для различных фазовых переменных, как по отдельности, так и в их совокупности. Приведены формулы, описывающие соотношения между коэффициентами моделей и динамическими характеристиками системы, в том числе ее показателем нелинейности. В часгности, для систем с турбулентным трением и систем с диссипативными силами общего вида соответствующие линейно-

~ , 2 1 8яС0

параметрические дискретные модели, с учетом соотношении Л,, - со и \ =-,

к

описываются уравнениями ^ ^у^ШУ, = ~у"' - 4 и

2

/¡».у* +Х1у[ +Л2ку^ + =-у", где Я, =(п-1)~Т . Алгоритм оценивания динамических характеристик на основе дискретных моделей, связывающих различные фазовые переменные в их совокупности, аналогичен рассмотренному выше. Частота и декремент колебаний, а также показатель нелинейности п, вычисляются

Полученные в данной главе результаты систематизированы и представлены в форме таблице. В ней приведены ссылки на соответствующие формулы для базовых и модифицированных моделей в зависимости от типа диссипативной силы. Даны рекомендации по выбору линейно-параметрической дискретной модели с учетом требуемой точности вычисления динамических характеристик, режима обработки экспериментальных данных, используемых технических средств измерения, фазовой переменной.

Пятая глава посвящена разработке и применению стохастических разностных уравнений в задачах параметрической идентификации систем различной физической природы, используемых в машиностроении.

В п. 5.1 рассматривается разработка и применение в задачах построения моделей неупругого реологического деформирования материалов и элементов конструкций нового численного метода определения параметров кривой ползучести, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели. Построена линейно-параметрическая дискретная модель, описывающая в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений ди-

через коэффициенты Д,,, Л, и Л, по формулам

намического процесса вида у(?) = ^а,.[1-ех.р(-а;7)]. Сформулирована и дока-

1=1

зана теорема, которая используется при выводе соотношений, связывающих параметры кривой ползучести и коэффициенты разностного уравнения.

Описаны элементы матрицы ^ и вектора Ь в обобщенной регрессионной модели (5), соответствующей стохастическим разностным уравнениям вида: >>0 =еп, ___с р _

Ук ~ Лр+ш + ек > * = 1.р-1. Ук* = />.#-!. а

м м

также элементы матрицы Рл линейного преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений.

Рассмотрен алгоритм численного метода определения параметров кривой ползучести на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Приведены результаты апробации разработанного метода в физических экспериментах, связанных с моделированием кривой ползучести отдельных образцов полихлорвинилового пластиката. Проведен сравнительный анализ эффективности различных методов определения параметров кривой ползучести по экспериментальным данным: численного метода на основе разностных уравнений и известного метода последовательного выделения экспоненциальных составляющих (см. рис. 8). Установлено, что численный метод на основе разностных уравнений позволяет построить более простую (а значит более устойчивую и надежную) модель, аппроксимирующую экспериментальные данные с меньшей среднеквадратичной погрешностью, чем модель, построенная известным методом. Разработан и апробирован в задаче построения кривой ползучести полихлорвинилового пластиката алгоритм вычислений, использующий выделение экспоненциальных составляющих, параметры которых находятся на основе разностных уравнений.

В и. 5.2 рассматривается задача определения параметров передаточной функции объекта управления на основе разностных уравнений, описывающих результаты измерений мгновенных значений кривой разгона. Построена линейно-параметрическая дискретная модель, описывающая в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений кривой разгона технологического объекта, передаточная функция которого может быть представ-

у /Л ¡,

лена в виде: IV Ы = —— = —:-"-. Получены соотношения, связы-

д3.?3+й2г+дгт + 1

1 \з.......... -.................-

О 2 4 6 ».час

Рисунок 8 Экспериментальные точки 1 и кривые ползучести, построенные методом выделения экспоненниальных составляющих (кривая 2) и на основе стохастических разностных уравнений (кривая 3)

ваюшие параметры передаточной функции линейной динамической системы третьего порядка и коэффициенты разностного уравнения. Построен идентификатор О = 27 Л^ + + 4^), на основе которого в зависимости

от коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели проведена представлена в форме таблицы систематизация корней характеристического уравнения и различных типов кривой разгона.

В соответствии с построенной ЛПДМ, связывающей в форме стохастических разностных уравнений у, = Я5 + е], у2 = Д, + ег, у3 = Д у2 + Д, у, + Л4 - Лхе1 - Д £2 + £3,

Ук = К Ук-\ + Я1Уь-г + ¿Л-з + А + Щ. Пк= - М-з ~ - АЗм + ^ • к = 4,ЛГ-1, результаты измерений мгновенных значений кривой разгона, описаны элементы матрицы F и вектора Ь в обобщенной рефессионной модели (6), а также элементы матрицы Рл линейного преобразования вектора случайной помехи и ее обратной матрицы РГ1. Разработан и описан алгоритм определения параметров передаточной функции объекта управления на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения кривой разгона; получены соотношения, позволяющие оценить погрешность вычисления параметров передаточной функции. Приведены результаты апробации построенных ЛПДМ и разработанных на их основе алгоритмов вычислений в физическом эксперименте, связанном с построением передаточной функции котельного агрегата.

На примере прямоточного котла высокого давления проведен сравнительный анализ различных методов определения параметров передаточной функции по кривой разгона: известного метода площадей и численного метода, в основе которого лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Установлено, что определение параметров передаточной функции на основе разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений мгновенных значений кривой разгона объекта управления, позволяет существенно (более чем в два раза) повысить адекватность математической модели экспериментальным данным по сравнению с известным методом площадей.

В п. 5.3 рассматриваются вопросы, связанные с разработкой и применением численного метода определения декремента колебаний на основе разностных уравнений, описывающих дискретные значения экспериментально построенной амплитудно-частотной характеристики системы с линейно-вязким трением.

Построена линейно-параметрическая дискретная модель, описывающая в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения экспериментально построенной амплитудно-частотной характеристики систем с линейно-вязким трением: аЦ =Л1 +

т}й = 2а0£0, т]к = 2ан [ДД -1)2 + Д (к -I)4 +- 2ак [\к2 + Д£4 + ГЦ, к = Цд^Т. Получены соотношения, связывающие параметры резонансной кривой и коэффициенты разностного уравнения: Д, 2 -2яг2), Разработан и

описан алгоритм численного мегода определения диссипативных характеристик по резонансной кривой для систем с линейно-вязким трением, в основе которого

Д<5,%

16

12

» ®т

лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения.

Проведен сравнительный анализ эффективности различных методов определения диссипативных характеристик по резонансной кривой: известного метода «кривой резонанса» и численного метода на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. На рисунке 9 представлены зависимости смешения (в относительных единицах) оценок декремента колебаний от величины случайной помехи в результатах наблюдений. Точки 1 соответствуют применению известного метода «кривой резонанса», а точки 2 - вычислениям на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения.

Очевидно, что применение численного метода определения декремента колебаний по резонансной кривой на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения позволяет существенно, почти на порядок, повысить точность оценивания по сравнению с известным методом определения декремента колебаний по ширине пика амплитудно-частотной характеристики.

В п. 5.4 рассматривается задача определения характеристик сопротивления нелинейной диссипативной системы с помощью численного метода, в основе которого лежат разностные уравнения, описывающие результаты измерений мгновенных значений огибающей амплитуд колебаний для систем с диссипативными силами различного типа.

Построены и систематизированы в форме таблицы двенадцать различных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений огибающей амплитуд колебаний нелинейной диссипативной системы, как для случая, когда показатель нелинейности априори известен (в том числе при кулоновом, линейно-вязком и турбулентном трении), так и для тех случаев, когда требуется найти оценку показателя нелинейности системы по экспериментальным данным. В частности, в задачах нахождения по огибающей амплитуд колебаний систем с диссипативными силами, пропорциональными п- степени скорости движения, не только декремента колебаний, но и показателя нелинейности системы, может быть использована совокупность следующих стохастических разностных уравнений: а0 = Л, + Еа, -ак=Я^к (ак - д4_,) + у\а.к_} + 7]к, г}к = (1 + к Л, - А,) - (1 + к Л,) ек, к = 1,2,..., N ~ I. Для всех построенных моделей получены соотношения, связывающие коэффициенты разностного уравнения с параметрами огибающей амплитуд колебаний, а также формулы, описывающие элементы матрицы линейного преобразования случайной помехи в результатах

12 3 4 £,% Рисунок 9 - Зависимости относительной погрешности вычисления декремента колебаний от величины случайной помехи в результатах наблюдений

наблюдений. Например, для представленной выше модели имеют место соотношения: д _ (п , Представлен алгоритм численного метода определения параметров характеристики сопротивления на основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, описаны его основные этапы, приведены формулы вычисления декремента колебаний через коэффициенты разностного уравнения, для всех построенных моделей.

Проведен сравнительный анализ эффективности различных методов определения параметров характеристики сопротивления: известным методом и численным методом, в основе которого лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов разностного уравнения (см. рис. 10). Установлено, что применение алгоритмов вычислений с использованием итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели позволяет на порядок повысить точность оценивания параметров характеристики сопротивления, особенно при существенно разбросе экспериментальных данных.

В п. 5.5 представлены результаты практического применения методов параметрической идентификации на основе стохастических разностных уравнений в научно-технических экспериментах: при оценке технического состояния силовых элементов шасси самолета, в задаче обнаружения некачественной сборки деталей прессованием, а также в алгоритмах измерительных устройств цифровых осциллографов.

Приведены результаты проверки адекватности линейно-параметрических дискретных моделей при прочностных испытаниях силовых элементов шасси самолета. Описана схема организации прочностного эксперимента; приведены характеристики используемой технической аппаратуры. Построены зависимости декремента колебаний от числа циклов нагружения в процессе ресурсных испытаний, которые позволяют своевременно обнаруживать появление усталостной трещины на поверхности образца.

Представлены результаты применения численного метода определения параметров диссипативной системы на основе разностных уравнений в задачах обнаружения некачественной сборки деталей прессованием. Описана схема организации эксперимента по определению некачественной сборки на основе анализа динамических характеристик механической системы вал-втулка в режиме свободных колебаний; приведены технические характеристики исследуемого соединения.

Рисунок 10 - Огибающие амплитуд колебаний, построенные различными методами: 1- экспериментальные точки; 2- известным методом; 3- численным методом на основе разностных уравнений

Разработан и описан пакет прикладных программ, разработанный для обработки результатов научно-промышленного эксперимента по определению некачественной сборки механической системы. Система диалоговых и информационных окон, набор ниспадающих меню и кнопок управления обеспечивают удобство и простоту использования разработанного программного обеспечения.

Представлены результаты обработки физического эксперимента по выявлению некачественно сборки механической системы вал - втулка. Построенные для данных образцов зависимости динамических характеристик от параметров соединения могут быть использованы в качестве эталонных значений при автоматизированной сборке.

Шестая глава посвящена разработке программного обеспечения и синтезу специализированных устройств для определения параметров диссипативных систем на основе разностных уравнений.

В а.6,1 описывается программное обеспечение, реализующее устойчивые алгоритмы вычисления параметров диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений. Программное обеспечение реализовано на языке Microsoft Visual Basic 6.0, поскольку он прост в обращении и код программы компактен. Разработанный комплекс программ предназначен для определения параметров диссипативной системы на основе обработки результатов измерений, полученных при использовании одного из трех источников экспериментальных данных: импульсной характеристики, амплитудно-частотной характеристики, огибающей амплитуд колебаний. Приведена и описана блок-схема алгоритма вычислений, реализованного в программном обеспечении.

