автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Структурно-параметрическая идентификация линейных динамических систем

На правах рукописи

Каргин Антон Вячеславович

СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула, 2004

Работа выполнена на кафедре «Автоматизированные информационные и управляющие системы» в Тульском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

Фатуев Виктор Александрович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

Ларкин Евгений Васильевич

кандидат технических наук, доцент

Привалов Александр Николаевич

Ведущая организация: ЗАО «Тульская лаборатория информационных и математических технологий» (ЗАО «ЛИМ»).

тационного совета Д 212.271.05 при Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92,9-й учебный корпус, ауд. 10^

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан «22» ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

Защита состоится декабря 2004 г. в

на заседании диссер-

д.т.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Методы идентификации, как методы построения математических моделей реальных динамических систем, подверженных неконтролируемым случайным воздействиям (стохастических систем), сегодня являются важной составной частью процесса решения задач управления.

В случае, когда априорной информации об объекте исследования не имеется (или она нуждается в подтверждении), существующие методы определения порядка математических моделей реальных динамических систем не способны ответить на все вопросы об особенностях системы и обозначают лишь некоторые ориентиры в выборе возможной модели.

Например, во многих методах определения порядка модели результаты работы соответствующих алгоритмов отображаются в виде графиков, таблиц и т.п., и выбор значения порядка модели осуществляется исследователем вручную.

Ряд существующих методов структурной идентификации используют функцию потерь в виде суммы квадратов невязок модели. Такая функция потерь усредняет значения невязок, что недопустимо при решении ряда практических задач, в которых необходимо выполнения условия ограниченности невязок.

В отсутствии общей теории структурной идентификации динамических систем, остается актуальной задача создания нового эффективного метода определения порядка динамической системы, использующего условие ограниченности невязок.

Целью диссертационной работы является разработка метода структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем, использующего условие ограниченности невязок.

Задачи исследования. Для достижения цели исследования были поставлены и решены следующие задачи:

• разработать метод структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем, использующий условие ограниченности невязок - метод ограниченных невязок;

• разработать программное обеспечение, реализующее метод ограниченных невязок;

• экспериментально подтвердить работоспособность разработанного метода структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем при идентификации рулевого привода летательного аппарата.

Объектом исследования являются линейные стохастические динамические системы, описываемые разностными уравнениями и системами разностных уравнений.

Предметом исследования являются методы структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем.

РОС. НА1.........

БИБЛИОТЕКА С. Петербург / О» >»#»«//

Методы исследования. В диссертационной работе использованы вероятностно-статистические методы, а также методы имитационного моделирования.

Научная новизна работы заключается в следующем: разработан метод построения моделей одномерных и многомерных линейных динамических систем в виде разностного уравнения и системы разностных уравнений, использующий в качестве критерия качества модели частоту ограниченных невязок и определяющий отдельно порядки левой и правой частей каждого разностного уравнения системы.

Достоверность полученных результатов подтверждена результатами проведенных в работе 9900 вычислительных экспериментов по идентификации 300 одномерных и многомерных линейных динамических систем.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при построении математических моделей широкого класса реально функционирующих линейных динамических систем, подверженных действию случайных воздействий.

Апробация работы. Основные результаты диссертации внедрены на ФГУП «Конструкторское бюро приборостроения», г. Тула.

Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

• III международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'04). M: ИПУ РАН, 28-30 января 2004г.

• II Всероссийская научная конференция «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB», М: ИПУ РАН, 2526 мая 2004г.

Публикации. По результатам проведенных исследований опубликовано 7

работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложения. Работа изложена на 100 страницах, содержит 24 иллюстрации и 5 таблиц. Библиографический список включает 88 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определены цель и основные задачи работы, сформулирована научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе «Анализ методов построения математических моделей линейных динамических систем» проведен анализ существующих методов построения математических моделей реальных линейных динамических систем, подверженных действию случайных воздействий.

Рассмотрены два типа моделей линейных динамических систем: разностное уравнение и система разностных уравнений.

Проведен обзор существующих методов параметрической идентификации. Необходимость их рассмотрения связана с тем, что большинство методов структурной идентификации используют методы параметрической идентификации в процессе своей реализации.

Рассмотрены и проанализированы основные существующие методы структурной идентификации.

По результатам рассмотрения материала сделан вывод о том, что существующие методы структурной идентификации обладают большой степенью субъективности при оценке порядка моделей динамических систем и не учитывают необходимость ограничения невязок моделей.

Во второй главе «Структурная идентификация динамических систем по критерию ограниченных невязок модели» предложен новый метод структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем по критерию ограниченных невязок модели - метод ограниченных невязок.

В начале рассматривается дискретная динамическая система с одним входом и одним выходом на интервале времени N. Предполагается, что на выход системы аддитивно действует некоторый случайный процесс с ограниченной дисперсией.

В работе вводится событие А, заключающееся в выполнении неравенства

где у{ - экспериментальное (зашумленное) значение выходной переменной системы в момент времени г; у:- значение выходной переменной системы в момент времени г, полученное по построенной модели системы; О" > 0 - заданный уровень точности.

Частота П(4) появления события А на интервале времени [1; N наблюдения за системой определяется следующим образом:

= (1)

где С - число моментов времени, в которые зафиксировано появление события A; N - общее число моментов времени наблюдения -дискретное время наблюдения за системой.

Показано, что частота ограниченных невязок может быть вычислена по выражению

(2)

где sn (х) = 1, если х >0, sn (х) = - 1, если х < 0.

является функцией и вектора , который зави-

сит от структуры математической модели исследуемой системы, в том числе, и от ее порядка. Таким образом, справедливо обозначение:

(3)

Предлагаемый в работе метод идентификации базируется на предположении о том, что модель системы признается адекватной при заданной точности

со

1 1 "

и заданном значении параметра а , если, при наименьшем из возможных значений порядка системы, выполняется условие

а(у,а)>а, (4)

где ае(0;1].

