автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Активная параметрическая идентификация стохастических динамических систем на основе планирования эксперимента

На правах рукописи

Чубич Владимир Михайлович

АКТИВНАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Специальность 05.13.17 - «Теоретические основы информатики»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

2 3 ЯНВ 2314

Новосибирск - 2013

005544645

005544645

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Денисов Владимир Иванович

Официальные оппоненты: Лецкий Эдуард Константинович,

доктор технических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» (МИИТ), заведующий кафедрой «Автоматизированные системы управления»;

Ломов Андрей Александрович,

доктор физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, старший научный сотрудник;

Огородников Василий Александрович, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, главный научный сотрудник

Ведущая организация: Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Защита состоится «20» февраля 2014 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет» по адресу: 630073, Новосибирск, пр. К.Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан «20» декабря 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Райфельд Михаил Анатольевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В настоящее время математическое моделирование играет фундаментальную роль в науке и технике и является одним из активно развивающихся перспективных научных направлений в области информатики.

Проблема идентификации, связанная с построением математических моделей динамических систем по экспериментальным данным, относится к одной из основных проблем теории и практики автоматического управления. Ее качественное решение способствует эффективному применению на практике современных математических методов и наукоемких технологий, например, при расчете и проектировании систем управления подвижными (в том числе авиационно-космическими) и технологическими объектами, построении прогнозирующих моделей (например, в экономике и бизнес-процессах), конструировании следящих и измерительных систем.

Первоначально методология построения динамических моделей развивалась в рамках пассивного подхода, при котором идентификация проводится в режиме нормальной эксплуатации исследуемой системы. Современная теория включает в себя также методы активной идентификации, предполагающие подачу на вход исследуемой системы определенным образом синтезированных управляющих сигналов. Например, в конечно-частотном методе оценивания параметров линейных стационарных моделей непрерывных или дискретных систем, развиваемом А.Г. Александровым и Ю.Ф. Орловым, тестирующий сигнал представляет собой сумму гармоник, число которых не превышает размерности пространства состояний.

Применение теории планирования экспериментов при параметрической идентификации динамических систем также предоставляет исследователю дополнительные эффективные возможности в получении качественной модели. Связанное с этим научное направление развивается достаточно интенсивно как в нашей стране, так и за ее пределами. Несмотря на достигнутый определенный прогресс в этой области, можно отметить, что в настоящий момент рассмотрены и решены далеко не все вопросы, относящиеся к проблеме активной параметрической идентификации стохастических динамических систем на основе

планирования эксперимента. Данное обстоятельство особенно с учетом необходимости привлечения все более серьезного математического аппарата для качественного описания поведения сложных динамических систем позволяет считать весьма актуальной разработку соответствующего математического и программного обеспечения.

Степень разработанности проблемы. Проблеме активной параметрической идентификации динамических систем на основе планирования эксперимента посвящено большое число публикаций в нашей стране и за ее пределами. Среди этих трудов доминирующее положение занимают работы, посвященные вопросам планирования входных сигналов для моделей передаточных функций и моделей в пространстве состояний. Отметим, что в современных исследованиях синтез оптимальных входных сигналов осуществляется как методами теории оптимального планирования эксперимента, так и методами теории оптимального управления.

Анализ современного состояния проблемы активной параметрической идентификации стохастических динамических систем показал, что наиболее значительный прогресс в ее решении достигнут применительно к линейным стационарным моделям и к моделям (в общем случае нелинейным) с детерминированными уравнениями состояний. Этому способствовали, в частности, труды таких признанных специалистов, как А.Ж. Абденов, Ю.П. Адлер, В.Г. Горский, В.И. Денисов, Э.К. Лецкий, В.Н. Овчаренко, A.A. Попов, A.M. Талалай в нашей стране и Г. Гудвин, М. Зейроп, JI. Льюнг, Р. Мехра, Р. Пейн, Л. Пронзато, Э. Уолтер за рубежом. Указанная проблема не рассматривалась для стохастических линейных нестационарных и нелинейных моделей с вхождением неизвестных параметров в уравнения состояния и измерения, в начальные условия и в ковариационные матрицы шумов системы и измерений. В данной диссертационной работе решается проблема активной параметрической идентификации преимущественно для таких моделей.

Предмет исследования. Предмет исследования диссертационной работы составляет проблема активной параметрической идентификации стохастических динамических систем с предварительно выбранной модельной структурой.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка математического и программного обеспечения активной параметрической идентификации, ориентированного в основном на работу с гауссовски-ми линейными нестационарными и линеаризованными дискретными и непрерывно-дискретными моделями, содержащими неизвестные параметры в уравнениях состояния и измерения, в начальных условиях и ковариационных матрицах шумов системы и измерений.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе ставятся и решаются следующие основные задачи:

1. Вывод выражений для информационных матриц Фишера (ИМФ) в случае линейных нестационарных и линеаризованных дискретных и непрерывно-дискретных моделей с разработкой соответствующих вычислительных алгоритмов.

2. Вывод соотношений для производных информационных матриц Фишера по компонентам входного сигнала или вектора начальных условий и разработка соответствующих вычислительных алгоритмов.

3. Разработка градиентных процедур планирования входных сигналов или начальных условий, ориентированных на применение как методов теории планирования оптимального эксперимента, так и методов теории оптимального управления.

4. Разработка снабженных пользовательским интерфейсом программных комплексов активной параметрической идентификации стохастических динамических систем.

Теоретическая и методологическая база исследования. Исследования базируются на корректном использовании результатов теории планирования эксперимента, математической статистики, теории случайных процессов, методов оптимизации, теории автоматического управления и линейной алгебры.

Научная новизна. Получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. Впервые выведены выражения ИМФ для гауссовских линейных нестационарных и линеаризованных дискретных и непрерывно-дискретных моделей с параметрами в уравнениях состояния и измерения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах шумов системы и измерений.

2. Разработаны алгоритмы вычисления ИМФ для гауссовских линейных нестационарных и линеаризованных дискретных и непрерывно-дискретных моделей.

3. Разработаны алгоритмы вычисления производных ИМФ по компонентам входного сигнала для линейных нестационарных дискретных и непрерывно-дискретных моделей, дискретных моделей, полученных в результате временной или статистической линеаризации и непрерывно - дискретных моделей, полученных в результате временной линеаризации.

4. Разработаны прямые и двойственные градиентные процедуры синтеза А- и О- оптимальных входных сигналов для гауссовских линейных нестационарных и линеаризованных дискретных и непрерывно-дискретных моделей с параметрами в уравнениях состояния и измерения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах шумов системы и измерений.

5. Разработан алгоритм вычисления производных ИМФ по компонентам вектора начальных условий для линейных нестационарных дискретных моделей.

6. Разработаны и программно реализованы прямая и двойственная градиентные процедуры синтеза А- и Б- оптимальных начальных условий для линейных нестационарных дискретных моделей с параметрами в уравнениях состояния и измерения, в ковариационных матрицах шумов системы и измерений.

7. Показано, что в случае использования следа ИМФ в качестве критерия оптимальности задача планирования входных сигналов для гауссовских дискретных моделей, полученных в результате временной линеаризации, может быть сведена к задаче дискретного оптимального управления. Разработана и программно реализована соответствующая процедура синтеза оптимальных входных сигналов.

8. Разработаны и программно реализованы прямая и двойственная процедуры синтеза А- и Б- оптимальных входных сигналов для установившегося режима гауссовских линейных стационарных дискретных моделей с неизвестными параметрами в уравнениях состояния и измерения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах шумов системы и измерений.

9. Разработаны снабженные пользовательским интерфейсом программные комплексы ПК-1 и ПК-П, предназначенные для активной параметрической идентификации стохастических нелинейных дискретных и непрерывно-дискретных систем соответственно.

Все научные результаты, выносимые на защиту, получены автором лично. Исключение составляют алгоритмы вычисления производных ИМФ по компонентам входного сигнала для линейных нестационарных непрерывно-дискретных моделей и моделей, полученных в результате временной линеаризации, разработанные совместно с аспиранткой Новосибирского государственного технического университета Е.В. Филипповой, а также программные комплексы ПК-1 и ПК-И.

Программный комплекс ПК-1 создан совместно с доцентом кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета О.С. Черниковой. При этом автором разработаны программы вычисления ИМФ и их производных по компонентам входного сигнала, программы нахождения значений критериев максимального правдоподобия и программы построения А- и Б-оптимальных входных сигналов.

Программный комплекс ПК-П создан совместно с Е.В. Филипповой. Здесь автором разработаны программа вычисления ИМФ, программа нахождения значения критерия максимального правдоподобия и программы построения А- и Б-оптимальных входных сигналов.

Проектирование и реализация интерфейса к программным комплексам ПК-1 и ПК-П осуществлялись совместно с О.С. Черниковой и Е.В. Филипповой.