Рассмотрены основные этапы работы программы. Представлена и описана удобная для пользователя система диалоговых и информационных окон, предназначенных для ввода данных эксперимента; выбора режимов обработки информации; ввода априорной информации, например, о типе силы трения или значении

показателя нелинейности системы; для вывода протокола результатов вычислений; для графического отображения полученных результатов и др. Например, на рисунке 11 изображено окно интерфейса, позволяющее пользователю выбрать источник экспериментальных данных.

В приложении представлен листинг программных кодов, реализующих описанный алгоритм вычислений.

В п. 6.2 рассмотрен синтез и описана работа специализированных устройств для измерения диссипативных характеристик систем с кулоновым. линейно-вязким и турбулентным трением на основе линейно-параметрических дискретных моделей.

Описаны схемы организации измерений мгновенных значений затухающих колебаний, представлены структурные блок-схемы, описана работа, приведены

•я рыбор источника результатов мбчншгнии р-пда

Источи«, результатов наблслений

J Йм^льсная хдосгериспка _j|

Огибающая «-титул колббдой j

I В начало 1 Назад j i-J Выход |

.•.......: :..........

Рисунок 11 - Окно выбора источника результатов наблюдений

временные диаграммы работы следующих специализированных устройств:

- устройства для измерения логарифмического декремента колебаний сис тем с линейно-вязким трением;

- устройства для измерения декремента колебаний систем с турбулентным трением;

- устройства для измерения показателя затухания в системах с турбулентным трением;

- устройство для измерения показателя затухания в системах с кулоновым трением.

Для каждого представленного устройства указаны его преимущества по сравнению с аналогом, которые заключаются, как правило, в более высокой точности оценки декремента колебаний или показателя затухания за счет уменьшения методической погрешности. В частности, в основе аппаратурной реализации устройства для вычисления декремента колебаний систем с турбулентным трением лежит организация такого режима измерений, чтобы каждое второе измерение в совокупности ук, укИ и ук+2 равнялось нулю. Это условие позволяет обеспе-

"V 4" V

чить выполнение соотношения ¿>(ак) = -2—-к =0,1,2,..., полученное

У к* 3

на основе разностного уравнения для систем с турбулентным трением (см. рис. 12).

Структурная схема устройства представлена на рисунке 13. Вход устройства подключен к входам запоминающих устройств I и 2 и к входу компаратора 3. Сигнал с выход компаратора 3 подается на вход коммутирующего устройства 4, первый выход которого подключен к управляющему входу первого запоминающего устройства 1 и первому управляющему входу коммутатора 5, а второй выход подключен к управляющему входу второго запоминающего устройства 2 и ко второму управляющему входу коммутатора 5. Выходы запоминающих устройств 1 и 2 подключены к входам сравнивающего устройства 6 и, соответственно, к первому и второму входам коммутатора 5. Выход сравнивающего устройства 6 подключен к первому входу делителя 7, а выход коммутатора 5 подключен ко второму входу делителя 7. На выходе делителя 7 формируется сигнал, соответствующий декременту колебаний системы.

Рисунок 12 - Схема организации измерений затухающих колебаний в устройстве для измерения декремента колебаний в системах с чурбулентным трением

Рисунок 13 - Структурная схема устройства для измерения декремента колебаний в системах с чурбулентным трением

Устройство работает таким образом, что на входы сравнивающего устрой* т

ства 6 постоянно, в течение промежутка времени —, равного полупериоду колебаний, поступают разнополярные сигналы у4+2; и ук+гм, соответствующие результатам измерений в моменты времени + г, где г,- моменты равенства нулю ординат колебаний: у (/,■) = 0, / = 1,2,3,....

При этом на выходе устройства будет формироваться сигнал, пропорциональный отношению суммы двух измеренных последовательно одна за другой ординат колебаний у>+2,- и у(+2;+1 к значению последующей из них у,+2,+3. Измерение ординат колебаний у,+2/ и у4+2,.)3 осуществляется через время задержки г после, соответственно, /-того и (/+1)-го пересечения колебаний оси времени: = о У к+21 + Угк*и*г У'п+2,,2

Последующее значение ординаты колебаний у1+2|,к, в одном цикле измерения декремента колебаний служит предыдущим значением ординаты колебаний у,.+ ,, в следующем цикле. Поэтому измерение декремента колебаний происходит непрерывно за время, равное половине периода колебаний. На выходе устройства сигнал, соответствующий измеренному значению декремента колебаний в данном цикле измерений, сохраняется в течение времени, равного половине периода колебания. Рассмотренное устройство по сравнению с аналогом имеет более высокую точность измерения за счет уменьшения динамической составляющей методической погрешности.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Разработаны теоретические основы и принципы построения линейно-параметрических моделей, связывающих в форме разностных уравнений дискретные значения функциональных зависимостей, описывающих динамические процессы на выходе диссипативной системы; рассмотрены различные подходы к построению разностных уравнений в зависимости от режима колебаний системы, функций, аппроксимирующих монотонную составляющую в уравнениях колебаний, априорной информации о собственной частоте системы и параметрах типового тестового воздействия.

2, Сформирован класс линейно-параметрических дискретных моделей, систематизированных в зависимости от типа системы, режимов функционирования (типа тестового воздействия), функций, аппроксимирующих тренд, схемы организации эксперимента. Получены функциональные соотношения, связывающие коэффициенты линейно-параметрических дискретных моделей с динамическими характеристиками системы, в том числе с показателем ее нелинейности, тем самым решена задача классификации широкого класса систем при нестационарных режимах колебаний, содержащих тренд в форме монотонной составляющей.

3. Разработан и апробирован в различных физических экспериментах новый численный метод определения динамических характеристик нелинейных дисси-пативных систем на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, позволяющий обеспечить высокую помехозащищенность результатов вычислений.

4. Разработан структурный метод повышения устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, в основе которого лежит построение модифицированных линейно-параметрических дискретных моделей, инвариантных к уменьшению периода дискретизации при формировании выборки результатов наблюдений.

5. Разработан численный метод определения параметров кривых ползучести, в основе которого лежит линейно-параметрическая дискретная модель, описывающая данные эксперимента по построению уточненных моделей неупругого реологического деформирования материалов с целью прогнозирования индивидуальных деформационных свойств.

6. Построены линейно-параметрические дискретные модели и на их основе разработаны: численный метод определения параметров передаточной функции по кривой разгона объекта управления и численный метод определения диссипа-тивных характеристик по резонансной кривой;

7. Построены и систематизированы линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты измерений огибающей амплитуд колебаний нелинейной диссипативной системы и лежащие в основе численного метода определения параметров диссипативной системы.

8. Разработано программное обеспечение, реализующее устойчивые алгоритмы вычисления параметров диссипативной механической системы на основе линейно-параметрических дискретных моделей по результатам измерений различных по виду процессов, наблюдаемых на выходе системы, и предназначенное для использования в информационно-измерительных комплексах при оценке технического состояния механической системы.

9. На основе построенных линейно-параметрических дискретных моделей разработаны специализированные устройства для измерения диссипативных характеристик систем с линейно-вязким, кулоновым и турбулентным трением. Эти устройства защищены авторскими свидетельствами на изобретение, обладают повышенной точностью и быстродействием по сравнению с аналогами, просты в технической реализации.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

МОНОГРАФИЯ

1. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений / Под ред. В.П. Радченко. - М.: Машиностроение, 2009. -344 с.

ПУБЛИКАЦИИ В ЖУРНАЛАХ, РЕКОМЕНДОВАННЫХ ВАК РОССИИ

2. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация линейной динамической системы на основе стохастических разностных уравнений II Математическое моделирование. - 2008. - Т. 20. - №9. - С. 120-128.

3. Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик систем с турбулентным трением на основе стохастических разностных уравнений колебаний // Известия вузов. Машиностроение. 2008. №4. С. 30-40.

4. Радченко В.П., Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик механической системы на основе стохастических разностных уравнений колебаний//Известия вузов. Машиностроение. -2007. ~№1.-С. 3-10.

5. Семенычев В.К., Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик колебательных систем с турбулентным трением. // Изв. вузов СССР. Приборостроение. - 1990. - № 11. - С. 42-45.

6. Зотеев В.Е. О сходимости итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физмат. науки,-2009. -№ 1(18).-С. 133-141.

7. Зотеев В.Е. Определение параметров кривой разгона на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия техн. науки. - 2008. -№ 2(22). - С. 29-37.

8. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация кривых ползучести на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. 2008, №1(16). С. 90-95.

9. Зотеев В.Е., Овсиенко A.C. Параметрическая идентификация специального уравнения Рикатги на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2008. - № 1(16).-С. 171-174.

10. Зотеев В.Е. Математические основы построения разностных уравнений для задач параметрической идентификации // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ - мат. науки. - 2008. - № 2(17). -С. 192-202.

11. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Определение параметров испытательных импульсов на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ - мат. науки. - 2008. -№2(17).-С. 262-267.

12. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Разработка и применение стохастических разностных уравнений для систем с кратными корнями характеристического уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15. - Вып. 2. - С. 300.

13. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация динамических систем на основе разностных уравнений // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15. - Вып. 2. - С. 300-301.

14. Зотеев В.Е., Иранова A.A. Повышение устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения для сис-

тем с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15. - Вып. 2. - С. 302.

15.3отеев В.Е. Помехозащищенный метод определения параметров линейной динамической системы на основе импульсной характеристики // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. -2007. ~№ 1(14). - С. 138-142.

16. Попова Д.Н., Зотеев В.Е. Разработка и исследование линейно параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики механической системы с линейно-вязким трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ,- мат. науки. - 2007. - № 2(15). - С. 179182.

17. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Помехозащищенный метод параметрической идентификации линейной динамической системы по ее импульсной характеристике // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - Т. 14. -Вып. 2. - С. 299-300.

18. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Определение декремента колебаний на основе линейно-параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики системы с линейно-вязким трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - Т. 14. - Вып. 2. - С. 300-301.

19. Зотеев В.Е. Сравнительный анализ методов определения динамических характеристик диссипативной системы // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2006. - № 43. - С. 153-158.

20. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Определение динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе стохастического разностного уравнения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ,- мат. науки. - 2006. - № 42. - С. 162-168.

21. Зотеев В.Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания параметров корреляционной функции распределения случайного поля неупругой реологической деформации // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ,- мат. науки. - 2006. - № 42. - С. 123-134.

2.2.. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Определение постоянной времени последовательной активно-емкостной цепи на основе стохастического разностного уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. - Т. 13. -Вып. 5. - С. 906-907.

23. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Оценка нелинейности диссипативной системы на основе итерационного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. - Т. 13. - Вып. 5. - С. 907-908.

24. Зотеев В.Е. Исследование и сравнительный анализ эффективности методов вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно параметрических дискретных моделей колебаний систем с турбулентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ,- мат. науки. - 2005.- № 34. - С. 137-140.

25. Зотеев В.Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения колебания систем с турбу-

лентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. - 2005. - № 38. - С.100—109.

26. Зотеев В.Е. Исследование и сравнительный анализ эффективности методов вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно-параметрических дискретных моделей колебаний систем с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12. - Вып. 2. -С. 372.

27. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Оценка нелинейности сил трения на основе стохастического разностного уравнения колебаний диссипативной системы // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12. - Вып. 2. -С.373.