В случае, отсутствия шума, неравенство (4) будет выполняться для любого , где - малая величина, обусловленная вычислительными погрешностями, так как 1.

В частном случае, при а = 1, выполнение условия (4) гарантирует, что невязки модели на всём времени N наблюдения за системой меньше заданного уровня точности

Выражение (4) обобщено для модели многомерной динамической системы

в виде

^{Ь^-^л^^р (5)

где = Уч - ' -е значение 1 -й вых°дной

переменной системы; р- число выходных переменных динамической системы; = р- заданные уровни точности по каждому выходу системы; - заданные уровни допустимой частоты ограниченных невязок по

каждому выходу системы.

Таким образом, неотъемлемой частью данного метода являются правила выбора параметров и , которые предложены в работе.

Модель одномерной линейной динамической системы в работе задается в виде разностного уравнения.

где а0,...,ан,Ь0,...,Ьн - коэффициенты модели; у(г) и ы(1) - точное значение

соответственно выхода и входа системы в момент времени г; п и т - порядки модели (п > т).

Решение задачи структурной идентификации заключается в определении оценок порядков пит модели (6) с учетом того, что значения выхода системы у(1),1 = \,Ы известны неточно (зашумлены).

Модель (6) для N-n последовательных значений выхода системы с учетом внешнего шума имеет вид:

у = Е8 + £, (7)

где уТ =(у(п+1),у(п+2),...,у(№))- вектор значений выходной переменной

системы;

матрица наблюде-

ния; 8Г ~{Ь0,Ь1,...,Ьт,-а1,...,-а11)- вектор параметров модели (6), а0 = 1; &Т + + - вектор внешнего шума.

Критерий (4) для модели (7) принимает вид

а

где

-

(8)

строки мат-

рицы Б модели (7).

Исходя из принципа минимально возможного порядка модели, задача структурной идентификации разностного уравнения (7) сформулирована в виде:

(9)

где ят1х и ттах - наибольшие рассматриваемые значения соответственно порядков пит разностного уравнения (7), И - множество целых чисел.

Из значений критерия (8), вычисленных для всех рассматриваемых значений порядков модели, формируется верхнетреугольная матрица ( ):

где ят1х и ттш - наибольшие рассматриваемые значения соответственно порядков пит разностного уравнения (7).

Для параметрического оценивания коэффициентов уравнения (7) в работе использован метод наименьших квадратов в виде:

в=[ргг]'р'у (10)

Рассмотренный метод структурно-параметрической идентификации одномерных линейных динамических систем по разностному уравнению (7) можно реализовать в виде алгоритма А.

Алгоритм А.

А.1 Задать Ы',и1,у1,1=\,М',пта\тта, где и,,у1 -значения входной и выходной переменных системы в момент времени г. А.2 П(<т)«-0,и*-0Д<-1,я<--1,от«--1

А.3 т*-0.

А.4 Определить вектор 0 , например, по выражению (10). А.5 Рассчитать по выражению (8).

А 6 <-й>(в,о-,л,т)

А.7 Если к = \ исо[&,сг,п,т}£а,ток<-0,п<-п,т*-т

А.8 Если и ,то и перейти к А.4.

А.9 Если п < п^ , то п и + 1 и перейти к А.3. А.10 Конец.

Конечным результатом работы алгоритма А является матрица частот й((т) и значения оценок порядков разностного уравнения п , т из (9).

Значения л = -1 и т = —\ свидетельствуют о том, что при данных значениях и решение задачи (9) не может быть найдено.

В работе предложены различные варианты настройки параметров метода: частоты ограниченных невязок и допуска по значению невязок , в зависимости от наличия априорной информации об исследуемой системе.

а) Априорное определение значений и

В наиболее общем случае, значения и определяются в соответствии с требованиями к решению конкретной прикладной задачи, типом используемого метода параметрической идентификации, а также с учетом других факторов.

б) Априорное определение одного из параметров или и вычисление другого параметра по типу распределения невязок.

Данный способ определения значений £7 и а использует априорную информацию о плотности распределения вероятности случайного процесса из модели (7). Он предусматривает задание априорного значения одного из параметров или и определение значения другого параметра с помощью известной функции распределения вероятности случайного процесса из модели

(7).

Рассмотрена случайная величина е , реализация которой Е1 = у1 — Г,гв является невязкой модели (7), тогда

Нт П (А) = < а) = Р(-а < е < а) = ]/(х)ск,

где < с) - теоретическая вероятность появления события А, / (х) - функция

плотности распределения вероятности случайной величины. Таким образом,

Уровень допуска по заданной частоте можно определить как решение интегрального уравнения (11) относительно <7

в) Эмпирическое определение значений (Г и а Значение ст вычисляется по выражению

а\ {"™*>)в("ш«>+ ^ (12)

где (п^, ) - строка матрицы Б, сформированной для порядков ят1х и

модели (7); 0(итИ!'—)врктор оценок параметров полученных по выражению (10), в котором матрица Б сформирована для порядков модели птах и

ттах; - малая величина.

Значение а вычисляется по следующему выражению:

«1=ди (13)

где - элемент матрицы Л (с) , полученной после выполнения алгоритма А, из которого исключен шаг А.7. Индексы / и у элемента , для случая нормального распределения внешнего шума, определяются по алгоритму Б.

Заметим, что число ненулевых элементов матрицы , заключен-

ных в прямоугольном блоке, элемент левого верхнего угла которого — С!^, а элемент правого нижнего угла , определяется выражением

Где С= «тах ~',Ст Алгоритм Б.

Б.5 Определим коэффициент Г) по элементам прямоугольного блока матрицы , элемент левого верхнего угла которого —О.^, а элемент правого нижнего угла

по выражению

где сложение производится по всем элементам рассматриваемого блока матрицы

П(сг)

Б.6. Если одновременно выполняются условия

Б.7 Q

то j j, i <— j и перейти к Б. 10.

■п.

пред 1,/

Б.8 Если j<mmax и _/'</,то 1 и перейти к Б.3.

Б.9 Если i < пта , то i <— i+1 и перейти к Б.2. Б.10 Конец.

