автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Идентификация одномерных релейных динамических объектов методом последовательной линеаризации

На правах рукописи

ТИХОНОВА Наталья Алексеевна

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОДНОМЕРНЫХ РЕЛЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям: информатика, вычислительная техника и управление)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

КРАСНОЯРСК 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Красноярский государственный технический университет» и ГОУ ВПО «Омский государственный университет путей сообщения».

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ РУБАН Анатолий Иванович.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор ИВАНЧУРА Владимир Иванович; кандидат технических наук, доцент УШАНОВ Сергей Викторович.

Ведущая организация:

Омский филиал института математики

им. С. Л. Соболева СО РАН.

Защита состоится 29 сентября 2006 г.. на заседании диссертационного совета Д 212.098.04 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: ул. Академика Киренского, 26, Красноярск, 660074, ауд. Д 501.

Факс:(3912)430692; E-mail: sovet@front.ru; Телефон: (3912) 912292, 912295.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан 25 августа 2006 г.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять в адрес диссертационного совета Д 212.098.04.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

С. А. Бронов

© Омский гос. университет путей сообщения, 2006

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Идентификация - это общий кибернетический подход к решению задачи построения математических моделей на основе обработки экспериментальной информации о поведении объектов. Созданные модели используются, как правило, при решении последующих задач управления. Методы идентификации широко применяются при научных исследованиях в различных прикладных областях, таких как экономика, социология, биология, техника и т. п. При идентификации моделей объектов обычно вначале проводится структурная идентификация — восстанавливается структура модели с точностью до параметров (на основе длительного изучения реальных процессов, протекающих в объектах), а затем параметры модели доопределяются по текущим экспериментальным данным с помощью экспериментально-статистических алгоритмов. Этот путь пока является единственно возможным, если строятся динамические модели объектов. ,

Наиболее изученными являются методы параметрической идентификации, когда структура математической модели исследуемого объекта известна и доопределению подлежат только ее параметры. При синтезе многих систем управления, например регуляторов состояния, необходимо иметь информацию не только о параметрах динамической модели, но и о фазовых координатах, поэтому параметрическую идентификацию сводят к обобщенному оцениванию параметров и фазовых координат. Для существенно нелинейных динамических объектов (в том числе для объектов, имеющих звенья с релейными характеристиками) известные алгоритмы идентификации нуждаются в модификации и, соответственно, в дополнительном исследовании. В практических задачах релейные элементы применяют в системах управления электроприводом (разгон-торможение, разгон-выбег-торможение), термостатирования, для реализации скользящих режимов, четтеринг-режимов, при формировании поисковых сигналов в адаптивных и экстремальных системах, а также при синтезе оптимальных по быстродействию систем управления.

Разработка эффективных алгоритмов и программ оценивания параметров и фазовых координат математических моделей существенно нелинейных объектов, имеющих звенья с релейными характеристиками, является актуальной задачей.

Народнохозяйственная (техническая) проблема. Проектирование современных релейных систем автоматического управления основано на известных моделях объектов или процедурах оценивания. Таким образом, новые универсальные, эффективные в вычислительном отношении и достаточно просто

реализуемые на базе современных микропроцессорных устройств (контроллеров) алгоритмы идентификации будут востребованы в промышленности.

Научная проблема порождена тем, что в настоящее время, несмотря на достаточно большое число работ по идентификации, отсутствуют доведенные до практического применения алгоритмы оценивания параметров разрывных нелинейных динамических объектов и систем.

Объект исследования - методы и алгоритмы параметрической идентификации динамических объектов, в структурную схему которых входят блоки с разрывными характеристиками.

Предметом исследования являлись свойства и характеристики разработанных алгоритмов оценивания параметров и ненаблюдаемых координат для объектов с релейными элементами.

Цель исследования — разработка на основе метода последовательной линеаризации алгоритмов оценивания параметров и ненаблюдаемых фазовых координат существенно нелинейных динамических объектов с использованием в математических описаниях релейных элементов моделей с гладкими нелинейными зависимостями.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

получить структуру гладких нелинейных функций, позволяющих с достаточно высокой точностью аппроксимировать широкий класс применяемых в системах автоматического управления кусочно-линейных и релейных однозначных и неоднозначных характеристик типовых нелинейных элементов;

на основе метода последовательной линеаризации разработать алгоритм параметрической идентификации и восстановления ненаблюдаемых переменных'состояния динамического объекта с существенными нелинейными характеристиками, позволяющий не учитывать условия разрывов моделей и функций чувствительности;

получить математическую модель механических колебаний (перемещений центра инерционной массы) виброисточника геофизического комплекса, показать возможность реализации в замкнутой системе управления виброисточником режима экстремального управления с использованием знаковых функций и разработать алгоритмы идентификации (на основе метода последовательной линеаризации с использованием функций чувствительности и псев-дочувствителыюсти) параметров моделей в замкнутом и разомкнутом режимах работы виброисточника;

разработать программный комплекс, реализующий алгоритмы идентификации основе современных средств автоматизации математических вычислений и имитационного моделирования.

Методы исследования. Теоретические исследования проводились с привлечением методов численного решения линейных и нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений, аппарата переменных состояния, теории идентификации и фильтрации. Проверка работоспособности и эффективности алгоритмов осуществлялась с помощью имитационного моделирования на ЭВМ с использованием современных средств автоматизации математических вычислений.

Новые научные результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Получена структура гладких нелинейных функций (в основном в виде сигмоидальных функций), аппроксимирующих с достаточно высокой точностью широкий класс типовых нелинейных звеньев (с кусочно-линейными и релейными, однозначными и неоднозначными характеристиками), применяемых в системах автоматического управления, и оценена точность аппроксимаций.

2. Синтезирован алгоритм параметрической идентификации и восстановления ненаблюдаемых переменных состояния динамического объекта с существенными нелинейными релейными элементами, позволяющий за счет применения гладких моделей нелинейных элементов не учитывать условия разрывов моделей и функций чувствительности. Алгоритм построен на основе метода последовательной линеаризации с выбором оптимальной (при параболическом приближении) величины шага.

3. Построена математическая модель механических колебаний (перемещений центра инерционной массы) виброисточника геофизического комплекса и • разработаны алгоритм экстремального управления виброисточником с использованием знаковых функций, алгоритмы идентификации (на основе метода последовательной линеаризации с использованием функций чувствительности и псевдочувствительности) параметров моделей в замкнутом и разомкнутом режимах работы виброисточника.

Значение для теории. Применение в качестве гладких аппроксимаций разрывных (кусочно-постоянных) характеристик нелинейных элементов динамических объектов и систем сигмоидальных функций позволяет расширить границы возможностей приближенных итерационных методов оценивания параметров и ненаблюдаемых переменных (фазовых координат), включая системы экстремального, позиционного (релейного), а также оптимального по быстродействию управления.

Значение для практики. Результаты диссертации можно использовать для решения различных теоретических и практических задач, в которых требуется оценить параметры существенно нелинейных объектов и систем с релейными элементами.

Достоверность научных положений и выводов подтверждена совпадением результатов теоретических исследований с результатами экспериментов и практических испытаний, проведенных на реальном объекте.

Использование результатов диссертации. Результаты работы использованы в ФГУП «Омский НИИ приборостроения» при разработке математического и программного обеспечения автоматизированной системы контроля и управления геофизическим комплексом. Внедрение результатов подтверждается соответствующими актами.

Теоретические результаты и программное обеспечение используются в учебном процессе при проведении занятий и выполнении курсовых работ по дисциплине «Автоматизация проектирования систем и средств управления», а также в дипломном проектировании студентов специальности «Управление и информатика в технических системах».

Личный вклад автора. Автору лично принадлежит идея применения для оценивания параметров непрерывных динамических объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, аппроксимации разрывной знаковой функции гладкой сигмоидальной (по аналогии с функциями активации нейро-сетевых моделей); разработан программный комплекс, реализующий метод квазилинеаризации, алгоритм чувствительности и метод последовательной линеаризации в среде пакета математического моделирования МаЙаЬ, тестовые примеры и проведена его настройка; получены математические модели для механических колебаний виброисточника; проведены экспериментальные исследования системы экстремального управления; разработаны программы метода последовательной линеаризации, использующие функции чувствительности и псевдочувствительности.

Апробация результатов диссертации. Основной материал диссертации отражался в научных докладах, которые обсуждались на II международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 1997); международной научно-технической конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения» (Омск, 2003); межвузовской научно-технической конференции «Железнодорожный транспорт Сибири: проблемы и перспективы» (Омск, 1998); научно-технической конференции «Применение в САПР типовых и объективно-независимых программно-методических и программно-технических комплексов» (Омск, 1989); научно-технической конференции «Методы и средства диагностирования технических средств железнодорожного транспорта» (Омск, 1989); II всесоюзной научно-технической конференции «Микропроцессорные системы автоматики» (Новосибирск, 1990); всесоюзной конференции «Ученые и специалисты в решении социально-экономических проблем страны» (Ташкент, 1990); научной школе-семинаре

«Моделирование и исследование устойчивости физических процессов» (Киев, 1991); 3-й научно-технической конференции «Автоматизированные системы испытаний объектов железнодорожного транспорта» (Омск, 1991).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 19 научных работ: две статьи в изданиях по списку ВАК; шесть статей в сборниках научных трудов; 10 работ опубликованы в материалах всесоюзных, всероссийских и международных конференций; учебное пособие с грифом УМО.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 179 наименований и приложения. Общий объем (с учетом приложений) составляет 128 страниц печатного текста и содержит 72 рисунка и восемь таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель и задачи исследования, указаны методологические основы работы, рассмотрены вопросы ее научной новизны, перечислены основные подходы к решению задачи оценивания параметров моделей. .