28. Зотеев В.Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания параметров корреляционной функции распределения случайного поля неупругой реологической деформации // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12. - Вып. 4. - С. 970-971.

29. Зотеев В.Е. Исследование устойчивости вычислений среднеквадратичных оценок коэффициентов авторегрессионной модели колебаний систем с турбулентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. -2004.-№26.-С. 180-185.

30. Зотеев В.Е. Повышение точности среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно параметрических дискретных моделей колебаний систем с турбулентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. -2004. -№ 30. - С. 194-197.

31. Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик диссипативных систем на основе авторегрессионных моделей У/ Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11.- Вып. 3. - С. 644-645.

32. Зотеев В.Е. Обобщение метода наименьших квадратов при вычислении коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели колебаний систем с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2004. -Т.П.- Вып. 4. - С. 818-819.

33. Зотеев В.Е. Исследование устойчивости авторегрессионных моделей колебаний систем с линейно вязким и турбулентным трением. // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ - мат. науки. - 2003. -№ 19. - С.53-58.

34. Зотеев В.Е. Исследование устойчивости авторегрессионных моделей колебаний диссипативных систем // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2003. - Т. 10. - Вып. 3. - С. 653-654.

35. Зотеев В.Е. Исследование эффективности применения линейных дискретных моделей при определении параметров математических моделей в форме обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ - мат. науки. - 2002. - № 15.-С.161-167.

36. Зотеев В.Е. Построение разностных уравнений для повышения точности параметрической идентификации колебательных систем со слабой нелинейностью общего вида // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ - мат. науки. - 2000. - № 9. - С. 169-173.

37. Зотеев В.Е. Разработка и исследование линейных дискретных моделей колебаний диссипативных систем // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ - мат. науки. - 1999. - № 7. - С. 170-177.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ В ДРУГИХ ЖУРНАЛАХ И СБОРНИКАХ НАУЧНЫХ ТРУДОВ

38. Семенычев В.К., Зотеев В.Е. Определение параметров затухающих колебаний на основе разностных схем // Проблемы прочности. - 1988. - № 12. - С. 101-105.

39. Зотеев В.Е., Овсиенко A.C. Параметрическая идентификация дробных осцилляторов на основе разностных уравнений // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. -Самара: СамГ'ГУ, 2009. - С. 61-68.

40. Зотеев В.Е. Применение стохастических разностных уравнений в задаче параметрической идентификации нелинейных диссипативных систем // Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов: Труды седьмой международной конференции: Сб. научн. тр. - Ульяновск: УлГУ, 2009. - С. 112.

4). Зотеев В.Е., Иранова A.A. Применение метода многих масштабов в задаче построения математической модели колебаний систем с турбулентным трением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн, тр. - Самара: СамГТУ, 2009. - С. 69-74.

42. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Параметрическая идентификация систем, описываемых дифференциальным уравнением Эйлера // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2009. - С.54-61.

43. Зотеев В.Е. Исследование сходимости итерационной процедуры вычисления коэффициентов разностного уравнения. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2009. - С.47-54.

44. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Построение линейно-параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики нелинейной диссипатив-ной системы II Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Пятой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2008. - С.79-84.

45. Зотеев В.Е., Овсиенко A.C. Параметрическая идентификация систем, описываемых специальным уравнением Риккати, на основе стохастических разностных уравнений // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Пятой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2008. -С.71-79.

46. Зотеев В.Е., Иранова A.A. Исследование эффективности итерационной процедуры в задаче параметрической идентификации систем с турбулентным трением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Пятой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2008. - С.64-71.

47. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Параметрическая идентификация типовых ударных воздействий по их амплитудно-частотной характеристике // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Пятой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2008. - С.58-64.

48. Зотеев В.Е., Голудин Е.П. К построению теории ползучести с экспоненциальным ядром на основе стохастических разностных уравнений // XVIII сессия Международной школы rio моделям механики сплошной среды. Материалы Международной конференции: Сб. науч. тр.- Саратов: Изд. Саратовского университета, 2007.-С. 137-140.

49. Зотеев В.Е., Иранова A.A. Повышение устойчивости среднеквадратичною оценивания коэффициентов разностного уравнения колебаний систем с турбулентным трением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Четвертой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2007. С. 59-63.

50. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Исследование помехозащищенности среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики И Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Четвертой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. -Самара: СамГТУ, 2007. - С.82-87.

51. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Применение стохастических разностных уравнений в задаче параметрической идентификации линейной динамической системы // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Четвертой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2007. - С.54-58.

52. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация нелинейных диссипатив-ных систем на основе современных информационных технологий // Нелинейный динамический анализ-2007: Тезисы докладов Международного конгресса, Санкт-Пегербург, 4-8 июня 2007 г. -СПб.: Сашсг-Петербугский госуниверситет, 2007. -С. 92.

53. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения колебаний диссипативной системы // Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении (ПИТ-2006). Труды научно-технической конференции с международным участием. Т. 2: Сб. науч. тр. - Самара: СГАУ, 2006. С. 19-24.

54. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Оценка погрешности вычисления динамических характеристик диссипативной системы при использовании разностных уравнений // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Третьей Всерос. науч. конф. Часть 2: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2006. - С.78-86.

55. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Метод последовательных приближений при среднеквадратичном оценивании параметров переходного процесса // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Третьей Всерос. науч. конф. Часть 2: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2006. - С.72-78.

56. Зотеев В.Е. Определение диссипативных характеристик механической системы на основе стохастических разностных уравнений // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. 1: Сб. научн. тр.- Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2006. -С. 57.

57. Зотеев В.Е. Среднеквадратичное оценивание параметров корреляционной функции распределения случайного поля неупругой реологической деформации // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Второй Всерос. науч. конф. Часть 2: Сб. научн.тр.-Самара: СамГТУ, 2005. - С. 113-118.

58. Зотеев В.Е. Повышение устойчивости вычислений динамических характеристик систем с линейно-вязким трением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всерос. науч. конф. Часть 2: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2004.-С. 103-106.

59. Зотеев В.Е. Построение линейных дискретных моделей колебаний дис-сипативных систем // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Тринадцатой межвуз. конф. Часть 2: Сб. науч. тр. - Самара: СамГТУ, 2003. - С. 40-42.

60. Зо теев В.Е. Построение разностных уравнений в задачах идентификации квазилинейных диссипативных систем // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды десятой научной межвузовской конференции. Часть 2: Сб. науч. тр. / Инж.акад. РФ, СамГТУ. - Самара: СамГТУ, 2000. - С. 46-50.

61. Зотеев В.Е., Зауэр Е.А., Дамм А.Э. Применение асимптотических разложений при математическом моделировании нелинейных диссипативных систем // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды девятой научной межвузовской конференции. Часть 2: Сб. науч. тр. / Инж.акад. РФ, СамГТУ. - Самара: СамГТУ, 1999. - С. 53-55.

62. Зотеев В.Е. Математические основы моделирования динамических процессов для задач идентификации нелинейных диссипативных систем // Математи ческое моделирование и краевые задачи. Труды восьмой научной межвузовской конференции. Часть 2: Сб. науч. тр. / Инж.акад. РФ, СамГТУ. - Самара: СамГТУ, 1998.-С. 45-48.

63. Зотеев В.Е. Разработка и применение авторегрессионных моделей при определении динамических характеристик нелинейных диссипативных систем // Математическое моделирование систем и процессов управления: Сб. науч. тр. / СамГТУ. - Самара: 1997. - С. 34-38.

64. Зотеев В.Е. Математические модели колебаний нелинейных диссипативных систем при типовых тестовых воздействиях // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Седьмой межвуз. конф. Часть 2: Сб. науч. тр. -Самара: СамГТУ, 1997. - С. 48-50.

65. Зотеев В.Е. Устойчивость алгоритмов идентификации нелинейных диссипативных систем на основе авторегрессионных моделей. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды шестой межвуз. конф. Часть 2: Сб. научн. тр. /Инж.акад. РФ, СамГТУ.-Самара: СамГТУ, 1996.-С. 151-153.

66. Зотеев В.Е. Математическое описание и определение на его основе динамических характеристик механических систем с гистерезисным трением // Неупругое деформации, прочность и надежность конструкций: Сб. науч. тр. СамГТУ. -Самара: СамГТУ, 1993. - С.145-151.

67. Зотеев В.Е. Идентификация диссипативных и жесткостных характеристик механических систем на основе линейных дискретных моделей // Надежность и неупругое деформирование конструкций: Сб. научн. тр./ Куйбышев, политехи. ин-т. - Куйбышев: КПтИ, 1990. - С. 152-159.

68. Семенычев В.К., Зотеев В.Е. Метод исследования вибраций в нелинейных механических системах на основе АР моделей // Новые методы и средства виброакустнческих исследований и диагностики: Сб. науч. тр. - Ленинград: 1990. - С. 62-68.

69. Зотеев В.Е. Оперативный метод оценки диссипатииных и резонансных характеристик нелинейных механических систем // Надежность и прочность машиностроительных конструкций: Сб. науч. тр. / КПтИ. - Куйбышев: 1988.- С.30-34.

70. Зотеев В.Е. Применение 2- преобразования в задачах параметрической идентификации нелинейных систем // Вопросы теории и проектирования систем автоматического регулирования и управления: Сб. науч. тр. - Уфа: Госкомиздат Башкирской АССР, 1986.- С. 124-127.

АВТОРСКИЕ СВИДЕТЕЛЬСТВА НА ИЗОБРЕТЕНИЕ

71. А.с. №1322198 (СССР), О 01 И 27/28, О 01 Н 11/06. Устройство для измерения логарифмического декремента затухания колебаний. / В.К. Семенычев, В.Е. Зотеев. - №3986386/24-28; Заявлено 09.12.85; Опубл. 07.07.87, Бюл. № 25.

72. А.с. №1326931 (СССР), й 01 М 7/00, О 01 Н 13/00. Способ определения параметров затухания и резонансной частоты механической системы с турбулентным трением. / В.К. Семенычев, В.Е. Зотеев. - №3894809/25-28; Заявлено 07.05.85; Опубл. 30.07.87, Бюл. № 28.

73. А.с. №1396000 (СССР), й 01 N 19/00. Устройство для измерения декремента колебаний в системах с турбулентным трением. / В.К. Семенычев, В.Е. Зотеев. -№4143470/24-28; Заявлено 06.11.86; Опубл. 15.05.88, Бюл. № 18.

74. А.с. №1397767 (СССР), в 01 М 7/00. Способ определения логарифмического декремента колебаний линейной механической системы. / В.К. Семенычев, В.Е. Зотеев.-№4049658/25-28; Заявлено 24.02.86; Опубл. 23.05.88, Бюл. № 19.

75. А.с. №1539682 (СССР), в 01 Я 27/28. Устройство для измерения затухания колебаний в системах с турбулентным трением. / В.К.Семенычев, В.Е. Зотеев, АЛО. Бучин. -№4358116/24-21; Заявлено 04.02.88; Опубл. 30.01.90, Бюл. № 4.

Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д 212.217.03 ГОУ ВПО Самарский государственный технический университет (протокол №9 от 17 сентября 2009 г.)

Заказ № 847 Тираж ¡00 экз.

