автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Активная параметрическая идентификация стохастических линейных дискретных систем

На правах рукописи

Черникова Оксана Сергеевна

АКТИВНАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05 13 17 - Теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2007

003062643

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

кандидат технических наук, доцент Чубич Владимир Михайлович

доктор технических наук, профессор Лбов Геннадий Сергеевич кандидат технических наук, доцент Яцко Владимир Александрович

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Защита состоится 16 мая 2007 г в 1600 часов на заседании диссертационного совета Д 212 173 06 в Новосибирском государственном техническом университете по адресу 630092, г Новосибирск, пр К Маркса, 20

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

Автореферат разослан апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Чубич В М

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований Современное состояние науки позволяет предъявлять все более высокие требования к процессам управления, в результате чего необходимость построения математических моделей возникает как в технике, так и в экономике, экологии, биологии и других областях знания

Под идентификацией динамического объекта (процесса) понимается определение параметров и структуры математической модели, обеспечивающих наилучшее совпадение выходных координат модели и объекта при одинаковых входных воздействиях

Проблема идентификации является одной из основных проблем теории и практики автоматического управления Результатом решения задачи идентификации являются исходные данные для проектирования систем управления, не располагая которыми часто нельзя выполнить ни оптимизации, ни синтеза регуляторов, ни анализа систем управления

В настоящее время существуют два подхода к решению задач идентификации пассивный и активный Пассивная идентификация выполняется в режиме нормальной эксплуатации исследуемой системы и заключается в оценивании неизвестных параметров, входящих в модель Активная идентификация предполагает подачу на вход изучаемой системы специально синтезированного пробного сигнала Несмотря на трудности, связанные с необходимостью нарушения технологического режима, методы активной идентификации систем предоставляют экспериментатору значительно большие возможности в получении качественной модели по сравнению с методами пассивной идентификации Эти возможности обусловлены самой идеологией активной идентификации, базирующиеся на сочетании приемов параметрического оценивания с концепцией планирования эксперимента

Собственно процедура активной идентификации состоит из следующих этапов вычисление оценок параметров по измерительным данным, соответствующим некоторому пробному сигналу (пассивная идентификация), синтез на основе полученных оценок оптимального по некоторому критерию сигнала (планирование), регистрация выходных данных системы, отвечающих поданному синтезированному сигналу, пересчет оценок неизвестных параметров В случае необходимости этапы 2-4 повторяются

Распространению идей и методов активной идентификации способствовали, в частности, труды А Ж Абденова, Ю П Адлера, В Г Горского, В И Денисова, И Л Еланцевой, Г К Круга, А А Попова, Ю А Сосулина, AM Талалая, ВМ Чубича, В А Фатуева нашей стране и ДжК Гудвина(G С Goodwin), МБ Зейропа(МВ Zarrop), Р К Мехры (RK Mehra), Р JI Пейна (R L Payne) за рубежом

Описание динамической системы в терминах пространства состояний позволяет учесть имеющиеся физические представления о механизмах работы системы В отличие от передаточных функций, которые используются, в основном, при описании моделей линейных стационарных систем, методы пространства состояний позволяют создать компактную форму представления любых систем линейных и нелинейных, стационарных и нестационарных, непрерывных и дискретных Используемый при этом математический аппарат позволяет создавать мощные программные средства для анализа и синтеза динамических систем

Несмотря на то, что к моменту начала проведения исследований для стохастических линейных дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний, во временной области были получены выражения для элементов информационной матрицы одноточечного плана, предложены алгоритмы планирования Б- оптимальных входных сигналов, целесообразность дальнейшего развития вопросов активной идентификации обусловила необходимость проведения соответствующих теоретических и прикладных исследований не только во временной, но и в частотной областях

В диссертационной работе предпринята попытка распространения концепции активной идентификации на многомерные стохастические линейные дискретные системы, описываемые стационарными моделями в пространстве состояний дчя наиболее общего случая вхождения неизвестных параметров (в матрицы состояния, управления, возмущения, измерения, в начальные условия и в ковариационные матрицы помех динамики и ошибок измерений в различных комбинациях) Исследованы вопросы эффективности и целесообразности применения этой концепции во временной и частотной областях

Цель исследования. Целью работы является распространение концепции активной идентификации на математические модели многомерных стохастических линейных дискретных систем во временной и частотной областях, а также развитие теоретических и методологических основ этого вопроса

Методы исследования. Теоретические и прикладные исследования базируются на использовании разделов теории планирования эксперимента, математической статистики, теории случайных процессов, вычислительной математики, теории управления и линейной алгебры

Достоверность и обоснованность научных положений, рекомендаций и выводов обеспечивается корректным применением аналитических методов, результатами исследования процедур активной идентификации с использованием статистического моделирования, решением прикладных задач

Научная новизна Получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту

- получено выражение для информационной матрицы одноточечного плана в частотной обчасти,

- разработан алгоритм вычисления информационной матрицы одноточечного плана в частотной области,

- проведен структурный анализ соотношений для информационных матриц одноточечных планов во временной и частотной областях,

- сформулированы и доказаны основные свойства информационных матриц и теоремы эквивалентности D- и А- оптимальных планов во временной и частотной областях,

- на основе прямого и двойственного подхода разработаны оригинальные градиентные алгоритмы синтеза D- и А- оптимальных входных сигналов во временной и частотной областях,

- разработаны и реализованы процедуры активной идентификации во временной и частотной областях,

- численные исследования на примере моделей бурильной машины и электрокардиостимулятора позволили сделать вывод о целесообразности и эффективности применения процедур активной идентификации во временной и частотной областях

Личный вклад Все результаты, приведенные в диссертации без ссылок на чужие работы, принадлежат лично автору

Практическая полезность и реализация результатов работы Разработанные в диссертационной работе процедуры и программно-математическое обеспечение позволяют эффективно решать задачи активной идентификации многомерных стохастических линейных дискретных систем во временной и частотной областях Выборочно программные модули могут быть использованы отдельно как для решения задач параметрической идентификации, так и для синтеза входных сигналов по другим критериям оптимальности Отечественные или зарубежные аналоги разработанного программного обеспечения нам не известны

Полученные результаты исследований используются в учебном процессе при проведении занятий по дисциплине «Математические методы планирования эксперимента» для магистрантов, а также при выполнении дипломных работ студентов и магистерских диссертаций по специальности «Прикладная математика и информатика» в Новосибирском государственной техническом университете (НГТУ)

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы опубликованы в ряде статей, докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях 7th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology at the University of Ulsan (Корея, Ульсан, 2003), 8th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology (Россия, Томск, 2004), 9th Russian-Korea International Symposium on Science and Technology (Россия, Новосибирск, 2005), всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука Технологии Инновации» (Россия, Новосибирск, 2006), а также на научных семинарах кафедры прикладной математики НГТУ

Публикации По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 4 - в ведущих научных журналах и изданиях, входящих в пе-

речень, рекомендованный ВАК РФ, 2 - в сборниках научных трудов, 4 - в трудах и материалах Международных и Российской конференций

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с планами НИР, проводимых в НГТУ 2002-2006 гг (Отчеты по НИР «Математическое моделирование многофакторных объектов на основе наблюдений» и «Моделирование статических и динамических многофакторных объектов стохастической природы с исследованием вероятностных закономерностей» под руководством д т н , проф В И Денисова), а также при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (код проекта РНП 2 1 2 43)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения, списка использованных источников из 79 наименований и приложений Общий объем диссертации составляет 150 страниц, вкчючая 17 таблиц и 16 рисунков

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертации, приведено краткое содержание работы по главам

В первой главе определена структура математической модели, сформулированы задачи исследования и приведены этапы итерационной процедуры активной идентификации