Практическая значимость и реализация результатов исследования. Применение разработанного в диссертации программно-математического обеспечения позволит получать для технических систем различной природы качественные математические модели в пространстве состояний и может использоваться при расчете и проектировании систем автоматического управления.

Результаты диссертационных исследований нашли практическое применение в ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный технический университет» (хоздоговорные работы на кафедре электропривода и автоматизации промышленных установок, учебный процесс на факультете прикладной математики и информатики) и в Институте фундаментальной подготовки Сибирского федерального университета (научные исследования и учебный процесс на кафедре математического обеспечения дискретных устройств и систем), что подтверждено соответствующими справками о внедрении.

Разработанные процедуры и алгоритмы реализованы в программных комплексах ПК-I и ПК-П активной параметрической идентификации стохастических нелинейных соответственно дискретных и непрерывно-дискретных систем (Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011612716. — М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). - 2011; Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011612718. - М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). - 2011), в программном комплексе ПК-Ш активной параметрической идентификации стохастических нестационарных линейных дискретных систем (Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012612281. - М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). - 2012).

Диссертационная работа выполнялась в рамках тематических планов НИР НГТУ по заданию Министерства образования и науки Российской Федерации на 2002-2005 гг. «Математическое моделирование многофакторных объектов на основе наблюдений» (№ 1.1.02), на 2006-2008 гг. «Моделирование статических и динамических многофакторных объектов стохастической природы и исследование вероятностных закономерностей» (№ 1.1.06), на 2009-2010 гг. «Методы и технологии моделирования и планирования экспериментов для исследования сложных многофакторных объектов» (№ 1.1.09), а также являлась частью исследований по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы» в 2006-2008 гг. (код проекта РНП.2.1.2.43) и федеральной целевой программой «Интеграция науки и высшего образования на 20022006 гг.» (код проекта Б0097/1376).

Проведение диссертационных исследований было поддержано грантами Федерального агентства по образованию (государственный контракт от «18» ноября 2009 г. № П2365, научный руководитель Чубич В.М.) и Министерства образования и науки Российской Федерации (государственный контракт от «05» октября 2010 г. № 14.740.11.0587, научный руководитель Чубич В.М.) в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.»

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Содержание диссертации соответствует п. 5 области исследований «Разработка и исследование моделей и алгоритмов анализа данных, обнаружения закономерностей в данных и их извлечениях, разработка и исследование методов и алгоритмов анализа текста, устной речи и изображений» паспорта специальности научных работников 05.13.17 - «Теоретические основы информатики» по техническим наукам.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и симпозиумах: Российская научно-техническая конференция «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (г. Новосибирск, 1994 г.); Международные конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (г. Новосибирск, 1994 г., 2010 г.); Международные научно-технические конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (г. Новосибирск, 1995 г., 1997г.); Российско-Корейские Международные Симпозиумы «Наука и технологии» КОЬШБ'гООЗ, К0яи8'2004, К01Ш5'2005 (г. Ульсан, Корея, 2003 г., г.Томск, 2004 г., г. Новосибирск, 2005 г.); Всероссийская научно-практическая конференция «Перспективы развития информационных технологий» (г. Новосибирск, 2010 г.); Международная научно-техническая конференция «Системный анализ и информационные технологии» 8А1Т'2010 (г. Киев, Украина, 2010г.); Международная конференция 1А8ТЕО по автоматике, управлению и информационным технологиям «Управление, диагностика и автоматика» АС1Т-СВА'2010 (г. Новосибирск, 2010 г.), а также на научных сессиях факультета прикладной математики и информатики ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный технический университет».

Публикации. Всего по результатам выполненных исследований опубликованы 42 работы общим объемом 39,6 п.л. (авторских 21,3 п.л.), в том числе монография, 20 статей в журналах из Перечня ВАК ведущих рецензируемых научных изданий для опубликования основных результатов диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук, 4 статьи в других журналах и сборниках научных трудов, 12 публикаций в материалах и сборниках трудов Международных и Российских конференций, 3 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из списка основных обозначений и сокращений, введения, шести глав, заключения, списка использованных источников из 212 наименований и приложения. Общий объем работы составляет 247 страниц, включая 243 страницы основного текста, 34 рисунка и 7 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом разделе рассматривается проблема активной параметрической идентификации стохастических динамических систем и ставятся задачи диссертационного исследования.

Изложению теоретических и методологических основ активной параметрической идентификации на основе планирования эксперимента посвящен подраздел 1.1.

В общем случае процедура активной идентификации на основе планирования эксперимента включает в себя выполняемые в определенной последовательности следующие этапы: определение структуры математической модели; подготовка данных наблюдений; оценивание параметров, входящих в модель; планирование эксперимента; проверка адекватности модели.

В диссертационной работе решается проблема активной идентификации стохастических динамических систем с предварительно выбранной модельной структурой. В этом случае процедура активной параметрической идентификации [12-15,17-21] предполагает

а) вычисление оценок неизвестных параметров по измерительным данным, соответствующим некоторому плану эксперимента;

б) синтез на основе полученных оценок оптимального плана эксперимента;

в) пересчет оценок параметров по измерительным данным, соответствующим синтезированному плану.

Оценивание неизвестных параметров математической модели осуществляется по данным наблюдений £ в соответствии с критерием идентификации Сбор числовых данных происходит в процессе проведения идентификационных экспериментов, которые выполняются по некоторому дискретному плану

Критерий идентификации формируется в соответствии с выбранным методом статистического оценивания. Выделим, прежде всего, метод наименьших

квадратов, не требующий знания закона распределения измерительных данных, метод максимального правдоподобия, использующий знание закона распределения выборочных данных, и метод максимума апостериорной вероятности, предполагающий случайность оцениваемых параметров и знание законов распределения оцениваемых параметров и измерительных данных.

Структурно-вероятностное описание рассматриваемых в диссертационной работе моделей и детерминированная природа подлежащих оцениванию неизвестных параметров обусловили выбор в качестве метода статистического оценивания лхетод максимального правдоподобия (ММП). Известно, что при выполнении некоторых общих условий (условий регулярности), накладываемых на функцию правдоподобия, оценки максимального правдоподобия обладают такими важными для практики асимптотическими свойствами как асимптотическая несмещенность, состоятельность, асимптотическая эффективность и асимптотическая нормальность.

При заданном критерии идентификации задача нахождения оценок неизвестных параметров заключается в решении задачи нелинейного программирования с ограничениями:

6 = arg min [x(6;H)l.

9eQ0L

В диссертационной работе для численного нахождения оценок неизвестных параметров, а также для синтеза непрерывных оптимальных планов используется метод последовательного квадратичного программирования.

При построении моделей динамических систем теория планирования эксперимента позволяет различными способами воздействовать на повышение точности оценивания неизвестных параметров. В диссертационной работе рассматривается планирование входных сигналов и начальных условий.

Приводятся необходимые для последующего изложения материалов диссертации сведения из теории планирования эксперимента [1,2,4,6,12-15,19-21]: даются определения дискретного (точного) и непрерывного нормированных планов, нормированной информационной матрицы, A-, D -, G-оптимальных планов; указываются свойства нормированных информационных матриц; формулируется обобщенная теорема эквивалентности; рассматриваются прямая и двойственная градиентные процедуры синтеза непрерывных А- и D - оптимальных планов; выписываются градиенты, необходимые для приме-

11

нения этих процедур; дается алгоритм «округления» непрерывного плана до точного.

В подразделе 1.2 выполняется анализ современного состояния проблемы активной параметрической идентификации стохастических динамических систем на основе планирования эксперимента.

Структурно - вероятностное описание используемых в диссертационной работе моделей содержится в подразделе 1.3. Предполагается, что все модели удовлетворят условиям управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости.

Рассмотрены вопросы активной параметрической идентификации нелинейных

х(1к+1) = Г[х(1к),и(1к),1к] + Г(1кИ1к); (1)

У(*к+1) = Чх(1к+1),1к+1] + у(1к+1), к = 0,1,...,М-1, (2)

линейных нестационарных

x(tk+l) = a[u(tk),tk] + F(tk)x(tk) + Г(tk)w(tk); (3)

у(1к+1) = А(1к+1) + Н(1к+1)х(1к+1) + у(1к+1), к = 0,1,...,И-1, (4) и линейных стационарных

>Фк+1)=р>Фк)+х1/и(*к)+М1к); (5)

у(гк+1) = Нх(1к+1)+у(1к+1), к=о,1,...,ы-1, (6)

дискретных моделей. Здесь х(1к) - п - вектор состояния; и(1к) - детерминированный г - вектор управления (входа); \у(1к) - р - вектор шума системы (возмущения); у(1к+1) - т - вектор измерения (выхода); у(1{,+]) - ш - вектор шума (ошибки) измерения. Случайные векторы уу(1к) и у(1к+|) образуют стационарные белые гауссовские последовательности, для которых

Е[™(1к)] = 0, Е[\у(1к)\уТ(10] = дбы;

Е^(1к+1)] = 0,Е[у(1к+1)уТ(11+1)]=Е5й;

е[у(Ъ+1)™Т00] = 0' к,1 = 0,1,...,М-1

(Е[.] - оператор математического ожидания, 5к; - символ Кронекера). Начальное состояние х(Чо) имеет нормальное распределение с параметрами

е[х(10)] = х(10), е{[х(10)-х(10)][х(1о)-х(1о)]Т} = Р(1о)

и не коррелирует с \у([|<) и у(Чк+[) при любых значениях переменной к. Неизвестные постоянные параметры 0 = (0¡,02,-• могут содержаться в уравнениях состояния и измерения, в начальных условиях и ковариационных матрицах шумов системы и измерений.