Отпечатано на ризографе. ГОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» Отдел типографии и оперативной полиграфии 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

0 9-23066

2007273063

2007273065

ВВЕДЕНИЕ

1 ПРОБЛЕМА ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ, БЫСТРОДЕЙСТВИЯ И РАСШИРЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ

1.1 Анализ известных математических моделей и методов параметрической идентификации диссипативных систем

1.1.1 Известные математические модели диссипативных механических систем

1.1.2 Динамические характеристики нелинейных диссипативных систем и анализ существующих методов их оценки

1.2 Анализ эффективности применения стохастических разностных уравнений в задачах параметрической идентификации диссипативных систем

1.3 Перспективы решения задачи повышения помехоустойчивости и расширения функциональных возможностей методов оценки параметров диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей

1 4 Выводы

2 РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ДИССИПАТИВНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ФОРМЕ ЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ

2.1 Математическое описание нелинейных диссипативных систем при типовых тестовых воздействиях

2.2 Математические модели огибающей амплитуд .колебаний нелинейных диссипативных систем

2.3 Математические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей динамических процессов в диссипативных системах

2.4 Формирование класса и систематизация линейно-параметрических дискретных моделей динамических процессов в диссипативных системах

2.4.1 Линейно-параметрические дискретные модели колебаний систем с линейно-вязким трением

2.4.2 Линейно-параметрические дискретные модели колебаний систем с кулоновым (сухим) трением

2.4.3 Линейно-параметрические дискретные модели колебаний систем с турбулентным (гидродинамическим) трением

2.4.4 Линейно-параметрические дискретные модели колебаний систем с

3 РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ

ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ

РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1 Численный метод определения динамических характеристик диссипативных механических систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей

3.2 Стохастические разностные уравнения, описывающие результаты измерений

• колебаний диссипативной механической системы

3.3 Разработка и исследование итерационного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения

3.4 Выводы

4 ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ

ВЫЧИСЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ

СТОХАСТИЧЕСКИХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1 Анализ и оценка погрешности вычисления динамических характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений

4.2 Численно-аналитические исследования устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов стохастического разностного уравнения

4.3 Разработка и исследование структурных методов повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения

4.4 Повышение точности оценивания на основе линейно-параметрических дискретных моделей для разных фазовых переменных

4.5 Выводы

5 РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ; нелинейными диссипативными силами общего вида

2.5 Выводы

СИСТЕМ РАЗЛИЧНОЙ ФИЗИЧЕСКОИ ПРИРОДЫ

5.1 Разработка и применение стохастических разностных уравнений в задачах построение теории ползучести с экспоненциальным ядром

5.2 Определение параметров передаточной функции на основе разностных уравнений, описывающих кривую разгона объекта управления

5.3 Разработка и применение линейно-параметрических дискретных моделей амплитудно-частотной характеристики диссипативной системы

5.4 Определение параметров диссипативных механических систем на основе разностных уравнений огибающей амплитуд колебаний

5.5 Результаты практического применения метода параметрической идентификации на основе стохастических разностных уравнений в научно-технических экспериментах

5.5.1 Применение разностных уравнений при оценке технического состояния силовых элементов шасси самолета

5.5.2 Применение разностных уравнений в алгоритмах измерительных устройств цифровых осциллографов

5.5.3 Применение разностных уравнений в задаче обнаружения некачественной сборки деталей прессованием

5.6 Выводы 349 6 РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ И СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ

УСТРОЙСТВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

6.1 Разработка программного обеспечения, реализующего устойчивые алгоритмы вычисления параметров диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений

6.2 Синтез специализированных устройств для определения параметров диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений

6.3 Выводы 381 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 382 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 385 Приложение 1. Акты о внедрении 401 Приложение 2. Пакет прикладных программ для обработки результатов физического эксперимента по определению динамических характеристик нелинейных диссипативных систем

Актуальность проблемы.

Для успешного развития всех отраслей промышленности и экономики в целом требуется постоянное и своевременное решение комплекса проблем, связанных с разработкой и внедрением новых технологий в отечественном машиностроении. Эти новые прогрессивные технологии предполагают создание и эффективное функционирование научно спроектированных систем наблюдений и измерений с использованием оценочных процедур идентификации, прогнозирования и принятия решений на всех этапах существования механической системы от проектирования и изготовления до монтажа, эксплуатации и ремонта.

Современные механические системы (МС) - это сложные машины и конструкции, отдельные и взаимодействующие механизмы, их узлы и детали, а также конструкционные материалы, применяемые в машиностроении. Основными тенденциями развития МС являются увеличение их мощности и быстродействия, усложнение внутренней структуры и технологичности, уменьшение шумов и вибраций, снижение металлоемкости и габаритов при высокой динамической нагруженности, возрастание функциональной, а в ряде случаев и социальной, ответственности МС. Всё это требует повышения надежности и долговечности МС, внедрения эффективных систем менеджмента качества выпускаемой машиностроительной продукции на основе оперативной и достоверной информации о текущем состоянии механической системы и обнаружения дефектов на ранней стадии их возникновения.

Проблема достоверной и оперативной оценки технического состояния механической системы неразрывно связана с проблемой ее идентификации в процессе эксплуатации, при прочностных или других испытаниях. В этой связи важнейшей задачей является удачный выбор диагностического признака технического состояния МС. Во многих случаях таким информативным признаком служат динамические характеристики (ДХ) механической системы [16, 22, 26, 114, 122, 134, 149, 172, 173, 192]. Результаты многочисленных исследований на конкретных примерах подтверждают непосредственную связь между техническим состоянием различного рода механических систем (например, усталостным разрушением материалов, возникновением и развитием микротрещин в деталях, появлением недопустимых люфтов в узлах конструкций, значительным износом контактирующих поверхностей, технологическим браком при сборке и т.п.) и динамическими характеристиками системы. Оценке демпфирующих свойств конструкционных материалов посвящены работы [30, 143, 14В]. Связь усталостной прочности деталей машин с параметрами петли механического гистерезиса можно найти в [173]. Результаты теоретических и экспериментальных исследований по вибродиагностике и прогнозированию долговечности двигателей и взлетно-посадочных устройств летательных аппаратов представлены в работах [13, 114]. Большое количество работ посвящено оценке технического состояния газотурбинных двигателей и их узлов на основе анализа их динамических характеристик [21, 28, 113]. Взаимосвязь прочности и долговечности узлов и деталей автомобиля с параметрами возбужденных в них колебаний рассматриваются в [153].

Проблема достоверной оценки ДХ неразрывно связана с проблемой адекватности математического описания динамического процесса на выходе колебательной системы. Решению этой проблемы посвящены фундаментальные труды выдающихся математиков 18 века JI. Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа, заложивших основы математического описания колебательных систем с конечным числом степеней свободы, а также работы ученых советской школы И.И. Артоболевского, А.Н. Боголюбова, В.В. Болотина, Ю.А. Митропольского, Я.Г. Пановко и др. [11, 15, 17, 136, 137, 141, 142]. Большой вклад в развитие математического описания распределенных колебательных систем, рассеяние энергии в которых вызвано внутренними процессами в материале, в теорию и практику моделирования вязкоупругого поведения материалов и гистерезисных явлений при циклическом деформировании, внесли ученые H.H. Давиденков, Г.С. Писаренко, Е.С. Сорокин, В.Т. Трощенко, Я.Г. Пановко и др. [143,145 - 148,174]. Построению математических моделей, описывающих кинетику твердых реологических тел, деформация которых является необратимой и описывается* кривой ползучести, посвящены работы профессоров Ю.П. Самарина, В.П. Радченко [157,165, 166].

Динамические характеристики, выполняя функции диагностического признака5технического состояния механической колебательной системы, описывают ее внутренние свойства. Широкий спектр ДХ. включает временные импульсные и переходные характеристики (время переходного процесса, время затухания колебаний, величина перерегулирования и т.п.), частотные характеристики (амплитудно-частотная, фазочастотная, амплитудно-фазовая частотная характеристики), параметры колебательной системы (собственные и резонансные частоты, коэффициенты демпфирования, поглощения и потерь, декремент колебаний и т.п.), характеристики нелинейности системы (характеристика нелинейности восстанавливающей силы, степень нелинейности силы трения, параметры петли гистерезиса), статистические характеристики вибросигнала (функция и плотность распределения, дисперсия, интенсивность и энтропия вибросигнала, коэффициенты эксцесса и асимметрии, квантили распределения и др.) [38]. Такое многообразие динамических характеристик обуславливает разработку и использование различных по своей природе, трудоемкости и точности методов оценки ДХ по результатам мониторинга механической системы в процессе ее эксплуатации или испытаний.

В настоящее время существуют различные подходы и способы определения динамических характеристик механической колебательной системы [20, 38, 147]. Среди них лидирующее место занимают высокоэффективные методы вибродиагностики, ориентированные на применение современных средств и алгоритмов вычислений и обработки информации, например, методы цифрового спектрального анализа, методы корреляционного анализа [38, 115, 132]. Основу этих методов составляют стохастические параметрические модели временных рядов. Разработке и исследованию этих моделей, а также вопросам эффективного оценивания параметров моделей по результатам наблюдений, посвящены работы зарубежных ученых Т.В. Андерсона, Дж. Е. П. Бокса, Г.М. Дженкинса, Д.Г. Ваттса, М.Дж. Кендалла, С.Л. Марпла-мл., Р.Л. Кашьяпа, А.Р. Рао, С.М. Кей и др. [6, 10, 14, 36, 50, 112, 116- 118, 127, 132, 140, 162, 193 -204], а также работы B.C. Пугачева, А.И. Жданова, O.A. Коцюба и др; [43 -49, 154, 206].

Однако область применения этих методов существенно ограничена кругом задач, в которых основным диагностическим признаком технического состояния механической системы является характеристика рассеяния колебательной энергии, в том числе характеристика нелинейности диссипативной силы, например, показатель степени в уравнении г (У) = ¿У |У|" ', описывающем сопротивление, пропорциональное п -ной степени скорости движения системы при частотнозависимом трении, или в уравнении Чг* = аА"+], описывающем зависимость рассеиваемой энергии колебаний (площади петли гистерезиса) от их амплитуды А, а также в уравнении N(y) = су ± , которое описывает замкнутую петлю гистерезиса, где а и п — постоянные конструкции, причем а — коэффициент, зависящий как от материала и вида конструкции, так и от формы колебаний, а п зависит только от материала [141 - 143]. Такие задачи возникают, в частности, при разработке гидравлических амортизаторов, исследованиях конструкционного демпфирования, то есть демпфирования, обусловленного потерями на трение в неподвижных соединениях (прессовых, заклепочных, резьбовых, шлицевых и т.п.), или внутреннего трения в материале при его циклическом деформировании.

Широко применяемые на практике методы определения характеристик рассеяния энергии колебаний различных механических конструкций и демпфирующих свойств материалов совершенно не вписываются в формат современных информационных технологий, применяемых в вибродиагностике. Как правило, эти методы громоздки, нередко требуют графических построений, применяемые алгоритмы вычислений построены на детерминированных моделях и используют минимально необходимое число точек эксперимента при полном отсутствии процедур, связанных со статистической обработкой результатов наблюдений. Попытки преодолеть эти существенные недостатки на основе разностных уравнений можно найти в работах В.А. Кармалита, В.К. Семенычева, А.Н. Тырсина и др. [115, 171, 180, 181, 205]. Однако для принципиально нелинейных диссипативных механических систем задача определения их параметров на основе линейно-параметрических дискретных моделей решена до конца не была.