В первом разделе диссертации рассмотрена задача параметрической идентификации объектов и систем, в состав которых входят элементы с кусочно-постоянными (релейными) характеристиками. Приводится обзор типов объектов и систем, относящихся к данному классу, и основных методов анализа релейных систем. Обосновано применение для оценивания параметров и ненаблюдаемых фазовых координат метода последовательной линеаризации с использованием гладких аппроксимаций характеристик релейных звеньев.

В работе рассматривается класс одномерных (одноканальных) динамических объектов с входным ы(г) и выходным у(1) сигналами, описываемых нелинейным дифференциальным уравнением:

^ \у{{),М-.УГ,>{^у)=Ри Ко. й{1),...,и«>{г).аХ (1)

где иУ* {{) при у' = 1, и У'\0 при 1=1, / - производные от входного и выходного сигнала соответственно; ау е , аи еЯ"7 - неизвестные параметры объекта; р1 {•}, {■} — некоторые нелинейные зависимости от координат объекта и его производных. •

Предполагается, что в общем случае е С и /7и{-} е С , где С - класс кусочно-непрерывных (в данном случае — кусочно-постоянных или релейных)

функций, т. е. исследуемый объект содержит нелинейные звенья с разрывными (релейными, кусочно-постоянными) характеристиками.

К рассматриваемому классу относятся классические нелинейные замкнутые системы, состоящие из последовательного соединения нелинейного элемента с характеристикой Р(у) и обобщенной линейной части с передаточной функцией в операторной форме Щр) = Лд(р) / В этом случае дифференциальное уравнение (1) будет иметь вид:

&ФМ0 + Л,(р)Л» = (2)

где й(р), Яд(р) - полиномы степени р; р = / Л - оператор или символ дифференцирования.

В теории автоматического управления при Р(у)еС уравнения (1) и (2) описывают класс релейных систем. В силу инерционности исполнительных элементов и устройств в математическом описании объектов и систем необходимо использовать как однозначные, так и неоднозначные релейные характеристики. В методах параметрической идентификации объектов с релейными характеристиками наиболее общее решение для негладких зависимостей, допускающих разрывы первого рода, получены только для функций чувствительности. Розенвассером Е. Н. и Юсуповым Р. М. рассмотрены разрывные дифференциальные уравнения типа (1) и было показано, что в функциях чувствительности условия скачков носят локальный характер. Рубаном А. И. разработан наиболее общий подход и предложена методика параметрической идентификации.

В работе эта методика применена для решения многоточечной нелинейной краевой задачи обобщенного оценивания параметров а (ае/;г= г,+г2) и состояний г(г)б^' идентифицируемого объекта (1) или системы (2). В данном случае вводится расширенная модель вход-состояние-выход вида

¿(/) = р[*('0>"(')]; *('о) = *о (3)

и уравнение связи с выходом:

т=ст, (4)

где ¡0 - начальный момент времени; х(<) = |£(0 щ —обобщенный вектор состояния где п = 1 + г); а - вектор оценок неизвестных парамет-

ров; <р [х(г), и(0]=|/[^(').ы(0] 0|Г - расширенная функция размером п х ]; /[¿(О, и(01 ~ нелинейная функция размером 1x1, содержащая элементы с кусочно-постоянными зависимостями; л((0) - вектор оценок начальных условий;

С = \С2 0] — матрица связи х(/) с выходом у(1) размером 7 х и; Сг - матрица связи вектора ¿(г) с выходом >'(?) размером 1x1.

В расширенной модели (3) неизвестными являются элементы вектора начальных условий х(/0). За некоторый конечный интервал времени, в течение

которого сохраняются стационарные свойства объекта, производится выборка из N дискретных значений наблюдаемых входной к(?) и выходной у(/) переменных объекта и формируется показатель качества идентификации

есосш-яо]. (5)

./-о

где >(/,) вычисляются по формуле (4) в дискретные моменты времени I, путем решения дифференциального уравнения (3) с использованием экстраполятора нулевого порядка для 7).

Многоточечная краевая задача сводится к минимизации функционала (5) по начальным условиям х(/0). Для решения этой задачи необходимо применять итерационные (рекуррентные) методы, основанные на линеаризации на каждой итерации либо относительно траекторий, как в методе квазилинеаризации (при этом J в выражении (5) рассматривается как функционал), либо относительно искомых параметров х(г0), как в методе последовательной линеаризации (при этом J рассматривается как функция от параметров х(г0) ).

В этих методах общая нелинейная краевая задача заменяется последовательностью линеаризованных путем применения на каждой итерации к выражениям (3) или (4), в зависимости от метода, формулы Тейлора, учитывающей первые производные, что позволяет получить выражение для переменной модели >>(0 с линейно входящим вектором начальных условий х(10 ). Подстановка этой зависимости в функционал (5) и последующая его минимизация приводят к стандартной процедуре метода наименьших квадратов, согласно которой искомый вектор х(/0) определяется матричным выражением или системой алгебраических уравнений. Например, в методе последовательной линеаризации

+ (б)

где — значение шага на (к+1)-й итерации.

Разность оценок Дх^ц(^) определяется по формулам:

1=0 1-0

Функции чувствительности Wk+l (i) определяются из решения системы п1 дифференциальных уравнений:

^,(0=^^,(0; wM{t0)=in. (8)

В задачах автоматического управления для исследования колебательных процессов, наиболее часто возникающих в релейных системах, рекомендуется применение метода гармонической линеаризации или описывающих функций, которые приводят к гладким аппроксимациям характеристик F(y) полиномами и функциями Чебышева. В современной теории нейронных сетей, где функции активации также являются релейными (кусочно-постоянными) зависимостями, применяются сигмоидальные аппроксимации, поэтому именно эти приближения и рассматриваются в работе.

Второй раздел посвящен описанию моделей существенно нелинейных звеньев и гладким аппроксимациям их характеристик, приводится описание полиномиальными и сигмоидальными зависимостями однозначных и неоднозначных элементов и функциональные схемы формирования характеристик неоднозначных звеньев. Делается вывод о целесообразности применения для аппроксимации функции гиперболического тангенса. В работе рассматривается существенно нелинейные релейные характеристики F(x) е С. Показано, что большинство применяемых в практике управления однозначных (статических) звеньев можно описать с помощью знаковой функции F(x)= signx.

Неоднозначные (динамические) элементы предлагается заменять эквивалентными функциональными преобразованиями, представляющими собой замкнутые системы с положительной обратной связью, в состав которых входит релейное звено F{x) = signx, либо функциональную зависимость

F(x,signx)еС записать в тождественном виде, как, например, для реального двухпозиционного реле:

F(x, sign ir) = sign {x + b sign x), (9)

где b — ширина петли гистерезиса.

Сравнивались аппроксимации характеристик F(x) и F(x,signx) гладкими зависимостями F(x)eC°° и F(x,signx)eC° (С°° - класс бесконечно гладких функций) в форме полиномов и сигмоидальных функций. Показано, что даже при чебышевской аппроксимации, когда ее коэффициенты являются коэффициентами ряда Фурье, не удается превысить точность SA = (1,5-=-2)% при приемлемой степени полинома т (когда т <.20). Для неоднозначных характеристик при приближении полиномами и функциями Чебышева аппроксимируются только отдельные ветви зависимости F(x, signx).

Сигмоидальные функции гиперболического, тангенса х и модифицированная логистическая функция

(10)

с точки зрения параметрической идентификации являются тождественными и обладают свойством биекции (они являются взаимно однозначными функциями). В работе предлагается для однозначных характеристик = использовать аппроксимацию вида:

F(х) = Ж/Зх при /3 —>аэ.

(П)

В качестве моделей реального двухпозиционного реле с гистерезисом применялись аппроксимация формулы (9) аналитическим выражением

Р(х, х) = 1к\р{х+Ъ /А (/?,, х))] при /?->оо и Д ->оо

(12)

и функциональный преобразователь с положительной обратной связью (вид полученной в этом случае аппроксимирующей кривой Р2(х,зг§пх) показан на рис. 1, а).

, оз

' г

У•

гк $ Ь ,

-ь -ь \ ! ; *

У

Рис. 1. Вид аппроксимирующей кривой и зависимость погрешности В/Ь от для реле с гистерезисом

Исследовалась зависимость точности аппроксимации 5Л от коэффициентов р и /?,. В формуле (12) на реальную ширину петли гистерезиса Ь в большей степени влияет величина (особенно при малых его значениях). Результаты моделирования показали, что надо выбирать значение параметра /?, > 2,5.

График зависимости относительной погрешности ъ/ь от р для функционального преобразователя приведен на рис. 1, б. В работе сделан вывод о целесообразности применения для реле с гистерезисом аппроксимации вида (12) при условии, что у?, >2,5.

В работе приведены результаты проведенного исследования функционального преобразователя с отрицательной обратной связью для реализации нелинейного элемента типа «люфт»; приведены экспериментально полученные зависимости точности <5^ от коэффициента /?; установлено, что параметр Ь воспроизводится в аппроксимациях без ошибок.

В третьем разделе показана принципиальная возможность применения алгоритма чувствительности и метода квазилинеаризации на примере оценивания параметров нелинейного маятника и проведено их сравнение. Установлено, что для релейных характеристик необходимо применение метода последовательной линеаризации и исследованы процедуры выбора оптимальной величины шага. Проведены исследования возможности применения методов идентификации для замкнутой следящей системы управления.