Также в диссертационной работе рассмотрены вопросы активной параметрической идентификации нелинейных

= + ; (7)

у(1к+1) = Ь[х(1к+1),1к+1] + у(1к+1), к = 0,1,...,К-1, (8) и линейных нестационарных

^•х(1) = а[и(1),1] + Р(1)х(1) + Г(<:)уу(1), I е^д,^]; (9)

У(1к+1) = А0к+1) + Н(1к+1)х(1к+1) + у(1к+1), к = 0,1,...,М-1, (10) непрерывно - дискретных моделей. Здесь х(1) - п - вектор состояния; и((:) -

детерминированный г - вектор управления (входа); лу^) - р - вектор шума системы (возмущения); у(1к+1) - ш- вектор измерения (выхода); ) - ш-

вектор шума (ошибки) измерения. Случайные векторы \у(1) и у(1к+1) являются стационарными белыми гауссовскими шумами, для которых Е[уф)] = 0, Е w(t)wT(т)] = Q5(t-т); Е[у(1к+1)] = 0, Е[у(1к+1) уТ )] = Ябу;

(5(>) - дельта-функция Дирака). Начальное состояние х^д) имеет нормальное распределение с параметрами

е[х(40)] = х(10), е{[х(10)-х(10)][х(1о)-х(1о)]Т} = Р(1о)

и не коррелирует с и у(1к+]) при любых значениях переменной к. Неиз-

вестные постоянные параметры Э = (01,02,...!08) могут содержаться в уравнениях состояния и измерения, в начальных условиях и ковариационных матрицах шумов системы и измерений.

При активной параметрической идентификации нелинейных систем, описывающихся моделями (1), (2) или (7), (8), в диссертационной работе применяются временная [7,8,14,15,17,19,20] и статистическая линеаризации [11,12,21], в результате чего исходная задача сводится к соответствующей задаче для модели вида (3), (4) или (9), (10) со специальным образом определенными векторами а^), А(1[с+^) и матрицами Р^), Н^]^).

В подразделе 1.4 определяется цель и ставятся задачи исследования.

Во втором разделе рассмотрены алгоритмические аспекты оценивания неизвестных параметров моделей стохастических динамических систем методом максимального правдоподобия. Основу раздела составляют алгоритмы из [1], модифицированные в плане вычислительной экономичности и универсальности, что позволило обеспечить возможность их применения как к линейным нестационарным, так и к линеаризованным дискретным и непрерывно - дискретным моделям.

Предположим, что экспериментатор может произвести V независимых запусков системы, причем сигнал и! он подает на вход системы к! раз, сигнал и2 - к 2 раз и т.д., наконец, сигнал - kq раз. В этом случае дискретный

нормированный план эксперимента представляет собой совокупность точек и] ,112 >■ и соответствующих им долей повторных запусков:

'иьи2,...,ич'

» 5 • • • »

. V V V

Множество планирования О у определяется ограничениями на условия проведения эксперимента.

Обозначим через Уу реализацию выходного сигнала, соответствую-

уи(П)

, и, б£1и, ¡=1,2.....я.

(П)

щую ¡-му входному сигналу У; (3 = 1,2,...,к;): У^ =

УЧ(*2>

. В результате

проведения по плану идентификационных экспериментов будут подготовлены данные наблюдений H = |^Ui,Yjjj,i = l,2,...,q, j = l,2,...,k;|.

Воспользуемся ММП для оценивания неизвестных параметров. В соответствии с этим методом необходимо найти такие значения параметров 8, для которых

0 = arg min [x(0;H)] = arg min [-lnL(6;S)l, (12)

6efi0 BEQQ

где lnL(0;E) - логарифмическая функция правдоподобия, которую необходимо

составить.

Поскольку запуски системы выполняются независимо, критерий максимального правдоподобия %(0;Н) связан с логарифмическими функциями правдоподобия для одного запуска In L(9; Uj, Yy) соотношением

Х(в;Н) = -1|1пЦ0;иь^), i=lj=l

(13)

где 1пЬ(0;и;,Уу) выписывается для каждой модельной структуры по-своему.

Применение метода последовательного квадратичного программирования для численного решения оптимизационной задачи (12) предполагает разработку алгоритмов, позволяющих вычислять значения критерия идентификации и его градиента.

В подразделе 2.1 излагаются вопросы оценивания параметров моделей дискретных систем. В этом случае точки спектра плана (11) имеют следующую структуру:

u'(t0) , u'(ti)

u4tN-l)

i=l,2,...,q.

Для линейных нестационарных моделей дискретных систем критерий

максимального правдоподобия (13) записывается в виде [1]

—ч №пу, „ %(0;Н) = ——1п2я +

1 q kjN-b .. nT , •• vN-l

+-Z X Z UIJ(tk+l) B-Htk+Oe'Jak+^ + J £ lndetB(tk+1), (14) zi=lj=lk=0 ' zk=0

где и В(1]с+1) вычисляются по уравнениям дискретного фильтра Кал -

мана.

Для линеаризованных моделей дискретных систем выражение критерия максимального правдоподобия (13) записывается следующим образом [12,15,21]:

Х(е;Н)^1п2я +

1 Ч к; N-1/ •• чТ/ • 4-1 •• 1 q N-1

2 2 Ич(1к+1) в'(1к+1) I к^айВ'Оы), (15)

Л=1]=1к=(Г ' к ' 1=1 к=о

где е^Ок+О и В'(1к+1) вычисляются по уравнениям дискретного фильтра Калмана и зависят от вида (временная или статистическая) линеаризации модели.

Приводятся алгоритмы вычисления значений критериев максимального правдоподобия (14) и (15) при некотором значении 0.

Продифференцировав равенства (14) и (15) по 0а, получим аналитиче-

д%(б;5)

ские выражения для производных —---, послужившие основой при разра-

50а

ботке алгоритмов вычисления градиентов соответствующих критериев максимального правдоподобия.

В подразделе 2.2 рассматриваются вопросы оценивания параметров моделей непрерывно - дискретных систем. В этом случае точки спектра плана (11)

имеют следующий вид: Ц^ = и1^), I е [^о,^], 1 =1,2,...,ц.

Для линейных нестационарных моделей непрерывно - дискретных систем критерий максимального правдоподобия записывается в виде (14), но Е^к+О и В(1к+1) вычисляются здесь по уравнениям непрерывно - дискретного фильтра Калмана.

Для линеаризованных моделей непрерывно - дискретных систем критерий максимального правдоподобия определяется выражением (15), в котором

^Ок+О и В'(1к+1) вычисляются по уравнениям непрерывно - дискретного фильтра Калмана и зависят от вида (временная или статистическая) линеаризации модели [14,20].

Приводятся алгоритмы вычисления значений критериев максимального правдоподобия и их градиентов для линейных нестационарных и линеаризованных непрерывно - дискретных моделей.

Третий раздел посвящен теоретическим и прикладным аспектам планирования эксперимента для моделей стохастических дискретных систем.

В подразделе 3.1 обсуждаются вопросы вычисления ИМФ. ИМФ занимает одно из центральных мест в теории планирования эксперимента, поскольку именно она используется для вычисления информационной матрицы всего плана и фигурирует в алгоритмах численного построения оптимальных планов.

Доказывается теорема 3.1 [7] о выражении элементов ИМФ для линейной нестационарной дискретной модели (3), (4) с приведенными априорными предположениями и неизвестными параметрами 0, входящими в матрицы F(tk), T(tk), H(tk+1), Q, R, P(t0) и векторы a(tk), A(tk+1), x(t0).

Следствие из теоремы 3.1. Для математической модели линейной стационарной дискретной системы (5), (6) с неизвестными параметрами ©, входящими в матрицы F, 1Р, Г, Н, Q, R, P(to) и вектор x(íq), выражение элементов ИМФ совпадает с соответствующим результатом из [1,3].