Будем считать структуру математической модели исследуемой системы заданной Рассмотрим следующую модель управляемой, наблюдаемой и идентифицируемой стохастической линейной дискретной системы в пространстве состояний

x(t +1) = ®x(t) + Tu(t) + Tw(t), (1)

y(t +1) = Hx(t +1) + v(t +1), t = 0,1, ,N-1 (2)

Здесь x(t) - n-вектор состояния, u(t)-r-вектор управления (входа), w(t)— p-вектер возмущения, y(t +1) - m-вектор измерения (выхода), v(t +1) - m-вектор ошибки измерения, Ф.^Г.Н — постоянные матрицы соответствующих размеров, Ф устойчива, пары (Ф, Т) и (Ф,Г) управляемы, пара (Ф,Н) - наблюдаема, случайные векторы w(t) и v(t +1) образуют стационарные белые гауссов-ские последовательности, причем

E[w(t)] = 0, E[w(t)wT(т)] = Q5t т, (3)

E[v(t + 1)] = 0, E[v(t + l)vT(т +1)] = R6t T, (4)

E[v(t)wT(x)] = 0,

для любых t,x = 0,1, ,N-1 (8, т- символ Кронекера), начальное состояние х(0) имеет нормальное распределение с параметрами х(0), Р(0) и не коррелирует с w(t) и v(t +1) при любых значениях переменной t

Будем считать, что подлежащие оцениванию параметры 0 = (0],б2, ,65) могут входить в элементы матриц Ф,Т,Г,П,С>,К,Р(0) и в вектор х(0) в различных комбинациях Необходимо для математической модели (1), (2) с учетом высказанных априорных предположений разработать и исследовать эффективность процедур активной идентификации во временной и частотной областях

Во второй главе дается описание этапов процедуры активной параметрической идентификации во временной области для модели (1),(2) с указанными априорными предположениями

В разделе 2 1 приведены критерии идентификации, позволяющие решать задачи параметрического оценивания методами максимального правдоподобия и наименьших квадратов для стохастических линейных дискретных систем в рассматриваемой постановке Разработаны и подробно изложены рекуррентные алгоритмы вычисления логарифмической функции правдоподобия и ее градиента по неизвестным параметрам с использованием уравнений фильтра Капмана Разработаны алгоритмы вычисление критерия идентификации и его градиентов в случае метода наименьших квадратов

Оценивание неизвестных параметров математической модели будем осуществлять по данным наблюдений 5 в соответствии с выбранным критерием идентификации %

Будем считать, что экспериментатор может произвести V запусков системы, причем сигнал 11] он подает на вход системы к, раз, сигнал и2 - к2 раза, сигнал ич - кч раз В этом случае дискретный (точный) нормированный план эксперимента представляет собой совокупность точек и2, ,ич,

называемых спектром плана, и соответствующих им долей повторных запусков

дает ограничения на условия проведения эксперимента

Если через У, обозначить ,)-ую реализацию выходного сигнала

( ^1,2, ,к,), соответствующую 1-ому входному сигналу и, (1=1,2, то в

результате проведения по плану идентификационных экспериментов будет

сформировано множество

'иьи2, ,и,

ч

^ I к|_ кг

. V ' V

кч >, и, е£1и; 1=1,2, Л

V

Здесь

1=1

При заданном критерии идентификации % задача нахождения оценок неизвестных параметров, предполагает решение следующей задачи нелинейного программирования с ограничениями

в = агвпш.[х(Е,е)]

Для оценивания параметров воспользуемся известными методами максимального правдоподобия, для которого

Х(в)=-1пЦ^,9) = №т>, „ 1 Я к.Н-1г .....ту г.,.....1 1 N-1

-1п2я +

q k, N-l Г fr , Г 1 1 N-l

IIS [e1J(t + l)j B-1(t + l)[e1,J(t + l)j+-iv £lndetB(t + l), (5)

- j=]j=lt=0 2 1=0

и наименьших квадратов

"|T

X(e)=jfev,G)=E|s1[c1'J(t + l)l В-'(1 + 1)[еМ(1 + 1)] (6)

i=lj=lt=0L J

В соотношениях (5), (6) s1,J(t +1), B(t +1) вычисляются по соответствующим рекуррентным уравнениям дискретного фильтра Калмана EbJ(t +1) = y',J(t +1) - y'-J(t +111),

x1'J(t + l|t) = ®x,'J(t|t) + ^u,(t), P(t +111) = <DP(t | t)®T + rQrT, yI'J(t + l|t) = Hx'-J(t + l|t), B(t +1) = HP(t +11 t)HT + R, K(t +1) = P(t +11 t)HTB-' (t +1),

x',J(t +111 +1) = x'J(t +111) + K(t + l)s''J(t +1), P(t +111 +1) = [I - K(t + l)H]P(t +111), для t=0,l, N-l, j = 1,2, ,q, i = l,2, .Ц, с начальными условиями

x',J(010) = x(0) , P(0[0) = P(0)

Поиск условного минимума функций (5) и (6) будем осуществлять численно с привлечением методов Нелдера-Мида, наискорейшего спуска и Ньютона-Гаусса

В разделе 2 2 осуществлен структурный анализ выражения для информационной матрицы одноточечного плана, позволивший разработать алгоритмы вычисления градиентов в процедурах синтеза D- и А- оптимальных планов по рекуррентным аналитическим формулам Приведены основные свойства информационных матриц, доказана теорема эквивалентности для А- оптимальных планов На основе прямого и двойственного подходов разработаны оригинальные градиентные алгоритмы решения задачи А- и D- оптимального планирования входных сигналов

При активной идентификации динамических систем могут использоваться различные способы управления экспериментом Ограничимся задачей пла-

нирования оптимальных входных сигналов Оптимальный выбор входных сигналов позволяет экспериментатору при заданном числе запусков системы подготовить наиболее информативные данные наблюдений, использующиеся в разделе 2 1 для нахождения оценок неизвестных параметров

Будем понимать под непрерывным нормированным таном б во временной области совокупность величин

Ч*:*: л (7)

Нормированная информационная матрица М(£) плана (7) определяется соотношением

М®=1р,М(и1),

где М(и,) - информационные матрицы Фишера, определяются выражением

' д2 1пЦУ,к,0)"

M(U) = -E

зеэет

зависят от неизвестных параметров 6, что позволяет говорить в дальнейшем только о локально оптимальном планировании

Качество оценивания параметров можно повысить за счет построения плана эксперимента, оптимизирующего некоторый выпуклый функционал X от информационной матрицы М(£), то есть решив экстремальную задачу

g = arg mm X[Mß)J (8)

В качестве критериев оптимальности будем использовать критерий D -оптимальности

x[M(i;)] = -lndetM(^), и критерий А - оптимальности

Решая задачу планирования эксперимента, мы определенным образом воздействуем на нижнюю границу неравенства Рао — Крамера При этом мы для D - оптимальных планов минимизируется объем , а для А — оптимальных планов - сумма квадратов длины осей эллипсоида рассеивания оценок неизвестных параметров

Доказана теорема эквивалентности для А-оптимальных планов, приведенная ниже в обобщенной формулировке Теорема эквивалентности Следующие утверждения

1 План минимизирует Х[М(^)],

2 План минимизирует max ц(и,£),

UeQu

3 тах ц(и,^*) = т1 иеПи

эквивалентны между собой Информационные матрицы планов, удовлетворяющих условиям 1-3, совпадают Любая линейная комбинация планов, удовлетворяющих 1 -3, также удовлетворяет 1-3

Значения параметров теоремы эквивалентности Х[М(£}], ц(и,!;), г) представим в табл 1

Таблица 1

Соответствие значений параметров теоремы эквивалентности

критериям оптимальности

Критерии Параметры

Х[МЙ)] л

Б - критерий -ЬсЫМ© врЕМ-Чомси)] Б

А - критерий ' (£) 5р[М"!(ОМ(и)] зрм-че)