В работе все процедуры оценивания параметров и состояний ненаблюдаемых координат исследуются на примере широко применяемого многими авторами для сравнительного анализа, методологических и теоретических исследований нелинейного динамического маятника, описываемого дифференциальным уравнением:

Я0+«1Я0+«2^(У)=СГЭ"(0 • (13)

В расширенной модели вида (3) вектор х(г) е содержит оценки фазовых координат *1(0 = .К0> £2(0=.Р(0> параметров а, и коэффициента ¡3 функции гиперболического тангенса.

Сравнительный анализ методов проводился для гладкой нелинейной зависимости р{у) = ¡Ир у по таким показателям, как области сходимости

(хД/о), ¡3); количество итераций к, необходимых для вычисления оценок при фиксированных значениях Р\ среднее время Гср, затрачиваемое на одну итерацию; общее время гобш оценивания с заданной точностью е = КГ3 от начального значения р при постоянных объеме выборки ТУ и интервале наблюдений Т. По анализу результатов имитационного моделирования был сделан вывод о целесообразности применения алгоритма чувствительности, при этом установлено, что с учетом выводов второго раздела начальное значение коэффициента р целесообразно выбирать в пределах от 2,5 до 20-^50.

По .таким же показателям исследовались возможности метода параметрической идентификации для релейной характеристики . В ходе экспериментальных исследований было установлено, что и метод квазилинеаризации, и алгоритм чувствительности в общем случае показывают неудовлетворительные результаты, особенно по области сходимости (£2('о)>/0)> ВИД которой приведен на рис. 2 при / = 0. Область имеет явно выраженный разрывной характер (это связано с тем, что в дифференциальное уравнение именно обобщенной координаты х2 (г) входит релейная функция).

7 6 5 4 3

х2(г0)г 1 о -1 -2 -3

О 1а 20 30 40 £0 60

р--

Рис. 2. Области сходимости {х1(!о),0) для метода последовательной линеаризации при I = 0 (алгоритм чувствительности) и / = 3

С целью улучшения показателей сходимости в работе рекомендуется применение метода последовательной линеаризации, когда оценки элементов расширенного вектора состояний -£(г0) вычисляются по рекуррентной формуле

(6), содержащей итерационное введение шага уш = 2~1, где показатель I выбирается из следующих целых значений: /= О, 1, ..., 4. Пример области сходимости (х2(/0), р ) при 1 = 3 приведен также на рис. 2. Экспериментальные данные имитационного моделирования для области сходимости ) ПРИ различ-

ных значениях / приведены в таблице.

Для определения оптимальной величины шага исследовались такие методы одномерного поиска, как деление интервала пополам (дихотомии), золотого сечения и параболической интерполяции по таким показателям, как количество итераций, среднее время одной итерации, общая продолжительность оценивания при заданной точности £ = 10-3 и зависимости показателя качества

идентификации J{k +1), вычисляемого по формуле (5). Лучшие показатели в методе последовательной линеаризации при использовании в аппроксимациях релейной функции ¡¡^х гиперболического тангенса гА(Зх отмечены у параболической интерполяции. -

Данные экспериментов

Области сходимости Число точек сходимости Количество итераций Среднее время одной итерации, с. Общее время вычислений, с.

метод последовательной линеаризации

(*20оШ./ = О 556 17116 2,134 37625

1157 31678 3,369 105620

(х2(/0 ),£),/=2 1324 36411 3,420 131478

1874 51283 3,423 198878

2448 67057 . 3,425 219670

В диссертации исследовалась работоспособность методов параметрической идентификации для замкнутых систем управления, в качестве которой рассматривалась электромеханическая релейная следящая система третьего порядка с местной обратной связью и такими подобранными значениями параметров, чтобы в автономной системе возникали автоколебания. Моделировался вынужденный режим при синусоидальном входном воздействии и(г) = В$т(а>ш{). Из трех основных областей, включающих в себя и область захвата (возникновения одночастотных вынужденных колебаний), только в области разделения х(^) на медленные и "быстрые (колебательные) движения идентифицировались параметры, но при этом оценивалась только медленная составляющая. Таким образом, в случае замкнутых систем управления идентифицируется линеаризованная характеристика релейного элемента.

В четвертом разделе получена математическая модель для механических колебаний (перемещений центра инерционной массы) виброисточника геофизического комплекса и определены условия, при которых ее можно заменить типовым колебательным звеном. Обосновано применение для идентификации параметров разомкнутой системы функций псевдочувствительности. С помощью имитационного моделирования показана возможность реализации в замкнутой системе режима экстремального управления и проведен анализ функционирования рассмотренных алгоритмов оценивания параметров нелинейного

динамического объекта; установлено, что в общем случае необходимо применение метода последовательной линеаризации.

Структурно-функциональная схема исследуемой автоматизированной системы контроля и управления геофизическим комплексом приведена на рис. 3.

АЦП | АВ ЦДЛ ЦДЛ

ц Т 1í JL

УЗЧ CFU

U

Г

Аварийные сигналы Оотвлы контроля идиагносшки

Рис. 3. Структурно-функциональная схема автоматизированной системы контроля и управления геофизическим комплексом

В работе определены условия, при которых отклонение центра инерционной массы от положения равновесия х(г) описывается дифференциальным

уравнением:

т x(t)+b x{t)+c x{t) = F(t),

(14)

где m — масса подвижной части виброисточника; b, с — суммарные коэффициенты вязкого и жесткого трения; FÍt) = Fm sin со t — входное воздействие (механическое усилие от гидроцилиндра).

При включении комплекса до момента замыкания контура обратной связи модель для перемещений х(г) будет иметь тот же вид (14), т. е. будет линейной. В работе для получения оценок бис предлагается применять функции псевдочувствительности, при этом оценивание параметров осуществляется за одну итерацию. Вычисленные значения в дальнейшем (в методе последовательной линеаризации) используются как начальные приближения.

Обосновано и экспериментально подтверждено формирование в замкнутой системе алгоритма экстремального управления и (г ) только за счет изменения жесткости пневмоподвески с„(<)- Если частота входного воздействия а<сой = -/с]т и разность фаз между и выходным сигналом \<р{!)\<п/2, то жесткость сп(0 уменьшается, в противном случае -.' увеличивается, поэтому регулятор должен формировать поисковый сигнал в соответствии со следующим алгоритмом:

,л = ^/г^/яи^О-«^^)]«^^ если\<р\> тс/Х;

~ [1/2 если \(р\ < яг/2.

Идентифицируемая модель для механических колебаний будет иметь вид:

«К*)+г*(о+*о*(о+*п(*жо=т (16)

¿п(0=агп(0+и(0, (17)

где с0 - оценка коэффициента жесткости всех пружин без пневмоподвески; а — параметр, учитывающий инерционность пневмоподвески.

В уравнении (17) управляющее воздействие формулируется в соответствии с выражением (15), в котором релейные характеристики аппроксимируются сигмоидальными функциями 1крх(г) и Расширенный вектор х(г)еЛ6

тогда будет иметь вид: х(/) = ]х(г) х{г) с0 сп(г) Ъ /)|т.

Результаты экспериментальных исследований показали, что при частоте входного сигнала а>>а>0 области сходимости (с0,0 ) и (¿, /?) при применении для вычисления оценок. х(/0) алгоритма чувствительности не являются сплошными (на рис. 4 область (Ь, р) показана серым цветом).

Область сходимости для метода последовательной линеаризации также приведена на рис. 4. В данном случае на (к + 1)-й итерации вычисления оценок ' хм ) требуется выполнять 7 = 3 дополнительных рекурсий в соответствии с формулой (6), либо использовать в качестве х0 (г0) значения оценок парамет-

ров, предварительно вычисленных с помощью функций псевдочувствительности, когда сп = 0 и модель исследуемого объекта (16) является линейной.

50

Рис. 4. Области сходимости (Ь, 0) для алгоритма чувствительности и метода последовательной линеаризации (/ = 3) при а»щ

Моделирование проведено средствами пакета БшшИпк (МаЙаЬ 7.0), показана и экспериментально подтверждена возможность применения метода последовательной линеаризация для оценивания параметров виброисточника как объекта идентификации в замкнутой системе экстремального управления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработаны и исследованы алгоритмы параметрической идентификации и оценивания ненаблюдаемых переменных состояния на основе метода последовательной линеаризации при наличии в составе одномерных (одноканаль-ных) непрерывных динамических объектов отдельных звеньев с релейными (кусочно-постоянными) характеристиками. Показана их эффективность и способность решать практические задачи в области идентификации.

Проведены исследования влияния различных способов аппроксимации гладкими полиномами и функциями статических однозначных и неоднородных (с гистерезисом) релейных элементов на точность аппроксимации, обосновано применение сигмоидальных функций (в частности, гиперболического тангенса) и определены диапазоны значений параметров, обеспечивающих эффективную работу алгоритмов.

Выбрана и экспериментально подтверждена результатами имитационного моделирования рекуррентная процедура одномерной оптимизации на основе

параболической интерполяции для выбора величины шага на каждой итерации вычисления оценок параметров и состояний, методом последовательной линеаризации.

Разработано математическое и программное обеспечение автоматизированной системы контроля и управления геофизическим комплексом в составе алгоритмов и программ, реализующих параметрическую идентификацию с использованием функций чувствительности и псевдочувствительности, позволяющую вычислять начальные значения оценок во время переходного процесса, когда система является разомкнутой, а исследуемый объект описывается линейной моделью. В режиме реализации экстремального управления используется метод последовательной линеаризации при аппроксимации характеристик релейных звеньев сигмоидальными функциями.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Тихонова, Н. А. Оценивание параметров объекта с существенно нелинейными динамическими характеристиками / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова, А. В. Новокшонова // Омский научный вестник. 2005. № 4 (33). С. 97 - 100.