Приводятся незначительно измененные по сравнению [7] алгоритмы вычисления ИМФ для линейных нестационарных и линеаризованных моделей.

В подразделе 3.2 обсуждаются теоретические и прикладные аспекты планирования входных сигналов для моделей стохастических дискретных систем. Планирование входных сигналов является, по-видимому, наиболее эффективным способом управления экспериментом, использующимся при построении моделей стохастических динамических систем. Отметим, что свобода в выборе входных характеристик существенно зависит от приложений.

При планировании входных сигналов непрерывный нормированный план задается в виде

fUbU2,..,Uql q

Н 4 ,Pi>0, Хр;=1,и;еПи,1 = 1,2,...,Ч. (16)

|Pb Р2>-"> PqJ i=l

При этом каждая точка спектра плана представляет собой последовательность

импульсов, «развернутую во времени», т.е. и; =

»4*0

Замкнутое огра-

ниченное множество О и представляет собой область допустимых входных сигналов.

Применение прямой и двойственной градиентных процедур синтеза непрерывных А - и Б - оптимальных планов предполагает умение вычислять производные ИМФ по компонентам входного сигнала для линейных нестационарных и линеаризованных моделей дискретных систем.

Будем считать, что в модели состояния линейной нестационарной системы (3)

В этом случае можно представить ИМФ в виде суммы двух слагаемых, одно из которых зависит от входного сигнала, а другое - нет:

М(и;©) = \У(и;0) + У(0). (17)

Отсюда следует, что

ЯШ-.^ТТ-РЛ

, У = 1,2,...,р = 0,1,...,Ы-1, а =1,2,...,г .

5М(и;6) еМу(и;е)

диа(1р) 5аа(1р) диа(гр)

В диссертационной работе выписаны рекуррентные соотношения, необходимые для нахождения производных ИМФ по компонентам входного сигнала и приведены соответствующие вычислительные алгоритмы как для линейных нестационарных дискретных моделей, так и для моделей, полученных в результате временной линеаризации [15].

В случае применения статистической линеаризации к уравнениям (1), (2) в результирующей линеаризованной модели вида (3), (4) векторы а[»], А[»] и

матрицы Р[«], Н[.] зависят от {и(1о),и(11),....,и(1]с)| и разложение (17) становится невозможным. Это существенно усложняет вычисление производных ИМФ по компонентам входного сигнала.

Остановимся на варианте с нелинейным уравнением состояния (1) и ли-

входного сигнала и в некоторой степени упрощает ситуацию. В диссертационной работе приведены все аналитические выкладки, необходимые для нахождения производных ИМФ по компонентам входного сигнала применительно к моделям, полученным в результате статистической линеаризации. Представлен также соответствующий вычислительный алгоритм, незначительно измененный по сравнению с разработанным в [11].

Применение в качестве критерия оптимальности на множестве одноточечных планов следа ИМФ позволяет свести задачу планирования входного сигнала к задаче дискретного оптимального управления и применить соответствующие методы для ее решения. В [17] показано, что для моделей, полученных в результате временной линеаризации, задача

эквивалентна определенной задаче дискретного оптимального управления с суммарным показателем качества (решалась методом последовательного квадратичного управления с конечно - разностной аппроксимацией градиента) или задаче оптимизации конечного состояния (решалась методом последовательного улучшения управлений Шатровского, специально адаптированным к дискретному случаю).

Завершается подраздел 3.2 рассмотрением вопросов планирования входных сигналов в установившемся режиме для моделей линейных стационарных дискретных систем.

При планировании входных сигналов в установившемся режиме непрерывный нормированный план задается в виде

нейным уравнением измерения (2), что устраняет зависимость А[«] и Н[»] от

и*=а^ шах 8рМ(И;0) иеОи

5 =

где и,- =

и

(1к+2) ; Оу - замкнутое ограниченное множество; ^ соответст-

вует началу установившегося режима (моменту времени, начиная с которого ковариационная матрица ошибок одношагового прогнозирования в фильтре Калмана практически не меняется).

Доказывается теорема 5.2 [13] о выражении элементов ИМФ для линейной стационарной дискретной модели (5), (6) с приведенными априорными предположениями и неизвестными параметрами 0, входящими в матрицы Б, Г, Н, С>, Я, Р^о) ивектор х^о).

Приводится разработанный в [13] алгоритм вычисления ИМФ для линейных стационарных дискретных моделей с неизвестными параметрами в уравнениях состояния и измерения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах шумов системы и измерений.

В подразделе 3.3 рассматриваются вопросы планирования начальных условий для линейных нестационарных дискретных моделей, в которых неизвестные параметры содержатся в уравнениях состояния и измерения, в ковариационных матрицах шумов системы и измерений. Планирование начальных условий считается еще одним эффективным способом управления экспериментом, использующимся при построении моделей стохастических динамических систем, и может оказаться полезным для автономных систем, когда нет возможности планировать входные сигналы.

При планировании начальных условий непрерывный нормированный план задается в виде

Гх1(10), х2(10), ...,Хп(г0)1 д

■ = } 4 I п: >П £

Замкнутое ограниченное множество представляет собой область допус-

тимых начальных условий.

Применение прямой и двойственной градиентных процедур синтеза непрерывных А - и Б - оптимальных планов предполагает умение вычислять производные ИМФ по компонентам вектора начальных условий для линейных нестационарных моделей дискретных систем. Аналитические соотношения для производных вытекают из представления ИМФ в виде суммы двух слагаемых, одно из которых зависит от вектора начальных условий, а другое - нет:

М(х(10);©) = \У(х(10);©) + У(&) .

[ Р1 > Р2 '•••' Ря ]

В диссертационной работе представлен алгоритм вычисления производных ИМФ по компонентам вектора начальных условий, незначительно измененный по сравнению с разработанным в [16].

Подраздел 3.3 завершает пример планирования начальных условий из [16] для модели процесса изменения температуры в двухкомнатной квартире. Приведенные результаты получены при помощи программного комплекса активной параметрической идентификации стохастических нестационарных линейных дискретных систем ПК-Ш [24], созданного совместно с доцентом кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета О.С. Черниковой. В нем автору принадлежат программы построения А- и Б- оптимальных начальных условий.

Четвертый раздел посвящен теоретическим и прикладным аспектам планирования входных сигналов для моделей стохастических непрерывно-дискретных систем.

К задаче планирования входных сигналов для моделей непрерывно-дискретных систем можно прийти от дискретного случая путем предельного перехода, сгущая точки фиксации управляющих импульсов во времени.

Непрерывный нормированный план в данном случае задается в виде

Ги^),и2(1),..,иЧ(о| £ ^ . _ (18)

[ Р1 , Р2 >•••> РЧ ] ¡=1

При этом каждая точка спектра плана представляет собой управляющую вектор - функцию и1 (г), определенную на временном интервале I е^о,^]. О и -

замкнутое ограниченное множество допустимых входных сигналов.

Построение оптимальных планов может быть связано с представлением компонент входных сигналов в виде линейных комбинаций базисных функций (в качестве таковых можно использовать ортогональные полиномы Лежандра, Чебышева, функции Уолша и т.д.) и с последующим поиском коэффициентов таких линейных комбинаций.

В диссертационной работе по аналогии с [6] считается, что входные сигналы являются кусочно-постоянными функциями, сохраняющими свои значения на интервале между соседними измерениями. В этом случае точки спектра плана (18) будут иметь такую же структуру, что и точки спектра плана (16),

появится возможность вычислять по рекуррентным аналитическим формулам производные от ИМФ по компонентам входного сигнала и, следовательно, применить прямую и двойственную градиентные процедуры.

В подразделе 4.1 обсуждаются вопросы вычисления ИМФ для линейных нестационарных и линеаризованных непрерывно-дискретных моделей.

Доказывается теорема 4.1 [8] о выражении элементов ИМФ для линейной нестационарной модели (9), (10) с приведенными априорными предположениями и неизвестными параметрами ©, входящими в матрицы F(t), r(t), H(tk+1), Q, R, P(t0) и векторы a(t), A(tk+1), x(t0).

Следствие из теоремы 4.1. Для математической модели линейной стационарной непрерывно-дискретной системы

—x(t) = Fx(t) + 4>и (t) + Tw(t), t e [t0, tN]; dt

У(Л+1) = Нх(1к+1) + Ч1к+1), k = 0,l,...,N-l с неизвестными параметрами ©, входящими в матрицы F, Г, Н, Q, R,

P(to) и вектор x(to), выражение элементов ИМФ совпадает с соответствующим результатом из [1,5].

Приводятся незначительно измененные алгоритмы вычисления ИМФ для линейных нестационарных и линеаризованных моделей, разработанные в [9].

Вычисление производных ИМФ по компонентам входного сигнала для линейных нестационарных моделей и моделей, полученных в результате временной линеаризации, излагается в подразделе 4.2.