Таким образом, данная модификация метода ограниченных невязок имеет следующий вид (см. алгоритм М). Алгоритм М.

М.1 Задать N;ultylti = ltN;n„m;mml¡, S м-2 nt-n^mi-m^

М.3 Вычислить Q(n,m) одним из рассмотренных методов параметрической идентификации.

М.4 Вычислить сг, по выражению (12).

М.5 Получить íl(<7,) , выполнив алгоритм А для сг = , кроме шага А.7.

М.6 Выполнить алгоритм Б для определения значений i,j

М.7

М.8 Конец

В работе метод ограниченных невязок приведен в виде, позволяющем осуществить построение системы разностных уравнений.

Система разностных уравнений для N последовательных значений выходного сигнала имеет вид:

Y = F0 + Е, (14)

где Yr = (у(и): у (и +1): • • •: у (AQ) - матрица значений выходных переменных системы;

ur(n) ... u т(п-т) уг(я-1) ••• УГ(0) ur(/j + l) ... ur(«-/n + l) уг(и) - f(l)

- матрица наблюде-

, иг(ДГ) ••• иг(^-/и) уг(Л^-1) - уТ(Ы-п))

ния; 0- матрица параметров модели; Ег = (е(и):е(л + 1):-":е(Лг)) - матрица

значений невязок модели.

Модель (14) записывается в следующем виде:_

уу =^0у+еу>7 = 1 ,р, (15)

где у) ={у1 (я)>+ !)>••• >У1 (Л')) - вектор значений зашумленной^й выходной переменной системы; ^ = F из (14); 8у-у-й столбецматрицы 0 из (14); е;-j-й столбец матрицы Е из (14).

Критерий рассмотрен (5) при построении системы разностных уравнений (15) в виде:

переменной системы, _ А

(16)

е значение ^й выходной

строка матрицы Б, модели (15).

Исходя из принципа выбора минимально возможного порядка модели, решение задачи структурной идентификации для системы разностных уравнений (15) принимает вид:

~~ (17)

(я,; т1) = иип агя ю, (0;, ар л,, т)),} = 1, р,

¡1ф,<г1,п),т1)Их1,

где птш и ттш - наибольшие рассматриваемые значения порядков системы разностных уравнений (15).

Из значений критерия (16), вычисленных для всех рассматриваемых значений порядков модели, формируются верхнетреугольные матрицы

nJ =

Метод структурно-параметрической идентификации многомерных линейных динамических систем по системе разностных уравнений (15) можно представить в виде алгоритма Д.

Алгоритм Д.

Д. 1 Задать и^ ,у1],1=\^,а1,СС1,] = \, р'^ \ ттт , где иц - 1-е значение й входной переменной системы.

Д.2.1«-1. , .

Д.З лу«-0,Н-1, «,<--1,Я, (сг,) = 0.

д.4 т^о.

Д.5 Определить вектор , например, по выражению .

Д.6 Рассчитать £УД0;,СГпо выражению (16).

Д.7

Д.8 Если k= 1 и <oj ,<jj ,nj,mj)> aj, то k^-0, hj thj <rmj.

Д.9 Если nij <, rij и rtij < mя ,то mj^-mj+l и перейти к Д.5.

Д.10 Если rij йп^ , то rij^rnj+l и перейти к Д.4.

Д.11 Если j <р, то 7^7+1 и перейти к Д.З.

Д.12 Конец.

Результатом работы алгоритма Д являются матрицы частот Slj (ov ) и значения оценок порядков системы разностных уравнений ,йу, rhj из (17).

Значения rij = -1 и rhj = -1 свидетельствуют о том, что при данных значениях (Tj и Olj решение задачи (17) не может быть найдено.

Выбор параметров C7j и cij следует производить аналогично одномерному случаю, то есть данная модификация метода ограниченных невязок примет следующий вид (см. алгоритм Н).

Алгоритм Н.

Н.1 Задать

Н.2

Н.3 Ат-е-1.

Н.4 Вычислить одним из рассмотренных методов параметриче-

ской идентификации.

Н.5 Вычислить по выражению (12).

Н.6 Если к< р ,Т0 ki~k + \ и перейти к Н.4.

Н.7 Получить ilj (<Г( ),к = \,р, выполнив алгоритм Д, кроме шага Д. 8.

Н.8 к <r-1

Н.9 Выполнить алгоритм Б для определения значений i,j по матрице

Н.10

Н.11 Если к < р, то £<—¿ + 1 и перейти к Н.9.

Н.12 Конец.

В третьей главе «Программная реализация и исследование метода ограниченных невязок» описывается методика исследования различных модификаций метода ограниченных невязок, отличающихся способами выбора параметров сг и а

Разработанное программное обеспечение вычислительного эксперимента и реализация разработанных и рассмотренных в работе методов представляют собой пакет библиотек функций, выполненных в виде динамически подключаемых библиотек (DDL) под интерфейс Win'32. Программный комплекс также включает в себя ряд процедур, позволяющих вызывать функции из разработанных библиотек программ из среды MatLab 6.1. В комплект программ также входят сред-

ства визуализации рядов и матриц данных, экспорта и импорта данных эксперимента. По объектно-ориентированной технологии реализованы операции с векторами и матрицами.

Метод ограниченных невязок исследуется в процессе построения моделей динамических систем, функционирование которых моделируется по эталонным моделям. В качестве исходного описания динамических систем используется разностное уравнение и система разностных уравнений.

В процессе имитационного моделирования при сравнении различных модификаций метода ограниченных невязок в работе использованы следующие положения:

• в качестве входных сигналов использованы реализации случайного процесса с равномерным распределением вероятности в диапазоне [-1;1];

• в качестве внешнего шума использована реализация случайного процесса с нормальным распределением вероятности с нулевым математическим ожиданием;

• моделирование производилось при нулевых начальных условиях по входу и выходу;

• значения коэффициентов эталонных моделей задавались от датчи-

ка равномерно распределенных в диапазоне [0.1; 0.9] псевдослучайных чисел, и рассматривались только те модели, которые описывают устойчивые динамические системы;

• порядки левой и правой частей разностного уравнения и каждого разностного уравнения системы выбирались от датчика равномерно распределенных в диапазоне [1; 3] псевдослучайных целых чисел;

• наибольшие рассматриваемые порядки моделей = пш11 = 5 .