2. Тихонова, Н. А. Сравнение двух методов идентификации при оценивании параметров нелинейного динамического маятника / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова, А. В. Новокшонова 11 Омский научный вестник. 2005. № 1(30). С. 92-96.

3. Тихонова, Н. А. Оценивание параметров колебательных систем методом последовательной линеаризации / Н. А. Тихонова // Проблемы электромагнитного влияния на надежность функционирования систем передачи информации на железнодорожном транспорте: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 1998. С. 60 - 64.

4. Тихонова, Н. А. Оценивание параметров систем с использованием функций псевдочувствительности /Н. А. Тихонова //Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Сибирская гос. автомобильно-дорожная акад. Омск, 2005. С. 219 - 222.

5. Тихонова, Н. А. Применение сигмоидальных функций для аппроксимации некоторых релейных характеристик / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова, А. В. Новокшонова // Математика и информатика: наука и образование: Межвуз. сб. науч. тр. /Омский гос. пед. ун-т. Омск. 2006. Вып. 6. С. 31 — 35.

6. Тихонова, Н. А. Повышение точности определения энергетических параметров по результатам косвенных наблюдений / А. Т. Когут, Н. А, Тихонова // Повышение достоверности измерения энергетических параметров систем электроснабжения электрических железных дорог: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омский ин-т. инж. ж.-д. трансп. Омск, 1986. С. 76-82.

7. Тихонова, Н. А. Использование функций чувствительности в задаче моделирования и идентификации нелинейного динамического объекта / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова//Проблемы повышения эффективности создаваемых и внедряемых АСУ: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. Омск, 1988. С. 16.

8. Тихонова, Н. А. Идентификация параметрических колебаний в системах управления / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова//Разработка и исследование автоматизированных средств контроля и управления для предприятий железнодорожного транспорта: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. Омск, 1993. С. 26 - 31.

9. Тихонова, Н. А. Алгоритмы и программное обеспечение электромеханической системы управления колебаниями I Н. А. Тихонова // Железнодорожный транспорт Сибири: проблемы и перспективы: Материалы межвуз. науч.-техн. конф. / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 1998. С. 31, 32.

10. Тихонова, Н. А. Процедуры параметрической" идентификации на основе квазилинеаризации / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова // Материалы науч.-техн. конф. / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. Омск, 1986. С. 158.

11. Тихонова, Н. А. Определение параметров динамической модели не полностью наблюдаемой колебательной системы / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова // Методы и средства диагностирования технических средств железнодорожного транспорта: Материалы науч.-техн. конф. / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. Омск, 1989. С. 250, 251.

12. Тихонова, Н. А. Применение пакетов моделирования для решения задач идентификации / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова//Применение в САПР типовых и объектно-независимых программно-методических и программно-технических комплексов: Материалы отраслевой науч.-практ. конф. / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. Омск, 1989. С. 38.

13. Тихонова, Н. А. Параметрическая идентификация динамических моделей в задачах автоматизированного управления / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова // Ученые и специалисты в решении социально-экономических проблем страны: Материалы всесоюзной конф. / Ташкент, 1990. С. 75, 76.

14. Тихонова, Н. А. Микропроцессорная система идентификации и управления колебаниями виброисточника / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова // Микропроцессорные системы автоматики: Материалы всесоюзной науч.-техн. конф. / Новосибирск, 1990. С. 77.

15. Тихонова, Н. А. Автоматизированные процедуры обработки информации и получение моделей / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова // Автоматизированные системы испытаний объектов железнодорожного транспорта: Материалы науч.-техн. конф. / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. Омск, 1991. С. 11.

16. Тихонова, Н. А. Моделирование и исследование свойств динамических объектов с малой нелинейностью / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова//Моделирование и исследование устойчивости физических процессов: Тезисы докладов научной школы семинара / Киевский гос. ун-т, Институт кибернетики им. В. М. Глушкова. Киев, 1991. С. 41, 42.

17. Тихонова, Н. А. Применение неявных процедур оценивания в задачах идентификации / А. Т. Когут, А. Г. Малютин, Н. А. Тихонова // Динамика систем, механизмов и машин: Материалы международной науч.-техн. конф. «Динамика систем механизмов и машин» / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1997. Кн. 3. С. 35, 36.

18. Тихонова, Н. А. Решение некоторых задач управления методами полиномиальной аппроксимации / А. Г. Малютин, И. А. Щегольский, Н. А. Тихонова, А. А. Симаков//Проблемы оптимизации и экономические приложения: Материалы всероссийской конф. / Омский филиал института математики им. Соболева. Омск, 2003. С. 130.

19. Тихонова, Н. А. Методы имитационного моделирования при исследовании систем железнодорожного транспорта: Учебное пособие / Н. А. Тихонова / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2004. 108 с.

Типография ОмГУПСа. 2006. 644046, г. Омск, пр. Маркса, 35 Тираж 120 экз. Заказ 646.

Введение.

1. Постановка задачи идентификации объектов и систем с релейными звеньями и методы ее решения.

1.1. Описание класса исследуемых объектов и систем.

1.2. Анализ алгоритмов параметрической идентификации, основанных на методах линеаризации.

1.3. Обоснование необходимости применения гладких аппроксимаций.

1.4. Выводы по первой главе.

2. Модели существенно нелинейных звеньев и гладкие аппроксимации их характеристик.

2.1. Модели и функциональные схемы формирования нелинейных элементов.

2.2. Аппроксимация характеристик релейных звеньев.

2.2.1. Аппроксимация функциональных зависимостей однозначных статических элементов.

2.2.2. Аппроксимация характеристик неоднозначных динамических) звеньев.

2.3. Выводы по второй главе.

3. Исследование методов обобщенного оценивания параметров и состояний существенно нелинейных динамических объектов.

3.1. Параметрическая идентификация объектов с гладкими ф нелинейными характеристиками.

3.2. Оценивание параметров динамических объектов с релейными звеньями.

3.3. Применение метода последовательной линеаризации и расширение возможностей параметрической идентификации.

3.4. Исследование результатов оценивания параметров динамических объектов в замкнутых системах.

3.5. Выводы по третьей главе.

4. Математическое обеспечение автоматизированной системы контроля и управления геофизическим комплексом.

4.1. Анализ возможности применения геофизического комплекса для сейсмических исследований.

4.2. Описание вибромодуля геофизического комплекса.

4.3. Получение структурной модели исследуемого объекта.

4.4. Параметрические модели идентификации и управления вынужденными колебаниями.

4.5. Применение методов идентификации параметров динамического объекта в экстремальной системе управления.

4.6. Выводы по четвертой главе.

Задача построения математических моделей технических объектов может решаться различными методами, в том числе методами идентификации, предназначенными для получения структуры, параметров модели, а также восстановления переменных объекта на основе экспериментальной информации о поведении объекта.

Основы теории идентификации заложены в трудах таких отечественных ученых как ЯЗ. Цыпкин [138], А.А. Красовский [115], В .А. Каминскас [35, 36], A.M. Дейч [29], Н.С. Райбман [84, 85, 86], А.И. Рубан [103, 94, 93 и др.], JI.A. Растригин, Н.Е. Маджаров [88], Б.Н. Петров, П.Д. Крутько [75], И.Н. Перельман [74], Е.Н. Розенвассер, P.M. Юсупов [91], В.П. Бородюк, Э.К. Лецкий [16] и зарубежных: Р. Беллман, Р. Калаба [13], П. Эйкхофф [146, 113], Р. Калман, Э. Сейдж, Д. Мелса [109, 110], К. Спиди, Р. Браун, Дж. Гудвин [114], JI. Льюинг [62], Д. Гроп [27] и другими учеными. Основные сведения по теории идентификации и классификация методов даны в ряде статей [6, 112, 92, 75], а также в других научных трудах и статьях различных авторов (Баде Г.Д. [8], И. Бард [10], Ш.Е. Штейнберг [145], Ф.Л. Черноусько [143], Е.Г. Клейман [39], А.Г. Ивахненко [34], В.А. Иванов [33], В.И. Городецкий [26]).

Методы структурной идентификации или идентификации в широком смысле позволяют по имеющейся априорной информации об исследуемом объекте восстанавливать структуру модели [113, 62, 34]. Наиболее разработаны непараметрические методы идентификации линейных объектов как во временной области, когда восстанавливаются оценки весовых функций путем решения интегральных уравнений типа Винера-Хопфа [113], так и в комплексной области при экспериментальном определении частотных характеристик [29]. Для нелинейных динамических объектов применяют модели в виде рядов Вольтерра и Гаммерштейна [95].

Промежуточное положение занимают методы структурно-параметрической идентификации, когда модель выбирается из определенного класса или множества моделей-претендентов, как правило, усложняющейся структуры [ИЗ, 62, 34, 86, 8, 27]. Аппарат структурно-параметрической идентификации линейных объектов представлен такими методами как ступенчатая и шаговая регрессия, методы Симою и ряд других методов [113, 8, 27]. Одним из наиболее эффективных методов является и метод группового учета аргументов, который при использовании нелинейных моделей претендентов может также применяться и для описания нелинейных объектов. Схожую с МГУА идею неокончательных решений и усложнения структуры используют и активно внедряющиеся в идентификацию нейросети [65, 72]. Нейронные сети являются универсальными аппроксиматорами сложных нелинейных функциональных зависимостей. Главной особенностью нейросетей является их способность к обучению (адаптации), которая реализуется с помощью специально разработанных алгоритмов. Для обучения нейронной сети, как правило, не требуется априорной информации о структуре аппроксимируемой функциональной зависимости, что и делает их привлекательными для решения задач восстановления математических описаний.