Таким образом, необходимость коренного улучшения качества машиностроительных конструкций требует разработки и применения при диагностике технического состояния большого класса МС высокоточных, оперативных методов определения динамических характеристик, в том числе характеристик нелинейности механической системы как диагностического признака ее технического состояния, методов, соответствующих современному уровню компьютеризации и автоматизации исследований динамических процессов в машинах и механизмах. Основой разработки таких методов могут стать стохастические параметрические модели временных рядов, описывающие результаты наблюдений колебаний дисси-пативной системы в дискретные моменты времени, коэффициенты в которых известным образом связаны с динамическими характеристиками системы.

Объектом исследованш диссертации являются нелинейные диссипативные механические системы с одной и несколькими степенями свободы, а также с распределенными параметрами, к которым относятся, например, конструкционные материалы. Рассматриваются системы с диссипативными силами, пропорциональными п- степени скорости движения, в том числе системы с линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением, а также системы с гистерезисным трением.

Предметом исследования являются математические модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений динамического процесса на выходе диссипативной механической системы, а также алгоритмы численного метода определения динамических характеристик диссипативной механической системы на основе разностных уравнений.

Целью диссертационной работы является разработка нового научного подхода к решению проблемы идентификации диссипативных механических систем, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в. форме разностных уравнений результаты наблюдений динамического процесса на выходе системы.

Для достижения поставленной цели автором были поставлены и решены следующие взаимосвязанные научные задачи:

-разработка теоретических основ и принципов построения линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих динамические процессы в диссипативных системах;

-формирование класса и систематизация линейно-параметрических дискретных моделей колебаний диссипативных систем при типовых тестовых воздействиях;

-разработка численного метода определения динамических характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений, позволяющего обеспечить высокую помехозащищенность оценок за счет эффективного использования статистических методов обработки экспериментальных данных;

-анализ и оценка погрешности результатов вычисления динамических характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений, в том числе исследование устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения;

-разработка и исследование эффективности структурных методов повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения;

-разработка программного обеспечения, реализующего устойчивые алгоритмы вычислений динамических характеристик и предназначенного для использования в физических экспериментах.

Научная новизна работы заключается в новизне подхода к решению задачи параметрической идентификации диссипативной механической системы в процессе ее эксплуатации или в различных физических экспериментах. Этот подход основан на формировании и применении нового класса математических моделей — линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений виброграммы колебаний. Новизна этих моделей заключается в их структуре, а также в соотношениях, связывающих коэффициенты разностного уравнения с параметрами диссипативной системы, в том числе с показателем ее нелинейности. Следующим важным признаком научной новизны данной работы является ч и сл ен н ы им его д определения динамических характеристик, в основе которого лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения; Новизна этого метода заключается, прежде всего, в описании и применении матрицы линейного преобразования вектора случайной помехи в результатах наблюдений при решении задачи прикладного регрессионного анализа. В совокупности новые математические модели и разработанные на их основе новые вычислительные алгоритмы позволяют говорить о принципиально ином подходе к решению проблемы определения параметров диссипативной системы по экспериментальным данным и, как следствие, реализация почти каждой составляющей этого подхода приводит к получению нового научного результата.

В работе получены следующие новые научные результаты:

-разработан новый научный подход к решению задачи определения динамических характеристик нелинейной диссипативной механической системы;

-разработаны основы теории и техники построения линейно-параметрических моделей, связывающих дискретные значения функциональных зависимостей, описывающих динамические процессы в диссипативных системах;

-построены и систематизированы в зависимости от типа нелинейности системы и вида тестового воздействия новые линейно-параметрические дискретные модели, отличающиеся от известных своей структурой и тем, что коэффициенты этих моделей известным образом связаны с динамическими характеристиками системы;

-разработан численный метод определения динамических характеристик диссипативI ной системы на основе линейно-параметрических дискретных моделей, новизна которого заключается в том, что задача вычисления параметров диссипативной системы сводится к среднеквадратичному оцениванию коэффициентов разностного уравнения;

-разработана методика и получены новые соотношения, позволяющие находить статистическую оценку погрешности результатов вычисления динамических характеристик диссипативной системы на основе разностных уравнений; разработаны структурные методы повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок, в основе которых лежат новые линейно-параметрические дискретные модели, отличающиеся наличием параметра, который позволяет обеспечить высокую устойчивость вычислений;

-построены новые линейно-параметрические дискретные модели, описывающие результаты эксперимента при неупругом, реологическом деформировании материалов и элементов конструкций, и на их основе разработаны новые, алгоритмы определения параметров кривой ползучести для нового класса задач оценки индивидуальной надежности механических систем; построены новые линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты измерений огибающей амплитуд колебаний систем с диссипативными силами, пропорциональными п— степени скорости движения, в том числе систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением, лежащие в основе новых алгоритмов вычисления диссипативных характеристик системы по огибающей амплитуд колебаний;

-разработан новый численный метод определения диссипативных характеристик систем с линейно-вязким трением, в основе которого лежит новое разностное уравнение, описывающее значения экспериментально построенной амплитудно-частотной характеристики, отличающийся от известного метода кривой резонанса более высокой точностью;

-разработаны новые специализированные устройства для измерения различных диссипативных характеристик (декремента колебаний, показателя затухания) в системах с линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением, отличающиеся от аналогов более высокой точностью.

Научная новизна полученных результатов подтверждается пятью авторскими свидетельствами на изобретение [1-5].

Научная значимость работы. В диссертации разработан принципиально новый подход к решению задачи параметрической идентификации диссипативных механических систем, ориентированный на применение современных компьютерных технологий и статистических методов обработки экспериментальных данных. Основу подхода составляют линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты наблюдений, и новый численный метод определения параметров диссипативной системы на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения.

Предлагаемый метод параметрической идентификации на основе разностных уравнений имеет существенно более широкую область применения, чем класс диссипативных механических систем. Он может быть эффективно использован при решении задач параметрической идентификации электрических и электротехнических систем, биологических, химических, экономических систем и т.п.

Практическая ценность работы. Теоретические результаты, полученные в диссертационной работе, являются методологической базой для разработки новых линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме разностных уравнений результаты измерений динамических и иных процессов на выходе систем различной физической природы. Предлагаемый численный метод определения параметров системы, в основе которого лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, позволяет практически обеспечить максимальную адекватность модели экспериментальным данным при использовании среднеквадратичного критерия близости.

Объект исследования принадлежит множеству различных по сложности, физической природе, служебному назначению и областям применения механических систем, которое в совокупности может быть описано классом нелинейных диссипативных систем. Например, конструкционные материалы, шарнирные и формально неподвижные соединения, различного рода демпфирующие и амортизирующие устройства, газотурбинные двигатели и их отдельные элементы и т.п. Поэтому область применения нового разработанного математического, алгоритмического и программного обеспечения, не ограничена каким-либо одним типом механической конструкции, а охватывает экспериментальные исследования всего многообразия объектов машиностроения: от оценки внутреннего трения конструкционных материалов до диагностики технического состояния ответственных механических устройств и т.п. Разработанный пакет прикладных программ, реализующий в среде визуального и объектно-ориентированного языка программирования под управлением операционной системы Windows помехозащищенные алгоритмы вычислений динамических характеристик, может быть использован при обработке результатов научно-технических экспериментов и промышленных испытаний систем различной физической природы.

Применение разработанных методов определения параметров механической системы на основе разностных уравнений обеспечивает существенное повышение точности вычисления диссипативных характеристик, а, следовательно, и достоверности оценки технического состояния механической системы. При этом по сравнению с известными методами определения параметров диссипативной системы по огибающей амплитуд колебаний или по резонансной кривой точность оценивания повышается в среднем на порядок [90]. Применение итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения позволяет за счет устранения смещения уменьшить погрешность оценок по сравнению с известными алгоритмами вычислений в несколько раз [77].

Построенные модели позволяют с высокой точностью оценить показатель нелинейности механической системы, который является важнейшим диагностическим признаком ее технического состояния, что существенно расширяет функциональные возможности разработанного метода определения параметров диссипативной системы. Применение линейно-параметрических дискретных моделей обеспечивает высокую оперативность получения оценок диссипативных характеристик (за несколько периодов, колебаний), что позволяет использовать разработанные алгоритмы в задачах управления в режиме реального времени .

Таким образом, научные результаты, представленные в работе, позволяют коренным образом изменить способы вычисления диссипативных характеристик при оценке технического состояния механической системы за счет внедрения в практику вибродиагностики диссипативных систем современных компьютерных технологий и статистических методов обработки экспериментальных данных. Экономический эффект от внедрения программного обеспечения, реализующего разработанные алгоритмы вычислений, достигается за счет повышения быстродействия и достоверности оценивания технического состояния механической системы в процессе ее эксплуатации или промышленных испытаний.

Основные положения, выносимые на защиту: теоретические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих динамические процессы в диссипативных и иных физических системах;

-линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений колебаний диссипативных механических систем при различных показателях нелинейности, в том числе систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением, а также систем с гистерезисным трением;

-новые структурные соотношения во временной области между ординатами колебаний, коэффициентами разностного уравнения и динамическими характеристиками нелинейной диссипативной системы;

-численный метод определения динамических характеристик диссипативной системы на основе линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений динамического процесса на выходе системы;

-структурные методы повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения; численный метод определения параметров кривой ползучести, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие результаты эксперимента при неупругом реологическом деформировании материалов и элементов конструкций;

-линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты измерений огибающей амплитуд колебаний.и численный метод определения диссипативных характеристик на их основе.

Методы исследований. Для? решения поставленных задач использовался системный подход к решаемой проблеме, в том числе методы математического и функционального анализа, аналитические и численные методы линейной алгебры, методы прикладного регрессионного анализа, статистические методы обработки результатов эксперимента, а также методы решения некорректных задач и методы, использующие г- преобразования. С целью верификации теоретических результатов широко использовались методы численного и компьютерного моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе научных результатов, выводов и рекомендаций обеспечивается корректным использованием применяемого математического аппарата и вводимых при проведении расчетов и моделировании допущений и гипотез, сравнением данных численного расчета с известными аналитическими методами для подтверждения точности результатов вычислений, численно-аналитическими экспериментами исследования адекватности моделей, численными экспериментами исследования устойчивости вычислений и анализа помехозащищенности моделей. Справедливость выводов относительно адекватности построенных математических моделей, достоверности, работоспособности и эффективности предложенных алгоритмов вычислений подтверждена результатами промышленных и научно-технических экспериментов. Реализация результатов исследований.

Полученные в работе теоретические положения и практические результаты использованы:

-при выполнении научно-исследовательской работы (НИР) «Разработка аналитических методов решения двумерных стохастических краевых задач установившейся ползучести», проводимой в СамГТУ по заданию Федерального агентства по образованию (Рособра-зование) (НИР №521/08); при выполнении аналитической ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», РНП 2.1.1/745; при выполнении НИР «Разработка методов и средств оценки состояния деталей машин, остаточного ресурса и технологических процессов формоизменения», проводимой в КПтИ (отчет по НИР номер гос. регистрации 01.9.20.005773, Куйбышев, 1991);

-при выполнении НИР «Программное и приборное обеспечение прогнозирования и технологические методы предотвращения отказов», проводимой в КПтИ (отчет по НИР номер гос. регистрации 01880016028, Куйбышев, 1990);

-при выполнении НИР «Разработка методов и программ оперативного определения динамических характеристик лопаток в прочностных испытаниях», проводимой для Куйбышевского моторного завода НПО «Труд» (х. д. №43/88, Куйбышев; 1990);

-при выполнении НИР «Доработка и передача алгоритмов и программ измерения параметров экспоненциально-синусных импульсных сигналов», проводимой в составе темы «СНОП-К» для предприятия п/я Р-6856 (договор на передачу научно-технических достижений 13П-86, Вильнюс, 1986);

-при выполнении НИР «Разработка методов и средств диагностирования силовых элементов ВПУ. Разработка методов диагностирования ВПУ для эксплуатации по техническому состоянию», проводимой в КПтИ (отчет по НИР номер гос. регистрации 01830060143, Куйбышев, 1985);

-в учебном процессе Самарского государственного технического университета при подготовке студентов специальности 01.05.01 «Прикладная математика и информатика» в лекционных курсах по дисциплинам «Численные методы» и «Прикладной регрессионный анализ», а также в курсовых и выпускных квалификационных работах.

