автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Параметрическая, структурная идентификация и исследование устойчивости нелинейных динамических систем

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

На правах рукописи

ВУ ДИНЬ ТХАНГ

УДК 519.6

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ, СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - Управление в технических системах

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель Доктор технических наук, профессор МУЗЫКИН С.Н.

Москва 1999

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...........4

ГЛАВА 1: ПРОБЛЕМЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ, СТРУКТУРНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ..........7

1.1. Обзор аналитических методов идентификации нелинейных динамических систем ............ 7

1.1.1. Методы идентификации, основанные на линеаризации характеристик объектов ........... 14

1.1.2. Методы идентификации существенно нелинейных объектов . .17

1.1.2.1. Идентификация в пространстве состояний . . .18

1.1.2.2. Частотные методы идентификации нелинейных систем . 20

1.1.2.3. Методы идентификации, основанные на использовании функциональных рядов . . . . . . . .21

1.2. Обзор аналитических методов исследования устойчивости нелинейных динамических систем . . . . . . . . . . 25

1.3. Задачи исследования . . . . . . . . .30 ГЛАВА 2: ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ..........34

2.1. Общая постановка задачи параметрической идентификации нелинейных динамических систем . . . . . . . . . .34

2.2. Параметрическая идентификация систем, представленных в классе линейных моделей . . . . . . . . . .36

2.3. Параметрическая идентификация систем с нелинейностью квадратического характера ............ 44

2.4. Параметрическая идентификация систем с нелинейностью кубического характера ............ 53

ГЛАВА 3: СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ..........72

3.1. Формирование структуры систем, представленных в классе линейных моделей ............ 72

3.1.1. Построение дифференциального уравнения . . . .73

3.1.2. Представление обыкновенных дифференциальных уравнений уравнениями в пространстве состояний . . . . . .73

3.2. Формирование структуры систем с нелинейностью квадратического характера ............ 76

3.2.1. Основная система второго порядка . . . . . .79

3.2.2. Система второго порядка с М устройствами умножения . . 82

3.3. Формирование структуры систем с нелинейностью кубического характера ............ 84

ГЛАВА 4: ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ..........89

4.1. Исследование устойчивости систем, представленных в классе линейных моделей ............ 89

4.2. Исследование устойчивости систем с нелинейностью квадратического характера ............ 93

4.3. Исследование устойчивости систем с нелинейностью кубического характера ............ 98

ГЛАВА 5: ПРОГРАММНО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ, СТРУКТУРНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ . . . .106

5.1. Структура программно-математического обеспечения параметрической, структурной идентификации и исследования устойчивости нелинейных динамических систем (ПСИиИУ) . . . . . . . . 106

5.2. Основные сведения по работе с ПСИиИУ . . . . . .109

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...........121

ЛИТЕРАТУРА...........123

ВВЕДЕНИЕ

Исследования в области идентификации и моделирования систем в связи с бурным развитием методов технической кибернетики достигли больших успехов. При этом решающую роль играет разработка таких методов идентификации и моделирования систем, которые отличались бы универсальностью, точностью. Разработка и использование таких совершенных методов дает в руки исследователей и разработчиков новой техники самого широкого назначения (машины, станки, системы управления техническими устройствами и комплексами, технологические процессы и т.д.) инструмент для повышения эффективности разработок, повышения надежности и производительности устройств, машин, систем и технологических процессов.

Однако на современном этапе разработчики испытывают существенные трудности из-за определенных несовершенств такого рода инструмента, в первую очередь по причинам того, что традиционно используемые методы идентификации и моделирования:

- разработаны применительно к отдельным, достаточно узким классам систем, машин, устройств;

- зачастую не обеспечивают необходимой точности, особенно в случае, когда их применяют к классу нелинейных систем;

- не обладают свойством универсальности, в том числе и по отношению к математическим и физическим средствам решения задачи в целом;

- как правило, требуют априорных знаний о структуре и параметрах системы.

Особую важность задачи идентификации и моделирования приобретают при рассмотрении сложных динамических объектов, априорные сведения о которых либо отсутствуют, либо незначительны. Если иметь в виду их распространение, то именно такие системы (типа "черного ящика") наиболее часто встречаются на практике. В настоящее время стало очевидно, что при

рассмотрении многих практических задач, связанных с разработкой и созданием сложных систем, известные и широко применявшиеся методы уже не удовлетворяют возросшим требованиям. Объясняется это тем, что большая часть таких объектов не может быть с достаточной точностью описана с помощью хорошо развитой теории линейных систем, не говоря уже о том, что зачастую априорная информация о них чрезвычайно скудна и данные об их структуре носят в основном эмпирический характер. Все это препятствует использованию мощного аппарата дифференциальных уравнений для анализа и синтеза систем такого класса.