В настоящее время наиболее развитыми является аппарат параметрической идентификации, когда структура модели исследуемого объекта известна, а оцениванию подлежат ее параметры. Это обусловлено такими причинами, как удобство анализа применяемых моделей, использование формальных вычислительных схем и наличие адекватного математического аппарата в теории управления.

В работе рассматривается задача параметрической идентификации в виде обобщенного оценивания параметров и состояний нелинейных непрерывных динамических объектов, поведение которых описывается моделью в переменных состояния. При дискретных данных наблюдения за объектом она сводится к многоточечной краевой задаче [146, 29, 109]. Одними из методов решения этой задачи являются метод квазилинеаризации [113, 27], его модификация [54, 39] и алгоритм чувствительности [95, 91, 110]. В этих рекуррентных процедурах на каждой итерации применяется линейная аппроксимация'по формуле Тейлора. Методы просты в реализации и эффективны, но требуют, чтобы начальные приближения параметров и состояний были достаточно близки к истинным значениям.

С целью улучшения свойств алгоритма чувствительности А. И. Рубан предложил использовать разработанный им метод последовательной линеаризации (МПЛ). В МПЛ на каждом шаге определения параметров и состояний вводится множитель, величина которого за счет дополнительных итераций позволяет с более высокой скоростью получать искомое решение. С вычислительной точки зрения - это аналог метода наискорейшего спуска. Проведенные эксперименты показали, что МПЛ в случае существенно нелинейных объектов показал достаточно хорошие результаты.

В настоящее время, несмотря на достаточно большое число работ по идентификации, отсутствуют доведенные до практического применения алгоритмы оценивания параметров разрывных нелинейных динамических объектов и систем.

Поэтому целью исследования являлась разработка на основе метода последовательной линеаризации алгоритмов оценивания параметров и ненаблюдаемых фазовых координат для объектов с релейными элементами.

Для достижения поставленной цели должны быть решены следующие основные задачи:

1) получить структуру гладких нелинейных функций, позволяющих с достаточно высокой точностью аппроксимировать широкий класс применяемых в системах автоматического управления кусочно-линейных и релейных однозначных и неоднозначных характеристик типовых нелинейных элементов;

2) на основе метода последовательной линеаризации разработать алгоритм параметрической идентификации и восстановления ненаблюдаемых переменных состояния динамического объекта с существенными нелинейными характеристиками, позволяющий не учитывать условия разрывов моделей и функций чувствительности;

3) получить математическую модель механических колебаний (перемещений центра инерционной массы) виброисточника геофизического комплекса, показать возможность реализации в замкнутой системе управления виброисточником режима экстремального управления с использованием знаковых функций и разработать алгоритмы идентификации (на основе метода последовательной линеаризации с использованием функций чувствительности и псевдочувствительности) параметров моделей в замкнутом и разомкнутом режимах работы виброисточника;

4) разработать программный комплекс, реализующий алгоритмы идентификации основе современных средств автоматизации математических вычислений и имитационного моделирования.

Результаты теоретического и экспериментального исследований позволили сделать выводы о свойствах алгоритмов и их применимости к решению поставленных задач.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) Получена структура гладких нелинейных функций (в основном в виде сигмоидальных функций), аппроксимирующих с достаточно высокой точностью широкий класс типовых нелинейных звеньев (с кусочно-линейными и релейными, однозначными и неоднозначными характеристиками), применяемых в системах автоматического управления, и оценена точность аппроксимаций.

2) Синтезирован алгоритм параметрической идентификации и восстановления ненаблюдаемых переменных состояния динамического объекта с существенными нелинейными релейными элементами, позволяющий за счет применения гладких моделей нелинейных элементов не учитывать условия разрывов моделей и функций чувствительности. Алгоритм построен на основе метода последовательной линеаризации с выбором оптимальной (при параболическом приближении) величины шага.

3) Построена математическая модель механических колебаний (перемещений центра инерционной массы) виброисточника геофизического комплекса и разработаны алгоритм экстремального управления виброисточником с использованием знаковых функций, алгоритмы идентификации (на основе метода последовательной линеаризации с использованием функций чувствительности и псевдочувствительности) параметров моделей в замкнутом и разомкнутом режимах работы виброисточника.

Теоретические исследования проводились с привлечением методов численного решения нелинейных уравнений, теории матриц и дифференциальных уравнений, аппарата переменных состояния, теории и идентификации и фильтрации. Проверка работоспособности и эффективности алгоритмов осуществлялась с помощью имитационного моделирования на ЭВМ.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР «Разработка и исследование автоматизированных методов идентификации, управления и обработки информации в технических системах» (№ ГР 01.9.60000794), проводимой в Омском государственном университете путей сообщения на кафедре «Автоматика и системы управления» с 1996 года .

Результаты работы использованы в ФГУП «Омский НИИ приборостроения» при проектировании и разработке программного и математического обеспечения автоматизированной системы контроля и управления геофизическим комплексом. Внедрение результатов подтверждается соответствующими актами.

Теоретические результаты и программное обеспечение используются в учебном процессе при проведении занятий и выполнении курсовых работ по дисциплине «Автоматизация проектирования систем и средств управления», а также в дипломном проектировании для студентов специальности 2101 -Управление и информатика в технических системах.

Основной материал диссертации отражался в научных докладах, которые обсуждались на II международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 1997); международной научно-технической конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения» (Омск, 2003); межвузовской научно-технической конференции «Железнодорожный транспорт Сибири: проблемы и перспективы» (Омск, 1998); научно-технической конференции «Применение в САПР типовых и объективно-независимых программно-методических и программно-технических комплексов» (Омск, 1989); научно-технической конференции «Методы и средства диагностирования технических средств железнодорожного транспорта» (Омск, 1989); II всесоюзной научно-технической конференции «Микропроцессорные системы автоматики» (Новосибирск, 1990); всесоюзной конференции «Ученые и специалисты в решении социально-экономических проблем страны» (Ташкент, 1990); научной школе-семинаре «Моделирование и исследование устойчивости физических процессов» (Киев, 1991); 3-й научно-технической конференции «Автоматизированные системы испытаний объектов железнодорожного транспорта» (Омск, 1991).

По теме диссертации опубликовано 19 научных работ, в том числе 8 статей и учебное пособие, в котором используются результаты диссертационных исследований.

Диссертационная работа состоит из четырех глав и приложения.

В первой главе рассматриваются постановка задачи параметрической идентификации и восстановления ненаблюдаемых координат объекта как обобщенное оценивание и методы ее решения.

В совместной работе [40] приводятся основные результаты сравнения, в частности, для решения задач автоматизированного управления, метода квазилинеаризации и алгоритма чувствительности.

Во второй главе проводится анализ различных способов аппроксимации релейных характеристик гладкими зависимостями - полиномами и сигмои-дальными функциями.

Исследование вопросов применения сигмоидальных. функций для аппроксимации одно- и неоднозначных нелинейных элементов с кусочно-постоянными характеристиками подробно описывается в статье [46], полиномиальных приближений, особенно для слабых нелинейностей, - в работе [42].

В третьей главе с помощью экспериментальных методов и имитационного моделирования подтверждается возможность применения метода последовательной линеаризации для релейных объектов.

В двух статьях [45] и [46], подготовленных в соавторстве, излагаются основные результаты имитационного моделирования нелинейного динамического маятника, описываемого дифференциальным уравнением второго порядка при аппроксимациях характеристики нелинейного элемента гладкими (сиг-моидальными) и релейными (кусочно-постоянными) зависимостями

В четвертой главе рассматривается математическое обеспечение автоматизированной системы контроля и управления геофизическим комплексом.

В авторской статье [123] излагаются основные результаты применения алгоритмов оценивания, в частности, последовательной линеаризации при возникновении параметрических колебаний механических систем, в статье [124] -функций чувствительности, в работе [122] описываются алгоритмическое и программное обеспечение геофизического комплекса, в работе [41] обобщаются совместные результаты по микропроцессорной системе управления колебаниями сейсмического виброисточника.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по диссертационной работе.

В приложении приведены акты, подтверждающие практическое внедрение и использование результатов работы.

12. Основные результаты диссертационной работы, алгоритмы и программное обеспечение используются в курсовом проектировании дисциплины «Автоматизация проектирования средств и систем управления» и лабораторных работах дисциплины «Идентификация и диагностика систем» для студентов, обучающихся по специальности 210100 «Управление и информатика в технических системах Ом ГУПС.

Заключение

Содержанием работы является разработка, исследование и применение алгоритмов и вычислительных процедур оценивания параметров и состояний для динамических объектов с релейными элементами.

1. Рассмотрена задача параметрической идентификации в виде обобщенного оценивания параметров и состояний непрерывных нелинейных динамических объектов, описываемых уравнениями вход-состояние-выход. Приведен обзор существующих основных подходов к ее решению, основанных на методах оптимальной фильтрации процессов и построения многоточечной краевой нелинейной задачи в условиях дискретных наблюдений. Рассматриваются такие классические методы решения как метод квазилинеаризации, его модификация и алгоритм чувствительности.