Следствие

В точках спектра А-оптимального плана функция достигает сво-

его максимального значения 8рМ~'(с,*)

Решение экстремальной задачи (8) можно осуществить непосредственно методами условной оптимизации (такой подход называется прямым) Построим следующую итерационную процедуру Шаг 1 Зададим начальный невырожденный план

Ги?,и2, ,и;1 0 1

И о п0 о .и, еОи; р,=-, 1 = 1,2, ,ч, [Р1. Р2. > Р,] 1

в котором я = ^ + ^ +1 Вычислим информационные матрицы одното-

чечных планов для 1 = 1,2, , к и информационную матрицу всего плана Положим 1 = 0

Шаг 2 Считая веса р|, р'2, фиксированными, для задачи Х[М&)]-> тш ,1^6^,1 = 1,2, Л,

и{,

выполним одну операцию метода проекции градиента

и1+1 = лПо (и1+1 -Р!у0Х[М(^)]),

где 0Т = (ит,и2т, - вектор размерности я N г, 7сп_ [г) - проекция точки

геЯ N q на множество Ор, р( > 0 - длина шага

Далее составим план ^ = ^ ^ ^ к где и|4' - точки найденные на

[Рр Р2' >Рч ] шаге 2 Вычислим м(и|+|) 1 = 1,2, ^

Шаг 3 Зафиксируем точки спектра полученного плана и для задачи

х[м(У-

■ тт £р1=1,р;>0, 1 = 1,2, ,Ч, РрР2> >Рч 1=1

Л ■

выполним одну итерацию метода проекции градиента Розена

Р1+1=Р1

-р;'АУгх[мУ,

где Р = (р,,р2, >РЧ)> Р1 длина шага, А- матрица оператора проектирова-

[и|+1,и2+1, .и1,-1!

1+1 „1+1 „1+1 | [Р] .Р2 > > Рч ]

Шаг 4 Если выполняется неравенство

ния Составим план =

1и!+1-и1|2+(Р|+1-Р!)2

где 5 - малое положительное число, перейдем на шаг 5 В противном случае для 1 = 1 + 1 повторим шаги 2 и 3

Шаг 5 Проверим необходимое условие оптимальности плана

Соответствие значений параметров Х[М(^)], г| прямой процеду-

ры критериям А- и Б- оптимальности такое же, как в табл 1

Если требуемое условие оптимальности выполняется, закончим процесс В противном случае повторим все сначала, скорректировав начальное приближение

Алгоритм построения оптимальных входных сигналов требует вычисления следующих градиентов

ах[м®]!

?0х[м(0]=

уРх[мО;)]=

,1 = 1, ,<1,1 = 0, ,N-10 = 1, ,г,

ИмШ 1=1 1 ф, Г '

Для критерия О-оптимальности

ах[м(1)]„

-р^Р

Для критерия А-оптимальности

м-1()оМ(и,) 3^)

МШ1 = _8р[м-'й)М(и,)]

= = -р,8р

ах[М(4)]

Другой альтернативный рассмотренному подход (он называется двойственным) к решению задачи (8) основан на приведенной теореме эквивалентности Предложим следующий алгоритм

Шаг 1 Зададим начальный невырожденный план и вычислим нормированную матрицу М(^0) плана Положим 1 = О Шаг 2 Найдем локальный максимум

и1

= агктахМ(и,£,)

иепи

методом проекции градиента Если окажется, что —т|| ^ 5,

закончим процесс Если М^и1,^^ г|, то перейдем к шаг> 3 В противном случае будем искать новый локальный максимум Шаг 3 Вычислим т, по формуле

х, = аг8гшпХ[м(^+1 )ь = (1 - + гф11 где ^(и1) - одноточечный план, размещенный в точке и1

Шаг 4 Составим план = (1 - т,)^, + произведем его «очистку», по-

ложим 1 = 1 + 1 и перейдем на шаг 2

Алгоритм построения оптимальных входных сигналов требует вычисления градиентов

эц(и,0

да, (О

,1 = 0,1, ,N-1^ = 1,2, ,г

(9)

Для критерия Б — оптимальности выражение (9) приобретает вид

¿4(0 "

а для критерия А — оптимальности

5ц(ил)

:8р

эм(и)

ди,(г)

= БР

ЭиДО зм(и)

Осуществлен структурный анализ выражения для информационной матрицы одноточечного плана, позволивший разработать алгоритмы вычисления градиентов в процедурах синтеза О- и А- оптимальных планов по рекуррентным аналитическим формулам, без привлечения идей численного дифференцирования Основу алгоритмов вычисления приведенных градиентов составил разработанный и подробно изложенный в диссертационной работе алгоритм оМ(и)

нахождения

ЭиДО

В третьей главе приводится описание этапов процедуры активной параметрической идентификации в частотной области для модели (1),(2) с указанными априорными предположениями

В разделе 3 1 приведены критерии идентификации, позволяющие решать задачи параметрической идентификации методами максимального правдоподобия и наименьших квадратов для стохастических линейных дим ретных систем в рассматриваемой постановке Разработаны рекуррентные алгоритмы вычисления критериев идентификации и градиентов в случае методов максимального правдоподобия и наименьших квадратов с использованием уравнений фильтра Калмана

В случае оценивания параметров методом максимального правдоподобия критерий идентификации имеет вид

Мглу МУ ТЧГЧ"1 Ч к1 Г > .Г 1

Х(е)=^1п2т1 + ^1пс^В + ^ £ ХЕ^'-Чк)] в-'^-Чк)], (10) 2 2 2 к=01=^=1

(* означает комплексное сопряжение)

Для случая метода наименьших квадратов имеем

Х(0)=^Е11И(к)]*В-1[б^(к)] (11)

2 к=0|=^=1

В соотношениях (10), (11) {е1,:1(к),к = 0, ,N-1] -частотная последовательность, полученная путем применения дискретного преобразования Фурье (ДПФ) к временной последовательности +1),I = 0, ,N-1], построенной по уравнениям фильтра Калмана, В = НРНТ + И., Р — установившееся значение ковариационной матрицы одношагового предсказания, для которого начиная с некоторого значения х выполняется ||Р(т* +11 х*) — Р(х* |т* — 1)||<Ь (5 - малое

положительное число)

В разделе 3 2 получена формула для информационной матрицы одноточечного плана, проведен структурный анализ формулы для информационной матрицы, выведены уравнения для нахождение установившихся значений ковариационной матрицы ошибки одношагового предсказания, ее первой и второй производных, разработан алгоритм вычисления информационной матрицы одноточечного плана Результаты представ пены в виде теорем

Теорема Для многомерных динамических систем, описываемых моделями в пространстве состояний (1 1), (1 2) с априорными предположениями из главы 1, элементы информационной матрицы Фишера в установившемся режиме определяются выражениями

Ми(0) = КеЕ1^р[мОи(к)и(к)П*(к)]+Аи(к)}+МСу(к), 10 = 1, ,з, (13)

к=0

1 N-1 1 N-1

N 1=о N |=о

Б,.(к)= Т2-'(к)

59,

т2-Чк)ЭТ'-(к)

59

}

> Су(к) = —Бр

В"1 —В"1 — 59, 59

4 59, 59, 2 2 к ' 59, 2 59.