Для каждой из модификаций метода ограниченных невязок было рассмотрено 100 эталонных моделей одномерных и 100 эталонных моделей многомерных динамических систем.

Для каждой эталонной модели были проведены по одному эксперименту для каждого значения стандартного отклонения внешнего шума из ряда 0.03,0.1,0.3, и каждого значения N из ряда 100,500,1000, для следующих модификаций метода ограниченных невязок:

• априорного определения значений а = 0.04 и а = 0.9;

• априорного определения параметра сг = 0.04, и вычисление параметра по типу распределения невязок (для нормального распределения);

• априорного определения параметра а = 0.9, и вычисление параметра по типу распределения невязок (для нормального распределения);

• эмпирического вычисления значений а и а

Таким образом, для каждой модификации метода ограниченных невязок в работе было произведено 900 экспериментов. Всего при сравнении модификаций метода ограниченных невязок произведено 7200 экспериментов.

По результатам испытаний делается вывод о том, что для решения практических задач метод ограниченных невязок рекомендуется реализовывать в виде алгоритмов М и Н.

Проведено сравнение метода ограниченных невязок с методом функции потерь как суммы квадратов невязок, который находит такие значения порядков модели, которые минимизируют некоторый критерий качества модели. Рассмотрены два критерия качества в виде:

где \>{т,п) - функция потерь; 1 - число коэффициентов модели.

Сравнение производилось по предпосылкам, аналогичным рассмотренным при исследовании модификаций метода ограниченных невязок, но с учетом следующих изменений:

• порядки левой и правой частей каждого разностного уравнения системы выбирались от датчика равномерно распределенных в диапазоне [1; 5] псевдослучайных целых чисел;

• наибольшие рассматриваемые порядки моделей = пш11 = 10.

Для метода ограниченных невязок и для двух модификаций метода функции потерь было рассмотрено 100 эталонных моделей многомерных динамических систем.

Для каждой эталонной модели были проведены по одному эксперименту для значений стандартного отклонения внешнего шума ,5 из ряда 0.03, 0.1, 0.3, и каждого значения N из ряда 100,500,1000, методом ограниченных невязок и двумя модификациями метода функции потерь.

Таким образом, при сравнении методов в работе было произведено 2700 имитационных экспериментов. Всего в работе произведено 9900 имитационных экспериментов.

Результаты сравнения обобщены при помощи введенных величин:

7=1 7=1

1 г Р' V1 7=1 *=1

Ър,

7 = 1

где g - общее число рассматриваемых эталонных моделей; р] - число выходов у-й системы разностных уравнений; п1к,т1к- порядки к-го разностного уравнения у-й системы разностных уравнений, выбранные соответствующим

методом структурно-параметрической идентификации;

п

значения порядков к-го разностного уравнения у-й эталонной системы разностных уравнений.

По результатам сравнения сделаны следующие выводы:

• разность между эталонными значениями порядков системы и значениями порядков системы, выбранными по методу ограниченных невязок, с увеличением дискретного времени наблюдения стремится к нулю (»/, -»ОД О), то есть можно предположить ассимптотическую несмещенность значений порядков системы, определяемых по методу ограниченных невязок;

• порядки системы, выбранные рассмотренными методами функции потерь по критериям (18) и (19), существенно отличаются от эталонных значений;

• выборочные стаднартные отклонения и для метода ограниченных невязок с увеличением дискретного времени наблюдения уменьшаются и остаются намного меньше соответствующих значений для метода функции потерь по (18) и (19), что показывает эффективность оценок порядков моделей, полученных по предложенному в работе методу, в сравнении с оценками порядков по рассмотренному методу функции потерь;

• результаты сравнения величин р1, Д при I = 1,27 также позволяют предположить состоятельность определенных по методу ограниченных невязок порядков моделей, в отличие от оценок порядков, полученных по рассмотренному методу функции потерь.

Таким образом, результаты сравнения метода ограниченных невязок с методом функции потерь, использующим критерии (18) и (19), показывают приемущество метода ограниченных невязок по сравнению с рассмотренным методом функции потерь.

В четвертой главе «Структурно-параметрическая идентификация рулевого привода летательного аппарата» производится построение разностного уравнения рулевого привода по методу ограниченных невязок.

На рисунке 1 изображена схема проведения натурного эксперимента по определению значений входных и выходных переменных рулевого привода летательного аппарата.

где ПО - подвижный объект; пеленг. ПО - пеленгатор подвижного объекта; ЛА -летательный аппарат; пеленг. ЛА - пеленгатор летательного аппарата; НА - наземная аппаратура; ПТ - передатчик телеметрии с борта летательного аппарата; ПРТ - наземный приемник телеметрии; ВС - вычислительная система; БУ - блок управления; ЛС-линия связи; ПР - приемник; ГК - гирокоординатор; РП - рулевой привод; ПЛА - планер летательного аппарата; КЗ - кинематическое звено; ыу и ыг-управляющие сигналы по двум осям координат;

- входные и выходные сигналы первого и второго рулевых приводов

соответственно; Иь «2» У! И^г - телеметрические данные о входных и выходных сигналах первого и второго рулевых приводов соответственно;

еПОу и еПОг - измеренные углы между направлением на подвижный объект и соответствующими базовыми плоскостями наземной аппаратуры управления; елАу и елд7 - измеренные углы между направлением на летательный аппарат и соответствующими базовыми плоскостями наземной аппаратуры управления.

Рисунок 1 - Схема проведения натурного эксперимента Натурные испытания блока рулевых приводов летательного аппарата проводились следующим образом: производился запуск летательного аппарата, в процессе его полета накапливались телеметрические данные о значениях входов и выходов бортовых рулевых приводов.