Реализация результатов научных исследований подтверждается справками и актами внедрения, представленными в приложении к диссертации.

Апробация работы. Основные научные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на Всесоюзных, Российских и Международных конференциях, симпозиумах, конгрессе и съезде, в том числе:

-Шестой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2009; IV Всероссийской научно-технической конференции «Ресурс и диагностика материалов и конструкций» - Екатеринбург, 2009; Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» — Ульяновск, 2009; Пятой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2008; V Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» — Екатеринбург, 2008; XVI Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» - Пермь, 2007; Восьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2007; XVIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды Международной конференции) - Саратов, 2007; Четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2007; Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ» — Санкт-Петербург, 2007; Научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» - Самара, 2007; Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Йошкар-Ола, 2006; Научно-технической конференции с международным участием «Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении (ПИТ-2006)» — Самара, 2006; Всероссийской научной конференции «Математика. Механика. Информатика» - Челябинск, 2006; Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» — Самара, 2006; IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике — Нижний Новгород, 2006;

Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Санкт-Петербург, 2005; Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2005; Пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2004; Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2004; Четвертом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике — Сочи, 2003; Тринадцатой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» — Самара, 2003; Десятой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2000; Девятой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» — Самара, 1999; Восьмой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1998; Седьмой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» -Самара, 1997; Шестой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1996; Конференции ученых России и стран Европы «Надежность механических систем» — Самара, 1995; Пятой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1995; Семинаре «Новые методы и средства виброакустических исследований и диагностики» - Ленинград, 1990; Первой Всесоюзной школе-конференции «Математическое моделирование в машиностроении» -Куйбышев, 1990; Всесоюзной научно-технической конференции «Применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях» - Севастополь, 1990; Всесоюзной научно-технической конференции «Повышение качества и надежности продукции, программного обеспечения ЭВМ и технических средств обучения» - Куйбышев, 1989; Всесоюзной научно-технической конференции «Эксплуатационная надежность машин, роботов и модулей гибких производственных систем» - Свердловск, 1987; X Всесоюзной научно-технической конференции «Конструкционная прочность двигателей» - Куйбышев, 1985.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 113 научных работах, в том числе в 1 монографии, 36 научных работах, опубликованных в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК России дшь опубликования результатов докторских диссертаций, в 46 статьях, 25 тезисах докладов и 5 авторских свидетельствах на изобретение.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложений и списка использованных источников, содержащего 206 наименований. Основная часть диссертационной работы содержит 400 страниц машинописного текста, включающего 126 рисунков и 52 таблиц.

6.3 Выводы

1. Разработан пакет прикладных программ, реализующий устойчивые алгоритмы вычислений параметров диссипативной механической системы по результатам измерений различных по виду процессов, наблюдаемых на выходе системы, и предназначенный для применения в натурных экспериментах.

2. Рассмотрен синтез и описана работа специализированных устройств для измерения диссипативных характеристик систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением на основе линейно-параметрических дискретных моделей. Разработанные устройства защищены авторскими свидетельствами на изобретение, обладают повышенной точностью и быстродействием, просты в технической реализации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Анализ существующего математического описания диссипативных механических систем и систематизация известных методов определения динамических характеристик, в том числе показателя нелинейности, показали, что для достижения поставленной в работе цели необходима разработка наиболее перспективных линейно-параметрических дискретных моделей и алгоритмов оценивания динамических характеристик на их основе.

2. Получены приближенные решения квазилинейных дифференциальных уравнений, описывающие динамику диссипативных систем, как с частотно-зависимым, так и с частотно-независимым трением при монотонно изменяющихся типовых тестовых воздействиях. Проведенные исследования адекватности математических моделей в форме уравнений, разрешенных относительно обобщенной координаты, подтверждают высокую точность полученных решений.

3. Построены различные аппроксимирующие модели огибающей амплитуд колебаний диссипативных систем в зависимости от степени нелинейности. Проведены аналитические и компьютерные исследования точности аппроксимации. Построены области адекватного приближения огибающей амплитуд колебаний, позволяющие в зависимости от выбранной модели, показателя нелинейности и заданной точности аппроксимации указать допустимый временной интервал обработки экспериментальной виброграммы.

4. Разработаны теоретические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей в виде рекуррентных формул, связывающих несколько последовательных дискретных значений функциональной зависимости; рассмотрены различные подходы к построению дискретных моделей в зависимости от режима колебаний системы, функций, аппроксимирующих монотонную составляющую в уравнениях колебаний, априорной информации о собственной частоте системы и параметрах типового тестового воздействия.

5. Сформирован класс линейно-параметрических дискретных моделей, систематизированных в зависимости от типа системы (в том числе с линейно-вязким, кулоновым и турбулентным трением), режимов функционирования (типа тестового воздействия), функций, аппроксимирующих тренд, схемы организации эксперимента.

6. Получены функциональные соотношения, связывающие коэффициенты линейно-параметрических дискретных моделей с динамическими характеристиками системы, в том числе с показателем ее нелинейности. Тем самым решена задача классификации широкого класса систем при нестационарных режимах колебаний, содержащих тренд в форме монотонной составляющей. Получены формулы, связывающие коэффициенты построенных разностных уравнений с начальными амплитудой и фазой колебаний. Эти соотношения могут быть использованы при построении амплитудной зависимости декремента колебаний в нелинейных системах.

7. Разработан и апробирован в научно-технических экспериментах новый численный метод определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений динамического процесса на выходе системы. Сведение задачи идентификации нелинейной диссипативной системы к задаче среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнений, применение в алгоритме оценивания статистических методов анализа временных рядов, позволяет обеспечить высокую помехозащищенность результатов вычислений.

8. Разработана итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения; сформулированы и доказаны теоремы о достаточных условиях сходимости итерационной процедуры; получены аналитические выражения, описывающие смещение оценок коэффициентов разностного уравнения; проведены численно-аналитические исследования эффективности итерационной процедуры при среднеквадратичном оценивании коэффициентов разностного уравнения.

9. Разработана методика и получены формулы для оценки погрешности результатов вычисления параметров диссипативной системы на основе разностных уравнений. Проведен анализ процесса формирования погрешности оценок динамических характеристик на всех этапах идентификации нелинейной диссипативной системы. Поэтапно выявлены источники составляющей погрешности, указаны возможные пути уменьшения их влияния и приоритетные направления в решении задачи повышения точности.

10. Разработан структурный метод повышения устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, в основе которого лежит построение модифицированных линейно-параметрических дискретных моделей, инвариантных к уменьшению периода дискретизации при формировании выборки результатов наблюдений

11. Построены дискретные модели для разных фазовых переменных, как по отдельности, так и в их совокупности, позволяющие вычислять динамические характеристики системы в условиях организации эксперимента, когда используются результаты измерений не только перемещения, но и скорости и ускорения системы.

12. Разработан численный метод определения параметров кривой ползучести, в основе которого лежит линейно-параметрическая дискретная модель, описывающая данные эксперимента по построению уточненных моделей неупругого реологического деформирования материалов с целью прогнозирования индивидуальных деформационных свойств.

13. Разработан алгоритм определения параметров передаточной функции объекта управления на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения кривой разгона; получены соотношения, позволяющие оценить погрешность вычисления параметров передаточной функции.

14. Построена линейно-параметрическая дискретная модель, описывающая в форме стохастического разностного уравнения дискретные значения экспериментально построенной амплитудно-частотной характеристики системы с линейно-вязким трением. Разработан численный метод определения диссипативных характеристик по резонансной кривой для систем с линейно-вязким трением, в основе которого лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов разностного уравнения.

15. Построены и систематизированы разностные уравнения, описывающие результаты измерений огибающей амплитуд колебаний нелинейной диссипативной системы и лежащие в основе численного метода определения параметров диссипативной системы.

16. Проведен сравнительный анализ погрешности вычисления параметров различных по функциональному назначению механических систем разработанным численным методом на основе разностных уравнений и известными методами (методом затухающих колебаний, методом кривой резонанса, методом выделения экспоненциальных составляющих, методом площадей, методом определения параметров характеристики сопротивления по огибающей экспериментальной виброграммы т.д.) для широкого круга прикладных задач машиностроения. Результаты анализа подтверждают высокую эффективность разработанных численных методов, позволяющих существенно (до десятков раз) повысить точность вычислений по сравнению с известными методами.

17. Разработано программное обеспечение, реализующее устойчивые алгоритмы вычисления параметров диссипативной механической системы на основе линейно-параметрических дискретных моделей по результатам измерений различных по виду процессов, наблюдаемых на выходе системы, и предназначенное для использования в информаци-.онно-измерительных комплексах при оценке технического состояния механической системы.

18. На основе построенных линейно-параметрических дискретных моделей разработаны специализированные устройства для измерения диссипативных характеристик систем с линейно-вязким, кулоновым и турбулентным трением. Эти устройства защищены авторскими свидетельствами на изобретение, обладают повышенной точностью и быстродействием по сравнению с аналогами, просты в технической реализации.

1. А.с. №1322198 (СССР), G 01 R 27/28, G 01 H 11/06. Устройство для измерения логарифмического декремента затухания колебаний. / В.К. Семенычев, В.Е. Зотеев. — №3986386/24-28; Заявлено 09.12.85; Опубл. 07.07.87, Бюл. № 25.

2. А.с. №1326931 (СССР), G 01 M 7/00, G 01 H 13/00. Способ определения параметров затухания и резонансной частоты механической системы с турбулентным трением. / В.К. Семенычев, В.Е. Зотеев. -№3894809/25-28; Заявлено 07.05.85; Опубл. 30.07.87, Бюл. № 28.

3. А.с. №1396000 (СССР), G 01 N 19/00. Устройство для измерения декремента колебаний в системах с турбулентным трением. / В.К. Семенычев, В.Е. Зотеев. №4143470/24— '28; Заявлено 06.11.86; Опубл. 15.05.88, Бюл. № 18.

4. А.с. №1397767 (СССР), G 01 M 7/00. Способ определения логарифмического декремента колебаний линейной механической системы. / В.К. Семенычев, В.Е. Зотеев,— №4049658/25-28; Заявлено 24.02.86; Опубл. 23.05.88, Бюл. № 19.

5. А.с. №1539682 (СССР), G 01 R 27/28. Устройство для измерения затухания колебаний в системах с турбулентным трением. / В.К.Семенычев, В.Е. Зотеев, А.Ю. Бучин. — №4358116/24-21; Заявлено 04.02.88; Опубл. 30.01.90, Бюл. № 4.

6. Андерсон Т.В. Статистический анализ временных рядов. — М.: Мир, 1976. — 756 с.

7. Баринов Ю.Г. Линейные дискретные временные модели виброакустических сигналов в диагностике машин // Точность и надежность механических систем. Стохастическая локализация врожденности: Сб. науч. тр./ Рижск. политехи, ин-т. Рига, 1983.- С. 37—48.