2 59^ 59 J

2 ^ - в-'т21(к)^+ ® в-^(к)-ЭТа (к)

59,

59,

59, ^

Т,(к) = Н(гк1-Ф)"1;Р, Т2(к) = Н(гк1 —Ф)"1К2 +1, К2=ФРНТВ"' Замечания

1 Как и во временной области, выражение (13) представимо в виде суммы двух слагаемых, одно из которых зависит от управляющей последовательности и неизвестных параметров, а другое только от неизвестных параметров

2 Общий характер вхождения неизвестных параметров не отражается на виде расчетного соотношения для информационной матрицы Фишера и учитыва-

„ 5Т2 (к) 5Т,(к) 52Т2 (к)

ется при вычислении матриц В, В , Т2 (к), —, ' , 2

50, 59, 59,50)

В разделе 3 3 рассмотрены основные свойства информационной матрицы Фишера и Б- и А- оптимальных планов На основе прямого и двойственного подходов разработаны оригинальные градиентные алгоритмы решения задачи планирования Б- и А- оптимальных входных сигналов Разработаны алгоритмы вычисления градиентов функционалов х[м(^)] и по рекуррентным ана-

литическим формулам

Под непрерывным нормированным планом Ъ, в частотной области будем понимать совокупность величин

^ Ги.д, ,о;

1Р,.Р2> >Р, )

еП0, р, >0, Хр,=1

1=1

и,т=|[и'(0)Г,[и'(1)р, ,[й1(М-1)]Г|, 1 = 1,2, ,Ч,и,

Нормированная информационная матрица М(^) определяется соотношением

М(1) = 1р,М(и,), 1=1

М(и,) - информационные матрицы Фишера, определяются выражением (13)

Задача планирования заключается в оптимальном выборе управляющих сигналов и,, 02, ,и и соответствующих им весов р,,р2, ,рч, при котором

некоторый функционал X от информационной м(^) матрицы принимает свое экстремальное значение

Г=агеттХ[М(?)] (14)

Доказана следующая теорема

1 Для любого плана Е, информационная матрица - вещественная, симметричная, положительно полуопределенная матрица порядка 5

2 Множество матриц м(е,), соответствующих всем возможным нормированным планам выпукло Если область допустимых входных сигналов С10 замкнута, то множество информационных матриц замкнуто

3 Для любого непрерывного плана ^ всегда найдется Е,, спектр которого содержит не более чем ^^ ^ +' точек и информационная матрица М(£) совпадает с информационной матрицей

Как и во временной области при решении задачи (14) возможны два подхода Прямой подход требует вычисления следующих градиентов

у0х[мУ=

дх[м(1)]

дауЧк)

, УрХ[М©] =

ЗХ[М(^)]

Эр,

1 = 1, ,ч,к = 0, ,N-10 = 1, ,г, Дня критерия О - оптимальности

ш«(к) ~ Р' Р

зм(и) 5Мар(и|

к = О, ,N-1, а,р = 1, ,з,1 = 0, ,N-1,

9иД1) к=о

Оар(к)^§й*(к) + Вар(к)и(к) 5иД1)

О, если к * 1,

ЛЛ

0и (к)

92,(0

ои(к)

05,(1)°

ах[М(|)] 5р,

IV0/

J, если к = 1

= -8р[м-1(1)М(й,)],

Для критерия А- оптимальности

эх[мр

3Uj''(k)

= -p,Sp

«^м-й

,1 = 1, ,q, k = 0, ,N-1, j = l, ,г

dp,

= -Sp[M"2(^)M(U1)] 1 = 1,2, ,c

Двойственный алгоритм синтеза оптимальных входных сигналов основан на теореме эквивалентности, которая была доказана для случая критериев А-и Б- оптимальности Теорема эквивалентности Следующие утверждения

1 план %* минимизирует Х[М(£)],

2 план минимизирует тах^[и,£],

ОеП0

3 тах |а[и,|*] = г|

ОеП0

эквивалентны между собой Информационные матрицы планов, удовтетво-ряющих условиям 1-3, совпадают Любая линейная комбинация планов, удовлетворяющих 1-3, также удовлетворяет 1-3 Значения параметров теоремы эквивалентности Х[М(^)], ц(и, £,), г) аналогичны представленному в табл 1

Двойственный алгоритм построения оптимальных входных сигналов требует вычисления градиента

Эц(иД)

5uj(k)

k = 0,1, ,N-l,j = 1,2, ,r

Для критерия D - оптимальности получаем

Suj(k)

а для критерия A - оптимальности

, t = 0,l, ,N-l,j = l, ,r,

= Sp

M"

J

k = 0,1, ,N-l,j = 1, ,r

В четвертой главе приведены для различных модельных структур примеры выполнения процедур активной идентификации во временной и частотной областях, показана эффективность и целесообразность их применения

Пусть непрерывная система управления задана следующей структурной схемой |

U(s) - J + Щя) - Y(s)

-Г®

a0+a,s b„+b,s

►<g>-

d„ +d,s+d,s

Рис 1 Исходная структурная схема

Таблица 2

Начальная и последняя итерации процедуры активной Идентификации в частотной области модели бурильной машины с одним параметром (прямая процедура синтеза,, критерий А-оптимыльноста)

Синтезированный сигнал и'11

иж ?пп —

150

100

50 II

0

1 4 7 10 13 16 18 й

ё(к)

¡9*-ё(к)|'

6<и

е'-ё(к,||

]

Номер запуска системы

1.212

0.712

0.685

0.185

Значения оценок

0.978

0,478

0.545

0.045

0.745

0.245

0.804

0.204

1.406

.201

0.906

0.481

0.019

0.701

0.411

0,089

Средние значения по запускам

1.108

0.608

0.585

0.108

Из табл.2 видно, что в результате применения процедуры активной идентификации в частотной области получена оптимальная оценка 0 =0.585, которая лучше исходной в V" ' - -1

е-е

|у«Ч _у(0>]|

в %-¡1 = раза в пространстве откликов.

Г I

= 5,6 раз в пространстве параметров и

В результате применения процедур активной идентификации наиболее близкие к истинным значениям параметров оценки получены при оптимальном входном сигнале в частотной области как по критерию А-оптимальности, так и по критерию И- оптимальности При этом как во временной, так и в частотной областях оказался предпочтительнее критерий Б- оптимальности Оценки неизвестных параметров удалось улучшить, в смысле уменьшения относительного отклонения полученных оценок от истинных значений, от 4 6 до 9 4 раз в пространстве параметров и от 2 8 до 6 3 раз в пространстве откликов

В диссертации также рассмотрен случай модели прецизионной лазерной системы, для случая а0 =9, и р =02 (неизвестные параметры входят в матрицы Ф, Ч'.С?) и модели электрокардиостимулятора (неизвестные параметры входят в матрицы II)

Проведенные исследования показали, что в зависимости от выбранных модельных структур, критериев идентификации и оптимальности, качество оценивания удалось улучшить от 2 б до 10 2 раз в пространстве параметров и от 1 7 до б 3 раз в пространстве откликов, что позволяет говорить о целесообразности и эффективности применения процедур активной идентификации как во временной, так и в частотной областях В силу того, что для различных модельных структур более эффективными оказывались как процедуры активной идентификации во временной области, так и в частотной области, не представляется возможным рекомендовать исследователю применять процедуру активной идентификации в какой-либо одной конкретной области Поскольку для одних модельных структур предпочтительнее оказался критерий А- оптимальности, а для других - критерий О-оптимальности, экспериментатору можно порекомендовать использовать процедуры планирования по различным критериям оптимальности

Приложения содержат описание разработанного программного обеспечения и акт внедрения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дано систематическое изложение наиболее существенных для практики вопросов теории и техники активной параметрической идентификации многомерных стохастических линейных дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний, во временной и частотной областях

В пространстве состояний впервые рассмотрена и решена актуальная задача оптимального параметрического оценивания, обобщенная на случай вхождения параметров в матрицы состояния, управления, возмущения, измерения, в начальные условия и в ковариационные матрицы помех динамики и ошибок измерений в различных комбинациях

Полученное выражение для информационной матрицы одноточечного плана в частотной области, проведенный структурный анализ соотношений для информационных матриц во временной и частотной областях позволили предложить алгоритмы их вычисления