Исследованные в работе рулевые привода обладают следующими особенностями:

• частота входных сигналов лежит в диапазоне 7-10 Гц;

• приводы имеют нелинеиности по каналам «вход-выход»;

• параметры приводов нестационарные.

Для учета нестационарности параметров рулевого привода в работе предлагается стационарность его параметров на протяжении некоторых интервалов времени (интервалов квазистационарности), а также принимается, что изменение параметров происходит на границах таких интервалов времени. Для медленно изменяющихся параметров такое предположение является приемлемым.

При передаче телеметрических данных с борта летательного аппарата происходит их модулирование гармоническим сигналом с частотой 80-120 Гц, что приводит к необходимости предварительнои обработки сигналов в виде фильтрации высокочастотных составляющих сигнала. Фильтрация производилась с помощью прямого и обратного быстрого дискретного преобразования Фурье.

Для идентификации использовался метод ограниченных невязок с построением матрицы Й(с) для порядков системы п,т е [1,10]. Для параметрической идентификации использована модификация метода наименьших квадратов для построения модели разностного уравнения со следующими априорными значениями коэффициентов: а0 =1,Ь0 = 0.

Произведена идентификация двух рулевых приводов. Ширина интервала квазистационарности принята равной 0.64 с при частоте дискретизации сигналов в 400 Гц.

Значения порядков моделей, полученные методом ограниченных невязок, на всем времени наблюдения за летательным аппаратом равны и оди-

наковы для двух приводов.

Значения коэффициентов построенных моделей показаны на рисунках 2,3.

Рисунок 2 - График настройки коэффициентов разностного уравнения первого

рулевого привода

Рисунок 3 - График настройки коэффициентов разностного уравнения второго

рулевого привода

Для статистического анализа результатов идентификации рулевого привода использованы критерии Фишера и Стьюдента.

Проверка значимости коэффициентов построенных моделей осуществлена по ¿-критерию Стьюдента. Показана значимость оценок коэффициентов моделей а1 и Ь„ по ¿-критерию Стьюдента при уровне значимости 0.05 и числе степеней свободы 250 для каждого рулевого привода.

Проверка адекватности построенных моделей осуществлена по Б-критерию Фишера. Показана адекватность построенных моделей при уровне значимости 0.05 и числах степеней свободы числителя и знаменателя Б-критерия 240 и 250 соответственно (для каждого рулевого привода).

В ходе идентификации были получены графики невязок модели, графики настройки дисперсии оценок коэффициентов модели, графики настройки функции потерь.

Значения невязок модели первого привода принадлежат отрезку [-2.8х10-3; 2.6х10-3], второго привода- [-2.7х10-3;2.9х10-3].

Значения дисперсий оценок всех коэффициентов первого привода принадлежат отрезку [1.7х10-4; 3.5х10-4], второго привода- [1.5х10-4; 33х10-4].

Значения функции потерь, рассчитанные для каждого интервала квазистационарности, принадлежат, для первого привода, отрезку [1.4х10-7; 1.8х10-6], для второго привода - [1.3 х 110-7; 1.6 х 10-6 ].

В заключении диссертационной работы кратко сформулированы основные полученные результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан метод построения моделей линейных динамических систем в виде разностного уравнения и системы разностных уравнений, использующий в качестве критерия качества модели частоту ограниченных невязок, и определяющий отдельно порядки левой и правой частей каждого разностного уравнения системы.

2. Разработано программное обеспечение, реализующее метод ограниченных невязок.

3. В результате численных расчетов методом ограниченных невязок по выбору порядка моделей одномерных и многомерных линейных динамических систем осуществлено сравнение трех модификаций метода. Выбрана наиболее эффективная при определении порядка разностного уравнения и системы разностных уравнений модификация метода ограниченных невязок.

4. Проведено сравнение метода ограниченных невязок и метода структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем по функции потерь, показавшее превосходство метода ограниченных невязок при определении порядка разностного уравнения и системы разностных уравнений.

5. По данным пассивного натурного эксперимента методом ограниченных невязок произведена идентификация рулевого привода летательного аппарата.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Фатуев В.А., Каргин А.В., Понятский В.М. Пакет программ структурной и параметрической идентификации линейных одномерных динамических систем // Труды II Всероссийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB». -М.: ИПУ РАН, 2004-С.715-762.

2. Фагуев В.А., Юдаев А.В., Понятский В.М., Каргин А.В., Оберман М.С. Структурно-параметрическая идентификация многомерных нестационарных динамических систем // Труды III международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'04). - М: ИПУ РАН, 2004- С.159-186.

3. Фатуев ВА, Каргин А.В., Понятский В.М. Структурно-параметрическая идентификация динамических систем: Учеб. пособие,- Тула: Изд-во ТулГУ, 2003 - 156 с.

4. Фатуев ВА., Каргин А.В., Понятский В.М. Структурно-параметрическая идентификация нестационарных динамических объектов // Известия ТулГУ. Сер. Проблемы проектирования и производства систем и комплексов. - 2003. - Вып. 6. - С.349-353.

5. Фатуев В.А., Каргин А.В. К вопросу о связи коэффициентов математических моделей стационарных одномерных линейных динамических систем // Известия ТулГУ. Сер. Вычислительная техника. Автоматика. Управление. -2ОО2.-Вып.8.-С.3-18.

6. Фатуев В.А., Каргин А.В. Структурно-параметрическая идентификация нестационарных линейных одномерных динамических систем // Известия Тул-ГУ. Сер. Вычислительная техника. Автоматика. Управление. - 2002. - Вып. 8. -С. 18-22.

125469

7. Фатуев В.А., Каргин А.В. К вопросу о связи коэффициентов канонической формы модели пространства состояний и ординат импульсных переходных функций каналов линейной многомерной динамической системы // Известия ТулГУ. Сер. Вычислительная техника. Автоматика. Управление. — 2001. - Вып. 7.-С. 20-26.

Подписано в печать 11.11.2004 г.

Формат бумаги 60x84 '/16. Бумага офсетная.