8. Басков А.Г. Кратко А.Г., Бовсуновский А.П. и др. Автоматическая система измерения характеристики демпфирования колебаний механических систем на основе микроЭВМ // Проблемы прочности. 1990. - № 1. - С. 110-112.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. 632 с.

10. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа. — М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

11. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. —504 с.

12. Божко А.Е., Голуб Н.М. Динамико-энергетические связи колебательных систем.- Киев: Наук, думка, 1980. 188 с.

13. Бойцов Б.В. Прогнозирование долговечности напряженных конструкций: комплексное исследование шасси самолета. — М: Машиностроение, 1985. — 232 с.

14. Бокс. Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1, 2.-М.: Мир, 1974.-406 с.

15. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. -600 с.

16. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. - 312 с.

17. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1978. 335 с.

18. Брандт 3. Статистические методы анализа наблюдений.: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.-312 с.

19. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1986. -544 с.

20. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. М.: Машиностроение, т.1 — 1978 - 352 е.; т.2- 1979.-351 е.; т.5 - 1981. -496 с.

21. Вибрационный контроль технического состояния газотурбинных газоперекачивающих агрегатов. / Васильев Ю.И., Бескелетный М.С., Игуменцев Е.А. и др. М.: Недра, 1987.- 197 с.

22. Виброакустическая диагностика зарождающихся дефектов / Ф.Я. Балицкий, М.А. Иванова, А.Г. Соколова и др. М.: Наука, 1984. - 120 с.

23. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления М.: Наука, 1984. - 320 с.

24. Волков Е.А. Численные методы. СПб.: Изд-во «Лань», 2004. - 256 с.

25. Вучков И., Бояджиева JL, Солаков О. Прикладной линейный регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1987. - 238 с.

26. Генкин М.Д., Соколова А.Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М.: Машиностроение, 1987.-288 с

27. Глаговский Б.А., Московенко И.Б. Низкочастотные акустические методы контроля в машиностроении. Л.: Машиностроение, 1977 — 208 с.

28. Глебов И.А., Данилевич Я.Б. Диагностика турбогенераторов. Л.: Наука, 1989.119 с.

29. Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 288 с.

30. Григолюк Э.И., Кулаков H.A. Метод исследования динамики и прочности конструкций с учетом матрицы демпфирования общего вида // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1990. - № 5. - С. 15-19.

31. Гроп Д. Методы идентификации систем / Под ред. Е.И. Кринецкого. — М.: Мир, 1979.-302 с.

32. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979.-240 с.

33. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981.-302 с.

34. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Физматгиз, 1968. - 368 с.

35. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и г— преобразования. М.: Наука, 1971. - 288 с.

36. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. — М.: Мир, вып. 1, 1971, вып. 2, 1972.-318 с.

37. Диментберг М.Ф., Абульханов А.Р. Об определении коэффициентов демпфирования по средним периодам огибающих случайных колебаний // Машиностроение. — 1970. — №4.-С. 10-12.

38. Добрынин С.А., Фельдман М.С., Фирсов Г.И. Методы автоматизированного исследования вибраций машин: Справочник. — М.: Машиностроение, 1987. — 224 с.

39. Должковой A.A., Попов H.H., Радченко В.П. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра // ПМТФ. 2006. Т. 47. №1. С. 161-171.

40. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Статистика, 1973. -232 с.

41. Дэвис, Хэммонд. Приближенное описание колебаний конструкций с большим числом собственных форм с помощью параметрических моделей и моделей, оперирующих огибающими И Конструирование и технология машиностроения. 1986. -№ 1. — С. 31-38.

42. Еремин Ю.А., Радченко В.П., Самарин Ю.П. Расчет индивидуальных деформационных свойств элементов конструкций в условиях ползучести // Машиноведение. — 1984. — №1. С. 67-72.

43. Жданов А.И. Вычисление регуляризованных оценок наименьших квадратов по неточным данным // Автоматика и телемеханика. — 1990. —№3. С. 110-117.

44. Жданов А.И. Регуляризация неустойчивых конечномерных линейных задач на основе расширенных систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. — Т. 45.-№11. — С. 1918-1926.

45. Жданов А.И., Коцюба O.A. Идентификация по методу наименьших квадратов параметров уравнений авторегрессии при аддитивных ошибках измерений // Автоматика и телемеханика. 1982. -№2. - С. 29-38.

46. Жданов А.И., Коцюба O.A. О состоятельности оценок наименьших квадратов параметров разностных уравнений при автокоррелированных помехах // Кибернетика. -1983.-№5,-С. 102-107.

47. Жданов А.И., Коцюба O.A. Особенности применения метода наименьших квадратов для оценивания параметров линейных разностных операторов в задачах идентификации объектов управления // Автоматика и телемеханика. — 1979. -№8. — С. 86-96.

48. Жданов А.И., Коцюба O.A. Рекуррентное оценивание параметров стохастических линейных динамических систем с ошибками по выходу и входу // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1986. -№3. - С. 191-194.

49. Жданов А.И., Шамаров П.А. Прямой проекционный метод в задаче полных наименьших квадратов // Автоматика и телемеханика. 2000. -№4. — С. 77-87.

50. Жезекель. Три новых метода идентификации форм колебаний конструкций // Конструирование и технология машиностроения. 1986. — № 1. — С. 14—31.

51. Жовинский В.И., Арховский В.Ф. Корреляционные устройства. М.: Энергия, 1974.-248 с.

52. Закс JI. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976.

53. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Определение параметров испытательных импульсов на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. 2008. - № 2(17). — С. 262-267.

54. Зотеев В.Е. Авторегрессионные модели колебаний нелинейных диссипативных систем // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды пятой научной межвузовской конференции: Сб. науч. тр. / Инж.акад. РФ, СамГТУ. Самара: СамГТУ, 1995. - С. 48^49.

55. Зотеев В.Е. Исследование устойчивости авторегрессионных моделей колебаний диссипативных систем // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2003. -Т. 10, вып. 3. -С. 653-654.

56. Зотеев В.Е. Исследование устойчивости авторегрессионных моделей колебаний систем с линейно вязким и турбулентным трением. // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.- мат. науки. — 2003. № 19. — С.53-58.

57. Зотеев. В.Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения колебания систем с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2005. Т. 12, вып. 4. -С. 970-971.

58. Зотеев В.Е. Математические основы построения разностных уравнений для задач параметрической идентификации // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ — мат. науки. — 2008. № 2(17); — С.192-202.

59. Зотеев В.Е. Обобщение метода наименьших квадратов при вычислении коэффициентов линейно параметрической дискретной модели колебаний систем с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. -Т. 11, вып. 4. С. 818-819.

60. Зотеев В.Е. Оперативный метод оценки диссипативных и резонансных характеристик нелинейных механических систем // Надежность и прочность машиностроительных конструкций: Сб. науч. тр. / КПтИ. Куйбышев: 1988 — С. 30-34.

61. Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик диссипативных систем на основе авто регрессионных моделей // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11. вып. 3. -С. 644-645.

62. Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик систем с турбулентным трением на основе стохастических разностных уравнений колебаний // Известия вузов. Машиностроение. 2008. №4. С. 30-40.

63. Зотеев В.Е. Определение параметров кривой разгона на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия техн. науки. 2008. - № 2(22). - С. 29-37.

64. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация динамических систем на основе стохастических разностных уравнений // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. — Т. 15, вып. 2. -С. 300-301.

65. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений / Под ред. В.П. Радченко. М.>: Машиностроение, 2009. -344 с.

66. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация кривых ползучести на основе стохастических разностных уравнений // Вестник,Самарского госуд. техн. университета. Серия физ.- мат. науки. 2008, №1(16). С. 90-95.

67. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация линейной динамической системы на основе стохастических разностных уравнений // Математическое моделирование. — 2008. Т. 20. - №9. - С. 120-128.

68. Зотеев В.Е. Повышение устойчивости вычислений динамических характеристик систем с линейно вязким трением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всерос. науч. конф. Часть 2: Сб. научн. тр. — Самара: СамГТУ, 2004. — С.103—106.

69. Зотеев В.Е. Помехозащищенный метод определения параметров линейной динамической системы на основе импульсной характеристики // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. — 2007. — № 1(14). С. 138142.

70. Зотеев В.Е. Исследование сходимости итерационной процедуры вычисления коэффициентов разностного уравнения. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. Самара: СамГТУ, 2009. - С.47-54.

71. Зотеев В.Е. Применение Х- преобразования в задачах параметрической идентификации нелинейных систем // Вопросы теории и проектирования систем автоматического регулирования и управления: Сб. науч. тр. / — Уфа: 1986. С. 124-127.

72. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Параметрическая идентификация систем, описываемых дифференциальным уравнением Эйлера // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всерос. науч. конф. Часть 4: Сб. научн. тр. Самара: СамГТУ, 2009. — С.54-61.

73. Зотеев В.Е. Разработка и исследование линейных дискретных моделей колебаний диссипативных систем // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ- мат. науки. 1999. - № 7. - С. 170-177.

74. Зотеев В.Е. Разработка и применение авторегрессионных моделей при определении динамических характеристик нелинейных диссипативных систем // Математическое моделирование систем и процессов управления: Сб. науч. тр. / СамГТУ. Самара: 1997. - С. 34-38.

75. Зотеев В.Е. Сравнительный анализ методов определения динамических характеристик диссипативной системы // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. 2006. - № 43. - С. 153-158.

76. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Определение постоянной времени последовательной активно-емкостной цепи на основе стохастического разностного уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006. Т. 13, вып. 5. -С. 906-907.

77. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Помехозащищенный метод параметрической идентификации линейной динамической системы по ее импульсной характеристике // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. - Т. 14, вып. 2. -С. 299-300.

78. Зотеев В.Е., Заусаева М.А. Разработка и применение стохастических разностных уравнений для систем с кратными корнями характеристического уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. — Т. 15, вып. 2. -С. 300.

79. Зотеев В.Е., Иранова A.A. Повышение устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения для систем с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. - Т. 15, вып. 2. -С. 302.

80. Зотеев В.Е., Попова Д.Н. Оценка нелинейности сил трения на основе стохастического разностного уравнения колебаний диссипативной системы // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. -Т. 12, вып. 2. — С. 373.

81. Кано. Метод идентификации линейных динамических систем со многими входами и выходами при экспериментальном модальном анализе механических конструкций // Современное машиностроение. 1990. - № 1. - С. 6-13.

82. Карасев В.А., Максимов В.П., Сидоренко М.К. Вибрационная диагностика газотурбинных двигателей. — М.: Машиностроение, 1978. 132 с.

83. Карасев В.А., Ройтман А.Б. Доводка эксплуатируемых машин. Вибродиагностические методы. М.: Машиностроение, 1986. — 192 с.

84. Кармалита В.А. Цифровая обработка случайных колебаний. М.: Машиностроение, 1986. — 80 с.

85. Кашьяп P.JL, Pao А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. — М.: Наука, 1983.- 384 с.

86. Кей С.М., Марпл-мл. С.П. Современные методы спектрального анализа. Обзор. ТИИЭР. 1981. - № 11.-С. 5-51.

87. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. - 376 с.

88. Коломбет С.А., Стародуб Г.И., Алексенко А.Г. Применение прецизионных аналоговых ИИС. М.: Радио и связь, 1981. - 224 с.

89. Кононенко В.О., Плахтиенко Н.П. Методы идентификации механических нелинейных колебательных систем. Киев: Наук, думка, 1976. — 116 с.