На основе сформулированных и доказанных теорем эквивалентности D-и А- оптимальных планов и выявленных свойств информационных матриц разработаны оригинальные алгоритмы активной параметрической идентификации во временной и частотной областях, позволяющие решать задачи оптимального оценивания математических моделей методами максимального правдоподобия и наименьших квадратов с привлечением прямой и двойственной градиентных процедур синтеза А- и D- оптимальных входных сигналов Существенной особенностью указанных алгоритмов оценивания параметров и планирования оптимальных входных сигналов является то, что они позволяют вычислять соответствующие градиенты по рекуррентным аналитическим формулам

Численные исследования на примере моделей бурильной машины и электрокардиостимулятора показали, что в зависимости от характера вхождения параметров, критериев идентификации и оптимальности, качество оценивания удалось улучшить от 2 б до 10 2 раз в пространстве параметров и от 1 7 до 6 3 в пространстве откликов, что позволяет говорить о целесообразности и эффективности применения процедур активной идентификации как во временной, так и в частотной областях Поскольку для различных модельных структур более эффективными могут оказаться как процедуры активной идентификации во временной области, так и в частотной области, не представляется возможным рекомендовать исследователю применять процедуру активной идентификации в какой-либо одной конкретной области, причем целесообразно использовать как критерий А-, так и критерий D-оптимальности

Основные научные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1 Рябых О С Новое обобщенное выражение для информационной матрицы Фишера в задаче планирования входного сигнала для динамических систем/ Денисов В И, Чубич ВМ, Рябых ОС// Науч вестник НГТУ - 2001 -№2(11) - С 29-42

2 Черникова О С Моделирование выборки измерений по описанию стохастической линейной стационарной системы с дискретным временем в пространстве состояний/ Денисов В И , Чубич В М , Черникова О С //Науч вестник НГТУ -2002 -№2(13) - С 64-70

3 Черникова ОС Активная идентификация стохастических линейных дискретных систем во временной области/ Денисов В И , Чубич В М , Черникова О С // Сиб жури индустр матем - Том б - №3(15) -2003 -С 70-87

4 Oksana S Chernikova Active identification of stochastic linear discrete-time systems/ Vladimir I Demsov, Vladimir M Chubich, Oksana S Chernikova // Proc 7th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology at the

University of Ulsan, Republic of Korea, 2003 -Vol 3 -P 71-75 [Активная идентификация стохастических линейных дискретных систем]

5 Oksana S Chernikova Conclusion of the formula for the Fisher information matrix for stochastic linear discrete-time systems in frequency domain/ Vladimir I Denisov, Vladimir M Chubich, Oksana S Chernikova// Proc 8th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology, Russia, Tomsk, 2004 -Vol 2 -P 117-120 [Вывод формулы информационной матрицы Фишера для стохастических линейных дискретных систем в частотной области]

6 Oksana S Chernikova D-optimum parameters estimation of models of stochastic linear discrete-time system in frequency domain/ Vladimir I Denisov, Vladimir M Chubich, Oksana S Chernikova// Proc 9th Russian-Korea International Symposium on Science and Technology, Russia, Novosibirsk, 2005 - P 57-61 [D-оптимальное оценивание параметров моделей стохастических линейных дискретных систем в частотной области]

7 Черникова О С Вычисление установившихся значений ковариационной матрицы ошибки одношагового предсказания, ее первой и второй производных в задачах активной идентификации стохастических линейных дискретных систем/ Денисов В И , Чубич В M , Черникова О С //Сборник научных трудов НГТУ, 2005 -№4(42) - С 11-16

8 Черникова О С Концепция активной идентификации стохастических линейных дискретных систем в частотной области Наука Технологии Инновации/ Денисов В И, Чубич В M, Черникова О С //Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых Новосибирск НГТУ - 2006 -С 75-76

9 Черникова О С Эквивалентность выражений для информационных матриц Фишера в задаче активной идентификации стохастических линейных дискретных систем в частотной области/ Черникова О С //Сборник научных трудов НГТУ, 2006 -№4(46)-с 11-18

10 Черникова ОС Активная идентификация стохастических линейных дискретных систем в частотной обтасти/ Денисов В И , Чубич В M , Черникова О СИ Сиб журн индустр матем - Том 10Х - №1(29) - 2007 -с 71-89

Подписано в печать 10 04 07 г Формат 60x84x1/16 Бумага офсетная Тираж 100 экз Печ л 1 5 Заказ №

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630092, г Новосибирск, пр К Маркса, 20

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

2. АКТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ.

2.1. ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ.

2.1.1. Критерии идентификации для стохастических линейных дискретных систем.

2.1.2. Алгоритмы вычисления значения и градиентов критериев идентификации.

2.1.3. Выводы.

2.2. ПЛАНИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ D- И А- ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ.

2.2.1. Основные свойства информационной матрицы и D- и А- оптимальных планов.

2.2.2. Прямая градиентная процедура построения непрерывных оптимальных планов.

2.2.3. Двойственная градиентная процедура построения непрерывных планов.

2.2.4. Выводы.

3. АКТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ.

3.1. ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ.

3.1.1. Критерии идентификации для стохастических линейных дискретных систем.

3.1.1. Выводы.

3.2. ПОСТРОЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ОДНОТОЧЕЧНОГО ПЛАНА.

3.2.1. Вывод информационной матрицы одноточечного плана.

3.2.2. Нахождение установившихся значений ковариационной матрицы ошибки одношагового предсказания, ее первой и второй производной.

3.2.3. Эквивалентность выражений для информационных матриц для детерминированного входного сигнала конечной длины и записях фильтра Калмана в форме нормированной и ненормированной обновляющей последовательности.

3.2.3. Алгоритм вычисления информационной матрицы одноточечного плана.

3.2.4. Выводы.

3.3. ПЛАНИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ D- И А- ВХОДНЫХ

СИГНАЛОВ.

3.3.1. Основные свойства информационной матрицы и D- и А- оптимальных планов.

3.3.2. Прямая градиентная процедура построения непрерывных планов.

3.3.3. Двойственная градиентная процедура построения непрерывных планов.

3.3.4. Выводы.

4. АКТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ НА ПРИМЕРЕ РАЗЛИЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.

4.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫБОРКИ ИЗМЕРЕНИЙ.

4.2. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

4.2.1. Модель бурильной машины.

4.2.2. Модель электрокардиостимулятора.И

4.3. Выводы.

Современное состояние науки позволяет предъявлять всё более высокие требования к процессам управления, в результате чего необходимость построения математических моделей возникает как в технике, так и в экономике, экологии, биологии и других областях знания.

Под идентификацией динамического объекта (процесса) понимается определение параметров и структуры математической модели, обеспечивающих наилучшее совпадение выходных координат модели и объекта при одинаковых входных воздействиях.

Проблема идентификации является одной из основных проблем теории и практики автоматического управления. Результатом решения задачи идентификации являются исходные данные для проектирования систем управления, не располагая которыми часто нельзя выполнить ни оптимизации, ни синтеза регуляторов, ни анализа систем управления.

На практике различают задачи идентификации в узком и широком смыслах [1]. При решении задач идентификации в широком смысле априорная информация о системе либо незначительна, либо вообще отсутствует. Для идентификации подобной системы необходимо решение ряда дополнительных задач, к которым можно отнести, например, выбор класса модели или определение её типа.

При решении задачи идентификации в узком смысле считается, что известны структура системы и класс моделей, к которому она относится. Априорная информация о системе достаточно обширна. Такая постановка задачи идентификации наиболее соответствует реальным условиям проектирования и поэтому широко используется в инженерной практике.

В настоящее время существуют два подхода к решению задач идентификации: пассивный и активный.

Пассивная идентификация выполняется в режиме нормальной эксплуатации исследуемой системы и заключается в оценивании неизвестных параметров, входящих в модель. С методами пассивной идентификации можно ознакомиться, например, по работам [2-5].