2. Показано, что применительно к объектам с существенными нелинейными зависимостями из методов параметрической идентификации рассматривалось применение только алгоритма чувствительности, для которого разработан аппарат применения функций чувствительности при наличии разрывов в дифференциальных уравнениях модели.

3. Предлагается для оценивания параметров и восстановления ненаблюдаемых координат объектов с существенными нелинейными характеристиками применять метод последовательной линеаризации, использующий в качестве математического описания объекта модели с гладкими нелинейными зависимостями.

4. Показано, что используя знаковую или обратную ей функцию, либо с помощью аналитических выражений или, применяя функциональные преобразователи, можно реализовать достаточно широкий класс типовых нелинейных элементов, имеющих как однозначные, так и многозначные характеристики. Проведен сравнительный анализ при аппроксимации знаковой функции полиномами и сигмоидальными характеристиками и обосновано применение в качестве основной аппроксимирующей зависимости гиперболического тангенса.

5. На основании результатов имитационного моделирования с помощью программного пакета Simulink подтверждена возможность реализации динамических (неоднозначных) звеньев предлагаемыми схемами функциональных преобразователей.

6. Показана принципиальная возможность применения алгоритма чувствительности и метода квазилинеаризации для оценивания параметров динамических объектов с существенно нелинейными зависимостями в виде гладких функций, при этом установлено, что в вектор оцениваемых параметров необходимо включать коэффициент /3 сигмоидальных функций.

7. Экспериментально подтверждена гипотеза о преимущественном поведении по таким основным показателям как величина области сходимости и вычислительные затраты алгоритма чувствительности по сравнению с методом квазилинеаризации.

8. Получены аналитические выражения и экспериментальные зависимости для определения величины погрешности в реализации порога срабатывания (ширины петли) релейного звена с гистерезисом, используя которую можно корректировать задаваемое значение параметра как в задачах имитационного моделирования, так и при параметрической идентификации.

9. Проведено исследование влияния процедуры выбора оптимальной величины шага на каждой итерации вычисления оценок параметров и состояний методом последовательной линеаризации и показано преимущество параболической аппроксимации как метода одномерной оптимизации.

10. Экспериментально показано, что метод последовательной линеаризации в случае замкнутых систем управления позволяет идентифицировать только линейную составляющую модели нелинейного динамического объекта (медленно меняющуюся составляющую вынужденных режимов).

11. Применение автоматического управления амплитудой и частотой механических колебаний вибромодуля позволило более чем в два раза уменьшить время установления требуемого режима колебаний, повысить помехоустойчивость системы, осуществить адаптацию параметров системы при сезонных изменениях и смене грунта.

1. Автоматизация исследований процедур идентификации, управления и обработки информации: Отчет о НИР (промежут.) / Омский гос. ун-т путей сообщения; Руководитель А.Т. Когут. № ГР 01.9.60000794; Инв. № 02.9.90000516. Омск, 2004. 77 с.

2. Автоматизация процедур получения математических моделей объектов управления: Отчет о НИР (заключит.) / Омская гос. акад. путей сообщения; Руководитель А.Т. Когут. № ГР 01.9.30001868; Инв. №02.9.60000311. Омск, 2000. 87 с.

3. Автоматизированное проектирование систем управления / Под. ред. М. Джамшиди и др. М.: Машиностроение, 1989. 344 с.

4. Алберт, А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание /А. Алберт. М.: Наука, 1977. 224 с.

5. Алексаков, Г.Н. Персональный аналоговый компьютер/ Г.Н. Алексаков, В.В. Гаврилин, Ф.А. Федоров. М.: Энергоатомиздат, 1992. 256 с.

6. Александровский, В. М. Методы определения динамических характеристик нелинейных объектов (обзор)/В.М. Александровский,

7. A.М.Дейч // Автоматика и телемеханика. 1968. № 1.

8. Афанасьев, В.Н. Математическая теория конструирования систем упрвления/ В.Н. Афанасьев В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. М.: Высшая школа, 2003. 614 с.

9. Баде, Г.Д. Идентификация / Г.Д. Баде. М.: Мир, 1987.300 с.

10. Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс/Б. Банди: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1988. 128 с.

11. Бард, И. Нелинейное оценивание параметров/И. Бард. М.: Статистика, 1979.349 с.

12. И.Баранов, В. Повышение нефтеотдачи низкочастотным сейсмическим воздействием на залежь / В. Баранов // Режим доступа к тексту статьи: http://www.oilcapital.ru/edition/technik/archives/technik/technik032003/63345/ private/63 385. shtml.

13. Беллман, Р.Прикладные задачи динамического программирования / Р. Беллман, С. Дрейфус. М.: Наука, 1965. 460 с.

14. Беллман, Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи/ Р. Беллман, Р. Калаба. М.: Мир, 1968. 183 с.

15. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. М.: Иностранная литература, 1960. 320 с.

16. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического управления/

17. B. А. Бесекерский, Е. П. Попов. СПб.: Профессия, 2003. 752 с.

18. Бородюк, В.П. Статистическое описание промышленных объектов / В.П. Бородюк, Э. К. Лецкий. М.: Энергия, 1971. 112 с.

19. Бурьян, Ю.И. Гидромеханический источник сейсмических сигналов с силовым замыканием в системе «инерционная масса грунт» / Ю.И. Бурьян,

20. B.Н.Сорокин // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых / Институт горного дела СО РАН. Новосибирск, 2002, №3. С. 81 88.

21. Бутерин, Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний/ Н.В. Бутерин, Ю.Н. Неймарк, Н.А. Фуфаев. М.: Наука, 1976. 384 с.

22. Вазан, М. Стохастическая аппроксимация/М. В азан. М.: Мир, 1972. 295 с.

23. Вержбицкий, В.М. Численные методы/В.М. Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2001. 266 с.

24. Волгин, Л.Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами/ Л.Н. Волгин. М.: Наука, 1986. 240 с.

25. Воронов, А.А. Основы теории автоматического управления и регулирования/А. А. Воронов, В.К.Титов, Б. Н. Новогранов. М.: Высшая школа, 1977.519 с.

26. Ганшин, Г.Р. Методы оптимизации и решения уравнений/ Г.Р. Ганшин. М.: Наука, 1987. 126 с.

27. Гельднер, К. Нелинейные системы управления/ Г. Гельднер,

28. C. Кубик. М.: Мир, 1987. 368 с.

29. Гилл, Ф. Практическая оптимизация/Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 509 с.

30. Городецкий, В.И. Метод последовательной оптимизации в задачах идентификации / В.И. Городецкий, P.M. Юсупов//Сер. техническая кибернетика. 1972. № 3. С. 72 79.

31. Гроп, Д. Методы идентификации систем/ Д. Гроп Пер. с англ. В. А. Васильева, В. И. Лопатина / Под ред. Е. И. Кринецкого. М.: Мир, 1979. 304 с.

32. Дезоер, Ч. Системы с обратной связью: входо-выходные соотношения/Ч. Дезоер М. Видьясагар. М.: Наука, 1983. 280 с.

33. Дейч, A.M. Методы идентификации динамических систем/ А. М. Дейч. М.: Энергия, 1979. 240 с.

34. Деруссо, П. Пространство состояний в теории управления (для инженеров) / П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз. М.: Наука, 1970. 620 с.

35. Зайцев, В.Ф. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям/ В.Ф.Зайцев, А.Д.Полянин. М.: Физматлит, 1993. 464 с.

36. Зубов, В.И. Лекции по теории управления/В. И. Зубов. М.: Наука, 1975. 496 с.

37. Иванов, В. А. Математические методы теории автоматического регулирования. М.: Высшая школа, 1971. 806 с.

38. Ивахненко, А. Г. Системы эвристической самоорганизации в технических системах / А. Г. Ивахненко. Киев: Техника, 1971.372 с.

39. Каминскас, В.А. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям / В.А.Каминскас. Вильнюс: Мокслас, 1974.244 с.

40. Каминскас, В.А. Статистические методы в идентификации динамических систем/В.А. Каминскас, Р. П. Немура. Вильнюс: Минтис, 1975. 187 с.

41. Канторович, Л.В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторович. М.: Наука, 1984. 752 с.

42. Касти, Дж. Методы погружения в прикладной математике/ Дж.Касти, P.M. Калаба. М.: Мир, 1976. 224 с.

43. Клейман, Е.Г. Идентификация нестационарных объектов/ Е.Г.Клейман, И. А. Мочал ов // Автоматика и телемеханика. 1994. №2. С. 3-5.

44. Когут, А. Т. Параметрическая идентификация моделей в задачах автоматизированного управления / А.Т. Когут, Н.А. Тихонова // Ученые и специалисты в решении социально-экономических проблем страны: Материалы всесоюзной конференции. Ташкент, 1990

45. Когут, А. Т. Микропроцессорная система идентификации и управления колебаниями виброисточника / А.Т. Когут, Н.А. Тихонова // Микропроцессорные системы автоматики: Материалы второй всесоюзной научно-технической конференции. Новосибирск, 1990.

46. Когут, А. Т. Моделирование и исследование свойств динамических объектов с малой нелинейностью / А.Т. Когут, Н.А. Тихонова // Моделирование и исследование устойчивости физических процессов: Материалы научной школы семинара. Киев, 1991.

47. Когут, А. Т. Полиномиальная аппроксимация в некоторых задачах оптимизации и управления / А.Т. Когут. Омск: Омский гос. ун-т путей сообщения, 2003. 244 с.