Будем считать, что в модели состояния линейной нестационарной непрерывно-дискретной системы (9), (10) на интервале [tk,tk+j]

неизвестные параметры © входят в матрицы

^(t), H(tk+j), Q, R,

P(t0) и векторы b(t), A(tk+1), x(t0).

Для линейных нестационарных непрерывно-дискретных моделей ИМФ также, как и в дискретном случае, представимы в виде (17). Данное обстоятельство использовано при нахождении соответствующих производных по компонентам входного сигнала, в диссертационной работе приведены все аналитические выкладки. Представлены алгоритмы вычисления производных

22

ИМФ по компонентам входного сигнала для линейных нестационарных моделей и моделей, полученных в результате временной линеаризации, незначительно измененные по сравнению с [10].

В пятом разделе приведено описание разработанных программных комплексов активной параметрической идентификации стохастических динамических систем на основе планирования входных сигналов.

Программные комплексы ПК-I и ПК-II активной параметрической идентификации стохастических нелинейных соответственно дискретных и непрерывно-дискретных систем [22,23], созданные на основе разработанных автором диссертации алгоритмов, позволяют получать качественные математические модели при минимальных затратах на проведение испытаний.

В подразделе 5.1 приводятся общие сведения о программных комплексах. Уточняется, что в ПК-I по выбору пользователя применяется либо временная, либо статистическая линеаризация, в то время как в ПК-II - только временная линеаризация. Для оценивания параметров модельных структур в программных комплексах используется ММП. Синтез входных сигналов осуществляется в зависимости от выбора прямой, двойственной или комбинированной процедурами в соответствии с критериями А - или D - оптимальности.

Все программные модули, вошедшие в состав программных комплексов, реализованы на языке программирования MATLAB.

Программные комплексы ПК-I и ПК-II предполагают эксплуатацию на персональных компьютерах с процессорами не ниже Pentium III или AMD Athlon под управлением операционной системы Microsoft Windows 9X/2000/2003/XP/Vista/7.

Для работы с программными комплексами необходимо иметь установленную программную систему MATLAB версии не ниже 7.10.

В подразделе 5.2 даются характеристика возможностей и организация программных комплексов. Программные комплексы ПК-I и ПК-II по определенному плану эксперимента и соответствующим ему выходным данным (они могут моделироваться или считываться из файла в случае проведения натурного эксперимента) позволяют

• находить оценки максимального правдоподобия параметров динамических моделей (структурно-вероятностные элементы этих моделей указываются в специально закрепленных для этой цели ш-файлах);

• при фиксированных значениях неизвестных параметров синтезировать А-или Б- оптимальный план (планируются входные сигналы) с применением прямой, двойственной или комбинированной процедуры планирования.

Программные комплексы можно использовать как в режиме активной, так и в режиме пассивной параметрической идентификации, когда планирование экспериментов не производится.

Организация программных комплексов ПК-1 и ПК-П представлена на рисунке 1.

В подразделе 5.3 приводится описание интерфейса программного комплекса ПК-1. Описание интерфейса программного комплекса ПК-П практически повторяет описание интерфейса ПК-1 и по этой причине в диссертационной работе не приводится.

В шестом разделе рассмотрены примеры активной параметрической идентификации стохастических динамических систем.

Результаты авторских исследований, представленные в [1,2,4], показали эффективность и целесообразность применения концепции активной параметрической идентификации при построении математических моделей стохастических стационарных линейных систем в пространстве состояний. В данном разделе нашли отражение результаты исследований, преимущественно относящиеся к стохастическим системам, описываемым нелинейными дискретными и непрерывно-дискретными моделями. Это стало возможным благодаря разработанному программному обеспечению и, прежде всего, программным комплексам ПК-1 и ПК-П активной параметрической идентификации стохастических динамических систем. Рассмотренные примеры в нелинейном случае могут соответствовать замкнутым системам регулирования электропривода постоянного тока и следящим системам. Линейный вариант представлен моделью процесса изменения температуры в двухкомнатной квартире.

Программный комплекс активной параметрической идентификации стохастических нелинейных систем

Определение структурно-вероятностных элементов модели

Нелинейная модель

Линеаризованная модель

План эксперимента

Случайный

Готовый

Выходные данные

Моделирование

Натурный эксперимент

Оценивание параметров

/■-N

Метод последовательного

квадратичного программирования

г "V

Вычисление

градиента по

аналитическим

формулам

Конечно-разностная аппроксимация градиента

Рисунок 1 - Организация программных комплексов ПК-1 и ПК- II

Планирование эксперимента

Критерий оптимальности

А-

Б-

Процедура планирования эксперимента

Прямая

— Двойственная

Комбинированная

Будем судить о качестве идентификации в пространстве параметров и в пространстве откликов по значениям относительных ошибок оценивания 5д,

8д и 5у,5у вычисляющихся, соответственно, по формулам

50 =

9*-9,

ср

50 =

* »* 9 - ©ср I!

5у =

У -У 'ср 'ср

'ср

Ч} ср

V,

ср

(19)

(20)

где ||«|| - евклидова векторная норма; 0 - вектор истинных значений параметров; 9Ср - вектор усредненных оценок параметров, соответствующих исход.. *

ному входному сигналу; 9ср - вектор усредненных оценок параметров, соответствующих синтезированному входному сигналу; YCp=jyCp(t]c+]), к = 0,1,...,Ы-1|,

^Ф = |УсрОк+1|1к+1),к=0,1,...,К-1}, УСр={усР0к+1ик+1)5 к = 0,1,...,М-1) - усредненные по всем запускам последовательности измерений для вектора 9,

♦ А Л $

равного 0 , 9Ср, 0Ср соответственно, отвечающие выбранному допустимому входному сигналу и еПц; у(*к-(-111к+1) находятся при помощи равенства

у(1к+11 ^к+1)=А(1к+1)+н (гк+1) х (гк+111к+1), (21)

в котором х(1к+1|1к+1) = Е х(1к+1|Ук+1) вычисляются по уравнениям дискретного или непрерывно-дискретного фильтра Калмана.

В подразделе 6.1 рассматриваются примеры активной параметрической идентификации нелинейных дискретных систем с применением линеаризации во временной области [15], с применением статистической линеаризации [21], с использованием решения задачи дискретного оптимального управления [17]. Также приводится пример активной параметрической линейной стационарной системы на основе планирования входных сигналов в установившемся режиме [13]. Остановимся на примере активной параметрической идентификации не-

линейной дискретной системы с применением линеаризации во временной области.

Рассмотрим следующую модель стохастической нелинейной системы:

x(tk+0^-|)x(tO + ^[u(tk)-x(tO]ea25W^)-x(tk)]+Olw(tk) (22)

y(tk+l) = x(tk+l) + v(tk+i), k = 0,l,...,N-l, (23)

где 0i, 92 - неизвестные параметры, причем 2 < ©j <10, 0.05 < 2 2.

Будем считать, что выполнены все необходимые априорные предположения, причем

E[w(tk)w(ti)] = 0.65ki=Q5ki;

е[у(1к+1)у(^+1)] = 0.35и=К5и;

E[x(t0)] = 0 = x(t0), e|[x(í0)-x(t0)]2} = 0.01 = P(t0).

Выполнив линеаризацию модели состояний (22) во временной области

относительно номинальной траектории /

X '

(tk+l) = [l-^)xH(tk) + ^[uH(tk)-xH(tk)]e0-25[uH(tk)-xH(tk)];

k = 0,l,...,N-l; (24)

ХнМ = 0,

получим линеаризованную модель вида (3), (4), в которой

Г(1к) = ^; А(1к+1) = 0;Н(1к+1) = 1.

У1

Таким образом, необходимо оценить параметры 01, 02, функционально входящие в выражения для а(1к), Р(1к) и Г(1к).

Считая, что для номинальной траектории (24) ин('к) = и(ск)' к = 0,1,...,М-1, обеспечим наилучшее приближение построенной линеаризованной модели к своему нелинейному аналогу.

27

Для того чтобы ослабить зависимость результатов оценивания от выборочных данных, произведем пять запусков системы с исходным входным сигналом. Реализации выходных сигналов получим компьютерным моделированием при истинных значениях параметров 61 = 4, Э2 =0.5 и N = 31. Для каждого запуска, применяя метод максимального правдоподобия, вычислим оценки неизвестных параметров, усредним их и найдем 0Ср. Выберем область планирования аи = Шея>|

10<и(1)с)<15, к = 0,1,...,М-1>. Используя критерий А-

оптимальности, синтезируем непрерывный план (в данном случае он оказался одноточечным), в соответствии с которым снова осуществим пять независимых запусков системы, смоделируем данные наблюдений, пересчитаем оценки неизвестных параметров, усредним их и получим 9ср. Результаты выполнения процедуры активной параметрической идентификации представим в таблице 1 из [15].