Активная идентификация предполагает подачу на вход изучаемой системы специально синтезированного пробного сигнала. Несмотря на трудности, связанные с необходимостью нарушения технологического режима, методы активной идентификации систем предоставляют экспериментатору г значительно большие возможности в получении качественной модели по сравнению с методами пассивной идентификации. Эти возможности обусловлены самой идеологией активной идентификации, базирующиеся на сочетании приемов параметрического оценивания с концепцией планирования эксперимента (см., например, [6-11]).

Собственно процедура активной идентификации состоит из следующих этапов:

• вычисление оценок параметров по измерительным данным, соответствующим некоторому пробному сигналу (пассивная идентификация);

• синтез на основе полученных оценок оптимального по некоторому критерию сигнала (планирование);

• регистрация выходных данных системы, отвечающих поданному синтезированному сигналу;

• пересчет оценок неизвестных параметров.

В случае необходимости этапы 2-4 повторяются.

Представим ниже контур решения задачи активной идентификации в широком смысле.

Рис В. 1. Контур идентификации системы

Таким образом, процедура активной идентификации предполагает выполнение следующих основных этапов:

1. Подготовка данных наблюдений

Входные и выходные данные регистрируются в процессе проведения целенаправленных идентификационных экспериментов. Отметим, что этап подготовки данных наблюдений тесно связан с планированием эксперимента, задача которого состоит в том, чтобы, учитывая возможные ограничения, выбрать максимально информативные данные о сигналах системы.

2. Определение структуры математической модели

Работа над любой математической моделью начинается с фактического анализа данных, полученных на этапе 1. Определение общей структуры модели и класса уравнений, которыми предполагается описывать наблюдаемый процесс - это задача структурной идентификации.

Существуют различные подходы к форме задания идентификационных моделей, а также ситуации, требующие соответствующих методов исследования. Математические модели можно классифицировать по разным признакам, например, в зависимости от учета фактора времени, уровня неопределенности, по типу используемого математического аппарата и т.д. Более определённо, выделяют линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, дискретные, непрерывные и непрерывно-дискретные системы. Другой вариант классификации предусматривает возможность идентификации в терминах детерминированных или стохастических процессов. И, наконец, модели можно задавать в пространстве состояний, в виде ARMAX - моделей (моделей авторегрессии с детерминированными управляющими сигналами, трендами и случайными возмущениями), моделей в виде передаточных функций.

Описание динамической системы в терминах пространства состояний [12-14] позволяет учесть имеющиеся физические представления о механизмах работы системы. В отличие от передаточных функций, которые используются, в основном, при описании моделей линейных стационарных систем, методы пространства состояний позволяют создать компактную форму представления любых систем: линейных и нелинейных, стационарных и нестационарных, непрерывных и дискретных. Используемый при этом математический аппарат позволяет создавать мощные программные средства для анализа и синтеза динамических систем.

3. Оценивание параметров, входящих в модель

На этом этапе требуется найти значения параметров по имеющимся экспериментальным данным, что является задачей параметрической идентификации [11, 15-18]. При решении задачи оценивания методами параметрической идентификации выбирается некоторый критерий качества, явно зависящий от вектора неизвестных параметров.

Для нахождения оценок неизвестных параметров используют различные методы оценивания, среди которых наиболее распространёнными являются метод максимального правдоподобия [18-21], метод наименьших квадратов и его обобщения [22-26], метод стохастической аппроксимации [1,2] и другие.

4. Планирование эксперимента

Выбор входных сигналов оказывает существенное воздействие на экспериментальные данные. На практике могут использоваться разнообразные способы управления экспериментом. В простейшем случае управление экспериментом сводится к выбору оптимальных моментов измерений, в более сложном - к планированию оптимальных входных сигналов и начальных условий [9, 27]. Для построения оптимальных планов используют различные критерии оптимальности, прямую и двойственную процедуры синтеза, но возможен и смешанный вариант.

5. Проверка адекватности модели

Адекватность модели — соответствие модели реальному объекту или процессу. Адекватность в какой-то мере условное понятие, так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может. При построении имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые для исследования считаются существенными.

С начала 70-х годов начинает интенсивно развиваться теория идентификации динамических моделей. Современный этап развития теории и практики параметрической идентификации характеризуется все более широким распространением идей и методов активной идентификации. Этому способствовали, в частности, труды А.Ж. Абденова, Ю.П. Адлера, В.Г. Горского, В.И. Денисова, И.Л. Еланцевой, Г.К. Круга, А.А. Попова, Ю.А. Сосулина, A.M. Талалая, В.М. Чубича, ВА.Фатуева в нашей стране и Дж.К. Гудвина (G.C. Goodwin), М.Б. Зейропа (М.В. Zarrop), Р.К. Мехры (R.K. Mehra ), P.JI. Пейна (R.L. Payne) за рубежом.

Р.К. Мехра [28-30], по-видимому, первым стал использовать идеи и методы теории планирования оптимального эксперимента для идентификации динамических систем, описываемых моделями в пространстве состояний, во временной и частотной областях. Для многомерных стохастических линейных дискретных систем он получил выражение для информационной матрицы Фишера, соответствующее случаю, когда подлежащие оцениванию параметры входили только в матрицы состояния и управления. Мехра доказал, что при переходе от статических детерминированных систем к стохастическим линейным дискретным системам свойства нормированных информационных матриц планов не изменяются и остаются справедливыми теоремы эквивалентности для D- и А- оптимальных планов. В частотной области Р.К. Мехра рассмотрел в асимптотике основные свойства информационной матрицы и передоказал для этого случая теоремы эквивалентности.

В дальнейшем А.Ж. Абденов в [31] продолжил исследование вопросов активной идентификации многомерных стохастических динамических систем, описываемых моделями в пространстве состояний во временной и частотной областях. В соавторстве А.А. Поповым он уточнил в [32] выражение для информационной матрицы, полученное Р.К.Мехрой в [28], и затем в статье с

В.И. Денисовым в [33] обобщил полученный в [32] результат на случай, когда неизвестные параметры входили не только в матрицы состояния и управления, но и в матрицу измерения. Отметим, что в [28,32,33] выражения информационных матриц Фишера были получены с использованием фильтра Калмана в форме нормированной обновляющей последовательности. Другой подход к вычислению информационной матрицы Фишера был предложен А.А. Поповым в статье [34]. Как и в [32], он рассмотрел случай вхождения неизвестных параметров в матрицы состояния и управления, но запись уравнений фильтра Калмана в форме ненормированной обновляющей последовательности позволила А.А. Попову оптимизировать процедуру вычисления информационной матрицы за счет исключения необходимости извлечения квадратного корня из матрицы для каждого дискретного момента времени.

В работах [35,36] А.Ж. Абденов исследовал теоретические и прикладные аспекты применения D- оптимального планирования для многомерных стохастических линейных дискретных и непрерывно-дискретных систем, при этом как и в [28-30] он рассмотрел входной сигнал случайной природы и вхождение параметров в матрицы состояния и управления.

В.М. Чубич в [37,38] исследовал структуру информационной матрицы из [32] и на этой основе разработал прямые и двойственные градиентные процедуры планирования D- и А- оптимальных планов. В последствии В.М. Чубич в работе [39] обобщил выражение для информационной матрицы во временной области [34] на случай, когда подлежащие оцениванию параметры в различных комбинациях содержались в матрицах состояния, управления, возмущения, измерения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах помех динамики и ошибок измерений и предложил соответствующий алгоритм ее вычисления. Изложение вопросов активной идентификации для стохастических линейных дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний и ARMAX-моделями с единой методологической точки зрения, было приведено В.И. Денисовым, совместно с В.И. Чубичем и И.Л. Еланцевой в [40].

Вопросы активной идентификации математических моделей на основе передаточных функций обсуждались в работах [8,9]. Отметим также, что из публикаций по идентификации моделей стохастических динамических систем в форме передаточных функций к работам [28-30,35,36], пожалуй, наиболее близки в методологическом отношении работы [41, 42]. Здесь дан практически исчерпывающий анализ задачи синтеза оптимальных сигналов и приведены алгоритмы ее численного решения.