48. Когут, А.Т. Оценивание параметров объекта с существенно нелинейными динамическими характеристиками / А.Т. Когут, Н.А. Тихонова, А.В. Новокшонова // Омский научный вестник. №4 (33). Омск, 2005. С. 97- 100

49. Когут, А.Т. Сравнение двух методов идентификации при оценивании параметров нелинейного динамического маятника / А.Т. Когут, Н.А. Тихонова, А.В. Новокшонова // Омский научный вестник. № 1 (30). Омск, 2005. С. 92-96

50. К о гут, А. Т. Применение сигмоидальных функций для аппроксимации некоторых релейных характеристик / А.Т. Когут, Н.А. Тихонова,

51. A.В. Новокшонова // Математика и информатика: наука и образование: Межвуз. сб. научн. тр. / Омский гос. педагогический ун-т. Омск, 2005. С. 31-35

52. Корн, Г. Справочник по математике /Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1978. 832 с.

53. Кориков, A.M. Основы теории управления / A.M. Кориков. Томск: НТЛ, 2002. 392 с.

54. Кротов, В. Ф. Методы и задачи оптимального управления/

55. B. Ф. Кротов, В. И. Гурман. М.: Наука, 1973. 448 с.

56. Крутько, П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные системы/П. Д. Крутько. М.: Наука, 1987. 306 с.

57. Крутько, П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные системы / П. Д. Крутько. М.: Наука, 1988. 327 с.

58. Крутько, П. Д. Построение алгоритмов управления движением дискретных систем / П. Д. Крутько, Е. П. Попов //Известия АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1979. № 3. С. 159 163.

59. Крутько, П. Д. Управление исполнительными системами роботов/ П. Д. Крутько. М.: Наука, 1991.256 с.

60. Кузовков, Н. Т. Непрерывные и дискретные системы управления и методы идентификации / Н. Т. Кузовков, С. В. Карабалов, О. С. Салычев. М.: Машиностроение, 1978. 222 с.

61. Куропаткин, П.В. Оптимальные и адаптивные системы / П. В. Ку-ропаткин. М.: Высшая школа, 1980. 287 с.

62. Крылов, В. И. Вычислительные методы / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырский. М.: Наука, 1976. Т. 1. 304 с.

63. Ланкастер, П. Теория матриц/ П. Ланкастер. М.: Наука, 1978.280 с.

64. Ли, Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление/ Р. Ли. М.: Наука, 1966. 176 с.

65. Линейное и нелинейное программирование / Под ред. И. Н. Ляшенко. Киев: Вища школа,1975. 369 с.

66. Л инн и к, 10. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений / 10. В. Линник. М.: Физматгиз, 1962. 277 с.

67. Лотоцкий, В. А. Идентификация структур и параметров систем управления/ В. А. Лотоцкий //Измерения, контроль, автоматизация. 1991. №3-4. С. 30-38.

68. Льюинг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя/ Л. Льюинг. М.: Наука, 1991. 432 с.

69. Любушкин, А. А. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления / А. А. Любушкин, Ф. J1. Черноусько // Известия АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1983. № 2. С. 83 96.

70. Медведев, B.C. Нейронные сети /B.C. Медведев, В.Г. Потемкин. М.: Диалог-МИФИ, 2000. 302 с.

71. Методы автоматизированного проектирования нелинейных систем / Под ред. Ю. И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1993. 576 с.

72. Методы исследования сложных систем управления: Сб. тр. / Под ред.

73. B. А. Ведешникова / Ин-т проблем управления. М., 1989. 63 с.

74. Мирошник, И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы / И.В. Мирошник. С-Пб.: Питер, 2006. 272 с.

75. Моисеев, Н.Н. Элементы теории оптимальных систем/ Н. Н. Моисеев. М.: Наука, 1975. 318 с.

76. Сейдж, Э. П. Оптимальное управление системами / Э. П. Сейдж, Ч. С. Уайт. М.: Радио и связь, 1982. 392 с.

77. Орте га, Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М.: Мир, 1975.558 с.

78. Осовский, С. Нейронные сети для обработки информации/

79. C. Осовский.М.: Финансы и статистика, 2004. 344 с.

80. Пантелеев, А.В. Теория управления в примерах и задачах/ А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский. М.: Высшая школа, 2003. 583 с.

81. Перельман, И. Н. Оперативная идентификация объектов управления /И. Н. Перельман. М.: Энергоиздат, 1982. 312 с.

82. Петров, Б.Н. Применение теории чувствительности в задачах автоматического управления / Б. Н. Петров, П. Д. Крутько // Известия АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1970. № 2. С. 202 206.

83. Принципы построения и проектирования самонастраивающихся систем/Б. Н. Петров, В. Ю. Рутковский, И. Н. Крутова, С. Д. Земляков. М.: Машиностроение, 1972. 260 с.

84. Петров, 10. П. Вариационные методы теории оптимального управления/Ю. П. Петров. Л.: Энергия, 1977. 280 с.

85. Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов/ Л. С. Понтрягин, В.Г.Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе. М.: Наука, 1983.391 с.

86. Полак, Э. Методы оптимизации. Единый подход / Э. Полак / Пер. с англ. под ред. JI. А. Вателя. М.: Мир, 1974. 376 с.

87. Поляк, Б.Т. Введение в оптимизацию/ Б.Т. Поляк. М.: Наука, 1983.384 с.

88. Попов, Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления / Е.П. Попов. М.: Наука, 1979. 256 с.

89. Пропой, А.И. Элементы теории оптимальных дискретных систем/ А.И. Пропой. М.: Наука, 1973. 210 с.

90. Пшеничный, Б. Н. Численные методы в экстремальных задачах/ Б.Н. Пшеничный, Ю.М.Данилин. М.: Наука, 1975. 318 с.

91. Райбман, Н.С. Идентификация объектов управления / Н. С. Райб-ман // Автоматика и телемеханика. 1979. № 6. С. 45 49.

92. Райбман, Н.С. Что такое идентификация / Н. С. Райбман. М.: Наука, 1970. 121 с.

93. Райбман, Н.С. Построение моделей процессов производства / Н.С. Райбман, В. М. Чадеев М.: Энергия, 1975. 374 с.

94. Растригин, JI.А. Адаптация сложных систем / JI.А. Растригин. Рига: Зинатне, 1981. 375 с.

95. Растригин, JI.A. Введение в идентификацию объектов управления / JI. А. Растригин, Н.Е. Маджаров. М.: Энергия, 1977. 215 с.

96. Растригин, JI.А. Системы экстремального управления/ JI.А. Растригин. М.: Наука, 1974. 630 с.

97. Реклейтис, Г. Оптимизация в технике / Г.Реклейтис, А.Рей-виндран, К.Рэгсдел: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. Кн. 1. 350 с.

98. Розенвассер, Е.Н. Чувствительность систем управления/ Е.Н. Розенвассер, P.M. Юсупов. М.: Наука, 1981. 464 с.

99. Розенвассер, Е.Н. Достаточное условие применимости первого приближения в задачах теории чувствительности / Е.Н. Розенвассер // Автоматика и телемеханика. 1978. № 11. С. 93 98.

100. Рубан, А.И. Адаптивное оптимальное управление динамическими распределенными объектами / А. И. Рубан // Кибернетика. 1987. № 1. С. 79-84.

101. Рубан, А. И. Адаптивное управление с идентификацией / А.И. Рубан. Томский гос. ун-т. Томск, 1983. 132 с.

102. Рубан, А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем / А.И. Рубан / Томский гос. ун-т. Томск, 1982. 302 с.

103. Рубан, А.И. Метод последовательной линеаризации в задачах идентификации и управления сложными динамическими объектами / А.И. Рубан //Тезисы докл. VII всесоюзного совещания по проблемам управления. М. Минск, 1977. Кн. 1. С. 195 - 198.

104. Рубан, А.И. Методы оптимизации/ А.И. Рубан. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. 528 с.

105. Рубан, А.И. Псевдочувствительность динамических систем / А.И. Рубан // Известия РАН. Сер. техническая кибернетика. 1992. № 3. С. 28-33.

106. Рубан, А.И. Функции чувствительности для многомерных линейных дискретных моделей в адаптивных системах / А.И. Рубан // Известия РАН. Сер. техническая кибернетика. 1992. № 2. С. 230-235.

107. Рубан, А.И. Чувствительность многомерных непрерывных линейных моделей / А.И. Рубан // Известия РАН. Сер. техническая кибернетика. 1992. №4. С. 180-186.

108. Рубан, А.И. Чувствительность непрерывных линейных моделей / А.И. Рубан //Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 93 101.

109. Рубан, А.И. Алгоритмы наблюдения и идентификация нелинейных динамических объектов/ А.И. Рубан //Известия АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1971. № 3. С. 205 -212.

110. Рубан, А.И. Идентификация нелинейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности / А. И. Рубан. Томск: Томский гос. ун-т., 1975.270 с.

111. Рубан, А.И. Синтез алгоритмов адаптивного управления с идентификацией/А.И. Рубан//Автоматика и телемеханика. 1983. № 10. С. 128- 138.

112. Рубан, А.И. Сходимость двух алгоритмов метода линеаризации/ А.И. Рубан //Труды Сибирского физико-техн. ин-та. Томск, 1973. Вып. 64.

113. Рубан, А.И. Идентификация объектов, описываемых дифференциально-разностными уравнениями с запаздывающим аргументом / А.И. Рубан//Известия АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1976. №2. С. 164- 169.

114. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. М.: Наука, 1989. 432 с.

115. Саридис, Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления / Дж. Саридис. М.: Наука, 1980. 400 с.

116. Сейдж, Э. Идентификация систем управления / Э. Сей дж, Д. Me л с а. М.: Наука, 1972. 248 с.