Усл. печ. л. 1,2. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №

Отпечатано в издательстве Тульского государственного университета,

300600, г.Тула, ул.Болдина, 151

Введение.

1 Анализ методов построения математических моделей линейных динамических систем.

1.1 Математические модели линейных динамических систем.

1.2 Обзор методов параметрической идентификации линейных динамических систем.

1.3 Обзор методов структурной идентификации линейных динамических систем.

1.4 Постановка задачи исследования.

1.5 Выводы к первой главе.

2 Структурная идентификация динамических систем по критерию ограниченных невязок модели.

2.1 Формализация метода ограниченных невязок.

2.2 Построение разностного уравнения по методу ограниченных невязок.

2.3 Построение системы разностных уравнений по методу ограниченных невязок.

2.4 Выводы ко второй главе.

3 Программная реализация и исследование метода ограниченных X; невязок.

3.1 Программная реализация метода ограниченных невязок.

3.2 Методика исследования метода ограниченных невязок.

3.3 Исследование метода ограниченных невязок при идентификации линейных одномерных динамических систем.

3.4 Исследование метода ограниченных невязок при идентификации линейных многомерных динамических систем.

3.5 Сравнение метода ограниченных невязок с методом структурной идентификации по функции потерь.

3.6 Выводы к третьей главе.

4 Структурно-параметрическая идентификация рулевого привода летательного аппарата.

4.1 Методика структурно-параметрической идентификации рулевого привода летательного аппарата.

4.2 Результаты структурно-параметрической идентификации рулевого привода летательного аппарата.

4.3 Выводы к четвертой главе.

Методы идентификации, как методы построения математических моделей реальных динамических систем, подверженных неконтролируемым случайным воздействиям (стохастических систем), сегодня являются важной составной частью процесса решения задач управления.

Если априорной информации об объекте исследования не имеется (или она нуждается в подтверждении), существующие методы определения порядка математических моделей реальных динамических систем не способны ответить на все вопросы об особенностях системы и обозначают лишь некоторые ориентиры в выборе возможной модели.

Например, во многих методах определения порядка модели результаты работы соответствующих алгоритмов отображаются в виде графиков, таблиц и т.п., й выбор значения порядка модели осуществляется исследователем вручную.

Ряд существующих методов структурной идентификации используют функцию потерь в виде суммы квадратов невязок модели. Такая функция потерь усредняет значения невязок, что недопустимо при решении ряда практических задач, в которых необходимо выполнения условия ограниченности невязок.

В отсутствии общей теории структурной идентификации динамических систем, остается актуальной задача создания нового эффективного метода определения порядка динамической системы, использующего условие ограниченности невязок.

Целью диссертационной работы является разработка метода структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем, использующего условие ограниченности невязок.

Для достижения цели исследования были поставлены и решены следующие задачи:

• разработать метод структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем, использующий условие ограниченности невязок - метод ограниченных невязок;

• разработать программное обеспечение, реализующее метод ограниченных невязок;

• экспериментально подтвердить работоспособность разработанного метода структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем при идентификации рулевого привода летательного аппарата.

Объектом исследования являются линейные стохастические динамические системы, описываемые разностными уравнениями и системами разностных уравнений.

Предметом исследования являются методы структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем.

В диссертационной работе использованы вероятностно-статистические методы исследования, а также методы имитационного моделирования.

Научная новизна работы заключается в следующем: разработан метод построения моделей одномерных и многомерных линейных динамических систем в виде разностного уравнения и системы разностных уравнений, использующий в качестве критерия качества модели частоту ограниченных невязок и определяющий отдельно порядки левой и правой частей каждого разностного уравнения системы.

На защиту выносятся: метод построения разностного уравнения и системы разностных уравнений линейных динамических систем по экспериментальным данным, использующий условие ограниченности невязок (метод ограниченных невязок); комплекс программ, реализующий разработанный метод ограниченных невязок; результаты структурно-параметрической идентификации рулевого привода летательного аппарата.

Достоверность полученных результатов подтверждена результатами проведенных в работе 9900 вычислительных экспериментов по идентификации 300 одномерных и многомерных линейных динамических систем.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы при построении математических моделей широкого класса реально функционирующих линейных динамических систем, подверженных действию случайных воздействий.

Основные результаты диссертации внедрены на ФГУП «Конструкторское бюро приборостроения», г. Тула.

Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

III международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» (81СРКО'04). М.: ИЛУ РАН, 28-30 января 2004г;

II Всероссийская научная конференция «Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЬАВ», М.: ИПУ РАН, 25-26 мая 2004г.

По результатам проведенных исследований опубликовано 7 работ.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложения. Работа изложена на 105 страницах, содержит 24 иллюстрации и 14 таблиц. Библиографический список включает 88 наименований.

4.3 Выводы к четвертой главе

1. Характеристики рассмотренных в работе рулевых приводов изменяются в процессе эксплуатации летательных аппаратов, что вызывает необходимость разработки методов их идентификации.

2. В работе предложено для решения задачи структурно-параметрической задачи рулевых приводов летательного аппарата использовать метод ограниченных невязок. Модели приводов предложено строить в виде разностного уравнения.

3. Выявлена следующая особенность идентификации рулевого привода летательного аппарата по методу ограниченных невязок: необходимость учета нестационарности параметров приводов, для чего в работе рассматриваются интервалы времени квазистационарности параметров привода, а изменение параметров предполагается происходящим на границах данных интервалов.

4. По результатам использования метода ограниченных невязок для структурно-параметрической идентификации рулевых приводов летательного аппарата следует сделать следующие выводы: полученные значения порядков разностного уравнения всех приводов оказались равными единице и не изменялись за все время наблюдения за летательным аппаратом; полученные оценки коэффициентов разностного уравнения изменялись в ходе эксперимента; статистический анализ результатов идентификации показал значимость всех коэффициентов построенных моделей, за исключением равного нулю априори коэффициента Ь0, их адекватность экспериментальным данным за все время наблюдения за летательным аппаратом.