Весьма заманчивым является разработка и использование методов, основанных на разложении (в частности, разложении в функциональные ряды) выходных рабочих сигналов систем (устройств и т.д.) при задании известных входных (управляющих и т.д.) воздействий. Такие методы, обладая четко выраженной универсальностью и объективностью описания исследуемой (проектируемой) системы, практически свободны от указанных недостатков.

Из известных в настоящее время методов, позволяющих строить адекватные математические модели с наперед задаваемой точностью для большого класса объектов, обладающих конечной памятью, можно выделить подход, предложенный Н. Винером для решения проблемы анализа и синтеза нелинейных систем. Будучи теоретико-экспериментальным, включая частным случаем широко используемую теорию линейных систем, данный метод позволяет проводить исследования конкретно рассматриваемого объекта и по найденным в результате эксперимента динамическим характеристикам (ядрам Винера-Вольтерра) строить его адекватную математическую модель. Основа используемого подхода заключается в том, что выходной сигнал любой нелинейной системы с конечной памятью при воздействии на ее вход сигнала типа белого гауссовского процесса однозначным образом представляется в виде ряда, состоящего из ортогональных функционалов. При этом система полностью описывается соответствующим ей набором ядер Винера-Вольтерра, а ее модель

состоит из семейства нелинейных преобразователей (ортогональных функционалов), число которых зависит от вида объекта исследования и от требуемой точности моделирования.

Практика разработки и исследования динамических объектов с применением математического моделирования предполагает решение задач, связанных с параметрическим представлением рассматриваемых объектов. После формирования структуры динамического объекта, отдельные узлы которого представлены в виде математических моделей из ортогональных функционалов, определяемых соответствующими им наборами ядер Винера-Вольтерра, возникает задача перехода от имеющегося внешнего описания к внутреннему, отражающему зависимость этих моделей от конкретных параметров.

С помощью параметрических моделей решаются задачи анализа, в частности задача исследования устойчивости и синтеза структуры динамических систем.

Однако в настоящее время отсутствует удобный и эффективный инструмент решения задач параметрической и структурной идентификации и исследования устойчивости винеровских моделей, реализованный в виде соответствующего программно-математического обеспечения.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка программно-математических средств параметрической, структурной идентификации и исследования устойчивости моделей нелинейных динамических систем, построенных из ортогональных функционалов Винера-Вольтерра.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю профессору, д.т.н. Музыкину Сергею Николаевичу за предоставление интересной темы, постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы.

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ, СТРУКТУРНОЙ

ИДЕНТИФИКАЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1. Обзор аналитических методов идентификации нелинейных динамических систем

Практика исследования и проектирования различных объектов показывает, что нельзя построить математическую модель, адекватную реальную объекту, только на основе теоретических исследований физических процессов, происходящих в нем.

Методы определения математических моделей по результатам экспериментальных исследований являются предметом теории идентификации [18,19,29,41,45,48,54,55,58].

Идентификация представляет собой начальный этап построения модели систем. В соответствии с определением Л. Заде "Идентификация состоит в отыскании по входным и выходным данным некоторой системы эквивалентной ей системы из некоторого заданного класса" [48].

Процедура идентификации предполагает, во-первых, использование при определении структуры модели априорной информации, основанной на физических законах функционирования системы, и во-вторых, обработку экспериментальных данных для получения необходимой апостериорной информации об исследуемой системе с целью уточнения (или определения) структуры и вычисления значений параметров модели. Схематически для динамических объектов при использовании математического аппарата дифференциальных уравнений это представлено на рис. 1.1 [48].

Разработка и создание тех или иных методов идентификации связаны с используемым аппаратом формализованного описания, выбор которого - в свою очередь, зависит от результатов процедуры идентификации. В связи с этим процедура идентификации представляет собой итерационный процесс.

Тестирую рдай процесс

Объект

Линеаризация

Информация о структуре (априорная) Информация об измерениях (апостериорная)

Обработка данных

Редукция

Данные измерений

Квантование

Ошибки измерений

Ошибки квантования

С

т

р

У

к

т

У

р ь,

а

Оценивание порядка

Оценивание параметров

Оценивание состояний

Модель

А А А

Поря }ок

Парам ет{

Состояние

Рис. 1.1

Формально задачу идентификации динамической системы можно сформулировать как задачу синтеза оператора ^, наилучшим образом связывающего наблюдения входа и выхода рассматриваемого объекта

¿>=(х(0,ж», о<1<т. (1.1)

Рис. 1.2

Критерий эффективности J(F) оператора F предполагается заданным, например, в виде среднеквадратичного отклонения [48]

т

J(F) = /И*(0) - y(t)f Kt)dt (1.2)

о

или максимальной ошибки

J(F) = max\F(x(t)) - y(t)\h(t) , (1.3)

где h(t) > 0- весовая функция, учитывающая информативность выборки (1.1) в отдельные моменты времени.

В случае отсутствия информации относительно информативности S весовая функция h(t) = 1.