117. Сейдж, Э. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении / Э. Сейдж, Д. Мелса. М.: Связь, 1976. 496 с.

118. Сейдж, Э. Оптимальное управление системами/Э. Сейдж, Ч.С. Уайт. М.: Радио и связь, 1982. 392 с.

119. Сверкунов, Ю.Д. Идентификация и контроль качества / Ю.Д. Сверкунов. М.: Энергия, 1975. 207 с.

120. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоффа. М.: Мир, 1993. 400 с.

121. Сииди, К. Теория управления. Идентификация и оптимальное управление / К. Спиди, Р. Браун, Дж. Гудвин. М.: Мир, 1973. 248 с.

122. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

123. Сухарев, А. Г. Курс методов оптимизации/ А. Г. Сухарев, А. В. Тимохов, В. В. Федоров. М.: Наука, 1986. 328 с.

124. Сю, Д. Современная теория автоматического управления и ее применения /Д.Сю, А. Мей ер. М.: Машиностроение, 1972. 544 с.

125. Теория автоматического управления / Под ред. А. В. Нетушила. М.: Высшая школа, 1968. 424 с.

126. Теория линейных систем автоматического управления /Под ред.

127. A. А. Воронова. М.: Высшая школа, 1986. 367 с.

128. Тимофеев, А.В. Построение адаптивных систем управления программным движением / А. В. Тимофеев. Д.: Энергия, 1980. 86 с.

129. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. М.: Наука, 1974. 223 с.

130. Томович, Р. Общая теория чувствительности / Р. Томович, М. Вукобратович. М.: Советское радио, 1972. 238 с.

131. Трапезников, В.А. АСИ адаптивная система с идентификатором /

132. B.А. Трапезников, Н.С. Райбман, В.М. Чадеев.М: Ин-т проблем управления., 1980. 67 с.

133. Трауб, Д ж. Итерационные методы решения уравнений / Д ж. Тр а-уб / Под ред. А. X. Сухарева. М.: Мир, 1985. 263 с.

134. Ту, Ю. Современная теория управления / Ю. Ту. М.: Машиностроение, 1971.472 с.

135. Уидроу, Д. Адаптивная обработка сигналов/ Д. Уидроу, С. Стирнз: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

136. Федоренко, Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления / Р.П. Федоренко. М.: Наука, 1978. 448 с.

137. Фиакко, А. Нелинейное программирование (методы последовательной безусловной минимизации) / А. Фиакко, Г. Мак-Корм и к /Пер. с англ. под ред. Е. Г. Гольштейна. М.: Мир, 1972. 238 с.

138. Флеминг, У. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами / У. Флеминг, Р. Ришел.М.: Мир, 1978. 316 с.

139. Фомин, В.Н. Адаптивное управление динамическими объектами /В.Н. Фомин, А.Л. Фрадков, В.А. Якубович. М.: Наука, 1981. 448 с.

140. Фрадков, А.Л. Адаптивное управление в сложных системах: беспоисковые методы / А. Л. Фрадков. М.: Наука, 1990. 282 с.

141. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи/ Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ванер: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 512 с.

142. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ Ф. Хартман. М.: Мир, 1970. 720 с.

143. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование/ Д. Химмельблау /Под ред. М. Л. Быховского. М.: Мир, 1975. 534 с.

144. Цыпкин, Я.З. Основы информационной теории идентификации /Я.З. Цыпкин. М.: Наука, 1981. 320 с.

145. Цыпкин, Я.З. Основы теории обучающихся систем / Я.З. Цыпкин. М.: Наука, 1970. 320 с.

146. Цыпкин, Я.З. Основы теории автоматических систем/Я.З. Цыпкин. М.: Наука, 1977. 560 с.

147. Чаки, Ф. Современная теория управления / Ф. Чаки. М.: Мир, 975. 392 с.

148. Черноусько, Ф.Л. Вариационные задачи механики и управления /Ф.Л. Черноусько, Н.В. Баничук. М.: Наука, 1973. 252 с.

149. Черноусько, Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. 319 с.

150. Чуа, Л. О. Машинный анализ электронных схем / Л. О. Чу а, Лин Пен-Мин. М.: Энергия, 1980. 640 с.

151. Штейнберг, Ш.Е. Идентификация в системах управления/ Ш. Е. Штейнберг. М.: Энергоатомиздат, 1987. 80 с.

152. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления/ П. Эйкхофф. М.: Мир, 1975. 680 с.

153. Юдин, Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации / Д.Б. Юдин. М.: Советское радио, 1974. 400 с.

154. Юсупов, P.M. Элементы теории идентификации технических объектов/ P.M. Юсупов/ Министерство обороны СССР. М., 1974. 202 с.

155. Юсупов, P.M. Методы теории чувствительности в задачах идентификации динамических систем/P.M. Юсупов, Ф.М. Захарин. Алма-Ата: Илим, 1971.311 с.

156. Ядыкин, И.Б. Адаптивное управление непрерывными технологическими процессами / И.Б. Ядыкин, В.М. Шумский, Ф.А.Овсепян. М.: Энергоатомиздат, 1985. 240 с.

157. Avriel, М. Nonlinear Programming: Analysis and Methods. New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1976. 322 p.

158. Baird, C.A. Modified Quasilinearization Technique for the Solution of Boundary-value Problems for Ordinary Differential Equations. J. Optimization theory appl. Vol.3. 1969. №4.

159. Beale, E.M.L. A Derivation of Conjugate Gradients, in: Numerical Methods for Non-Linear Optimization. New York: Academic Press, 1972. P. 39-43.

160. Bellman, R., Kalaba R., Sridhar R. Adaptive control via quasilinearization and differential approximation, Rand Corporation Research Memorandum RM-3928-PR, 1963. November.

161. Box, G., Draper N.R. Evolutionary Operation. Wiley, 1969.

162. Detcmendy, D.M., Sridhar R. On the Experimental determination of the Dynamical Characteristics of Physical Systems, Proc. Nat. Electron. Conf. 21, 1965. P. 575-580.

163. Dixon, L.C.W. Quasi-Newton Algorithms Generate Identical Points, Math. Prog., 2(3), 383-387 (1972).

164. Gibson, J.E. Non-linear Automatic Control. New York: McGrav-Hill. 1962. Chap.ll.

165. Goodwin, G.С. The application of curvature methods to parameter and state estimation. Proc. IEE. 116. 1969. № 6.

166. Hartley, H.O. The modified Gauss-Newton method for fitting of nonlinear regression functions by least squares Technometries, 3. May. 1961. № 2, 269.

167. Henrici, P. Discrete Variable Methods in Ordinary Differentialequa-tions. Wiley, New York, 1962.

168. Kalaba, R. On nonlinear differentialequations, the maximum operation, and monotone convergence. J. Math, and Mechamics. 1959. № 8. P. 74 519.

169. Kalman, R.E. Design of a Self-Optimizing Control System, Trans. ASME, 80, 468-478 (1958).

170. King, R.E. Parameter estimation of multivariable continuous system of known structure. Jnt. y. Control, 1968. V7. № 5.

171. Kumar, K.S.P., Sridhar R. On the Identification of Control Systems by the Quasi-Linearisation Method. «IEEE Trans. Autom. Control», 1964. P. 151-154.

172. Landau, I.D. Adaptive Control. The model reference approach. N.Y., Basel Marcel Dekker, 1979. 406 p.

173. Lavi, A., Strauss, J.C. Parameter identification in continuous dyna-mis system. IEEE International Convention Record, 1965. P. 6.

174. Fletcher, R. Practical Methods of Optimization. Vol 1. Unconstrained Optimization. New York: Wiley, 1980. 560 p.

175. Fletcher, R., Reeves, C.M. Function Minimization by Conjugate Gradients, Computer J., 7, 149-154 (1964).

176. Medler, Ch.R., Hsu Chin-Chi. An algorithm for nonlinear parameter identification. «IEEE Trans. Autom. Control», 1969. V. 14. № 6.

177. McCormik, G.P. Methods of Conjugate Directions versus Quasi-Newton methods, Math. Prog., 3(1), 101-116 (1972).

178. Murray, W. Numerical methods for Unconstrained Optimization. London: Academic Press, 1972.

179. Paul, R.J.A., Legge, C.G. Direct-Sensitivity Method of Solving Boundary-value Problems in Optimal Control Studies. Proceedings IEE. V. 116. 1969. №2. P. 273-280.

180. Powell, M.J.D. An Efficient Method for Finding the Minimum of Function of Several Variables Without Calculating Derivatives. Computer J., 1964. №7. P. 155- 162.

181. Sage, A.P., Burt R.W. Optimum Desing and Error Analysis of Didital Integrators for Discrete System Simulation, A.F.I.P.S. Proc. FJCC 27, Las Vegas, Nevada, 1965. P. 903-914.

182. Sage, A.P., Eisenberg B.R. Experiments in Nonlinear and Nonsta-tionary System Identification via Quasi-Linearisation and Differential Approximation, Proc. Joint Autom. Control Conf., 1965. P. 522 530.

183. Sage, A.P., Smith S.L. Real-time Digital Simulation for System Control, Proc. IEEE 54, 1966. P. 1802- 1812.

184. Shanno, D.F., Phua K.H. Matrix Conditioning and Nonlinear Optimization. Math. Prog., 1978. № 14. P. 149- 160.

185. Schlossmacher, E.I. Linearization an efficient alternate for the estimation of parameters. AlChE Journal, 1972. V. 18. № 4. P. 870 872.