5. Таким образом, результаты идентификации блока рулевых приводов летательного аппарата показали работоспособность метода ограниченных невязок и его эффективность при структурно-параметрической идентификации реально функционирующих линейных динамических систем.

Заключение

В диссертационной работе на основании проведенных исследований решена актуальная научная задача структурно-параметрической идентификации одномерных и многомерных линейных динамических систем на основе критерия ограниченности невязок моделей.

Полученные следующие основные результаты работы:

1. Разработан метод построения моделей линейных динамических систем в виде разностного уравнения и системы разностных уравнений, использующий в качестве критерия качества модели частоту ограниченных невязок, и определяющий отдельно порядки левой и правой частей каждого разностного уравнения системы.

2. Разработано программное обеспечение, реализующее метод ограниченных невязок.

3. В результате численных расчетов методом ограниченных невязок по выбору порядка моделей одномерных и многомерных линейных динамических систем осуществлено сравнение трех модификаций метода. Выбрана наиболее эффективная при определении порядка разностного уравнения и системы разностных уравнений модификация метода ограниченных невязок.

4. Проведено сравнение метода ограниченных невязок и метода структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем по функции потерь, показавшее превосходство метода ограниченных невязок при определении порядка разностного уравнения и системы разностных уравнений.

5. По данным пассивного натурного эксперимента методом ограниченных невязок произведена идентификация рулевого привода летательного аппарата.

Полученные результаты позволили сделать следующие основные выводы.

1. Рассмотренные в работе недостатки существующих методов структурно-параметрической идентификации динамических систем сделали актуальным решение задачи структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем с использованием условия ограниченности невязок модели в процессе вычисления частоты попадания невязок в заданные диапазоны значений.

2. Особенностью предложенного в диссертационной работе метода структурно-параметрической идентификации динамических систем (метода ограниченных невязок), является вычисление частоты попадания невязок в заданные диапазоны значений и несколько вариантов настройки параметров метода, в зависимости от наличия априорной информации об исследуемой системе.

3. Среди особенностей разработанных алгоритмов, реализующих метод ограниченных невязок, следует отметить: возможность выбора способа вычисления параметров метода; необходимость проведения параметрической идентификации рассматриваемой динамической системы для каждого из рассматриваемых значений порядка системы.

4. К особенностям разработанного пакета программ следует отнести:

• операции с матрицами по объектно-ориентированной технологии;

• средства графического отображения данных, которые хранятся в матрицах;

• реализация основных функций пакета программ в виде динамически подключаемых библиотек на платформе \Ут'32;

• вызов некоторых функций пакета программ из среды МаД^аЬ;

• возможность использования функций пакета программ в приложениях и проектах пользователя как с использованием, так и без использования среды ГуЫЬаЬ.

5. При идентификации систем предпочтительнее использовать метод ограниченных невязок с заданием параметров метода по п. 2.2.3, по сравнению с другими способами задания параметров а и ст.

6. Следующие предположения, сделанные по результатам проведения вычислительного эксперимента, подтверждают приемущество метода ограниченных невязок по сравнению с рассмотренным методом функции потерь по критериям (1.39) и (1.40): ассимптотическая несмещенность значений порядков системы, определяемых по методу ограниченных невязок; эффективность оценок порядков моделей, полученных по методу ограниченных невязок, в сравнении с оценками порядков по рассмотренному методу функции потерь; состоятельность определенных по методу ограниченных невязок порядков моделей, в отличие от оценок порядков, полученных по рассмотренному методу функции потерь.

7. Необходимость разработки метода идентификации характеристик рассмотренных в работе рулевых приводов диктуется необходимостью учета их нестационарности и влияния внешних случайных воздействий.

8. Полученные по методу ограниченных невязок значения порядков разностного уравнения всех приводов оказались равными единице и не изменялись за все время наблюдения за летательным аппаратом, в то время как полученные оценки коэффициентов разностного уравнения изменялись в ходе эксперимента. Статистический анализ результатов идентификации показал значимость всех коэффициентов построенных моделей, за исключением априори равного нулю коэффициента Ь0 и их адекватность экспериментальным данным за все время наблюдения за летательным аппаратом.

9. Метод ограниченных невязок показал себя работоспособным при структурно-параметрической идентификации реально функционирующих линейных динамических систем, что подтверждается результатами идентификации блока рулевых приводов летательного аппарата, а также актом внедрения результатов работы на ФГУП «Конструкторское бюро приборостроения» (г. Тула).

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977. 223 с.

2. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. М.: Наука, 1971. 424с.

3. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси: детерминированные наблюдения и стохастическая фильтрация. М.: Наука, 1982. 199 с.

4. Вазан М. Стохастическая аппроксимация. М.: Мир, 1972.295 с.

5. Валкейла Э., Мельников A.B. Мартингальные модели стохастической аппроксимации и их сходимость // Теория вероятностей и ее применения. 1999. Вып. 2. С. 278-311.

6. Вапник В.И. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979. 447 с.

7. Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине. М.: Наука, 1983. 344 с.

8. Граничин О.Н. Оценивание параметров линейной регрессии при произвольных помехах И Автоматика и телемеханика. 2002, №. 1. С. 30-41.

9. Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. М.: Наука,2003. 291с.

10. Гроп Д. Методы идентификации систем: Пер. с англ./ Под. ред. Е.И. Кринецкого. М.: Мир, 1979. 304с.

11. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975. 471 с.

12. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. 320 с.

13. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976. 239 с.

14. Жилинскас А. Глобальная оптимизация. Вильнюс: Мокслас, 1986. 165 с.

15. Калман P.E., Бьюси P.C. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания // Труды Американского общества инженеров-механиков. Техническая механика. 1961. Т. 83. Сер. Д. № 1. С. 123-141.

16. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975. 272 с.

17. Катковник В. Я. Линейные оценки и стохастические задачи оптимизации. М.: Наука, 1976. 487 с.

18. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов A.B., Сиротин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Физматлит, 2002. 224 с.

19. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Известия АН СССР. Сер. матем. 1941. № 5. С. 3-14.

20. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Госэнергоиздат, 1956. 151 с.

21. Красовский A.A. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987. 712 с.

22. Куржанский А.Б. Управление и наблюдения в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

23. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974. 696 с.

24. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ./ Под ред. Я.3. Цыпкина. М.: Наука, 1991. 432с.

25. Марков A.A. Исчисление вероятностей. М.: ГИЗ, 1924.

26. Михалевич B.C., Гупал A.M., Норкин В.И. Методы невыпуклой оптимизации. М.: Наука, 1987. 279 с.

27. Назин A.B., Поляк Б.Т., Цыбаков А.Б. Пассивная стохастическая аппроксимация // Автоматика и телемеханика. 1989. №11. С.127-134.

28. Наконечный А.Н. Итерационные процессы: обзор теории сходимости, использующей второй метод Ляпунова // Кибернетика и системный анализ. 1994. №. 4. С. 66-85.

29. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1972. 304 с.

30. Неймарк Ю.И., Коган М.М., Савельев В.П. Динамические модели теории управления. М.: Наука, 1985. 399 с.

31. Острем К., Витгпенмарк В. Системы управления с ЭВМ. М.: Наука, 1987. 480 с.

32. Поляк Б. Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

33. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с.

34. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Градиентные методы стохастической оптимизации // Измерения, контроль, автоматизация. 1989. № 3. С. 50-54.

35. Растригин Л.А. Статистические методы поиска. М.: Наука, 1968. 376 с.

36. Справочник по прикладной статистике / Под ред. Э. Ллойда. М.: ФиС, 1999. Т. 2. 526 с.

37. Срагович В.Г. Адаптивное управление. М.: Наука, 1981. 384 с.

38. Стратонович АЛ. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966. 319 с.

39. Стратонович P.J1. Применение теории марковских процессов для оптимальной фильтрации сигналов // Радиотехника и электроника. 1960. №11. С. 1751-1763.

40. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985. 296 с.

41. Толчеев В.О., Ягодкина Т.В. Методы идентификации линейных одномерных динамических систем. М.: Московский энергетический институт, 1997. 108 с.

42. Урясьев С.П. Адаптивные алгоритмы стохастической оптимизации и теории игр. М.: Наука, 1990. 182 с.

43. Фатуев В.А. Идентификация объектов управления: Учеб. пособие. Тула: ТулПИ, 1977. 74 с.

44. Фатуев В.А. Построение оптимальных моделей динамики по экспериментальным данным: Учеб. пособие. Тула: Тул. гос. тех. ун-т, 1993. 104 с.

45. Фатуев В.А., Каргин A.B., Понятский В.М. Структурно-параметрическая идентификация динамических систем: Учеб. пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. 156 с.

46. Фатуев В.А., Маркова Т.Н. Математические модели объектов управления: Учеб. пособие. Тула: Тул.гос.ун-т, 2002. 119 с.

47. Фельдбаум A.A. О проблемах дуального управления // В кн.: Методы оптимизации автоматических систем. М.: Наука, 1972. С. 89108.

48. Фомин В.Н. Математическая теория обучаемых опознающих систем. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976. 236 с.

49. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 336 с.

50. Фомин В.Н. Операторные методы теории линейной фильтрации случайных процессов. С.-Пб.: Изд-во СПбГУ, 1996. 306 с.

51. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука, 1984.288 с.

52. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.

53. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968.400 с.

54. Цыпкин Я.З. Информационная теория идентификации. М.: Наука, 1995. 336 с.

55. Цыпкин Я.З. Основы теории обучающихся систем. М.: Наука, 1970. 252с.

56. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Идентификация нестационарных динамических объектов // Итоги науки и техники. Сер. Технич. кибернетика. Т. 21. М.: ВИНИТИ, 1987. С. 68-91.

57. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем: метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. 319 с.

58. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 574 с.

59. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2, теория. М.: Фазис, 1998. 1017 с.

60. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. 683 с.

61. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука, 1976. 416 с.

62. Якубович В.А. Метод рекуррентных целевых неравенств в теории адаптивных систем // В кн.: Вопросы кибернетики. Адаптивные системы. М.: Научн. сов. по кибернетике АН СССР, 1976. С. 32-63.

63. Agmon S. The relaxation method for linear inequalities // Canadian J. of Math. 1954. Vol. 6. P. 382-393.

64. Bode H.W., Shannon C.E. A simplified derivation of linear least square smoothing and prediction theory // Proc. IRE. 1950. No. 38. P. 417-425.

65. Fisher R.A. The Design of Experiments. Edinburgh: Oliver and Boyd, 1935.

66. Ho Y.-C., Cao X.-R. Perturbation Analysis of Discrete Event Dynamical Systems. Boston: Kluwer, 1991.

67. Kiefer J., Wolfowitz J. Statistical estimation on the maximum of a regression function // Ann. Math. Statist. 1952. Vol. 23. P. 462-466.

68. Ljung L. Analysis of recursive stochastic algorithms // IEEE Transactions on Automatic Control. 1977. Vol. 22. P. 551-575.

69. Maeda Y., Kanata Y. Extended adaptive Robbins-Monro procedure using simultaneous perturbation for a least-square approximation problem // In: Proceedings of the Asian Control Conference. 1994. P. 383-386.

70. Saridis G.M., Stein G. A new algorithm for linear system identification // IEEE Transactions on Automatic Control. 1968. Vol. AC-13. No. 4. P. 592-584.

71. Saridis G.M., Lobbia R.N. Parameter identification and control of linear discrete-time system // IEEE Transactions on Automatic Control. 1972. Vol. AC-17. No. l.P. 52-60.

72. Weiner N. The Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series with Engineering Application. New York: Technology Press and Wiley, 1949.

73. Young P.O. Recursive Estimation and Time-Series Analysis. An Indro-duction. Berlin-Heidelberg: Springer, 1984.

74. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. 208 с.

75. Большев J1.H., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.416с.

76. Ljung L. System Identification Theory for the User, Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 2nd edition, 1999.