Таким образом задача идентификации оператора F сводится к задаче минимизации критерия эффективности путем выбора соответствующего оператора

J(F) —» min —> F*, (1.4)

FeQ

где Q - заданное множество допустимых операторов;

F * - оптимальный оператор, решающий задачу идентификации.

Поскольку решение этой задачи в общем виде неудобно, ее разбивают на две подзадачи - структурной и параметрической идентификации. С этой целью представим F в виде пары

F = (G,C), (1.5)

где G- структура; С = (C,,...,CJ- параметры оператора F, п- число параметров. Тогда задачу идентификации (1.4) можно представить в виде

Q(G,C) min min =i> {G*,C*G) = F\ (1.6)

Ge<t> Ce6G

где Ф - множество допустимых структур идентифицируемого оператора; ва - множество допустимых значений параметров структуры; G* - оптимальная структура;

С'а - оптимальные параметры структуры G*, образующие оператор F*.

Таким образом, задача идентификации сводится к организации поиска оптимальной структуры в и оптимальных значении параметров Са.

В настоящее время наиболее хорошо разработаны методы идентификации систем, особенно методы параметрической идентификации линейных динамических систем. Несколько сложнее обстоит дело с методами решения задач определения структуры и идентификации нелинейных динамических систем.

Ниже приводится краткий обзор имеющихся методов решения задач идентификации нелинейных динамических систем, и в частности, задач их параметрической и структурной идентификации.

Одной из основных трудностей при идентификации нелинейных динамических систем является зависимость переходного процесса нелинейного объекта не только от формы, но и от амплитуды входного сигнала, что выдвигает сложные и противоречивые требования к выбору пробного сигнала при активной идентификации.

Другим серьезным препятствием служит бесконечное разнообразие типов нелинейных операторов, описывающих объекты.

Эти, а также ряд других обстоятельств являются причиной того, что почти все предложенные к настоящему времени методы идентификации нелинейных динамических систем пока далеки от практического применения [19].

Методы идентификации нелинейных динамических систем делятся на две основные группы [19]:

• методы, основанные на линеаризации математического описания объекта;

• методы, в которых модель объекта рассматривается как существенно нелинейная.

Наиболее полно развиты методы, основанные на линеаризации объектов. Простота и достаточная в ряде случаев точность обеспечили их

преимущественное развитие. Однако очень часто рассмотрение объектов в линейном приближении является недостаточным.

Так, при построении систем автоматического управления с прогнозированием при больших изменениях входных координат объекта применение его линеаризованной модели приводит к большим ошибкам.

В некоторых случаях линеаризованная модель объекта вообще не имеет смысла. Примером такого объекта служит объект экстремального регулирования, работающий вблизи точки экстремума при гармоническом поисковом сигнале. Поэтому методы идентификации, в которых описание объекта рассматривается как существенно нелинейное, приобретают все большее значение.

Эти методы могут быть классифицированы по следующим признакам [19]:

1. По наличию априорной информации об объекте:

а) параметрические методы, в которых вид нелинейного оператора известен, а его коэффициенты полностью или частично неизвестны;

б) прямые методы, в которых априорная информация об объекте отсутствует.

2. По способу представления оператора объекта:

а) во временной области (для этого используются нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения объекта, функциональное представление);

б) в частотной области (при этом используются коэффициенты усиления по высшим гармоникам).

3. По методам восстановления неизвестных параметров объекта:

а) неитерационные методы (метод наименьших квадратов, корреляционный анализ и т.д.);

б) итерационные методы (регрессионный анализ, методы малого параметра, методы статистических решений, стохастической аппроксимации и т.д.).

4. По принятому критерию эффективности идентификации.

Остановимся на отмеченных особенностях идентификации нелинейных систем.

При активном способе идентификации нелинейного объекта возникает ряд сложных требований к виду пробного сигнала. Очевидно, что эффективность процедуры идентификации во многом зависит от вида используемого тестирующего воздействия. При исследовании линейных систем широкое применение нашли гармонические сигналы. Однако использование тригонометрических функций при рассмотрении нелинейных систем уже не дает того эффекта, так как гармонические сигналы обладают лишь линейной инвариантностью по отношению к группе сдвигов. Мало того, желательно использовать такое тестирующее воздействие, которое позволило бы ответить на вопрос о том, каков будет выходной сигнал системы для любого входа.

Винер показал, что оптимальным тестирующим воздействием, каким являются гармонические сигналы для исследования линейных систем, при исследовании нелинейных систем служит белый шум [9,61]. Так как белый шум физически нереализуем, практически реализуют некоторую модель белого шума, имеющую постоянную спектральную плотность в диапазоне рабочих частот объекта, и дисперсию, превышающую диапазон изменения мощности рабочего входного сигнала объекта.

Разнообразие нелинейностей в технологических объектах, а также разнообразие типов операторов вызывает разнообразные п