Таблица 1 - Результаты выполнения процедуры активной идентификации модели (22), (23)

Входной сигнал

Номер запуска системы

Значения оценок параметров

=4

е2

1

Исходный

О 2 4 б 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

6.678

6.192

3.238

3.867

7ср

4.779

4.951

0.452

0.401

0.522

0.581

0.549

0.501

Окончание таблицы 1

1

16 14 12 10 8

В • 4

2 0

Синтезированный

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

■^ср

4.796

4.535

3.668

3.248

4.828

4.215

Воспользовавшись соотношением (19), найдем значения относительных ошибок оценивания в пространстве параметров 50 и 5д. Получим, что 50 =0.236 и 5* =0.053.

При решении реальных задач истинные значения параметров неизвестны и, таким образом, сравнение качества оценивания в пространстве параметров невозможно. В связи с этим более показательным является сравнение качества идентификации в пространстве откликов.

Выполним пять запусков системы, подав на ее вход псевдослучайный двоичный сигнал и, изображенный на рисунке 2.

и

Рисунок 2 - Тестовый сигнал и для анализа качества прогнозирования на основе результатов из таблицы 1

Для каждого запуска при 9 = 6* смоделируем по уравнениям (22), (23) выборку измерений Y = {y(t1),y(t2),...,y(tN)}, используя которую для линеаризованной модели сформируем с помощью выражения (21) последовательности Y = {y(ti I tj),y(t21 t2),-,y(tN I tN)}. Y* = |y*(tj | tj), y*(t2 | t2),...,y*(tN | tN)}, полагая 9 = 9cp и 9 = 9*p соответственно. Усреднив полученные результаты, обЛ Л *

разуем YCp, Ycp, Ycp, представленные на рисунках 3 и 4.

A

1 —•— ycp(k+1> .....ycp(k+1|k+1) f-i-1

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 Рисунок З1 - Графическое представление Ycp и Ycp

4 -| A ¿A

3 -2 - f------- . Ал, и 1 7*

j -»~ycp(K+1S I —•—ycp(k+1|k+1)

1 * '

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31

~ *

Рисунок 4" - Графическое представление Ycp и Ycp

' ycp(k + l) соответствует ycp(tk+i),a ycp(k+l|k + l) соответствует ycp(tk+1 ]tk+i) 2 ycp(k + l) соответствует ycp(tk+i), a ycp(k + l| k + 1) соответствует y*p(tk+11 tk+1)

Воспользовавшись соотношением (20), найдем относительные ошибки

*

оценивания в пространстве откликов 5у и 5у. Получим, что 8у = 0.078 и 5у = 0.060.

Таким образом, в рассмотренной задаче удалось понизить относительную ошибку оценивания с 23.6% до 5.3% в пространстве параметров и с 7.8% до 6% в пространстве откликов.

Другой пример активной параметрической идентификации нелинейных дискретных систем с применением линеаризации во временной области приводится в [19].

В подразделе 6.2 рассматривается пример активной параметрической идентификации нелинейной непрерывно - дискретной системы с применением линеаризации во временной области [14].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с целью исследования разработано математическое и программное обеспечение активной параметрической идентификации динамических систем, ориентированное преимущественно на гауссовские линейные нестационарные и линеаризованные дискретные и непрерывно-дискретные модели с параметрами в уравнениях состояния и измерения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах шумов системы и измерений.

Решение поставленных задач исследования позволило получить следующие новые научные результаты:

1. Впервые выведены выражения ИМФ для гауссовских линейных нестационарных и линеаризованных дискретных и непрерывно-дискретных моделей.

2. Разработаны алгоритмы вычисления ИМФ для гауссовских линейных нестационарных и линеаризованных дискретных и непрерывно-дискретных моделей.

3. На основе полученных рекуррентных соотношений разработаны алгоритмы вычисления производных ИМФ по компонентам входного сигнала для линейных нестационарных дискретных и непрерывно-дискретных моделей, дискретных моделей, полученных в результате временной или статистической

линеаризации и непрерывно-дискретных моделей, полученных в результате временной линеаризации.

4. Разработаны прямые и двойственные градиентные процедуры синтеза А- и Б- оптимальных входных сигналов для перечисленных в предыдущем пункте моделей.

5. На основе полученных рекуррентных соотношений разработан алгоритм вычисления производных ИМФ по компонентам вектора начальных условий для линейных нестационарных дискретных моделей.

6. Разработаны и программно реализованы прямая и двойственная градиентные процедуры синтеза А- и Б- оптимальных начальных условий для линейных нестационарных дискретных моделей.

7. Показано, что в случае использования следа ИМФ в качестве критерия оптимальности задача планирования входных сигналов для гауссовских дискретных моделей, полученных в результате временной линеаризации, может быть сведена к задаче дискретного оптимального управления. Разработана и программно реализована соответствующая процедура синтеза оптимальных входных сигналов.

8. Разработаны и программно реализованы прямая и двойственная процедуры синтеза А- и Б- оптимальных входных сигналов для установившегося режима гауссовских линейных стационарных дискретных моделей с неизвестными параметрами в уравнениях состояния и измерения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах шумов системы и измерений.

9. Разработаны не имеющие аналогов программные комплексы ПК-1 и ПК-П, предназначенные для активной параметрической идентификации стохастических нелинейных дискретных и непрерывно-дискретных систем соответственно.

Приведенные результаты обобщают и развивают результаты, полученные автором применительно к гауссовским линейным стационарным дискретным и непрерывно-дискретным моделям.

Численные исследования показывают, что применение разработанного математического и программного обеспечения способствует существенному уменьшению относительных ошибок оценивания, как в пространстве параметров, так и в пространстве откликов, и обеспечивает построение более качест-

венных моделей по сравнению с процедурой пассивной параметрической идентификации. Для рассмотренных примеров (в п. 6.1.3 во внимание принимался результат, полученный методом последовательного квадратичного программирования) в среднем относительная ошибка оценивания снизилась с 23.7% до 2.9% в пространстве параметров и с 9.3% до 5.8% в пространстве откликов.

В диссертации разработан комплексный подход к решению задач активной параметрической идентификации стохастических динамических систем на основе планирования эксперимента, обеспечивающий построение качественных математических моделей в пространстве состояний.

Основные публикации автора по теме диссертации Монография:

1. Чубич В.М. Активная параметрическая идентификация стохастических линейных систем: монография /В.И. Денисов, В.М. Чубич, О.С. Черникова, Д.И. Бобылева. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. - 192с.

Журналы из Перечня ВАК ведущих рецензируемых научных изданий для опубликования основных результатов диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук:

2. Чубич В.М. Активная идентификация стохастических линейных дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний и АКМАХ- моделями / В.И. Денисов, И.Л. Еланцева, В.М. Чубич // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2000. - Т.З. - №1(5) - С. 87-100.

3. Чубич В.М. Новое обобщенное выражение для информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических линейных дискретных систем / В.И. Денисов, В.М. Чубич, О.С. Рябых // Научный вестник НГТУ. - 2001. - №2(1). - С. 29-42.

4. Чубич В.М. Активная параметрическая идентификация стохастических дискретных систем во временной области / В.И. Денисов, В.М. Чубич, О.С. Черникова // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2003. - Т.6. - №3(15). - С. 70-87.

5. Чубич В.М. Особенности вычисления информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем / В.И. Денисов, В.М. Чубич, Д.И. Бобылева // Научный вестник НГТУ. - 2004. - №2(17). - С. 45-57.

6. Чубич В.М. Построение оптимальных планов экспериментов в задачах идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем/ В.И. Денисов, В.М. Чубич, Д.И. Бобылева // Научный вестник НГТУ. - 2006. -№4(25)-С. 25-43.

7. Чубич В.М. Вычисление информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных дискретных систем / В.М. Чубич // Научный вестник НГТУ. - 2009. - №1(34). - С. 23-40.

8. Чубич В.М. Особенности вычисления информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем /В.М. Чубич // Научный вестник НГТУ. - 2009. -№1(34).-С. 41-54.

9. Чубич В.М. Алгоритм вычисления информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем / В.М. Чубич // Научный вестник НГТУ. -2009. - №3(36). - С. 15-22.

10. Чубич В.М. Вычисление производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем/

B.М. Чубич, Е.В. Филиппова // Научный вестник НГТУ. - 2010. - №2(39). -

C. 53-63.

11. Чубич В.М. Алгоритм вычисления производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала в задаче активной параметрической идентификации гауссовских нелинейных дискретных систем / В.М. Чубич, Е.С. Коновальчик // Научный вестник НГТУ. - 2010. - №3(40). - С. 27-40.