90. Конюхов Н.Е., Медников Ф.М., Нечаевский M.J1. Электромагнитные датчики механических величин. — М.: Машиностроение, 1987. 256 с.

91. Кораблев С.С., Шапин В.И., Филатов Ю.У. Вибрационная диагностика в прецизионном приборостроении. -J1.: Машиностроение, 1984. 84 с.

92. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1973.-832 с.

93. Куликовский K.JL, Купер В.Я. Методы и средства измерений. М: Энергоатом-издат, 1986.-448 с.

94. Кумаресан Р, Тафте Д.И. Улучшенные методы спектрального разрешения, III : Эффективная реализация // ТИИЭР. 1980. - Т. 68. - № 10.- С. 218-220.

95. Кумаресан Р. Точное оценивание частот с помощью частотно-полюсного фильтра, имеющего, в основном, нулевые коэффициенты. // ТИИЭР. 1982. - Т.70. - № 8. -С. 102-104.

96. Кумаресан Р., Тафте Д.У., Шарф JI.JI. Метод Прони для зашумленных данных: подбор составляющих сигнала и выбор порядка моделей с экспоненциальными сигналами. // ТИИЭР. 1984. - Т. 72. - № 2. - С. 97-99.

97. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1971. - 432 с.

98. Левитский Н.И. Колебания в механизмах: М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1988.-336 с.

99. Львовский E.H. Статистические методы построения эмпирических формул. — М.: Высш. шк., 1988.-239 с.

100. Марков С.И., Минаев В.М., Артамонов Б.И. Идентификация колебательных систем автоматического регулирования Л.: Энергия, 1975. 96 с.

101. Марпл-мл. C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990.-584 с.

102. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. — 609 с.

103. Матвеев В.В. Демпфирование колебаний деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1985.-264 с.

104. Мелик-Шахнозаров A.M., Маркатун М.Г. Цифровые измерительные системы корреляционного типа. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 128 с.

105. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. М.: Наукова думка, 1971. -440 с.

106. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М.: Наука, 1964. -431 с.

107. Найфэ А. Введение в методы возмущений: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 535 с.

108. Островский Л.И., Медвинский М.Д. Прибор для автоматического измерения декремента колебаний // Рассеяние энергии при колебаниях упругих систем. Киев: Наук, думка, 1968.-С. 214-221.

109. Отнес Р., Эноксон JI. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. — М.: Мир, 1982.-428 с.

110. Пановко А.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. — JL: Машиностроение, 1976. — 320 с.

111. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. — М.: Наука, 1991. -256 с.

112. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. — М.: Физмат-гиз, I960. 194 с.

113. Партхасаратхи С., Тафте Д.У. Оценка параметров экспоненциально затухающих синусоид по методу максимального правдоподобия // ТИИЭР. 1985. - Т. 73. - № 10. - С. 100-101.

114. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. Киев: Наукова думка, 1970. — 380 с.

115. Писаренко Г.С. Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях. Киев: Наукова думка, 1985. — 240 с.

116. Писаренко Г.С., Матвеев В.А., Яковлев А.П. Методы определения характеристик колебаний упругих систем. — Киев: Наук, думка, 1976. — 88 с.

117. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов: Справочник. — Киев: Наук, думка, 1971. — 376 с.

118. Попков В.И., Мышинский Э.Л., Попков О.И. Виброакустическая диагностика в судостроении. Л.: Судостроение, 1986. -256 с.

119. Постников B.C. Внутреннее трение в металлах. М.: Металлургия, 1974. - 352 с.

120. Приборы и системы для измерения вибрации, шума и удара: Справочник в 2-х кн. / Под ред. В.В.Клюева. — М.: Машиностроение, 1978. — Кн.1. 477 е.; Кн. 2. — 439 с.

121. Прочность и долговечность автомобиля. / Гольд Б.В., Оболенский Е.П., Стефанович Ю.Г. и др. М.: Машиностроение, 1974. - 328 с.

122. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2002.-496 с.

123. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. — М.: Наука, 1968.

124. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука, 1966. — 752 с.

125. Радченко В.П. Энергетический подход к прогнозированию ползучести и длительной прочности материалов в стохастической постановке // Проблемы прочности. 1992. — №2. — С. 34—40.

126. Радченко В.П., Дудкин С.А., Тимофеев М.И. Экспериментальное исследование и анализ полей неупругих микро- и макро неоднородностей сплава АД —1 // Вестник Самарского гос. техн. университета. Серия физ.- мат. науки. 2002. - Вып. 16. — С. 111—117.

127. Радченко В.П., Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик механической системы на основе стохастических разностных уравнений колебаний // Известия вузов. Машиностроение. -2007. №1. - С. 3—10.

128. Радченко В.П., Павлова Г.А. Прогнозирование индивидуальной надежности элементов конструкции при ползучести на стадии эксплуатации по лидеру // Известия вузов. Машиностроение. 1989. - №11. - С. 23-27.

129. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применение. — М.: Наука, 1968. 547 с.

130. Pao С.Р. Линейные статистические модели-и их применение. — М.: Статистика,1975. .

131. Редько С.Ф., Ушкалов В.Ф., Яковлев В.П. Идентификация механических систем. Определение динамических характеристик и параметров. Киев: Наук, думка, 1985. - 216 с.

132. Румишский JI.3. Математическая обработка результатов эксперимента. М.: Наука, 1971.- 193 с.

133. Самарин Ю.П. О применении стохастических уравнений в теории ползучести материалов // Изв. АН СССР. МТТ. 1974. - №1. - С. 88-94.

134. Самарин Ю.П. Построение экспоненциальных аппроксимаций для кривых ползучести методом последовательного выделения экспоненциальных слагаемых // Проблемы прочности. 1974. - №9. - С. 24-27.

135. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980. - 456 с.

136. Семенычев В.К., Зотеев В.Е. Метод исследования вибраций в нелинейных механических системах на основе АР моделей // Новые методы и средства виброакустических исследований и диагностики: Сб. науч. тр. / Ленинград: 1990. - С. 62-68.

137. Семенычев В.К., Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик колебательных систем с турбулентным трением. // Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1990. - № 11.-С. 42-45.

138. Семенычев В.К., Зотеев В.Е. Определение параметров затухающих колебаний на основе разностных схем // Проблемы прочности. 1988. — № 12. — С. 101—105.

139. Семенычев В.К., Тырсин А.Н. Определение параметров испытательных гармонических сигналов на основе разностных схем // Автометрия. -1991. — №3. С. 95-98.

140. Сидоров О.Т. Использование динамических характеристик изделия для оценки его технического состояния // Проблемы прочности. 1983 — №6. - С. 112—114.

141. Соколов В.И. О возможности обнаружения трещин в составных элементах по изменению характеристик конструкционного демпфирования // В сб. Динамика, выносливость и надежность авиационных конструкций и систем. М.: МИИГА, 1978. - С. 30-35.

142. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Госстройиздат, 1960. 132 с.

143. Стефани Е.П. Основы расчета настройки регуляторов теплоэнергетических процессов. М.: Энергия, 1972. - 328 с.

144. Тафте Д.И., Кумаресан Р. Оценивание частот суммы нескольких синусоид: Модификация метода линейного предсказания, сравнимая по эффективности с методами максимального правдоподобия // ТИИЭР. 1982. - Т.70. - № 9. - С. 77-94.

145. Тафте Д.И., Кумаресан Р. Улучшенные методы спектрального разрешения // ТИИЭР. 1980.-Т. 68. — № 3. — С. 137-138.

146. Трощенко В.Т., Митченко Е.И. Прогнозирование долговечности при программном циклическом нагружении с учетом рассеяния свойств // Проблемы прочности. — 1984. — №10.-С. 3-8.

147. Турчак Л.И. Основы численных методов. — М.: Наука, 1987. — 320 с.

148. Тырсин А.Н. Идентификация зависимостей на основе моделей авторегрессии // Автометрия. -2005. Т. 41. -№1. - С. 43-49.

149. Тырсин А.Н. Построение моделей авторегрессии временных рядов при наличии помех // Математическое моделирование. 2005. - Т. 17. — №1. - С. 10-16.

150. Устойчивые статистические методы оценки данных // Под ред. JI.P. Лонера, Г.Н. Уилкинсона. М.: Машиностроение, 1984. - 232 с.

151. Фавстов Ю.К., Шульга Ю.Н. Сплавы с высокими демпфирующими свойствами.- М.: Металлургия, 1973. 256 с.

152. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.- 400 с.

153. Фритцен. Идентификация матриц массы, демпфирования и жесткости механических систем // Конструирование и технология машиностроения. 1986. — № 1. — С. 11—13.

154. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. — М.: Мир, 1973. -958 с.

155. Цапенко М.П. Измерительные и информационные системы. М.: Энергия, 1974.- 320 с.

156. Цема М.И. Измерение и обработка параметров монотонно затухающих сигналов.- Киев: Наук.думка, 1988. 120 с.

157. Чайковский Б.С., Позен Н.Л., Иванов Р.К. и др. Прибор для автоматического счета числа циклов затухающих колебаний в заданном интервале изменения амплитуды // Проблемы прочности. 1970. - № 9. - С. 112-113.

158. Штейнберг П1.Е. Идентификация в системах управления. — М.: Энергоатомиздат, 1987.-80 с.

159. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния. — М.: Мир, 1975. — 241 с.

160. Явленский К.Н., Явленский А.К. Вибродиагностика и прогнозирование качества механических систем. Л.: Машиностроение, 1983. — 239 с.

161. Anderson T.W. An introduction to multivariate statistical analysis. John Wiley,1958.

162. Anderson T.W. Determination of the Order of Dependence in Normally Distributed Time Series, In: Time Series Analysis (Rosenblatt M., Ed.), Wiley, 1963, pp. 425-446.

163. Box G.E.P., Jenkins G.M. Time Series Analysis, Forecasting and Control. Holden-Day, Inc., San Francisco, 1970.

164. Jenkins G.M., Watts D.G. Spectral Analysis and Its Applications. Holden-Day, Inc., San Francisco, 1968.

165. Kashyap R.L. Inconsistency of AIC Rule for Estimation the Order of Autoregressive Models. IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-25, pp. 996-998, October 1980.

166. Kashyap R.L., Rao A.R. Dynamic Stochastic Models from Empirical Data, Academic Press, 1976.

167. Kay S.M. Modern Spectral Analysis. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N, J.,1987.

168. Kay S.M. Noise Compensation for Autoregressive Spectral Estimators. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-28, pp. 292-303, June 1980.

169. Kay S.M. Recursive Maximum Likelihood Estimation of Autoregressive Processes. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-31, pp. 56-65, February 1983.

170. Kendall M.G. On the Analysis of Oscillatory Time Series. J. R. Stat. Soc., vol. 108, p. 93,1945.

171. Marple S.L., Jr. Efficient Least Squares FIR System Identification. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-29, pp. 62-73, February 1981.

172. Pandit S.M., Wu S.M. Time Series and System Analysis with Applications. -New York etc.: Wiley, 1983. 586 p.

173. Semenychev V.K., Tyrsin A.N. Identification of the Mechanical Systems Transfer Function under Unobservable Influence // International Conference on Vibration Problems in Engineering. Wuhan — Changing, China. - 1990.

174. Zhdanov A.I., Katsyuba O.A. Strong consistency of estimates made by the method of orthogonal projections // Int. J. Syst. Sci. 1990. V. 21, No. 8. P. 1463-1471.