Таким образом, на момент написания настоящей диссертационной работы для стохастических линейных дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний во временной области были получены выражения для элементов информационной матрицы одноточечного плана, сформулированы и доказаны основополагающие теоремы и предложены алгоритмы планирования оптимальных входных сигналов. В данной диссертационной работе предпринята попытка распространить концепцию активной идентификации на многомерные стохастические линейные дискретные системы, описываемые стационарными моделями в пространстве состояний, соответствующие наиболее общему случаю, когда неизвестные параметры в различных комбинациях содержались в матрицах состояния, управления, возмущения, измерения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах помех динамики и ошибок измерений, и исследовать эффективность и целесообразность ее применения во временной и частотной областях.

Цель исследования. Распространить концепцию активной идентификации на математические модели многомерных стохастических линейных дискретных систем во временной и частотной областях. Развить теоретические и методологические основы этого вопроса.

Научная новизна. На основе информационных матриц Фишера впервые рассмотрены теоретические и прикладные аспекты задачи активной идентификации многомерных стохастических линейных дискретных систем, описываемых стационарными моделями в пространстве состояний и соответствующих наиболее общему случаю, когда неизвестные параметры в различных комбинациях содержатся в матрицах состояния, управления, возмущения, измерения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах помех динамики и ошибок измерений.

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Получено выражение для информационной матрицы одноточечного плана в частотной области.

2. Разработан алгоритм вычисления информационной матрицы одноточечного плана в частотной области.

3. Проведен структурный анализ соотношений для информационных матриц одноточечных планов во временной и частотной областях.

4. Сформулированы и доказаны основные свойства информационных матриц и теоремы эквивалентности D- и А- оптимальных планов во временной и частотной областях.

5. На основе прямого и двойственного подхода разработаны оригинальные градиентные алгоритмы синтеза D- и А- оптимальных входных сигналов во временной и частотной областях.

6. Разработаны и реализованы процедуры активной идентификации во временной и частотной областях.

7. Численные исследования на примере моделей бурильной машины и электрокардиостимулятора позволили сделать вывод о целесообразности и эффективности применения процедур активной идентификации во временной и частотной областях.

Практическое значение. Разработанное программно-математическое обеспечение может использоваться для решения задачи активной идентификации стохастических линейных дискретных систем во временной и частотной областях. Отдельные программные модули могут быть использованы для решения задач параметрической идентификации и синтеза входных D- и А

- оптимальных сигналов, а также сигналов в соответствии с другими критериями оптимальности. Отечественные или зарубежные аналоги разработанного программного обеспечения нам не известны.

Полученные результаты исследований используются в учебном процессе при проведении занятий по дисциплине «Математические методы планирования эксперимента» для магистрантов, а также при выполнении дипломных работ студентов и магистерских диссертаций по специальности «Прикладная математика и информатика» в Новосибирском государственной техническом университете (НГТУ).

Методологическая основа работы. Теоретические и прикладные исследования базируются на использовании разделов теории планирования эксперимента, математической статистики, математического анализа, теории случайных процессов, вычислительной математики, теории управления и линейной алгебры.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в ряде статей, докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях: 7th Korea-Russian International

Symposium on Science and Technology at the University of Ulsan (Корея, Ульсан, th • 2003); 8 Korea-Russian International Symposium on Science and Technology

Россия, Томск, 2004); 9th Russian-Korea International Symposium on Science and

Technology (Россия, Новосибирск, 2005); всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Россия, Новосибирск,

2006), а также на научных семинарах кафедры прикладной математики

Новосибирского государственного технического университета (НГТУ).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе: 4 - в ведущих научных журналах и изданиях, входящих в перечень, рекомендованный ВАК РФ, 2 - в сборниках научных трудов, 4 - в трудах и материалах Международных и Российской конференций.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с планами НИР, проводимых в 2002-2006 гг. (Отчеты по НИР: «Математическое моделирование многофакторных объектов на основе наблюдений» и «Моделирование статических и динамических многофакторных объектов стохастической природы с исследованием вероятностных закономерностей» под руководством д.т.н., проф. В.И. Денисова), а также при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (код проекта РНП.2.1.2.43).

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения, списка использованных источников из 79 наименований и приложений. Общий объем диссертации составляет 150 страниц, включая 17 таблиц и 16 рисунков.

4.3 Выводы

1. В зависимости от выбранных модельных структур, критериев идентификации и оптимальности, качество оценивания удалось улучшить от 2.6 (см., например, табл. 4.8) до 10.2 (см., например, табл. 4.14) раз в пространстве параметров и от 1.7 (см., например, табл. 4.8) до 6.3 (см., например, табл. 4.3) раз в пространстве откликов, что позволяет говорить о целесообразности и эффективности применения процедур активной идентификации как во временной, так и в частотной областях.

2. Поскольку для различных модельных структур более эффективными могут оказаться как процедуры активной идентификации во временной области (см., например, табл. 4. 7), так и в частотной области (см., например, табл. 4.1), не представляется возможным рекомендовать исследователю применять процедуру активной идентификации в какой-либо одной конкретной области.

3. В силу того, что для одних модельных структур предпочтительнее оказался критерий А- оптимальности (см., например, табл.4.13, табл.4.14 ), а для других - критерий D-оптимальности (см., например, табл. 4.3, табл. 4.4), экспериментатору можно порекомендовать использовать процедуры планирования по различным критериям оптимальности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дано систематическое изложение наиболее существенных для практики вопросов теории и техники активной параметрической идентификации многомерных стохастических линейных дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний, во временной и частотной областях.

С использованием информационных матриц Фишера в пространстве состояний впервые рассмотрена и решена актуальная задача оптимального параметрического оценивания, обобщенная на случай вхождения параметров в матрицы состояния, управления, возмущения, измерения, в начальные условия и в ковариационные матрицы помех динамики и ошибок измерений в различных комбинациях.

Полученное выражение для информационной матрицы одноточечного плана в частотной области, проведенный структурный анализ соотношений для информационных матриц во временной и частотной областях позволили предложить алгоритмы их вычисления.

На основе сформулированных и доказанных теорем эквивалентности D- и А- оптимальных планов и выявленных свойств информационных матриц разработаны оригинальные алгоритмы активной параметрической идентификации во временной и частотной областях, позволяющие решать задачи оптимального оценивания математических моделей методами максимального правдоподобия и наименьших квадратов с привлечением прямой и двойственной градиентных процедур синтеза А- и D- оптимальных входных сигналов. Существенной особенностью указанных алгоритмов оценивания параметров и планирования оптимальных входных сигналов является то, что они позволяют вычислять соответствующие градиенты по рекуррентным формулам.

Численные исследования на примере моделей бурильной машины и электрокардиостимулятора показали, что в зависимости от характера вхождения параметров, критериев идентификации и оптимальности, качество оценивания удалось улучшить от 2.6 до 10.2 раз в пространстве параметров и от 1.7 до 6.3 в пространстве откликов, что позволяет говорить о целесообразности и эффективности применения процедур активной идентификации как во временной, так и в частотной областях. Поскольку для различных модельных структур более эффективными могут оказаться как процедуры активной идентификации во временной области, так и в частотной области, не представляется возможным рекомендовать исследователю применять процедуру активной идентификации в какой-либо одной конкретной области. В силу того, что для одних модельных структур предпочтительнее оказался критерий А- оптимальности, а для других - критерий D-оптимальности, экспериментатору можно порекомендовать использовать процедуры планирования по различным критериям оптимальности.

1. Справочник по теории автоматического управления / Красовский А.А. -М.: Наука, 1987.-712 с.

2. Сейдж Э. П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974. - 246 с.

3. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния. М.: Мир, 1975. - 683 с.

4. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. - 302 с.

5. Кашьап Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука, 1983. - 384 с.

6. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента (планирование регрессионных экспериментов). М.: Наука, 1971. - 312 с.

7. Денисов В.И. Математическое обеспечение системы ЭВМ -экспериментатор. М.: Наука, 1977. - 250 с.

8. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. - 207 с.

9. Горский В.П., Адлер Ю.П., Талалай A.M. Планирование промышленного эксперимента (модели динамики). М.: Металлургия, 1978. - 112 с.

10. Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. - 320 с.

11. Льюнг Л. Идентификация систем: теория для пользователей М.: Наука, 1991.- 431 с.

12. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. М.: Наука, 1970. - 620 с.

13. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: Наука, 1975. - 432 с.

14. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. М: - Наука, 1970. - 204 с.

15. Рао С. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука,1968.-547 с.

16. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1974.-240 с.

17. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 648 с.

18. Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления: идентификация и оптимальное управление. М.:Мир, 1973. - 248 с.

19. Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров. Проверка гипотез: учеб. пособие для математических и физических спец. вузов. -М.: Наука, 1984.-472 с.

20. Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума правдоподобия. М.: Физматгиз, 1964. - 184 с.

21. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967. - 632 с.

22. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико -статистической теории обработки наблюдений. М.: Физматгиз, 1958. -334 с.

23. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985. - 487 с.

24. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1986. - 366 с.

25. Справочник по прикладной статистике: в 2 томах. T.l/Э.Ллойд, У. Ледерман, Ю. Тюрин. М.: Финансы и статистика, 1989. - 510 с.

26. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач методом наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. - 232 с.

27. Денисов В.И., Попов А.А. Пакет программ оптимального планирования эксперимента. М.: Финансы и статистика, 1986. - 159 с.

28. Mehra R.K. Optimal Input Signals for Parameter Estimation in Dynamic Systems Survey and New Results // IEEE Trans. Automat. Control. - 1974. -v.AC - 19. - No. 6. - P. 753 - 768.

29. Абденов А.Ж. Активная идентификация для стохастических динамических систем, описываемых моделями в пространстве состояний: дис.д-ра техн.наук: 05.13.01 / Абденов Амирза Жакенович. -Новосибирск, 1999,- 377 с.

30. Абденов А.Ж., Попов А.А. Планирование D оптимальных входных воздействий при идентификации линейных систем / А.Ж. Абденов, А.А. Попов; Новосиб. электротехн. ин - т. - Новосибирск, 1981. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.02.82, №771 - 82.

31. Попов А.А. Вычисление информационной матрицы Фишера в задаче планирования входного сигнала для динамических систем //Сб. науч. тр. НГТУ. 1998. - №2(11). - С. 8 - 16.

32. Абденов А.Ж. Активная идентификация линейных динамических систем для решения задач калмановской фильтрации. I. Теоретические и алгоритмические аспекты // Науч.вест. НГТУ. 1998. - №4. - С. 3-15.

33. Абденов А.Ж. Активная идентификация линейных динамических систем для решения задач калмановской фильтрации. I. Практические аспекты // Науч.вест. НГТУ. 1998. - №4. - С. 16-21.

34. Чубич В.М. Планирование D- оптимальных входных сигналов для стохастических линейных дискретных систем: дис.канд. техн.наук: Спец.05.13.16 / Чубич Владимир Михайлович; Новосиб. гос .техн. ун-т.-Новосибирск, 1995. 97 с.

35. Денисов В.И., Чубич В.М. А-оптимальное планирование на примере одной стохастической линейной дискретной системы: материалы междунар. научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций». Новосибирск, 1997. - С. 112-117.

36. Рябых О.С. Новое обобщенное выражение для информационной матрицы Фишера в задаче планирования входного сигнала для динамических систем/ Денисов В.И., Чубич В.М., Рябых О. С. // Науч. вестник НГТУ. -2001.-№2(11).-С. 29-42.

37. Денисов В.И., Еланцева И.Л., Чубич В.М. Активная идентификация стохастических линейных в пространстве состояний и ARMAX -моделями // Сиб.журн.индустр. матем. 2000. - №1(5). - С. 87-100.

38. Goodwin G.C., Payne R.L. Dynamic system identification: experimental design and data analysis. New York: Academic Press, 1977. - 273 p.

39. Zarrop M.B. Optimal experimental design for dynamic system identification. -New York : Springer-Verlag., 1979 197 p.

40. Gupta N.K., Mehra R.K. Computational Aspects of Maximum Likelihood Estimation and Reduction in Sensitivity Function Calculation // IEEE Trans. Automat.Contr. 1974.-vol. AC-19 - P. 774-783.

41. Astrom К.J. Maximum Likelihood and Prediction Error Methods // Automatica. 1980. - v. 16. - P. 551 -574.

42. Огарков M.A. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М.:Энергоатомиздат, 1980.- 206 с.

43. Абденов А.Ж., Денисов В.И., Чубич В.М. Введение в оценивание и планирование для стохастических динамических систем. Новосибирск: НГТУ, 1993.-45 с.

44. Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.:Наука, 1965. -340 с.

45. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971. - 208 с.

46. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. -279 с.

47. Налимов В.В., Голикова Т.Н. Логические основания планирования эксперимента. М: Металлургия, 1976. - 128 с.

48. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1982. -583 с.

49. Васильев В.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.:Мир, 1982.-372 с.

50. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.:Мир, 1975.-534 с.

51. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. -М.: Наука, 1980.-351 с.

52. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию . М.: Наука, 1983. - 384 с.

53. Сухарев А.Г., Тимохов В.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. -М.: Наука, 1986.-328 с.

54. Денисов В.И., Чубич В.М. Планирование D-оптимальных управляющих сигналов для стохастических линейных дискретных систем // Научный вестник НГТУ. 1995. - №1. - С.17-31.

55. Черникова О.С. Активная идентификация стохастических линейных дискретных систем в частотной области/ Денисов В.И., Чубич В.М., Черникова О.С.// Сиб.журн.индустр. матем.- Том 10Х.- №1(29). 2007. -С.71-89.

56. Кули Дж. У., Льюис П.А.У., Уэлч П. Д. Быстрое преобразование Фурье и его применения к анализу временных рядов // Стат. методы для ЭВМ/ Энслейн К., Рэлстон Э., Уилф Г.С. М.:Наука, 1986. - С. 373-434.

57. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. -М.:Мир, 2001. 430 с.

58. Васюков В.Н. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры в системах подвижной радиосвязи. Новосибирск : НГТУ, 2006. - 292 с.

59. Круглов В.В. Математические пакеты расширения MATLAB: Специальный справочник. СПб: Питер, 2001. - 480 с.

60. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики. М.:Нолидж, 1999. - 640 с.

61. Черникова О.С. Эквивалентность выражений для информационных матриц Фишера в задаче активной идентификации стохастических линейных дискретных систем в частотной области //Сборник научных трудов НГТУ. 2006. - №4(46). - с. 11-18.

62. Гилл Ф., Мюррей Ч., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1982

63. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. М: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 832 с.

64. Черникова О.С. Моделирование выборки измерений по описанию стохастической линейной стационарной системы с дискретным временем в пространстве состояний/ Денисов В.И., Чубич В.М., Черникова О.С. //Науч. вестник НГТУ. 2002. - №2(13). - С. 64-70.

65. Мюллер П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической статистике. М.: Наука, 1982. - 272 с.

66. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.-296 с.

67. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. -М.: Мир, 2001.-430 с.

68. Дорф Р. Современные системы управления. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 832 с.

69. Бегун П.И., Шукейло Ю.Л. Биомеханика. Спб.: Политехника, 2000. -463 с.

70. Баранович В.Ю., Таричко Ю.В. Лечение аритмий: учебное пособие. -РУДН, 2006- 121 с.