12. Чубич В.М. Оптимальная идентификация дискретных систем на основе метода статистической линеаризации / В.М. Чубич // Информационные технологии и вычислительные системы. - 2010. - №4. - С. 47-56.

13. Чубич В.М. Активная параметрическая идентификация гауссовских стационарных линейных дискретных систем на основе планирования эксперимента в установившемся режиме / В.М. Чубич, М.И. Вершинина // Научный вестник НГТУ. - 2010. - №4(41). - С. 29-40.

14. Чубич В.М. Активная параметрическая идентификация стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем на основе линеаризации во временной области / В.М. Чубич // Информационно-управляющие системы. - 2010. -№6(49).-С. 54-61.

15. Чубич В.М. Информационная технология активной параметрической идентификации стохастических квазилинейных дискретных систем / В.М. Чубич // Информатика и ее применения. - 2011.-Т.5. - Вып.1. - С. 46-57.

16. Чубич В.М. Планирование начальных условий в задаче активной параметрической идентификации гауссовских линейных дискретных систем / В.М. Чубич // Научный вестник НГТУ. - 2011. - №1(42). - С. 39-46.

17. Чубич В.М. Активная параметрическая идентификация нелинейных дискретных систем на основе линеаризации во временной области и оптимального управления / В.М. Чубич, О.С. Черникова // Проблемы управления. - 2011. -№2.-С. 9-15.

Материалы конференций:

18. Чубич В.М. Синтез оптимального входного сигнала в задаче активной параметрической идентификации нелинейных непрерывно-дискретных систем /

B.М. Чубич, Е.В. Филиппова // Перспективы развития информационных технологий: материалы 2 Всероссийской науч.-практ. конф. - Новосибирск, 2010. -

C. 139-144.

19. Chubich V.M. Application of methods of experiment design theory in problem of stochastic nonlinear discrete systems identification [Применение методов теории планирования эксперимента в задаче идентификации стохастических нелинейных дискретных систем] / V.M. Chubich // ACIT-CDA 2010. The IASTED intern, conf. on automation, control, and information technology - control, diagnostics, and automation, Novosibirsk, Russia: proceedings. - Novosibirsk, 2010. - P. 272-279.

20. Чубич В.М. Применение методов теории планирования экспериментов при параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем / В.М. Чубич, Е.В. Филиппова // АПЭП 2010. Актуальные проблемы электронного приборостроения: материалы 10 Международной конф. - Новосибирск, 2010. - Т.6.- С. 85-93.

21. Чубич В.М. Применение метода статистической линеаризации при активной параметрической идентификации стохастических нелинейных дискретных систем / В.М. Чубич, Е.С. Коновальчик // АПЭП 2010. Актуальные проблемы электронного приборостроения: материалы 10 Международной конф. - Новосибирск, 2010. - Т.6.- С. 94-102.

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ:

22. Чубич В.М. Программный комплекс активной параметрической идентификации стохастических нелинейных дискретных систем (ПК-1) / В.М. Чубич, О.С. Черникова // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011612716. - М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). - 2011.

23. Чубич В.М. Программный комплекс активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно - дискретных систем (ПК-Н) / В.М. Чубич, Е.В. Филиппова // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011612718. - М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). - 2011.

24. Чубич В.М. Программный комплекс активной параметрической идентификации стохастических нестационарных линейных дискретных систем (ПК-Ш) / В.М. Чубич, О.С. Черникова // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012612281. - М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). - 2012.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630073 Новосибирск, пр. К. Маркса 20 тел./факс (383)346-08-57 Формат 60x84/ 16 Объем 2,5 п.л. Тираж 120 экз. Заказ №1418 Подписано в печать «12» ноября 2013 г

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

Чубич Владимир Михайлович

АКТИВНАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

05.13.17 - Теоретические основы информатики Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант Денисов В.И.

Новосибирск — 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ............................. 7

ВВЕДЕНИЕ................................................................................. И

1 Проблема активной параметрической идентификации стохастических динамических систем и задачи диссертационного исследования........................................................................................ 20

1.1 Теоретические и методологические основы активной параметрической идентификации......................................................... 20

1.1.1 Процедура активной идентификации.............................. 20

1.1.2 Оценивание неизвестных параметров.............................. 25

1.1.3 Исходные понятия и результаты теории оптимального эксперимента................................................................ 31

1.1.4 Прямая градиентная процедура синтеза непрерывных оптимальных планов..................................................... 36

1.1.5 Двойственная градиентная процедура синтеза непрерывных оптимальных планов..................................................... 38

1.1.6 Построение дискретных оптимальных планов.................. 40

1.1.7 Схема процедуры активной параметрической идентификации систем с предварительно выбранной модельной структурой....................................................................... 42

1.2 Анализ современного состояния проблемы активной параметрической идентификации стохастических динамических систем...... 42

1.3 Структурно-вероятностное описание моделей........................... 45

1.3.1 Модели дискретных систем.......................................... 45

1.3.2 Модели непрерывно-дискретных систем......................... 50

1.4 Цель и задачи исследования................................................ 54

1.5 Выводы........................................................................... 55

2 Оценивание параметров моделей стохастических динамических систем.................................................................................... 56

2.1 Оценивание параметров моделей дискретных систем................. 59

2.1.1 Критерий максимального правдоподобия и алгоритм вычисления его значения для линейных нестационарных моделей................................................................. 59

2.1.2 Критерий максимального правдоподобия и алгоритм вычисления его значения для линеаризованных моделей....... 62

2.1.3 Алгоритм вычисления градиента критерия максимального правдоподобия для линейных нестационарных моделей.... 65

2.1.4 Алгоритм вычисления градиента критерия максимального правдоподобия для линеаризованных моделей................ 69

2.2 Оценивание параметров моделей непрерывно-дискретных систем 72

2.2.1 Особенности алгоритмов вычисления значений критериев максимального правдоподобия для линейных нестационарных и линеаризованных моделей...................................... 72

2.2.2 Особенности алгоритмов вычисления градиентов критериев максимального правдоподобия для линейных нестационарных и линеаризованных моделей........................ 76

2.3 Выводы........................................................................... 81

3 Планирование эксперимента для моделей стохастических дискретных систем.............................................................................. 82

3.1 Вычисление информационной матрицы Фишера........................ 82

3.1.1 Вывод информационной матрицы Фишера для линейных нестационарных моделей............................................. 82

3.1.2 Алгоритм вычисления информационной матрицы Фишера для линейных нестационарных моделей.......................... 96

3.1.3 Вычисление информационной матрицы Фишера для линейных нестационарных моделей, полученных в результате

линеаризации............................................................ 99

3.2 Планирование входных сигналов........................................... 100

3.2.1 Нахождение производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала для линейных нестационарных моделей............................................. 103

3.2.2 Алгоритм вычисления производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала для линейных нестационарных моделей.............................. 108

3.2.3 Вычисление производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала для моделей, полученных в результате временной линеаризации.............. 111

3.2.4 Нахождение производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала для моделей, полученных в результате статистической линеаризации.... 112

3.2.5 Алгоритм вычисления производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала для моделей, полученных в результате статистической линеа-

ризации....................................................................................................................................118

3.2.6 Планирование эксперимента как задача дискретного оптимального управления..........................................................................................125

3.2.7 Планирование эксперимента в установившемся режиме

для моделей линейных стационарных систем....................................129

3.3 Планирование начальных условий....................................................................................137

3.3.1 Нахождение производных информационной матрицы Фишера по компонентам вектора начальных условий для

линейных нестационарных моделей............................................................139

3.3.2 Алгоритм вычисления производных информационной матрицы Фишера по компонентам вектора начальных условий для линейных нестационарных моделей................ 141

3.3.3 Планирование начальных условий на примере модели процесса изменения температуры в двухкомнатной квартире....................................................................... 143

3.4 Выводы........................................................................... 147

4 Планирование входных сигналов для моделей стохастических непрерывно-дискретных систем..................................................... 149

4.1 Вычисление информационной матрицы Фишера....................... 150

4.1.1 Вывод информационной матрицы Фишера для линейных нестационарных моделей........................................... 151

4.1.2 Алгоритм вычисления информационной матрицы Фишера

для линейных нестационарных моделей........................ 157

4.1.3 Вычисление информационной матрицы Фишера для линейных нестационарных моделей, полученных в результате линеаризации...................................................... 160

4.2 Вычисление производных информационной матрицы Фишера по

компонентам входного сигнала............................................. 163

4.2.1 Дифференцирование информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала для линейных нестационарных моделей.................................................. 163

4.2.2 Алгоритм вычисления производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала для линейных нестационарных моделей............................. 166

4.2.3 Вычисление производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала для моделей, полученных в результате временной линеаризации......... 170

4.3 Выводы........................................................................... 171

5 Описание программных комплексов активной параметрической идентификации стохастических динамических систем на основе

планирования входных сигналов................................................................................................173

5.1 Назначение и общие сведения о программных комплексах....................174

5.2 Характеристика возможностей и организация программных комплексов......................................................................................................................................................175

5.3 Описание интерфейса программных комплексов..............................................177

5.4 Выводы......................................................................................................................................................191

6 Примеры активной параметрической идентификации стохастических динамических систем................................................................................................................192

6.1 Активная параметрическая идентификация дискретных систем.... 193

6.1.1 Идентификация системы с применением линеаризации во временной области......................................................................................................193

6.1.2 Идентификация системы с применением статистической линеаризации....................................................................................................................198

6.1.3 Идентификация системы с использованием решения задачи дискретного оптимального управления....................................203

6.1.4 Идентификация линейной стационарной системы на основе планирования входных сигналов в установившемся режиме......................................................................................................................................210

6.2 Активная параметрическая идентификация нелинейной непрерывно-дискретной системы с применением линеаризации во временной области..................................................................................................................................214

6.3 Выводы......................................................................................................................................................219

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................................................................................................220

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ........................................................223

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Справки о внедрении результатов диссертационной работы..................................................................................................................................................................244

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

0 - вектор неизвестных параметров размерности б;

Од - область допустимых значений параметров;

0* - вектор истинных значений параметров;

§ - оценка вектора параметров 0, найденная без планирования

эксперимента;

д* - оценка вектора параметров 0, найденная с планированием

эксперимента;

89 - относительная ошибка оценивания в пространстве пара-

метров при пассивной идентификации;

2* - относительная ошибка оценивания в пространстве пара-

метров при активной идентификации;

Н - данные наблюдений;

х(0;Н) - критерий идентификации, критерий максимального правдоподобия;

- непрерывный нормированный план эксперимента

р1,р2,...,ря

Я 1=1

£ - оптимальный по некоторому критерию непрерывный нор-

мированный план эксперимента;

М(^) - информационная матрица плана;

Х[м(£,)] - критерий оптимальности;

М(а) - информационная матрица Фишера одноточечного плана (при планировании входных сигналов а = и, при планировании начальных условий а = х^о) = Е[х(Чо)]);

и - входной сигнал;

и=

и^" = {и^^), к = -1}, если время дискретное,

11(4), если время непрерывное;

11} - 1-й входной сигнал;

и0к)'и(0 " ™ерный вектор управления (входа) в соответствующий момент времени;

х^^.х^) - п-мерный вектор состояния в соответствующий момент времени;

х(*к+11*к) " оценка х(*к+0 по измерениям У^ (оценка одношагового прогнозирования);

х^к-ц!^) " оценка одношагового прогнозирования состояния х(^+1), соответствующая паре

х(*к+11 *к+0 " оценка х(1]с+1) по измерениям (оценка фильтрации);

хЧ(г1с+1|1]с+1) " °Ценка фильтрации состояния х^^^), соответствующая

паре (и^.);

w Ок )'w (0 " Р-мерный вектор шума системы в соответствующий момент времени;

У(*к+0 " ^-мерный вектор измерения (выхода) в момент времени

у(*к+11 *к+1) " оценка у(^+1) по измерениям при 0 = 9;

У*(*к+1 Ик+О " оценка у (1^+1) по измерениям при 0 = 8*; гИ - выходной сигнал,

у = у™ = {у(гк+1), к = од,...,н -1};

У,У/

У - J-я реализация выходного сигнала, соответствующая вход-

Ч

ному сигналу ;

5у

v(tk+l)

Пи Vug(o,Y)

Е[.]

Я

11

Я

тхп

относительная ошибка оценивания в пространстве откликов при пассивной идентификации;

относительная ошибка оценивания в пространстве откликов при активной идентификации;

функция правдоподобия;

т-мерный вектор шума измерения в момент времени ;

ш-мерный вектор обновления в момент времени ;

параметры обобщенной теоремы эквивалентности (п. 1.1.3);

дискретный нормированный план эксперимента

к! к2

5 >•••)

V V V

область допустимых входных сигналов; область допустимых начальных условий;

градиент скалярной функции § по аргументу и

Vug(u,Y) =

9 9***9

оператор математического ожидания;

вещественное линейное пространство, состоящее из 11-мерных векторов-столбцов;

множество вещественных матриц, содержащих ш строк и п столбцов;

векторная или матричная норма

п

= А|Еа1 ^сли а =(а1,а2,.",ап); 1=1

А"1 8рА

(к* А I

5к1 5(.)

= п • шах

У

ац

, если А =

а11 а12 а21 а22

1ап1 ап2

а1п а2п

а

ГШ у

- матрица, транспонированная к матрице А;

- матрица, обратная к невырожденной матрице А;

- след матрицы А;

- определитель матрицы А;

- единичная матрица;

- символ Кронекера;

- дельта-функция Дирака;

ДУ - дифференциальное уравнение;

ИМФ - информационная матрица Фишера;

МАВ - максимум апостериорной вероятности;

ММП - метод максимального правдоподобия;

МНК - метод наименьших квадратов;

ОМП - оценка максимального правдоподобия;

ПК-1 - программный комплекс активной параметрической идентификации стохастических нелинейных дискретных систем;

ПК-П - программный комплекс активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем;

ПК-Ш - программный комплекс активной параметрической идентификации стохастических нестационарных линейных дискретных систем;

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования.

В настоящее время математическое моделирование играет фундаментальную роль в науке и технике и является одним из активно развивающихся перспективных научных направлений в области информатики.

Проблема идентификации, связанная с построением математических моделей динамических систем по экспериментальным данным, относится к одной из основных проблем теории и практики автоматического управления. Ее качественное решение способствует эффективному применению на практике современных математических методов и наукоемких технологий, например, при расчете и проектировании систем управления подвижными (в том числе авиационно-космическими) и технологическими объектами, построении прогнозирующих моделей (например, в экономике и бизнес-процессах), конструировании следящих и измерительных систем.

Первоначально методология построения динамических моделей развивалась в рамках пассивного подхода, при котором идентификация проводится в режиме нормальной эксплуатации исследуемой системы. Современная теория включает в себя также методы активной идентификации, предполагающие подачу на вход исследуемой системы определенным образом синтезированных управляющих сигналов. Например, в конечно-частотном методе оценивания параметров линейных стационарных моделей непрерывных или дискретных систем, развиваемом А.Г. Александровым и Ю.Ф. Орловым, тестирующий сигнал представляет собой сумму гармоник, число которых не превышает размерности пространства состояний.

Применение теории планирования экспериментов при параметрической идентификации динамических систем предоставляет исследователю дополнительные эффективные возможности в получении качественной модели. Связанное с этим научное направление развивается достаточно интенсивно как в на-

шей стране, так и за ее пределами. Не смотря на достигнутый определенный прогресс в этой области, можно отметить, что в настоящий момент рассмотрены и решены далеко не все вопросы, относящиеся к проблеме активной параметрической идентификации стохастических динамических систем на основе планирования эксперимента. Данное обстоятельство позволяет считать актуальной разработку соответствующего математического и программного обеспечения.

Степень разработанности проблемы.

Проблеме активной параметрической идентификации динамических систем на основе планирования эксперимента посвящено большое число публикаций в нашей стране и за ее пределами. Среди этих трудов доминирующее положение занимают работы, посвященные вопросам планирования входных сигналов для моделей передаточных функций и моделей в пространстве состояний. Отметим, что в современных исследованиях синтез оптимальных входных сигналов осуществляется как методами теории оптимального планирования эксперимента, так и методами теории оптимального управления.

Анализ современного состояния проблемы активной параметрической идентификации стохастических динамических систем показал, что наиболее значительный прогресс в ее решении достигнут применительно к линейным стационарным моделям и к моделям (в общем случае нелинейным) с детерминированными уравнениями состояний. Этому способствовали, в частности, труды таких признанных специалистов, как А.Ж. Абденов, Ю.П. Адлер, В.Г. Горский, В.И. Денисов, Э.К. Лецкий, В.Н. Овчаренко, A.A. Попов, A.M. Талалай в нашей стране и Г. Гудвин, М. Зейроп, Л. Льюнг, Р. Мехра, Р. Пейн, Л. Пронзато, Э. Уолтер за рубежом. Указанная проблема не рассматривалась для стохастических линейных нестационарных и нелинейных моделей с вхождением неизвестных параметров в уравнения состояния и измерения, в начальные условия и в ковариационные матрицы шумов системы и измерений. В данной диссертационной работе решается проблема активной параметрической идентификации преимущественно для таких моделей.

12

Предмет исследования.

Предмет исследования диссертационной работы составляет проблема активной параметрической идентификации стохастических динамических систем с предварительно выбранной модельной структурой.

Цель и задачи исследования.

Целью диссертационной работы является разработка математического и программного обеспечения активной параме